title: Cadena de Gauss-Márkov
text: # Cadena de Gauss-Márkov
  
  Los procesos estocásticos de Gauss-Markov o cadenas de Gauss-markov (llamados así en honor a Carl Friedrich Gauss y Andréi Márkov) son procesos estocásticos que satisfacen los requisitos para ser considerados simultáneamente procesos gaussianos y cadenas de Márkov. Un proceso estacionario de Gauss-Márkov es único hasta reescalar; tal proceso es conocido también como proceso de Ornstein-Uhlenbeck.
  Cada cadena de Gauss-Markov, X(t), posee las tres propiedades siguientes:
  * Si h(t) es una función escalar no nula de t, entonces Z(t) = h(t)X(t) también es una cadena de Gauss-Márkov
  * Si f(t) es una función escalar no decreciente de t, entonces Z(t) = X(f(t)) también es una cadena de Gauss-Márkov
  * Si el proceso es no degenerado y de cuadrado medio continuo, entonces existe una función escalar no nula h(t) y una función escalar estrictamente creciente f(t) tal que X(t) = h(t)W(f(t)), donde W(t) es el proceso de Wiener estándar.
  La propiedad n.º 3 nos dice que todo proceso de Gauss-Márkov no degenerado y de cuadrado medio continuo puede ser sintetizado del proceso estándar de Wiener.
  
  # Cadena de Gauss-Márkov
  ## Propiedades de los procesos estacionarios de Gauss-Márkov
  
  Un proceso estacionario de Gauss-Márkov con varianza ${\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma ^{2}$ y constante de tiempo $\beta ^{-1}$ tiene las siguientes propiedades:
  * Autocorrelación exponencial:
      ${\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}\,$.
  * Una función de potencias de densidad espectral que también tiene la misma forma que la distribución de Cauchy:
      ${\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}\,$.
  (Nótese que la distribución de Cauchy y este espectro difieren por factores escalares).
  * Lo anterior tiene la siguiente factorización espectral:
      ${\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(-s+\beta )}}$
  lo que es importante en un filtro de Wiener y en otras áreas.
  También existen excepciones triviales para lo anterior.