title: Suma de Ramanujan
text: # Suma de Ramanujan
  
  En matemáticas, la suma de Ramanujan, llamada así por Srinivasa Ramanujan y normalmente escrita como c$_q$(n), se define como
      $c_{q}(n)=\sum _{a=1 \atop (a,q)=1}^{q}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},$
  donde n y q son los dos enteros positivos que definen la suma; (a,q)=1 indica que a solo puede tomar valores cuyo máximo común divisor con respecto a q sea 1 (es decir, que a y q sean coprimos entre sí); y e$^{(x)}$ es la función exponencial.
  Es fácilmente demostrable que la suma de Ramanujan es multiplicativa, por ejemplo,
      c$_q$(n)c$_r$(n)=c$_{qr}$(n)
  para cualquier (q,r) = 1.
  Otra propiedad es que c$_q$(n) es igual a su complejo conjugado, y por tanto real.
  Escribiendo d como el máximo común divisor de q y n, y nombrando la función de Möbius y la función fi de Euler por μ y φ respectivamente, cumple la siguiente identidad:
      $c_{q}(n)=\mu (q/d){\frac {\phi (q)}{\phi (q/d)}}.$
  
  # Suma de Ramanujan
  ## Series relacionadas con la suma de Ramanujan
  
  Ramanujan evaluó infinitas series de la forma
      $\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)$
  para diversas secuencias (a$_q$). En particular, para s cualquier número real mayor o igual que 1, encontró que las series de Dirichlet cumplían que:
      $\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{s}}}={\frac {\sigma _{1-s}(n)}{\zeta (s)}},$
  donde σ es la función divisor y ζ la función zeta de Riemann. En los casos s = 1 y s = 2 esto es
      $\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q}}=0$
  y
      $\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{2}}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}{\frac {\sigma _{1}(n)}{n}}$
  respectivamente.
  Otras identitidades obtenidas por Ramanujan son
      $\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q}}\log(q)=-\sigma _{0}(n)$
  y
      $\sum _{q=1}^{\infty }(-1)^{q-1}{\frac {c_{2q-1}(n)}{2q-1}}=r_{2}(n),$
  donde r$_2$(n) son el número de representaciones de n como x$^2$ + y$^2$ en enteros x e y.