title: Relación de congruencia (matrices)
text: # Relación de congruencia (matrices)
  
  En matemáticas la congruencia es una relación de equivalencia que se establece entre matrices cuadradas del mismo orden. Se dice que dos matrices A y B, de orden n, son congruentes si existe una matriz regular (que tiene inversa, o determinante distinto de cero), P, llamada también matriz de paso, tal que:
  A=P$^t$BP
  Donde "t" denota a la matriz traspuesta. Además las matrices congruentes son matrices equivalentes por lo que tienen el mismo rango.
  Veamos que es una relación de equivalencia.
  - Propiedad Reflexiva: Sea I la matriz identidad del mismo orden que A. Entonces A=I$^t$AI, entonces A es congruente consigo misma.
  - Propiedad Simétrica: Sean A y B dos matrices de orden n, congruentes con matriz de paso P. Como A es congruente con B, tenemos que:
  A=P$^t$BP
  Multiplicando por la inversa de P$^t$, (P$^{-1}$)$^t$, ya que las operaciones inversa y traspuesta son conmutativas, por la izquierda a ambos lados de la igualdad, y por la inversa de P, P$^{-1}$ por la derecha a ambos lados de la igualdad, obtenemos la siguiente igualdad:
  (P$^{-1}$)$^t$AP$^{-1}$=(P$^{-1}$)$^t$P$^t$BPP$^{-1}$
  o lo que es lo mismo:
  (P$^{-1}$)$^t$AP$^{-1}$=B
  con lo cual, B es congruente con A con matriz de paso P$^{-1}$, cuya existencia viene garantizada por hipótesis, ya que es una matriz regular.
  - Propiedad Transitiva: Si tenemos dos matrices A y B de orden n, tal que A es congruente con B con matriz de paso P, y dada una tercera matriz C, de orden n, que es congruente con B, con matriz de paso Q, veamos que C es congruente con A.
  A=P$^t$BP y B=Q$^t$CQ
  sustituyendo B de la primera igualdad obtenemos esta nueva igualdad:
  A=P$^t$(Q$^t$CQ)P=(QP)$^t$C(QP)
  con lo que podemos concluir que A es congruente con C con matriz de paso QP, ya que (QP)$^t$=P$^t$Q$^t$
  Una propiedad que cumplen las matrices congruentes es que tiene el mismo rango, o lo que es equivalente, el mismo número de filas (columnas) linealmente independientes.
  Dada una matriz simétrica y real A puede encontrarse siempre una matriz diagonal D de manera que A y D sean congruentes. A este procedimiento se le denomina diagonalización por congruencia. Además la matriz diagonal puede elegirse de forma que los elementos en la diagonal sean solo 1,-1 o 0.