title: Transformada de Gelfand
text: # Transformada de Gelfand
  
  La transformada de Gelfand, llamada así en honor del matemático Israel Gelfand, es una aplicación sobre un álgebra de Banach conmutativo y unitario que da lugar a funciones continuas sobre el espectro del álgebra. Esta función es importante en análisis harmónico abstracto y la base de la Teoría de Gelfand.
  
  # Transformada de Gelfand
  ## Espectro de un álgebra de Banach
  
  Dado un álgebra de Banach conmutativo y unitario ${\mathcal {A}}$, llamamos funcional multiplicativo en ${\mathcal {A}}$ a todo homomorfismo no nulo de ${\mathcal {A}}$ a $\mathbb {C}$. Al conjunto de todos los funcionales multiplicativos en ${\mathcal {A}}$ se le denomina espectro de ${\mathcal {A}}$ ($\sigma ({\mathcal {A}})$).
  
  # Transformada de Gelfand
  ## Definición
  
  Para cada $x\in {\mathcal {A}}$, definimos la función ${\widehat {x}}:\sigma ({\mathcal {A}})\rightarrow \mathbb {C}$ dada por ${\widehat {x}}(h)=h(x)$. Esta función es siempre en continua, ya que la topología en $\sigma ({\mathcal {A}})$ es la topología de la convergencia puntual en ${\mathcal {A}}$.
  A la aplicación $\Gamma :{\mathcal {A}}\rightarrow C(\sigma ({\mathcal {A}}))$ que lleva $x$ a ${\widehat {x}}$ se le denomina transformada de Gelfand en ${\mathcal {A}}$.
  
  # Transformada de Gelfand
  ## Propiedades
  
  * La transformada de Gelfand es un homomorfismo y ${\widehat {e}}$ es la función constantemente $1$ (donde $e$ es el elemento unitario del álgebra).
  * Un elemento del álgebra es invertible si y solo si su imagen a través de la transformada de Gelfand es una función que nunca se anula.
  * El rango de $\Gamma (x)$ coincide con el espectro de $x$.$\|{\widehat {x}}\|_{sup}\leq \|x\|$.