title: Matriz booleana
text: # Matriz booleana
  
  Una matriz booleana es una matriz de números cuyas componentes o entradas son exclusivamente ceros o unos. Las matrices booleanas son útiles porque pueden representar objetos abstractos como relaciones binarias o grafos.
  Una matriz booleana general de nxm elementos tiene la forma:
     $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&.&.&.&a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&.&.&.&a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&.&.&.&a_{3m}\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&.&.&.&a_{nm}\\\end{pmatrix}}$
  Donde a$_{ij}$ = 0 o a$_{ij}$ = 1.
  
  # Matriz booleana
  ## Ejemplos
  
  Ejemplos de matrices booleanas son las siguientes:
  ${\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
  
  # Matriz booleana
  ## Operaciones con matrices booleanas
  
  Las operaciones que se pueden realizar entre matrices booleanas son tres: unión, conjunción y producto booleano. Sin embargo, estas operaciones no pueden realizarse sobre dos matrices cualesquiera, sino que deben cumplir ciertos criterios para poder llevarse a cabo. En particular, en el caso de la unión y la conjunción, las matrices que intervienen en la operación deben tener el mismo tamaño, y en el caso del producto booleano, las matrices deben cumplir con las mismas condiciones que para formar el producto de matrices.
  
  # Matriz booleana
  ## Operaciones con matrices booleanas
  ### Unión / Disyunción
  
  Sean A, B y C matrices booleanas de nxm elementos. Se define $A\vee B=C$ la unión de A y B, por:
     $C[i,j]={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}A[i,j]=1\ {o\ }B[i,j]=1\\0,&{\mbox{si }}A[i,j]=B[i,j]=0\end{cases}}$
  
  # Matriz booleana
  ## Operaciones con matrices booleanas
  ### Intersección / Conjunción
  
  Sean A, B y C matrices booleanas de nxm elementos. Se define $A\land B=C$ la intersección de A y B, por:
     $C[i,j]={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}A[i,j]=B[i,j]=1\\0,&{\mbox{si }}A[i,j]=0\ {o\ }B[i,j]=0\end{cases}}$
  
  # Matriz booleana
  ## Operaciones con matrices booleanas
  ### Otras operaciones matriciales
  
  La traspuesta de una matriz booleana es también otra matriz booleana; pero las operaciones con matrices booleanas no siempre producen matrices booleanas. Un ejemplo de operación que no es interna para las matrices booleanas es la suma:
     ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}$
  Sin embargo, si se consideran las operaciones no sobre números reales sino sobre elementos del cuerpo de característica 2 $\scriptstyle \mathbb {Z} _{2}\ =\ \{{\bar {0}},{\bar {1}}\}$ queda garantizado que cualquier operación entre matrices booleana es boolena. Para el ejemplo anterior se tiene:
     ${\begin{bmatrix}{\bar {1}}&{\bar {0}}\\{\bar {0}}&{\bar {1}}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\bar {0}}&{\bar {1}}\\{\bar {0}}&{\bar {1}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\bar {1}}&{\bar {1}}\\{\bar {0}}&{\bar {0}}\end{bmatrix}}$
  
  # Matriz booleana
  ## Matriz booleana asociada a una relación
  
  Dada relación binaria ${\mathcal {R}}$ sobre un conjunto de n elementos $\{a_{1},\dots ,a_{n}\}$, para calcular la clausuara simétrica conviene representar la relación como matriz booleana definida mediante:
     $B_{\mathcal {R}}=[b_{ij}]\quad \land \quad b_{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si}}\ a_{i}{\mathcal {R}}a_{j}\\0&{\mbox{si}}\ \lnot a_{i}{\mathcal {R}}a_{j}\end{cases}}$
  El grafo no dirigido de la figura adjunta puede entenderse como una relación binaria. Dos elementos están relacionados si existe una línea que los una directamente. La matriz asociada a la relación binaria de conexión directa se llama matriz de incidencia, que es una matriz booleana que viene dada por:
     ${\begin{bmatrix}0&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\end{bmatrix}}$
  El elemento ij de la anterior matriz es 1 si existe una línea que una directamente los círculos i y j y 0 en caso contrario.
  * Datos: Q1994977
  * Multimedia: Binary matrix / Q1994977