title: Polinomios de Appell generalizados
text: # Polinomios de Appell generalizados
  
  En matemáticas, una serie polinómica $\{p_{n}(z)\}$ tiene una representación de Appell generalizada si la función generadora de los polinomios toma la forma:
      $K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}$
  donde la función de generación o núcleo $K(z,w)$ se compone de la serie
      $A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad$ con $a_{0}\neq 0$
  y
      $\Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad$ y todos los $\Psi _{n}\neq 0$
  y
      $g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad$ con $g_{1}\neq 0.$
  Dado lo anterior, no es difícil demostrar que $p_{n}(z)$ es un polinomio de grado $n$.
  Los polinomios de Boas-Buck es una clase de polinomios un poco más general.
  
  # Polinomios de Appell generalizados
  ## Casos especiales
  
  * La elección de $g(w)=w$ da la clase de polinomios de Brenke.
  * La elección de $\Psi (t)=e^{t}$ da como resultado la serie de Sheffer de polinomios, que incluye los polinomios por diferencias generales, como la interpolación polinómica de Newton.
  * La elección combinada de $g(w)=w$ y $\Psi (t)=e^{t}$ da la serie de Appell de polinomios.
  
  # Polinomios de Appell generalizados
  ## Representación explícita
  
  Los polinomios de Appell generalizados tienen la representación explícita
      $p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.$
  La constante es
      $h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}$
  donde esta suma se extiende sobre todas las particiones de $n$ en partes de $k+1$; es decir, la suma se extiende sobre todo $\{j\}$ de tal manera que
      $j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,$
  Para los polinomios de Appell, esto se convierte en la fórmula
      $p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.$
  
  # Polinomios de Appell generalizados
  ## Relación de recursión
  
  De manera equivalente, una condición necesaria y suficiente para que el núcleo $K(z,w)$ pueda escribirse como $A(w)\Psi (zg(w))$ con $g_{1}=1$ es que
      ${\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}$
  donde $b(w)$ y $c(w)$ tienen la serie de potencias
      $b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}$
  y
      $c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}.$
  Sustituyendo
      $K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}$
  inmediatamente da la relación de recurrencia.
      $z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).$
  Para el caso especial de los polinomios de Brenke, se tiene que $g(w)=w$ y, por lo tanto, todos los $b_{n}=0$, simplificando significativamente la relación de recursión.