title: Transformación Box-Cox
text: # Transformación Box-Cox
  
  Las transformaciones de Box y Cox son una familia de transformaciones potenciales usadas en estadística para corregir sesgos en la distribución de errores, para corregir varianzas desiguales (para diferentes valores de la variable predictora) y principalmente para corregir la no linealidad en la relación (mejorar correlación entre las variables). Esta transformación recibe el nombre de los estadísticos George E. P. Box y David Cox.
  
  # Transformación Box-Cox
  ## Definición
  
  La transformación potencial está definida como una función continua que varía con respecto a la potencia lambda ($\lambda$). Para los datos (Y$_1$,..., Y$_n$). se realiza la transformación $Y_{i}^{'}=Y_{i}^{\lambda }$ de la siguiente manera:
     $Y_{i}^{(\lambda )}={\begin{cases}K_{1}(Y_{i}^{\lambda }-1)&\mathrm {si} \ \lambda \neq 0,\\\\K_{2}\ln(Y_{i})&\mathrm {si} \ \lambda =0\end{cases}}$
  K$_2$ es la media geométrica de los valores Y$_1$, ..., Y$_n$.
     $K_{2}={\bigg\prod _{i=1}^{n}Y_{i}{\bigg )}^{1/n}=(Y_{1}\cdot Y_{2}\cdot \dots \cdot Y_{n})^{1/n}$
  y K$_1$ es un parámetro que depende de K$_2$ y de $\lambda$, así:
     $K_{1}={\dfrac {1}{\lambda \cdot K_{2}^{\lambda -1}}}$
  
  # Transformación Box-Cox
  ## Procedimiento para la transformación
  
  Para llevar a cabo una transformación potencial, dado un valor de lambda $\lambda$, se calcula primero la media geométrica de los valores Y$_1$ (K$_2$). Después se sustituye este valor para calcular el parámetro K$_1$.
  
  # Transformación Box-Cox
  ## Procedimiento para la selección del mejor valor de $\lambda$
  
  Primero se deben seleccionar el rango de valores de lambda $\lambda$ de los cuales se quiere seleccionar el que logra que la transformación se acerque al máximo a los datos. Para cada valor de $\lambda$ se realiza la transformación del paso anterior. Finalmente se sustituyen los valores de la o las variables explicativas en las diferentes funciones y se calculan los cuadrados de los residuales estadísticos. Aquella que tenga el menor valor de la suma de residuales será la mejor opción. Note que K$_2$ es un valor fijo para todos los casos y que sólo hay que calcular de nuevo el valor K$_1$.