title: Capitalización continua
text: # Capitalización continua
  
  La capitalización continua es una fórmula que ayuda a calcular el valor presente y el valor futuro de cierta cantidad, añadiendo los intereses que se van acumulando. Por tanto, los intereses que se ganan en un periodo se suman a la cantidad inicial y se vuelven a invertir en el siguiente periodo, capitalizando nuevos intereses y así sucesivamente.
  La capitalización continua se considera un tipo de capitalización compuesta. Si se tiene una tasa nominal constante y la capitalización es más frecuente, el monto compuesto (capital + intereses) aumenta. Esto quiere decir que cuanto más rápido es la capitalización de los intereses, mayor será el monto esperado. La periodicidad instantánea sería cuando «m» tiende a infinito. Si «m» tiende a infinito, también «v».
  Las fórmulas para obtener el valor futuro y presente de la capitalización continua son: $M\ =\,C\left({1+{\frac {i}{m}}}\right)^{mt}$
  $v\ =\ {\frac {m}{i}}$
  $M\,=\,C\left[\left(1+{\frac {i}{m}}\right)^{v}\,\right]^{it}$
  $\lim _{v\to \,\infty }\,C\left[\left(1+{\frac {i}{m}}\right)^{v}\,\right]^{it}\ =\,Ce^{it}$
  Donde:
  * M = Valor Futuro
  * C = Valor Presente
  * $i$ = Tasa Efectiva
  * $m$ = Periodicidad
  * $t$ = Tiempo
  Por lo tanto, simplificando la fórmula, el valor futuro y el valor presente calculado a una tasa instantánea o de capitalización continua será:
  $M\ =\,Ce^{it}$
  $C\,={\frac {M}{e^{it}}}=M\ e^{-it}$
  La nomenclatura se respeta siendo la misma de arriba.
  
  # Capitalización continua
  ## Ejemplos
  
  Calcular el valor futuro de una inversión por 100 000 USD que se capitaliza instantáneamente a una tasa del 25 % anual por 3 años.
  $M={100,000}\,e^{0.25(3)}$
  $M={211,700}$
  Un pagaré de 1000 dólares vence dentro de un mes. Calcula el valor presente al 9 % compuesto continuamente:
  $C\,={\frac {1,000}{e\,^{0.09(1/12)}}}$
  $C={992.52}$
  
  # Capitalización continua
  ## Convertibilidad de tasas de la capitalización continua
  
  Para poder convertir una tasa nominal de capitalización continua a una tasa efectiva, se emplean las siguientes fórmulas:
  $M\ =\,Ce^{j}$
  $M\ =\,C(1+i)$
  $\Rightarrow Ce^{j}=C(1+i)$
  $\Rightarrow e^{j}=(1+i)$
  Donde:
  * M = Valor Futuro
  * C = Valor Presente
  * $j$ = Tasa Nominal Capitalizable Continuamente
  * $i$ = Tasa Efectiva
  
  # Capitalización continua
  ## Convertibilidad de tasas de la capitalización continua
  ### Ejemplo
  
  Calcular la tasa de capitalización continua equivalente a una tasa efectiva del 19,72 %.
  $e^{j}=(1+0.1972)$
  $\ln e^{j}=\ln(1+0.1972)$
  $j=\ln(1.1972)$
  $j=18\%$