title: Función generadora de probabilidad
text: # Función generadora de probabilidad
  ## Definición
  
  Si $X$ es una variable aleatoria entonces la función generatriz de probabilidades de $X$ se define como las siguiente:
      $G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]$
  para ciertos valores $t$ tal que la esperanza exista.
  En ocasiones se escribe $G(t)$ en lugar de $G_{X}(t)$ y se utilizan las letras f.g.p para referirse a la función generatriz de probabilidades.
  
  # Función generadora de probabilidad
  ## Cálculo de la f.g.p.
  ### Variables aleatorias discretas
  
  Si $X$ es una variable aleatoria discreta entonces su función generatriz de probabilidades está dada por:
      $G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]=\sum \limits _{k=0}^{\infty }t^{k}P(X=k)$
  donde $P(X=k)$ con $k=0,1,\dots$ denota la función de probabilidad.
  A partir de lo anterior, no es difícil ver que
      $G_{X}(1)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }P(X=k)=1$
  
  # Función generadora de probabilidad
  ## Cálculo de la f.g.p.
  ### Variables aleatorias continuas
  
  Si $X$ es una variable aleatoria continua entonces su función generatriz de probabilidades está dada por
      $G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]=\int _{x\in S}t^{x}f(x)dx$
  donde $f(x)$ denota la función de densidad y $S$ denota el soporte de la variable aleatoria.
  
  # Función generadora de probabilidad
  ## Propiedades
  
  Para una variable aleatoria discreta $X$ se pueden obtener las distribuciones de probabilidad $P(X=k)$ como
      $\displaystyle P(X=k)={\frac {1}{k!}}\left.{\frac {d^{k}G_{X}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}$
  Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes con f.g.p. $G_{X}(t)$ y $G_{Y}(t)$ respectivamente entonces
      $G_{X+Y}(t)=G_{X}(t)G_{Y}(t)$.
  
  # Función generadora de probabilidad
  ## f.g.p. para algunas distribuciones discretas
  
  Si $X\sim {\text{Uniforme}}(x_{1},\dots ,x_{n})$ entonces
      $G_{X}(t)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}t^{x_{i}}$.
  Si $X\sim {\text{Bernoulli}}(p)$ entonces
      $G_{X}(t)=1-p+pt$.
  Si $X\sim {\text{Binomial}}(n,p)$ entonces
      $G_{X}(t)=(1-p+pt)^{n}$.
  Si $X\sim {\text{Geométrica}}(p)$ entonces
      $G_{X}(t)={\frac {p}{1-t(1-p)}}$.
  Si $X\sim {\text{Poisson}}(\lambda )$ entonces
      $G_{X}(t)=e^{-\lambda (1-t)}$.