title: Constantes de Stieltjes
text: # Constantes de Stieltjes
  
  En matemáticas, las constantes de Stieltjes $\gamma _{k}$ son los coeficientes de la expansión en serie de Laurent de la función zeta de Riemann:
      $\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}$
  Las constantes de Stieltjes se definen por el siguiente límite
      $\gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {\ln ^{n}k}{k}}\right)-{\frac {\ln ^{n+1}m}{n+1}}\right]}$
  (En el caso n = 0, el primer sumando requiere la evaluación de 0$^0$, que se toma como 1.)
  La fórmula integral de Cauchy nos da la siguiente representación integral:
      $\gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.$
  Para el caso n = 0, se recupera la constante de Euler-Mascheroni $\gamma _{0}=\gamma =0.577...$.
  Una aproximación de las primeras constantes viene dada por la siguiente tabla:
            nValores aproximados de γ$_n$ 00.5772156649015328606065120900824024310421 1-0.072815845483676724860586 2-0.0096903631928723184845303 30.002053834420303345866160 40.0023253700654673000574 50.0007933238173010627017 6-0.00023876934543019960986 7-0.0005272895670577510 8-0.00035212335380 9-0.0000343947744 100.000205332814909
  
  # Constantes de Stieltjes
  ## Constantes de Stieltjes generalizadas
  
  Más generalmente, se puede definir las constantes de Stieltjes $\gamma _{k}(q)$ asociadas a las expansiones en serie de Laurent de la función zeta de Hurwitz:
      $\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}$
  Donde q es un número complejo con Re(q)>0. Como la función zeta de Hurwitz es un generalización de la función zeta de Riemann, tenemos que:
      $\gamma _{n}(1)=\gamma _{n}$