title: Medida espectral
text: # Medida espectral
  
  En matemáticas, en especial en análisis funcional una medida espectral es una aplicación cuyo dominio es una σ-álgebra y cuyos valores son proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert. Medidas espectrales se utilizan en la teoría espectral de operadores autoadjuntos.
  
  # Medida espectral
  ## Definición formal
  
  Sean
  * $(X,{\mathcal {A}})$ un espacio medible, es decir ${\mathcal {A}}$ es una σ-álgebra de subconjuntos de $X$.
  * $H\$ un espacio de Hilbert.
  * $\pi \$ una aplicación de ${\mathcal {A}}$ al conjunto de proyecciones ortogonales de $H$.
  $\pi \$ es una medida espectral si y solamente si
  * $\pi (X)=\operatorname {id} _{H}\quad$
  * Si $\{E_{i}:i\in \mathbb {N} \}$ es una sucesión de elementos de ${\mathcal {A}}$ disjuntos entre sí, entonces las proyecciones $\{\pi (E_{i}):i\in \mathbb {N} \}\quad$
  son ortogonales entre sí y
      $\pi (\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i})=\sum _{i\in \mathbb {N} }\pi (E_{i})$
  donde la convergencia en el sumatorio es en el sentido de la convergencia fuerte de operadores: O sea que para todo vector $x\in H$
      $\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\pi (E_{k})x=\pi (\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i})x$