title: Distribución Bernoulli
text: # Distribución Bernoulli
  
  En teoría de probabilidad y estadística, la distribución Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático suizo Jacob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, dónde el valor $1$ (éxito) ocurre con la probabilidad $p$ y el valor $0$ (fracaso) con la probabilidad $q=1-p$.
  Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo y la serie de esos experimentos como experimento Bernoulli.
  
  # Distribución Bernoulli
  ## Definición
  
  Si $X$ es una variable aleatoria discreta que mide el "número de éxitos" y se realiza un único experimento con dos posibles resultados denominados éxito y fracaso, se dice que la variable aleatoria $X\,$ se distribuye como una Bernoulli de parámetro $p\,$ con $0<p<1$ y escribimos$X\sim \operatorname {Bernoulli} (p)$.
  
  # Distribución Bernoulli
  ## Definición
  ### Función de Probabilidad
  
  Su función de probabilidad es
      $\operatorname {P} [X=x]=p^{x}(1-p)^{1-x}\qquad x=0,1$
  lo anterior es equivalente a escribir
      $\operatorname {P} [X=x]={\begin{cases}1-p&{\mbox{si }}x=0\\p&{\mbox{si }}x=1\end{cases}}$
  en ocasiones también suele escribirse como
      $\operatorname {P} [X=x]=px+(1-p)(1-x)\qquad x=0,1$
  
  # Distribución Bernoulli
  ## Definición
  ### Función de Distribución
  
  La función de distribución acumulada de una variable aleatoria $X\sim \operatorname {Bernoulli} (p)$ está dada por
      $F(x)={\begin{cases}0&x<0\\1-p&0\leq x<1\\1&x\geq 1\end{cases}}$
  
  # Distribución Bernoulli
  ## Propiedades
  
  Si $X$ es una variable aleatoria tal que $X\sim \operatorname {Bernoulli} (p)$ entonces la variable aleatoria $X$ cumple algunas propiedades.
  
  # Distribución Bernoulli
  ## Propiedades
  ### Media
  
  Su media está dada por
      $\operatorname {E} \left[X\right]=p$
  Esta se demuestra fácilmente utilizando la definición de esperanza
      ${\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=0\cdot \operatorname {P} [X=0]+1\cdot \operatorname {P} [X=1]\\&=p\end{aligned}}$
  con lo anterior es fácil obtener una expresión para $\operatorname {E} [X^{2}]$ pues
      ${\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{2}]&=\sum _{x=0}^{1}x^{2}p^{x}(1-p)^{1-x}\\&=p(1-p)^{1-1}\\&=p\end{aligned}}$
  
  # Distribución Bernoulli
  ## Propiedades
  ### Varianza
  
  Teniendo $\operatorname {E} [X^{2}]$ y $\operatorname {E} [X]$ puede deducirse que la varianza de $X$ está dada por
      ${\begin{aligned}\operatorname {Var} \left[X\right]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}\\&=p-p^{2}\\&=p\left(1-p\right)\end{aligned}}$
  
  # Distribución Bernoulli
  ## Propiedades
  ### Otras propiedades
  
  El $n$-ésimo momento de la variable aleatoria $X$ es
      $\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=p$
  Su función generadora de momentos está dada por
      $M_{X}(t)=1-p+pe^{t}$
  Su función generadora de probabilidad está dada por
      $G_{X}(t)=1-p+pt$
  La función característica está dada por
      $\varphi _{X}(t)=1-p+pe^{it}$
  Moda
      $M={\begin{cases}0&p<1/2\\0,1&p=1/2\\1&p>1/2\end{cases}}$
  Asimetría (Sesgo)
      $\gamma _{1}={\frac {q-p}{\sqrt {qp}}}$
  Curtosis
      $\gamma _{2}={\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}$
  La Curtosis tiende a infinito para valores de $p$ cercanos a 0 o a 1, pero para $p={\frac {1}{2}}$ la distribución de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribución, igual a -2.
  
  # Distribución Bernoulli
  ## Propiedades
  ### Como caso particular de la distribución binomial
  
  La distribución Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial con $n=1$, esto es $\operatorname {Bernoulli} (p)\equiv \operatorname {Bin} (1,p)$.
  
  # Distribución Bernoulli
  ## Distribuciones Relacionadas
  
  * Si $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ son $n$ variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas con $X_{i}\sim \operatorname {Bernoulli} (p)$ entonces la variable aleatoria $X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}$ sigue una distribución binomial con parámetros $n$ y $p$, es decir
      $\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Bin} (n,p)$
  
  # Distribución Bernoulli
  ## Ejemplos
  ### Ejemplo 1
  
  Se quiere lanzar una moneda y obtener la probabilidad de que salga cruz, se trata de un solo experimento con dos resultados posibles: el éxito se considerará sacar cruz y valdrá $p=0.5$. El fracaso será que salga cara y vale $q=1-p=1-0.5=0.5$.
  La variable aleatoria $X$ mide el "número de cruces que salen en un lanzamiento" y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (no salga cruz, es decir, salir cara) y 1 (salga cruz), por lo tanto, la variable aleatoria $X$ se distribuirá como una Bernoulli con parámetro $p=0.5$, es decir, $X\sim \operatorname {Bernoulli} (0.5)$, por lo que
      ${\begin{aligned}\operatorname {P} [X=0]&=f(0)=0.5^{0}0.5^{1}=0.5\\\operatorname {P} [X=1]&=f(1)=0.5^{1}0.5^{0}=0.5\end{aligned}}$
  
  # Distribución Bernoulli
  ## Ejemplos
  ### Ejemplo 2
  
  Se lanza un dado y se quiere hallar la probabilidad de que salga un 6.
  Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:
      $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$
  Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).
  Se considera éxito sacar un 6, por lo tanto, la probabilidad según la Regla de Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.
  $p=1/6$
  Se considera éxito sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.
  $q=1-p=1-1/6=5/6$
  La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).
  Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro $p$ = 1/6
  $X\sim \operatorname {Bernoulli} (1/6)$
  La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.
  $P(X=1)=f(1)=(1/6)^{1}*(5/6)^{0}=1/6=0.1667$
  La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.
  $P(X=0)=f(0)=(1/6)^{0}*(5/6)^{1}=5/6=0.8333$