title: Imagen inversa
text: # Imagen inversa
  
  La imagen inversa, antiimagen o contraimagen de una aplicación es la aplicación que a cada subconjunto del conjunto final de la aplicación le hace corresponder el conjunto de elementos del conjunto inicial cuya imagen se encuentra en este conjunto. Es una aplicación que a un conjunto le hace corresponder otro conjunto.
  
  # Imagen inversa
  ## Definición
  
  Sea $\textstyle f:{\mbox{A}}\longrightarrow {\mbox{B}}$ una aplicación e $\textstyle {\mbox{Y}}\subset {\mbox{B}}$. La imagen inversa de $\textstyle Y$ se define como sigue:
  $f^{-1}(Y)\quad =\quad \lbrace \quad x\in A\quad |\quad \exists y\in Y\quad ,\quad f(x)=y\quad \rbrace$
  
  # Imagen inversa
  ## Propiedades
  
  La imagen inversa resulta ser compatible con todas las operaciones con conjuntos:
  
  # Imagen inversa
  ## Propiedades
  ### Unión
  
  $\forall Y,Z\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}\cup {\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})\cup f^{-1}({\mbox{Z}})$
  
  # Imagen inversa
  ## Propiedades
  ### Intersección
  
  $\forall Y,Z\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}\cap {\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})\cap f^{-1}({\mbox{Z}})$
  
  # Imagen inversa
  ## Propiedades
  ### Complementario
  
  $\forall Y\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{B}}-{\mbox{Y}})={\mbox{A}}-f^{-1}({\mbox{Y}})$
  
  # Imagen inversa
  ## Propiedades
  ### Diferencia de conjuntos
  
  $\forall {\mbox{Y}},{\mbox{Z}}\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}-{\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})-f^{-1}({\mbox{Z}})$
  
  # Imagen inversa
  ## Aplicaciones
  
  La imagen inversa se usa frecuentemente en topología y teoría de la medida.