title: Teorema de Mordell-Weil
text: # Teorema de Mordell-Weil
  
  El teorema de Mordell afirma que si $E:=y^{2}=f(x)$ es una curva elíptica racional no singular, esto es que $f$ y $df$ no tengan raíces comunes, entonces el grupo de los puntos racionales $E(\mathbb {Q} )$ es un grupo abeliano finitamente generado.
  Es decir, este grupo va a ser isomorfo al producto $r$ veces de $\mathbb {Z}$ (a $r$ se le conoce por el rango de la curva) multiplicados a su vez por una cierta cantidad de grupos finitos i.e. $E(\mathbb {Q} )\cong \overbrace {\mathbb {Z} \oplus ...\oplus \mathbb {Z} } ^{r\;\;veces}\oplus {\frac {\mathbb {Z} }{p_{1}^{\lambda _{1}}\mathbb {Z} }}\oplus ...\oplus {\frac {\mathbb {Z} }{p_{s}^{\lambda _{s}}\mathbb {Z} }}$
  Si la curva es singular, entonces este teorema no es aplicable, pero además es que es falso, pues entonces el grupo $E(\mathbb {Q} )$ va a ser isomorfo a $\mathbb {Q}$ con la suma o $\mathbb {Q} ^{*}$ con la multiplicación, que no son finitamente generados.