title: Criterio de la media geométrica
text: # Criterio de la media geométrica
  
  En matemáticas, el criterio de la media geométrica es un criterio para probar la convergencia que permite la resolución de límites del tipo $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}}}$.
  
  # Criterio de la media geométrica
  ## Criterio de la media geométrica
  
  Sea $\{a_{n}\}$ una sucesión de reales positivos con $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$, siendo $A>0$. Entonces, $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}}}=A$.
  El criterio también es cierto si $A=+\infty$.
  
  # Criterio de la media geométrica
  ## Ejemplo
  
  Como la sucesión $a_{n}={\frac {n^{2}+2}{2n^{2}}}$ converge a 1/2, entonces
  $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {6}{8}}\cdot ...{\frac {n^{2}+2}{2n^{2}}}}}={\frac {1}{2}}$
  
  # Criterio de la media geométrica
  ## Corolario
  
  Un corolario del criterio de la media geométrica es el criterio de la raíz, el cual establece que si una sucesión $\{a_{n}\}$ de reales positivos con $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}=A>0$, entonces $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=A$.
  
  # Criterio de la media geométrica
  ## Otros criterios de convergencia
  
  * Criterio de Stolz
  * Criterio de la media aritmética