title: Deducción del módulo de la suma
text: # Deducción del módulo de la suma
  
  Este artículo presenta una deducción para la expresión del módulo resultante de dos vectores (véase vector (física) y módulo (vector)) de un espacio vectorial (sobre los números reales).
  
  # Deducción del módulo de la suma
  ## Deducción
  
  Sean dos vectores ${\vec {a}}$ y ${\vec {b}}$ que forman un ángulo $\theta$ entre sí:
  La fórmula para calcular $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|$ se deduce observando los triángulos rectángulos que se forman, OCB y ACB, y aplicando el Teorema de Pitágoras. En el triángulo OCB:
         ${\overline {\text{OB}}}^{2}={\overline {\text{OC}}}^{2}+{\overline {\text{CB}}}^{2}$
         ${\overline {\text{OB}}}=|{\vec {a}}+{\vec {b}}|$
         ${\overline {\text{OC}}}=\left|{\vec {a}}\left|+AC\right.\right.$
  Resultando:
     $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+{\overline {\text{AC}}}\right)^{2}+{\overline {\text{CB}}}^{2}$
  En el triángulo ACB :
         ${\overline {\text{AC}}}=|{\vec {b}}|\cos \theta$
         ${\overline {\text{CB}}}=|{\vec {b}}|\sin \theta$
  Sustituyendo esto en la igualdad de antes resulta:
  $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|\cos \theta \right)^{2}+\left(|{\vec {b}}|\sin \theta \right)^{2}$
  $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta +|{\vec {b}}|^{2}\cos ^{2}\theta +|{\vec {b}}|^{2}\sin ^{2}\theta$
  $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta +|{\vec {b}}|^{2}\left(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \right)$
  $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\quad \Rightarrow \quad \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta +|{\vec {b}}|^{2}$
  $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta +|{\vec {b}}|^{2}}}$
  $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta }}$
  * Datos: Q5679055