title: Teorema de König (teoría de conjuntos)
text: # Teorema de König (teoría de conjuntos)
  
  En teoría de conjuntos, el teorema de König establece una desigualdad entre la suma y el producto de dos conjuntos de números cardinales, siempre que se cumpla el axioma de elección. Debe su nombre al matemático húngaro Gyula Kőnig.
  
  # Teorema de König (teoría de conjuntos)
  ## Enunciado
  
  El enunciado del teorema de König en términos de cardinales bien ordenados es:
  * Sean dos familias de cardinales {κ$_i$}$_{i∈I}$ y {μ$_i$}$_{i∈I}$, tales que se cumpla la desigualdad estricta κ$_i$ < μ$_i$ para cada i ∈ I. Entonces se tiene:
  * $\sum _{i\in I}\kappa _{i}<\prod _{i\in I}\mu _{i}$
  La suma de cardinales Σ$_i$ κ$_i$ ha de entenderse como el cardinal de la unión disjunta de los κ$_i$, mientras que el producto Π$_i$ μ$_i$ es el cardinal del producto cartesiano de los μ$_i$. La demostración del teorema asume el axioma de elección.
  
  # Teorema de König (teoría de conjuntos)
  ## Equivalencia con el axioma de elección
  
  El enunciado del teorema de König es equivalente al axioma de elección (en ZF), si se reformula sin hacer referencia a los cardinales bien ordenados, de la siguiente forma:
  * Dadas dos familias de conjuntos {A$_i$}$_{i∈I}$ y {B$_i$}$_{i∈I}$ tales que |A$_i$| < |B$_i$| para cada i ∈ I, se cumple que:
  * $\left|\biguplus _{i\in I}A_{i}\right|<\left|\prod _{i\in I}B_{i}\right|\,,$
  * donde $\uplus$ denota una unión disjunta.
  Asumiendo el axioma de elección, este enunciado es equivalente al anterior. Por otro lado, si se asume este enunciado, tomando como A$_i$ una familia de conjuntos vacíos, se tiene que:
     $\varnothing <\left|\prod _{i\in I}B_{i}\right|\,,$
  para cualquier familia de conjuntos no vacíos, que es precisamente una forma equivalente de enunciar el axioma de elección: el producto cartesiano de cualquier familia de conjuntos no vacíos es no vacío.