title: Símbolo de Levi-Civita
text: # Símbolo de Levi-Civita
  
  En matemáticas, y en particular en cálculo tensorial, se define el símbolo de Levi-Civita, también llamado el símbolo de permutación, símbolo alternante o tensor de Levi-Civita, como sigue:
     $\epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ es }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ o }}(3,1,2)\\-1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ es }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ o }}(2,1,3)\\0&{\mbox{de otro modo }}i=j{\text{ o }}j=k{\text{ o }}k=i\end{matrix}}\right.$
  nombrado así por Tullio Levi-Civita. Se utiliza en muchas áreas de las matemáticas y en física. Por ejemplo, en álgebra lineal, el producto vectorial de dos vectores se puede escribir como:
     $\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\right)\mathbf {e} _{i}$
  o más simplemente:
     $\mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}$
  esta última expresión puede ser simplificada más usando la notación de Einstein, convención en la que se puede omitir el símbolo de sumatoria. El tensor cuyas componentes son dadas por el símbolo de Levi-Civita (un tensor covariante de rango 3) a veces se llama el tensor de permutación.
  
  # Símbolo de Levi-Civita
  ## Definición
  
  Las dimensiones más comunes del símbolo Levi-Civita son la tercera y la cuarta, y en cierta medida la segunda, por lo que es útil para ver estas definiciones antes de generalizar a cualquier número de dimensiones.
  
  # Símbolo de Levi-Civita
  ## Definición
  ### Dos Dimensiones
  
  El símbolo Levi-Civita en dos dimensiones se define por:
     $\epsilon _{ij}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{si }}(i,j){\mbox{ es }}(1,2)\\-1&{\mbox{si }}(i,j){\mbox{ es }}(2,1)\\0&{\mbox{de otro modo }}i=j\end{matrix}}\right.$
  
  # Símbolo de Levi-Civita
  ## Definición
  ### Tres Dimensiones
  
  El símbolo Levi-Civita en tres dimensiones se define como sigue:
     $\epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ es }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ o }}(3,1,2)\\-1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ es }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ o }}(2,1,3)\\0&{\mbox{de otro modo }}i=j{\mbox{ o }}j=k{\mbox{ o }}k=i\end{matrix}}\right.$
  
  # Símbolo de Levi-Civita
  ## Definición
  ### Cuatro Dimensiones
  
     $\epsilon _{ijkl}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{si }}(i,j,k,l){\mbox{ es }}(1,2,3,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(4,1,3,2),(4,2,1,3){\mbox{ o }}(4,3,2,1)\\-1&{\mbox{si }}(i,j,k,l){\mbox{ es }}(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,4,3,2),(2,1,3,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,2,3,1){\mbox{ o }}(4,3,1,2)\\0&{\mbox{de otro modo }}i=j\lor j=k\lor k=l\lor l=i\lor k=i\lor j=k\end{matrix}}\right.$
  
  # Símbolo de Levi-Civita
  ## Definición
  ### Generalización a n Dimensiones
  
  El símbolo de Levi-Civita se puede generalizar a dimensiones más altas:
     $\epsilon _{ijkl\dots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{si }}(i,j,k,l,\dots ){\mbox{ es una permutación par de }}(1,2,3,4,\dots )\\-1&{\mbox{si }}(i,j,k,l,\dots ){\mbox{ es una permutación impar de }}(1,2,3,4,\dots )\\0&{\mbox{si dos índices son iguales}}\end{matrix}}\right.$
  Una permutación de la serie 1,2,3,4... es par si se puede reducir a la serie ordenada inicial a través de un número par de intercambios de posiciones, y en caso contrario es impar. Ver permutación par o grupo simétrico para una definición formal de 'permutación par' y de 'permutación impar'.