title: Desigualdad de Friedrichs
text: # Desigualdad de Friedrichs
  
  En matemáticas la desigualdad de Friedrichs es un teorema de análisis funcional gracias a Kurt Friedrichs. Se coloca el límite en la norma L$^p$ de una función utilizando límites L$^p$ en las derivadas débiles de la función y de la geometría del dominio, y se puede utilizar para mostrar que ciertas normas en espacios de Sóbolev son equivalentes.
  
  # Desigualdad de Friedrichs
  ## Discusión de la desigualdad
  
  Sea Ω un conjunto acotado del espacio euclídeo R$^n$ con diámetro d. Supongamos u : Ω → R reside en un espacio de Sóbolev $W_{0}^{k,p}(\Omega )$ (i.e. u reside en W$^{k,p}$(Ω) y el soporte de u es compacto). Entonces:
      $\|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}.$
  En lo anterior
  * $\|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}$ denota la norma L$^p$;
  * α = (α$_1$, ..., α$_n$) es un multiíndice con norma |α| = α$_1$ + ... + α$_n$;
  * D$^α$u es la derivada parcial
         $\mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.$