title: Trisectriz de Longchamps
text: # Trisectriz de Longchamps
  
  La trisectriz de Longchamps (también conocida como trébol equilátero) es una curva plana que lleva el nombre del matemático francés Gohierre de Longchamps (1842-1906), con la propiedad de se puede utilizar para realizar la trisección de un ángulo (de ahí la denominación de trisectriz).
  
  # Trisectriz de Longchamps
  ## Definición
  
  En un círculo con un centro $M$ y diámetro $AB$, el punto $B'$ gira a una velocidad constante en la dirección angular positiva y el punto $A'$ gira a doble velocidad en la dirección opuesta. El punto $B'$ comienza en el punto $B$ y el punto $A'$ en el otro extremo del diámetro en el punto $A$. Las tangentes del círculo en los puntos $A'$ y $B'$ se cruzan en un punto $E$. El lugar geométrico de los puntos $E$ es la trisectriz de Longchamps.
  
  # Trisectriz de Longchamps
  ## Ecuaciones
  
  Para un círculo con radio $a$, cuyo centro está en el origen del sistema de coordenadas, se obtiene la siguiente ecuación en coordenadas polares:
      $r=-{\frac {a}{\cos(3\varphi )}}$.
  La siguiente ecuación en coordenadas cartesianas se deduce de la expresión anterior:
      $x(x^{2}-3y^{2})+a(x^{2}+y^{2})=0$.
  Utilizando el parámetro $\gamma :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ en coordenadas cartesianas, se obtiene con funciones trigonométricas la forma:
      $\gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {\cos(t)}{\cos(3t)}}a\\-{\frac {\cos(t)}{\sin(3t)}}a\end{pmatrix}}$.
  También es posible expresar la curva según el parámetro $\gamma :(-\infty ,\infty )\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ en coordenadas cartesianas con funciones racionales:
      $\gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1+t^{2}}{1-3t^{2}}}a\\{\frac {1+t^{2}}{1-3t^{2}}}at\end{pmatrix}}$.
  
  # Trisectriz de Longchamps
  ## Propiedades
  
  La trisectriz de Longchamps tiene tres asíntotas y tres ejes de simetría:
  
  # Trisectriz de Longchamps
  ## Propiedades
  ### Asíntotas
  
  * $x={\frac {a}{3}}$,
  * $y=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x-{\frac {2a}{3{\sqrt {3}}}}$.
  * $y={\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {2a}{3{\sqrt {3}}}}$
  
  # Trisectriz de Longchamps
  ## Propiedades
  ### Ejes de simetría
  
  * $y=0$
  * $y={\frac {\sqrt {3}}{2}}x$
  * $y=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}x$
  La inversión de la trisectriz respecto al círculo de su definición genera un trébol regular.