title: Conjunto contorno
text: # Conjunto contorno
  
  En matemática, un conjunto contorno generaliza y formaliza las nociones diarias de:
  * Todo lo superior a algo
  * Todo lo superior o equivalente a algo
  * Todo lo inferior a algo
  * Todo lo inferior o equivalente a algo
  
  # Conjunto contorno
  ## Definiciones
  
  Formalmente, dada una relación matemática de pares de elementos de un conjunto $X$ :$\succcurlyeq ~\subseteq ~X^{2}$ y un elemento $x$ de $X$:
  El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ que están relacionados con $x$:
      $\left\{y~/~y\succcurlyeq x\right\}$
  El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tal que $x$ está relacionado con ellos:
      $\left\{y~/~x\succcurlyeq y\right\}$
  El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ que están relacionados con $x$, sin contar el mismo $x$:
      $\left\{y~/~(y\succcurlyeq x)\land \lnot (x\succcurlyeq y)\right\}$
  El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tal que $x$ está relacionado con ellos, sin contar aquellos que están relacionados de este modo con el mismo $x$:
      $\left\{y~/~(x\succcurlyeq y)\land \lnot (y\succcurlyeq x)\right\}$
  La expresión formal de las dos últimas definiciones puede simplificarse si definimos la siguiente relación
      $\succ ~=~\left\{\left(a,b\right)~/~\left(a\succcurlyeq b\right)\land \lnot (b\succcurlyeq a)\right\}$
  donde $a$ está relacionado con $b$ pero $b$ no está relacionado con $a$, en cuyo caso el conjunto contorno superior estricto de $x$ es
      $\left\{y~/~y\succ x\right\}$
  y el conjunto contorno inferior estricto de $x$ es
      $\left\{y~/~x\succ y\right\}$
  
  # Conjunto contorno
  ## Definiciones
  ### Conjunto contorno de una función
  
  En el caso de una función f considerada en términos de la relación $\triangleright$, la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación implicada
      $(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\triangleright f(b)]$
  
  # Conjunto contorno
  ## Ejemplos
  ### Aritmética
  
  Dados un número real $x$ y la relación $\geq$, entonces:
  * El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de números que son mayores o iguales a $x$,
  * El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de números mayores que $x$,
  * El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de números menores o iguales a $x$, y
  * El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de números menores que $x$.
  Considerando la relación más general
      $(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]$
  Entonces
  * El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(y)\geq f(x)$,
  * El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(y)>f(x)$,
  * El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(x)\geq f(y)$, y
  * El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(x)>f(y)$.
  Técnicamente hablando también es posible definir conjuntos contornos en términos de la relación
      $(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\leq f(b)]$
  aunque tales definiciones tenderían a confundir la comprensión de ellos.
  Para una función real f, la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación
      $(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]$
  Note que los argumentos de f podrían ser vectores, y que la notación usada podría ser
      $[(a_{1},a_{2},\ldots )\succcurlyeq (b_{1},b_{2},\ldots )]~\Leftarrow ~[f(a_{1},a_{2},\ldots )\geq f(b_{1},b_{2},\ldots )]$
  
  # Conjunto contorno
  ## Ejemplos
  ### Economía
  
  En economía, el conjunto $X$ puede interpretarse como un conjunto de bienes y servicios o de posibles salidas, la relación $\succ$ como preferencias estrictas, y la relación $\succcurlyeq$ como preferencias débiles. Así,
  * El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas por lo menos tan deseadas como $x$,
  * El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas más deseadas que $x$,
  * El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas no más deseadas que $x$, y
  * El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas menos deseadas que $x$.
  Tales preferencias podrían representarse por una función utilidad u, en cuyo caso
  * El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(y)\geq u(x)$,
  * El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(y)>u(x)$,
  * El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(x)\geq u(y)$, y
  * El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(x)>u(y)$.
  
  # Conjunto contorno
  ## Complementariedad
  
  Si $\succcurlyeq$ es un ordenación total de $X$, entonces el complemento del conjunto contorno superior es el conjunto contorno inferior estricto:
      $X^{2}\backslash \left\{y~/~y\succcurlyeq x\right\}=\left\{y~/~x\succ y\right\}$
      $X^{2}\backslash \left\{y~/~x\succ y\right\}=\left\{y~/~y\succcurlyeq x\right\}$
  y el complemento del conjunto contorno superior estricto es el conjunto contorno inferior:
      $X^{2}\backslash \left\{y~/~y\succ x\right\}=\left\{y~/~x\succcurlyeq y\right\}$
      $X^{2}\backslash \left\{y~/~x\succcurlyeq y\right\}=\left\{y~/~y\succ x\right\}$