title: Desigualdad de la suma de Chebyshov
text: # Desigualdad de la suma de Chebyshov
  
  (Para la desigualdad utilizada en probabilidad, ver la Desigualdad de Bienaymé-Chebyshov)
  La desigualdad de la suma de Chebyshov, debe su nombre al matemático ruso Pafnuti Chebyshov.
  
  # Desigualdad de la suma de Chebyshov
  ## Formulación
  
  La desigualdad de la suma de Chebyshov establece que si:
      $a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}$
  y
      $b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},$
  entonces:
      ${1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).$
  Del mismo modo, si:
      $a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}$
  y
      $b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},$
  entonces:
      ${1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).$
  
  # Desigualdad de la suma de Chebyshov
  ## Demostración
  
  Considérese la suma:
      $S=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}(a_{j}-a_{k})(b_{j}-b_{k}).$
  Si las dos secuencias no se incrementan, entonces:
  a$_j$ − a$_k$ y b$_j$ − b$_k$
  tienen el mismo signo para cualquier j, k. Por lo tanto S ≥ 0.
  Resolviendo los paréntesis, se deduce que:
      $0\leq 2n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}-2\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{k=1}^{n}b_{k},$
  donde:
      ${\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\geq \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\right)\,\left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}b_{k}\right).$
  Una demostración alternativa se puede obtener con el procedimiento de reordenación de desigualdad.
  
  # Desigualdad de la suma de Chebyshov
  ## Versión continua
  
  También hay una versión continua de la desigualdad de la suma Chebyshov:
  Si f y g son funciones de variable real integrables en el intervalo [0,1], pero no crecientes, o ambas no decrecientes, entonces:
      $\int _{0}^{1}f(x)g(x)dx\geq \int _{0}^{1}f(x)dx\int _{0}^{1}g(x)dx,\,$
  con la desigualdad invertida si una función es no creciente y la otra es no decreciente.