title: Grupo de jets
text: # Grupo de jets
  
  En matemáticas, un grupo de jets es una generalización del grupo lineal general que se aplica mediante una serie de Taylor, asimilable a un vector en un punto. Esencialmente, un grupo de jets describe cómo un polinomio de Taylor se transforma bajo los cambios de un sistema de coordenadass (o, equivalentemente, mediante difeomorfismos).
  
  # Grupo de jets
  ## Visión general
  
  El grupo de jets G$^n$$_k$ de orden k-ésimo, consiste en un conjunto de jets bajo la aplicación de difeomorfismos uniformes φ: R$^n$ → R$^n$ tales que φ (0) = 0.
  La siguiente es una definición más precisa de un grupo de jets.
  Sea k ≥ 2. El gradiente de una función f: R$^k$ → R puede interpretarse como una sección del haz cotangente de R$^K$ dado por df: R$^k$ → T* R$^k$. De forma similar, las derivadas hasta el orden m incluido son secciones del paquete de jets J$^m$ (R$^k$) = R$^k$ × W, donde
      $W=\mathbf {R} \times (\mathbf {R} ^{*})^{k}\times S^{2}((\mathbf {R} ^{*})^{k})\times \cdots \times S^{m}((\mathbf {R} ^{*})^{k}).$
  Aquí R* es el espacio dual a R, y S$^i$ denota la i-ésima potencia simétrica. Una función suave f: R$^k$ → R tiene una prolongación j$^m$f: R$^k$ → J$^m$ (R$^k$) definido en cada punto p ∈ R$^k$ colocando la i-ésima derivada parcial de f en p en la componente S$^i$ ((R*)$^k$) de W.
  Considérese un punto $p=(x,x')\in J^{m}(\mathbf {R} ^{n})$. Existe un único polinomio f$_p$ con k variables y de orden m tal que p pertenece a la imagen de j$^m$f$_p$. Es decir, $j^{k}(f_{p})(x)=x'$. Los datos diferenciales x pueden transferirse para estar sobre otro punto y ∈ R$^n$ como j$^m$f$_p$ (y), las derivadas parciales de f$_p$ respecto a y.
  Asóciese a J$^m$ (R$^n$) una estructura de grupo tomando
      $(x,x')*(y,y')=(x+y,j^{m}f_{p}(y)+y')$
  Con esta estructura de grupo, J$^m$ (R$^n$) es un grupo de Carnot de clase m + 1.
  Debido a las propiedades de los jets bajo una función compuesta, G$^n$$_k$ es un grupo de Lie. El grupo de jets es un producto semidirecto del grupo lineal general y un grupo nilpotente conectado y simplemente conectado. También es, de hecho, un grupo algebraico, ya que la composición solo implica operaciones polinomiales.