title: Teorema de Slutsky
text: # Teorema de Slutsky
  
  En teoría de la probabilidad, el teorema de Slutsky extiende algunas propiedades de operaciones algebraicas sobre sucesiones convergentes de números reales a sucesiones de variables aleatorias.
  El teorema lleva el nombre de Yevgueni Slutski aunque es también atribuido a Harald Cramér.
  
  # Teorema de Slutsky
  ## Enunciado
  
  Sean {X$_n$}, {Y$_n$} sucesiones de variables aleatorias.
  Si X$_n$ converge en distribución a una variable aleatoria X; e Y$_n$ converge en probabilidad a una constante c, entonces
  * $X_{n}+Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X+c;$
  * $X_{n}Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ cX;$
  * $X_{n}/Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X/c,$ siempre que c ≠ 0,
  donde ${\xrightarrow {d}}$ denota convergencia en distribución.
  Observaciones:
  * En el enunciado del teorema, la condición “Y$_n$ converge en probabilidad a una constante c” puede ser reemplazada con “Y$_n$ converge en distribución a una constante c” — estas dos condiciones son equivalentes debido a propiedades de la convergencia de variables aleatorias.
  * La condición Y$_n$ converge a una constante es importante — si convergiera a una variable aleatoria no degenerada, el teorema podría no ser válido.
  * El teorema sigue siendo válido si se reemplaza, en todos los casos, convergencia en distribución por convergencia en probabilidad debido a propiedades de la convergencia de variables aleatorias.
  
  # Teorema de Slutsky
  ## Demostración
  
  Este teorema se deduce del hecho de que si X$_n$ converge en distribución a X e Y$_n$ converge en probabilidad a una constante c, entonces el vector (X$_n$, Y$_n$) converge en distribución a (X, c). Luego, se aplica el teorema de la aplicación continua, considerando las funciones g(x,y)=x+y, g(x,y)=xy, y g(x,y)=x$^{−1}$y como continuas (para que la última función sea continua, x debe ser invertible).