title: Ley del péndulo
text: # Ley del péndulo
  
  Consideremos un péndulo cuyo brazo mide l, en el campo gravitacional de intensidad g (usualmente: 9,81 m.s$^{-2}$), y sujeto a pequeñas oscilaciones. El período T de
  oscilación del péndulo es dado por la fórmula:
  $T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$
  
  # Ley del péndulo
  ## Prueba
  
  Sea θ el ángulo en radianes que hace el brazo con la vertical y m la masa del péndulo, al extremo de su brazo, que se mueve con la velocidad : v = l·θ'.
  La energía cinética del péndulo es:
     (1)$E_{c}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {ml^{2}\theta ^{\prime 2}}{2}}$
  Se puede tomar su energía potencial igual a:
     (2)$E_{p}=-mgl\cos(\theta )$
  Este sistema no pierde energía, por la suma de energía cinética y potencia es constante (3)
     (3)$E_{c}+E_{p}$
  Al derivar (3) se obtiene:
     (4)$ml^{2}\theta ^{\prime }\theta ^{\prime \prime }+mgl\theta ^{\prime }\sin(\theta )=0$
  Se puede simplificar (4) por m·l (no nulos) y por θ' (no idénticamente nulo), lo que da:
     (5)$l\theta ^{\prime \prime }+g\sin(\theta )=0$
  Como se supone que θ es siempre pequeño, se puede reemplazar sen θ por θ cometiendo un error del orden de θ$^3$ (porque sin θ = θ + O(θ$^3$)).
  Entonces (5) equivale a:
     (6)$l\theta ^{\prime \prime }+g\theta =0$ o sea $\theta ^{\prime \prime }=-\left(g/l\right)\theta$
  Un movimiento oscilatorio sigue la ley
     $\theta =\theta _{M}\sin(\omega t+\phi )$
  lo que implica que
     (7)$\theta ^{\prime \prime }=\omega ^{2}\theta$
  donde $\omega$es la velocidad angular de la ley y $\theta _{M}$ el ángulo máximo.
  Identificando (6) y (7) se obtiene $\omega ^{2}={\frac {g}{l}}$, es decir $\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}$.
  Concluimos recordando que $T={\frac {2\pi }{\omega }}$.
  * Datos: Q5974404