title: Teorema de Siegel–Walfisz
text: # Teorema de Siegel–Walfisz
  
  En teoría analítica de números, el teorema de Siegel–Walfisz fue obtenido por Arnold Walfisz como una aplicación del teorema de Carl Ludwig Siegel a números primos en progresión aritmética.
  
  # Teorema de Siegel–Walfisz
  ## Enunciado del teorema de Siegel–Walfisz
  
  Se define
      $\psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}\Lambda (n),$
  donde $\Lambda$ denota la función de von Mangoldt y φ es la función indicatriz de Euler.
  El teorema expresa que dado cualquier número real N existe una constante positiva C$_N$ dependiente únicamente de N tal que
      $\psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-C_{N}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),$
  siempre que (a, q) = 1 y
      $q\leq (\log x)^{N}.$
  
  # Teorema de Siegel–Walfisz
  ## Observaciones
  
  La constante C$_N$ no es efectiva computacionalmente porque el teorema Siegel es inefectivo.
  Del teorema se puede deducir la siguiente forma del teorema de los números primos para progresiones aritméticas: Si, para (a,q)=1, mediante $\pi (x;q,a)$ denotamos el número de primos menor o igual a x que son congruentes con a mod q, entonces
      $\pi (x;q,a)={\frac {{\rm {Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-{\frac {C_{N}}{2}}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),$
  donde N, a, q, C$_N$ y φ son como en el teorema, y Li denota la integral logarítmica desplazada.