title: Envolvente convexa
text: # Envolvente convexa
  
  En matemáticas se define la envolvente convexa, envoltura convexa o cápsula convexa de un conjunto de puntos X de dimensión n como la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a X.
  Dados k puntos $x_{1},\,x_{2},\,...,x_{k}$ su envolvente convexa C viene dada por la expresión: $C(X)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\ {\Bigg |}\ x_{i}\in X,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\alpha _{i}\geq 0\,,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}$
  En el caso particular de puntos en un plano, si no todos los puntos están alineados, entonces su envolvente convexa corresponde a un polígono convexo cuyos vértices son algunos de los puntos del conjunto inicial de puntos.
  Una forma intuitiva de ver la envolvente convexa de un conjunto de puntos en el plano, es imaginar una banda elástica estirada que los encierra a todos. Cuando se libere la banda elástica tomará la forma de la envolvente convexa.
  
  # Envolvente convexa
  ## Alternativamente
  
  La unión de todas las combinaciones convexas de conjuntos finitos de puntos de $A\subset R^{n}$ se denomina cápsula convexa de $A$.
  
  # Envolvente convexa
  ## Alternativamente
  ### Teorema de Carathéodory
  
  La cápsula convexa de un conjunto coincide con la unión de todas las combinaciones convexas posibles de subconjuntos finitos del conjunto $A\subset R^{n}$ que tienen a lo más $n+1$ puntos.
  
  # Envolvente convexa
  ## Cálculo de la envolvente convexa
  
  En geometría computacional existen numerosos algoritmos para calcular la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos, con diversos grados de complejidad computacional. La complejidad del algoritmo de resolución se suele estimar en función del número n de puntos de entrada, y el número h de puntos de la correspondiente envolvente convexa.
  
  # Envolvente convexa
  ## Cálculo de la envolvente convexa
  ### Algoritmos para el cálculo de la envolvente convexa en el plano
  
  * Jarvis march o gift wrapping algorithm: Propuesto por R. A. Jarvis en 1973. Es uno de los más simples y posee una complejidad computacional O(nh). En el peor de los casos su complejidad será O(n$^2$).
  * Método de Graham: Publicado en 1972, es mucho más eficiente y posee una complejidad computacional O(n log n). Si los puntos se encuentran pre-ordenados por una de las coordenadas o por el ángulo a un vector fijo entonces la complejidad es O(n).
  * Quickhull: Un método recursivo creado de forma independiente en 1977 por W. Eddy y A. Bykat. Tiene una complejidad esperada O(n log n), pero que puede degenerar a O(n^2) en el peor caso.
  * Divide y vencerás (Divide and conquer): Otro algoritmo de complejidad O(n log n) publicado en 1977 por Franco P. Preparata y Hong. También es aplicable al caso tridimensional.