title: Ecuación hipsométrica
text: # Ecuación hipsométrica
  
  La ecuación hipsométrica o ecuación altimétrica es una ecuación utilizada en meteorología y oceanografía que relaciona un cociente entre presiones atmosféricas con el grosor equivalente de una capa atmosférica asumiendo temperatura y gravedad constantes. Se deriva de la ecuación hidrostática y de la ley de los gases ideales.
  
  # Ecuación hipsométrica
  ## Ecuación
  
  La ecuación hipsométrica se expresa como:
  $h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\ {\bar {T}}}{g}}\ \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)$ :
  | Símbolo | Nombre | Valor | Unidad |
  | $h$ | Grosor de la capa atmosférica | | m |
  | $z$ | Altitud | | m |
  | $g$ | Aceleración gravitacional estándar | | m / s$^2$ |
  | $R$ | Constante de los gases específica para el aire seco | 287.06 | J / (kg K) |
  | ${\bar {T}}$ | Temperatura media de la capa | | K |
  | $p$ | Presión | | Pa |
  En meteorología, $p_{1}$ y $p_{2}$ son superficies isobáricas. En altimetría, con la Atmósfera Estándar Internacional, la ecuación hipsométrica se emplea para computar la presión a una altitud dada en capas isotérmicas en la estratosfera superior e inferior.
  
  # Ecuación hipsométrica
  ## Derivación de la ecuación
  
  La ecuación hidrostática:
      $p=\rho \cdot g\cdot z$
  donde $\rho$ es la densidad [kg/m$^3$], se usa para generar la ecuación del equilibrio hidrostático, expresada en forma diferencial:
      $dp=-\rho \cdot g\cdot dz$
  Esto se combina con la ley de los gases ideales:
      $p=\rho \cdot R\cdot T$
  Recordar que en todo el desarrollo que sigue, $R$ no es la Constante de los gases ideales sino la constante específica para el aire seco, es decir, aquí $R$ es la constante de los gases dividida por la masa molar del aire seco.
  Para eliminar $\rho$:
      ${\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z$
  Esta expresión se integra entre $z_{1}$ y $z_{2}$:
      $\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z$
  R y g son constantes respecto de z, por lo que se pueden sacar fuera de la integral. Si la variación de la temperatura es lineal respecto de z (como se supone en la Atmósfera Estándar Internacional), también se puede sacar de la integral reemplazándola por ${\bar {T}}$, la temperatura media entre $z_{1}$ y $z_{2}$.
      $\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z$
  Al integrar, se obtiene:
      $\ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})$
  que se simplifica a:
      $\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})$
  Reordenando los términos, queda:
      $z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\bar {T}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)$
  o, alternativamente, eliminando el logaritmo neperiano (ln):
      ${\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{\frac {g}{R\cdot {\bar {T}}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}$