title: Orden multiplicativo
text: # Orden multiplicativo
  
  En teoría de números, dado un número entero a y un entero positivo n coprimo con a (es decir, tal que mcd(a,n) = 1), el orden multiplicativo de a módulo n es el menor entero positivo k que cumple
      a$^k$ ≡ 1 (módulo n).
  El orden de a (mód n) se suele denotar ord$_n$ a, o bien O$_n$(a).
  Por ejemplo, para determinar el orden multiplicativo de 4 módulo 7, calculamos 4$^2$ = 16 ≡ 2 (mód 7) y 4$^3$ ≡ 64 ≡ 1 (mód 7), por tanto, ord$_7$(4) = 3.
  Sin saber que estamos trabajando en un grupo finito, se puede demostrar que a tiene un orden si las potencias de a sólo pueden tomar un número finito de valores módulo n, por lo que debe haber dos exponentes, s y t, tales que a$^s$ ≡ a$^t$ (mód n). Como a y n son coprimos, esto implica que a$^{|s-t|}$ ≡ 1 módulo n.
  El concepto de orden multiplicativo es un caso especial del orden de elementos de un grupo. El orden multiplicativo de un número a módulo n es el orden de a en el grupo multiplicativo cuyos elementos son los residuos módulo n de los números coprimos con n, y cuya operación de grupo es la multiplicación módulo n. Este es el grupo de unidades del anillo Z$_n$; tiene φ(n) elementos (donde φ denota la función φ de Euler), y se denota por U(n) o U(Z$_n$).
  Como consecuencia del teorema de Lagrange, ord$_n$a siempre divide a φ(n). Si ord$_n$ a es igual a φ(n) y por tanto tiene el valor máximo que puede tener, entonces a se dice raíz primitiva módulo n. Esto significa que el grupo U(n) es cíclico y la clase de residuos de a lo genera.