title: Ecuación recíproca
text: # Ecuación recíproca
  
  En álgebra ecuación recíproca se llama a la ecuación polinómica $P(x)=0$ en la que si $s$ distinto de cero, es una solución, entonces también lo será ${\frac {1}{s}}$.
  Desplegando
     $P(x)_^=$ $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}=0.$
  Esto implica que al reemplazar x por 1/x en la ecuación propuesta, y eliminar los denominadores, se obtiene la misma ecuación, esto es:
     $P(x)_^=$ $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x^{1}+a_{n}x^{0}=0$
  entonces se verifica:
            a$_k$ = a$_{n-k}$ para k = 0, 1,...,n.
  
  # Ecuación recíproca
  ## Ecuación cuártica recíproca
  
  Sin embargo, en el caso de la ecuación algebraica de cuarto grado del tipo
            $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$se denomina recíproca (e diferente de 0), si existe un número α ≠ 0 tal que, entre los coeficientes de la ecuación a, b. c, d, e hayan las relaciones $d=\alpha b,e=\alpha ^{2}a.$
  Empleando la sustitución $x+{\frac {\alpha }{x}}=y,$ después de dividir entre x$^2$ la ecuación original, y teniendo en cuenta que $x^{2}+{\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}=y^{2}-2\alpha$ se obtiene una ecuación cuadrática respecto a y:
            $ay^{2}+by+cy-2\alpha a=0$.
  la que da dos raíces de y, que permite estructurar dos ecuaciones de segundo grado en x
  $x^{2}-y_{1}x+\alpha =0$
  $x^{2}-y_{2}x+\alpha =0$
  donde y$_1$ e y$_2$ son raíces de la ecuación cuadrática en y (1).
  
  # Ecuación recíproca
  ## Casos de ecuación cuártica recíproca
  ### Ecuación simétrica
  
  Cuando α = 1, en el caso de la ecuación cuártica recíproca, resulta
  $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$
  , los coeficientes de los términos equidistantes del término cuadrático son idénticos
  
  # Ecuación recíproca
  ## Casos de ecuación cuártica recíproca
  ### Ecuación antisimétrica
  
  Asumiendo que α = -1, da como resultado
  $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-bx+a=0$
  , la que se conoce como ecuación antisimétrica de cuarto grado. Los coeficientes de los términos de grado impar son opuestos.