title: Desigualdad de Hölder
text: # Desigualdad de Hölder
  
  En análisis matemático la desigualdad de Hölder, llamada así debido a Otto Hölder, es una desigualdad fundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de los espacios L$^p$.
  Sea (S, Σ, μ) un espacio de medida y sea 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1. Entonces, para toda función medible de valores reales o complejos f y g sobre S, se tiene que
      $\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$
  Los números p y q expresados arriba se dice que son conjugados de Hölder uno del otro. El caso especial p = q = 2 se reduce a la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz.
  La desigualdad de Hölder se cumple incluso si ||fg ||$_1$ es infinita, siendo para el miembro derecho de la desigualdad infinito en ese caso. En particular, si f está en L$^p$(μ) y g está en L$^q$(μ), entonces fg está en L$^1$(μ).
  Para 1 < p, q < ∞, f ∈ L$^p$(μ) y g ∈ L$^q$(μ), la desigualdad de Hölder se convertirá en una igualdad si y sólo si |f |$^p$ y |g |$^q$ son linealmente dependientes en L$^1$(μ), lo que significa que existen dos números reales α, β ≥ 0, siendo alguno de ellos distinto de 0, tales que α |f |$^p$ = β |g |$^q$ μ-casi en todas partes.
  La desigualdad de Hölder es usada para demostrar la desigualdad de Minkowski, la cual es una generalización de la desigualdad triangular en el espacio L$^p$(μ), y también para establecer que L$^q$(μ) es el espacio dual de L$^p$(μ) para 1 ≤ p < ∞.
  La desigualdad de Hölder fue descubierta por primera vez por Rogers (1888), y descubierta independientemente por Hölder (1889).