title: Límite superior y límite inferior
text: # Límite superior y límite inferior
  
  En matemática se define límite superior y límite inferior de una sucesión (x$_n$) como el mayor y menor límite convergente de las subsecuencias de (x$_n$). Análogamente a este, el límite superior y límite inferior para funciones reales se define de la misma manera. El límite superior y el límite inferior son un sustituto parcial para el límite, si es que este no existe. Por definición no se puede superar al límite superior.
  
  # Límite superior y límite inferior
  ## Definición formal
  
  Formalmente el límite inferior de una sucesión $(x_{n})$ se define como
      $\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\inf\{x_{k}:k\geq n\}:n\geq 0\}$
  o también como
      $\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{k\geq n}x_{k}\right)$
  y se denota como $\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ o como $\varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}$. Análogamente se define $\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{k\geq n}x_{k}\right)$.
  Estas definiciones son útiles en un conjunto parcialmente ordenado en un sentido cuantitativo, y proporcionan que el supremo y el ínfimo existan. En una red reticular completa siempre existen estos valores, por lo que en este caso, cada secuencia tiene un límite inferior y límite superior asociado.
  Si existe el límite inferior y el límite superior de una sucesión $(x_{n})$, se cumple que $\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}\;.$
  Además se verifica que si el límite de la sucesión existe, este es igual tanto al límite inferior como al superior.
  
  # Límite superior y límite inferior
  ## Bibliografía
  
  * Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Editorial De Gruyter, Berlín 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edición normal), ISBN 3-11-013625-6 (edición de bolsillo), p. 93 (en Sucesiones de conjuntos).
  * Datos: Q1076611
  * Multimedia: Limit superior and limit inferior / Q1076611