title: Lema de Fatou
text: # Lema de Fatou
  
  En matemáticas, específicamente en teoría de la medida, el lema de Fatou (llamado así en honor al matemático francés Pierre Fatou), que es una consecuencia del Teorema de convergencia monótona, establece una desigualdad que relaciona la integral (en el sentido de Lebesgue) del límite inferior de una sucesión de funciones para el límite inferior de las integrales de las mismas. Es muy importante ya que nos permite manejar las sucesiones de funciones que no son monótonas y es usado en las demostraciones del teorema Fatou-Lebesgue y del teorema de convergencia dominada de Lebesgue.
  
  # Lema de Fatou
  ## Enunciado
  
  Si $(f_{n})$ es una sucesión de funciones integrables no negativas para las cuales
      $\liminf \int f_{n}d\mu <\infty ,$
  entonces la función $f$, definida por
      $f(x)=\liminf f_{n}(x),$
  es integrable y
      $\int fd\mu \leq \liminf \int f_{n}d\mu .$
  
  # Lema de Fatou
  ## Demostración
  
  Sea $g_{m}=\inf\{f_{m},f_{m+1},f_{m+2},\cdots \}$ entonces $g_{m}\leq f_{n}$ si $m\leq n$. Así
      $\int g_{m}d\mu \leq \int f_{n}d\mu ,\quad {\text{si}}\;m\leq n$
  entonces $\int g_{m}d\mu \leq \liminf \int f_{n}d\mu$. Como $(g_{m})$ es creciente y $g_{m}\longrightarrow \liminf f_{n}$, entonces, aplicando el teorema de convergencia monótona $\int \liminf f_{n}d\mu =\int \liminf g_{m}d\mu =\lim \int g_{m}d\mu \leq \liminf \int f_{n}d\mu$
  
  # Lema de Fatou
  ## Corolario
  
  Sea $f_{n}:E\to \mathbb {R} \,$ una sucesión de funciones medibles no negativas que converge casi-todas-partes a una función $f\,$, tal que:
      $\int _{E}f_{n}\leq K\,$
  entonces,
      $\int _{E}f\leq K\,$