title: Número de Liouville
text: # Número de Liouville
  
  En teoría de números, un número de Liouville es un número real x tal que, para cualquier entero positivo n, existen otros dos enteros p y q, q > 1, que satisfacen:
         $0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.$
  Gracias a las fracciones continuas sabemos que todo número real puede aproximarse por infinitos racionales p/q que verifican 0 < |x − p/q| < 1/q$^2$. Los números de Liouville son aquellos para los cuales el 2 en el exponente de q puede ser cambiado por cualquier natural n, o sea que de alguna manera son los "mejor aproximados" por racionales.
  
  # Número de Liouville
  ## Algunas propiedades
  
  * Todo número de Liouville es irracional.
  * Los números de Liouville son trascendentes.
  * El conjunto de números de Liouville tiene medida de Lebesgue cero.
  * El conjunto de números de Liouville puede obtenerse como una intersección numerable de abiertos densos en ℝ. Como consecuencia de esto (utilizando el teorema de Baire y que los reales forman un espacio métrico completo) se deduce que este conjunto es no numerable y denso en los reales.
  
  # Número de Liouville
  ## Constante de Liouville
  
  El ejemplo más conocido de número de Liouville es el que se denomina "constante de Liouville", definido como:
      ${\sum _{k=1}^{\infty }}10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots$
  Este fue el primer número que pudo demostrarse que es trascendente, prueba debida a Joseph Liouville (1850).