title: Anillo de los números enteros
text: # Anillo de los números enteros
  
  En matemáticas, la frase anillo de los números enteros se puede referir a
  * el anillo de todos los enteros (positivos, negativos o cero), usualmente indicado como Z.
  * dado un campo numérico algebraico K, los enteros algebraicos contenidos en K forman un anillo, el anillo de los enteros de K, comúnmente indicado como O$_K$ u ${\mathcal {O}}_{K}$.
  Usando esta notación, se puede escribir Z = O$_Q$ dado que Z es el anillo de enteros del campo Q de números racionales. Y en efecto por esta razón, en la teoría algebraica de números los elementos de Z son comúnmente llamados los "enteros racionales".
  
  # Anillo de los números enteros
  ## Propiedades
  
  El anillo de los números enteros O$_K$ tiene una base integral; lo que significa que existe b$_1$,...,b$_n$ ∈ O$_K$ (la base integral) tal que cada elemento x en O$_K$ puede ser unívocamente representado como
      $x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},$
  con a$_i$ ∈ Z.
  Si ζ es la p-iésima raíz de la unidad y K=Q(ζ) es el campo ciclotómico correspondiente, entonces una base integral de O$_K$ está dada por (1,ζ,ζ$^2$,...,ζ$^{p-2}$).
  Si d es un entero cuadrático libre y K=Q(d$^{1/2}$) es el campo cuadrático correspondiente, entonces una base integral de O$_K$ está dada por (1,(1+d$^{1/2}$)/2) si d≡1 (mod 4) y por (1,d$^{1/2}$) si d≡2 o 3 (mod 4).