title: Forma normal de Hesse
text: # Forma normal de Hesse
  
  La forma normal de Hesse normal, nombrada así por Otto Hesse, es una ecuación usada en geometría analítica y describe una recta en $\mathbb {R} ^{2}$, un plano en el Espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{3}$ o un hiperplano en dimensiones mayores. Es usada principalmente para calcular distancias (ver distancia de un punto a un plano y distancia de un punto a una recta).
  Se escribe como
      ${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,$
  El punto $\cdot$ indica el producto escalar o producto punto.
  El vector ${\vec {n}}_{0}$ representa el vector normal unidad de E o g, que apunta desde el origen del sistema de coordenadas al plano (o línea, en 2D). La distancia $d\geq 0$ es la distancia desde el origen hasta el plano (o recta).
  Esta ecuación es satisfecha por todos los puntos P, ubicados precisamente en el plano E (o en 2D, en la recta g ), descrito por el vector de ubicación ${\vec {r}}$ que apunta desde el origen del sistema de coordenadas a P.
  
  # Forma normal de Hesse
  ## Derivación/Cálculo de la forma normal
  
  Nota: Por simplicidad, la siguiente derivación discute el caso 3D. Sin embargo, también es aplicable en 2D.
  En la forma normal,
      $({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,$
  un plano está dado por el vector normal ${\vec {n}}$ así como un vector de posición arbitrario ${\vec {a}}$ de un punto $A\in E$. La dirección de ${\vec {n}}$ se elige para satisfacer la siguiente desigualdad
      ${\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,$
  Al dividir el vector normal ${\vec {n}}$ por su magnitud $|{\vec {n}}|$, obtenemos el vector normal unitario (o normalizado)
      ${\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,$
  y la ecuación anterior se puede reescribir como
      $({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,$
  Substituyendo
      $d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,$
  obtenemos la forma normal de Hesse
      ${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,$
  En este diagrama, d es la distancia desde el origen. Debido a que ${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d$ se cumple para cada punto del plano, también es cierto en el punto Q (el punto donde el vector del origen se encuentra con el plano E), con ${\vec {r}}={\vec {r}}_{s}$, según la definición de producto escalar
      $d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s}|.\,$
  La magnitud $|{\vec {r}}_{s}|$ de ${{\vec {r}}_{s}}$ es la menor distancia del origen al plano.