Гипотеза Пуанкаре говорит о том, что каждое гладкое компактное односвязное трёхмерное многообразие (без границы) диффеоморфно трёхмерной сфере $S^3$. Связанная с ней гипотеза о геометризации говорит о том, что любое ориентированное гладкое связное компактное трёхмерное многообразие может быть получено из 8 модельных многообразий постоянной кривизны применением конечного количества следующих трёх операций: взятие фактор-многообразия по подгруппе группы изометрий, склеиванию двух многообразий вдоль двумерной сферы $S^2$ и склеиванию двух многообразий вдоль двумерного тора $T^2$. До Перельмана было известно, что гипотеза Пуанкаре вытекает из гипотезы о геометризации. Перельман опубликовал 3 работы, в которых он по сути завершил работу по доказательству гипотезы о геометризации с помощью исследования потоков Риччи.

Для двумерных многообразий есть теорема униформизации (Пуанкаре, Кёбе, 1907 г.): на каждой связной компактной поверхности $M$ можно задать метрику постоянной кривизны $g$. Из неё следует, что любое компактное связное двумерное многообразие диффеоморфно фактор-многообразию одного из трёх модельных многообразий постоянной кривизны, $S^2$ (сфера с кривизной 1), $R^2$ (Евклидова плоскость с кривизной 0), или $H^2$ (гиперболическая плоскость с кривизной -1), по одной из подгрупп группы изометрий этого Римонова многообразия. Из этой теоремы несложно получить классификацию всех двумерных связных компактных многообразий без границ.

Существует много способов доказать теорему униформизации, например, с использованием сложных аналитических инструментов, таких как теорема об отображении Римана. Идея проекта доказательства гипотезы о геометризации и гипотезы Пуанкаре, начатая Гамильноном в 1980-ых и (по сути) завершенная Перельманом основана на доказательстве теоремы униформизации с использованием потока Риччи.
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence