D'accord, je vais essayer de simplifier davantage. Cependant, je tiens à souligner qu'il est difficile de simplifier complètement l'intégrale sans connaître les valeurs spécifiques de A, B et r.

Néanmoins, nous pouvons simplifier le problème en considérant que l'intégrale est essentiellement une somme des valeurs de la fonction de Heaviside sur un domaine rectangulaire, avec des limites de x allant de A à (A + 1) et des limites de y allant de B à (B + 1).

Pour rappel, la fonction de Heaviside est définie comme suit :

```math
H(x)={0,si x<012,si x=01,si x>0
H(x)=⎩
⎨
⎧​0,21​,1,​si x<0si x=0si x>0​
```

Dans ce cas, la fonction de Heaviside est appliquée à l'expression $(x^2 + y^2 - r^2)$. La fonction de Heaviside ne vaut que 1 si l'expression à l'intérieur est positive et 0 si elle est négative.

Ainsi, pour simplifier davantage, nous devons déterminer les conditions pour lesquelles $(x^2 + y^2 - r^2) > 0$ dans le domaine rectangulaire défini.

Si le cercle de rayon r centré en (0, 0) n'intersecte pas le domaine rectangulaire défini par les limites d'intégration en x et y, alors la fonction de Heaviside sera toujours égale à 0, et l'intégrale sera égale à 0.

Si le cercle de rayon r centré en (0, 0) intersecte le domaine rectangulaire, alors la fonction de Heaviside sera égale à 1 pour certaines régions du domaine. Dans ce cas, l'intégrale double est équivalente à l'aire de la région à l'intérieur du domaine rectangulaire où $(x^2 + y^2 - r^2) > 0$. Pour calculer cette aire, vous devrez déterminer les points d'intersection du cercle avec les bords du domaine rectangulaire.

En résumé, la simplification de cette intégrale dépend de la position et de la taille du cercle par rapport au domaine rectangulaire défini par les limites d'intégration en x et y. Vous devrez analyser la géométrie du problème pour déterminer l'aire de la région où la fonction de Heaviside est égale à 1.
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