Байесовский вывод основан на принципе, что мы можем обновлять наши убеждения о некоторой гипотезе или параметре на основе новых данных, используя теорему Байеса. Эта теорема позволяет нам вычислить апостериорную вероятность гипотезы, учитывая априорную вероятность и правдоподобие данных. Байесовский вывод может быть использован для решения задач классификации и прогнозирования, так как он позволяет нам оценить распределение параметров модели или функции, которая описывает данные, и делать прогнозы для новых наблюдений.

Например, одним из примеров байесовского вывода на практике является задача о бросках монеты1. Предположим, что мы хотим определить, является ли монета честной или смещенной в пользу одной из сторон. Мы можем смоделировать результат броска монеты как биномиальную случайную величину с параметром p - вероятность выпадения орла. Наша гипотеза состоит в том, что p равно 0.5 для честной монеты и отлично от 0.5 для смещенной монеты. Мы можем использовать байесовский вывод, чтобы оценить p на основе наблюдаемых данных - количества орлов и решек в серии бросков.

Для этого нам нужно задать априорное распределение для p - то есть наше предварительное мнение о том, какие значения p могут быть возможными или вероятными до проведения эксперимента. Одним из распределений, которое часто используется в таких случаях, является бета-распределение, так как оно определено на интервале [0, 1] и имеет гибкую форму. Бета-распределение зависит от двух параметров - альфа и бета - которые определяют его среднее и дисперсию. Мы можем выбрать эти параметры таким образом, чтобы отразить нашу степень уверенности в гипотезе или нашу неопределенность об этом. Например, если мы считаем, что все значения p равновероятны, мы можем выбрать альфа = бета = 1, что соответствует равномерному распределению. Если мы считаем, что p скорее близко к 0.5, чем к краям интервала, мы можем выбрать альфа = бета > 1, что дает пик в центре распределения. Если мы считаем, что p скорее близко к 0 или 1, чем к центру интервала, мы можем выбрать альфа = бета < 1, что дает U-образную форму распределения.

Затем нам нужно вычислить правдоподобие данных - то есть вероятность наблюдать определенное количество орлов и решек при заданном значении p. Это можно сделать с помощью формулы биномиального распределения:

**P(X | p) = (n k) p^k (1 - p)^(n - k)**

где n - общее количество бросков, k - количество орлов, (n k) - биномиальный коэффициент.

Наконец, нам нужно вычислить апостериорное распределение для p - то есть наше обновленное мнение о p после учета данных. Для этого мы можем использовать теорему Байеса:

**P(p | X) = P(X | p) P(p) / P(X)**

где P(p) - априорное распределение, P(X) - предельная вероятность данных, которая может быть рассчитана как сумма или интеграл по всем возможным значениям p.

Оказывается, что если мы используем бета-распределение в качестве априорного распределения, то апостериорное распределение также будет бета-распределением, но с другими параметрами. Это свойство называется сопряженностью и упрощает вычисления. Параметры апостериорного распределения будут равны:

альфа’ = альфа + k

бета’ = бета + n - k

То есть мы просто добавляем количество успехов (орлов) к параметру альфа и количество неудач (решек) к параметру бета.

Используя апостериорное распределение, мы можем делать различные выводы о p. Например, мы можем найти наиболее вероятное значение p как моду распределения, или среднее значение p как математическое ожидание распределения. Мы также можем построить доверительный интервал для p, используя квантили распределения. Кроме того, мы можем прогнозировать результат следующего броска монеты, используя формулу условной вероятности:

**P(X = 1 | X, p) = E[P(X = 1 | p) | X] = E[p | X]**

где E[.] обозначает математическое ожидание. Эта формула говорит, что вероятность выпадения орла в следующем броске равна среднему значению p по апостериорному распределению.

Вот пример кода на Python, который реализует этот метод для сгенерированных данных:

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import beta

**Генерируем данные**
n = 100 # количество бросков p_true = 0.7 # истинная вероятность орла X = np.random.binomial(n=1, p=p_true, size=n) # результаты бросков k = np.sum(X) # количество орлов

**Задаем априорное распределение**
alpha = 10 # параметр альфа beta = 10 # параметр бета prior = beta(alpha, beta) # бета-распределение

**Вычисляем апостериорное распределение**
alpha_post = alpha + k # новый параметр альфа beta_post = beta + n - k # новый параметр бета posterior = beta(alpha_post, beta_post) # бета-распределение

**Строим графики**
x = np.linspace(0, 1, 100) # возможные
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence