La racionalización es una técnica matemática que se utiliza para simplificar expresiones que contienen raíces en el denominador o en el numerador. El objetivo es reescribir la expresión de tal manera que no haya radicales en el denominador y que los radicales en el numerador se hayan simplificado lo más posible.

Para racionalizar un denominador que contiene una raíz, se multiplica tanto el numerador como el denominador por la expresión conjugada de la raíz en el denominador. Esto se hace para eliminar la raíz del denominador y para obtener una expresión equivalente que sea más fácil de simplificar.

Por ejemplo, si tenemos la expresión:

(2 / (√3 + 1))

Para racionalizar el denominador, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por la expresión conjugada de la raíz en el denominador, que es (√3 - 1). Entonces, tenemos:

(2 / (√3 + 1)) * ((√3 - 1) / (√3 - 1)) = (2(√3 - 1)) / ((√3 + 1)(√3 - 1)) = (2(√3 - 1)) / 2 = √3 - 1

Por lo tanto, hemos racionalizado el denominador y simplificado la expresión.

Para racionalizar un numerador que contiene una raíz dentro de otra raíz, se aplica la misma técnica, pero se utiliza la identidad (a - bc) = (a - b√c√c) para simplificar el resultado.

Por ejemplo, si tenemos la expresión:

(√(5 + 2√6) / √(3 + √2))

Para racionalizar el numerador, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por la expresión conjugada de la raíz dentro de la raíz en el numerador, que es (√5 - √6). Entonces, tenemos:

(√(5 + 2√6) / √(3 + √2)) * ((√5 - √6) / (√5 - √6)) = ((√5 - √6)√(5 + 2√6)) / ((3 + √2) - 2)

Simplificando, obtenemos:

((√5 - √6)√(5 + 2√6)) / (1 + √2) = (√5 - √6)√(5 + 2√6)(1 - √2)

Por lo tanto, hemos racionalizado el numerador y simplificado la expresión.
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