以下に小説としてより良い表現に変更可能な箇所と添削を表示します。

1. 「私」は目を覚ました。:
この箇所はあえて行動のみにすることで、覚醒時のおぼろげな意識を表現するということもできそうです。その後周囲の情景描写と合わせることで、覚醒への理解の流れを読者に体験させることができるでしょう。
例:
「私」は重いまぶたをゆっくりと開いた。

2. ……そうして、「私」は今日も、自分の記憶に欠落があることに気付いた。:
この箇所は記憶の欠落に気付くシーンですが、なぜ気づいたか具体的な出来事も含めるとより臨場感が増すでしょう。「私」がふとそれに気付くことで、よりその要素の重要度を読者に伝えることもできます。
例:
服を着替えながら「私」は何気なく昨日の出来事を思い返してみた。けれど、所々が虫食いのように思い出せない。
……そうして、「私」は今日も、自分の記憶に欠落があることに気付いた。

3.けれど、「私」は気にしないことにした。そんなことを気にしている暇はないのだ。今はまだ。:
ここは倒置法を使い印象付けを行っていますが、次の「……だって、時間は限られているのだから。」の部分は読者へ先の展開の興味を持たせるため、より重要な役割の文章だと考えられます。そこで修正箇所は倒置法を使わず普通に書くことで、読者の視点を興味を引き立てる次の文章へと集中させることができるでしょう。
例：
けれど、「私」は気にしないことにした。そんなことを気にしている暇は今はまだないのだ。
……だって、時間は限られているのだから。

以上がより良い表現にするための添削です。
ただしこれらは元の文章情報のみで作成した一例です。設定や物語の全体像などのコンテキストが不足しているうえ、小説表現は非常に複雑で明確な正解がないことを留意してください。
またあなたが設定している読者の心をイメージし、それをどう動かしたいかを考えると、より適切な表現が見つかる場合もあります。ぜひお試しください。
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