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# 统计代写|广义线性模型代写Generalized linear model代考|STAT3022 Approximate Confidence Intervals for Variance Components

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## 统计代写|广义线性模型代写Generalized linear model代考|Approximate Confidence Intervals for Variance Components

Satterthwaite (1946) proposed a method, which extended an earlier approach of Smith (1936), for balanced ANOVA models. The goal was to construct a confidence interval for a quantity in the form $\zeta=\sum_{i=1}^h c_i \lambda_i$, where $\lambda_i=\mathrm{E}\left(S_i^2\right)$ and $S_i^2$ is the mean sum of squares corresponding to the $i$ th factor (fixed or random) in the model (e.g., Scheffé 1959). Note that many variance components can be expressed in this form; for example, the variance of $y_{i j}, \sigma^2+\tau^2$, in Example 2.3 can be expressed as $(1 / k) \mathrm{E}\left(S_1^2\right)+(1-1 / k) \mathrm{E}\left(S_2^2\right)$, where $S_1^2$ is the mean sum of squares corresponding to $\alpha$ and $S_2^2$ corresponding to $\epsilon$. The idea was to find an appropriate “degrees of freedom,” say, $d$, such that the first two moments of the random variable $d \sum_{i=1}^h c_i S_i^2 / \zeta$ match those of a $\chi_d^2$ random variable. This approach is known as Satterthwaite’s procedure. Graybill and Wang (1980) proposed a method that improved Satterthwaite’s procedure. The authors called their method the modified large-sample (MLS) method. The method provides an approximate confidence interval for a nonnegative linear combination of the $\lambda_i \mathrm{~s}$, which is exact when all but one of the coefficients in the linear combination are zero. We describe the Graybill-Wang method for the special case of balanced one-way random effects model (Example 2.2).

Suppose that one is interested in constructing a confidence interval for $\zeta=$ $c_1 \lambda_1+c_2 \lambda_2$, where $c_1 \geq 0$ and $c_2>0$. This problem is equivalent to constructing a confidence interval for $\zeta=c \lambda_1+\lambda_2$, where $c \geq 0$. A uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE, e.g., Lehmann and Casella 1998) of the quantity is given by $\hat{\zeta}=c S_1^2+S_2^2$. Furthermore, it can be shown that $\hat{\zeta}$ is asymptotically normal such that $(\hat{\zeta}-\zeta) / \sqrt{\operatorname{var}(\hat{\zeta})}$ has a limiting $N(0,1)$ distribution (Exercise 2.16).

## 统计代写|广义线性模型代写Generalized linear model代考|Simultaneous Confidence Intervals

Hartley and Rao (1967) derived a simultaneous confidence region for the variance ratios $\gamma_r=\sigma_r^2 / \tau^2, r=1, \ldots, s$ (i.e., the Hartley-Rao form of variance components; see Sect. 1.2.1.1) in a Gaussian mixed ANOVA model based on maximum likelihood estimation. The Hartley-Rao confidence region is quite general, that is, it applies to a general mixed ANOVA model, balanced or unbalanced. On the other hand, in some special cases, different methods may result in confidence intervals that are easier to interpret. For example, Khuri (1981) developed a method of constructing simultaneous confidence intervals for all continuous functions of variance components in the balanced random effects model (see the end of Sect. 1.2.1), a special case of the mixed ANOVA model.

It should be noted that, provided that one knows how to construct confidence intervals for the individual variance components, then, by Bonferroni inequality, a conservative simultaneous confidence interval for the variance components can always be constructed. Suppose that $\left[L_k, U_k\right]$ is a $\left(1-\rho_k\right) \%$ confidence interval for the variance component $\theta_k, k=1, \ldots, q$. Then, by Bonferroni inequality, the set of intervals $\left[L_k, U_k\right], k=1, \ldots, q$ are (conservative) simultaneous confidence intervals for $\theta_k, k=1, \ldots, q$ with confidence coefficient greater than or equal to $1-\sum_{k=1}^q \rho_k$.

## 统计代写|广义线性模型代写Generalized linear model代 考|Approximate Confidence Intervals for Variance Components

Satterthwaite (1946) 提出了一种方法，它扩展了 Smith (1936) 的早期方法，用于平衡方差分析 模型。目标是为以下形鿈的数量构建置信区间 $\zeta=\sum_{i=1}^h c_i \lambda_i$ ，在哪里 $\lambda_i=\mathrm{E}\left(S_i^2\right)$ 和 $S_i^2$ 是对应 于 $i$ 模型中的第 th 个因素 (固定或随机) (例如，Scheffé 1959)。请注意，许多方差分量都可以 用这种形式表示; 例如，方差 $y_{i j}, \sigma^2+\tau^2$ ，在例2.3中可表示为
$(1 / k) \mathrm{E}\left(S_1^2\right)+(1-1 / k) \mathrm{E}\left(S_2^2\right)$ ， 在哪里 $S_1^2$ 是对应于 $\alpha$ 和 $S_2^2$ 对应于 $\epsilon$. 这个想法是为了找到一 个合适的“自由度”，比如哾， $d$, 这样随机变量的前两个时刻 $d \sum_{i=1}^h c_i S_i^2 / \zeta$ 匹配一个 $\chi_d^2$ 随机变量。 这种方法称为 Satterthwaite 程序。Graybill 和 Wang (1980) 提出了一种改进 Satterthwaite 程 序的方法。作者将他们的方法称为改进的大样本 (MLS) 方法。该方法为以下项的非负线性组合提供 近似置信区间 $\lambda_i \mathrm{~s}$ ，当线性组合中除一个系数外的所有系数均为零时，这是准确的。我们描述了 Graybill-Wang 方法用于平衡单向随机效应模型的特殊情况 (示例 2.2)。

## 统计代写|广义线性模型代写Generalized linear model代 z- Simultaneous Confidence Intervals

Hartley 和 Rao (1967) 导出了方差比的同时置信区域 $\gamma_r=\sigma_r^2 / \tau^2, r=1, \ldots, s$ (即方差分量的 Hartley-Rao 形式；参见第 1.2.1.1 节) 在基于最大似然估计的高斯混合方差分析模型中。HartleyRao 置信区域非常普遍，也就是说，它适用于一般混合方差分析模型，平衡或不平衡。另一方面， 在某些特殊情况下，不同的方法可能会导致更容易解释的置信区间。例如，Khuri (1981) 开发了一 种为平衡随机效应模型 (见第 1.2.1 节结尾) 中方差分量的所有连续函数构建同时置信区间的方法， 这是混合方差分析模型的一个特例。

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