Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marrepcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marrepcl 20189
 Description: Closure of the row replacement function for square matrices. (Contributed by AV, 13-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marrepcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marrepcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
marrepcl (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)𝑆)𝐿) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem marrepcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 marrepcl.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 marrepcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 eqid 2610 . . . 4 (𝑁 matRRep 𝑅) = (𝑁 matRRep 𝑅)
4 eqid 2610 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
51, 2, 3, 4marrepval 20187 . . 3 (((𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)𝑆)𝐿) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 𝑆, (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
653adantl1 1210 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)𝑆)𝐿) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 𝑆, (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
7 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
81, 2matrcl 20037 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98simpld 474 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
1093ad2ant2 1076 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑁 ∈ Fin)
1110adantr 480 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
12 simpl1 1057 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simp3 1056 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝑅))
147, 4ring0cl 18392 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15143ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1613, 15ifcld 4081 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → if(𝑗 = 𝐿, 𝑆, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
1716adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → if(𝑗 = 𝐿, 𝑆, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
18173ad2ant1 1075 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑗 = 𝐿, 𝑆, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
19 simp2 1055 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
20 simp3 1056 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
212eleq2i 2680 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2221biimpi 205 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
23223ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2423adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
25243ad2ant1 1075 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
261, 7matecl 20050 . . . . 5 ((𝑖𝑁𝑗𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
2719, 20, 25, 26syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
2818, 27ifcld 4081 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 𝑆, (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
291, 7, 2, 11, 12, 28matbas2d 20048 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 𝑆, (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
306, 29eqeltrd 2688 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)𝑆)𝐿) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Fincfn 7841  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Ringcrg 18370   Mat cmat 20032   matRRep cmarrep 20181 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-ring 18372  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033  df-marrep 20183 This theorem is referenced by:  minmar1cl  20276  smadiadetg  20298  submatminr1  29204
 Copyright terms: Public domain W3C validator
{"found_math": false, "script_math_tex": 0, "script_math_asciimath": 0, "math_annotations": 0, "math_alttext": 0, "mathml": 0, "mathjax_tag": 0, "mathjax_inline_tex": 0, "mathjax_display_tex": 0, "mathjax_asciimath": 0, "img_math": 0, "codecogs_latex": 0, "wp_latex": 0, "mimetex.cgi": 0, "/images/math/codecogs": 0, "mathtex.cgi": 0, "katex": 0, "math-container": 0, "wp-katex-eq": 0, "align": 0, "equation": 0, "x-ck12": 0, "texerror": 0}