Peucestas (en grec ancien ), fils de Macaratos, est un officier macédonien sous le règne d'Alexandre le Grand au  avant notre ère.

Biographie

En 331 av. J.-C., Peucestas est nommé stratège par Alexandre des troupes restées en Égypte avec Balacros. Il aurait eu  sous ses ordres. Il a été tué par Alexandre au printemps 331.

Dans le papyrus de Saqqarah

Un ordre écrit sur papyrus découvert en 1972 dans une chambre du temple d'un sanctuaire animalier à Saqqarah , fait probablement référence à Peucestas, fils de Macaratos dans les années 332 et 331. L'ordre est le plus ancien document grec écrit sur papyrus. L'ordre, condensé en trois lignes, se lit comme suit :

Apparemment, cet ordre est adressé aux troupes gréco-macédoniennes, auxquelles il est interdit d'entrer dans un lieu sacré pour les Égyptiens. De la découverte du papyrus, on peut également conclure que Peucestas détient le commandement suprême en Basse-Égypte et Balacros en Haute-Égypte. Outre l'apport historique de ce texte, il présente un intérêt capital en ce que le document est écrit en caractères monumentaux, avant que la graphie grecque n'évolue considérablement durant les siècles suivants.

Notes et références

Bibliographie
 .
 Eric Gardner Turner, A Commander-in-Chief's Order from Saqqâra in: The Journal of Egyptian Archaeology. Volume 60 (1974), pages 239-242.
 Eric Gardner Turner, Greek manuscripts of the ancient world édité par Peter J. Parsons. Dans : Bulletin de l'Institut d'études classiques. Volume 46 (1987), pages 136-139, n° 79.

Personnalité de la Macédoine antique
Personnalité militaire du IVe siècle av. J.-C.
Date de décès non renseignée (IVe siècle av. J.-C.)
Date de naissance non renseignée (IVe siècle av. J.-C.)
Index égyptologique

Peucestas (officier)


Inden for matematik angiver rational rod-sætningen hvilke mulige rationale rødder et polynomium med heltallige koefficienter kan have.

Sætningen siger at hvis det gælder at:
 a0, a1, a2 ... an er hele tal hvor a0 ≠ 0 og an ≠ 0
 p og q er hele tal, hvor q ≠ 0 og p/q er en uforkortelig brøk (dvs. p og q er indbyrdes primiske)
 p/q er en rod i polynomiet anxn + an-1xn-1 ... a0

Så gælder det at:
 p går op i a0, og q går op i an.

Anvendelse

Sætningen kan bruges til at afgøre om et polynomium med heltallige koefficienter har nogen rationale rødder, og i givet fald finde dem. Da sætningen giver restriktioner på tæller og nævner af fuldt forkortede rationale brøker som kan være rødder, kan alle muligheder for rationale rødder tjekkes for om de er rødder eller ej. På den måde kan alle rationale rødder findes eller det kan konstateres at der ikke er nogen rationale rødder. De eventuelt fundne rationale rødder kan faktoriseres ud af polynomiet så man får et nyt polynomium med de samme rødder som det oprindelige polynomium på nær de allerede fundne rødder.

Tredjegradsligning

Den generelle tredjegradsligning

med heltallige koefficienter har tre komplekse løsninger. Hvis det findes at der ikke er nogle rationale løsninger, vil den eneste måde at udtrykke løsningerne algebraisk på være at bruge kubikrødder. Men hvis der findes rationale løsninger, kan brug af kubikrødder undgås. Hvis præcis en rational løsning r findes, så kan (x - r) faktoriseres ud af tredjegradspolynomiet ved at bruge polynomiumsdivision. Så vil man ende med et andengradspolynomium hvis rødder kan findes med formlen for rødder i andengradspolynomier

Bevis

Lad P(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 hvor a0, ..., an ∈ Z, og antag at P(p/q) = 0 for indbyrdes primiske p, q ∈ Z:

Hvis vi ganger med qn på begge sider, flytter det konstante led til højre side, og faktoriserer p uden for parentes på den venstre side, får vi:

Vi ser at p gange heltalsværdien i parentesen er lig med −a0qn, så p går op i a0qn. Men da p er indbyrdes primisk med q og dermed også til qn, må det gå op i produktets anden faktor a0.

Hvis vi i stedet flytter leddet med xn til den højre side, og faktoriserer q uden for parentes, får vi:

Og vi kan på tilsvarende vis konkludere at q må gå op i an.

Eksempler

Første

I polynomiet

vil enhver fuldt forkortet rational rod have en tæller som går op 1, og en nævner som går op i 2. Dvs. at de eneste mulige rationale rødder er ±1/2 og ±1. Da ingen af disse er rødder, er der ingen rationale rødder.

Andet

I polynomiet

vil de eneste mulige rationale rødder have en tæller der går op i 6, og en nævner der går op i 1. Så de eneste muligheder er ±1, ±2, ±3 og ±6. Af disse er 1, 2 og -3 rødder. Disse er alle polynomiets rationale rødder og dets eneste rødder, da et tredjegradspolynomium højst har 3 rødder.

Tredje

Enhver rational rod i polynomiet

må være et af de 8 tal: ±1/1, ±1/3, ±2/1, ±2/3

Referencer

Litteratur
 Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, , pp. 216–221
 Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, , pp. 116–117 ()
 Ron Larson: Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning 2007, , pp. 23–24 ()

Eksterne henvisninger
 RationalRootTheorem  på PlanetMath
 Another proof that nth roots of integers are irrational, except for perfect nth powers af Scott E. Brodie
 The Rational Roots Test på purplemath.com

Rodfindingsalgoritmer
Polynomier

Rational rod-sætningen


Paul Power (* 30. Oktober 1953 in Manchester) ist ein ehemaliger englischer Fußballspieler. Der linke Außenverteidiger und Mittelfeldspieler, der seine Stärken im Zweikampf und in den Flankenläufen sowie bei langen Einwürfen hatte, war 13 Jahre für Manchester City aktiv und gewann mit dem FC Everton 1987 die englische Meisterschaft.

Sportlicher Werdegang

Manchester City (1973–1986)
Bereits von Kindesbeinen an war Power Anhänger von Manchester City und im August 1973 trat er dem Verein zu einer Zeit bei, als er noch an der Leeds Metropolitan University Jura studierte. Bevor er dort seine Ausbildung beendete, war er den "Citizens" zunächst nur auf Amateurbasis verbunden, aber nach der Unterzeichnung des ersten Profivertrags im Juli 1975 drängte er sofort in die von Tony Book trainierte Erstligamannschaft. Am 27. August 1975 debütierte er anlässlich einer 0:1-Auswärtsniederlage gegen Aston Villa und weitere 18 Ligaauftritte folgten in der Saison 1975/76 ebenso wie das erste Tor beim 4:3-Heimsieg gegen Derby County. Beim Finalerfolg im Ligapokal gegen Newcastle United (2:1) blieb er hingegen noch berücksichtigt, obwohl er zuvor in den ersten Runden gegen Mansfield Town und den FC Middlesbrough einen bescheidenen Anteil am Gesamterfolg hatte. In der anschließenden Spielzeit 1976/77 etablierte sich Power dann in der Startformation und neben einer Anfangsserie von sechs Spielen ohne Niederlage schnupperte er beim 1:0-Hinspiel im UEFA-Pokal gegen Juventus Turin in der ersten Runde erstmals "europäische Luft" – das Rückspiel endete 0:2. Mit nur einem Punkt Rückstand auf den neuen Titelträger FC Liverpool gewann Power schließlich die englische Vizemeisterschaft.

Die erneute Qualifikation für den UEFA-Pokal mündete für Power ein weiteres Mal in eine Erstrundenniederlage – in diesem Fall gegen den polnischen Vertreter Widzew Łódź. Dies sorgte für einen merklichen Formverlust und am Ende fand sich der Klub mit zwölf Punkten Abstand deutlich hinter dem neuen Meister Nottingham Forest auf dem vierten Platz wieder. Power operierte zumeist im linken Mittelfeld und mit seiner Interpretation, gleichsam die Position des Außenverteidigers zu bekleiden, gab er einen Vorgeschmack dessen, was in späteren Zeiten als "Wing-back" bekannt wurde. Nächstes Highlight war für Power in einer Saison 1978/79, die in der Liga den weiteren Fall ins Mittelfeld mit sich brachte, das Erreichen des Viertelfinals im UEFA-Pokal, nachdem er speziell beim 2:2 im Achtelfinalspiel beim AC Mailand das zwischenzeitliche 2:0 erzielt und damit den Grundstein fürs Weiterkommen (3:0 im Rückspiel) gelegt hatte. Nach dem Trainerwechsel zu Malcolm Allison übernahm Power im Anschluss an eine 0:1-Ligapokalniederlage gegen den AFC Sunderland das Kapitänsamt und in einer turbulenten Zeit, in der sich die Citizens nach 17 sieglosen Spielen einem möglichen Abstieg gegenübersahen, kam das Team unter Powers Führung – und mit sieben eigenen Ligatoren nur eines weniger als die Ausbeute des Toptorjägers Michael Robinson – am Ende mit drei Siegen aus den letzten vier Spielen noch zum Klassenerhalt.

Während sich sein Status auch in der Saison 1980/81 festigte, blieb die Mannschaft mit zwischenzeitlich nur vier von 30 möglichen Ligapunkten weit hinter den Erwartungen zurück, was wieder Allisons Entlassung zur Folge hatte. Dem stand der Finaleinzug im FA Cup gegenüber. In den Runden zuvor hatte Power dort gegen Crystal Palace (4:0) und Norwich City (6:0) jeweils selbst getroffen und im "Showdown" gegen Tottenham Hotspur, das im Wiederholungsspiel mit einer 2:3-Niederlage endete, belegte er die Position im linken Mittelfeld. Unter Allisons Nachfolger John Bond hatten sich die Leistungen auch in der Liga mittlerweile stabilisiert und zu Weihnachten 1981 standen die Citizens an der Tabellenspitze. Power laborierte zu dieser Zeit jedoch an einer Verletzung, die ihn knapp drei Monate außer Gefecht setzte und am Ende rutschte sein Klub noch auf den zehnten Platz ab.

Genesen von seinen Blessuren ging Power erwartungsvoll in die Saison 1982/83, die mit einem eigenen Tor zum 2:1-Auswärtssieg bei Norwich City und den zwischenzeitlich zweiten Platz Anfang November 1982 positiv begann. Dann jedoch setzte Power mit seinen Mannen zu einem "Sturzflug" an und gemeinsam endete die Saison auf einem Abstiegsplatz – auch ein Trainerwechsel zu Bonds vormaligem Assistenten John Benson hatte daran nichts ändern können. Dabei hatte Power kurz nach der Jahreswende sieben Spiele lang verletzungsbedingt gefehlt und in dieser Zeit waren die Citizens sieglos geblieben. Auch beim ersten Wiederaufstiegsversuch unter Bensons Nachfolger Billy McNeill war eine Verletzung von Power und sein Fehlen im gesamten April 1984 mit dafür verantwortlich, dass am Ende nur der vierte Platz erreicht und damit das Saisonziel verfehlt wurde.

Der zweite Anlauf im Jahr darauf gelang nach einem zunächst schleppenden Start. Nachdem Power im März 1985 beim 4:0-Heimsieg gegen Shrewsbury Town getroffen und das Team an die Tabellenspitze geführt hatte, ließen die Leistungen in der entscheidenden Phase jedoch nach und nur ein 5:1 am letzten Spieltag gegen Charlton Athletic sorgte für die Rückkehr ins englische Oberhaus über den dritten Platz in der zweiten Liga. Powers Beitrag dazu wurde so hoch eingeschätzt, dass er vereinsintern nach 1981 zum zweiten Mal die Auszeichnung zum besten Spieler erhielt. Zurück in der ersten Liga kam Power noch einmal zu 36 Ligaeinsätzen und das Saisonziel Klassenerhalt wurde nach einem turbulenten Jahr knapp auf dem 15. Platz gesichert. Dazu erreichte er das Endspiel des neu geschaffenen Full Members Cups, das dann mit 4:5 gegen den FC Chelsea verloren ging. Sein Auftritt gegen Newcastle United am 26. April 1986 war Powers letztes Pflichtspiel für Manchester City. Für eine Ablösesumme von 65.000 Pfund wechselte er im Juni 1986 zum FC Everton.

FC Everton (1986–1988)
In der Mannschaft von Trainer Howard Kendall war Power sofort Stammspieler, der in der Saison 1986/87 auf 52 Pflichtspiele kam. Dabei hatte seine Verpflichtung den Hintergrund, dass dringender Handlungsbedarf aufgrund einer Verletzungsmisere im Klub entstanden war, von der der mittlerweile 32-Jährige profitierte. In seinem ersten Jahr für die "Toffees" gewann er sofort die englische Meisterschaft und diente der Mannschaft neben ersten Einsätzen auf der Linksverteidigerposition auch in anderen Rollen. Es blieb jedoch bei diesem kurzen Ausflug in die Stammformation einer Spitzenmannschaft, denn im folgenden Jahr, das gleichzeitig sein letztes aktives Profijahr markierte, stand er unter Kendalls Nachfolger Colin Harvey nur noch zwölf Mal bei Meisterschaftspartien in der Startelf.

Nach seinem Rücktritt arbeitete er für den Klub weiter im Trainerstab, bevor er seine Stelle nach Kendalls Rückkehr im Jahr 1990 verlor. Sieben weitere Jahre später kehrte er zu Manchester City zurück, wo er erneut eine Stelle in der Nachwuchsarbeit annahm.

Titel/Auszeichnungen
 Englische Meisterschaft (1): 1987
 Charity Shield (2): 1986, 1987

Weblinks
 Profil beim FC Everton
 Statistische Daten der Post War English & Scottish Football League A - Z Player's Database

Einzelnachweise

Fußballspieler (Manchester City)
Fußballspieler (FC Everton)
Englischer Meister (Fußball)
Person (Manchester)
Brite
Engländer
Geboren 1953
Mann

Paul Power


Dumitru Enescu () a fost un inginer geofizician român, profesor universitar, ales membru de onoare al Academiei Române în 2011. Este cunoscut pentru contribuțiile sale majore, de pionierat, în dezvoltarea seismologiei în România.

Biografie

Date personale, studii și activitate profesională
Dumitru Enescu s-a născut la data de 21 iunie 1930 în satul Drajna de Sus, comuna Drajna, județul Prahova, fiul lui Neculai și Eugenia Enescu. A fost elev al Liceului teoretic "Sfinții Petru și Pavel" din Ploiești și, după absolvire, a urmat cursurile Institutului de Mine din București, Facultatea de Geologie (care mai târziu a devenit actuala Facultate de Geologie și Geofizică, din cadrul Universității din București), Secția de Geofizică, pe care a absolvit-o în anul 1954.

După absolvirea facultății, a fost angajat în martie 1955 la Întreprinderea de Prospecțiuni Geologice, unde a participat la lucrări de prospecțiuni geofizice. În ianuarie 1957 s-a transferat la Secția de Seismologie din cadrul Academiei Române. Datorită deselor schimbări organizatorice, Secția de Seismologie a funcționat în cadrul mai multor instituții: Academia Româna, Institutul de Geofizică Aplicată, Institutul Geologic al României, Centrul de Fizica Pământului, Institutul Național pentru Fizica Pământului (INFP), și, începând cu anul 1996, Institutul Național de Cercetare-Dezvoltare pentru Fizica Pământului (INCDFP). A ocupat pe rand toate posturile de la cercetător științific la cercetător științific principal gradul I, de la șef de laborator la șef de secție si apoi director si director general al INCDFP (intre anii 1990 si 2000).

Dumitru Enescu și-a luat doctoratul în anul 1961, cu teza de doctorat intitulată "Studiul și aplicațiile undelor seismice secundare înregistrate la unele cutremure din Vrancea", avându-l drept conducător științific pe Academicianul Profesor Gheorghe Demetrescu, membrii comisiei de doctorat fiind Academicianul Profesor Sabba Stefanescu, Profesor Gheorghe Petrescu, Profesor Ioan Curea și Conferențiar Gheorghe Chiș. A urmat obținerea docenței în anul 1972. A continuat specializarea în seismologie, în cadrul unor stagii de scurtă durată, la Institutul de Geofizică din Praga (în anul 1964) și la Institutul de Geofizică din Karlsruhe (în anul 1977).

În paralel cu activitatea științifică, Dumitru Enescu a depus de asemenea o asiduă activitate didactică. A ocupat postul de asistent universitar (1957–1962) și conferențiar universitar (1963–1969) în cadrul Facultății de Geologie din București. A fost atestat conducător de doctorat în anul 1967, în cadrul Facultății de Geologie, unde a activat în aceasta calitate pana în anul 1990, când a fost din nou atestat, dar în cadrul Institutului de Fizica Atomică (IFA) și apoi în cadrul Facultății de Fizică din București – Magurele, căpătând și calitatea de profesor universitar asociat. În calitate de conducător de doctorat, a condus elaborarea a mai bine de 30 de teze de doctorat.

În anul 1957 s-a căsătorit cu inginer Corina Enescu (fostă Andreescu), din comuna Beciu, județul Buzau; singurul copil, Bogdan Dumitru Enescu, este în prezent conferențiar universitar, specializarea Seismologie, la Universitatea din Kyoto, Japonia.

Dumitru Enescu s-a stins din viață la data de 12 august 2012.

Activitate științifică
Dumitru Enescu și-a desfășurat activitatea de cercetare în domeniul geofizicii, în special al seismologiei. Dintre contribuțiile sale majore se pot menționa: (1) primele cercetări asupra mecanismului de producere a cutremurelor din Vrancea și din întreaga zonă mediteraneană – alpină (de exemplu, [15] și [16] din lista de articole științifice), precum și contribuții teoretice privind fizica sursei seismice (de exemplu, [9] din lista de articole științifice), (2) elaborarea a două metode de estimare a energiei emise de focarele cutremurelor de pământ sub formă de unde seismice ([17] din lista de articole științifice), (3) elaborarea primului model probabilistic de predicție pe termen lung al cutremurelor vrâncene (de exemplu, [10] din lista de articole științifice) și contribuții importante în ceea ce privește hazardul si riscul seismic pe teritoriul României (de exemplu, [1] din lista de articole științifice), (4) contribuții privind structura crustei terestre si a litosferei din România (de exemplu, [4] din lista de articole științifice), (5) studiul influentei activității seismice vrâncene asupra amplasamentului centralei nuclearo-electrice de la Cernavodă (de exemplu, [7] din lista de articole științifice) și (6) elaborarea unei metode originale de determinare a efectului seismic al exploziilor controlate din industrie asupra construcțiilor ([14] din lista de articole științifice).

Rezultatele îndelungatei sale activități științifice se regăsesc în cele peste 180 de lucrări publicate în reviste de specialitate din țară și de peste hotare, precum și în cinci volume de sinteză, dintre care pot fi menționate: "Prospecțiuni geofizice" (în colaborare, Editura Tehnica, 1965) și "Cutremurul de pământ din România din 4 martie 1977" (în colaborare, Editura Academiei Române, 1982). Dumitru Enescu a fost un colaborator apropiat al profesorului Liviu Constantinescu, împreuna cu care a elaborat și o carte, "Cutremurele din Vrancea în cadru științific și tehnologic" (Editura Academiei Române, 1985).

Distincții
Valoarea cercetărilor sale este atestată și de premiile cu care a fost distins - premiile Academiei Române, "Grigore Cobălcescu", în anul 1972, și "Aurel Vlaicu", în anul 1983, premiul Societății Geofizicienilor Exploratori (The Society of Exploration Geophysicists), pentru contribuții remarcabile la cercetarea geofizica, și diploma de excelență acordată de Agenția Națională pentru Știință, Tehnologie și Inovare, în anul 2000. De asemenea, a fost distins de către Președintele României cu Ordinul Național "Pentru Merit" în grad de Cavaler, în anul 2000.

Dumitru Enescu a fost membru în Comisia Europeană de Seismologie, în Consiliul de Guvernare a Centrului Internațional de Seismologie din Marea Britanie și în Comitetul Național de Geodezie și Geofizică din România. În noiembrie 2011, Academia Română l-a primit pe Dumitru Enescu printre membrii săi de onoare.

Publicații (selecție)

Monografii

 Enescu, D., Almășan, B., Seismologia exploziilor controlate din industrie. Editura Tehnică, București, 1987, (323 pagini).
Constantinescu, L., Enescu, D., Cutremurele din Vrancea în cadru științific și tehnologic. Editura Academiei Române, București, 1985, (230 pagini).
Cornea, I., Enescu, D., Lăzărescu, V., Mișicu, M., Polonic, G., Radu, C., Cutremurul de pământ din România de la 4 martie 1977, Capitolele II-IV (Studiile seismologice și seismotectonice), Editura Academiei Române, București, 1982 (238 pagini).
Enescu, D., Orban T., Prospecțiuni seismice. Curs litografiat, Universitatea din București; 1979 (297 pagini).
Enescu, D., Candea, I., Constantinescu, P. si Barbu, M., Prospecțiuni geofizice, Volumul II, Partea a doua, Editura Tehnică, București, 1965 (343 pagini).

Articole științifice

Enescu D., Marmureanu A., Enescu B.D., A procedure for determining the seismic hazard generated by Vrancea earthquakes. II Atenuation Curves. Romanian Reports in Physics, 56, 147-159, 2004.
Enescu, B.D., Enescu, D., Constantin A.P., The use of electromagnetic data for short-term prediction of Vrancea (Romania) earthquakes. Earth, Planets and Space, 51, 1, 1099-1117, doi:10.1186/BF03351584, 1999.
 Enescu, D., Enescu, B.D., Possible cause-effect relationships between Vrancea earthquakes and some global geophysical phenomena. Natural Hazards, 19, 233-245, doi:10.1023/A:1008095708316, 1999.
 Wenzel, F., Achauer, U., Enescu, D., Kissling, E., Russo, R., Mocanu, V., Musacchio, G., Detailed and final stage of plate break-off is target of study in Romania. EOS, Transactions American Geophysical Union, 79, 48, 585-594, doi:10.1029/98EO00427, 1998.
 Enescu, D., Popescu, E., Radulian M., Source characteristics of the Sinaia (Romania) sequence of May-June, 1993. Tectonophysics, 261, 39-49, doi:10.1016/0040-1951(96)00055-8, 1996.
 Novikova, O.V., Vorobieva, I.A., Enescu, D., Radulian, M., Panza, G.F., Prediction of the strong earthquakes in Vrancea, Romania, using the CN Algorithm. Pure and Applied Geophysics (PAGEOPH), 145, 278-296, doi:10.1007/BF00880271, 1995.
Enescu, D., Contributions to the knowledge of the Vrancea seismic activity influence in the Cernavoda (Romania) site area. Proceedings of the XXIV-th General Assembly of the ESC, 1771-1780, Athens, 1994.
 Fuchs, K., Bonjer, K.P., Bock, G., Cornea, I., Radu, C., Enescu, D., et al. The Romanian Earthquake of March 4, 1977. Aftershocks and migration of seismic activity. Tectonophyiscs, 53, 225-247, doi:10.1016/0040-1951(79)90068-4, 1979.
 Enescu, D., Georgescu, A., Contributions to the spectral theory of seismic sources and determination of the parameters of earthquake foci. Pure and Applied Geophysics, 114, 71-710, doi:10.1007/BF00875662, 1976.
 Enescu, D., Marza, V., Zamarca, I., Contributions to the statistical prediction of Vrancea earthquakes, Revue Roumaine de Geophysique, 18, 67-79, 1974.
 Enescu, D., Georgescu, A., Zamarca, I., Theoretical model for the process of underground explosions. Contributions to the problem of the separation of large explosions from earthquakes, Bulletin of the Seismological Society of America, 63, 3, 765-785, doi:10.1785/BSSA0630030765, 1973.
 Enescu, D., Georgescu, A., Marza, V., Simulations of the underground explosions generating longitudinal and transverse waves. Bulletin of the Seismological Society of America, 63, 3, 753-763, doi:10.1785/BSSA0630030753, 1973.
 Enescu, D., Candea, A.I., Modèles analogiques électroniques du processus d'explosion dans les roches. Geophysical Prospecting, 19, 3, 501-518, doi:10.1111/j.1365-2478.1971.tb00613.x, 1971.
Enescu D., Contributii la metodica de determinare a efectului seismic al exploziilor asupra constructiilor. Studii si cercetari de Geofizica, 5, 1, 71-77, 1967.
 Constantinescu, L., Ruprechtova, Enescu, D., Mediterranean-Alpine earthquake mechanisms and their seismotectonic implications. Geophysical Journal of Royal Astronomical Society, 10, 347-368, doi:10.1111/j.1365-246X.1966.tb03063.x, 1966.
 Constantinescu, L., Enescu, D., Fault plane solutions for some Romanian earthquakes and their seismotectonic implications. Journal of Geophysical Research, 69, 667-674, doi:10.1029/JZ069i004p00667, 1964.
Enescu, D., On the determination of the seismic energy radiated by earthquake foci (in Russian). Izvestia Akad. Nauk, SSSR, ser. Fizica Zemli, 10, 1472-1475, 1961.

Cărți de popularizare a științei

 Enescu, D., Coordonator si realizator al Capitolului "Științele Pământului" din "Enciclopedia Marilor Descoperiri, Invenții, Teorii si Sisteme din istoria si cultura romanească de-a lungul timpului". Editura Geneze, București, 2002.
Enescu, D., Moldovan, I-A, si Enescu, B.D., Cutremurele de pământ pe înțelesul tuturor. Caracteristici si previziuni. Editura Piatra Craiului, 2000, (140 pagini).

Note

Legături externe

 Membrii Academiei Române din 1866 până în prezent – E

Nașteri în 1930
Decese în 2012
Geofizicieni români
Membri de onoare ai Academiei Române
Seismologi români

Dumitru Enescu


Placa da Gronelândia é uma suposta placa tectónica limitada a oeste pelo Estreito de Nares (uma provável falha transformante); a sudoeste pela falha transformante de Ungava subjacente ao Estreito de Davis; a sudeste pela Dorsal Mesoatlântica; e a nordeste pela Dorsal de Gakkel, com a sua fronteira noroeste ainda sendo mal conhecida. O cratão da Gronelândia é composta por algumas das rochas mais antigas da Terra. O cinturão de rochas verdes de Isua, no sudoeste da Gronelândia contém as rochas conhecidas mais antigas da Terra, datadas de 3,7 a 3,8 mil milhões de anos.

Descrição
O embasamento pré-câmbrico da Gronelândia foi uma parte integrante do escudo Laurentiano que presentemente está no centro da Placa Norte-Americana. A Gronelândia foi formada em dois estágios, ou fases, de atividade do rift que originou a separação da Gronelândia do corpo principal da massa continental da América do Norte.

A primeira fase, durante o Cretáceo, formou a baía de Baffin, a qual é a extensão noroeste e término do sistema de rift do Atlântico Norte e Mar do Labrador que se começou a formar 140 milhões de anos atrás, durante o Cretáceo.

Na segunda fase, o Mar do Labrador começou a abrir há 69 milhões de anos, durante Maastrichtiano, mas a expansão do fundo oceânico parece ter cessado no Oligoceno, há 30–35 milhões de anos.

Foram propostas correlações entre unidades tectónicas no Canadá e na Gronelândia; no entanto, o ajuste pré-expansão da Gronelândia para o Canadá ainda não é conhecido com precisão. Um processo de rifting transtensivo sinistral que foi proposto com zonas de transferência móvel de tendência NNE-SSW ajusta a Gromelândia ao Canadá diretamente na direção sul.

Desde o fechamento da fenda entre o Atlântico Norte e o Mar de Labrador, a Gronelândia moveu-se mais ou menos em conjunto com a América do Norte; portanto, há dúvidas se a placa da Groenlândia ainda deve ser considerada uma placa separada.

A área entre a Gronelândia e a ilha de Baffin é, no entanto, sismicamente muito ativa, sendo o local do epicentro  de muitos sismos, incluindo um terremoto de magnitude 7,3 em 1933. Não foi ainda, contudo, possível correlacionar a sismicidade com estruturas geológicas particulares ou anomalias geofísicas. Tem sido sugerido que a sismicidade na região está relacionada com as tensões associadas com a subida isostática pós-glacial daquela região.

Ver também

Referências

Placas tectônicas
Geologia do Oceano Atlântico
Geologia da América do Norte

Placa da Gronelândia


أيهة هي إحدى القرى اللبنانية من قرى قضاء راشيا في محافظة البقاع.

المراجع

مدن لبنان

أيهة


In category theory, a branch of mathematics, a pushout (also called a fibered coproduct or fibered sum or cocartesian square or amalgamated sum) is the colimit of a diagram consisting of two morphisms f : Z → X and g : Z → Y with a common domain. The pushout consists of an object P along with two morphisms X → P  and Y → P that complete a commutative square with the two given morphisms f and g. In fact, the defining universal property of the pushout (given below) essentially says that the pushout is the "most general" way to complete this commutative square. Common notations for the pushout are  and .

The pushout is the categorical dual of the pullback.

Universal property
Explicitly, the pushout of the morphisms f and g consists of an object P and two morphisms i1 : X → P and i2 : Y → P such that the diagram

commutes and such that (P, i1, i2) is universal with respect to this diagram. That is, for any other such triple (Q, j1, j2) for which the following diagram commutes, there must exist a unique u : P → Q also making the diagram commute:

As with all universal constructions, the pushout, if it exists, is unique up to a unique isomorphism.

Examples of pushouts
Here are some examples of pushouts in familiar categories. Note that in each case, we are only providing a construction of an object in the isomorphism class of pushouts; as mentioned above, though there may be other ways to construct it, they are all equivalent.

Suppose that X, Y, and Z as above are sets, and that f : Z → X and g : Z → Y are set functions. The pushout of f and g is the disjoint union of X and Y, where elements sharing a common preimage (in Z) are identified, together with the morphisms i1, i2  from X and Y, i.e.  where ~ is the finest equivalence relation (cf. also this) such that f(z) ~ g(z) for all z in Z. In particular, if X and Y are subsets of some larger set W and Z is their intersection, with f and g the inclusion maps of Z into X and Y, then the pushout can be canonically identified with the union .
A specific case of this is the cograph of a function.  If  is a function, then the cograph of a function is the pushout of  along the identity function of . In elementary terms, the cograph is the quotient of  by the equivalence relation generated by identifying  with . A function may be recovered by its cograph because each equivalence class in  contains precisely one element of . Cographs are dual to graphs of functions since the graph may be defined as the pullback of  along the identity of .
The construction of adjunction spaces is an example of pushouts in the category of topological spaces. More precisely, if Z is a subspace of Y and g : Z → Y is the inclusion map we can "glue" Y to another space X along Z using an "attaching map" f : Z → X. The result is the adjunction space , which is just the pushout of f and g.  More generally, all identification spaces may be regarded as pushouts in this way.
A special case of the above is the wedge sum or one-point union; here we take X and Y to be pointed spaces and Z the one-point space. Then the pushout is , the space obtained by gluing the basepoint of X to the basepoint of Y.
In the category of abelian groups, pushouts can be thought of as "direct sum with gluing" in the same way we think of adjunction spaces as "disjoint union with gluing". The zero group is a subgroup of every group, so for any abelian groups A and B, we have homomorphisms  and . The pushout of these maps is the direct sum of A and B. Generalizing to the case where f and g are arbitrary homomorphisms from a common domain Z, one obtains for the pushout a quotient group of the direct sum; namely, we mod out by the subgroup consisting of pairs (f(z), −g(z)). Thus we have "glued" along the images of Z under f and g. A similar approach yields the pushout in the category of R-modules for any ring R.
In the category of groups, the pushout is called the free product with amalgamation. It shows up in the Seifert–van Kampen theorem of algebraic topology (see below).
In CRing, the category of commutative rings (a full subcategory of the category of rings), the pushout is given by the tensor product of rings  with the morphisms  and  that satisfy . In fact, since the pushout is the colimit of a span and the pullback is the limit of a cospan, we can think of the tensor product of rings and the fibered product of rings (see the examples section) as dual notions to each other. In particular, let A, B, and C be objects (commutative rings with identity) in CRing and let f : C → A and g : C → B be morphisms (ring homomorphisms) in CRing. Then the tensor product is:

See Free product of associative algebras for the case of non-commutative rings.
In the multiplicative monoid of positive integers , considered as a category with one object, the pushout of two positive integers m and n is just the pair , where the numerators are both the least common multiple of m and n. Note that the same pair is also the pullback.

Properties
Whenever the pushout A ⊔C B exists, then B ⊔C A exists as well and there is a natural isomorphism A ⊔C B ≅ B ⊔C A.
In an abelian category all pushouts exist, and they preserve cokernels in the following sense: if (P, i1, i2) is the pushout of f : Z → X and g : Z → Y, then the natural map coker(f) → coker(i2) is an isomorphism, and so is the natural map coker(g) → coker(i1).
There is a natural isomorphism (A ⊔C B) ⊔B D ≅ A ⊔C D. Explicitly, this means:
 if maps f : C → A, g : C → B and h : B → D are given and
 the pushout of f and g is given by i : A → P and j : B → P, and
 the pushout of j and h is given by  k : P → Q and l : D → Q,
 then the pushout of f and hg is given by ki : A → Q and  l : D → Q.
Graphically this means that two pushout squares, placed side by side and sharing one morphism, form a larger pushout square when ignoring the inner shared morphism.

Construction via coproducts and coequalizers
Pushouts are equivalent to coproducts and coequalizers (if there is an initial object) in the sense that:
 Coproducts are a pushout from the initial object, and the coequalizer of f, g : X → Y is the pushout of [f, g] and [1X, 1X], so if there are pushouts (and an initial object), then there are coequalizers and coproducts;
 Pushouts can be constructed from coproducts and coequalizers, as described below (the pushout is the coequalizer of the maps to the coproduct).

All of the above examples may be regarded as special cases of the following very general construction, which works in any category C satisfying:
 For any objects A and B of C, their coproduct exists in C;
 For any morphisms j and k of C with the same domain and the same target, the coequalizer of j and k exists in C.

In this setup, we obtain the pushout of morphisms f : Z → X and g : Z → Y by first forming the coproduct of the targets X and Y. We then have two morphisms from Z to this coproduct. We can either go from Z to X via f, then include into the coproduct, or we can go from Z to Y via g, then include into the coproduct. The pushout of f and g is the coequalizer of these new maps.

Application: the Seifert–van Kampen theorem

The Seifert–van Kampen theorem answers the following question. Suppose we have a path-connected space X, covered by path-connected open subspaces A and B whose intersection D is also path-connected. (Assume also that the basepoint * lies in the intersection of A and B.) If we know the fundamental groups of A, B, and their intersection D, can we recover the fundamental group of X? The answer is yes, provided we also know the induced homomorphisms

and

The theorem then says that the fundamental group of X is the pushout of these two induced maps. Of course, X is the pushout of the two inclusion maps of D into A and B. Thus we may interpret the theorem as confirming that the fundamental group functor preserves pushouts of inclusions. We might expect this to be simplest when D is simply connected, since then both homomorphisms above have trivial domain. Indeed, this is the case, since then the pushout (of groups) reduces to the free product, which is the coproduct in the category of groups. In a most general case we will be speaking of a free product with amalgamation.

There is a detailed exposition of this, in a slightly more general setting (covering groupoids) in the book by J. P. May listed in the references.

References
May, J. P. A concise course in algebraic topology. University of Chicago Press, 1999.
An introduction to categorical approaches to algebraic topology: the focus is on the algebra, and assumes a topological background.

  Ronald Brown  "Topology and Groupoids"  pdf available Gives an account of some categorical methods in topology, use the fundamental groupoid on a set of base points to give a generalisation of the Seifert-van Kampen Theorem.

 Philip J. Higgins, "Categories and Groupoids"  free download Explains some uses of groupoids in group theory and topology.

References

External links
pushout in nLab

Limits (category theory)

Pushout (category theory)