# 线性无关

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}$ ## 定义

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}$ $\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} \,$ （注意右边的零是V的零向量，不是K的零元。）

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0，

V中的一个无限集，如果它任何一个有限子集都是线性无关，那么原来的无限集也是线性无关。

## 相关性

• 含有零向量的向量组，必定线性相关。

• 含有两个相等向量的向量组，必定线性相关。

• 若一向量组相关，则加上任意个向量后，仍然线性相关；即局部线性相关，整体必线性相关。
• 整体线性无关，局部必线性无关。
• 向量个数大于向量维数，则此向量组线性相关。
• 若一向量组线性无关，即使每一向量都在同一位置处增加一分量，仍然线性无关。
• 若一向量组线性相关，即使每一向量都在同一位置处减去一分量，仍然线性相关。
• $a_{1},a_{2},...,a_{s}$ 线性无关，而$b,a_{1},a_{2},...,a_{s}$ 线性相关，则$b$ 必可由$a_{1},a_{2},...,a_{s}$ 线性表示，且表示系数唯一。
• 有向量组${\textrm {I}}\{a_{1},a_{2},...,a_{s}\}$ ${\textrm {II}}\{b_{1},b_{2},...,b_{t}\}$ ，其中$t>s$ ，且${\textrm {II}}$ 中每个向量都可由${\textrm {I}}$ 线性表示，则向量组${\textrm {II}}$ 必线性相关。即向量个数多的向量组，若可被向量个数少的向量组线性表示，则向量个数多的向量组必线性相关。
• 若一向量组$b_{1},b_{2},...,b_{t}$ 可由向量组$a_{1},a_{2},...,a_{s}$ 线性表示，且$b_{1},b_{2},...,b_{t}$ 线性无关，则$t\leq s$ 。即线性无关的向量组，无法以向量个数较少的向量组线性表示。

## 例子1

V = Rn，考虑V内的以下元素：

${\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}$ e1e2、……、en是线性无关的。

### 证明

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=0.\,\!$ $a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\,\!$ ## 例子2

V是实变量t的所有函数向量空间。则V内的函数ete2t是线性无关的。

aet + be2t = 0

bet = −a

## 例子3

R4内的以下向量是线性相关的。

${\begin{matrix}\\{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}\\\\\end{matrix}}$ ### 证明

${\begin{matrix}\\\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.\end{matrix}}$ {\begin{aligned}\lambda _{1}&\;+7\lambda _{2}&&-2\lambda _{3}&=0\\4\lambda _{1}&\;+10\lambda _{2}&&+\lambda _{3}&=0\\2\lambda _{1}&\;-4\lambda _{2}&&+5\lambda _{3}&=0\\-3\lambda _{1}&\;-\lambda _{2}&&-4\lambda _{3}&=0\\\end{aligned}} {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\lambda _{1}\\\lambda _{2}&=(-\lambda _{1})/3\\\lambda _{3}&=(-2\lambda _{1})/3.\\\end{aligned}}
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