# 量子力学

（重定向自量子物理學 1927年第五次索尔维会议，此次會議主題為「電子光子」，世界上最主要的物理學家聚集在一起討論新近表述的量子理論。

19世紀末，人們發現舊有的經典理論無法解釋微观系统，於是經由物理學家的努力，在20世紀初創立量子力学，解釋了這些現象。量子力學從根本上改變人類對物質結構及其相互作用的理解。除了透过广义相对论描写的引力外，迄今所有基本相互作用均可以在量子力学的框架内描述（量子场论）。

## 关键现象、歷史背景

### 黑体辐射

1900年12月4日，後來被定為量子力學的誕辰，马克斯·普朗克柏林科學院發表報告，通過將維恩定律加以改良，又將波茲曼熵公式重新詮釋，他得出了一个与实验数据完全吻合的普朗克公式来描述黑体辐射，但是在诠释这个公式时，他将在物体裡發射與吸收輻射的原子視為微小的量子谐振子，並且假设这些量子谐振子的能量不是连续的，而是离散的數值，並且單獨量子谐振子吸收和發射的辐射能是量子化的。:第2章:58-66:364-372

### 光电效应

$E=h\nu$

$h\nu =E_{\mbox{w}}+{\frac {1}{2}}mv^{2}$

### 原子结构

20世纪初，卢瑟福模型被公认为正确的原子模型。这个模型假设带负电荷的电子，像行星围绕太阳运转一样，围绕带正电荷的原子核运转。在这个过程中库仑力离心力必须平衡。

1913年，尼尔斯·玻尔提出了玻尔模型，这个模型引入量子化的概念來解釋原子结构和光谱线。玻尔认为，电子只能在对应某些特定能量值$E_{n}$ 的轨道上运動。假如一个电子，从一个能量比较高的轨道（$E_{n}$ ），躍遷到一个能量比较低的轨道（$E_{m}$ ）上时，它发射的光的频率为

$\nu ={\frac {E_{n}-E_{m}}{h}}$

### 物质波

1924年，路易·德布罗意發表博士論文提出，粒子拥有波动性，其波长$\lambda _{Broglie}$ 与动量$p$ 成反比，以方程式表示為

$\lambda _{Broglie}={\frac {h}{p}}$

1927年，克林顿·戴维森雷斯特·革末做實驗將低能量電子入射於鎳晶體，然後測量對於每一個角度的散射強度。從分析實驗數據，他們發現，假設加速電勢為5.4eV，則在50°之處會出現強勁反射，符合威廉·布拉格於1913年所提出的 X射線繞射性質。這驚人的結果證實電子是一種物質波，也證實了物質波假說。這實驗就是著名的戴維森－革末實驗:64-68

• 打在屏幕上的电子是点状的，这个现象与一般感受到的点状的粒子相同。[b]
• 电子打在屏幕上的位置，有一定的分布概率，随时间可以看出双缝衍射所特有的条纹图像。假如一个光缝被关闭的话，所形成的图像是单缝特有的波的分布概率。

## 数学基础

### 基礎公設

1. 量子態公設：量子系统在任意时刻的状态（量子態）可以由希尔伯特空间 ${\mathcal {H}}$  中的態矢量 $|\psi \rangle$  来設定，這態矢量完備地給出了這量子系統的所有信息。這公設意味著量子系統遵守态叠加原理，假若$|\psi _{1}\rangle$ $|\psi _{2}\rangle$ 屬於希尔伯特空间${\mathcal {H}}$ ，則$c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle$ 也屬於希尔伯特空间${\mathcal {H}}$
2. 時間演化公設： 态矢量為 $|\psi (t)\rangle$  的量子系統，其动力学演化可以用薛定谔方程表示，$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle$  ；其中，哈密顿算符 ${\hat {H}}$  对应於量子系统的总能量，$\hbar$ 約化普朗克常數。根據薛定谔方程，假設時間從$t_{0}$ 流易到$t$ ，則態向量從$|\psi (t_{0})\rangle$ 演化到 $|\psi (t)\rangle$  ，這過程以方程式表示為$|\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$  ；其中，${\hat {U}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }$  是時間演化算符。
3. 可觀察量公設：每個可观察量 $A$  都有其對應的厄米算符 ${\hat {A}}$  ，而算符${\hat {A}}$ 的所有本徵矢量共同組成一個完備基底
4. 塌縮公設：對於量子系統測量某個可觀察量 $A$  ，這動作可以數學表示為將其對應的厄米算符${\hat {A}}$  作用於量子系統的態矢量 $|\psi \rangle$  ，測量值只能為厄米算符${\hat {A}}$  的本徵值。在測量後，假設測量值為$a_{i}$ ，則量子系統的量子態立刻會塌縮為對應於本徵值$a_{i}$ 的本徵態 $|e_{i}\rangle$
5. 波恩公設：對於這測量，獲得本徵值 $a_{i}$  的概率為量子態$|\psi \rangle$ 處於本徵態$|e_{i}\rangle$ 概率幅的絕對值平方。[c]

### 量子態與量子算符

$|\psi \rangle =\alpha |\uparrow \rangle +\beta |\downarrow \rangle$

${\hat {S}}_{z}|\uparrow \rangle =+{\tfrac {\hbar }{2}}|\uparrow \rangle$
${\hat {S}}_{z}|\downarrow \rangle =-{\tfrac {\hbar }{2}}|\downarrow \rangle$

## 主要論題

### 测量过程

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\neq 0$

### 不确定性原理

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$

$k=2\pi N/L$

$\Delta k=2\pi /L$

$\Delta P=\hbar \Delta k={\frac {h}{L}}$

$\Delta P\Delta X\approx h/2$

## 哲学观点

 未解決的物理學問題：量子理論的描述怎樣成為做實驗所觀查到的大自然實在，這包括量子態疊加、波函數塌縮、量子去相干等等？換句話說，這是一種測量問題，造成波函數塌縮為確定態的量子測量所倚賴的機制為何？ ## 註釋

1. ^ 1922年，阿尔伯特·爱因斯坦评价当时对于超导的理论解释：“目前我们对于复合系统的量子力学的深远意义仍一无所知。在这些模糊的概念的基础上，我们距离构造出（能描述超导现象的）理论的目标仍很遥远。:86
2. 雖然每一點表示一個電子抵達探測屏，這事實並不能表現出電子的粒子性，因為探測器是由離散原子組成的，這可以詮釋為電子波與離散原子彼此之間的相互作用。
3. ^ 使用可觀察量 $A$ 的基底$e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\$ ，量子態 $|\psi \rangle$ 可以表示為$|\psi \rangle =\sum _{j}c_{j}|e_{j}\rangle$ ；其中$c_{j}$ 是量子態$|\psi \rangle$ 處於本徵態$|e_{j}\rangle$ 概率幅。根據波恩定則，對於這測量，獲得本徵值 $a_{i}$  的概率為 $|\langle e_{i}|\psi \rangle |^{2}=|c_{i}|^{2}$
4. ^ 反對稱性波函數為 $[\sin(x)\sin(3y)-\sin(3x)\sin(y)]/{\sqrt {2}},\qquad 0\leq x,y\leq \pi$  。注意到在 $x=y$  附近，概率幅絕對值很微小，兩個費米子趨向於彼此互相遠離對方。
5. ^ 對稱性波函數為 $-[\sin(x)\sin(3y)+\sin(3x)\sin(y)]/{\sqrt {2}},\qquad 0\leq x,y\leq \pi$  。注意到在 $x=y$  附近，概率幅絕對值較大，兩個費米子趨向於彼此互相接近對方。
6. ^ 玻恩詮釋波函數為在某時間、某位置找到粒子的概率幅。這是一種粒子論。波函數也可以詮釋為「在某時間、某位置發生相互作用的概率輻」。這較寬鬆的詮釋方式可以適用於波動論或粒子論。

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