# 2010届高三数学专题讲座复习2.doc

1．导数概念的理解． 2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值． 复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则， 接下来对法则进行了证明。 3．要能正确求导，必须做到以下两点： （1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。 （2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。 4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： (1）适当选定中间变量，正确分解复合关系； （2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量 求导） ； （3）把中 间变量代回原自变量（一般是 x）的函数。 也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系 y=f(μ )，μ =f(x)；然后将已知函数 对中间变量求导 ( y ' ? ) ，中间变量对自变量求导 (? ' x ) ；最后求 y' ? ?? ' x ，并将中间变量代回为自变量的函 数。整个过程可简记为分解――求导――回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应 地多次用中间变 量。

?x 2 例 1． y ? f ( x) ? ? ?ax ? b ?x 2 y ? f ( x ) ? 思路： ? ?ax ? b x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

b?

f ( x) ? 1 在 x ? 1 处可导，必连续 lim ?
x ?1

x ?1?

lim f ( x) ? a ? b

f (1) ? 1
?x ? 0

∴ a ?b ?1

lim?

?y ?2 ?x

?x ? 0

lim?

?y ?a ?x

∴ a?2

b ? ?1

?h ?0

f (a ? h 2 ) ? f (a) f (a ? 3h) ? f (a ? h) ； （2） lim ?h ?0 2h h

h ?0

f (a ? 3h) ? f (a ? h) f (a ? 3h) ? f (a) ? f (a) ? f (a ? h) ? lim h ?0 2h 2h

f (a ? 3h) ? f (a) f ( a ) ? f ( a ? h) ?l i m ?l i m h ?0 h ? 0 2h 2h 3 f (a ? 3h) ? f (a) 1 f ( a ? h) ? f ( a ) ? l i m ? l i m h ? 0 h ? 0 2 3h 2 ?h 3 1 ? f ' (a) ? f ' (a) ? 2b 2 2
（2） lim
h ?0

? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim? h? h ?0 h h2 ? ?

f (a ? h 2 ) ? f (a) ?l i m ?l i m h ? f ' (a ) ? 0 ? 0 h ?0 h ?0 h2

[来源:Z.xx.k.Com]

f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f ?( x) ?x ?0 ?x f (? x ? ?x) ? f (? x) f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?(? x) ? lim ? lim ?x ?0 ? x ? 0 ? ?x ? ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ? ? ? f ?( x) ?x ?0 ??

f ( ? x) ? f ( x)

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证： f ? ? [ f (? x)]? ? f ?(? x) ? (? x)? ? ? f ?( x) ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 例 4． （1）求曲线 y ?

2x 在点（1，1）处的切线方程； x ?1 t ?1 2 （2 ）运动曲线方程为 S ? 2 ? 2t ，求 t=3 时的速度。 t
2

p( x0 , y0 ) 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数 S(t)对时间的导数。

[来源:学科网 ZXXK]

2( x 2 ? 1) ? 2 x ? 2 x 2 ? 2 x 2 ， ? 2 ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1) 2

[来源:Zxxk.Com]

2?2 ? 0 ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率 k=0 4 2x 因此曲线 y ? 2 在（1，1）处的切线方程为 y=1 x ?1 y ' | x ?1 ?
（2） S ' ? ?

t 2 ? 2t (t ? 1) 1 2 ? t ? 1? 2 ? ? 4t ? ? 2 ? 3 ? 4t ' ? ( 2 t )' ? 4 2 t t t ? t ?

1 2 26 S ' | t ?3 ? ? ? ? 12 ? 11 。 9 27 27

3
[来源:学科网]

1 2 x ? 2x ? 5 2

（2） y ?

x2 ?1 x

（3） y ?

k2 ? x (k ? 0) x

（4） y ? 2 x 2 ? ln ?

2 解： （1） y ? ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)(x ? 1) x ? ( ?? , ?

2 ) ? (1 , ? ?) 时 y ? ? 0 3

x ? (?

2 , 1) y ? ? 0 3
（2） y ? ?

∴ ( ?? , ?

2 2 ) ， (1 , ? ?) ? ( ? , 1) ? 3 3

x2 ?1 x2 k2 x2

∴ (?? , 0) ， (0 , ? ?) ?

（3） y ? 1 ?

∴ x ? (?? , ? k ) ? (k , ? ?) ∴ (?? , ? k ) ， (k , ? ?) ? （4） y? ? 4 x ?

y? ? 0

x ? (?k , 0) ? (0 , k ) y ? ? 0

(?k , 0) ， (0 , k ) ?

1 4x2 ?1 ? x x
?

1 x ? (0 , ) y ? ? 0 2

1 x ? ( , ? ?) y ? ? 0 2

?

x2 x2 x ? (0 , ? ?) （1） x ? ? ln(1 ? x) ? x ? 2 2(1 ? x)
（2） sin x ?

2x

?

x ? (0 ,

?
2

)

（3） x ? sin x ? tan x ? x x ? (0 ,

?
2

)

x2 ) f (0) ? 0 2
∴ x ? (0 , ? ?)

f ?( x) ?

1 x2 ?1 ?1? x ? ?0 1? x x ?1

f ( x) ? 0 恒成立 g (0) ? 0

x2 ∴ ln(1 ? x) ? x ? 2

g ( x) ? x ?

x2 ? ln(1 ? x) 2(1 ? x)

g ?( x) ? 1 ?

4x 2 ? 4x ? 2x 2 1 2x 2 ? ? ?0 1 ? x 4(1 ? x 2 ) 4(1 ? x) 2
∴ x ? (0 , ? ?) x ?

∴ g ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上 ? （2）原式 ?

x2 ? ln(1 ? x) ? 0 恒成立 2(1 ? x)
x ? tan x ? 0
[来源:Zxxk.Com]

sin x 2 ? ? 令 f ( x) ? sin x / x x ? (0 , ) cos x ? 0 x ? 2 cos x( x ? tan x) ? ? f ?( x) ? 0 (0 , ) ? ∴ f ?( x) ? ∴ x ? (0 , ) 2 2 2 x ? 2 2x f( )? ∴ sin x ? 2 ? ?
（3）令 f ( x) ? tan x ? 2 x ? sin x

f (0) ? 0

f ?( x) ? sec 2 x ? 2 ? cos x ?
x ? (0 ,

(1 ? cos x)(cosx ? sin 2 x) cos2 x

?

2 ∴ tan x ? x ? x ? sin x

)

f ?( x) ? 0

∴ (0 ,

?
2

)?

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

( x n )' ? nxn?1 ，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。

； 当 x≠1 时，

∵ 两边都是关于 x 的函数，求导得

（2）∵ 两边都是关于 x 的函数，求导得 令 x=1 得 ， 即 例 8．设 a ? 0 ，求函数 f ( x) ?

， 。

x ? ln(x ? a)(x ? (0,??) 的单调区间.

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 .

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0
2 2 （i）当 a ? 1 时，对所有 x ? 0 ，有 x ? (2a ? 4) ? a ? 0 .

2 2 （ii）当 a ? 1 时，对 x ? 1 ，有 x ? (2a ? 4) x ? a ? 0 ，

[来源:学科网]

2 2 （iii）当 0 ? a ? 1 时，令 f ?( x) ? 0 ，即 x ? (2a ? 4) x ? a ? 0 .

2 2

? y ? x 2 ? 4, ? ? y ? x ? 2,

[来源:学科网]

（2）由 y′=2x，则 y' | x??2 ? ?4 ， y'| x?3 ? 6 。设两直线的夹角为θ ，根据两直线的夹角公式，

tan? ?

?4?6 10 ? 1 ? (?4) ? 6 23

10 23

ex a ? 是 R 上的偶函数。 a ex

（I）求 a 的值； （II）证明 f ( x) 在 (0,??) 上是增函数。 解： （I）依题意，对一切 x ? R 有 f (? x) ? f ( x) ，即 ∴ (a ?

e?x a 1 ? ? x ? x ? ae x ， a e ae

1 x 1 )( e ? x ) ? 0 对一切 x ? R 成立， a e 1 2 由此得到 a ? ? 0 ， a ? 1 ， 又∵ a ? 0 ，∴ a ? 1 。 a
（II）证明：由 f ( x) ? e ? e
x ?x x ?x ?x 2x ，得 f ?( x) ? e ? e ? e (e ? 1) ，

?x

2x

? 1) ? 0 ，此时 f ?( x) ? 0 。∴ f ( x) 在 (0,??) 上是增函数。

2

[来源:Z。xx。k.Com]

? 3?
2

)

B (π ,2π )

C (

3? 5? , ) 2 2

D (2π ,3π )

[来源:学科网]

2． （全国卷 22） （本小题满分 14 分）已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx, (i)求函数 f(x)的最大值；(ii)设 0<a<b,证明 0<g(a)+g(b)-2g( 3.(天津卷 9)函数 y ? 2 sin( (A) [0,
a?b )<(b-a)ln2. 2

?
3

]

? 2 x)( x ? [0, ? ] )为增函数的区间是 6 ? 7? ? 5? 5? , ] ] ,? ] (B) [ (C) [ , (D) [ 12` 12 3 6 6

?

3 2 4.（天津卷 20） （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值。

(I)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值； (II)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线，求此切线方程。 （江苏卷 10）函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( (A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19 )

（浙江卷 11）设 f '(x)是函数 f(x)的导函数，y=f '(x)的图象 如右图所示，则 y=f(x)的图象最有可能的是

y

[来源:学§科§网]

O

1

2

x

y

y

y

y

O 1

2

x

2

(A) (B) (C)
O 1 2

O

1

2

x

1

x

x

(D) （浙江卷 20 ） 设 ?x 曲线 y=e (x≥0)

t
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

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