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## 五章二节 定积分 微积分基本公式

719人浏览 / 0人评论 / | 作者：因情语写  | 分类： 高等数学  | 标签： 高等数学  |

## 积分上限函数的定义和性质

如果上限x在区间[a, b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分

∫[a, x]f(t)dt

有一个对应值，所以它在[a, b]上定义了一个函数，记作F(x)，即

F(x) = ∫[a, x]f(t)dt (a <= x <= b)

性质

定理1 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，则积分上限的函数

F(x) = ∫[a, x]f(t)dt在[a, b]上连续

定理2 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则积分上限的函数F(x) = ∫[a, x]f(t)dt在[a, b]上可导，并且它的导数

F'(x) = d(∫[a, x]f(t)dt)/dx = f(x) (a <= x <= b)

定理3 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则函数F(x) = ∫[a, x]f(t)dt就是f(x)在[a, b]上的一个原函数

## 原函数存在定理

如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，

使对任意x∈I都有

F'(x) = f(x)

简单地说就是：连续函数一定有原函数

注：积分上限的函数求导公式的推广

[∫[φ₁(x), φ₂(x)]f(t)dt]' = f[φ₁(x)]φ₁'(x) - f[φ₂(x)]φ₂'(x)

其中函数f(x)连续，φ₁(x)与φ₂(x)可导

注：对于有变限积分的积分，要想到用洛必达法则和积分中值定理

## 牛顿-莱布尼兹公式

定理4 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数，那么

∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)
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