## 椭圆函数正篇：Gauss与AGM(5-1) [注：图片来自Wikipedia，摄于 1884 年，Gauss 就出生在这栋房子里。这栋房子已经毁于二战的炮火。]

Gauss 在 Helmstedt 期间无疑在发展 AGM 与椭圆积分的理论，但在此前，也就是 1799 年 6 月到 11 月期间 Gauss 为此做了多少铺垫我们是完全不清楚的。Gauss 日记上紧接着5 月 30 日发现的下一条记录就已经到了 9 月，这一条是关于几何学基础的记录。再下一条记录就到了 11 月 [记录地点：Braunschweig]，Gauss 宣称自己发现了很多 AGM 的新性质，至于这些性质是什么，他在日记中什么也没说。可以想象，Gauss 在 1799 年 11 月做出一些发现后，先在Scheda Ac以及日记上留了一些记录，随后就收拾行装去了 Helmstedt。想必Scheda Ac的相当一部分内容以及若干同时期的稿件都是 Gauss 在 Helmstedt 停留期间完成的。

$$M (1,x)=\frac {C (x-\alpha x^{-1}-\beta x^{-3}-\gamma x^{-5}-\cdots)}{\log (4x-ax^{-1}-bx^{-3}-cx^{-5}-\cdots)}$$

Gauss 同时标注，这一渐进展开式适合计算当 $x$ 很大时 $M (1,x)$ 的值。

Medium arithmetico-geometricum tamquam quotientem duarum functionum transcendentium repraesentabile esse iam pridem inveneramus：……我们在很久以前就发现算术几何平均可以写成两个超越函数的商：……

$$M (1,x)=\frac {\pi}{2}\frac {(1-a_1x-\cdots)}{\log (4/x-c_0-c_1x-\cdots)}=\frac {\pi}{2}\frac {g_1 (x)}{\log (g_2 (x))}$$。

[2019. 2. 16 补注：说 Gauss 在 1799 年之前就得到 $M (1,x)$ 在 $x\rightarrow+\infty$ 时的特性并不是毫无根据。我们在Gauss 与 AGM (IV-2)中引用过 Gauss 的计算，Gauss 除了计算正向 AGM 以外还计算了反向的 AGM。Gauss 大有可能从反向 AGM 迭代中归纳出：当 $x\rightarrow 0^{+}$ 时 $M (1,x)\sim\frac {C}{\log {4/x}}$(这里 C 是待定常数)，然后根据我们下面的论述导出 $M (1,x)$ 的渐进展开。]

Gauss 在写下他的渐进表达式后，还给出了级数 $g_1,g_2$ 的头几项的系数。Gauss 仍然没有给出计算这些系数的方法，但是我们有理由认为，下面的方式更便于各项系数的计算 [而非直接利用 Euler 1749 年现成的关于椭圆弧长的结果]：

$$\frac {g_1 (x^2)}{\log (g_2 (x^2))}=\frac {(1+x^2) g_1 (2x/(1+x^2))}{2\log (g_2 (2x/(1+x^2)))}$$

$$g_1 (x^2)=(1+x^2) g_1 (\frac {2x}{1+x^2})$$

$$g_2 (x^2)=\left (g_2\left (\frac {2x}{1+x^2}\right)\right)^2$$

$$g_1 (x)=1-\frac {1}{4} x^2-\frac {5}{64} x^4-\frac {11}{256} x^6-\cdots$$

$$g_2 (x)=\frac {4}{x}-x-\frac {9}{32} x^3-\frac {19}{128} x^5-\cdots$$

$$g_1 (x)=M (1,\sqrt {1-x^2})=\left (\frac {2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\frac {\mathrm {d}\varphi}{\sqrt {1-x^2\sin^2\varphi}}\right)^{-1}$$

$$g_2$$ 的真正的解释可能来自两个主题的切入。当我们看到 $g_1$ 的倒数有简洁的级数展开式以后，我们就会考虑 $g_2$ 的倒数，计算可得

$$z=\frac {1}{g_2 (x)}=\frac {x}{4}+\frac {x^3}{16}+\frac {17x^5}{512}+\cdots$$

Lagrange 方法我们也可以算出这个级数的反函数的级数展开 [这不是 Gauss 在Scheda Ac中计算过的唯一的幂级数的反函数]

$$x=4 z-16 z^3 + 56 z^5-160 z^7+\cdots$$

$$\mathrm {Peripheria\,Ellipseos}\\ =1-\frac {1\cdot 1}{2\cdot2} B^2-\frac {1\cdot 1\cdot 1\cdot3}{2\cdot2\cdot4\cdot4} B^4\,\mathrm {etc.}\\ B+\frac {1}{4} B^3+\frac {9}{64} B^5+\cdots=(2z^{1/2}+2z^{9/2}+\cdots)^2=r^2$$

[注：Gauss 在关于 AGM 的反向迭代的记录中经常把 $\sqrt {a^2-b^2}$ 写作 $B$。]

---Gauss 全集的编辑Ernst Christian Julius Schering对 Gauss 的分析学工作有如下评论 [Gauss 全集第三卷，493 页]：根据口头记载，Gauss 早在 1794 年就知道 AGM 与 Theta 函数间的关系。

$$\mathrm {Theta}\Longleftrightarrow \mathrm {AGM}\Longleftrightarrow \mathrm {Elliptic\,Integral}$$

---第二种可能性来自 1798 年Scheda Aa的记载。实数 $\frac {\varpi}{\pi}$ 有三种截然不同的表示方法：

1) 椭圆积分的幂级数表示

$$\frac {\sqrt {2}}{2}\left (1+\frac {1\cdot1}{2\cdot 2}\frac {1}{2}+\frac {1\cdot1\cdot3\cdot3}{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4}\frac {1}{2^2}+\cdots\right)$$

2) AGM

$$\frac {1}{M (1,\sqrt {2})}=\frac {\sqrt {2}/2}{M (1,\sqrt {2}/2)}$$

3)$(1-2e^{-\pi}+2e^{-4\pi}-\cdots)^2$

$$(2e^{-\pi/4}+2e^{-9\pi/4}+2e^{-25\pi/4}+\cdots)^2$$

$$(1-2\bar {z}+2\bar {z}^4-\cdots)^2$$ 或 $(2\bar {z}^{1/2}+2\bar {z}^{9/2}+2\bar {z}^{25/2}+\cdots)^2$

$$\frac {x}{M (1,x^\prime)}=(2\bar {z}^{1/2}+2\bar {z}^{9/2}+2\bar {z}^{25/2}+\cdots)^2$$

$$x=4 \bar {z}-16 \bar {z}^3 + 56 \bar {z}^5-160 \bar {z}^7+\cdots$$

$$\bar {z}=z=\frac {1}{g_2 (x)}=\exp\left (-\frac {\pi}{2}\frac {M (1,x^\prime)}{M (1,x)}\right)$$

$$x^\prime=\sqrt {1-x^2}=1-8z^2+32z^4-96z^6+\cdots$$

$$\frac {1}{M (1,x^\prime)}=1+4z^2+4z^4+4z^8+\cdots$$

$$\frac {x^\prime}{M (1,x^\prime)}=1-4z^2+4z^4+4z^8-\cdots=(1-2z^2+2z^8-\cdots)^2$$

$$\frac {1}{M (1,x^\prime)}=(1+2z^2+2z^8+\cdots)^2$$

Remark:就历史文献的整理而言，Gauss 全集最初的编辑 Schering 不及 Schlesinger 负责。在 Gauss 全集第十卷中 Schlesinger 标出了所有 Gauss 手稿的出处以及页数，同时按不同的内容进行分组，而 Schering 则是按自己的意思组合 Gauss 不同年代手稿的内容，对于手稿的出处的标注也不及 Schlesinger 细致。

Remark2:Gauss 在Scheda Ac中观察到 [Gauss 全集第十卷第一册，188 页]$\frac {M (1,\sin 75^\circ)}{M (1,\sin 15^\circ)}=\sqrt {3}$。这是一个非平凡的结果，但 1799 年的 Gauss 很可能无法给出这个结果的证明。

Remark3:Scheda Ac中出现了密码 $\mathrm {GALEN}$，它出现在宣称 $g_1 (x)=M (1,\sqrt {1-x^2})$ 的记录当中 [Gauss 全集第十卷第一册，187 页]。类似于这样的加密记录还有一处，那就是 Gauss 1796 年 10 月 21 日的日记 $\mathrm {Vicimus\,GEGAN}$(我们征服了 GEGAN，这一缩写还出现在 Gauss 日记的内封中)。$\mathrm {GEGAN}$ 一词的含义一直得不到靠谱的解释。1997 年 5 月 H. Grosser 在哥廷根天文台找到了 Gauss 的一张草稿纸，草稿纸上写着 Gauss 的签名，$\mathrm {GEGAN},\mathrm {NAGEG}$ 以及双纽线的图样，数学史家 Kurt Biermann 据此推定，$\mathrm {GEGAN}$ 即为Nexum mediiArithmetico-GeometricumExpectationibusGeneralibus 的缩写。也就是说，这条记录是一条关于 AGM 的记录！然而就其所指的具体内容数学史家大概很难达成一致的意见。作者很好奇：Gauss 在 1796 年 10 月还没有开始系统研究双纽线积分之前的时候能够证明什么样的关于 AGM 的结论。

[作者的无责任猜想：Gauss 的iam pridem指的就是 Vicimus GEGAN！当然这只是猜想 (虽然并不是完全不靠谱：-P)]

\begin {align}\frac {1}{M (1,x^\prime)}&=p^2+q^2\\\frac {x}{M (1,x^\prime)}&=2pq\\\frac {x^\prime}{M (1,x^\prime)}&=p^2-q^2\end {align}

$$p,q$$ 是 $z$ 的幂级数。试求 $p,q$ 的幂级数表达式。

 作者: rainbow zyop
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