# 平行四邊形恆等式

（重定向自平行四边形定律 $(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}$ $2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=2(AC)^{2}$ $(AB)^{2}+(BC)^{2}=(AC)^{2}$ ## 一般四边形的情况

$(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}\geq (AC)^{2}+(BD)^{2}$

$(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}+4x^{2}$

### 複平面情形

$2\left(|z|^{2}+|w|^{2}\right)=|z+w|^{2}+|z-w|^{2}.$

## 使用勾股定理的證明

• $AB$ 边和$CD$ 边的长度的平方一样，都是：$AB^{2}=CD^{2}=a^{2}$
• $BC$ 边和$DA$ 边的长度的平方一样。根据勾股定理，可以算出：$BC^{2}=DA^{2}=g^{2}+h^{2}$
• 同样的，根据勾股定理，也可以算出对角线$AC$ 的长度的平方为：$AC^{2}=(a+g)^{2}+h^{2}$
• 而对角线$BD$ 的长度的平方则是：$BD^{2}=(a-g)^{2}+h^{2}$

$AB^{2}+CD^{2}+BC^{2}+DA^{2}=2(a^{2}+g^{2}+h^{2})$

$AC^{2}+BD^{2}=(a+g)^{2}+h^{2}+(a-g)^{2}+h^{2}=2(a^{2}+g^{2}+h^{2})$

## 赋范内积空间上的推广

$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})$ 

### 使用内积和范数的證明

$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle +\langle x-y,x-y\rangle$

$=\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \ +\ \langle x,x\rangle -2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle$

$=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})$

## 参考来源

1. ^ R.A.约翰逊，单墫 译. 近代欧氏几何学. 上海教育出版社. 1997. ISBN 7-5320-6392-5.，第56页
2. ^ 张贤达. 《矩阵分析与应用》. 清华大学出版社. 2004. ISBN 7-302-09271-0.，第46页
3. ^ Alberto Guzman. Continuous functions of vector variables. Birkhäuser Boston. 2002. ISBN 978-0-817-64273-0.，第28页
4. ^ Jonathan Richard Partington. Interpolation, identification, and sampling. Clarendon Press. 1997. ISBN 978-0-198-50024-7.，第157页
5. ^ 张贤科,许甫华. 《高等代数学》. 清华大学出版社. 2004. ISBN 978-7-302-08227-9.，第349页
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