Przedmowa

Przedmowa do wydania polskiego

Wierzymy, że przyszłość edukacji to swobodny i wygodny dostęp do najlepszych treści, równy dla wszystkich. Fundacja OpenStax realizuje tę misję, tworząc wysokiej jakości podręczniki i udostępniając je studentom i wykładowcom. W ramach projektu opublikowano ponad 20 darmowych podręczników z różnych dziedzin nauki.

O projekcie OpenStax

OpenStax to fundacja charytatywna z siedzibą w Rice University w USA. Misją fundacji jest ułatwianie studentom dostępu do edukacji. Pierwszy otwarty podręcznik fundacja wydała w 2012 roku. Od tamtej pory jej oferta podręczników rozrosła się do ponad 20 pozycji. Korzystają z nich setki tysięcy studentów na całym świecie. Opracowane w ramach projektu oprogramowanie pomagające zwiększyć efektywność uczenia się poprzez adaptacyjną personalizację ścieżek edukacyjnych jest obecnie w fazie pilotażu w szkołach podstawowych i średnich. OpenStax realizuje swoją misję dzięki hojności innych organizacji charytatywnych. Darowizny te oraz usługi i zasoby otrzymywane na preferencyjnych warunkach od innych partnerów pozwalają nam pokonywać najczęściej występujące bariery utrudniające osiągnięcie sukcesu zarówno studentom jak i wykładowcom.

O zasobach OpenStax

O podręczniku

*Fizyka dla szkół wyższych*, podobnie jak podręcznik *University Physics*, na którym się opiera, przeznaczona jest dla zajęć z fizyki ogólnej z elementami analizy matematycznej, trwających 2-3 semestry. Treść dopasowano pod względem zakresu i kolejności do praktyki dydaktycznej większości uczelni prowadzących takie zajęcia. Wiedza fizyczna jest fundamentem we wszystkich zawodach związanych z naukami ścisłymi, przyrodniczymi, medycznymi i technicznymi. Niniejsza publikacja pomoże studentom poznać kluczowe pojęcia fizyczne i zrozumieć, jak te pojęcia odnoszą się do ich własnego życia oraz otaczającej ich rzeczywistości. Z uwagi na rozległy zakres materiału, aby ułatwić korzystanie z podręcznika, podzielono go na trzy tomy.

Materiały dodatkowe

Autorzy *Fizyki dla szkół wyższych*

Autorzy *University Physics*

Mechanika

Jednostki i miary

Wstęp

Zakres stosowalności praw fizyki

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* określać zakres stosowalności praw fizyki;
* obliczać rzędy wielkości;
* porównywać różne wartości długości, masy i czasu;
* opisywać zjawiska, których dotyczą modele, teorie i zasady fizyczne.

Zakres stosowalności praw fizyki

Jeszcze raz spójrz na zdjęcie znajdujące się na początku rozdziału ([link]). Galaktyka Wir (M51) (ang. Whirlpool Galaxy) składa się z miliardów gwiazd oraz olbrzymich chmur gazu i pyłu. Po prawej stronie widzimy sąsiadującą z nią galaktykę. Galaktyki te leżą miliard bilionów kilometrów ($2,3\cdot {10}^{21}{\rule{thinmathspace}{0ex}}\text{km}$) od Drogi Mlecznej (ang. Milky Way), czyli galaktyki, w której znajduje się Ziemia. Gwiazdy i planety wchodzące w skład Galaktyki Wir to jedna z ostatnich rzeczy, którą ludzie na co dzień zaprzątają sobie głowę, ale na ich przykładzie można przedstawić siły działające we Wszechświecie. Siły, które sprawiają, że Galaktyka Wir zachowuje się w taki a nie inny sposób, to te same siły, których działanie musimy uwzględnić, ilekroć planujemy start kolejnej rakiety kosmicznej lub projektujemy dom. Ta sama grawitacja sprawia, że gwiazdy Galaktyki Wir obracają się, a na Ziemi woda przelewa się przez wzniesione przez człowieka zapory. Kiedy spojrzysz w niebo, uświadom sobie, że na gwiazdy oddziałują te same siły, co na Ziemi. Nauka fizyki pomoże Ci lepiej zrozumieć, że wszystkie znajdujące się we Wszechświecie obiekty są od siebie zależne.

Skala w fizyce

Na podstawie tego, co napisano w poprzednim podrozdziale, można wywnioskować, że znajomość fizyki jest niezbędna, aby odnieść sukces w jakiejkolwiek dziedzinie z zakresu nauk przyrodniczych lub inżynierii. Wszystko, co znajduje się w widzialnym Wszechświecie, niezależnie od skali długości, masy i czasu, podlega prawom fizyki. Aby w pełni zrozumieć, co oznacza to zdanie, musimy skupić się na liczbach. Zanim przejdziemy do opisu różnych skal w fizyce, zatrzymajmy się na chwilę nad pojęciem rzędu wielkości. Z pojęcia tego będziemy korzystać podczas opisu długości, masy i czasu w dalszej części książki ([link]).

Tworzenie modeli

Skąd wiemy, jakie prawa rządzą zjawiskami naturalnymi? Aby określić, czym są tak zwane prawa natury, korzystamy z opisów sformułowanych przez człowieka, charakteryzujących zasady, którym podlegają wszystkie procesy zachodzące w przyrodzie. Prawa te są nieodłączną częścią Wszechświata – nie zostały stworzone przez człowieka i człowiek może jedynie odkryć je i zrozumieć, ale nie może ich zmienić. Ich odkrycie było skutkiem dążenia człowieka do poznania prawdy o naturze rzeczy. Na drodze każdego odkrycia ([link]) spotykają się tajemnica, wyobraźnia, walka, triumf i zawód – i w tym wypadku też nie było inaczej. Podstawą odkrywania praw przyrody jest obserwacja – badacz musi opisywać Wszechświat jakim on jest, a nie jakim może się on wydawać.

Układy jednostek miar

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* definiować podstawowe jednostki układu SI;
* tworzyć jednostki pochodne na podstawie jednostek podstawowych;
* korzystać z przedrostków jednostek miar układu SI.

Układ SI: jednostki podstawowe i pochodne

Dla pewnych wielkości jednostki każdego systemu metrycznego muszą zostać zdefiniowane na podstawie pomiarów. Wielkości te nazywamy wielkościami podstawowymi (ang. base quantities), a opisujące je jednostki jednostkami podstawowymi (ang. base unit). Pozostałe wielkości mogą zostać wyrażone przy pomocy wielkości podstawowych. Nazywamy je zatem wielkościami pochodnymi (ang. derived quantity), a jednostki je opisujące jednostkami pochodnymi (ang. derived units). Wybór wielkości podstawowych nie jest narzucony z góry, ale muszą być one niezależne od siebie nawzajem i musi być możliwe wyprowadzenie za ich pomocą wszystkich wielkości pochodnych. Jako wielkości podstawowe wybiera się wielkości fizyczne, których pomiary odznaczają się wysoką precyzją i powtarzalnością. Jest to bardzo istotne, ponieważ jednostki pochodne wyprowadzane są z jednostek podstawowych, a więc ich dokładność nigdy nie będzie wyższa niż dokładność jednostek podstawowych.

Jednostki czasu, długości i masy: sekunda, metr, kilogram

Początkowe rozdziały tej książki zajmują się mechaniką, płynami oraz falami. Wszystkie istotne dla opisu tych zagadnień wielkości fizyczne mogą być wyrażone przy pomocy podstawowych jednostek długości, masy i czasu. Dlatego teraz skupimy się tylko na tych trzech podstawowych jednostkach.

Przedrostki jednostek miar układu SI

Jednostki układu SI tworzą system metryczny (ang. metric system). Korzystanie z tego system usprawnia obliczenia, ponieważ jednostki klasyfikowane są według rzędów wielkości. [link] zawiera listę przedrostków oraz symboli, odpowiadających konkretnym potęgom liczby 10. Przykładowo centymetr jest równy jednej setnej metra ($1{\rule{0.2em}{0ex}}\mathrm{c}\mathrm{m}={10}^{-2}{\rule{0.2em}{0ex}}\mathrm{m}$), a kilometr to tysiąc metrów ($1{\rule{0.2em}{0ex}}\mathrm{k}\mathrm{m}={10}^{3}{\rule{0.2em}{0ex}}\mathrm{m}$). Megagram to milion gramów ($1{\rule{0.2em}{0ex}}\mathrm{M}\mathrm{g}={10}^{6}{\rule{0.2em}{0ex}}\mathrm{g}$), nanosekunda równa jest jednej miliardowej sekundy ($1{\rule{0.2em}{0ex}}\mathrm{n}\mathrm{s}={10}^{-9}{\rule{0.2em}{0ex}}\mathrm{s}$), a terametr to bilion metrów ($1{\rule{0.2em}{0ex}}\mathrm{T}\mathrm{m}={10}^{12}{\rule{0.2em}{0ex}}\mathrm{m}$).

Konwersja jednostek

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyrażać tę samą wielkość w różnych jednostkach dzięki użyciu przeliczników.

Analiza wymiarowa

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* znajdować wymiary równania operującego na wielkościach fizycznych;
* określać, czy równanie jest wymiarowo spójne.

Szacowanie i pytania Fermiego

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* szacować wartości wielkości fizycznych.

Cyfry znaczące

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* prawidłowo określać liczbę cyfr znaczących wyniku obliczeń;
* opisywać zależności między dokładnością, precyzją, niepewnością pomiarową i błędem pomiaru;
* na podstawie wartości oraz jej niepewności pomiarowej obliczać niepewność względną;
* na podstawie niepewności pomiarowych poszczególnych wartości używanych w obliczeniach określać niepewność wyniku.

Dokładność i precyzja pomiaru

Nauka opiera się na obserwacji i na przeprowadzonych doświadczeniach – a więc na pomiarach. Dokładność (ang. accuracy) mówi, jak bardzo pomiar zbliżony jest do zaakceptowanej wartości referencyjnej. Załóżmy, że chcemy zmierzyć wysokość kartki papieru A4. Na opakowaniu napisano, że ma ona 29,7 cm wysokości. Mierzymy wysokość kartki trzykrotnie i otrzymujemy kolejno 29,8 cm, 29,6 cm i 30,0 cm. Te pomiary są dość dokładne, ponieważ są bardzo zbliżone do wartości referencyjnej równej 29,7 cm. Jeżeli natomiast uzyskalibyśmy pomiar równy 32 cm, nie byłby on dokładny i oznaczałby popełnienie tzw. błędu grubego podczas pomiaru. Zauważ, że aby mówić o dokładności, musimy wiedzieć, jaka jest wartość referencyjna.

Dokładność, precyzja, niepewność i błąd pomiaru

Precyzja pomiarów związana jest z niepewnością pomiarową (ang. uncertainty), a dokładność z błędem pomiaru (ang. discrepancy), czyli rozbieżnością między dobrze znaną wartością referencyjną a obliczoną. Niepewność określa, jak bardzo poszczególne pomiary różnią się między sobą ze względu na statystyczny charakter czynności pomiarowych. Błąd pomiaru to różnica między wartością zmierzoną a wartością oczekiwaną, dzięki znajomości znanego standardu.

Precyzja przyrządów pomiarowych i cyfry znaczące

Ważnym czynnikiem wpływającym na precyzję pomiaru jest używany przez nas przyrząd. Ogólnie rzecz biorąc, precyzyjny przyrząd powinien umożliwiać dokonywanie pomiarów z dokładnością do bardzo małych wartości. Przy pomocy zwykłej linijki możemy dokonywać pomiarów z dokładnością do 1 mm, podczas gdy pomiary dokonane przy pomocy suwmiarki mogą charakteryzować się dokładnością do 0,02 mm. Suwmiarka jest przyrządem bardziej precyzyjnym, ponieważ umożliwia wykrycie bardzo małych różnic w długości. Im bardziej precyzyjny przyrząd, tym wyższa precyzja pomiaru.

Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* planować strategię prowadzącą do rozwiązania;
* obliczać wynik;
* sprawdzać poprawność obliczeń oraz wyciągać wnioski.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia jest początkowym etapem rozwiązania zadania. Należy rozważyć, na czym dokładnie polega problem i zaproponować strategię, umożliwiającą znalezienie rozwiązania. Poniższe rady mogą być pomocne podczas planowania strategii:

Rozwiązanie

Rozwiązanie to ten etap, w którym wykonywane są obliczenia. *Podstaw dane wraz z jednostkami do wzoru, aby uzyskać wynik*. Skorzystaj z algebry, analizy matematycznej, geometrii lub arytmetyki, zależnie, od tego, czego potrzebujesz, aby znaleźć szukane wartości. Podczas obliczeń nie możesz zapominać o jednostkach. Ten etap jest bardzo ważny – to w nim uzyskujemy wyniki liczbowe wraz z jednostkami. Pamiętaj jednak, że to jedynie jedna trzecia całego procesu rozwiązywania zadania – istnieją również dwa inne etapy.

Sprawdzenie

Kiedy już otrzymasz wyniki obliczeń, możesz pomyśleć, że to koniec rozwiązywania zadania. Musisz jednak pamiętać, że fizyka to nie matematyka. Z punktu widzenia fizyki matematyka jest narzędziem pozwalającym zrozumieć naturę otaczającego nas świata. Dlatego po wykonaniu obliczeń powinieneś dokonać sprawdzenia:

Wektory

Wstęp

Skalary i wektory

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* różnic między wielkościami skalarnymi i wektorowymi;
* określać moduł i kierunek wektora;
* mnożyć wielkości wektorowe przez skalar;
* dodawać i odejmować wielkości wektorowe w przestrzeni jednowymiarowej;
* stosować metodę graficzną dodawania i odejmowania wektorów leżących na płaszczyźnie;
* rozpoznawać równanie wektorowe.

Rachunek wektorowy w jednym wymiarze

Wektory mogą być mnożone przez skalar, dodawane lub odejmowane od innych wektorów. Pokażemy te działania na przykładzie wyprawy na ryby, który przedstawiliśmy już na [link].

Rachunek wektorowy w dwóch wymiarach

Wektory leżące na płaszczyźnie, to znaczy w przestrzeni dwuwymiarowej, mogą być mnożone przez skalar, dodawane oraz odejmowane od innych wektorów, zgodnie z zasadami przedstawionymi w [link], [link], [link] oraz [link]. Jednak dodawanie wektorów w przestrzeni dwuwymiarowej jest bardziej skomplikowane niż dodawanie w jednym wymiarze. Wektory można dodawać metodą graficzną, korzystając z zasad geometrii, lecz aby obliczyć zwrot, kierunek i moduł wektora wypadkowego, potrzebna będzie trygonometria. Metoda graficzna często wykorzystywana jest w nawigacji ([link]). Podczas konstrukcji wektorów z zachowaniem skali potrzebne ci będą dwie linijki, ekierka, kątomierz, ołówek oraz gumka do ścierania.

Układy współrzędnych i składowe wektora

Abstract:
W tym rozdziale nauczysz się:
* opisywać wektory leżące w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej przy pomocy wersorów osi;
* jakie są różnice między składową wektora a wartością tej składowej;
* obliczać moduł wektora na podstawie jego składowych;
* określać kąt skierowany wektora leżącego na płaszczyźnie;
* jaki jest związek między współrzędnymi biegunowymi i współrzędnymi kartezjańskimi.

Współrzędne biegunowe

Aby opisać położenie punktu na płaszczyźnie, potrzebujemy dwóch ortogonalnych kierunków. W kartezjańskim układzie współrzędnych kierunki te są wyznaczone przez wersor $\stackrel{^}{i}$ osi $x$ oraz wersor $\stackrel{^}{j}$ osi $y$. Korzystanie z kartezjańskiego układu współrzędnych jest wygodne, jeśli chodzi o opis przemieszczeń, prędkości i sił. Jednak w przypadku ruchu obrotowego korzystanie z tego układu okazuje się nieefektywne. Opisu ruchu obrotowego dokonuje się zazwyczaj w układzie współrzędnych biegunowych (ang. polar coordinate system).

Wektory w przestrzeni trójwymiarowej

Aby określić położenie punktu w przestrzeni, potrzebne są trzy zmienne $\left(x,\text{}y,\text{}z\right)$, gdzie $x$ oraz $y$ określają położenie punktu na płaszczyźnie, natomiast współrzędna $z$ informuje o odległości od płaszczyzny w pionie. W przestrzeni trójwymiarowej możemy wyróżnić trzy kierunki ortogonalne, a więc do opisu tej przestrzeni potrzebne są *trzy* wektory jednostkowe. W układzie współrzędnych kartezjańskich pierwsze dwa wektory jednostkowe to wersory osi $x$
$\stackrel{^}{i}$ oraz $y$
$\stackrel{^}{j}$. Trzecim wektorem jednostkowym $\stackrel{^}{k}$ jest wektor informujący o kierunku osi $z$, a więc wersor tej osi ([link]). Kolejność podpisywania osi, a tym samym kolejność definiowania wektorów jednostkowych jest istotna, ponieważ od niej zależy orientacja układu współrzędnych. Kolejność $x$–$y$–$z$, równoważna z kolejnością $\stackrel{^}{i}$–$\stackrel{^}{j}$–$\stackrel{^}{k}$, oznacza, że mamy do czynienia z układem prawoskrętnym, który definiuje się, używając metody śruby prawoskrętnej.

Działania na wektorach

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* stosować metody analityczne dodawania wektorów i rozwiązywania równań, w których szukany jest wektor;
* opisywać zjawiska fizyczne przy pomocy wektorów.

Mnożenie wektorów

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* różnic między iloczynem skalarnym a iloczynem wektorowym dwóch wektorów;
* obliczać iloczyn skalarny dwóch wektorów;
* obliczać iloczyn wektorowy dwóch wektorów;
* jakie zastosowanie w fizyce mają iloczyny wektorów.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów

Wynikiem iloczynu skalarnego jest skalar, czyli liczba.

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem.

Ruch prostoliniowy

Wstęp

Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* podawać definicję położenia, przemieszczenia i drogi;
* obliczać całkowite przemieszczenie ciała, znając wektor położenia w funkcji czasu;
* określać całkowitą drogę przebytą przez ciało;
* obliczać wektor prędkości średniej, znając przemieszczenie i czas.

Położenie

Aby opisać ruch ciała, musisz w pierwszej kolejności potrafić podać jego położenie w odniesieniu do wybranej osi układu współrzędnych ($x$): *gdzie znajduje się ono w danej chwili czasu*. Mówiąc precyzyjniej, musisz zdefiniować położenie ciała w wybranym układzie odniesienia, z którym zwiążesz pewien matematyczny układ współrzędnych. Układ odniesienia jest dowolnie wybranym układem osi, względem których mierzymy położenie i opisujemy ruch ciała. Najczęściej wybieramy w tym celu Ziemię (planetę) i względem spoczywających na Ziemi obiektów opisujemy ruch ciał. Mówimy wtedy często: ruch względem Ziemi (podłoża, gruntu, powierzchni itd.). Przykładowo, start rakiety możemy opisać w układzie związanym z Ziemią, tak jak ruch rowerzystki ze zdjęcia ([link]) – jej położenie i prędkość – możemy podać względem budynków stojących przy ulicy, a więc związanych z Ziemią. Możemy też opisać ruch rowerzystki względem jadącej obok koleżanki – w tym przypadku układ odniesienia sam porusza się względem Ziemi. Aby opisać ruch pasażera samolotu na pokładzie, wybierzemy samolot jako układ odniesienia, a nie Ziemię. Bardziej szczegółowo dyskutujemy tę kwestię w ostatniej sekcji następnego rozdziału. Położenie ciała w ruchu jednowymiarowym podajemy najczęściej wzdłuż osi $x$. W dalszych sekcjach tego rozdziału, gdzie omawiamy spadek swobodny, wprowadzimy oś $y$. Ruch jednowymiarowy – po linii prostej – nazywamy też często ruchem prostoliniowym.

Przemieszczenie

Jeżeli jakieś ciało się porusza — np. nauczycielka przechodzi od lewej do prawej strony tablicy ([link]) — to jej położenie się zmienia. Ta zmiana położenia nazywa się przemieszczeniem. Wyraz  *przemieszczenie*  jednoznacznie sugeruje ruch, czyli zmianę położenia – ciało się przemieściło lub doznało przemieszczenia. Tak jak położenie jest wartością liczbową $x$ wzdłuż pewnej prostej, po której ciało może się poruszać, tak przemieszczenie jest *różnicą położeń* na tej prostej przed i po wykonaniu ruchu. Ponieważ przemieszczenie wyraźnie wskazuje na kierunek ruchu, jest wektorem i może być zarówno dodatnie, jak i ujemne, w zależności od wyboru dodatniego kierunku. Zazwyczaj wybieramy kierunek osi $x$ w prawo jako dodatni (dodatni kierunek osi $x$). Na ruch ciała może składać się wiele przemieszczeń, które w efekcie dają wypadkowe przemieszczenie. Jeśli za dodatni kierunek przyjmiemy kierunek w prawo, a nauczycielka przesuwa się najpierw o 2 m w prawo, a potem o 4 m w lewo, to składowe pojedyncze przemieszczenia wynoszą odpowiednio 2 m oraz ‒4 m. Całkowite przemieszczenie jest równe ‒2 m.

Prędkość średnia

Do dyskusji o kolejnych wielkościach fizycznych używanych w kinematyce musimy użyć nowej zmiennej, którą jest czas. Włączenie do naszego opisu zmiennej czasowej pozwala nie tylko stwierdzić, gdzie w przestrzeni znajduje się ciało (jakie jest jego położenie w danym momencie), ale także określić, jak szybko się porusza. O tym, jak szybko ciało porusza się w trakcie ruchu, mówi nam prędkość, czyli zmiana położenia w czasie.

Prędkość chwilowa i szybkość średnia

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać różnicę między prędkością średnią a prędkością chwilową;
* opisywać różnice między szybkością a prędkością;
* obliczać prędkość chwilową, znając zależność położenia od czasu;
* obliczać szybkość, znając prędkość chwilową;
* obliczać szybkość średnią.

Prędkość chwilowa

Wielkość mówiąca o tym, jak szybko ciało porusza się wzdłuż swojego toru ruchu w danym momencie, nazywa się prędkością chwilową (często po prostu prędkością). Jest to średnia prędkość ciała między dwoma punktami jego toru, ale w granicy, gdy czas i – w konsekwencji – przemieszczenie ciała między tymi punktami zmierzają do zera. Mówimy, że są nieskończenie małe lub infinitezymalne. Aby wyrazić powyższe stwierdzenie w sposób bardziej zmatematyzowany, musimy znać zależność położenia $x$ od czasu $t$, a więc ciągłą funkcję $x\left(t\right)$. Przypomnijmy sobie wyrażenie na prędkość średnią między dwoma punktami: $\overline{v}=\left[x\left({t}_{2}\right)-x\left({t}_{1}\right)\right]{\rule{0.1em}{0ex}}\text{/}{\rule{0.1em}{0ex}}\left[{t}_{2}-{t}_{1}\right]$. Żeby znaleźć wzór na prędkość chwilową, podstawimy ${t}_{1}=t$ oraz ${t}_{2}=t+\text{Δ}t$ i zażądamy, aby $\text{Δ}t\text{→}0$. Oznacza to, że przyrost czasu i zmiana położenia mają w granicy (łac. limes) zdążać do zera. W takim razie definicja prędkości chwilowej, ujęta w postaci wzoru matematycznego, jest następująca:

Szybkość i szybkość średnia

W codziennym życiu nie rozróżniamy pojęć prędkość oraz szybkość i używamy ich naprzemiennie. W fizyce jednak nie są to te same wielkości i znacząco się różnią. Prędkość jest wektorem, który poznaliśmy już przed chwilą. Ma kierunek, zwrot i wartość. Szybkość natomiast jest skalarem, nie ma kierunku ani zwrotu. W zadaniach będziemy najczęściej myśleć o wektorze, mówiąc prędkość, chociaż sformułowanie „samochód jedzie na wschód z prędkością 100 km/h” rozumiemy oczywiście jak „z prędkością o wartości 100 km/h i kierunku na wschód”.

Obliczanie prędkości chwilowej

Żeby obliczyć prędkość chwilową w danej chwili czasu, a także ogólną zależność prędkości od czasu, trzeba znać dokładną funkcję zależności położenia od czasu $x\left(t\right)$. Prędkość chwilowa jest pochodną położenia po czasie. Na razie skupimy się na postaci funkcji położenia od czasu typu wielomianu: $x\left(t\right)=A{t}^{n}$, bo jest to funkcja stosunkowo łatwa do różniczkowania.

Przyspieszenie średnie i chwilowe

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* obliczać średnie przyspieszenie w ruchu między dwoma punktami;
* znajdować przyspieszenie chwilowe, mając funkcję zależności prędkości od czasu;
* wyjaśniać wektorowy charakter chwilowej prędkości i przyspieszenia;
* wyjaśniać różnice między przyspieszeniem chwilowym a średnim;
* znajdować przyspieszenie chwilowe w danym momencie na podstawie wykresu zależności prędkości od czasu.

Przyspieszenie średnie

Formalna definicja przyspieszenia jest zbieżna z określeniami, które podaliśmy wyżej. Ujmijmy ją jednak w sposób matematyczny.

Przyspieszenie chwilowe

Przyspieszenie chwilowe $a$, inaczej *przyspieszenie w danej chwili czasu*, definiujemy analogicznie do prędkości chwilowej z poprzedniej sekcji. Mianowicie obliczamy średnią prędkość między dwoma punktami odległymi w czasie o $\text{Δ}t$ i żądamy, by $\text{Δ}t$ zdążało do zera. W efekcie otrzymujemy pochodną po czasie funkcji prędkości $v\left(t\right)$. Właśnie taką wielkość nazywamy przyspieszeniem chwilowym i w sposób matematyczny wyrażamy jako

Przyspieszenie wokół ciebie

Prawdopodobnie jest ci bliskie doświadczenie przyspieszenia podczas jazdy samochodem, gdy np. wciskasz pedał hamulca przed światłami, albo w ruszającej do góry windzie. Jednak przyspieszeń doznają także takie obiekty wokół ciebie, z którymi nigdy nie masz bezpośredniego kontaktu. W [link] zebraliśmy przykładowe wartości przyspieszeń różnych obiektów we Wszechświecie.

Ruch ze stałym przyspieszeniem

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wybierać odpowiednie równania ruchu do wyznaczenia niewiadomych w danym zagadnieniu;
* używać odpowiednich równań ruchu do analizy zagadnienia pogoni i ucieczki dwóch ciał.

Notacja

Zacznijmy od pewnych uproszczeń z zapisie i oznaczeniach. Dużym ułatwieniem będzie, jeśli przyjmiemy czas początkowy równy zero – tak jakbyśmy włączali stoper dopiero w momencie rozpoczęcia obserwacji ruchu. W takim razie całkowity czas ruchu $\text{Δ}t={t}_{\text{k}}-{t}_{0}$ jest, wobec przyjętego warunku początkowego ${t}_{0}=0$, równy $\text{Δ}t={t}_{\text{k}}$, czyli końcowemu wskazaniu stopera. Aby oznaczyć początkowe położenie i początkową prędkość, także użyjemy indeksu dolnego 0. W takim razie ${x}_{0}$ będzie *początkowym położeniem*, natomiast ${v}_{0}$*prędkością początkową*. Do końcowych prędkości i położenia nie będziemy przypisywać żadnego indeksu. Wobec tego $t$ będzie oznaczać *czas końcowy*, $x$ będzie *położeniem końcowym*, a $v$ będzie *prędkością końcową*. Taki wybór dodatkowo uprości oznaczenie całkowitego czasu ruchu $\text{Δ}t=t$, przemieszczenia $\text{Δ}x=x-{x}_{0}$ oraz zmiany prędkości $\text{Δ}v=v-{v}_{0}$. Podsumowując, jeśli zastosujemy tę uproszczoną notację oraz przyjmiemy czas początkowy równy zero, otrzymamy

Przemieszczenie i położenie na podstawie prędkości

Pierwsze dwa równania ruchu otrzymamy, wychodząc od definicji prędkości średniej:

Obliczanie prędkości na podstawie przyspieszenia i czasu

Wzór na prędkość w dowolnej chwili czasu (kolejne równanie ruchu) otrzymamy na podstawie definicji przyspieszenia średniego:

Obliczanie położenia końcowego w ruchu jednostajnie zmiennym

Na podstawie dwóch wyprowadzonych powyżej równań ruchu otrzymamy teraz trzecie równanie, wiążące położenie ciała z przyspieszeniem w ruchu jednostajnie zmiennym. W przypadku ruchu po linii prostej będzie to też wzór na drogę w ruchu jednostajnie zmiennym, o ile nie będziemy rozważać zmiany kierunku ruchu ciała. Wyjdźmy od równania

Obliczanie prędkości końcowej na podstawie drogi i przyspieszenia

Wyprowadzimy teraz czwarte równanie kinematyczne, użyteczne w analizie ruchu ciała ze stałym przyspieszeniem. Będzie to równanie na prędkość końcową wyrażoną przez całkowite przemieszczenie i przyspieszenie, a otrzymamy je na podstawie trzech poprzednich. Wyliczmy zmienną $t$ z równania na prędkość $v={v}_{0}+at$:

Równania ruchu: zastosowanie

W dalszej części nadal będziemy analizować ruch ciał w jednym wymiarze ze stałym przyspieszeniem, ale w nieco bardziej złożonych przykładach, wymagających większego żonglowania równaniami ruchu. Na przykładach tych poznamy także przydatne metody rozwiązywania zadań. Poniższe zestawienie zawiera wszystkie równania ruchu przydatne do rozwiązywania zadań z kinematyki ruchu prostoliniowego. Pamiętaj, że te równania nie są od siebie niezależne – jedne wyprowadzaliśmy na podstawie innych. W wielu przypadkach będziemy mieli dwie niewiadome w zadaniu, do znalezienia których będziemy musieli zapisać odpowiednie dwa równania. Generalnie do rozwiązania problemu o wielu niewiadomych potrzebujemy tylu równań, ile jest niewiadomych.

Zagadnienie pogoni i ucieczki dwóch ciał

Do tej pory zajmowaliśmy się ruchem tylko pojedynczych ciał. Nawet w przykładzie o dwóch samochodach zmniejszających prędkość aż do momentu zatrzymania na mokrym i suchym asfalcie zagadnienie traktowaliśmy jako odrębne ruchy poszczególnych samochodów. W zagadnieniu pogoni i ucieczki dwóch ciał, ruch obu ciał jest sprzężony – oznacza to, że niewiadome, których będziemy szukać, zależą od ruchu obu ciał jednocześnie. Aby rozwiązać taki problem, napiszemy równania ruchu dla każdego z ciał i rozwiążemy taki układ równań (sprzężonych) ze względu na niewiadomą. Zagadnienie w schematyczny sposób przedstawia [link].

Spadek swobodny i rzut pionowy

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* używać kinematycznych równań ruchu ze stałym przyspieszeniem ziemskim do analizy spadku swobodnego i rzutu pionowego;
* opisywać zmiany położenia, prędkości i przyspieszania w czasie dla spadku swobodnego i rzutu pionowego;
* obliczać położenie, wysokość, prędkość i przyspieszenie w dowolnej chwili spadku swobodnego i rzutu pionowego.

Przyspieszenie grawitacyjne

Charakterystycznym i nieoczywistym faktem dotyczącym spadających obiektów, przy pominięciu oporu powietrza i tarcia, jest to, że wszystkie spadają z danej wysokości w kierunku środka Ziemi z *jednakowym stałym przyspieszeniem, niezależnie od masy i rozmiarów*. Ten doświadczalny fakt jest na pierwszy rzut oka dla nas nieoczywisty, bo na co dzień doświadczamy oporów powietrza nieuchronnie, przez co wydaje się nam, że lekkie ciała muszą spadać wolniej niż ciężkie. Aż do czasów Galileusza (1564–1642) ludzie wierzyli, że ciała o większej masie mają większe przyspieszenie w spadku swobodnym. Dziś wiemy, że nie jest to prawdą. W warunkach próżni (bez oporu powietrza) wszystkie ciała spadają z tej samej wysokości na powierzchnię dokładnie w tym samym czasie – spójrz na [link].

Ruch jednowymiarowy w polu grawitacyjnym

W ruchu pionowym ciał pod wpływem przyspieszenia grawitacyjnego będziemy konsekwentnie pomijać wpływ oporu powietrza i tarcia. Oznacza to, że wektor prędkości będzie zawsze skierowany pionowo (do góry lub w dół). Jeżeli ciało zostało upuszczone z pewnej wysokości, to jego prędkość początkowa wynosi zero (dotyczy spadku swobodnego). Jeśli ciało zostało rzucone (w górę lub w dół), to ma prędkość początkową, której wartość i kierunek musimy uwzględnić w równaniach ruchu. Zakładamy, że prędkość początkowa, jaką nadano rzuconemu ciału, jest taka sama w momencie tuż po wyrzuceniu ciała w powietrze (np. tuż po opuszczeniu ręki rzucającego lub lufy karabinu). Innymi słowy, jest to ta sama prędkość, jaką ma ciało już w ruchu, bez kontaktu z jakimkolwiek innym ciałem. Położenie ciała jest tym razem mierzone w pionie, a nie tak jak zazwyczaj dotąd – w poziomie, dlatego oznaczymy je przez $y$.

Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyprowadzać równania ruchu na podstawie stałego przyspieszenia z użyciem rachunku całkowego;
* używać całkowych równań ruchu w analizie ruchu ciał w jednym wymiarze;
* obliczać zależność prędkości od czasu na podstawie funkcji przyspieszenia od czasu;
* obliczać zależność położenia od czasu na podstawie funkcji prędkości od czasu.

Obliczanie prędkości i położenia na podstawie przyspieszenia

Załóżmy, że znamy funkcję przyspieszenia od czasu $a\left(t\right)$. Wiemy, że przyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Wstęp

Przemieszczenie i prędkość

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* definiować wektor położenia w problemach fizycznych na płaszczyźnie i w przestrzeni;
* obliczać wektor przemieszczenia w dwóch lub trzech wymiarach;
* obliczać wektor prędkości, znając wektor położenia w funkcji czasu;
* obliczać średnią prędkość w problemach wielowymiarowych.

Wektor przemieszczenia

Do opisu ruchu w dwóch i trzech wymiarach musimy wprowadzić układ współrzędnych i konwencję dla osi układu. Do definicji położenia cząstki w punkcie $P\left(x,y,z\right)$
 w przestrzeni trójwymiarowej najczęściej używamy zmiennych układu kartezjańskiego $x$, $y$
 oraz $z$. Dla cząstki w ruchu zmienne $x$, $y$
 oraz $z$
 są funkcjami czasu ($t$):

Wektor prędkości

W poprzednim rozdziale podaliśmy definicję prędkości chwilowej jako pochodną położenia po czasie. Tak samo znajdziemy prędkość w dwóch i trzech wymiarach, ale użyjemy wektora położenia. Wektor prędkości (ang. velocity vector) chwilowej jest zdefiniowany jako

Niezależność ruchu w kierunkach prostopadłych

Gdy spojrzymy na definicje wektorów położenia i prędkości w przypadku trójwymiarowym ([link] i [link]), to zauważymy, że składowe tych wektorów są osobnymi i niezależnymi od siebie funkcjami czasu. Ruch cząstki w kierunku osi $x$ nie ma wpływu na ruch wzdłuż osi $y$ i $z$, podobnie jest dla dwóch pozostałych współrzędnych. Wobec tego możemy rozdzielić ruch cząstki w dwóch lub trzech wymiarach na niezależne od siebie ruchy prostoliniowe wzdłuż prostopadłych osi układu współrzędnych, w którym ruch ten opisujemy.

Przyspieszenie

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* obliczać wektor przyspieszenia, znając zależność prędkości od czasu;
* opisywać ruch cząstki poruszającej się w trzech wymiarach ze stałym przyspieszeniem;
* wykorzystywać jednowymiarowe równania ruchu wzdłuż kierunków prostopadłych do opisu problemu dwu- lub trójwymiarowego ze stałym przyspieszeniem;
* opisywać wektor przyspieszenia za pomocą wersorów osi w wybranym układzie odniesienia.

Przyspieszenie chwilowe

Oprócz znajomości przemieszczenia i prędkości ciała w ruchu często chcemy także wiedzieć, jaki jest wektor przyspieszenia (ang. acceleration vector) w dowolnym punkcie jego toru w danej chwili czasu. Taki wektor przyspieszenia nazwiemy przyspieszeniem chwilowym i obliczymy, co wiemy już z poprzedniego rozdziału, różniczkując po czasie. Jedyna różnica w przypadku ruchu na płaszczyźnie lub w przestrzeni jest taka, że mamy teraz do czynienia z wielkościami wektorowymi. Różniczkując po czasie $\stackrel{\text{→}}{v}\left(t\right),$ otrzymujemy:

Stałe przyspieszenie

Ruch w wielu wymiarach ze stałym przyspieszeniem może być traktowany tak jak w poprzednim rozdziale o ruchu po linii prostej. Taki ruch nazwiemy jednostajnie zmiennym (przyspieszonym lub opóźnionym), gdyż przyspieszenie jest stałe. Pokazaliśmy już, że ruch w przestrzeni jest złożeniem trzech niezależnych ruchów w jednym wymiarze wzdłuż kierunków prostopadłych. Chcemy teraz otrzymać kinematyczne równania ruchu wzdłuż niezależnych kierunków. Dla uproszczenia rozważmy przypadek dwuwymiarowy – cząstki poruszającej się na płaszczyźnie $xy$
 (pomińmy składową $z$). Wektor przyspieszenia jest więc równy

Rzuty

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* stosować do opisu rzutów jednowymiarowe równania ruchu w kierunkach prostopadłych;
* obliczać zasięg, czas lotu oraz maksymalną wysokość ciała, które zostało rzucone i upada na płaską, poziomą powierzchnię;
* znajdować czas lotu i prędkość upadku pocisku, który trafia w punkt na innej wysokości niż początkowa;
* znajdować kształt toru ruchu ciała w rzucie.

Czas lotu, tor i zasięg

W tej sekcji chcemy wyprowadzić ogólne wzory na czas lotu, tor i zasięg w rzucie ukośnym, w którym miejsce wystrzelenia i upadku pocisku są na tej samej wysokości. Wykorzystamy poznane już równania kinematyczne, aby w kolejnych punktach otrzymać interesujące nas wzory.

Ruch po okręgu

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* obliczać przyspieszenie dośrodkowe ciała w ruchu po okręgu;
* korzystać z kinematycznych równań ruchu, aby znaleźć położenie, prędkość i przyspieszenie ciała w ruchu po okręgu;
* wyjaśniać różnice między przyspieszeniem dośrodkowym, a stycznym w ruchu niejednostajnym po okręgu;
* obliczać przyspieszenie dośrodkowe, styczne oraz całkowite w ruchu niejednostajnym po okręgu.

Przyspieszenie dośrodkowe

W przypadku ruchu po linii prostej ciała poruszające się ze stałą szybkością muszą mieć zerowe przyspieszenie. Jednak w dwóch lub trzech wymiarach, nawet jeśli szybkość jest stała, ciało może mieć przyspieszenie, o ile porusza się po torze zakrzywionym, np. po okręgu. W takich przypadkach wektor prędkości się zmienia, tzn. $\text{d}\stackrel{\text{→}}{v}{\rule{0.1em}{0ex}}\text{/}{\rule{0.1em}{0ex}}\text{d}t\ne 0.$ Zmienia się w czasie jego kierunek i zwrot, mimo że wartość pozostaje stała. Widzimy to na [link]. Gdy ciało przemieszcza się wzdłuż okręgu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (w lewo), to w czasie $\mathrm{\Delta }t$ wektor położenia zmienia się od $\stackrel{\text{→}}{r}\left(t\right)$ do $\stackrel{\text{→}}{r}\left(t+\mathrm{\Delta }t\right).$ Wektor prędkości również zmienia się od $\stackrel{\text{→}}{v}\left(t\right)$ do $\stackrel{\text{→}}{v}\left(t+\mathrm{\Delta }t\right),$ ale jego wartość jest stała i jest on przez cały czas styczny do toru. Zmienia się jedynie kierunek prędkości w przestrzeni. W ruchu po okręgu wektor prędkości $\stackrel{\text{→}}{v}\left(t\right)$ jest prostopadły do wektora położenia $\stackrel{\text{→}}{r}\left(t\right),$ jeśli za początek układu współrzędnych przyjmiemy środek okręgu. Skoro tak, to trójkąty zbudowane z wektorów: położenia oraz $\mathrm{\Delta }\stackrel{\text{→}}{r}$, a także prędkości i $\mathrm{\Delta }\stackrel{\text{→}}{v}$ są podobne. Co więcej, ponieważ $|\stackrel{\text{→}}{r}\left(t\right)|=|\stackrel{\text{→}}{r}\left(t+\mathrm{\Delta }t\right)|$ oraz $|\stackrel{\text{→}}{v}\left(t\right)|=|\stackrel{\text{→}}{v}\left(t+\mathrm{\Delta }t\right)|$, oba te trójkąty są równoramienne. Na podstawie tych własności możemy stwierdzić, że $\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }r}{r}$ lub inaczej $\mathrm{\Delta }v=\frac{v}{r}\mathrm{\Delta }r.$

Równania ruchu jednostajnego po okręgu

Ruch cząstki poruszającej się ruchem jednostajnym po okręgu może być opisany za pomocą wektora położenia $\stackrel{\text{→}}{r}\left(t\right).$ Na [link] prezentujemy ruch cząstki poruszającej się po okręgu w lewo. W trakcie ruchu cząstki jej wektor położenia (wektor wodzący) zakreśla w pewnym czasie kąt $\theta$ liczony od osi $x$. Wektor położenia $\stackrel{\text{→}}{r}\left(t\right)$ nachylony pod kątem $\theta$ do osi $x$
 jest także pokazany na rysunku wraz z jego składowymi wzdłuż osi $x$
 i $y$. Przyjmujemy za początek układu współrzędnych środek okręgu. Długość wektora położenia wynosi $A=|\stackrel{\text{→}}{r}\left(t\right)|$ i jest to długość promienia okręgu. Rozłóżmy wektor na składowe:

Ruch zmienny po okręgu

Ruch po okręgu nie musi zachodzić tylko ze stałą szybkością. Cząstka, poruszając się po okręgu, może przyspieszać lub zwalniać, a więc mieć przyspieszenie w kierunku ruchu.

Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać koncepcję układu odniesienia i dokonywać opisu ruchu w różnych układach odniesienia;
* zapisywać wektor położenia i prędkości względnej w ruchu względnym dwóch ciał;
* rysować wektory położenia względnego i prędkości względnej;
* analizować problemy jedno- i dwuwymiarowego ruchu względnego ciał, używając równań położenia i prędkości dla tego ruchu.

Układy odniesienia

Aby móc omówić ruch względny w jednym lub wielu wymiarach, musimy najpierw zapoznać się z pojęciem układu odniesienia (ang. reference frame). Kiedy mówimy, że jakieś ciało ma daną prędkość, zasadniczo powinniśmy podać względem jakiego układu odniesienia ta prędkość jest podana. W większości rozważanych przez nas dotąd problemów układem odniesienia była ziemia (powierzchnia Ziemi). Jeżeli powiesz, że jedziesz w pociągu z prędkością o wartości 10 m/s na wschód, masz zapewne na myśli, że taką prędkość ma pociąg względem podłoża, czyli ziemi. Powierzchnia Ziemi jest wybranym przez ciebie układem odniesienia. Możemy rozszerzyć nasze postrzeganie Ziemi jako układu odniesienia, uwzględniając jej ruch wokół Słońca. Wtedy sytuacja staje się bardziej złożona. Tym razem układem odniesienia staje się cały Układ Słoneczny i ruch pociągu przestaje być już tylko prostym ruchem jednostajnym prostoliniowym. Podsumowując, w dyskusji o ruchu względnym ciał musimy definiować co jest naszym układem odniesienia. W dalszej części poznamy metody pokazujące, jak należy odnosić problem ruchu względnego do różnych układów odniesienia.

Ruch względny w jednym wymiarze

Na początek zajmiemy się przypadkiem jednowymiarowym, gdy wektory prędkości mają tylko dwa dozwolone kierunki (lewo/prawo, góra/dół itd.). Wróćmy do przykładu człowieka podróżującego pociągiem z szybkością 10 m/s w kierunku na wschód. Jeśli za dodatni kierunek prędkości przyjmiemy kierunek na wschód, a układem odniesienia będzie ziemia, to wektor prędkości pociągu jest następujący ${\stackrel{\text{→}}{v}}_{\text{P,Z}}=10\stackrel{^}{i}{\rule{0.2em}{0ex}}\text{m/s}$, gdzie kierunek wschodni jest osią $x$, a indeks dolny P,Z oznacza, że chodzi nam o prędkość pociągu względem ziemi. Załóżmy teraz, że człowiek wstaje z fotela i idzie na tył pociągu z szybkością 2 m/s. Kierunek ruchu człowieka na zachód jest względem pociągu ujemny, dlatego prędkość człowieka względem pociągu jest wektorem ${\stackrel{\text{→}}{v}}_{\text{C,P}}=-2\stackrel{^}{i}{\rule{0.2em}{0ex}}\text{m/s}$ (indeks dolny C,P oznacza: człowiek względem pociągu). Jeśli teraz dodamy oba wektory prędkości do siebie, to dostaniemy wektor prędkości człowieka względem ziemi. Ta prędkość względna (ang. relative velocity) wynosi

Ruch względny w dwóch wymiarach

Poznane pojęcia zastosujemy teraz do opisu ruchu względnego na płaszczyźnie. Rozważmy punkt $P$
 i dwa układy odniesienia $S$ oraz ${S}^{\prime }$. Z każdym układem odniesienia związujemy inny układ współrzędnych, jak pokazano na [link]. Czasem w żargonie fizycznym te układy odniesienia nazywa się odpowiednio nieprimowanym i primowanym. Początek układu ${S}^{\prime }$ zmierzony w układzie $S$ dany jest wektorem ${\stackrel{\text{→}}{r}}_{\text{S',S}},$ położenie punktu $P$
 zmierzone w układzie ${S}^{\prime }$ wynosi ${\stackrel{\text{→}}{r}}_{\text{P,S'}},$ natomiast położenie punktu $P$
 w układzie $S$ jest ${\stackrel{\text{→}}{r}}_{\text{P,S}}.$

Zasady dynamiki Newtona

Wstęp

Pojęcie siły

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* różnic między kinematyką a dynamiką;
* rozumieć pojęcie siły;
* wykonywać proste diagramy sił;
* definiować jednostkę siły;
* opisywać siłę jako wektor.

Operacyjna definicja siły

Dynamika pozwala na opis sił i, w konsekwencji, przyczyn ruchu ciał w przyrodzie. Aby lepiej objaśnić to zagadnienie, należy wprowadzić podstawową definicję siły. Pomóc w zrozumieniu pojęcia siły może wyobrażenie sobie dość prostej sytuacji, w której raz ciągniemy, a raz pchamy jakieś ciało. Czynności te można opisać, podając wielkość (wartość) oraz kierunek przyłożonej do ciała siły. Widać stąd, że mamy do czynienia z wektorem. Możemy więc zdefiniować siłę jako ilościowy opis czynności pchania lub ciągnięcia pewnego obiektu, uwzględniający odpowiednie cechy, takie jak wielkość przyłożonej siły bądź jej kierunek. Siła opisywana jest jako wektor lub jako wielokrotność pewnej siły jednostkowej.

Dokładniejsza analiza pojęcia siły

Siłę można zdefiniować ilościowo, posługując się wzorcem (jednostką) siły, tak jak odległość mierzona jest w jednostkach odnoszących się do pewnego ustalonego wzorca. Jedną z możliwości tego typu definicji siły jest rozciągnięcie sprężyny na pewną ustaloną odległość ([link]) i przyjęcie siły powodującej powrót sprężyny do położenia równowagi za wzorzec siły. Wielkość wszystkich innych sił można wyrazić jako wielokrotność tego wzorca siły. Istnieje wiele innych możliwości i metod określenia jednostek siły. W dalszej części tego podrozdziału zostaną przedstawione inne alternatywne definicje siły.

Siła jako wektor

Jak wcześniej wspomniano, siła jest wielkością wektorową. Posiada wartość, kierunek i zwrot. Jednostką siły w układzie SI jest niuton (ang. newton), oznaczany jako N. Siła 1 N jest to siła potrzebna, aby ciału o masie 1 kg nadać przyspieszenie $1{\rule{0.2em}{0ex}}{\text{m/s}}^{2}$: $1{\rule{0.2em}{0ex}}\text{N}=1{\rule{0.2em}{0ex}}\text{kg}\cdot {\rule{0.2em}{0ex}}{\text{m/s}}^{2}.$ Łatwo zapamiętać, czym jest niuton, utożsamiając taką wartość z ciężarem jabłka ($Q$ wynosi wówczas około 1 N).

Pierwsza zasada dynamiki Newtona

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać zagadnienie pierwszej zasady dynamiki Newtona;
* rozpoznawać siłę tarcia jako siłę zewnętrzną;
* definiować pojęcie bezwładności;
* opisywać inercjalny układ odniesienia;
* opisywać układ jako stan równowagowy.

Grawitacja i bezwładność

Niezależnie od skali analizowanego obiektu – czy są to cząsteczki, czy też cząstki subatomowe – dwa pojęcia pozostają niezwykle ważne: grawitacja oraz bezwładność. Oba te pojęcia wiążą się ściśle z masą obiektu. *Masa* jest miarą ilości materii zawartej w danym obiekcie fizycznym. *Grawitacja* to oddziaływanie obserwowane w obecności pól grawitacyjnych, przejawiające się jako przyciąganie jednej masy przez drugą. Ona właśnie sprawia, że człowiek może stąpać po powierzchni Ziemi. Miarą tego oddziaływania jest siła, nazywana ciężarem bądź siłą ciężkości.

Inercjalne układy odniesienia

Pierwsze prawo Newtona mówi zatem, że: „Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym”. W ujęciu mechaniki newtonowskiej „ruch jednostajny prostoliniowy” oznacza ruch z pewną stałą prędkością, niezależną od czasu. W szczególnym przypadku może to być prędkość zerowa, czyli stan spoczynku danego ciała. Pierwsza zasada dynamiki Newtona stwierdza zatem, że prędkość obiektu pozostaje stała, jeśli działająca na ten obiekt siła wypadkowa wynosi 0.

Równowaga sił w układzie

Pierwsze prawo Newtona mówi nam o stanie równowagi w danym układzie, w którym wszystkie siły działające na obiekty są zrównoważone. Wróćmy jeszcze do analizowanego w rozdziale Pojęcie siły przykładu łyżwiarki popychanej przez dwie pozostałe ([link]). Wiemy, że siły ${\stackrel{\text{→}}{F}}_{1}$ i ${\stackrel{\text{→}}{F}}_{2}$ po dodaniu tworzą siłę wypadkową działającą na łyżwiarkę: ${\stackrel{\text{→}}{F}}_{\text{R}}={\stackrel{\text{→}}{F}}_{\text{wyp}}={\stackrel{\text{→}}{F}}_{1}+{\stackrel{\text{→}}{F}}_{2}$. W celu wytworzenia stanu równowagi w tym układzie należy przyłożyć do łyżwiarki taką siłę, aby siła wypadkowa na nią działająca się wyzerowała. Wartość tej siły musi być taka sama jak siły wypadkowej, lecz jej zwrot powinien być przeciwny do ${\stackrel{\text{→}}{F}}_{\text{wyp}}$, siła ta to zatem $-{\stackrel{\text{→}}{F}}_{\text{wyp}}$. W sytuacji łyżwiarki siły wypadkowa ${\stackrel{\text{→}}{F}}_{\text{wyp}}$ wynosi $\left(30,0\stackrel{^}{i}+40,0\stackrel{^}{j}\right){\rule{0.2em}{0ex}}\text{N}$. Zatem siła równoważąca siłę wypadkową powinna mieć postać $-{\stackrel{\text{→}}{F}}_{\text{R}}=\left(-30,0\stackrel{^}{i}-40,0\stackrel{^}{j}\right){\rule{0.2em}{0ex}}\text{N}.$

Druga zasada dynamiki Newtona

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* różnic między siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi;
* matematycznego opisu drugiej zasady dynamiki Newtona;
* wyjaśniać relacje między przyspieszeniem, siłą wypadkową i masą.

Siła a przyspieszenie

Na początku należy sobie uświadomić, co rozumiemy poprzez pojęcie zmiany ruchu. Otóż zmiana ruchu oznacza zmianę prędkości ciała. Zmiana prędkości świadczy o tym, że w układzie istnieje pewne przyspieszenie. Pierwsza zasada dynamiki Newtona mówi, że zewnętrzna siła wypadkowa powoduje zmiany ruchu ciał. Zatem *niezerowa siła wypadkowa jest przyczyną występowania w układzie przyspieszenia*.

Wektorowa forma drugiego prawa Newtona

Omówiliśmy drugą zasadę dynamiki Newtona i sformułowaliśmy ją w formie wektorowego [link]. To równanie wektorowe może być zapisane również w postaci trzech równań składowych:

Drugie prawo Newtona a pęd ciała

Newton sformułował swoje prawo również w odniesieniu do pędu ciała: „Szybkość zmian pędu ciała równa jest sile na nie działającej”. (Szybkość zmian rozumiana jest jako pochodna po czasie). Możemy to sformułowanie zapisać w formie równania:

Masa i ciężar ciała

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać różnice między masą i ciężarem ciała;
* wyjaśniać, dlaczego ciała spadają swobodnie w polu grawitacyjnym;
* opisywać zjawisko stanu nieważkości.

Jednostka siły

Równanie ${F}_{\text{wyp}}=ma$ używane jest w celu definiowania siły wypadkowej w funkcji masy, położenia i czasu. Jak już wspomnieliśmy, jednostką siły w układzie SI jest niuton. Skoro ${F}_{\text{wyp}}=ma,$ to

Ciężar ciała i siła grawitacji

Gdy upuszczamy jakiś przedmiot, opada on z pewnym przyspieszeniem w kierunku środka kuli ziemskiej. Drugie prawo Newtona mówi, że siła wypadkowa działająca na obiekt jest odpowiedzialna za jego przyspieszenie. Jeżeli siły oporu powietrza są zaniedbywalne, całkowita siła wypadkowa działająca na ciało to siła oddziaływania grawitacyjnego między obiektem a kulą ziemską, nazywana siłą ciężkości (lub inaczej ciężarem ciała) (ang. weight) $\stackrel{\text{→}}{Q}$. Ciężar ciała jest wielkością wektorową, ponieważ posiada zdefiniowany kierunek; siła ta skierowana jest *w dół*, zgodnie z wektorem natężenia pola grawitacyjnego. Galileusz udowodnił, że przy braku sił oporu powietrza wszystkie ciała spadają swobodnie z tym samym przyspieszeniem, dziś oznaczanym symbolem $g$. Korzystając z teorii Galileusza oraz drugiego prawa Newtona, możemy wyprowadzić równanie na ciężar ciała.

Trzecia zasada dynamiki Newtona

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* podawać treść trzeciej zasady dynamiki Newtona;
* identyfikować siły akcji i reakcji w różnych sytuacjach;
* stosować trzecie prawo Newtona w różnych układach w celu analizy ich ruchu.

Rodzaje sił

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* określać siły normalne i siły naciągu w układzie;
* rozróżniać siły rzeczywiste i pozorne;
* stosować zasady Newtona do rozwiązywania problemów dynamicznych.

Rodzaje sił: siły nacisku, naciągu i inne

Znajomość różnych rodzajów sił będzie bardzo przydatna przy dalszym rozważaniu problemów ruchu ciał. Mówimy tutaj o siłach nacisku, naciągu, tarcia czy siłach sprężystości.

Siły rzeczywiste i inercjalne układy odniesienia

Istnieje w przyrodzie wiele typów sił: niektóre z nich to siły rzeczywiste, natomiast inne to siły pozorne. *Siły rzeczywiste*  mają jakieś zdefiniowane fizyczne pochodzenie, na przykład przyciąganie grawitacyjne. W przeciwieństwie do nich siły pozorne pojawiają się w przypadkach, gdy obserwator znajduje się w układzie odniesienia doznającym przyspieszenia czyli nieinercjalnym. Układ ten może obracać się (jak np. karuzela) lub posiadać przyspieszenie liniowe (jak np. zwalniający samochód). Ciekawym przykładem może być to, że jeśli satelita porusza się na północ nad półkulą północną Ziemi, to obserwatorowi stojącemu na Ziemi będzie się wydawało, że doświadcza on działania siły skierowanej na zachód, która nie ma żadnej fizycznej przyczyny. Ziemia obraca się na wschód i względem satelity porusza się na wschód. W układzie odniesienia związanym z Ziemią wygląda to tak, jakby siła wywierana na satelitę skierowana na zachód, lub pogwałcona zostałaby pierwsza zasada dynamiki Newtona. Siły pozorne możemy identyfikować, zadając sobie pytanie: „Jaka jest w danym przypadku siła reakcji?”. Gdy nie możemy jej wskazać, to siła jest pozorna. W przykładzie z satelitą krążącym nad Ziemią siłą reakcji musiałaby być siła wywierana na Ziemię, skierowana na wschód. Inercjalny układ odniesienia to taki, w którym wszystkie siły są rzeczywiste, bądź -równoważnie - taki, w którym zasady dynamiki Newtona mają prostą postać podaną w tym rozdziale.

Rozkłady sił działających na ciała

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać zasady rysowania diagramów sił działających na ciała;
* tworzyć tego typu diagramy dla różnych sytuacji fizycznych.

Zastosowania zasad dynamiki Newtona

Wstęp

Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* stosować poznaną wcześniej metodologię rozwiązywania zadań fizycznych w bardziej złożonych układach sił;
* stosować podejście z kinematyki do rozwiązywania zagadnień związanych z zasadami dynamiki Newtona w ruchu postępowym;
* rozwiązywać bardziej złożone zadania dotyczące równowagi ciał;
* rozwiązywać bardziej złożone zadania dotyczące przyspieszenia ciał;
* stosować rachunek różniczkowy i całkowy do rozwiązywania bardziej złożonych zadań z dynamiki.

Strategia rozwiązywania zadań

W niniejszym rozdziale będziemy kontynuować przyjętą wcześniej metodologię rozwiązywania problemów fizycznych, ale zostanie ona wzbogacona o konkretne strategie stosowane w odniesieniu do zasad dynamiki Newtona (ang. Newton’s laws of motion). Po zidentyfikowaniu, jakie zasady i prawa fizyczne występują w zagadnieniu problemowym i po stwierdzeniu, że są to zasady dynamiki Newtona, można zastosować wymienione niżej kroki, aby znaleźć rozwiązanie. Metodologia ta opisuje liczne pojęcia, które są przydatne również w wielu innych dziedzinach fizyki. W opracowanych przykładach przedstawiono wiele strategii rozwiązywania różnorodnych problemów fizycznych, więc ich analiza pomoże ugruntować nabyte wcześniej umiejętności.

Równowaga ciała

Przypomnijmy, że ciało jest w równowadze, jeśli działające na nie siły zewnętrzne są zrównoważone. Statyczna równowaga obejmuje przedmioty w spoczynku, a równowaga dynamiczna obejmuje obiekty poruszające się bez przyspieszenia. Ważne jednak, aby pamiętać, że warunki te są względne. Na przykład obiekt może być w spoczynku, gdy jest oglądany z naszego układu odniesienia, ale ten sam przedmiot wydaje się być w ruchu, gdy jest obserwowany przez kogoś poruszającego się ze stałą prędkością. Rozwiążmy teraz kolejne zadanie związane z równowagą ciał (ang. particle equilibrium), bazując na wiedzy zdobytej podczas analizy rozdziału Zasady dynamiki Newtona.

Przyspieszenie ciała

Rozważyliśmy kilka przykładów ciał w równowadze. Teraz nasza uwaga skupi się na zadaniach z przyspieszeniem ciał (ang. particle acceleration), które wynika z istnienia niezerowej siły wypadkowej. Przyjrzyj się jeszcze raz strategii rozwiązywania zadań przedstawionej na początku tego rozdziału i zastanów się, jak można ją zastosować do poniższych przykładów.

Kinematyka i zasady dynamiki Newtona

Fizyka jest najbardziej pasjonująca, gdy stosuje się ją do ogólnych sytuacji, które wymagają więcej niż jednego wąskiego zbioru stosowanych zasad fizycznych. Tak właśnie jest z zasadami dynamiki Newtona, które w trakcie rozwiązywania zadań często łączy się z zasadami lub prawami występującymi w innych działach fizyki. Na przykład w celu przeanalizowania ruchu przyspieszonego ciała odwołujemy się nie tylko do zasad dynamiki Newtona, ale również do naszej wiedzy z kinematyki (ang. kinematics).

Tarcie

Abstract:
W tym rozdziale nauczysz się:
* charakteryzować siłę tarcia;
* wymieniać różne rodzaje siły tarcia;
* obliczać wartość tarcia statycznego i kinetycznego oraz stosować je w zadaniach z dynamiki.

Tarcie statyczne i kinetyczne

Podstawowa definicja tarcia (ang.
 friction)
 jest stosunkowo prosta.

Tarcie na równi pochyłej

Jedną z sytuacji, w której tarcie odgrywa istotną rolę, jest ruch ciała na zboczu. Czy rozpatrujemy przypadek skrzyni popchniętej na rampę stacji przeładunkowej czy deskorolkarza zjeżdżającego z górki, podstawowe zasady fizyki są takie same. Zawsze uogólniamy powierzchnię skośną i nazywamy ją równią pochyłą, zakładając jednocześnie, że powierzchnia jest płaska. Przyjrzyjmy się zatem zadaniu uwzględniającemu ruch z tarciem po równi pochyłej.

Tarcie w skali atomowej

Dotychczas analizowane zagadnienia opierały się na uproszczonej, makroskopowej naturze siły tarcia. Jednakże w ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat dokonano wielkich postępów w wyjaśnieniu natury siły tarcia w skali atomowej. Naukowcy odkryli, że atomowa natura tarcia wydaje się mieć kilka podstawowych cech. Te cechy nie tylko wyjaśniają niektóre z prostszych aspektów tarcia. Ich odkrycie stwarza również potencjał do konstruowania ośrodków prawie pozbawionych tarcia, co pomoże zaoszczędzić setki miliardów dolarów na energii zamienianej obecnie (niepotrzebnie) na ciepło.

Siła dośrodkowa

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać równania na siłę dośrodkową;
* stosować drugą zasadę dynamiki Newtona do wyprowadzania wyrażania na siłę dośrodkową;
* stosować wiedzę na temat ruchu obrotowego w zadaniach z dynamiki.

Profilowany zakręt

Rozważmy teraz ruch po wyprofilowanym (pochylonym) zakręcie (ang. banked curve), gdzie nachylenie drogi pomaga nam ten zakręt pokonać ([link]). Im większy jest kąt pochylenia drogi $\theta$, tym szybciej możesz przejechać przez zakręt. Tory wyścigowe dla rowerów, jak również dla samochodów, często
mają stromo pochylone zakręty. Idealnie wyprofilowany zakręt to taki, który mógłbyś przejechać
z daną prędkością bez udziału tarcia pomiędzy oponami a podłożem. Wyprowadźmy zatem
wzór na kąt pochylenia drogi $\theta$ w przypadku takiego idealnie wyprofilowanego zakrętu.

Siły bezwładności, układy nieinercjalne i siła Coriolisa

Co mają ze sobą wspólnego: start samolotu odrzutowego, pokonywanie zakrętu samochodem, jazda na karuzeli i ruch obrotowy cyklonu tropikalnego? W każdej sytuacji występują siły bezwładności, które wydają się wynikać z ruchu, ponieważ układ odniesienia obserwatora przyspiesza lub obraca się. Zapewne większość ludzi stwierdzi, że podczas startu samolotu pasażerowie są wciskani w fotel, ponieważ samolot przyspiesza wzdłuż pasa startowego. Z kolei fizyk patrzący na sytuację z zewnątrz stwierdzi, że pasażer pozostaje nieruchomy, podczas gdy fotel naciska na człowieka. Jeszcze powszechniej znane są doznania pojawiające się, kiedy kierowca samochodu wykonuje ostry zakręt – na przykład w prawo, jak to zostało przedstawione na [link]. Osoba kierująca czuje, jakby była wyrzucana w lewo względem samochodu i wciskana w drzwi auta. Jeśli na tylnym siedzeniu znajduje się jakiś przedmiot, np. piłka, to zacznie ona turlać się w lewo względem siedzenia. Z kolei fizyk obserwujący sytuację z zewnątrz stwierdziłby, że piłka porusza się po linii prostej, zaś to samochód porusza się w prawo.

Siła oporu i prędkość graniczna

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać siłę oporu za pomocą odpowiednich wyrażeń matematycznych;
* opisywać przykłady zastosowania siły oporu;
* definiować prędkość graniczną;
* obliczać prędkość graniczną ciała o znanej masie.

Siły oporu

Podobnie jak tarcie, siła oporu (ang. drag force)
 zawsze przeciwstawia się ruchowi ciała. Jednakże w przeciwieństwie do tarcia siła oporu jest proporcjonalna do pewnej funkcji prędkości ciała w danym płynie. Funkcja ta jest skomplikowana i zależy od kształtu obiektu, jego wielkości, prędkości i płynu, w jakim obiekt się znajduje. Dla większości dużych obiektów, takich jak rowerzyści czy samochody, które nie poruszają się zbyt wolno, wartość siły oporu ${F}_{\text{op}}$ jest proporcjonalna do kwadratu prędkości ciała. Zależność tą można zapisać matematycznie jako
 ${F}_{\text{op}}\propto {v}^{2}$. Jeśli uwzględnimy również inne czynniki, to pełne wyrażenie przyjmie postać:

Prędkość graniczna

Ciekawe obserwacje związane z drugą zasadą dynamiki Newtona można poczynić, gdy rozważa się ruch ciał, na które działa siła oporu. Na przykład rozważ ruch spadochroniarza spadającego pod wpływem siły ciężkości. Działają na niego dwie siły: grawitacji i oporu (pomijając znikomą siłę wyporu). Skierowana pionowo w dół siła ciężkości pozostaje stała, niezależnie od prędkości ruchu skoczka. Jednakże wraz ze wzrostem prędkości spadochroniarza rośnie siła oporu tak długo, dopóki nie zrówna się ona co do wartości z jego ciężarem. Wówczas siła wypadkowa będzie równa 0. Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona zerowa siła wypadkowa oznacza, że ruch spadochroniarza będzie jednostajny (nie występuje przyspieszenie). To z kolei oznacza, że skoczek osiągnął prędkość graniczną (ang. terminal speed)
 $\left({v}_{\text{gr}}\right)$. Jako że ${F}_{\text{op}}$ jest proporcjonalna do kwadratu prędkości, to cięższy spadochroniarz musi spadać szybciej, aby siła oporu ${F}_{\text{op}}$ zrównała się z ciężarem. Przeprowadźmy zatem przykładową analizę ilościową.

Analiza zależnych od prędkości sił oporu i tarcia

Kiedy ciało przesuwa się po powierzchni, siła tarcia jest w przybliżeniu stała i równa ${\mu }_{\text{k}}R$. Jednakże siła oporu działająca na ciało przesuwające się w cieczy lub gazie nie jest już tak prosta do opisania. W ogólności ta siła oporu będzie skomplikowaną funkcją prędkości ruchu ciała. Jednakże w uproszczonych sytuacjach, takich jak ruch ciała w cieczy po linii prostej z umiarkowaną prędkością, siła oporu może być przybliżona następującą zależnością:

Praca i energia kinetyczna

Wstęp

Praca

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* określać pracę wykonaną przez daną siłę;
* wyznaczać wartość wykonanej pracy.

Praca stałej siły oraz praca sił kontaktowych

Najprostszym przypadkiem pracy jest praca wykonana przez siłę o stałej wartości, zwrocie i kierunku. W tym przypadku siłę jako stałą możemy wyciągnąć przed znak całki i wyliczyć całkę tylko z przemieszczenia, które jest zależne wyłącznie od punktu początkowego $A$
 i końcowego $B$, a nie od drogi, na której działała siła. Możemy zapisać takie równanie jako:

Praca zmiennej siły

W ogólności siła i jej wartość może zmieniać się w różnych punktach przestrzeni. Infinitezymalna (nieskończenie mała) praca wykonana przez zmienną siłę może być opisana za pomocą składowych tej siły oraz odpowiadających im przemieszczeń zgodnie z zależnością:

Energia kinetyczna

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyznaczać energię kinetyczną dla ciała o znanej prędkości bądź pędzie;
* wyznaczać energię kinetyczną w różnych układach odniesienia.

Zasada zachowania energii mechanicznej

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wykorzystywać zasadę zachowania energii do opisu ruchu ciała, na które działają siły zewnętrzne;
* wykorzystywać zasady zachowania energii do wyznaczania sił działających na ciało w ruchu.

Moc

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* jak powiązać pracę z czasem, w którym została ona wykonana, poprzez wyznaczenie mocy;
* jak wyznaczyć moc wyzwoloną na skutek działania siły.

Energia potencjalna i zasada zachowania energii

Wstęp

Energia potencjalna układu

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wiązać różnicę energii potencjalnej z pracą wykonaną nad ciałem w układzie pozbawionym tarcia oraz oporu powietrza;
* wyjaśniać znaczenie zerowej energii potencjalnej w danym układzie;
* obliczać i stosować energię potencjalną grawitacji ciała znajdującego się w pobliżu powierzchni Ziemi, a także energię potencjalną sprężystości w układzie z masą na sprężynie.

Energia potencjalna: podstawy

W rozdziale Ruch w dwóch i trzech wymiarach analizowaliśmy ruch ciała w rzucie ukośnym podobny do tego przedstawionego na [link], gdzie zawodnik kopie piłkę. W tym przykładzie zignorujemy siły tarcia i opór powietrza. Podczas wznoszenia się piłki praca sił grawitacji ma znak ujemny, ponieważ przesunięcie pionowe piłki jest dodatnie (piłka się unosi), natomiast siła grawitacji jest skierowana w dół. Zauważmy, że piłka spowalnia w trakcie ruchu w górę, aż do momentu osiągnięcia najwyższego punktu swojego lotu. Ta „utracona” energia kinetyczna jest zamieniana na energię potencjalną grawitacji układu piłka-Ziemia.

Układy wielu cząstek

Rozpatrywany układ może zawierać wiele cząstek (lub w ogólności ciał fizycznych). Różnica energii potencjalnej będzie wtedy wyrażona poprzez wziętą z minusem pracę, wykonaną przez siły grawitacyjne lub sprężystości, które, jak to zobaczymy w następnych częściach rozdziału, są siłami zachowawczymi. Różnica energii potencjalnej zależy tylko i wyłącznie od końcowej różnicy położenia cząstek i od pewnych parametrów charakteryzujących oddziaływanie (np. masa w przypadku grawitacji albo stała sprężystości występująca w prawie Hooke'a).

Rodzaje energii potencjalnej

Dla każdego rodzaju oddziaływania zachowawczego w układzie możesz wprowadzić odpowiadającą mu energię potencjalną. Całkowita energia potencjalna układu jest równa sumie wszystkich rodzajów energii potencjalnej. Można je do siebie dodawać, ponieważ są to wielkości skalarne. Przeanalizujmy teraz pewne wybrane zagadnienia dla szczególnych rodzajów energii omawianej w rozdziale Praca. Najpierw rozważmy każdą z działających sił oddzielnie, a potem łącznie.

Siły zachowawcze i niezachowawcze

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać siły zachowawcze na kilka sposobów;
* podawać warunki, które muszą być spełnione przez siły zachowawcze;
* wiązać siły zachowawcze oddziałujące między cząsteczkami z ich energią potencjalną;
* obliczać składowe siły zachowawczej w różnych przypadkach.

Zasada zachowania energii

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* formułować zasadę zachowania energii mechanicznej z uwzględnieniem siły niezachowawczej lub bez niej;
* stosować zasadę zachowania energii mechanicznej do obliczania wartości różnych rodzajów energii w prostym układzie fizycznym.

Układ z pojedynczą cząsteczką lub ciałem

Rozważmy układ z jedną cząsteczką lub ciałem. Wracając do [link] przypomnijmy, że najpierw rozdzieliliśmy wszystkie siły działające na cząstkę na zachowawcze i niezachowawcze, a następnie zapisaliśmy pracę dla każdej z nich zgodnie z założeniami zasady równoważności pracy i energii. Zamieniliśmy pracę wykonywaną przez siły zachowawcze na zmianę energii potencjalnej cząstki i powiedzieliśmy, że możemy ją zamienić na energię kinetyczną, z czego uzyskaliśmy [link]. Zapiszmy zatem omawiane uprzednio równanie, pomijając środkowy krok. Zdefiniujmy sumę energii kinetycznej i potencjalnej (${E}_{k}+{E}_{p}=E$) jako energię mechaniczną (ang. mechanical energy) cząsteczki.

Układy wielu ciał

Układy fizyczne zazwyczaj zawierają więcej niż jedno ciało. Niemniej jednak zasada zachowania energii, na przykład taka jak w [link] albo [link], jest podstawowym prawem fizyki i jest prawdziwa dla każdego układu. Musimy jedynie pamiętać o uwzględnieniu energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich cząstek oraz pracy wszystkich sił niezachowawczych działających na nie. Lepiej jest odłożyć dalszą dyskusję na tę chwilę, gdy nauczymy się więcej na temat dynamiki układów zbudowanych z wielu cząstek, np. w rozdziałach Pęd i zderzenia, Obroty wokół stałej osi czy Moment pędu.

Wykresy energii potencjalnej

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* tworzyć i interpretować wykresy energii potencjalnej;
* wyjaśniać związek pomiędzy równowagą i energią potencjalną.

Źródła energii

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać podstawowe aspekty transferu i konwersji energii;
* wyjaśniać różnicę pomiędzy odnawialnymi i nieodnawialnymi źródłami energii.

Pęd i zderzenia

Wstęp

Pęd

Abstract:
W tym rozdziale nauczysz się:
 * wyjaśniać fizyczne znaczenie pędu;
* obliczać pęd poruszającego się ciała.

Popęd siły i zderzenia

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać fizyczne znaczenie popędu siły (impulsu siły);
* opisywać funkcję popędu siły;
* wskazywać związek między popędem siły a zderzeniami;
* stosować regułę o pędzie i popędzie do rozwiązywania zadań.

Rola popędu siły (impulsu)

Ponieważ impuls to efekt działania siły w określonym przedziale czasu, jego skutkiem jest wywołanie zmian w ruchu ciała. Przypomnijmy [link]:

Pęd i siła

W omówionym [link] otrzymaliśmy istotny związek:

Zasada zachowania pędu

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać znaczenie zasady zachowania pędu;
* prawidłowo oceniać, czy układ jest układem zamkniętym, czy nie;
* definiować układ, którego pęd jest zachowany;
* opisywać matematycznie zasadę zachowania pędu dla danego układu;
* obliczać nieznaną wielkość na podstawie zasady zachowania pędu.

Kiedy pęd jest zachowany?

Aby pęd układu nie zmieniał się w czasie, układ ten musi spełniać dwa warunki:

Co rozumiemy przez „układ”?

Układ (ang. system) (w rozumieniu fizyki, a ściślej – mechaniki) to zbiór obiektów, których ruch analizujemy (czy to w ujęciu kinematyki, czy dynamiki). Jeśli opisujemy proces odbijania się piłki od podłoża, prawdopodobnie interesuje nas ruch piłki, a nie ruch Ziemi, zatem naszym układem jest po prostu piłka. Jeżeli analizujemy proces zderzenia dwóch samochodów, układ fizyczny tworzą oba samochody ([link]).

Rodzaje zderzeń

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
 * rozpoznawać rodzaj zderzenia;
* prawidłowo oceniać, czy zderzenie jest sprężyste, czy nie;
* korzystać ze znajomości energii kinetycznej i pędu do analizy zderzenia.

Jeden na wiele

Pierwsza sytuacja to rozpad pojedynczego obiektu (lub obiektu traktowanego jako całość) na dwa lub więcej fragmentów. Przykładem może być petarda, układ *łuk-strzała* lub rakieta. Im więcej elementów powstaje po rozpadzie, tym trudniejsza staje się analiza, niemniej całkowity pęd układu przed i po rozpadzie pozostaje niezmieniony. Układ będzie miał jednak, niekiedy znaczną, łączną energię kinetyczną, mimo że wcześniej jej nie posiadał. Widzimy więc, że chociaż pęd układu jest zawsze zachowany, jego energia kinetyczna – już nie. W takim przypadku, gdy ciało rozpada się na więcej fragmentów i energia kinetyczna układu wzrasta – mówimy o eksplozji (ang. explosion).

Wiele na jeden

Druga możliwość jest odwrotnością pierwszej: dwa lub więcej ciał zderza się i łączy ze sobą, tworząc jeden obiekt. Masa tego obiektu jest sumą mas ciał zderzających się, a prędkość ruchu takiego „produktu” jest określona zasadą zachowania pędu. W tym przypadku również okazuje się, że pęd układu przed i po zderzeniu nie ulega zmianie, natomiast jego energia kinetyczna tym razem maleje. Tego typu zderzenie nazywamy niesprężystym (ang. inelastic collision).

Wiele na wiele

Przypadek, w którym ciała zderzają się i odbijają się od siebie, a następnie oddalają z taką samą prędkością względną jest zderzeniem sprężystym (ang. elastic collision). Wówczas zmiana energii kinetycznej układu jest równa zeru, zatem jego energia kinetyczna jest zachowana.

Zderzenia i pęd w skali subatomowej

Zasada zachowania pędu okazuje się kluczowa w rozumieniu zjawisk w skali atomowej i subatomowej, ponieważ głównie dzięki eksperymentom zderzeniowym możemy się czegoś dowiedzieć o tych maleńkich cząstkach.

Zderzenia w wielu wymiarach

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyrażać pęd na płaszczyźnie;
* zapisywać zasadę zachowania pędu z uwzględnieniem składowych pędu;
* obliczać pęd jako wektor na płaszczyźnie.

Środek masy

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
 * wyjaśniać znaczenie i użyteczność pojęcia środka masy;
* obliczać położenie środka masy danego układu;
* wykorzystywać koncepcję środka masy w układach dwu- i trójwymiarowych;
* obliczać prędkość i przyspieszenie środka masy.

Siły wewnętrzne i zewnętrzne

Załóżmy, że opisujemy ciało o masie $M$, składające się z $N$
 oddziałujących ze sobą elementów o masach ${m}_{1},{m}_{2},{m}_{3},\dots ,{m}_{N}$. Masę całkowitą tego ciała zapiszemy jako:

Siła i pęd

Naszym obecnym celem jest podać równanie ruchu dla całego, złożonego obiektu. Aby to uczynić, zdefiniujmy:

Środek masy

Naszym kolejnym zadaniem jest określić położenie tego fragmentu ciała, którego dotyczy [link].

Środek masy w ciałach o rozkładzie ciągłym

Jeżeli masa danego ciała rozłożona jest jednorodnie w przestrzeni, w odróżnieniu od omówionego wcześniej układu mas dyskretnych, wówczas ${m}_{j}\text{→}\mathrm{d}m$, a sumowanie przechodzi w całkę:

Środek masy i zasada zachowania pędu

W jaki sposób łączy się koncepcja środka masy z zasadą zachowania pędu?

Napęd rakietowy

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać wykorzystanie zasady zachowania pędu, gdy masa i prędkość zmieniają się w czasie;
* obliczać prędkość rakiety w przestrzeni kosmicznej przy danych parametrach początkowych;
* obliczać prędkość rakiety w warunkach grawitacji ziemskiej przy danych parametrach początkowych.

Analiza fizyczna ruchu

Omówimy teraz, co dzieje się podczas ruchu rakiety w przestrzeni kosmicznej oraz omówimy fizyczną naturę tego procesu:

Rakieta w polu grawitacyjnym Ziemi

Przeanalizujmy teraz zmiany prędkości rakiety podczas fazy startu w polu grawitacyjnym Ziemi. Przyjmijmy, że w omawianym na tym etapie przedziale wysokości przyspieszenie grawitacyjne traktujemy jako stałe i wynoszące $g$.

Obroty wokół stałej osi

Wstęp

Zmienne opisujące ruch obrotowy

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać sens fizyczny zmiennych obrotowych w zastosowaniu do obrotu wokół stałej osi;
* wyjaśniać, jak prędkość kątowa jest związana z prędkością styczną;
* obliczać, znając zależność od czasu położenia kątowego, chwilową prędkość kątową w dowolnej chwili;
* wyznaczać prędkość kątową i przyspieszenie kątowe obracającego się ciała;
* obliczać średnie przyspieszenie kątowe, gdy prędkość kątowa się zmienia;
* obliczać chwilowe przyspieszenie kątowe, znając zależność prędkości kątowej od czasu.

Prędkość kątowa

Jednostajny ruch po okręgu (omówiony wcześniej w rozdziale Ruch w dwóch i trzech wymiarach) jest ruchem po okręgu ze stałą wartością prędkości (szybkością). Chociaż jest to najprostszy przypadek ruchu obrotowego, jest on bardzo przydatny w wielu sytuacjach. Użyjemy go, aby wprowadzić zmienne obrotowe.

Przyspieszenie kątowe

Właśnie omówiliśmy prędkość kątową dla ruchu jednostajnego po okręgu, ale nie wszystkie ruchy są jednostajne. Wyobraźmy sobie łyżwiarza wirującego z wyciągniętymi rękami – jeśli przyciągnie ręce do siebie, jego prędkość kątowa wzrośnie – lub wirujący dysk twardy komputera, zwalniający aż do zatrzymania po wyłączeniu. Omówimy tę sytuację w dalszych podrozdziałach, ale widzimy już potrzebę zdefiniowania przyspieszenia kątowego do opisu sytuacji, w których zmienia się $\omega$. Im szybciej zmienia się $\omega$, tym większe jest przyspieszenie kątowe. Zdefiniujmy chwilowe przyspieszenie kątowe (ang. instantaneous angular acceleration) jako pochodną prędkości kątowej po czasie:

Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
 * pisać równania kinetyczne dla obrotów ze stałym przyspieszeniem kątowym;
* wybierać odpowiednie równania służące do analizy ruchu w układzie wykonującym obroty wokół stałej osi spośród równań opisujących obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym;
* wykorzystać rozwiązanie, które zostało otrzymane w wyniku zastosowania równań kinetycznych, do weryfikacji graficznej analizy obrotów wokół stałej osi ze stałym przyspieszeniem kątowym.

Kinematyka ruchu obrotowego

Korzystając z naszej intuicji, rozpoczniemy od określenia, w jaki sposób zmienne obrotowe $\theta$, $\omega$, $\epsilon$ oraz czas $t$ są ze sobą powiązane. Na przykład w poprzednim podrozdziale widzieliśmy, że jeżeli wektor przyspieszenia kątowego koła zamachowego ma ten sam zwrot, co wektor prędkości, to jego prędkość kątowa wzrasta z upływem czasu, podobnie jak jego przemieszczenie kątowe. W przeciwnym przypadku, czyli jeżeli wektor przyspieszenia kątowego jest przeciwnie skierowany do wektora prędkości kątowej, jego prędkość kątowa z upływem czasu maleje. Możemy opisać te przypadki i wiele innych za pomocą spójnego układu równań kinematycznych ruchu obrotowego, przy założeniu stałego przyspieszenia kątowego. Taką metodę opisu ruchu obrotowego nazywamy kinematyką ruchu obrotowego (ang. kinematics of rotational motion).

Zastosowanie równań opisujących kinematykę ruchu obrotowego

Teraz na kilku prostych przykładach zobaczmy, w jaki sposób można w codziennych sytuacjach zastosować podstawowe zależności kinematyczne do analizy ruchu obrotowego.

Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
 * na podstawie równania dla ruchu postępowego pisać analogiczne równanie dla ruchu obrotowego;
* obliczać liniowe przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia punktów biorących udział w ruchu obrotowym na podstawie ich przyspieszenia i prędkości kątowej.

Zmienne kątowe a zmienne liniowe

Jeśli porównamy definicje zmiennych obrotowych (które zdefiniowane zostały w podrozdziale Zmienne opisujące ruch obrotowy) z definicjami zmiennych kinematycznych w ruchu postępowym, zdefiniowanymi w rozdziałach Ruch prostoliniowy i Ruch w dwóch i trzech wymiarach, zauważymy, że istnieje odwzorowanie wielkości liniowych na obrotowe. Położenie, prędkość liniowa i przyspieszenie liniowe mają swoje odpowiedniki w wielkościach obrotowych.

Związek pomiędzy wielkościami kątowymi i liniowymi

Przedstawmy teraz dwa związki między ruchem rotacyjnym i postępowym.

Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać różnicę pomiędzy energią kinetyczną w ruchu obrotowym a energią kinetyczną w ruchu postępowym;
* przedstawiać pojęcie momentu bezwładności zależnego od rozkładu masy względem osi obrotu;
* wyjaśniać, jak moment bezwładności ciała sztywnego wpływa na jego energię kinetyczną związaną z ruchem obrotowym;
* stosować zasadę zachowania energii mechanicznej do analizowania systemów poruszających się zarówno ruchem postępowym jak i obrotowym.;
* obliczać prędkość kątową obracającego się ciała w przypadku straty energii w wyniku działania sił niezachowawczych.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Dowolne obracające się ciało ma energię kinetyczną. Potrafimy policzyć energię kinetyczną ciała poruszającego się ruchem postępowym, lecz jak policzyć energię kinetyczną obracającego się ciała? Może to wydawać się bardzo skomplikowane, ponieważ w czasie wykonywania obrotu każdy punkt ciała sztywnego ma inną prędkość liniową. Jednakże w celu wyznaczenia energii kinetycznej ruchu obrotowego (ang. rotational kinetic energy) możemy posłużyć się prędkością kątową, która ma taką samą wartość dla każdego punktu obracającego się ciała. Na [link] pokazano przykład pracującej szlifierki, napędzanej silnikiem elektrycznym. Wirująca tarcza szlifierki posiada określoną energię kinetyczną ruchu obrotowego. W momencie styku z obrabianym przedmiotem dochodzi do wystąpienia tarcia. W rezultacie cząstki przedmiotu są odrywane od jego powierzchni i ze względu na dużą energię wyzwalaną w tym procesie dochodzi do ich zapalenia i emisji światła. Dodatkowo, obroty szlifierki wywołują drgania, których częstotliwość zawiera się w paśmie słyszalnym, stąd tego typu pracom towarzyszy hałas.

Moment bezwładności

Porównanie tego wyrażenia do formy zapisu energii kinetycznej w ruchu postępowym w rozdziale Praca i energia kinetyczna, $m{v}^{2}\text{/}2$, sugeruje, że mamy do czynienia z nową wielkością obrotową. Dodajmy ją do naszej listy zmiennych obrotowych i zależności pomiędzy zmiennymi obrotowymi a zmiennymi w ruchu postępowym. Wielkość $\sum _{j}{m}_{j}{r}_{j}^{2}$ jest odpowiednikiem masy w równaniu na energię kinetyczną ruchu postępowego. Jest to bardzo ważna nowa wielkość fizyczna opisująca ruch obrotowy. Nazywamy ją momentem bezwładności (ang. moment of inertia) $I$, a jej jednostką jest $\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^{2}$:

Stosowanie energii kinetycznej ruchu obrotowego

Zastosujmy teraz pojęcie energii kinetycznej ruchu obrotowego i momentu bezwładności do zaznajomienia się z energią ruchu obrotowego związaną z obrotami wybranych obiektów. Poniższe przykłady ułatwią również korzystanie z tych równań. Najpierw przyjrzyjmy się ogólnej strategii rozwiązywania zadań dotyczących energii ruchu obrotowego.

Obliczanie momentu bezwładności

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
 * obliczać moment bezwładności dla wysoce symetrycznych brył sztywnych,
* stosować twierdzenie Steinera do wyznaczania momentu bezwładności wokół dowolnej osi równoległej do osi, względem której znany jest moment bezwładności,
* obliczać moment bezwładności dla złożonych obiektów.

Moment bezwładności

Zdefiniowaliśmy moment bezwładności dla punktów materialnych jako: $I=\sum _{i}{m}_{i}{r}_{i}^{2}$, gdzie ${r}_{i}$ jest odległością $i$-tego punktu od osi obrotu, a ${m}_{i}$ oznacza masę $i$-tego punktu. Tak więc, wartość momentu bezwładności będzie zależała od wyboru osi, czyli od rozkładu masy względem osi. Aby się o tym przekonać, weźmy prosty przykład dwóch mas na końcu bezmasowej (o nieistotnie małej masie) sztangi i obliczmy moment bezwładności względem dwóch różnych osi (patrz [link]). W tym przypadku sumowanie jest proste: dwie masy na końcach sztangi można uważać za masy punktowe, a zatem suma ma tylko dwa składniki.

Twierdzenie Steinera

Podobieństwo między procesem obliczania momentu bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego środek i względem osi przechodzącej przez jego koniec jest uderzające i sugeruje, że może istnieć prostsza metoda wyznaczenia momentu bezwładności pręta wokół dowolnej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy. Taka oś jest nazywana osią równoległą (ang. parallel axis). Istnieje twierdzenie pozwalające nam wyznaczyć moment bezwładności względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy, jeżeli znamy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy. Jest to twierdzenie Steinera (ang. parallel axis theorem, Steiner's theorem), które podamy tu bez dowodu.

Moment siły

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać, jak wartość momentu siły zależy od wartości ramienia siły i kąta, jaki tworzy wektor siły z ramieniem siły;
* określać znak (dodatni lub ujemny) momentu siły używając reguły prawej dłoni;
* obliczać poszczególne momenty siły wokół wspólnej osi i sumować je w celu uzyskania wypadkowego momentu siły.

Definicja momentu siły

Do tej pory zdefiniowaliśmy wiele zmiennych obrotowych będących odpowiednikami zmiennych w ruchu postępowym. Zastanówmy się teraz, co jest odpowiednikiem siły. Ponieważ siły zmieniają ruch postępowy obiektów, odpowiednikiem w ruchu obrotowym musi być wielkość zmieniająca ruch obrotowy obiektu wokół osi. Jest to moment siły (ang. torque).

Obliczanie wartości wypadkowego momentu siły w przypadku obrotów ciał sztywnych wokół stałej osi

W poniższych przykładach obliczamy moment siły zarówno dla przykładów czysto rachunkowych, jak i dla występujących w ruchu obrotowym ciała sztywnego.

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
 * obliczać, w celu wyznaczenia przyspieszenia kątowego, moment siły dla układu ciał obracających się wokół ustalonej osi;
* wyjaśniać, jak zmiany momentu bezwładności układu wpływają na przyspieszenie kątowe przy stałej wartości momentu siły;
* analizować dynamikę ruchu obrotowego na podstawie wszystkich informacji omawianych do tej pory.

Równanie Newtona dla ruchu obrotowego

Dotychczas wiele z omówionych wielkości używanych do opisu ruchu obrotowego ma swoje odpowiedniki w wielkościach opisujących ruch postępowy. Ostatnią taką wielkością, którą omawialiśmy, był moment siły – obrotowy odpowiednik siły. Powstaje pytanie: czy dla ruchu obrotowego istnieje równanie analogiczne do drugiego prawa Newtona dla ruchu postępowego, $\sum \stackrel{\text{→}}{F}=m\stackrel{\text{→}}{a}$, które zawiera moment siły? Aby odpowiedzieć na to pytanie, przeanalizujmy na początek ruch cząstki punktowej o masie $m$ poruszającej się dookoła pewnej osi, po okręgu o promieniu $r$. Niech na tę cząstkę działa stała co do wartości siła $F$ (patrz rysunek).

Wyprowadzenie drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego w postaci wektorowej

Podobnie jak poprzednio, kiedy wyznaczaliśmy przyspieszenie kątowe, możemy również wyznaczyć wektor momentu siły. Drugie prawo dynamiki $\sum \stackrel{\text{→}}{F}=m\stackrel{\text{→}}{a}$ określa związek między siłą wypadkową a wielkością kinematyczną ruchu postępowego obiektu. Równoważnik tego równania dla ruchu obrotowego można otrzymać stosując zależność pomiędzy przyspieszeniem kątowym, położeniem i wektorem przyspieszenia stycznego:

Zastosowanie równań dynamiki ruchu obrotowego

Zanim zastosujemy równanie dynamiki ruchu obrotowego do opisu konkretnych codziennych sytuacji, ustalmy ogólną strategię rozwiązywania zadań w tej kategorii.

Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* stosować twierdzenie o równoważności pracy i energii do analizy ruchu obrotowego i obliczania, jaką pracę należy wykonać nad układem, aby obrócić go o określony kąt wokół stałej osi;
* wyznaczać, wykorzystując twierdzenie o równoważności pracy i energii, prędkość kątową obracającej się bryły sztywnej;
* wyznaczać moc dostarczaną obracającej się bryle sztywnej, biorąc pod uwagę moment obrotowy siły i prędkość kątową;
* weryfikować uzyskane wartości zmiennych kątowych i zastosowane równania;
* wskazywać związek otrzymanych wyników i użytych praw z odpowiednimi zmiennymi i prawami w ruchu postępowym.

Praca w ruchu obrotowym

Teraz, gdy wiemy już, jak wyznaczać energię ruchu obrotowego bryły sztywnej, możemy przejść do wyznaczenia pracy wykonanej nad ciałem sztywnym obracającym się wokół stałej osi. Rysunek poniżej przedstawia bryłę sztywną, która została obrócona o kąt $\mathrm{d}\theta$ od $A$ do $B$ w wyniku działania siły $\stackrel{\text{→}}{F}$. Siła zewnętrzna $\stackrel{\text{→}}{F}$ jest przyłożona w punkcie P, określonym przez wektor położenia $\stackrel{\text{→}}{r}$. Przedstawiona bryła sztywna obraca się wokół stałej osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez punkt $O$. Ponieważ oś obrotu nie zmienia swojego położenia, koniec wektora $\stackrel{\text{→}}{r}$ zakreśla okrąg o promieniu $r$, stąd wektor $\mathrm{d}\stackrel{\text{→}}{s}$ jest prostopadły do wektora $\stackrel{\text{→}}{r}$.

Moc w ruchu obrotowym

Moc pojawia się w każdej dyskusji na temat praktycznych zastosowań ruchu obrotowego w inżynierii i fizyce. Moc w ruchu obrotowym jest równie ważna jak moc w ruchu postępowym i można ją opisać w podobny sposób jak w ruchu postępowym, gdy działa stała siła. Moc stałej siły w ruchu postępowym wyraża się wzorem $P=\stackrel{\text{→}}{F}\cdot \stackrel{\text{→}}{v}$. Jeżeli wypadkowy moment siły jest stały w czasie całego przesunięcia kątowego, to równanie na pracę upraszcza się i wartość momentu siły może być wyłączona przed całkę. W dalszych rozważaniach będziemy zakładać, że moment siły jest stały. Możemy zatem zastosować definicję mocy wyprowadzoną w rozdziale Praca i energia kinetyczna. Tamże, moc chwilowa (lub po prostu moc) definiowana była jako szybkość wykonywania pracy:

Wielkości opisujące ruch obrotowy i postępowy.

Moment pędu

Wstęp

Toczenie się ciał

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać zjawisko toczenia się ciał bez poślizgu;
* wyjaśniać, jak w przypadku ruchu tocznego bez poślizgu zmienne liniowe związane są ze zmiennymi kątowymi;
* znajdować przyspieszenia liniowe i kątowe w ruchu tocznym bez poślizgu;
* obliczać statyczną siłę tarcia związaną z toczeniem się bez poślizgu;
* analizować ruch toczny ciał, używając zasady zachowania energii.

Toczenie bez poślizgu

Ludzie obserwowali toczenie się ciał bez poślizgu od czasu wynalezienia koła. Spójrzmy na przykład na wzajemne oddziaływanie opon samochodu i nawierzchni drogi. Jeśli kierowca podczas ruszania maksymalnie naciśnie pedał gazu, tak że opony obracają się, ale samochód nie porusza się do przodu, mamy do czynienia z tarciem kinetycznym pomiędzy oponami kół a powierzchnią drogi. Jeśli jednak kierowca będzie naciskał pedał gazu powoli, to spowoduje, że samochód ruszy do przodu, a opony kół będą toczyły się bez poślizgu. Wielu ludzi dziwi, że w rzeczywistości dolna część koła znajduje się w spoczynku w stosunku do podłoża, co oznacza, że tarcie między oponami a nawierzchnią drogi musi być tarciem statycznym. Na [link], rower wraz z rowerzystką jadącą w pozycji pionowej porusza się. Opony mają kontakt z nawierzchnią drogi, a nawet jeśli podczas toczenia część będąca w kontakcie, odkształca się nieznacznie, to nie dochodzi do poślizgu i opony przez pewien czas pozostają w stanie spoczynku w stosunku do powierzchni drogi. Aby tak było, tarcie między oponą i nawierzchnią drogi musi być tarciem statycznym.

Toczenie się z poślizgiem

W przypadku ruchu tocznego z poślizgiem zamiast siły tarcia statycznego występuje siła tarcia kinetycznego, określona przez współczynnik tarcia ${\mu }_{\text{k}}$. Sytuację taką przedstawiono na [link]. W przypadku poślizgu ${v}_{\text{ŚM}}-R\omega \ne 0$, gdyż punkt $P$ na kole nie jest w stanie spoczynku względem powierzchni, oraz ${v}_{P}\ne 0$. Zatem $\omega \ne {v}_{\text{ŚM}}{\rule{0.1em}{0ex}}\text{/}{\rule{0.1em}{0ex}}R$ i $\epsilon \ne {a}_{\text{ŚM}}{\rule{0.1em}{0ex}}\text{/}{\rule{0.1em}{0ex}}R$.

Zachowanie energii mechanicznej podczas toczenia się

W poprzednim podrozdziale przedstawiliśmy energię kinetyczną ruchu obrotowego. Każdy toczący się obiekt posiada energię kinetyczną ruchu obrotowego, a także energię kinetyczną ruchu postępowego i ewentualnie energię potencjalną. Łącznie z grawitacyjną energią potencjalną całkowita energia mechaniczna toczącego się ciała wynosi:

Moment pędu

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyznaczać wektor momentu pędu;
* obliczać całkowity moment pędu i moment siły względem punktu dla układu cząstek;
* obliczać moment pędu bryły sztywnej, obracającej się wokół stałej osi;
* obliczać moment siły przyłożony do bryły sztywnej, obracającej się wokół stałej osi;
* stosować zasadę zachowania momentu pędu do analizy ruchu ciał, które zmieniają swoją prędkość kątową (szybkość obrotów).

Moment pędu pojedynczej cząstki

[link] pokazuje cząstkę w położeniu $\stackrel{\text{→}}{r}$ z pędem $\stackrel{\text{→}}{p}=m\stackrel{\text{→}}{v}$ względem początku układu. Jej moment pędu można określić za pomocą wektorów położenia i pędu.

Moment pędu układu cząstek

Moment pędu układu cząstek to ważna wielkość fizyczna dla wielu dyscyplin naukowych, z których jedną jest astronomia. Rozważmy galaktykę spiralną, tj. obracającą się wyspę gwiazd, taką jak nasza Droga Mleczna. Poszczególne gwiazdy mogą być traktowane jako cząstki punktowe, z których każda ma swój własny moment pędu. Wektorowa suma poszczególnych momentów pędu daje łączny moment pędu galaktyki. W tej części opracujemy narzędzia dzięki którym będzie możliwe wyznaczenie całkowitego momentu pędu układu cząstek.

Moment pędu bryły sztywnej

Badaliśmy moment pędu pojedynczej cząstki, który uogólniliśmy na układ cząstek. Teraz zastosujemy omówione w poprzednim rozdziale metody, aby wprowadzić i rozwinąć koncepcję momentu pędu dla bryły sztywnej. Ciała niebieskie, takie jak planety, mają moment pędu spowodowany zarówno ich obrotem wokół osi, jak i ruchem orbitalnym wokół gwiazd. W inżynierii, wszystko, co obraca się wokół osi, posiada moment pędu, czego przykładem są koła zamachowe, śmigła samolotów oraz wirujące części w silnikach. Znajomość momentów pędu tych obiektów ma zasadnicze znaczenie przy konstrukcji układu, którego są one częścią.

Zasada zachowania momentu pędu

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* stosować zasadę zachowania momentu pędu w celu określenia prędkości kątowej w obracającym się układzie, w którym zmieniają się momenty bezwładności;
* wyjaśniać zmiany energii kinetycznej ruchu obrotowego, gdy w układzie zmienia się zarówno moment bezwładności, jak i prędkość kątowa.

Precesja żyroskopu

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać procesy fizyczne leżące u podstaw zjawiska precesji;
* obliczać prędkość kątową precesji żyroskopu.

Równowaga statyczna i sprężystość

Wstęp

Warunki równowagi statycznej

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* określać fizyczne warunki równowagi statycznej;
* rysować rozkład sił i momentów sił działających na ciało sztywne;
* rozumieć, w jaki sposób warunki równowagi pozwalają rozwiązywać problemy statyki.

Przykłady równowagi statycznej

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* analizować sytuacje równowagi statycznej;
* wykonywać rozkład sił dla rozciągłego obiektu w równowadze statycznej;
* ustalać i rozwiązywać warunki równowagi statycznej dla obiektów w równowadze, w różnych sytuacjach fizycznych.

Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać pojęcia naprężenia i odkształcenia w opisie sprężystych deformacji materiałów;
* opisywać rodzaje sprężystych deformacji przedmiotów i materiałów.

Naprężenie i odkształcenie rozciągające lub ściskające oraz moduł Younga

Rozciąganie lub ściskanie występuje wtedy, gdy dwie antyrównoległe siły o równej wartości działają na obiekt wzdłuż tylko jednego z jego wymiarów w taki sposób, że nie porusza się on. Taką sytuację przedstawia [link]. Pręt jest rozciągany lub ściskany przez parę sił działających wzdłuż jego długości, przyłożonych prostopadle do przekroju poprzecznego. Efektem wypadkowym działania takich sił jest zmiana długości pręta z pierwotnej ${L}_{0}$ przed pojawieniem się sił, na nową $L$ – pod wpływem działania sił. Zmiana ta $\text{Δ}L=L-{L}_{0}$ może być albo wydłużeniem (gdy $L$ jest większe niż pierwotna długość ${L}_{0}$) albo skróceniem (gdy $L$ jest mniejsze niż pierwotna długość ${L}_{0}$). Naprężenie i odkształcenie rozciągające występują, gdy siły rozciągają obiekt, powodując jego wydłużenie, a zmiana długości $\text{Δ}L$ jest dodatnia. Naprężenie i odkształcenie ściskające pojawiają się, gdy siły ściskają obiekt i powodują jego skrócenie, a zmiana długości $\text{Δ}L$ jest ujemna.

Naprężenie i odkształcenie objętościowe oraz moduł Helmholtza (moduł sprężystości objętościowej)

Kiedy zanurzamy się w wodzie, czujemy siłę naciskającą na każdą część ciała ze wszystkich stron. To, czego doświadczamy, jest to naprężenie objętościowe, czyli ciśnienie. Naprężenie objętościowe zawsze ma tendencję do zmniejszania objętości otoczonej powierzchnią zanurzonego obiektu. Siły ściskania zawsze są prostopadłe do powierzchni zanurzonego obiektu ([link]). Efektem ich działania jest zmniejszenie objętości zanurzonego obiektu o wielkość $\text{Δ}V$ w porównaniu z objętością ${V}_{0}$ obiektu przy braku naprężeń objętościowych. Ten rodzaj odkształcenia nazywa się odkształceniem objętościowym i określa go zmiana objętości w stosunku do pierwotnej objętości:

Naprężenie i odkształcenie ścinające oraz moduł Kirchhoffa

Koncepcje naprężenia i odkształcenia ścinającego dotyczą jedynie ciał stałych. Budynki i płyty tektoniczne to przykłady obiektów, narażonych na naprężenia ścinające. Zasadniczo pojęcia te nie dotyczą płynów.

Sprężystość i plastyczność

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać, w jakich granicach odkształcenie materiału jest sprężyste;
* opisywać, w jakim zakresie materiały wykazują zachowanie plastyczne;
* analizować sprężystość i plastyczność na wykresie naprężenie-odkształcenie.

Grawitacja

Wstęp

Prawo powszechnego ciążenia

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wymieniać przełomowe momenty w historii powstawania teorii grawitacji;
* wyznaczać siłę grawitacji między dwiema masami punktowymi;
* szacować siłę grawitacji między grupą obiektów posiadających masę.

Historia teorii grawitacji

Pierwsi filozofowie zastanawiali się, dlaczego ciała mają naturalną tendencję do spadania na ziemię. Arystoteles (384–322 p.n.e.) wierzył, że z natury skała szuka Ziemi, a ogień z natury szuka niebios. Brahmagupta (598~665) postulował, że Ziemia jest kulą i wszystkie ciała pozostają do niej w naturalnym powinowactwie, spadając w kierunku jej środka niezależnie od tego, gdzie się znajdują.

Prawo powszechnego ciążenia

Newton zauważył, że ciała przy powierzchni Ziemi (znajdujące się w odległości ${R}_{Z}$ od środka Ziemi) spadają swobodnie z przyspieszeniem $g$ a przyspieszenie dośrodkowe Księżyca, znajdującego się w odległości około $60{R}_{Z}$, jest około ${60}^{2}$ razy mniejsze niż $g$. Mógł to wyjaśnić zakładając, że pomiędzy dowolnymi dwoma ciałami istnieje siła, której wartość jest proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał, podzielonego przez kwadrat odległości między nimi. Dzisiaj wiemy, że odwrotna proporcjonalność do kwadratu odległości jest powszechna w przyrodzie dla źródeł punktowych. Siła, pochodząca od dowolnego źródła punktowego, rozkłada się równomiernie na powierzchni kuli o promieniu $r$, której środek znajduje się w punkcie, w którym zlokalizowane jest źródło. Powierzchnia tej kuli jest proporcjonalna do ${r}^{2}$. W późniejszych rozdziałach zobaczymy tę samą zależność od odległości dla elektrostatycznej siły kulombowskiej.

Doświadczenie Cavendisha

Prawie wiek później, po tym jak Newton ogłosił prawo powszechnego ciążenia, Henry Cavendish (1731–1810) wyznaczył stałą proporcjonalności $G$, przeprowadzając żmudny eksperyment. Skonstruował on urządzenie podobne do przedstawionego na [link]. W stanie równowagi, dwie sztywno zamocowane duże masy umieszczone są symetrycznie w pobliżu dwóch mniejszych mas zawieszonych na skrętnej nici. Przyciąganie grawitacyjne między masami powoduje skręcenie nici, którego wartość można zmierzyć.

Grawitacja przy powierzchni Ziemi

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać związki między stałymi $G$ i $g$;
* wyznaczać masę ciał niebieskich na podstawie wartości przyspieszenia grawitacyjnego na ich powierzchni;
* opisywać, w jaki sposób wartość $g$ zmienia się w zależności od położenia i prędkości obrotowej Ziemi.

Ciężar ciała

Przypomnijmy, że przyspieszenie swobodnie spadających ciał przy powierzchni Ziemi wynosi około $g=9,8{\rule{0.2em}{0ex}}{\text{m/s}}^{2}$. Siła, która jest źródłem tego przyspieszenia, nazywana jest siłą ciężkości lub potocznie ciężarem ciała. Na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona ma ona wartość $mg$. Siła ta występuje niezależnie od tego, czy ciało spada swobodnie, czy nie. Teraz już wiemy, że ciężar jest to siła grawitacji działająca pomiędzy ciałem o masie $m$
 i Ziemią. Podstawiając $mg$
 w miejsce wartości siły ${\stackrel{\text{→}}{F}}_{12}$ w prawie powszechnego ciążenia, $m$
 za ${m}_{1}$ oraz ${M}_{Z}$ za ${m}_{2}$, otrzymujemy równanie:

Pole grawitacyjne

[link] jest równaniem skalarnym, określającym zależność wartości przyspieszenia grawitacyjnego jako funkcję odległości od środka masy ciała, będącego źródłem tego przyspieszenia. Możemy jednak zachować postać wektorową siły grawitacji w [link], i zapisać przyspieszenie w postaci wektorowej jako:

Ciężar pozorny: wykazanie ruchu obrotowego Ziemi

W podrozdziale Zastosowania praw Newtona dowiedzieliśmy się, że na ciała poruszające się ze stałą prędkością po okręgu działa przyspieszenie dośrodkowe, skierowane wzdłuż promienia w kierunku środka tego okręgu. Oznacza to, że musi istnieć wypadkowa siła skierowana do środka okręgu. Ponieważ wszystkie ciała na powierzchni Ziemi poruszają się po okręgu z okresem wynoszącym 24 godziny, to musi istnieć wypadkowa siła dośrodkowa, działająca na każde z nich skierowana w kierunku środka tego okręgu. O sile dośrodkowej, a nie odśrodkowej, mówimy tylko wtedy, gdy obserwator zewnętrzny, nie znajdujący się na Ziemi, stwierdza, że tą siłą dośrodkową jest w istocie realna siła grawitacji. O sile i przyspieszeniu odśrodkowym może mówić obserwator znajdujący się na Ziemi, czyli odczuwający siłę odśrodkową bezwładności.

Przypadek większych szerokości geograficznych

Przy zbliżaniu się do biegunów ${a}_{d}\text{→}0$ i na samych biegunach ${F}_{s}=mg$, tak samo jak w przypadku braku ruchu obrotowego Ziemi. Dla każdej innej szerokości geograficznej $\phi$, sytuacja jest bardziej skomplikowana. Przyspieszenie dośrodkowe jest skierowane w kierunku zaznaczonego na rysunku punktu $P$, a wówczas promień okręgu $r={R}_{Z}\mathrm{cos}\phi$. Suma wektorowa siły ciężkości i ciężaru pozornego musi być skierowana do punktu
$P$. Różnica ta jest mała i znacznie wyolbrzymiona na rysunku. W konsekwencji siła ${\stackrel{\text{→}}{F}}_{s}$ nie ma już kierunku wzdłuż promienia od środka Ziemi, lecz jest nieznacznie odchylona (niewidoczne na rysunku). Ciężarek zawieszony na linie będzie zawsze wyznaczał pion także wzdłuż tego odchylonego kierunku. Wszystkie budynki na Ziemi są ustawione także wzdłuż odchylonego kierunku, a nie wzdłuż promienia Ziemi. W przypadku najwyższych budynków odchylenie to na ich szczycie wynosi około 1 metra.

Grawitacja z dala od powierzchni

Zaczęliśmy nasze rozważania bez podania dowodu na to, że prawo powszechnego ciążenia ma zastosowanie do sferycznie symetrycznych ciał, gdzie można przyjąć, że cała masa takiego ciała zlokalizowana jest w jego środku. Ponieważ [link] wywodzi się z [link], jest ono także poprawne dla sferycznie symetrycznie rozłożonej masy, ale oba równania są poprawne tylko dla $r\ge {R}_{\text{Z}}$. Jak widzieliśmy w [link], 400 km nad powierzchnią Ziemi, gdzie orbituje Międzynarodowa Stacja Kosmiczna, wartość $g$
 wynosi $8,67{\rule{0.2em}{0ex}}{\text{m/s}}^{2}$. (Dalej zobaczymy, że jest to także wartość przyspieszenia dośrodkowego stacji, czyli takiego, które rejestruje obserwator będący z dala od stacji. Astronauta na stacji odczuwa takie samo co do wartości przyspieszenie, jednak jest ono skierowane na zewnątrz orbity i nazywa się przyspieszeniem odśrodkowym).

Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* określać zmianę energii potencjalnej pola grawitacyjnego na dużych odległościach;
* stosować zasadę zachowania energii do wyznaczania prędkości ucieczki;
* określać, czy ciała astronomiczne oddziałują grawitacyjnie.

Grawitacyjna energia potencjalna ponad powierzchnią Ziemi

Zdefiniowaliśmy pracę i energię potencjalną w rozdziałach Praca i energia kinetyczna oraz Energia potencjalna i zasada zachowania energii. Definicje te są przydatne głównie z uwagi na łatwość, z jaką możemy rozwiązać wiele problemów, korzystając z zasady zachowania energii. Energia potencjalna jest szczególnie użyteczna w przypadku sił, których wartość zależy od położenia, a siły grawitacyjne oddziałują na duże odległości. W rozdziale Energia potencjalna i zasada zachowania energii pokazaliśmy, że zmiana grawitacyjnej energii potencjalnej przy powierzchni Ziemi wynosi $\text{Δ}U=mg\left({y}_{2}-{y}_{1}\right)$. Równanie to jest poprawne przy założeniu, że $g$
 nie zmienia się znacznie między punktami ${y}_{1}$ i ${y}_{2}$. Wrócimy teraz do definicji pracy i energii potencjalnej, by wyprowadzić wyrażenie, które jest poprawne dla większych różnic odległości.

Zasada zachowania energii

W rozdziale Energia potencjalna i zasada zachowania energii, pokazaliśmy jak zastosować zasadę zachowania energii dla układów, w których występują siły zachowawcze. Udało nam się prościej rozwiązać wiele problemów, szczególnie tych związanych z grawitacją, korzystając z zasady zachowania energii. Metody te i sposoby rozwiązywania zadań stosuje się równie dobrze tutaj. Jedyną zmianą jest umieszczenie nowego wyrażenia na energię potencjalną w równaniu zasady zachowania energii $E={E}_{{K}_{1}}+{U}_{1}={E}_{K2}+{U}_{2}$.

Orbity satelitów i ich energia

Abstract:
w tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać mechanizm ruchu po orbitach kołowych;
* znajdować okres i prędkość ruchu satelitów po orbicie;
* określać, czy ciała oddziałują grawitacyjnie.

Orbity kołowe

Jak wspomnieliśmy na początku tego rozdziału, Mikołaj Kopernik pierwszy zasugerował, że Ziemia i wszystkie pozostałe planety krążą wokół Słońca po okręgu. Zauważył także, że okres obiegu po orbicie zwiększa się wraz z odległością od Słońca. Późniejsza analiza przeprowadzona przez Keplera wykazała, że orbity te są w rzeczywistości eliptyczne, chociaż orbity większości planet w Układzie Słonecznym są prawie okrągłe. Odległość orbity Ziemi od Słońca zmienia się zaledwie o 2%. Wyjątkiem jest niecentryczna orbita Merkurego, którego odległość od Słońca zmienia się o prawie 40%.

Energia na orbitach kołowych

W rozdziale Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego dowiedzieliśmy się, że obiekty są związane grawitacyjnie, jeżeli ich całkowita energia jest ujemna. Zostało to omówione w prostym przypadku, gdy prędkość ciała była skierowana bezpośrednio do lub od planety. Wyznaczymy teraz energię całkowitą na orbicie kołowej i pokażemy, że rzeczywiście jest ona wówczas ujemna. Podobnie jak poprzednio, zaczniemy od zastosowania drugiej zasady dynamiki Newtona do orbity kołowej:

Prawa Keplera

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać krzywe stożkowe i określać ich związek z ruchem po orbicie;
* opisywać, w jaki sposób prędkość orbitalna związana jest z zasadą zachowania momentu pędu;
* wyznaczać okres ruchu planet po orbicie eliptycznej na podstawie długości jej osi wielkiej.

Pierwsze prawo Keplera

W czasach Keplera przeważał pogląd, że wszystkie orbity planetarne są okrągłe. Dane zarejestrowane dla Marsa stanowiły największe wyzwanie dla tego założenia i w końcu zachęciły Keplera, by zmierzyć się z tym powszechnym przekonaniem. Pierwsze prawo Keplera (ang. Kepler’s first law) stwierdza, że każda planeta porusza się po elipsie, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk tej elipsy. Elipsa jest definiowana jako zbiór wszystkich punktów, których suma odległości od każdego z dwóch punktów, zwanych ogniskami elipsy, jest stała. [link] przedstawia elipsę i pokazuje, w jaki sposób można ją łatwo narysować.

Podróże międzyplanetarne

Ludzie marzyli o podróżowaniu na inne planety naszego Układu Słonecznego, od kiedy tylko zostały one odkryte. Ale w jaki sposób można najłatwiej do nich dotrzeć? Najbardziej efektywna metoda została podana w 1925 roku przez Waltera Hohmanna. Zainspirowała go jedna z popularnych w tamtych czasach powieści science fiction. Metoda ta nazywa się teraz manewrem transferowym Hohmanna. W przypadku podróży pomiędzy dwoma orbitami kołowymi transfer odbywa się po eliptycznej orbicie transferowej Hohmanna, która jest styczna do tych orbit w aphelium i peryhelium elipsy. [link] przedstawia przypadek podróży z orbity Ziemi na orbitę Marsa. Tak jak poprzednio, Słońce znajduje się w ognisku elipsy.

Drugie prawo Keplera

Drugie prawo Keplera (ang. Kepler’s second law) mówi, że prędkość polowa planety (ang. areal velocity) na orbicie jest stała. Prędkość polową planety definiujemy jako stosunek pola powierzchni zakreślonego przez promień wodzący planety do czasu, w którym planeta przebywa, odpowiadającą temu polu odległość po orbicie. Przyjrzyjmy się [link]. Czas potrzebny, by planeta przemieściła się z położenia $A$
 do $B$, zakreślając powierzchnię ${S}_{1}$, jest dokładnie równy czasowi potrzebnemu by planeta przemieściła się z położenia $C$
 do $D$, zakreślając powierzchnię ${S}_{2}$ oraz dokładnie taki sam, by przemieściła się ona z położenia $E$
 do $F$, zakreślając powierzchnię ${S}_{3}$, pod warunkiem, że wszystkie te trzy pola powierzchni są takie same: ${S}_{1}={S}_{2}={S}_{3}$.

Trzecie prawo Keplera

Trzecie prawo Keplera (ang. Kepler’s third law) mówi, że kwadrat okresu obiegu planety jest proporcjonalny do sześcianu wielkiej półosi jej orbity. W podrozdziale Orbity satelitów i ich energia, wyprowadziliśmy trzecie prawo Keplera dla szczególnego przypadku orbity kołowej. [link] określa okres obiegu ciała po orbicie kołowej o promieniu $r$
 wokół Ziemi:

Siły pływowe

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać pochodzenie pływów oceanicznych na Ziemi;
* opisywać różnice między niskimi i wysokimi pływami;
* opisywać, jak siły pływowe oddziałują w układach podwójnych.

Pływy księżycowe

Mieszkańcy niemal dowolnego wybrzeża oceanicznego na świecie mogą dwa razy dziennie obserwować podnoszenie się i opadanie poziomu wody. Jest to spowodowane obrotem Ziemi wokół własnej osi, połączonym z przyciąganiem grawitacyjnym zarówno Księżyca, jak i Słońca.

Wpływ Słońca na pływy oceaniczne

Oprócz sił pływowych pochodzących od grawitacji Księżyca, wpływ na poziom wody w ziemskich oceanach wywiera także siła grawitacji Słońca. Przyciąganie grawitacyjne Słońca działające na dowolne ciało na Ziemi jest prawie 200 razy większe od przyciągania Księżyca. Jednak, jak wykażemy w następnym przykładzie, wpływ Słońca na pływy morskie, pomimo że jest znaczący, to jest jednak mniejszy niż Księżyca. W zależności od pozycji Księżyca i Słońca względem Ziemi, wypadkowa siła pływowa może być wzmocniona lub osłabiona.

Wysokość pływów

Dzięki szczegółowym danym na temat pozycji Księżyca i Słońca można przewidzieć dokładny czas wystąpienia maksymalnych i minimalnych pływów w większości miejsc na naszej planecie.

Inne skutki działania sił pływowych

Siły pływowe istnieją pomiędzy dowolnymi dwoma ciałami. Rozciągają one ciała wzdłuż linii prostej przechodzącej przez ich środki. Choć wpływ sił pływowych na ziemskie oceany jest codziennie widoczny, ich długotrwałe skutki działania nie mogą być tak łatwo zaobserwowane. Jedną z konsekwencji występowania sił pływowych jest rozproszenie kinetycznej energii obrotowej, wskutek tarcia podczas zmiany kształtu samych ciał. Prędkość obrotowa Ziemi maleje, gdyż siły pływowe przekształcają energię obrotową w ciepło. Drugi efekt jest związany z rozproszeniem energii i zachowaniem momentu pędu. Nazywa się on obrotem synchronicznym. Zjawisko to występuje w przypadku większości księżyców w naszym Układzie Słonecznym, w tym także w przypadku ziemskiego Księżyca. Księżyc odwrócony jest w stronę Ziemi zawsze tą samą stroną — jego okres obrotu wokół własnej osi jest taki sam, jak okres obrotu Ziemi. Ziemia, tracąc swą prędkość obrotową, ostatecznie zwróci się jedną stroną ku Księżycowi. Kiedy tak się stanie, nie będziemy mogli obserwować już pływów, ponieważ wezbrane wody pozostaną na Ziemi na stałe w tym samym miejscu. Wówczas Księżyc będzie widoczny stale z jednej półkuli ziemskiej, podczas gdy mieszkańcy drugiej połowy planety nigdy już go nie zobaczą. Proces ten potrwa jednak wiele miliardów lat i być może nie zakończy się przed wygaśnięciem naszego Słońca.

Teoria grawitacji Einsteina

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać, w jaki sposób teoria względności jest powiązana z grawitacją;
* wyjaśniać zasadę równoważności;
* obliczać promień Schwarzschilda;
* podawać dowody istnienia czarnych dziur.

Rewolucja w podejściu

W 1905 roku Albert Einstein (1879–1955) opublikował szczególną teorię względności (ang. Theory of Special Relativity). Teoria ta została omówiona szczegółowo w rozdziale Teoria względności, więc powiemy w tym miejscu o niej tylko kilka słów. W teorii tej, prędkość żadnego ciała nie może przekroczyć prędkości światła — jest ona swoistym ograniczeniem prędkości w całym Wszechświecie. Ten prosty fakt został zweryfikowany w niezliczonych eksperymentach. Niesie on jednak ze sobą fundamentalne konsekwencje — przestrzeń i czas nie są absolutne. Dwie osoby poruszające się względem siebie nie zgadzają się co do wyniku pomiaru długości poruszających się obiektów oraz upływającego czasu. Prawie wszystkie prawa mechaniki, których nauczyłeś się w poprzednich rozdziałach, pomimo że są wyjątkowo dokładne nawet przy prędkościach rzędu wielu tysięcy kilometrów na sekundę, zaczynają zawodzić, gdy prędkość ciała zbliża się do prędkości światła.

Zasada równoważności

Einstein doszedł po części do ogólnej teorii względności, zastanawiając się, dlaczego ktoś, kto spada swobodnie nie czuje swojej wagi. Powszechnie mówi się, że astronauci na orbicie Ziemi są w stanie nieważkości pomimo faktu, że grawitacja Ziemi jest tam wciąż stosunkowo silna. W ogólnej teorii względności Einsteina nie ma żadnej różnicy pomiędzy spadkiem swobodnym i przebywaniem w stanie nieważkości. Jest to tak zwana zasada równoważności (ang. Principle of Equivalence). Równie zaskakującym następstwem tej zasady jest fakt, że nie ma różnicy między jednorodnym polem grawitacyjnym i jednostajnym przyspieszeniem w przypadku braku grawitacji. Skupmy się na tym ostatnim stwierdzeniu. Chociaż doskonale jednorodne pole grawitacyjne istnieje tylko teoretycznie, możemy korzystać z takiego przybliżenia do opisu pól rzeczywistych.

Geometryczne podejście do teorii grawitacji

Geometria euklidesowa zakłada, że przestrzeń jest płaska. Jej najpowszechniej znane cechy to: linia prosta jest najkrótszą odległością pomiędzy dwoma punktami, suma kątów każdego trójkąta wynosi 180 stopni, a linie równoległe nigdy się nie przecinają. Geometrie nieeuklidesowe to takie, w których co najmniej jeden z aksjomatów geometrii euklidesowej nie jest spełniony. Nie były one przedmiotem dokładnych badań aż do XIX wieku, więc nie dziwi nas fakt, że przestrzeń euklidesowa występuje we wszystkich prawach Newtona.

Czarne dziury

Teoria grawitacji Einsteina jest wyrażona jednym pozornie prosto wyglądającym równaniem tensorowym (tensor to uogólnienie skalara i wektora), które mówi, w jaki sposób masa zakrzywia czasoprzestrzeń wokół niej. Jedno z rozwiązań tego równania prowadzi do jednego z najbardziej fascynujących przewidywań tej teorii: istnienia czarnej dziury (ang. black hole). Powstanie czarnych dziur polega na tym, że jeśli dany obiekt jest wystarczająco gęsty, to zapada się pod wpływem własnej grawitacji i jest otoczony horyzontem zdarzeń (ang. event horizon). Cokolwiek znajdzie się w jego wnętrzu, nie może uciec spod wpływu przyciągania grawitacyjnego czarnej dziury. Nazwa „czarna dziura” została wymyślona przez astronoma Johna Wheelera (1911–2008) w 1969 roku. Wynika ona z faktu, że nawet światło nie może uciec spod wpływu przyciągania grawitacyjnego takiego obiektu. Karl Schwarzschild (1873–1916) był pierwszą osobą, która zauważyła ten fakt w 1916 roku, ale w owym czasie uważano go głównie za matematyczną osobliwość.

Mechanika płynów

Wstęp

Płyny, gęstość i ciśnienie

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać stany skupienia materii;
* opisywać cechy stanów skupienia materii na poziomie molekularnym i atomowym;
* określać różnice między materiałami ściśliwymi i nieściśliwymi;
* definiować ciśnienie i jego jednostki w układzie SI;
* porównywać gęstości różnych substancji;
* opisywać związek między ciśnieniem a siłą;
* obliczać siłę, znając ciśnienie i pole powierzchni.

Cechy ciał stałych

Ciała stałe są sztywne i mają konkretne kształty oraz określone objętości. Ich atomy lub cząstki znajdują się blisko siebie i oddziałują ze sobą znacznymi siłami. Ciała stałe przyjmują postać określoną przez rodzaje tych oddziaływań pomiędzy molekułami. Mimo że rzeczywiste ciała stałe nie są nieściśliwe, to zmiana ich kształtu wymaga zadziałania dużą siłą. W niektórych przypadkach oddziaływania między molekułami mogą sprawić, że cząstki zorganizują się w sieć, jak pokazano na [link]. Strukturę tej trójwymiarowej sieci można przedstawić przy pomocy cząstek powiązanych ze sobą sztywnymi więzami (przedstawionymi jako sztywne sprężyny), które umożliwiają ruch w ograniczonym zakresie. Nawet duża siła powoduje jedynie małe przesunięcia między atomami lub cząsteczkami tej sieci, a ciało stałe zachowuje swój kształt. Ciała stałe opierają się również siłom ścinającym (są to siły przyłożone równolegle do powierzchni, jak opisano to w rozdziale Równowaga statyczna i sprężystość.)

Cechy płynów

Ciecze (ang. liquids) i gazy (ang. gases) są uważane za płyny (ang. fluids), ponieważ poddają się siłom ścinającym, podczas gdy ciała stałe (ang. solids) im się opierają. Podobnie jak w przypadku ciał stałych, cząsteczki płynu są związane z sąsiadującymi cząsteczkami, ale łączy je znacznie mniej więzów. Cząsteczki płynów nie są zaczepione w konkretnym miejscu i mogą się przemieszczać względem siebie. Odległości między cząsteczkami są podobne do odległości w ciałach stałych, więc ciecze również mają określoną objętość, ale ich kształt zależy od naczynia, w którym się znajdują. Cząsteczki gazów nie są wzajemnie powiązane i odległości między nimi mogą być bardzo duże. Poruszają się one w taki sposób, aby wypełnić cały pojemnik, w którym się znajdują, dlatego gazy nie mają ani konkretnego kształtu, ani określonej objętości ([link]).

Gęstość

Załóżmy, że kawałek mosiądzu i kawałek drewna mają dokładnie tę samą masę. Dlaczego po wrzuceniu ich do zbiornika z wodą drewno będzie się unosiło, a mosiądz zatonie ([link])? Dzieje się tak, ponieważ mosiądz ma gęstość większą, a drewno mniejszą niż woda.

Ciśnienie

Bez wątpienia słyszeliście słowo „ciśnienie” w odniesieniu do krwi (wysokie lub niskie ciśnienie krwi) oraz do pogody (układy wysokiego i niskiego ciśnienia). Są to jednak tylko dwa z wielu przykładów ciśnienia płynów. (Przypomnijmy sobie, że wprowadziliśmy pojęcie ciśnienia w rozdziale Równowaga statyczna i sprężystość, w kontekście ich naprężenia.)

Pomiar ciśnienia

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* definiować ciśnienie manometryczne i ciśnienie absolutne;
* opisywać różne metody pomiaru ciśnienia;
* rozumieć, jak działa otwarty barometr;
* szczegółowych zasad działania manometru i barometru.

Ciśnienie manometryczne a ciśnienie absolutne

Załóżmy, że ciśnienie na manometrze butli do nurkowania pokazuje wartość 3000 psi, co w przybliżeniu odpowiada 207 atm. Gdy otworzymy zawór, powietrze zaczyna uciekać, ponieważ ciśnienie wewnątrz butli jest większe niż ciśnienie atmosferyczne na zewnątrz. Będzie to trwało do momentu, gdy ciśnienie w butli zrówna się z ciśnieniem atmosferycznym. W tym momencie manometr wskaże wartość zero, mimo że ciśnienie wewnątrz butli będzie wynosiło 1 atm, czyli takie jak na zewnątrz.

Pomiar ciśnienia

Wiele urządzeń mierzy ciśnienie: od manometrów samochodowych po urządzenia do pomiaru ciśnienia krwi. Wiele innych mierników ciśnienia używa się do pomiaru ciśnienia płynów – w tej części omówimy niektóre z nich.

Prawo Pascala i układy hydrauliczne

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* formułować prawo Pascala;
* wyprowadzać zależności między siłami w układzie hydraulicznym.

Prawo Pascala

Zasada Pascala, znana również pod nazwą prawo Pascala (ang. Pascal’s principle), stwierdza, że zmiana ciśnienia przyłożonego do płynu jest przekazywana bez strat do wszystkich jego części i ostatecznie do ścianek naczynia zawierającego płyn. Atomy, które mogą się swobodnie poruszać w naczyniu przekazują ciśnienie do wszystkich części płynu oraz do ścian naczynia. Dowolna zmiana ciśnienia jest przekazywana bez strat.

Zastosowania zasady Pascala oraz układów hydraulicznych

Układy hydrauliczne są podstawą działania hamulców samochodowych, podnośników hydraulicznych i wielu innych układów mechanicznych ([link]).

Prawo Archimedesa i siła wyporu

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* definiować siłę wyporu;
* formułować prawo Archimedesa;
* opisywać związek między gęstością a prawem Archimedesa.

Prawo Archimedesa

Jaka jest wartość siły wyporu? Aby odpowiedzieć na to pytanie, zastanówmy się nad tym, co by się stało, gdyby usunąć znanurzony przedmiot z płynu jak na [link]. Gdy w płynie nie ma przedmiotu, objętość, w której znajdował się wcześniej, jest zajmowana przez płyn o ciężarze ${w}_{\text{prz}}.$ Ten ciężar jest podtrzymywany przez otaczający płyn, więc siła wyporu musi być równa ${w}_{\text{prz}},$ czyli ciężarowi płynu wypartego przez przedmiot.

Gęstość a prawo Archimedesa

Gruda gliny wrzucona do wody tonie, jednak jeżeli uformujemy z niej statek, to będzie on pływał. Z powodu swojego kształtu statek z gliny wypiera więcej wody niż gruda gliny i w związku z tym doświadcza większej siły wyporu, mimo że masy są identyczne. Ta sama zasada obowiązuje w przypadku stalowych statków.

Pomiar gęstości

Jedna z najczęstszych technik określania gęstości pokazano na [link].

Dynamika płynów

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać cechy przepływu;
* obliczać strumień objętościowy;
* opisywać relację pomiędzy strumieniem a prędkością;
* rozumieć konsekwencje równania ciągłości w kontekście zachowania masy.

Cechy przepływu

W dziedzinach takich jak meteorologia do zilustrowania przepływu płynu często używamy wektorów prędkości. Na przykład ruch powietrza w atmosferze podczas wiatru może być przedstawiony przez wektory wskazujące wartość i kierunek prędkości w dowolnym punkcie na mapie. [link] prezentuje wektory prędkości opisujące wiatry podczas huraganu Artur w 2014 r.

Strumień i jego związek z prędkością

Objętość płynu przepływającego w pewnym miejscu przez powierzchnię w jednostce czasu zwana jest strumieniem (ang. flow rate) $Q$ lub bardziej precyzyjnie, strumieniem objętościowym. Może być on zapisany jako:

Zachowanie masy

Szybkość przepływu płynu może być również opisana przez strumień masy (ang. mass flow rate) lub inaczej masowe natężenie przepływu. Jest to szybkość, z jaką masa płynu przepływa przez powierzchnię w danym punkcie. Spójrzmy jeszcze raz na [link], lecz tym razem przyjrzyjmy się masie zawartej w zacienionej objętości. Masę tę można obliczyć z gęstości i objętości:

Równanie Bernoulliego

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* określać znaczenie składników równania Bernoulliego;
* wiązać równanie Bernoulliego z zasadą zachowania energii;
* wyprowadzać zasadę Bernoulliego z równania Bernoulliego;
* wykonywać obliczenia, posługując się zasadą Bernoulliego;
* opisywać zastosowania zasady Bernoulliego.

Zachowanie energii i równanie Bernoulliego

Zastosowanie zasady zachowania energii do przepływu laminarnego bez tarcia doprowadziło do odkrycia bardzo użytecznego związku między ciśnieniem a prędkością przepływu w płynach. Związek ten nazywamy równaniem Bernoulliego (ang. Bernoulli’s equation), od nazwiska Daniela Bernoulliego (1700–1782), który opublikował wyniki swoich badań nad ruchem płynów w książce *Hydrodynamica* (1738).

Analiza równania Bernoulliego

Zgodnie z równaniem Bernoulliego w małej objętości płynu wzdłuż toru jej ruchu poszczególne wielkości równania mogą się zmieniać, ale ich suma pozostanie stała. Równanie to jest tak naprawdę wygodną formą zapisu prawa zachowania energii w nieściśliwym płynie przy braku oporów ruchu.

Zastosowania prawa Bernoulliego dla przepływu poziomego

W wielu urządzeniach oraz sytuacjach codziennego życia odnajdujemy przypadki, w których płyn przepływa na stałej wysokości i które mogą być analizowane przy pomocy uproszczonego równania.

Lepkość i turbulencje

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać, czym jest lepkość;
* obliczać strumień i opór za pomocą prawa Poiseuille’a;
* rozumieć mechanizm spadku ciśnienia w związku z oporem;
* obliczać liczbę Reynoldsa dla przedmiotu poruszającego się w płynie;
* wykorzystywać liczbę Reynoldsa dla systemu do stwierdzenia, czy przepływ jest laminarny, czy turbulentny;
* określać, w jakich warunkach przedmiot osiąga prędkość graniczną.

Lepkość i przepływ laminarny

Kiedy nalewasz sok do szklanki, płyn porusza się swobodnie i szybko. Ale kiedy wlewasz miód na kromkę chleba, przepływa on powoli i przykleja się do łyżki czy słoika. Różnicę powoduje tarcie, zarówno wewnątrz płynu, jak i pomiędzy płynem a jego otoczeniem. Tę cechę płynów nazywamy lepkością. Sok ma małą lepkość, a miód - dużą.

Przepływ laminarny płynu w rurze. Prawo Poiseuille’a

Co jest przyczyną przepływu? Odpowiedź na to pytanie nie zaskakuje – przepływ powoduje różnica ciśnień. Tak naprawdę istnieje bardzo prosta relacja między przepływem horyzontalnym a ciśnieniem. Strumień $Q$

 ma kierunek od wyższego ciśnienia do niższego. Im większa różnica ciśnień pomiędzy dwoma punktami, tym większy strumień. Relację tę możemy wyrazić następująco:

Przepływ i opory jako przyczyny spadków ciśnienia

Ciśnienie wody w domach i mieszkaniach bywa mniejsze podczas zwiększonego jej zużycia, na przykład w gorące, słoneczne dni. Spadek ciśnienia następuje w głównej magistrali wodociągowej, przed dotarciem wody do pojedynczych mieszkań. Rozważmy sytuację [pokazaną na [link], czyli przepływ w głównej magistrali. Przekształcając równania na strumień, możemy zrozumieć, dlaczego ciśnienie wody dopływającej do mieszkania ${p}_{1}$ spada podczas zwiększonego zapotrzebowania:

Pomiar turbulencji

Parametr zwany liczbą Reynoldsa (ang. Reynolds number)
 $Re$ może powiedzieć nam, czy przepływ ma charakter laminarny, czy turbulentny. Dla przepływu w rurze o stałej średnicy liczbę Reynoldsa definiujemy jako:

Fale i akustyka

Drgania

Wstęp

Ruch harmoniczny

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* podawać definicję okresu i częstotliwości drgań;
* wymieniać cechy ruchu harmonicznego;
* wyjaśniać pojęcie przesunięcia fazowego;
* zapisywać równania ruchu dla drgającego klocka na sprężynie;
* opisywać ruch masy drgającej na sprężynie w układzie pionowym.

Okres i częstotliwość drgań

W ruchu periodycznym okresem (ang. period), oznaczanym $T$, nazywamy czas wykonania jednego pełnego drgania. Za jednostkę okresu przyjmujemy zazwyczaj sekundę, ale może być on wyrażony w innej jednostce czasu (np. minuta, godzina,…). Słowo „okres” oznacza też czas trwania jakiegoś zdarzenia, które może się powtarzać (ale nie musi). W tym podrozdziale zajmiemy się przede wszystkim ruchem okresowym, który z definicji jest ruchem powtarzalnym.

Charakterystyka ruchu harmonicznego

Bardzo powszechnym ruchem periodycznym jest ruch harmoniczny (ang. simple harmonic motion). Układem, który swobodnie oscyluje i wykonuje ruch harmoniczny, jest oscylator harmoniczny (ang. harmonic oscillator).

Równania opisujące ruch harmoniczny

Przyjrzyjmy się klockowi przymocowanemu do sprężyny i poruszającemu się po stole bez tarcia ([link]). Położenie równowagi (miejsce, w którym sprężyna nie jest ani rozciągnięta, ani ściśnięta) oznaczono jako $x=0$. W położeniu równowagi siła wypadkowa wynosi zero.

Podsumowanie wzorów opisujących ruch harmoniczny

Podsumowując, ruch drgający masy na sprężynie może być opisywany następującymi równaniami:

Okres i częstotliwość drgań masy na sprężynie

Jedną z cech ruchu harmonicznego klocka umocowanego do sprężyny jest to, że częstość kołowa, a więc okres i częstotliwość drgań, zależą tylko od masy i współczynnika sprężystości, a nie od innych czynników (np. od amplitudy drgań). Możemy więc skorzystać z prawa Hooke’a i drugiej zasady dynamiki Newtona $\stackrel{\to }{F}$=$m\stackrel{\to }{a}$, aby znaleźć wzory na częstość kołową, częstotliwość i okres drgań.

Drgania pionowe

Zgodnie z [link] do sprężyny zawieszonej pionowo przymocowano klocek. Zauważmy, że siła grawitacji zmienia położenie równowagi układu. Na klocek działają dwie siły: ciężar i siła sprężystości. Siła ciężkości jest stała, a siła sprężystości zmienia się wraz ze zmianą długości sprężyny. Klocek wykonuje ruch harmoniczny.

Energia w ruchu harmonicznym

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać zasadę zachowania energii dla układu klocek–sprężyna;
* wyjaśniać pojęcia trwałych i nietrwałych położeń równowagi.

Energia i oscylator harmoniczny

Aby opisać energię oscylatora harmonicznego, musimy wziąć pod uwagę wszystkie formy energii. Zastanówmy się nad klockiem połączonym ze sprężyną, który oscyluje w ruchu harmonicznym, przesuwając się po powierzchni bez tarcia. Energia potencjalna zmagazynowana w odkształconej sprężynie wynosi:

Oscylacje względem położenia równowagi

Powyżej rozważaliśmy energię układu w ruchu harmonicznym w funkcji czasu. Przeanalizujmy teraz energię oscylatora harmonicznego jako funkcję położenia klocka. [link] przedstawia wykres energii układu względem położenia klocka poruszającego się ruchem harmonicznym.

Prędkość i zasada zachowania energii

Wróćmy do układu klocka i sprężyny z [link]. W chwili, gdy klocek zostaje wytrącony ze stanu spoczynku przy $x=A$, zaczyna poruszać się w kierunku położenia równowagi. Energia potencjalna sprężystości zmniejsza się, a prędkość i energia kinetyczna klocka wzrastają. W chwili $t=T\text{/}4$ klocek osiąga położenie równowagi $x=0{\rule{0.2em}{0ex}}\text{m}$, gdzie zarówno siła działająca na klocek, jak i energia potencjalna są wartościami zerowymi. W położeniu równowagi klocek osiąga maksymalną ujemną prędkość o wartości $v=\text{−}A\omega$. Energia kinetyczna jest najwyższa i wynosi ${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{A}^{2}{\omega }^{2}=\frac{1}{2}k{A}^{2}$. W tej chwili siła działająca na klocek wynosi zero, ale pęd klocka powoduje kontynuację ruchu w kierunku punktu $x=\text{−}A$. W czasie dalszego ruchu klocka działa na niego siła o zwrocie zgodnym ze zwrotem osi $x$, a wartości prędkości i energii kinetycznej maleją. Energia potencjalna wzrasta wraz ze skracaniem się sprężyny. W chwili $t=T{\rule{0.1em}{0ex}}\text{/}{\rule{0.1em}{0ex}}2$ klocek osiąga położenie $x=-A$. W tym położeniu prędkość i energia kinetyczna są wartościami zerowymi. Siła sprężystości działająca na klocek wynosi $F=kA$, natomiast energię potencjalną zmagazynowanej w sprężynie wyrażono wzorem ${E}_{\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{r}}=k{A}^{2}{\rule{0.1em}{0ex}}\text{/}{\rule{0.1em}{0ex}}2$. Podczas drgań klocka energia całkowita jest stała i równa sumie energii potencjalnej i energii kinetycznej układu:

Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać, jak funkcje sinus i cosinus odnoszą się do ruchu ciała po okręgu;
* wyjaśniać związek pomiędzy ruchem harmonicznym a ruchem po okręgu.

Wahadła

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać siły działające na wahadło matematyczne;
* określać częstość kołową, częstotliwość i okres drgań wahadła, w zależności od długości wahadła i wartości przyspieszenia grawitacyjnego;
* wyznaczać okres drgań wahadła fizycznego;
* obliczać okres drgań wahadła torsyjnego.

Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne jest zdefiniowane jako masa punktowa (ciężarek) zawieszona na nierozciągliwej, nieważkiej nici o długości $d$
 ([link]). Jedynymi siłami działającymi na masę są siła grawitacji i naprężenie nici. Wahadło na rysunku znajduje się w maksymalnym wychyleniu i nie działają na nie siły związane z ruchem obrotowym. Nieważkość nici oznacza, że jej masa jest zaniedbywalnie mała w porównaniu do masy ciężarka.

Wahadło fizyczne

Każde ciało może oscylować jak wahadło. Rozważmy kubek do kawy wiszący na haczyku w spiżarni. Jeśli kubek zostanie wytrącony z położenia równowagi, to zacznie wykonywać oscylacje tam i z powrotem (podobnie jak wahadło) aż do chwili, gdy drgania ulegną wygaszeniu. Wahadło matematyczne opisano jako układ składający się z masy punktowej i nici. Natomiast wahadło fizyczne to dowolne ciało, którego oscylacje są podobne do wahadła matematycznego, ale które nie może być opisane jako masa punktowa na nici, ponieważ jego równanie ruchu musi uwzględnić rozkład masy.

Wahadło torsyjne

Wahadło torsyjne składa się z bryły sztywnej zawieszonej na lekkim drucie ([link]). Na skutek początkowego skręcenia wahadła o mały kąt (o maksymalnej wartości $\text{Θ}$) możemy obserwować drgania swobodne wahadła polegające na oscylacjach w zakresie kątów pomiędzy $\left(\theta =+\text{Θ}\right)$ a $\left(\theta =\text{−}{\rule{0.2em}{0ex}}\text{Θ}\right)$. Moment siły wywołuje naprężenie skręcające drutu (nici), które dąży do przywrócenia bryły do położenia równowagi.

Drgania tłumione

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać ruch oscylatora harmonicznego tłumionego;
* zapisywać wzory na ruch oscylatora, kiedy drgania są tłumione.

Drgania wymuszone

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* definiować zjawisko drgań wymuszonych;
* zapisywać wzory związane z zagadnieniem drgań wymuszonych;
* wyjaśniać pojęcie rezonansu i jego wpływ na amplitudę drgań oscylatora;
* wymieniać cechy charakterystyczne układu drgającego w rezonansie.

Fale

Wstęp

Fale biegnące

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* definiować długość, amplitudę, okres, częstotliwość i prędkość fali;
* wyjaśniać różnicę między falą podłużną a falą poprzeczną oraz podawać przykłady każdego rodzaju fal;
* wymieniać rodzaje fal.

Rodzaje fal

Pojęcie fala (ang. wave) oznacza zaburzenie, które rozchodzi się od miejsca, w którym powstało. Wyróżnia się trzy podstawowe typy fal: mechaniczne, elektromagnetyczne i fale materii.

Fale mechaniczne

W oparciu o przykład fal mechanicznych można okreslić wielkości wspólne dla wszystkich rodzajów fal, takie jak amplituda, długość, okres, częstotliwość i energia. Pełną charakterystykę fal możemy podać przy zastosowaniu zaledwie kilku zasad.

Fale poprzeczne i podłużne

Wiemy już, że prosta fala mechaniczna składa się z okresowych zaburzeń, które rozchodzą się od jednego punktu ośrodka do drugiego. Na [link] (a) fala rozchodzi się w płaszczyźnie poziomej, natomiast zaburzenie ośrodka zachodzi w płaszczyźnie pionowej. Taką falę nazywamy falą poprzeczną (ang. transverse wave). Fala poprzeczna może się rozchodzić w dowolnym kierunku, ale zaburzenie ośrodka zachodzi w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Z kolei dla fali podłużnej (ang. longitudinal wave) zaburzenie zachodzi w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali. [link] (b) pokazuje przykładową falę podłużną. Wielkość zaburzenia odpowiada amplitudzie fali $A$, która jest całkowicie niezależna od szybkości rozchodzenia się fali $v$.

Matematyczny opis fal

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* podawać matematyczną postać fali biegnącej ze stałą prędkością;
* obliczać prędkość i przyspieszenie ośrodka;
* wyjaśniać różnicę między prędkością ośrodka a prędkością rozchodzenia się fali.

Impulsy

Impuls (ang. pulse) oznacza falę wytworzoną przez pojedyncze zaburzenie ośrodka. Impuls ma stałą amplitudę i rozchodzi się ze stałą prędkością. Z uwagi na stałą prędkość droga, którą pokonuje w czasie $\text{Δ}t$, wynosi $\text{Δ}x=v\text{Δ}t$ ([link]).

Opis sinusoidalnej fali jednowymiarowej za pomocą modelu funkcji falowej

Rozważmy strunę poddaną stałemu naprężeniu ${F}_{T}$, której jeden koniec jest unieruchomiony, a drugi – swobodny – jest wprawiany w drgania w zakresie między $y=\text{+}A$ a $y=\text{−}A$. [link] pokazuje obrazy fali w kolejnych chwilach równych wielokrotnościom 1/8 części okresu, przy czym w położeniu wyjściowym zostało już wykonane jedno pełne drganie $\left(t=T\right).$

Prędkość i przyspieszenie ośrodka

Jak widzieliśmy w [link] prędkość fali jest stała i oddaje prędkość fali rozchodzącej się w ośrodku, a nie prędkość cząsteczek, które go tworzą. Drobiny wykonują drgania wokół położenia równowagi wtedy, gdy fala rozchodzi się w ośrodku. W przypadku fali poprzecznej, która rozchodzi się w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$, cząstki wykonują drgania w górę i w dół, wzdłuż osi $y$, w kierunku prostopadłym do ruchu fali. Prędkość cząsteczek ośrodka nie jest stała, co oznacza występowanie przyspieszenia. Prędkość tę, która jest prostopadła do prędkości fali w przypadku fal poprzecznych, można obliczyć z pochodnej cząstkowej funkcji falowej. Należy wtedy potraktować wszystkie zmienne jako stałe, z wyjątkiem zmiennej, której pochodną obliczamy. Dla pochodnej cząstkowej po czasie $t$
 zmienna $x$
 jest traktowana jako stała. W tym ćwiczeniu szukamy prędkości poprzecznej w danym punkcie, czyli wartość $x$
 się nie zmienia. Mamy zatem:

Równanie falowe

Obliczyliśmy już prędkość cząsteczki ośrodka w punkcie $x$
 przy użyciu pochodnej cząstkowej współrzędnej $y$
 po czasie. Dla fali poprzecznej prędkość ta jest prostopadła do kierunku rozchodzenia się fali. Przyspieszenie możemy wyznaczyć, obliczając drugą pochodną położenia po czasie (lub pierwszą pochodną prędkości po czasie):

Prędkość fali na naprężonej strunie

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* określać czynniki, które wpływają na prędkość fali na strunie;
* pisać wzory określające prędkość fali na strunie i uogólniać je dla innych ośrodków.

Prędkość fali na naprężonej strunie

Aby przekonać się, w jaki sposób prędkość fali na strunie zależy od jej naprężenia i liniowej gęstości, rozważmy rozchodzący się wzdłuż niej impuls ([link]). Kiedy struna znajduje się w położeniu równowagi, naprężenie struny ${F}_{T}$ jest stałe. Rozważmy krótki odcinek struny o masie równej $\text{Δ}m=\mu \text{Δ}x.$ Odcinek ten znajduje się w położeniu równowagi, a naprężenia działające na każdy z jego końców odcinka są równe co do wartości, ale mają przeciwne zwroty.

Prędkość fal w cieczach

Prędkość fali na strunie zależy od pierwiastka kwadratowego z naprężenia podzielonego przez masę przypadającą na jednostkę długości. Ogólnie rzecz ujmując, prędkość fali w ośrodku zależy od własności sprężystych ośrodka i jego bezwładności:

Energia i moc fali

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać, w jaki sposób fala lub impuls falowy przenoszą energię;
* wyjaśniać, jak energia fali zależy od amplitudy fali.

Energia fal

Energia fali zależy od jej amplitudy i częstotliwości, co udowadniają liczbne przykłady. Trzęsienia ziemi o dużych amplitudach powodują znaczne zniszczenia. Głośne dźwięki mają dużą amplitudę i wytwarzane są przez źródła o większej amplitudzie drgań niż w przypadku dźwięków o mniejszej amplitudzie. Wysokie fale morskie niszczą wybrzeże w dużo większym stopniu niż niskie fale. Tymczasem powróćmy do przypadku mewy siedzącej na powierzchni wody, omawianego wcześniej w tym rozdziale ([link]). Ptak wykonuje drgania pod wpływem ruchu falowego, co powoduje zmiany jej energii potencjalnej. Im większa amplituda fali, tym większa zmiana energii potencjalnej mewy.

Moc fal

Rozważmy sinusoidalną falę na drgającej strunie, pokazaną na [link]. Pręt jest wprawiany w drgania przy pomocy specjalnego urządzenia, zwanego oscylatorem. Pręt połączony jest ze struną o jednorodnej gęstości masy, dzięki czemu struna jest również wprawiana w drgania, które wytwarzają wzdłuż niej falę sinusoidalną. Innymi słowy, pręt wytwarza energię, która rozchodzi się wzdłuż struny. Rozważmy element struny o masie $\text{Δ}m$ ([link]). Ponieważ energia rozchodzi się wzdłuż struny, to każdy jej element drga z tą samą częstotliwością, z jaką rozchodzi się fala. Każdy element struny może być opisany za pomocą modelu prostego oscylatora harmonicznego. Ponieważ struna ma stałą gęstość liniową $\mu =\mathrm{\Delta }m{\rule{0.1em}{0ex}}\text{/}{\rule{0.1em}{0ex}}\mathrm{\Delta }x,$ każdy odcinek struny ma masę $\text{Δ}m=\mu \text{Δ}x.$

Interferencja fal

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać zjawiska odbicia fal mechanicznych na granicy ośrodka i ich przechodzenia przez granicę ośrodka;
* definiować pojęcia interferencji i superpozycji;
* znajdować falę wypadkową dwóch fal sinusoidalnych, różniących się jedynie fazą.

Odbicie i transmisja

Fala rozchodząc się w ośrodku i napotyka jego granicę, ulega odbiciu. Fala, która biegnie w kierunku granicy ośrodka, to fala padająca, natomiast fala, która odbiła się od granicy, to fala odbita. Sposób, w jaki odbija się od granicy ośrodka, zależy od warunków brzegowych, a dokładnie od tego, czy granica jest ustalona i wynosi zero, czy może przyjmować dowolne wartości ([link]). Przez ustalone warunki brzegowe (ang. fixed boundary condition) rozumiemy sytuację, gdy granica ośrodka nie ma swobody ruchu. Analogicznie, swobodne warunki brzegowe (ang. free boundary condition) oznaczają sytuację, gdy granica ośrodka może zmieniać swoje położenie.

Superpozycja i interferencja

Większość fal występujących w przyrodzie to jednak bardziej skomplikowane, zjawiska. Większość ciekawych fal mechanicznych stanowią kombinacje dwóch lub większej liczby fal rozchodzących się w tym samym ośrodku. Aby nauczyć się je analizować, musimy poznać zagadnienie superpozycji fal.

Superpozycja fal sinusoidalnych o różnych fazach

Wiele przypadków, z którymi mamy do czynienia w fizyce, dotyczy dwóch fal sinusoidalnych o tych samych amplitudach, liczbach falowych i częstościach kołowych, ale różnych fazach:

Fale stojące i rezonans

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać fale stojące i wyjaśniać ich powstawanie;
* opisywać mody fal stojących na strunie;
* podawać różnorodne przykłady fal stojących.

Fale stojące

Czasami fale nie przemieszczają się. Na [link] pokazano eksperyment, który możemy wykonać w domu. Miskę z mlekiem stawiamy na obudowie zwykłego wiatraka. Drgania, które wiatrak wytwarza, spowodują powstanie kulistych fal stojących w mleku. Takie fale powstają w wyniku superpozycji dwóch lub więcej fal biegnących ([link]), które są identyczne, ale przemieszczają się w przeciwnych kierunkach. Fale te nakładają się na siebie, a zaburzenia się dodają. Jeśli mają one takie same amplitudy i długości, możemy zaobserwować naprzemiennie występujące efekty wzmacniania i osłabiania interferencyjnego. Fala wypadkowa wygląda tak, jakby stała w miejscu, stąd nazwa fala stojąca.

Dźwięk

Wstęp

Fale dźwiękowe

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać dźwięk jako falę;
* podawać równania opisujące falę dźwiękową;
* wyjaśniać powiązanie między zagęszczeniami i rozrzedzeniami ośrodka a dźwiękiem.

Prędkość dźwięku

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać związek pomiędzy długością fali dźwiękowej a jej częstotliwością;
* ustalać prędkość dźwięku w różnych ośrodkach;
* podawać wzór na prędkość dźwięku z uwzględnieniem temperatury;
* ustalać prędkość dźwięku w powietrzu w różnych temperaturach.

Prędkość dźwięku w różnych ośrodkach

[link] pokazuje, że prędkość dźwięku zależy od tego jak szybko energia akustyczna może być przenoszona przez ośrodek. Z tego powodu wyprowadzenie zależności na prędkość dźwięku w danym ośrodku zależy od rodzaju i stanu ośrodka. Ogólnie, prędkość dźwięku dla fali mechanicznej w ośrodku zależy od pierwiastka kwadratowego ilorazu sprężystości (ang. elasticity) i bezwładności (ang. inertia):

Wyprowadzenie wzoru na prędkość dźwięku w powietrzu

Jak wcześniej wspomniano, prędkość dźwięku w ośrodku zależy od rodzaju i stanu ośrodka. Wyprowadzenie zależności na prędkość dźwięku w powietrzu należy rozpocząć od masy przepływu i równania ciągłości omówionego w rozdziale Mechanika płynów.

Natężenie dźwięku

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* definiować pojęcie natężenia dźwięku;
* wyjaśniać koncepcję poziomu natężenia dźwięku;
* opisywać, w jaki sposób ludzkie ucho odbiera dźwięk.

Słyszenie i poziomy natężenia dźwięku

Jak stwierdzono wcześniej w niniejszym rozdziale, słyszenie oznacza percepcję dźwięku. Mechanizm słyszenia obejmuje kilka ciekawych aspektów fizycznych. Fala dźwiękowa, która dociera do naszego ucha, jest falą zmian ciśnienia powietrza. Ucho jest przetwornikiem (ang. transducer), który zamienia falę dźwiękową na szereg impulsów elektrycznych, w sposób bardziej skomplikowany niż w przypadku mikrofonu. [link] pokazuje anatomię ucha.

Słyszenie i wysokość dźwięku

Ucho ludzkie posiada ogromny zakres wrażliwości na zjawiska dźwiękowe. Potrafi dostarczyć nam szereg informacji – takich jak wysokość, głośność i kierunek rozchodzenia się dźwięku.

Tryby drgań fali stojącej

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać mechanizm redukcji hałasu stosowany w słuchawkach;
* opisywać zjawisko rezonansu dźwięku w rurze zamkniętej z jednej strony;
* opisywać zjawisko rezonansu dźwięku w rurze obustronnie otwartej;

Interferencja fal dźwiękowych

W rozdziale Fale rozważaliśmy interferencję fal przesuniętych w fazie. Wyznaczyliśmy funkcję opisującą falę wypadkową, która była superpozycją fal ${y}_{1}\left(x,t\right)=A{\rule{0.2em}{0ex}}\text{sin}\left(kx-\omega t+\varphi \right)$ i ${y}_{2}\left(x,t\right)=A{\rule{0.2em}{0ex}}\text{sin}\left(kx-\omega t\right)$ i wynosiła:

Redukcja hałasu dzięki interferencji

[link] przedstawia pomysłowe zastosowanie interferencji w celu wyeliminowania hałasu. Badano również możliwość zastosowania aktywnych metod redukcji hałasu (ang. noise reduction) w większej skali w samolotach pasażerskich. Interferencję destruktywną otrzymuje się po wykonaniu szybkiej analizy elektronicznej, dzięki której drugi zagłuszający dźwięk jest przesunięty w fazie o ${180}^{\circ }$ w stosunku do zagłuszanego. Wówczas grzbiety i doliny obu dźwięków są ułożone przeciwnie do siebie. Fale dźwiękowe w ośrodkach ciekłych są falami ciśnienia i są zgodne z prawem Paskala (patrz rozdział Prawo Pascala i układy hydrauliczne). To znaczy ciśnienia z dwóch różnych źródeł dodają się i odejmują podobnie jak liczby proste. Z tego powodu dodatnie i ujemne połówki sinusoidalnych zmian ciśnienia dodają się i w konsekwencji zmniejszają wypadkowe ciśnienie, co oznacza mniejsze natężenie dźwięku. Oczywiście możliwa jest interferencja całkowicie destruktywna, ale tylko w skrajnym przypadku. W konsekwencji, przy stosowaniu tej metody, możliwa jest redukcja hałasu o 30 dB i więcej.

Rezonans w rurze jednostronnie zamkniętej

Jak stwierdzono w rozdziale Fale, fale stojące (ang. standing wave) są wynikiem sumowania dwóch fal poruszających się w przeciwnych kierunkach. Gdy dwie identyczne fale sinusoidalne poruszają się w przeciwnych kierunkach, opisuje się je zależnościami:

Rezonans w rurze obustronnie otwartej

Innym źródłem powstawania fal stojących jest rura obustronnie otwarta. W tym przypadku warunki brzegowe są symetryczne – na obu końcach powstają strzałki. Rezonanse w rurze obustronnie otwartej mogą być analizowane w podobny sposób jak w przypadku rury jednostronnie zamkniętej. Słupy powietrza w rurach obustronnie otwartych posiadają maksymalne wychylenie na obu końcach ([link]). Fale stojące pokazano na rysunku 8.

Źródła dźwięków muzycznych

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać częstotliwości rezonansowe w instrumentach, które można uznać za rury o symetrycznych lub niesymetrycznych warunkach brzegowych.

Rezonans

Rezonanse powstają w różnych układach, np. strunach, słupach powietrznych, atomach. W poprzednich rozdziałach powiedzieliśmy, że rezonans powstaje w wyniku pobudzenia układu siłą wymuszającą z częstotliwością równą częstotliwości podstawowej. Amplituda tych drgań gwałtownie rośnie, aż do momentu, gdy prawo Hooke’a dla tego układu przestanie obowiązywać. Przykładem tego jest np. dźwięk celowo zniekształcony w niektórych rodzajach muzyki rockowej.

Dudnienia

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* ustalać częstotliwość dudnienia, wytworzonego przez dwie fale dźwiękowe różniące się częstotliwością;
* opisywać mechanizm powstawania dudnień w instrumentach muzycznych.

Efekt Dopplera

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać zmianę obserwowanej częstotliwości w sytuacji, gdy źródło dźwięku zbliża się do obserwatora lub oddala się od niego;
* wyjaśniać zmianę obserwowanej częstotliwości w sytuacji, gdy obserwator zbliża się do źródła dźwięku lub oddala się od niego.

Opis odbieranej częstotliwości na skutek przesunięcia Dopplera

Rozważmy dwóch nieruchomych obserwatorów $X$
 i $Y$
 na [link], zlokalizowanych po obu stronach nieruchomego źródła dźwięku. Każdy obserwator słyszy taką samą częstotliwość, równą tej generowanej przez stacjonarne źródło.

Fale uderzeniowe

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać mechanizm powstawania gromów dźwiękowych;
* opisywać różnicę między gromem dźwiękowym a falą uderzeniową;
* opisywać falę dziobową.

Efekt Dopplera i wysoka prędkość

Co się dzieje z dźwiękiem wytwarzanym przez ruchome źródło, na przykład przez samolot odrzutowy, który zbliża się lub nawet przekracza prędkość dźwięku? Odpowiedź na to pytanie dotyczy nie tylko dźwięku, lecz także wszystkich innych fal. Załóżmy, że samolot odrzutowy zbliża się do ciebie, emitując dźwięk o częstotliwości ${f}_{\text{s}}.$ Im większa jest prędkość samolotu ${v}_{\text{s}},$ tym większe jest przesunięcie dopplerowskie i wyższa rejestrowana częstotliwość ${f}_{\text{o}}$ ([link]).

Fale uderzeniowe i uderzenia dźwiękowe

Jeśli źródło porusza się z prędkością większą niż prędkość dźwięku, obserwator usłyszy dźwięk dopiero, gdy źródło go minie. Wtedy docierający z opóźnieniem dźwięk zbliżającego się źródła, miesza się z dźwiękiem generowanym przez oddalające się źródło. Na wskutek nałożenia się tych fal zachodzi ciekawe zjawisko – powstaje fala uderzeniowa ([link]).

Jednostki

Przeliczanie jednostek

Najważniejsze stałe fizyczne

Dane astronomiczne

Wzory matematyczne

Układ okresowy pierwiastków

Alfabet grecki