Prefacio

Acerca de OpenStax

OpenStax es una organización sin ánimo de lucro con sede en la Universidad Rice. Nuestra misión es brindar a los estudiantes mayor acceso a la educación. Nuestro primer libro de texto universitario con licencia abierta se publicó en 2012. Desde entonces nuestra biblioteca se ha ampliado a más de 25 libros que consultan cientos de miles de estudiantes en todo el mundo. OpenStax Tutor, nuestra herramienta de aprendizaje personalizado de bajo costo, se utiliza en cursos universitarios de todo el país. La misión de OpenStax es posible gracias al generoso apoyo de fundaciones filantrópicas. A través de estas asociaciones y con la ayuda de recursos adicionales de bajo costo de nuestros socios de OpenStax, OpenStax rompe las barreras más comunes para el aprendizaje y otorga poder a los estudiantes e instructores para que triunfen.

Sobre los recursos de OpenStax

Acerca de *Física universitaria*

*Física universitaria* está diseñado para el curso de física de dos o tres semestres con base en cálculo. El texto ha sido desarrollado para cumplir con el alcance y la secuencia de la mayoría de los cursos universitarios de física y proporciona una base para una carrera en matemáticas, ciencias o ingeniería. El libro ofrece una importante oportunidad para que los estudiantes aprendan los conceptos básicos de la física y comprendan cómo esos conceptos se aplican a sus vidas y al mundo que los rodea.

Recursos adicionales

Sobre los autores

Mecánica

Unidades y medidas

Introducción

El alcance y la escala de la Física

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir el alcance de la física.
* Calcular el orden de magnitud de una cantidad.
* Comparar cuantitativamente longitudes, masas y tiempos medibles.
* Describir las relaciones entre modelos, teorías y leyes.

El alcance de la física

Vuelva a mirar la imagen con la que se inicia el capítulo. La galaxia Remolino contiene miles de millones de estrellas individuales, así como enormes nubes de gas y polvo. Su galaxia compañera también es visible a la derecha. Este par de galaxias se encuentra a una asombrosa cantidad de mil millones de billones de millas $\left(1,4{\rule{0.2em}{0ex}}×{\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{21}\text{mi}\right)$ de nuestra propia galaxia (que se llama la *Vía Láctea*). Las estrellas y los planetas que componen la galaxia Remolino pueden parecer lo más alejado de la vida cotidiana de la mayoría de la gente, pero es un gran punto de partida para pensar en las fuerzas que mantienen unido el universo. Se cree que las fuerzas que hacen que la galaxia Remolino actúe como lo hace son las mismas a las que nos enfrentamos aquí en la Tierra, tanto si planeamos enviar un cohete al espacio como si simplemente planeamos erigir las paredes de una casa. Se cree que la gravedad que hace girar a las estrellas de la galaxia Remolino es la misma que hace que el agua fluya por las presas hidroeléctricas aquí en la Tierra. Cuando mire las estrellas, dese cuenta de que las fuerzas de ahí fuera son las mismas que las de aquí en la Tierra. A través del estudio de la física, puede obtener una mayor comprensión de la interconexión de todo lo que podemos ver y conocer en este universo.

La escala de la física

De lo expuesto hasta ahora, debería quedar claro que, para alcanzar sus metas en cualquiera de los distintos campos de las ciencias naturales y la ingeniería, es necesario tener una base sólida en las leyes de la física. La razón de esto es simplemente que las leyes de la física gobiernan todo en el universo observable en todas las escalas medibles de longitud, masa y tiempo. Es fácil decirlo, pero para entender lo que realmente significa, tenemos que ser un poco más cuantitativos. Así pues, antes de analizar las distintas escalas que la física nos permite explorar, veamos primero el concepto de "orden de magnitud", que utilizamos para comprender los amplios rangos de longitud, masa y tiempo que consideramos en este texto ([link]).

Construir modelos

¿Cómo hemos llegado a conocer las leyes que rigen los fenómenos naturales? Lo que llamamos leyes de la naturaleza son una descripción concisa del universo que nos rodea. Son declaraciones humanas de las leyes o reglas subyacentes que siguen todos los procesos naturales. Estas leyes son intrínsecas al universo; los humanos no las crearon y no pueden cambiarlas. Solo podemos descubrirlas y comprenderlas. Su descubrimiento es un esfuerzo muy humano, con todos los elementos de misterio, imaginación, lucha, triunfo y decepción inherentes a cualquier esfuerzo creativo ([link]). El pilar del descubrimiento de las leyes naturales es la observación; los científicos deben describir el universo tal como es, no como lo imaginamos.

Unidades y estándares

Abstract:
Al final de esta sección, podrá: * Describir cómo se definen las unidades básicas del Sistema Internacional (SI).
* Describir cómo se crean las unidades derivadas a partir de las unidades base.
* Expresar cantidades dadas en unidades del SI con prefijos métricos.

Unidades del SI: unidades básicas y derivadas

En cualquier sistema, las unidades de algunas cantidades físicas deben definirse mediante un proceso de medición. Se denominan cantidades base de ese sistema y sus unidades son las unidades bas**e** del sistema. Todas las demás cantidades físicas pueden expresarse entonces como combinaciones algebraicas de las cantidades base. Luego, cada una de estas cantidades físicas se conoce como cantidad derivada, y cada unidad se denomina **unidad derivada**. La elección de las cantidades base es un tanto arbitraria, siempre y cuando sean independientes entre sí y todas las demás cantidades puedan derivarse de ellas. Por lo general, la meta es elegir como cantidades base las cantidades físicas que puedan medirse con gran precisión. La razón es sencilla. Dado que las unidades derivadas pueden expresarse como combinaciones algebraicas de las unidades base, solo pueden ser tan exactas y precisas como las unidades base de las que se derivan.

Unidades de tiempo, longitud y masa: el segundo, el metro y el kilogramo

Los primeros capítulos de este libro de texto se refieren a la mecánica, los fluidos y las ondas. En estos temas, todas las cantidades físicas pertinentes pueden expresarse en términos de las unidades base de longitud, masa y tiempo. Por lo tanto, ahora pasamos a explorar estas tres unidades base; dejaremos el análisis de las otras hasta que sean necesarias más adelante.

Prefijos métricos

Las unidades del SI forman parte del sistema métrico, que es conveniente para los cálculos científicos y de ingeniería porque las unidades se clasifican por factores de 10. En la [link] se enumeran los prefijos y símbolos métricos utilizados que denotan diversos factores de 10 en las unidades del SI. Por ejemplo, un centímetro es la centésima parte de un metro (en símbolos, 1 cm = 10-2 m) y un kilómetro son mil metros (1 km = 103 m). Del mismo modo, un megagramo es un millón de gramos (1 Mg = 106 g), un nanosegundo es la milmillonésima parte de un segundo (1 ns = 10-9 s) y un terámetro es un billón de metros (1 Tm = 1012 m).

Conversión de unidades

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Utilizar los factores de conversión para expresar el valor de una cantidad dada en diferentes unidades.

Análisis dimensional

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Hallar las dimensiones de una expresión matemática que implique cantidades físicas.
* Determinar si una ecuación que involucre cantidades físicas es dimensionalmente coherente.

Estimaciones y cálculos de Fermi

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Estimar los valores de las cantidades físicas.

Cifras significativas

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Determinar el número correcto de cifras significativas para el resultado de un cálculo.
* Describir la relación entre los conceptos de exactitud, precisión, incertidumbre y discrepancia.
* Calcular el porcentaje de incertidumbre de una medición, dado su valor y su incertidumbre.
* Determinar la incertidumbre del resultado de un cálculo en el que intervienen cantidades con incertidumbres dadas.

Exactitud y precisión de una medida

La ciencia se basa en la observación y la experimentación, es decir, en las mediciones. La **exactitud** es la proximidad de una medición al valor de referencia aceptado para esa medición. Por ejemplo, digamos que queremos medir la longitud de un papel de impresora estándar. El embalaje en el que compramos el papel indica que tiene una longitud de 11,0 in. A continuación, medimos la longitud del papel tres veces y obtenemos las siguientes medidas: 11,1 in, 11,2 in y 10,9 in. Estas mediciones son bastante exactas porque se acercan mucho al valor de referencia de 11,0 in. Por el contrario, si hubiéramos obtenido una medida de 12 in, nuestra medición no sería muy exacta. Observe que el concepto de exactitud requiere que se dé un valor de referencia aceptado.

Exactitud, precisión, incertidumbre y discrepancia

La precisión de un sistema de medición se relaciona con la incertidumbre en las mediciones, mientras que la exactitud se relaciona con la discrepancia con respecto al valor de referencia aceptado. La incertidumbre es una medida cuantitativa de la desviación de los valores medidos. Hay muchos métodos diferentes para calcular la incertidumbre, cada uno de los cuales es apropiado para diferentes situaciones. Algunos ejemplos son tomar el rango (es decir, el mayor menos el menor) o encontrar la desviación estándar de las medidas. La discrepancia (o "error de medición") es la diferencia entre el valor medido y un determinado valor estándar o previsto. Si las mediciones no son muy precisas, la incertidumbre de los valores es alta. Si las mediciones no son muy exactas, la discrepancia de los valores es alta.

Precisión de las herramientas de medición y cifras significativas

Un factor importante en la precisión de las mediciones es la precisión de la herramienta de medición. En general, una herramienta de medición precisa es aquella que mide valores en incrementos muy pequeños. Por ejemplo, una regla estándar mide la longitud con una precisión de un milímetro, mientras que un calibre mide la longitud con una precisión de 0,01 mm. El calibre es una herramienta de medición más precisa porque mide diferencias de longitud extremadamente pequeñas. Cuanto más precisa sea la herramienta de medición, más precisas serán las medidas.

Resolver problemas de física

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir el proceso de desarrollo de una estrategia de resolución de problemas.
* Explicar cómo encontrar la solución numérica de un problema.
* Resumir el proceso para evaluar la importancia de la solución numérica de un problema.

Estrategia

La estrategia es la etapa inicial de la resolución de un problema. La idea es averiguar exactamente cuál es el problema y luego desarrollar una estrategia para resolverlo. Algunos consejos generales para esta etapa son los siguientes:

Solución

La etapa de la solución es cuando se hacen los cálculos. *Sustituya los valores conocidos (junto con sus unidades) en la ecuación correspondiente y obtenga soluciones numéricas completas con unidades*. Es decir, efectuar el álgebra, el cálculo, la geometría o la aritmética necesarios para encontrar la incógnita a partir de los valores conocidos, y llevar las unidades a través de los cálculos. Este paso es claramente importante porque produce la respuesta numérica, junto con sus unidades. Sin embargo, hay que tener en cuenta que esta etapa es solo un tercio del proceso general de resolución de problemas.

Importancia

Después de haber hecho los cálculos en la fase de resolución del problema, es tentador pensar que ya ha terminado. Pero recuerde siempre que la física no es matemática. Mejor dicho, con la física utilizamos las matemáticas para entender la naturaleza. Por lo tanto, después de obtener una respuesta numérica, siempre hay que evaluar su significado:

Vectores

Introducción

Escalares y vectores

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir la diferencia entre cantidades vectoriales y escalares.
* Identificar la magnitud y la dirección de un vector.
* Explicar el efecto de multiplicar una cantidad vectorial por un escalar.
* Describir cómo se suman o restan cantidades vectoriales unidimensionales.
* Explicar la construcción geométrica para la suma o la resta de vectores en un plano.
* Distinguir entre una ecuación vectorial y una ecuación escalar.

Álgebra de vectores en una dimensión

Los vectores pueden multiplicarse por escalares, sumarse a otros vectores o restarse de otros. Podemos ilustrar estos conceptos vectoriales con un ejemplo de excursión de pesca, que se ve en la [link].

Álgebra de vectores en dos dimensiones

Cuando los vectores se encuentran en un plano, es decir, cuando están en dos dimensiones, pueden multiplicarse por escalares, sumarse a otros vectores o restarse de otros de acuerdo con las leyes generales expresadas por la [link], la [link], la [link] y la [link]. Sin embargo, la regla de adición de dos vectores en un plano se complica más que la regla de adición de vectores en una dimensión. Tenemos que utilizar las leyes de la geometría para construir vectores resultantes, seguidos de la trigonometría para encontrar las magnitudes y direcciones de los vectores. Este enfoque geométrico se utiliza habitualmente en la navegación ([link]). En este apartado, necesitamos tener a mano dos reglas, una escuadra, un transportador, un lápiz y una goma de borrar para dibujar vectores a escala mediante construcciones geométricas.

Sistemas de coordenadas y componentes de un vector

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir vectores en dos y tres dimensiones en términos de sus componentes, mediante el empleo de vectores unitarios a lo largo de los ejes.
* Distinguir entre los componentes vectoriales de un vector y los componentes escalares de un vector.
* Explicar cómo se define la magnitud de un vector en términos de sus componentes.
* Identificar el ángulo direccional de un vector en un plano.
* Explicar la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas en un plano.

Coordenadas polares

Para describir ubicaciones de puntos o vectores en un plano, necesitamos dos direcciones ortogonales. En el sistema de coordenadas cartesianas estas direcciones vienen dadas por vectores unitarios $\stackrel{^}{i}$ y $\stackrel{^}{j}$ a lo largo del eje de la *x* y del eje de la *y*, respectivamente. El sistema de coordenadas cartesianas es muy conveniente para describir los desplazamientos y las velocidades de los objetos y las fuerzas que actúan sobre ellos. Sin embargo, es engorroso cuando necesitamos describir la rotación de los objetos. Al describir la rotación, solemos trabajar en el sistema de coordenadas polares.

Vectores en tres dimensiones

Para especificar la ubicación de un punto en el espacio, necesitamos tres coordenadas (*x*, *y*, *z*), donde las coordenadas de la *x* y de la *y* especifican ubicaciones en un plano, y la coordenada de la *z* da una posición vertical por encima o por debajo del plano. El espacio tridimensional tiene tres direcciones ortogonales, por lo que no necesitamos dos, sino *tres* vectores unitarios para definir un sistema de coordenadas tridimensional. En el sistema de coordenadas cartesianas, los dos primeros vectores unitarios son el vector unitario del eje de la *x* $\stackrel{^}{i}$ y el vector unitario del eje de la *y* $\stackrel{^}{j}$. El tercer vector unitario $\stackrel{^}{k}$ es la dirección del eje *z* ([link]). El orden en que se marcan los ejes, que es el orden en que aparecen los tres vectores unitarios, es importante porque define la orientación del sistema de coordenadas. El orden *x*-*y*-*z*, que equivale al orden $\stackrel{^}{i}$ - $\stackrel{^}{j}$ - $\stackrel{^}{k}$, define el sistema de coordenadas estándar de la mano derecha (orientación positiva).

Álgebra de vectores

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Aplicar los métodos analíticos del álgebra vectorial para encontrar vectores resultantes y resolver ecuaciones vectoriales para vectores desconocidos.
* Interpretar situaciones físicas en términos de expresiones vectoriales.

Productos de los vectores

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar la diferencia entre el producto escalar y el producto vectorial de dos vectores.
* Determinar el producto escalar de dos vectores.
* Determinar el producto vectorial de dos vectores.
* Describir cómo se utilizan los productos de vectores en física.

El producto escalar de dos vectores (el producto punto)

La multiplicación escalar de dos vectores da como resultado un producto escalar.

El producto vectorial de dos vectores (el producto cruz)

La multiplicación de dos vectores da como resultado un producto vectorial.

Movimiento rectilíneo

Introducción

Posición, desplazamiento y velocidad media

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Definir la posición, el desplazamiento y la distancia recorrida.
* Calcular el desplazamiento total dada la posición en función del tiempo.
* Determinar la distancia total recorrida.
* Calcular la velocidad media dado el desplazamiento y el tiempo transcurrido.

Posición

Para describir el movimiento de un objeto, primero hay que poder describir su posición (*x*): *dónde se encuentra en un momento determinado*. Más concretamente, necesitamos especificar su posición respecto a un marco de referencia conveniente. Un marco de referencia es un conjunto arbitrario de ejes a partir del cual se describen la posición y el movimiento de un objeto. La Tierra se utiliza a menudo como marco de referencia, y con frecuencia describimos la posición de un objeto en relación con los objetos estacionarios de la Tierra. Por ejemplo, el lanzamiento de un cohete podría describirse en términos de la posición del cohete con respecto a la Tierra en su conjunto, mientras que la posición de una ciclista podría describirse en términos de dónde se encuentra en relación con los edificios por los que pasa en la [link]. En otros casos, utilizamos marcos de referencia que no son estacionarios, sino que están en movimiento respecto a la Tierra. Para describir la posición de una persona en un avión, por ejemplo, utilizamos el avión, no la Tierra, como marco de referencia. Para describir la posición de un objeto que experimenta un movimiento unidimensional, solemos utilizar la variable *x*. Más adelante en el capítulo, durante el análisis de la caída libre, utilizamos la variable *y*.

Desplazamiento

Si un objeto se mueve con respecto a un marco de referencia, por ejemplo, si una profesora se desplaza hacia la derecha con respecto a una pizarra como en la [link], la posición del objeto cambia. Este cambio de posición se denomina desplazamiento. La palabra *desplazamiento* implica que un objeto se ha movido o ha sido desplazado. Si bien la posición es el valor numérico de la *x* a lo largo de una línea recta en la que puede estar situado un objeto, el desplazamiento da el *cambio* de posición a lo largo de esta línea. Dado que el desplazamiento indica la dirección, es un vector y puede ser positivo o negativo, dependiendo de la elección de la dirección positiva. Además, en un análisis de movimiento puede haber muchos desplazamientos. Si la derecha es positiva y un objeto se desplaza 2 m a la derecha y luego 4 m a la izquierda, los desplazamientos individuales son 2 m y $-4$ m, respectivamente.

Velocidad media

Para calcular las demás magnitudes físicas de la cinemática debemos introducir la variable de tiempo. La variable de tiempo nos permite no solo indicar dónde está el objeto (su posición) durante su movimiento, sino también a qué velocidad se mueve. La velocidad a la que se mueve un objeto viene dada por la tasa en la que cambia la posición con el tiempo.

Velocidad y rapidez instantáneas

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar la diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea.
* Señalar la diferencia entre velocidad y rapidez.
* Calcular la velocidad instantánea dada la ecuación matemática de la velocidad.
* Calcular la rapidez dada la velocidad instantánea.

Velocidad instantánea

La cantidad que nos indica qué tan rápido se mueve un objeto en cualquier punto de su trayectoria es la velocidad instantánea, normalmente llamada simplemente *velocidad*. Es la velocidad media entre dos puntos de la trayectoria en el límite en que el tiempo (y, por ende, el desplazamiento) entre ambos puntos se aproxima a cero. Para ilustrar esta idea matemáticamente, necesitamos expresar la posición de la *x* como una función continua de *t* denotada por *x**(t*). La expresión para la velocidad media entre dos puntos con esta notación es $\stackrel{\text{–}}{v}=\frac{x\left({t}_{2}\right)-x\left({t}_{1}\right)}{{t}_{2}-{t}_{1}}$. Para encontrar la velocidad instantánea en cualquier posición, suponemos que ${t}_{1}=t$ y ${t}_{2}=t+\text{Δ}t$. Tras incorporar estas expresiones en la ecuación de la velocidad media y tomar el límite como $\text{Δ}t\to 0$, encontramos la expresión para la velocidad instantánea:

Rapidez

En el lenguaje cotidiano, la mayoría de la gente utiliza indistintamente los términos *rapidez* y *velocidad*. Sin embargo, en física no tienen el mismo significado y son conceptos distintos. Una diferencia importante es que la rapidez no tiene dirección; es decir, la rapidez es un escalar.

Calcular la velocidad instantánea

Al calcular la velocidad instantánea, necesitamos especificar la forma explícita de la función de posición $x\left(t\right)$. Si cada término de la ecuación $x\left(t\right)$ tiene la forma de $A{t}^{n}$ donde $A$ es una constante y $n$ es un número entero, esto se puede diferenciar con la regla de la potencia para que sea:

Aceleración media e instantánea

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Calcular la aceleración media entre dos puntos en el tiempo.
* Calcular la aceleración instantánea dada la forma funcional de la velocidad.
* Explicar la naturaleza vectorial de la aceleración y la velocidad instantáneas.
* Explicar la diferencia entre aceleración media y aceleración instantánea.
* Hallar la aceleración instantánea en un momento determinado en un gráfico de la velocidad en función del tiempo.

Aceleración media

La definición formal de aceleración concuerda con estas nociones que acabamos de describir, pero es más inclusiva.

Aceleración instantánea

La aceleración instantánea *a*, o *aceleración en un instante específico*, se obtiene con el mismo proceso que se mencionó para la velocidad instantánea. Es decir, calculamos la aceleración media entre dos puntos de tiempo separados por $\text{Δ}t$ y suponemos que $\text{Δ}t$ se acerca a cero. El resultado es la derivada de la función de velocidad *v*(*t*), que es la aceleración instantánea y se expresa matemáticamente como

Cómo sentir la aceleración

Probablemente esté acostumbrado a experimentar la aceleración cuando entra en un elevador o pisa el acelerador de su auto. Sin embargo, la aceleración se produce en muchos otros objetos de nuestro universo con los que no tenemos contacto directo. La [link] presenta la aceleración de varios objetos. Podemos ver que las aceleraciones pasan por muchos órdenes de magnitud.

Movimiento con aceleración constante

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Identificar qué ecuaciones de movimiento se van a utilizar para resolver las incógnitas.
* Utilizar las ecuaciones de movimiento apropiadas para resolver un problema de persecución de dos cuerpos.

Notación

En primer lugar, hagamos algunas simplificaciones en la notación. Tomar el tiempo inicial como cero, como si el tiempo se midiera con un cronómetro, es una gran simplificación. Como el tiempo transcurrido es $\text{Δ}t={t}_{\text{f}}-{t}_{0}$, al tomar ${t}_{0}=0$ significa que$\text{Δ}t={t}_{\text{f}}$, el tiempo final del cronómetro. Cuando el tiempo inicial se toma como cero, utilizamos el subíndice 0 para denotar los valores iniciales de posición y velocidad. Es decir, ${x}_{0}$ *es la posición inicial* y ${v}_{0}$ *es la velocidad inicial*. No ponemos subíndices en los valores finales. O sea, *t es el tiempo final*, *x es la posición final* y *v es la velocidad final*. Esto da una expresión más simple para el tiempo transcurrido, $\text{Δ}t=t$. También simplifica la expresión para el desplazamiento *x*, que ahora es $\text{Δ}x=x-{x}_{0}$. Además, simplifica la expresión para el cambio en la velocidad, que ahora es $\text{Δ}v=v-{v}_{0}$. En resumen, utilizando la notación simplificada, con el tiempo inicial tomado como cero,

Desplazamiento y posición a partir de la velocidad

Para obtener nuestras dos primeras ecuaciones, empezamos con la definición de velocidad media:

Resolución de la velocidad final a partir de la aceleración y el tiempo

Podemos derivar otra ecuación útil al manipular la definición de aceleración:

Resolución de la posición final a partir de la aceleración constante

Podemos combinar las ecuaciones anteriores para encontrar una tercera ecuación que nos permita calcular la posición final de un objeto que experimenta una aceleración constante. Comenzamos con

Resolución de la velocidad final a partir de la distancia y la aceleración

Se puede obtener una cuarta ecuación útil a partir de otra manipulación algebraica de las ecuaciones anteriores. Si resolvemos $v={v}_{0}+at$ para *t*, obtenemos

Cómo juntar las ecuaciones

En los siguientes ejemplos, seguimos explorando el movimiento unidimensional, pero en situaciones que requieren una manipulación ligeramente más algebraica. Los ejemplos también permiten conocer las técnicas de resolución de problemas. La nota que sigue se proporciona para facilitar la referencia a las ecuaciones necesarias. Tenga en cuenta que estas ecuaciones no son independientes. En muchas situaciones tenemos dos incógnitas y necesitamos dos ecuaciones del conjunto para resolver las incógnitas. Necesitamos tantas ecuaciones como incógnitas para resolver una situación determinada.

Problemas de persecución de dos cuerpos

Hasta ahora hemos visto ejemplos de movimiento en los que interviene un solo cuerpo. Incluso para el problema con dos autos y las distancias de parada en carreteras húmedas y secas, dividimos este problema en dos problemas separados para encontrar las respuestas. En un problema de persecución de dos cuerpos, los movimientos de los objetos están acoplados, es decir, la incógnita que buscamos depende del movimiento de ambos objetos. Para resolver estos problemas escribimos las ecuaciones de movimiento de cada objeto y las resolvemos simultáneamente para encontrar la incógnita. Esto se ilustra en la [link].

Caída libre

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Utilizar las ecuaciones cinemáticas con las variables y y g para analizar el movimiento de caída libre.
* Describir cómo cambian los valores de la posición, la velocidad y la aceleración durante una caída libre.
* Resolver la posición, la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo cuando un objeto está en caída libre.

Gravedad

El hecho más notable e inesperado sobre la caída de objetos es que si la resistencia del aire y la fricción son despreciables, entonces en un lugar determinado todos los objetos caen hacia el centro de la Tierra con la *misma aceleración constante*, *independientemente de su masa*. Este hecho determinado experimentalmente es inesperado porque estamos tan acostumbrados a los efectos de la resistencia del aire y la fricción que esperamos que los objetos ligeros caigan más lentamente que los pesados. Hasta que Galileo Galilei (1564-1642) demostró lo contrario, se creía que un objeto más pesado tiene una mayor aceleración en caída libre. Ahora sabemos que no es así. A falta de resistencia del aire, los objetos pesados llegan al suelo al mismo tiempo que los más ligeros cuando se dejan caer desde la misma altura como en la [link].

Movimiento unidimensional en función de la gravedad

La mejor manera de ver las características básicas del movimiento en el que interviene la gravedad es empezar con las situaciones más sencillas y luego progresar hacia otras más complejas. Así pues, empezamos considerando un movimiento recto hacia arriba y hacia abajo sin resistencia del aire ni fricción. Estas suposiciones significan que la velocidad (si la hay) es vertical. Si se deja caer un objeto, sabemos que la velocidad inicial es cero cuando está en caída libre. Cuando el objeto ha dejado de estar en contacto con lo que lo sostenía o lanzaba, está en caída libre. Cuando el objeto es lanzado, tiene la misma rapidez inicial en caída libre que tenía antes de ser soltado. Cuando el objeto entra en contacto con el suelo o con cualquier otro objeto, ya no está en caída libre y su aceleración de *g* ya no es válida. En estas circunstancias, el movimiento es unidimensional y tiene una aceleración constante de magnitud *g*. Representamos el desplazamiento vertical con el símbolo *y*.

Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Derivar las ecuaciones cinemáticas para una aceleración constante mediante el cálculo integral.
* Utilizar la formulación integral de las ecuaciones cinemáticas en el análisis del movimiento.
* Hallar la forma funcional de la velocidad en función del tiempo dada la función de aceleración.
* Hallar la forma funcional de la posición en función del tiempo dada la función de velocidad.

Ecuaciones cinemáticas del cálculo integral

Empecemos con una partícula con una aceleración *a*(t) que es una función conocida del tiempo. Dado que la derivada de tiempo de la función de velocidad es la aceleración,

Movimiento en dos y tres dimensiones

Introducción

Vectores de desplazamiento y velocidad

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Calcular vectores de posición en un problema de desplazamiento multidimensional.
* Resolver el desplazamiento en dos o tres dimensiones.
* Calcular el vector velocidad dado el vector de posición en función del tiempo.
* Calcular la velocidad media en varias dimensiones.

Vector de desplazamiento

Para describir el movimiento en dos y tres dimensiones, primero debemos establecer un sistema de coordenadas y una convención para los ejes. Generalmente utilizamos las coordenadas de la *x*, la *y* y la *z* para localizar una partícula en el punto *P*(*x*, *y*, *z*) en tres dimensiones. Si la partícula se mueve, las variables de la *x*, la *y* y la *z* son funciones del tiempo (*t*):

Vector de velocidad

En el capítulo anterior encontramos la velocidad instantánea calculando la derivada de la función de posición con respecto al tiempo. Podemos hacer la misma operación en dos y tres dimensiones, pero utilizamos vectores. El vector de velocidad instantánea ahora es

La independencia de los movimientos perpendiculares

Cuando observamos las ecuaciones tridimensionales de posición y velocidad escritas en notación vectorial unitaria, la [link] y la [link], vemos que los componentes de estas ecuaciones son funciones separadas y únicas del tiempo que no dependen unas de otras. El movimiento a lo largo de la dirección de la *x* no tiene parte de su movimiento a lo largo de las direcciones de la *y* y la *z*, y de forma similar para los otros dos ejes de coordenadas. Por lo tanto, el movimiento de un objeto en dos o tres dimensiones puede dividirse en movimientos separados e independientes a lo largo de los ejes perpendiculares del sistema de coordenadas en el que se produce el movimiento.

Vector de aceleración

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Calcular el vector de aceleración dada la función velocidad en notación vectorial unitaria.
* Describir el movimiento de una partícula con una aceleración constante en tres dimensiones.
* Utilizar las ecuaciones de movimiento unidimensional a lo largo de ejes perpendiculares para resolver un problema en dos o tres dimensiones con una aceleración constante.
* Expresar la aceleración en notación vectorial unitaria.

Aceleración instantánea

Además de obtener los vectores de desplazamiento y velocidad de un objeto en movimiento, a menudo queremos conocer su vector de aceleración en cualquier punto del tiempo a lo largo de su trayectoria. Este vector de aceleración es la aceleración instantánea y se puede obtener a partir de la derivada con respecto al tiempo de la función velocidad, como hemos visto en un capítulo anterior. La única diferencia en dos o tres dimensiones es que ahora son cantidades vectoriales. Tomando la derivada con respecto al tiempo $\stackrel{\to }{v}\left(t\right),$ encontramos

Aceleración constante

El movimiento multidimensional con aceleración constante puede tratarse de la misma manera que se mostró en el capítulo anterior para el movimiento unidimensional. Anteriormente demostramos que el movimiento tridimensional es equivalente a tres movimientos unidimensionales, cada uno a lo largo de un eje perpendicular a los otros. Para desarrollar las ecuaciones pertinentes en cada dirección, consideremos el problema bidimensional de una partícula que se mueve en el plano *xy* con aceleración constante; se ignora por el momento el componente *z*. El vector de aceleración es

Movimiento de proyectil

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Utilizar el movimiento unidimensional en direcciones perpendiculares para analizar el movimiento de proyectil.
* Calcular el alcance, el tiempo de vuelo y la altura máxima de un proyectil que se lanza e impacta en una superficie plana y horizontal.
* Encontrar el tiempo de vuelo y la velocidad de impacto de un proyectil que aterriza a una altura diferente a la del lanzamiento.
* Calcular la trayectoria de un proyectil.

Tiempo de vuelo, trayectoria y alcance

Son interesantes el tiempo de vuelo, la trayectoria y el alcance de un proyectil lanzado sobre una superficie horizontal plana y que impacta en la misma superficie. En este caso, las ecuaciones cinemáticas dan expresiones útiles para estas cantidades, que se derivan en las siguientes secciones.

Movimiento circular uniforme

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Resolver la aceleración centrípeta de un objeto que se mueve en una trayectoria circular.
* Utilizar las ecuaciones del movimiento circular para encontrar la posición, la velocidad y la aceleración de una partícula que ejecuta un movimiento circular.
* Explicar las diferencias entre la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial resultante del movimiento circular no uniforme.
* Evaluar la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial en un movimiento circular no uniforme, y encontrar el vector de aceleración total.

Aceleración centrípeta

En la cinemática unidimensional, los objetos con rapidez constante tienen una aceleración cero. Sin embargo, en la cinemática bidimensional y tridimensional, aunque la rapidez sea una constante, una partícula puede tener aceleración si se mueve a lo largo de una trayectoria curva, como un círculo. En este caso, el vector de velocidad está cambiando, o $d\stackrel{\to }{v}\text{/}dt\ne 0.$ Esto se muestra en la [link]. A medida que la partícula se desplaza en sentido contrario de las agujas del reloj en el tiempo $\text{Δ}t$ en la trayectoria circular, su vector de posición se mueve desde $\stackrel{\to }{r}\left(t\right)$ hasta $\stackrel{\to }{r}\left(t+\text{Δ}t\right).$ El vector de velocidad tiene una magnitud constante y es tangente a la trayectoria al pasar de $\stackrel{\to }{v}\left(t\right)$ a $\stackrel{\to }{v}\left(t+\text{Δ}t\right),$ y solo cambia su dirección. Dado que el vector de velocidad $\stackrel{\to }{v}\left(t\right)$ es perpendicular al vector de posición $\stackrel{\to }{r}\left(t\right),$ los triángulos formados por los vectores de posición y $\text{Δ}\stackrel{\to }{r},$ y los vectores de velocidad y $\text{Δ}\stackrel{\to }{v}$ son similares. Además, dado que $|\stackrel{\to }{r}\left(t\right)|=|\stackrel{\to }{r}\left(t+\text{Δ}t\right)|$ y $|\stackrel{\to }{v}\left(t\right)|=|\stackrel{\to }{v}\left(t+\text{Δ}t\right)|,$ los dos triángulos son isósceles. A partir de estos hechos podemos hacer la afirmación

Ecuaciones de movimiento para el movimiento circular uniforme

Una partícula que ejecuta un movimiento circular puede describirse por su vector de posición $\stackrel{\to }{r}\left(t\right).$ La [link] muestra una partícula que ejecuta un movimiento circular en sentido contrario de las agujas del reloj. A medida que la partícula se mueve en el círculo, su vector de posición barre el ángulo $\theta$ con el eje de la *x*. El vector $\stackrel{\to }{r}\left(t\right)$ haciendo un ángulo $\theta$ con el eje de la *x* se muestra con sus componentes a lo largo de los ejes de la *x* y la *y*. La magnitud del vector de posición es $A=|\stackrel{\to }{r}\left(t\right)|$ y es también el radio del círculo, por lo que en términos de sus componentes,

Movimiento circular no uniforme

El movimiento circular no tiene por qué ser de rapidez constante. Una partícula puede viajar en círculo y acelerar o frenar, lo cual indica aceleración en la dirección del movimiento.

Movimiento relativo en una y dos dimensiones

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar el concepto de marcos de referencia.
* Escribir las ecuaciones vectoriales de posición y velocidad para el movimiento relativo.
* Dibujar los vectores de posición y velocidad para el movimiento relativo.
* Analizar problemas de movimiento relativo unidimensional y bidimensional con las ecuaciones vectoriales de posición y velocidad.

Marcos de referencia

Para abordar el movimiento relativo en una o más dimensiones, primero introducimos el concepto de marcos de referencia**a**. Cuando decimos que un objeto tiene una determinada velocidad, debemos afirmar que tiene una velocidad con respecto a un determinado marco de referencia. En la mayoría de los ejemplos que hemos examinado hasta ahora, este marco de referencia ha sido la Tierra. Si dice que una persona está sentada en un tren que se mueve a 10 m/s hacia el este, entonces implica que la persona en el tren se desplaza con respecto a la superficie de la Tierra a esta velocidad, y la Tierra es el marco de referencia. Podemos ampliar nuestra visión del movimiento de la persona en el tren y afirmar que la Tierra está girando en su órbita alrededor del Sol, en cuyo caso el movimiento se complica. En este caso, el sistema solar es el marco de referencia. En resumen, todo debate sobre el movimiento relativo deberá definir los marcos de referencia involucrados. Ahora desarrollamos un método para referirse a los marcos de referencia en movimiento relativo.

Movimiento relativo en una dimensión

Primero introducimos el movimiento relativo en una dimensión, porque los vectores de velocidad se simplifican al tener solo dos direcciones posibles. Tomemos el ejemplo de la persona sentada en un tren que avanza hacia el este. Si elegimos el este como dirección positiva y la Tierra como marco de referencia, entonces podemos escribir la velocidad del tren con respecto a la Tierra como ${\stackrel{\to }{v}}_{\text{TE}}=10{\rule{0.2em}{0ex}}\text{m}\text{/}\text{s}{\rule{0.2em}{0ex}}\stackrel{^}{i}$ al este, donde los subíndices TE se refieren al tren y la Tierra. Digamos ahora que la persona se levanta de su asiento y camina hacia la parte trasera del tren a 2 m/s. Esto nos dice que tiene una velocidad relativa al marco de referencia del tren. Como la persona camina hacia el oeste, en dirección negativa, escribimos su velocidad con respecto al tren como ${\stackrel{\to }{v}}_{\text{PT}}=-2{\rule{0.2em}{0ex}}\text{m}\text{/}\text{s}{\rule{0.2em}{0ex}}\stackrel{^}{i}\text{.}$ Podemos sumar los dos vectores de velocidad para encontrar la velocidad de la persona con respecto a la Tierra. Esta velocidad relativa se escribe como

Velocidad relativa en dos dimensiones

Ahora podemos aplicar estos conceptos para describir el movimiento en dos dimensiones. Consideremos una partícula *P* y los marcos de referencia *S* y ${S}^{\prime },$ como se muestra en la [link]. La posición del origen de ${S}^{\prime }$ medida en *S* es ${\stackrel{\to }{r}}_{{S}^{\prime }S},$ la posición de *P* medida en ${S}^{\prime }$ es ${\stackrel{\to }{r}}_{P{S}^{\prime }},$ y la posición de *P* medida en *S* es ${\stackrel{\to }{r}}_{PS}.$

Leyes del movimiento de Newton

Introducción

Fuerzas

Abstract:
Al final de esta sección, podrá: * Distinguir entre cinemática y dinámica.
* Comprender la definición de fuerza.
* Identificar los diagramas simples de cuerpo libre.
* Definir la unidad de fuerza del SI, el newton.
* Describir la fuerza como un vector.

Definición funcional de fuerza

La dinámica es el estudio de las fuerzas que movilizan los objetos y los sistemas. Para entender esto, necesitamos una definición funcional de fuerza. La definición intuitiva de fuerza, es decir, un empujón o tirón, es un buen punto de partida. Sabemos que un empujón o tirón tiene magnitud y dirección (por lo tanto, es una cantidad vectorial), por lo que podemos definir la fuerza como el empujón o tirón sobre un objeto con una magnitud y dirección específicas. La fuerza puede representarse mediante vectores o expresarse como múltiplo de una fuerza estándar.

Desarrollo del concepto de fuerza

Una definición cuantitativa de la fuerza puede basarse en alguna fuerza estándar, al igual que la distancia se mide en unidades relativas a una longitud estándar. Una posibilidad es estirar un resorte a una cierta distancia fija ([link]) y utilizar la fuerza que ejerce para volver a su forma relajada (llamada *fuerza restauradora*) como estándar. La magnitud de todas las demás fuerzas puede considerarse como múltiplos de esta unidad de fuerza estándar. Existen muchas otras posibilidades para las fuerzas estándar. Más adelante en este capítulo se darán algunas otras definiciones de fuerza.

Notación vectorial para la fuerza

Como ya se ha mencionado, la fuerza es un vector; tiene magnitud y dirección. La unidad de fuerza del SI se llama newton (abreviado N), y 1 N es la fuerza necesaria para acelerar un objeto con una masa de 1 kg a una tasa de $1{\rule{0.2em}{0ex}}{\text{m/s}}^{2}$: $1{\rule{0.2em}{0ex}}\text{N}=1{\rule{0.2em}{0ex}}\text{kg}·{\text{m/s}}^{2}.$ Una forma fácil de recordar el tamaño de un newton es imaginar que se sostiene una pequeña manzana; tiene un peso de aproximadamente 1 N.

Primera ley de Newton

Abstract:
Al final de esta sección, podrá: * Describir la primera ley del movimiento de Newton.
* Reconocer la fricción como una fuerza externa.
* Definir la inercia.
* Identificar los marcos de referencia inerciales.
* Calcular el equilibrio de un sistema.

Gravitación e inercia

Independientemente de la escala de un objeto, ya sea una molécula o una partícula subatómica, hay dos propiedades que siguen siendo válidas y, por ende, de interés para la física: la gravitación y la inercia. Ambas están relacionadas con la masa. A grandes rasgos, la *masa* es una medida de la cantidad de materia que hay en algo. La *gravitación* es la atracción de una masa hacia otra, como la atracción entre usted y la Tierra que mantiene sus pies en el suelo. La magnitud de esta atracción es su peso, y es una fuerza.

Marcos de referencia inerciales

Anteriormente, enunciamos la primera ley de Newton como "un cuerpo en reposo permanece en reposo o, si está en movimiento, permanece en movimiento a velocidad constante a menos que actúe sobre este una fuerza externa neta". También puede enunciarse como "todo cuerpo permanece en su estado de movimiento uniforme en línea recta, a no ser que las fuerzas que actúen sobre este lo obliguen a cambiar de estado". Para Newton, el "movimiento uniforme en línea recta" significaba velocidad constante, lo que incluye el caso de la velocidad cero, o reposo. Por lo tanto, la primera ley señala que la velocidad de un objeto permanece constante si la fuerza neta sobre este es cero.

La primera ley de Newton y el equilibrio

La primera ley de Newton nos habla del equilibrio de un sistema, que es el estado en el que las fuerzas sobre el sistema están balanceadas. Volviendo a las fuerzas y a los patinadores sobre hielo en la [link], sabemos que las fuerzas ${\stackrel{\to }{F}}_{1}$ y ${\stackrel{\to }{F}}_{2}$ se combinan para formar una fuerza resultante, o la fuerza externa neta: ${\stackrel{\to }{F}}_{\text{R}}={\stackrel{\to }{F}}_{\text{neta}}={\stackrel{\to }{F}}_{1}+{\stackrel{\to }{F}}_{2}.$ Para crear el equilibrio, necesitamos una fuerza de equilibrio que produzca una fuerza neta de cero. Esta fuerza deberá ser igual en magnitud pero opuesta en dirección a ${\stackrel{\to }{F}}_{\text{R}},$ lo que significa que el vector deberá ser $\text{-}{\stackrel{\to }{F}}_{\text{R}}.$ En referencia a los patinadores sobre hielo, para los que encontramos que ${\stackrel{\to }{F}}_{\text{R}}$ era $30,0\stackrel{^}{i}+40,0\stackrel{^}{j}{\rule{0.2em}{0ex}}\text{N}$, podemos determinar la fuerza de equilibrio simplemente al encontrar $\text{-}{\stackrel{\to }{F}}_{\text{R}}=-30,0\stackrel{^}{i}-40,0\stackrel{^}{j}{\rule{0.2em}{0ex}}\text{N}.$ Vea el diagrama de cuerpo libre en la [link](b).

Segunda ley de Newton

Abstract:
Al final de esta sección, podrá: * Distinguir entre fuerzas externas e internas.
* Describir la segunda ley del movimiento de Newton.
* Explicar la dependencia de la aceleración de la fuerza neta y la masa.

Fuerza y aceleración

En primer lugar, ¿qué entendemos por un cambio de movimiento? La respuesta es que un cambio de movimiento equivale a un cambio de velocidad. Un cambio de velocidad significa, por definición, que hay aceleración. La primera ley de Newton establece que una fuerza externa neta provoca un cambio en el movimiento; por lo tanto, vemos que una *fuerza externa neta provoca una aceleración distinta de cero*.

Forma de los componentes de la segunda ley de Newton

Hemos desarrollado la segunda ley de Newton y la hemos presentado como una ecuación vectorial en la [link]. Esta ecuación vectorial puede escribirse como ecuaciones de tres componentes:

Segunda ley de Newton y el momento

En realidad, Newton planteó su segunda ley en términos de momento: "La tasa instantánea a la que cambia el momento de un cuerpo es igual a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo" ("tasa instantánea" implica que la derivada está involucrada). Esto puede estar dado por la ecuación vectorial

Masa y peso

Abstract:
Al final de esta sección, podrá: * Explicar la diferencia entre masa y peso.
* Explicar por qué los objetos que caen en la Tierra nunca están realmente en caída libre.
* Describir el concepto de ingravidez.

Unidades de fuerza

La ecuación ${F}_{\text{neta}}=ma$ se utiliza para definir la fuerza neta en términos de masa, longitud y tiempo. Como se ha explicado anteriormente, la unidad de fuerza del SI es el newton. Dado que ${F}_{\text{neta}}=ma,$

Peso y fuerza gravitatoria

Cuando un objeto se deja caer, se acelera hacia el centro de la Tierra. La segunda ley de Newton establece que una fuerza neta sobre un objeto es responsable por su aceleración. Si la resistencia del aire es despreciable, la fuerza neta sobre un objeto que cae es la fuerza gravitatoria, comúnmente llamada su peso $\stackrel{\to }{w}$, o su fuerza debida a la gravedad que actúa sobre un objeto de masa *m*. El peso puede denotarse como un vector porque tiene una dirección; *hacia abajo* es, por definición, la dirección de la gravedad, y por lo tanto, el peso es una fuerza descendente. La magnitud del peso se indica como *w*. Galileo contribuyó a demostrar que, en ausencia de resistencia del aire, todos los objetos caen con la misma aceleración *g*. Utilizando el resultado de Galileo y la segunda ley de Newton, podemos derivar una ecuación para el peso.

Tercera ley de Newton

Abstract:
Al final de esta sección, podrá: * Enunciar la tercera ley del movimiento de Newton.
* Identificar las fuerzas de acción y reacción en diferentes situaciones.
* Aplicar la tercera ley de Newton para definir sistemas y resolver problemas de movimiento.

Fuerzas comunes

Abstract:
Al final de esta sección, podrá: * Definir las fuerzas normales y de tensión.
* Distinguir entre fuerzas reales y ficticias.
* Aplicar las leyes del movimiento de Newton para resolver problemas que impliquen una variedad de fuerzas.

Un catálogo de fuerzas: normal, tensión y otros ejemplos de fuerzas

El catálogo de fuerzas nos servirá de referencia a la hora de resolver diversos problemas relacionados con la fuerza y el movimiento. Estas fuerzas incluyen la fuerza normal, la tensión, la fricción y la fuerza de resorte.

Fuerzas reales y marcos inerciales

Hay otra distinción entre las fuerzas: algunas fuerzas son reales, mientras que otras no lo son. Las *fuerzas reales* tienen algún origen físico, como la fuerza gravitatoria. Por el contrario, las *fuerzas ficticias* surgen simplemente porque un observador se encuentra en un marco de referencia acelerado o no inercial, como uno rotativo (como un carrusel) o que experimenta una aceleración lineal (como un auto que frena). Por ejemplo, si un satélite se dirige hacia el norte sobre el hemisferio norte de la Tierra, a un observador en la Tierra le parecerá que experimenta una fuerza hacia el oeste que no tiene origen físico. En su lugar, la Tierra rota hacia el este y se mueve hacia el este bajo el satélite. En el marco de la Tierra, esto parece una fuerza hacia el oeste sobre el satélite, o puede interpretarse como una violación de la primera ley de Newton (la ley de la inercia). Podemos identificar una fuerza ficticia con la pregunta: "¿Cuál es la fuerza de reacción?" Si no podemos nombrar la fuerza de reacción, entonces la fuerza que estamos considerando es ficticia. En el ejemplo del satélite, la fuerza de reacción tendría que ser una fuerza hacia el este de la Tierra. Recordemos que un marco de referencia inercial es aquel en el que todas las fuerzas son reales y, por ende, aquel en el que las leyes de Newton tienen las formas simples dadas en este capítulo.

Dibujar diagramas de cuerpo libre

Abstract:
Al final de esta sección, podrá: * Explicar las reglas para dibujar un diagrama de cuerpo libre.
* Construir diagramas de cuerpo libre para diferentes situaciones.

Aplicaciones de las leyes de Newton

Introducción

Resolución de problemas con las leyes de Newton

Abstract:
Al final de esta sección, podrá: * Aplicar técnicas de resolución de problemas para resolver cantidades en sistemas de fuerzas más complejos.
* Utilizar los conceptos de la cinemática para resolver problemas mediante el empleo de las leyes del movimiento de Newton.
* Resolver problemas de equilibrio más complejos.
* Resolver problemas de aceleración más complejos.
* Aplicar el cálculo a problemas de dinámica más avanzados.

Estrategias de resolución de problemas

Aquí seguimos los fundamentos de la resolución de problemas presentados anteriormente en este texto. Sin embargo, hacemos hincapié en las estrategias específicas que son útiles para aplicar las leyes del movimiento de Newton. Una vez que identifique los principios físicos implicados en el problema y determine que incluyen las leyes del movimiento de Newton, puede aplicar estos pasos para encontrar una solución. Estas técnicas también refuerzan conceptos que son útiles en muchas otras áreas de la física. Muchas de las estrategias de resolución de problemas se exponen directamente en los ejemplos trabajados, por lo que las siguientes técnicas deberían reforzar las habilidades que ya ha empezado a desarrollar.

Equilibrio de partículas

Recordemos que una partícula en equilibrio es aquella para la que las fuerzas externas están equilibradas. El equilibrio estático implica objetos en reposo, y el equilibrio dinámico implica objetos en movimiento sin aceleración. Sin embargo, es importante recordar que estas condiciones son relativas. Por ejemplo, un objeto puede estar en reposo cuando se ve desde nuestro marco de referencia, pero el mismo objeto parecería estar en movimiento cuando lo ve alguien que se mueve a una velocidad constante. A continuación, utilizaremos los conocimientos adquiridos en las Leyes del movimiento de Newton, relativos a los diferentes tipos de fuerzas y al uso de los diagramas de cuerpo libre, para resolver problemas adicionales de equilibrio de partículas.

Aceleración de partículas

Hemos dado varios ejemplos de partículas en equilibrio. Ahora nos centramos en los problemas de aceleración de partículas, que son el resultado de una fuerza neta distinta a cero. Vuelva a consultar los pasos dados al principio de esta sección y observe cómo se aplican a los siguientes ejemplos.

Leyes del movimiento y cinemática de Newton

La física es más interesante y poderosa cuando se aplica a situaciones generales que implican algo más que un estrecho conjunto de principios físicos. Las leyes del movimiento de Newton también pueden integrarse con otros conceptos que se han tratado anteriormente en este texto para resolver problemas de movimiento. Por ejemplo, las fuerzas producen aceleración, un tema de la cinemática, y de ahí la relevancia de los capítulos anteriores.

Fricción

Abstract:
Al final de esta sección, podrá: * Describir las características generales de la fricción.
* Enumerar los distintos tipos de fricción.
* Calcular la magnitud de la fricción estática y cinética, y utilizarlas en problemas que impliquen las leyes del movimiento de Newton.

Fricción estática y cinética

La definición básica de fricción es relativamente sencilla de enunciar.

Fricción y el plano inclinado

Una situación en la que la fricción desempeña un papel evidente es la de un objeto en una pendiente. Puede tratarse de una caja que se empuja por una rampa hasta un muelle de carga o de un patinador que desciende por una montaña, pero la física básica es la misma. Solemos generalizar la superficie con pendiente y llamarla plano inclinado, pero luego fingimos que la superficie es plana. Veamos un ejemplo de análisis del movimiento en un plano inclinado con fricción.

Explicaciones a escala atómica de la fricción

Los aspectos más sencillos de la fricción tratados hasta ahora son sus características macroscópicas (a gran escala). En las últimas décadas se han producido grandes avances en la explicación de la fricción a escala atómica. Los investigadores están descubriendo que la naturaleza atómica de la fricción parece tener varias características fundamentales. Estas características no solo explican algunos de los aspectos más sencillos de la fricción, sino que también encierran el potencial para el desarrollo de entornos casi sin fricción. Esto podría ahorrar cientos de miles de millones de dólares en energía que actualmente se convierte (innecesariamente) en calor.

Fuerza centrípeta

Abstract:
Al final de esta sección, podrá: * Explicar la ecuación de la aceleración centrípeta.
* Aplicar la segunda ley de Newton para desarrollar la ecuación de la fuerza centrípeta.
* Utilizar los conceptos de movimiento circular para resolver problemas relacionados con las leyes del movimiento de Newton.

Curvas con peralte

Consideremos ahora las curvas con peralt**e**, en las que la pendiente de la carretera permite maniobrar en la curva ([link]). Cuanto mayor sea el ángulo $\theta$, más rápido se puede tomar la curva. Los circuitos de carreras, tanto de motos como de autos, por ejemplo, suelen tener curvas con peralte muy pronunciados. En una "curva con peralte ideal", el ángulo $\theta$ es tal que puede maniobrar en la curva a cierta rapidez sin la ayuda de la fricción entre los neumáticos y la carretera. Derivamos una expresión $\theta$ para una curva con peralte ideal y consideramos un ejemplo relacionado con ella.

Fuerzas inerciales y marcos no inerciales (acelerados): la fuerza de Coriolis

¿Qué tienen en común el despegue de un avión de reacción, el giro de una esquina en un auto, el paseo en un carrusel y el movimiento circular de un ciclón tropical? Cada uno de ellos presenta fuerzas inerciales, es decir, fuerzas que simplemente parecen surgir del movimiento, porque el marco de referencia del observador acelera o rota. Al despegar en un jet, la mayoría de la gente estará de acuerdo en que se siente como si le empujaran hacia atrás en el asiento mientras el avión acelera por la pista. Sin embargo, un físico diría que *usted* tiende a permanecer inmóvil mientras el *asiento* le empuja hacia delante. Una experiencia aún más común ocurre cuando se toma una curva cerrada con el auto, por ejemplo, hacia la derecha ([link]). Tiene la sensación de ser lanzado (es decir, *forzado*) hacia la izquierda en relación con el auto. De nuevo, un físico diría que *usted* va en línea recta (recuerde la primera ley de Newton), pero que el *auto* se desplaza hacia la derecha, no que usted esté experimentando una fuerza desde la izquierda.

Fuerza de arrastre y velocidad límite

Abstract:
Al final de esta sección, podrá: * Expresar matemáticamente la fuerza de arrastre.
* Describir las aplicaciones de la fuerza de arrastre.
* Definir la velocidad límite.
* Determinar la velocidad límite de un objeto dada su masa.

Fuerzas de arrastre

Al igual que la fricción, la fuerza de arrastre siempre se opone al movimiento de un objeto. A diferencia de la fricción simple, la fuerza de arrastre es proporcional a alguna función de la velocidad del objeto en ese fluido. Esta funcionalidad es complicada y depende de la forma del objeto, su tamaño, su velocidad y el fluido en el que se encuentra. Para la mayoría de los objetos grandes, como ciclistas, autos y pelotas de béisbol que no se mueven demasiado despacio, la magnitud de la fuerza de arrastre ${F}_{\text{D}}$ es proporcional al cuadrado de la rapidez del objeto. Podemos escribir esta relación matemáticamente como ${F}_{\text{D}}\propto {v}^{2}.$ Si se tienen en cuenta otros factores, esta relación se convierte en

Velocidad límite

Algunas situaciones interesantes relacionadas con la segunda ley de Newton se producen al considerar los efectos de las fuerzas de arrastre sobre un objeto en movimiento. Por ejemplo, pensemos en un paracaidista que se lanza bajo la influencia de la gravedad. Las dos fuerzas que actúan sobre él son la fuerza de gravedad y la fuerza de arrastre (sin tomar en cuenta la pequeña fuerza de flotación). La fuerza de gravedad hacia abajo se mantiene constante, independientemente de la velocidad a la que se mueva la persona. Sin embargo, a medida que aumenta la velocidad de la persona, la magnitud de la fuerza de arrastre aumenta hasta que la magnitud de la fuerza de arrastre es igual a la fuerza gravitatoria, lo que produce una fuerza neta de cero. La fuerza neta de cero significa que no hay aceleración, como lo demuestra la segunda ley de Newton. En este punto, la velocidad de la persona permanece constante y decimos que la persona ha alcanzado su velocidad límite $\left({v}_{\text{T}}\right).$ Dado que ${F}_{\text{D}}$ es proporcional a la rapidez al cuadrado, un paracaidista más pesado deberá ir más rápido para que ${F}_{\text{D}}$ sea igual a su peso. Veamos cómo funciona esto de forma más cuantitativa.

El cálculo de las fuerzas de fricción dependientes de la velocidad

Cuando un cuerpo se desliza por una superficie, la fuerza de fricción sobre este es aproximadamente constante y viene dada por ${\mu }_{\text{k}}N.$ Desgraciadamente, la fuerza de fricción sobre un cuerpo que se mueve a través de un líquido o un gas no se comporta de forma tan sencilla. Esta fuerza de arrastre es generalmente una función complicada de la velocidad del cuerpo. Sin embargo, para un cuerpo que se mueve en línea recta a una rapidez moderada a través de un líquido como el agua, la fuerza de fricción puede aproximarse a menudo por

Trabajo y energía cinética

Introducción

Trabajo

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Representar el trabajo realizado por cualquier fuerza.
* Evaluar el trabajo realizado para varias fuerzas.

Trabajo realizado por fuerzas constantes y fuerzas de contacto

El trabajo más sencillo de evaluar es el que realiza una fuerza que es constante en magnitud y dirección. En este caso, podemos factorizar la fuerza; la integral restante es solo el desplazamiento total, que solo depende de los puntos finales *A* y *B*, pero no de la trayectoria entre ellos:

Trabajo realizado por fuerzas que varían

En general, las fuerzas pueden variar en magnitud y dirección en puntos del espacio, y las trayectorias entre dos puntos pueden ser curvas. El trabajo infinitesimal que realiza una fuerza variable puede expresarse en términos de los componentes de la fuerza y del desplazamiento a lo largo de la trayectoria,

Energía cinética

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Calcular la energía cinética de una partícula dada su masa y su velocidad o momento.
* Evaluar la energía cinética de un cuerpo, relativa a diferentes marcos de referencia.

Teorema de trabajo-energía

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Aplicar el teorema de trabajo-energía para encontrar información sobre el movimiento de una partícula, dadas las fuerzas que actúan sobre esta.
* Utilizar el teorema de trabajo-energía para encontrar información sobre las fuerzas que actúan sobre una partícula, dada la información sobre su movimiento.

Potencia

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Relacionar el trabajo realizado durante un intervalo de tiempo con la potencia entregada.
* Hallar la potencia gastada por una fuerza que actúa sobre un cuerpo en movimiento.

Energía potencial y conservación de la energía

Introducción

Energía potencial de un sistema

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Relacionar la diferencia de energía potencial con el trabajo realizado en una partícula para un sistema sin fricción ni arrastre del aire.
* Explicar el significado del cero de la función de energía potencial para un sistema.
* Calcular y aplicar la energía potencial gravitacional para un objeto cercano a la superficie terrestre y la energía potencial elástica de un sistema masa-resorte.

Fundamentos de la energía potencial

En Movimiento en dos y tres dimensiones, analizamos el movimiento de un proyectil, como patear un balón de fútbol en la [link]. Para este ejemplo, vamos a ignorar la fricción y la resistencia del aire. Cuando el balón se eleva, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre el balón es negativo, porque su desplazamiento es positivo en sentido vertical y la fuerza debida a la gravedad es negativa en sentido vertical. También observamos que el balón desacelera hasta llegar a su punto más alto en el movimiento, lo que disminuye su energía cinética. Esta pérdida de energía cinética se traduce en una ganancia de energía potencial gravitacional del sistema balón de fútbol-Tierra.

Sistemas de varias partículas

En general, un sistema de interés puede estar formado por varias partículas. La diferencia en la energía potencial del sistema es el negativo del trabajo realizado por las fuerzas gravitacionales o elásticas, que, como veremos en el siguiente apartado, son fuerzas conservativas. La diferencia de energía potencial depende solo de las posiciones inicial y final de las partículas, y de algunos parámetros que caracterizan la interacción (como la masa para la gravedad o la constante de resorte para una fuerza de la ley de Hooke).

Tipos de energía potencial

Para cada tipo de interacción presente en un sistema, se puede marcar el tipo correspondiente de energía potencial. La energía potencial total del sistema es la suma de las energías potenciales de todos los tipos. (Esto se deduce de la propiedad aditiva del producto punto en la expresión del trabajo realizado). Veamos algunos ejemplos concretos de los tipos de energía potencial que se analizan en Trabajo. En primer lugar, consideramos cada una de estas fuerzas cuando actúan por separado, y luego cuando ambas actúan conjuntamente.

Fuerzas conservativas y no conservativas

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Caracterizar una fuerza conservativa de diferentes maneras.
* Especificar las condiciones matemáticas que debe cumplir una fuerza conservativa y sus componentes.
* Relacionar la fuerza conservativa entre las partículas de un sistema con su energía potencial.
* Calcular los componentes de una fuerza conservativa en distintos casos.

Conservación de la energía

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Formular el principio de conservación de la energía mecánica, con o sin la presencia de fuerzas no conservativas.
* Utilizar la conservación de la energía mecánica para calcular diversas propiedades de sistemas sencillos.

Sistemas con una sola partícula u objeto

Primero consideramos un sistema con una sola partícula u objeto. De vuelta a nuestro desarrollo de la [link], recordemos que primero separamos todas las fuerzas que actúan sobre una partícula en tipos conservativas y no conservativas, y escribimos el trabajo realizado por cada tipo de fuerza como un término separado en el teorema de trabajo-energía. Entonces sustituimos el trabajo realizado por las fuerzas conservativas por el cambio en la energía potencial de la partícula y lo combinamos con el cambio en la energía cinética de la partícula para obtener la [link]. Ahora, escribimos esta ecuación sin el paso intermedio y definimos la suma de las energías cinética y potencial, $K+U=E;$ a ser la energía mecánica de la partícula.

Sistemas con varias partículas u objetos

Los sistemas suelen estar formados por más de una partícula u objeto. Sin embargo, la conservación de la energía mecánica, en una de sus formas en la [link] o la [link], es una ley fundamental de la física y se aplica a cualquier sistema. Todo lo que hay que hacer es incluir las energías cinética y potencial de todas las partículas, y el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas que actúan sobre ellas. Hasta que aprenda más sobre la dinámica de los sistemas compuestos por muchas partículas, en Momento lineal y colisiones, Rotación de eje fijo y Momento angular, es mejor posponer el debate de la aplicación de la conservación de energía para entonces.

Diagramas de energía potencial y estabilidad

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Crear e interpretar gráficos de energía potencial.
* Explicar la relación entre la estabilidad y la energía potencial.

Fuentes de energía

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir las transformaciones y conversiones de energía en términos generales.
* Explicar qué significa que una fuente de energía sea renovable o no renovable.

Momento lineal y colisiones

Introducción

Momento lineal

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar físicamente en qué consiste el momento.
* Calcular el momento de un objeto en movimiento.

Impulso y colisiones

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar físicamente qué es impulso.
* Describir lo que hace un impulso.
* Relacionar los impulsos con las colisiones.
* Aplicar el teorema del momento-impulso para resolver problemas.

Efecto del impulso

Dado que el impulso es una fuerza que actúa durante cierto tiempo, hace que el movimiento de un objeto cambie. Recuerde la [link]:

Momento y fuerza

En el [link], obtuvimos una relación importante:

Conservación del momento lineal

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar el significado de "conservación del momento".
* Identificar correctamente si un sistema es, o no, cerrado.
* Definir un sistema cuyo momento se conserva.
* Expresar matemáticamente la conservación del momento en un sistema dado.
* Calcular una cantidad desconocida mediante la conservación del momento.

Requisitos para la conservación del momento

Sin embargo, hay una complicación. Un sistema deberá cumplir dos requisitos para que su momento se conserve:

El significado de "sistema"

Un sistema (mecánico) es el conjunto de objetos en cuyo movimiento (cinemática y dinámica) está interesado. Si está analizando el rebote de una pelota en el suelo, probablemente solo le interesa el movimiento de la pelota, y no el de la Tierra; por lo tanto, la pelota es su sistema. Si está analizando un accidente de auto, los dos autos juntos componen su sistema ([link]).

Tipos de colisiones

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Identificar el tipo de colisión.
* Calificar correctamente una colisión como elástica o inelástica.
* Utilizar la energía cinética junto con el momento y el impulso para analizar una colisión.

Explosiones

La primera posibilidad es que un solo objeto se rompa en dos o más pedazos. Un ejemplo de ello es un petardo, o un arco y una flecha, o un cohete que se eleva en el aire hacia el espacio. Estos pueden ser difíciles de analizar si el número de fragmentos después de la colisión es superior a tres o cuatro; sin embargo, el momento total del sistema antes y después de la explosión es idéntico.

Inelástica

La segunda posibilidad es la inversa: que dos o más objetos colisionen entre sí y se peguen, para formar (tras la colisión) un único objeto compuesto. La masa total de este objeto compuesto es la suma de las masas de los objetos originales, y el nuevo objeto único se desplaza a una velocidad dictada por la conservación del momento. Sin embargo, resulta de nuevo que, aunque el momento total del sistema de objetos permanezca constante, la energía cinética no lo hace; esta vez, sin embargo, la energía cinética disminuye. Este tipo de colisión se denomina inelástica.

Elástica

El caso extremo del otro lado es si dos o más objetos se acercan, colisionan y rebotan entre sí, y luego se alejan el uno del otro a la misma rapidez relativa a la que se acercaron. En este caso, la energía cinética total del sistema se conserva. Dicha interacción se denomina elástica.

Colisiones subatómicas y momento

La conservación del momento es crucial para nuestra comprensión de las partículas atómicas y subatómicas porque gran parte de lo que sabemos sobre estas partículas procede de experimentos de colisión.

Colisiones en varias dimensiones

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Expresar el momento como un vector bidimensional.
* Escribir las ecuaciones de conservación del momento en forma de componentes.
* Calcular el momento en dos dimensiones, como una cantidad vectorial.

Centro de masa

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar el significado y la utilidad del concepto de centro de masa.
* Calcular el centro de masa de un sistema dado.
* Aplicar el concepto de centro de masa en dos y tres dimensiones.
* Calcular la velocidad y la aceleración del centro de masa.

Fuerzas internas y externas

Supongamos que tenemos un objeto extendido de masa *M*, formado por *N* partículas que interactúan. Vamos a marcar sus masas como ${m}_{j}$, donde $j=1,2,3,\text{…},N$. Observe que

Fuerza y momento

Recuerde que nuestro objetivo real es determinar la ecuación de movimiento para todo el objeto (todo el sistema de partículas). Para ello, definamos:

Centro de masa

Nuestra siguiente tarea es determinar qué parte del objeto extendido, si es que hay alguna, obedece a la [link].

Centro de masa de objetos continuos

Si el objeto en cuestión tiene su masa distribuida uniformemente en el espacio, y no como una colección de partículas separadas, entonces ${m}_{j}\to dm$, y la sumatoria se convierte en una integral:

Centro de masa y conservación del momento

¿Cómo se relaciona todo esto con la conservación del momento?

Propulsión de cohetes

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir la aplicación de la conservación del momento cuando la masa cambia con el tiempo, así como la velocidad.
* Calcular la rapidez de un cohete en el espacio vacío, en algún momento, dadas las condiciones iniciales.
* Calcular la rapidez de un cohete en el campo gravitacional de la Tierra, en algún momento, dadas las condiciones iniciales.

Análisis físico

A continuación, se describe lo que ocurre, para que se haga una idea de la física implicada.

Cohete en un campo gravitacional

Analicemos ahora el cambio de velocidad del cohete durante la fase de lanzamiento, desde la superficie de la Tierra. Para mantener las matemáticas manejables, restringiremos nuestra atención a las distancias para las cuales la aceleración causada por la gravedad puede tratarse como una *g* constante.

Rotación de un eje fijo

Introducción

Variables rotacionales

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir el significado físico de las variables rotacionales aplicadas a la rotación de eje fijo.
* Explicar cómo se relaciona la velocidad angular con la rapidez tangencial.
* Calcular la velocidad angular instantánea, dada la función de posición angular.
* Hallar la velocidad angular y la aceleración angular en un sistema en rotación.
* Calcular la aceleración angular media cuando la velocidad angular cambia.
* Calcular la aceleración angular instantánea, dada la función de velocidad angular.

Velocidad angular

El movimiento circular uniforme (ya comentado en Movimiento en dos y tres dimensiones) es un movimiento en círculo a rapidez constante. Aunque este es el caso más simple de movimiento rotacional, es muy útil para muchas situaciones, y lo utilizamos aquí para introducir las variables rotacionales.

Aceleración angular

Acabamos de hablar de la velocidad angular en relación con un movimiento circular uniforme. Sin embargo, no todos los movimientos son uniformes. Imagínese a un patinador sobre hielo girando con los brazos extendidos: cuando mete los brazos, su velocidad angular aumenta. Alternativamente, piense que el disco duro de una computadora desacelera hasta el punto de detenerse a medida que disminuye la velocidad angular. Exploraremos estas situaciones más adelante, aunque ya percibimos la necesidad de definir una aceleración angular para describir situaciones en las que $\omega$ cambia. Cuanto más rápido sea el cambio en $\omega$, mayor será la aceleración angular. Definimos la aceleración angular instantánea $\alpha$ como la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo:

Rotación con aceleración angular constante

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Derivar las ecuaciones cinemáticas para el movimiento rotacional con aceleración angular constante.
* Seleccionar de las ecuaciones cinemáticas para el movimiento rotacional con aceleración angular constante las ecuaciones apropiadas para resolver las incógnitas en el análisis de sistemas sometidos a rotación de eje fijo.
* Utilizar las soluciones halladas con las ecuaciones cinemáticas para verificar el análisis gráfico de la rotación de eje fijo con aceleración angular constante.

Cinemática del movimiento rotacional

Con nuestra intuición podemos empezar a ver cómo las cantidades rotacionales $\theta ,$ $\omega ,$ $\alpha$, y *t* están relacionadas entre sí. Por ejemplo, hemos visto en la sección anterior que, si un volante de inercia tiene una aceleración angular en la misma dirección que su vector de velocidad angular, su velocidad angular aumenta con el tiempo, al igual que desplazamiento angular. Por el contrario, si la aceleración angular es opuesta al vector de velocidad angular, su velocidad angular disminuye con el tiempo. Podemos describir estas situaciones físicas y muchas otras con un conjunto coherente de ecuaciones cinemáticas rotacionales bajo una aceleración angular constante. El método para investigar el movimiento rotacional de esta manera se llama cinemática del movimiento rotacional.

Aplicar las ecuaciones del movimiento rotacional

Ahora aplicaremos las relaciones cinemáticas clave para el movimiento rotacional a algunos ejemplos sencillos para tener una idea de cómo se pueden aplicar las ecuaciones a situaciones cotidianas.

Relacionar cantidades angulares y traslacionales

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Dada la ecuación cinemática lineal, escribir la ecuación cinemática rotacional correspondiente.
* Calcular las distancias lineales, las velocidades y las aceleraciones de los puntos de un sistema en rotación dadas las velocidades y aceleraciones angulares.

Variables angulares frente a variables lineales

En Variables rotacionales, introducimos las variables angulares. Si comparamos las definiciones rotacionales con las definiciones de las variables cinemáticas lineales de Movimiento a lo largo de una línea recta y Movimiento en dos y tres dimensiones, encontramos que hay un mapeo de las variables lineales a las rotacionales. La posición lineal, la velocidad y la aceleración tienen sus contrapartes rotacionales, como podemos ver cuando las escribimos una al lado de la otra:

Relaciones entre el movimiento rotacional y traslacional

Podemos observar dos relaciones entre el movimiento rotacional y el traslacional.

Momento de inercia y energía cinética rotacional

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir las diferencias entre la energía cinética rotacional y traslacional.
* Definir el concepto físico de momento de inercia en términos de la distribución de la masa desde el eje rotacional.
* Explicar cómo el momento de inercia de los cuerpos rígidos afecta su energía cinética rotacional.
* Utilizar la conservación de la energía mecánica para analizar sistemas que sufren tanto rotación como traslación.
* Calcular la velocidad angular de un sistema en rotación cuando hay pérdidas de energía debido a fuerzas no conservativas.

Energía cinética rotacional

Cualquier objeto en movimiento tiene energía cinética. Sabemos cómo calcular esto para un cuerpo que experimenta un movimiento traslacional, pero ¿qué pasa con un cuerpo rígido que experimenta una rotación? Esto puede parecer complicado porque cada punto del cuerpo rígido tiene una velocidad diferente. Sin embargo, podemos utilizar la velocidad angular, que es la misma para todo el cuerpo rígido, a objeto de expresar la energía cinética de un objeto en rotación. La [link] muestra un ejemplo de un cuerpo en rotación muy energético: una piedra eléctrica de amolar, impulsada por un motor. Saltan chispas y se generan ruidos y vibraciones mientras la piedra de amolar hace su trabajo. Este sistema tiene una energía considerable, parte de ella en forma de calor, luz, sonido y vibración. Sin embargo, la mayor parte de esta energía está en forma de energía cinética rotacional.

Momento de inercia

Si comparamos la [link] con la forma en que escribimos la energía cinética en Trabajo y energía cinética, $\left(\frac{1}{2}m{v}^{2}\right)$, esto sugiere que tenemos una nueva variable rotacional que añadir a la lista de nuestras relaciones entre variables rotacionales y traslacionales. La cantidad $\sum _{j}{m}_{j}{r}_{j}^{2}$ es la contraparte de la masa en la ecuación de la energía cinética rotacional. Este es un término nuevo e importante para el movimiento rotacional. Esta cantidad recibe el nombre de momento de inercia *I*, con unidades de $\text{kg}·{\text{m}}^{2}$:

Aplicación de la energía cinética rotacional

Apliquemos ahora las ideas de la energía cinética rotacional y la tabla de momentos de inercia para tener una idea de la energía asociada a algunos objetos en rotación. Los siguientes ejemplos también le harán sentirse cómodo utilizando estas ecuaciones. En primer lugar, veamos una estrategia general de resolución de problemas de energía rotacional.

Calcular momentos de inercia

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Calcular el momento de inercia de cuerpos rígidos y uniformes.
* Aplicar el teorema de los ejes paralelos para hallar el momento de inercia sobre cualquier eje paralelo a uno ya conocido.
* Calcular el momento de inercia de los objetos compuestos.

Momento de inercia

Definimos el momento de inercia *I* de un objeto como $I=\sum _{i}{m}_{i}{r}_{i}^{2}$ para todas las masas puntuales que componen el objeto. Como *r* es la distancia al eje de rotación de cada pieza de masa que compone el objeto, el momento de inercia de cualquier objeto depende del eje elegido. Para ver esto, tomemos un ejemplo sencillo de dos masas en el extremo de una varilla sin masa (masa despreciable) ([link]) y calculemos el momento de inercia en torno a dos ejes diferentes. En este caso, la suma sobre las masas es sencilla porque las dos masas del extremo de la barra se pueden tomar como masas puntuales y, por tanto, la suma solo tiene dos términos.

El teorema del eje paralelo

La similitud entre el proceso de hallar el momento de inercia de una varilla en torno a un eje que pasa por su centro y en torno a un eje que pasa por su extremo es sorprendente, y sugiere que podría haber un método más sencillo para determinar el momento de inercia de una varilla en torno a cualquier eje paralelo al eje que pasa por el centro de masa. Dicho eje se denomina eje paralelo. Existe un teorema para esto, llamado teorema del eje paralelo, que enunciamos aquí, pero no derivamos en este texto.

Torque

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir cómo la magnitud de un torque depende de la magnitud del brazo de palanca y del ángulo que forma el vector de fuerza con el brazo de palanca.
* Determinar el signo (positivo o negativo) de un torque con la regla de la mano derecha.
* Calcular cada uno de los torques en torno a un eje común y sumarlos para hallar el torque neto.

Definir el torque

Hasta ahora hemos definido muchas variables que son equivalentes rotacionales a sus contrapartes traslacionales. Consideremos cuál debe ser la contrapartida de la fuerza. Dado que las fuerzas cambian el movimiento de traslación de los objetos, la contraparte rotacional deberá relacionarse con el cambio del movimiento de rotación de un objeto alrededor de un eje. Llamamos torque a esta contrapartida rotacional.

Calcular el torque neto para cuerpos rígidos en un eje fijo

En los siguientes ejemplos, calculamos el torque tanto de forma abstracta y aplicado a un cuerpo rígido.

Segunda ley de Newton para la rotación

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Calcular los torques en los sistemas que rotan en torno a un eje fijo para hallar la aceleración angular.
* Explicar cómo los cambios en el momento de inercia de un sistema en rotación inciden en la aceleración angular con un torque fijo aplicado.

Segunda ley de Newton para la rotación

Hasta ahora hemos hallado muchas contrapartes a los términos traslacionales utilizados a lo largo de este texto; la más reciente, el torque, es el análogo rotacional de la fuerza. Esto plantea la pregunta: ¿Existe una ecuación análoga a la segunda ley de Newton, $\Sigma \stackrel{\to }{F}=m\stackrel{\to }{a},$ que implique al torque y al movimiento rotacional? Para investigarlo, comenzamos con la segunda ley de Newton para una sola partícula que rota alrededor de un eje y ejecuta un movimiento circular. Ejerzamos una fuerza $\stackrel{\to }{F}$ sobre una masa puntual *m* que se encuentra a una distancia *r* de un punto de apoyo ([link]). La partícula está obligada a moverse en una trayectoria circular de radio fijo y la fuerza es tangente al círculo. Aplicamos la segunda ley de Newton para determinar la magnitud de la aceleración *$a=F\text{/}m$* en dirección a $\stackrel{\to }{F}$. Recordemos que la magnitud de la aceleración tangencial es proporcional a la magnitud de la aceleración angular por $a=r\alpha$. Sustituyendo esta expresión en la segunda ley de Newton, obtenemos

Derivar la segunda ley de Newton para la rotación en forma vectorial

Como antes, cuando calculamos la aceleración angular, también podemos hallar el vector de torque. La segunda ley $\Sigma \stackrel{\to }{F}=m\stackrel{\to }{a}$ nos indica la relación entre la fuerza neta y la forma de modificar el movimiento de traslación de un objeto. Tenemos un equivalente vectorial rotacional de esta ecuación, que se hallará al utilizar la [link] y la [link]. La [link] relaciona la aceleración angular con los vectores de posición y de aceleración tangencial:

Aplicar la ecuación de la dinámica rotacional

Antes de aplicar la ecuación de la dinámica rotacional a algunas situaciones cotidianas, repasemos una estrategia general de resolución de problemas para utilizarla con esta categoría de problemas.

Trabajo y potencia en el movimiento rotacional

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Utilizar el teorema de trabajo-energía para analizar la rotación y calcular el trabajo realizado en un sistema cuando se rota alrededor de un eje fijo para un desplazamiento angular finito.
* Resolver la velocidad angular de un cuerpo rígido en rotación con el teorema de trabajo-energía.
* Hallar la potencia entregada a un cuerpo rígido en rotación dado el torque aplicado y la velocidad angular.
* Resumir las variables y ecuaciones rotacionales y relacionarlas con sus homólogas traslacionales.

Trabajo para el movimiento rotacional

Ahora, que hemos determinado cómo calcular la energía cinética para cuerpos rígidos en rotación, podemos proceder a analizar el trabajo realizado en un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo. La [link] muestra un cuerpo rígido que ha rotado a través de un ángulo $d\theta$ de *A* a *B* bajo la influencia de una fuerza $\stackrel{\to }{F}$. La fuerza externa $\stackrel{\to }{F}$ se aplica al punto *P*, cuya posición es $\stackrel{\to }{r}$, y el cuerpo rígido se ve obligado a rotar alrededor de un eje fijo que es perpendicular a la página y pasa por *O*. El eje de rotación es fijo, por lo que el vector $\stackrel{\to }{r}$ se mueve en un círculo de radio *r*, y el vector $d\stackrel{\to }{s}$ es perpendicular a $\stackrel{\to }{r}.$

Potencia para el movimiento rotacional

La potencia siempre sale a relucir en los debates sobre las aplicaciones en ingeniería y física. La potencia para el movimiento rotacional es tan importante como la potencia en el movimiento lineal y puede derivarse de forma similar a la del movimiento lineal cuando la fuerza es una constante. La potencia lineal cuando la fuerza es una constante es $P=\stackrel{\to }{F}·\stackrel{\to }{v}$. Si el torque neto es constante en el desplazamiento angular, la [link] se simplifica y el torque neto se puede sacar de la integral. En el siguiente análisis, asumimos que el torque neto es constante. Podemos aplicar al movimiento rotacional la definición de potencia derivada de Potencia. A partir de Trabajo y la energía cinética, la potencia instantánea (o simplemente la potencia) se define como la tasa de realización del trabajo,

Resumen de relaciones rotacionales y traslacionales

Las cantidades rotacionales y sus análogas lineales se resumen en tres tablas. La [link] resume las variables rotacionales para el movimiento circular alrededor de un eje fijo con sus análogas lineales y la ecuación de conexión, excepto para la aceleración centrípeta, que se mantiene por sí misma. La [link] resume las ecuaciones cinemáticas rotacionales y traslacionales. La [link] resume las ecuaciones dinámicas rotacionales junto con sus análogas lineales.

Momento angular

Introducción

Movimiento rodadura

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir la física del movimiento rodadura sin deslizamiento.
* Explicar cómo se relacionan las variables lineales con las angulares para el caso del movimiento rodadura sin deslizamiento.
* Hallar la aceleración lineal y angular en el movimiento rodadura con y sin deslizamiento.
* Calcular la fuerza de fricción estática asociada al movimiento rodadura sin deslizamiento.
* Utilizar la conservación de energía para analizar el movimiento rodadura.

Movimiento rodadura sin deslizamiento

El movimiento rodadura sin deslizamiento se ha observado desde la invención de la rueda. Por ejemplo, podemos observar la interacción de los neumáticos de un auto con la superficie de la carretera. Si el conductor pisa el acelerador hasta el fondo, de manera que los neumáticos giren sin que el auto avance, habrá fricción cinética entre las ruedas y la superficie de la carretera. Si el conductor pisa el acelerador lentamente, haciendo que el auto avance, entonces los neumáticos ruedan sin resbalar. Para la mayoría de la gente es sorprendente que, de hecho, la parte inferior de la rueda esté en reposo con respecto al suelo, lo que indica que debe haber fricción estática entre los neumáticos y la superficie de la carretera. En la [link], la bicicleta está en movimiento y el ciclista se mantiene erguido. Los neumáticos están en contacto con la superficie de la carretera y, aunque están rodando, los partes inferiores de los neumáticos se deforman ligeramente, no resbalan y están en reposo con respecto a la superficie de la carretera durante un tiempo medible. Para que esto sea así, deberá haber fricción estática entre el neumático y la superficie de la carretera.

Movimiento rodadura con deslizamiento

En el caso del movimiento rodadura con deslizamiento, debemos utilizar el coeficiente de fricción cinética, que da lugar a la fuerza de fricción cinética dado que no existe fricción estática. La situación se muestra en la [link]. En caso de deslizamiento, ${v}_{\text{CM}}-R\omega \ne 0$, porque el punto *P* de la rueda no está en reposo en la superficie, y ${v}_{P}\ne 0$. Así, $\omega \ne \frac{{v}_{\text{CM}}}{R},\alpha \ne \frac{{a}_{\text{CM}}}{R}$.

Conservación de la energía mecánica en el movimiento rodadura

En el capítulo anterior, hemos introducido la energía cinética rotacional. Cualquier objeto que ruede lleva consigo energía cinética rotacional, así como energía cinética traslacional y energía potencial si el sistema lo requiere. Incluyendo la energía potencial gravitacional, la energía mecánica total de un objeto que rueda es

Momento angular

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir la naturaleza vectorial del momento angular.
* Encontrar el momento angular total y el torque alrededor de un origen designado de un sistema de partículas.
* Calcular el momento angular de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo.
* Calcular el torque de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo.
* Utilizar la conservación del momento angular en el análisis de objetos que cambian su tasa de rotación.

Momento angular de una sola partícula

La [link] muestra una partícula en una posición $\stackrel{\to }{r}$ con un momento lineal $\stackrel{\to }{p}=m\stackrel{\to }{v}$ con respecto al origen. Aunque la partícula no gire en torno al origen, aun así, podemos definir el momento angular en términos del vector de posición y del momento lineal.

Momento angular de un sistema de partículas

El momento angular de un sistema de partículas es importante en muchas disciplinas científicas, una de ellas la astronomía. Consideremos una galaxia espiral, una isla de estrellas en rotación como nuestra Vía Láctea. Cada una de las estrellas puede tratarse como partículas puntuales, cada una de las cuales tiene su propio momento angular. La suma vectorial de cada uno de los momentos angulares da el total de la galaxia. En esta sección, desarrollamos las herramientas con las que podemos calcular el momento angular total de un sistema de partículas.

Momento angular de un cuerpo rígido

Hemos investigado el momento angular de una sola partícula, que hemos generalizado a un sistema de partículas. Ahora podemos utilizar los principios analizados en la sección anterior para desarrollar el concepto de momento angular de un cuerpo rígido. Los objetos celestes, como los planetas, tienen momento angular debido a su giro y a sus órbitas alrededor de las estrellas. En ingeniería, todo lo que está en rotación en torno a un eje conlleva un momento angular, como los volantes de inercia, las hélices y las piezas rotativas de los motores. El conocimiento del momento angular de estos objetos es crucial para el diseño del sistema del que forman parte.

Conservación del momento angular

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Aplicar la conservación del momento angular para determinar la velocidad angular de un sistema en rotación en el que cambia el momento de inercia.
* Explicar cómo cambia la energía cinética rotacional cuando un sistema sufre cambios tanto en el momento de inercia como en la velocidad angular.

Precesión de un giroscopio

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir los procesos físicos que subyacen al fenómeno de la precesión.
* Calcular la velocidad angular de precesión de un giroscopio.

Equilibrio estático y elasticidad

Introducción

Condiciones para el equilibrio estático

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Identificar las condiciones físicas del equilibrio estático.
* Dibujar un diagrama de cuerpo libre para un cuerpo rígido sobre el que actúan fuerzas.
* Explicar cómo las condiciones de equilibrio nos permiten resolver problemas de estática.

Ejemplos de equilibrio estático

Abstract:
Al final de esta sección, podrá: * Identificar y analizar las situaciones de equilibrio estático.
* Establecer un diagrama de cuerpo libre para un objeto extendido en equilibrio estático.
* Establecer y resolver condiciones de equilibrio estático para objetos en equilibrio en diversas situaciones físicas.

Estrés, tensión y módulo elástico

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar los conceptos de estrés y tensión en la descripción de la deformación elástica de los materiales.
* Describir los tipos de deformación elástica de objetos y materiales.

Tensión de tracción o de compresión, tensión y módulo de Young

La tensión o la compresión se producen cuando dos fuerzas antiparalelas de igual magnitud actúan sobre un objeto a lo largo de una sola de sus dimensiones, de manera que el objeto no se mueve. Una forma de imaginar esta situación se ilustra en la [link]. Un segmento de varilla es estirado o comprimido por un par de fuerzas que actúan a lo largo de su longitud y perpendicularmente a su sección transversal. El efecto neto de estas fuerzas es que la varilla cambia su longitud desde la longitud original ${L}_{0}$ que tenía antes de la aparición de las fuerzas, a una nueva longitud *L* que tiene bajo la acción de las fuerzas. Este cambio de longitud $\text{Δ}L=L-{L}_{0}$ puede ser un alargamiento (cuando *L* es mayor que la longitud original ${L}_{0}\right)$ o contracción (cuando *L* es menor que la longitud original ${L}_{0}\right).$ La tensión y el esfuerzo de tracción se producen cuando las fuerzas estiran un objeto y provocan su elongación, con el cambio de longitud $\text{Δ}L$ es positivo. La tensión y el esfuerzo de compresión se producen cuando las fuerzas contraen un objeto y provocan su acortamiento, con el cambio de longitud $\text{Δ}L$ es negativo.

Tensión de compresibilidad, tensión y módulos

Cuando usted se sumerge en el agua, siente una fuerza que presiona cada parte del cuerpo desde todas las direcciones. Lo que usted experimenta entonces es una tensión de compresibilidad, o lo que es lo mismo, una presión. La tensión de compresibilidad siempre tiende a disminuir el volumen encerrado por la superficie de un objeto sumergido. Las fuerzas de este "apretón" son siempre perpendiculares a la superficie sumergida ([link]). El efecto de estas fuerzas es la disminución del volumen del objeto sumergido en una cantidad $\text{Δ}V$ en comparación con el volumen ${V}_{0}$ del objeto en ausencia de tensión de compresibilidad. Este tipo de deformación se denomina esfuerzo de compresibilidad y se describe mediante un cambio de volumen en relación con el volumen original:

Tensión de corte, tensión y módulo

Los conceptos de tensión de corte y tensión solo se refieren a objetos o materiales sólidos. Los edificios y las placas tectónicas son ejemplos de objetos que pueden estar sometidos a tensión de corte. En general, estos conceptos no se aplican a los fluidos.

Elasticidad y plasticidad

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explique el límite en el que la deformación del material es elástica.
* Describa el rango en el que los materiales muestran un comportamiento plástico.
* Analice la elasticidad y la plasticidad en un diagrama estrés-tensión.

Gravitación

Introducción

Ley de la gravitación universal de Newton

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Enumerar los hitos significativos en la historia de la gravitación.
* Calcular la fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales.
* Estimar la fuerza gravitatoria entre conjuntos de masas.

La historia de la gravitación

Los primeros filósofos se preguntaban por qué los objetos tienden naturalmente a caer hacia el suelo. Aristóteles (384-322 a.C.) creía que la naturaleza de las rocas era buscar la Tierra y la del fuego buscar el Cielo. Brahmagupta (598~665 d.C.) postuló que la Tierra era una esfera y que los objetos poseían una afinidad natural con ella, ya que caían hacia el centro desde cualquier lugar en el que se encontraran.

Newton observó que los objetos en la superficie de la Tierra (por tanto, a una distancia de ${R}_{\text{E}}$ del centro de la Tierra) tienen una aceleración de *g*, pero la Luna, a una distancia de aproximadamente $60{\rule{0.2em}{0ex}}{R}_{\text{E}}$, tiene una aceleración centrípeta sobre ${\left(60\right)}^{2}$ veces menor que *g*. Podría explicar esto al postular que existe una fuerza entre dos objetos cualesquiera, cuya magnitud viene dada por el producto de las dos masas, dividido entre el cuadrado de la distancia entre estas. Ahora sabemos que esta ley del cuadrado inverso es omnipresente en la naturaleza, una función de la geometría para las fuentes puntuales. La fuerza de cualquier fuente a una distancia *r* se extiende sobre la superficie de una esfera centrada en la masa. La superficie de esa esfera es proporcional a ${r}^{2}$. En capítulos posteriores, veremos esta misma forma en la fuerza electromagnética.

El experimento Cavendish

Un siglo después de que Newton publicara su ley de la gravitación universal, Henry Cavendish determinó la constante de proporcionalidad *G* a través de un minucioso experimento. Construyó un dispositivo semejante al que se muestra en la [link], en el que se suspenden pequeñas masas de un cable. Una vez en equilibrio, dos masas fijas de mayor tamaño se colocan simétricamente cerca de las más pequeñas. La atracción gravitatoria crea una torsión (torsión) en el cable de soporte que se puede medir.

Gravitación cerca de la superficie terrestre

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explique la relación entre las constantes $G$ y $g$
* Determine la masa de un cuerpo astronómico a partir de la aceleración en caída libre en su superficie.
* Describa cómo el valor de $g$ varía según la ubicación y la rotación de la Tierra

Peso

Recordemos que la aceleración de un objeto en caída libre cerca de la superficie de la Tierra es aproximadamente $g=9,80{\rule{0.2em}{0ex}}{\text{m/s}}^{2}$. La fuerza que causa esta aceleración se denomina peso del objeto, y a partir de la segunda ley de Newton, tiene el valor *mg*. Este peso está presente, independientemente de que el objeto esté en caída libre. Ahora sabemos que esta fuerza es la fuerza gravitatoria entre el objeto y la Tierra. Si sustituimos *mg* por la magnitud de ${\stackrel{\to }{F}}_{12}$ en la ley de gravitación universal de Newton, *m para* ${m}_{1}$, y ${M}_{\text{E}}$ para ${m}_{2}$, obtenemos la ecuación escalar

El campo gravitacional

La [link] es una ecuación escalar, que da la magnitud de la aceleración gravitatoria en función de la distancia al centro de la masa que provoca la aceleración. No obstante, podríamos haber mantenido la forma vectorial de la fuerza de gravedad en la [link], y escribir la aceleración en forma vectorial como

Peso aparente: contabilización de la rotación de la Tierra

Como vimos en Aplicaciones de las leyes de Newton, los objetos que se desplazan a rapidez constante en un círculo tienen una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro del círculo, lo que significa que deberá haber una fuerza neta dirigida hacia el centro de ese círculo. Dado que todos los objetos en la superficie de la Tierra se mueven a través de un círculo cada 24 horas, deberá haber una fuerza centrípeta neta en cada objeto, dirigida hacia el centro de ese círculo.

Resultados lejos del ecuador

En los polos, ${a}_{\text{c}}\to 0$ y ${F}_{\text{s}}=mg$, al igual que ocurre sin rotación. En cualquier otra latitud $\lambda$, la situación es más complicada. La aceleración centrípeta se dirige hacia el punto *P* de la figura, y el radio se convierte en $r={R}_{\text{E}}\text{cos}\lambda$. La suma *vectorial* del peso y ${\stackrel{\to }{F}}_{\text{s}}$ deberá apuntar hacia el punto *P*; de allí que ${\stackrel{\to }{F}}_{\text{s}}$ ya no apunta lejos del centro de la Tierra. (La diferencia es pequeña y exagerada en la figura). Una plomada siempre apuntará en esta dirección desviada. Todos los edificios se construyen alineados a lo largo de esta dirección desviada, no a lo largo de un radio que pasa por el centro de la Tierra. En el caso de los edificios más altos, esto representa una desviación de unos cuantos pies en la parte superior.

La gravedad lejos de la superficie

Anteriormente hemos afirmado sin pruebas que la ley de la gravitación se aplica a los objetos esféricamente simétricos, donde la masa de cada cuerpo actúa como si estuviera en el centro del cuerpo. Ya que la [link] se deriva de la [link], también es válida para distribuciones de masa simétricas, aunque ambas ecuaciones son válidas solo para valores de $r\ge {R}_{\text{E}}$. Como vimos en la [link], a 400 km sobre la superficie de la Tierra, donde orbita la Estación Espacial Internacional, el valor de *g* es $8,67{\rule{0.2em}{0ex}}{\text{m/s}}^{2}$. (Veremos más adelante que esta es también la aceleración centrípeta de la ISS).

Energía potencial gravitacional y energía total

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Determinar los cambios en la energía potencial gravitacional a grandes distancias.
* Aplicar la conservación de la energía para determinar la velocidad de escape.
* Determinar si los cuerpos astronómicos tienen límite gravitacional.

Energía potencial gravitacional más allá de la Tierra

Definimos el trabajo y la energía potencial en Trabajo y energía cinética y Energía potencial y conservación de la energía. La utilidad de estas definiciones es la facilidad con la que podemos resolver muchos problemas mediante la conservación de la energía. La energía potencial es particularmente útil para las fuerzas que cambian con la posición, como lo hace la fuerza gravitacional a grandes distancias. En Energía potencial y conservación de la energía, demostramos que el cambio en la energía potencial gravitacional cerca de la superficie de la Tierra es $\text{Δ}U=mg\left({y}_{2}-{y}_{1}\right)$. Esto funciona muy bien si *g* no cambia significativamente entre ${y}_{1}$ y ${y}_{2}$. Volvemos a la definición de trabajo y energía potencial para derivar una expresión que sea correcta en distancias mayores.

Conservación de la energía

En Energía potencial y conservación de la energía, describimos cómo aplicar la conservación de la energía para sistemas con fuerzas conservativas. Hemos podido resolver muchos problemas, sobre todo los relacionados con la gravedad, de forma más sencilla mediante la conservación de la energía. Estos principios y estrategias de resolución de problemas se aplican igualmente a este caso. El único cambio es colocar la nueva expresión de la energía potencial en la ecuación de conservación de la energía, $E={K}_{1}+{U}_{1}={K}_{2}+{U}_{2}$.

Órbita satelital y energía

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir el mecanismo de las órbitas circulares.
* Calcular los periodos orbitales y la rapidez de los satélites.
* Determinar si los objetos tienen límite gravitacional.

Órbita circular

Como se indicó al principio de este capítulo, Nicolás Copérnico fue el primero en sugerir que la Tierra y todos los demás planetas realizan una órbita circular alrededor del Sol. Además, observó que el periodo orbital aumenta con la distancia al Sol. Posteriormente, Kepler demostró que estas órbitas son en realidad elipses, pero las de la mayoría de los planetas del sistema solar son casi circulares. La distancia orbital de la Tierra al Sol varía apenas un 2 %. La excepción es la órbita excéntrica de Mercurio, cuya distancia orbital varía casi un 40 %.

Energía en órbitas circulares

En Energía potencial gravitacional y energía total, argumentamos que los objetos tienen límite gravitacional si su energía total es negativa. El argumento se basaba en el caso simple de que la velocidad se alejara o se acercara directamente al planeta. Ahora examinamos la energía total para una órbita circular y mostramos que, efectivamente, la energía total es negativa. Al igual que antes, partimos de la segunda ley de Newton aplicada a una órbita circular,

Leyes del movimiento planetario de Kepler

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir las secciones cónicas y su relación con el movimiento orbital.
* Describir cómo se relaciona la velocidad orbital con la conservación del momento angular.
* Determinar el periodo de una órbita elíptica a partir de su eje mayor.

Primera ley de Kepler

La opinión predominante en la época de Kepler era que todas las órbitas planetarias eran circulares. Los datos de Marte presentaron el mayor desafío a este punto de vista y eso finalmente animó a Kepler a abandonar la idea popular. La primera ley de Kepler establece que cada planeta se mueve a lo largo de una elipse, con el Sol situado en un foco de esta. Una elipse se define como el conjunto de todos los puntos tales que la suma de la distancia de cada punto a dos focos es una constante. La [link] muestra una elipse y describe una forma sencilla de crearla.

Transferencias orbitales

La gente ha imaginado viajar a los otros planetas de nuestro sistema solar desde que se descubrieron. Pero ¿cuál es la mejor manera de hacerlo? El método más eficaz fue descubierto en 1925 por Walter Hohmann, quien se inspiró en una popular novela de ciencia ficción de la época. El método se llama ahora transferencia de Hohmann. Para el caso de viajar entre dos órbitas circulares, la transferencia se realiza a lo largo de una elipse de “transferencia” que intercepta perfectamente esas órbitas en el afelio y el perihelio de la elipse. La [link] muestra el caso de un viaje desde la órbita de la Tierra a la de Marte. Como se mostró antes, el Sol está en el foco de la elipse.

Segunda ley de Kepler

La segunda ley de Kepler establece que un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, el área dividida entre el tiempo, llamada velocidad areolar, es constante. Considere la [link]. El tiempo que tarda un planeta en desplazarse de la posición *A* a la *B*, barriendo el área ${A}_{1}$, es exactamente el tiempo que se tarda en pasar de la posición *C* a la *D*, barriendo el área ${A}_{2}$, y pasar de *E* a *F*, barriendo el área ${A}_{3}$. Estas áreas son las mismas: ${A}_{1}={A}_{2}={A}_{3}$.

Tercera ley de Kepler

La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita. En la sección Órbitas de satélites y energía derivamos la tercera ley de Kepler para el caso especial de una órbita circular. La [link] nos da el periodo de una órbita circular de radio *r* alrededor de la Tierra:

Fuerzas de marea

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:* Explicar el origen de las mareas oceánicas de la Tierra.
* Describir en qué se diferencian las mareas muertas y las salteadas.
* Describir cómo afectan las fuerzas de marea a los sistemas binarios.

Mareas lunares

Si usted vive en la orilla de un océano en casi todo el mundo, puede observar la subida y bajada del nivel del mar unas dos veces al día. Esto se debe a la combinación de la rotación de la Tierra sobre su eje y la atracción gravitatoria de la Luna y el Sol.

El efecto del sol en las mareas

Además de las fuerzas de marea de la Luna sobre los océanos de la Tierra, el Sol también ejerce una fuerza de marea. La atracción gravitatoria del Sol sobre cualquier objeto de la Tierra es casi 200 veces superior a la de la Luna. Sin embargo, como mostraremos más adelante en un ejemplo, el efecto de *las mareas* del Sol es menor que el de la Luna, pero es un efecto importante. Dependiendo de las posiciones de la Luna y el Sol con respecto a la Tierra, el efecto neto de las mareas puede verse amplificado o atenuado.

La magnitud de las mareas

Con datos precisos de las posiciones de la Luna y el Sol, se puede predecir con exactitud la hora de las mareas máximas y mínimas en la mayoría de los lugares de nuestro planeta.

Otros efectos de la marea

Las fuerzas de marea existen entre dos cuerpos cualesquiera. El efecto estira los cuerpos a lo largo de la línea entre sus centros. Aunque el efecto de las mareas en los mares de la Tierra es observable a diario, las consecuencias a largo plazo no pueden observarse tan fácilmente. Una de las consecuencias es la disipación de la energía de rotación debido a la fricción durante la flexión de los propios cuerpos. La velocidad de rotación de la Tierra disminuye a medida que las fuerzas de marea transfieren la energía de rotación en calor. El otro efecto, relacionado con esta disipación y la conservación del momento angular, se denomina "bloqueo" o sincronización de mareas. Ya le ha ocurrido a la mayoría de las lunas de nuestro sistema solar, incluida la Luna de la Tierra. La Luna mantiene una cara hacia la Tierra: su velocidad de rotación se ha acoplado a la velocidad orbital alrededor de la Tierra. El mismo proceso le está ocurriendo a la Tierra, y finalmente mantendrá una cara hacia la Luna. Si eso ocurre, ya no veríamos las mareas, ya que la protuberancia de las mareas permanecería en el mismo lugar de la Tierra, y la mitad del planeta no vería nunca la Luna. Sin embargo, este cierre tardará muchos miles de millones de años, quizás no antes de que nuestro Sol expire.

La teoría de la gravedad de Einstein

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir cómo la teoría de la relatividad general aborda la gravitación.
* Explicar el principio de equivalencia.
* Calcular el radio de Schwarzschild de un objeto.
* Resumir la evidencia de los agujeros negros.

Una revolución en perspectiva

En 1905, Albert Einstein publicó su teoría de la relatividad especial. Esta teoría se analiza con gran detalle en Relatividad, por lo que aquí solo diremos unas palabras. En esta teoría, ningún movimiento puede superar la velocidad de la luz: es el límite de velocidad del universo. Este simple hecho se ha verificado en innumerables experimentos. Sin embargo, tiene consecuencias increíbles: el espacio y el tiempo ya no son absolutos. Dos personas que se mueven una respecto a la otra no se ponen de acuerdo sobre la longitud de los objetos o el paso del tiempo. Casi toda la mecánica que aprendió en los capítulos anteriores, aunque es notablemente precisa incluso para velocidades de muchos miles de kilómetros por segundo, comienza a fallar cuando se acerca a la velocidad de la luz.

El principio de equivalencia

Einstein llegó a su teoría general en parte preguntándose por qué alguien que estaba en caída libre no sentía su peso. De hecho, es habitual hablar de los astronautas que orbitan la Tierra como si no tuvieran peso, a pesar de que la gravedad terrestre sigue siendo bastante fuerte allí. En la teoría general de Einstein no hay diferencia entre la caída libre e ingravidez. Esto se denomina principio de equivalencia. El corolario igualmente sorprendente de esto es que no hay diferencia entre un campo gravitacional uniforme y una aceleración uniforme en ausencia de gravedad. Centrémonos en esta última afirmación. Aunque un campo gravitacional perfectamente uniforme no es factible, podemos aproximarnos a él muy bien.

Una teoría geométrica de la gravedad

La geometría euclidiana supone un espacio “plano” en el que, entre los atributos más conocidos, una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, la suma de los ángulos de todos los triángulos debe ser 180 grados y las líneas paralelas nunca se cruzan. La geometría no euclidiana no se investigó seriamente hasta el siglo XIX, por lo que no es de extrañar que el espacio euclidiano se asuma inherentemente en todas las leyes de Newton.

Agujeros negros

La teoría de la gravitación de Einstein se expresa en una ecuación tensorial de apariencia engañosa (los tensores son una generalización de los escalares y vectores), la cual expresa cómo una masa determina la curvatura del espacio-tiempo a su alrededor. Las soluciones a esa ecuación arrojan una de las predicciones más fascinantes: el agujero negro. La predicción es que si un objeto es lo suficientemente denso, colapsará sobre sí mismo y quedará rodeado por un horizonte de sucesos del que nada puede escapar. El nombre de “agujero negro”, acuñado por el astrónomo John Wheeler en 1969, hace referencia al hecho de que la luz no puede escapar de un objeto así. Karl Schwarzschild fue el primero en observar este fenómeno en 1916, pero en aquella época se consideraba sobre todo una curiosidad matemática.

Mecánica de fluidos

Introducción

Fluidos, densidad y presión

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Indicar las diferentes fases de la materia.
* Describir las características de las fases de la materia a nivel molecular o atómico.
* Distinguir entre materiales compresibles e incompresibles.
* Definir densidad y sus unidades SI relacionadas.
* Comparar y contrastar las densidades de varias sustancias.
* Definir la presión y sus unidades SI relacionadas.
* Explicar la relación entre presión y fuerza.
* Calcular fuerza dada presión y área.

Características de los sólidos

Los sólidos son rígidos y tienen formas específicas y volúmenes definidos. Los átomos o moléculas de un sólido están muy cerca unos de otros y existe una fuerza importante entre estas moléculas. Los sólidos adoptarán una forma determinada por la naturaleza de estas fuerzas entre las moléculas. Aunque los verdaderos sólidos no son incompresibles, se requiere una gran fuerza para cambiar la forma de un sólido. En algunos casos, la fuerza entre moléculas puede hacer que estas se organicen en una red, como se muestra en la [link]. La estructura de este entramado tridimensional se representa como moléculas conectadas por enlaces inflexibles (modelados como resortes rígidos), lo cual permite una libertad de movimiento limitada. Incluso una gran fuerza solo produce pequeños desplazamientos en los átomos o las moléculas de la red, y el sólido mantiene su forma. Los sólidos también resisten fuerzas de cizallamiento (fuerzas de cizallamiento son aquellas que se aplican tangencialmente a una superficie, como se describe en la sección Equilibrio estático y elasticidad).

Características de los fluidos

Los líquidos y los gases se consideran fluidos porque ceden a las fuerzas de cizallamiento, mientras que los sólidos las resisten. Al igual que los sólidos, las moléculas de un líquido están unidas a las moléculas vecinas, pero poseen muchos menos enlaces. Las moléculas de un líquido no están encerradas en su sitio y se pueden mover unas respecto a otras. La distancia entre moléculas es similar a las distancias en un sólido, por lo que los líquidos tienen volúmenes definidos, pero la forma de un líquido cambia según la forma de su recipiente. Los gases no están unidos a átomos vecinos y pueden tener grandes separaciones entre moléculas. Los gases no tienen formas específicas ni volúmenes definidos, ya que sus moléculas se mueven para llenar el recipiente en el que se encuentran ([link]).

Densidad

Supongamos que un bloque de latón y un bloque de madera tienen exactamente la misma masa. Si se dejan caer ambos bloques en un tanque de agua, ¿por qué la madera flota y el latón se hunde ([link])? Esto ocurre porque el latón tiene una densidad mayor que el agua, mientras que la madera tiene una densidad menor que el agua.

Presión

Seguro que ha oído la palabra “presión” en relación con la sangre (presión arterial alta o baja) y en relación con las condiciones meteorológicas (sistemas meteorológicos de alta y baja presión). Estos son solo dos de los muchos ejemplos de presión en fluidos (recordemos que introdujimos la idea de presión en la sección Equilibrio estático y elasticidad, en el contexto de tensión de compresibilidad y tensión).

Medir la presión

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Definir presión manométrica y presión absoluta.
* Explicar distintos métodos para medir la presión.
* Comprender el funcionamiento de barómetros de tubo abierto.
* Describir detalladamente cómo funcionan manómetros y barómetros.

Presión manométrica vs. presión absoluta

Supongamos que el manómetro de un tanque de buceo lleno marca 3000 psi, lo que equivale a 207 atmósferas aproximadamente. Cuando se abre la válvula, el aire comienza a escapar porque la presión interna del tanque es mayor que la presión atmosférica fuera del tanque. El aire sigue saliendo del tanque hasta que la presión interna del tanque es igual a la presión de la atmósfera fuera del tanque. En este punto, el manómetro del tanque marca cero, aunque la presión interna del tanque es en realidad de 1 atmósfera, la misma que la presión del aire fuera del tanque.

Medir la presión

Para medir la presión se usan una variedad de dispositivos que van desde medidores de aire para neumáticos hasta tensiómetros. Para comprobar la presión de los fluidos se usan habitualmente otros tipos de manómetros, como los manómetros mecánicos. En esta sección exploraremos algunos de ellos.

Principio de Pascal y la hidráulica

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Enunciar el principio de Pascal.
* Describir aplicaciones del principio de Pascal.
* Derivar relaciones entre fuerzas en un sistema hidráulico.

Principio de Pascal

Elprincipio de Pascal (también conocido como ley de Pascal) establece que, cuando se aplica un cambio de presión a un fluido encerrado, este se transmite sin disminuir a todas las porciones del fluido y a las paredes de su recipiente. En un fluido cerrado, como los átomos del fluido son libres de moverse transmiten la presión a todas las partes del fluido *y* a las paredes del recipiente. Cualquier cambio en la presión se transmite sin disminuir.

Aplicaciones del principio de Pascal y sistemas hidráulicos

Los sistemas hidráulicos se usan para accionar frenos de automóviles, gatos hidráulicos y muchos otros sistemas mecánicos ([link]).

Principio de Arquímedes y flotabilidad

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Definir la fuerza de flotación.
* Enunciar el principio de Arquímedes.
* Describir la relación entre densidad y principio de Arquímedes.

Principio de Arquímedes

¿Cuán grande es la fuerza de flotación? Para responder esta pregunta, piense en lo que ocurre cuando se extrae un objeto sumergido de un fluido, como en la [link]. Si el objeto no estuviera en el fluido, el espacio que ocupa el objeto estaría ocupado por un fluido con un peso ${w}_{\text{fl}}.$ El fluido circundante soporta el peso, por lo que la fuerza de flotación debe ser igual a ${w}_{\text{fl}},$ el peso del fluido desplazado por el objeto.

Densidad y principio de Arquímedes

Si deja caer un bloque de arcilla en el agua, se hundirá. Pero si se moldea el mismo bloque de arcilla en forma de barco, este flotará. Debido a su forma, el barco de arcilla desplaza más agua que el bloque y experimenta una mayor fuerza de flotación, aunque su masa sea la misma. Lo mismo ocurre con los barcos de acero.

Medición de densidad

Una de las técnicas más comunes para determinar la densidad se muestra en [link].

Dinámicas de fluidos

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir las características del flujo.
* Calcular la tasa de flujo.
* Describir la relación entre tasa de flujo y velocidad.
* Explicar las consecuencias de la ecuación de continuidad para la conservación de la masa.

Características del flujo

Los vectores de velocidad se usan, a menudo, para ilustrar el movimiento de los fluidos en aplicaciones como la meteorología. Por ejemplo, el viento —el movimiento fluido del aire en la atmósfera— se puede representar mediante vectores que indican la velocidad y la dirección del viento en cualquier punto del mapa. La [link] muestra vectores de velocidad que describen los vientos durante el huracán Arthur en 2014.

La tasa de flujo y su relación con la velocidad

El volumen de fluido que pasa por un lugar determinado a través de un área durante un espacio de tiempo se denomina tasa de flujo *Q* o, más exactamente, tasa de flujo volumétrica. En símbolos, esto se escribe como

Conservación de la masa

La tasa de flujo de un fluido también se puede describir mediante la *tasa de flujo de masa* o flujo másico. Es la velocidad con la que una masa del fluido pasa por un punto. Consulte de nuevo la [link], pero esta vez considere la masa en el volumen sombreado. La masa se puede determinar a partir de la densidad y el volumen:

Ecuación de Bernoulli

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar los términos de la ecuación de Bernoulli.
* Explicar cómo se relaciona la ecuación de Bernoulli con la conservación de la energía.
* Describir cómo derivar el principio de Bernoulli a partir de la ecuación de Bernoulli.
* Hacer cálculos usando el principio de Bernoulli.
* Describir algunas aplicaciones del principio de Bernoulli.

Conservación de energía y ecuación de Bernoulli

La aplicación del principio de conservación de la energía al flujo laminar sin fricción conduce a una relación muy útil entre presión y velocidad de flujo en un fluido. Esta relación se denomina ecuación de Bernoulli, en honor a Daniel Bernoulli (1700-1782), quien publicó sus estudios sobre movimiento de fluidos en su libro *Hydrodynamica* (1738).

Análisis de la ecuación de Bernoulli

Según la ecuación de Bernoulli, si seguimos un pequeño volumen de fluido a lo largo de su trayectoria, varias cantidades de la suma pueden cambiar, pero el total permanece constante. La ecuación de Bernoulli es, de hecho, solo una declaración conveniente de la conservación de la energía para un fluido incompresible en ausencia de fricción.

Aplicaciones del principio de Bernoulli

Hay muchos dispositivos y situaciones en los que el fluido circula a una altura constante y, por tanto, se puede analizar con el principio de Bernoulli.

Viscosidad y turbulencia

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar qué es la viscosidad.
* Calcular el flujo y la resistencia con la ley de Poiseuille.
* Explicar cómo cae la presión debido a la resistencia.
* Calcular el número de Reynolds para un objeto que se mueve a través de un fluido.
* Usar el número de Reynolds de un sistema para determinar si es laminar o turbulento.
* Describir las condiciones en las que un objeto tiene una velocidad terminal.

Viscosidad y flujo laminar

Cuando se sirve un vaso de jugo, el líquido fluye libre y rápidamente. Pero si vierte sirope de arce sobre sus panqueques, ese líquido fluye lentamente y se pega a la jarra. La diferencia es la fricción del fluido, tanto dentro del propio fluido como entre este y su entorno. A esta propiedad de los fluidos la llamamos *viscosidad*. El jugo tiene una baja viscosidad, mientras que el sirope tiene una alta viscosidad.

Flujo laminar confinado en tubos: Ley de Poiseuille

¿Qué causa el flujo? La respuesta, como es lógico, es una diferencia de presión. De hecho, existe una relación muy sencilla entre flujo horizontal y presión. La tasa de flujo *Q* está en la dirección de alta a baja presión. Cuanto mayor sea la diferencia de presión entre dos puntos, mayor será la tasa de flujo. Esta relación se puede expresar como

El flujo y la resistencia como causas de caídas de presión

La presión del agua en los hogares es, a veces, más baja de lo normal en momentos de mucho uso, como los días calurosos de verano. La caída de presión se produce en el conducto de agua antes de que llegue a los hogares. Consideremos el flujo a través del conducto de agua como se ilustra en la [link]. Podemos entender por qué la presión ${p}_{1}$ a la vivienda disminuye en los momentos de mayor uso, reordenando la ecuación de la tasa de flujo:

Medición de turbulencia

Un indicador llamado número de Reynolds ${N}_{\text{R}}$ puede revelar si el flujo es laminar o turbulento. Para un flujo en un tubo de diámetro uniforme, el número de Reynolds se define como

Ondas y acústica

Oscilaciones

Introducción

Movimiento armónico simple

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Definir los términos periodo y frecuencia.
* Enumerar las características del movimiento armónico simple.
* Explicar el concepto de deslizamiento de fase.
* Escribir las ecuaciones de movimiento para el sistema de una masa y un resorte que experimenta un movimiento armónico simple.
* Describir el movimiento de una masa que oscila sobre un resorte vertical.

Periodo y frecuencia en oscilaciones

En ausencia de fricción, el tiempo para completar una oscilación permanece constante y se denomina periodo (*T*). Sus unidades suelen ser segundos, pero pueden ser cualquier unidad de tiempo conveniente. La palabra “periodo” se refiere al tiempo de algún acontecimiento, ya sea repetitivo o no, pero en este capítulo nos ocuparemos principalmente del movimiento periódico, que es por definición repetitivo.

Características de movimiento armónico simple

Un tipo muy común de movimiento periódico es el llamado movimiento armónico simple (Simple Harmonic Motion, SHM). Un sistema que oscila con SHM se llama oscilador armónico simple.

Ecuaciones de SHM

Consideremos un bloque unido a un resorte en una mesa sin fricción ([link]). La posición de equilibrio (la posición en la que el resorte no está ni estirado ni comprimido) se marca como $x=0$. En la posición de equilibrio la fuerza neta es cero.

Resumen de ecuaciones de movimiento para SHM

En resumen, el movimiento oscilatorio de un bloque sobre un resorte puede modelarse con las siguientes ecuaciones de movimiento:

El periodo y la frecuencia de una masa en un resorte

Una característica interesante del SHM de un objeto unido a un resorte es que la frecuencia angular, y por tanto el periodo y la frecuencia del movimiento, dependen únicamente de la masa y la constante de fuerza, y no de otros factores como la amplitud del movimiento. Podemos usar las ecuaciones de movimiento y la segunda ley de Newton $\left({\stackrel{\to }{F}}_{\text{neta}}=m\stackrel{\to }{a}\right)$ para encontrar ecuaciones para la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo.

Movimiento vertical y resorte horizontal

Cuando se cuelga un resorte en vertical y se coloca un bloque y se pone en movimiento, el bloque oscila en SHM. En este caso, no hay fuerza normal, y el efecto neto de la fuerza de gravedad es cambiar la posición de equilibrio. Considere la [link]. Sobre el bloque actúan dos fuerzas: el peso y la fuerza del resorte. El peso es constante y la fuerza del resorte cambia al variar su longitud.

Energía en el movimiento armónico simple

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir la conservación de energía del sistema de una masa y un resorte.
* Explicar los conceptos de puntos de equilibrio estables e inestables.

La energía y el oscilador armónico simple

Para estudiar la energía de un oscilador armónico simple, debemos considerar todas las formas de energía. Considere el ejemplo de un bloque unido a un resorte, colocado sobre una superficie sin fricción, que oscila en SHM. La energía potencial almacenada en la deformación del resorte es

Oscilaciones en torno a una posición de equilibrio

Acabamos de considerar la energía del SHM como una función de tiempo. Otra visión interesante del oscilador armónico simple es considerar la energía como una función de posición. La [link] muestra un gráfico de la energía versus posición de un sistema que experimenta SHM.

Velocidad y conservación de energía

Volviendo al sistema de un bloque y un resorte en la [link], una vez que el bloque se libera del reposo, comienza a moverse en la dirección negativa hacia la posición de equilibrio. La energía potencial disminuye y la magnitud de la velocidad y la energía cinética aumentan. En el tiempo $t=T\text{/}4$, el bloque alcanza la posición de equilibrio $x=0,00{\rule{0.2em}{0ex}}\text{m,}$ donde la fuerza sobre el bloque y la energía potencial son cero. En la posición de equilibrio, el bloque alcanza una velocidad negativa con una magnitud igual a la velocidad máxima $v=\text{–}A\omega$. La energía cinética es máxima e igual a $K=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{A}^{2}{\omega }^{2}=\frac{1}{2}k{A}^{2}.$ En este punto, la fuerza sobre el bloque es cero, pero el momento arrastra al bloque y este continúa en dirección negativa hacia $x=\text{–}A$. A medida que el bloque continúa moviéndose, la fuerza sobre él actúa en la dirección positiva y la magnitud de la velocidad y la energía cinética disminuyen. La energía potencial aumenta a medida que el resorte se comprime. En el tiempo $t=T\text{/}2$, el bloque alcanza $x=\text{–}A$. Aquí la velocidad y la energía cinética son iguales a cero. La fuerza sobre el bloque es $F=+kA$ y la energía potencial almacenada en el resorte es $U=\frac{1}{2}k{A}^{2}$. Durante las oscilaciones, la energía total es constante e igual a la suma de la energía potencial y la energía cinética del sistema,

Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir cómo se relacionan las funciones seno y coseno con los conceptos de movimiento circular.
* Describir la conexión entre movimiento armónico simple y movimiento circular.

Péndulos

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Indicar las fuerzas que actúan sobre un péndulo simple.
* Determinar la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo de un péndulo simple en términos de la longitud del péndulo y de la aceleración debido a la gravedad.
* Definir el periodo de un péndulo físico.
* Definir el periodo de un péndulo de torsión.

El péndulo simple

Un péndulo simple se define por tener una masa puntual, también conocida como masa pendular, la cual está suspendida de una cuerda de longitud *L* con masa insignificante ([link]). En este caso, las únicas fuerzas que actúan sobre la pesa son la fuerza de gravedad (es decir, el peso de la pesa) y la tensión de la cuerda. Se supone que la masa de la cuerda es insignificante en comparación con la masa de la pesa.

Péndulo físico

Cualquier objeto puede oscilar como un péndulo. Piense en una taza de café colgada en un gancho en la despensa. Si la taza recibe un golpe, oscila de un lado a otro como un péndulo hasta que las oscilaciones se detienen. Hemos descrito un péndulo simple como una masa puntual y una cuerda. Un péndulo físico es cualquier objeto cuyas oscilaciones son similares a las del péndulo simple, pero no se puede modelar como una masa puntual en una cuerda, y la distribución de la masa se debe incluir en la ecuación de movimiento.

Péndulo de torsión

Un péndulo de torsión consiste en un cuerpo rígido suspendido por un cable o resorte ligero ([link]). Cuando el cuerpo se retuerce un poco en un pequeño ángulo máximo $\left(\text{Θ}\right)$ y liberado del reposo, el cuerpo oscila entre $\left(\theta =+\text{Θ}\right)$ y $\left(\theta =\text{–}{\rule{0.2em}{0ex}}\text{Θ}\right)$. El torque restaurador es suministrado por el corte de la cuerda o el cable.

Oscilaciones amortiguadas

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir el movimiento armónico amortiguado
* Escribir las ecuaciones de movimiento para oscilaciones armónicas amortiguadas
* Describir el movimiento impulsado, o forzado, movimiento armónico amortiguado
* Escribir las ecuaciones de movimiento por fuerza, movimiento armónico amortiguado

Oscilaciones forzadas

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Definir oscilaciones forzadas.
* Enumerar las ecuaciones de movimiento asociadas a oscilaciones forzadas.
* Explicar el concepto de resonancia y su efecto en la amplitud de un oscilador.
* Enumerar las características de un sistema que oscila en resonancia.

Ondas

Introducción

Ondas en desplazamiento

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir las características básicas del movimiento ondulatorio.
* Definir los términos longitud de onda, amplitud, periodo, frecuencia y rapidez de onda.
* Explicar la diferencia entre las ondas longitudinales y transversales y dar ejemplos de cada tipo.
* Enumerar los diferentes tipos de ondas.

Tipos de ondas

Una onda es una alteración que se propaga o se mueve desde el lugar en que se creó. Hay tres tipos básicos de ondas: mecánicas, electromagnéticas y de materia.

Ondas mecánicas

Las ondas mecánicas presentan características comunes a todas las ondas, como amplitud, longitud de onda, periodo, frecuencia y energía. Todas las características de las ondas se pueden describir mediante un pequeño conjunto de principios subyacentes.

Ondas transversales y longitudinales

Hemos visto que una onda mecánica simple consiste en una alteración periódica que se propaga de un lugar a otro a través de un medio. En la [link](a), la onda se propaga en la dirección horizontal, mientras que el medio está alterado en la dirección vertical. Una onda de este tipo se denomina onda transversal. En una onda transversal, la onda puede propagarse en cualquier dirección, pero la alteración del medio es perpendicular a la dirección de propagación. En cambio, en una onda longitudinal o de compresión, la alteración es paralela a la dirección de propagación. La [link](b) muestra un ejemplo de onda longitudinal. El tamaño de la alteración es su amplitud *(A)* y es completamente independiente de la velocidad de propagación *v*.

Matemáticas de las ondas

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Modelar una onda, que se mueve con una velocidad de onda constante, con una expresión matemática.
* Calcular la velocidad y la aceleración del medio.
* Mostrar cómo la velocidad del medio difiere de la velocidad de la onda (velocidad de propagación).

Pulsos

Un pulso se puede describir como una onda que consiste en una única alteración que se desplaza por el medio con una amplitud constante. El pulso se mueve como un patrón que mantiene su forma mientras se propaga con una rapidez de onda constante. Dado que la rapidez de onda es constante, la distancia que recorre el pulso en un tiempo $\text{Δ}t$ es igual a $\text{Δ}x=v\text{Δ}t$ ([link]).

Modelado de una onda sinusoidal unidimensional mediante una función de onda

Considere una cuerda que se mantiene a una tensión constante ${F}_{T}$ donde un extremo está fijo y el extremo libre oscila entre $y=\text{+}A$ y $y=\text{–}A$ a través de un dispositivo mecánico a una frecuencia constante. La [link] muestra representaciones de la onda a un intervalo de un octavo de periodo que comienza después de un periodo $\left(t=T\right).$

Velocidad y aceleración del medio

Como se ve en el [link], la rapidez de onda es constante y representa la velocidad de la onda al propagarse por el medio, no la velocidad de las partículas que lo componen. Las partículas del medio oscilan en torno a una posición de equilibrio a medida que la onda se propaga por el medio. En el caso de la onda transversal que se propaga en la dirección *x*, las partículas oscilan hacia arriba y hacia abajo en la dirección *y*, perpendicular al movimiento de la onda. La velocidad de las partículas del medio no es constante, lo que significa que hay una aceleración. La velocidad del medio, la cual es perpendicular a la velocidad de la onda en una onda transversal, se puede calcular mediante la derivada parcial de la ecuación de posición con respecto al tiempo. La derivada parcial se calcula con la derivada de la función, y se tratan todas las variables como constantes, excepto la variable en cuestión. En el caso de la derivada parcial con respecto al tiempo *t*, la posición *x* se trata como una constante. Aunque esto puede sonar extraño si no lo ha visto antes, el objetivo de este ejercicio es calcular la velocidad transversal en un punto, así que en este sentido la posición *x* no está cambiando. Tenemos

Ecuación lineal de onda

Acabamos de determinar la velocidad del medio en una posición *x* tomando la derivada parcial, con respecto al tiempo, de la posición *y*. Para una onda transversal, esta velocidad es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Calculamos la aceleración tomando la derivada parcial, con respecto al tiempo, de la velocidad, la cual es la segunda derivada temporal de la posición:

Rapidez de onda en una cuerda estirada

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Determinar los factores que afectan la velocidad de una onda en una cuerda.
* Escribir una expresión matemática para la velocidad de una onda en una cuerda y generalizar estos conceptos para otros medios.

Rapidez de onda en una cuerda bajo tensión

Para ver cómo la velocidad de una onda en una cuerda depende de la tensión y a la densidad lineal, considere un pulso enviado por una cuerda estirada ([link]). Cuando la cuerda estirada está en reposo en la posición de equilibrio, la tensión de la cuerda ${F}_{T}$ es constante. Considere un pequeño elemento de la cuerda con una masa igual a $\text{Δ}m=\mu \text{Δ}x.$ El elemento de masa está en reposo y en equilibrio y la fuerza de tensión de cada lado del elemento de masa es igual y opuesta.

Rapidez de las ondas de compresión en un fluido

La rapidez de una onda en una cuerda depende de la raíz cuadrada de la tensión dividida entre la masa por longitud, la densidad lineal. En general, la rapidez de una onda a través de un medio depende de las propiedades elásticas y de la propiedad inercial del medio.

La energía y la potencia de una onda

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar cómo se desplaza la energía con un pulso o una onda.
* Describir mediante una expresión matemática cómo la energía de una onda depende de su amplitud.

La energía en las ondas

La cantidad de energía de una onda está relacionada con su amplitud y su frecuencia. Los terremotos de gran amplitud producen grandes desplazamientos del suelo. Los sonidos fuertes tienen amplitudes de alta presión y provienen de vibraciones de fuentes de mayor amplitud que los sonidos suaves. Las olas grandes del mar revientan en la orilla más que las pequeñas. Considere el ejemplo de la gaviota y la onda acuática que vimos anteriormente en este capítulo ([link]). La onda hace un trabajo sobre la gaviota a medida que esta se desplaza hacia arriba, lo que cambia su energía potencial. Cuanto mayor sea la amplitud, mayor será la elevación de la gaviota por la onda y mayor será el cambio de energía potencial.

Potencia de las ondas

Considere una onda sinusoidal en una cuerda que se produce por un vibrador de cuerda, como se muestra en la [link]. El vibrador de cuerda es un dispositivo que hace vibrar una varilla hacia arriba y hacia abajo. Una cuerda de densidad lineal de masa uniforme está atada a la varilla, y esta hace oscilar la cuerda y produce una onda sinusoidal. La varilla hace un trabajo sobre la cuerda que produce energía que se propaga a lo largo de ella. Considere un elemento de masa de la cuerda con una masa $\text{Δ}m$, como se ve en la [link]. A medida que la energía se propaga a lo largo de la cuerda, cada elemento de masa de la cuerda es impulsado hacia arriba y hacia abajo a la misma frecuencia que la onda. Cada elemento de masa de la cuerda se puede modelar como un oscilador armónico simple. Como la cuerda tiene una densidad lineal constante $\mu =\frac{\text{Δ}m}{\text{Δ}x},$ cada elemento de masa de la cuerda tiene la masa $\text{Δ}m=\mu \text{Δ}x.$

Interferencia de ondas

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar cómo se reflejan y transmiten las ondas mecánicas en las fronteras de un medio.
* Definir los términos interferencia y superposición.
* Hallar la onda resultante de dos ondas sinusoidales idénticas que solo se diferencian por un deslizamiento de fase.

Reflexión y transmisión

Cuando una onda se propaga a través de un medio se refleja cuando encuentra la frontera del medio. La onda antes de chocar con la frontera se conoce como la onda incidente. La onda después de encontrarse con la frontera se conoce como la onda reflejada. La forma en que la onda se refleja en la frontera del medio depende de las condiciones de frontera; las ondas reaccionarán de forma diferente si la frontera del medio está fija en su lugar o es libre de moverse ([link]). Existe una condición de frontera fija cuando el medio en una frontera está fijado en su lugar para que no pueda moverse. Existe una condición de frontera libre cuando el medio en la frontera es libre de moverse.

Superposición e interferencia

La mayoría de las ondas no parecen muy simples. Las ondas complejas son más interesantes, incluso hermosas, y tienen un aspecto formidable. La mayoría de las ondas mecánicas interesantes consisten en una combinación de dos o más ondas en desplazamiento que se propagan en el mismo medio. El principio de superposición se puede usar para analizar la combinación de ondas.

Superposición de ondas sinusoidales que se diferencian por un deslizamiento de fase

Muchos ejemplos en física consisten en dos ondas sinusoidales que son idénticas en amplitud, número de onda y frecuencia angular, pero que difieren por un deslizamiento de fase:

Ondas estacionarias y resonancia

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir ondas estacionarias y explicar cómo se producen.
* Describir los modos de una onda estacionaria en una cuerda.
* Dar ejemplos de ondas estacionarias más allá de las ondas en una cuerda.

Ondas estacionarias

A veces, parece que las ondas no se mueven, sino que simplemente vibran en el lugar. Puede observar ondas inmóviles en la superficie de un vaso de leche en un refrigerador, por ejemplo. Las vibraciones del motor del refrigerador crean ondas en la leche que oscilan hacia arriba y hacia abajo, pero no parecen moverse por la superficie. La [link] muestra un experimento que puede probar en casa. Tome un bol de leche y póngalo sobre el marco de un ventilador cuadrado común. Las vibraciones del ventilador producirán ondas estacionarias circulares en la leche. Las ondas son visibles en la foto debido al reflejo de una lámpara. Estas ondas se forman por la superposición de dos o más ondas en desplazamiento, como se ilustra en la [link] para dos ondas idénticas que se mueven en direcciones opuestas. Las ondas se mueven unas a través de otras con sus alteraciones añadiéndose a su paso. Si las dos ondas tienen la misma amplitud y la misma longitud de onda, entonces alternan entre la interferencia constructiva y la destructiva. La resultante tiene el aspecto de una onda detenida y, por tanto, se denomina onda estacionaria.

Sonido

Introducción

Ondas sonoras

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar la diferencia entre sonido y audición.
* Describir el sonido como una onda.
* Enumerar las ecuaciones usadas para modelar ondas sonoras.
* Describir compresión y rarefacciones en relación con el sonido.

Velocidad del sonido

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar la relación entre longitud de onda y frecuencia del sonido.
* Determinar la velocidad del sonido en diferentes medios.
* Derivar la ecuación de la velocidad del sonido en el aire.
* Determinar la velocidad del sonido en el aire para una temperatura dada.

Velocidad del sonido en varios medios

En la [link] se muestra que la velocidad del sonido varía mucho en distintos medios. La velocidad del sonido en un medio depende de la rapidez con la que la energía vibratoria se puede transferir a través del medio. Por esto, la derivación de la velocidad del sonido en un medio depende del medio y de su estado. En general, la ecuación de la velocidad de una onda mecánica en un medio depende de la raíz cuadrada de la fuerza restauradora, o de las propiedades elásticas, dividida entre la propiedad inercial,

Derivación de la velocidad del sonido en el aire

Como ya se ha dicho, la velocidad del sonido en un medio depende del medio y de su estado. La derivación de la ecuación de la velocidad del sonido en el aire parte de la ecuación de tasa de flujo de masa y de la ecuación de continuidad analizadas en la sección Mecánica de fluidos.

Intensidad del sonido

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Definir el término intensidad.
* Explicar el concepto de nivel de intensidad del sonido.
* Describir cómo el oído humano traduce el sonido.

Audición humana y niveles de intensidad del sonido

Como ya se ha dicho en este capítulo, la audición es la percepción del sonido. El mecanismo de la audición implica una física interesante. La onda sonora que incide en nuestro oído es una onda de presión. El oído es un transductor que convierte las ondas sonoras en impulsos nerviosos eléctricos de una manera mucho más sofisticada que un micrófono, pero análoga a este. La [link] muestra la anatomía del oído.

Audición y tono

El oído humano tiene un alcance y una sensibilidad enormes. Puede darnos una gran cantidad de información sencilla, como el tono, el volumen y la dirección.

Modos normales de una onda sonora estacionaria

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar el mecanismo de auriculares que reducen el sonido.
* Describir la resonancia en un tubo cerrado en un extremo y abierto por el otro.
* Describir la resonancia en un tubo abierto en ambos extremos.

Interferencia de las ondas sonoras

En la sección Ondas hablamos de la interferencia de funciones de onda que solo difieren en un deslizamiento de fase. Hallamos que la función de onda resultante de la superposición de ${y}_{1}\left(x,t\right)=A{\rule{0.2em}{0ex}}\text{sen}\left(kx–\omega t+\varphi \right)$ y ${y}_{2}\left(x,t\right)=A{\rule{0.2em}{0ex}}\text{sen}\left(kx–\omega t\right)$ es

Reducción de ruido mediante interferencia destructiva

La [link] muestra un uso inteligente de la interferencia de sonido para anular el ruido. Se han propuesto aplicaciones a mayor escala de reducción de ruido activa por interferencia destructiva para compartimentos enteros de pasajeros en aviones comerciales. Para obtener interferencia destructiva, se hace un análisis electrónico rápido y se introduce un segundo sonido $180\text{°}$ fuera de fase con el sonido original, con sus máximos y mínimos exactamente invertidos con respecto al ruido entrante. Las ondas sonoras en los fluidos son ondas de presión y son coherentes con el principio de Pascal; es decir, las presiones de dos fuentes diferentes se suman y restan como números simples. Por lo tanto, las presiones manométricas positivas y negativas se suman a una presión mucho menor, lo que produce un sonido de menor intensidad. Aunque la interferencia destructiva por completo solo es posible en las condiciones más sencillas, es posible reducir los niveles de ruido en 30 dB o más a través de esta técnica.

Resonancia en un tubo cerrado en un extremo

Como ya comentamos en la sección Ondas, las *ondas estacionarias* están formadas por dos ondas que se mueven en direcciones opuestas. Cuando dos ondas sinusoidales idénticas se mueven en direcciones opuestas, las ondas se pueden modelar como

Resonancia en un tubo abierto en ambos extremos

Otra fuente de ondas estacionarias es un tubo abierto en ambos extremos. En este caso, las condiciones de frontera son simétricas: un antinodo en cada extremo. Las resonancias de los tubos abiertos en ambos extremos se pueden analizar de forma muy similar a las de los tubos cerrados en un extremo. Las columnas de aire en tubos abiertos en ambos extremos tienen desplazamientos máximos de aire en ambos extremos ([link]). Las ondas estacionarias se forman como se muestra.

Fuentes de sonido musical

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Describir las frecuencias de resonancia en instrumentos que se pueden modelar como un tubo con condiciones de frontera simétricas.
* Describir las frecuencias de resonancia en instrumentos que se pueden modelar como un tubo con condiciones de frontera antisimétricas.

Resonancia

La resonancia se produce en muchos sistemas diferentes como cuerdas, columnas de aire y átomos. Como ya hemos comentado en capítulos anteriores, la resonancia es la oscilación impulsada o forzada de un sistema a su frecuencia natural. En la resonancia, la energía se transfiere rápidamente al sistema oscilante y la amplitud de sus oscilaciones crece hasta que el sistema ya no se puede describir por la ley de Hooke. Un ejemplo de ello es el sonido distorsionado que se produce intencionadamente en ciertos tipos de música rock.

Batimientos

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Determinar la frecuencia de batimiento producida por dos ondas sonoras que difieren en frecuencia.
* Describir cómo los instrumentos musicales producen batimientos.

El Efecto Doppler

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar el cambio en la frecuencia observada cuando una fuente de sonido en movimiento se acerca o se aleja de un observador estacionario.
* Explicar el cambio en la frecuencia observada cuando un observador se acerca o se aleja de una fuente de sonido estacionaria.

Derivación de la frecuencia observada debido al corrimiento Doppler

Considere dos observadores estacionarios *X* y *Y* en la [link], situados a ambos lados de una fuente estacionaria. Cada observador oye la misma frecuencia, y esa frecuencia es la que produce la fuente estacionaria.

Ondas expansivas

Abstract:
Al final de esta sección, podrá:

* Explicar el mecanismo de las explosiones sónicas.
* Describir la diferencia entre explosiones sónicas y ondas expansivas.
* Describir una estela de proa.

Efecto Doppler y alta velocidad

¿Qué ocurre con el sonido producido por una fuente en movimiento, como un avión a reacción, que se acerca a la velocidad del sonido o incluso la supera? La respuesta a esta pregunta se aplica no solo al sonido, sino también a todas las demás ondas. Suponga que un avión a reacción viene casi en línea recta hacia usted y emite un sonido de frecuencia ${f}_{\text{s}}.$ Cuanto mayor sea la velocidad del avión ${v}_{\text{s}},$ mayor será el corrimiento Doppler y mayor será el valor observado para ${f}_{\text{o}}$ ([link]).

Ondas expansivas y explosiones sónicas

Si la fuente supera la velocidad del sonido, el observador no recibe ningún sonido hasta que la fuente haya pasado, por lo que los sonidos de la fuente que se acerca se mezclan con los de esta cuando se aleja. Esta mezcla parece desordenada, pero ocurre algo interesante: se crea una onda expansiva ([link]).

Unidades

Factores de conversión

Constantes fundamentales

Datos astronómicos

Fórmulas matemáticas

Química

El alfabeto griego