Prefacio

Abstract: Precálculo está dirigido a estudiantes de Precálculo de nivel universitario. Dado que los cursos de Precálculo varían de una institución a otra, hemos intentado satisfacer las necesidades de un público tan amplio como sea posible, donde se incluyan todos los contenidos que podrían abarcarse en cualquier curso particular. El resultado es un libro exhaustivo que cubre más contenido del que un instructor podría abarcar en un curso típico de uno o dos semestres, y este debería encontrar, casi sin falta, que los temas que desea incluir en su programa se encuentran en el texto. Muchos capítulos de Openstax Precálculo son adecuados para otros cursos de matemáticas de primer y segundo año, como Álgebra Universitaria y Trigonometría. Sin embargo, los instructores de esos cursos quizás tengan que complementar o adaptar el material. Openstax también publicará un título de Álgebra Universitaria y Trigonometría adaptado al ámbito, la secuencia y la pedagogía particulares de esos cursos.

Recursos adicionales

Sobre los autores

Funciones

Introducción

Funciones y notación de funciones

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Determinar si una relación representa una función.
* Hallar el valor de una función.
* Determinar si una función es biunívoca.
* Utilizar la prueba de la línea vertical para identificar las funciones.
* Graficar las funciones que aparecen en la biblioteca de funciones.

Determinar si una relación representa una función

La relación es un conjunto de pares ordenados. El conjunto de las primeras componentes de cada par ordenado se llama **dominio** y el conjunto de las segundas componentes de cada par ordenado se llama **rango**. Considere el siguiente conjunto de pares ordenados. Los primeros números de cada par son los cinco primeros números naturales. El segundo número de cada par es el doble del primero.

Hallar los valores de entrada y salida de una función

Cuando conocemos un valor de entrada y queremos determinar el correspondiente valor de salida de una función, *evaluamos* la función. La evaluación siempre producirá un resultado porque cada valor de entrada de una función corresponde exactamente a un valor de salida.

Cómo determinar si una función es biunívoca

Algunas funciones tienen un valor de salida determinado que corresponde a dos o más valores de entrada. Por ejemplo, en el gráfico de acciones que se muestra en la figura al principio de este capítulo, el precio de las acciones era de 1.000 dólares en cinco fechas diferentes, lo que significa que había cinco valores de entrada diferentes que daban como resultado el mismo valor de salida de 1.000 dólares.

Uso de la prueba de la línea vertical

Como hemos visto en algunos ejemplos anteriores, podemos representar una función mediante un gráfico. Los gráficos muestran un gran número de pares de entrada-salida en un espacio reducido. La información visual que proporcionan suele facilitar la comprensión de las relaciones. Por convención, los gráficos se construyen normalmente con los valores de entrada en el eje horizontal y los valores de salida en el eje vertical.

Utilizar la prueba de la línea horizontal

Una vez que hemos determinado que un gráfico define una función, una forma fácil de determinar si es una función biunívoca es utilizar la prueba de la línea horizontal. Dibuje líneas horizontales a través del gráfico. Si alguna línea horizontal lo cruza más de una vez, entonces el gráfico no representa una función biunívoca.

Identificar las funciones básicas de la caja de herramientas

En este texto, exploraremos las funciones: las formas de sus gráficos, sus características únicas, sus fórmulas algebraicas y cómo resolver problemas con ellas. Cuando aprendemos a leer, empezamos por el alfabeto. Cuando aprendemos a hacer aritmética, empezamos con los números. Cuando trabajamos con funciones, es igualmente útil tener un conjunto base de elementos de construcción. Los llamamos "funciones de la caja de herramientas", que forman un conjunto de funciones básicas que conocemos con los nombres de gráfico, fórmula y propiedades especiales. Algunas de estas funciones están programadas en botones individuales de muchas calculadoras. Para estas definiciones utilizaremos $x$ como variable de entrada y $y=f\left(x\right)$ como variable de salida.

Dominio y rango

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Hallar el dominio de una función definida por una ecuación.
* Graficar funciones definidas por partes.

Hallar el dominio de una función definida por una ecuación

En Funciones y notación de funciones, se introdujeron los conceptos de dominio y rango. En esta sección, practicaremos la determinación de dominios y rangos para funciones específicas. Tenga en cuenta que, al determinar los dominios y los rangos, tenemos que considerar lo que es físicamente posible o significativo en los ejemplos del mundo real, como la venta de entradas y el año en el ejemplo anterior de las películas de terror. También hay que tener en cuenta lo que está matemáticamente permitido. Por ejemplo, no podemos incluir ningún valor de entrada que nos lleve a tomar una raíz par de un número negativo si el dominio y el rango consisten en números reales. O en una función expresada como fórmula, no podemos incluir ningún valor de entrada en el dominio que nos lleve a dividir entre 0.

Usar notaciones para especificar el dominio y el rango

En los ejemplos anteriores, utilizamos inecuaciones y listas para describir el dominio de las funciones. También podemos utilizar desigualdades, u otros enunciados que puedan definir conjuntos de valores o datos, para describir el comportamiento de la variable en la notación del constructor de conjuntos. Por ejemplo, $\left\{x|10\le x<30\right\}$ describe el comportamiento de $x$ en la notación del constructor de conjuntos. Las llaves $\left\{\right\}$ se leen como "el conjunto de", y la barra vertical | se lee como "tal que", por lo que leeríamos $\left\{x|10\le x<30\right\}$ como "el conjunto de valores *x* tales que 10 es menor o igual que $x,$ y $x$ es menos de 30”.

Hallar el dominio y el rango de los gráficos

Otra forma de identificar el dominio y el rango de las funciones es mediante el uso de gráficos. Dado que el dominio se refiere al conjunto de posibles valores de entrada, el dominio de un gráfico consiste en todos los valores de entrada mostrados en el eje *x*. El rango es el conjunto de posibles valores de salida, que se muestran en el eje *y*. Tenga en cuenta que si el gráfico continúa más allá de la porción que podemos ver, el dominio y el rango pueden ser mayores que los valores visibles. Vea la [link].

Hallar dominios y rangos de las funciones de la caja de herramientas

Ahora volveremos a nuestro conjunto de funciones de la caja de herramientas para determinar el dominio y el rango de cada una.

Graficar funciones definidas por partes

A veces, nos encontramos con una función que requiere más de una fórmula para obtener la salida dada. Por ejemplo, en las funciones de la caja de herramientas, introducimos la función de valor absoluto $f\left(x\right)=|x|.$ Con un dominio de todos los números reales y un rango de valores mayor o igual a 0, el valor absoluto puede definirse como la magnitud, o módulo, de un valor de un número real sin importar el signo. Es la distancia desde el 0 en la línea numérica. Todas estas definiciones requieren que la salida sea mayor o igual a 0.

Tasas de variación y comportamiento de los gráficos

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Calcular la tasa media de cambio de una función.
* Utilizar un gráfico para determinar si una función es creciente, decreciente o constante.
* Utilizar un gráfico para localizar los máximos y mínimos locales.
* Utilizar un gráfico para localizar el máximo absoluto y el mínimo absoluto.

Hallar la tasa media de cambio de una función

La variación del precio por año es una tasa de cambio porque describe cómo cambia una cantidad de salida en relación con el cambio de la cantidad de entrada. Observamos que el precio de la gasolina en la [link] no cambió en la misma cantidad cada año, por lo que la tasa de cambio no fue constante. Si utilizamos solo los datos iniciales y finales, estaríamos encontrando la tasa de cambio promedio durante el periodo especificado. Para calcular la intersección en tasa media de cambio, dividimos el cambio en la salida entre el cambio del valor en la entrada.

Usar un gráfico para determinar si una función es creciente, decreciente o constante

Como parte de la exploración de cómo cambian las funciones, podemos identificar los intervalos en los que la función cambia de forma específica. Decimos que una función es creciente en un intervalo si los valores de la función aumentan a medida que los valores de entrada aumentan dentro de ese intervalo. Del mismo modo, una función es decreciente en un intervalo si los valores de la función disminuyen a medida que los valores de entrada aumentan en ese intervalo. La tasa de cambio promedio de una función creciente es positiva, y la tasa de cambio promedio de una función decreciente es negativa. La [link] muestra ejemplos de intervalos crecientes y decrecientes en una función.

Analizar las funciones de la caja de herramientas para aumentar o disminuir los intervalos

Ahora volveremos a nuestras funciones de la caja de herramientas y discutiremos su comportamiento gráfico en la [link], la [link] y la [link].

Utilizar un gráfico para localizar el máximo absoluto y el mínimo absoluto

Hay una diferencia entre ubicar los puntos más altos y más bajos de un gráfico en una región alrededor de un intervalo abierto (localmente) y ubicar los puntos más altos y más bajos del gráfico para todo el dominio. Las coordenadas $y\text{}$ (salida) en los puntos más altos y más bajos se denominan **máximo absoluto** y **mínimo absoluto**, respectivamente.

Composición de las funciones

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Combinar funciones utilizando operaciones algebraicas.
* Crear una nueva función por composición de las funciones.
* Evaluar funciones compuestas.
* Hallar el dominio de una función compuesta.
* Descomponer una función compuesta en sus funciones componentes.

Combinar funciones mediante operaciones algebraicas

La composición de las funciones es solo una forma de combinar funciones existentes. Otra forma es realizar las operaciones algebraicas habituales sobre las funciones, como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Para ello, realizamos las operaciones con las salidas de las funciones, definiendo el resultado como la salida de nuestra nueva función.

Crear una función por composición de las funciones

Realizar operaciones algebraicas sobre las funciones las combina en una nueva función, pero también podemos crear funciones componiéndolas. Cuando queremos calcular el costo de la calefacción a partir de un día del año, creamos una nueva función que toma un día como entrada y da un costo como salida. El proceso de la combinación de funciones para que la salida de una función se convierta en la entrada de otra se conoce como composición de las funciones**.** El resultado se conoce como **función compuesta**. Representamos esta combinación mediante la siguiente notación:

Evaluar funciones compuestas

Una vez que componemos una nueva función a partir de dos funciones existentes, tenemos que ser capaces de evaluarla para cualquier entrada en su dominio. Lo haremos con entradas numéricas específicas para funciones expresadas como tablas, gráficos y fórmulas, y con variables como entradas de funciones expresadas como fórmulas. En cada caso, evaluamos la función interna utilizando la entrada inicial y luego utilizamos la salida de la función interna como entrada para la función externa.

Halle el dominio de una función compuesta

Como hemos comentado anteriormente, el dominio de una función compuesta como $f\circ g$ depende del dominio de $g$ y el dominio de $f.$ Es importante saber cuándo podemos aplicar una función compuesta y cuándo no; es decir, conocer el dominio de una función como $f\circ g.$ Supongamos que conocemos los dominios de las funciones $f$ y $g$ por separado. Si escribimos la función compuesta para una entrada $x$ cuando $f\left(g\left(x\right)\right),$ podemos ver de inmediato que $x$ debe ser miembro del dominio de $g$ para que la expresión tenga sentido, porque de lo contrario no podemos completar la evaluación de la función interna. Sin embargo, también vemos que $g\left(x\right)$ debe ser miembro del dominio de $f,$ de lo contrario la segunda evaluación de la función en $f\left(g\left(x\right)\right)$ no se puede completar, y la expresión sigue siendo indefinida. Así, el dominio de $f\circ g$ se compone únicamente de las entradas en el dominio de $g$ que producen resultados de $g$ pertenecientes al dominio de $f.$ Observe que el dominio de $f$ compuesto con $g$ es el conjunto de todas las $x$ tal que $x$ está en el dominio de $g$ y $g\left(x\right)$ está en el dominio de $f.$

Descomponer una función compuesta en sus funciones componentes

En algunos casos, es necesario descomponer una función complicada. En otras palabras, la escribimos como una composición de dos funciones más simples. Puede haber más de una forma de descomponer una función compuesta, por lo que podemos elegir la descomposición que nos parezca más conveniente.

Transformación de funciones

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Graficar funciones utilizando desplazamientos verticales y horizontales.
* Graficar funciones con reflexiones en torno al eje de la $x$ y el eje de la $y$.
* Determinar si una función es par, impar o ninguna de las dos, a partir de su gráfico.
* Graficar funciones con compresión y estiramiento.
* Combinar transformaciones.

Graficar funciones con desplazamiento vertical y horizontal.

A menudo, cuando se nos plantea un problema, intentamos modelar el escenario con las matemáticas en forma de palabras, tablas, gráficos y ecuaciones. Un método que podemos emplear es adaptar los gráficos básicos de las funciones del conjunto de herramientas para construir nuevos modelos en un escenario determinado. Hay formas sistemáticas de alterar las funciones para construir modelos adecuados a los problemas que intentamos resolver.

Graficar funciones mediante reflexiones alrededor de los ejes

Otra transformación que puede aplicarse a una función es una reflexión alrededor de los ejes *x* o *y*. La **reflexión vertical** refleja un gráfico verticalmente a través del eje *x*, mientras que la **reflexión horizontal** refleja un gráfico horizontalmente a través del eje *y*. Las reflexiones se muestran en la [link].

Determinar las funciones pares e impares

Algunas funciones presentan simetría, de modo que las reflexiones dan lugar al gráfico original. Por ejemplo, reflejar horizontalmente las funciones de la caja de herramientas $f\left(x\right)={x}^{2}$ o $f\left(x\right)=|x|$ dará lugar al gráfico original. Decimos que este tipo de gráficos es simétrico con respecto al eje *y*. Las funciones cuyos gráficos son simétricos respecto al eje *y* se denominan **funciones pares.**

Graficar funciones mediante estiramiento y compresión

Sumar una constante a las entradas o salidas de una función cambia la posición de un gráfico con respecto a los ejes, pero no afecta la forma de un gráfico. Ahora exploramos los efectos de multiplicar los valores de entrada o de salida por alguna cantidad.

Realizar una secuencia de transformaciones

Al combinar las transformaciones, es muy importante tener en cuenta el orden de las mismas. Por ejemplo, desplazar verticalmente en 3 y luego estirar verticalmente en 2 no crea el mismo gráfico que estirar verticalmente en 2 y luego desplazar verticalmente en 3, porque cuando desplazamos primero, tanto la función original como el desplazamiento se estiran, mientras que solo se estira la función original cuando estiramos primero.

Funciones de valor absoluto

Abstract:
En esta sección, podrá: * Graficar la función de valor absoluto.
* Resolver una ecuación de valor absoluto.
* Resolver una inecuación de valor absoluto.

Comprensión del valor absoluto

Recordemos que en su forma básica $f\left(x\right)=|x|,$ la función de valor absoluto, es una de las funciones de nuestra caja de herramientas. La función de valor absoluto se considera comúnmente como la que proporciona la distancia del número a cero en una línea numérica. Algebraicamente, para cualquier valor de entrada, la salida es el valor sin importar el signo.

Graficar una función de valor absoluto

La característica más significativa del gráfico de valor absoluto es el vértice en el que el gráfico cambia de dirección. Este punto se muestra en el origen en la [link].

Resolver una ecuación de valor absoluto

Ahora que podemos graficar una función de valor absoluto, aprenderemos a resolver una ecuación de valor absoluto. Para resolver una ecuación como $8=|2x-6|,$ observamos que el valor absoluto será igual a 8 si la cantidad dentro del valor absoluto es 8 o -8. Esto nos lleva a dos ecuaciones distintas que podemos resolver independientemente.

Resolver una inecuación de valor absoluto

Las ecuaciones de valor absoluto no siempre implican igualdad. En cambio, quizá tengamos que resolver una ecuación dentro de un rango de valores. Utilizaríamos una inecuación de valor absoluto para resolver dicha ecuación. La inecuación de valor absoluto es una ecuación de la forma

Funciones inversas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Verificar funciones inversas.
* Determinar el dominio y el rango de una función inversa, y restringir el dominio de una función para que sea biunívoca.
* Hallar o evaluar la inversa de una función.
* Utilizar el gráfico de una función biunívoca para trazar su función inversa en los mismos ejes.

Comprobar que dos funciones son inversas

Betty viaja a Milán para un desfile de modas y quiere saber cuál será la temperatura. No conoce la escala Celsius. Para hacerse una idea de cómo se relacionan las medidas de temperatura, Betty quiere convertir 75 grados Fahrenheit a grados Celsius, mediante la fórmula

Hallar el dominio y el rango de las funciones inversas

Las salidas de la función $f$ son las entradas a ${f}^{-1},$ por lo que el rango de $f$ es también el dominio de ${f}^{-1}.$ Asimismo, dado que las entradas a $f$ son las salidas de ${f}^{-1},$ el dominio de $f$ es el rango de ${f}^{-1}.$ Podemos visualizar la situación como en la [link].

Hallar y evaluar funciones inversas

Una vez que tenemos una función biunívoca, podemos evaluar su inversa en entradas específicas de la función inversa o construir una representación completa de la función inversa en muchos casos.

Hallar funciones inversas y sus gráficos

Ahora que podemos hallar la inversa de una función, exploraremos los gráficos de las funciones y sus inversas. Volvamos a la función cuadrática $f\left(x\right)={x}^{2}$ restringida al dominio $\left[0,\infty \right)\text{,}$ en el que esta función es biunívoca, y grafíquela como en la [link].

Funciones lineales

Introducción

Funciones lineales

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Representar una función lineal.
* Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante.
* Calcular e interpretar la pendiente.
* Escribir la forma punto-pendiente de una ecuación.
* Escribir e interpretar una función lineal.

Representar funciones lineales

La función que describe el movimiento del tren es una **función lineal**, la cual se define como una función con una tasa de cambio constante, es decir, un polinomio de grado 1. Hay varias formas de representar una función lineal, entre ellas la forma verbal, la notación de funciones, la forma tabular y la forma gráfica. Describiremos el movimiento del tren como una función mediante el empleo de cada método.

Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante

Las funciones lineales que hemos utilizado en los dos ejemplos anteriores aumentan con el tiempo, pero no todas lo hacen. La función lineal puede ser creciente, decreciente o constante. En el caso de una función creciente, como en el ejemplo del tren, los valores de salida aumentan a medida que aumentan los valores de entrada. El gráfico de la función creciente tiene una pendiente positiva. Una línea con pendiente positiva se inclina hacia arriba de izquierda a derecha como en [link]**(a)**. En el caso de una función decreciente, la pendiente es negativa. Los valores de salida disminuyen a medida que aumentan los valores de entrada. Una línea con pendiente negativa se inclina hacia abajo de izquierda a derecha como en la [link]**(b)**. Si la función es constante, los valores de salida son los mismos para todos los valores de entrada, por lo que la pendiente es cero. Una línea con pendiente cero es horizontal como en la [link]**(c)**.

Calcular e interpretar la pendiente

En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, nos han proporcionado la pendiente. Sin embargo, a menudo necesitamos calcular la pendiente dados los valores de entrada y salida. Dados dos valores de entrada, ${x}_{1}$ y ${x}_{2},$ y dos valores correspondientes para la salida, ${y}_{1}$ y ${y}_{2}$, que puede representarse mediante un conjunto de puntos, y , podemos calcular la pendiente $m,$ como sigue

Escribir la forma punto-pendiente de una ecuación lineal

Hasta ahora, hemos utilizado la forma pendiente-intersección de la ecuación lineal para describir funciones lineales. Aquí aprenderemos otra forma de escribir una función lineal, la forma punto-pendiente.

Escribir e interpretar una ecuación para una función lineal

Ahora que hemos escrito las ecuaciones de las funciones lineales tanto en la forma pendiente-intersección como en la forma punto-pendiente, podemos elegir qué método utilizar en función de la información que nos brinden. Esa información puede proporcionarse en forma de gráfico, un punto y una pendiente, dos puntos, etc. Mire el gráfico de la función $f$ en la [link].

Modelar problemas del mundo real con funciones lineales

En el mundo real, los problemas no siempre se plantean explícitamente en términos de una función o se representan con un gráfico. Afortunadamente, podemos analizar el problema al representarlo primero como una función lineal y luego interpretar los componentes de la función. Siempre que conozcamos, o podamos averiguar, el valor inicial y la tasa de cambio de una función lineal, podremos resolver muchos tipos de problemas del mundo real.

Gráficos de funciones lineales

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Graficar funciones lineales.
* Escribir la ecuación de una función lineal a partir del gráfico de una línea.
* Dadas las ecuaciones de dos líneas, determinar si sus gráficos son paralelos o perpendiculares.
* Escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a una línea dada.
* Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Gráficos de funciones lineales

En Funciones lineales, vimos que el gráfico de una función lineal es una línea recta. También pudimos ver los puntos de la función, así como el valor inicial de un gráfico. Por lo tanto, al graficar dos funciones, podemos comparar más fácilmente sus características.

Escribir la ecuación de una función a partir del gráfico de una recta

Recuerde que en Funciones lineales, escribimos la ecuación de una función lineal a partir de un gráfico. Ahora podemos ampliar lo que sabemos con respecto a la graficación de funciones lineales para analizar los gráficos de manera pormenorizada. Comience por echar un vistazo a la [link]. Podemos ver de inmediato que el gráfico cruza el eje *y* en el punto así que esta es la intersección *y*.

Hallar la intersección en *x* de una línea

Hasta ahora, hemos hallado las intersecciones en *y* de una función: el punto en el que el gráfico de la función cruza el eje *y*. Una función también puede tener una **intersección en** ***x***, que es la coordenada de la *x* del punto donde el gráfico de la función cruza el eje *x*. En otras palabras, es el valor de entrada cuando el valor de salida es cero.

Describir líneas horizontales y verticales

Hay dos casos especiales de líneas en un gráfico: horizontales y verticales. La **línea horizontal** indica una salida constante o valor de *y*. En la [link], vemos que la salida tiene un valor de 2 para cada valor de entrada. Por lo tanto, la variación en las salidas entre dos puntos cualesquiera es 0. En la fórmula de la pendiente, el numerador es 0, por lo que la pendiente es 0. Si utilizamos $m= 0,0$ en la ecuación $f\left(x\right)=mx+b,$ la ecuación se simplifica a $f\left(x\right)=b.$ En otras palabras, el valor de la función es una constante. Este gráfico representa la función $f\left(x\right)=2.$

Determinar si las líneas son paralelas o perpendiculares

Las dos líneas en la [link] son **líneas** **paralelas**: nunca se intersecan. Observe que tienen exactamente la misma inclinación, lo que significa que sus pendientes son idénticas. La única diferencia entre las dos líneas es la intersección en *y*. Si desplazamos una línea verticalmente hacia la intersección en *y* de la otra, se convertirían en la misma línea.

Escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a una línea dada

Si conocemos la ecuación de una línea, podemos utilizar lo que sabemos sobre la pendiente para escribir la ecuación de una línea que sea paralela o perpendicular a la línea dada.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico

Un sistema de ecuaciones lineales incluye dos o más ecuaciones lineales. Los gráficos de dos líneas se intersecan en un mismo punto si no son paralelos. Dos líneas paralelas también pueden intersecarse si son coincidentes, lo que significa que son la misma línea y se cruzan en cada punto. En el caso de dos líneas que no son paralelas, el único punto de intersección satisfará ambas ecuaciones y, por lo tanto, representará la solución del sistema.

Modelado con funciones lineales

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Identificar los pasos para modelar y resolver.
* Construir modelos lineales a partir de descripciones verbales.
* Construir sistemas de modelos lineales.

Identificar los pasos para modelar y resolver problemas

Cuando se modelan escenarios con funciones lineales y se resuelven problemas que implican cantidades con una tasa de cambio constante, solemos seguir las mismas estrategias de problemas que utilizaríamos para cualquier tipo de función. Repasémoslos brevemente:

Construir modelos lineales

Ahora echemos un vistazo a la estudiante en Seattle. En la situación de Elan hay dos cantidades cambiantes: el tiempo y el dinero. La cantidad de dinero que le queda mientras está de vacaciones depende del tiempo que se quede. Podemos utilizar esta información para definir nuestras variables, incluidas las unidades.

Construir sistemas de modelos lineales

Las situaciones en el mundo real que incluyen dos o más funciones lineales pueden modelarse con un sistema de ecuaciones lineales. Recuerde que, al resolver un sistema de ecuaciones lineales, buscamos los puntos que tienen en común las dos líneas. Normalmente, hay tres tipos de respuestas posibles, como se indica en la [link].

Ajuste de modelos lineales a los datos

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Dibujar e interpretar gráficos de dispersión.
* Hallar la línea de mejor ajuste.
* Distinguir entre relaciones lineales y no lineales.
* Utilizar un modelo lineal para hacer predicciones.

Dibujar e interpretar gráficos de dispersión

El diagrama de dispersión es un gráfico de puntos trazados capaz de mostrar una relación entre dos conjuntos de datos. Si la relación procede de un modelo lineal, o de un modelo casi lineal, el profesor puede sacar conclusiones por medio de su conocimiento acerca de funciones lineales. La [link] muestra un ejemplo de gráfico de dispersión.

Hallar la línea de mejor ajuste

Una vez que reconocemos la necesidad de una función lineal para modelar esos datos, la pregunta obvia que sigue es "¿cuál es esa función lineal?”. Una forma de aproximar nuestra función lineal es trazar la línea que parezca ajustarse mejor a los datos. Entonces podemos extender la línea hasta que podamos verificar la intersección en *y*. Podemos calcular la pendiente de la línea al extenderla hasta que podamos estimar la $\frac{\text{subida}}{\text{recorrido}}.$

Distinguir entre modelos lineales y no lineales

Como hemos visto anteriormente con el modelo de grillo-chirrido, algunos datos muestran fuertes tendencias lineales. Sin embargo, otros datos, como las puntuaciones de los exámenes finales representadas por la edad, son claramente no lineales. La mayoría de las calculadoras y los programas informáticos también pueden proporcionarnos el **coeficiente de correlación**, que es una medida del grado de ajuste de la línea a los datos. Muchas calculadoras gráficas requieren que el usuario active una selección de "diagnóstico" para determinar el coeficiente de correlación, que los matemáticos denominan $r.$ El coeficiente de correlación es una forma sencilla de hacerse una idea de lo cerca que están los datos de una línea.

Predecir con la línea de regresión

Una vez que determinamos que un conjunto de datos es lineal utilizando el coeficiente de correlación, podemos utilizar la línea de regresión para hacer predicciones. Como hemos aprendido anteriormente, la línea de regresión es la que más se acerca a los datos en el gráfico de dispersión, lo que significa que solo una de esas líneas es la que mejor se ajusta a los datos.

Funciones polinómicas y racionales

Introducción

Números complejos

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Expresar las raíces cuadradas de los números negativos como múltiplos de $i$.
* Representar los números complejos en el plano complejo.
* Sumar y restar números complejos.
* Multiplicar y dividir números complejos.

Expresar raíces cuadradas de los números negativos como múltiplos de *i*

Sabemos cómo hallar la raíz cuadrada de cualquier número real positivo. De forma similar, podemos hallar la raíz cuadrada de un número negativo. La diferencia es que la raíz no es real. Si el valor del radicando es negativo, se dice que la raíz es un número imaginario**.** El número imaginario $i$ se define como la raíz cuadrada de 1 negativo.

Trazar un número complejo en el plano complejo

No podemos representar los números complejos en una línea numérica como lo haríamos con los números reales. Sin embargo, podemos representarlos gráficamente. Para representar un número complejo tenemos que abordar los dos componentes del número. Utilizamos el plano complejo, que es un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal representa la componente real y el eje vertical representa el componente imaginario. Los números complejos son los puntos del plano, expresados como pares ordenados $\left(a,b\right),$ donde $a$ representa la coordenada del eje horizontal y $b$ representa la coordenada del eje vertical.

Sumar y restar números complejos

Al igual que con los números reales, podemos realizar operaciones aritméticas con los números complejos. Para sumar o restar números complejos, combinamos las partes reales y las partes imaginarias.

Multiplicar números complejos

Multiplicar números complejos es muy parecido a multiplicar binomios. La principal diferencia es que trabajamos con las partes reales e imaginarias por separado.

Dividir números complejos

La división de dos números complejos es más complicada que la suma, la resta y la multiplicación porque no podemos dividir entre un número imaginario, lo que significa que cualquier fracción deberá tener un denominador de número real. Tenemos que hallar un término entre el cual podamos multiplicar el numerador y el denominador que elimine la parte imaginaria del denominador para que acabemos con un número real como denominador. Este término se llama conjugado complejo del denominador, que se encuentra al cambiar el signo de la parte imaginaria del número complejo. En otras palabras, el conjugado complejo de $a+bi$ es $a-bi.$

Simplificar las potencias de *i*

Las potencias de $i$ son cíclicas. Veamos qué ocurre cuando elevamos $i$ a potencias crecientes.

Funciones cuadráticas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Reconocer las características de las parábolas.
* Comprender cómo se relaciona el gráfico de una parábola con su función cuadrática.
* Determinar el valor mínimo o máximo de una función cuadrática.
* Resolver problemas que impliquen el valor mínimo o máximo de una función cuadrática.

Reconocer las características de las parábolas

El gráfico de una función cuadrática es una curva en forma de U, denominada parábola. Una característica importante del gráfico es que tiene un punto extremo, denominado vértice. Si la parábola se abre, el vértice representa el punto más bajo en el gráfico o el valor mínimo de la función cuadrática. Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa el punto más alto en el gráfico o el valor máximo. En cualquier caso, el vértice es un punto de inflexión en el gráfico. El gráfico también es simétrico, con una línea vertical trazada a través del vértice, denominada eje de simetría. Estas características se ilustran en la [link].

Comprender cómo se relacionan los gráficos de las parábolas con sus funciones cuadráticas

La forma general **de una función cuadrática** presenta la función en la forma

Hallar el dominio y el rango de una función cuadrática

Cualquier número puede ser el valor de entrada de la función cuadrática. Por lo tanto, el dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales. Dado que las parábolas tienen un punto máximo o mínimo, el rango está restringido. Dado que el vértice de una parábola será un máximo o un mínimo, el rango consistirá en todos los valores de *y* mayores o iguales a la coordenada de la *y* en el punto de giro o menores o iguales a la coordenada de la *y* en el punto de giro, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

Determinar los valores máximos y mínimos de las funciones cuadráticas

La salida de la función cuadrática en el vértice es el valor máximo o mínimo de la función, dependiendo de la orientación de la parábola. Podemos ver los valores máximos y mínimos en la [link].

Funciones potencia y funciones polinómicas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Identificar las funciones potencia.
* Identificar el comportamiento final de las funciones potencia.
* Identificar funciones polinómicas.
* Identificar el grado y el coeficiente principal de las funciones polinómicas.

Identificar las funciones potencia

Para entender mejor el problema de los pájaros, necesitamos comprender un tipo específico de función. La **función potencia** es aquella con un solo término que es el producto de un número real, un **coeficiente** y una variable elevada a un número real fijo. (El número que multiplica una variable elevada a un exponente se conoce como coeficiente).

Identificar el comportamiento final de las funciones potencia

La [link] muestra los gráficos de $f\left(x\right)={x}^{2},{\rule{0.5em}{0ex}}g\left(x\right)={x}^{4}$ y $\text{y}{\rule{0.5em}{0ex}}h\left(x\right)={x}^{6},$ que son todas funciones potencia con números pares y enteros. Observe que estos gráficos tienen formas semejantes, muy parecidas a la de la función cuadrática en la caja de herramientas. Sin embargo, a medida que se incrementa la potencia, los gráficos se aplanan un poco cerca del origen y se vuelven más pronunciados lejos del mismo.

Identificar funciones polinómicas

Un oleoducto estalla en el golfo de México, lo que provoca un derrame de petróleo aproximadamente circular. La mancha tiene actualmente un radio de 24 millas, pero ese radio aumenta 8 millas cada semana. Queremos escribir una fórmula para la superficie cubierta por el derrame de petróleo al combinar dos funciones. El radio $r$ del derrame de petróleo depende del número de semanas $w$ que han pasado. Esta relación es lineal.

Identificar el grado y el coeficiente principal de una función polinómica

Debido a la forma de una función polinómica, podemos ver una variedad infinita en el número de términos y la potencia de la variable. Aunque el orden de los términos de la función polinómica no es importante para realizar las operaciones, solemos ordenar los términos en orden descendente de potencia o en forma general. El grado del polinomio es la potencia más elevada de la variable que aparece en el polinomio; es la potencia de la primera variable si la función tiene forma general. El término principal es aquel que contiene la potencia más elevada de la variable o el término del grado más alto. El coeficiente principal es el coeficiente del término principal.

Gráfico de funciones polinómicas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Reconocer las características de los gráficos de las funciones polinómicas.
* Utilizar la factorización para hallar los ceros de las funciones polinómicas.
* Identificar los ceros y sus multiplicidades.
* Determinar el comportamiento final.
* Comprender la relación entre grado y puntos de inflexión.
* Graficar funciones polinómicas.
* Utilizar el teorema del valor intermedio.

Reconocer las características de los gráficos de las funciones polinómicas

Las funciones polinómicas de grado 2 o más constan de gráficos que no tienen ángulos agudos; recuerde que estos gráficos se denominan curvas fluidas. Las funciones polinómicas también muestran gráficos que no tienen cortes. Las curvas sin cortes se denominan continuas. La [link] muestra un gráfico que representa una función polinómica y un gráfico que representa una función que no es un polinomio.

Usar la factorización para hallar los ceros de las funciones polinómicas

Recordemos que si ${\rule{0.5em}{0ex}}f{\rule{0.5em}{0ex}}$ es una función polinómica, los valores de ${\rule{0.5em}{0ex}}x{\rule{0.5em}{0ex}}$ en el que ${\rule{0.5em}{0ex}}f\left(x\right)=0{\rule{0.5em}{0ex}}$ se llaman ceros de ${\rule{0.5em}{0ex}}f.{\rule{0.5em}{0ex}}$ Si la ecuación de la función polinómica se puede factorizar, podemos poner cada factor igual a cero y resolver los ceros**.**

Identificar los ceros y sus multiplicidades

Los gráficos se comportan de manera diferente en diversas intersecciones en $x\text{}$. A veces, el gráfico cruza el eje horizontal en una intersección. Otras veces, el gráfico toca el eje horizontal y rebota.

Determinar el comportamiento final

Como ya hemos aprendido, el comportamiento del gráfico de una función polinómica de la forma

Comprender la relación entre el grado y los puntos de inflexión

Además del comportamiento final, recordemos que podemos analizar el comportamiento local de una función polinómica. Puede tener un punto de inflexión en el que el gráfico pasa de ser creciente a ser decreciente (de aumento a disminución) o de decreciente a creciente (de disminución a aumento). Observe el gráfico de la función polinómica $f\left(x\right)={x}^{4}-{x}^{3}-4{x}^{2}+4x$ en la [link]. El gráfico tiene tres puntos de inflexión.

Graficar funciones polinómicas

Podemos utilizar lo que hemos aprendido acerca de las multiplicidades, el comportamiento final y los puntos de inflexión para trazar gráficos de funciones polinómicas. Pongamos todo esto en orden y veamos los pasos necesarios para graficar funciones polinómicas.

Usar el teorema del valor intermedio

En algunas situaciones, podemos conocer dos puntos de un gráfico, pero no los ceros. Si esos dos puntos están en lados opuestos del eje *x*, podemos confirmar que hay un cero entre ellos. Consideremos una función polinómica $f$ cuyo gráfico es fluido y continuo. El **teorema del valor intermedio** establece que para dos números $a$ y $b$ en el dominio de $f,$ si $a y $f\left(a\right)\ne f\left(b\right),$ entonces la función $f$ adopta cualquier valor entre $f\left(a\right)$ y $f\left(b\right).$ Podemos aplicar este teorema a un caso especial que sirva para graficar funciones polinómicas. Si un punto del gráfico de una función continua $f$ en $x=a$ se encuentra por encima del eje $x\text{}$ y otro punto en $x=b$ se encuentra por debajo del eje $x\text{}$, debe existir un tercer punto entre $x=a$ y $x=b$ donde el gráfico cruza el eje $x\text{}$. Llamemos a este punto $\left(c,{\rule{0.5em}{0ex}}f\left(c\right)\right).$ Esto significa que estamos seguros de que hay una solución $c$ donde $f\left(c\right)=0.$

Dividir polinomios

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Utilizar la división larga para dividir polinomios.
* Utilizar la división sintética para dividir polinomios.

Usar la división larga para dividir polinomios

Conocemos el algoritmo de la división larga para la aritmética ordinaria. Comenzamos por dividir entre los dígitos del dividendo que tienen el mayor valor posicional. Dividimos, multiplicamos, restamos, incluimos el dígito en la siguiente posición de valor posicional y repetimos. Por ejemplo, dividamos 178 entre 3 mediante la división larga.

Usar la división sintética para dividir polinomios

Como hemos visto, la división larga de polinomios implica muchos pasos y puede resultar bastante engorrosa. La **división sintética** es un método abreviado de dividir polinomios para el caso especial de dividir entre un factor lineal cuyo coeficiente principal es 1.

Uso de la división polinómica para resolver problemas de aplicación

La división polinómica se utiliza para resolver una variedad de problemas de aplicación que implican expresiones de área y volumen. Al principio de esta sección hemos visto una aplicación. Ahora resolveremos ese problema en el siguiente ejemplo.

Ceros de funciones polinómicas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Evaluar un polinomio con el teorema del resto.
* Utilizar el teorema del factor para resolver una ecuación polinómica.
* Utilizar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales.
* Hallar los ceros de una función polinómica.
* Utilizar el teorema de la factorización lineal para hallar polinomios con ceros dados.
* Utilizar la regla de los signos de Descartes.
* Resolver aplicaciones del mundo real de las ecuaciones polinómicas.

Evaluar un polinomio con el teorema del resto

En la última sección, aprendimos a dividir polinomios. Ahora podemos utilizar la división de polinomios para evaluarlos con el teorema del resto. Si el polinomio se divide entre $x–k,$ el resto se puede hallar rápidamente si evaluamos la función polinómica en $k,$ es decir, $f\left(k\right)$ Repasemos la demostración del teorema.

Usar el teorema del factor para resolver una ecuación polinómica

El **teorema del factor** es otro teorema que nos permite analizar las ecuaciones polinómicas. Nos indica cómo se relacionan los ceros de un polinomio con los factores. Recordemos que el algoritmo de la división nos señala que

Usar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales

Otro uso del teorema del resto es probar si un número racional es un cero para un polinomio dado. No obstante, primero necesitamos un conjunto de números racionales para probar. El teorema del cero racional nos permite reducir el número de posibles ceros racionales mediante la relación de los factores del término constante y los factores del coeficiente principal del polinomio.

Hallar los ceros de las funciones polinómicas

El teorema del cero racional nos permite reducir la lista de posibles ceros racionales de una función polinómica. Una vez hecho esto, podemos utilizar la división sintética repetidamente para determinar todos los ceros de una función polinómica.

Usar el teorema fundamental del álgebra

Ahora que podemos hallar los ceros racionales de una función polinómica, veremos un teorema que aborda el número de ceros complejos de una función polinómica. El **teorema fundamental del álgebra** nos instruye que toda función polinómica tiene al menos un cero complejo. Este teorema constituye la base para la resolución de ecuaciones polinómicas.

Usar el teorema de la factorización lineal para hallar polinomios con ceros dados

Una implicación vital del teorema fundamental del álgebra, como mencionamos anteriormente, es que una función polinómica de grado $n$ tendrá $n$ ceros en el conjunto de los números complejos, si permitimos las multiplicidades. Esto significa que podemos factorizar la función polinómica en $n$ factores. El teorema de la factorización lineal nos señala que una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y que cada factor estará en la forma $\left(x-c\right),$ donde $c$ es un número complejo.

Usar la regla de los signos de Descartes

Existe una forma directa de determinar el número posible de ceros reales positivos y negativos de cualquier función polinómica. Si el polinomio se escribe en orden descendente, **la regla de los signos de Descartes** nos habla de una relación entre el número de cambios de signo en $f\left(x\right)$ y el número de ceros reales positivos. Por ejemplo, la función polinómica siguiente tiene un cambio de signo.

Resolver aplicaciones del mundo real

Ahora hemos introducido una variedad de herramientas para resolver ecuaciones polinómicas. Utilicemos estas herramientas para resolver el problema de la panadería al principio de la sección.

Funciones racionales

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Utilizar la notación de flechas.
* Resolver problemas aplicados con funciones racionales.
* Hallar los dominios de las funciones racionales.
* Identificar las asíntotas verticales.
* Identificar las asíntotas horizontales.
* Graficar funciones racionales.

Usar la notación de flechas

Hemos visto los gráficos de la función recíproca básica y de la función recíproca al cuadrado a partir de nuestro estudio de las funciones de la caja de herramientas. Examine estos gráficos, como se muestra en la [link], y observe algunas de sus características.

Resolver problemas aplicados con funciones racionales

En el [link], hemos desplazado una función de la caja de herramientas de manera que la función $f\left(x\right)=\frac{3x+7}{x+2}.$ Este es un ejemplo de función racional. La **función racional** es aquella que se escribe como el cociente de dos funciones polinómicas. Muchos problemas del mundo real exigen que hallemos el cociente de dos funciones polinómicas. Los problemas que implican tasas y concentraciones a menudo implican funciones racionales.

Hallar los dominios de las funciones racionales

La asíntota vertical representa un valor en el que una función racional es indefinida, por lo que ese valor no está en el dominio de la función. La función recíproca no puede tener valores en su dominio que hagan que el denominador sea igual a cero. En general, para hallar el dominio de la función racional, necesitamos determinar qué entradas provocarían la división entre cero.

Identificar las asíntotas verticales de las funciones racionales

Al observar el gráfico de una función racional, podemos investigar su comportamiento local y ver fácilmente si hay asíntotas. Puede que incluso seamos capaces de calcular aproximadamente su ubicación. Sin embargo, incluso sin el gráfico, podemos determinar si una función racional dada tiene alguna asíntota y calcular su ubicación.

Identificar las asíntotas horizontales de las funciones racionales

Mientras que las asíntotas verticales describen el comportamiento de un gráfico cuando la *salida* es muy grande o muy pequeña, las asíntotas horizontales describen el comportamiento de un gráfico cuando la *entrada* es muy grande o muy pequeña. Recordemos que el comportamiento final de un polinomio reflejará el del término principal. Asimismo, el comportamiento final de la función racional reflejará el del cociente de los términos principales de las funciones del numerador y del denominador.

Graficar funciones racionales

En el [link], vemos que el numerador de la función racional revela las intersecciones en *x* del gráfico, mientras que el denominador revela las asíntotas verticales. Al igual que con los polinomios, los factores del numerador pueden tener potencias enteras mayores que uno. Afortunadamente, el efecto sobre la forma del gráfico en esas intersecciones es el mismo que vimos con los polinomios.

Escribir funciones racionales

Ahora que hemos analizado las ecuaciones de las funciones racionales y cómo se relacionan con un gráfico de la función, podemos utilizar la información dada por un gráfico para escribir la función. La función racional escrita en forma factorizada tendrá una intersección en *x*, donde cada factor del numerador es igual a cero. (Se produce una excepción en el caso de discontinuidad removible). En consecuencia, podemos formar el numerador de una función cuyo gráfico pase por un conjunto de intersecciones en *x*, al introducir el correspondiente conjunto de factores. Asimismo, dado que la función tendrá una asíntota vertical en la que cada factor del denominador es igual a cero, podemos formar un denominador que produzca las asíntotas verticales al introducir el correspondiente conjunto de factores.

Inversas y funciones radicales

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Hallar la inversa de una función polinómica.
* Restringir el dominio para hallar la inversa de una función polinómica.

Hallar la inversa de una función polinómica

Dos funciones $f$ y $g$ son funciones inversas si para cada par de coordenadas en $f,{\rule{0.5em}{0ex}}\left(a,{\rule{0.5em}{0ex}}b\right),$ existe un par de coordenadas correspondiente en la función inversa, $g,\left(b,{\rule{0.5em}{0ex}}a\right).$ En otras palabras, los pares de coordenadas de las funciones inversas tienen la entrada y la salida intercambiadas.

Delimitar del dominio para calcular la inversa de una función polinómica

Hasta ahora, hemos hallado las inversas de las funciones cúbicas sin tener que restringir sus dominios. Sin embargo, como sabemos, no todos los polinomios cúbicos son biunívocos. Puede que el dominio en algunas funciones que no son biunívocas se restrinja para que sea biunívoco, pero únicamente con respecto a ese dominio. La función sobre el dominio restringido tendría entonces una función inversa. Dado que las funciones cuadráticas no biunívocas, debemos restringir su dominio para hallar sus inversas.

Modelado mediante la variación

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Resolver problemas de variación directa.
* Resolver problemas de variación inversa.
* Resolver problemas que impliquen una variación conjunta.

Resolver problemas de variación directa

En el ejemplo anterior, las ganancias de Nicole se hallan al multiplicar sus ventas por su comisión. La fórmula $e=0,16s$ nos cuenta sus ganancias, $e,$ provienen del producto de 0,16, su comisión, y el precio de venta del vehículo. Si creamos una tabla, observamos que, a medida que aumenta el precio de venta, también aumentan las ganancias, lo que debería ser intuitivo. Vea la [link].

Resolver problemas de variación inversa

La temperatura del agua en un océano varía inversamente a la profundidad del agua. Entre las profundidades de 250 pies y 500 pies, la fórmula $T=\frac{14.000}{d}$ nos da la temperatura en grados Fahrenheit a una profundidad en pies bajo la superficie de la Tierra. Consideremos el Océano Atlántico, que cubre el 22 % de la superficie de la Tierra. En un lugar determinado, a una profundidad de 500 pies, la temperatura puede ser de 28 °F.

Resolver problemas que implican una variación conjunta

Muchas situaciones son más complicadas que un modelo básico de variación directa o de variación inversa. Una variable suele depender de varias otras variables. Cuando una variable depende del producto o cociente de dos o más variables, se denomina variación conjunta. Por ejemplo, el costo del transporte en autobús de los alumnos por cada viaje escolar varía en función del número de alumnos que asisten y de la distancia de la escuela. La variable $c,$ costo, varía junto con el número de estudiantes, $n,$ y la distancia, $d.$

Funciones exponenciales y logarítmicas

Introducción

Funciones exponenciales

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Evaluar funciones exponenciales.
* Hallar la ecuación de una función exponencial.
* Utilizar las fórmulas de interés compuesto.
* Evaluar funciones exponenciales con base $e$.

Identificación de funciones exponenciales

Al explorar el crecimiento lineal, observamos una tasa de cambio constante: una cifra constante en la que la producción aumenta por cada incremento de unidad en la entrada. Por ejemplo, en la ecuación $f\left(x\right)=3x+4,$ la pendiente nos indica que la salida aumenta en 3 cada vez que la entrada aumenta en 1. El escenario del ejemplo de la población de la India es diferente porque tenemos un cambio *porcentual* por unidad de tiempo (en lugar de un cambio constante) en el número de personas.

Evaluar funciones exponenciales

Recordemos que la base de la función exponencial debe ser un número real positivo, distinto a $1.$ ¿Por qué limitamos la base $b$ a valores positivos? Para garantizar que las salidas sean números reales. Observe lo que ocurre si la base no es positiva:

Hallar ecuaciones de funciones exponenciales

En los ejemplos anteriores, se nos dio una función exponencial, que luego evaluamos para una entrada dada. A veces nos dan información acerca de una función exponencial sin conocer la función explícitamente. Debemos utilizar la información para escribir primero la forma de la función y luego determinar las constantes $a$ y $b,$ y evaluar la función.

Aplicar la fórmula del interés compuesto

Los instrumentos de ahorro en los que las ganancias se reinvierten continuamente, como los fondos de inversión y las cuentas de jubilación, utilizan el interés compuesto. El término *compuesto* se refiere a los intereses devengados no solo sobre el valor original, sino sobre el valor acumulado de la cuenta.

Evaluar funciones con base *e*

Como hemos visto anteriormente, el importe ganado en una cuenta aumenta a medida que aumenta la frecuencia de capitalización. La [link] muestra que el aumento de la capitalización anual a la semestral es mayor que el aumento de la mensual a la diaria. Esto podría llevarnos a preguntarnos si este patrón continuará.

Investigar el crecimiento continuo

Hasta ahora hemos trabajado con bases racionales para funciones exponenciales. Sin embargo, en la mayoría de los fenómenos del mundo real, se utiliza *e* como base de las funciones exponenciales. Los modelos exponenciales que utilizan $e$ como base se denominan *modelos de crecimiento o decaimiento continuo*. Vemos estos modelos en las finanzas, la informática y la mayoría de las ciencias, como la física, la toxicología y la dinámica de fluidos.

Gráficos de funciones exponenciales

Abstract:
* Graficar funciones exponenciales.
* Graficar funciones exponenciales mediante transformaciones.

Graficar funciones exponenciales

Antes de empezar a graficar, vale la pena repasar el comportamiento del crecimiento exponencial. Recordemos la tabla de valores de una función de la forma $f\left(x\right)={b}^{x}$ cuya base es mayor que uno. Utilizaremos la función $f\left(x\right)={2}^{x}.$ Observe cómo cambian los valores de salida en la [link] cuando la entrada aumenta en $1.$

Graficar transformaciones de funciones exponenciales

Las transformaciones de los gráficos exponenciales se comportan de forma similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones matrices, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamiento, reflexión, estiramiento y compresión) a la función matriz $f\left(x\right)={b}^{x}$ sin perder la forma. Por ejemplo, al igual que la función cuadrática mantiene su forma parabólica cuando se desplaza, refleja, estira o comprime, la función exponencial también mantiene su forma general, independientemente de las transformaciones aplicadas.

Funciones logarítmicas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Convertir de forma logarítmica a exponencial.
* Convertir de forma exponencial a logarítmica.
* Evaluar logaritmos.
* Utilizar logaritmos comunes.
* Utilizar logaritmos naturales.

Convertir de la forma logarítmica a la exponencial

Para analizar la magnitud de un movimiento telúrico o compararla con la de otro, debemos estar en capacidad de convertir entre la forma logarítmica y la exponencial. Por ejemplo, supongamos que la cantidad de energía que libera un terremoto es 500 veces mayor que la cantidad de energía que libera otro. Queremos calcular la diferencia en la magnitud. La ecuación que representa este problema es ${10}^{x}=500,$ donde $x$ representa la diferencia de magnitud en la escala de Richter. ¿Cómo podríamos resolver $x?$

Convertir de la forma exponencial a la forma logarítmica

Para convertir de exponentes a logaritmos, seguimos los mismos pasos, pero a la inversa. Identificamos la base $b,$ exponente $x,$ y salida $y.$ Entonces escribimos $x={\mathrm{log}}_{b}\left(y\right).$

Evaluar logaritmos

Conocer los cuadrados, cubos y raíces de los números nos permite evaluar mentalmente muchos logaritmos. Por ejemplo, considere ${\mathrm{log}}_{2}8.$ Nos preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar $2$ para obtener el 8?”. Dado que ya sabemos que ${2}^{3}=8,$ se deduce que ${\mathrm{log}}_{2}8=3.$

Usar logaritmos comunes

A veces podemos ver un logaritmo escrito sin base. En este caso, suponemos que la base es 10. En otras palabras, la expresión $\mathrm{log}\left(x\right)$ significa ${\mathrm{log}}_{10}\left(x\right).$ Llamamos **logaritmo común** a un logaritmo de base 10. Los logaritmos comunes se utilizan para medir la escala de Richter que se menciona al principio de la sección. Las escalas para medir el brillo de las estrellas y el pH de los ácidos y las bases también utilizan logaritmos comunes.

Usar logaritmos naturales

La base más utilizada para los logaritmos es $e.$Los logaritmos con base $e$ son importantes en el cálculo y en algunas aplicaciones científicas; reciben el nombre de **logaritmos naturales**. El logaritmo con base $e$, ${\mathrm{log}}_{e}\left(x\right),$ tiene su propia notación, $\mathrm{ln}\left(x\right).$

Gráficos de funciones logarítmicas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Identificar el dominio de una función logarítmica.
* Graficar funciones logarítmicas.

Hallar el dominio de una función logarítmica

Antes de trabajar con los gráficos, echaremos un vistazo al dominio (el conjunto de valores de entrada) para el que se define la función logarítmica.

Graficar funciones logarítmicas

Ahora que ya conocemos el conjunto de valores para los que se define una función logarítmica, pasemos a graficar funciones logarítmicas. La familia de funciones logarítmicas incluye la función matriz $y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)$ junto con todas sus transformaciones: desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión.

Graficar transformaciones de funciones logarítmicas

Como hemos mencionado al principio de la sección, las transformaciones de los gráficos logarítmicos se comportan de forma semejante a las de otras funciones matrices. Podemos desplazar, estirar, comprimir y reflejar la función matriz $y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)$ sin perder la forma.

Propiedades logarítmicas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Utilizar la regla del producto para los logaritmos.
* Utilizar la regla del cociente para los logaritmos.
* Utilizar la regla de la potencia para los logaritmos.
* Expandir expresiones logarítmicas.
* Condensar expresiones logarítmicas.
* Utilizar la fórmula de cambio de base para los logaritmos.

Uso de la regla del producto para los logaritmos

Recuerde que las funciones logarítmicas y exponenciales se "deshacen" mutuamente. Esto significa que los logaritmos tienen propiedades similares a los exponentes. Aquí se dan algunas propiedades importantes de los logaritmos. En primer lugar, las siguientes propiedades son fáciles de comprobar.

Uso de la regla del cociente para los logaritmos

En los cocientes, tenemos una regla similar para los logaritmos. Recordemos que utilizamos la *regla del cociente de exponentes* para combinar el cociente de exponentes al restar: $\frac{{x}^{a}}{{x}^{b}}={x}^{a-b}.$ La **regla del cociente para los logaritmos** establece que el logaritmo de un cociente es igual a una diferencia de logaritmos. Al igual que con la regla del producto, podemos utilizar la propiedad inversa para derivar la regla del cociente.

Usar la regla de la potencia para los logaritmos

Hemos explorado la regla del producto y la regla del cociente. Ahora bien, ¿cómo podemos tomar el logaritmo de una potencia, como ${x}^{2}?$ Un método es el siguiente:

Expandir expresiones logarítmicas

En conjunto, la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia suelen llamarse "leyes de los logaritmos". A veces aplicamos más de una regla para simplificar una expresión. Por ejemplo:

Condensar expresiones logarítmicas

Podemos utilizar las reglas de los logaritmos que acabamos de aprender para condensar las sumas, las diferencias y los productos con la misma base en un solo logaritmo. Es importante recordar que los logaritmos deben tener la misma base para poder combinarse. Más adelante aprenderemos a cambiar la base de cualquier logaritmo antes de condensar.

Usar la fórmula de cambio de base para los logaritmos

La mayoría de las calculadoras solo evalúan los logaritmos comunes y naturales. Para evaluar logaritmos con una base distinta de 10 o $e,$ utilizamos la fórmula de cambio de base, donde reescribimos el logaritmo como el cociente de logaritmos de cualquier otra base. Al utilizar la calculadora, los cambiaríamos a logaritmos comunes o naturales.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Utilizar bases semejantes para resolver ecuaciones exponenciales.
* Utilizar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales.
* Utilizar la definición de logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas.
* Utilizar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas.
* Resolver problemas aplicados que impliquen ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Usar bases semejantes para resolver ecuaciones exponenciales

La primera técnica implica dos funciones con bases similares. Recordemos que la propiedad biunívoca de las funciones exponenciales nos señala que, para cualesquiera números reales $b,$ $S,$ y $T,$ donde $b>0,{\rule{0.5em}{0ex}}\text{}b\ne 1,$ ${b}^{S}={b}^{T}$ si y solo si $S=T.$

Resolver ecuaciones exponenciales mediante logaritmos

A veces los términos de una ecuación exponencial no pueden reescribirse con una base común. En estos casos, resolvemos al tomar el logaritmo de cada lado. Recordemos que, dado que $\mathrm{log}\left(a\right)=\mathrm{log}\left(b\right)$ equivale a $a=b,$ podemos aplicar logaritmos con la misma base en ambos lados de la ecuación exponencial.

Usar la definición de un logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas

Ya hemos visto que toda ecuación logarítmica ${\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)=y$ es equivalente a la ecuación exponencial ${b}^{y}=x.$ Podemos utilizar este hecho, junto con las reglas de los logaritmos, para resolver ecuaciones logarítmicas donde el argumento sea una expresión algebraica.

Usar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas

Al igual que con las ecuaciones exponenciales, podemos utilizar la propiedad biunívoca para resolver ecuaciones logarítmicas. La propiedad biunívoca de las funciones logarítmicas nos señala que, para cualquier número real $x>0,$ $S>0,$ $T>0$ y cualquier número real positivo $b,$ donde $b\ne 1,$

Resolver problemas aplicados mediante ecuaciones exponenciales y logarítmicas

En las secciones anteriores, hemos aprendido las propiedades y las reglas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Hemos visto que cualquier función exponencial puede escribirse como una función logarítmica y viceversa. Hemos utilizado los exponentes para resolver ecuaciones logarítmicas y los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. Ahora estamos preparados para combinar nuestras habilidades para resolver ecuaciones que modelen situaciones del mundo real, tanto si la incógnita está en un exponente como en el argumento de un logaritmo.

Modelos exponenciales y logarítmicos

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Modelar el crecimiento y el decaimiento exponencial.
* Utilizar la ley de enfriamiento de Newton.
* Utilizar modelos de crecimiento logístico.
* Elegir un modelo adecuado para los datos.
* Expresar un modelo exponencial con base $e$.

Modelar el crecimiento y el decaimiento exponencial

En las aplicaciones del mundo real, necesitamos modelar el comportamiento de una función. En el modelado matemático, elegimos una función general conocida con propiedades que sugieren que modelará el fenómeno del mundo real que deseamos analizar. En el caso de un crecimiento rápido, podemos elegir la función de crecimiento exponencial:

Utilizar la ley de enfriamiento de Newton

El decaimiento exponencial también puede aplicarse a la temperatura. Cuando un objeto caliente se deja en el aire circundante, que está a una temperatura más baja, la temperatura del objeto disminuirá exponencialmente, para nivelarse a la temperatura del aire circundante. En un gráfico de la función de temperatura, la nivelación corresponderá a una asíntota horizontal a la temperatura del aire circulante. A menos que la temperatura ambiente sea cero, esto corresponderá a un desplazamiento vertical de la función genérica de decaimiento exponencial. Esta traslación nos lleva a la ley del enfriamiento de Newton, la fórmula científica de la temperatura en función del tiempo cuando la temperatura de un objeto se iguala a la temperatura ambiente

Uso de modelos de crecimiento logístico

El crecimiento exponencial no puede continuar para siempre. Los modelos exponenciales, aunque pueden ser útiles a corto plazo, tienden a desmoronarse cuanto más tiempo se prolongan. Piense en una aspirante a escritor que escribe una sola línea el primer día y se propone duplicar el número de líneas que escribe cada día durante un mes. Antes de que acabe el mes, deberá escribir más de 17.000 millones de líneas, es decir, 500 millones de páginas. No es práctico, por no decir imposible, que alguien escriba tanto en tan poco tiempo. Con el tiempo, deberá aplicarse un modelo exponencial que se aproxime a algún valor límite, y entonces el crecimiento se ve obligado a ralentizarse. Por esta razón, a menudo es mejor utilizar un modelo con un límite superior, en lugar de un modelo de crecimiento exponencial, aunque el modelo de crecimiento exponencial sigue siendo útil a corto plazo, antes de acercarse al valor límite.

Elegir un modelo adecuado para los datos

Ahora, que hemos hablado de varios modelos matemáticos, tenemos que aprender a elegir el modelo adecuado para los datos brutos de los que disponemos. Son muchos los factores que influyen en la elección de un modelo matemático, entre ellos la experiencia, las leyes científicas y los patrones de los propios datos. No todos los datos pueden describirse mediante funciones elementales. A veces, se elige una función que se aproxima a los datos en un intervalo determinado. Por ejemplo, supongamos que se recogen datos sobre el número de viviendas compradas en Estados Unidos entre los años 1960 y 2013. Tras representar estos datos en un gráfico de dispersión, observamos que la forma de los datos de los años 2000 a 2013 sigue una curva logarítmica. Podríamos restringir el intervalo de 2000 a 2010, aplicar el análisis de regresión mediante un modelo logarítmico y utilizarlo para predecir el número de compradores de viviendas para el año 2015.

Expresar un modelo exponencial con base $e$

Aunque se pueden utilizar potencias y logaritmos de cualquier base en el modelado, las dos bases más comunes son $10$ y $e.$ En ciencia y matemáticas, la base $e$ se prefiere a menudo. Podemos utilizar las leyes de los exponentes y de los logaritmos para cambiar cualquier base a base $e.$

Ajustar modelos exponenciales a los datos

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Construir un modelo exponencial a partir de los datos.
* Construir un modelo logarítmico a partir de los datos.
* Construir un modelo logístico a partir de los datos.

Construir un modelo exponencial a partir de datos

Como hemos aprendido, hay multitud de situaciones que pueden modelarse mediante funciones exponenciales, como el crecimiento de las inversiones, el decaimiento radiactivo, los cambios de presión atmosférica y las temperaturas de un objeto que se enfría. ¿Qué tienen en común estos fenómenos? Por un lado, todos los modelos aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Sin embargo, eso no es todo. Es la *manera* en que los datos aumentan o disminuyen lo que nos ayuda a determinar si es mejor modelar con una ecuación exponencial. Conocer el comportamiento de las funciones exponenciales en general nos permite reconocer cuándo utilizar la regresión exponencial, así que repasemos el crecimiento y el decaimiento exponencial.

Construir un modelo logarítmico a partir de datos

Al igual que con las funciones exponenciales, hay muchas aplicaciones en el mundo real para las funciones logarítmicas: la intensidad del sonido, el nivel de pH de las soluciones, los rendimientos de las reacciones químicas, la producción de bienes y el crecimiento de los bebés. Al igual que con los modelos exponenciales, los datos modelados por funciones logarítmicas son siempre crecientes o siempre decrecientes con el paso del tiempo. De nuevo, es la *manera* en que aumentan o disminuyen lo que nos permite determinar si un modelo logarítmico es el mejor.

Construir un modelo logístico a partir de datos

Al igual que el crecimiento exponencial y logarítmico, el crecimiento logístico aumenta con el paso del tiempo. Una de las diferencias más notables con los modelos de crecimiento logístico es que, a partir de cierto punto, el crecimiento desacelera de forma constante y la función se aproxima a un límite superior, o *valor límite*. Por ello, la regresión logística es lo mejor para modelar fenómenos en los que existen límites de expansión, como la disponibilidad de espacio vital o de nutrientes.

Funciones trigonométricas

Introducción

Ángulos

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Dibujar ángulos en posición estándar.
* Convertir entre grados y radianes.
* Calcular ángulos coterminales.
* Calcular la longitud de un arco de círculo.
* Utilizar la velocidad lineal y angular para describir el movimiento en una trayectoria circular.

Dibujar ángulos en posición estándar

Para definir correctamente un ángulo, primero hay que definir una raya. La raya consiste en un punto en una línea y todos los puntos que se extienden en una dirección desde ese punto. El primer punto se denomina punto final de la raya. Podemos referirnos a una raya concreta al indicar su punto final y cualquier otro punto en esta. La raya en la [link] puede denominarse EF, o indicarse en forma de símbolo $\stackrel{\to \right)}{EF}.$

Convertir entre grados y radianes

Dividir un círculo en 360 partes es una elección arbitraria, aunque crea la conocida medida de grados. Podemos elegir otras formas para dividir un círculo. Para calcular otra unidad, piense en el proceso de dibujar un círculo. Imagine que se detiene antes de completar el círculo. La parte que ha dibujado se denomina arco. Un arco puede ser una porción de un círculo completo, un círculo completo o más de un círculo completo, representado por más de una rotación completa. La longitud del arco alrededor de un círculo entero se denomina la circunferencia de ese círculo.

Calcular ángulos coterminales

La conversión entre grados y radianes puede facilitar el trabajo con ángulos en algunas aplicaciones. Para otras aplicaciones, quizá necesitemos otro tipo de conversión. Los ángulos negativos y los ángulos superiores a una revolución completa son más difíciles de trabajar que los que están en el rango de 0° a 360°, o de 0 a $2\pi .$ Sería conveniente sustituir esos ángulos fuera de rango por un ángulo correspondiente dentro del rango de una sola revolución.

Determinar la longitud de un arco

Recordemos que la medición de radián $\theta$ de un ángulo se definió como el cociente de la longitud de arco $s$ de un arco circular al radio $r$ del círculo, $\theta =\frac{s}{r}.$ A partir de esta relación, podemos calcular la longitud de arco a lo largo de un círculo, dado un ángulo.

Calcular el área de un sector de un círculo

Además de la longitud de arco, también podemos utilizar los ángulos para hallar el área de un sector de un círculo. Un sector es una región de un círculo delimitado por dos radios y el arco intersecado, como una porción de pizza o pastel. Recordemos que el área de un círculo de radio $r$ se puede hallar con la fórmula $A=\pi {r}^{2}.$ Si los dos radios forman un ángulo de $\theta ,$ medido en radianes, entonces $\frac{\theta }{2\pi }$ es la relación entre la medida del ángulo y la medida de una rotación completa y es también, por tanto, la relación entre el área del sector y el área del círculo. Así, el área de un sector es la fracción $\frac{\theta }{2\pi }$ multiplicado por toda la superficie. (Recuerde siempre que esta fórmula solo procede si $\theta$ está en radianes).

Utilizar la velocidad lineal y angular para describir el movimiento en una trayectoria circular

Además de calcular el área de un sector, podemos utilizar los ángulos para describir la velocidad de un objeto en movimiento. Un objeto que viaja en una trayectoria circular tiene dos tipos de velocidad. La  **velocidad lineal** es la velocidad a lo largo de una trayectoria recta y se determina por la distancia que recorre (su desplazamiento) en un intervalo determinado. Por ejemplo, si una rueda con un radio de 5 pulgadas gira una vez por segundo, un punto en el borde de la rueda se mueve una distancia igual a la circunferencia, o $10\pi$ pulgadas, cada segundo. Así que la velocidad lineal del punto es $10\pi$ in/s. La ecuación de la velocidad lineal es la siguiente, donde $v$ es la velocidad lineal, $s$ es el desplazamiento, y $t$ es el tiempo.

Círculo unitario: funciones seno y coseno

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Hallar los valores de la función de seno y coseno de y ${60°}^{}\text{o}\left(\frac{\pi }{3}\right).$
* Identificar el dominio y el rango de las funciones seno y coseno.
* Utilizar los ángulos de referencia para evaluar las funciones trigonométricas.

Hallar los valores de la función para el seno y el coseno

Para definir nuestras funciones trigonométricas, empezamos por dibujar un círculo unitario, un círculo centrado en el origen con radio 1, como se muestra en la [link]. El ángulo (en radianes) que $t$ interseca forma un arco de longitud $s.$ Si utilizamos la fórmula $s=rt,$ y en el entendido de que $r=1,$ vemos que, para un círculo unitario, $s=t.$

Hallar el seno y el coseno de los ángulos especiales

Ya hemos aprendido algunas propiedades de los ángulos especiales, tales como la conversión de radianes a grados. También podemos calcular el seno y el coseno de los ángulos especiales con la identidad pitagórica y nuestro conocimiento acerca de los triángulos.

Identificar el dominio y rango de las funciones seno y coseno

Ahora que podemos hallar el seno y el coseno de un ángulo, tenemos que hablar del dominio y el rango. ¿Cuál es el dominio de las funciones seno y coseno? Es decir, ¿cuáles son los números mínimos y máximos que pueden ser entradas de las funciones? Debido a que los ángulos menores que 0 y los mayores que $2\pi$ pueden seguir graficándose en el círculo unitario y tener valores reales de $x,y,$ y $r,$ no hay límite inferior o superior a los ángulos que pueden introducirse en las funciones de seno y coseno. La entrada de las funciones de seno y coseno es la rotación desde el eje positivo *x*, y puede ser cualquier número real.

Hallar ángulos de referencia

Hemos hablado acerca de hallar el seno y el coseno de los ángulos en el primer cuadrante, pero ¿qué pasa si nuestro ángulo está en otro cuadrante? Para cualquier ángulo dado en el primer cuadrante, hay un ángulo en el segundo cuadrante con el mismo valor del seno. Dado que el valor del seno es la coordenada de la *y* en el círculo unitario, el otro ángulo con el mismo seno compartirá el mismo valor *y*, pero tendrá el valor *x* opuesto. Por lo tanto, su valor del coseno será el opuesto al valor del coseno del primer ángulo.

Usar ángulos de referencia

Ahora tomemos un momento para reconsiderar la rueda de la fortuna que se mencionó al principio de esta sección. Supongamos que un pasajero toma una fotografía mientras la rueda de la fortuna está detenida a veinte pies sobre el nivel del suelo. A continuación, el pasajero rota tres cuartas partes del círculo. ¿Cuál es la nueva elevación del pasajero? Para responder a preguntas como esta, tenemos que evaluar las funciones seno o coseno en ángulos mayores de 90 grados o en un ángulo negativo. Los ángulos de referencia permiten evaluar las funciones trigonométricas para ángulos fuera del primer cuadrante. También se utilizan para hallar las coordenadas $\left(x,y\right)$ para esos ángulos. Utilizaremos el ángulo de referencia del ángulo de rotación combinado con el cuadrante en el que se encuentra el lado terminal del ángulo.

Las otras funciones trigonométricas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Hallar los valores exactos de las funciones trigonométricas secante, cosecante, tangente y cotangente de $\frac{\pi }{3},$ $\frac{\pi }{4},$ y $\frac{\pi }{6}.$
* Utilizar los ángulos de referencia para evaluar las funciones trigonométricas secante, cosecante, tangente y cotangente.
* Utilizar las propiedades de las funciones trigonométricas pares e impares.
* Reconocer y utilizar las identidades fundamentales.
* Evaluar funciones trigonométricas con la calculadora.

Hallar los valores exactos de las funciones trigonométricas secante, cosecante, tangente y cotangente

Para definir el resto de las funciones, volveremos a dibujar un círculo unitario con un punto $\left(x,y\right)$ correspondiente a un ángulo de $t,$ como se muestra en la [link]. Al igual que con el seno y el coseno, podemos utilizar las coordenadas $\left(x,y\right)$ para hallar las otras funciones.

Usar ángulos de referencia para evaluar la tangente, la secante, la cosecante y la cotangente

Podemos evaluar funciones trigonométricas de ángulos fuera del primer cuadrante utilizando ángulos de referencia, como ya lo hemos hecho con las funciones seno y coseno. El procedimiento es el mismo: Halle el ángulo de referencia formado por el lado terminal del ángulo dado con el eje horizontal. Los valores de la función trigonométrica para el ángulo original serán los mismos que los del ángulo de referencia, excepto el signo positivo o negativo, que viene determinado por los valores de *x* y de *y* en el cuadrante original. La [link] muestra qué funciones son positivas en qué cuadrante.

Usar funciones trigonométricas pares e impares

Para utilizar libremente nuestras seis funciones trigonométricas con entradas de ángulos positivos y negativos, debemos examinar cómo trata cada función una entrada negativa. Resulta que hay una diferencia importante entre las funciones en este respecto.

Reconocer y utilizar las identidades fundamentales

Hemos explorado una serie de propiedades de las funciones trigonométricas. Ahora, podemos llevar las relaciones un paso más allá y derivar algunas identidades fundamentales. Las identidades son enunciados verdaderos para todos los valores de la entrada sobre la que se definen. Normalmente, las identidades se derivan de definiciones y relaciones que ya conocemos. Por ejemplo, la identidad pitagórica, que aprendimos antes, se deriva del teorema de Pitágoras y de las definiciones de seno y coseno.

Evaluar funciones trigonométricas con la calculadora

Hemos aprendido a evaluar las seis funciones trigonométricas para los ángulos comunes del primer cuadrante y a utilizarlas como ángulos de referencia para los ángulos de otros cuadrantes. Para evaluar las funciones trigonométricas de otros ángulos, utilizamos una calculadora científica o gráfica o un programa informático. Si la calculadora tiene un modo de grados y un modo de radianes, confirme que haya elegido el modo correcto antes de realizar un cálculo.

Trigonometría de triángulos rectángulos

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Utilizar los triángulos rectángulos para evaluar las funciones trigonométricas.
* Hallar los valores de la función para $30°\left(\frac{\pi }{6}\right),$ $45°\left(\frac{\pi }{4}\right),$ y $60°\left(\frac{\pi }{3}\right).$
* Utilizar cofunciones de ángulos complementarios.
* Utilizar las deﬁniciones de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo.
* Utilizar la trigonometría del triángulo rectángulo para resolver problemas aplicados.

Usar triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas

En secciones anteriores, hemos utilizado un círculo unitario para definir las funciones trigonométricas. En esta sección, ampliaremos esas definiciones para aplicarlas a los triángulos rectángulos. El valor de la función seno o coseno de $t$ es su valor en $t$ radianes. En primer lugar, tenemos que crear nuestro triángulo rectángulo. La [link] muestra un punto en un círculo unitario de radio 1. Si dejamos caer un segmento de línea vertical desde el punto $\left(x,y\right)$ al eje *x*, tenemos un triángulo rectángulo cuyo lado vertical tiene longitud $y$ y cuyo lado horizontal tiene una longitud $x.$ Podemos utilizar este triángulo rectángulo para redefinir el seno, el coseno y las demás funciones trigonométricas como cocientes de los lados de un triángulo rectángulo.

Funciones periódicas

Introducción

Gráficos de las funciones seno y coseno

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Graficar variaciones de $y=\text{sen}\left(x\right)$ y de $y=\text{cos}\left(x\right)$.
* Utilizar los desplazamientos de fase de las curvas seno y coseno.

Graficar funciones seno y coseno

Recordemos que las funciones seno y coseno relacionan valores de números reales con las coordenadas de la *x* y de la *y* de un punto en el círculo unitario. ¿Qué aspecto tienen en un gráfico en un plano de coordenadas? Empecemos con la función seno. Podemos crear una tabla de valores y utilizarla para dibujar un gráfico. La [link] enumera algunos de los valores de la función seno en un círculo unitario.

Investigar funciones sinusoidales

Como podemos ver, las funciones seno y coseno tienen un período y un rango regulares. Si observamos las olas del mar o las ondas de un estanque, veremos que se parecen a las funciones seno o coseno. Sin embargo, no son necesariamente idénticas. Algunas son más altas o más largas que otras. Una función con la misma forma general que una función seno o coseno se conoce como función sinusoidal. Las formas generales de las funciones sinusoidales son:

Analizar los gráficos de las variaciones de *y* = sen *x* y de *y* = cos *x*

Ahora, que entendemos cómo $A$ y $B$ se relacionan con la ecuación de forma general para las funciones seno y coseno, exploraremos las variables $C$ y $D.$ Recordemos la forma general:

Graficar las variaciones de *y* = sen *x* y de *y* = cos *x*

A lo largo de esta sección, hemos aprendido sobre los tipos de variaciones de las funciones seno y coseno y hemos utilizado esa información para escribir ecuaciones a partir de gráficos. Ahora podemos utilizar la misma información para crear gráficos a partir de ecuaciones.

Usar las transformaciones de las funciones seno y coseno

Podemos utilizar las transformaciones de las funciones seno y coseno en numerosas aplicaciones. Como se mencionó al principio del capítulo, el movimiento circular puede modelarse con la función seno o coseno.

Gráficos de las otras funciones trigonométricas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Analizar el gráfico de y=tan x.
* Graficar las variaciones de y=tan x.
* Analizar los gráficos de y=sec x y de y=csc x.
* Graficar las variaciones de y=sec x y de y=csc x.
* Analizar el gráfico de y=cot x.
* Graficar las variaciones de y=cot x.

Analizar el gráfico de *y* = tan *x*

Comenzaremos con el gráfico de la función tangente, al trazar los puntos como hicimos con las funciones seno y coseno. Recordemos que

Graficar las variaciones de *y* = tan *x*

Al igual que las funciones seno y coseno, la función tangente puede describirse mediante una ecuación general.

Analizar los gráficos de *y* = sec *x* y de *y* = cscx

La secante fue definida por la identidad recíproca $\mathrm{sec}{\rule{0.3em}{0ex}}x=\frac{1}{\mathrm{cos}{\rule{0.3em}{0ex}}x}.$ Observe que la función es indefinida cuando el coseno es 0, lo que lleva a las asíntotas verticales en $\frac{\pi }{2},$ $\frac{3\pi }{2},$ etc. Ya que el coseno nunca es mayor que 1 en valor absoluto, la secante, al ser el recíproco, nunca será menor que 1 en valor absoluto.

Graficar las variaciones de *y* = sec *x* y de *y=*csc *x*

En las versiones desplazadas, comprimidas o estiradas de las funciones secante y cosecante, podemos seguir métodos semejantes a los que utilizamos para la tangente y la cotangente. Es decir, localizamos las asíntotas verticales y también evaluamos las funciones para algunos puntos (concretamente los extremos locales). Si queremos graficar un solo periodo, podemos elegir el intervalo para el periodo en más de una manera. El procedimiento para la secante es muy similar, porque la identidad de la cofunción significa que el gráfico de la secante es el mismo que el de la cosecante desplazada medio periodo hacia la izquierda. Los desplazamientos verticales y de fase pueden aplicarse a la función cosecante de la misma manera que para la secante y otras funciones. Las ecuaciones se convierten en las siguientes.

Analizar el gráfico de *y* = cot *x*

La última función trigonométrica que debemos explorar es la cotangente. La cotangente se define por la identidad recíproca $\mathrm{cot}{\rule{0.3em}{0ex}}x=\frac{1}{\mathrm{tan}{\rule{0.3em}{0ex}}x}.$ Observe que la función es indefinida cuando la función tangente es 0, lo que lleva a una asíntota vertical en el gráfico en $0,\pi ,$ etc. Dado que la salida de la función tangente abarca números reales, la salida de la función cotangente también abarca números reales.

Graficar las variaciones de *y* = cot *x*

Podemos transformar el gráfico de la cotangente de forma muy parecida a como lo hicimos con la tangente. La ecuación se convierte en la siguiente.

Usar los gráficos de las funciones trigonométricas para resolver problemas del mundo real

Muchas situaciones en el mundo real representan funciones periódicas y pueden modelarse con funciones trigonométricas. Como ejemplo, volvamos a la situación que se describió al inicio de la sección. ¿Ha observado alguna vez el haz formado por la luz giratoria de un camión de bomberos y se ha preguntado por el movimiento del propio haz de luz a través de la pared? El comportamiento periódico de la distancia a la que brilla la luz en función del tiempo es evidente, pero ¿cómo determinamos la distancia? Podemos utilizar la función tangente.

Funciones trigonométricas inversas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Comprender y utilizar las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente.
* Hallar el valor exacto de las expresiones que implican las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente.
* Utilizar una calculadora para evaluar funciones trigonométricas inversas.
* Hallar los valores exactos de las funciones compuestas con funciones trigonométricas inversas.

Comprender y utilizar las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente

Para utilizar las funciones trigonométricas inversas, debemos entender que estas "deshacen" lo que la función trigonométrica original "hace", como ocurre con cualquier otra función y su inversa. En otras palabras, el dominio de la función inversa es el rango de la función original, y viceversa, como se resume en la [link].

Hallar el valor exacto de las expresiones que implican las funciones inversas de seno, coseno y tangente

Ahora que podemos identificar las funciones inversas, aprenderemos a evaluarlas. Para la mayoría de los valores en sus dominios, debemos evaluar las funciones trigonométricas inversas utilizando una calculadora, interpolando a partir de una tabla o utilizando alguna otra técnica numérica. Al igual que hicimos con las funciones trigonométricas originales, podemos dar valores exactos de las funciones inversas cuando utilizamos los ángulos especiales, concretamente $\frac{\pi }{6}$ (30°), $\frac{\pi }{4}$ (45°) y $\frac{\pi }{3}$ (60°), y sus reflexiones en otros cuadrantes.

Usar la calculadora para evaluar funciones trigonométricas inversas

Para evaluar las funciones trigonométricas inversas que no involucran los ángulos especiales antes mencionados, necesitaremos una calculadora u otro tipo de tecnología. La mayoría de las calculadoras científicas y las aplicaciones que las emulan tienen teclas o botones específicos para las funciones inversas de seno, coseno y tangente. Estos pueden marcarse, por ejemplo, **SIN** ${\text{}}^{-1}$, **ARCSIN** o **ASIN**.

Hallar los valores exactos de las funciones compuestas con funciones trigonométricas inversas

A veces necesitamos componer una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa. En estos casos, normalmente podemos hallar valores exactos para las expresiones resultantes sin recurrir a la calculadora. Incluso cuando la entrada de la función compuesta es una variable o una expresión, a menudo podemos hallar una expresión para la salida. Para clasificar los diferentes casos, supongamos que $f\left(x\right)$ y $g\left(x\right)$ son dos funciones trigonométricas diferentes pertenecientes al conjunto $\left\{\mathrm{sen}\left(x\right),\mathrm{cos}\left(x\right),\mathrm{tan}\left(x\right)\right\}$ y supongamos que ${f}^{-1}\left(y\right)$ y ${g}^{-1}\left(y\right)$ son sus inversos.

Identidades trigonométricas y ecuaciones

Introducción

Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Verificar las identidades trigonométricas fundamentales.
* Simplificar expresiones trigonométricas con el álgebra y las identidades.

Verificar las identidades trigonométricas fundamentales

Las identidades nos permiten simplificar expresiones complicadas. Son las herramientas básicas de la trigonometría que se utilizan para resolver ecuaciones trigonométricas, al igual que la factorización, la búsqueda de denominadores comunes y el uso de fórmulas especiales son las herramientas básicas para resolver ecuaciones algebraicas. De hecho, utilizamos constantemente técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. Las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados y la fórmula de los cuadrados perfectos, simplificarán el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas. Ya sabemos que todas las funciones trigonométricas están relacionadas porque todas están definidas en términos del círculo unitario. En consecuencia, cualquier identidad trigonométrica se escribe de muchas maneras.

Usar el álgebra para simplificar expresiones trigonométricas

Hemos visto que el álgebra es muy importante para verificar las identidades trigonométricas, pero es igual de crítica para simplificar las expresiones trigonométricas antes de resolverlas. Estar familiarizado con las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados, la fórmula del cuadrado perfecto o la sustitución, simplificará el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas.

Identidades de suma y resta

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para el coseno.
* Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para el seno.
* Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para la tangente.
* Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para las cofunciones.
* Utilizar las fórmulas de suma y diferencia para verificar las identidades.

Usar las fórmulas de suma y diferencia para el coseno

Hallar el valor exacto del seno, del coseno o de la tangente de un ángulo suele ser más fácil si reescribimos el ángulo dado en términos de dos ángulos que tienen valores trigonométricos conocidos. Podemos utilizar los ángulos especiales, que podemos repasar en el círculo unitario, el cual se muestra en la [link].

Usar las fórmulas de suma y diferencia para el seno

Las fórmulas de suma y diferencia para el seno pueden derivarse de la misma manera que las del coseno, y se parecen a las fórmulas del coseno.

Usar las fórmulas de suma y diferencia para la tangente

Hallar los valores exactos de la tangente de la suma o diferencia de dos ángulos es un poco más complicado. No obstante, cabe recalcar que es cuestión de reconocer el patrón.

Usar las fórmulas de suma y diferencia para las cofunciones

Ahora que hallamos las funciones seno, coseno y tangente para las sumas y diferencias de los ángulos, podemos utilizarlas para hacer lo mismo con sus cofunciones. Recordará de la Trigonometría de triángulos rectángulos que, si la suma de dos ángulos positivos es $\frac{\pi }{2},$ esos dos ángulos son complementarios, y la suma de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo es $\frac{\pi }{2},$ por lo que también son complementos. En la [link], observe que, si uno de los ángulos agudos se marca como $\theta ,$ entonces el otro ángulo agudo debe marcarse $\left(\frac{\pi }{2}-\theta \right).$

Usar las fórmulas de suma y diferencia para verificar las identidades

Verificar una identidad significa demostrar que la ecuación es válida para todos los valores de la variable. Ayuda estar bastante familiarizado con las identidades o tener una lista de ellas accesible mientras se trabajan los problemas. Repasar las reglas generales de Resolución de ecuaciones trigonométricas con identidades simplifica la verificación de identidad.

Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Utilizar las fórmulas del ángulo doble para hallar los valores exactos.
* Utilizar las fórmulas del ángulo doble para verificar las identidades.
* Utilizar fórmulas de reducción para simplificar una expresión.
* Utilizar las fórmulas de ángulo medio para calcular los valores exactos.

Usar fórmulas del ángulo doble para hallar valores exactos

En el apartado anterior, utilizamos fórmulas de suma y resta de funciones trigonométricas. Ahora, repasamos esas mismas fórmulas. Las fórmulas del ángulo doble son un caso especial de las fórmulas de suma, donde $\alpha =\beta .$ La derivación de la fórmula del ángulo doble del seno comienza con la fórmula de la suma,

Usar fórmulas del ángulo doble para verificar identidades

El establecimiento de las identidades mediante las fórmulas del ángulo doble se realiza con los mismos pasos que utilizamos para derivar las fórmulas de suma y la diferencia. Elija el lado más complicado de la ecuación y reescríbala hasta que coincida con el otro lado.

Usar fórmulas de reducción para simplificar una expresión

Las fórmulas del ángulo doble se pueden utilizar para derivar las fórmulas de reducción, las cuales podemos utilizar para reducir la potencia de una expresión dada que implique potencias pares de seno o coseno. Nos permiten reescribir las potencias pares del seno o del coseno en términos de la primera potencia del coseno. Estas fórmulas son especialmente importantes en los cursos de matemáticas de nivel superior, el cálculo en particular. También llamadas fórmulas de reducción de potencia, se incluyen tres identidades que se derivan fácilmente de las fórmulas del ángulo doble.

Usar fórmulas del ángulo medio para calcular valores exactos

El siguiente conjunto de identidades es el de las fórmulas del ángulo mitad, que pueden derivarse de las fórmulas de reducción y que podemos utilizar cuando tenemos un ángulo que sea la mitad de un ángulo especial. Si sustituimos $\theta$ con la $\frac{\alpha }{2},$ la fórmula del ángulo medio para el seno se determina al simplificar la ecuación y resolver para $\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha }{2}\right).$ Observe que las fórmulas del ángulo medio van precedidas del signo $±$ Esto no significa que tanto las expresiones positivas como las negativas son válidas. Más bien, depende del cuadrante en el que $\frac{\alpha }{2}$ termina.

Fórmulas de suma a producto y de producto a suma

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Expresar los productos como sumas.
* Expresar las sumas como productos.

Expresar el producto como suma

Ya hemos aprendido varias fórmulas útiles para expandir o simplificar expresiones trigonométricas, pero a veces puede que tengamos que expresar el producto del coseno y el seno como una suma. Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma, que expresan productos de funciones trigonométricas como sumas. Investiguemos primero la identidad del coseno y luego la del seno.

Expresar suma como producto

Algunos problemas requieren el proceso inverso al que acabamos de utilizar. Las fórmulas de suma a producto nos permiten expresar sumas de seno o coseno como productos. Estas fórmulas pueden derivarse de las identidades de producto a suma. Por ejemplo, con unas cuantas sustituciones, podemos derivar la identidad de suma a producto para el seno. Supongamos que $\frac{u+v}{2}=\alpha$ y $\frac{u-v}{2}=\beta .$

Resolver ecuaciones trigonométricas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Resolver ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno.
* Resolver ecuaciones que impliquen una sola función trigonométrica.
* Resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora.
* Resolver ecuaciones trigonométricas de forma cuadrática.
* Resolver ecuaciones trigonométricas con las identidades fundamentales.
* Resolver ecuaciones trigonométricas con múltiples ángulos.
* Resolver problemas de triángulos rectángulos.

Resolver ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno

Las ecuaciones trigonométricas, como su nombre lo indica, implican funciones trigonométricas. Semejante en muchos aspectos a la resolución de ecuaciones polinómicas o racionales, solo los valores específicos de la variable serán soluciones, si es que las hay. A menudo resolveremos una ecuación trigonométrica en un intervalo determinado. Sin embargo, con la misma frecuencia, se nos pedirá que hallemos todas las soluciones posibles, y como las funciones trigonométricas son periódicas, las soluciones se repiten dentro de cada período. En otras palabras, las ecuaciones trigonométricas pueden tener infinidad de soluciones. Además, al igual que las ecuaciones racionales, hay que tener en cuenta el dominio de la función antes de asumir que cualquier solución sea válida. El periodo de la función seno y de la función coseno es $2\pi .$ En otras palabras, cada $2\pi$ unidades, los valores de *y* se repiten. Si necesitamos hallar todas las soluciones posibles, entonces debemos sumar $2\pi k,$ donde $k$ es un número entero, a la solución inicial. Recordemos la regla que da el formato para enunciar todas las posibles soluciones de una función cuyo periodo es $2\pi :$

Resolver ecuaciones con una sola función trigonométrica

Cuando se nos dan ecuaciones que implican solo una de las seis funciones trigonométricas, sus soluciones implican el uso de técnicas algebraicas y del círculo unitario (vea la [link]). Tenemos que hacer varias consideraciones cuando la ecuación implica funciones trigonométricas distintas del seno y del coseno. Los problemas en los que intervienen los recíprocos de las funciones trigonométricas primarias deben considerarse desde una perspectiva algebraica. En otras palabras, escribiremos la función recíproca, y resolveremos los ángulos por medio de la función. Además, una ecuación en la que interviene la función tangente es ligeramente diferente de la que contiene una función seno o coseno. En primer lugar, como sabemos, el periodo de la tangente es $\pi ,$ no $2\pi .$ Además, el dominio de la tangente son todos los números reales, a excepción de los múltiplos enteros impares de $\frac{\pi }{2},$ a menos que, por supuesto, un problema imponga sus propias restricciones al dominio.

Resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora

No todas las funciones pueden resolverse exactamente solo con el círculo unitario. Cuando tengamos que resolver una ecuación que implique un ángulo, que no sea ninguno de los ángulos especiales, tendremos que recurrir a la calculadora. Asegúrese de que esté configurada en el modo adecuado, ya sea grados o radianes, dependiendo de los criterios del problema dado.

Resolver ecuaciones trigonométricas en forma cuadrática

Resolver una ecuación cuadrática puede ser más complicado, pero una vez más, podemos utilizar el álgebra como lo haríamos para cualquier ecuación cuadrática. Mire el patrón de la ecuación. ¿Hay más de una función trigonométrica en la ecuación o solo hay una? ¿Qué función trigonométrica es al cuadrado? Si solo hay una función representada y uno de los términos está elevado al cuadrado, piense en la forma estándar de una cuadrática. Sustituya la función trigonométrica por una variable como $x$ o $u.$ Si la sustitución hace que la ecuación parezca una ecuación cuadrática, entonces podemos utilizar los mismos métodos para resolver cuadráticas y, por consiguiente, las ecuaciones trigonométricas.

Resolver ecuaciones trigonométricas mediante identidades fundamentales

Aunque se puede utilizar el álgebra para resolver una serie de ecuaciones trigonométricas, también podemos utilizar las identidades fundamentales porque hacen que la resolución de ecuaciones sea más sencilla. Recuerde que las técnicas que utilizamos para resolver no son las mismas que para verificar las identidades. Aquí se aplican las reglas básicas del álgebra, a diferencia de reescribir un lado de la identidad para que coincida con el otro lado. En el siguiente ejemplo, utilizamos dos identidades para simplificar la ecuación.

Resolver ecuaciones trigonométricas con ángulos múltiples

A veces no es posible resolver una ecuación trigonométrica con identidades que tienen un ángulo múltiple, como por ejemplo $\mathrm{sen}\left(2x\right)$ o $\mathrm{cos}\left(3x\right).$ Cuando se enfrente a estas ecuaciones, recuerde que $y=\mathrm{sen}\left(2x\right)$ es una compresión horizontal por un factor de 2 de la función $y=\mathrm{sen}{\rule{0.3em}{0ex}}x.$ En un intervalo de $2\pi ,$ podemos graficar dos periodos de $y=\mathrm{sen}\left(2x\right),$ frente a un ciclo de $y=\mathrm{sen}{\rule{0.3em}{0ex}}x.$ Esta compresión del gráfico nos lleva a pensar que puede haber el doble de intersecciones en *x* o soluciones a $\mathrm{sen}\left(2x\right)=0$ en comparación con $\mathrm{sen}{\rule{0.3em}{0ex}}x=0.$ Esta información nos ayudará a resolver la ecuación.

Resolver problemas de triángulos rectángulos

Ahora podemos utilizar todos los métodos que hemos aprendido para resolver problemas que impliquen la aplicación de las propiedades de los triángulos rectángulos y del teorema de Pitágoras. Comenzamos con el conocido teorema de Pitágoras, ${a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2},$ y modelamos una ecuación que se ajuste a una situación.

Modelado con funciones trigonométricas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Determinar la amplitud y el período de las funciones sinusoidales.
* Modelar ecuaciones y graficar funciones sinusoidales.
* Modelar el comportamiento periódico.
* Modelar las funciones de movimiento armónico.

Determinar la amplitud y el periodo de la función sinusoidal.

Cualquier movimiento que se repita en un tiempo fijo se considera un movimiento periódico y puede modelarse mediante una función sinusoidal. La amplitud de una función sinusoidal es la distancia de la línea media al valor máximo, o de la línea media al valor mínimo. La línea media es el valor promedio. Las funciones sinusoidales oscilan por encima y por debajo de la línea media, son periódicas y repiten los valores en ciclos establecidos. Recuerde a partir de los gráficos de las funciones de seno y coseno que el periodo de las funciones de seno y de coseno es $2\pi .$ En otras palabras, para cualquier valor de $x,$

Hallar ecuaciones y graficar funciones sinusoidales

Un método para graficar las funciones sinusoidales consiste en hallar cinco puntos clave. Estos puntos corresponderán a intervalos de igual longitud que representan $\frac{1}{4}$ del periodo. Los puntos clave indicarán la ubicación de los valores máximos y mínimos. Si no hay desplazamiento vertical, también indicarán las intersecciones en *x*. Por ejemplo, supongamos que queremos graficar la función $y=\mathrm{cos}{\rule{0.3em}{0ex}}\theta .$ Sabemos que el periodo es $2\pi ,$ por lo que hallamos el intervalo entre los puntos clave, de la siguiente manera.

Modelar el comportamiento periódico

Ahora aplicaremos estas ideas a los problemas que impliquen comportamiento periódico.

Modelar las funciones del movimiento armónico

El movimiento armónico es una forma de movimiento periódico, pero han de considerarse ciertos factores para diferenciar estos dos tipos. Mientras las aplicaciones del movimiento periódico en general recorren sus periodos sin interferencia externa, el movimiento armónico exige una fuerza restauradora. Algunos ejemplos del movimiento armónico son los resortes, la fuerza gravitacional y la fuerza magnética.

Otras aplicaciones de la Trigonometría

Introducción

Triángulos no rectángulos: Ley de senos

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Utilizar la ley de senos para resolver triángulos oblicuos.
* Calcular el área de un triángulo oblicuo con la función seno.
* Resolver problemas aplicados con la ley de senos.

Usar la ley de senos para resolver triángulos oblicuos

En cualquier triángulo, podemos trazar una altitud, una línea perpendicular desde un vértice hasta el lado opuesto, para formar dos triángulos rectángulos. Sin embargo, sería preferible tener métodos que podamos aplicar directamente a los triángulos no rectángulos sin tener que crear primero triángulos rectángulos.

Usar la ley de senos para resolver triángulos LLA

Podemos utilizar la ley de senos para resolver cualquier triángulo oblicuo, aunque algunas soluciones pueden no ser sencillas. En algunos casos, más de un triángulo puede satisfacer los criterios dados, lo que describimos como un caso ambiguo. Los triángulos clasificados como LLA, aquellos en los que conocemos las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de los lados dados, pueden dar lugar a una o dos soluciones, o incluso a ninguna solución.

Calcular el área de un triángulo oblicuo mediante la función seno

Ahora que podemos resolver un triángulo para los valores que faltan, podemos utilizar algunos de esos valores y la función seno para calcular el área de un triángulo oblicuo. Recordemos que la fórmula del área de un triángulo viene dada por $\text{Área}=\frac{1}{2}bh,$ donde $b$ es la base y $h$ es la altura. En los triángulos oblicuos, debemos hallar $h$ antes de poder utilizar la fórmula del área. Al observar los dos triángulos en la [link], uno agudo y otro obtuso, podemos dejar caer una perpendicular que represente la altura y luego aplicar la propiedad trigonométrica $\mathrm{sen}{\rule{0.3em}{0ex}}\alpha =\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$ para escribir una ecuación del área en triángulos oblicuos. En el triángulo agudo, tenemos $\mathrm{sen}{\rule{0.3em}{0ex}}\alpha =\frac{h}{c}$ o $c\mathrm{sen}{\rule{0.3em}{0ex}}\alpha =h.$ Sin embargo, en el triángulo obtuso, dejamos caer la perpendicular fuera del triángulo y extendemos la base $b$ para formar un triángulo rectángulo. El ángulo utilizado en el cálculo es ${\alpha }^{\prime },$ o $180-\alpha .$

Resolver problemas aplicados mediante la ley de senos

Cuanto más estudiamos las aplicaciones trigonométricas, más descubrimos que son innumerables. Algunas son situaciones planas, tipo diagrama, pero muchas aplicaciones de cálculo, ingeniería y física implican tres dimensiones y movimiento.

Triángulos no rectángulos: Ley de cosenos

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Utilizar la ley de cosenos para resolver triángulos oblicuos.
* Resolver problemas aplicados con la ley de cosenos.
* Utilizar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo.

Usar la ley de cosenos para resolver triángulos oblicuos

La herramienta que necesitamos para resolver el problema de la distancia del barco al puerto es la **ley de cosenos**, que define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes laterales en los triángulos oblicuos. Tres fórmulas componen la ley de cosenos. A primera vista, las fórmulas pueden parecer complicadas porque incluyen muchas variables. Sin embargo, una vez que se entiende el patrón, es más fácil trabajar con la ley de cosenos que con la mayoría de las fórmulas a este nivel matemático.

Resolver problemas aplicados mediante la ley de cosenos

Así como la ley de senos proporcionó las ecuaciones apropiadas para resolver una serie de aplicaciones, la ley de cosenos se aplica a las situaciones en las que los datos dados se ajustan a los modelos del coseno. Podemos verlos en los campos de la navegación, la agrimensura, la astronomía y la geometría, por nombrar tan solo algunos.

Usar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo

Ya hemos aprendido a calcular el área de un triángulo oblicuo cuando conocemos dos lados y un ángulo. También conocemos la fórmula para hallar el área de un triángulo mediante la base y la altura. Sin embargo, cuando conocemos los tres lados, podemos utilizar la fórmula de Herón en lugar de calcular la altura. Herón de Alejandría fue un geómetra que vivió durante el siglo I d.C. Descubrió una fórmula para hallar el área de triángulos oblicuos cuando se conocen tres lados.

Coordenadas polares

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Trazar puntos con las coordenadas polares.
* Convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.
* Convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.
* Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares.
* Identificar y graficar ecuaciones polares al convertirlas en ecuaciones rectangulares.

Trazar puntos mediante coordenadas polares

Cuando pensamos en trazar puntos en el plano, pensamos en coordenadas rectangulares $\left(x,y\right)$ en el plano de coordenadas cartesianas. Sin embargo, hay otras formas de escribir un par de coordenadas y otros tipos de sistemas de cuadrícula. En esta sección, introducimos a las coordenadas polares, que son puntos marcados $\left(r,\theta \right)$ y trazados en una cuadrícula polar. La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo o el origen del plano de coordenadas.

Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares

Cuando se da un conjunto de coordenadas polares, quizá tengamos que convertirlas en coordenadas rectangulares. Para ello, podemos recordar las relaciones que existen entre las variables $x,{\rule{0.5em}{0ex}}y,{\rule{0.5em}{0ex}}r,$ y $\theta .$

Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares

Para convertir las coordenadas rectangulares en coordenadas polares, utilizaremos otras dos relaciones conocidas. Con esta conversión, sin embargo, tenemos que ser conscientes de que un conjunto de coordenadas rectangulares dará lugar a más de un punto polar.

Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares

Ahora podemos convertir las coordenadas entre la forma polar y la rectangular. La conversión de ecuaciones puede ser más difícil, pero valdría la pena convertir entre las dos formas. Debido a que hay una serie de ecuaciones polares que no pueden expresarse claramente en forma cartesiana, y viceversa, podemos utilizar los mismos procedimientos que utilizamos para convertir puntos entre los sistemas de coordenadas. A continuación, podemos utilizar una calculadora gráfica para representar la forma rectangular o la forma polar de la ecuación.

Identificar y graficar ecuaciones polares al convertirlas en ecuaciones rectangulares

Hemos aprendido a convertir coordenadas rectangulares en coordenadas polares, y hemos visto que los puntos son efectivamente los mismos. También hemos transformado ecuaciones polares en ecuaciones rectangulares y viceversa. Ahora demostraremos que sus gráficos, aunque dibujados en cuadrículas diferentes, son idénticos.

Coordenadas polares: Gráficos

Abstract:
En esta sección podrá:

* Comprobar la simetría de las ecuaciones polares.
* Representar gráficamente ecuaciones polares mediante trazado de puntos.

Probar la simetría de las ecuaciones polares

Al igual que una ecuación rectangular como $y={x}^{2}$ describe la relación entre $x$ y $y$ en una cuadrícula cartesiana, una **ecuación polar** describe una relación entre $r$ y $\theta$ en una cuadrícula polar. Recordemos que el par de coordenadas $\left(r,\theta \right)$ indica que nos movemos en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje polar (eje *x* positivo) en un ángulo de $\theta ,$ y extiende un rayo desde el polo (origen) de $r$ unidades en la dirección de $\theta .$ Todos los puntos que satisfacen la ecuación polar están en el gráfico.

Representar gráficamente ecuaciones polares mediante trazado de puntos

Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas rectangulares construimos una tabla de valores de $x$ y $y$. Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas polares construimos una tabla de valores $\theta$ y $r$. Introducimos valores de $\theta$ en una ecuación polar y calculamos $r.$ Sin embargo, al usar las propiedades de simetría y calcular los valores clave de $\theta$ y $r$ significa que se necesitarán menos cálculos.

Resumen de curvas

En esta sección hemos explorado una serie de curvas polares aparentemente complejas. La [link] y la [link] resumen los gráficos y ecuaciones de cada una de estas curvas.

Forma polar de los números complejos

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Graficar números complejos en el plano complejo.
* Hallar el valor absoluto de un número complejo.
* Escribir números complejos en forma polar.
* Convertir un número complejo de forma polar a rectangular.
* Hallar productos de números complejos en forma polar.
* Hallar cocientes de números complejos en forma polar.
* Hallar potencias de números complejos en forma polar.
* Hallar raíces de números complejos en forma polar.

Graficar números complejos en el plano complejo.

Trazar un número complejo $a+bi$ es similar a trazar un número real, excepto que el eje horizontal representa la parte real del número, $a,$ y el eje vertical representa la parte imaginaria del número, $bi.$

Hallar el valor absoluto de un número complejo

El primer paso para trabajar con un número complejo en forma polar es calcular el valor absoluto. El valor absoluto de un número complejo es igual a su magnitud, o $|z|.$ Mide la distancia del origen a un punto en el plano. Por ejemplo, el gráfico de $c=2+4i,$ en la [link], muestra $|z|.$

Escribir números complejos en forma polar

La forma polar de un número complejo expresa un número en términos de un ángulo $\theta$ y su distancia desde el origen $r.$ Dado un número complejo en forma rectangular expresado como $c=x+yi,$ utilizamos las mismas fórmulas de conversión que para escribir el número en forma trigonométrica:

Conversión de un número complejo de la forma polar a la rectangular

Convertir un número complejo de la forma polar a la rectangular es cuestión de evaluar lo que se da y utilizar la propiedad distributiva. En otras palabras, dado que $c=r\left(\mathrm{cos}{\rule{0.3em}{0ex}}\theta +i\mathrm{sen}{\rule{0.3em}{0ex}}\theta \right),$ primero evalúe las funciones trigonométricas $\mathrm{cos}{\rule{0.3em}{0ex}}\theta$ y $\mathrm{sen}{\rule{0.3em}{0ex}}\theta .$ Entonces, multiplique por $r.$

Hallar productos de números complejos en forma polar

Ahora, que podemos convertir los números complejos a la forma polar, aprenderemos a realizar operaciones con los números complejos en forma polar. En el resto de esta sección trabajaremos con fórmulas desarrolladas por el matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754). Estas fórmulas han hecho que trabajar con productos, cocientes, potencias y raíces de números complejos sea mucho más sencillo de lo que parece. Las reglas se basan en la multiplicación de los módulos y la suma de los argumentos.

Hallar cocientes de números complejos en forma polar

El cociente de dos números complejos en forma polar es el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos argumentos.

Hallar potencias de números complejos en forma polar

El cálculo de potencias de números complejos se simplifica enormemente con el teorema de Moivre. Establece que, para un número entero positivo $n,{c}^{n}$ se calcula elevando el módulo a $\text{enésimo}$ potencia y multiplicando el argumento por $n.$ Es el método estándar utilizado en las matemáticas modernas.

Hallar raíces de números complejos en forma polar

Para hallar la raíz *enésima* de un número complejo en forma polar, usamos el $n\text{enésimo}$ o teorema de Moivre y se eleva el número complejo a una potencia con exponente racional. Hay varias maneras de representar una fórmula para hallar ${\rule{0.3em}{0ex}}\mathrm{raíces}\text{enésimas}$ de números complejos en forma polar.

Ecuaciones paramétricas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Parametrizar una curva.
* Eliminar el parámetro.
* Hallar una ecuación rectangular para una curva definida paramétricamente.
* Hallar ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares.

Parametrizar una curva

Cuando un objeto se desplaza a lo largo de una curva —o trayectoria curvilínea— en una dirección y un tiempo determinados, la posición del objeto en el plano viene dada por la coordenada *x* y la coordenada *y*. Sin embargo, ambos $x$ y $y$ varían con el tiempo y, por tanto, son funciones del tiempo. Por este motivo, añadimos otra variable, el parámetro, del que tanto $x$ y $y$ son funciones dependientes. En el ejemplo de principio de la sección, el parámetro es tiempo, $t.$ La intersección en $x$ posición de la luna en el tiempo, $t,$ se representa como la función $x\left(t\right),$ y la intersección $y$ posición de la luna en el tiempo, $t,$ se representa como la función $y\left(t\right).$ Juntos, $x\left(t\right)$ y $y\left(t\right)$ se llaman ecuaciones paramétricas y generan un par ordenado $\left(x\left(t\right),{\rule{0.3em}{0ex}}y\left(t\right)\right).$ Las ecuaciones paramétricas describen principalmente el movimiento y la dirección.

Eliminar el parámetro

En muchos casos, podemos tener un par de ecuaciones paramétricas, pero vemos que es más sencillo dibujar una curva si la ecuación involucra solo dos variables, como por ejemplo $x$ y $y.$ La eliminación del parámetro es un método que puede hacer más fácil hacer el gráfico de algunas curvas. Sin embargo, si se trata de la cartografía de la ecuación en función del tiempo, será necesario indicar también la orientación de la curva. Existen varios métodos para eliminar el parámetro $t$ a partir de un conjunto de ecuaciones paramétricas; no todos los métodos funcionan para cada tipo de ecuación. Aquí revisaremos los métodos para los tipos de ecuaciones más comunes.

Hallar ecuaciones cartesianas de curvas definidas paramétricamente

Cuando nos dan un conjunto de ecuaciones paramétricas y necesitamos hallar una ecuación cartesiana equivalente, estamos esencialmente “eliminando el parámetro”. Sin embargo, hay varios métodos que podemos utilizar para reescribir un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana. El método más sencillo es establecer una ecuación igual al parámetro, como por ejemplo $x\left(t\right)=t.$ En este caso, $y\left(t\right)$ puede ser cualquier expresión. Por ejemplo, considere el siguiente par de ecuaciones.

Hallar ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares

Aunque acabamos de demostrar que solo hay una forma de interpretar un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación rectangular, hay varias formas de interpretar una ecuación rectangular como un conjunto de ecuaciones paramétricas. Cualquier estrategia que utilicemos para hallar las ecuaciones paramétricas es válida si produce una equivalencia. En otras palabras, si elegimos una expresión para representar $x,$ y luego sustituirlo en la ecuación $y$, y produce el mismo gráfico sobre el mismo dominio que la ecuación rectangular, entonces el conjunto de ecuaciones paramétricas es válido. Si el dominio se limita en el conjunto de ecuaciones paramétricas y la función no permite los mismos valores para $x$ como el dominio de la ecuación rectangular, entonces los gráficos serán diferentes.

Ecuaciones paramétricas: Gráficos

Abstract:
En esta sección podrá:

* Representar gráficamente curvas planas descritas por ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos.
* Graficar ecuaciones paramétricas.

Graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos

En vez de una calculadora gráfica o un programa de gráficos de computadora, el método estándar es trazar puntos para representar el gráfico de una ecuación. Siempre que seamos cuidadosos al calcular los valores, el trazado de puntos es muy fiable.

Aplicaciones de las ecuaciones paramétricas

Muchas de las ventajas de las ecuaciones paramétricas se hacen evidentes cuando se aplican a resolver problemas del mundo real. Aunque las ecuaciones rectangulares en *x* y *y* ofrecen una imagen global de la trayectoria de un objeto, no revelan la posición de un objeto en un momento determinado. Las ecuaciones paramétricas, sin embargo, ilustran cómo los valores de *x* y *y* cambian en función de *t*, como la ubicación de un objeto en movimiento en un momento determinado.

Vectores

Abstract:
En esta sección podrá:

* Ver los vectores geométricamente.
* Hallar la magnitud y la dirección.
* Realizar suma de vectores y multiplicación escalar.
* Hallar la forma en componentes de un vector.
* Hallar el vector unitario en la dirección de $v$.
* Realizar operaciones con vectores en términos de $i$ y $j$.
* Calcular el producto punto de dos vectores.

Visión geométrica de los vectores

Un vector es una cantidad específica dibujada como un segmento de línea con una punta de flecha en un extremo. Tiene un punto inicial, donde comienza, y un punto terminal, donde termina. El vector se define por su magnitud, o la longitud de la línea, y su dirección, indicada por una punta de flecha en el punto terminal. Por lo tanto, el vector es un segmento rectilíneo dirigido. Hay varios símbolos que distinguen los vectores de otras cantidades:

Hallar la magnitud y la dirección

Para trabajar con un vector, tenemos que ser capaces de hallar su magnitud y su dirección. Hallamos su magnitud mediante el teorema de Pitágoras o la fórmula de distancia, y hallamos su dirección mediante la función tangente inversa.

Realizar suma de vectores y multiplicación escalar

Ahora que entendemos las propiedades de los vectores, podemos realizar operaciones con ellos. Aunque es conveniente pensar en el vector  **$u$**  $=〈x,y〉$ como una flecha o segmento rectilíneo dirigido desde el origen hasta el punto $\left(x,y\right),$ los vectores se sitúan en cualquier lugar del plano. La suma de dos vectores ***u*** y ***v***, o suma de vectores, produce un tercer vector ***u***+ ***v***, el vector resultante.

Multiplicar por un escalar

Mientras que la suma y la resta de vectores nos da un nuevo vector con una magnitud y una dirección diferentes, el proceso de multiplicar un vector por un escalar, una constante, solo cambia la magnitud del vector o la longitud de la línea. La multiplicación escalar no tiene efecto en la dirección a menos que el escalar sea negativo, en cuyo caso la dirección del vector resultante es opuesta a la del vector original.

Hallar la forma en componentes

En algunas aplicaciones en las que intervienen vectores, nos resulta útil poder descomponer un vector en sus componentes. Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal es la dirección $x$ y el componente vertical es la dirección $y$. Por ejemplo, podemos ver en el gráfico de la [link] que el vector de posición $〈2,3〉$ resulta de sumar los vectores ***v***1 y ***v***2. Tenemos ***v***1 con punto inicial $\left(0,0\right)$ y punto terminal $\left(2,0\right).$

Hallar el vector unitario en la dirección de *v*

Además de hallar los componentes de un vector, también sirve para resolver problemas hallar un vector en la misma dirección que el vector dado, pero de magnitud 1. Llamamos vector unitario a un vector con una magnitud de 1. Así podemos conservar la dirección del vector original y simplificar los cálculos.

Realizar operaciones con vectores en términos de *i* y *j*

Hasta ahora hemos investigado los fundamentos de los vectores: magnitud y dirección, suma y resta de vectores, multiplicación escalar, las componentes de los vectores y la representación de los vectores geométricamente. Ahora que estamos familiarizados con las estrategias generales utilizadas en el trabajo con vectores, representaremos los vectores en coordenadas rectangulares en términos de ***i*** y ***j***.

Cuando los vectores se escriben en términos de **$i$** y **$j,$** podemos realizar sumas, restas y multiplicaciones escalares con operaciones sobre los componentes correspondientes.

Calcular la forma en componentes de un vector: Dirección

Hemos visto cómo dibujar vectores según sus puntos iniciales y terminales y cómo hallar el vector de posición. También hemos examinado la notación para vectores dibujados específicamente en el plano de coordenadas cartesianas utilizando $i{\rule{0.3em}{0ex}}\text{y}{\rule{0.3em}{0ex}}j.$ Para cualquiera de estos vectores, podemos calcular la magnitud. Ahora queremos combinar los puntos clave y profundizar en las ideas de magnitud y dirección.

Calcular el producto punto de dos vectores

Como ya hemos comentado en esta sección, la multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por un escalar, y el resultado es un vector. Como hemos visto, multiplicar un vector por un número se llama multiplicación escalar. Si multiplicamos un vector por otro vector, existen dos posibilidades: el *producto punto* y el *producto cruzado*. Aquí solo examinaremos el producto punto; es posible que halle el producto cruzado en cursos de matemáticas más avanzados.

Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Introducción

Sistemas de ecuaciones lineales: Dos variables

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Resolver sistemas de ecuaciones mediante gráficos.
* Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución.
* Resolver sistemas de ecuaciones por adición.
* Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones que contengan dos variables.
* Expresar la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene dos variables.

Introducción a los sistemas de ecuaciones

Para investigar situaciones como la del fabricante de patinetas, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para dar con la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos hallar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber, al menos, tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.

Resolver sistemas de ecuaciones mediante un gráfico

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para un sistema de ecuaciones lineales en dos variables, podemos determinar tanto el tipo de sistema como la solución al graficar el sistema de ecuaciones en el mismo conjunto de ejes.

Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución

Resolver un sistema lineal de dos variables mediante un gráfico funciona cuando la solución está formada por valores enteros. Sin embargo, si nuestra solución contiene decimales o fracciones, no es el método más preciso. Consideraremos dos métodos más para resolver un sistema de ecuaciones lineales que son más precisos que el gráfico. Uno de estos métodos es la resolución de un sistema de ecuaciones por el método de método de sustitución, en el que resolvemos una de las ecuaciones para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver la segunda variable. Recordemos que solo podemos resolver para una variable a la vez, que es la razón por la que el método de sustitución es valioso y práctico.

Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables por el método de la suma

Un tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de adición. En este método, sumamos dos términos con la misma variable, pero con coeficientes opuestos, para que la suma sea cero. Por supuesto, no todos los sistemas se establecen con los dos términos de una variable con coeficientes opuestos. A menudo, debemos ajustar una o las dos ecuaciones mediante multiplicación para que una de las variables se elimine con adición.

Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen dos variables

Ahora que tenemos varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, podemos usar los métodos para identificar sistemas inconsistentes. Recordemos que un sistema inconsistente está formado por líneas paralelas que tienen la misma pendiente, pero diferente intersección $y$. Nunca se intersecarán. Al buscar una solución a un sistema inconsistente, llegaremos a un enunciado falso, como $12=0,$

Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene dos variables

Recordemos que un sistema dependiente de ecuaciones en dos variables es un sistema en el cual las dos ecuaciones representan la misma línea. Los sistemas dependientes tienen un número infinito de soluciones porque todos los puntos de una recta están también en la otra. Después de utilizar la sustitución o la adición, la ecuación resultante será una identidad, como $0=0,$

Usar sistemas de ecuaciones para investigar ganancias

Con base en lo que hemos aprendido sobre los sistemas de ecuaciones, podemos volver al problema de fabricación de patinetas del principio de la sección. La función de ingresos del fabricante de patinetas es la función utilizada para calcular la cantidad de dinero que entra al negocio. Se puede representar mediante la ecuación $R=xp,$ donde $x=$ cantidad y $p=$ precio. La función de ingresos se muestra en naranja en la [link].

Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Resolver sistemas de tres ecuaciones de tres variables.
* Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones que contengan tres variables.
* Expresar la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene tres variables.

Resolución de sistemas de tres ecuaciones de tres variables

Para resolver sistemas de ecuaciones de tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación de Gauss-Jordan, que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Aunque no existe ningún orden definitivo para realizar las operaciones, sí hay directrices específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden realizar. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. La meta es eliminar una variable a la vez para lograr la forma triangular superior, la forma ideal para un sistema de tres por tres porque permite volver a sustituir de forma directa para hallar una solución $\left(x,y,z\right),$ lo cual llamamos un triple ordenado. Un sistema en forma de triángulo superior tiene el siguiente aspecto:

Identificación de sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen tres variables

Al igual que con los sistemas de ecuaciones en dos variables, podemos encontrarnos con un sistema de ecuaciones inconsistente en tres variables, lo que significa que no tiene una solución que satisfaga las tres ecuaciones. Las ecuaciones pueden representar tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección, o tres planos que se cruzan con los otros dos pero no en el mismo lugar. El proceso de eliminación dará como resultado un enunciado falso, como por ejemplo $3=7$ o alguna otra contradicción.

Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene tres variables

Sabemos por haber trabajado con sistemas de ecuaciones con dos variables que un sistema de ecuaciones dependiente tiene un número infinito de soluciones. Lo mismo ocurre con los sistemas dependientes de ecuaciones de tres variables. De varias situaciones puede resultar un número infinito de soluciones. Los tres planos pueden ser iguales, de modo que la solución de una ecuación será la solución de las otras dos ecuaciones. Las tres ecuaciones podrían ser diferentes, pero se intersecan en una línea, lo cual tiene infinitas soluciones. O bien, dos de las ecuaciones podrían ser iguales e intersecar a la tercera en una línea.

Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Resolver un sistema de ecuaciones no lineales utilizando la sustitución.
* Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación.
* Graficar una inecuación no lineal.
* Graficar un sistema de inecuaciones no lineales.

Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución

Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una ecuación que no es lineal. Recordemos que la ecuación lineal puede tomar la forma $Ax+By+C=0,$ Cualquier ecuación que no se pueda escribir en esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación

Hemos visto que la sustitución suele ser el método preferido cuando un sistema de ecuaciones incluye una ecuación lineal y una ecuación no lineal. Sin embargo, cuando las dos ecuaciones del sistema tienen variables semejantes de segundo grado, resolverlas mediante la eliminación por adición es más fácil que la sustitución. En general, la eliminación es un método mucho más sencillo cuando el sistema implica solo dos ecuaciones en dos variables (un sistema de dos por dos), en lugar de un sistema de tres por tres, ya que hay menos pasos. A modo de ejemplo, investigaremos los posibles tipos de soluciones al resolver un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una elipse.

Graficar una inecuación no lineal

Todas las ecuaciones de los sistemas que hemos hallado hasta ahora han implicado igualdades, pero también podemos hallar sistemas que impliquen inecuaciones. Ya hemos aprendido a graficar inecuaciones lineales al graficar la ecuación correspondiente y luego sombrear la región representada por el símbolo de inecuación. Ahora, seguiremos pasos similares para graficar una inecuación no lineal para que aprendamos a resolver sistemas de inecuaciones no lineales. Una inecuación no lineal es una inecuación que contiene una expresión no lineal. Graficar una inecuación no lineal es muy parecido a graficar una inecuación lineal.

Graficar un sistema de inecuaciones no lineales

Ahora, que hemos aprendido a graficar desigualdades no lineales, podemos aprender a graficar sistemas de desigualdades no lineales. Un sistema de inecuaciones no lineales es un sistema de dos o más inecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una inecuación que no es lineal. Graficar un sistema de inecuaciones no lineales es similar a graficar un sistema de inecuaciones lineales. La diferencia es que nuestro gráfico puede dar lugar a más regiones sombreadas que representan una solución que hallamos en un sistema de inecuaciones lineales. La solución de un sistema de inecuaciones no lineales es la región del gráfico en la que se superponen las regiones sombreadas del gráfico de cada inecuación, o en la que las regiones se intersecan, llamada región factible.

Fracciones parciales

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Descomponer $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$, donde $Q\left(x\right)$ solo tiene factores lineales no repetidos.
* Descomponer $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$, donde $Q\left(x\right)$ tiene factores lineales repetidos.
* Descomponer $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$, donde $Q\left(x\right)$ tiene un factor cuadrático irreducible no repetido.
* Descomponer $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$, donde $Q\left(x\right)$ tiene un factor cuadrático irreducible repetido.

Descomponer ${\rule{0.5em}{0ex}}\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}{\rule{0.5em}{0ex}}$ donde *Q(x)* solo tiene factores lineales no repetidos

Recuerde el álgebra relativa a la suma y la resta de expresiones racionales. Estas operaciones dependen de hallar un denominador común para que podamos escribir la suma o la diferencia como una única expresión racional simplificada. En esta sección, veremos la descomposición parcial de fracciones, que es el deshecho del procedimiento para sumar o restar expresiones racionales. Es decir, se trata de un retorno de la única expresión racional simplificada a las expresiones originales, llamada la fracción parcial.

Descomposición de ${\rule{0.5em}{0ex}}\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}{\rule{0.5em}{0ex}}$ donde *Q(x)* tiene factores lineales repetidos

Algunas fracciones con las que nos podemos encontrar son casos especiales que podemos descomponer en fracciones parciales con factores lineales repetidos. Debemos recordar que contabilizamos los factores repetidos escribiendo cada factor en potencias crecientes.

Descomposición de ${\rule{0.5em}{0ex}}\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)},{\rule{0.5em}{0ex}}$ donde *Q(x)* tiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Hasta ahora, hemos realizado la descomposición parcial de fracciones con expresiones que han tenido factores lineales en el denominador, y hemos aplicado numeradores ${\rule{0.5em}{0ex}}A,B,{\rule{0.5em}{0ex}}$ o ${\rule{0.5em}{0ex}}C{\rule{0.5em}{0ex}}$ que representan las constantes. Ahora veremos un ejemplo en el que uno de los factores del denominador es una expresión cuadrática que no se factoriza. Esto se denomina factor cuadrático irreducible. En casos como este, utilizamos un numerador lineal como ${\rule{0.5em}{0ex}}Ax+B,Bx+C,{\rule{0.5em}{0ex}}$ etc.

Descomposición de ${\rule{0.5em}{0ex}}\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}{\rule{0.5em}{0ex}}$ cuando *Q(x)* tiene un factor cuadrático irreductible repetido

Ahora que podemos descomponer una expresión racional simplificada con un factor cuadrático irreducible, aprenderemos a hacer la descomposición parcial de fracciones cuando la expresión racional simplificada tiene factores cuadráticos irreducibles repetidos. La descomposición consistirá en fracciones parciales con numeradores lineales sobre cada factor cuadrático irreducible representado en potencias crecientes.

Matrices y operaciones con matrices

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Hallar la suma y la diferencia de dos matrices.
* Hallar múltiplos escalares de una matriz.
* Hallar la multiplicación de dos matrices.

Hallar la suma y la diferencia de dos matrices

Para resolver un problema como el descrito de los equipos de fútbol, podemos utilizar una matriz, que es un conjunto rectangular de números. La fila de una matriz es un conjunto de números alineados horizontalmente. La columna de una matriz es un conjunto de números alineados verticalmente. Cada número es una entrada, a veces llamado elemento, de la matriz. Las matrices (en plural) se encierran en [ ] o ( ), y suelen nombrarse con letras mayúsculas. Por ejemplo, tres matrices denominadas $A,B,$ y $C$ se muestran a continuación.

Hallar múltiplos escalares de una matriz

Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante denominada escalar. Recordemos que un escalar es una cantidad de números reales que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de una multiplicación escalar.

Calcular la multiplicación de dos matrices

Además de multiplicar una matriz por un escalar, podemos multiplicar dos matrices. Calcular la multiplicación de dos matrices solo es posible cuando las dimensiones internas son iguales, es decir, cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda. Si los valores de $A$ es una matriz $\text{}m×r$ y $B$ es una matriz $\text{}r×n$, entonces la matriz producto $AB$ es una matriz $\text{}m×n$. Por ejemplo, el producto $AB$ es posible porque el número de columnas en $A$ es el mismo que el número de filas en $B.$ Si las dimensiones interiores no coinciden, el producto no está definido.

Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones.
* Escribir el sistema de ecuaciones de una matriz aumentada.
* Realizar operaciones de fila en una matriz.
* Resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando matrices.

Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones

Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma de matriz, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, y estas se convierten en las entradas de la matriz. Utilizamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, sustituyendo esencialmente los signos de igualdad. Cuando un sistema se escribe de esta forma, lo llamamos matriz aumentada.

Escribir un sistema de ecuaciones a partir de una matriz aumentada

Podemos utilizar las matrices aumentadas para ayudarnos a resolver sistemas de ecuaciones porque simplifican las operaciones cuando los sistemas no están condicionados por las variables. Sin embargo, es importante saber cómo pasar de un formato a otro para que la búsqueda de soluciones sea más fácil e intuitiva. Aquí, utilizaremos la información de una matriz aumentada para escribir el sistema de ecuaciones en forma estándar.

Realizar operaciones de fila en una matriz

Ahora que podemos escribir sistemas de ecuaciones en forma de matriz aumentada, examinaremos las distintas operaciones de fila que se pueden realizar en una matriz, como adición, multiplicación por una constante e intercambio de filas.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices

Hemos visto cómo escribir un sistema de ecuaciones con una matriz aumentada y, luego cómo utilizar las operaciones de fila y volver a sustituir para obtener la forma escalonada por filas. Ahora, llevaremos la forma escalonada por filas un paso más allá para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. La idea general es eliminar todas las variables menos una mediante operaciones de fila y luego volver a sustituir para resolver las otras variables.

Resolver sistemas con inversas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Hallar la inversa de una matriz.
* Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante una matriz inversa.

Hallar la inversa de una matriz

Sabemos que el multiplicador inverso de un número real $a$ es ${a}^{-1},$ y $a{a}^{-1}={a}^{-1}a=\left(\frac{1}{a}\right)a=1.$ Por ejemplo, ${2}^{-1}=\frac{1}{2}$ y $\left(\frac{1}{2}\right)2=1.$ El multiplicador inverso de una matriz es similar en concepto, excepto que el producto de la matriz $A$ y su inversa ${A}^{-1}$ es igual a la matriz identidad. La matriz identidad es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Identificamos las matrices de identidad mediante ${I}_{n}$ donde $n$ representa la dimensión de la matriz. Observe las siguientes ecuaciones.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la inversa de una matriz

Resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando la inversa de una matriz requiere la definición de dos nuevas matrices: $X$ es la matriz que representa las variables del sistema y $B$ es la matriz que representa las constantes. Utilizando la multiplicación de matrices, podemos definir un sistema de ecuaciones con el mismo número de ecuaciones que de variables como

Resolver sistemas con la regla de Cramer

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Evaluar determinantes 2 x 2.
* Utilizar la regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones en dos variables.
* Evaluar determinantes 3 × 3.
* Utilizar la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables.
* Conocer las propiedades de los determinantes.

Evaluar el determinante de una matriz 2×2

El determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular el área, el volumen y otras cantidades. Aquí, utilizaremos los determinantes para revelar si una matriz es invertible utilizando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Sin embargo, una de las aplicaciones más interesantes es su uso en criptografía. Las señales o mensajes seguros se envían a veces codificados en una matriz. Los datos solo se pueden descifrar con una matriz invertible y el determinante. Para nuestro propósito, nos centramos en el determinante como indicación de la invertibilidad de la matriz. El cálculo del determinante de una matriz implica seguir las pautas específicas que se exponen en esta sección.

Usar la regla de Cramer para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables

Ahora presentaremos un último método para resolver sistemas de ecuaciones que utiliza determinantes. Conocida como regla de Cramer, esta técnica se remonta a mediados del siglo XVIII y lleva el nombre de su innovador, el matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752), que la introdujo en 1750 en  Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques “Introducción al análisis de curvas algebraicas”.. La regla de Cramer es un método viable y eficiente para calcular soluciones a sistemas con un número arbitrario de incógnitas, siempre que tengamos el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.

Evaluar el determinante de una matriz 3 × 3

Hallar el determinante de una matriz 2×2 es sencillo, pero hallar el determinante de una matriz 3×3 es más complicado. Un método consiste en aumentar la matriz 3×3 con una repetición de las dos primeras columnas, lo que genera una matriz 3×5. A continuación, calculamos la suma de los productos de las entradas *hacia abajo* de cada una de las tres diagonales (de la izquierda a la derecha) y restamos los productos de las entradas *hacia arriba* de cada una de las tres diagonales (de la izquierda a la derecha). Esto se entiende mejor con una imagen y un ejemplo.

Uso de la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables

Ahora que podemos calcular el determinante de una matriz 3 × 3, podemos aplicar la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables. La regla de Cramer es sencilla y sigue un patrón consistente con la regla de Cramer para matrices de 2 × 2. Sin embargo, a medida que el orden de la matriz aumenta a 3 × 3, se requieren muchos más cálculos.

Comprender las propiedades de los determinantes

Hay muchas propiedades de los determinantes. A continuación, se enumeran algunas propiedades que pueden ser útiles para calcular el determinante de una matriz.

Geometría analítica

Introducción

La elipse

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Escribir ecuaciones de elipses en forma estándar.
* Graficar elipses centradas en el origen.
* Graficar elipses no centradas en el origen.
* Resolver problemas aplicados con elipses.

Escribir la ecuación de elipse en la forma estándar

Una sección cónica, o cónica, es una forma resultante de la intersección de un cono circular recto con un plano. El ángulo en los que el plano interseca el cono determina la forma, como se muestra en la [link].

Graficar elipses centradas en el origen

Al igual que podemos escribir la ecuación de una elipse dado su gráfico, podemos graficar una elipse dada su ecuación. Para graficar elipses centradas en el origen, utilizamos la forma estándar $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1,{\rule{0.5em}{0ex}}\text{}a>b$ para las elipses horizontales y $\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1,{\rule{0.5em}{0ex}}\text{}a>b$ para las elipses verticales.

Graficar elipses no centradas en el origen

Cuando una elipse no está centrada en el origen, todavía podemos utilizar las formas estándar para hallar las características clave del gráfico. Cuando la elipse está centrada en algún punto, $\left(h,k\right),$ utilizamos las formas estándar $\frac{{\left(x-h\right)}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{\left(y-k\right)}^{2}}{{b}^{2}}=1,{\rule{0.5em}{0ex}}\text{}a>b$ para las elipses horizontales y $\frac{{\left(x-h\right)}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{\left(y-k\right)}^{2}}{{a}^{2}}=1,{\rule{0.5em}{0ex}}\text{}a>b$ para las elipses verticales. A partir de estas ecuaciones estándar, podemos determinar fácilmente el centro, los vértices, los covértices, los focos y las posiciones de los ejes mayor y menor.

Resolver problemas aplicados con elipses

Muchas situaciones del mundo real se pueden representar mediante elipses, como las órbitas de los planetas, satélites, lunas y cometas y las formas de las quillas de los barcos, los timones y algunas alas de los aviones. Un dispositivo médico llamado litotriptor utiliza reflectores elípticos para romper cálculos renales mediante la generación de ondas sonoras. Algunos edificios, llamados cámaras de susurros, están diseñados con cúpulas elípticas para que una persona que susurra en un foco pueda ser escuchada fácilmente por alguien que esté en el otro foco. Esto ocurre debido a las propiedades acústicas de una elipse. Cuando una onda sonora se origina en un foco de una cámara de susurros, la onda sonora se reflejará en la cúpula elíptica y volverá al otro foco. Vea la [link]. En la cámara de susurros del Museo de Ciencia y la Industria de Chicago, dos personas situadas en el foco —a unos 43 pies de distancia— pueden oírse mutuamente. Cuando estas cámaras se colocan en lugares inesperados, como las que hay en el interior del aeropuerto internacional Bush de Houston y en la terminal Grand Central de Nueva York, pueden inducir reacciones de sorpresa entre los viajeros.

La hipérbola

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Localizar los vértices y focos de una hipérbola.
* Escribir ecuaciones de hipérbolas en forma estándar.
* Graficar hipérbolas centradas en el origen.
* Graficar hipérbolas no centradas en el origen.
* Resolver problemas aplicados que involucren hipérbolas.

Localización de los vértices y focos de una hipérbola

En geometría analítica, una hipérbola es una sección cónica formada por la intersección de un cono circular recto con un plano en un ángulo tal que ambas mitades del cono se intersecan. Esta intersección produce dos curvas separadas no limitadas que son imágenes especulares la una de la otra. Vea la [link].

Escribir ecuaciones de hipérbolas en forma estándar

Al igual que con las elipses, escribir la ecuación de una hipérbola en forma estándar nos permite calcular las características clave: centro, vértices, covértices, focos, asíntotas y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Por otra parte, se puede hallar una ecuación para una hipérbola dadas sus características principales. Empezamos por hallar las ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en el origen. Luego, nos centraremos en hallar ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en algún punto distinto del origen.

Graficar hipérbolas centradas en el origen

Cuando tenemos una ecuación en forma estándar para una hipérbola centrada en el origen, podemos interpretar sus partes para identificar las características clave de su gráfico: el centro, los vértices, los covértices, las asíntotas, los focos y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Para graficar las hipérbolas centradas en el origen, utilizamos la forma estándar $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ para las hipérbolas horizontales y la forma estándar $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$ para las hipérbolas verticales.

Graficar hipérbolas no centradas en el origen

Graficar hipérbolas centradas en un punto $\left(h,k\right)$ distinto del origen es similar a graficar elipses centradas en un punto distinto del origen. Utilizamos las formas estándar $\frac{{\left(x-h\right)}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{\left(y-k\right)}^{2}}{{b}^{2}}=1$ para las hipérbolas horizontales y $\frac{{\left(y-k\right)}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{\left(x-h\right)}^{2}}{{b}^{2}}=1$ para las hipérbolas verticales. A partir de estas ecuaciones de forma estándar podemos calcular y representar fácilmente las características clave del gráfico: las coordenadas de su centro, los vértices, los covértices y los focos; las ecuaciones de sus asíntotas; y las posiciones de los ejes transversales y conjugados.

Resolver problemas aplicados con hipérbolas

Como hemos comentado al principio de esta sección, las hipérbolas tienen aplicaciones en el mundo real en muchos campos, como astronomía, física, ingeniería y arquitectura. La eficacia del diseño de torres de refrigeración hiperbólicas es especialmente interesante. Las torres de refrigeración se utilicen para transferir el calor residual a la atmósfera y, a menudo, se promocionan por su capacidad para generar energía de forma eficiente. Debido a su forma hiperbólica, estas estructuras son capaces de resistir vientos extremos y requieren menos material que otras formas de su tamaño y resistencia. Vea la [link]. Por ejemplo, una torre de 500 pies puede estar hecha de un armazón de hormigón reforzado ¡de solo 6 u 8 pulgadas de ancho!

La parábola

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Graficar parábolas con vértices en el origen.
* Escribir ecuaciones de parábolas en forma estándar.
* Graficar parábolas con vértices que no están en el origen.
* Resolver problemas aplicados que involucren parábolas.

Graficar parábolas con vértices en el origen

En la sección La elipse vimos que una elipse se forma cuando un plano corta a un cono circular recto. Si el plano es paralelo al borde del cono, se forma una curva ilimitada. Esta curva es una parábola. Vea la [link].

Escribir ecuaciones de parábolas en forma estándar

En los ejemplos anteriores utilizamos la ecuación de la forma estándar de una parábola para calcular la ubicación de sus rasgos principales. También podemos utilizar los cálculos a la inversa para escribir una ecuación de una parábola cuando se dan sus características principales.

Graficar parábolas con vértices que no están en el origen

Al igual que otros gráficos con los que hemos trabajado, el gráfico de una parábola se puede trasladar. Si se traslada una parábola $h$ unidades en horizontal y $k$ unidades en vertical, el vértice será $\left(h,k\right).$ Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente con $x$ sustituido por $\left(x-h\right)$ y de $y$ sustituido por $\left(y-k\right).$

Resolver problemas aplicados con parábolas

Como hemos mencionado al principio de la sección, las parábolas se utilizan para diseñar muchos objetos que utilizamos a diario, como telescopios, puentes colgantes, micrófonos y equipos de radar. Los espejos parabólicos, como el utilizado para iluminar la antorcha olímpica, tienen una propiedad reflectante muy singular. Cuando los rayos de luz paralelos al eje de simetría de la parábola se dirigen hacia cualquier superficie del espejo, la luz se refleja directamente en el foco. Vea la [link]. Por ello, la antorcha olímpica se enciende cuando se sostiene en el foco del espejo parabólico.

Rotación de ejes

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Identificar secciones cónicas no degeneradas dadas sus ecuaciones de forma general.
* Usar fórmulas de rotación de ejes.
* Escribir ecuaciones de cónicas giradas en la forma estándar.
* Identificar secciones cónicas sin ejes de rotación.

Identificación de secciones cónicas no degeneradas en forma general

En las secciones anteriores de este capítulo nos hemos centrado en las ecuaciones en la forma estándar para secciones cónicas no degeneradas. En esta sección nos centraremos en la ecuación de forma general, que se puede usar para cualquier sección cónica. La forma general se hace igual a cero, y los términos y coeficientes se dan en un orden particular, como se muestra a continuación.

Escritura de ecuaciones de secciones cónicas rotadas en la forma estándar

Ahora que podemos calcular la forma estándar de una sección cónica cuando nos dan un ángulo de rotación, aprenderemos a transformar la ecuación de una sección cónica dada en la forma $A{x}^{2}+Bxy+C{y}^{2}+Dx+Ey+F=0$ en la forma estándar rotando los ejes. Para ello, reescribiremos la forma general como una ecuación en el sistema de coordenadas de ${x}^{\prime }$ y ${y}^{\prime }$ sin ${x}^{\prime }{y}^{\prime }$, rotando los ejes en una medida de $\theta$ que satisfaga

Identificar secciones cónicas sin ejes de rotación

Ahora hemos cerrado el círculo. ¿Cómo identificamos el tipo de sección cónica descrito por una ecuación? ¿Qué ocurre cuando se rotan los ejes? Recordemos que la forma general de una sección cónica es

Secciones cónicas en coordenadas polares

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Identificar una sección cónica en forma polar.
* Graficar las ecuaciones polares de secciones cónicas.
* Definir secciones cónicas en términos de un foco y una directriz.

Identificar una sección cónica en forma polar.

Cualquier sección cónica puede estar determinada por tres características: un único foco, una línea fija llamada directriz, y la relación de las distancias de cada una a un punto del gráfico. Considere la parábola $x=2+{y}^{2}$ que se muestra en la [link].

Graficar las ecuaciones polares de las cónicas

Al graficar en coordenadas cartesianas, cada sección cónica tiene una ecuación única. Este no es el caso cuando se grafica en coordenadas polares. Debemos utilizar la excentricidad de una sección cónica para determinar el tipo de curva a graficar, y luego determinar sus características específicas. El primer paso es reescribir la cónica en forma estándar como hemos hecho en el ejemplo anterior. En otras palabras, tenemos que reescribir la ecuación para que el denominador empiece por 1. Esto nos permite determinar $e$ y, por lo tanto, la forma de la curva. El siguiente paso es sustituir los valores de $\theta$ y resolver para $r$ para trazar algunos puntos clave. Si establecemos que $\theta$ igual a $0,\frac{\pi }{2},\pi ,$ y $\frac{3\pi }{2}$ proporciona los vértices para que podamos crear un dibujo aproximado del gráfico.

Definir cónicas en términos de un foco y una directriz

Hasta ahora hemos utilizado ecuaciones polares de cónicas para describir y graficar la curva. Ahora, trabajaremos a la inversa; utilizaremos la información sobre el origen, la excentricidad y la directriz para determinar la ecuación polar.

Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

Introducción

Secuencias y sus notaciones

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita.
* Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva.
* Utilizar la notación factorial.

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita

Una forma de describir una lista ordenada de números es como una secuencia. La secuencia es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números del recuento. La secuencia establecida por el número de visitas al sitio web es

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva

Las secuencias se dan de forma natural en los patrones de crecimiento de las conchas de los nautilos, las piñas, las ramas de los árboles y muchas otras estructuras naturales. Podemos ver la secuencia en la disposición de las hojas o las ramas, el número de pétalos de una flor o el patrón de las cámaras de una concha de un nautilo. Su crecimiento sigue la secuencia de Fibonacci, una famosa secuencia en la que cada término se puede hallar mediante la suma de los dos anteriores. Los números de la secuencia son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Otros ejemplos del mundo natural que muestran la secuencia de Fibonacci son el lirio de cala, que tiene un solo pétalo, la Susana de ojos negros con 13 pétalos y diferentes variedades de margaritas que pueden tener 21 o 34 pétalos.

Usar notación factorial

Las fórmulas de algunas secuencias incluyen productos de enteros positivos consecutivos.  **$n$ factorial**, escrito como $n!,$ es el producto de los enteros positivos de 1 a $n.$ Por ejemplo,

Secuencias aritméticas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Hallar la diferencia común de una secuencia aritmética.
* Escribir términos de una secuencia aritmética.
* Utilizar una fórmula recursiva para una secuencia aritmética.
* Utilizar una fórmula explícita para una secuencia aritmética.

Hallar diferencias comunes

Se dice que los valores del camión del ejemplo forman una **secuencia aritmética** porque cambian en una cantidad constante cada año. Cada término aumenta o disminuye en el mismo valor constante llamado **diferencia común** de la secuencia. Para esta secuencia, la diferencia común es de –3.400.

Escribir términos de secuencias aritméticas

Ahora que podemos reconocer una secuencia aritmética, hallaremos los términos si nos dan el primer término y la diferencia común. Los términos se pueden hallar empezando por el primer término y sumando la diferencia común repetidamente. Además, cualquier término se puede hallar también introduciendo los valores de $n$ y $d$ en la siguiente fórmula.

Usar fórmulas recursivas para secuencias aritméticas

Algunas secuencias aritméticas se definen en términos del término anterior mediante una fórmula recursiva. La fórmula proporciona una regla algebraica para determinar los términos de la secuencia. Una fórmula recursiva nos permite hallar cualquier término de una secuencia aritmética utilizando una función del término anterior. Cada término es la suma del término anterior y la diferencia común. Por ejemplo, si la diferencia común es 5, entonces cada término es el término anterior más 5. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el primer término.

Usar fórmulas explícitas para secuencias aritméticas

Podemos pensar en una secuencia aritmética como una función en el dominio de los números naturales; es una función lineal porque tiene una tasa de cambio constante. La diferencia común es la tasa de cambio constante, o la pendiente de la función. Podemos construir la función lineal si conocemos la pendiente y la intersección vertical.

Secuencias geométricas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Hallar el cociente común de una secuencia geométrica.
* Enumerar los términos de una secuencia geométrica.
* Utilizar una fórmula recursiva para una secuencia geométrica.
* Utilizar una fórmula explícita para una secuencia geométrica.

Hallar razones comunes

Los valores salariales anuales descritos forman una **secuencia geométrica** porque cambian por un factor constante cada año. Cada término de una secuencia geométrica aumenta o disminuye en un factor constante llamado **razón común**. La siguiente secuencia es un ejemplo de secuencia geométrica porque cada término aumenta en un factor constante de 6. La multiplicación de cualquier término de la secuencia por la razón común 6 genera el término siguiente.

Escribir términos de secuencias geométricas

Ahora que podemos identificar una secuencia geométrica, aprenderemos a hallar los términos de una secuencia geométrica si nos dan el primer término y la razón común. Los términos de una secuencia geométrica se pueden calcular ao comenzar por el primer término y multiplicar por la razón común repetidamente. Por ejemplo, si el primer término de una secuencia geométrica es ${a}_{1}=-2$ y la razón común es $r=4,$ podemos hallar los términos posteriores multiplicando $-2\cdot 4$ para obtener $-8$ y luego multiplicar el resultado $-8\cdot 4$ para obtener $-32$ y así sucesivamente.

Usar fórmulas recursivas para secuencias geométricas

Una fórmula recursiva nos permite calcular cualquier término de una secuencia geométrica utilizando el término anterior. Cada término es el producto del cociente común y del término anterior. Por ejemplo, supongamos que la razón común es 9. Entonces cada término es nueve veces el término anterior. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial.

Usar fórmulas explícitas para secuencias geométricas

Como una secuencia geométrica es una función exponencial cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos, y la razón común es la base de la función, podemos escribir fórmulas explícitas que nos permitan hallar términos particulares.

Resolver problemas de aplicación con secuencias geométricas

En escenarios del mundo real que involucran secuencias geométricas podemos necesitar usar un término inicial de ${a}_{0}$ en vez de ${a}_{1}.$ En estos problemas, podemos alterar ligeramente la fórmula explícita utilizando la siguiente fórmula:

Series y sus notaciones

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Usar notación de sumatoria.
* Utilizar la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie aritmética.
* Utilizar la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica.
* Utilizar la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita.
* Resolver problemas de anualidades.

Usar la notación de sumatoria

Para calcular la cantidad total de dinero en el fondo universitario y la suma de las cantidades depositadas, tenemos que sumar las cantidades depositadas cada mes y las cantidades ganadas mensualmente. La suma de los términos de una secuencia se llama una serie. Consideremos, por ejemplo, la serie siguiente.

Usar la fórmula de la serie aritmética

Al igual que hemos estudiado los tipos especiales de secuencias, veremos los tipos especiales de series. Recordemos que una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es la diferencia común, $d.$ La suma de los términos de una secuencia aritmética se llama **serie aritmética**. Podemos escribir la suma de los primeros $n$ términos de una serie aritmética como:

Usar la fórmula de la serie geométrica

Así como la suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética, la suma de los términos de una secuencia geométrica se llama **serie geométrica**. Recordemos que una secuencia geométrica es una sucesión en la que la razón de dos términos consecutivos cualesquiera es la razón común, $r.$ Podemos escribir la suma de los primeros $n$ términos de una serie geométrica como

Usar la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita

Hasta ahora, solo hemos examinado las series finitas. Sin embargo, a veces, nos interesa la suma de los términos de una secuencia infinita en vez de la suma de solo los primeros $n$. Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita. Un ejemplo de series infinitas es $2+4+6+8+...$

Solución para problemas de anualidades

Al principio de la sección, vimos un problema en el que un padre invertía una cantidad fija de dinero cada mes en un fondo para la universidad durante seis años. Una anualidad es una inversión en la que el comprador realiza una secuencia de pagos periódicos e iguales. Para calcular el importe de una anualidad, tenemos que hallar la suma de todos los pagos y los intereses devengados. En el ejemplo, el padre invierte 50 dólares cada mes. Ese es el valor del depósito inicial. La cuenta pagaba el 6 % de interés anual calculado mensualmente. Para calcular el tipo de interés por periodo de pago, tenemos que dividir la tasa anual equivalente (TAE) del 6 % entre 12. Por lo tanto, la tasa de interés mensual es del 0,5 %. Podemos multiplicar la cantidad en la cuenta cada mes por el 100,5 % para calcular el valor de la cuenta una vez añadidos los intereses.

Principios de conteo

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Resolver problemas de recuento mediante el principio de adición.
* Resolver problemas de conteo mediante el principio de multiplicación.
* Resolver problemas de conteo mediante permutaciones con n objetos distintos.
* Resolver problemas de conteo mediante combinaciones.
* Calcular el número de subconjuntos de un conjunto dado.
* Resolver problemas de conteo mediante permutaciones que incluyan n objetos no distintos.

Utilizar el principio de adición

La compañía que vende fundas personalizables ofrece fundas para tabletas y teléfonos inteligentes. Hay 3 modelos de tabletas y 5 de teléfonos inteligentes compatibles. El **principio de adición** nos dice que podemos sumar el número de opciones de la tableta al número de opciones del teléfono inteligente para hallar el número total de opciones. Por el principio de adición, hay 8 opciones en total, como podemos ver en la [link].

Utilización del principio de multiplicación

El **principio de multiplicación** se aplica cuando hacemos más de una selección. Supongamos que elegimos una entrada, un plato principal y un postre. Si hay 2 opciones de entradas, 3 opciones de plato principal y 2 opciones de postre en un menú de cena de precio fijo, hay un total de 12 opciones posibles de cada una, como se muestra en el diagrama de árbol en la [link].

Calcular el número de permutaciones de *n* objetos distintos

El principio de multiplicación se puede usar para resolver diversos tipos de problemas. Un tipo de problema consiste en colocar objetos en orden. Ordenamos las letras en palabras y los dígitos en números, nos alineamos para las fotografías, decoramos las habitaciones y mucho más. Ordenar los objetos se llama una permutación.

Calcular el número de combinaciones mediante la fórmula

Hasta ahora, hemos visto problemas que nos piden que pongamos los objetos en orden. Hay muchos problemas en los que queremos seleccionar algunos objetos de un grupo de objetos, pero no nos importa el orden. Cuando estamos seleccionando objetos y el orden no importa, estamos tratando con combinaciones. Una selección de $r$ objetos de un conjunto de $n$ objetos en los que no importa el orden se puede escribir como $C\left(n,r\right).$ Al igual que con las permutaciones, $\text{C}\left(n,r\right)$ también puede escribirse como ${{\rule{0.5em}{0ex}}}_{n}{C}_{r}.$ En este caso, la fórmula general es la siguiente.

Hallar el número de subconjuntos de un conjunto

Solo hemos visto problemas de combinación en los que elegimos exactamente $r$ objetos. En algunos problemas, queremos considerar la elección de todos los números posibles de objetos. Pensemos, por ejemplo, en una pizzería que ofrece 5 ingredientes. Se puede pedir cualquier número de ingredientes. ¿Cuántas pizzas diferentes son posibles?

Hallar el número de permutaciones de *n* objetos no distintos

Hemos estudiado permutaciones en las que todos los objetos implicados eran distintos. ¿Qué ocurre si algunos de los objetos no son diferentes? Por ejemplo, supongamos que hay una hoja de 12 pegatinas. Si todas las pegatinas fueran distintas, habría $12!$ maneras de ordenarlas. Sin embargo, 4 de las pegatinas son estrellas idénticas y 3 son lunas idénticas. Debido a que todos los objetos no son diferentes, muchas de las $12!$ permutaciones que hemos contado son duplicados. La fórmula general para esta situación es la siguiente.

Teorema del binomio

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Aplicar el teorema del binomio.

Identificación de coeficientes binomiales

En la sección Principios de conteo, estudiamos las combinaciones. En el atajo para calcular ${\left(x+y\right)}^{n},$ necesitaremos utilizar combinaciones para calcular los coeficientes que aparecerán en la expansión del binomio. En este caso, utilizamos la notación $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ en vez de $C\left(n,r\right),$ pero se puede calcular de la misma manera. Así que

 $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=C\left(n,r\right)=\frac{n!}{r!\left(n–r\right)!}$

Usar el teorema del binomio

Cuando expandimos ${\left(x+y\right)}^{n}$ multiplicando, el resultado se llama expansión binomial, e incluye coeficientes binomiales. Si quisiéramos expandir ${\left(x+y\right)}^{52},$ podríamos multiplicar $\left(x+y\right)$ por sí mismo cincuenta y dos veces. ¡Esto podría llevar horas! Si examinamos algunas expansiones binomiales simples, podemos hallar patrones que nos lleven a un atajo para calcular expansiones binomiales más complicadas.

Usar el teorema del binomio para hallar un solo término

Expandir un binomio con un exponente alto como ${\left(x+2y\right)}^{16}$ puede ser un proceso largo.

Probabilidad

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Construir modelos de probabilidades.
* Calcular las probabilidades de resultados igualmente probables.
* Calcular las probabilidades de la unión de dos eventos.
* Utilizar la regla del complemento para encontrar probabilidades.
* Calcular la probabilidad utilizando la teoría del conteo.

Construir modelos de probabilidades

Supongamos que lanzamos un cubo numérico de seis caras. Lanzar un cubo numérico es un ejemplo de un experimento, o una actividad con un resultado observable. Los números en el cubo son posibles resultados, o resultados, de este experimento. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral del experimento. El espacio muestral de este experimento es $\left\{1,2,3,4,5,6\right\}.$ Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral.

Calcular probabilidades de resultados igualmente probables

Supongamos que $S$ es un espacio muestral para un experimento. Al investigar la probabilidad, un evento es cualquier subconjunto de $S.$ Cuando los resultados de un experimento son todos igual de posibles, podemos calcular la probabilidad de un evento al dividir el número de resultados del evento entre el número total de resultados en $S.$ Supongamos que se lanza un cubo numérico, y nos interesa calcular la probabilidad del evento "sacar un número menor que o igual a 4". Hay 4 posibles resultados en el evento y 6 posibles resultados en $S,$ por lo que la probabilidad del evento es $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$

Calcular la probabilidad de la unión de dos eventos

A menudo nos interesa calcular la probabilidad de que ocurra uno de los múltiples eventos. Supongamos que estamos jugando un juego de cartas, y que ganaremos si la siguiente carta extraída es un corazón o un rey. Nos interesa calcular la probabilidad de que la siguiente carta sea un corazón o un rey. La unión de dos eventos es el evento que se produce si se da uno de los dos eventos o ambos.

Calcular la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

Supongamos que se hace girar de nuevo la ruleta de la [link], pero esta vez nos interesa la probabilidad de hacer girar a anaranjado o a $d.$ No hay sectores que sean a la vez de color anaranjado y que contengan una $d,$ por lo que estos dos sucesos no tienen resultados en común. Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes cuando no tienen resultados en común. Ya que no hay superposición, no hay nada que restar, por lo que la fórmula general es

Usar la regla del complemento para calcular probabilidades

Hemos hablado de cómo calcular la probabilidad de que se produzca un evento. A veces, nos interesa calcular la probabilidad de que un evento *no* ocurra. El **complemento de un evento** $E,$ denotado ${E}^{\prime },$ es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en $E.$ Por ejemplo, supongamos que nos interesa la probabilidad de que un caballo pierda una carrera. Si el evento $W$ es que el caballo gane la carrera, entonces el complemento del evento $W$ es que el caballo pierda la carrera.

Calcular la probabilidad mediante la teoría del conteo

Muchos problemas interesantes de probabilidad implican principios de conteo, permutaciones y combinaciones. En estos problemas, utilizaremos permutaciones y combinaciones para hallar el número de elementos en eventos y espacios muestrales. Estos problemas pueden ser complicados, pero pueden hacerse más fáciles si se dividen en problemas de conteo más pequeños.

Introducción a Cálculo

Introducción

Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Comprender la notación de límites.
* Hallar un límite mediante un gráfico.
* Hallar un límite mediante una tabla.

Comprender la notación de límites

Hemos visto cómo una secuencia puede tener un límite, un valor hacia el que se mueve la secuencia de términos a medida que aumenta el número de términos. Por ejemplo, los términos de la secuencia

Hallar un límite utilizando un gráfico

Para determinar visualmente si existe un límite a medida que $x$ se acerca a $a,$ observamos el gráfico de la función cuando $x$ está muy cerca de $x=a.$ En la [link] observamos el comportamiento del gráfico a ambos lados de $a.$

Hallar un límite utilizando una tabla

La creación de una tabla es una forma de determinar límites mediante información numérica. Creamos una tabla de valores en la que los valores de entrada de $x$ se acercan a $a$ de ambos lados. Luego determinamos si los valores de salida se acercan cada vez más a algún valor real, el límite $L.$

Hallar los límites: propiedades de los límites

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Hallar el límite de una suma, una diferencia y un producto.
* Hallar el límite de un polinomio.
* Hallar el límite de una potencia o una raíz.
* Hallar el límite de un cociente.

Hallar el límite de una suma, una diferencia y un producto

Graficar una función o explorar una tabla de valores para determinar un límite puede ser engorroso y llevar mucho tiempo. Cuando es posible, es más eficiente utilizar las propiedades de los límites, lo cual es una colección de teoremas para hallar límites.

Hallar el límite de un polinomio

No todas las funciones o sus límites implican una simple suma, resta o multiplicación. Algunos pueden incluir polinomios. Recordemos que un polinomio es una expresión que consiste en la suma de dos o más términos, cada uno de los cuales está formado por una constante y una variable elevada a una potencia entera no negativa. Para hallar el límite de una función polinómica, podemos encontrar los límites de cada uno de los términos de la función y luego sumarlos. Además, el límite de una función polinómica a medida que $x$ se acerca a $a$ equivale a evaluar simplemente la función para $a$.

Hallar el límite de una potencia o una raíz

Cuando un límite incluye una potencia o una raíz, necesitamos otra propiedad que nos permita evaluarlo. El cuadrado del límite de una función es igual al límite del cuadrado de la función; lo mismo ocurre con las potencias superiores. Asimismo, la raíz cuadrada del límite de una función es igual al límite de la raíz cuadrada de la función; lo mismo ocurre con las raíces superiores.

Hallar el límite de un cociente

Hallar el límite de una función expresada como cociente puede ser más complicado. A menudo, tenemos que reescribir la función algebraicamente antes de aplicar las propiedades de un límite. Si el denominador se evalúa a 0 cuando aplicamos las propiedades de un límite directamente, debemos reescribir el cociente en una forma diferente. Un enfoque es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar.

Continuidad

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Determinar si una función es continua en un número.
* Determinar los números para los cuales una función es discontinua.
* Determinar si una función es continua.

Determinar si una función es continua en un número

Consideremos un ejemplo específico de temperatura en términos de fecha y ubicación, como el 27 de junio de 2013, en Phoenix, AZ. El gráfico en la [link] indica que a las 2 a. m. la temperatura era . A las 2 p. m., la temperatura había subido a y para las 4 p. m. era de En algún momento entre las 2 a. m. y las 4 p. m., la temperatura exterior debió ser exactamente De hecho, cualquier temperatura entre y se produjo en algún momento de ese día. Esto significa que todos los números reales en la salida entre y se generan en algún momento por la función según el teorema del valor intermedio,

Reconocer funciones continuas y discontinuas de números reales

Muchas de las funciones que hemos encontrado en capítulos anteriores son continuas en todas partes. Nunca tienen un agujero y nunca saltan de un valor a otro. Para todas estas funciones, el límite de $f\left(x\right)$ cuando $x$ se acerca a $a$ es el mismo que el valor de $f\left(x\right)$ cuando $x=a.$ Así que $\underset{x\to a}{\mathrm{lím}}f\left(x\right)=f\left(a\right).$ Hay algunas funciones que son continuas en todas partes y otras que solo son continuas donde están definidas en su dominio porque no están definidas para todos los números reales.

Determinar los valores de entrada para los cuales una función es discontinua

Ahora que podemos identificar funciones continuas, discontinuidades de salto y discontinuidades removibles veremos funciones más complejas para hallar discontinuidades. Aquí analizaremos una función definida por partes para determinar si existe algún número real en el que la función no sea continua. Una función definida por partes puede tener discontinuidades en los puntos límite de la función, así como dentro de las funciones que la componen.

Cómo determinar si una función es continua

Para determinar si una función definida por partes es continua o discontinua, además de comprobar los puntos límite, debemos comprobar si cada una de las funciones que componen la función definida por partes es continua.

Derivadas

Abstract:
En esta sección, podrá:

* Calcular la derivada de una función.
* Calcular tasas instantáneas de cambio.
* Hallar la ecuación de la línea tangente al gráfico de una función en un punto.
* Hallar la velocidad instantánea de una partícula.

Hallar la tasa media de cambio de una función

Las funciones que describen los ejemplos anteriores implican un cambio en el tiempo. El cambio dividido entre el tiempo es un ejemplo de tasa. Las tasas de cambio en los ejemplos anteriores son diferentes. En otras palabras, algunos cambiaron más rápido que otros. Si hiciéramos un gráfico de las funciones, podríamos comparar las tasas determinando las pendientes de los gráficos.

Comprender la tasa instantánea de cambio

Ahora que podemos hallar la tasa media de cambio, supongamos que hacemos $h$ en la [link] cada vez más pequeño. Luego $a+h$ se acercarán a $a$ a medida que $h$ se hace más pequeño, acercándose cada vez más a 0. Asimismo, el segundo punto $\left(a+h,f\left(a+h\right)\right)$ se acercará al primer punto, $\left(a,f\left(a\right)\right).$ Como consecuencia, la línea de conexión entre los dos puntos, llamada línea secante, se acercará cada vez más a ser una tangente a la función en $x=a,$ y la pendiente de la línea secante se acercará cada vez más a la pendiente de la tangente en $x=a.$ Vea la [link].

Hallar tasas instantáneas de cambio

Muchas aplicaciones de la derivada implican la determinación de la tasa de cambio en un instante dado de una función con la variable independiente tiempo, por lo que se utiliza el término *instantánea*. Consideremos la altura de una pelota lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo, dada por $s\left(t\right)=–16{t}^{2}+64t+6,$ donde $t$ se mide en segundos y $s\left(t\right)$ se mide en pies. Sabemos que la trayectoria es la de una parábola. La derivada nos dirá cómo está cambiando la altura en cualquier punto dado en el tiempo. La altura de la pelota se muestra en la [link] como una función de tiempo. En física, lo llamamos "gráfico *s*-*t*".

Hallar la ecuación de una línea tangente al gráfico de una función

La ecuación de una línea tangente a una curva de la función $f\left(x\right)$ en $x=a$ se deriva de la forma punto-pendiente de una línea, $y=m\left(x–{x}_{1}\right)+{y}_{1}.$ La pendiente de la línea es la pendiente de la curva en $x=a$ y por lo tanto es igual a ${f}^{\prime }\left(a\right),$ la derivada de $f\left(x\right)$ en $x=a.$ El par de coordenadas del punto de la línea en $x=a$ es $\left(a,f\left(a\right)\right).$

Hallar la velocidad instantánea de una partícula

Si una función mide la posición en función del tiempo, la derivada mide el desplazamiento en función del tiempo, o la velocidad del objeto. Un cambio en la velocidad o la dirección en relación con un cambio en el tiempo se conoce como *velocidad*. La velocidad en un instante determinado se conoce como **velocidad instantánea**.

Funciones e identidades básicas

Gráficos de funciones matriz

Gráficos de las funciones trigonométricas

Identidades trigonométricas