Prefacio

Acerca de OpenStax

OpenStax es una organización sin fines de lucro con sede en la Universidad Rice. Nuestra misión es brindarles a los estudiantes mayor acceso a la educación. Nuestro primer libro de texto universitario con licencia abierta se publicó en 2012. Desde entonces nuestra biblioteca se ha ampliado a más de 20 libros para cursos universitarios y de Colocación Avanzada (Advanced Placement, AP que consultan cientos de miles de estudiantes. Nuestra tecnología de aprendizaje adaptativo, diseñada para mejorar los resultados del aprendizaje a través de rutas educativas personalizadas, se está probando en cursos universitarios de todo el país. A través de nuestras asociaciones con fundaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras organizaciones de recursos educativos, OpenStax rompe las barreras más comunes para el aprendizaje y otorga poder a estudiantes e instructores para que triunfen.

Sobre los recursos de OpenStax

Sobre *Cálculo volumen 2*

*Cálculo* está diseñado para el típico curso de cálculo general de dos o tres semestres, incorporando características innovadoras para mejorar el aprendizaje del estudiante. El libro guía a los estudiantes a través de los conceptos básicos del cálculo y los ayuda a entender cómo esos conceptos se aplican a sus vidas y al mundo que los rodea. Debido al carácter exhaustivo del material, ofrecemos el libro en tres volúmenes para mayor flexibilidad y eficacia. El volumen 2 abarca integración, ecuaciones diferenciales, secuencias y series y ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.

Recursos adicionales

Sobre los autores

Integración

Introducción

Aproximación de áreas

Notación sigma (notación de sumatoria)

Como dijimos, utilizaremos formas de área conocida para aproximar el área de una región irregular limitada por curvas. Este proceso suele requerir la suma de largas cadenas de números. Para facilitar la escritura de estas largas sumas, aquí veremos una nueva notación, llamada notación sigma (también conocida como notación de sumatoria). La letra mayúscula griega $\Sigma ,$ sigma, se utiliza para expresar sumas largas de valores de forma compacta. Por ejemplo, si queremos sumar todos los enteros del 1 al 20 sin notación sigma, tenemos que escribir

Aproximación del área

Ahora que tenemos la notación necesaria, volvamos al problema que nos ocupa: aproximar el área bajo una curva. Supongamos que $f\left(x\right)$ es una función continua y no negativa definida en el intervalo cerrado $\left[a,b\right].$ Queremos aproximar el área *A* delimitada por $f\left(x\right)$ arriba, el *eje* abajo, la línea $x=a$ a la izquierda, y la línea $x=b$ a la derecha ([link]).

Formulación de sumas de Riemann

Hasta ahora utilizamos rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Las alturas de estos rectángulos se determinaron evaluando la función en los extremos derecho o izquierdo del subintervalo $\left[{x}_{i-1},{x}_{i}\right].$ En realidad, no hay ninguna razón para restringir la evaluación de la función solo a uno de estos dos puntos. Podríamos evaluar la función en cualquier punto *xi* del subintervalo $\left[{x}_{i-1},{x}_{i}\right],$ y usamos $f\left({x}_{i}^{\*}\right)$ como la altura de nuestro rectángulo. Esto nos da una estimación del área de la forma

La integral definida

Definición y notación

La integral definida generaliza el concepto de área bajo una curva. Eliminamos los requisitos de que $f\left(x\right)$ sea continua y no negativa, y definimos la integral definida como sigue.

Evaluación de integrales definidas

Evaluar las integrales definidas de esta manera puede ser bastante tedioso debido a la complejidad de los cálculos. Más adelante en este capítulo desarrollaremos técnicas para evaluar integrales definidas *sin* tomar límites de las sumas de Riemann. Sin embargo, por ahora podemos confiar en el hecho de que las integrales definidas representan el área bajo la curva, y podemos evaluar las integrales definidas utilizando fórmulas geométricas para calcular esa área. Hacemos esto para confirmar que las integrales definidas representan en efecto áreas, de modo que podamos discutir qué hacer en el caso de una curva de una función que cae por debajo del eje *x*.

El área y la integral definida

Cuando definimos la integral definida, eliminamos el requisito de que $f\left(x\right)$ sea no negativo. Pero ¿cómo interpretamos "el área bajo la curva" cuando $f\left(x\right)$ es negativo?

Propiedades de la integral definida

Las propiedades de las integrales indefinidas se aplican también a las integrales definidas. Las integrales definidas también tienen propiedades relacionadas con los límites de integración. Estas propiedades, junto con las reglas de integración que examinaremos más adelante en este capítulo, nos ayudan a manipular expresiones para evaluar integrales definidas.

Valor promedio de una función

A menudo necesitamos hallar el promedio de un conjunto de números, como la nota promedio de un examen. Supongamos que obtuvo las siguientes puntuaciones en su clase de álgebra: 89, 90, 56, 78, 100 y 69. La nota del semestre es el promedio de los resultados de los exámenes y quiere saber qué nota obtendrá. Podemos hallar el promedio sumando todas las puntuaciones y dividiendo por el número de puntuaciones. En este caso, hay seis resultados de pruebas. Por lo tanto,

El teorema fundamental del cálculo

Teorema del valor medio para integrales

El teorema del valor medio para integrales afirma que una función continua en un intervalo cerrado toma su valor medio en algún punto de ese intervalo. El teorema garantiza que si $f\left(x\right)$ es continua, existe un punto *c* en un intervalo $\left[a,b\right]$ tal que el valor de la función en *c* es igual al valor medio de $f\left(x\right)$ en $\left[a,b\right].$ Enunciamos este teorema matemáticamente con la ayuda de la fórmula del valor medio de una función que presentamos al final del apartado anterior.

Teorema fundamental del cálculo, parte 1: Integrales y antiderivadas

Como se dijo anteriormente, el teorema fundamental del cálculo es un teorema extremadamente poderoso que establece la relación entre la diferenciación y la integración, y nos da una manera de evaluar integrales definidas sin usar sumas de Riemann o calcular áreas. El teorema consta de dos partes, la primera de las cuales, el teorema fundamental del cálculo, parte 1, se enuncia aquí. La Parte 1 establece la relación entre diferenciación e integración.

Teorema fundamental del cálculo, parte 2: El teorema de evaluación

El teorema fundamental del cálculo, parte 2, es quizás el teorema más importante del cálculo. Tras los incansables esfuerzos de los matemáticos durante aproximadamente 500 años, surgieron nuevas técnicas que proporcionaron a los científicos las herramientas necesarias para explicar muchos fenómenos. Gracias al cálculo, los astrónomos al fin pudieron determinar las distancias en el espacio y trazar las órbitas planetarias. Los problemas financieros cotidianos, como el cálculo de los costos marginales o la predicción de los beneficios totales, podían ahora tratarse con sencillez y precisión. Los ingenieros podían calcular la resistencia a la flexión de los materiales o el movimiento tridimensional de los objetos. Nuestra visión del mundo cambió para siempre con el cálculo.

Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto

Fórmulas básicas de integración

Recordemos las fórmulas de integración dadas en la tabla de antiderivadas y la regla sobre las propiedades de las integrales definidas. Veamos algunos ejemplos de cómo se aplican estas reglas.

El teorema del cambio neto

El teorema del cambio neto considera la integral de un *tasa de cambio*. Dice que cuando una cantidad cambia, el nuevo valor es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio de esa cantidad. La fórmula puede expresarse de dos maneras. La segunda nos es familiar; se trata simplemente de la integral definida.

Aplicación del teorema del cambio neto

El teorema del cambio neto puede aplicarse al flujo y al consumo de fluidos, como se muestra en el [link].

Integración de funciones pares e impares

En Funciones y gráficos vimos que una función par es aquella en la que $f\left(\text{−}x\right)=f\left(x\right)$ para toda *x* en el dominio, es decir, el gráfico de la curva no cambia cuando se sustituye *x* por −*x*. Los gráficos de las funciones pares son simétricas con respecto al eje *y*. Una función impar es aquella en la que $f\left(\text{−}x\right)=\text{−}f\left(x\right)$ para toda *x* en el dominio, y el gráfico de la función es simétrico respecto al origen.

Sustitución

Prueba

Sean *f*, *g*, *u* y *F* los especificados en el teorema. Entonces

Sustitución de integrales definidas

La sustitución también se puede utilizar con las integrales definidas. Sin embargo, el uso de la sustitución para evaluar una integral definida exige un cambio en los límites de integración. Si cambiamos las variables en el integrando, los límites de integración también cambian.

Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas

Integrales de funciones exponenciales

La función exponencial es quizás la función más eficiente en cuanto a las operaciones de cálculo. La función exponencial $y={e}^{x},$ es su propia derivada y su propia integral.

Integrales con funciones logarítmicas

Integrar funciones de la forma $f\left(x\right)={x}^{-1}$ dan como resultado el valor absoluto de la función logarítmica natural, como se muestra en la siguiente regla. Las fórmulas integrales para otras funciones logarítmicas, tales como $f\left(x\right)=\text{ln}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ y $f\left(x\right)={\text{log}}_{a}x,$ también se incluyen en la regla.

Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas

Integrales que dan lugar a funciones senoidales inversas

Comencemos esta última sección del capítulo con las tres fórmulas. Junto con estas fórmulas, utilizamos la sustitución para evaluar las integrales. Demostramos la fórmula de la integral inversa de seno.

Integrales que resultan en otras funciones trigonométricas inversas

Hay seis funciones trigonométricas inversas. Sin embargo, en la regla sobre fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas solo se anotan tres fórmulas de integración porque las tres restantes son versiones negativas de las que utilizamos. La única diferencia es si el integrando es positivo o negativo. En vez de memorizar tres fórmulas más, si el integrando es negativo, simplemente factorice –1 y evalúe la integral usando una de las fórmulas ya proporcionadas. Para cerrar esta sección, examinaremos una fórmula más: la integral que resulta de la función tangente inversa.

Aplicaciones de la integración

Introducción

Áreas entre curvas

Área de una región entre dos curvas

Supongamos que $f\left(x\right)$ y $g\left(x\right)$ son funciones continuas sobre un intervalo $\left[a,b\right]$ de manera que $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ sobre $\left[a,b\right].$ Queremos hallar el área entre los gráficos de las funciones, como se muestra en la siguiente figura.

Áreas de las regiones compuestas

Hasta ahora, hemos requerido $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ a lo largo de todo el intervalo de interés, pero ¿qué ocurre si queremos observar las regiones delimitadas por los gráficos de las funciones que se entrecruzan? En ese caso, modificamos el proceso que acabamos de desarrollar utilizando la función de valor absoluto.

Regiones definidas con respecto a *y*

En el [link], tuvimos que evaluar dos integrales distintas para calcular el área de la región. Sin embargo, existe otro enfoque que solo requiere una integral. ¿Y si tratamos las curvas como funciones de $y,$ en vez de como funciones de $x?$ Revise la [link]. Observe que el gráfico de la izquierda, mostrado en rojo, está representado por la función $y=f\left(x\right)={x}^{2}.$ Podríamos resolver esto con la misma facilidad para $x$ y representar la curva mediante la función $x=v\left(y\right)=\sqrt{y}.$ (Observe que $x=\text{−}\sqrt{y}$ es también una representación válida de la función $y=f\left(x\right)={x}^{2}$ en función de $y.$ (No obstante, con base en el gráfico, está claro que nos interesa la raíz cuadrada positiva). Del mismo modo, el gráfico de la derecha está representado por la función $y=g\left(x\right)=2-x,$, pero también podría representarse con la función $x=u\left(y\right)=2-y.$ Cuando los gráficos se representan como funciones de $y,$ vemos que la región está limitada a la izquierda por el gráfico de una función y a la derecha por el gráfico de la otra función. Por lo tanto, si integramos con respecto a $y,$ necesitamos evaluar una sola integral. Desarrollemos una fórmula para este tipo de integración.

Determinar los volúmenes mediante el corte

El volumen y el método de las rebanadas

Así como el área es la medida numérica de una región bidimensional, el volumen es la medida numérica de un sólido tridimensional. La mayoría de nosotros ha calculado los volúmenes de los sólidos utilizando fórmulas geométricas básicas. El volumen de un sólido rectangular, por ejemplo, puede calcularse multiplicando la longitud, la anchura y la altura $V=lwh.$ Las fórmulas del volumen de una esfera $\left(V=\frac{4}{3}\pi {r}^{3}\right),$ un cono $\left(V=\frac{1}{3}\pi {r}^{2}h\right),$ y una pirámide $\left(V=\frac{1}{3}Ah\right)$ también se ha introducido. Aunque algunas de estas fórmulas se derivaron utilizando únicamente la geometría, todas ellas pueden obtenerse utilizando la integración.

Sólidos de revolución

Si una región en un plano se hace girar alrededor de una línea en ese plano, el sólido resultante se llama sólido de revolución, como se muestra en la siguiente figura.

El método del disco

Cuando utilizamos el método de las rebanadas con sólidos de revolución, se suele denominar método de los discos porque los cortes utilizados para sobre aproximar el volumen de esos sólidos son discos. Para ver esto, considere el sólido de revolución generado al girar la región entre el gráfico de la función $f\left(x\right)={\left(x–1\right)}^{2}+1$ y la intersección en $x\text{}$ en el intervalo $\left[-1,3\right]$ alrededor del eje $x\text{}\text{.}$ El gráfico de la función y un disco representativo se muestran en la [link](a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la [link](c) y (d).

El método de arandelas

Algunos sólidos de revolución tienen cavidades en el centro; no son sólidos hasta el eje de revolución. A veces, esto es solo el resultado de la forma de la región de revolución con respecto al eje de revolución. En otros casos, las cavidades surgen cuando la región de revolución se define como la región entre los gráficos de dos funciones. Una tercera forma de que esto ocurra es cuando se selecciona un eje de revolución distinto al eje $x\text{}$ o $y\text{}$.

Volúmenes de revolución: Capas cilíndricas

El método de las capas cilíndricas

De nuevo, estamos trabajando con un sólido de revolución. Como antes, definimos una región $R,$ delimitada por encima del gráfico de una función $y=f\left(x\right),$ abajo por el eje $x\text{−eje,}$ y a la izquierda y derecha por las líneas $x=a$ y $x=b,$ respectivamente, como se muestra en la [link](a). A continuación, hacemos girar esta región alrededor del eje *y*, como se muestra en la [link](b). Tenga en cuenta que esto es diferente de lo que hicimos anteriormente, cuando las regiones definidas en términos de funciones de $x$ giraban en torno al eje $x\text{}$ o a una línea paralela a él.

¿Qué método debemos utilizar?

Ya estudiamos varios métodos para hallar el volumen de un sólido de revolución, pero ¿cómo sabemos qué método utilizar? A menudo se trata de elegir qué integral es más fácil de evaluar. La [link] describe los diferentes enfoques para los sólidos de revolución alrededor del eje $x\text{}.$ Ahora es momento de que desarrolle la tabla análoga para los sólidos de revolución alrededor del eje $y\text{}.$

Longitud del arco de una curva y superficie

Longitud de arco de la curva *y* = *f*(*x*)

En las aplicaciones anteriores de la integración, necesitamos que la función $f\left(x\right)$ fuera integrable o como máximo, continua. Sin embargo, para calcular la longitud del arco se nos presenta un requisito más estricto para $f\left(x\right).$ En este caso, necesitamos que $f\left(x\right)$ sea diferenciable, y además requerimos que su derivada, ${f}^{\prime }\left(x\right),$ sea continua. Las funciones como esta, que tienen derivadas continuas, se denominan *suaves*. (Esta propiedad volverá a aparecer en capítulos posteriores).

Longitud de arco de la curva *x* = *g*(*y*)

Acabamos de ver cómo aproximar la longitud de una curva con una línea segmentada. Si queremos encontrar la longitud de arco del gráfico de una función de $y,$ podemos repetir el mismo proceso, excepto que dividimos el eje $y\text{}$ en lugar del eje $x\text{}.$ La [link] muestra un segmento de línea representativo.

Área de una superficie de revolución

Los conceptos que hemos utilizado para hallar la longitud de arco de una curva pueden extenderse para hallar el área superficial de una superficie de revolución. El área superficial es el área total de la capa exterior de un objeto. En objetos como cubos o ladrillos, el área superficial del objeto es la suma de las áreas de todas sus caras. En las superficies curvas, la situación es un poco más compleja. Supongamos que $f\left(x\right)$ es una función suave no negativa sobre el intervalo $\left[a,b\right].$ Queremos encontrar el área superficial de la superficie de revolución que se crea al girar el gráfico de $y=f\left(x\right)$ alrededor del eje $x\text{}$ como se muestra en la siguiente figura.

Aplicaciones físicas

Masa y Densidad

Podemos utilizar la integración para desarrollar una fórmula para calcular la masa con base en una función de densidad. En primer lugar, pensemos en una varilla o un cable delgado. Se orienta la varilla para que se alinee con el eje $x\text{−eje,}$ con el extremo izquierdo de la varilla en $x=a$ y el extremo derecho en $x=b$ ([link]). Note que, aunque en las figuras representamos la varilla con cierto grosor, a efectos matemáticos suponemos que la varilla es lo suficientemente fina como para ser tratada como un objeto unidimensional.

Trabajo realizado por una fuerza

Ahora consideramos el trabajo. En física, el trabajo está relacionado con la fuerza, que a menudo se define intuitivamente como un empuje o un tirón sobre un objeto. Cuando una fuerza mueve un objeto, decimos que la fuerza realiza un trabajo sobre el objeto. En otras palabras, el trabajo puede considerarse como la cantidad de energía que se necesita para mover un objeto. Según la física, cuando tenemos una fuerza constante, el trabajo puede expresarse como el producto de la fuerza por la distancia.

Trabajo realizado en el bombeo

Considere el trabajo realizado para bombear agua (o algún otro líquido) fuera de un tanque. Los problemas de bombeo son un poco más complicados que los de los resortes porque muchos de los cálculos dependen de la forma y el tamaño del depósito. Además, en vez de preocuparnos por el trabajo realizado para mover una sola masa, nos fijamos en el trabajo realizado para mover un volumen de agua, y se necesita más trabajo para mover el agua desde el fondo del tanque que para mover el agua desde la parte superior del tanque.

Fuerza y presión hidrostáticas

En este último apartado, estudiamos la fuerza y la presión que se ejerce sobre un objeto sumergido en un líquido. En el sistema inglés, la fuerza se mide en libras. En el sistema métrico, se mide en newtons. La presión es la fuerza por unidad de superficie, por lo que en el sistema inglés tenemos libras por pie cuadrado (o tal vez más comúnmente, libras por pulgada cuadrada, denotadas psi). En el sistema métrico tenemos newtons por metro cuadrado, también llamados *pascales*.

Momentos y centros de masa

Centro de masa y momentos

Empecemos por ver el centro de masa en un contexto unidimensional. Piense en un alambre o varilla larga y delgada de masa despreciable que descansa sobre un punto de apoyo, como se muestra en la [link](a). Ahora supongamos que colocamos objetos con masas ${m}_{1}$ y ${m}_{2}$ a las distancias ${d}_{1}$ y ${d}_{2}$ del punto de apoyo, respectivamente, como se muestra en la [link](b).

Centro de masa de las placas finas

Hasta ahora hemos visto sistemas de masas puntuales en una línea y en un plano. Ahora, en vez de tener la masa de un sistema concentrada en puntos discretos, queremos observar sistemas en los que la masa del sistema se distribuye continuamente a través de una fina lámina de material. Para ello, suponemos que la hoja es lo suficientemente delgada como para poder tratarla como si fuera bidimensional. Dicha hoja se denomina lámina. A continuación desarrollaremos técnicas para encontrar el centro de masa de una lámina. En esta sección, también suponemos que la densidad de la lámina es constante.

El principio de simetría

El principio de simetría lo enunciamos antes, cuando observamos el centroide de un rectángulo. El principio de simetría puede ser muy útil para encontrar los centroides de las regiones simétricas. Considere el siguiente ejemplo.

Teorema de Pappus

Esta sección termina con una discusión del teorema de Pappus para el volumen, que nos permite calcular el volumen de determinados tipos de sólidos utilizando el centroide (también existe un teorema de Pappus para el área superficial, pero su utilidad es mucho menor que la del teorema para el volumen).

Integrales, funciones exponenciales y logaritmos

El logaritmo natural como integral

Recordemos la regla de la potencia para las integrales:

Propiedades del logaritmo natural

Debido a la forma en que definimos el logaritmo natural, la siguiente fórmula de diferenciación surge inmediatamente como resultado del teorema fundamental del cálculo.

Definición del número *e*

Ya que definimos el logaritmo natural, podemos utilizar esa función para definir el número $e.$

La función exponencial

Ahora nos centraremos en la función ${e}^{x}.$ Observe que el logaritmo natural es biunívoco y, por tanto, tiene una función inversa. Por ahora, denotamos esta función inversa por $\text{exp}{\rule{0.2em}{0ex}}x.$ Entonces,

Propiedades de la función exponencial

Dado que la función exponencial se definió en términos de una función inversa, y no en términos de una potencia de $e,$ debemos comprobar que las leyes generales de los exponentes se cumplen para la función ${e}^{x}.$

Funciones logarítmicas y exponenciales generales

Cerraremos esta sección viendo las funciones exponenciales y los logaritmos con bases distintas a $e.$ Las funciones exponenciales son funciones de la forma $f\left(x\right)={a}^{x}.$ Tenga en cuenta que, a menos que $a=e,$ todavía no tenemos una definición matemáticamente rigurosa de estas funciones para los exponentes irracionales. Rectifiquemos aquí definiendo la función $f\left(x\right)={a}^{x}$ en términos de la función exponencial ${e}^{x}.$ A continuación examinaremos los logaritmos con bases distintas a $e$ como funciones inversas de funciones exponenciales.

Crecimiento y decaimiento exponencial

Modelo de crecimiento exponencial

Muchos sistemas presentan un crecimiento exponencial. Estos sistemas siguen un modelo de la forma $y={y}_{0}{e}^{kt},$ donde ${y}_{0}$ representa el estado inicial del sistema y $k$ es una constante positiva, denominada *constante de crecimiento*. Observe que en un modelo de crecimiento exponencial, tenemos

Modelo de decrecimiento exponencial

Las funciones exponenciales también pueden usarse para modelar poblaciones que se reducen (por ejemplo, a causa de una enfermedad) o compuestos químicos que se descomponen con el tiempo. Decimos que tales sistemas exhiben un decrecimiento exponencial en vez de un crecimiento exponencial. El modelo es casi el mismo, excepto que hay un signo negativo en el exponente. Así, para alguna constante positiva $k,$ tenemos $y={y}_{0}{e}^{\text{−}kt}.$

Cálculo de las funciones hiperbólicas

Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas

Recordemos que el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico se definen como

Cálculo de funciones hiperbólicas inversas

Observando los gráficos de las funciones hiperbólicas, vemos que con las restricciones de rango adecuadas, todos tienen inversas. La mayoría de las restricciones de rango necesarias se pueden discernir examinando de cerca los gráficos. Los dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas se resumen en la siguiente tabla.

Aplicaciones

Una aplicación física de las funciones hiperbólicas es la de los cables colgantes. Si un cable de densidad uniforme está suspendido entre dos soportes sin más carga que su propio peso, el cable forma una curva llamada catenaria. Los cables de alto voltaje, las cadenas que cuelgan entre dos postes y los hilos de una tela de araña forman catenarias. La siguiente figura muestra cadenas que cuelgan de una fila de postes.

Técnicas de integración

Introducción

Integración por partes

Abstract:
* Reconocer cuándo utilizar la integración por partes.
* Utilizar la fórmula de integración por partes para resolver problemas de integración.
* Utilizar la fórmula de integración por partes para las integrales definidas.

La fórmula de integración por partes

Si, $h\left(x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right),$ entonces utilizando la regla del producto, obtenemos ${h}^{\prime }\left(x\right)={f}^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)+{g}^{\prime }\left(x\right)f\left(x\right).$ Aunque al principio pueda parecer contraproducente, integremos ahora ambos lados de esta ecuación: $\int {h}^{\prime }\left(x\right)dx=\int \left(g\left(x\right){f}^{\prime }\left(x\right)+f\left(x\right){g}^{\prime }\left(x\right)\right)dx.$

Integración por partes para integrales definidas

Ahora que hemos utilizado con éxito la integración por partes para evaluar integrales indefinidas, pasamos a estudiar las integrales definidas. La técnica de integración es realmente la misma, solo que añadimos un paso para evaluar la integral en los límites superior e inferior de la integración.

Integrales trigonométricas

Abstract:
* Resolver problemas de integración con productos y potencias de $\text{sen}x$ y $\text{cos}x.$
* Resolver problemas de integración con productos y potencias de $\text{tan}x$ y $\text{sec}x.$
* Utilizar fórmulas de reducción para resolver integrales trigonométricas.

Integración de productos y potencias de sen*x* y cos*x*

Una idea clave de la estrategia utilizada para integrar combinaciones de productos y potencias de $\text{sen}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ y $\text{cos}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ implica reescribir estas expresiones como sumas y diferencias de integrales de la forma $\int {\text{sen}}^{j}x{\rule{0.1em}{0ex}}\text{cos}{\rule{0.1em}{0ex}}x{\rule{0.2em}{0ex}}dx$ o $\int {\text{cos}}^{j}x{\rule{0.1em}{0ex}}\text{sen}{\rule{0.1em}{0ex}}x{\rule{0.2em}{0ex}}dx.$ Después de reescribir estas integrales, las evaluamos utilizando la sustitución en *u*. Antes de describir el proceso general en detalle, veamos los siguientes ejemplos.

Integración de productos y potencias de tan*x* y sec*x*

Antes de hablar de la integración de productos y potencias de $\text{tan}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ y $\text{sec}{\rule{0.1em}{0ex}}x,$ es útil recordar las integrales que implican $\text{tan}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ y $\text{sec}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ que ya hemos aprendido:

Fórmulas de reducción

Evaluación de $\int {\text{sec}}^{n}x{\rule{0.2em}{0ex}}dx$ para los valores de $n$ donde $n$ es impar requiere la integración por partes. Además, también debemos conocer el valor de $\int {\text{sec}}^{n–2}x{\rule{0.2em}{0ex}}dx$ para evaluar $\int {\text{sec}}^{n}x{\rule{0.2em}{0ex}}dx.$ La evaluación de $\int {\text{tan}}^{n}x{\rule{0.2em}{0ex}}dx$ también requiere poder integrar $\int {\text{tan}}^{n–2}x{\rule{0.2em}{0ex}}dx.$ Para facilitar el proceso, podemos derivar y aplicar las siguientes fórmulas de reducción de potencias. Estas reglas nos permiten sustituir la integral de una potencia de $\text{sec}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ o $\text{tan}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ por la integral de una potencia inferior de $\text{sec}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ o $\text{tan}{\rule{0.1em}{0ex}}x.$

Sustitución trigonométrica

Abstract: * Resolver problemas de integración que impliquen la raíz cuadrada de una suma o diferencia de dos cuadrados.

Integrales que implican $\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$

Antes de desarrollar una estrategia general para las integrales que contienen $\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}},$ considere la integral $\int \sqrt{9-{x}^{2}}dx.$ Esta integral no puede evaluarse con ninguna de las técnicas sobre las que hemos hablado hasta ahora. Sin embargo, si hacemos la sustitución $x=3{\rule{0.1em}{0ex}}\text{sen}{\rule{0.1em}{0ex}}\theta ,$ tenemos $dx=3{\rule{0.1em}{0ex}}\text{cos}{\rule{0.1em}{0ex}}\theta d\theta .$ Después de sustituir en la integral, tenemos

Integración de expresiones que implican $\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$

Para las integrales que contienen $\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2},}$ consideremos primero el dominio de esta expresión. Dado que $\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$ se define para todos los valores reales de $x,$ limitamos nuestra elección a aquellas funciones trigonométricas que tienen un rango de todos los números reales. Por lo tanto, nuestra elección se limita a seleccionar $x=a{\rule{0.1em}{0ex}}\text{tan}{\rule{0.1em}{0ex}}\theta$ o $x=a{\rule{0.1em}{0ex}}\text{cot}{\rule{0.1em}{0ex}}\theta .$ Cualquiera de estas sustituciones podría funcionar, pero la sustitución estándar es $x=a{\rule{0.1em}{0ex}}\text{tan}{\rule{0.1em}{0ex}}\theta$ o, de forma equivalente, $\text{tan}{\rule{0.1em}{0ex}}\theta =x\text{/}a.$ Con esta sustitución, suponemos que $\text{−}\left(\pi \text{/}2\right)<\theta <\pi \text{/}2,$ por lo que también tenemos $\theta ={\text{tan}}^{–1}\left(x\text{/}a\right).$ El procedimiento para utilizar esta sustitución se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Integración de expresiones que implican $\sqrt{{x}^{2}-{a}^{2}}$

El dominio de la expresión $\sqrt{{x}^{2}-{a}^{2}}$ es $\left(\text{−}\infty ,\text{−}a\right]\cup \left[a,\text{+}\infty \right).$ Por lo tanto, o bien $x\le \text{−}a$ o $x\ge a.$ Por lo tanto, $\frac{x}{a}\le -1$ o $\frac{x}{a}\ge 1.$ Dado que estos intervalos corresponden al rango de $\text{sec}{\rule{0.1em}{0ex}}\theta$ en el conjunto $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2},\pi \right],$ tiene sentido utilizar la sustitución $\text{sec}{\rule{0.1em}{0ex}}\theta =\frac{x}{a}$ o, de forma equivalente, $x=a{\rule{0.1em}{0ex}}\text{sec}{\rule{0.1em}{0ex}}\theta ,$ donde $0\le \theta <\frac{\pi }{2}$ o $\frac{\pi }{2}<\theta \le \pi .$ La sustitución correspondiente para $dx$ es $dx=a{\rule{0.1em}{0ex}}\text{sec}{\rule{0.1em}{0ex}}\theta {\rule{0.1em}{0ex}}\text{tan}{\rule{0.1em}{0ex}}\theta d\theta .$ El procedimiento para utilizar esta sustitución se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Fracciones parciales

Abstract:
* Integrar una función racional utilizando el método de las fracciones parciales.
* Reconocer factores lineales simples en una función racional.
* Reconocer los factores lineales repetidos en una función racional.
* Reconocer los factores cuadráticos de una función racional.

Factores lineales no repetidos

Si $Q\left(x\right)$ se puede factorizar como $\left({a}_{1}x+{b}_{1}\right)\left({a}_{2}x+{b}_{2}\right)\text{…}\left({a}_{n}x+{b}_{n}\right),$ donde cada factor lineal es distinto, entonces es posible hallar las constantes ${A}_{1},{A}_{2}\text{,…}{\rule{0.2em}{0ex}}{A}_{n}$ que satisfacen

Factores lineales repetidos

Para algunas aplicaciones, necesitamos integrar expresiones racionales que tienen denominadores con factores lineales repetidos, es decir, funciones racionales con al menos un factor de la forma ${\left(ax+b\right)}^{n},$ donde $n$ es un número entero positivo mayor o igual a $2.$ Si el denominador contiene el factor lineal repetido ${\left(ax+b\right)}^{n},$ entonces la descomposición debe contener

El método general

Ahora que empezamos a hacernos una idea de cómo funciona la técnica de descomposición en fracciones parciales, vamos a esbozar el método básico en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Factores cuadráticos simples

Ahora vamos a ver la integración de una expresión racional en la que el denominador contiene un factor cuadrático irreducible. Recordemos que el factor cuadrático $a{x}^{2}+bx+c$ es irreducible si $a{x}^{2}+bx+c=0$ no tiene ceros reales, es decir, si ${b}^{2}-4ac<0.$

Otras estrategias de integración

Abstract:
* Utilizar una tabla de integrales para resolver problemas de integración.
* Utilizar un sistema de álgebra computacional (CAS) para resolver problemas de integración.

Tablas de integrales

Las tablas de integración, si se utilizan de forma correcta, pueden ser una forma práctica de evaluar o comprobar una integral rápidamente. Tenga en cuenta que al utilizar una tabla para comprobar una respuesta, es posible que dos soluciones completamente correctas parezcan muy diferentes. Por ejemplo, en la Sustitución trigonométrica, encontramos que, utilizando la sustitución $x=\text{tan}{\rule{0.1em}{0ex}}\theta ,$ podemos llegar a

Sistemas de álgebra computacional

Si está disponible, un CAS es una alternativa más rápida que una tabla para resolver un problema de integración. Muchos de estos sistemas están ampliamente disponibles y son, en general, bastante fáciles de usar.

Integración numérica

Abstract:
* Aproximar el valor de una integral definida utilizando las reglas del punto medio y la trapezoidal.
* Determinar el error absoluto y relativo al utilizar una técnica de integración numérica.
* Estimar el error absoluto y relativo mediante una fórmula de limitación de errores.
* Reconocer cuándo las reglas del punto medio y trapezoidal sobrestiman o subestiman el valor real de una integral.
* Utilizar la regla de Simpson para aproximar el valor de una integral definida con una exactitud determinada.

La regla del punto medio

Anteriormente en este texto hemos definido la integral definida de una función sobre un intervalo como el límite de las sumas de Riemann. En general, cualquier suma de Riemann de una función $f\left(x\right)$ en un intervalo $\left[a,b\right]$ puede verse como una estimación de ${\int }_{a}^{b}f\left(x\right)dx.$ Recordemos que la suma de Riemann de una función $f\left(x\right)$ en un intervalo $\left[a,b\right]$ se obtiene seleccionando una partición

La regla trapezoidal

También podemos aproximar el valor de una integral definida utilizando trapecios en vez de rectángulos. En la [link], el área bajo la curva se aproxima mediante trapecios en vez de rectángulos.

Error absoluto y relativo

Un aspecto importante de la utilización de estas reglas de aproximación numérica consiste en calcular el error cuando se utilizan para estimar el valor de una integral definida. Primero tenemos que definir el error absoluto y el error relativo.

Regla de Simpson

Con la regla del punto medio, estimamos las áreas de las regiones bajo las curvas utilizando rectángulos. En cierto sentido, aproximamos la curva con funciones constantes a trozos. Con la regla trapezoidal, aproximamos la curva utilizando funciones lineales a trozos. ¿Y si, en cambio, aproximáramos una curva utilizando funciones cuadráticas a trozos? Con la regla de Simpson hacemos precisamente esto. Partimos el intervalo en un número par de subintervalos, cada uno de ellos de igual ancho. En el primer par de subintervalos aproximamos ${\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{2}}f\left(x\right)dx$ con ${\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{2}}p\left(x\right)dx,$ donde $p\left(x\right)=A{x}^{2}+Bx+C$ es la función cuadrática que pasa por $\left({x}_{0},f\left({x}_{0}\right)\right),$ $\left({x}_{1},f\left({x}_{1}\right)\right),$ y $\left({x}_{2},f\left({x}_{2}\right)\right)$ ([link]). En el siguiente par de subintervalos aproximamos ${\int }_{{x}_{2}}^{{x}_{4}}f\left(x\right)dx$ con la integral de otra función cuadrática que pasa por $\left({x}_{2},f\left({x}_{2}\right)\right),$ $\left({x}_{3},f\left({x}_{3}\right)\right),$ y $\left({x}_{4},f\left({x}_{4}\right)\right).$ Este proceso se continúa con cada par sucesivo de subintervalos.

Integrales impropias

Abstract:
* Evaluar una integral en un intervalo infinito.
* Evaluar una integral en un intervalo cerrado con una discontinuidad infinita dentro del intervalo.
* Utilizar el teorema de comparación para determinar si una integral definida es convergente.

Integración en un intervalo infinito

¿Cómo podemos definir una integral del tipo ${\int }_{a}^{+\infty }f\left(x\right)dx?$ Podemos integrar ${\int }_{a}^{t}f\left(x\right)dx$ para cualquier valor de $t,$ por lo que es razonable observar el comportamiento de esta integral a medida que sustituimos valores mayores de $t.$ La [link] muestra que ${\int }_{a}^{t}f\left(x\right)dx$ puede interpretarse como área para varios valores de $t.$ En otras palabras, podemos definir una integral impropia como un límite, tomado a medida que uno de los límites de integración aumenta o disminuye sin límite.

Integración de un integrando discontinuo

Ahora vamos a examinar las integrales de funciones que contienen una discontinuidad infinita en el intervalo sobre el que se produce la integración. Consideremos una integral de la forma ${\int }_{a}^{b}f\left(x\right)dx,$ donde $f\left(x\right)$ es continua en $\left[a,b\right)$ y discontinua en $b.$ Dado que la función $f\left(x\right)$ es continua en $\left[a,t\right]$ para todos los valores de $t$ que satisface $a la integral ${\int }_{a}^{t}f\left(x\right)dx$ se define para todos esos valores de $t.$ Por lo tanto, tiene sentido considerar los valores de ${\int }_{a}^{t}f\left(x\right)dx$ a medida que $t$ se acerca a $b$ para $a Es decir, definimos ${\int }_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\underset{t\to {b}^{-}}{\text{lím}}{\int }_{a}^{t}f\left(x\right)dx,$ siempre que exista este límite. La [link] ilustra ${\int }_{a}^{t}f\left(x\right)dx$ como áreas de regiones para valores de $t$ que se acercan a $b.$

Un teorema de comparación

No siempre es fácil, o incluso posible, evaluar directamente una integral impropia; sin embargo, comparándola con otra integral elegida cuidadosamente, puede ser posible determinar su convergencia o divergencia. Para ver esto, considere dos funciones continuas $f\left(x\right)$ y $g\left(x\right)$ que satisface $0\le f\left(x\right)\le g\left(x\right)$ para $x\ge a$ ([link]). En este caso, podemos ver integrales de estas funciones en intervalos de la forma $\left[a,t\right]$ como áreas, por lo que tenemos la relación

Introducción a las ecuaciones diferenciales

Introducción

Fundamentos de las ecuaciones diferenciales

Abstract:
* Identificar el orden de una ecuación diferencial.
* Explicar qué se entiende por solución de una ecuación diferencial.
* Distinguir entre la solución general y la solución particular de una ecuación diferencial.
* Identificar un problema de valor inicial.
* Identificar si una función dada es una solución de una ecuación diferencial o un problema de valor inicial.

Ecuaciones diferenciales generales

Considere la ecuación ${y}^{\prime }=3{x}^{2},$ que es un ejemplo de ecuación diferencial porque incluye una derivada. Existe una relación entre las variables $x$ como $y\text{:}{\rule{0.2em}{0ex}}y$ es una función desconocida de $x.$ Además, el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de $y.$ Por lo tanto, podemos interpretar esta ecuación de la siguiente manera: Comience con alguna función $y=f\left(x\right)$ y tome su derivada. La respuesta debe ser igual a $3{x}^{2}.$ ¿Qué función tiene una derivada que es igual a $3{x}^{2}?$ Una de estas funciones es $y={x}^{3},$ por lo que esta función se considera una solución a una ecuación diferencial.

Soluciones generales y particulares

Ya hemos señalado que la ecuación diferencial ${y}^{\prime }=2x$ tiene al menos dos soluciones: $y={x}^{2}$ y $y={x}^{2}+4.$ La única diferencia entre estas dos soluciones es el último término, que es una constante. ¿Y si el último término es una constante diferente? ¿Esta expresión seguirá siendo una solución de la ecuación diferencial? De hecho, cualquier función de la forma $y={x}^{2}+C,$ donde $C$ representa cualquier constante, es también una solución. La razón es que la derivada de ${x}^{2}+C$ es $2x,$ independientemente del valor de $C.$ Se puede demostrar que cualquier solución de esta ecuación diferencial debe ser de la forma $y={x}^{2}+C.$ Este es un ejemplo de solución general de una ecuación diferencial. Un gráfico de algunas de estas soluciones se ofrece en la [link]. (*Nota*: En este gráfico hemos utilizado valores enteros pares para $C$, que oscila entre $-4$ y $4.$ De hecho, no hay ninguna restricción en el valor de $C;$ puede ser un número entero o no).

Problemas de valor inicial

Normalmente, una ecuación diferencial dada tiene un número infinito de soluciones, por lo que es natural preguntarse cuál queremos utilizar. Para elegir una solución, se necesita más información. Una información específica que puede ser útil es un valor inicial, que es un par ordenado que se utiliza para hallar una solución particular.

Campos de direcciones y métodos numéricos

Abstract:
* Dibujar el campo de direcciones para una ecuación diferencial de primer orden dada.
* Utilizar un campo de direcciones para dibujar una curva de solución de una ecuación diferencial de primer orden.
* Utilizar el método de Euler para aproximar la solución de una ecuación diferencial de primer orden.

Creación de campos de direcciones

Los campos de direcciones (también llamados campos de pendiente) son útiles para investigar las ecuaciones diferenciales de primer orden. En particular, consideramos una ecuación diferencial de primer orden de la forma

Uso de los campos de direcciones

Podemos utilizar un campo de direcciones para predecir el comportamiento de las soluciones de una ecuación diferencial sin conocer la solución real. Por ejemplo, el campo de direcciones en la [link] sirve de guía para el comportamiento de las soluciones de la ecuación diferencial $y\prime =3x+2y-4.$

Método de Euler

Consideremos el problema de valor inicial

Ecuaciones separables

Abstract:
* Utilizar la separación de variables para resolver una ecuación diferencial.
* Resolver aplicaciones utilizando la separación de variables.

Separación de variables

Comenzamos con una definición y algunos ejemplos.

Aplicaciones de la separación de variables

Muchos problemas interesantes pueden describirse mediante ecuaciones separables. Ilustramos dos tipos de problemas: las concentraciones de soluciones y la ley de Newton del enfriamiento.

La ecuación logística

Abstract:
* Describir el concepto de capacidad de carga ambiental en el modelo logístico de crecimiento de la población.
* Dibujar un campo de direcciones para una ecuación logística e interpretar las curvas solución.
* Resolver una ecuación logística e interpretar los resultados.

Crecimiento de la población y capacidad de carga

Para modelar el crecimiento de la población mediante una ecuación diferencial, primero tenemos que introducir algunas variables y términos relevantes. La variable $t.$ representará el tiempo. Las unidades de tiempo pueden ser horas, días, semanas, meses o incluso años. Cualquier problema dado debe especificar las unidades utilizadas en ese problema en particular. La variable $P$ representará a la población. Como la población varía con el tiempo, se entiende que es una función del tiempo. Por lo tanto, utilizamos la notación $P\left(t\right)$ para la población en función del tiempo. Si $P\left(t\right)$ es una función diferenciable, entonces la primera derivada $\frac{dP}{dt}$ representa la tasa instantánea de cambio de la población en función del tiempo.

Resolución de la ecuación diferencial logística

La ecuación diferencial logística es una ecuación diferencial autónoma, por lo que podemos utilizar la separación de variables para hallar la solución general, como acabamos de hacer en el [link].

Ecuaciones lineales de primer orden

Abstract:
* Escribir una ecuación diferencial lineal de primer orden en forma estándar.
* Hallar un factor de integración y utilizarlo para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden.
* Resolver problemas aplicados que impliquen ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Forma estándar

Considere la ecuación diferencial

Factores de integración

Ahora desarrollamos una técnica de solución para cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden. Comenzamos con la forma estándar de una ecuación diferencial lineal de primer orden:

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Estudiamos dos aplicaciones diferentes de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. La primera tiene que ver con la resistencia del aire en relación con los objetos que suben o bajan; la segunda, con un circuito eléctrico. Hay muchas otras aplicaciones, pero la mayoría se resuelve de forma similar.

Secuencias y series

Introducción

Secuencias

Abstract:
* Hallar la fórmula del término general de una secuencia.
* Calcular el límite de una secuencia si existe.
* Determinar la convergencia o divergencia de una secuencia dada.

Terminología de las secuencias

Para trabajar con este nuevo tema, necesitamos algunos términos y definiciones nuevos. En primer lugar, una secuencia infinita es una lista ordenada de números de la forma

Límite de una secuencia

Una cuestión fundamental que se plantea respecto a las secuencias infinitas es el comportamiento de los términos a medida que $n$ se hace más grande. Dado que una secuencia es una función definida sobre los enteros positivos, tiene sentido hablar del límite de los términos como $n\to \infty .$ Por ejemplo, considere las siguientes cuatro secuencias y sus diferentes comportamientos como $n\to \infty$ (vea la [link]):

Secuencias delimitadas

Ahora nos centraremos en uno de los teoremas más importantes sobre las secuencias: el teorema de convergencia monótona. Antes de enunciar el teorema, debemos introducir algo de terminología y motivación. Empezamos por definir lo que significa que una secuencia esté delimitada.

Serie infinita

Abstract:
* Explicar el significado de la suma de una serie infinita.
* Calcular la suma de una serie geométrica.
* Evaluar una serie telescópica.

Sumas y series

Una serie infinita es una suma de infinitos términos y se escribe de la forma

Serie telescópica

Considere la serie $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left(n+1\right)}.$ Discutimos esta serie en el [link], mostrando que la serie converge escribiendo las primeras sumas parciales ${S}_{1},{S}_{2}\text{,…},{S}_{6}$ y observando que todas son de la forma ${S}_{k}=\frac{k}{k+1}.$ Aquí utilizamos una técnica diferente para demostrar que esta serie converge. Utilizando fracciones parciales, podemos escribir

Las pruebas de divergencia e integral

Abstract:
* Utilizar la prueba de divergencia para determinar si una serie converge o diverge.
* Utilizar la prueba de la integral para determinar la convergencia de una serie.
* Estimar el valor de una serie encontrando los límites de su término restante.

Prueba de divergencia

Para que una serie $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converja, la $\mathrm{ené}\text{−ésimo}$ término ${a}_{n}$ debe satisfacer ${a}_{n}\to 0$ a medida que $n\to \infty .$

Prueba de la integral

En la sección anterior, demostramos que la serie armónica diverge observando la secuencia de sumas parciales $\left\{{S}_{k}\right\}$ y demostrando que ${S}_{{2}^{k}}>1+k\text{/}2$ para todos los enteros positivos $k.$ En esta sección utilizamos una técnica diferente para demostrar la divergencia de la serie armónica. Esta técnica es importante porque se utiliza para demostrar la divergencia o convergencia de muchas otras series. Esta prueba, llamada prueba de la integral, compara una suma infinita con una integral impropia. Es importante señalar que esta prueba solo puede aplicarse cuando consideramos una serie cuyos términos son todos positivos.

La serie *p*

La serie armónica $\sum _{n=1}^{\infty }1\text{/}n$ y la serie $\sum _{n=1}^{\infty }1\text{/}{n}^{2}$ son ambos ejemplos de un tipo de serie llamada serie *p*.

Estimar el valor de una serie

Supongamos que sabemos que una serie $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converge y queremos estimar la suma de esa serie. Ciertamente podemos aproximar esa suma utilizando cualquier suma finita $\sum _{n=1}^{N}{a}_{n}$ donde $N$ es cualquier número entero positivo. La cuestión que abordamos aquí es, para una serie convergente $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n},$ ¿qué tan buena es la aproximación $\sum _{n=1}^{N}{a}_{n}\text{?}$ Más concretamente, si suponemos que

Pruebas de comparación

Abstract:
* Utilizar la prueba de comparación para comprobar la convergencia de una serie.
* Utilizar la prueba de comparación de límites para determinar la convergencia de una serie.

Prueba de comparación

En las dos secciones anteriores, hemos hablado de dos grandes clases de series: las series geométricas y las series *p*. Sabemos exactamente cuándo estas series convergen y cuándo divergen. Aquí mostramos cómo utilizar la convergencia o divergencia de estas series para demostrar la convergencia o divergencia de otras series, utilizando un método llamado prueba de comparación.

Prueba de comparación de límites

La prueba de comparación funciona bien si podemos hallar una serie comparable que satisfaga la hipótesis de la prueba. Sin embargo, a veces puede ser difícil hallar una serie adecuada. Considere la serie

Series alternadas

Abstract:
* Utilizar la prueba de series alternadas para comprobar la convergencia de una serie alterna.
* Estimar la suma de una serie alternada.
* Explicar el significado de convergencia absoluta y convergencia condicional.

La prueba de las series alternadas

Una serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos es una serie alternada. Por ejemplo, las series

Resto de una serie alternada

Es difícil calcular de manera explícita la suma de la mayoría de las series alternadas, por lo que normalmente la suma se aproxima utilizando una suma parcial. Al hacerlo, nos interesa la cantidad de error en nuestra aproximación. Considere una serie alternada

Convergencia absoluta y condicional

Considere una serie $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ y la serie relacionada $\sum _{n=1}^{\infty }|{a}_{n}|.$ Aquí hablamos sobre las posibilidades de la relación entre la convergencia de estas dos series. Por ejemplo, consideremos la serie armónica alternada $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(–1\right)}^{n+1}\text{/}n.$ La serie cuyos términos son el valor absoluto de estos términos es la serie armónica, dado que $\sum _{n=1}^{\infty }|{\left(–1\right)}^{n+1}\text{/}n|=\sum _{n=1}^{\infty }1\text{/}n.$ Como la serie armónica alternada converge, pero la serie armónica diverge, decimos que la serie armónica alternada presenta una convergencia condicional.

Criterios del cociente y la raíz

Abstract:
* Utilizar el criterio del cociente para determinar la convergencia absoluta de una serie.
* Utilizar el criterio de la raíz para determinar la convergencia absoluta de una serie.
* Describir una estrategia para comprobar la convergencia de una serie dada.

Criterio del cociente

Considere una serie $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}.$ De nuestra discusión y ejemplos anteriores, sabemos que $\underset{n\to \infty }{\text{lím}}{a}_{n}=0$ no es una condición suficiente para que la serie converja. No solo necesitamos ${a}_{n}\to 0,$ sino que necesitamos ${a}_{n}\to 0$ lo suficientemente rápido. Por ejemplo, considere la serie $\sum _{n=1}^{\infty }1\text{/}n$ y la serie $\sum _{n=1}^{\infty }1\text{/}{n}^{2}.$ Sabemos que $1\text{/}n\to 0$ y $1\text{/}{n}^{2}\to 0.$ Sin embargo, solo la serie $\sum _{n=1}^{\infty }1\text{/}{n}^{2}$ converge. La serie $\sum _{n=1}^{\infty }1\text{/}n$ diverge porque los términos de la secuencia $\left\{1\text{/}n\right\}$ no se acercan a cero lo suficientemente rápido a medida que $n\to \infty .$ Aquí introducimos el criterio del cociente, que proporciona una forma de medir la rapidez con la que los términos de una serie se acercan a cero.

Elegir una prueba de convergencia

En este punto, tenemos una larga lista de pruebas de convergencia. Sin embargo, no todas las pruebas pueden utilizarse para todas las series. Ante una serie, debemos determinar qué prueba es mejor utilizar. He aquí una estrategia para encontrar la mejor prueba a aplicar.

Serie de potencias

Introducción

Series y funciones de potencia

Abstract:
* Identificar una serie de potencias y proporcionar ejemplos de ellas.
* Determinar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de una serie de potencias.
* Utilizar una serie de potencias para representar una función.

Forma de una serie de potencia

Una serie de la forma

Convergencia de una serie de potencias

Como los términos de una serie de potencias implican una variable *x*, la serie puede converger para ciertos valores de *x* y divergir para otros valores de *x*. Para una serie de potencias centrada en $x=a,$ el valor de la serie en $x=a$ está dado por ${c}_{0}.$ Por lo tanto, una serie de potencias siempre converge en su centro. Algunas series de potencias convergen solo en ese valor de *x*. Sin embargo, la mayoría de las series de potencias convergen para más de un valor de *x*. En ese caso, la serie de potencias converge para todos los números reales *x* o converge para todo *x* en un intervalo finito. Por ejemplo, la serie geométrica $\sum _{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ converge para todo *x* en el intervalo $\left(–1,1\right),$ pero diverge para todo *x* fuera de ese intervalo. Ahora resumimos estas tres posibilidades para una serie de potencias general.

Representación de funciones como series de potencias

Poder representar una función mediante un "polinomio infinito" es una herramienta poderosa. Las funciones polinómicas son las más fáciles de analizar, ya que solo implican las operaciones aritméticas básicas de suma, resta, multiplicación y división. Si podemos representar una función complicada mediante un polinomio infinito, podemos utilizar la representación polinómica para diferenciarla o integrarla. Además, podemos utilizar una versión truncada de la expresión polinómica para aproximar los valores de la función. Entonces, la pregunta es: ¿cuándo podemos representar una función mediante una serie de potencias?

Propiedades de las series de potencia

Abstract:
* Combinar series de potencias por adición o sustracción.
* Crear una nueva serie de potencias mediante la multiplicación por una potencia de la variable o una constante, o por sustitución.
* Multiplicar dos series de potencias entre sí.
* Diferenciar e integrar series de potencias término a término.

Combinación de series de potencias

Si tenemos dos series de potencias con el mismo intervalo de convergencia, podemos sumar o restar las dos series para crear una nueva serie de potencias, también con el mismo intervalo de convergencia. Del mismo modo, podemos multiplicar una serie de potencias por una potencia de *x* o evaluar una serie de potencias en ${x}^{m}$ para un número entero positivo *m* para crear una nueva serie de potencias. Esto nos permite hallar representaciones en series de potencias para ciertas funciones utilizando representaciones en series de potencias de otras funciones. Por ejemplo, dado que conocemos la representación en series de potencias para $f\left(x\right)=\frac{1}{1-x},$ podemos hallar representaciones en series de potencias para funciones relacionadas, como

Multiplicación de series de potencias

También podemos crear nuevas series de potencias multiplicando series de potencias. La posibilidad de multiplicar dos series de potencias proporciona otra forma de hallar representaciones en series de potencias para las funciones.

Diferenciación e integración de series de potencias

Consideremos una serie de potencias $\sum _{n=0}^{\infty }{c}_{n}{x}^{n}={c}_{0}+{c}_{1}x+{c}_{2}{x}^{2}+\text{⋯}$ que converge en algún intervalo *I*, y supongamos que $f$ es la función definida por esta serie. Aquí abordamos dos preguntas sobre $f.$

Series de Taylor y Maclaurin

Abstract:
* Describir el procedimiento para calcular un polinomio de Taylor de un orden dado para una función.
* Explicar el significado y la importancia del teorema de Taylor con resto.
* Estimar el resto de una aproximación en serie de Taylor de una función dada.

Resumen de la serie de Taylor/Maclaurin

Considere una función $f$ que tiene una representación en serie de potencias en $x=a.$ Entonces la serie tiene la forma

Polinomios de Taylor

La *enésima* suma parcial de la serie de Taylor para una función $f$ en $a$ se conoce como el *enésimo* polinomio de Taylor. Por ejemplo, las sumas parciales 0, 1, 2 y 3 de la serie de Taylor están dadas por

Teorema de Taylor con resto

Recordemos que el *enésimo* polinomio de Taylor para una función $f$ en *a* es la *enésima* suma parcial de la serie de Taylor para $f$ en *a*. Por lo tanto, para determinar si la serie de Taylor converge, necesitamos determinar si la secuencia de polinomios de Taylor $\left\{{p}_{n}\right\}$ converge. Sin embargo, no solo queremos saber si la secuencia de polinomios de Taylor converge, sino que queremos saber si converge a $f.$ Para responder esta pregunta, definimos el resto ${R}_{n}\left(x\right)$ como

Representación de funciones con series de Taylor y Maclaurin

Ahora discutiremos los problemas de convergencia de las series de Taylor. Comenzamos mostrando cómo calcular una serie de Taylor para una función y cómo calcular su intervalo de convergencia.

Trabajar con la serie de Taylor

Abstract:
* Escribir los términos de la serie binomial.
* Reconocer las expansiones en serie de Taylor de las funciones comunes.
* Reconocer y aplicar las técnicas para calcular la serie de Taylor de una función.
* Utilizar las series de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales.
* Utilizar las series de Taylor para evaluar integrales no elementales.

La serie binomial

Nuestro primer objetivo en esta sección es determinar la serie de Maclaurin para la función $f\left(x\right)={\left(1+x\right)}^{r}$ para todos los números reales $r.$ La serie de Maclaurin para esta función se conoce como serie binomial. Empezamos considerando el caso más sencillo: $r$ es un número entero no negativo. Recordemos que, para $r=0,1,2,3,4,f\left(x\right)={\left(1+x\right)}^{r}$ puede escribirse como

Funciones comunes expresadas como series de Taylor

En este punto, hemos derivado las series de Maclaurin para funciones exponenciales, trigonométricas y logarítmicas, así como para funciones de la forma $f\left(x\right)={\left(1+x\right)}^{r}.$ En la [link], resumimos los resultados de estas series. Observamos que la convergencia de la serie de Maclaurin para $f\left(x\right)=\text{ln}{\rule{0.1em}{0ex}}\left(1+x\right)$ en el punto final $x=1$ y la serie de Maclaurin para $f\left(x\right)={\text{tan}}^{-1}x$ en los puntos finales $x=1$ y $x=-1$ se basa en un teorema más avanzado que el que presentamos aquí. (Consulte el teorema de Abel para ver este punto más técnico).

Resolución de ecuaciones diferenciales con series de potencias

Considere la ecuación diferencial

Evaluación de integrales no elementales

La resolución de ecuaciones diferenciales es una aplicación común de las series de potencias. Pasamos ahora a una segunda aplicación. Mostramos cómo se pueden utilizar las series de potencias para evaluar integrales en las que intervienen funciones cuyas antiderivadas no se pueden expresar mediante funciones elementales.

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Introducción

Ecuaciones paramétricas

Abstract:
* Graficar una curva descrita por ecuaciones paramétricas.
* Convertir las ecuaciones paramétricas de una curva en la forma $y=f\left(x\right).$
* Reconocer las ecuaciones paramétricas de las curvas básicas, como una línea y un círculo.
* Reconocer las ecuaciones paramétricas de una cicloide.

Ecuaciones paramétricas y sus gráficos

Consideremos la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Nuestro año dura aproximadamente 365,25 días, pero para esta discusión utilizaremos 365 días. El 1 de enero de cada año, la ubicación física de la Tierra con respecto al Sol es prácticamente la misma, excepto en los años bisiestos, en los que el desfase introducido por el $\frac{1}{4}$ día de tiempo orbital se incorpora en el calendario. Llamamos al 1 de enero "día 1" del año. Entonces, por ejemplo, el día 31 es el 31 de enero, el día 59 es el 28 de febrero, y así sucesivamente.

Eliminar el parámetro

Para entender mejor el gráfico de una curva representada con ecuaciones paramétricas es útil reescribir las dos ecuaciones como una única ecuación que relaciona las variables *x* y *y.* Entonces podemos aplicar cualquier conocimiento previo de ecuaciones de curvas en el plano para identificar la curva. Por ejemplo, las ecuaciones que describen la curva plana en el [link]b. son

Cicloides y otras curvas paramétricas

Imagine que va a dar un paseo en bicicleta por el campo. Los neumáticos permanecen en contacto con la carretera y giran siguiendo un patrón predecible. Ahora supongamos que una hormiga muy decidida está cansada después de un largo día y quiere llegar a casa. Así que se aferra al lado del neumático y consigue un viaje gratis. El camino que recorre esta hormiga por una carretera recta se llama cicloide ([link]). Una cicloide generada por un círculo (o rueda de bicicleta) de radio *a* viene dada por las ecuaciones paramétricas

Cálculo de curvas paramétricas

Abstract:
* Determinar las derivadas y las ecuaciones de las tangentes de las curvas paramétricas.
* Hallar el área bajo una curva paramétrica.
* Utilizar la ecuación de la longitud de arco de una curva paramétrica.
* Aplicar la fórmula de la superficie a un volumen generado por una curva paramétrica.

Derivadas de ecuaciones paramétricas

Empezamos preguntando cómo calcular la pendiente de una línea tangente a una curva paramétrica en un punto. Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas

Derivadas de segundo orden

Nuestro siguiente objetivo es ver cómo tomar la segunda derivada de una función definida paramétricamente. La segunda derivada de una función $y=f\left(x\right)$ se define como la derivada de la primera derivada; es decir,

Integrales con ecuaciones paramétricas

Ahora que hemos visto cómo calcular la derivada de una curva plana, la siguiente pregunta es la siguiente: ¿Cómo hallar el área bajo una curva definida paramétricamente? Recordemos la cicloide definida por las ecuaciones $x\left(t\right)=t-\text{sen}{\rule{0.2em}{0ex}}t,{\rule{1em}{0ex}}y\left(t\right)=1-\text{cos}{\rule{0.2em}{0ex}}t.$ Supongamos que queremos hallar el área de la región sombreada en el siguiente gráfico.

Longitud de arco de una curva paramétrica

Además de hallar el área bajo una curva paramétrica, a veces necesitamos hallar la longitud de arco de una curva paramétrica. En el caso de un segmento de línea, la longitud de arco es igual a la distancia entre los puntos extremos. Si una partícula viaja del punto *A* al punto *B* a lo largo de una curva, la distancia que recorre esa partícula es la longitud del arco. Para desarrollar una fórmula para la longitud de arco, comenzamos con una aproximación por segmentos de línea como se muestra en el siguiente gráfico.

Área superficial generada por una curva paramétrica

Recordemos el problema de hallar el área superficial de un volumen de revolución. En Longitud de la curva y área superficial, derivamos una fórmula para hallar el área superficial de un volumen generado por una función $y=f\left(x\right)$ de $x=a$ a $x=b,$ que giraba alrededor del eje *x*:

Coordenadas polares

Abstract:
* Localizar puntos en un plano utilizando coordenadas polares.
* Convertir puntos entre coordenadas rectangulares y polares.
* Dibujar curvas polares a partir de ecuaciones dadas.
* Convertir ecuaciones entre coordenadas rectangulares y polares.
* Identificar la simetría en curvas y ecuaciones polares.

Definición de coordenadas polares

Para hallar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares, considere la [link]. El punto $P$ tiene coordenadas cartesianas $\left(x,y\right).$ El segmento de línea que conecta el origen con el punto $P$ mide la distancia desde el origen hasta $P$ y tiene longitud $r.$ El ángulo entre el eje $x$ positivo y el segmento de línea tiene medida $\theta .$ Esta observación sugiere una correspondencia natural entre el par de coordenadas $\left(x,y\right)$ y los valores $r$ y $\theta .$ Esta correspondencia es la base del sistema de coordenadas polares. Observe que cada punto del plano cartesiano tiene dos valores (de ahí el término *par ordenado*) asociados. En el sistema de coordenadas polares, cada punto tiene también dos valores asociados: $r$ y $\theta .$

Curvas polares

Ahora que sabemos cómo trazar puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos hablar de cómo trazar curvas. En el sistema de coordenadas rectangulares, podemos graficar una función $y=f\left(x\right)$ y crear una curva en el plano cartesiano. De forma similar, podemos graficar una curva generada por una función $r=f\left(\theta \right).$

Simetría en coordenadas polares

Al estudiar la simetría de las funciones en coordenadas rectangulares (es decir, en la forma $y=f\left(x\right)\right),$ hablamos de simetría con respecto al eje *y* y de simetría con respecto al origen. En particular, si $f\left(\text{−}x\right)=f\left(x\right)$ para todo $x$ en el dominio de $f,$ entonces $f$ es una función par y su gráfico es simétrico con respecto al eje *y*. Si los valores de $f\left(\text{−}x\right)=\text{−}f\left(x\right)$ para todo $x$ en el dominio de $f,$ entonces $f$ es una función impar y su gráfico es simétrico con respecto al origen. Al determinar qué tipos de simetría presenta un gráfico, podemos saber más sobre su forma y apariencia. La simetría también puede revelar otras propiedades de la función que genera el gráfico. La simetría en las curvas polares funciona de forma similar.

Área y longitud de arco en coordenadas polares

Abstract:
* Aplicar la fórmula del área de una región en coordenadas polares.
* Determinar la longitud de arco de una curva polar.

Áreas de regiones delimitadas por curvas polares

Hemos estudiado las fórmulas del área bajo una curva definida en coordenadas rectangulares y de las curvas definidas paramétricamente. Ahora nos centraremos en derivar una fórmula para el área de una región delimitada por una curva polar. Recordemos que en la demostración del teorema fundamental del cálculo se utilizó el concepto de suma de Riemann para aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos. Para las curvas polares volvemos a utilizar la suma de Riemann, pero los rectángulos se sustituyen por sectores de un círculo.

Longitud del arco en curvas polares

Aquí derivamos una fórmula para la longitud de arco de una curva definida en coordenadas polares.

Secciones cónicas

Abstract:
* Identificar la ecuación de una parábola en forma estándar con foco y directriz dados.
* Identificar la ecuación de una elipse en forma estándar con focos dados.
* Identificar la ecuación de una hipérbola en forma estándar con focos dados.
* Reconocer una parábola, elipse o hipérbola a partir de su valor de excentricidad.
* Escribir la ecuación polar de una sección cónica con excentricidad $e$.
* Identificar cuándo una ecuación general de grado dos es una parábola, una elipse o una hipérbola.

Parábolas

Una parábola se genera cuando un plano interseca un cono paralelo en la línea generadora. En este caso, el plano interseca solo una de las hojas. Una parábola también puede definirse en términos de distancias.

Elipses

Una elipse también puede definirse en términos de distancias. En el caso de una elipse, hay dos focos y dos directrices. Más adelante veremos las directrices con más detalle.

Hipérbolas

Una hipérbola también puede definirse en términos de distancias. En el caso de una hipérbola, hay dos focos y dos directrices. Las hipérbolas también tienen dos asíntotas.

Excentricidad y directriz

Una forma alternativa de describir una sección cónica implica las directrices, los focos y una nueva propiedad llamada excentricidad. Veremos que el valor de la excentricidad de una sección cónica puede definir de forma única esa sección cónica.

Ecuaciones polares de secciones cónicas

A veces es útil escribir o identificar la ecuación de una sección cónica en forma polar. Para ello, necesitamos el concepto de parámetro focal. El parámetro focal de una sección cónica *p* se define como la distancia de un foco a la directriz más cercana. En la siguiente tabla se indican los parámetros focales para los distintos tipos de secciones cónicas, donde *a* es la longitud del semieje mayor (es decir, la mitad de la longitud del eje mayor), *c* es la distancia del origen al foco y *e* es la excentricidad. En el caso de una parábola, *a* representa la distancia del vértice al foco.

Ecuaciones generales de grado dos

Una ecuación general de grado dos puede escribirse de la forma

Tabla de integrales

Integrales básicas

1. $\int {u}^{n}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{{u}^{n+1}}{n+1}+C,n\ne \text{−}1$

Integrales trigonométricas

18. $\int {\text{sen}}^{2}u{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{1}{2}u-\frac{1}{4}\text{sen}{\rule{0.2em}{0ex}}2u+C$

Integrales exponenciales y logarítmicas

42. $\int u{e}^{au}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{1}{{a}^{2}}\left(au-1\right){e}^{au}+C$

Integrales hiperbólicas

49. $\int \text{senoh}{\rule{0.2em}{0ex}}u{\rule{0.2em}{0ex}}du=\text{cosh}{\rule{0.2em}{0ex}}u+C$

Integrales trigonométricas inversas

59. $\int {\text{sen}}^{-1}u{\rule{0.2em}{0ex}}du=u{\rule{0.2em}{0ex}}{\text{sin}}^{-1}u+\sqrt{1-{u}^{2}}+C$

Integrales que implican *a*2 + *u*2, *a* > 0

68. $\int \sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{2}\text{ln}{\rule{0.1em}{0ex}}\left(u+\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}\right)+C$

Integrales que implican *u*2 - *a*2, *a* > 0

77. $\int \sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}-\frac{{a}^{2}}{2}\text{ln}{\rule{0.1em}{0ex}}|u+\sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}|+C$

Integrales que implican *a*2 - *u*2, *a* > 0

85. $\int \sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{2}{\text{sen}}^{-1}\frac{u}{a}+C$

Integrales que implican 2*au* - *u*2, *a* > 0

94. $\int \sqrt{2au-{u}^{2}}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{u-a}{2}\sqrt{2au-{u}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{2}{\text{cos}}^{-1}\left(\frac{a-u}{a}\right)+C$

Integrales que implican *a* + *bu*, *a* ≠ 0

98. $\int \frac{u{\rule{0.2em}{0ex}}du}{a+bu}=\frac{1}{{b}^{2}}\left(a+bu-a\text{ln}{\rule{0.1em}{0ex}}|a+bu|\right)+C$

Tabla de derivadas

Fórmulas generales

1. $\frac{d}{dx}\left(c\right)=0$

Funciones trigonométricas

9. $\frac{d}{dx}\left(\text{sen}{\rule{0.1em}{0ex}}x\right)=\text{cos}{\rule{0.1em}{0ex}}x$

Funciones trigonométricas inversas

15. $\frac{d}{dx}\left({\text{sin}}^{-1}x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$

Funciones exponenciales y logarítmicas

21. $\frac{d}{dx}\left({e}^{x}\right)={e}^{x}$

Funciones hiperbólicas

25. $\frac{d}{dx}\left(\text{senoh}{\rule{0.1em}{0ex}}x\right)=\text{cosh}{\rule{0.1em}{0ex}}x$

Funciones hiperbólicas inversas

31. $\frac{d}{dx}\left({\text{senoh}}^{-1}x\right)=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$

Repaso de Precálculo

Fórmulas de geometría

Los términos $A=\text{área},$ $V=\text{Volumen},{\rule{0.2em}{0ex}}\text{y}$ $S=\text{área superficial lateral}$

Fórmulas de álgebra

Fórmulas de trigonometría