Prefacio

Acerca de OpenStax

OpenStax es una organización sin fines de lucro con sede en la Universidad de Rice. Nuestra misión es mejorar el acceso de los estudiantes a la educación. Nuestro primer libro de texto universitario con licencia abierta se publicó en 2012, y desde entonces nuestra biblioteca se ha ampliado a más de 25 libros para cursos universitarios y de Colocación Avanzada (Advanced Placement, AP®) utilizados por cientos de miles de estudiantes. OpenStax Tutor, nuestra herramienta de aprendizaje personalizado de bajo costo, se utiliza en cursos universitarios de todo el país. A través de nuestras asociaciones con fundaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras organizaciones de recursos educativos, OpenStax rompe las barreras más comunes para el aprendizaje y otorga poder a los estudiantes e instructores para que triunfen.

Sobre los recursos de OpenStax

Sobre *Cálculo volumen 3*

*Cálculo* está diseñado para el típico curso de cálculo general de dos o tres semestres, incorporando características innovadoras para mejorar el aprendizaje del estudiante. El libro guía a los estudiantes a través de los conceptos básicos del cálculo y los ayuda a entender cómo esos conceptos se aplican a sus vidas y al mundo que los rodea. Debido a la naturaleza integral del material, ofrecemos el libro en tres volúmenes para mayor flexibilidad y eficiencia. El volumen 3 abarca las ecuaciones paramétricas y las coordenadas polares, los vectores, las funciones de varias variables, la integración múltiple y las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Recursos adicionales

Sobre los autores

Introducción

Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones paramétricas y sus gráficos

Consideremos la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Nuestro año dura aproximadamente 365,25 días, pero para esta discusión utilizaremos 365 días. El 1 de enero de cada año, la ubicación física de la Tierra con respecto al Sol es prácticamente la misma, excepto en los años bisiestos, en los que el desfase introducido por el $\frac{1}{4}$ día de tiempo orbital se incorpora en el calendario. Llamamos al 1 de enero "día 1" del año. Entonces, por ejemplo, el día 31 es el 31 de enero, el día 59 es el 28 de febrero, y así sucesivamente.

Eliminar el parámetro

Para entender mejor el gráfico de una curva representada con ecuaciones paramétricas es útil reescribir las dos ecuaciones como una única ecuación que relaciona las variables *x* y *y.* Entonces podemos aplicar cualquier conocimiento previo de ecuaciones de curvas en el plano para identificar la curva. Por ejemplo, las ecuaciones que describen la curva plana en el [link]b. son

Cicloides y otras curvas paramétricas

Imagine que va a dar un paseo en bicicleta por el campo. Los neumáticos permanecen en contacto con la carretera y giran siguiendo un patrón predecible. Ahora supongamos que una hormiga muy decidida está cansada después de un largo día y quiere llegar a casa. Así que se aferra al lado del neumático y consigue un viaje gratis. El camino que recorre esta hormiga por una carretera recta se llama cicloide ([link]). Una cicloide generada por un círculo (o rueda de bicicleta) de radio *a* viene dada por las ecuaciones paramétricas

Cálculo de curvas paramétricas

Derivadas de ecuaciones paramétricas

Empezamos preguntando cómo calcular la pendiente de una línea tangente a una curva paramétrica en un punto. Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas

Derivadas de segundo orden

Nuestro siguiente objetivo es ver cómo tomar la segunda derivada de una función definida paramétricamente. La segunda derivada de una función $y=f\left(x\right)$ se define como la derivada de la primera derivada; es decir,

Integrales con ecuaciones paramétricas

Ahora que hemos visto cómo calcular la derivada de una curva plana, la siguiente pregunta es la siguiente: ¿Cómo hallar el área bajo una curva definida paramétricamente? Recordemos la cicloide definida por las ecuaciones $x\left(t\right)=t-\text{sen}{\rule{0.2em}{0ex}}t,{\rule{1em}{0ex}}y\left(t\right)=1-\text{cos}{\rule{0.2em}{0ex}}t.$ Supongamos que queremos hallar el área de la región sombreada en el siguiente gráfico.

Además de hallar el área bajo una curva paramétrica, a veces necesitamos hallar la longitud de arco de una curva paramétrica. En el caso de un segmento de línea, la longitud de arco es igual a la distancia entre los puntos extremos. Si una partícula viaja del punto *A* al punto *B* a lo largo de una curva, la distancia que recorre esa partícula es la longitud del arco. Para desarrollar una fórmula para la longitud de arco, comenzamos con una aproximación por segmentos de línea como se muestra en el siguiente gráfico.

Recordemos el problema de hallar el área superficial de un volumen de revolución. En Longitud de la curva y área superficial, derivamos una fórmula para hallar el área superficial de un volumen generado por una función $y=f\left(x\right)$ de $x=a$ a $x=b,$ que giraba alrededor del eje *x*:

Coordenadas polares

Definición de coordenadas polares

Para hallar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares, considere la [link]. El punto $P$ tiene coordenadas cartesianas $\left(x,y\right).$ El segmento de línea que conecta el origen con el punto $P$ mide la distancia desde el origen hasta $P$ y tiene longitud $r.$ El ángulo entre el eje $x$ positivo y el segmento de línea tiene medida $\theta .$ Esta observación sugiere una correspondencia natural entre el par de coordenadas $\left(x,y\right)$ y los valores $r$ y $\theta .$ Esta correspondencia es la base del sistema de coordenadas polares. Observe que cada punto del plano cartesiano tiene dos valores (de ahí el término *par ordenado*) asociados. En el sistema de coordenadas polares, cada punto tiene también dos valores asociados: $r$ y $\theta .$

Curvas polares

Ahora que sabemos cómo trazar puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos hablar de cómo trazar curvas. En el sistema de coordenadas rectangulares, podemos graficar una función $y=f\left(x\right)$ y crear una curva en el plano cartesiano. De forma similar, podemos graficar una curva generada por una función $r=f\left(\theta \right).$

Simetría en coordenadas polares

Al estudiar la simetría de las funciones en coordenadas rectangulares (es decir, en la forma $y=f\left(x\right)\right),$ hablamos de simetría con respecto al eje *y* y de simetría con respecto al origen. En particular, si $f\left(\text{−}x\right)=f\left(x\right)$ para todo $x$ en el dominio de $f,$ entonces $f$ es una función par y su gráfico es simétrico con respecto al eje *y*. Si los valores de $f\left(\text{−}x\right)=\text{−}f\left(x\right)$ para todo $x$ en el dominio de $f,$ entonces $f$ es una función impar y su gráfico es simétrico con respecto al origen. Al determinar qué tipos de simetría presenta un gráfico, podemos saber más sobre su forma y apariencia. La simetría también puede revelar otras propiedades de la función que genera el gráfico. La simetría en las curvas polares funciona de forma similar.

Hemos estudiado las fórmulas del área bajo una curva definida en coordenadas rectangulares y de las curvas definidas paramétricamente. Ahora nos centraremos en derivar una fórmula para el área de una región delimitada por una curva polar. Recordemos que en la demostración del teorema fundamental del cálculo se utilizó el concepto de suma de Riemann para aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos. Para las curvas polares volvemos a utilizar la suma de Riemann, pero los rectángulos se sustituyen por sectores de un círculo.

Longitud del arco en curvas polares

Aquí derivamos una fórmula para la longitud de arco de una curva definida en coordenadas polares.

Secciones cónicas

Parábolas

Una parábola se genera cuando un plano interseca un cono paralelo en la línea generadora. En este caso, el plano interseca solo una de las hojas. Una parábola también puede definirse en términos de distancias.

Elipses

Una elipse también puede definirse en términos de distancias. En el caso de una elipse, hay dos focos y dos directrices. Más adelante veremos las directrices con más detalle.

Hipérbolas

Una hipérbola también puede definirse en términos de distancias. En el caso de una hipérbola, hay dos focos y dos directrices. Las hipérbolas también tienen dos asíntotas.

Excentricidad y directriz

Una forma alternativa de describir una sección cónica implica las directrices, los focos y una nueva propiedad llamada excentricidad. Veremos que el valor de la excentricidad de una sección cónica puede definir de forma única esa sección cónica.

Ecuaciones polares de secciones cónicas

A veces es útil escribir o identificar la ecuación de una sección cónica en forma polar. Para ello, necesitamos el concepto de parámetro focal. El parámetro focal de una sección cónica *p* se define como la distancia de un foco a la directriz más cercana. En la siguiente tabla se indican los parámetros focales para los distintos tipos de secciones cónicas, donde *a* es la longitud del semieje mayor (es decir, la mitad de la longitud del eje mayor), *c* es la distancia del origen al foco y *e* es la excentricidad. En el caso de una parábola, *a* representa la distancia del vértice al foco.

Ecuaciones generales de grado dos

Una ecuación general de grado dos puede escribirse de la forma

Vectores en el espacio

Introducción

Vectores en el plano

Abstract:
* Describir un vector plano, utilizando la notación correcta.
* Realizar operaciones vectoriales básicas (multiplicación escalar, suma, resta).
* Expresar un vector en forma de componentes.
* Explicar la fórmula de la magnitud de un vector.
* Expresar un vector en términos de vectores unitarios.
* Dar dos ejemplos de cantidades vectoriales.

Representación vectorial

Un vector en un plano se representa mediante un segmento rectilíneo dirigido (una flecha). Los puntos finales del segmento se denominan punto inicial y punto terminal del vector. Una flecha desde el punto inicial hasta el punto terminal indica la dirección del vector. La longitud del segmento de línea representa su magnitud. Utilizamos la notación $‖\text{v}‖$ para denotar la magnitud del vector $\text{v}.$ Un vector con un punto inicial y un punto terminal que son iguales se llama vector cero, denotado $0.$ El vector cero es el único vector sin dirección, y por convención se puede considerar que tiene cualquier dirección conveniente para el problema en cuestión.

Combinación de vectores

Los vectores tienen muchas aplicaciones en la vida real, incluidas las situaciones que implican fuerza o velocidad. Por ejemplo, considere las fuerzas que actúan sobre un barco que cruza un río. El motor del barco genera una fuerza en una dirección, y la corriente del río genera una fuerza en otra dirección. Ambas fuerzas son vectores. Debemos tener en cuenta tanto la magnitud como la dirección de cada fuerza si queremos saber hacia dónde irá el barco.

Componentes vectoriales

Trabajar con vectores en un plano es más fácil cuando trabajamos en un sistema de coordenadas. Cuando los puntos iniciales y los puntos terminales de los vectores se dan en coordenadas cartesianas, los cálculos son sencillos.

Vectores unitarios

Un vector unitario es un vector con magnitud $1.$ Para cualquier vector distinto de cero $\text{v},$ podemos utilizar la multiplicación escalar para hallar un vector unitario $\text{u}$ que tiene la misma dirección que $\text{v}.$ Para ello, multiplicamos el vector por el recíproco de su magnitud:

Aplicaciones de los vectores

Como los vectores tienen tanto dirección como magnitud, son herramientas valiosas para resolver problemas que implican aplicaciones como el movimiento y la fuerza. Recordemos el ejemplo del barco y el del mariscal de campo que hemos descrito antes. A continuación, examinamos en detalle otros dos ejemplos.

Vectores en tres dimensiones

Abstract:
* Describir matemáticamente el espacio tridimensional.
* Localizar puntos en el espacio mediante coordenadas.
* Escribir la fórmula de la distancia en tres dimensiones.
* Escribir las ecuaciones de planos y esferas simples.
* Realizar operaciones vectoriales en ${ℝ}^{3}.$

Sistemas de coordenadas tridimensionales

Como hemos aprendido, el sistema de coordenadas rectangulares bidimensional contiene dos ejes perpendiculares: el eje horizontal *x* y el eje vertical *y*. Podemos añadir una tercera dimensión, el eje *z*, que es perpendicular al eje *x* y al eje *y*. Llamamos a este sistema el sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales. Representa las tres dimensiones que encontramos en la vida real.

Escribir ecuaciones en ℝ3

Ahora que podemos representar puntos en el espacio y hallar la distancia entre ellos, podemos aprender a escribir ecuaciones de objetos geométricos como líneas, planos y superficies curvas en ${ℝ}^{3}.$ En primer lugar, empezamos con una ecuación sencilla. Compare los gráficos de la ecuación $x=0$ en $ℝ,{ℝ}^{2},{\rule{0.2em}{0ex}}\text{y}{\rule{0.2em}{0ex}}{ℝ}^{3}$ ([link]). A partir de estos gráficos, podemos ver que la misma ecuación puede describir un punto, una línea o un plano.

Trabajar con vectores en ℝ3

Al igual que los vectores bidimensionales, los vectores tridimensionales son cantidades con magnitud y dirección, y se representan mediante segmentos rectilíneos dirigidos (flechas). Con un vector tridimensional, utilizamos una flecha tridimensional.

El producto punto

Abstract:
* Calcular el producto escalar de dos vectores dados.
* Determinar si dos vectores dados son perpendiculares.
* Hallar los cosenos directores de un vector dado.
* Explicar qué significa la proyección de un vector sobre otro vector y describir cómo calcularla.
* Calcular el trabajo realizado por una fuerza dada.

El producto escalar y sus propiedades

Ya hemos aprendido a sumar y restar vectores. En este capítulo, investigamos dos tipos de multiplicación de vectores. El primer tipo de multiplicación de vectores se denomina producto escalar, basado en la notación que utilizamos para ello, y se define como sigue:

Uso del producto escalar para calcular el ángulo entre dos vectores

Cuando dos vectores distintos de cero se colocan en posición estándar, ya sea en dos o tres dimensiones, forman un ángulo entre ellos ([link]). El producto escalar proporciona una manera de calcular la medida de este ángulo. Esta propiedad es resultado del hecho de que podemos expresar el producto escalar en términos del coseno del ángulo formado por dos vectores.

Proyecciones

Como hemos visto, la suma combina dos vectores para crear un vector resultante. ¿Pero qué pasa si nos dan un vector y necesitamos encontrar sus partes componentes? Las proyecciones de vectores sirven para realizar el proceso inverso; pueden descomponer un vector en sus componentes. La magnitud de una proyección de vectores es una proyección escalar. Por ejemplo, si un niño tira de la manivela de una carreta con un ángulo de 55°, podemos utilizar las proyecciones para determinar qué parte de la fuerza ejercida sobre el mango mueve realmente la carreta hacia delante ([link]). Volvemos a este ejemplo y aprendemos a resolverlo después de ver cómo calcular las proyecciones.

Trabajo

Ahora que entendemos los productos escalares, podemos ver cómo aplicarlos a situaciones de la vida real. La aplicación más común del producto escalar de dos vectores es el cálculo del trabajo.

El producto cruz

Abstract:
* Calcular el producto vectorial de dos vectores dados.
* Utilizar los determinantes para calcular un producto vectorial.
* Hallar un vector ortogonal a dos vectores dados.
* Determinar áreas y volúmenes utilizando el producto vectorial.
* Calcular el torque de una fuerza y un vector de posición dados.

El producto vectorial y sus propiedades

El producto escalar es una multiplicación de dos vectores que da como resultado un escalar. En esta sección, introducimos un producto de dos vectores que genera un tercer vector ortogonal a los dos primeros. Piense en cómo podríamos hallar ese vector. Supongamos que $\text{u}=〈{u}_{1},{u}_{2},{u}_{3}〉$ y $\text{v}=〈{v}_{1},{v}_{2},{v}_{3}〉$ son vectores distintos de cero. Queremos hallar un vector $\text{w}=〈{w}_{1},{w}_{2},{w}_{3}〉$ ortogonal a ambos $\text{u}$ y $\text{v}$; es decir, queremos hallar $\text{w}$ tal que $\text{u}.\text{w}=0$ y $\text{v}.\text{w}=0.$ Por lo tanto, ${w}_{1},$ ${w}_{2},$ y ${w}_{3}$ deben satisfacer

Determinantes y producto vectorial

Usar la [link] para hallar el producto vectorial de dos vectores es sencillo, y presenta el producto vectorial en la forma útil de componentes. La fórmula, sin embargo, es complicada y difícil de recordar. Afortunadamente, tenemos una alternativa. Podemos calcular el producto vectorial de dos vectores utilizando la notación de determinantes.

Uso del producto vectorial

El producto vectorial es muy útil para varios tipos de cálculos, como hallar un vector ortogonal a dos vectores dados, calcular áreas de triángulos y paralelogramos e incluso determinar el volumen de la forma geométrica tridimensional hecha de paralelogramos conocida como *paralelepípedo*. Los siguientes ejemplos ilustran estos cálculos.

El triple producto escalar

Como el producto vectorial de dos vectores es un vector, es posible combinar el producto escalar y el producto vectorial. El producto escalar de un vector por el producto vectorial de otros dos vectores se llama triple producto escalar porque el resultado es un escalar.

Aplicaciones del producto vectorial

El producto vectorial aparece en muchas aplicaciones prácticas en matemáticas, física e ingeniería. Examinemos algunas de estas aplicaciones, incluida la idea de torque, con la que comenzamos esta sección. Otras aplicaciones aparecen en capítulos posteriores, especialmente en nuestro estudio de los campos vectoriales, como los campos gravitatorios y electromagnéticos (Introducción al cálculo vectorial).

Ecuaciones de líneas y planos en el espacio

Abstract:
* Escribir las ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica de una línea que pasa por un punto dado en una dirección dada y de una línea que pasa por dos puntos dados.
* Calcular la distancia de un punto a una línea dada.
* Escribir las ecuaciones vectoriales y escalares de un plano que pasa por un punto dado con una normal dada.
* Calcular la distancia de un punto a un plano dado.
* Calcular el ángulo entre dos planos.

Ecuaciones de una línea en el espacio

Primero vamos a explorar lo que significa que dos vectores sean paralelos. Recordemos que los vectores paralelos deben tener direcciones iguales u opuestas. Si dos vectores distintos de cero, $\text{u}$ y $\text{v},$ son paralelos, afirmamos que debe haber un escalar, $k,$ tal que $\text{u}=k\text{v}.$ Si $\text{u}$ y $\text{v}$ tienen la misma dirección, simplemente elija $k=\frac{‖\text{u}‖}{‖\text{v}‖}.$ Si $\text{u}$ y $\text{v}$ tienen direcciones opuestas, elija $k=-\frac{‖\text{u}‖}{‖\text{v}‖}.$ Observe que lo contrario también es válido. Si los valores de $\text{u}=k\text{v}$ para algún escalar $\text{k},$ entonces $\text{u}$ y $\text{v}$ tienen la misma dirección $\left(k>0\right)$ o direcciones opuestas $\left(k<0\right),$ así que $\text{u}$ y $\text{v}$ son paralelos. Por lo tanto, dos vectores distintos de cero $\text{u}$ y $\text{v}$ son paralelos si y solo si $\text{u}=k\text{v}$ para algún escalar $\text{k}.$ Por convención, el vector cero $0$ se considera paralelo a todos los vectores.

Distancia entre un punto y una línea

Ya sabemos cómo calcular la distancia entre dos puntos en el espacio. Ahora ampliamos esta definición para describir la distancia entre un punto y una línea en el espacio. Existen varios contextos del mundo real en los que es importante poder calcular estas distancias. Cuando se construye una casa, por ejemplo, los constructores deben tener en cuenta los requisitos de "retranqueo", cuando las estructuras o instalaciones tienen que estar a una determinada distancia del límite de la propiedad. Los viajes en avión ofrecen otro ejemplo. Las compañías aéreas están preocupadas por las distancias entre las zonas pobladas y las rutas de vuelo propuestas.

Relaciones entre líneas

Dadas dos líneas en el plano bidimensional, las líneas son iguales, son paralelas pero no iguales, o se intersecan en un solo punto. En tres dimensiones, es posible un cuarto caso. Si dos líneas en el espacio no son paralelas, pero no se intersecan, entonces se dice que son líneas sesgadas ([link]).

Ecuaciones para un plano

Sabemos que una línea está determinada por dos puntos. En otras palabras, para dos puntos distintos cualquiera, hay exactamente una línea que pasa por esos puntos, ya sea en dos dimensiones o en tres. Del mismo modo, dados tres puntos cualesquiera que no se encuentran todos en la misma línea, existe un único plano que pasa por estos puntos. Así como una línea está determinada por dos puntos, un plano está determinado por tres.

Planos paralelos y que se intersecan

Hemos hablado de las distintas relaciones posibles entre dos líneas en dos y tres dimensiones. Cuando describimos la relación entre dos planos en el espacio, solo tenemos dos posibilidades: los dos planos distintos son paralelos o se intersecan. Cuando dos planos son paralelos, sus vectores normales son paralelos. Cuando dos planos se cruzan, la intersección es una línea ([link]).

Superficies cuádricas

Abstract:
* Identificar un cilindro como un tipo de superficie tridimensional.
* Reconocer las características principales de los elipsoides, paraboloides e hiperboloides.
* Utilizar las trazas para dibujar las intersecciones de las superficies cuádricas con los planos de coordenadas.

Identificación de cilindros

La primera superficie que examinaremos es el cilindro. Aunque la mayoría de la gente piensa inmediatamente en un tubo hueco o en una pajilla de refresco cuando escucha la palabra *cilindro*, aquí utilizamos el significado matemático amplio del término. Como hemos visto, las superficies cilíndricas no tienen por qué ser circulares. Un conducto de calefacción rectangular es un cilindro, al igual que una colchoneta de yoga enrollada, cuya sección transversal tiene forma de espiral.

Superficies cuádricas

Hemos aprendido sobre las superficies en tres dimensiones descritas por ecuaciones de primer orden; estas son planos. Otros tipos comunes de superficies pueden describirse mediante ecuaciones de segundo orden. Podemos ver estas superficies como extensiones tridimensionales de las secciones cónicas que hemos discutido antes: la elipse, la parábola y la hipérbola. A estos gráficos los llamamos superficies cuádricas.

Coordenadas cilíndricas y esféricas

Abstract:
* Convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares.
* Convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas.
* Convertir de coordenadas esféricas a rectangulares.
* Convertir de coordenadas rectangulares a esféricas.

Coordenadas cilíndricas

Cuando ampliamos el sistema tradicional de coordenadas cartesianas de dos a tres dimensiones, simplemente añadimos un nuevo eje para modelar la tercera dimensión. Partiendo de las coordenadas polares, podemos seguir este mismo proceso para crear un nuevo sistema de coordenadas tridimensional, llamado sistema de coordenadas cilíndricas. De este modo, las coordenadas cilíndricas proporcionan una extensión natural de las coordenadas polares a las tres dimensiones.

Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas cartesianas, la ubicación de un punto en el espacio se describe mediante una triple ordenada en el que cada coordenada representa una distancia. En el sistema de coordenadas cilíndricas, la ubicación de un punto en el espacio se describe mediante dos distancias $\left(r{\rule{0.2em}{0ex}}\text{y}{\rule{0.2em}{0ex}}z\right)$ y una medida de ángulo $\left(\theta \right).$ En el sistema de coordenadas esféricas, volvemos a utilizar una triple ordenada para describir la ubicación de un punto en el espacio. En este caso, la triple describe una distancia y dos ángulos. Las coordenadas esféricas facilitan la descripción de una esfera, al igual que las coordenadas cilíndricas facilitan la descripción de un cilindro. Las líneas de cuadrícula para las coordenadas esféricas se basan en las medidas de los ángulos, como las de las coordenadas polares.

Funciones de valores factoriales

Introducción

Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio

Abstract:
* Escribir la ecuación general de una función de valor vectorial en forma de componente y en forma de vector unitario.
* Reconocer las ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio.
* Describir la forma de una hélice y escribir su ecuación.
* Definir el límite de una función de valor vectorial.

Definición de una función de valor vectorial

Nuestro primer paso en el estudio del cálculo de funciones de valores vectoriales es definir qué es exactamente una función de valor vectorial. A continuación, podemos observar gráficos de las funciones de valores vectoriales y ver cómo definen las curvas en dos y tres dimensiones.

Graficar funciones de valores vectoriales

Recordemos que un vector en un plano está formado por dos cantidades: la dirección y la magnitud. Dado un punto cualquiera del plano (el *punto inicial*), si nos movemos en una dirección determinada a una distancia determinada, llegamos a un segundo punto. Esto representa el *punto terminal* del vector. Calculamos las componentes del vector restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto terminal.

Límites y continuidad de una función de valor vectorial

Ahora veremos el límite de una función de valor vectorial. Es importante entender esto para estudiar el cálculo de funciones de valores vectoriales.

Cálculo de funciones de valor vectorial

Abstract:
* Escribir una expresión para la derivada de una función de valor vectorial.
* Hallar el vector tangente en un punto para un vector de posición dado.
* Hallar el vector unitario tangente en un punto para un vector de posición dado y explicar su significado.
* Calcular la integral definida de una función de valor vectorial.

Derivadas de funciones de valores vectoriales

Ahora que hemos visto qué es una función de valor vectorial y cómo tomar su límite, el siguiente paso es aprender a diferenciar una función de valor vectorial. La definición de la derivada de una función de valor vectorial es casi idéntica a la definición de una función de valor real de una variable. Sin embargo, como el rango de una función de valor vectorial está formado por vectores, lo mismo ocurre con el rango de la derivada de una función de valor vectorial.

Vectores tangentes y vectores unitarios tangentes

Recordemos de la Introducción a las derivadas que la derivada en un punto puede interpretarse como la pendiente de la línea tangente a el gráfico en ese punto. En el caso de una función de valor vectorial, la derivada proporciona un vector tangente a la curva representada por la función. Consideremos la función de valor vectorial $\text{r}\left(t\right)=\text{cos}{\rule{0.1em}{0ex}}t{\rule{0.1em}{0ex}}\text{i}+\text{sen}{\rule{0.1em}{0ex}}t{\rule{0.1em}{0ex}}\text{j}.$ La derivada de esta función es ${r}^{\prime }\left(t\right)=-\text{sen}{\rule{0.1em}{0ex}}t{\rule{0.1em}{0ex}}\text{i}+\text{cos}{\rule{0.1em}{0ex}}t{\rule{0.1em}{0ex}}\text{j}.$ Si sustituimos el valor $t=\pi \text{/}6$ en ambas funciones obtenemos

Integrales de funciones de valores vectoriales

Hemos introducido las antiderivadas de funciones de valores reales en Antiderivadas y las integrales definidas de funciones de valores reales en La integral definida. Cada uno de estos conceptos puede extenderse a las funciones de valores vectoriales. También, al igual que podemos calcular la derivada de una función vectorial diferenciando las funciones componentes por separado, podemos calcular la antiderivada de la misma manera. Además, el teorema fundamental del cálculo se aplica también a las funciones de valores vectoriales.

Longitud de arco y curvatura

Abstract:
* Determinar la longitud de la trayectoria de una partícula en el espacio utilizando la función de longitud de arco.
* Explicar el significado de la curvatura de una curva en el espacio e indicar su fórmula.
* Describir el significado de los vectores normal y binormal de una curva en el espacio.

Longitud de arco para funciones vectoriales

Hemos visto cómo una función de valor vectorial describe una curva en dos o tres dimensiones. Recordemos [link], que establece que la fórmula para la longitud de arco de una curva definida por las funciones paramétricas $x=x\left(t\right),y=y\left(t\right),{t}_{1}\le t\le {t}_{2}$ está dada por

Parametrización por longitud de arco

Ahora tenemos una fórmula para la longitud de arco de una curva definida por una función de valor vectorial. Vayamos un paso más allá y examinemos qué es una función de longitud de arco.

Curvatura

Un tema importante relacionado con la longitud de arco es la curvatura. El concepto de curvatura proporciona una forma de medir el grado de una curva suave. Un círculo tiene una curvatura constante. Cuanto menor sea el radio del círculo, mayor será la curvatura.

Los vectores normal y binormal

Hemos visto que la derivada ${r}^{\prime }\left(t\right)$ de una función de valor vectorial es un vector tangente a la curva definida por $\text{r}\left(t\right),$ y el vector tangente unitario $\text{T}\left(t\right)$ se puede calcular dividiendo ${r}^{\prime }\left(t\right)$ entre su magnitud. Cuando se estudia el movimiento en tres dimensiones, otros dos vectores son útiles para describir el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria en el espacio: el vector normal unitario principal y el vector binormal.

Movimiento en el espacio

Abstract:
* Describir los vectores de velocidad y aceleración de una partícula que se mueve en el espacio.
* Explicar las componentes tangencial y normal de la aceleración.
* Enunciar las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.

Vectores de movimiento en el plano y en el espacio

Nuestro punto de partida es utilizar funciones de valores vectoriales para representar la posición de un objeto como función del tiempo. Todo el material siguiente puede aplicarse tanto a las curvas en el plano como a las curvas en el espacio. Por ejemplo, cuando observamos la órbita de los planetas, las curvas que definen estas órbitas se encuentran todas en un plano porque son elípticas. Sin embargo, una partícula que viaja a lo largo de una hélice se mueve en una curva en tres dimensiones.

Componentes del vector de aceleración

Podemos combinar algunos de los conceptos discutidos en Longitud de arco y curvatura con el vector de aceleración para obtener una comprensión más profunda de cómo este vector se relaciona con el movimiento en el plano y en el espacio. Recordemos que el vector unitario tangente **T** y el vector unitario normal **N** forman un plano oscilatorio en cualquier punto *P* de la curva definida por una función de valor vectorial $\text{r}\left(t\right).$ El siguiente teorema muestra que el vector de aceleración $\text{a}\left(t\right)$ se encuentra en el plano oscilatorio y puede escribirse como una combinación lineal de los vectores unitarios tangentes y normales.

Movimiento de proyectil

Veamos ahora una aplicación de las funciones vectoriales. En particular, consideremos el efecto de la gravedad en el movimiento de un objeto cuando viaja por el aire, y cómo esta determina la trayectoria resultante de ese objeto. A continuación, ignoramos el efecto de la resistencia del aire. Esta situación, con un objeto que se desplaza con una velocidad inicial pero sin fuerzas que actúen sobre él, aparte de la gravedad, se conoce como movimiento de proyectil. Describe el movimiento de objetos, desde pelotas de golf hasta pelotas de béisbol, y desde flechas hasta balas de cañón.

Las leyes de Kepler

A principios del siglo XVII, Johannes Kepler pudo utilizar los datos asombrosamente precisos de su mentor Tycho Brahe para formular sus tres leyes del movimiento planetario, conocidas ahora como las leyes de Kepler del movimiento planetario. Estas leyes también se aplican a otros objetos del sistema solar en órbita alrededor del Sol, como los cometas (por ejemplo, el cometa Halley) y los asteroides. Las variaciones de estas leyes se aplican a los satélites en órbita alrededor de la Tierra.

Diferenciación de funciones de varias variables

Introducción

Funciones de varias variables

Abstract:
* Reconocer una función de dos variables e identificar su dominio y rango.
* Dibujar el gráfico de una función de dos variables.
* Trazar varias trazas o curvas de nivel de una función de dos variables.
* Reconocer una función de tres o más variables e identificar sus superficies de nivel.

Funciones de dos variables

La definición de una función de dos variables es muy similar a la de una función de una variable. La principal diferencia es que, en vez de aplicar valores de una variable a valores de otra variable, asignamos pares ordenados de variables a otra variable.

Graficar funciones de dos variables

Supongamos que deseamos graficar la función $z=\left(x,y\right).$ Esta función tiene dos variables independientes $\left(x{\rule{0.2em}{0ex}}\text{y}{\rule{0.2em}{0ex}}y\right)$ y una variable dependiente $\left(z\right).$ Al graficar una función $y=f\left(x\right)$ de una variable, utilizamos el plano cartesiano. Podemos graficar cualquier par ordenado $\left(x,y\right)$ en el plano, y cada punto del plano tiene un par ordenado $\left(x,y\right)$ asociado a él. Con una función de dos variables, cada par ordenado $\left(x,y\right)$ en el dominio de la función se asigna a un número real $z.$ Por lo tanto, el gráfico de la función $f$ se compone de triples ordenados $\left(x,y,z\right).$ El gráfico de una función $z=\left(x,y\right)$ de dos variables se llama superficie.

Curvas de nivel

Si los excursionistas caminan por senderos escarpados, pueden utilizar un mapa topográfico que muestre la inclinación de los senderos. Un mapa topográfico contiene líneas curvas llamadas *curvas de nivel*. Cada línea de contorno corresponde a los puntos del mapa que tienen igual elevación ([link]). La curva de nivel de una función de dos variables $f\left(x,y\right)$ es completamente análoga a una línea de contorno en un mapa topográfico.

Funciones de más de dos variables

Hasta ahora, solo hemos examinado funciones de dos variables. Sin embargo, es útil echar un breve vistazo a las funciones de más de dos variables. Dos de estos ejemplos son

Límites y continuidad

Abstract:
* Calcular el límite de una función de dos variables.
* Aprender cómo una función de dos variables puede aproximarse a diferentes valores en un punto límite, dependiendo del camino de aproximación.
* Indicar las condiciones de continuidad de una función de dos variables.
* Comprobar la continuidad de una función de dos variables en un punto.
* Calcular el límite de una función de tres o más variables y verificar la continuidad de la función en un punto.

Límite de una función de dos variables

Recuerde de El límite de una función la definición de límite de una función de una variable:

Puntos interiores y puntos límite

Para estudiar la continuidad y la diferenciabilidad de una función de dos o más variables, primero tenemos que aprender algo de terminología nueva.

Continuidad de funciones de dos variables

En Continuidad, definimos la continuidad de una función de una variable y vimos cómo se basaba en el límite de una función de una variable. En particular, son necesarias tres condiciones para que $f\left(x\right)$ sea continua en el punto $x=a\text{:}$

Funciones de tres o más variables

El límite de una función de tres o más variables se da fácilmente en las aplicaciones. Por ejemplo, supongamos que tenemos una función $f\left(x,y,z\right)$ que da la temperatura en un lugar físico $\left(x,y,z\right)$ en tres dimensiones. O quizás una función $g\left(x,y,z,t\right)$ puede indicar la presión del aire en un lugar $\left(x,y,z\right)$ en el momento $t.$ ¿Cómo podemos tomar un límite en un punto de ${ℝ}^{3}?$ ¿Qué significa ser continuo en un punto en cuatro dimensiones?

Derivadas parciales

Abstract:
* Calcular las derivadas parciales de una función de dos variables.
* Calcular las derivadas parciales de una función de más de dos variables.
* Determinar las derivadas de orden superior de una función de dos variables.
* Explicar el significado de una ecuación diferencial parcial y dar un ejemplo.

Derivadas de una función de dos variables

Al estudiar las derivadas de funciones de una variable, hallamos que una interpretación de la derivada es una tasa instantánea de cambio de $y$ en función de $x.$ La notación de Leibniz para la derivada es $dy\text{/}dx,$ lo que implica que $y$ es la variable dependiente y $x$ es la variable independiente. Para una función $z=f\left(x,y\right)$ de dos variables, $x$ como $y$ son las variables independientes y $z$ es la variable dependiente. Esto plantea de inmediato dos preguntas: ¿Cómo adaptamos la notación de Leibniz a las funciones de dos variables? Además, ¿qué es una interpretación de la derivada? La respuesta está en las derivadas parciales.

Funciones de más de dos variables

Supongamos que tenemos una función de tres variables, como $w=f\left(x,y,z\right).$ Podemos calcular las derivadas parciales de $w$ con respecto a cualquiera de las variables independientes, simplemente como extensiones de las definiciones de las derivadas parciales de funciones de dos variables.

Derivadas parciales de orden superior

Considere la función

Ecuaciones diferenciales parciales

En Introducción a las ecuaciones diferenciales, estudiamos las ecuaciones diferenciales en las que la función desconocida tenía una variable independiente. Una ecuación diferencial parcial es una ecuación que implica una función desconocida de más de una variable independiente y una o más de sus derivadas parciales. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales son

Planos tangentes y aproximaciones lineales

Abstract:
* Determinar la ecuación de un plano tangente a una superficie dada en un punto.
* Utilizar el plano tangente para aproximar una función de dos variables en un punto.
* Explicar cuándo una función de dos variables es diferenciable.
* Utilizar la diferencial total para aproximar el cambio de una función de dos variables.

Planos tangentes

Intuitivamente, parece claro que, en un plano, solo una línea puede ser tangente a una curva en un punto. Sin embargo, en el espacio tridimensional, muchas líneas pueden ser tangentes a un punto determinado. Si estas líneas se encuentran en el mismo plano, determinan el plano tangente en ese punto. Un plano tangente a un punto regular contiene todas las líneas tangentes a ese punto. Una forma más intuitiva de pensar en un plano tangente es suponer que la superficie es lisa en ese punto (sin esquinas). Entonces, una línea tangente a la superficie en ese punto en cualquier dirección no tiene cambios bruscos de pendiente porque la dirección cambia suavemente.

Aproximaciones lineales

Recordemos que en Aproximaciones lineales y diferenciales la fórmula para la aproximación lineal de una función $f\left(x\right)$ en el punto $x=a$ viene dada por

Diferenciabilidad

Cuando se trabaja con una función $y=f\left(x\right)$ de una variable, se dice que la función es diferenciable en un punto $x=a$ si ${f}^{\prime }\left(a\right)$. Además, si una función de una variable es diferenciable en un punto, el gráfico es “regular" en ese punto (es decir, no existen vértices) y una línea tangente está bien definida en ese punto.

Diferenciales

En Aproximaciones lineales y diferenciales estudiamos primero el concepto de diferenciales. El diferencial de $y,$ se escribe como $dy,$ se define como ${f}^{\prime }\left(x\right)dx.$ El diferencial se utiliza para aproximar $\text{Δ}y=f\left(x+\text{Δ}x\right)-f\left(x\right),$ donde $\text{Δ}x=dx.$ Extendiendo esta idea a la aproximación lineal de una función de dos variables en el punto $\left({x}_{0},{y}_{0}\right)$ se obtiene la fórmula de la diferencial total para una función de dos variables.

Diferenciabilidad de una función de tres variables

Todos los resultados anteriores sobre la diferenciabilidad de las funciones de dos variables pueden generalizarse a las funciones de tres variables. Primero, la definición:

La regla de la cadena

Abstract:
* Indicar las reglas de la cadena para una o dos variables independientes.
* Utilizar los diagramas de árbol como ayuda para comprender la regla de la cadena para varias variables independientes e intermedias.
* Realizar la diferenciación implícita de una función de dos o más variables.

Reglas de la cadena para una o dos variables independientes

Recordemos que la regla de la cadena para la derivada de un compuesto de dos funciones puede escribirse de la forma

La regla de la cadena generalizada

Ahora que hemos visto cómo extender la regla de la cadena original a funciones de dos variables, es natural preguntarse: ¿podemos ampliar la regla a más de dos variables? La respuesta es sí, tal y como establece la regla de la cadena generalizada.

Diferenciación implícita

Recordemos que la diferenciación implícita proporciona un método para hallar $dy\text{/}dx$ cuando $y$ se define implícitamente como una función de $x.$ El método consiste en diferenciar ambos lados de la ecuación que define la función con respecto a $x,$ y luego resolver para $dy\text{/}dx.$ Las derivadas parciales ofrecen una alternativa a este método.

Derivadas direccionales y el gradiente

Abstract:
* Determinar la derivada direccional en una dirección dada para una función de dos variables.
* Determinar el vector gradiente de una función de valor real dada.
* Explicar el significado del vector gradiente con respecto a la dirección de cambio a lo largo de una superficie.
* Utilizar el gradiente para hallar la tangente a una curva de nivel de una función dada.
* Calcular derivadas direccionales y gradientes en tres dimensiones.

Derivadas direccionales

Partimos del gráfico de una superficie definida por la ecuación $z=f\left(x,y\right).$ Dado un punto $\left(a,b\right)$ en el dominio de $f,$ elegimos una dirección para viajar desde ese punto. Medimos la dirección utilizando un ángulo $\theta ,$ que se mide en el sentido contrario a las agujas del reloj en el plano *x*, *y*, comenzando en el cero del eje *x* positivo ([link]). La distancia que recorremos es $h$ y la dirección en la que viajamos viene dada por el vector unitario $u=\left(\text{cos}{\rule{0.2em}{0ex}}\theta \right)i+\left(\text{sen}{\rule{0.2em}{0ex}}\theta \right)j.$ Por lo tanto, la coordenada *z* del segundo punto de el gráfico viene dada por $z=f\left(a+h{\rule{0.2em}{0ex}}\text{cos}{\rule{0.2em}{0ex}}\theta ,b+h{\rule{0.2em}{0ex}}\text{sen}{\rule{0.2em}{0ex}}\theta \right).$

Gradiente

El lado derecho de la [link] es igual a ${f}_{x}\left(x,y\right)\text{cos}{\rule{0.2em}{0ex}}\theta +{f}_{y}\left(x,y\right)\text{sen}{\rule{0.2em}{0ex}}\theta ,$ que se puede escribir como el producto escalar de dos vectores. Defina el primer vector como $\nabla f\left(x,y\right)={f}_{x}\left(x,y\right)\text{i}+{f}_{y}\left(x,y\right)\text{j}$ y el segundo vector como $u=\left(\text{cos}{\rule{0.2em}{0ex}}\theta \right)i+\left(\text{sen}{\rule{0.2em}{0ex}}\theta \right)j.$ Entonces el lado derecho de la ecuación se puede escribir como el producto escalar de estos dos vectores:

Gradientes y curvas de nivel

Recordemos que si una curva está definida paramétricamente por el par de funciones $\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right),$ entonces el vector ${x}^{\prime }\left(t\right)i+{y}^{\prime }\left(t\right)j$ es tangente a la curva para cualquier valor de $t$ en el dominio. Supongamos ahora que $z=f\left(x,y\right)$ es una función diferenciable de $x{\rule{0.2em}{0ex}}\text{y}{\rule{0.2em}{0ex}}y,$ y $\left({x}_{0},{y}_{0}\right)$ está en su dominio. Supongamos además que ${x}_{0}=x\left({t}_{0}\right)$ y de ${y}_{0}=y\left({t}_{0}\right)$ para algún valor de $t,$ y consideremos la curva de nivel $f\left(x,y\right)=k.$ Defina $g\left(t\right)=f\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$ y calcule ${g}^{\prime }\left(t\right)$ en la curva de nivel. Según la regla de la cadena,

Gradientes tridimensionales y derivadas direccionales

La definición de gradiente puede extenderse a funciones de más de dos variables.

Problemas con máximos/mínimos

Abstract:
* Utilizar las derivadas parciales para localizar los puntos críticos de una función de dos variables.
* Aplicar una prueba de segunda derivada para identificar un punto crítico como máximo local, mínimo local o punto de silla para una función de dos variables.
* Examinar los puntos críticos y los puntos límite para calcular los valores máximos y mínimos absolutos de una función de dos variables.

Puntos críticos

Para las funciones de una sola variable, definimos los puntos críticos como los valores de la función cuando la derivada es igual a cero o no existe. Para las funciones de dos o más variables, el concepto es esencialmente el mismo, excepto por el hecho de que ahora estamos trabajando con derivadas parciales.

Prueba de la segunda derivada

Considere la función $f\left(x\right)={x}^{3}.$ Esta función tiene un punto crítico en $x=0,$ dado que $f\prime \left(0\right)=3{\left(0\right)}^{2}=0.$ Sin embargo, el que $f$ no tiene un valor extremo en $x=0.$ Por lo tanto, la existencia de un valor crítico en $x={x}_{0}$ no garantiza un extremo local en $x={x}_{0}.$ Lo mismo ocurre con una función de dos o más variables. Una de las formas en que esto puede ocurrir es en un punto de silla. En la siguiente figura aparece un ejemplo de punto de silla.

Máximos y mínimos absolutos

Para hallar los extremos globales de las funciones de una variable en un intervalo cerrado, empezamos comprobando los valores críticos sobre ese intervalo y luego evaluamos la función en sus puntos extremos. Cuando se trabaja con una función de dos variables, el intervalo cerrado se sustituye por un conjunto cerrado y delimitado. Un conjunto está *delimitado* si todos los puntos de ese conjunto pueden estar contenidos en una bola (o disco) de radio finito. En primer lugar, tenemos que hallar los puntos críticos dentro del conjunto y calcular los valores críticos correspondientes. Entonces, es necesario hallar el valor máximo y mínimo de la función en el borde del conjunto. Cuando tenemos todos estos valores, el mayor valor de la función corresponde al máximo global y el menor valor de la función corresponde al mínimo absoluto. Sin embargo, en primer lugar hay que asegurarse de que esos valores existen. El siguiente teorema lo hace.

Multiplicadores de Lagrange

Abstract:
* Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con una restricción.
* Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con dos restricciones.

Multiplicadores de Lagrange

El [link] era una situación aplicada que implicaba la maximización de una función de ganancia, sujeta a ciertas restricciones. En ese ejemplo, las restricciones se referían a un número máximo de pelotas de golf que podían producirse y venderse en $1$ mes $\left(x\right),$ y un número máximo de horas de publicidad que se pueden comprar al mes $\left(y\right).$ Supongamos que se combinan en una restricción de presupuesto, como $20x+4y\le 216,$ que tuvo en cuenta el costo de producción de las pelotas de golf y el número de horas de publicidad compradas al mes. El objetivo sigue siendo maximizar la ganancia, pero ahora hay un tipo diferente de restricción en los valores de $x$ como $y.$ Esta restricción, cuando se combina con la función de ganancia $f\left(x,y\right)=48x+96y-{x}^{2}-2xy-9{y}^{2},$ es un ejemplo de problema de optimización, y la función $f\left(x,y\right)$ se denomina función objetivo. Un gráfico de varias curvas de nivel de la función $f\left(x,y\right)$ es el siguiente.

Problemas con dos restricciones

El método de los multiplicadores de Lagrange puede aplicarse a problemas con más de una restricción. En este caso la función de optimización, $w$ es una función de tres variables:

Integración múltiple

Introducción

Integrales dobles sobre regiones rectangulares

Abstract:
* Reconocer cuándo una función de dos variables es integrable sobre una región rectangular.
* Reconocer y utilizar algunas de las propiedades de las integrales dobles.
* Evaluar una integral doble sobre una región rectangular escribiéndola como una integral iterada.
* Utilizar una integral doble para calcular el área de una región, el volumen bajo una superficie o el valor medio de una función sobre una región plana.

Volúmenes e integrales dobles

Comenzamos considerando el espacio sobre una región rectangular *R*. Consideremos una función continua $f\left(x,y\right)\ge 0$ de dos variables definidas en el rectángulo cerrado *R*:

Propiedades de las integrales dobles

Las propiedades de las integrales dobles son muy útiles a la hora de calcularlas o de trabajar con ellas. Enumeramos aquí seis propiedades de las integrales dobles. Las propiedades 1 y 2 se denominan linealidad de la integral, la propiedad 3 es la aditividad de la integral, la propiedad 4 es la monotonicidad de la integral y la propiedad 5 se utiliza para hallar los límites de la integral. La propiedad 6 se utiliza si $f\left(x,y\right)$ es el producto de dos funciones $g\left(x\right)$ y $h\left(y\right).$

Integrales iteradas

Hasta ahora hemos visto cómo establecer una integral doble y cómo obtener un valor aproximado para esta. También podemos imaginar que la evaluación de integrales dobles mediante la definición puede ser un proceso muy largo si elegimos valores mayores para $m$ y $n.$ Por lo tanto, necesitamos una técnica práctica y conveniente para calcular integrales dobles. En otras palabras, tenemos que aprender a calcular integrales dobles sin emplear la definición que utiliza límites y sumas dobles.

Aplicaciones de las integrales dobles

Las integrales dobles son muy útiles para calcular el área de una región delimitada por curvas de funciones. Describimos esta situación con más detalle en la siguiente sección. Sin embargo, si la región tiene forma rectangular, podemos calcular su área integrando la función constante $f\left(x,y\right)=1$ sobre la región $R.$

Integrales dobles sobre regiones generales

Abstract:
* Reconocer cuándo una función de dos variables es integrable sobre una región general.
* Evaluar una integral doble calculando una integral iterada sobre una región acotada por dos líneas verticales y dos funciones de $x,$ o dos líneas horizontales y dos funciones de $y.$
* Simplificar el cálculo de una integral iterada cambiando el orden de integración.
* Utilizar las integrales dobles para calcular el volumen de una región entre dos superficies o el área de una región plana.
* Resolver problemas que impliquen integrales dobles impropias.

Regiones generales de integración

Un ejemplo de región limitada general $D$ en un plano se muestra en la [link]. Dado que $D$ está acotada en el plano, debe existir una región rectangular $R$ en el mismo plano que encierra la región $D,$ es decir, una región rectangular $R$ existe tal que $D$ es un subconjunto de $R\left(D\subseteq R\right).$

Integrales dobles sobre regiones no rectangulares

Para desarrollar el concepto y las herramientas de evaluación de una integral doble sobre una región general no rectangular, necesitamos primero entender la región y ser capaces de expresarla como Tipo I o Tipo II, o una combinación de ambos. Sin entender las regiones, no podremos decidir los límites de las integraciones en las integrales dobles. Como primer paso, veamos el siguiente teorema.

Cambiar el orden de la integración

Como ya hemos visto cuando evaluamos una integral iterada, a veces un orden de integración conduce a un cálculo que es significativamente más simple que el otro orden de integración. A veces el orden de integración no importa, pero es importante aprender a reconocer cuándo un cambio de orden simplificará nuestro trabajo.

Calcular volúmenes, áreas y valores promedio

Podemos utilizar integrales dobles sobre regiones generales para calcular volúmenes, áreas y valores promedio. Los métodos son los mismos que en Integrales dobles sobre regiones rectangulares, pero sin la restricción de una región rectangular, ahora podemos resolver una mayor variedad de problemas.

Integrales dobles impropias

Una integral doble impropia es una integral $\underset{D}{\iint }f{\rule{0.2em}{0ex}}dA$ en la que $D$ es una región no acotada o $f$ es una función no acotada. Por ejemplo, $D=\left\{\left(x,y\right)||x-y|\ge 2\right\}$ es una región no acotada, y la función $f\left(x,y\right)=1\text{/}\left(1-{x}^{2}-2{y}^{2}\right)$ sobre la elipse ${x}^{2}+3{y}^{2}\le 1$ es una función no acotada. Por lo tanto, las dos integrales siguientes son integrales impropias:

Integrales dobles en coordenadas polares

Abstract:
* Reconocer el formato de una integral doble sobre una región rectangular polar.
* Evaluar una integral doble en coordenadas polares utilizando una integral iterada.
* Reconocer el formato de una integral doble sobre una región polar general.
* Utilizar las integrales dobles en coordenadas polares para calcular áreas y volúmenes.

Regiones polares rectangulares de integración

Cuando definimos la integral doble para una función continua en coordenadas rectangulares, digamos $g$ sobre una región $R$ en el plano $xy$, dividimos $R$ en subrectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas. Estos lados tienen valores constantes de $x$ o valores constantes de $y$. En coordenadas polares, la forma con la que trabajamos es un rectángulo polar, cuyos lados tienen valores constantes de $r$ o valores constantes de $\theta$. Esto significa que podemos describir un rectángulo polar como en la [link](a), con $R=\left\{\left(r,\theta \right)|a\le r\le b,\alpha \le \theta \le \beta \right\}.$

Regiones polares generales de integración

Para evaluar la integral doble de una función continua mediante integrales iteradas sobre regiones polares generales, consideramos dos tipos de regiones, análogas a las de Tipo I y Tipo II, tal y como se discute para coordenadas rectangulares en Integrales dobles sobre regiones generales. Es más común escribir las ecuaciones polares como $r=f\left(\theta \right)$ que $\theta =f\left(r\right),$ por lo que describimos una región polar general como $R=\left\{\left(r,\theta \right)|\alpha \le \theta \le \beta ,{h}_{1}\left(\theta \right)\le r\le {h}_{2}\left(\theta \right)\right\}$ (vea la siguiente figura).

Áreas y volúmenes polares

Como en las coordenadas rectangulares, si un sólido $S$ está limitado por la superficie $z=f\left(r,\theta \right),$ así como por las superficies $r=a,r=b,\theta =\alpha ,$ y $\theta =\beta ,$ podemos calcular el volumen $V$ de $S$ mediante la doble integración, ya que

Integrales triples

Abstract:
* Reconocer cuándo una función de tres variables es integrable sobre una caja rectangular.
* Evaluar una integral triple expresándola como una integral iterada.
* Reconocer cuándo una función de tres variables es integrable sobre una región cerrada y delimitada.
* Simplificar un cálculo cambiando el orden de integración de una integral triple.
* Calcular el valor medio de una función de tres variables.

Funciones integrables de tres variables

Podemos definir una caja rectangular $B$ en ${ℝ}^{3}$ como $B=\left\{\left(x,y,z\right)|a\le x\le b,c\le y\le d,e\le z\le f\right\}.$ Seguimos un procedimiento similar al que hicimos en Integrales dobles sobre regiones rectangulares. Dividimos el intervalo $\left[a,b\right]$ en $l$ subintervalos $\left[{x}_{i-1},{x}_{i}\right]$ de igual longitud $\text{Δ}x=\frac{{x}_{i}-{x}_{i-1}}{l},$ dividimos el intervalo $\left[c,d\right]$ en $m$ subintervalos $\left[{y}_{i-1},{y}_{i}\right]$ de igual longitud $\text{Δ}y=\frac{{y}_{j}-{y}_{j-1}}{m},$ y dividimos el intervalo $\left[e,f\right]$ en $n$ subintervalos $\left[{z}_{i-1},{z}_{i}\right]$ de igual longitud $\text{Δ}z=\frac{{z}_{k}-{z}_{k-1}}{n}.$ Entonces la caja rectangular $B$ se subdivide en $lmn$ subcajas ${B}_{ijk}=\left[{x}_{i-1},{x}_{i}\right]{\rule{0.2em}{0ex}}×{\rule{0.2em}{0ex}}\left[{y}_{i-1},{y}_{i}\right]{\rule{0.2em}{0ex}}×{\rule{0.2em}{0ex}}\left[{z}_{i-1},{z}_{i}\right],$ como se muestra en la [link].

Integrales triples sobre una región limitada general

Ahora ampliamos la definición de la integral triple para calcular una integral triple sobre una región limitada general $E$ en ${ℝ}^{3}.$ Las regiones limitadas generales que consideraremos son de tres tipos. En primer lugar, supongamos que $D$ es la región limitada que es una proyección de $E$ en el plano $xy$. Supongamos que la región $E$ en ${ℝ}^{3}$ tiene la forma

Cambiar el orden de la integración

Como ya hemos visto en las integrales dobles sobre regiones limitadas generales, cambiar el orden de la integración se hace con bastante frecuencia para simplificar el cálculo. Con una integral triple sobre una caja rectangular, el orden de integración no cambia el nivel de dificultad del cálculo. Sin embargo, con una integral triple sobre una región limitada general, la elección de un orden de integración adecuado puede simplificar bastante el cálculo. A veces, hacer el cambio a coordenadas polares también puede ser muy útil. Aquí mostramos dos ejemplos.

Valor promedio de una función de tres variables

Recordemos que hallamos el valor promedio de una función de dos variables evaluando la integral doble sobre una región del plano y luego dividiendo entre el área de la región. Del mismo modo, podemos encontrar el valor promedio de una función de tres variables evaluando la integral triple sobre una región sólida y dividiendo después entre el volumen del sólido.

Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

Abstract:
* Evaluar una integral triple cambiando a coordenadas cilíndricas.
* Evaluar una integral triple cambiando a coordenadas esféricas.

Repaso de coordenadas cilíndricas

Como hemos visto antes, en el espacio bidimensional ${ℝ}^{2},$ un punto con coordenadas rectangulares $\left(x,y\right)$ se puede identificar con $\left(r,\theta \right)$ en coordenadas polares y viceversa, donde $x=r{\rule{0.2em}{0ex}}\text{cos}{\rule{0.2em}{0ex}}\theta ,$ $y=r{\rule{0.2em}{0ex}}\text{sen}{\rule{0.2em}{0ex}}\theta ,$ ${r}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}$ y $\text{tan}{\rule{0.2em}{0ex}}\theta =\left(\frac{y}{x}\right)$ son las relaciones entre las variables.

Integración en coordenadas cilíndricas

Las integrales triples, a menudo, se pueden evaluar más fácilmente utilizando coordenadas cilíndricas en vez de coordenadas rectangulares. Algunas ecuaciones comunes de las superficies en coordenadas rectangulares junto con las ecuaciones correspondientes en coordenadas cilíndricas se enumeran en la [link]. Estas ecuaciones serán muy útiles a medida que avancemos en resolver problemas mediante integrales triples.

Repaso de coordenadas esféricas

En el espacio tridimensional ${ℝ}^{3}$ en el sistema de coordenadas esféricas, especificamos un punto $P$ por su distancia $\rho$ desde el origen, el ángulo polar $\theta$ del eje positivo de la $x\text{}$ (igual que en el sistema de coordenadas cilíndricas), y el ángulo $\phi$ del eje positivo de la $z\text{}$ y la línea $OP$ ([link]). Observe que $\rho \ge 0$ y $0\le \phi \le \pi .$ (Consulte Coordenadas cilíndricas y esféricas para ver un repaso). Las coordenadas esféricas son útiles para las integrales triples sobre regiones que son simétricas con respecto al origen.

Integración en coordenadas esféricas

Ahora establecemos una integral triple en el sistema de coordenadas esféricas, como hicimos antes en el sistema de coordenadas cilíndricas. Supongamos que la función $f\left(\rho ,\theta ,\phi \right)$ sea continua en una caja esférica delimitada, $B=\left\{\left(\rho ,\theta ,\phi \right)|a\le \rho \le b,\alpha \le \theta \le \beta ,\gamma \le \phi \le \psi \right\}.$ Luego, dividimos cada intervalo en subdivisiones $l,m{\rule{0.2em}{0ex}}\text{y}{\rule{0.2em}{0ex}}n$ subdivisiones de manera que $\text{Δ}\rho =\frac{b–a}{l},\text{Δ}\theta =\frac{\beta -\alpha }{m},\text{Δ}\phi =\frac{\psi -\gamma }{n}.$

Cálculo de centros de masa y momentos de inercia

Abstract:
* Utilizar las integrales dobles para localizar el centro de masa de un objeto bidimensional.
* Utilizar las integrales dobles para calcular el momento de inercia de un objeto bidimensional.
* Utilizar las integrales triples para localizar el centro de masa de un objeto tridimensional.

Centro de masa en dos dimensiones

El centro de masa también se conoce como centro de gravedad si el objeto está en un campo gravitacional uniforme. Si el objeto tiene una densidad uniforme, el centro de masa es el centro geométrico del objeto, que se llama centroide. La [link] muestra un punto $P$ como centro de masa de una lámina. La lámina está perfectamente equilibrada en torno a su centro de masa.

Momentos de inercia

Para entender claramente cómo calcular los momentos de inercia utilizando integrales dobles, tenemos que volver a la definición general de momentos y centros de masa de la Sección 6.6 del Volumen 1. El momento de inercia de una partícula de masa $m$ alrededor de un eje es $m{r}^{2},$ donde $r$ es la distancia de la partícula al eje. Podemos ver en la [link] que el momento de inercia del subrectángulo ${R}_{ij}$ alrededor del eje $x\text{}$ ¿es ${\left({y}_{ij}^{\*}\right)}^{2}\rho \left({x}_{ij}^{\*},{y}_{ij}^{\*}\right)\text{Δ}A.$ Asimismo, el momento de inercia del subrectángulo ${R}_{ij}$ alrededor del eje $y\text{}$ ¿es ${\left({x}_{ij}^{\*}\right)}^{2}\rho \left({x}_{ij}^{\*},{y}_{ij}^{\*}\right)\text{Δ}A.$ El momento de inercia está relacionado con la rotación de la masa; concretamente, mide la tendencia de la masa a resistir un cambio en el movimiento de rotación alrededor de un eje.

Centro de masa y momentos de inercia en tres dimensiones

Todas las expresiones de integrales dobles discutidas hasta ahora pueden modificarse para convertirse en integrales triples.

Cambio de variables en integrales múltiples

Abstract:
* Determinar la imagen de una región bajo una transformación de variables dada.
* Calcular el jacobiano de una transformación dada.
* Evaluar una integral doble utilizando un cambio de variables.
* Evaluar una integral triple utilizando un cambio de variables.

Transformaciones planares

Una transformación planar $T$ es una función que transforma una región $G$ en un plano en una región $R$ en otro plano mediante un cambio de variables. Tanto $G$ como $R$ son subconjuntos de ${R}^{2}.$ Por ejemplo, la [link] muestra una región $G$ en el plano $uv\text{}$ transformado en una región $R$ en el plano $xy\text{}$ por el cambio de variables $x=g\left(u,v\right)$ y de $y=h\left(u,v\right),$ o a veces escribimos $x=x\left(u,v\right)$ y de $y=y\left(u,v\right).$ Normalmente, supondremos que cada una de estas funciones tiene primeras derivadas parciales continuas, lo que significa ${g}_{u},{g}_{v},{h}_{u},$ y ${h}_{v}$ existen y también son continuas. La necesidad de este requisito se pondrá de manifiesto en breve.

Jacobianos

Recordemos que hemos mencionado al principio de esta sección que cada una de las funciones componentes debe tener primeras derivadas parciales continuas, lo que significa que ${g}_{u},{g}_{v},{h}_{u},$ y ${h}_{v}$ existen y también son continuas. Una transformación que tiene esta propiedad se llama transformación ${C}^{1}$ (aquí $C$ denota continuidad). Supongamos que $T\left(u,v\right)=\left(g\left(u,v\right),h\left(u,v\right)\right),$ donde $x=g\left(u,v\right)$ y de $y=h\left(u,v\right),$ es una transformación uno a uno ${C}^{1}$. Queremos ver cómo transforma una pequeña región rectangular $S,$ $\text{Δ}u$ unidades por $\text{Δ}v$ unidades, en el $uv\text{}$ (vea la siguiente figura).

Cambio de variables para integrales dobles

Ya hemos visto que, bajo el cambio de variables $T\left(u,v\right)=\left(x,y\right)$ donde $x=g\left(u,v\right)$ y de $y=h\left(u,v\right),$ una pequeña región $\text{Δ}A$ en el plano $xy\text{}$ está relacionado con el área formada por el producto $\text{Δ}u\text{Δ}v$ en el plano $uv\text{}$ por la aproximación

Cambiar variables para integrales triples

Cambiar variables en las integrales triples funciona exactamente igual. Las sustituciones de coordenadas cilíndricas y esféricas son casos especiales de este método, que demostramos aquí.

Cálculo vectorial

Introducción

Campos vectoriales

Abstract:
* Reconocer un campo vectorial en un plano o en el espacio.
* Dibujar un campo vectorial a partir de una ecuación dada.
* Identificar un campo conservador y su función potencial asociada.

Ejemplos de campos vectoriales

¿Cómo podemos modelar la fuerza gravitacional ejercida por múltiples objetos astronómicos? ¿Cómo podemos modelar la velocidad de las partículas de agua en la superficie de un río? La [link] ofrece representaciones visuales de estos fenómenos.

Dibujar un campo vectorial

Ahora podemos representar un campo vectorial en términos de sus componentes de funciones o vectores unitarios, pero representarlo visualmente mediante un esquema es más complejo porque el dominio de un campo vectorial está en ${ℝ}^{2},$ al igual que el rango. Por lo tanto, el “gráfico” de un campo vectorial en ${ℝ}^{2}$ vive en un espacio de cuatro dimensiones. Como no podemos representar visualmente el espacio de cuatro dimensiones, dibujamos en su lugar campos vectoriales en ${ℝ}^{2}$ en un plano propio. Para ello, dibuje el vector asociado a un punto determinado en un plano. Por ejemplo, supongamos que el vector asociado al punto $\left(4,–1\right)$ ¿es $〈3,1〉.$ Entonces, dibujaríamos el vector $〈3,1〉$ en el punto $\left(4,–1\right).$

Campos de gradientes

En esta sección, estudiamos un tipo especial de campo vectorial llamado campo de gradientes o campo conservativo. Estos campos vectoriales son muy importantes en física porque pueden utilizarse para modelar sistemas físicos en los que se conserva la energía. Los campos gravitacionales y los campos eléctricos asociados a una carga estática son ejemplos de campos de gradientes.

Integrales de línea

Abstract:
* Calcular una integral de línea escalar a lo largo de una curva.
* Calcular una integral de línea vectorial a lo largo de una curva orientada en el espacio.
* Utilizar una integral de línea para calcular el trabajo realizado al mover un objeto a lo largo de una curva en un campo vectorial.
* Describir el flujo y la circulación de un campo vectorial.

Integrales de línea escalares

Una integral de línea nos da la capacidad de integrar funciones multivariables y campos vectoriales sobre curvas arbitrarias en un plano o en el espacio. Hay dos tipos de integrales de línea: integrales de línea escalares e integrales de línea vectoriales. Las integrales de línea escalares son integrales de una función escalar sobre una curva en un plano o en el espacio. Las integrales de líneas vectoriales son integrales de un campo vectorial sobre una curva en un plano o en el espacio. Veamos primero las integrales lineales escalares.

Integrales de líneas vectoriales

El segundo tipo de integrales de línea son las integrales de línea vectoriales, en las que integramos a lo largo de una curva a través de un campo vectorial. Por ejemplo, supongamos que

Aplicaciones de las integrales de línea

Las integrales de línea escalares tienen muchas aplicaciones. Pueden utilizarse para calcular la longitud o la masa de un cable, la superficie de una lámina de una altura determinada o el potencial eléctrico de un cable cargado dada una densidad de carga lineal. Las integrales vectoriales son muy útiles en física. Pueden utilizarse para calcular el trabajo realizado sobre una partícula cuando se mueve a través de un campo de fuerzas, o el caudal de un fluido a través de una curva. En este caso, calculamos la masa de un cable mediante una integral de línea escalar y el trabajo realizado por una fuerza mediante una integral de línea vectorial.

Flujo y circulación

Cerramos esta sección discutiendo dos conceptos clave relacionados con las integrales de línea: el flujo a través de una curva plana y la circulación a lo largo de una curva plana. El flujo se utiliza en aplicaciones para calcular el flujo de fluidos a través de una curva, y el concepto de circulación es importante para caracterizar los campos de gradiente conservador en términos de integrales de línea. Estos dos conceptos se utilizan en gran medida en el resto de este capítulo. La idea de flujo es especialmente importante para el teorema de Green, y en dimensiones superiores para el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia.

Campos vectoriales conservativos

Abstract:
* Describir las curvas simples y cerradas; definir las regiones conectadas y simplemente conectadas.
* Explicar cómo encontrar una función potencial para un campo vectorial conservativo.
* Utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea para evaluar una integral de línea en un campo vectorial.
* Explicar cómo probar un campo vectorial para determinar si es conservativo.

Curvas y regiones

Antes de continuar nuestro estudio de los campos vectoriales conservativos, necesitamos algunas definiciones geométricas. Todos los teoremas de las secciones siguientes se basan en la integración sobre ciertos tipos de curvas y regiones, por lo que desarrollamos aquí las definiciones de esas curvas y regiones.

Teorema fundamental de las integrales de línea

Ahora que entendemos algunas curvas y regiones básicas, vamos a generalizar el teorema fundamental del cálculo a las integrales de línea. Recordemos que este teorema dice que si una función $f$ tiene una antiderivada *F*, entonces la integral de $f$ de *a* a *b* depende solo de los valores de *F* en *a* y en *b,* es decir,

Campos vectoriales conservativos y funciones potenciales

Como hemos aprendido, el teorema fundamental de las integrales de línea dice que si **F** es conservativo, entonces el cálculo de ${\int }_{C}\text{F}.dr$ tiene dos pasos: primero, encontrar una función potencial $f$ para **F** y, en segundo lugar, calcular $f\left({P}_{1}\right)-f\left({P}_{0}\right),$ donde ${P}_{1}$ es el punto final de *C* y ${P}_{0}$ es el punto de partida. Para utilizar este teorema para un campo conservativo **F**, debemos ser capaces de encontrar una función potencial $f$ para **F**. Por lo tanto, debemos responder la siguiente pregunta: dado un campo vectorial conservativo **F**, ¿cómo encontramos una función $f$ de manera que $\text{∇}f=\text{F}?$ Antes de dar un método general para hallar una función potencial, vamos a explicar el método con un ejemplo.

Probar un campo vectorial

Hasta ahora, hemos trabajado con campos vectoriales que sabemos que son conservativos, pero si no nos dicen que un campo vectorial es conservativo, necesitamos poder comprobar si lo es. Recordemos que, si **F** es conservativo, entonces **F** tiene la propiedad parcial cruzada ([link]). Es decir, si $\text{F}=〈P,Q,R〉$ es conservativo, entonces ${P}_{y}={Q}_{x},{P}_{z}={R}_{x},$ y ${Q}_{z}={R}_{y}.$ Entonces, si **F** tiene la propiedad parcial cruzada, ¿**F** es conservativo? Si el dominio de **F** es abierto y simplemente conectado, entonces la respuesta es sí.

Teorema de Green

Abstract:
* Aplicar la forma de circulación del teorema de Green.
* Aplicar la forma de flujo del teorema de Green.
* Calcular la circulación y el flujo en regiones más generales.

Ampliación del teorema fundamental del cálculo

Recordemos que el teorema fundamental del cálculo dice que

Forma de circulación del teorema de Green

La primera forma del teorema de Green que examinamos es la forma de circulación. Esta forma del teorema relaciona la integral de línea vectorial sobre una curva plana simple y cerrada *C* con una integral doble sobre la región encerrada por *C*. Por tanto, la circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva simple y cerrada puede transformarse en una integral doble y viceversa.

Forma de flujo del teorema de Green

La forma de circulación del teorema de Green relaciona una integral doble sobre la región *D* con la integral de línea ${\oint }_{C}\text{F}.\text{T}ds,$ donde *C* es el borde de *D*. La forma de flujo del teorema de Green relaciona una integral doble sobre la región *D* con el flujo a través del borde *C*. El flujo de un fluido a través de una curva puede ser difícil de calcular usando la integral de línea de flujo. Esta forma del teorema de Green nos permite traducir una integral de flujo difícil en una integral doble que suele ser más fácil de calcular.

Teorema de Green sobre regiones generales

El teorema de Green, tal y como se ha establecido, solo se aplica a las regiones que están simplemente conectadas, es decir, el teorema de Green, tal y como se ha establecido hasta ahora, no puede manejar regiones con agujeros. Aquí, extendemos el teorema de Green para que funcione en regiones con un número finito de agujeros ([link]).

Divergencia y rizo

Abstract:
* Determinar la divergencia a partir de la fórmula para un campo vectorial dado.
* Determinar el rizo a partir de la fórmula para un campo vectorial dado.
* Utilizar las propiedades del rizo y la divergencia para determinar si un campo vectorial es conservativo.

Divergencia

La divergencia es una operación sobre un campo vectorial que nos dice cómo se comporta el campo hacia o lejos de un punto. Localmente, la divergencia de un campo vectorial **F** en ${ℝ}^{2}$ o ${ℝ}^{3}$ en un punto particular *P* es una medida de la "salida" del campo vectorial en *P*. Si **F** representa la velocidad de un fluido, entonces la divergencia de **F** en *P* mide la tasa de cambio neta con respecto al tiempo de la cantidad de fluido que fluye fuera de *P* (la tendencia del fluido a fluir "fuera" de *P*). En particular, si la cantidad de fluido que entra en *P* es la misma que la que sale, entonces la divergencia en *P* es cero.

Rizo

La segunda operación sobre un campo vectorial que examinamos es el rizo, que mide el grado de rotación del campo en torno a un punto. Supongamos que **F** representa el campo de velocidad de un fluido. Entonces, el rizo de **F** en el punto *P* es un vector que mide la tendencia de las partículas cercanas a *P* a girar alrededor del eje que apunta en la dirección de este vector. La magnitud del vector de rizo en *P* mide la rapidez con la que las partículas giran alrededor de este eje. En otras palabras, el rizo en un punto es una medida del "giro" del campo vectorial en ese punto. Visualmente, imagine que coloca una rueda de paletas en un fluido en *P*, con el eje de la rueda de paletas alineado con el vector de curvatura ([link]). El rizo mide la tendencia de la rueda de paletas a girar.

Usar la divergencia y el rizo

Ahora que entendemos los conceptos básicos de divergencia y rizo, podemos discutir sus propiedades y establecer relaciones entre ellos y los campos vectoriales conservativos.

Integrales de superficie

Abstract:
* Hallar las representaciones paramétricas de un cilindro, un cono y una esfera.
* Describir la integral de superficie de una función con valor escalar sobre una superficie paramétrica.
* Utilizar una integral de superficie para calcular el área de una superficie dada.
* Explicar el significado de una superficie orientada, dando un ejemplo.
* Describir la integral de superficie de un campo vectorial.
* Utilizar las integrales de superficie para resolver problemas aplicados.

Superficies paramétricas

Una integral de superficie es similar a una integral lineal, excepto que la integración se realiza sobre una superficie en vez de sobre una trayectoria. En este sentido, las integrales de superficie amplían nuestro estudio de las integrales lineales. Al igual que con las integrales lineales, hay dos tipos de integrales de superficie: una integral de superficie de una función con valor escalar y una integral de superficie de un campo vectorial.

Área superficial de una superficie paramétrica

Nuestra meta es definir una integral de superficie, y como primer paso hemos examinado cómo parametrizar una superficie. El segundo paso consiste en definir el área superficial de una superficie paramétrica. La notación necesaria para desarrollar esta definición se utiliza en el resto de este capítulo.

Integral de superficie de una función con valor escalar

Ahora que podemos parametrizar superficies y calcular sus áreas superficiales, podemos definir integrales de superficie. Primero, veamos la integral de superficie de una función con valor escalar. Informalmente, la integral de superficie de una función con valor escalar es un análogo de la integral lineal escalar en una dimensión superior. El dominio de integración de una integral lineal escalar es una curva parametrizada (un objeto unidimensional); el dominio de integración de una integral de superficie escalar es una superficie parametrizada (un objeto bidimensional). Por lo tanto, la definición de una integral de superficie sigue bastante de cerca la definición de una integral lineal. Para las integrales lineales escalares, cortamos la curva del dominio en trozos pequeños, elegimos un punto en cada trozo, calculamos la función en ese punto y tomamos un límite de la suma de Riemann correspondiente. Para las integrales escalares de superficie, cortamos la *región* del dominio (que ya no es una curva) en trozos pequeños y procedemos de la misma manera.

Orientación de una superficie

Recordemos que cuando definimos una integral lineal escalar, no tuvimos que preocuparnos por la orientación de la curva de integración. Lo mismo ocurría con las integrales de superficie escalares: no había que preocuparse por una "orientación" de la superficie de integración.

Integral de superficie de un campo vectorial

Con la idea de las superficies orientables en su lugar, ahora estamos listos para definir una integral de superficie de un campo vectorial. La definición es análoga a la definición del flujo de un campo vectorial a lo largo de una curva plana. Recordemos que si **F** es un campo vectorial bidimensional y *C* es una curva plana, entonces la definición del flujo de **F** a lo largo de *C* implicaba cortar *C* en pequeños trozos, elegir un punto dentro de cada trozo y calcular $\text{F}.\text{N}$ en el punto (donde **N** es el vector normal unitario en el punto). La definición de una integral de superficie de un campo vectorial procede de la misma manera, excepto que ahora cortamos la superficie *S* en trozos pequeños, elegimos un punto en el trozo pequeño (bidimensional) y calculamos $\text{F}.\text{N}$ en el punto.

Teorema de Stokes

Abstract:
* Explicar el significado del teorema de Stokes.
* Utilizar el teorema de Stokes para evaluar una integral de línea.
* Utilizar el teorema de Stokes para calcular una integral de superficie.
* Utilizar el teorema de Stokes para calcular un rizo.

Teorema de Stokes

El teorema de Stokes dice que podemos calcular el flujo del rizo **F** a través de la superficie *S* conociendo solo la información sobre los valores de **F** a lo largo del borde de *S*. A la inversa, podemos calcular la integral de línea del campo vectorial **F** a lo largo del borde de la superficie *S* traduciendo a una integral doble del rizo de **F** sobre *S*.

Aplicar el teorema de Stokes

El teorema de Stokes traduce entre la integral de flujo de la superficie *S* a una integral de línea alrededor del borde de *S*. Por lo tanto, el teorema nos permite calcular integrales de superficie o de línea que ordinariamente serían bastante difíciles traduciendo la integral de línea a una integral de superficie o viceversa. A continuación estudiaremos algunos ejemplos de cada tipo de traducción.

Interpretación del rizo

Además de traducir entre integrales de línea y de flujo, el teorema de Stokes puede utilizarse para justificar la interpretación física del rizo que hemos aprendido. Aquí investigamos la relación entre el rizo y la circulación, y utilizamos el teorema de Stokes para enunciar la ley de Faraday, una importante ley en electricidad y magnetismo que relaciona el rizo de un campo eléctrico con la tasa de cambio de un campo magnético.

El teorema de la divergencia

Abstract:
* Explicar el significado del teorema de la divergencia.
* Utilizar el teorema de la divergencia para calcular el flujo de un campo vectorial.
* Aplicar el teorema de la divergencia a un campo electrostático.

Resumen de los teoremas

Antes de examinar el teorema de la divergencia, es útil comenzar con una visión general de las versiones del teorema fundamental del cálculo que hemos discutido:

Enunciar el teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia sigue el patrón general de estos otros teoremas. Si pensamos en la divergencia como una especie de derivada, entonces el teorema de la divergencia relaciona una integral triple de la derivada divF sobre un sólido con una integral de flujo de **F** sobre el borde del sólido. Más concretamente, el teorema de la divergencia relaciona una integral de flujo del campo vectorial **F** sobre una superficie cerrada *S* con una integral triple de la divergencia de **F** sobre el sólido encerrado por *S*.

Usar el teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia traduce entre la integral de flujo de la superficie cerrada *S* y una integral triple sobre el sólido encerrado por *S*. Por lo tanto, el teorema nos permite calcular integrales de flujo o integrales triples que normalmente serían difíciles de calcular traduciendo la integral de flujo en una integral triple y viceversa.

Aplicar a los campos electrostáticos

El teorema de la divergencia tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería. Nos permite escribir muchas leyes físicas tanto en forma integral como en forma diferencial (del mismo modo que el teorema de Stokes nos permitía traducir entre una forma integral y diferencial la ley de Faraday). Áreas de estudio como la dinámica de fluidos, el electromagnetismo y la mecánica cuántica tienen ecuaciones que describen la conservación de la masa, el momento o la energía, y el teorema de la divergencia nos permite dar estas ecuaciones tanto en forma integral como diferencial.

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Introducción

Ecuaciones lineales de segundo orden

Abstract:
* Reconocer las ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas lineales.
* Determinar la ecuación característica de una ecuación lineal homogénea.
* Utilizar las raíces de la ecuación característica para hallar la solución de una ecuación lineal homogénea.
* Resolver problemas de valor inicial y de condición de frontera que impliquen ecuaciones diferenciales lineales.

Ecuaciones lineales homogéneas

Consideremos la ecuación diferencial de segundo orden

Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes

Ahora que tenemos una mejor idea de las ecuaciones diferenciales lineales, vamos a concentrarnos en la resolución de ecuaciones de segundo orden de la forma

Problemas de valores iniciales y de valores límite

Hasta ahora, hemos encontrado soluciones generales a ecuaciones diferenciales. Sin embargo, las ecuaciones diferenciales se utilizan a menudo para describir sistemas físicos, y la persona que estudia ese sistema físico suele saber algo sobre el estado de ese sistema en uno o varios momentos. Por ejemplo, si una ecuación diferencial de coeficiente constante está representando hasta qué punto se comprime el amortiguador de una motocicleta, podríamos saber que el piloto está sentado en su motocicleta al comienzo de una carrera, el tiempo $t={t}_{0}.$ Esto significa que el sistema está en equilibrio, por lo que $y\left({t}_{0}\right)=0,$ y la compresión del amortiguador no cambia, por lo que ${y}^{\prime }\left({t}_{0}\right)=0.$ Con estas dos condiciones iniciales y la solución general de la ecuación diferencial, podemos hallar la solución *específica* de la ecuación diferencial que satisface ambas condiciones iniciales. Este proceso se conoce como *resolución de un problema de valor inicial* (recordemos que hemos hablado de los problemas de valores iniciales en Introducción a las ecuaciones diferenciales). Observe que las ecuaciones de segundo orden tienen dos constantes arbitrarias en la solución general, y por lo tanto requerimos dos condiciones iniciales para hallar la solución al problema de valor inicial.

Ecuaciones lineales no homogéneas

Abstract:
* Escribir la solución general de una ecuación diferencial no homogénea.
* Resolver una ecuación diferencial no homogénea por el método de los coeficientes indeterminados.
* Resolver una ecuación diferencial no homogénea por el método de variación de parámetros.

Solución general para una ecuación lineal no homogénea

Consideremos la ecuación diferencial lineal no homogénea

Coeficientes indeterminados

El método de los coeficientes indeterminados consiste en hacer conjeturas sobre la forma de la solución particular basándose en la forma de $r\left(x\text{).}$ Cuando tomamos derivadas de polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos, obtenemos polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos. Así que cuando $r\left(x\right)$ tiene una de estas formas, es posible que la solución de la ecuación diferencial no homogénea tenga esa misma forma. Veamos algunos ejemplos para ver cómo funciona.

Variación de los parámetros

A veces, $r\left(x\right)$ no es una combinación de polinomios, exponenciales o senos y cosenos. Cuando este es el caso, el método de los coeficientes indeterminados no funciona y tenemos que utilizar otro enfoque para hallar una solución particular a la ecuación diferencial. Utilizamos un enfoque denominado método de variación de los parámetros.

Aplicaciones

Abstract:
* Resolver una ecuación diferencial de segundo orden que represente un movimiento armónico simple.
* Resolver una ecuación diferencial de segundo orden que represente un movimiento armónico simple amortiguado.
* Resolver una ecuación diferencial de segundo orden que represente un movimiento armónico simple forzado.
* Resolver una ecuación diferencial de segundo orden que represente la carga y la corriente en un circuito RLC en serie.

Movimiento armónico simple

Consideremos una masa suspendida de un resorte unido a un soporte rígido. (Esto se llama comúnmente un sistema masa resorte) La gravedad tira de la masa hacia abajo y la fuerza restauradora del resorte tira de la masa hacia arriba. Como se muestra en la [link], cuando estas dos fuerzas son iguales, se dice que la masa está en posición de equilibrio. Si la masa se desplaza del equilibrio, oscila hacia arriba y hacia abajo. Este comportamiento puede modelarse mediante una ecuación diferencial de segundo orden de coeficiente constante.

Vibraciones amortiguadas

Con el modelo recién descrito, el movimiento de la masa continúa indefinidamente. Está claro que esto no sucede realmente. En el mundo real, casi siempre hay algo de fricción en el sistema, lo que hace que las oscilaciones desaparezcan lentamente, un efecto llamado *amortiguación*. Así que ahora vamos a ver cómo incorporar esa fuerza de amortiguación en nuestra ecuación diferencial.

Vibraciones forzadas

El último caso que consideramos es cuando una fuerza externa actúa sobre el sistema. En el caso del sistema de suspensión de la motocicleta, por ejemplo, los baches de la carretera actúan como una fuerza externa que actúa sobre el sistema. Otro ejemplo es un resorte que cuelga de un soporte; si el soporte se pone en movimiento, ese movimiento se consideraría una fuerza externa sobre el sistema. Modelamos estos sistemas forzados con la ecuación diferencial no homogénea

El circuito en serie *RLC*

Considere un circuito eléctrico que contiene un resistor, un inductor y un condensador, como se muestra en la [link]. Un circuito de este tipo se denomina circuito en serie *RLC*. Los circuitos *RLC* se utilizan en muchos sistemas electrónicos, sobre todo como sintonizadores en radios AM/FM. La perilla de sintonía varía la capacitancia del condensador, que a su vez sintoniza la radio. Estos circuitos pueden modelarse mediante ecuaciones diferenciales de segundo orden y coeficiente constante.

Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series

Abstract: * Utilizar las series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.

Tabla de integrales

Integrales básicas

1. $\int {u}^{n}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{{u}^{n+1}}{n+1}+C,n\ne \text{−}1$

Integrales trigonométricas

18. $\int {\text{sen}}^{2}u{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{1}{2}u-\frac{1}{4}\text{sen}{\rule{0.2em}{0ex}}2u+C$

Integrales exponenciales y logarítmicas

42. $\int u{e}^{au}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{1}{{a}^{2}}\left(au-1\right){e}^{au}+C$

Integrales hiperbólicas

49. $\int \text{senoh}{\rule{0.2em}{0ex}}u{\rule{0.2em}{0ex}}du=\text{cosh}{\rule{0.2em}{0ex}}u+C$

Integrales trigonométricas inversas

59. $\int {\text{sen}}^{-1}u{\rule{0.2em}{0ex}}du=u{\rule{0.2em}{0ex}}{\text{sin}}^{-1}u+\sqrt{1-{u}^{2}}+C$

Integrales que implican *a*2 + *u*2, *a* > 0

68. $\int \sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{2}\text{ln}{\rule{0.1em}{0ex}}\left(u+\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}\right)+C$

Integrales que implican *u*2 - *a*2, *a* > 0

77. $\int \sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}-\frac{{a}^{2}}{2}\text{ln}{\rule{0.1em}{0ex}}|u+\sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}|+C$

Integrales que implican *a*2 - *u*2, *a* > 0

85. $\int \sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{2}{\text{sen}}^{-1}\frac{u}{a}+C$

Integrales que implican 2*au* - *u*2, *a* > 0

94. $\int \sqrt{2au-{u}^{2}}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{u-a}{2}\sqrt{2au-{u}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{2}{\text{cos}}^{-1}\left(\frac{a-u}{a}\right)+C$

Integrales que implican *a* + *bu*, *a* ≠ 0

98. $\int \frac{u{\rule{0.2em}{0ex}}du}{a+bu}=\frac{1}{{b}^{2}}\left(a+bu-a\text{ln}{\rule{0.1em}{0ex}}|a+bu|\right)+C$

Tabla de derivadas

Fórmulas generales

1. $\frac{d}{dx}\left(c\right)=0$

Funciones trigonométricas

9. $\frac{d}{dx}\left(\text{sen}{\rule{0.1em}{0ex}}x\right)=\text{cos}{\rule{0.1em}{0ex}}x$

Funciones trigonométricas inversas

15. $\frac{d}{dx}\left({\text{sin}}^{-1}x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$

Funciones exponenciales y logarítmicas

21. $\frac{d}{dx}\left({e}^{x}\right)={e}^{x}$

Funciones hiperbólicas

25. $\frac{d}{dx}\left(\text{senoh}{\rule{0.1em}{0ex}}x\right)=\text{cosh}{\rule{0.1em}{0ex}}x$

Funciones hiperbólicas inversas

31. $\frac{d}{dx}\left({\text{senoh}}^{-1}x\right)=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$

Repaso de Precálculo

Fórmulas de geometría

Los términos $A=\text{área},$ $V=\text{Volumen},{\rule{0.2em}{0ex}}\text{y}$ $S=\text{área superficial lateral}$

Fórmulas de álgebra

Fórmulas de trigonometría