Przedmowa

Przedmowa do wydania polskiego

Wierzymy, że przyszłość edukacji to swobodny i wygodny dostęp do najlepszych treści, równy dla wszystkich. Fundacja OpenStax realizuje tę misję, tworząc wysokiej jakości podręczniki i udostępniając je studentom i wykładowcom. W ramach projektu opublikowano ponad 20 darmowych podręczników z różnych dziedzin nauki.

O projekcie OpenStax

OpenStax to fundacja charytatywna z siedzibą w Rice University w USA. Misją fundacji jest ułatwianie studentom dostępu do edukacji. Pierwszy otwarty podręcznik fundacja wydała w 2012 roku. Od tamtej pory jej oferta podręczników rozrosła się do ponad 20 pozycji. Korzystają z nich setki tysięcy studentów na całym świecie. Opracowane w ramach projektu oprogramowanie pomagające zwiększyć efektywność uczenia się poprzez adaptacyjną personalizację ścieżek edukacyjnych jest obecnie w fazie pilotażu w szkołach podstawowych i średnich. OpenStax realizuje swoją misję dzięki hojności innych organizacji charytatywnych. Darowizny te oraz usługi i zasoby otrzymywane na preferencyjnych warunkach od innych partnerów pozwalają nam pokonywać najczęściej występujące bariery utrudniające osiągnięcie sukcesu zarówno studentom jak i wykładowcom.

O zasobach OpenStax

O podręczniku

*Fizyka dla szkół wyższych*, podobnie jak podręcznik *University Physics*, na którym się opiera, przeznaczona jest dla zajęć z fizyki ogólnej z elementami analizy matematycznej, trwających 2-3 semestry. Treść dopasowano pod względem zakresu i kolejności do praktyki dydaktycznej większości uczelni prowadzących takie zajęcia. Wiedza fizyczna jest fundamentem we wszystkich zawodach związanych z naukami ścisłymi, przyrodniczymi, medycznymi i technicznymi. Niniejsza publikacja pomoże studentom poznać kluczowe pojęcia fizyczne i zrozumieć, jak te pojęcia odnoszą się do ich własnego życia oraz otaczającej ich rzeczywistości. Z uwagi na rozległy zakres materiału, aby ułatwić korzystanie z podręcznika, podzielono go na trzy tomy.

Materiały dodatkowe

Autorzy *Fizyki dla szkół wyższych*

Autorzy *University Physics*

Optyka

Natura światła

Wstęp

Rozchodzenie się światła

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyznaczać współczynnik załamania na podstawie prędkości światła w ośrodku;
* opisywać możliwe sposoby rozchodzenia się światła.

Prędkość światła: pierwsze pomiary

Pierwszy pomiar prędkości światła został wykonany przez duńskiego astronoma Olego Rømera (1644–1710) w 1675 roku. Obserwując orbitę Io, jednego z czterech największych księżyców Jowisza, odkrył, że jego okres obiegu dookoła planety wynosi $42,5\mathrm{h}$. Odkrył on także, że wartość ta zmienia się w zakresie kilku sekund w zależności od położenia Ziemi na orbicie. Rømer zorientował się, że powodem tych wahań jest skończona wartość prędkości światła i można na tej podstawie wyznaczyć jej wartość $c$.

Prędkość światła w ośrodku materialnym

Prędkość światła w ośrodku materialnym jest mniejsza niż w próżni, ponieważ światło oddziałuje z atomami w danym ośrodku. Prędkość światła zależy silnie od rodzaju ośrodka, ponieważ jego oddziaływanie z materią zmienia się dla różnych atomów, sieci krystalicznych i innych struktur. Można zdefiniować stałą materiałową, która opisuje prędkość światła w danym ośrodku, zwaną współczynnikiem załamania $n$ (ang. index of refraction)

Światło jako promień

W rozdziale Fale elektromagnetyczne omówiono już właściwości falowe światła. W niniejszym rozdziale skupimy się głównie na opisie światła, posługując się pojęciem promienia. Istnieją trzy sposoby rozchodzenia się światła ([link]). Światło może poruszać się w próżni po linii prostej bezpośrednio ze źródła, tak jak w przypadku światła słonecznego docierającego do Ziemi. Może również poruszać się w kierunku obserwatora, przenikając przez różne ośrodki, takie jak powietrze i szkło. Ponadto światło może dotrzeć do obserwatora po odbiciu np. od zwierciadła. We wszystkich tych przypadkach możemy odwzorować drogę światła jako linię prostą, zwaną promieniem (ang. ray).

Prawo odbicia

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* rozumieć, jak światło odbija się od gładkiej, a jak od chropowatej powierzchni;
* opisywać działanie i zastosowania reflektorów narożnych (retroreflektorów).

Reflektory narożne (retroreflektory)

Promień świetlny padający na układ składający się z dwóch wzajemnie prostopadłych odbijających powierzchni jest odbity wstecz tak, że jego kierunek jest dokładnie równoległy do promienia padającego ([link]). Takie zjawisko zachodzi wtedy, gdy odbijające powierzchnie są wzajemnie prostopadłe, i nie zależy ono od kierunku padania (dowód na końcu tego modułu). Taki układ zwierciadeł jest nazywany reflektorem narożnym lub retroreflektorem (ang. corner reflector), ponieważ światło odbija się od zwierciadeł wewnątrz naroża. Reflektory narożne są podgrupą retroreflektorów, które odbijają promienie wstecz w kierunkach, z których promienie padające dotarły. Reflektor narożny może być także zbudowany z trzech wzajemnie prostopadłych powierzchni odbijających i chociaż przebieg promieni w takim układzie jest dużo bardziej złożony, znajdują one zastosowania w trójwymiarowych układach optycznych.

Załamanie

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać, jak zmienia się kierunek promienia światła przy przejściu przez granicę dwóch ośrodków;
* stosować prawo załamania światła w rozwiązywaniu zadań.

Całkowite wewnętrzne odbicie

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia;
* opisywać zasadę działania i zastosowania światłowodów;
* tłumaczyć przyczynę pojawiających się rozbłysków światła w diamentach.

Światłowody – od endoskopów do telefonów

Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia znalazło powszechne zastosowanie w technologii światłowodów (ang. optical fiber). W telekomunikacji światłowody używane są do transmisji sygnałów telefonicznych, internetowych i telewizyjnych. W światłowodach do transmisji światła wykorzystywane są lekkie włókna plastikowe lub szklane. Ponieważ włókna te są cienkie, światło wchodzące do nich z dużym prawdopodobieństwem padać będzie na wewnętrzną powierzchnię pod kątem większym od kąta granicznego, a to oznacza, że zostanie całkowicie odbite ([link]). Współczynnik załamania światła poza włóknem musi być mniejszy niż w środku. Większość włókien światłowodowych cechuje zmienny współczynnik załamania światła, co pozwala wprowadzić więcej światła do światłowodu dzięki zjawisku całkowitego wewnętrznego odbicia. Promienie są odbijane w miejscach zagięć, jak pokazano na [link], co sprawia, że światło wydaje się płynąć światłowodem, jak woda rurą.

Reflektory narożne i diamenty

Reflektory narożne (zob. Prawo odbicia) charakteryzują się bardzo wysoką wydajnością, jeżeli spełnione są warunki całkowitego wewnętrznego odbicia. Do tego rodzaju reflektorów narożnych zaliczamy pryzmaty narożne. Dla powszechnie stosowanych materiałów łatwo jest uzyskać kąt graniczny mniejszy niż $45\mathrm{°}$. Jednym z zastosowań pryzmatów narożnych jest lornetka, jak pokazano na [link]. Innym przykładem zastosowania jest peryskop – podstawowe wyposażenie okrętów podwodnych.

Rozszczepienie

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać przyczynę rozszczepienia światła w pryzmacie;
* opisywać rolę zjawiska rozszczepienia światła w powstawaniu tęczy;
* zestawiać zalety i wady rozszczepienia światła.

Zasada Huygensa

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać zasadę Huygensa;
* wyjaśniać prawo odbicia, wykorzystując zasadę Huygensa;
* wyjaśniać prawo załamania, wykorzystując zasadę Huygensa;
* używać zasady Huygensa do wyjaśnienia dyfrakcji.

Odbicie

[link] pokazuje, w jaki sposób zwierciadło odbija padającą falę pod kątem równym kątowi padania, potwierdzając prawo odbicia. Gdy czoło fali pada na zwierciadło, fale wtórne najpierw są wytwarzane po lewej stronie zwierciadła, a następnie po prawej. Fale wtórne wytwarzane bliżej lewej strony zdążyły przemieścić się dalej w określonym czasie, tworząc czoło fali poruszające się w pokazanym kierunku.

Załamanie

Na gruncie zasady Huygensa możemy również wyjaśnić prawo załamania ([link]). Każda fala kolista pokazana na rysunku była wytworzona w momencie, gdy czoło fali przekraczało granicę między ośrodkami. Ponieważ prędkość światła w drugim ośrodku jest mniejsza, fale przebywają w tym samym czasie krótszą drogę, w konsekwencji nowe czoło fali zmienia kierunek. To wyjaśnia, dlaczego promień zmienia kierunek (przesuwa się w stronę normalnej), kiedy światło zmniejsza swoją prędkość w drugim ośrodku. Z zależności geometrycznych przedstawionych na [link] ([link]) da się wyprowadzić prawo Snella.

Dyfrakcja

Co się wydarzy, gdy fala świetlna przejdzie przez otwarte drzwi do ciemnego pomieszczenia? Dla światła obserwujemy wyraźny, jasny obszar o szerokości wejścia na podłodze pokoju, ale nie występuje ugięcie fali świetlnej na krawędziach drzwi, więc światło nie dociera do innych miejsc pokoju. Natomiast kiedy dźwięk przechodzi przez drzwi pokoju, słyszymy go wszędzie, czyli odczuwamy, że dźwięk rozchodzi się w każdym kierunku ([link]). Z czego wynika różnica w zachowaniu fal dźwiękowych i fal świetlnych w tym przypadku? Odpowiedź jest następująca: światło ma bardzo małą długość fali i z tego względu zachowuje się jak promień (nie ulega ugięciu). Natomiast dźwięk ma długość fali porównywalną z rozmiarem drzwi, w związku z czym ugina się na otworze drzwiowym i dociera do wszystkich miejsc w pokoju. Dla częstotliwości $1000\mathrm{Hz}$ przy prędkości dźwięku $c$ długość fali wynosi

Polaryzacja

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać zmianę natężenia światła spolaryzowanego po przejściu przez polaryzator;
* opisywać zjawisko polaryzacji światła przez odbicie oraz obliczać kąt Brewstera;
* opisywać zjawisko polaryzacji światła przez rozproszenie;
* wyjaśniać konieczność użycia materiałów polaryzujących w takich urządzeniach jak wyświetlacze LCD.

Prawo Malusa

Światło jest jednym z rodzajów fal elektromagnetycznych (EM). Jak wspomniano w poprzednim rozdziale (Fale elektromagnetyczne), fale EM są falami poprzecznymi (ang. transverse wave) składającymi się ze zmieniających się w czasie pól elektrycznego i magnetycznego, które wykonują drgania w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali ([link]). Kierunki drgań wektorów opisujących pola elektryczne ($\stackrel{\to }{E}$) i magnetyczne ($\stackrel{\to }{B}$) nie są w żaden sposób wyróżnione w przestrzeni, ale płaszczyzny, w których drgają, są zawsze prostopadłe względem siebie. Polaryzacja (ang. polarization) określa kierunek drgań fali względem kierunku jej rozchodzenia (propagacji; pamiętajmy, że nie jest to ten sam typ polaryzacji, która występuje przy rozsuwaniu ładunków w dielektryku). Fale posiadające wyróżniony kierunek drgań nazywane są spolaryzowanymi (ang. polarized wave). Dla fal EM kierunek polaryzacji (ang. direction of polarization) definiuje się jako równoległy do wektora natężenia pola elektrycznego $\stackrel{\to }{E}$. Jak pokazano na [link], przyjmujemy, że strzałki wektora natężenia pola elektrycznego $\stackrel{\to }{E}$ określają kierunek polaryzacji fali.

Polaryzacja przez odbicie

Zapewne już się domyślasz, że przeciwsłoneczne okulary z filtrem polaryzacyjnym zmniejszają refleksy światła, ponieważ światło odbite jest spolaryzowane. Możesz to sprawdzić samodzielnie, trzymając przeciwsłoneczne okulary z filtrem polaryzacyjnym przed sobą, obracając je i patrząc na światło odbite od powierzchni wody lub szkła. W trakcie obracania okularów zauważysz, że zmienia się natężenie światła docierającego do twoich oczu – raz obraz jest jaśniejszy, raz ciemniejszy, ale nigdy nie jest całkowicie czarny. To dowodzi, że światło odbite jest spolaryzowane tylko częściowo i z tego względu nie może być całkowicie wygaszone przez okulary przeciwsłoneczne z filtrem polaryzacyjnym.

Wyjaśnienie działania polaryzatorów na poziomie atomowym

Polaryzatory (filtry polaryzacyjne) charakteryzuje kierunek polaryzacji, który może być przedstawiony jako analogia do wcześniej omawianej pionowej szczeliny. Ta szczelina przepuszcza wyłącznie falę EM (zazwyczaj światło widzialne), której wektor natężenia pola elektrycznego jest równoległy do kierunku polaryzacji polaryzatora. Taki efekt uzyskuje się dzięki zastosowaniu długich cząsteczek ustawionych prostopadle do kierunku polaryzacji, jak pokazano na [link].

Polaryzacja przez rozpraszanie

Jeśli weźmiemy okulary przeciwsłoneczne z filtrem polaryzacyjnym i będziemy patrzeć na błękitne niebo, obracając nimi, zobaczymy, że niebo staje się raz jasne, raz ciemne. Jest to dowód na to, że światło rozpraszane przez powietrze jest częściowo spolaryzowane. [link] pomoże zobrazować przyczynę tego zjawiska. Ponieważ światło jest poprzeczną falą EM, wprawia w ruch drgający elektrony cząsteczek powietrza w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Drgające elektrony stają się źródłem promieniowania, niczym małe anteny. Ponieważ drgają one prostopadle do kierunku promienia światła, emitowane przez nie promieniowanie EM jest spolaryzowane prostopadle względem kierunku promienia. Gdy obserwujemy światło wzdłuż linii prostopadłej do pierwotnego promienia, jak pokazano na rysunku, wówczas nie może wystąpić polaryzacja światła rozproszonego w kierunku równoległym do pierwotnego promienia, ponieważ oznaczałoby to, że pierwotny promień jest falą podłużną. Wzdłuż innych kierunków składowa innej polaryzacji może być rzutowana na kierunek linii obserwacji, a rozproszone światło jest tylko częściowo spolaryzowane. Co więcej, wielokrotne rozproszenie pozwala światłu dotrzeć do twoich oczu z różnych kierunków i może zawierać różne polaryzacje.

Ciekłe kryształy oraz inne efekty polaryzacyjne w materiałach

Z pewnością masz świadomość występowania wyświetlaczy ciekłokrystalicznych (LCD) (ang. liquid crystal display) na przykład w zegarkach, kalkulatorach, monitorach komputerowych, telefonach komórkowych, smartfonach, telewizorach i wielu innych urządzeniach, być może nie zdajesz sobie jednak sprawy, że w ich działaniu wykorzystano zjawisko polaryzacji. Ciekłe kryształy są tak nazwane, ponieważ ich cząsteczki wykazują uporządkowanie nawet w stanie ciekłym. Posiadają one właściwość, która umożliwia obrót polaryzacji światła przechodzącego przez nie o $90\mathrm{°}$. Ponadto obrót polaryzacji może być sterowany przez przyłożenie napięcia, jak pokazano na [link]. Przełączanie polaryzacji może następować szybko i w małych, dobrze zdefiniowanych obszarach, aby wytworzyć kontrastujące znaki widoczne w tak wielu urządzeniach wykorzystujących LCD.

Optyka geometryczna i tworzenie obrazu

Wstęp

Obrazy tworzone przez zwierciadła płaskie

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać, jak powstaje obraz w zwierciadle płaskim;
* odróżniać obrazy rzeczywiste od pozornych;
* znajdować położenie i charakteryzować orientację obrazu utworzonego przez zwierciadło płaskie.

Położenie obrazu w zwierciadle płaskim

Prawo odbicia mówi, że kąt padania jest równy kątowi odbicia. Zastosowanie tego prawa do trójkątów $PAB$ i $QAB$ na [link] oraz uwzględnienie praw geometrii pokazuje, że są to trójkąty przystające. To znaczy, że odległość $PB$ od przedmiotu do zwierciadła jest taka sama, jak odległość $BQ$ od zwierciadła do obrazu. Odległość przedmiotu (ang. object distance, oznaczona jako ${d}_{\text{p}}$) jest odległością przedmiotu od zwierciadła (lub bardziej precyzyjnie, od środka elementu optycznego, który tworzy obraz). Podobnie odległość obrazu (ang. image distance, oznaczona jako ${d}_{\text{o}}$) jest odległością obrazu od zwierciadła (lub bardziej precyzyjnie, od środka elementu optycznego tworzącego obraz). Zgodnie z umową, dla zwierciadła płaskiego odległości przedmiotu i obrazu mają przeciwne znaki

Wielokrotny obraz

Jeżeli przedmiot znajduje się naprzeciwko dwóch zwierciadeł, to możemy zobaczyć jego obrazy w obu zwierciadłach. Dodatkowo obraz w pierwszym zwierciadle może się zachowywać jak przedmiot dla drugiego zwierciadła, więc drugie zwierciadło może tworzyć obraz obrazu. Jeżeli zwierciadła są ustawione równolegle względem siebie, a przedmiot nie jest położony w środku pomiędzy zwierciadłami, to proces tworzenia obrazu z obrazu zachodzi bez końca, jak można to zaobserwować w pomieszczeniu, w którym lustra są zawieszone naprzeciw siebie. Przedstawia to [link], który pokazuje trzy obrazy utworzone przez niebieski przedmiot. Zauważ, że każde odbicie odwraca tył i przód przedmiotu, podobnie jak wywinięcie praworęcznej rękawiczki na drugą stronę tworzy leworęczną rękawiczkę (to dlatego odbicie prawej ręki widzimy jako lewą rękę). Z tego powodu przód i tył obrazów 1 i 2 są odwrócone względem przedmiotu, a przód i tył obrazu 3 jest obrócony względem obrazu 2, który jest przedmiotem dla obrazu 3.

Zwierciadła sferyczne

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać, jak powstaje obraz w zwierciadle sferycznym;
* wykorzystywać konstrukcję biegu promieni i równanie zwierciadła do obliczania charakterystycznych wielkości obrazu powstającego w zwierciadle sferycznym.

Zwierciadła zakrzywione

Możemy zdefiniować dwa podstawowe typy zwierciadeł sferycznych. Jeżeli powierzchnia odbijająca jest zewnętrzną powierzchnią kuli – zwierciadło nazywa się zwierciadłem sferycznym wypukłym (ang. convex mirror). Jeżeli powierzchnia odbijająca jest wewnętrzną powierzchnią sfery – zwierciadło nazywa się zwierciadłem sferycznym wklęsłym (ang. concave mirror).

Zastosowanie konstrukcji biegu promieni do określenia położenia obrazu

Aby znaleźć położenie obrazu utworzonego przez zwierciadło sferyczne, najpierw musimy poznać zasady konstrukcji biegu promieni (ang. ray tracing), tj. techniki rysowania biegu promieni światła po odbiciu od zwierciadła, przy zastosowaniu prawa odbicia światła. Stosując prawa geometrii, jesteśmy w stanie znaleźć ognisko, położenie obrazu oraz inne informacje o tym, jak zwierciadło operuje światłem. Do tej pory stosowaliśmy konstrukcję biegu promieni wykorzystującą prawo odbicia, aby określić położenie ogniska zwierciadeł sferycznych, czy też odległość obrazu dla zwierciadeł płaskich. Aby znaleźć położenie obrazu przedmiotu, musimy znaleźć położenia przynajmniej dwóch punktów tego obrazu. Znalezienie każdego z nich wymaga narysowania przynajmniej dwóch promieni wychodzących z przedmiotu i skonstruowania przebiegu promieni odbitych. Punkt, w którym odbite promienie przecinają się – w przestrzeni rzeczywistej lub pozornej – jest miejscem, gdzie znajduje się punkt obrazu odpowiadający danemu punktowi przedmiotu. Aby uprościć technikę konstrukcji biegu promieni, skoncentrujmy się na biegu czterech głównych promieni, których odbicia są proste do skonstruowania.

Podsumowanie zasad konstrukcji biegu promieni

Konstrukcja biegu promieni jest bardzo przydatna w przypadku zwierciadeł. Oto krótkie podsumowanie jej zasad:

Tworzenie obrazu w zwierciadłach – równanie zwierciadła

Dla zwierciadła płaskiego pokazaliśmy, że utworzony obraz ma taką samą wysokość i orientację jak przedmiot i znajduje się w takiej samej odległości za zwierciadłem co przedmiot przed zwierciadłem. Mimo że w przypadku zwierciadeł zakrzywionych sytuacja jest bardziej skomplikowana, zastosowanie praw geometrii prowadzi do prostych wzorów opisujących relację pomiędzy odległościami przedmiotu i obrazu a ogniskowymi zwierciadeł wklęsłych i wypukłych.

Uwzględnienie promieni biegnących w dalszej odległości od osi optycznej

Możliwość zastosowania przybliżenia małych kątów jest podstawowym założeniem w powyższych analizach obrazu tworzonego przez zwierciadło sferyczne. Kiedy możliwość ta nie występuje, obraz tworzony przez zwierciadło sferyczne jest zniekształcony. Takie zniekształcenie nazywamy aberracją (ang. aberration). W tym podrozdziale zostaną omówione dwa szczególne rodzaje aberracji: **aberracja sferyczna** oraz **aberracja komatyczna** (koma).

Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać powstawanie obrazów tworzonych przez pojedynczą powierzchnię załamującą;
* określać położenie obrazu oraz obliczać jego właściwości, korzystając z konstrukcji biegu promieni;
* określać położenie obrazu oraz obliczać jego właściwości, używając równania pojedynczej powierzchni załamującej.

Załamanie na płaskiej powierzchni – głębokość pozorna

Jeżeli spojrzysz na prosty pręt częściowo zanurzony w wodzie, wyda ci się, że jest on ugięty przy powierzchni wody ([link]). Przyczyną tego ciekawego zjawiska jest to, że obraz pręta pod wodą tworzy się nieco bliżej jej powierzchni, niż faktycznie znajduje się pręt, czyli nie pokrywa się on z kierunkiem części pręta znajdującej się nad wodą. To samo zjawisko tłumaczy, dlaczego ryba pod wodą wydaje się być bliżej powierzchni, niż jest naprawdę.

Załamanie na powierzchni sferycznej

Kształty kuliste mają duże znaczenie w optyce przede wszystkim dlatego, że wykonanie wysokiej jakości sferycznych powierzchni jest bez porównania łatwiejsze niż wykonanie jakiejkolwiek innej zakrzywionej powierzchni. Aby dowiedzieć się, jak zachodzi załamanie na pojedynczej powierzchni sferycznej, przyjmujemy, że ośrodek ze sferyczną powierzchnią z jednej strony jest nieograniczony.

Cienkie soczewki

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* stosować konstrukcję biegu promieni światła do określenia położenia obrazu tworzonego przez soczewkę;
* stosować równanie cienkiej soczewki do opisu położenia i właściwości obrazu tworzonego przez soczewkę.

Konstrukcja biegu promieni dla cienkich soczewek

**Konstrukcja biegu promieni** jest techniką graficznego wyznaczania drogi promieni światła. Wyznaczanie drogi charakterystycznych promieni dla cienkich soczewek jest bardzo podobne do techniki, z której korzystaliśmy przy zwierciadłach sferycznych. Podobnie jak dla zwierciadeł, bieg charakterystycznych promieni może precyzyjnie opisać działanie soczewki. Zasady konstrukcji biegu promieni dla cienkich soczewek są podobne do zasad stosowanych przy zwierciadłach sferycznych:

Obrazy tworzone przez cienkie soczewki

Zastosujemy opisaną powyżej technikę konstrukcji biegu promieni do zbadania właściwości obrazów tworzonych przez soczewki. W pewnych warunkach soczewki tworzą obraz rzeczywisty, jak np. obraz z projektora filmowego, który może być wyświetlony na ekranie. Obraz pozorny natomiast nie może być wyświetlony na ekranie. Zastosujemy konstrukcję biegu promieni dla cienkich soczewek, aby zilustrować, jak tworzą one obrazy, a następnie wyprowadzimy równania ilościowo określające właściwości cienkich soczewek.

Ukośne równoległe promienie i płaszczyzna ogniskowa

Dowiedzieliśmy się, że promienie równoległe do osi optycznej soczewki skupiającej po przejściu przez nią skupiają się w jednym punkcie – ognisku soczewki. W przypadku soczewki rozpraszającej promienie równoległe do osi optycznej rozchodzą się w takim kierunku, jakby wychodziły z ogniska znajdującego się po tej samej stronie soczewki co źródło światła. Co jednak z promieniami równoległymi, które padają pod pewnym kątem do osi optycznej? W przypadku soczewek skupiających promienie takie po przejściu przez nią nie skupiają się w ognisku znajdującym się na osi optycznej, tylko na płaszczyźnie przechodzącej przez ognisko, tzw. płaszczyźnie ogniskowej (ang. focal plane). Płaszczyzna ogniskowa zawiera ognisko i jest prostopadła do osi optycznej. Jak pokazano na [link], równoległe promienie skupiają się w miejscu, w którym promień przechodzący przez środek soczewki przecina płaszczyznę ogniskową.

Równanie cienkiej soczewki

Konstrukcja biegu promieni światła pozwala nam jakościowo opisać cechy obrazu przedmiotu. Aby otrzymać informacje ilościowe, wyprowadzimy teraz równania na podstawie analizy geometrycznej konstrukcji biegu promieni dla cienkich soczewek. Te równania, nazywane równaniem cienkiej soczewki oraz równaniem soczewki, pozwolą nam precyzyjnie analizować obrazy uzyskane dla cienkich soczewek.

Stosowanie równania cienkiej soczewki

Równanie cienkiej soczewki ma szerokie zastosowanie w zagadnieniach związanych z soczewkami. W kolejnych przykładach omówimy wiele aspektów tworzenia obrazu przez soczewki.

Oko

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* rozumieć fizyczne podstawy tworzenia obrazów przez ludzkie oko;
* rozpoznawać różne przyczyny wad wzroku oraz stosować zasady optyki przy korekcji tych wad.

Fizyka oka

Oko jest wyjątkowe. Potrafi tworzyć obrazy o niezwykłym bogactwie detali i kolorów. Jednakże nasze oczy nieraz potrzebują korekcji, aby osiągnąć to, co nazywamy dobrym wzrokiem. Właściwie to dobry wzrok powinien być nazywany „idealnym”, ponieważ prawie połowa ludzkości wymaga jakiejś korekcji wzroku, a konieczność noszenia okularów nie jest w żadnym stopniu „anomalna”. Tworzenie obrazu przez nasze oczy i możliwości korekcji wzroku rozumiemy dzięki optyce, której zasady zostały omówione wcześniej w tym rozdziale.

Korekcja wzroku

Potrzeba różnego rodzaju korekcji wzroku jest powszechna. Typowe wady wzroku łatwo wyjaśnić w oparciu o zasady optyki geometrycznej i niektóre z nich można łatwo skorygować. [link] przedstawia dwie najczęstsze wady wzroku. Krótkowzroczność (ang. nearsightedness, myopia) jest wadą polegającą na wyraźnym widzeniu przedmiotów znajdujących się blisko oka, przedmioty znajdujące się dalej są widziane nieostro. Oko krótkowzroczne silniej skupia równoległe promienie światła pochodzące od odległego przedmiotu, skutkiem czego promienie te skupiają się przed siatkówką. Bardziej zbieżne promienie pochodzące od bliskiego przedmiotu skupiają się na siatkówce, dając wyraźny obraz. Odległość najdalszego przedmiotu widzianego wyraźnie nazywana jest punktem dali oka (dla zdrowego oka punkt dali jest w nieskończoności). Dalekowzroczność (ang. farsightedness) lub inaczej nadwzroczność (ang. hyperopia) jest wadą polegającą na wyraźnym widzeniu przedmiotów znajdujących się w dużej odległości od oka, przedmioty znajdujące się blisko widziane są nieostro. Oko dalekowzroczne niewystarczająco skupia promienie pochodzące od bliskich przedmiotów, skutkiem czego promienie te skupiają się za siatkówką.

Aparat fotograficzny

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać optykę aparatu fotograficznego;
* charakteryzować obraz tworzony przez aparat fotograficzny.

Proste przyrządy powiększające

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* rozumieć optykę prostych przyrządów powiększających;
* charakteryzować obrazy tworzone przez proste przyrządy powiększające.

Mikroskopy i teleskopy

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać zasady działania mikroskopów i teleskopów;
* opisywać obrazy utworzone przez te układy oraz obliczać ich powiększenie.

Mikroskopy

Mimo że oko ludzkie ma doskonałą zdolność widzenia przedmiotów zarówno wielkich, jak i małych, to nie radzi sobie z dostrzeganiem drobnych szczegółów. Pragnienie, by zobaczyć to, co nie jest widoczne gołym okiem, doprowadziło do wynalezienia powiększających przyrządów optycznych. Wiemy już, że pojedyncza soczewka wypukła może tworzyć powiększony obraz, ale przy pomocy takiej soczewki trudno jest uzyskać duże powiększenie. Powiększenie większe niż 5-krotne otrzymane przy pomocy pojedynczej soczewki wypukłej jest najczęściej związane ze zniekształceniem obrazu. Aby uzyskać jeszcze większe powiększenie, możemy dołożyć do zwykłej lupy jedną lub większą liczbę dodatkowych soczewek. W tym podrozdziale poznamy zasady działania mikroskopów – przyrządów, które pozwalają zobaczyć szczegóły niewidoczne gołym okiem.

Teleskopy

Teleskopy służą do obserwacji odległych przedmiotów i tworzą obraz, który jest większy niż obraz utworzony przez nieuzbrojone oko. Teleskopy zbierają dużo więcej światła niż oko, dzięki czemu umożliwiają obserwację ciemnych przedmiotów w większym powiększeniu i z lepszą rozdzielczością. Zostały one wynalezione około 1600 roku, a Galileusz (1564–1642) pierwszy zastosował je do badania nieba, co miało duże znaczenie dla rozwoju nauki. Za jego pomocą Galileusz obserwował księżyce Jowisza, kratery i góry na Księżycu czy szczegółową budowę plam słonecznych. Dzięki temu stwierdził, na przykład, że Droga Mleczna składa się z ogromnej liczby pojedynczych gwiazd.

Teleskopy zwierciadlane

Izaak Newton zaprojektował pierwszy teleskop zwierciadlany około 1670 roku, aby rozwiązać problem aberracji chromatycznej teleskopów refrakcyjnych. Aberracja chromatyczna powoduje, że światło o różnych barwach załamuje się w soczewce pod nieco różnymi kątami. W efekcie dookoła obrazu powstaje tęcza, a obraz jest rozmazany. W teleskopie zwierciadlanym promienie światła z odległego źródła padają na powierzchnię wklęsłego zwierciadła umieszczonego w dolnym końcu rury teleskopu. Zastosowanie zwierciadła zamiast soczewki eliminuje aberrację chromatyczną. Zwierciadło wklęsłe skupia promienie w swojej płaszczyźnie ogniskowej. Aby móc obserwować taki obraz, Newton zaproponował układ, w którym zogniskowane światło z wklęsłego zwierciadła zostaje odbite przez kolejne zwierciadło do okularu znajdującego się z boku rury teleskopu (część (a) [link]). To rozwiązanie jest popularne w wielu amatorskich teleskopach i nazywa się konstrukcją Newtona (ang. Newtonian design).

Interferencja

Wstęp

Doświadczenie Younga z dwiema szczelinami

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać zjawisko interferencji;
* określać warunki konstruktywnej i destruktywnej interferencji na dwóch szczelinach.

Matematyczny opis interferencji

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* określać wartości kątów, dla których powstają ciemne i jasne prążki w obrazie interferencyjnym pochodzącym od dwóch szczelin;
* określać położenie jasnych prążków na obrazie interferencyjnym.

Interferencja na wielu szczelinach

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyznaczać położenie i natężenie pobocznych maksimów w obrazie interferencyjnym pochodzącym od wielu szczelin.

Interferencja w cienkich warstwach

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* omawiać zmianę fazy fali przy odbiciu;
* opisywać prążki interferencyjne powstałe w wyniku nakładania się fal odbitych pochodzących z tego samego źródła;
* wyjaśniać pojawianie się różnych kolorów przy odbiciu światła od cienkich warstw.

Zmiany fazy fali świetlnej przy odbiciu

Już wcześniej przekonaliśmy się o tym (patrz rozdział Fale), że fale mechaniczne przy odbiciu mogą zmieniać swoją fazę o $180°$. W omawianym tam przykładzie fala biegnąca w strunie odbija się w przeciwfazie (tj. następuje zmiana fazy fali o $180°$) w miejscu, w którym przymocowana jest cięższa struna. Natomiast w przypadku, gdy druga część struny jest lżejsza (lub – bardziej precyzyjnie – ma mniejszą gęstość liniową przy takiej samej średnicy jak jej pierwsza część), fala odbija się bez zmiany fazy. Dla fal świetlnych występuje analogiczny efekt, ale parametrem, który ma wówczas największy wpływ na zmianę fazy, jest różnica współczynników załamania dla tej fali dla dwóch ośrodków, na granicy których następuje odbicie. Zmiana fazy fali świetlnej o $180°$ lub $\pi$ radianów następuje przy odbiciu od ośrodka o większym współczynniku załamania. Fala odbija się bez zmiany fazy w sytuacji, gdy odbicie następuje od ośrodka o mniejszym współczynniku załamania (patrz [link]). Z punktu widzenia falowej natury światła zmiana fazy jest równoważna różnicy dróg optycznych interferujących promieni wynoszącej $±\lambda ∕2$. Zarówno różnica dróg optycznych, jak i współczynniki załamania ośrodków determinują wynik interferencji w cienkich warstwach.

Związek pomiędzy różnicą dróg optycznych a zmianą fazy

Interferencja w cienkich warstwach jest całkowicie konstruktywna lub całkowicie destruktywna, gdy różnica dróg optycznych w danym ośrodku (tutaj rozpatrujemy przypadek szczególny, gdy współczynniki załamania ośrodków po obu stronach cienkiej warstwy są mniejsze niż współczynnik załamania dla cienkiej warstwy) jest równa całkowitej wielokrotności długości fali lub nieparzystej wielokrotności połowy długości fali. W rozpatrywanym przez nas przypadku, różnicę dróg optycznych dla fal, które interferują ze sobą konstruktywnie i pdają prostopadle możemy zapisać w postaci

Interferometr Michelsona

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać zmiany w obrazie prążków interferencyjnych obserwowanych w interferometrze Michelsona spowodowane ruchem jednego ze zwierciadeł;
* wyjaśniać zmiany w obrazie prążków interferencyjnych obserwowanych w interferometrze Michelsona spowodowane zmianami ośrodka.

Dyfrakcja

Wstęp

Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać zjawisko dyfrakcji i warunki jej obserwacji;
* opisywać dyfrakcję na pojedynczej szczelinie.

Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie

Światło przechodzące przez pojedynczą szczelinę tworzy obraz (wzór) dyfrakcyjny różniący się nieco od tych utworzonych przez podwójne szczeliny lub siatki dyfrakcyjne, które omówiliśmy w rozdziale o interferencji. [link] pokazuje obraz dyfrakcji zachodzący na pojedynczej szczelinie. Zauważmy, że centralne maksimum natężenia światła jest większe niż maksima z obu stron (maksima boczne) oraz że to natężenie światła zmniejsza się gwałtownie w miarę oddalania się od maksimum centralnego. W odróżnieniu od tego siatka dyfrakcyjna (Siatki dyfrakcyjne) wytwarza równomiernie rozmieszczone cienkie linie, które stopniowo zanikają po obu stronach centrum.

Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* obliczać natężenia maksimów dyfrakcyjnych względem centralnego maksimum dla pojedynczej szczeliny dyfrakcyjnej;
* obliczać natężenie w dowolnym punkcie na ekranie względem centralnego maksimum.

Dyfrakcja na podwójnej szczelinie

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać łączny efekt interferencji i dyfrakcji na podwójnej szczelinie, z których każda szczelina jest o skończonej szerokości;
* określać względne natężenia prążków interferencyjnych w obrębie obrazu dyfrakcyjnego;
* identyfikować brakujące rzędy widma, jeśli takie istnieją.

Siatki dyfrakcyjne

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* omawiać widmo siatki dyfrakcyjnej;
* wyjaśniać zjawiska związane z padaniem światła na siatkę dyfrakcyjną.

Siatki dyfrakcyjne: nieskończona liczba szczelin

Analiza interferencji wielopromieniowej (z wielu źródeł) w rozdziale Interferencja pozwala przewidzieć, co się dzieje, gdy liczba szczelin $N$ dąży do nieskończoności. Przypomnijmy, że w obszarze między maksimami podstawowymi pojawia się $N-2$ maksimów wtórnych. Możemy przewidzieć, że przy nieskończonej liczbie szczelin będzie nieskończona liczba wtórnych maksimów i ciemnych prążków między nimi. To sprawia, że odstępy pomiędzy prążkami, a zatem szerokości maksimów, stają się nieskończenie małe. Ponadto, ponieważ natężenie wtórnych maksimów jest proporcjonalne do $1∕{N}^{2}$, to dąży ono do zera, tak że maksima wtórne stają się niewidoczne. Pozostają tylko maksima główne, teraz bardzo jasne i bardzo wąskie ([link]).

Zastosowanie siatek dyfrakcyjnych

Jakie są zastosowania siatek dyfrakcyjnych? Są one powszechnie używane w spektroskopii dyspersyjnej (ang. spectroscopic dispersion) i do analizy światła. Szczególnie użytecznymi czyni je fakt, że dają obraz ostrzejszy niż podwójna szczelina. Oznacza to, że jasne prążki w widmie siatki dyfrakcyjnej są węższe i jaśniejsze, podczas gdy ciemne obszary są ciemniejsze. Siatki dyfrakcyjne stanowią główny element monochromatorów, stosowanych np. w obrazowaniu optycznym przy użyciu fal o określonej długości, próbek materiałów biologicznych lub medycznych. Siatkę tę można wybrać w przypadku szczegółowej analizy długości fali, którą emitują cząsteczki chorej komórki pochodzące z próbki pobranej podczas biopsji, lub w celu pobudzenia cząsteczki w próbce falą światła o ustalonej długości. Obecnie dostępne są siatki dyfrakcyjne dostosowane do długości fal, jakie mają być użyte.

Otwory kołowe i rozdzielczość

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać dyfrakcyjną granicę rozdzielczości;
* opisywać ograniczenia dotyczące propagacji wiązki ze względu na dyfrakcję.

Dyfrakcja rentgenowska

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać interferencyjne i dyfrakcyjne efekty pojawiające się, gdy promieniowanie rentgenowskie oddziałuje z strukturami atomowymi.

Holografia

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać, jak trójwymiarowy obraz jest zapisywany w postaci hologramu;
* opisywać, jak trójwymiarowy obraz jest odtwarzany z hologramu.

Fizyka współczesna

Teoria względności

Wstęp

Niezmienność praw fizyki

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać zagadnienia teoretyczne i eksperymentalne, do których odnosi się szczególna teoria względności Einsteina;
* określać dwa postulaty szczególnej teorii względności.

Inercjalne układy odniesienia

Każda prędkość mierzona jest względem jakiegoś układu odniesienia. Na przykład prędkość samochodu mierzona jest względem punktu startowego na drodze, po której się przemieszcza, ruch pocisku – względem powierzchni, z której został wystrzelony, a ruch planety po orbicie – względem gwiazdy, wokół której orbituje. Układy odniesienia, w których zasady mechaniki mają najprostszą formę, to te o zerowym przyspieszeniu. Właśnie w takich układach spełniona jest pierwsza zasada dynamiki Newtona – zasada bezwładności.

Pierwszy postulat Einsteina

W inercjalnych układach odniesienia prawa mechaniki klasycznej nie tylko są najprostsze w opisie, ale też jednobrzmiące dla wszystkich układów inercjalnych. Einstein oparł pierwszy postulat (ang. first postulate of special relativity) swojej teorii na założeniu, że zasada ta jest adekwatna dla wszystkich praw fizyki, nie tylko dla praw mechaniki.

Drugi postulat Einsteina

Drugi postulat, na którym Einstein oparł szczególną teorię względności, odnosi się do prędkości światła (ang. speed of light). Pod koniec XIX wieku główne dogmaty klasycznej fizyki były już dobrze znane. Za dwa najważniejsze prawa można było wtedy uznać reguły odnoszące się do fal elektromagnetycznych i zasady mechaniki Newtona. Badania takie jak eksperyment z podwójną szczeliną Younga, przeprowadzony w pierwszych latach latach XIX wieku, utwierdzały naukowców w przekonaniu, że światło jest falą. Z równań Maxwella zaś wynikało, że fala elektromagnetyczna w próżni przemieszcza się z prędkością $c=3\cdot {10}^{8}\mathrm{m}∕\mathrm{s}$, ale nie precyzowały one układu odniesienia, w którym światło miałoby posiadać taką prędkość. W tym czasie znanych było wiele typów fal i wszystkie przemieszczały się w jakimś ośrodku. Naukowcy uznali więc, że musi istnieć jakiś ośrodek (choćby próżnia), w którym porusza się światło, i właśnie względem niego (często zwanego „eterem”) światło przemieszcza się z prędkością $c$.

Względność jednoczesności zdarzeń

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* na podstawie postulatów Einsteina dowodzić, że dwa zdarzenia zachodzące jednocześnie w jednym układzie odniesienia nie muszą być jednoczesne w innym;
* opisywać, w jaki sposób na jednoczesność zdarzeń może wpływać ruch względny dwóch obserwatorów.

Dylatacja czasu

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* dlaczego mierzony upływ czasu może być inny w różnych układach odniesienia;
* w jaki sposób odróżnić czas własny od czasu innego obserwatora;
* opisywać znaczenie eksperymentu Rossiego-Halla;
* dlaczego paradoks bliźniąt nie jest sprzecznością;
* obliczać dylatację czasu, znając prędkość ciała w danym układzie.

Okres połowicznego rozpadu mionu

Równanie $\Delta t=\gamma \Delta \tau$ zostało wielokrotnie potwierdzone doświadczalnie. Eksperyment Rossiego-Halla związany jest z cząsteczkami promieniowania kosmicznego, które cały czas padają na Ziemię. Produktem zderzeń tych cząsteczek z jądrami atomów w górnych partiach atmosfery są nietrwałe cząstki nazywane mionami (ang. muons) o tym samym ładunku co elektron, ale większej masie. Okres połowicznego rozpadu (czas, w którym połowa danego materiału uległa rozpadowi) mionu wynosi $1,52\mathrm{µs}$, gdy jest mierzony przez obserwatora znajdującego się w spoczynku względem cząstki. Ten czas nazwiemy czasem własnym $\Delta \tau$. Jeżeli założenia Newtona na temat czasu byłyby prawdziwe, w tak krótkim okresie jedynie niewielka ilość mionów zdążyłaby dotrzeć na powierzchnię Ziemi i zostać zarejestrowana. Jednak miony mogą mieć różne prędkości, nie wykluczając też tych bliskich prędkości światła. Okres rozpadu mionu obserwowany z powierzchni Ziemi ($\Delta t$) zmienia się w zależności od jego prędkości zgodnie z równaniem $\Delta t=\gamma \Delta \tau$, gdzie $\gamma =1∕\sqrt{1-{v}^{2}∕{c}^{2}}$. Im szybciej porusza się mion, tym dłużej istnieje. Obserwując mion z powierzchni Ziemi, zmierzymy dłuższy czas życia tej cząstki, niż przewiduje jego czas połowicznego rozpadu, w rezultacie czego detektory rejestrują dużo większą część populacji mionów.

Paradoks bliźniąt

Ciekawą konsekwencją dylatacji czasu jest przypadek bliźniąt, z których jedno żyje na Ziemi, a drugie zostaje wysłane w przestrzeń kosmiczną na statku osiągającym bardzo duże prędkości. Bliźniak astronauta powinien w takim przypadku starzeć się wolniej od swojego brata czy siostry na Ziemi. Zagadnienie to jest nazywane paradoksem bliźniąt (ang. twin paradox). Wyobraźmy sobie sytuację przedstawioną na [link]: astronautka porusza się z prędkością odpowiadającą $\gamma =30$. Okres dwóch lat w układzie odniesienia związanym z astronautką odpowiada okresowi 60 lat na Ziemi. Załóżmy, że podróżując z taką prędkością, astronautka przez rok odkrywa sąsiednie układy planetarne, a następnie wraca opowiedzieć, co widziała. Astronautka, która wyruszyła w kosmos w wieku 40 lat, po powrocie będzie miała 42 lata. Jej siostra, podobnie jak wszystko na Ziemi, zestarzała się o 60 lat i jeśli nadal żyje, będzie miała 100 lat w momencie powrotu astronautki.

Skrócenie długości w szczególnej teorii względności

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać, z czego wynika skrócenie długości;
* opisywać zależność między skróceniem długości a dylatacją czasu.

Długość własna i czas własny w różnych układach inercjalnych

Dwójka obserwatorów, mijając się, zawsze zaobserwuje tę samą prędkość względną. Mimo że z powodu dylatacji czasu pasażer pociągu i obserwator znajdujący się na peronie inaczej postrzegają czas przejazdu pociągu, to prędkość względna, która określana jest jako iloraz drogi i czasu, jest taka sama w obu przypadkach. Jeżeli nasi obserwatorzy nie zgadzają się co do czasu przejazdu pociągu, ale podają tę samą prędkość względną, oznacza to, że nie mogą się też zgadzać co do mierzonej odległości.

Skrócenie długości

Aby powiązać ze sobą odległości mierzone przez różnych obserwatorów, przyjrzyjmy się prędkości względnej mionu z perspektywy obserwatora na Ziemi. Jest ona dana wzorem

Transformacja Lorentza

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać transformację Galileusza w odniesieniu do położenia, czasu, prędkości i przyspieszeń mierzonych w różnych układach odniesienia;
* wyprowadzać transformację Lorentza, która jest uogólnieniem transformacji Galileusza i zawiera założenia szczególnej teorii względności;
* wyjaśniać transformację Lorentza i inne pojęcia związane z teorią względności w czterowymiarowej czasoprzestrzeni.

Transformacja Galileusza

Zdarzenie (ang. event) opisane jest za pomocą trzech współrzędnych przestrzennych i jednej współrzędnej czasowej $\left(x,y,z,t\right)$ odpowiadających pewnemu układowi inercjalnemu $S$. Współrzędne te mogłyby np. opisywać położenie pewnej cząstki w czasie $t$, którą moglibyśmy następnie obserwować w różnych momentach i której ruch moglibyśmy określić. Załóżmy, że drugi układ odniesienia ${S}^{\prime }$ porusza się z prędkością $v$ względem pierwszego. Dla uproszczenia przyjmijmy, że kierunek tej prędkości pokrywa się z osią $x$. Zależność współrzędnych przestrzennych w obu tych układach będzie wyglądała następująco

Transformacja Lorentza

Jednak transformacja Galileusza nie zgadza się w pełni z postulatami Einsteina. Według tych równań impuls świetlny poruszający się z prędkością $c$ wzdłuż osi $x$ w innym układzie współrzędnych miałby prędkość równą $c-v$. Impuls ten rozchodzi się sferycznie i ma promień $r=ct$ w czasie $t$ w nieprimowanym układzie odniesienia, a promień ${r}^{\prime }=c{t}^{\prime }$ w czasie ${t}^{\prime }$ w układzie primowanym. Wyrażając te zależności we współrzędnych kartezjańskich, otrzymujemy

Czasoprzestrzeń

Zjawiska relatywistyczne mogą być analizowane w czterowymiarowej czasoprzestrzeni (ang. space-time). Jeżeli spojrzymy na zjawiska fizyczne związane z efektami relatywistycznymi (jak paradoks bliźniąt, dylatacja czasu, skrócenie długości czy zależność jednoczesności zdarzeń od ruchu względnego układów) w taki sposób, to zauważymy, że są one naturalną konsekwencją istnienia czasoprzestrzeni, a nie skomplikowanych teorii fizycznych.

Względność prędkości w szczególnej teorii względności

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyprowadzać zgodne ze szczególną teorią względności równania na przekształcenie prędkości z jednego układu odniesienia w drugi;
* stosować transformację prędkości do ciał poruszających się z prędkością relatywistyczną;
* porównywać wyniki otrzymane dzięki transformacji prędkości w ujęciu szczególnej teorii względności z przewidywanymi przez fizykę klasyczną.

Transformacja prędkości

Wyobraźmy sobie samochód poruszający się po prostej drodze, jak pokazano na [link].

Relatywistyczna transformacja prędkości

Załóżmy, że ciało $P$ porusza się ze stałą prędkością $u=\left({u}_{x}^{\prime },{u}_{y}^{\prime },{u}_{z}^{\prime }\right)$ w układzie odniesienia ${S}^{\prime }$. Układ ten przemieszcza się z prędkością $v$ wzdłuż osi ${x}^{\prime }$. W czasie $d{t}^{\prime }$ cząstka przemieszcza się o odległość $d{x}^{\prime }$ wzdłuż osi ${x}^{\prime }$. Stosując transformację Lorentza, możemy wyprowadzić odpowiednie wartości w układzie nieprimowanym

Relatywistyczny efekt Dopplera

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać pochodzenie przesunięcia częstotliwości i długości fali świetlnej, gdy obserwator i źródło przemieszczają się względem siebie;
* wyprowadzać wzór na relatywistyczny efekt Dopplera;
* stosować równania na przesunięcie dopplerowskie.

Relatywistyczny efekt Dopplera

Załóżmy, że obserwator w układzie odniesienia $S$ widzi światło ze źródła (układ ${S}^{\prime }$) oddalającego się z prędkością $v$ ([link]). Światło jest wysyłane impulsami. Okres fali to czas pomiędzy kolejnymi impulsami w tym samym miejscu, a jej długość to odległość między impulsami w tym samym czasie. Długość fali w każdym układzie jest równa iloczynowi jej okresu oraz prędkości światła. Czas mierzony w układzie obserwatora $S$ pomiędzy kolejnymi impulsami fali jest większy o czynnik $\gamma$ od okresu w układzie spoczynkowym źródła ${S}^{\prime }$.

Przesunięcie ku czerwieni i fioletowi

W zależności od wzajemnego ruchu źródła i obserwatora ${\lambda }_{\text{obs}}$ przyjmie większą lub mniejszą wartość. Gdy źródło się oddala, doświadczamy wydłużenia fali obserwowanej, nazywanego też, ze względu na barwy odpowiadające długościom fali, przesunięciem ku czerwieni. Analogicznie, gdy źródło światła przemieszcza się w stronę
 obserwatora, długość fali ulega skróceniu, czyli następuje przesunięcie ku fioletowi. To, jak duże będzie to przesunięcie, opisuje zależność

Pęd relatywistyczny

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać pęd relatywistyczny w zależności od prędkości i masy danego ciała;
* pokazywać, w jaki sposób powiązane są relatywistyczny i klasyczny pęd;
* wykazywać, jak zachowanie relatywistycznego pędu uniemożliwia ciałom posiadającym masę osiągnięcie prędkości światła.

Energia relatywistyczna

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać, jak zależność między energią i pracą prowadzi do wyrażenia na relatywistyczną energię kinetyczną danego ciała;
* pokazywać, jakie są podobieństwa i różnice między energią określoną w sposób relatywistyczny a określoną klasycznie i w jaki sposób energia nakłada ograniczenie na prędkość ciała o niezerowej masie;
* opisywać, w jaki sposób energia cząstki jest powiązana z jej masą i prędkością;
* opisywać równoważność masy i energii oraz jej praktyczne konsekwencje.

Energia kinetyczna i ostateczne ograniczenie prędkości

Zgodnie z pierwszym postulatem szczególnej teorii względności prawa fizyki są zachowane we wszystkich inercjalnych układach. Einstein wykazał, że prawo zachowania energii obowiązuje także w przypadkach relatywistycznych, ale dla energii wyrażonej za pomocą masy i prędkości zgodnych ze szczególną teorią względności.

Całkowita energia relatywistyczna

Wzór na energię kinetyczną może być przekształcony do

Energia magazynowana i potencjalna

Co dzieje się z energią magazynowaną w ciele znajdującym się w spoczynku, jak w przypadku ładowania baterii czy energii związanej w ściśniętej sprężynie zabawkowego pistoletu? Energia ta jest częścią energii całkowitej, a przez to wpływa na masę spoczynkową danego ciała. Cała energia związana w ciele i potencjalna staje się masą w układzie. Pozornie sprzeczna zasada zachowania masy (a więc zakładająca, że masa całkowita jest stała) była jednym z praw zweryfikowanych przez dziewiętnastowieczną naukę. Dlaczego wcześniej nie zauważono jej błędności? Następujący przykład pozwoli na lepsze zrozumienie tego zagadnienia.

Relatywistyczne powiązanie energii i pędu

Wiemy, że klasycznie zdefiniowana energia kinetyczna i pęd są ze sobą powiązane w następujący sposób

Fotony i fale materii

Wstęp

Promieniowanie ciała doskonale czarnego

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* stosować prawa Wiena i Stefana-Boltzmanna do analizy promieniowania ciała doskonale czarnego;
* wyjaśniać hipotezę Plancka dotyczącą kwantów energii.

Efekt fotoelektryczny

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać właściwości zjawiska fotoelektrycznego;
* wyjaśniać, dlaczego efektu fotoelektrycznego nie można wytłumaczyć na gruncie fizyki klasycznej;
* opisywać, w jaki sposób postulat Einsteina dotyczący istnienia cząstek promieniowania wyjaśnia efekt fotoelektryczny.

Cechy efektu fotoelektrycznego

Efekt fotoelektryczny ma trzy istotne cechy, których nie da się wytłumaczyć w ramach fizyki klasycznej: (1) brak opóźnienia, (2) niezależność energii kinetycznej fotoelektronów od natężenia padającego promieniowania oraz (3) występowanie częstotliwości granicznej. Zajmijmy się teraz każdą z nich.

Praca wyjścia

Efekt fotoelektryczny został wyjaśniony w 1905 roku przez Alberta Einsteina (1879–1955). Einstein założył, że skoro hipoteza Plancka o kwantach energii poprawnie opisywała wymianę energii między promieniowaniem elektromagnetycznym i ścianami wnęki, to powinna być ona także zastosowana do opisu absorpcji promieniowania przez fotoelektrodę. Zapostulował on tezę, że fala elektromagnetyczna niesie energię w dyskretnych porcjach. Einstein rozszerzył hipotezę Plancka, postulując, że samo światło składa się z kwantów promieniowania. Innymi słowy, że fale elektromagnetyczne są skwantowane.

Efekt Comptona

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać eksperyment Comptona;
* wyjaśniać komptonowskie przesunięcie długości fali;
* opisywać sposób, w jaki eksperymenty z promieniowaniem rentgenowskim ujawniają cząstkową naturę promieniowania.

Pęd fotonu

W przeciwieństwie do cząstek materii, posiadających niezerową masę spoczynkową ${m}_{0}$, foton jest bezmasowy. Podczas gdy cząstki materii osiągać mogą w próżni różne prędkości, mniejsze od prędkości światła, foton przemieszcza się zawsze z prędkością światła. Z punktu widzenia klasycznej mechaniki newtonowskiej podanie opisu takiej cząstki stanowi istotny problem. Jak przypisać pęd albo energię kinetyczną obiektowi, którego masa równa jest zero? Problem ten rozwiązać można na gruncie szczególnej teorii względności. Zgodnie z tą teorią dla każdego ciała zachodzi następujący związek

Efekt Comptona

Efektem Comptona (ang. Compton effect) nazywa się niezwykły rezultat eksperymentu, w którym obserwuje się rozpraszanie promieni rentgenowskich na niektórych materiałach. Teoria klasyczna przewidywała, że rozproszona fala elektromagnetyczna powinna mieć tę samą długość co fala padająca. Jednak przeprowadzone doświadczenia nie potwierdzają tego przewidywania. Promieniowanie rentgenowskie rozproszone na przykład na powierzchni grafitowej miało inną długość fali niż promieniowanie padające. To zjawisko, niedające się wytłumaczyć na gruncie fizyki klasycznej, badał eksperymentalnie wraz ze współpracownikami Artur H. Compton (1892–1962) i on też podał jego wytłumaczenie w roku 1923.

Przesunięcie Comptona

Compton wyjaśnił zmianę długości fali rozproszonej, opierając się na tym, że w grafitowej tarczy elektrony walencyjne są słabo związane z atomami i zachowują się jak cząstki swobodne. Compton założył, że padające promieniowanie rentgenowskie składa się ze strumienia fotonów. Padający foton zderza się z elektronem walencyjnym w tarczy i przekazuje mu w tym zderzeniu część energii i pędu. Model ten jakościowo pozwala zrozumieć, dlaczego długość fali rozproszonego promieniowania jest większa. Traci on po prostu część swojej energii i jego częstotliwość zmniejsza się, wskutek czego zwiększa się długość fali. Compton użył tego modelu do wyprowadzenia wzoru na przesunięcie $\Delta \lambda$, zakładając jedynie, że w zderzeniu fotonu z elektronem spełnione są zasady zachowania pędu i energii.

Model atomu wodoru Bohra

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać różnicę między widmem absorbcyjnym a emisyjnym promieniowania;
* opisywać doświadczenie Rutherforda i odkrycie jądra atomowego;
* opisywać strukturę atomu wodoru;
* opisywać postulaty wczesnej teorii kwantowej;
* opisywać, w jaki sposób model Bohra wyjaśnia widmo promieniowania atomu wodoru.

Orbity elektronu

Aby wyznaczyć promień ${r}_{n}$ i prędkość elektronu na $n$-tej orbicie, założymy, że jego ruch można opisywać przy pomocy klasycznej mechaniki newtonowskiej. Elektron, będący częstką o ładunku ujemnym, poddany jest sile elektrostatycznej, przyciągającej go do jądra, znajdującego się w środku jego orbity kołowej. Oddziaływanie elektrostatyczne pełni więc rolę siły dośrodkowej, powodującej ruch elektronu po okręgu

Poziomy energetyczne

Całkowita energia ${E}_{n}$ elektronu na $n$-tej orbicie jest sumą jego energii kinetycznej ${E}_{\text{k}n}$ i potencjalnej ${E}_{\text{p}n}$. Korzystając z [link], otrzymujemy

Widmo emisyjne atomu wodoru

Aby wyznaczyć długość fali promieniowania emitowanego przez atom, gdy elektron przechodzi z $n$-tej orbity na orbitę o liczbie kwantowej $m$, użyjemy drugiego warunku kwantyzacji Bohra oraz wzoru ([link]) na energię. Emisja energii z atomu może nastąpić tylko, gdy elektron przechodzi ze stanu o wyższej energii do stanu o energii niższej (${E}_{n}>{E}_{m}$ i $n>m$). W wyniku takiego przejścia foton unosi energię, będącą różnicą energii stanów, pomiędzy którymi zaszło przejście

Fale de Broglie’a

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać hipotezę de Broglie’a o istnieniu fal materii;
* wyjaśniać, w jaki sposób hipoteza de Broglie’a dostarczyła uzasadnienia dla kwantowania momentu pędu w modelu atomu zaproponowanym przez Bohra;
* opisywać doświadczenie Davissona-Germera;
* interpretować ideę fal materii de Broglie’a i to, jak wyjaśnia ona zjawiska dyfrakcyjne w rozpraszaniu elektronów.

Dualizm korpuskularno-falowy

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* identyfikować zjawiska, w których fale elektromagnetyczne zachowują się jak wiązka fotonów, i takie, w których cząstki wykazują własności falowe;
* opisywać zjawiska fizyczne będące podstawą działania mikroskopu elektronowego;
* opisywać drogę, która doprowadziła do sformułowania mechaniki kwantowej.

Mechanika kwantowa

Wstęp

Funkcje falowe

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* o pochodzeniu równania Schrödingera oraz sposobie jego wykorzystania;
* opisywać funkcję falową cząstki kwantowo- mechanicznej;
* wykorzystywać funkcję falową do określania prawdopodobieństwa położenia cząstki;
* obliczać statystyczne wartości oczekiwane położenia, pędu i energii kinetycznej dla kwantowej cząstki.

Wyprowadzenie i wykorzystywanie funkcji falowych

W poprzednim rozdziale omawialiśmy obiekty zachowujące się czasami jak cząstki, a czasami jak fale. Używaliśmy takich pojęć jak elektron czy foton. Elektron to niepodzielny obiekt przenoszący ładunek o pomijalnym rozmiarze, nieposiadający struktury wewnętrznej i obdarzony masą, tradycyjnie traktowany jako cząstka (w pierwszym wyobrażeniu to nieprzenikliwa i niedeformowalna kulka o promieniu $r$, masie $m$ i ładunku $q$). Foton natomiast to cząstka światła będąca najmniejszym składnikiem fali elektromagnetycznej, nieposiadająca masy spoczynkowej, ale posiadająca pęd i zawsze poruszająca się z prędkością światła (nie istnieje dla niej układ współrzędnych, wobec którego spoczywa). Wskazówką do wyprowadzenia, a potem do zrozumienia znaczenia fizycznego funkcji falowej $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)$ jest doświadczenie z podwójną szczeliną (ang. two-slit interference); [link] – zobacz też Fale elektromagnetyczne i Interferencja. Z fizyki klasycznej znamy równania Maxwella, które pozwalają stwierdzić, że w próżni rozchodzi się fala elektromagnetyczna, która jest rozchodzącym się w czasie i przestrzeni zaburzeniem pola elektrycznego i magnetycznego niosącym energię. Z poprzedniego rozdziału wiemy, że światło ma także pęd i wywiera ciśnienie fotonowe, gdy pada na powierzchnię. Zatem fala elektromagnetyczna ma zarówno cechy falowe, widoczne np. w interferencji, gdy fala przechodzi przez szczeliny i interferuje, jak i cechy korpuskularne (cząstkowe), gdy pada na inny obiekt i wywiera ciśnienie fotonowe. Ogólnie mówimy o cechach korpuskularno-falowych materii. W tym sensie pojęcie materii znane z czasów antycznych, jak np. u Demokryta, ulega rozmyciu. Materia (elektrony) i energia (fotony) mają podobną naturę falowo-korpuskularną. To szczególnie istotne, bo wnioski płynące z ogólnej teorii względności Einsteina pokazują równoważność energii i materii. Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej w próżni opisane jest klasycznym równaniem falowym, gdzie występuje druga pochodna po czasie i po położeniu. Takie równanie ma tę własność, że suma dwóch rozwiązań jest również rozwiązaniem równań Maxwella (w ośrodkach liniowych takich jak próżnia). Mówimy zatem, że w przypadku liniowego równania różniczkowego superpozycja (suma) rozwiązań jest także rozwiązaniem tego równania.

Interpretacja statystyczna funkcji falowej

Jesteśmy już w stanie odpowiedzieć na pytania postawione na początku tego rozdziału. Po pierwsze: Czym jest funkcja falowa (falowanie) cząstki opisanej równaniem $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)=Asin\left(kx-\omega t\right)$? Biorąc pod uwagę powyższą dyskusję, jest to funkcja matematyczna opisująca m.in. prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym miejscu w momencie dokonania pomiaru. Po drugie: W jaki sposób możemy wykorzystać funkcję falową do obliczenia prawdopodobieństwa położenia? Jeżeli chcemy obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w pewnym przedziale, najpierw należy podnieść moduł funkcji falowej do kwadratu, a następnie scałkować po tym przedziale. Niedługo dowiemy się, że funkcja falowa może dostarczyć także wielu innych informacji.

Sprzężenia

W dalszej części rozdziału dowiemy się, w jaki sposób za pomocą funkcji falowych opisać cząstki swobodne, cząstki w potencjale efektywnym $V\left(x\right)$ lub cząstki związane z innymi cząstkami siłami wyrażonymi przez odpowiedni potencjał wzajemnego oddziaływania $V\left({x}_{1},{x}_{2}\right)$ cząstki 1 i 2. Potencjał oddziaływania wzajemnego w przypadku wielu cząstek można niekiedy przybliżyć przez potencjal efektywny $V\left(x\right)$. Postać funkcji falowej zależy od właściwości układu. W mechanice kwantowej często spotkamy się z funkcjami zespolonymi (ang. complex function). Funkcją zespoloną nazwiemy taką, która zawiera co najmniej jedną liczbę urojoną $i=\sqrt{-1}$. Eksperymentalnie jesteśmy w stanie zmierzyć jedynie liczby rzeczywiste (nieurojone), a więc musimy nieco zmienić nasze podejście do funkcji falowych. W takim przypadku powiemy, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w wąskim przedziale $\left(x,x+dx\right)$ w momencie $t$ jest dane wzorem

Wartości oczekiwane obserwabli a równanie Schrödingera

W mechanice klasycznej rozwiązaniem równania ruchu jest funkcja pewnej mierzalnej wielkości, jak $x\left(t\right)$, gdzie $x$ jest położeniem, a $t$ odpowiada czasowi. Zauważmy, że jednej wartości $t$ odpowiada tylko jedna wartość $x$, natomiast w mechanice kwantowej rozwiązaniem równania ruchu jest funkcja falowa $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)$, a cząstka może mieć różne położenie dla każdej chwili $t$. Jedynym sposobem określenia położenia cząstki jest skorzystanie z gęstości prawdopodobieństwa ${\left|\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)\right|}^{2}$. Średnia wartość położenia dużej liczby cząstek o tej samej funkcji falowej wynosi

Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* jakie jest znaczenie nieoznaczoności pędu i położenia w mechanice kwantowej;
* jakie jest źródło zasady nieoznaczoności w mechanice kwantowej;
* jakie jest znaczenie nieoznaczoności energii i czasu oraz uogólnienia zasady nieoznaczoności.

Pęd i położenie

Aby zobrazować zasadę nieoznaczoności pędu i położenia, rozważmy cząstkę swobodną poruszającą się wzdłuż osi $x$. Cząstka ta przemieszcza się ze stałą prędkością $v$ i pędem $p=mv$. Według hipotezy de Broglie’a $p=\hslash k$, a $E=\hslash \omega$. Jak zostało to wyprowadzone w poprzednim podrozdziale, funkcja falowa tej cząstki jest dana wzorem

Energia i czas

Druga zasada nieoznaczoności Heisenberga (ang. energy-time uncertainty principle) dotyczy niepewności jednoczesnego pomiaru energii stanu kwantowego i czasu jego życia

Równanie Schrӧdingera

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać, jaką rolę w mechanice kwantowej odgrywa równanie Schrӧdingera;
* wyjaśniać różnicę między równaniem Schrӧdingera zależnym i niezależnym od czasu;
* interpretować rozwiązania równania Schrӧdingera.

Cząstka kwantowa w pudełku

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* w jaki sposób opisywać zagadnienie z wartościami granicznymi stacjonarnego równania Schrödingera;
* dlaczego energia cząstki kwantowej w pudełku przyjmuje dyskretne wartości;
* rozumieć znaczenie fizyczne stacjonarnego rozwiązania równania Schrödingera i jego powiązanie z zależnymi od czasu stanami kwantowymi;
* wyjaśniać fizyczne znaczenie zasady korespondencji Bohra.

Kwantowy oscylator harmoniczny

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać model kwantowego oscylatora kwantowego;
* określać różnice między klasycznym a kwantowym oscylatorem harmonicznym;
* wyjaśniać zagadnienia fizyczne, które są wspólne dla oscylatora klasycznego i kwantowego.

Klasyczny oscylator harmoniczny

Prostym oscylatorem harmonicznym nazwiemy cząstkę lub układ, oscylujące harmonicznie wokół punktu równowagi, jak ciało na sprężynie. W tym podrozdziale będziemy się zajmować jedynie jednowymiarowymi oscylacjami. Rozważmy więc ciało oscylujące wokół pewnego punktu równowagi $x=0$. W mechanice klasycznej na cząstkę działa siła sprężystości dana wzorem ${F}_{x}=-kx$, gdzie $x$ jest przemieszczeniem cząstki względem punktu równowagi. Ruch odbywa się między dwoma maksymalnymi wychyleniami $x=\text{}±A$, gdzie $A$ oznacza amplitudę drgań. Położenie ciała zmienia się okresowo w czasie z prędkością kątową $\omega =\sqrt{k∕m}$, która zależy od masy $m$ oscylatora i stałej sprężystości $k$. Zależność opisującą przemieszczenie możemy zapisać jako

Kwantowy oscylator harmoniczny

Model klasycznego oscylatora, choć prosty, nie jest uniwersalny. Nie możemy go wykorzystać np. do opisania drgań cząstek dwuatomowych, gdzie efekty kwantowe mają duże znaczenie. Pierwszym krokiem do formalizmu kwantowego jest wykorzystanie klasycznego wyrażenia $k=m{\omega }^{2}$, aby uniknąć sformułowania stałej sprężystości między atomami. Dzięki temu energia potencjalna może zostać zapisana jako

Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać, w jaki sposób cząstka kwantowa może tunelować przez bariery potencjału;
* określać parametry fizyczne, które wpływają na prawdopodobieństwo tunelowania;
* rozpoznawać zjawiska fizyczne, w których możemy zaobserwować tunelowanie;
* wyjaśniać, w jaki sposób tunelowanie cząstek jest wykorzystywane w nowoczesnych technologiach.

Tunelowanie a energia potencjalna

W celu zobrazowania zjawiska tunelowania rozważmy przypadek kulki toczącej się po powierzchni z energią $100\mathrm{J}$. W pewnym momencie kulka napotyka wzniesienie. Energia potencjalna kulki na szczycie wzniesienia wynosi $10\mathrm{J}$. A zatem kulka o energii kinetycznej równej $100\mathrm{J}$ z łatwością wtoczy się na szczyt wzniesienia i będzie kontynuowała swój ruch. W mechanice klasycznej prawdopodobieństwo pokonania wzniesienia przez kulkę wynosi dokładnie $1$, co oznacza, że w każdym przypadku kulka mija wzniesienie. Jeżeli jednak napotkałaby przeszkodę o większej wysokości, taką, że do jej pokonania niezbędna byłaby energia $200\mathrm{J}$, wówczas kulka podtoczyłaby się jedynie do pewnej wysokości, a następnie zatrzymała i stoczyła z powrotem. Energia bariery znacznie przewyższa jej energię całkowitą. Prawdopodobieństwo pokonania przeszkody wynosiłoby w tym przypadku $0$. Istnienie kulki za barierą jest niemożliwe, bo jest energetycznie wzbronione. W świecie kwantowym nie ma jednak pełnego determinizmu wydarzeń, jakie nastąpią, istnieje jedynie wskazanie prawdopodobieństw ich nastąpienia. W przypadku fizyki kwantowej kulka (np. elektron) ma przypisaną sobie funkcję falową, zdefiniowaną na całej przestrzeni. Funkcja ta może być wysoce zlokalizowana (wtedy funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma jedno wyraźne maksimum w pewnym wąskim obszarze przestrzeni), ale zawsze będzie istniało niezerowe prawdopodobieństwo, że kulka napotykawszy przeszkodę, nagle znajdzie się po jej drugiej stronie. Co więcej, prawdopodobieństwo to jest znaczące, gdy paczka falowa kulki jest szersza od przeszkody.

Tunelowanie i funkcja falowa

Załóżmy, że jednorodna i niezależna od czasu wiązka elektronów lub innych cząstek o energii $E$ porusza się wzdłuż osi $x$ (w kierunku dodatnim osi) i napotyka barierę potencjału opisaną [link]. Jakie jest prawdopodobieństwo tunelowania pojedynczej cząstki z wiązki przez barierę? Odpowiedź znajdziemy przez ustalenie warunków brzegowych występujących w niezależnym od czasu równaniu Schrödingera dla cząstki w wiązce. Ogólna postać tego równania dana jest wzorem

Rozpad promieniotwórczy

W 1928 roku Gamow stwierdził, że tunelowanie kwantowe jest odpowiedzialne za rozpad promieniotwórczy jąder atomowych. Zaobserwował on, że niektóre izotopy toru, uranu i bizmutu ulegają rozpadowi z emisją cząstek $\text{α}$ (które są zjonizowanymi atomami helu lub prościej – jądrami helu). Podczas emitowania cząstek $\text{α}$ jądro atomowe zmienia się w inne jądro, o liczbach neutronów i protonów mniejszych o dwa. Cząstki $\text{α}$ emitowane przez ten sam izotop mają w przybliżeniu takie same energie kinetyczne. Jeśli chodzi o energie cząstek $\text{α}$ różnych izotopów, to wahają się one od $4\mathrm{MeV}$ do $9\mathrm{MeV}$, a więc są one tego samego rzędu wielkości. Jednak na tym kończą się podobieństwa izotopów.

Emisja polowa

Emisja polowa (ang. field emission) jest procesem związanym z emisją elektronów z przewodzących powierzchni, w obecności silnych zewnętrznych pól elektrycznych przyłożonych w kierunku normalnym do powierzchni ([link]). Jak wiemy z wcześniejszych rozdziałów o polach elektrycznych, pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego elektrony w przewodniku poruszają się w kierunku jego powierzchni i zostają tam, dopóki przykładane pole elektryczne nie jest zbyt silne. W takim przypadku mówimy, że elektron w przewodniku cechuje pewien stały potencjał $V\left(x\right)=-{V}_{0}$, gdzie $x$ odnosi się do wnętrza przewodnika. W sytuacji przedstawionej na [link], gdzie zewnętrzne pole elektryczne jest jednorodne i wynosi ${E}_{g}$, jeśli elektron znalazłby się poza przewodnikiem w odległości $x$ od jego powierzchni, jego energia potencjalna będzie wynosiła $V\left(x\right)=-e{E}_{g}x$; w tym przypadku $x$ opisuje odległość od powierzchni przewodnika. Przyjmując dla powierzchni przewodnika wartość zero ($x=0$), możemy przedstawić energię potencjalną elektronów przewodnictwa w metalu jako barierę potencjału pokazaną na [link]. Przy braku zewnętrznego pola elektrycznego energia potencjalna zamienia się w barierę schodkową opisaną przez $V\left(x\le 0\right)=-{V}_{0}$ i $V\left(x>0\right)=0\mathrm{V}$.

Tunelowanie rezonansowe

Tunelowanie kwantowe ma wiele zastosowań w urządzeniach półprzewodnikowych, takich jak elementy obwodów elektronicznych czy układów scalonych projektowanych w skali nano, stąd też termin nanotechnologia (ang. nanotechnology). Jako przykład rozważmy diodę (element elektroniczny, który sprawia, że płynący przez nią prąd będzie się różnie zachowywał w zależności od jego kierunku), która może być zbudowana za pomocą złącza pomiędzy dwoma różnymi półprzewodnikami. W takiej diodzie tunelowej (ang. tunnel diode) elektrony tunelują przez pojedynczą barierę potencjału na granicy dwóch półprzewodników. Na obszarze złącza prąd tunelowy zmienia się nieliniowo razem z przyłożonym potencjałem i może szybko zmaleć dla wysokiego napięcia, co jest odmienne od tradycyjnego podejścia zgodnego z prawem Ohma. Takie zachowanie (spowodowane tunelowaniem) jest niezwykle pożądane w superszybkich urządzeniach elektronicznych.

Budowa atomu

Wstęp

Atom wodoru

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać atom wodoru, używając funkcji falowej, gęstości prawdopodobieństwa, całkowitej energii i orbitalnego momentu pędu;
* fizycznego znaczenia każdej z liczb kwantowych ($n,l,{m}_{l}$) atomu wodoru;
* rozróżniać opisy Bohra i Schrödingera atomu wodoru;
* stosować liczby kwantowe do otrzymania istotnych informacji dotyczących atomu wodoru.

Fizyczne znaczenie liczb kwantowych

Każda z trzech liczb kwantowych atomu wodoru $\left(n,l,{m}_{l}\right)$ związana jest z określoną wielkością fizyczną. Główna liczba kwantowa (ang.
principal quantum number
) związana jest z całkowitą energią elektronu – ${E}_{n}$. Zgodnie z równaniem Schrödingera

Używanie funkcji falowej do przewidywania

Jak widzieliśmy wcześniej, mechanikę kwantową możemy zastosować do przewidywania prawdopodobieństwa zdarzeń fizycznych z wykorzystaniem funkcji prawdopodobieństwa. Poprawne jest zatem stwierdzenie „elektron znajduje się w danej objętości w danym czasie z określonym prawdopodobieństwem”, ale nie – „elektron znajduje się w tym czasie w położeniu $\left(x,y,z\right)$”. W celu określenia prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w atomie wodoru w objętości danego obszaru przestrzeni konieczne jest scałkowanie gęstości prawdopodobieństwa ${\left|{\psi }_{nl{m}_{l}}\right|}^{2}$ po tej objętości

Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* dlaczego atom wodoru ma właściwości magnetyczne;
* dlaczego poziomy energetyczne atomu wodoru związane z orbitalnym momentem pędu są rozszczepiane przez zewnętrzne pole magnetyczne;
* używać liczb kwantowych do obliczania wielkości i kierunku orbitalnego dipolowego momentu magnetycznego atomu wodoru.

Spin elektronu

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* przedstawiać stan elektronu w atomie wodoru przy użyciu pięciu liczb kwantowych;
* używać liczb kwantowych w celu obliczania wielkości oraz kierunku spinu i momentu magnetycznego elektronu;
* wyjaśniać subtelną i nadsubtelną strukturę widma atomu wodoru poprzez oddziaływania magnetyczne w atomie wodoru.

Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* znaczenia zakazu Pauliego dla zrozumienia budowy atomu i wiązań cząsteczkowych;
* wyjaśniać strukturę układu okresowego, posługując się pojęciami energii całkowitej, orbitalnego momentu pędu oraz spinu poszczególnych elektronów w atomie;
* opisywać konfigurację elektronową atomów w układzie okresowym pierwiastków.

Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać absorpcję i emisję promieniowania poprzez atomowe poziomy energetyczne i różnice ich energii;
* stosować liczby kwantowe do oszacowania energii, częstotliwości i długości fali fotonów wydzielanych podczas przejść elektronów w atomach wieloelektronowych;
* posługiwać się koncepcją promieniowania w odniesieniu do fluorescencji atomowej i promieniowania rentgenowskiego.

Fluorescencja atomowa

Fluorescencja (ang. fluorescence) pojawia się, gdy elektron w atomie jest wzbudzony o kilka poziomów energetycznych powyżej stanu podstawowego przez absorpcję fotonu o wysokiej energii (fotonu ultrafioletowego – fotonu UV). Po wzbudzeniu elektron wraca do stanu podstawowego w dwojaki sposób. Elektron może wrócić do stanu podstawowego, emitując foton o tej samej energii, która go wzbudziła, lub w serii małych kroków, emitując kilka niskoenergetycznych fotonów. Niektóre z nich mogą mieścić się w zakresie widzialnym. Pokrywanie ubrań barwnikiem fluorescencyjnym może sprawić, że kolory wydają się jaśniejsze w słońcu przez konwersję promieniowania słonecznego UV na światło widzialne. Świetlówki są bardziej wydajne w przekształcaniu energii elektrycznej w światło widzialne niż żarówki z włóknem żarowym (około cztery razy bardziej wydajne). [link] pokazuje skorpiona oświetlonego przez lampę UV. Białka blisko powierzchni skóry emitują charakterystyczne niebieskie światło.

Promieniowanie rentgenowskie

Badanie przemian energii w atomach pozwala nam zrozumieć naturę oraz technologię promieniowania rentgenowskiego (promieniowania X). Podobnie jak każde promieniowanie elektromagnetyczne, promieniowanie rentgenowskie składa się z fotonów. Fotony promieniowania rentgenowskiego wytwarzane są, gdy elektrony z najbardziej oddalonych powłok atomu „spadają” na powłoki wewnętrzne. (Atomy wodoru nie emitują promieniowania rentgenowskiego, ponieważ poziomy energetyczne elektronów są zbyt blisko siebie, aby pozwolić na emisję promieniowania o tak dużej częstotliwości). Zwykle przejścia tego rodzaju są zakazane z tego prostego powodu, że niższe stany są już zapełnione elektronami. Jednakże jeżeli na wewnętrznej powłoce jest wakans (brakuje wewnętrznego elektronu, bo być może został on wybity przez uderzenie innego elektronu o dużej energii), to elektron z jednej z zewnętrznych powłok, może „spaść” na miejsce wakansu, emitując energię w postaci fotonu. Różnica energii dla takiego przejścia jest stosunkowo duża, więc długość fali wypromieniowanego fotonu rentgenowskiego jest względnie mała.

Technologia promieniowania rentgenowskiego

Promienie rentgenowskie mają wiele zastosowań związanych między innymi z diagnostyką medyczną ([link]), kontrolą bagażu na lotniskach ([link]), a nawet wykrywaniem pęknięć w istotnych dla bezpieczeństwa elementach samolotów. Najczęściej zdjęcia rentgenowskie przedstawiają cienie powstające w trakcie napromieniowania. Ponieważ fotony rentgenowskie mają dużą energię, przenikają przez substancje, które są nieprzezroczyste dla światła widzialnego. Im większą energię posiada foton, tym głębiej wnika w materiał. Głębokość penetracji jest związana zarówno z gęstością materiału, jak i energią fotonów. Im gęstszy materiał, tym mniej fotonów rentgenowskich go przenika i tym ciemniejszy jest cień. Promienie rentgenowskie są skuteczne w identyfikacji złamań kości i wykrywaniu nowotworów; jednak nadmierne naświetlanie promieniami rentgenowskimi może uszkadzać komórki organizmów biologicznych.

Lasery

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać procesy fizyczne niezbędne do wytwarzania światła laserowego;
* wyjaśniać różnicę między światłem spójnym i niespójnym;
* na czym polega zastosowanie laserów w odtwarzaczach CD i Blu-Ray.

Odtwarzacz CD

Odtwarzacz CD (ang.
CD player
) odczytuje cyfrową informację zapisaną na płycie kompaktowej (CD). Płyta CD to płyta o średnicy $12\mathrm{cm}$, zawierająca nośnik z tworzywa poliwęglanowego, na którego powierzchni znajdują się miliony mikroskopijnych wgłębień kodujących dane ([link]). Wgłębienia te układają się w kształt bardzo cienkiej spirali, rozciągającej się w kierunku zewnętrznej krawędzi nośnika. Szerokość toru nie sięga $1∕20$ szerokości ludzkiego włosa, a wysokości wgłębień są jeszcze mniejsze. Płyta składa się z czterech warstw: warstwy nośnej z poliwęglanu (plastikowa tarcza), warstwy barwnej (topi się podczas zapisu), aluminiowej (lub złotej) warstwy odbijającej i ochronnej warstwy lakieru.

Odtwarzacz Blu-Ray

Podobnie jak odtwarzacz CD, odtwarzacz Blu-Ray (ang.
Blu-Ray player
) odczytuje informację cyfrową (wideo lub audio) zapisaną na dysku, a laser jest używany do nagrywania tej informacji. Wgłębienia na płycie Blu-Ray są znacznie mniejsze i ściślej upakowane niż na CD, tak że można na niej przechowywać więcej informacji. Z tego powodu zdolność rozdzielcza lasera musi być większa. Osiąga się to za pomocą niebieskiego (stąd nazwa „Blu-Ray”) lasera o mniejszej długości fali, $\lambda =405\mathrm{nm}$ (CD i DVD korzystają z czerwonego światła laserowego). Porównanie rozmiarów wgłębień, konfiguracji sprzętowych odtwarzaczy CD, DVD i Blu-Ray i związanych z tym rozdzielczości zostało pokazane na [link]. Wielkości wgłębień na dysku Blu-Ray są więcej niż dwa razy mniejsze od wgłębień na płycie DVD lub CD, co daje przynajmniej czterokrotnie większą gęstość zapisu (gęstość zapisu jest w przybliżeniu proporcjonalna do kwadratu długości fali lasera). W odróżnieniu od płyt CD Blu-Ray przechowują dane na warstwie poliwęglanu, która umieszcza dane bliżej obiektywu i pozwala uniknąć problemów z ich odczytem.

Fizyka materii skondensowanej

Wstęp

Rodzaje wiązań cząsteczkowych

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* rozróżniać różne typy wiązań cząsteczkowych;
* wyznaczać energię dysocjacji cząsteczki, wykorzystując koncepcję energii jonizacji, powinowactwa elektronowego i siły Coulomba;
* opisywać wiązanie kowalencyjne za pomocą symetrii wymiany;
* wyjaśniać strukturę fizyczną cząsteczki, używając koncepcji hybrydyzacji.

Rodzaje wiązań

W związkach chemicznych występuje wiele rodzajów wiązań chemicznych (ang. **chemical bonds**). Wiązanie jonowe (ang. ionic bond) powstaje, kiedy elektron przemieszcza się z jednego atomu do drugiego. Wiązanie kowalencyjne (ang. covalent bond) – gdy elektrony uwspólniane są przez atomy. Wiązanie van der Waalsa (ang. van der Waals bond) jest wynikiem przyciągania się spolaryzowanych cząsteczek i jest ono znacznie słabsze niż wiązanie jonowe czy kowalencyjne. Istnieje także wiele innych typów wiązań. Wiązania często powstają w wyniku jednoczesnego działania kilku mechanizmów. W tym rozdziale skupimy się na wiązaniach jonowych i kowalencyjnych.

Wiązania w cząsteczkach wieloatomowych

Cząsteczka wieloatomowa (ang. polyatomic molecule) to cząsteczka złożona z więcej niż dwóch atomów. Istnieją liczne przykłady, od prostej cząsteczki wody aż po złożone cząsteczki protein. Struktury tych cząsteczek można zrozumieć, używając pojęć wiązania kowalencyjnego oraz hybrydyzacji (ang. hybridization). Hybrydyzacja jest zmianą struktury energetycznej atomu, w której stany biorące udział w wiązaniach można przedstawić jako liniową superpozycję innych stanów.

Widma cząsteczkowe

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wykorzystywać koncepcje energii oscylacyjnej i rotacyjnej, aby opisać przejścia energetyczne w cząsteczce dwuatomowej;
* wyjaśniać najważniejsze cechy widma oscylacyjno-rotacyjnego cząsteczki dwuatomowej;
* określać dozwolone energie rotacji cząsteczki dwuatomowej;
* wyznaczać odległość równowagową pomiędzy atomami w cząsteczce dwuatomowej w oparciu o widmo oscylacyjno-rotacyjne.

Wiązania w ciałach stałych

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać struktury upakowania popularnych kryształów;
* wyjaśniać różnicę pomiędzy wiązaniami w kryształach a wiązaniami w cząsteczkach;
* wyznaczać odległość równowagową w oparciu o inne właściwości kryształu;
* wyznaczać energię dysocjacji w oparciu o inne właściwości kryształu.

Wiązania jonowe w ciałach stałych

Wiele ciał stałych tworzonych jest przez wiązania jonowe. Typowym przykładem jest chlorek sodu (sól kuchenna), o którym dyskutowaliśmy wcześniej. Tu elektrony przenoszone są z sodu na sąsiadujące z nimi atomy chloru, ponieważ elektrony walencyjne sodu są słabo związane, a chlor ma duże powinowactwo elektronowe. Dodatnio naładowane jony sodu i ujemnie naładowane jony chloru układają się w rozległą, regularną strukturę atomową ([link]).

Wiązania kowalencyjne w kryształach

Kryształy mogą być tworzone także przez wiązania kowalencyjne. Wiązania kowalencyjne odpowiadają na przykład za utrzymywanie razem atomów węgla w krysztale diamentu. Konfiguracja elektronowa atomu węgla to $1{s}^{2}2{s}^{2}2{p}^{2}$ – rdzeń typu atomu He oraz cztery elektrony walencyjne. To znaczy, że do konfiguracji pełnej powłoki brakuje czterech elektronów, czyli dzielenie (uwspólnianie) tych elektronów z czterema sąsiednimi atomami węgla w wiązaniu kowalencyjnym prowadzi do zapełnienia powłoki walencyjnej w każdym atomie. Diament ma bardziej skomplikowaną strukturę niż większość kryształów jonowych ([link]). Każdy atom węgla znajduje się w środku czworościanu foremnego utworzonego przez sąsiadów, a kąt między wiązaniami wynosi $110°$. Jest on bezpośrednią konsekwencją kierunkowości orbitali $p$ atomu węgla.

Wiązania metaliczne w kryształach

Jak już sama nazwa wskazuje, wiązanie metaliczne (ang. metallic bonding) odpowiada za tworzenie kryształów metali. Elektrony walencyjne nie są związane z poszczególnymi atomami lecz z całym kryształem i mogą swobodnie poruszać się w całej objętości kryształu. Wiązanie to powstaje w skutek działania sił przyciągania elektrostatycznego pomiędzy dodatnimi jonami a elektronami przewodnictwa. Wiązania metaliczne są słabsze od jonowych i kowalencyjnych, z energią dysocjacji w granicach od $1\mathrm{eV}$ do $3\mathrm{eV}$.

Model elektronów swobodnych w metalach

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać klasyczny model elektronów swobodnych w metalu, używając koncepcji koncentracji elektronów;
* wyjaśniać kwantowy model elektronów swobodnych w metalu i znaczenie zakazu Pauliego w tym modelu;
* obliczać wartości poziomów energetycznych i odległości między nimi w ramach modelu elektronów swobodnych w metalu.

Teoria pasmowa ciał stałych

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać dwa główne podejścia do wyznaczania poziomów energetycznych elektronu w krysztale;
* wyjaśniać pochodzenie pasm i przerw energetycznych w krysztale;
* wyjaśniać, dlaczego niektóre materiały są dobrymi przewodnikami, a inne dobrymi izolatorami;
* odróżniać izolator od półprzewodnika.

Półprzewodniki i domieszkowanie

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać zmiany w strukturze energetycznej półprzewodnika spowodowane domieszkowaniem;
* wskazywać różnicę między półprzewodnikiem typu n a półprzewodnikiem typu p;
* opisywać efekt Halla i wyjaśnić jego znaczenie;
* obliczać ładunek, prędkość unoszenia i gęstość nośników ładunku w półprzewodniku, korzystając z informacji uzyskanej z pomiarów efektu Halla.

Przyrządy półprzewodnikowe

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać, co się dzieje, gdy półprzewodniki typu n i typu p zetkniemy ze sobą, korzystając z koncepcji dyfuzji i prądu unoszenia (przy zerowym napięciu zewnętrznym);
* wyjaśniać zachowanie się złącza po przyłożeniu napięcia w kierunku przewodzenia i zaporowym;
* opisywać działanie tranzystora w obwodzie elektrycznym;
* wykorzystywać koncepcję złącza p–n, aby wyjaśnić jego zastosowanie we wzmacniaczach akustycznych i komputerach.

Diody

Przypuszczalnie najprostszym przyrządem, jaki można zbudować z półprzewodnika, jest dioda. Dioda to element obwodu, który pozwala na przepływ prądu elektrycznego tylko w jednym kierunku, jak w modelu zaworu zwrotnego (patrz Model przewodnictwa w metalach). Element taki tworzy się poprzez połączenie półprzewodników typu p i n ([link]). Połączenie takie nosi nazwę złącza p–n (ang. p–n junction). Pasma energetyczne w diodzie opartej na krzemie pokazano na [link] (b). Położenia pasm walencyjnego i przewodnictwa są takie same, ale poziomy domieszkowe zupełnie inne. Kiedy tworzone jest złącze, elektrony z pasma przewodnictwa materiału typu n dyfundują do materiału typu p, a dziury w kierunku przeciwnym – z materiału typu p do materiału typu n. Ta migracja ładunku pozostawia dodatnio naładowane donory po stronie n i ujemnie naładowane akceptory po stronie p, tworząc cienką warstwę podwójną ładunku w obszarze złącza p–n noszącą nazwę obszaru zubożonego (ang. depletion layer). Pole elektryczne, które powstaje w obszarze zubożonym, przeciwdziała dalszej dyfuzji nośników. Energia potencjalna elektronów w poprzek złącza p–n pokazana jest na [link].

Tranzystor złączowy

O ile diody są zaworami zwrotnymi, tranzystory są zaworami zwrotnymi, które dodatkowo mogą być precyzyjnie otwierane i zamykane w celu kontrolowania przepływu prądu. Tranzystor złączowy (ang. junction transistor) składa się z trzech części: półprzewodnika typu n, części nazywanej emiterem; wąskiego obszaru półprzewodnika typu p, stanowiącego bazę, i kolejnej części półprzewodnika typu n, nazywanej kolektorem ([link]). Gdy dodatni biegun baterii przyłączony jest do warstwy typu p (baza), mały prąd elektronów, nazywany prądem bazy (ang. base current) ${I}_{\text{B}}$, wpływa w obszar bazy. To powoduje, że duży prąd kolektora (ang. collector current) ${I}_{\text{C}}$ zaczyna płynąć przez kolektor. W ten sposób za pomocą niewielkiego prądu bazy można sterować dużym prądem kolektora. Zysk prądowy wynosi

Nadprzewodnictwo

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać główne cechy nadprzewodnika;
* opisywać teorię BCS nadprzewodnictwa;
* wyznaczać krytyczne pole magnetyczne dla $T=0\mathrm{K}$, korzystając z danych dla pola magnetycznego;
* obliczać maksymalną siłę elektromotoryczną (SEM) lub prąd dla przewodu, przy których pozostaje on jeszcze nadprzewodzący.

Właściwości nadprzewodnika

Oprócz zerowej rezystywności nadprzewodniki charakteryzują się idealnym diamagnetyzmem. To znaczy, że w obecności pola magnetycznego wypadkowe pole magnetyczne wewnątrz nadprzewodnika jest zawsze zerowe ([link]). Tak więc linie pola magnetycznego przechodzące przez próbkę nadprzewodnika, kiedy znajduje się jeszcze w stanie normalnym, są wypchnięte na zewnątrz, gdy próbka staje się nadprzewodząca. W ten sposób manifestuje się efekt Meissnera, który omówiliśmy w rozdziale dotyczącym zagadnienia prądu elektrycznego i oporu elektrycznego.

Teoria nadprzewodnictwa

Teoria nadprzewodnictwa, która odniosła sukces, została rozwinięta w roku 1950 przez Johna Bardeena (1908–1991), Leona Coopera (ur. 1930) i J. Roberta Schrieffera (ur. 1931). Otrzymali oni za to osiągnięcie Nagrodę Nobla w 1972 roku. Znana jest jako teoria BCS (ang. BCS theory; od nazwisk twórców). Jest to teoria złożona, dlatego poniżej przedstawimy tylko jej zarys.

Fizyka jądrowa

Wstęp

Własności jądra atomowego

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać budowę i wielkość jądra atomowego;
* opisywać skład jądra atomowego;
* wyjaśniać, dlaczego w ciężkich jądrach liczba neutronów jest większa niż liczba protonów;
* obliczać masę molową danego pierwiastka, znając jego izotopy.

Liczba nukleonów

Liczbę protonów w jądrze określa liczba atomowa $Z$ (ang. atomic number), natomiast o liczbie neutronów informuje liczba neutronowa $N$ (ang. neutron number). Całkowita liczba nukleonów w jądrze to liczba masowa $A$ (ang. mass number). Liczby te są powiązane relacją

Wielkość jądra

Najprostszym modelem jądra jest gęsto upakowana kula złożona z nukleonów. Objętość jądra $V$ jest więc proporcjonalna do liczby nukleonów $A$, czyli

Energia wiązania jądra

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* obliczać defekt masy i energię wiązania dla różnych jąder;
* używać wykresu zależności energii wiązania na nukleon (EWN) od liczby masowej ($A$) w celu określenia względnej stabilności jądra;
* porównywać energię wiązania nukleonu w jądrze z energią jonizacji atomu.

Defekt masy

Wyniki eksperymentów dotyczących cząstek tworzących jądro wskazują, że całkowita masa jądra (${m}_{\text{j}}$) jest mniejsza niż suma mas składających się na nie nukleonów (protonów i neutronów), ${m}_{\text{j}}. Różnica mas, czyli defekt masy (ang. mass defect), jest dana przez

Wykres energii wiązania na nukleon

W fizyce jądrowej jedną z najważniejszych wielkości eksperymentalnych jest energia wiązania na nukleon (EWN) (ang. binding energy per nucleon), zdefiniowana jako

Rozpad promieniotwórczy

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać rozpad pierwiastka promieniotwórczego z użyciem pojęć stałej rozpadu i okresu połowicznego rozpadu;
* szacować wiek substancji za pomocą prawa rozpadu promieniotwórczego;
* wyjaśniać naturalne procesy, które umożliwiają datowanie materii organicznej z wykorzystaniem izotopu 14C.

Prawo rozpadu promieniotwórczego

Gdy pojedyncze jądro przekształca się w inne, emitując promieniowanie, mówimy, że ulega ono rozpadowi promieniotwórczemu (ang. radioactive decay). Rozpadowi temu ulegają wszystkie jądra o $Z>82$, a także niektóre niestabilne izotopy o $Z<83$. Szybkość rozpadu jest proporcjonalna do liczby $N$ początkowych jąder (które nie uległy jeszcze rozpadowi) w substancji. Liczba jąder $-dN$, które ulegają rozpadowi w przedziale czasu $dt$, jest równa

Datowanie radiowęglowe

Datowanie izotopowe (ang. radioactive dating) jest techniką, która wykorzystuje naturalnie występującą promieniotwórczość do określania wieku materiałów, takich jak skały lub wykopaliska archeologiczne. Podstawowe podejście polega na szacowaniu aktualnej liczby jąder w materiale (po rozpadzie), a następnie użyciu znanej wartości stałej rozpadu $\lambda$ oraz [link] do obliczenia całkowitego czasu rozpadu $t$.

Procesy rozpadu

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* rozróżniać i opisywać trzy rodzaje promieniowania jądrowego;
* używać symboli jądrowych do opisywania przemian, które występują podczas reakcji jądrowych;
* opisywać procesy związane z szeregami promieniotwórczymi ciężkich pierwiastków.

Rozpad alfa

Ciężkie, niestabilne jądra emitują promieniowanie α. W rozpadzie, w którym powstają cząstki α (czyli rozpadzie alfa, ang. alpha decay), jądro traci dwa protony i dwa neutrony, więc jego liczba atomowa maleje o dwa, podczas gdy liczba masowa zmniejsza się o cztery. Jądro istniejące przed rozpadem nazywamy jądrem pierwotnym (ang. parent nucleus); jądro lub jądra powstające w procesie rozpadu są określane jako jądro albo jądra potomne (ang. daughter nucleus). Rozpad α przedstawiamy symbolicznie przez zapis

Rozpad beta

W większości procesów rozpadu, w których emitowane są cząstki β (czyli rozpadów beta, ang. beta decay), jądro emituje elektron (β–) lub pozyton (β+). Pozyton ma taką samą masę jak elektron, ale jego ładunek wynosi $+e$. Jest on zatem antycząstką elektronu (w reakcji z elektronem oba anihilują z wydzieleniem energii w postaci dwóch fotonów), dlatego czasami nazywany jest antyelektronem. Jak przebiega rozpad β? Możliwym wyjaśnieniem byłoby, że elektron (lub pozyton) jest związany w jądrze przed rozpadem i w jakiś sposób z tego jądra ucieka. Aby uzyskać przybliżoną wartość energii ucieczki, rozważmy uproszczony model elektronu uwięzionego w pudle (lub w terminologii mechaniki kwantowej – w jednowymiarowej prostokątnej studni potencjału), które ma szerokość typowego jądra (${10}^{-14}\mathrm{m}$). Zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga (ang. Heisenberg’s uncertainty principle) opisaną w rozdziale Mechanika Kwantowa nieoznaczoność pędu elektronu wynosi

Rozpad gamma

Jądro w stanie wzbudzonym może przejść do stanu o niższej energii przez emisję fotonów promieniowania gamma, co określa się mianem rozpadu gamma (ang. gamma decay). Jest to proces analogiczny do przejścia elektronu na niższy poziom energetyczny w atomie. Rozpad gamma jest reprezentowany symbolicznie równaniem

Szereg promieniotwórczy

Jądra o $Z>82$ są niestabilne i ulegają spontanicznemu rozpadowi. Wiele z nich ma bardzo krótki czas życia, więc nie występuje w naturze. Do ważnych wyjątków należą ${}_{90}{}^{232}\mathrm{Th}$ (czyli tor-232) z okresem połowicznego rozpadu $1,39\cdot {10}^{10}\mathrm{lat}$ i ${}_{92}{}^{238}\mathrm{U}$ (czyli uran-238) z okresem połowicznego rozpadu $7,04\cdot {10}^{8}\mathrm{lat}$. Gdy ciężkie jądro rozpada się, tworząc jądro lżejsze, powstałe w rozpadzie jądro potomne może stać się jądrem pierwotnym w kolejnym procesie rozpadu itd. Proces ten może prowadzić do długiej serii rozpadów jądrowych, którą nazywa się szeregiem promieniotwórczym (ang. decay series). Szereg kończy się na stabilnym jądrze.

Radioaktywność Ziemi

Według geologów, gdyby Ziemia nie posiadała własnego źródła ciepła, ostygłaby do obecnej temperatury w ciągu nie więcej niż 1 mld lat. Jednak wiek Ziemi wynosi ponad 4 mld lat. Dlaczego Ziemia stygnie tak powoli? Odpowiedzią jest radioaktywność wnętrza Ziemi: wysokoenergetyczne cząstki wytwarzane w rozpadach promieniotwórczych grzeją Ziemię od środka ([link]).

Rozszczepienie jądra atomowego

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać proces rozszczepienia, posługując się pojęciami produktów i substratów reakcji jądrowej;
* obliczać energie cząstek wytwarzanych w reakcji rozszczepienia;
* wyjaśniać działanie bomby atomowej w kontekście rozszczepienia i reakcji jądrowych.

Bomba atomowa

Możliwość wystąpienia reakcji łańcuchowej w uranie z towarzyszącą jej produkcją bardzo dużych ilości energii doprowadziła fizyków jądrowych do koncepcji zbudowania bomby – bomby atomowej (ang. atomic bomb, te odkrycia miały miejsce bezpośrednio przed II wojną światową i wielu europejskich fizyków biorących udział w tych pracach było uciekinierami z nazistowskich Niemiec lub krajów przez nie okupowanych). Naturalny uran zawiera $99,3\mathrm{%}$ 238U, a tylko $0,7\mathrm{%}$ 235U i nie podtrzymuje reakcji łańcuchowej. Aby podtrzymać kontrolowaną reakcję łańcuchową, zawartość 235U musi zostać zwiększona. Ponadto próbka uranu musi być wystarczająco masywna, by wywołanie przez typowy neutron rozszczepienia było bardziej prawdopodobne niż jego ucieczka. Minimalna masa potrzebna do reakcji łańcuchowej nosi nazwę masy krytycznej (ang. critical mass). Stan, w którym reakcja łańcuchowa w masie krytycznej materiału staje się samopodtrzymująca, określa się jako krytyczność (ang. criticality). Pierwotnie używano dwóch kawałków 235U poniżej masy krytycznej. Po wstrzeleniu jednego kawałka w kształcie pocisku w drugi następowało przekroczenie masy krytycznej i rozpoczynała się reakcja łańcuchowa.

Reaktory jądrowe

Pierwszy reaktor jądrowy (ang. nuclear reactor) został zbudowany przez Enrico Fermiego na korcie do squasha na terenie kampusu Uniwersytetu w Chicago 2 grudnia 1942 r. Zawierał 238U wzbogacony o $3,6\mathrm{%}$ uranu-235. Neutrony produkowane w reakcji łańcuchowej poruszają się zbyt szybko, by zainicjować reakcję rozszczepienia. Jednym ze sposobów, aby je spowolnić, jest otoczenie całego reaktora łaźnią wodną pod wysokim ciśnieniem. Neutrony zderzają się z cząsteczkami wody i są w ten sposób wystarczająco spowalniane (termalizowane), by wziąć udział w procesie rozszczepienia. Spowolnione (termiczne) neutrony rozszczepiają więcej jąder 235U i następuje reakcja łańcuchowa. Szybkość, z jaką zachodzi, jest kontrolowana przez układ kadmowych prętów sterujących, wstawionych do reaktora. Kadm jest w stanie pochłonąć dużą liczbę neutronów bez utraty stabilności.

Fuzja jądrowa

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać proces syntezy jądrowej, używając pojęć produktów i substratów reakcji syntezy;
* obliczać energie cząstek powstających w reakcji termojądrowej;
* wyjaśniać pojęcie syntezy jądrowej w kontekście bomb wodorowych, produkcji energii przez Słońce oraz nukleosyntezy.

Nukleosynteza

Naukowcy uważają obecnie, że wiele ciężkich pierwiastków na Ziemi i w całym Wszechświecie zostało pierwotnie zsyntetyzowanych w procesach fuzji jądrowej w gorących jądrach gwiazd. Proces ten jest znany jako nukleosynteza (ang. nucleosynthesis). Przykładowo w lżejszych gwiazdach wodór łączy się (spala), tworząc jądra helu w cyklu protonowym. Po wyczerpaniu paliwa wodorowego, gwiazda wchodzi w kolejny etap swojego życia i rozpoczyna fuzję (spalanie) helu. Oto przykład możliwego łańcucha reakcji jądrowych

Bomba wodorowa

W roku 1942 Robert Oppenheimer (1904–1967) zasugerował, że bardzo wysoka temperatura wybuchu bomby atomowej może służyć do wyzwolenia reakcji syntezy termojądrowej deuteru i trytu, tworząc tym samym podstawy teoretyczne pod budowę bomby wodorowej. Reakcję pomiędzy deuterem i trytem (oba są izotopami wodoru) opisuje równanie

Reaktor termojądrowy

Ciąg reakcji syntezy jądrowej, uważany za najbardziej przydatny do wykorzystania w przyszłym reaktorze termojądrowym (ang. fusion reactor), to opisany opisany poniżej dwuetapowy proces. Pierwsze dwa równania opisują pierwszy etap syntezy, ostatnie równanie przedstawia drugi etap

Skutki biologiczne i zastosowania medyczne promieniowania jądrowego

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* dwóch medycznych zastosowań techniki jądrowej;
* wyjaśniać pochodzenie biologicznych skutków promieniowania jądrowego;
* jakie są najczęściej występujące źródła promieniowania i ich skutki;
* oceniać narażenie na promieniowanie jądrowe, używając standardowych jednostek dla dawek promieniowania.

Zastosowania medyczne

Medyczne użycia promieniowania jądrowego są dość powszechne we współczesnych szpitalach i przychodniach. Jednym z najważniejszych zastosowań promieniowania jądrowego jest lokalizacja i badanie zmienionej chorobowo tkanki. Metoda ta wymaga specjalnego leku, określanego jako radiofarmaceutyk (ang. radiopharmaceutical). Radiofarmaceutyk zawiera izotop promieniotwórczy o krótkim czasie połowicznego rozpadu. Gdy dostanie się do organizmu, ma tendencję do koncentrowania się w objętych zmianami chorobowymi częściach ciała. (Radiofarmaceutyk jest to substancja chemiczna naturalnie wykorzystywana przez badany narząd (np. naturalną substancją, którą wykorzystuje mózg jest glukoza), tyle że zawierająca promieniotwórczy izotop. Izotop ten rozpadając się, emituje promieniowanie, które jest rejestrowane na obrazach z urządzeń diagnostycznych takich jak tomograf komputerowy). Detektory promieniowania rozmieszczone poza ciałem określają położenie chorej tkanki za pomocą promieniowania jądrowego pochodzącego z radioizotopów. Radiofarmaceutyki nazywa się znacznikami promieniotwórczymi (ang. radioactive tags), ponieważ umożliwiają one lekarzom śledzenie przemieszczania się leku w organizmie. Znaczniki radioaktywne mogą mieć wiele zastosowań, np. identyfikację komórek rakowych w kości, guzów mózgu i choroby Alzheimera ([link]). Znaczniki radioaktywne są również używane do monitorowania funkcji narządów ciała, takich jak przepływ krwi, czynność mięśnia serca i wychwyt jodu w tarczycy.

Skutki biologiczne

Promieniowanie jądrowe może mieć zarówno pozytywne, jak i negatywne skutki dla układów biologicznych. Może też być używane do skutecznego leczenia nowotworów. Jak tłumaczymy jego działanie? Żeby odpowiedzieć na to pytanie, należy wziąć pod uwagę cząsteczki w obrębie komórek, szczególnie cząsteczki DNA.

Źródła promieniowania

Ludzie narażeni są również na promieniowanie jądrowe pochodzące z wielu źródeł. Zestawienie dawek promieniowania pochodzącego z różnych źródeł dla kilku krajów zamieszczono w [link]. Ziemia emituje promieniowanie, którego źródłem są izotopy uranu, toru i potasu. Natężenia promieniowania z tych źródeł zależą od położenia i mogą się różnić o czynnik 10. Nawozy zawierają izotopy potasu i uranu, które przyjmujemy w spożywanej żywności. Nawozy mają aktywność promieniotwórczą ponad $3000\mathrm{Bq}∕\mathrm{kg}$ w porównaniu z zaledwie $66\mathrm{Bq}∕\mathrm{kg}$ dla węgla 14C.

Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia

Wstęp

Wstęp do fizyki cząstek elementarnych

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać cztery oddziaływania podstawowe i cząstki w nich pośredniczące;
* definiować i opisywać fermiony oraz bozony;
* identyfikować i opisywać rodziny kwarków i leptonów;
* rozróżniać cząstki i antycząstki oraz opisywać ich oddziaływania.

Cztery oddziaływania podstawowe

Ważnym krokiem w próbie odpowiedzi na postawione powyżej pytania jest zrozumienie natury cząstek elementarnych i ich wzajemnych oddziaływań. Oddziaływanie między cząstkami możemy wyrazić za pomocą czterech podstawowych sił – przejawów czterech oddziaływań podstawowych (ang. fundamental forces). W porządku malejącym są to: silne oddziaływanie jądrowe (ang. strong nuclear force), oddziaływanie elektromagnetyczne (ang. electromagnetic force), słabe oddziaływanie jądrowe (ang. weak nuclear force) oraz oddziaływanie grawitacyjne (ang. gravitational force). Oddziaływania podstawowe nie mogą być rozłożone ani zamienione na żadne inne oddziaływania. Na przykład siła grawitacji nie może być traktowana jako przejaw innej siły (np. elektrycznej), bo jej natura jest odmienna.

Klasyfikacja cząstek elementarnych

W przyrodzie występuje duża liczba cząstek subatomowych (o rozmiarach mniejszych niż jądro atomowe); nazywamy je cząstkami elementarnymi. Dodatkowo niektóre z nich – te, które nie mają struktury wewnętrznej, są już niepodzielne (przynajmniej wg aktualnego stanu wiedzy) – nazywamy cząstkami fundamentalnymi. Na przykład proton jest cząstką elementarną, bo jest częścią jądra atomowego, ale składa się z kwarków, które z kolei są cząstkami fundamentalnymi, bo są niepodzielne. Wszystkie te cząstki możemy klasyfikować według różnych kryteriów. Tutaj skupimy się na dwóch: ze względu na spin oraz ze względu na typ oddziaływania fundamentalnego. Przypomnijmy, że spin cząstki może być interpretowany jako jej obrót wokół własnej (wewnętrznej) osi. W tym sensie jest to jakby wewnętrzny moment pędu cząstki. Podziały ze względu na te dwie właściwości prezentujemy poniżej.

Cząstki i antycząstki

Pod koniec lat 20. XX wieku szczególną teorię względności Einsteina udało się połączyć z mechaniką kwantową, dzięki czemu powstała relatywistyczna teoria kwantowa elektronu. Największe zasługi dla niej miał Paul Dirac (1902–1984), który w 1928 roku zaproponował równanie falowe opisujące stan kwantowy elektronu jako cząstki relatywistycznej (równanie Diraca). Zaskakującym wynikiem tej teorii było przewidzenie dwóch stanów energetycznych elektronu (energii dodatniej i ujemnej): jeden z nich jest utożsamiany z elektronem, a drugi z cząstką o tej samej masie, lecz przeciwnym ładunku ${\mathrm{e}}^{+}$. Tę nową cząstkę nazwano pozytonem (ang. positron). Odkrycie nastąpiło niedługo po sformułowaniu hipotezy o jego istnieniu – w 1932 roku.

Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* rozróżniać trzy prawa zachowania w fizyce cząstek elementarnych: prawo zachowania liczby barionowej, liczby leptonowej i dziwności;
* określać całkowite liczby barionową, leptonową i dziwność układu cząstek przed zajściem i po zajściu reakcji;
* korzystać z zasad zachowania liczb barionowej, leptonowej i dziwności w celu ustalenia, czy dana reakcja jest możliwa.

Zachowanie liczby barionowej

Żadna z dotychczas poznanych zasad zachowania nie wyklucza rozpadu neutronu na elektron i pozyton

Zachowanie liczby leptonowej

Zasada zachowania liczby leptonowej mówi, że całkowita liczba leptonowa substratów musi się równać liczbie leptonowej produktów reakcji. Pewną komplikacją w stosunku do liczby barionowej jest to, że mamy trzy różne liczby leptonowe (ang.
lepton numbers): elektronową liczbę leptonową ${L}_{\text{e}}$, mionową liczbę leptonową ${L}_{\mu }$ oraz taonową liczbę leptonową ${L}_{\tau }$. We wszystkich procesach każda z tych liczb leptonowych musi być zachowana oddzielnie. Wartości liczb leptonowych są następujące: elektrony i neutrina elektronowe mają ${L}_{\text{e}}=1$, ich antycząstki mają ${L}_{\text{e}}=-1$, a wszystkie inne cząstki mają ${L}_{\text{e}}=0$. Podobnie ${L}_{\mu }=1$ dla mionów i neutrin mionowych, ${L}_{\mu }=-1$ dla ich antycząstek, a ${L}_{\mu }=0$ dla wszystkich pozostałych cząstek. Wreszcie ${L}_{\tau }=1$, ${L}_{\tau }=-1$ lub ${L}_{\tau }=0$ odpowiednio dla taonów i neutrin taonowych, ich antycząstek i wszystkich pozostałych. Zachowanie liczby leptonowej gwarantuje, że całkowita liczba elektronów i pozytonów we Wszechświecie jest mniej więcej stała. Zauważmy, że w świetle naszej dotychczasowej wiedzy całkowita liczba leptonowa jest zachowana w przyrodzie. Jednak obserwacje fizyczne potwierdzają, że pojedyncze liczby leptonowe (np. ${L}_{\text{e}}$) podlegają pewnym zmianom, np. w zjawisku nazywanym oscylacjami neutrin.

Zachowanie dziwności

Na przełomie lat 40. i 50. XX wieku w eksperymentach dotyczących promieniowania kosmicznego zarejestrowano występowanie cząstek, których nigdy dotąd nie obserwowano na Ziemi. Powstawały one w wyniku zderzeń pionów z protonami i neutronami w atmosferze. Jednak ich tworzenie i procesy rozpadu były niezwykłe. Powstawały w wyniku silnych oddziaływań jądrowych pionów z nukleonami, a więc musiały być hadronami. Natomiast ich rozpad zachodził pod wpływem znacznie słabszego oddziaływania (słabe oddziaływanie jądrowe). Czasy życia cząstek to aż ${10}^{-10}\mathrm{s}$ do ${10}^{-8}\mathrm{s}$, podczas gdy typowe czasy życia cząstek rozpadających się za pośrednictwem oddziaływania silnego są rzędu ${10}^{-23}\mathrm{s}$. Ponadto cząstki te zawsze były produktem zderzeń pion–nukleon, co także wydawało się bardzo nietypowe. Z tych wszystkich powodów nazwano je cząstkami dziwnymi. Wytworzenie i następujący po tym rozpad dwóch cząstek dziwnych przedstawiono na [link], można go zapisać w postaci reakcji

Kwarki

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* porównywać i wymieniać różnice między sześcioma poznanymi kwarkami;
* na podstawie budowy kwarkowej hadronów obliczać całkowity ładunek tych cząstek;
* wyjaśniać pierwotne przesłanki przemawiające za istnieniem kwarków.

Układy kwarków

Jak już wspominaliśmy w poprzednich podrozdziałach, kwarki łączą się w grupy po dwa lub trzy, tworząc hadrony. Bariony składają się zawsze z trzech kwarków. Przykładowe konfiguracje kwarków tworzących znane bariony oraz ich właściwości przedstawiono w [link]. Co ciekawe, np. barion ${\Delta }^{\text{+}}$ (delta plus) zbudowany jest z tej samej trójki kwarków co proton, ale jego całkowity spin równa się $3∕2$, a nie $1∕2$ jak dla protonu. Oba te bariony różnią się też masą: ${\Delta }^{\text{+}}$ o spinie $3∕2$ jest $1,3$ razy cięższy od protonu, z kolei barion ${\Delta }^{0}$ (delta zero) o spinie $3∕2$ jest $1,3$ razy cięższy od neutronu o tej samej budowie kwarkowej. Ewidentnie energia związana ze spinem (czy też momentem pędu) cząstki wnosi znaczny wkład do całkowitej energii cząstki, a więc i jej masy (równoważność masy i energii spoczynkowej). Równie ciekawe jest to, że w świetle dotychczasowej wiedzy nie istnieją bariony zbudowane z kwarków $\mathrm{t}$, które rozpadają się zbyt szybko, by mogły związać się z innymi kwarkami w trakcie tworzenia cząstki.

Kolor

Kwarki są fermionami, które podlegają zakazowi Pauliego, zatem mogłoby się wydawać niemożliwe, aby trzy kwarki były związane wewnątrz nukleonu. W jaki sposób zatem dwa kwarki górne mogą znajdować się na niewielkiej przestrzeni wewnątrz protonu? Rozwiązanie tego problemu wymaga wprowadzenia kolejnej nowej właściwości rozróżniającej kwarki. Jest nią kolor (ang. color), który odgrywa tę samą rolę w oddziaływaniach silnych jądrowych, co ładunek elektryczny w oddziaływaniu elektromagnetycznym. Z tego względu czasem na kolor kwarka mówimy ładunek kolorowy.

Uwięzienie kwarków

Pierwsze dowody na istnienie kwarków przyniosły eksperymenty przeprowadzone ok. 1970 roku przy użyciu akceleratora SLAC (Stanford Linear Accelerator Center) w Kalifornii oraz w CERN pod Genewą. Miały one na celu zbadanie struktury protonu, zaprojektowano je podobnie do słynnego eksperymentu Rutherforda z bombardowaniem folii złota cząstkami $\alpha$. Tutaj jednak rozpędzone do energii ok. $20\mathrm{GeV}$ elektrony uderzały w tarczę protonową i się na niej rozpraszały. Przy tak dużych energiach elektronów możemy przyjąć $E\approx pc$, więc długość fali de Broglie’a elektronów to

Akceleratory i detektory cząstek

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* porównywać ze sobą różne rodzaje akceleratorów cząstek oraz podawać różnice w ich działaniu;
* opisywać przeznaczenie, budowę i sposób działania typowych zderzaczy cząstek;
* wyjaśniać rolę każdego z segmentów typowego detektora cząstek elementarnych;
* wykorzystywać krzywiznę toru lotu cząstki naładowanej do określenia jej pędu.

Pierwsze akceleratory

Akcelerator cząstek (ang. particle accelerator) jest maszyną zaprojektowaną do przyspieszania cząstek naładowanych, dlatego nazywamy go też przyspieszaczem. Duże przyspieszenie cząstek zazwyczaj uzyskuje się przy pomocy pola elektrycznego, często w połączeniu z polem magnetycznym. Prostym przykładem (jednym z pierwszych) przyspieszacza jest elektrostatyczny akcelerator Van de Graaffa (ang. Van de Graaff accelerator) (został on opisany w rozdziale Potencjał elektryczny). W tym urządzeniu ładunki przenoszone pasem transmisyjnym są gromadzone na metalowej kopule w kształcie sfery. Gdy ich ilość jest odpowiednio duża, uzyskujemy dużą różnicę potencjałów, przy pomocy której możemy przyspieszać cząstki wpuszczone w obszar pola elektrycznego w rurze próżniowej. Energie uzyskiwane w akceleratorach Van de Graaffa nie są na tyle wysokie, aby wytwarzać cząstki elementarne, ale urządzenia te były z powodzeniem wykorzystywane w pionierskich badaniach nad strukturą jądra atomowego.

Zderzacze cząstek

W zderzeniach cząstek o wysokiej energii można wytwarzać zupełnie nowe cząstki. Zgodnie z teorią równoważności masy i energii Einsteina, energie zderzanych cząstek są zamieniane w masy cząstek wytwarzanych. Najbardziej efektywnym sposobem produkcji cząstek jest użycie akceleratorów zderzeniowych (zderzaczy cząstek). Wytwarzane są w nich dwie wiązki cząstek poruszające się po kołowych torach w przeciwnych kierunkach, po uzyskaniu odpowiedniej energii mogą one być przechowywane wewnątrz akceleratora bez strat energii. W pewnym momencie przeciwbieżne wiązki cząstek są kierowane do jednego punktu i przecinają się dokładnie w środku czułego detektora rejestrującego cząstki i promieniowanie.

Detektory cząstek

Samo wytworzenie nowych cząstek w potężnych akceleratorach nie byłoby wiele warte, gdybyśmy nie potrafili ich mierzyć i obserwować produktów ich rozpadów. Do tego służy detektor cząstek (ang. particle detector). Jest to wielozadaniowe urządzenie, złożone z wielu segmentów mających różne funkcje; ma ono dokonywać dokładnych pomiarów produktów zderzeń w różnych aspektach fizycznych. Jeden z segmentów może być odpowiedzialny za rejestrację fotonów, inny mionów, jeszcze inny elektronów itd. Działanie poszczególnych segmentów detektora i to, jak na podstawie ich wskazań możemy wnioskować o całym procesie zderzenia, przedstawimy na przykładzie detektora CMS (ang. Compact Muon Solenoid), który wykorzystano przy odkryciu bozonu Higgsa w eksperymencie LHC ([link]).

Model standardowy

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać model standardowy cząstek elementarnych w kontekście czterech podstawowych oddziaływań i cząstek pośredniczących;
* zapisywać diagram Feynmana dla prostego oddziaływania cząstek;
* wykorzystywać zasadę nieoznaczoności Heisenberga do określenia zasięgu oddziaływań w modelu standardowym;
* podawać uzasadnienie sensowności teorii unifikacji.

Wprowadzenie do modelu standardowego

Model standardowy (ang.
Standard Model) to współczesna teoria oddziaływań cząstek elementarnych, która opiera się na dwóch zasadniczych koncepcjach: teorii oddziaływań elektrosłabych oraz chromodynamice kwantowej. Chromodynamika kwantowa (QCD) (ang.
quantum chromodynamics) to teoria oddziaływania ładunków kolorowych ze sobą. Teoria oddziaływań elektrosłabych (nazywana czasem małą teorią unifikacji) unifikuje elektrodynamikę kwantową (QED) (ang.
quantum electrodynamics) – współczesną wersję elektromagnetyzmu – z teorią jądrowych oddziaływań słabych. W modelu standardowym wykorzystuje się narzędzia mechaniki zarówno relatywistycznej, jak i kwantowej.

Oddziaływanie elektromagnetyczne

W świetle elektrodynamiki kwantowej siła oddziaływania elektromagnetycznego jest przenoszona między cząstkami naładowanymi za pomocą fotonów. Teoria ta opiera się na trzech podstawowych procesach: cząstka naładowana (np. elektron) przemieszcza się z jednego miejsca do drugiego, emituje lub absorbuje foton, a następnie dalej przemieszcza się do kolejnego miejsca. Gdy np. dwa elektrony oddziałują ze sobą, jeden z nich wysyła, a drugi pochłania foton ([link]). Fotony przenoszą energię i pęd z jednego elektronu na drugi. W efekcie otrzymujemy siłę odpychającą między elektronami. Mówimy, że wymienione fotony są wirtualne. Cząstka wirtualna (ang.
virtual particle) to taka, która żyje zbyt krótko, by dało się ją zaobserwować. Fotony wirtualne mogą łamać zasadę zachowania energii. Żeby to zrozumieć, musimy odwołać się do zasady nieoznaczoności Heisenberga. Załóżmy, że czas życia fotonu $\Delta t$ jest niezwykle krótki, w takim razie nieoznaczoność energii fotonu $\Delta E$ może być bardzo duża, nawet większa niż energia potencjalna oddziaływania między elektronami.

Słabe oddziaływanie jądrowe

Oddziaływanie słabe odpowiada za wszystkie rodzaje rozpadów promieniotwórczych, w tym za rozpady cząstek elementarnych. Zasięg oddziaływania słabego jest bardzo mały (w przybliżeniu równy tylko ${10}^{-18}\mathrm{m}$) i podobnie do innych oddziaływań w modelu standardowym można go opisać za pomocą wymiany cząstek pośredniczących. W odróżnieniu od oddziaływania elektromagnetycznego, w którym możemy podać siłę Coulomba, w przypadku oddziaływania słabego nie da się podać prostej definicji siły. Zachodzi ono w procesie wymiany jednego z trzech bozonów: ${\mathrm{W}}^{+}$, ${\mathrm{W}}^{-}$ lub ${\mathrm{Z}}^{0}$. Model standardowy bezsprzecznie potwierdza istnienie tych cząstek o spinie równym $1$ oraz dokładnie przewiduje ich masy spoczynkowe. Zostały one po raz pierwszy zaobserwowane w latach 80. XX wieku w CERN, co było wielkim sukcesem modelu standardowego. Zmierzono ich dokładne masy, wynoszące $81\mathrm{GeV}∕{c}^{2}$ w przypadku naładowanych elektrycznie bozonów $\mathrm{W}$ oraz $90\mathrm{GeV}∕{c}^{2}$ w przypadku obojętnego elektrycznie bozonu ${\mathrm{Z}}^{0}$.

Silne oddziaływanie jądrowe

Oddziaływania silne zachodzą między kwarkami, teorią tych oddziaływań zajmuje się chromodynamika kwantowa. Według niej kwarki wiążą się, wymieniając między sobą gluony. Kwarki są obdarzone zarówno ładunkiem elektrycznym o wartości $+2e∕3$ lub $-e∕3$, od którego zależy ich siła oddziaływania elektromagnetycznego, jak i ładunkiem kolorowym (czerwonym, niebieskim lub zielonym), który wpływa na wielkość oddziaływania silnego. Jak już wcześniej mówiliśmy, kwarki wiążą się tylko w dwójki lub trójki o kolorze neutralnym (są białe), przykładowo czerwony–niebieski–zielony albo czerwony–antyczerwony.

Teorie unifikacji

W fizyce od dawna wiadomo, że siła (wielkość) oddziaływania między cząstkami zależy od odległości między nimi. Przykładowo dwie dodatnio naładowane elektrycznie cząstki doświadczają większego odpychania, gdy są bliżej siebie. W eksperymentach rozpraszania cząstek siła oddziaływania zależy od energii oddziałujących (padających na siebie) cząstek, ponieważ większa energia cząstek oznacza silniejsze oddziaływanie na mniejszej odległości.

Wielki Wybuch

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* wyjaśniać przyczyny i przebieg ekspansji Wszechświata przy pomocy prawa Hubble’a i kosmologicznego przesunięcia ku czerwieni;
* podawać prostą analogię między rozszerzaniem się Wszechświata a pompowaniem balonu;
* korzystać z prawa Hubble’a do szacowania prędkości ucieczki odległych galaktyk.

Prawo Hubble’a

W 1929 roku amerykański astronom Edwin Hubble (1889–1953) opublikował jedno z największych odkryć współczesnej astronomii. Dokonał on następujących obserwacji: (1) galaktyki wydają się oddalać od Ziemi, (2) prędkość ucieczki galaktyki ($v$) jest wprost proporcjonalna do jej odległości ($d$) od Ziemi. Obie wielkości, $v$ oraz $d$, można wyznaczyć eksperymentalnie na podstawie widm jasności gwiazdowych. Przykładowe dopasowanie do danych eksperymentalnych pokazuje [link] (oryginalny wykres Hubble’a zawierał duży rozrzut danych wokół linii prostej, ale trend liniowy był wyraźnie zachowany).

Model Wielkiego Wybuchu

Naukowcy zajmujący się kosmologią (ang. cosmology) – nauką o początku, ewolucji i przyszłości Wszechświata, uważają, że powstał on w wyniku gigantycznej eksplozji, nazywanej Wielkim Wybuchem (ang. Big Bang), która nastąpiła ok. $13,7$ miliarda lat temu. Tego wybuchu nie należy jednak rozumieć jako eksplozji jakiegoś ciała i jego ekspansji w przestrzeni, jak np. wybuchu fajerwerku w powietrzu, ale raczej jako gwałtowne i szybkie rozszerzanie się samej przestrzeni. Na podstawie obecnych odległości i prędkości ucieczki gwiazd i galaktyk możemy określić ten moment w czasie, gdy cała materia skupiała się w jednym punkcie czasoprzestrzeni – na początku czasu.

Struktura i dynamika ekspansji Wszechświata

Uważa się, że w odpowiednio dużej skali Wszechświat jest jednorodny i izotropowy. Jest izotropowy, bo wygląda tak samo, gdy patrzymy w dowolnym kierunku. Jest też jednorodny, bo w każdym miejscu jest taki sam. Mówimy, że jednorodny i izotropowy Wszechświat jest gładki. Założenie o gładkości Wszechświata jest poparte licznymi obserwacjami, takimi jak prowadzone w ramach projektu APM Galaxy Survey w latach 80. i 90. XX wieku, podczas których w trakcie pomiarów fotometrii astronomicznej wykonano ok. $20$ milionów zdjęć kosmosu z Ziemi ([link]); czy przez satelity COBE (1989–1993) oraz WMAP (2001–2010) wystrzelone w misjach kosmologicznych do pomiaru tzw. promieniowania reliktowego, o którym powiemy w następnym podrozdziale. Model budowy Wszechświata gładkiego (jednorodnego i izotropowego) teoretycy zakładali jednak dużo wcześniej, zanim pojawiły się wyniki dokładnych obserwacji potwierdzających tę hipotezę. Założenie o jednorodności i izotropowości Wszechświata nazywane jest w nauce zasadą kosmologiczną (ang. cosmological principle).

Ewolucja wczesnego Wszechświata

Abstract:
W tym podrozdziale nauczysz się:
* opisywać ewolucję wczesnego Wszechświata w kontekście czterech oddziaływań podstawowych;
* używać koncepcji soczewkowania grawitacyjnego do wyjaśniania różnych zjawisk astrofizycznych;
* uzasadniać Wielki Wybuch na podstawie istnienia mikrofalowego promieniowania tła;
* podawać różnice między ciemną materią a ciemną energią.

Wczesny Wszechświat

Kosmolodzy uważają, że cała materia, jaka powstała na skutek Wielkiego Wybuchu, była w początkowym okresie (przed okresem inflacji) ściśnięta do obszaru znacznie mniejszego od atomu. Uważają oni, że Wszechświat był ekstremalnie gęsty i gorący, a wszystkie oddziaływania między cząstkami zachodziły pod wpływem jednej siły. Innymi słowy, cztery oddziaływania podstawowe, jakie dziś znamy (elektromagnetyczne, jądrowe silne i słabe, a nawet grawitacyjne), były zunifikowane do jednego. Ta unifikacja istniała przez bardzo krótki czas, zwany czasem Plancka ([link]). W jaki sposób i dlaczego ta jedność oddziaływań rozpadła się na dalszych etapach ewolucji Wszechświata, jest wciąż nierozwiązaną zagadką fizyki.

Nukleosynteza lekkich pierwiastków

Względne abundancje lekkich pierwiastków (wodoru, helu, litu i berylu) we Wszechświecie niosą wiele informacji o jego wczesnym okresie. Wyniki pomiarów wskazują, że większość helu ma pochodzenie pierwotne (powstała w wyniku nukleosyntezy zaraz po Wielkim Wybuchu). Okazało się też, że aż $25\mathrm{%}$ całej materii we Wszechświecie stanowi hel, a tak wielka ilość nie mogła powstać tylko w wyniku reakcji termojądrowych w gwiazdach.

Mikrofalowe promieniowanie tła

Zgodnie z przewidywaniami modeli kosmologicznych Wielki Wybuch powinien pozostawić we Wszechświecie ślad w postaci mikrofalowego promieniowania tła (ang. cosmic microwave background radiation, CMBR lub po prostu CMB), które powstało na końcu ery atomowej. Promieniowanie tła nazywane jest także promieniowaniem reliktowym, jako że stanowi dowód zjawisk zachodzących we wczesnym Wszechświecie. Natężenie tego promieniowania powinno być poprawnie opisane krzywą zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego (Fotony i fale materii). Zależność długości fali w maksimum tego rozkładu od temperatury podaje prawo Wiena

Materia i antymateria

Z bezpośrednich obserwacji wiemy, że antymaterii jest w dzisiejszym Wszechświecie bardzo mało. Ziemia i nasz Układ Słoneczny składają się niemal wyłącznie z materii, podobnie cały obserwowany Wszechświat wydaje się zdominowany przez materię. Dowodem na to jest fakt, że nie obserwujemy efektów anihilacji cząstek i antycząstek docierających do nas z kosmosu, np. nie widzimy wyraźnie silniejszego sygnału fotonów $\gamma$ o energii $0,511\mathrm{MeV}$, pochodzących z anihilacji elektronów i pozytonów. Naturalna produkcja antymaterii w kosmosie zachodzi jedynie na drodze zderzeń cząstek i rozpadów promieniotwórczych ${\beta }^{\text{+}}$, ale prowadzi to do powstania tylko niewielkich ilości antycząstek, które w dodatku szybko ulegają anihilacji, pozostawiając przy życiu jedynie czystą energię.

Ciemna materia i ciemna energia

W ciągu ostatnich trzech dekad dzięki nowoczesnym i potężnym technikom badawczym odkryto, że Wszechświat wypełnia ciemna materia (ang. dark matter). Ten typ materii jest szczególnie interesujący i ważny, bo obecnie naukowcy zupełnie nie wiedzą, co to może być! Niewątpliwie jednak istnieje, bo jej obecność powoduje ugięcie światła docierającego do nas z odległych gwiazd. Jeżeli światło z odległej gwiazdy lub całej galaktyki ulega zagięciu w polu grawitacyjnym pewnego skupiska materii (także ciemnej), które znajduje się na linii pomiędzy nami a gwiazdą, to może powstać obraz tej samej gwiazdy lub galaktyki w dwóch różnych miejscach ([link]). Zakrzywienie światła w polu grawitacyjnym masywnego obiektu w przestrzeni kosmicznej nazywamy soczewkowaniem grawitacyjnym (ang. gravitational lensing). W niektórych przypadkach światło dociera do nas po różnych torach wokół soczewki (np. dużej galaktyki) i wtedy obserwujemy jasny krąg światła od obserwowanego obiektu ([link]).

Jednostki

Przeliczanie jednostek

Najważniejsze stałe fizyczne

Dane astronomiczne

Wzory matematyczne

Układ okresowy pierwiastków

Alfabet grecki