Prefacio

Acerca de OpenStax

OpenStax es una organización sin fines de lucro con sede en la Universidad de Rice. Nuestra misión es mejorar el acceso de los estudiantes a la educación. Nuestro primer libro de texto universitario con licencia abierta se publicó en 2012, y desde entonces nuestra biblioteca se ha ampliado a más de 25 libros para cursos universitarios y de Colocación Avanzada (Advanced Placement, AP®) utilizados por cientos de miles de estudiantes. OpenStax Tutor, nuestra herramienta de aprendizaje personalizado de bajo costo, se utiliza en cursos universitarios de todo el país. A través de nuestras asociaciones con fundaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras organizaciones de recursos educativos, OpenStax rompe las barreras más comunes para el aprendizaje y otorga poder a los estudiantes e instructores para que triunfen.

Sobre los recursos de OpenStax

Sobre *Cálculo volumen 1*

Cálculo está diseñado para el típico curso de cálculo general de dos o tres semestres, incorporando características innovadoras para mejorar el aprendizaje del estudiante. El libro guía a los estudiantes a través de los conceptos básicos del cálculo y les ayuda a entender cómo esos conceptos se aplican a sus vidas y al mundo que les rodea. Debido a la naturaleza integral del material, ofrecemos el libro en tres volúmenes para mayor flexibilidad y eficiencia. El volumen 1 cubre funciones, límites, derivadas e integración.

Recursos adicionales

Sobre los autores

Funciones y gráficos

Introducción

Repaso de las funciones

Abstract:
* Utilizar la notación funcional para evaluar una función.
* Determinar el dominio y el rango de una función.
* Dibujar el gráfico de una función.
* Hallar los ceros de una función.
* Reconocer una función a partir de una tabla de valores.
* Crear nuevas funciones a partir de dos o más funciones dadas.
* Describir las propiedades de simetría de una función.

Funciones

Dados dos conjuntos $A$ y $B,$ un conjunto con elementos que son pares ordenados $\left(x,y\right),$ donde $x$ es un elemento de $A$ y $y$ es un elemento de $B,$ es una relación de $A$ hasta $B.$ Una relación de $A$ hasta $B$ define una relación entre esos dos conjuntos. Una función es un tipo especial de relación en la que cada elemento del primer conjunto está relacionado exactamente con un elemento del segundo conjunto. El elemento del primer conjunto se llama *entrada*; el elemento del segundo conjunto se llama *salida*. En matemáticas las funciones se utilizan constantemente para describir las relaciones entre dos conjuntos. Para cualquier función, cuando conocemos la entrada la salida está determinada, por lo que decimos que la salida es una función de la entrada. Por ejemplo, el área de un cuadrado está determinada por la longitud de su lado, por lo que decimos que el área (la salida) es una función de su longitud lateral (la entrada). La velocidad de una pelota lanzada al aire puede describirse como una función de la cantidad de tiempo que la pelota está en el aire. El costo del envío de un paquete es una función del peso del mismo. Dado que las funciones tienen tantos usos, es importante contar con definiciones y terminología precisas para estudiarlas.

Representación de funciones

Normalmente, una función se representa utilizando una o varias de las siguientes herramientas:

Combinación de funciones

Ya revisamos las características básicas de las funciones y podemos ver qué ocurre con estas propiedades cuando combinamos funciones de diferentes maneras, utilizando operaciones matemáticas básicas para crear nuevas funciones. Por ejemplo, si el costo para una empresa por la fabricación de $x$ artículos se describe mediante la función $C\left(x\right)$ y los ingresos creados por la venta de $x$ artículos se describe mediante la función $R\left(x\right),$ luego el beneficio de la fabricación y venta de $x$ se define como $P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right).$ Al utilizar la diferencia entre dos funciones, creamos una nueva función.

Simetría de las funciones

Los gráficos de ciertas funciones tienen propiedades de simetría que nos ayudan a entender la función y la forma de su gráfico. Por ejemplo, consideremos la función $f\left(x\right)={x}^{4}–2{x}^{2}-3$ que se muestra en la [link](a). Si tomamos la parte de la curva que se encuentra a la derecha del eje *y* y la volteamos sobre el eje *y*, queda exactamente encima de la curva a la izquierda del eje *y*. En este caso, decimos que la función tiene simetría en torno al eje *y*. Por otro lado, la función $f\left(x\right)={x}^{3}-4x$ que se muestra en la [link](b). Si tomamos el gráfico y lo giramos $180\text{°}$ sobre el origen, el nuevo gráfico tendrá exactamente el mismo aspecto. En este caso, decimos que la función tiene simetría respecto al origen.

Clases básicas de funciones

Abstract:
* Calcular la pendiente de una función lineal e interpretar su significado.
* Reconocer el grado de un polinomio.
* Hallar las raíces de un polinomio cuadrático.
* Describir los gráficos de las funciones polinómicas pares e impares básicas.
* Identificar una función racional.
* Describir los gráficos de las funciones potencia y raíz.
* Explicar la diferencia entre funciones algebraicas y trascendentales.
* Graficar una función definida a trozos.
* Dibujar el gráfico de una función que ha sido desplazada, estirada o reflejada desde su posición gráfica inicial.

Funciones lineales y pendiente

El tipo de función más fácil de considerar es una función lineal. Las funciones lineales tienen la forma $f\left(x\right)=ax+b,$ donde $a$ y $b$ son constantes. En la [link], vemos ejemplos de funciones lineales cuando $a$ es positivo, negativo y cero. Note que si $a>0,$ el gráfico de la línea sube a medida que $x$ aumenta. En otras palabras, $f\left(x\right)=ax+b$ aumenta en $\text{(−∞, ∞)}.$ Si $a<0,$ el gráfico de la línea cae a medida que $x$ aumenta. En este caso, $f\left(x\right)=ax+b$ disminuye en $\text{(−∞, ∞)}.$ Si $a=0,$ la línea es horizontal.

Polinomios

Una función lineal es un tipo especial de una clase más general de funciones: los polinomios. Una función polinómica es cualquier función que pueda escribirse de la forma

Funciones algebraicas

Al permitir cocientes y potencias fraccionarias en las funciones polinómicas, creamos una clase más amplia de funciones. Una función algebraica es aquella que implica suma, resta, multiplicación, división, potencias racionales y raíces. Dos tipos de funciones algebraicas son las funciones racionales y las funciones raíz.

Funciones trascendentales

Hasta ahora hemos hablado de las funciones algebraicas. Sin embargo, algunas funciones no pueden describirse mediante las operaciones algebraicas básicas. Estas funciones se conocen como funciones trascendentales porque se dice que "trascienden" o van más allá del álgebra. Las funciones trascendentales más comunes son las trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas. La *función trigonométrica* relaciona las razones de dos lados de un triángulo rectángulo. Son $\mathrm{sen}x,\mathrm{cos}x,\mathrm{tan}x,\mathrm{cot}x,\mathrm{sec}x,\text{y}{\rule{0.2em}{0ex}}\mathrm{csc}x$ (Más adelante hablaremos de las funciones trigonométricas). Una función exponencial es la función de la forma $f\left(x\right)={b}^{x},$ donde la base $b>0,b\ne 1.$ Una función logarítmica es la función de la forma $f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)$ para alguna constante $b>0,b\ne 1,$ donde ${\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)=y$ si y solo si ${b}^{y}=x.$ (Más adelante en el capítulo también hablaremos de las funciones exponenciales y logarítmicas).

Funciones definidas a trozos

A veces, una función está definida por diferentes fórmulas en diferentes partes de su dominio. Una función con esta propiedad se conoce como función definida a trozos. La función de valor absoluto es un ejemplo de función definida a trozos porque la fórmula cambia con el signo de $x\text{:}$

Transformaciones de funciones

Hemos visto varios casos en los que hemos sumado, restado o multiplicado constantes para formar variaciones de funciones simples. En el ejemplo anterior, por ejemplo, hemos restado 2 al argumento de la función $y={x}^{2}$ para obtener la función $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^{2}.$ Esta sustracción representa un desplazamiento de la función $y={x}^{2}$ en dos unidades a la derecha. Un desplazamiento, horizontal o vertical, es un tipo de transformación de una función. Otras transformaciones incluyen escalas horizontales y verticales, y reflexiones sobre los ejes.

Funciones trigonométricas

Abstract:
* Convertir medidas de ángulos entre grados y radianes.
* Reconocer las definiciones triangular y circular de las funciones trigonométricas básicas.
* Escribir las identidades trigonométricas básicas.
* Identificar los gráficos y los periodos de las funciones trigonométricas.
* Describir el desplazamiento de un gráfico de seno o coseno a partir de la ecuación de la función.

Medición de radianes

Para utilizar las funciones trigonométricas, primero debemos entender cómo se miden los ángulos. Aunque podemos utilizar tanto los radianes como los grados, los radianes son una medida más natural porque están relacionados directamente con el círculo unitario, un círculo de radio 1. La medida del radián de un ángulo se define como sigue. Dado un ángulo $\theta ,$ supongamos que $s$ es la longitud del arco correspondiente en el círculo unitario ([link]). Decimos que el ángulo correspondiente al arco de longitud 1 tiene medida de radián 1.

Las seis funciones trigonométricas básicas

Las funciones trigonométricas nos permiten utilizar las medidas de los ángulos, en radianes o grados, para encontrar las coordenadas de un punto en cualquier círculo —no solo en un círculo unitario— o para encontrar un ángulo dado un punto en un círculo. También definen la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo.

Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una ecuación en la que intervienen funciones trigonométricas que es verdadera para todos los ángulos $\theta$ para el que se definen las funciones. Podemos utilizar esas identidades para ayudarnos a resolver o simplificar ecuaciones. A continuación se enumeran las principales identidades trigonométricas.

Gráficos y periodos de las funciones trigonométricas

Hemos visto que al recorrer el círculo unitario, los valores de las funciones trigonométricas se repiten. Podemos ver este patrón en los gráficos de las funciones. Supongamos que $P=\left(x,y\right)$ es un punto del círculo unitario y que $\theta$ es el ángulo correspondiente $.$ Dado que los ángulos $\theta$ y $\theta +2\pi$ corresponden al mismo punto $P,$ los valores de las funciones trigonométricas en $\theta$ y en $\theta +2\pi$ son los mismos. En consecuencia, las funciones trigonométricas son funciones periódicas. El periodo de una función $f$ se define como el menor valor positivo $p$ de manera que $f\left(x+p\right)=f\left(x\right)$ para todos los valores $x$ en el dominio de $f.$ Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen un periodo de $2\pi .$ Como las funciones tangente y cotangente se repiten en un intervalo de longitud $\pi ,$ su periodo es $\pi$ ([link]).

Funciones inversas

Abstract:
* Determinar las condiciones para que una función tenga una inversa.
* Utilizar la prueba de la línea horizontal para reconocer cuándo una función es biunívoca.
* Hallar la inversa de una función dada.
* Dibujar el gráfico de una función inversa.
* Evaluar funciones trigonométricas inversas.

Existencia de una función inversa

Comencemos con un ejemplo. Dada una función $f$ y una salida $y=f\left(x\right),$ a menudo nos interesa encontrar qué valor o valores $x$ se asignaron a $y$ entre $f.$ Por ejemplo, consideremos la función $f\left(x\right)={x}^{3}+4.$ Dado que cualquier salida $y={x}^{3}+4,$ podemos resolver esta ecuación para $x$ y hallar que la entrada es $x=\sqrt[3]{y-4}.$ Esta ecuación define $x$ en función de $y.$ Denotando esta función como ${f}^{-1},$ y escribiendo $x={f}^{-1}\left(y\right)=\sqrt[3]{y-4},$ vemos que para cualquier $x$ en el dominio de $f,{f}^{-1}\left(f\left(x\right)\right)={f}^{-1}\left({x}^{3}+4\right)=x.$ Así, esta nueva función, ${f}^{-1},$ "deshizo" lo que la función original $f$ hizo. Una función con esta propiedad se denomina función inversa de la función original.

Encontrar la inversa de una función

Ahora podemos considerar las funciones biunívocas y mostrar cómo encontrar sus inversas. Recordemos que una función asigna elementos en el dominio de $f$ a elementos en el rango de $f.$ La función inversa asigna cada elemento del rango de $f$ a su elemento correspondiente del dominio de $f.$ Por lo tanto, para encontrar la función inversa de una función biunívoca $f,$ dada cualquier $y$ en el rango de $f,$ tenemos que determinar cuál $x$ en el dominio de $f$ satisface $f\left(x\right)=y.$ Dado que $f$ es biunívoca, hay exactamente un valor de este tipo $x.$ Podemos encontrar ese valor $x$ resolviendo la ecuación $f\left(x\right)=y$ para $x.$ Al hacer esto, podemos escribir $x$ en función de $y$ donde el dominio de esta función es el rango de $f$ y el rango de esta nueva función es el dominio de $f.$ En consecuencia, esta función es la inversa de $f,$ y escribimos $x={f}^{-1}\left(y\right).$ Dado que normalmente utilizamos la variable $x$ para denotar la variable independiente y $y$ para denotar la variable dependiente, a menudo intercambiamos los papeles de $x$ como $y,$ y se escribe $y={f}^{-1}\left(x\right).$ Representar la función inversa de esta manera también es útil más adelante cuando grafiquemos una función $f$ y su inversa ${f}^{-1}$ en los mismos ejes.

Funciones trigonométricas inversas

Las seis funciones trigonométricas básicas son periódicas y, por tanto, no son biunívocas. Sin embargo, si restringimos el dominio de una función trigonométrica a un intervalo en el que es biunívoca, podemos definir su inversa. Consideremos la función seno ([link]). La función seno es biunívoca en un número infinito de intervalos, pero la convención estándar es restringir el dominio al intervalo $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right].$ Al hacerlo, definimos la función seno inversa en el dominio $\left[-1,1\right]$ tal que para cualquier $x$ en el intervalo $\left[-1,1\right],$ la función seno inversa nos dice qué ángulo $\theta$ en el intervalo $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ satisface $\text{sen}{\rule{0.1em}{0ex}}\theta =x.$ Del mismo modo, podemos restringir los dominios de las otras funciones trigonométricas para definir las funciones trigonométricas inversas, que son funciones que nos dicen qué ángulo en un determinado intervalo tiene un valor trigonométrico específico.

Funciones exponenciales y logarítmicas

Abstract:
* Identificar la forma de una función exponencial.
* Explicar la diferencia entre los gráficos de ${x}^{b}$ y ${b}^{x}.$
* Reconocer el significado del número $e.$
* Identificar la forma de una función logarítmica.
* Explicar la relación entre las funciones exponenciales y logarítmicas.
* Describir cómo calcular un logaritmo en una base diferente.
* Identificar las funciones hiperbólicas, sus gráficos y las identidades básicas.

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales aparecen en muchas aplicaciones. Un ejemplo común es el crecimiento de la población.

El número *e*

Un tipo especial de función exponencial aparece con frecuencia en aplicaciones del mundo real. Para describirlo, consideremos el siguiente ejemplo de crecimiento exponencial, que surge del interés compuesto en una cuenta de ahorros. Supongamos que una persona invierte $P$ dólares en una cuenta de ahorros con una tasa de interés anual $r,$ calculada anualmente. La cantidad de dinero después de 1 año es

Funciones logarítmicas

Utilizando nuestra comprensión de las funciones exponenciales, podemos discutir sus inversas, que son las funciones logarítmicas. Resultan útiles cuando tenemos que considerar cualquier fenómeno que varía en un amplio rango de valores, como el pH en química o los decibeles en niveles de sonido.

Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas se definen en términos de ciertas combinaciones de ${e}^{x}$ y ${e}^{\text{–}x}.$ Estas funciones surgen de forma natural en diversas aplicaciones de ingeniería y física, como el estudio de las ondas de agua y las vibraciones de las membranas elásticas. Otro uso común de una función hiperbólica es la representación de una cadena o cable colgante, también conocida como catenaria ([link]). Si introducimos un sistema de coordenadas para que el punto bajo de la cadena se encuentre a lo largo del eje $y$, podemos describir la altura de la cadena en términos de una función hiperbólica. En primer lugar, definimos las funciones hiperbólicas.

Límites

Introducción

Un repaso previo del cálculo

Abstract:
* Describir el problema de la tangente y cómo condujo a la idea de la derivada.
* Explicar cómo interviene la idea de límite en la resolución del problema de la tangente.
* Reconocer una tangente a una curva en un punto como límite de líneas secantes.
* Identificar la velocidad instantánea como el límite de la velocidad media en un pequeño intervalo de tiempo.
* Describir el problema del área y cómo se resolvió con la integral.
* Explicar cómo interviene la idea de límite en la resolución del problema de área.
* Reconocer cómo las ideas de límite, derivada e integral condujeron a los estudios de series infinitas y al cálculo multivariable.

El problema de la tangente y el cálculo diferencial

La tasa de cambio es uno de los conceptos más importantes del cálculo. Comenzamos nuestra investigación de las tasas de cambio observando los gráficos de las tres líneas $f\left(x\right)=–2x-3,g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1,$ y $h\left(x\right)=2,$ se muestra en la [link].

El problema del área y el cálculo integral

Ahora nos centramos en una pregunta clásica del cálculo. Muchas cantidades en física, por ejemplo, las cantidades de trabajo, pueden interpretarse como el área bajo una curva. Esto nos lleva a plantear la pregunta: ¿cómo podemos calcular el área entre el gráfico de una función y el eje *x* en un intervalo ([link])?

Otros aspectos del cálculo

Hasta ahora, hemos estudiado funciones de una sola variable. Estas funciones pueden representarse visualmente mediante gráficos en dos dimensiones; sin embargo, no hay ninguna razón de peso para restringir nuestra investigación a dos dimensiones. Supongamos, por ejemplo, que en vez de determinar la velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas queremos determinar la velocidad de una roca disparada desde una catapulta en un momento dado, o de un avión que se mueve en tres dimensiones. Tal vez queramos graficar funciones de valor real de dos variables o determinar volúmenes de sólidos del tipo que se muestra en la [link]. Estos son solo algunos de los tipos de preguntas que pueden plantearse y responderse utilizando el cálculo multivariable. Informalmente, el cálculo multivariable puede caracterizarse como el estudio del cálculo de funciones de dos o más variables. Sin embargo, antes de explorar estas y otras ideas, primero debemos sentar las bases para el estudio del cálculo en una variable explorando el concepto de límite.

El límite de una función

Abstract:
* Describir el límite de una función utilizando la notación correcta.
* Utilizar una tabla de valores para estimar el límite de una función o para identificar que el límite no existe.
* Utilizar un gráfico para estimar el límite de una función o para identificar que el límite no existe.
* Definir los límites unilaterales y proporcionar ejemplos.
* Explicar la relación entre los límites unilaterales y bilaterales.
* Describir un límite infinito utilizando la notación correcta.
* Definir una asíntota vertical.

Definición intuitiva de un límite

Veamos primero cómo la función $f\left(x\right)=\left({x}^{2}-4\right)\text{/}\left(x-2\right)$ se comporta alrededor de $x=2$ en la [link]. A medida que los valores de *x* se acercan a 2 desde cualquier lado de 2, los valores de $y=f\left(x\right)$ se acercan a 4. Matemáticamente, decimos que el límite de $f\left(x\right)$ a medida que *x* se acerca a 2 es 4. Simbólicamente, expresamos este límite como

Existencia de un límite

Cuando consideremos el límite en el siguiente ejemplo, tenga en cuenta que para que exista el límite de una función en un punto, los valores de la función deben acercarse a un único valor de número real en ese punto. Si los valores funcionales no se aproximan a un único valor, entonces el límite no existe.

Límites unilaterales

A veces, indicar que el límite de una función no existe en un punto no nos proporciona suficiente información sobre el comportamiento de la función en ese punto concreto. Para ver esto, volvamos a revisar la función $g\left(x\right)=|x-2|\text{/}\left(x-2\right)$ introducido al principio de la sección (vea la [link](b)). Como elegimos valores de *x* cercanos a 2, $g\left(x\right)$ no se aproxima a un único valor, por lo que el límite a medida que *x* se aproxima a 2 no existe, es decir, $\underset{x\to 2}{\text{lím}}g\left(x\right)$ DNE. Sin embargo, esta afirmación por sí sola no nos da una imagen completa del comportamiento de la función en torno al valor *x* de 2. Para proporcionar una descripción más precisa, introducimos la idea de un límite unilateral. Para todos los valores a la izquierda de 2 (o *el lado negativo de* 2), $g\left(x\right)=-1.$ Por lo tanto, a medida que *x* se acerca a 2 por la izquierda, $g\left(x\right)$ se acerca a -1. Matemáticamente, decimos que el límite es -1 a medida que *x* se acerca a 2 por la izquierda. Simbólicamente, expresamos esta idea como

Límites infinitos

Evaluar el límite de una función en un punto o evaluar el límite de una función por la derecha y por la izquierda en un punto nos ayuda a caracterizar el comportamiento de una función alrededor de un valor dado. Como veremos, también podemos describir el comportamiento de las funciones que no tienen límites finitos.

Las leyes de los límites

Abstract:
* Reconocer las leyes básicas de los límites.
* Utilizar las leyes de los límites para evaluar el límite de una función.
* Evaluar el límite de una función mediante la factorización.
* Utilizar las leyes de los límites para evaluar el límite de un polinomio o una función racional.
* Evaluar el límite de una función mediante la factorización o el uso de conjugados.
* Evaluar el límite de una función utilizando el teorema del emparedado.

Evaluación de los límites con las leyes de los límites

Las dos primeras leyes de los límites se expusieron en [link] y las repetimos aquí. Estos resultados básicos, junto con las demás leyes de los límites, nos permiten evaluar los límites de muchas funciones algebraicas.

Límites de funciones polinómicas y racionales

A estas alturas ya se habrá dado cuenta de que en cada uno de los ejemplos anteriores, se dio este caso: $\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)=f\left(a\right).$ Esto no siempre es así, pero lo es para todos los polinomios en cualquier elección de *a* y para todas las funciones racionales en todos los valores de *a* para los que está definida la función racional.

Técnicas adicionales de evaluación de límites

Como vimos, podemos evaluar fácilmente los límites de los polinomios y los límites de algunas funciones racionales (pero no todas) por sustitución directa. Sin embargo, como vimos en la sección introductoria sobre los límites, es en efecto posible que $\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)$ exista cuando $f\left(a\right)$ es indefinida. La siguiente observación nos permite evaluar muchos límites de este tipo:

El teorema del emparedado

Las técnicas que hemos desarrollado hasta ahora funcionan muy bien para las funciones algebraicas, pero aún no podemos evaluar los límites de funciones trigonométricas muy básicas. El siguiente teorema, llamado teorema del emparedado, resulta muy útil para establecer los límites trigonométricos básicos. Este teorema nos permite calcular los límites "comprimiendo" una función, con un límite en un punto desconocido *a* entre dos funciones que tienen un límite común conocido en *a*. La [link] ilustra esta idea.

Continuidad

Abstract:
* Explicar las tres condiciones de continuidad en un punto.
* Describir tres tipos de discontinuidades.
* Definir la continuidad en un intervalo.
* Enunciar el teorema de los límites de las funciones compuestas.
* Dar un ejemplo del teorema del valor intermedio.

Continuidad en un punto

Antes de ver una definición formal de lo que significa que una función sea continua en un punto, consideremos varias funciones que no cumplen nuestra noción intuitiva de lo que significa ser continua en un punto. A continuación, creamos una lista de condiciones que evitan estos fallos.

Tipos de discontinuidades

Como hemos visto en el [link] y el [link], las discontinuidades adquieren diferentes aspectos. Clasificamos los tipos de discontinuidades que hemos visto hasta ahora como discontinuidades removibles, discontinuidades infinitas o discontinuidades de salto. Intuitivamente, una discontinuidad removible es aquella para la cual hay un agujero en el gráfico, una discontinuidad de salto es aquella no infinita en la que las secciones de la función no se encuentran, y una discontinuidad infinita es la que se halla en una asíntota vertical. La [link] ilustra las diferencias de estos tipos de discontinuidades. Aunque estos términos proporcionan una forma práctica de describir tres tipos comunes de discontinuidades, hay que tener en cuenta que no todas las discontinuidades encajan perfectamente en estas categorías.

Continuidad en un intervalo

Ahora que hemos explorado el concepto de continuidad en un punto, extendamos esa idea a la continuidad en un intervalo. Mientras desarrollamos esta idea para diferentes tipos de intervalos, puede ser útil tener en mente la idea intuitiva de que una función es continua en un intervalo si podemos usar un lápiz para trazar la función entre dos puntos cualesquiera del intervalo sin levantar el lápiz del papel. Como preparación para definir la continuidad en un intervalo, empecemos por ver la definición de lo que significa que una función sea continua por la derecha o por la izquierda en un punto.

Prueba

Comenzamos demostrando que $\text{cos}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ es continua en todo número real. Para ello, debemos demostrar que $\underset{x\to a}{\text{lím}}\text{cos}{\rule{0.1em}{0ex}}x=\text{cos}{\rule{0.1em}{0ex}}a$ para todos los valores de *a*.

El teorema del valor intermedio

Funciones continuas sobre intervalos de la forma $\left[a,b\right],$ donde *a* y *b* son números reales y presentan muchas propiedades útiles. A lo largo de nuestro estudio del cálculo, nos encontraremos con muchos teoremas poderosos relativos a dichas funciones. El primero de estos teoremas es el teorema del valor intermedio.

La definición precisa de un límite

Abstract:
* Describir la definición épsilon-delta de un límite.
* Aplicar la definición épsilon-delta para hallar el límite de una función.
* Describir las definiciones épsilon-delta de los límites unilaterales y de los límites infinitos.
* Utilizar la definición épsilon-delta para demostrar las leyes de los límites.

Cuantificar la cercanía

Antes de exponer la definición formal de un límite, debemos introducir algunas ideas preliminares. Recordemos que la distancia entre dos puntos *a* y *b* en una línea numérica viene dada por $|a-b|.$

Prueba de las leyes de los límites

Ahora demostraremos cómo utilizar la definición épsilon-delta de un límite para construir una prueba rigurosa de una de las leyes de límites. La desigualdad del triángulo se utiliza en un punto clave de la prueba, así que primero revisamos esta propiedad clave del valor absoluto.

Límites unilaterales e infinitos

De la misma manera que primero adquirimos una comprensión intuitiva de los límites y luego pasamos a una definición más rigurosa de un límite, ahora volvemos a examinar los límites unilaterales. Para ello, modificamos la definición épsilon-delta de un límite para dar definiciones formales épsilon-delta para los límites por la derecha y la izquierda en un punto. Estas definiciones solo requieren ligeras modificaciones respecto a la definición del límite. En la definición del límite por la derecha, la desigualdad $0 sustituye a $0<|x–a|<\delta ,$ que asegura que solo consideramos los valores de *x* que son mayores que (a la derecha de) *a*. Del mismo modo, en la definición del límite por la izquierda, la desigualdad $-\delta  sustituye a $0<|x–a|<\delta ,$ que garantiza que solo consideremos los valores de *x* que son menores que (a la izquierda de) *a*.

Derivadas

Introducción

Definir la derivada

Abstract:
* Reconocer el significado de la tangente a una curva en un punto.
* Calcular la pendiente de una línea tangente.
* Identificar la derivada como el límite de un cociente de diferencias.
* Calcular la derivada de una función dada en un punto.
* Describir la velocidad como una tasa de cambio.
* Explicar la diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea.
* Estimar la derivada a partir de una tabla de valores.

Rectas tangentes

Comenzamos nuestro estudio del cálculo revisando la noción de rectas secantes y rectas tangentes. Recordemos que utilizamos la pendiente de una línea secante a una función en un punto $\left(a,f\left(a\right)\right)$ para estimar la tasa de cambio, o la tasa a la que cambia una variable en relación con otra. Podemos obtener la pendiente de la secante eligiendo un valor de $x$ cerca de $a$ y dibujar una línea a lo largo de los puntos $\left(a,f\left(a\right)\right)$ y $\left(x,f\left(x\right)\right),$ como se muestra en la [link]. La pendiente de esta línea viene dada por una ecuación en forma de cociente de diferencias:

La derivada de una función en un punto

El tipo de límite que calculamos para hallar la pendiente de la línea tangente a una función en un punto se da en muchas aplicaciones de varias disciplinas. Estas aplicaciones incluyen la velocidad y la aceleración en física, las funciones de ganancia marginal en los negocios y las tasas de crecimiento en biología. Este límite se da con tanta frecuencia que damos a este valor un nombre especial: la derivada. El proceso para encontrar una derivada se denomina diferenciación.

Velocidades y tasas de cambio

Ahora que podemos evaluar una derivada, podemos utilizarla en aplicaciones de velocidad. Recordemos que si $s\left(t\right)$ es la posición de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas, la velocidad media del objeto en un intervalo de tiempo $\left[a,t\right]$ si $t>a$ o $\left[t,a\right]$ si $t viene dada por el cociente de diferencias

La derivada como función

Abstract:
* Definir la función derivada de una función dada.
* Graficar una función derivada a partir del gráfico de una función dada.
* Indique la relación entre las derivadas y la continuidad.
* Describe tres condiciones en las que una función no tiene derivada.
* Explica el significado de una derivada de orden superior.

Funciones derivadas

La función derivada da la derivada de una función en cada punto del dominio de la función original para la que se define la derivada. Podemos definir formalmente una función derivada como sigue.

Graficar una derivada

Ya hablamos de cómo graficar una función, así que dada la ecuación de una función o la ecuación de una función derivada, podemos graficarla. Dadas ambas, esperaríamos ver una correspondencia entre los gráficos de estas dos funciones, ya que ${f}^{\prime }\left(x\right)$ da la tasa de cambio de una función $f\left(x\right)$ (o pendiente de la línea tangente a $f\left(x\right)\right)$

Derivadas y continuidad

Ahora que podemos graficar una derivada, vamos a examinar el comportamiento de los gráficos. En primer lugar, consideraremos la relación entre diferenciabilidad y continuidad. Veremos que si una función es diferenciable en un punto, debe ser continua en el mismo, sin embargo, una función que es continua en un punto no tiene por qué ser diferenciable en él. De hecho, una función puede ser continua en un punto y no ser diferenciable en ese punto por una entre varias razones.

Derivadas de orden superior

La derivada de una función es a su vez una función, por lo que podemos encontrar la derivada de una derivada. Por ejemplo, la derivada de una función de posición es la tasa de cambio de posición, o velocidad. La derivada de la velocidad es la tasa de cambio de la velocidad, que es la aceleración. La nueva función obtenida al diferenciar la derivada se llama segunda derivada. Además, podemos seguir tomando derivadas para obtener la tercera derivada, la cuarta derivada, etc. En conjunto, se denominan derivadas de orden superior. La notación para las derivadas de orden superior de $y=f\left(x\right)$ puede expresarse en cualquiera de las siguientes formas:

Reglas de diferenciación

Abstract:
* Enunciar las reglas de la constante, del múltiplo constante y de la potencia.
* Aplicar las reglas de la suma y la diferencia para combinar derivadas.
* Utilizar la regla del producto para encontrar la derivada de un producto de funciones.
* Utilizar la regla del cociente para encontrar la derivada de un cociente de funciones.
* Extender la regla de la potencia a funciones con exponentes negativos.
* Combinar las reglas de diferenciación para encontrar la derivada de una función polinómica o de una función racional.

Reglas básicas

Las funciones $f\left(x\right)=c$ y $g\left(x\right)={x}^{n}$ donde $n$ es un número entero positivo son los bloques de construcción a partir de los cuales se construyen todos los polinomios y funciones racionales. Para encontrar derivadas de polinomios y funciones racionales de forma eficiente sin recurrir a la definición de límite de la derivada, debemos primero desarrollar fórmulas para diferenciar estas funciones básicas.

La regla de la potencia

Ya demostramos que

Reglas de la suma, la diferencia y del múltiplo constante

Encontramos nuestras siguientes reglas de diferenciación observando las derivadas de sumas, diferencias y múltiplos constantes de funciones. Al igual que cuando trabajamos con funciones, hay reglas que facilitan encontrar derivadas de funciones que sumamos, restamos o multiplicamos por una constante. Estas reglas se resumen en el siguiente teorema.

La regla del producto

Ya que examinamos las reglas básicas, podemos empezar a ver algunas de las reglas más avanzadas. La primera examina la derivada del producto de dos funciones. Aunque podría ser tentador asumir que la derivada del producto es el producto de las derivadas, de forma similar a las reglas de la suma y la diferencia, la regla del producto no sigue este patrón. Para ver por qué no podemos utilizarlo, analicemos la función $f\left(x\right)={x}^{2},$ cuya derivada es ${f}^{\prime }\left(x\right)=2x$ y no $\frac{d}{dx}\left(x\right).\frac{d}{dx}\left(x\right)=1.1=1.$

La regla del cociente

Después de haber desarrollado y practicado la regla del producto, ahora consideraremos la diferenciación de cocientes de funciones. Como vemos en el siguiente teorema, la derivada del cociente no es el cociente de las derivadas, sino que es la derivada de la función del numerador multiplicada por la función del denominador menos la derivada de la función del denominador multiplicada por la función del numerador, todo ello dividido entre el cuadrado de la función del denominador. Para entender mejor por qué no podemos tomar simplemente el cociente de las derivadas, hay que tener en cuenta que

Combinación de reglas de diferenciación

Como vimos en los ejemplos de esta sección, rara vez se nos pide que apliquemos una sola regla de diferenciación para encontrar la derivada de una función dada. En este punto, combinando las reglas de diferenciación, podemos encontrar las derivadas de cualquier función polinómica o racional. Más adelante nos encontraremos con combinaciones más complejas de reglas de diferenciación. Una regla de oro para aplicar varias reglas es aplicarlas en el orden inverso al de la evaluación de la función.

Las derivadas como tasas de cambio

Abstract:
* Determinar un nuevo valor de una cantidad a partir del valor anterior y la cantidad de cambio.
* Calcular la tasa de cambio promedio y explicar en qué se diferencia de la tasa de cambio instantánea.
* Aplicar las tasas de cambio al desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta.
* Predecir la población futura a partir del valor actual y la tasa de crecimiento de la población.
* Utilizar las derivadas para calcular el costo marginal y los ingresos en una situación comercial.

Fórmula de la cantidad de cambio

Una de las aplicaciones de las derivadas es estimar un valor desconocido de una función en un punto utilizando un valor conocido de la función en algún punto dado junto con su tasa de cambio en el punto dado. Si los valores de $f\left(x\right)$ es una función definida en un intervalo $\left[a,a+h\right],$ entonces la cantidad de cambio de $f\left(x\right)$ sobre el intervalo es el cambio en los valores $y$ de la función en ese intervalo y viene dada por

Movimiento a lo largo de una línea

Otro uso de la derivada es el de analizar el movimiento a lo largo de una línea. Describimos la velocidad como la tasa de cambio de posición. Si tomamos la derivada de la velocidad, podemos encontrar la aceleración, o la tasa de cambio de la velocidad. También es importante presentar la idea de rapidez, que es la magnitud de la velocidad. Así, podemos enunciar las siguientes definiciones matemáticas.

Cambio de población

Además de analizar la velocidad, la rapidez, la aceleración y la posición, podemos utilizar las derivadas para analizar varios tipos de poblaciones, incluso aquellas tan diversas como colonias de bacterias y ciudades. Podemos utilizar una población actual, junto con la tasa de crecimiento, para estimar el tamaño de una población en el futuro. La tasa de crecimiento de la población es la tasa de cambio de una población y, en consecuencia, puede representarse mediante la derivada del tamaño de la población.

Cambios en los costos e ingresos

Además de analizar el movimiento a lo largo de una línea y el crecimiento de la población, las derivadas se usan para analizar los cambios en los costos, los ingresos y las ganancias. El concepto de función marginal es habitual en el ámbito de la empresa y la economía e implica el uso de derivadas. El costo marginal es la derivada de la función de costos. El ingreso marginal es la derivada de la función de ingresos. La ganancia marginal es la derivada de la función de ganancias, que se basa en la función de costos y la función de ingresos.

Derivadas de funciones trigonométricas

Abstract:
* Encontrar las derivadas de las funciones seno y coseno.
* Encontrar las derivadas de las funciones trigonométricas estándar.
* Calcular las derivadas de orden superior del seno y del coseno.

Derivadas de las funciones seno y coseno

Comenzamos nuestra exploración de la derivada de la función seno utilizando la fórmula para hacer una estimación razonable de su derivada. Recordemos que para una función $f\left(x\right),$

Derivadas de otras funciones trigonométricas

Como las cuatro funciones trigonométricas restantes pueden expresarse como cocientes que implican al seno, al coseno o a ambos, podemos utilizar la regla del cociente para encontrar fórmulas para sus derivadas.

Derivadas de orden superior

Las derivadas de orden superior de $\text{sen}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ y $\text{cos}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ siguen un patrón de repetición. Siguiendo el patrón, podemos encontrar cualquier derivada de orden superior de $\text{sen}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ y $\text{cos}{\rule{0.1em}{0ex}}x.$

La regla de la cadena

Abstract:
* Indique la regla de la cadena para la composición de dos funciones.
* Aplique la regla de la cadena junto con la regla de la potencia.
* Aplique correctamente la regla de la cadena y las reglas del producto/cociente en combinación cuando ambas son necesarias.
* Reconozca la regla de la cadena para una composición de tres funciones o más.
* Describa la prueba de la regla de la cadena.

Derivar la regla de la cadena

Cuando tenemos una función que es una composición de dos o más funciones, podríamos utilizar todas las técnicas que ya hemos aprendido para diferenciarla. Sin embargo, utilizar todas esas técnicas para descomponer una función en partes más simples que podamos diferenciar puede resultar tedioso. En vez de eso, utilizamos la regla de la cadena, que establece que la derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior evaluada en la función interior por la derivada de la función interior.

La regla de la cadena y la regla de la potencia combinadas

Ahora podemos aplicar la regla de la cadena a las funciones compuestas, pero tenga en cuenta que, a menudo, tenemos que utilizarla con otras reglas. Por ejemplo, para hallar las derivadas de funciones de la forma $h\left(x\right)={\left(g\left(x\right)\right)}^{n},$ tenemos que utilizar la regla de la cadena combinada con la regla de la potencia. Para hacerlo, podemos pensar en $h\left(x\right)={\left(g\left(x\right)\right)}^{n}$ como $f\left(g\left(x\right)\right)$ donde $f\left(x\right)={x}^{n}.$ Entonces ${f}^{\prime }\left(x\right)=n{x}^{n–1}.$ Por lo tanto, ${f}^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)=n{\left(g\left(x\right)\right)}^{n–1}.$ Esto nos lleva a la derivada de una función de potencia utilizando la regla de la cadena,

Combinar la regla de la cadena con otras reglas

Ahora que podemos combinar la regla de la cadena y la regla de la potencia, examinamos cómo combinar la regla de la cadena con las otras reglas que aprendimos. En particular, podemos utilizarla con las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas o con la regla del producto.

Compuestos de tres o más funciones

Ahora podemos combinar la regla de la cadena con otras reglas para diferenciar funciones, pero cuando diferenciamos la composición de tres o más funciones, necesitamos aplicar la regla de la cadena más de una vez. Si consideramos esta situación en términos generales, podemos generar una fórmula que no necesitaremos recordar, ya que simplemente podemos aplicar la regla de la cadena varias veces.

La regla de la cadena mediante la notación de Leibniz

Al igual que con otras derivadas que ya vimos, podemos expresar la regla de la cadena utilizando la notación de Leibniz. Esta notación para la regla de la cadena se utiliza mucho en aplicaciones de física.

Derivadas de funciones inversas

Abstract:
* Calcular la derivada de una función inversa.
* Reconocer las derivadas de las funciones trigonométricas inversas estándar.

La derivada de una función inversa

Comenzamos considerando una función y su inversa. Si los valores de $f\left(x\right)$ es invertible y diferenciable, parece razonable que la inversa de $f\left(x\right)$ también es diferenciable. La [link] muestra la relación entre una función $f\left(x\right)$ y su inversa ${f}^{-1}\left(x\right).$ Vea el punto $\left(a,{f}^{-1}\left(a\right)\right)$ en el gráfico de ${f}^{-1}\left(x\right)$ que tiene una línea tangente con una pendiente de ${\left({f}^{-1}\right)}^{\prime }\left(a\right)=\frac{p}{q}.$ Este corresponde al punto $\left({f}^{-1}\left(a\right),a\right)$ en el gráfico de $f\left(x\right)$ que tiene una línea tangente con una pendiente de ${f}^{\prime }\left({f}^{-1}\left(a\right)\right)=\frac{q}{p}.$ Por lo tanto, si ${f}^{-1}\left(x\right)$ es diferenciable en $a,$ entonces debe ser el caso que

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Ahora nos centraremos en la búsqueda de derivadas de funciones trigonométricas inversas. Estas derivadas resultarán muy valiosas en el estudio de la integración más adelante en este texto. Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas son bastante sorprendentes, ya que sus derivadas son en realidad funciones algebraicas. Anteriormente, se demostró que las derivadas de funciones algebraicas son funciones algebraicas y que las derivadas de funciones trigonométricas son funciones trigonométricas. Aquí, por primera vez, vemos que la derivada de una función no tiene por qué ser del mismo tipo que la función original.

Diferenciación implícita

Abstract:
* Encontrar la derivada de una función complicada utilizando la diferenciación implícita.
* Usar la diferenciación implícita para determinar la ecuación de una línea tangente.

Diferenciación implícita

En la mayoría de las discusiones de matemáticas, si la variable dependiente $y$ es una función de la variable independiente $x,$ expresamos *y* en términos de $x.$ Si este es el caso, decimos que $y$ es una función explícita de $x.$ Por ejemplo, cuando escribimos la ecuación $y={x}^{2}+1,$ estamos definiendo *y* explícitamente en términos de $x.$ Por otro lado, si la relación entre la función $y$ y la variable $x$ se expresa mediante una ecuación en la que $y$ no se expresa completamente en términos de $x,$ decimos que la ecuación define *y* implícitamente en términos de $x.$ Por ejemplo, la ecuación $y-{x}^{2}=1$ define la función $y={x}^{2}+1$ implícitamente.

Encontrar líneas tangentes de forma implícita

Ya vimos la técnica de la diferenciación implícita y ahora podemos aplicarla al problema de encontrar ecuaciones de rectas tangentes a curvas descritas por ecuaciones.

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

Abstract:
* Calcular la derivada de las funciones exponenciales.
* Calcular la derivada de las funciones logarítmicas.
* Utilizar la diferenciación logarítmica para determinar la derivada de una función.

Derivada de la función exponencial

Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos calcular las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. A la hora de desarrollar estas fórmulas, tenemos que hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas de que estos supuestos se mantienen están fuera del alcance de este curso.

Derivada de la función logarítmica

Ahora que tenemos la derivada de la función exponencial natural, podemos utilizar la diferenciación implícita para calcular la derivada de su inversa, la función de logaritmo natural.

Diferenciación logarítmica

En este punto, podemos tomar derivadas de funciones de la forma $y={\left(g\left(x\right)\right)}^{n}$ para determinados valores de $n,$ así como funciones de la forma $y={b}^{g\left(x\right)},$ donde $b>0$ y $b\ne 1.$ Desafortunadamente, todavía no conocemos las derivadas de funciones como $y={x}^{x}$ o $y={x}^{\pi }.$ Estas funciones requieren una técnica llamada diferenciación logarítmica, que nos permite diferenciar cualquier función de la forma $h\left(x\right)=g{\left(x\right)}^{f\left(x\right)}.$ También se puede utilizar para convertir un problema de diferenciación muy complejo en uno más sencillo, como calcular la derivada de $y=\frac{x\sqrt{2x+1}}{{e}^{x}{\text{sen}}^{3}x}.$ Esbozamos esta técnica en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Aplicaciones de las derivadas

Introducción

Tasas relacionadas

Abstract:
* Expresar cantidades cambiantes en términos de derivadas.
* Hallar relaciones entre las derivadas en un problema dado.
* Utilizar la regla de la cadena para encontrar la tasa de cambio de una cantidad que depende de la tasa de cambio de otras cantidades.

Establecer problemas de tasas relacionadas

En muchas aplicaciones del mundo real, las cantidades relacionadas cambian con respecto al tiempo. Por ejemplo, si volvemos a considerar el ejemplo del globo, podemos decir que la tasa de cambio del volumen, $V,$ está relacionada con la tasa de cambio del radio, $r.$ En este caso, decimos que $\frac{dV}{dt}$ y $\frac{dr}{dt}$ son tasas relacionadas porque *V* está relacionada con *r*. Aquí estudiamos varios ejemplos de cantidades relacionadas que cambian con respecto al tiempo y vemos cómo calcular una tasa de cambio dada otra tasa de cambio.

Ejemplos del proceso

Pongamos ahora en práctica la estrategia que acabamos de describir para resolver varios problemas de tasas relacionadas. El primer ejemplo es el de un avión que sobrevuela la ciudad. La relación que estudiamos es la que existe entre la velocidad del avión y la velocidad a la que cambia la distancia entre el avión y una persona en el suelo.

Aproximaciones lineales y diferenciales

Abstract:
* Describir la aproximación lineal a una función en un punto.
* Escribir la linealización de una función dada.
* Dibujar un gráfico que ilustre el uso de diferenciales para aproximar el cambio de una cantidad.
* Calcular el error relativo y el error porcentual al utilizar una aproximación diferencial.

Aproximación lineal de una función en un punto

Considere una función $f$ que es diferenciable en un punto $x=a.$ Recordemos que la línea tangente al gráfico de $f$ en $a$ está dada por la ecuación

Diferenciales

Hemos visto que se pueden utilizar aproximaciones lineales para estimar los valores de las funciones. También pueden utilizarse para estimar la cantidad de cambios en el valor de una función como resultado de un pequeño cambio en la entrada. Para discutir esto más formalmente, definimos un concepto relacionado: los diferenciales. Los diferenciales nos proporcionan una forma de estimar la cantidad que cambia una función como resultado de un pequeño cambio en los valores de entrada.

Cálculo del grado de error

Cualquier tipo de medición es propensa a un cierto grado de error. En muchas aplicaciones, ciertas cantidades se calculan a partir de mediciones. Por ejemplo, el área de un círculo se calcula midiendo el radio del mismo. Un error en la medición del radio conduce a un error en el valor calculado del área. Aquí examinamos este tipo de error y estudiamos cómo se pueden utilizar los diferenciales para estimar el error.

Máximos y mínimos

Abstract:
* Definir los extremos absolutos.
* Definir los extremos locales.
* Explicar cómo encontrar los puntos críticos de una función en un intervalo cerrado.
* Describir cómo utilizar los puntos críticos para localizar los extremos absolutos en un intervalo cerrado.

Extremos absolutos

Considere la función $f\left(x\right)={x}^{2}+1$ en el intervalo $\left(\text{−}\infty ,\infty \right).$ Dado que $x\to \text{±}\infty ,$ $f\left(x\right)\to \infty .$ Por lo tanto, la función no tiene un mayor valor. Sin embargo, como ${x}^{2}+1\ge 1$ para todos los números reales $x$ y ${x}^{2}+1=1$ cuando $x=0,$ la función tiene un valor mínimo, 1, cuando $x=0.$ Decimos que 1 es el mínimo absoluto de $f\left(x\right)={x}^{2}+1$ y se produce en $x=0.$ Decimos que $f\left(x\right)={x}^{2}+1$ no tiene un máximo absoluto (vea la siguiente figura).

Extremos locales y puntos críticos

Considere la función $f$ se muestra en la [link]. El gráfico puede describirse como dos montañas con un valle en el centro. El valor máximo absoluto de la función se produce en el pico más alto, en $x=2.$ Sin embargo, el que $x=0$ es también un punto de interés. Aunque $f\left(0\right)$ no es el mayor valor de $f,$ el valor $f\left(0\right)$ es mayor que $f\left(x\right)$ para todo $x$ cerca de 0. Decimos que $f$ tiene un máximo local en $x=0.$ Del mismo modo, la función $f$ no tiene un mínimo absoluto, pero sí un mínimo local en $x=1$ porque $f\left(1\right)$ es menor que $f\left(x\right)$ para $x$ cerca de 1.

Localización de extremos absolutos

El teorema del valor extremo establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo y un mínimo absolutos. Como se muestra en la [link], uno o ambos extremos absolutos podrían ocurrir en un punto extremo. Sin embargo, si un extremo absoluto no ocurre en un punto extremo, debe ocurrir en un punto interior, en cuyo caso el extremo absoluto es un extremo local. Por lo tanto, mediante el [link] el punto $c$ en el que se produce el extremo local debe ser un punto crítico. Resumimos este resultado en el siguiente teorema.

El teorema del valor medio

Abstract:
* Explicar el significado del teorema de Rolle.
* Describir el significado del teorema del valor medio.
* Indicar tres consecuencias importantes del teorema del valor medio.

Teorema de Rolle

De manera informal, el teorema de Rolle afirma que si las salidas de una función diferenciable $f$ son iguales en los puntos extremos de un intervalo, entonces debe haber un punto interior $c$ donde $f\prime \left(c\right)=0.$ La [link] ilustra este teorema.

El teorema del valor medio y su significado

El teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio. En el teorema de Rolle, consideramos funciones diferenciables $f$ definidas en un intervalo cerrado $\left[a,b\right]$ con $f\left(a\right)=f\left(b\right)$. El teorema del valor medio generaliza el teorema de Rolle al considerar funciones que no tienen necesariamente el mismo valor en los extremos. En consecuencia, podemos considerar el Teorema del Valor Medio como una versión inclinada del teorema de Rolle ([link]). El teorema del valor medio establece que si $f$ es continua en el intervalo cerrado $\left[a,b\right]$ y diferenciable en el intervalo abierto $\left(a,b\right),$ entonces existe un punto $c\in \left(a,b\right)$ tal que la línea tangente al gráfico de $f$ en $c$ es paralela a la línea secante que une $\left(a,f\left(a\right)\right)$ y $\left(b,f\left(b\right)\right).$

Corolarios del teorema del valor medio

Veamos ahora tres corolarios del teorema del valor medio. Estos resultados tienen consecuencias sustanciales, que utilizaremos en las próximas secciones.

Las derivadas y la forma de un gráfico

Abstract:
* Explicar cómo el signo de la primera derivada afecta a la forma del gráfico de una función.
* Enunciar la prueba de la primera derivada para los puntos críticos.
* Utilizar la concavidad y los puntos de inflexión para explicar cómo el signo de la segunda derivada afecta a la forma del gráfico de una función.
* Explicar la prueba de concavidad para una función en un intervalo abierto.
* Explicar la relación entre una función y sus derivadas primera y segunda.
* Enunciar la prueba de la segunda derivada para los extremos locales.

La prueba de la primera derivada

El corolario $3$ del teorema del valor medio demostró que si la derivada de una función es positiva en un intervalo $I$ entonces la función es creciente en $I.$ Por otro lado, si la derivada de la función es negativa en un intervalo $I,$ entonces la función es decreciente en $I$ como se muestra en la siguiente figura.

Concavidad y puntos de inflexión

Ahora sabemos cómo determinar si una función es creciente o decreciente. Sin embargo, hay otra cuestión a tener en cuenta respecto a la forma del gráfico de una función. Si el gráfico se curva, ¿lo hace hacia arriba o hacia abajo? Esta noción se denomina concavidad de la función.

La prueba de la segunda derivada

La prueba de la primera derivada proporciona una herramienta analítica para encontrar los extremos locales, pero la segunda derivada también puede utilizarse para localizar los valores extremos. Utilizar la segunda derivada puede ser a veces un método más sencillo que utilizar la primera derivada.

Límites al infinito y asíntotas

Abstract:
* Calcular el límite de una función a medida que $x$ aumenta o disminuye sin límites.
* Reconocer una asíntota horizontal en el gráfico de una función.
* Estimar el comportamiento final de una función cuando $x$ aumenta o disminuye sin límites.
* Reconocer una asíntota oblicua en el gráfico de una función.
* Analizar una función y sus derivadas para dibujar su gráfico.

Límites al infinito

Comenzamos examinando qué significa que una función tenga un límite finito al infinito. A continuación, estudiamos la idea de una función con un límite infinito al infinito. Ya en la Introducción a funciones y gráficos vimos las asíntotas verticales; en esta sección tratamos las asíntotas horizontales y oblicuas.

Comportamiento final

El comportamiento de una función cuando $x\to \text{±}\infty$ se denomina comportamiento final de la función. En cada uno de sus extremos, la función podría demostrar uno de los siguientes tipos de comportamiento:

Pautas para dibujar el gráfico de una función

Ahora tenemos suficientes herramientas analíticas para dibujar los gráficos de una gran variedad de funciones algebraicas y trascendentales. Antes de mostrar cómo graficar funciones específicas, veamos una estrategia general cuando se grafica cualquier función.

Problemas de optimización aplicados

Abstract: * Establecer y resolver problemas de optimización en varios campos aplicados.

Resolución de problemas de optimización en un intervalo cerrado y acotado

La idea básica de los problemas de optimización que siguen es la misma. Tenemos una cantidad concreta que nos interesa maximizar o minimizar. Sin embargo, también tenemos alguna condición adicional que debe satisfacerse. Por ejemplo, en el [link], estamos interesados en maximizar el área de un jardín rectangular. Ciertamente, si seguimos ampliando las longitudes laterales del jardín, la superficie seguirá siendo mayor. Sin embargo, ¿qué pasa si tenemos alguna restricción en cuanto a la cantidad de vallas que podemos utilizar para el perímetro? En este caso, no podemos hacer el jardín tan grande como queremos. Veamos cómo podemos maximizar el área de un rectángulo sujeto a alguna restricción en el perímetro.

Resolución de problemas de optimización cuando el intervalo no es cerrado o no está acotado

En los ejemplos anteriores, hemos considerado funciones sobre dominios cerrados y acotados. En consecuencia, por el teorema del valor extremo, teníamos la garantía de que las funciones tenían extremos absolutos. Consideremos ahora las funciones cuyo dominio no es ni cerrado ni acotado.

La regla de L'Hôpital

Abstract:
* Reconocer cuándo aplicar la regla de L'Hôpital.
* Identificar las formas indeterminadas producidas por cocientes, productos, restas y potencias, y aplicar la regla de L'Hôpital en cada caso.
* Describir las tasas de crecimiento relativas de las funciones.

Aplicación de la regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital puede utilizarse para evaluar límites que implican el cociente de dos funciones. Considere

Otras formas indeterminadas

La regla de L'Hôpital es muy útil para evaluar los límites que implican las formas indeterminadas $\frac{0}{0}$ y $\infty \text{/}\infty .$ Sin embargo, también podemos utilizar la regla de L'Hôpital para ayudar a evaluar los límites que involucran otras formas indeterminadas que surgen al evaluar los límites. Las expresiones $0.\infty ,$ $\infty -\infty ,$ ${1}^{\infty },$ ${\infty }^{0},$ y ${0}^{0}$ se consideran formas indeterminadas. Estas expresiones no son números reales. Más bien, representan formas que surgen al intentar evaluar ciertos límites. A continuación nos daremos cuenta de por qué son formas indeterminadas y luego entenderemos cómo utilizar la regla de L'Hôpital en estos casos. La idea clave es que debemos reescribir las formas indeterminadas de tal manera que lleguemos a la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ o $\infty \text{/}\infty .$

Tasas de crecimiento de las funciones

Supongamos que las funciones $f$ y $g$ ambas se acercan al infinito como $x\to \infty .$ Aunque los valores de ambas funciones se vuelven arbitrariamente grandes a medida que los valores de $x$ se hacen lo suficientemente grandes, a veces una función crece más rápido que la otra. Por ejemplo, $f\left(x\right)={x}^{2}$ y $g\left(x\right)={x}^{3}$ ambas se acercan al infinito como $x\to \infty .$ Sin embargo, como se muestra en la siguiente tabla, los valores de ${x}^{3}$ crecen mucho más rápido que los valores de ${x}^{2}.$

Método de Newton

Abstract:
* Describir los pasos del método de Newton.
* Explicar qué significa un proceso iterativo.
* Reconocer cuando el método de Newton no funciona.
* Aplicar procesos iterativos en diversas situaciones.

Descripción del método de Newton

Consideremos la tarea de encontrar las soluciones de $f\left(x\right)=0.$ Si $f$ es el polinomio de primer grado $f\left(x\right)=ax+b,$ entonces la solución de $f\left(x\right)=0$ está dado por la fórmula $x=-\frac{b}{a}.$ Si $f$ es el polinomio de segundo grado $f\left(x\right)=a{x}^{2}+bx+c,$ las soluciones de $f\left(x\right)=0$ pueden hallarse utilizando la fórmula cuadrática. Sin embargo, en los polinomios de grado $3$ o más, hallar raíces de $f$ es más complicado. Aunque existen fórmulas para los polinomios de tercer y cuarto grado, son bastante complicadas. Además, si $f$ es un polinomio de grado $5$ o mayor, sabemos que tales fórmulas no existen. Por ejemplo, consideremos la función

Fallos del método de Newton

Normalmente, el método de Newton se utiliza para hallar las raíces con bastante rapidez. Sin embargo, las cosas pueden salir mal. Algunas de las razones por las que el método de Newton puede fallar son las siguientes:

Otros procesos iterativos

Como se ha mencionado anteriormente, el método de Newton es un tipo de proceso iterativo. Ahora veremos un ejemplo de un tipo diferente de proceso iterativo.

Antiderivadas

Abstract:
* Encontrar la antiderivada general de una función dada.
* Explicar los términos y la notación utilizada para una integral indefinida.
* Enunciar la regla de la potencia para integrales.
* Utilizar la antidiferenciación para resolver problemas sencillos de valor inicial.

El inverso de la diferenciación

En este punto ya sabemos cómo encontrar las derivadas de varias funciones. Ahora nos preguntamos lo contrario. Dada una función $f,$ ¿cómo podemos encontrar una función con derivada $f?$ Si podemos encontrar una función $F$ con derivada $f,$ llamamos $F$ como antiderivada de $f.$

Integrales indefinidas

A continuación veremos la notación formal utilizada para representar las antiderivadas y examinaremos algunas de sus propiedades, las cuales nos permiten encontrar antiderivadas de funciones más complicadas. Dada una función $f,$ utilizamos la notación ${f}^{\prime }\left(x\right)$ o $\frac{df}{dx}$ para denotar la derivada de $f.$ Aquí presentamos la notación para las antiderivadas. Si los valores de $F$ es una antiderivada de $f,$ decimos que $F\left(x\right)+C$ es la antiderivada más general de $f$ y escribimos

Problemas de valor inicial

Más adelante veremos las técnicas para integrar una gran variedad de funciones que implican productos, cocientes y composiciones. A continuación, nos ocuparemos de un uso común de las antiderivadas que surge a menudo en muchas aplicaciones: la resolución de ecuaciones diferenciales.

Integración

Introducción

Aproximación de áreas

Abstract:
* Utilizar la notación sigma (notación de sumatoria) para calcular sumas y potencias de números enteros.
* Utilizar la suma de áreas rectangulares para aproximar el área bajo una curva.
* Utilizar las sumas de Riemann para aproximar el área.

Notación sigma (notación de sumatoria)

Como dijimos, utilizaremos formas de área conocida para aproximar el área de una región irregular limitada por curvas. Este proceso suele requerir la suma de largas cadenas de números. Para facilitar la escritura de estas largas sumas, aquí veremos una nueva notación, llamada notación sigma (también conocida como notación de sumatoria). La letra mayúscula griega $\Sigma ,$ sigma, se utiliza para expresar sumas largas de valores de forma compacta. Por ejemplo, si queremos sumar todos los enteros del 1 al 20 sin notación sigma, tenemos que escribir

Aproximación del área

Ahora que tenemos la notación necesaria, volvamos al problema que nos ocupa: aproximar el área bajo una curva. Supongamos que $f\left(x\right)$ es una función continua y no negativa definida en el intervalo cerrado $\left[a,b\right].$ Queremos aproximar el área *A* delimitada por $f\left(x\right)$ arriba, el *eje* abajo, la línea $x=a$ a la izquierda, y la línea $x=b$ a la derecha ([link]).

Formulación de sumas de Riemann

Hasta ahora utilizamos rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Las alturas de estos rectángulos se determinaron evaluando la función en los extremos derecho o izquierdo del subintervalo $\left[{x}_{i-1},{x}_{i}\right].$ En realidad, no hay ninguna razón para restringir la evaluación de la función solo a uno de estos dos puntos. Podríamos evaluar la función en cualquier punto *xi* del subintervalo $\left[{x}_{i-1},{x}_{i}\right],$ y usamos $f\left({x}_{i}^{\*}\right)$ como la altura de nuestro rectángulo. Esto nos da una estimación del área de la forma

La integral definida

Abstract:
* Enunciar la definición de la integral definida.
* Explicar los términos integrando, límites de integración y variable de integración.
* Explicar cuándo una función es integrable.
* Describir la relación entre la integral definida y el área neta.
* Utilizar la geometría y las propiedades de las integrales definidas para evaluarlas.
* Calcular el valor promedio de una función.

Definición y notación

La integral definida generaliza el concepto de área bajo una curva. Eliminamos los requisitos de que $f\left(x\right)$ sea continua y no negativa, y definimos la integral definida como sigue.

Evaluación de integrales definidas

Evaluar las integrales definidas de esta manera puede ser bastante tedioso debido a la complejidad de los cálculos. Más adelante en este capítulo desarrollaremos técnicas para evaluar integrales definidas *sin* tomar límites de las sumas de Riemann. Sin embargo, por ahora podemos confiar en el hecho de que las integrales definidas representan el área bajo la curva, y podemos evaluar las integrales definidas utilizando fórmulas geométricas para calcular esa área. Hacemos esto para confirmar que las integrales definidas representan en efecto áreas, de modo que podamos discutir qué hacer en el caso de una curva de una función que cae por debajo del eje *x*.

El área y la integral definida

Cuando definimos la integral definida, eliminamos el requisito de que $f\left(x\right)$ sea no negativo. Pero ¿cómo interpretamos "el área bajo la curva" cuando $f\left(x\right)$ es negativo?

Propiedades de la integral definida

Las propiedades de las integrales indefinidas se aplican también a las integrales definidas. Las integrales definidas también tienen propiedades relacionadas con los límites de integración. Estas propiedades, junto con las reglas de integración que examinaremos más adelante en este capítulo, nos ayudan a manipular expresiones para evaluar integrales definidas.

Valor promedio de una función

A menudo necesitamos hallar el promedio de un conjunto de números, como la nota promedio de un examen. Supongamos que obtuvo las siguientes puntuaciones en su clase de álgebra: 89, 90, 56, 78, 100 y 69. La nota del semestre es el promedio de los resultados de los exámenes y quiere saber qué nota obtendrá. Podemos hallar el promedio sumando todas las puntuaciones y dividiendo por el número de puntuaciones. En este caso, hay seis resultados de pruebas. Por lo tanto,

El teorema fundamental del cálculo

Abstract:
* Describir el significado del teorema del valor medio para integrales.
* Indicar el significado del teorema fundamental del cálculo, parte 1.
* Utilizar el teorema fundamental del cálculo, parte 1, para evaluar derivadas de integrales.
* Indicar el significado del teorema fundamental del cálculo, parte 2.
* Utilizar el teorema fundamental del cálculo, parte 2, para evaluar integrales definidas.
* Explicar la relación entre diferenciación e integración.

Teorema del valor medio para integrales

El teorema del valor medio para integrales afirma que una función continua en un intervalo cerrado toma su valor medio en algún punto de ese intervalo. El teorema garantiza que si $f\left(x\right)$ es continua, existe un punto *c* en un intervalo $\left[a,b\right]$ tal que el valor de la función en *c* es igual al valor medio de $f\left(x\right)$ en $\left[a,b\right].$ Enunciamos este teorema matemáticamente con la ayuda de la fórmula del valor medio de una función que presentamos al final del apartado anterior.

Teorema fundamental del cálculo, parte 1: Integrales y antiderivadas

Como se dijo anteriormente, el teorema fundamental del cálculo es un teorema extremadamente poderoso que establece la relación entre la diferenciación y la integración, y nos da una manera de evaluar integrales definidas sin usar sumas de Riemann o calcular áreas. El teorema consta de dos partes, la primera de las cuales, el teorema fundamental del cálculo, parte 1, se enuncia aquí. La Parte 1 establece la relación entre diferenciación e integración.

Teorema fundamental del cálculo, parte 2: El teorema de evaluación

El teorema fundamental del cálculo, parte 2, es quizás el teorema más importante del cálculo. Tras los incansables esfuerzos de los matemáticos durante aproximadamente 500 años, surgieron nuevas técnicas que proporcionaron a los científicos las herramientas necesarias para explicar muchos fenómenos. Gracias al cálculo, los astrónomos al fin pudieron determinar las distancias en el espacio y trazar las órbitas planetarias. Los problemas financieros cotidianos, como el cálculo de los costos marginales o la predicción de los beneficios totales, podían ahora tratarse con sencillez y precisión. Los ingenieros podían calcular la resistencia a la flexión de los materiales o el movimiento tridimensional de los objetos. Nuestra visión del mundo cambió para siempre con el cálculo.

Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto

Abstract:
* Aplicar las fórmulas básicas de integración.
* Explicar el significado del teorema del cambio neto.
* Utilizar el teorema del cambio neto para resolver problemas aplicados.
* Aplicar las integrales de funciones pares e impares.

Fórmulas básicas de integración

Recordemos las fórmulas de integración dadas en la tabla de antiderivadas y la regla sobre las propiedades de las integrales definidas. Veamos algunos ejemplos de cómo se aplican estas reglas.

El teorema del cambio neto

El teorema del cambio neto considera la integral de un *tasa de cambio*. Dice que cuando una cantidad cambia, el nuevo valor es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio de esa cantidad. La fórmula puede expresarse de dos maneras. La segunda nos es familiar; se trata simplemente de la integral definida.

Aplicación del teorema del cambio neto

El teorema del cambio neto puede aplicarse al flujo y al consumo de fluidos, como se muestra en el [link].

Integración de funciones pares e impares

En Funciones y gráficos vimos que una función par es aquella en la que $f\left(\text{−}x\right)=f\left(x\right)$ para toda *x* en el dominio, es decir, el gráfico de la curva no cambia cuando se sustituye *x* por −*x*. Los gráficos de las funciones pares son simétricas con respecto al eje *y*. Una función impar es aquella en la que $f\left(\text{−}x\right)=\text{−}f\left(x\right)$ para toda *x* en el dominio, y el gráfico de la función es simétrico respecto al origen.

Sustitución

Abstract:
* Utilizar la sustitución para evaluar integrales indefinidas.
* Utiliza la sustitución para evaluar integrales definidas.

Prueba

Sean *f*, *g*, *u* y *F* los especificados en el teorema. Entonces

Sustitución de integrales definidas

La sustitución también se puede utilizar con las integrales definidas. Sin embargo, el uso de la sustitución para evaluar una integral definida exige un cambio en los límites de integración. Si cambiamos las variables en el integrando, los límites de integración también cambian.

Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas

Abstract:
* Integrar funciones que impliquen funciones exponenciales.
* Integrar funciones que impliquen funciones logarítmicas.

Integrales de funciones exponenciales

La función exponencial es quizás la función más eficiente en cuanto a las operaciones de cálculo. La función exponencial $y={e}^{x},$ es su propia derivada y su propia integral.

Integrales con funciones logarítmicas

Integrar funciones de la forma $f\left(x\right)={x}^{-1}$ dan como resultado el valor absoluto de la función logarítmica natural, como se muestra en la siguiente regla. Las fórmulas integrales para otras funciones logarítmicas, tales como $f\left(x\right)=\text{ln}{\rule{0.1em}{0ex}}x$ y $f\left(x\right)={\text{log}}_{a}x,$ también se incluyen en la regla.

Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas

Abstract: * Integrar funciones que dan lugar a funciones trigonométricas inversas.

Integrales que dan lugar a funciones senoidales inversas

Comencemos esta última sección del capítulo con las tres fórmulas. Junto con estas fórmulas, utilizamos la sustitución para evaluar las integrales. Demostramos la fórmula de la integral inversa de seno.

Integrales que resultan en otras funciones trigonométricas inversas

Hay seis funciones trigonométricas inversas. Sin embargo, en la regla sobre fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas solo se anotan tres fórmulas de integración porque las tres restantes son versiones negativas de las que utilizamos. La única diferencia es si el integrando es positivo o negativo. En vez de memorizar tres fórmulas más, si el integrando es negativo, simplemente factorice –1 y evalúe la integral usando una de las fórmulas ya proporcionadas. Para cerrar esta sección, examinaremos una fórmula más: la integral que resulta de la función tangente inversa.

Aplicaciones de la integración

Introducción

Áreas entre curvas

Abstract:
* Determinar el área de una región entre dos curvas integrando con respecto a la variable independiente.
* Encontrar el área de una región compuesta.
* Determinar el área de una región entre dos curvas integrando con respecto a la variable dependiente.

Área de una región entre dos curvas

Supongamos que $f\left(x\right)$ y $g\left(x\right)$ son funciones continuas sobre un intervalo $\left[a,b\right]$ de manera que $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ sobre $\left[a,b\right].$ Queremos hallar el área entre los gráficos de las funciones, como se muestra en la siguiente figura.

Áreas de las regiones compuestas

Hasta ahora, hemos requerido $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ a lo largo de todo el intervalo de interés, pero ¿qué ocurre si queremos observar las regiones delimitadas por los gráficos de las funciones que se entrecruzan? En ese caso, modificamos el proceso que acabamos de desarrollar utilizando la función de valor absoluto.

Regiones definidas con respecto a *y*

En el [link], tuvimos que evaluar dos integrales distintas para calcular el área de la región. Sin embargo, existe otro enfoque que solo requiere una integral. ¿Y si tratamos las curvas como funciones de $y,$ en vez de como funciones de $x?$ Revise la [link]. Observe que el gráfico de la izquierda, mostrado en rojo, está representado por la función $y=f\left(x\right)={x}^{2}.$ Podríamos resolver esto con la misma facilidad para $x$ y representar la curva mediante la función $x=v\left(y\right)=\sqrt{y}.$ (Observe que $x=\text{−}\sqrt{y}$ es también una representación válida de la función $y=f\left(x\right)={x}^{2}$ en función de $y.$ (No obstante, con base en el gráfico, está claro que nos interesa la raíz cuadrada positiva). Del mismo modo, el gráfico de la derecha está representado por la función $y=g\left(x\right)=2-x,$, pero también podría representarse con la función $x=u\left(y\right)=2-y.$ Cuando los gráficos se representan como funciones de $y,$ vemos que la región está limitada a la izquierda por el gráfico de una función y a la derecha por el gráfico de la otra función. Por lo tanto, si integramos con respecto a $y,$ necesitamos evaluar una sola integral. Desarrollemos una fórmula para este tipo de integración.

Determinar los volúmenes mediante el corte

Abstract:
* Determinar el volumen de un sólido integrando una sección transversal (método de las rebanadas).
* Hallar el volumen de un sólido de revolución utilizando el método de los discos.
* Halle el volumen de un sólido de revolución con una cavidad utilizando el método de las arandelas.

El volumen y el método de las rebanadas

Así como el área es la medida numérica de una región bidimensional, el volumen es la medida numérica de un sólido tridimensional. La mayoría de nosotros ha calculado los volúmenes de los sólidos utilizando fórmulas geométricas básicas. El volumen de un sólido rectangular, por ejemplo, puede calcularse multiplicando la longitud, la anchura y la altura $V=lwh.$ Las fórmulas del volumen de una esfera $\left(V=\frac{4}{3}\pi {r}^{3}\right),$ un cono $\left(V=\frac{1}{3}\pi {r}^{2}h\right),$ y una pirámide $\left(V=\frac{1}{3}Ah\right)$ también se ha introducido. Aunque algunas de estas fórmulas se derivaron utilizando únicamente la geometría, todas ellas pueden obtenerse utilizando la integración.

Sólidos de revolución

Si una región en un plano se hace girar alrededor de una línea en ese plano, el sólido resultante se llama sólido de revolución, como se muestra en la siguiente figura.

El método del disco

Cuando utilizamos el método de las rebanadas con sólidos de revolución, se suele denominar método de los discos porque los cortes utilizados para sobre aproximar el volumen de esos sólidos son discos. Para ver esto, considere el sólido de revolución generado al girar la región entre el gráfico de la función $f\left(x\right)={\left(x–1\right)}^{2}+1$ y la intersección en $x\text{}$ en el intervalo $\left[-1,3\right]$ alrededor del eje $x\text{}\text{.}$ El gráfico de la función y un disco representativo se muestran en la [link](a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la [link](c) y (d).

El método de arandelas

Algunos sólidos de revolución tienen cavidades en el centro; no son sólidos hasta el eje de revolución. A veces, esto es solo el resultado de la forma de la región de revolución con respecto al eje de revolución. En otros casos, las cavidades surgen cuando la región de revolución se define como la región entre los gráficos de dos funciones. Una tercera forma de que esto ocurra es cuando se selecciona un eje de revolución distinto al eje $x\text{}$ o $y\text{}$.

Volúmenes de revolución: Capas cilíndricas

Abstract:
* Calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de las capas cilíndricas.
* Comparar los diferentes métodos para calcular un volumen de revolución.

El método de las capas cilíndricas

De nuevo, estamos trabajando con un sólido de revolución. Como antes, definimos una región $R,$ delimitada por encima del gráfico de una función $y=f\left(x\right),$ abajo por el eje $x\text{−eje,}$ y a la izquierda y derecha por las líneas $x=a$ y $x=b,$ respectivamente, como se muestra en la [link](a). A continuación, hacemos girar esta región alrededor del eje *y*, como se muestra en la [link](b). Tenga en cuenta que esto es diferente de lo que hicimos anteriormente, cuando las regiones definidas en términos de funciones de $x$ giraban en torno al eje $x\text{}$ o a una línea paralela a él.

¿Qué método debemos utilizar?

Ya estudiamos varios métodos para hallar el volumen de un sólido de revolución, pero ¿cómo sabemos qué método utilizar? A menudo se trata de elegir qué integral es más fácil de evaluar. La [link] describe los diferentes enfoques para los sólidos de revolución alrededor del eje $x\text{}.$ Ahora es momento de que desarrolle la tabla análoga para los sólidos de revolución alrededor del eje $y\text{}.$

Longitud del arco de una curva y superficie

Abstract:
* Determine la longitud de una curva, $y=f\left(x\right),$ entre dos puntos.
* Determine la longitud de una curva, $x=g\left(y\right),$ entre dos puntos.
* Hallar el área superficial de un sólido de revolución.

Longitud de arco de la curva *y* = *f*(*x*)

En las aplicaciones anteriores de la integración, necesitamos que la función $f\left(x\right)$ fuera integrable o como máximo, continua. Sin embargo, para calcular la longitud del arco se nos presenta un requisito más estricto para $f\left(x\right).$ En este caso, necesitamos que $f\left(x\right)$ sea diferenciable, y además requerimos que su derivada, ${f}^{\prime }\left(x\right),$ sea continua. Las funciones como esta, que tienen derivadas continuas, se denominan *suaves*. (Esta propiedad volverá a aparecer en capítulos posteriores).

Longitud de arco de la curva *x* = *g*(*y*)

Acabamos de ver cómo aproximar la longitud de una curva con una línea segmentada. Si queremos encontrar la longitud de arco del gráfico de una función de $y,$ podemos repetir el mismo proceso, excepto que dividimos el eje $y\text{}$ en lugar del eje $x\text{}.$ La [link] muestra un segmento de línea representativo.

Área de una superficie de revolución

Los conceptos que hemos utilizado para hallar la longitud de arco de una curva pueden extenderse para hallar el área superficial de una superficie de revolución. El área superficial es el área total de la capa exterior de un objeto. En objetos como cubos o ladrillos, el área superficial del objeto es la suma de las áreas de todas sus caras. En las superficies curvas, la situación es un poco más compleja. Supongamos que $f\left(x\right)$ es una función suave no negativa sobre el intervalo $\left[a,b\right].$ Queremos encontrar el área superficial de la superficie de revolución que se crea al girar el gráfico de $y=f\left(x\right)$ alrededor del eje $x\text{}$ como se muestra en la siguiente figura.

Aplicaciones físicas

Abstract:
* Determinar la masa de un objeto unidimensional a partir de su función de densidad lineal.
* Determinar la masa de un objeto circular bidimensional a partir de su función de densidad radial.
* Calcular el trabajo realizado por una fuerza variable que actúa a lo largo de una línea.
* Calcular el trabajo realizado al bombear un líquido de una altura a otra.
* Encontrar la fuerza hidrostática contra una placa vertical sumergida.

Masa y Densidad

Podemos utilizar la integración para desarrollar una fórmula para calcular la masa con base en una función de densidad. En primer lugar, pensemos en una varilla o un cable delgado. Se orienta la varilla para que se alinee con el eje $x\text{−eje,}$ con el extremo izquierdo de la varilla en $x=a$ y el extremo derecho en $x=b$ ([link]). Note que, aunque en las figuras representamos la varilla con cierto grosor, a efectos matemáticos suponemos que la varilla es lo suficientemente fina como para ser tratada como un objeto unidimensional.

Trabajo realizado por una fuerza

Ahora consideramos el trabajo. En física, el trabajo está relacionado con la fuerza, que a menudo se define intuitivamente como un empuje o un tirón sobre un objeto. Cuando una fuerza mueve un objeto, decimos que la fuerza realiza un trabajo sobre el objeto. En otras palabras, el trabajo puede considerarse como la cantidad de energía que se necesita para mover un objeto. Según la física, cuando tenemos una fuerza constante, el trabajo puede expresarse como el producto de la fuerza por la distancia.

Trabajo realizado en el bombeo

Considere el trabajo realizado para bombear agua (o algún otro líquido) fuera de un tanque. Los problemas de bombeo son un poco más complicados que los de los resortes porque muchos de los cálculos dependen de la forma y el tamaño del depósito. Además, en vez de preocuparnos por el trabajo realizado para mover una sola masa, nos fijamos en el trabajo realizado para mover un volumen de agua, y se necesita más trabajo para mover el agua desde el fondo del tanque que para mover el agua desde la parte superior del tanque.

Fuerza y presión hidrostáticas

En este último apartado, estudiamos la fuerza y la presión que se ejerce sobre un objeto sumergido en un líquido. En el sistema inglés, la fuerza se mide en libras. En el sistema métrico, se mide en newtons. La presión es la fuerza por unidad de superficie, por lo que en el sistema inglés tenemos libras por pie cuadrado (o tal vez más comúnmente, libras por pulgada cuadrada, denotadas psi). En el sistema métrico tenemos newtons por metro cuadrado, también llamados *pascales*.

Momentos y centros de masa

Abstract:
* Encontrar el centro de masa de objetos distribuidos a lo largo de una línea.
* Localizar el centro de masa de una placa delgada.
* Utilizar la simetría para ayudar a localizar el centroide de una placa delgada.
* Aplicar el teorema de Pappus para el volumen.

Centro de masa y momentos

Empecemos por ver el centro de masa en un contexto unidimensional. Piense en un alambre o varilla larga y delgada de masa despreciable que descansa sobre un punto de apoyo, como se muestra en la [link](a). Ahora supongamos que colocamos objetos con masas ${m}_{1}$ y ${m}_{2}$ a las distancias ${d}_{1}$ y ${d}_{2}$ del punto de apoyo, respectivamente, como se muestra en la [link](b).

Centro de masa de las placas finas

Hasta ahora hemos visto sistemas de masas puntuales en una línea y en un plano. Ahora, en vez de tener la masa de un sistema concentrada en puntos discretos, queremos observar sistemas en los que la masa del sistema se distribuye continuamente a través de una fina lámina de material. Para ello, suponemos que la hoja es lo suficientemente delgada como para poder tratarla como si fuera bidimensional. Dicha hoja se denomina lámina. A continuación desarrollaremos técnicas para encontrar el centro de masa de una lámina. En esta sección, también suponemos que la densidad de la lámina es constante.

El principio de simetría

El principio de simetría lo enunciamos antes, cuando observamos el centroide de un rectángulo. El principio de simetría puede ser muy útil para encontrar los centroides de las regiones simétricas. Considere el siguiente ejemplo.

Teorema de Pappus

Esta sección termina con una discusión del teorema de Pappus para el volumen, que nos permite calcular el volumen de determinados tipos de sólidos utilizando el centroide (también existe un teorema de Pappus para el área superficial, pero su utilidad es mucho menor que la del teorema para el volumen).

Integrales, funciones exponenciales y logaritmos

Abstract:
* Escribir la definición del logaritmo natural como una integral.
* Reconocer la derivada del logaritmo natural.
* Integrar funciones que impliquen la función logarítmica natural.
* Definir el número $e$ a través de una integral.
* Reconocer la derivada y la integral de la función exponencial.
* Demostrar las propiedades de los logaritmos y las funciones exponenciales utilizando las integrales.
* Expresar funciones logarítmicas y exponenciales generales en términos de logaritmos naturales y exponenciales.

El logaritmo natural como integral

Recordemos la regla de la potencia para las integrales:

Propiedades del logaritmo natural

Debido a la forma en que definimos el logaritmo natural, la siguiente fórmula de diferenciación surge inmediatamente como resultado del teorema fundamental del cálculo.

Definición del número *e*

Ya que definimos el logaritmo natural, podemos utilizar esa función para definir el número $e.$

La función exponencial

Ahora nos centraremos en la función ${e}^{x}.$ Observe que el logaritmo natural es biunívoco y, por tanto, tiene una función inversa. Por ahora, denotamos esta función inversa por $\text{exp}{\rule{0.2em}{0ex}}x.$ Entonces,

Propiedades de la función exponencial

Dado que la función exponencial se definió en términos de una función inversa, y no en términos de una potencia de $e,$ debemos comprobar que las leyes generales de los exponentes se cumplen para la función ${e}^{x}.$

Funciones logarítmicas y exponenciales generales

Cerraremos esta sección viendo las funciones exponenciales y los logaritmos con bases distintas a $e.$ Las funciones exponenciales son funciones de la forma $f\left(x\right)={a}^{x}.$ Tenga en cuenta que, a menos que $a=e,$ todavía no tenemos una definición matemáticamente rigurosa de estas funciones para los exponentes irracionales. Rectifiquemos aquí definiendo la función $f\left(x\right)={a}^{x}$ en términos de la función exponencial ${e}^{x}.$ A continuación examinaremos los logaritmos con bases distintas a $e$ como funciones inversas de funciones exponenciales.

Crecimiento y decaimiento exponencial

Abstract:
* Utilizar el modelo de crecimiento exponencial en aplicaciones, lo que incluye crecimiento de la población e interés compuesto.
* Explicar el concepto de tiempo de duplicación.
* Utilizar el modelo de decrecimiento exponencial en aplicaciones, lo que incluye decaimiento radiactivo y la ley de enfriamiento de Newton.
* Explicar el concepto de vida media.

Modelo de crecimiento exponencial

Muchos sistemas presentan un crecimiento exponencial. Estos sistemas siguen un modelo de la forma $y={y}_{0}{e}^{kt},$ donde ${y}_{0}$ representa el estado inicial del sistema y $k$ es una constante positiva, denominada *constante de crecimiento*. Observe que en un modelo de crecimiento exponencial, tenemos

Modelo de decrecimiento exponencial

Las funciones exponenciales también pueden usarse para modelar poblaciones que se reducen (por ejemplo, a causa de una enfermedad) o compuestos químicos que se descomponen con el tiempo. Decimos que tales sistemas exhiben un decrecimiento exponencial en vez de un crecimiento exponencial. El modelo es casi el mismo, excepto que hay un signo negativo en el exponente. Así, para alguna constante positiva $k,$ tenemos $y={y}_{0}{e}^{\text{−}kt}.$

Cálculo de las funciones hiperbólicas

Abstract:
* Aplicar las fórmulas de las derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas.
* Aplicar las fórmulas de las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas y sus integrales asociadas.
* Describir las condiciones habituales de aplicación de una curva catenaria.

Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas

Recordemos que el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico se definen como

Cálculo de funciones hiperbólicas inversas

Observando los gráficos de las funciones hiperbólicas, vemos que con las restricciones de rango adecuadas, todos tienen inversas. La mayoría de las restricciones de rango necesarias se pueden discernir examinando de cerca los gráficos. Los dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas se resumen en la siguiente tabla.

Aplicaciones

Una aplicación física de las funciones hiperbólicas es la de los cables colgantes. Si un cable de densidad uniforme está suspendido entre dos soportes sin más carga que su propio peso, el cable forma una curva llamada catenaria. Los cables de alto voltaje, las cadenas que cuelgan entre dos postes y los hilos de una tela de araña forman catenarias. La siguiente figura muestra cadenas que cuelgan de una fila de postes.

Tabla de integrales

Integrales básicas

1. $\int {u}^{n}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{{u}^{n+1}}{n+1}+C,n\ne \text{−}1$

Integrales trigonométricas

18. $\int {\text{sen}}^{2}u{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{1}{2}u-\frac{1}{4}\text{sen}{\rule{0.2em}{0ex}}2u+C$

Integrales exponenciales y logarítmicas

42. $\int u{e}^{au}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{1}{{a}^{2}}\left(au-1\right){e}^{au}+C$

Integrales hiperbólicas

49. $\int \text{senoh}{\rule{0.2em}{0ex}}u{\rule{0.2em}{0ex}}du=\text{cosh}{\rule{0.2em}{0ex}}u+C$

Integrales trigonométricas inversas

59. $\int {\text{sen}}^{-1}u{\rule{0.2em}{0ex}}du=u{\rule{0.2em}{0ex}}{\text{sin}}^{-1}u+\sqrt{1-{u}^{2}}+C$

Integrales que implican *a*2 + *u*2, *a* > 0

68. $\int \sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{2}\text{ln}{\rule{0.1em}{0ex}}\left(u+\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}\right)+C$

Integrales que implican *u*2 - *a*2, *a* > 0

77. $\int \sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}-\frac{{a}^{2}}{2}\text{ln}{\rule{0.1em}{0ex}}|u+\sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}|+C$

Integrales que implican *a*2 - *u*2, *a* > 0

85. $\int \sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{2}{\text{sen}}^{-1}\frac{u}{a}+C$

Integrales que implican 2*au* - *u*2, *a* > 0

94. $\int \sqrt{2au-{u}^{2}}{\rule{0.2em}{0ex}}du=\frac{u-a}{2}\sqrt{2au-{u}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{2}{\text{cos}}^{-1}\left(\frac{a-u}{a}\right)+C$

Integrales que implican *a* + *bu*, *a* ≠ 0

98. $\int \frac{u{\rule{0.2em}{0ex}}du}{a+bu}=\frac{1}{{b}^{2}}\left(a+bu-a\text{ln}{\rule{0.1em}{0ex}}|a+bu|\right)+C$

Tabla de derivadas

Fórmulas generales

1. $\frac{d}{dx}\left(c\right)=0$

Funciones trigonométricas

9. $\frac{d}{dx}\left(\text{sen}{\rule{0.1em}{0ex}}x\right)=\text{cos}{\rule{0.1em}{0ex}}x$

Funciones trigonométricas inversas

15. $\frac{d}{dx}\left({\text{sin}}^{-1}x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$

Funciones exponenciales y logarítmicas

21. $\frac{d}{dx}\left({e}^{x}\right)={e}^{x}$

Funciones hiperbólicas

25. $\frac{d}{dx}\left(\text{senoh}{\rule{0.1em}{0ex}}x\right)=\text{cosh}{\rule{0.1em}{0ex}}x$

Funciones hiperbólicas inversas

31. $\frac{d}{dx}\left({\text{senoh}}^{-1}x\right)=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$

Repaso de Precálculo

Fórmulas de geometría

Los términos $A=\text{área},$ $V=\text{Volumen},{\rule{0.2em}{0ex}}\text{y}$ $S=\text{área superficial lateral}$

Fórmulas de álgebra

Fórmulas de trigonometría