Introducción a la estadística empresarial

Prefacio

Abstract: Introducción a la estadística está pensado para el curso introductorio de Estadística de un semestre para estudiantes que no están especializados en Matemáticas ni Ingeniería. Se centra en la interpretación de resultados estadísticos, especialmente en entornos del mundo real, y asume que los estudiantes tienen una comprensión del álgebra intermedia. Además de la práctica al final de la sección y de los conjuntos de tareas, los ejemplos de cada tema se explican paso a paso a lo largo del texto y van seguidos de un problema de “Ejercicios” que está diseñado como práctica adicional para los estudiantes. Este libro también incluye ejercicios de colaboración y laboratorios de estadística diseñados para darles a los estudiantes la oportunidad de trabajar juntos y explorar los conceptos clave. Aunque el libro se ha construido de manera que cada capítulo se basa en el anterior, puede reorganizarse para adaptarse a las necesidades particulares de cualquier instructor.

Acerca de OpenStax

OpenStax es una organización sin fines de lucro con sede en la Universidad de Rice. Nuestra misión es mejorar el acceso de los estudiantes a la educación. Nuestro primer libro de texto universitario con licencia abierta se publicó en 2012, y desde entonces nuestra biblioteca se ha ampliado a más de 25 libros para cursos universitarios y de Colocación Avanzada (Advanced Placement, AP®) utilizados por cientos de miles de estudiantes. OpenStax Tutor, nuestra herramienta de aprendizaje personalizado de bajo costo, se utiliza en cursos universitarios de todo el país. A través de nuestras asociaciones con fundaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras organizaciones de recursos educativos, OpenStax rompe las barreras más comunes para el aprendizaje y capacita a los estudiantes e instructores para tener éxito.

Sobre los recursos de OpenStax

Acerca de
 *Introducción a la estadística empresarial*

*Introducción a la estadística empresarial*
 se destina a cumplir con los requisitos de alcance y secuencia del curso de Estadística de un semestre para las carreras de negocios, economía y afines. Los conceptos y conocimientos estadísticos básicos se han ampliado con ejemplos prácticos de negocios, escenarios y ejercicios. El resultado es la comprensión significativa de la disciplina que servirá a los estudiantes en sus carreras de negocios y experiencias en el mundo real.

Recursos adicionales

Sobre los autores

Muestreo y datos

Introducción

Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave

Probabilidad

La probabilidad es una herramienta matemática utilizada para estudiar el azar. Se trata de la oportunidad (la posibilidad) de que se produzca un evento. Por ejemplo, si se lanza una moneda **imparcial** cuatro veces, los resultados no pueden ser dos caras y dos cruces. Sin embargo, si se lanza la misma moneda 4.000 veces, los resultados se aproximarán a mitad cara y mitad cruz. La probabilidad teórica esperada de salir cara en cualquier lanzamiento es $\frac{1}{2}$ o 0,5. Aunque los resultados de unas pocas repeticiones son inciertos, existe un patrón regular de resultados cuando hay muchas repeticiones. Tras leer sobre el estadístico inglés Karl Pearson, que lanzó una moneda 24.000 veces con un resultado de 12.012 caras, uno de los autores lanzó una moneda 2.000 veces. Los resultados fueron 996 caras. La fracción $\frac{996}{2000}$ es igual a 0,498, que está muy cerca de 0,5, la probabilidad esperada.

Términos clave

En estadística, generalmente queremos estudiar una población. Se puede pensar en una población como un conjunto de personas, cosas u objetos en estudio. Para estudiar la población seleccionamos una muestra. La idea del muestreo es seleccionar una porción (o subconjunto) de la población mayor y estudiar esa porción (la muestra) para obtener información sobre la población. Los datos son el resultado de un muestreo de una población.

Datos, muestreo y variación de datos y muestreo

Discusión de datos cualitativos

A continuación se muestran tablas que comparan el número de estudiantes a tiempo parcial y a tiempo completo en De Anza College y Foothill College inscritos para el trimestre de primavera de 2010. Las tablas muestran recuentos (frecuencias) y porcentajes o proporciones (frecuencias relativas). Las columnas de porcentajes facilitan la comparación de las mismas categorías en los institutos universitarios. Suele ser útil mostrar porcentajes junto con números, pero es especialmente importante cuando se comparan conjuntos de datos que no tienen los mismos totales, como las inscripciones totales de ambos institutos universitarios en este ejemplo. Observe que el porcentaje de estudiantes a tiempo parcial del Foothill College es mucho mayor que el del De Anza College.

Muestreo

Recopilar información sobre toda una población suele ser demasiado costoso o prácticamente imposible. En cambio, utilizamos una muestra de la población. **Una muestra debe tener las mismas características que la población que representa.** La mayoría de los estadísticos utilizan varios métodos de muestreo aleatorio para intentar alcanzar esta meta. En esta sección se describen algunos de los métodos más comunes. Existen varios métodos de **muestreo aleatorio**. En cada forma de muestreo aleatorio, cada miembro de una población tiene inicialmente la misma probabilidad de que lo seleccionen para la muestra. Cada método tiene sus pros y sus contras. El método más fácil de describir se llama **muestra aleatoria simple**. Cualquier grupo de *n* personas tiene la misma probabilidad de que lo seleccionen que cualquier otro grupo de *n* personas si se utiliza la técnica de muestreo aleatorio simple. En otras palabras, cada muestra del mismo tamaño tiene la misma probabilidad de que la seleccionen.

Variación de los datos

La variación está presente en cualquier conjunto de datos. Por ejemplo, las latas de bebida de 16 onzas pueden contener más o menos de 16 onzas de líquido. En un estudio, se midieron ocho latas de 16 onzas y produjeron la siguiente cantidad (en onzas) de bebida:

Variación en las muestras

Ya se ha mencionado anteriormente que dos o más muestras de la misma población, tomadas al azar y que se aproximen a las mismas características de la población serán probablemente diferentes entre sí. Supongamos que Doreen y Jung deciden estudiar la cantidad promedio de tiempo que los estudiantes de su instituto universitario duermen cada noche. Doreen y Jung toman cada uno muestras de 500 estudiantes. Doreen utiliza el muestreo sistemático y Jung el muestreo por conglomerados. La muestra de Doreen será diferente a la de Jung. Aunque Doreen y Jung utilizaran el mismo método de muestreo, con toda probabilidad sus muestras serían diferentes. Sin embargo, ninguno de los dos estaría equivocado.

Niveles de medición

Niveles de medición

La forma de medir un conjunto de datos se denomina nivel de medición. Los procedimientos estadísticos correctos dependen de que el investigador esté familiarizado con los niveles de medición. No todas las operaciones estadísticas se pueden usar con todos los conjuntos de datos. Los datos se pueden clasificar en cuatro niveles de medición. Son (de menor a mayor nivel):

Frecuencia

Se les preguntó a veinte estudiantes cuántas horas trabajaban al día. Sus respuestas, en horas, son las siguientes: 56332475235654435253.

Diseño experimental y ética

Estadística descriptiva

Introducción

Datos mostrados

Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras

Un gráfico sencillo, el **gráfico de tallo y hoja** o **gráfico de tallo**, procede del campo del análisis exploratorio de datos. Es una buena opción cuando los conjuntos de datos son pequeños. Para crear el gráfico, divida cada observación de datos en un tallo y una hoja. La hoja consta de un **último dígito significativo**. Por ejemplo, 23 tiene el tallo dos y la hoja tres. El número 432 tiene el tallo 43 y la hoja dos. Asimismo, el número 5.432 tiene el tallo 543 y la hoja dos. El decimal 9,3 tiene el tallo nueve y la hoja tres. Escriba los tallos en una línea vertical de menor a mayor. Dibuje una línea vertical a la derecha de los tallos. Luego, escriba las hojas en orden creciente junto a su correspondiente tallo.

Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales

Para la mayor parte del trabajo que se realiza en este libro se utilizará un histograma para mostrar los datos. Una de las ventajas de un histograma es que puede mostrar fácilmente grandes conjuntos de datos. Una regla general es utilizar un histograma cuando el conjunto de datos consta de 100 valores o más.

Usos de un gráfico de series temporales

Los gráficos de series temporales son herramientas importantes en diversas aplicaciones de la estadística. Cuando se registran los valores de una misma variable durante un largo periodo, a veces, es difícil discernir cualquier tendencia o patrón. Sin embargo, una vez que los mismos puntos de datos se muestran gráficamente, algunas características saltan a la vista. Los gráficos de series temporales facilitan la detección de tendencias.

Cómo NO mentir con las estadísticas

Es importante recordar que la razón por la que desarrollamos una variedad de métodos para presentar los datos es para comprender el tema de lo que las observaciones representan. Queremos tener una "sensación" de los datos. ¿Las observaciones son todas muy parecidas o están repartidas en un amplio rango de valores, están agrupadas en un extremo del espectro o están distribuidas uniformemente, etc.? Intentamos obtener una representación visual de los datos numéricos. En breve desarrollaremos medidas matemáticas formales de los datos, pero nuestra presentación gráfica visual puede decir mucho. Desgraciadamente, también puede decir muchas cosas que distraen, confunden y simplemente son erróneas en cuanto a la impresión que lo visual deja. Hace muchos años, Darrell Huff escribió el libro *How to Lie with Statistics [Cómo mentir con estadísticas]*. Ha tenido más de 25 ediciones y ha vendido más de un millón y medio de ejemplares. Su perspectiva era dura y utilizaba muchos ejemplos reales destinados a engañar. Quería hacer que la gente fuera consciente de ese engaño, pero quizás lo más importante era educar para que otros no cometieran los mismos errores inadvertidamente.

Medidas de la ubicación de los datos

Una fórmula para hallar el percentil *k*

Si investiga un poco, hallará varias fórmulas para calcular el percentil *k* Aquí está una de ellas.

Una fórmula para hallar el percentil de un valor en un conjunto de datos

Interpretación de percentiles, cuartiles y mediana

Un percentil indica la posición relativa de un valor de datos cuando estos se ordenan numéricamente de menor a mayor. Los porcentajes de los valores de los datos son menores o iguales al percentil p. Por ejemplo, el 15 % de los valores de los datos son inferiores o iguales al percentil 15.

Medidas del centro de los datos

Cálculo de la media aritmética de tablas de frecuencias agrupadas

Cuando solo se dispone de datos agrupados no se conocen los valores individuales de los datos (solo conocemos los intervalos y las frecuencias de los intervalos); por lo tanto, no se puede calcular una media exacta para el conjunto de datos. Lo que debemos hacer es estimar la media real calculando la media de una tabla de frecuencias. Una tabla de frecuencias es una representación de datos en la que se muestran datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes. Para calcular la media de una tabla de frecuencias agrupadas podemos aplicar la definición básica de media: *media* = Simplemente tenemos que modificar la definición para que se ajuste a las restricciones de una tabla de frecuencias.

Notación sigma y cálculo de la media aritmética

Media geométrica

Distorsión y media, mediana y moda

Medidas de la dispersión de los datos

La desviación típica

Desviación típica de las tablas de frecuencia agrupadas

Recordemos que para los datos agrupados no conocemos los valores individuales de los datos, por lo que no podemos describir el valor típico de los datos con precisión. En otras palabras, no podemos hallar la media, la mediana ni la moda exactas. Sin embargo, podemos determinar la mejor estimación de las medidas de centro al hallar la media de los datos agrupados con la fórmula $\mathit{\text{Tabla de media de la frecuencia}}=\frac{\sum fm}{\sum f}$
donde $f=$ frecuencias de intervalo y *m* = puntos medios del intervalo.

Comparación de valores de diferentes conjuntos de datos

La desviación típica es útil cuando se comparan valores de datos que provienen de diferentes conjuntos de datos. Si los conjuntos de datos tienen medias y desviaciones típicas diferentes, la comparación directa de los valores de los datos puede ser engañosa.

Coeficiente de variación

Otra forma útil de comparar distribuciones, además de las simples comparaciones de medias o desviaciones típicas, es ajustar las diferencias en la escala de los datos que se miden. Sencillamente, una gran variación en los datos con una media grande es diferente a la misma variación en los datos con una media pequeña. Para ajustar la escala de los datos subyacentes se ha desarrollado el coeficiente de variación (CV). Matemáticamente, el:

Temas de probabilidad

Introducción

Terminología

Eventos mutuamente excluyentes e independientes

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si uno de los siguientes es cierto:

Eventos mutuamente excluyentes

*A* y *B* son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Dicho de otra manera, si *A* ocurrió entonces *B* no puede ocurrir y viceversa. Esto significa que *A* y *B* no comparten ningún resultado y $P\left(A\cap B\right)=0$.

Dos reglas básicas de la probabilidad

La regla de multiplicación

Si *A* y *B* son dos eventos definidos en un espacio muestral, entonces $P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)P\left(A|B\right)$. Podemos pensar que el símbolo de intersección sustituye a la palabra "y".

La regla de adición

Si *A* y *B* están definidos en un espacio muestral, entonces $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)–P\left(A\cap B\right)$. Podemos pensar que el símbolo de la unión sustituye a la palabra "o". La razón por la que restamos la intersección de *A* y *B* es para no contar dos veces los elementos que están en *A* y *B*.

Tablas de contingencia y árboles de probabilidad

Tablas de contingencia

Una tabla de contingencia proporciona una forma de representar los datos que puede facilitar el cálculo de probabilidades. La tabla ayuda a determinar las probabilidades condicionales con bastante facilidad. La tabla muestra los valores de la muestra en relación con dos variables diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí. Más adelante volveremos a utilizar las tablas de contingencia, pero de otra manera.

Diagramas de árbol

A veces, cuando los problemas de probabilidad son complejos, puede ser útil hacer un gráfico de la situación. Los diagramas de árbol pueden utilizarse para visualizar y resolver las probabilidades condicionales.

Diagramas de Venn

Diagramas de Venn

Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en un recuadro que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos. Los diagramas de Venn también nos ayudan a convertir palabras comunes del idioma en términos matemáticos que ayudan a agregar precisión.

Variables aleatorias discretas

Introducción

Notación de la variable aleatoria

La letra mayúscula *X* denota una variable aleatoria. Las letras minúsculas como *x* o *y* denotan el valor de una variable aleatoria. Si ***X* es una variable aleatoria, entonces *X* se escribe con palabras y *x* se da como un número.**

Funciones de densidad de probabilidad (pdf) para una variable aleatoria

Una función de densidad de probabilidad o función de distribución de probabilidad tiene dos características:

Fórmulas de recuento y fórmula combinatoria

Recordemos que la probabilidad del evento A, P(A), es simplemente el número de formas en que el experimento dará como resultado A, en relación con el número total de resultados posibles del experimento.

Distribución hipergeométrica

Distribución binomial

Fórmula binomial

$b\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right){p}^{x}{q}^{n–x}$

Distribución geométrica

Notación para la Geometría: G = Función de distribución de probabilidad geométrica

*X* ~ *G*(*p*)

Distribución de Poisson

Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson

*X* ~ *P*(*μ*)

Estimación de la distribución binomial con la distribución de Poisson

Anteriormente comprobamos que la distribución binomial proporcionaba una aproximación a la distribución hipergeométrica. Ahora hallamos que la distribución de Poisson puede proporcionar una aproximación para la binomial. Decimos que la distribución binomial se acerca a la Poisson. La distribución binomial se aproxima a la distribución de Poisson es a medida que *n* se hace más grande y *p* es pequeño, de manera que *np* se convierte en un valor constante. Hay varias reglas generales sobre cuándo se puede decir que se va a utilizar una Poisson para estimar una binomial. Una de ellas sugiere que *np*, la media de la binomial, debe ser inferior a 25. Otro autor sugiere que debería ser inferior a 7. Y otro, observando que la media y la varianza de la Poisson son ambas iguales, sugiere que *np* y *npq*, la media y la varianza de la binomial, deben ser mayores que 5. No existe una regla general aceptada sobre cuándo se puede utilizar la Poisson para estimar la binomial.

Variables aleatorias continuas

Introducción

Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas

La distribución uniforme

La distribución exponencial

La falta de memoria de la distribución exponencial

Recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes para el empleado de correos comentado anteriormente se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos. Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la **propiedad de falta de memoria**. Las funciones de densidad de probabilidad exponencial y geométrica son las únicas funciones de probabilidad que tienen la propiedad de falta de memoria. Específicamente, la **propiedad de falta de memoria** dice que

Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial

Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de *μ* unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con una media *μ*. Recordemos que si *X* tiene la distribución de Poisson con una media *μ*, entonces $P\left(X=x\right)=\frac{{\mu }^{x}{e}^{–\mu }}{x!}$.

La distribución normal

Introducción

La distribución normal estándar

Puntuaciones *z*

Si *X* es una variable aleatoria normalmente distribuida y *X* ~ *N(μ, σ)*, entonces la puntuación *z* para una determinada *x* es:

Uso de la distribución normal

Cálculo de probabilidades

Para hallar la probabilidad de las funciones de densidad de probabilidad con una variable aleatoria continua necesitamos calcular el área bajo la función a través de los valores de X que nos interesan. Para la distribución normal esto parece una tarea difícil dada la complejidad de la fórmula. Sin embargo, hay una forma sencilla de conseguir lo que queremos. Aquí tenemos de nuevo la fórmula de la distribución normal:

Estimación de la binomial con la distribución normal

El teorema del límite central

Introducción

Teorema del límite central de las medias muestrales

Uso del teorema del límite central

Ejemplos del teorema del límite central

Teorema del límite central de las proporciones

Factor de corrección de población finita

Intervalos de confianza

Introducción

Un intervalo de confianza para una desviación típica de la población, con un tamaño de muestra conocido o grande

Cálculo del intervalo de confianza

Considere la fórmula de estandarización para la distribución de muestreo desarrollada en la discusión del Teorema del Límite Central:

Modificación del nivel de confianza o del tamaño de la muestra

Aquí está de nuevo la fórmula para un intervalo de confianza para una media poblacional desconocida asumiendo que conocemos la desviación típica de la población:

Cálculo del intervalo de confianza: un enfoque alternativo

Otra forma de enfocar los intervalos de confianza es mediante el uso de algo llamado límite de error. El límite de error recibe su nombre del reconocimiento de que proporciona el límite del intervalo derivado del error estándar de la distribución muestral. En las ecuaciones anteriores se ve que el intervalo es simplemente la media estimada, la media muestral, más o menos algo. Ese algo es el límite de error y está impulsado por la probabilidad que deseamos mantener en nuestra estimación, ${Z}_{\alpha }$, por la desviación típica de la distribución muestral. El límite de error de una media recibe el nombre de media con límite de error *(Error Bound Mean, EBM)*.

Revisión de la fórmula

La forma general de un intervalo de confianza para una media poblacional única, desviación típica conocida, distribución normal, viene dada por $\stackrel{–}{X}–{Z}_{\alpha }\left(\sigma }{\sqrt{n}}\right)\le \mu \le \stackrel{–}{X}+{Z}_{\alpha }\left(\sigma }{\sqrt{n}}\right)$ Esta fórmula se utiliza cuando se conoce la desviación típica de la población.

Un intervalo de confianza para una desviación típica de población desconocida, caso de una muestra pequeña

Un intervalo de confianza para una proporción de población

Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias

Pruebas de hipótesis con una muestra

Introducción

Hipótesis nula y alternativa

Resultados y errores de tipo I y II

Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis

Comprobación de la hipótesis para la media

Volviendo a la fórmula de estandarización, podemos derivar el estadístico de prueba para comprobar las hipótesis relativas a las medias.

Enfoque del valor P

Se puede desarrollar una regla de decisión alternativa al calcular la probabilidad de que se encuentre una media muestral que resulte en un estadístico de prueba mayor que el hallado a partir de los datos de la muestra actual, suponiendo que la hipótesis nula sea verdadera. Aquí, la noción de “probable” e “improbable” se define por la probabilidad de extraer de una población una muestra con una media que hipotéticamente sea mayor o menor que la calculada en los datos de la muestra. En pocas palabras, el enfoque del valor p compara el nivel de significación deseado, α, con el valor p, que es la probabilidad de obtener una media muestral más alejada del valor hipotético que la media muestral real. Un valor *p* grande calculado a partir de los datos indica que no debemos rechazar la hipótesis nula. Cuanto más pequeño sea el valor *p*, más improbable es el resultado y más fuerte es la evidencia contra la hipótesis nula. Rechazaremos la hipótesis nula si las pruebas son contundentes en su contra. La relación entre la regla de decisión de comparar los valores calculados del estadístico de prueba, Zc, y el valor crítico, Zα, y utilizar el valor *p* se aprecia en la [link].

Pruebas de una y dos colas

El estudio de la [link] a la [link] se basó en las hipótesis nula y alternativa, presentadas en la [link]. Se denominó prueba de dos colas porque la hipótesis alternativa permitía que la media proviniera de una población mayor o menor que la media hipotética en la hipótesis nula. Esto podría verse mediante el enunciado de la hipótesis alternativa como μ ≠ 100, en este ejemplo.

Efectos del tamaño de la muestra en el estadístico de prueba

Al desarrollar los intervalos de confianza para la media de una muestra, encontramos que la mayoría de las veces no tenemos la desviación típica de la población, σ. Si el tamaño de la muestra fuera inferior a 30, podríamos sustituir simplemente la estimación puntual de σ, la desviación típica de la muestra, s, y utilizar la distribución *t* de Student para corregir esta falta de información.

Un enfoque sistemático para comprobar una hipótesis

Un enfoque sistemático de las pruebas de hipótesis sigue los siguientes pasos y en este orden. Esta plantilla servirá para todas las hipótesis que se pongan a prueba.

Ejemplos de pruebas de hipótesis completas

Pruebas sobre las medias

En el paso 4 tenemos que comparar el estadístico de prueba y el valor crítico y marcarlos en el gráfico. Vemos que el estadístico de prueba está en la cola; por ende, pasamos al paso 4 y llegamos a una conclusión. La probabilidad de que el tiempo promedio de 16 minutos proceda de una distribución con una media poblacional de 16,43 minutos es demasiado improbable para que aceptemos la hipótesis nula. No podemos aceptar la hipótesis nula.

Prueba de hipótesis para las proporciones

Al igual que existían intervalos de confianza para las proporciones, o más formalmente, el parámetro poblacional *p* de la distribución binomial, existe la posibilidad de contrastar hipótesis relativas a *p*.

Pruebas de hipótesis con dos muestras

Introducción

Comparación de las medias de dos poblaciones independientes

Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande

Prueba de diferencias de medias: suponer varianzas de población iguales

Comparación de dos proporciones de población independientes

Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas

Muestras coincidentes o emparejadas

La distribución chi-cuadrado

Introducción

Datos sobre la distribución chi-cuadrado

Prueba de una sola varianza

Prueba de bondad de ajuste

Prueba de independencia

Prueba de homogeneidad

Comparación de las pruebas chi-cuadrado

La distribución F y el anova de una vía

Introducción

Prueba de dos varianzas

ANOVA de una vía

Hipótesis nula y alternativa

La hipótesis nula es simplemente que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis alternativa es que, al menos, un par de medias es diferente. Por ejemplo, si hay grupos *k*:

La distribución F y el cociente F

Notación

La notación para la distribución *F* es *F* ~ *F**df*(*num*),*df*(*denom*)

Datos sobre la distribución F

Regresión lineal y correlación

Introducción

El coeficiente de correlación r

Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación

Realización de la prueba de hipótesis

Llegar a una conclusiónHay dos métodos para tomar la decisión sobre la hipótesis. El estadístico de prueba para comprobar esta hipótesis es:

Ecuaciones lineales

Pendiente e intersección en *Y* de una ecuación lineal

Para la ecuación lineal *y* = *a* + *bx*, *b* = pendiente y *a* = intersección en *y*. De Álgebra recuerde que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la intersección en *y* es la coordenada *y* del punto (0, *a*) donde la línea cruza el eje *y*. Desde el cálculo, la pendiente es la primera derivada de la función. Para una función lineal la pendiente es *dy* / *dx* = *b* donde podemos leer la expresión matemática como "el cambio en *y* (*dy*) que resulta de un cambio en *x* (*dx*) = *b* \* *dx*".

La ecuación de regresión

Supuestos del modelo de regresión de mínimos cuadrados ordinarios

Cada uno de estos supuestos requiere mayor explicación. Si uno de estos supuestos no se cumple, afectará a la calidad de las estimaciones. Algunas de las fallas de estos supuestos pueden solucionarse, mientras que otras dan lugar a estimaciones que, sencillamente, no aportan nada a las preguntas que el modelo intenta responder o, peor aún, dan lugar a estimaciones sesgadas.

1. Las variables independientes, ${x}_{i}$, se miden sin error, y son números fijos que son independientes del término de error. Esta suposición nos indica en efecto que Y es determinista, el resultado de un componente fijo "X" y un componente de error aleatorio "ϵ".
2. El término de error es una variable aleatoria con una media de cero y una varianza constante. Esto significa que las varianzas de las variables independientes no se fundamentan en el valor de la variable. Consideremos la relación entre el ingreso personal y la cantidad de un bien comprado como ejemplo de un caso en el que la varianza depende del valor de la variable independiente, el ingreso. Es plausible que, a medida que aumentan los ingresos, la variación en torno a la cantidad comprada también aumente simplemente por la flexibilidad que proporcionan los niveles de ingresos más altos. El supuesto es de varianza constante con respecto a la magnitud de la variable independiente, llamada homoscedasticidad. Si el supuesto falla, se denomina heteroscedasticidad. La [link] muestra el caso de la homoscedasticidad en el que las tres distribuciones tienen la misma varianza en torno al valor predicho de Y, sin importar la magnitud de X.
3. Si bien las variables independientes son todas valores fijos, provienen de una distribución de probabilidad que se distribuye normalmente. Esto puede verse en la [link] por la forma de las distribuciones situadas en la línea de predicción en el valor esperado del valor correspondiente de Y.
4. Las variables independientes son distintas de Y, pero también se supone que sean distintas a las demás variables X. El modelo está diseñado para estimar los efectos de las variables independientes sobre alguna variable dependiente de acuerdo con una teoría propuesta. El caso en el que algunas o más de las variables independientes están correlacionadas no es inusual. Puede que no haya ninguna relación de causa y efecto entre las variables independientes; sin embargo, se mueven juntas. Tomemos el caso de una curva de oferta simple en la que la cantidad suministrada está teóricamente relacionada con el precio del producto y los precios de los insumos. Puede haber varios insumos que, con el tiempo, se muevan juntos por la presión inflacionaria general. Por consiguiente, los precios de los insumos trastocarán este supuesto del análisis de regresión. Esta condición se denomina multicolinealidad, que se abordará en detalle más adelante.
5. Los términos de error no están correlacionados entre sí. Esta situación surge de un efecto sobre un término de error de otro término de error. Aunque no se trata exclusivamente de un problema de series temporales, es aquí donde más a menudo vemos este caso. Una variable X en el tiempo uno tiene un efecto en la variable Y, pero este efecto tiene luego un efecto en el siguiente tiempo. Este efecto da lugar a una relación entre los términos de error. Este caso se denomina autocorrelación, "autocorrelacionado". Los términos de error no son ahora independientes entre sí, sino que tienen su propio efecto sobre los términos de errores subsiguientes.

Comprobación de los parámetros de la línea

Todo el objetivo del análisis de regresión era probar la hipótesis de que la variable dependiente, Y, dependía de hecho de los valores de las variables independientes, tal y como afirmaba alguna teoría de base, como el ejemplo de la función de consumo. De cara a la ecuación estimada en la [link], esto equivale a determinar los valores de b0 y b1. Observe que de nuevo utilizamos la convención de letras griegas para los parámetros de la población y letras romanas para sus estimaciones.

Multicolinealidad

Nuestro análisis anterior indicaba que, al igual que todos los modelos estadísticos, el modelo de regresión de los MCO lleva aparejados importantes supuestos. Cada supuesto, si se viola, tiene un efecto sobre la capacidad del modelo para proporcionar estimaciones útiles y significativas. El teorema de Gauss-Markov nos asegura que las estimaciones de los MCO son imparciales y de varianza mínima, pero esto es cierto solo bajo los supuestos del modelo. Aquí veremos los efectos en las estimaciones de los MCO si las variables independientes están correlacionadas. En los cursos de Econometría se examinan los demás supuestos y los métodos para mitigar las dificultades que plantean si se incumplen. Nos ocupamos de la multicolinealidad porque es frecuente en los modelos económicos, con resultados a menudo frustrantes.

¿Qué tan buena es la ecuación?

En la última sección nos ocupamos de comprobar la hipótesis de que la variable dependiente de hecho dependía de la variable o variables independientes hipotéticas. Puede que encontremos una variable independiente que tenga algún efecto sobre la variable dependiente, pero puede que no sea la única, y puede que ni siquiera sea la más importante. Recuerde que el término de error se colocó en el modelo para captar los efectos de cualquier variable independiente que falte. De ello se desprende que el término de error se utiliza para dar una medida de la "bondad del ajuste" de la ecuación, tomada en su conjunto para explicar la variación de la variable dependiente, Y.

Variables ficticias

Hasta ahora, el análisis de la técnica de regresión de los MCO suponía que las variables independientes de los modelos probados eran variables aleatorias continuas. Sin embargo, no hay restricciones en el modelo de regresión contra las variables independientes que son binarias. Esto abre el modelo de regresión para comprobar las hipótesis relativas a variables categóricas como el sexo, la raza, la región del país, antes de un determinado dato, después de una determinada fecha y otras innumerables. Estas variables categóricas solo toman dos valores, 1 y 0, éxito o fracaso, de la distribución de probabilidad binomial. La forma de la ecuación pasa a ser:

Interpretación de los coeficientes de regresión: elasticidad y transformación logarítmica

Transformación logarítmica de los datos

Las estimaciones por los mínimos cuadrados ordinarios suponen que la relación poblacional entre las variables es lineal y, por ende, de la forma presentada en la ecuación de regresión. En esta forma, la interpretación de los coeficientes es la que se ha comentado anteriormente; simplemente, el coeficiente proporciona una estimación del impacto del cambio de una unidad en X sobre Y, medido en unidades de Y. No importa en qué punto de la línea se quiera hacer la medición, porque es una línea recta con una pendiente constante y, por lo tanto, un nivel estimado constante de impacto por unidad de cambio. Sin embargo, puede que el analista desee estimar no el impacto unitario simple, medido en la variable Y, sino la magnitud del impacto porcentual en Y de un cambio unitario en la variable X. Un caso de este tipo podría ser cómo un cambio unitario en la experiencia, digamos un año, afecta no a la cantidad absoluta del salario de un trabajador, sino al impacto porcentual en el salario del trabajador. Otra posibilidad es que la pregunta que se formule sea el impacto medido por unidad en Y de un incremento porcentual específico en X. Un ejemplo sería: «¿En cuántos dólares aumentarán las ventas si la empresa gasta un X por ciento más en publicidad?" La tercera posibilidad es el caso de la elasticidad que hemos comentado anteriormente. Aquí nos interesa el impacto porcentual en la cantidad demandada para un determinado cambio porcentual en el precio, en el ingreso o quizás en el precio de un bien sustitutivo. Los tres casos pueden estimarse al transformar los datos a logaritmos antes de ejecutar la regresión. Los coeficientes resultantes proporcionarán una medida de cambio porcentual de la variable correspondiente.

Predicción con una ecuación de regresión

Cómo utilizar Microsoft Excel® para el análisis de regresión

Estimación de la demanda de rosas

A continuación se muestra un ejemplo de utilización del programa Excel para realizar una regresión para un caso concreto: estimar la demanda de rosas. Tratamos de estimar una curva de demanda, que desde la teoría económica esperamos que ciertas variables afecten la cantidad de un bien que compramos. La relación entre el precio de un bien y la cantidad demandada es la curva de demanda. Además, tenemos la función de demanda, que incluye otras variables relevantes: el ingreso de la persona, el precio de los bienes sustitutivos y quizás otras variables como la estación del año o el precio de los bienes complementarios. La cantidad demandada será nuestra variable Y, y el precio de las rosas, el precio de los claveles y el ingreso serán nuestras variables independientes, las variables X.

Cuadros estadísticos

Distribución *F*

Distribución de probabilidad normal estándar: tabla *Z*

Distribución de la *t* de Student

Para las probabilidades seleccionadas, *a*, la tabla muestra los valores *t**v, a* tales que *P*(*t**v* > *t**v, a*) = *a*, donde *t**v* es una variable aleatoria *t* de Student con *v* grados de libertad. Por ejemplo, la probabilidad es 0,10 de que una variable aleatoria *t* de Student con 10 grados de libertad supere 1,372.

Distribución de la probabilidad χ2

Conjuntos de datos

Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas

Oraciones en español escritas matemáticamente

Símbolos y su significado

Fórmulas


Prefacio

Abstract: Introducción a la estadística está pensado para el curso introductorio de Estadística de un semestre para estudiantes que no están especializados en Matemáticas ni Ingeniería. Se centra en la interpretación de resultados estadísticos, especialmente en entornos del mundo real, y asume que los estudiantes tienen una comprensión del álgebra intermedia. Además de la práctica al final de la sección y de los conjuntos de tareas, los ejemplos de cada tema se explican paso a paso a lo largo del texto y van seguidos de un problema de “Ejercicios” que está diseñado como práctica adicional para los estudiantes. Este libro también incluye ejercicios de colaboración y laboratorios de estadística diseñados para darles a los estudiantes la oportunidad de trabajar juntos y explorar los conceptos clave. Para ayudar al estudiante de hoy en día a entender la tecnología, este libro presenta las instrucciones de las calculadoras TI 83, 83+, 84 y 84+ en puntos estratégicos en todo momento. Aunque el libro se ha construido de manera que cada capítulo se basa en el anterior, puede reorganizarse para adaptarse a las necesidades particulares de cualquier instructor.

Acerca de OpenStax

OpenStax es una organización sin fines de lucro con sede en la Universidad de Rice. Nuestra misión es mejorar el acceso de los estudiantes a la educación. Nuestro primer libro de texto universitario con licencia abierta se publicó en 2012, y desde entonces nuestra biblioteca se ha ampliado a más de 25 libros para cursos universitarios y de Colocación Avanzada (Advanced Placement, AP®) utilizados por cientos de miles de estudiantes. OpenStax Tutor, nuestra herramienta de aprendizaje personalizado de bajo costo, se utiliza en cursos universitarios de todo el país. A través de nuestras asociaciones con fundaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras organizaciones de recursos educativos, OpenStax rompe las barreras más comunes para el aprendizaje y otorga poder a los estudiantes e instructores para que triunfen.

Sobre los recursos de OpenStax

Acerca de
 *Introducción a la estadística*

*Introducción a la estadística*
 sigue los requisitos de alcance y secuencia de un curso de Introducción a la estadística de un semestre y está orientado a los estudiantes que se especializan en campos distintos de las matemáticas o la ingeniería. El texto asume algunos conocimientos de álgebra intermedia y se centra en la aplicación de la estadística por encima de la teoría.
 *Introducción a la estadística*
 incluye innovadoras aplicaciones prácticas que hacen que el texto sea relevante y accesible, así como ejercicios de colaboración, problemas de integración tecnológica y laboratorios de Estadística.

Recursos adicionales

Sobre los autores

Muestreo y datos

Introducción

Abstract: Introducción

Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave

Probabilidad

La probabilidad es una herramienta matemática utilizada para estudiar el azar. Se trata de la oportunidad (la posibilidad) de que se produzca un evento. Por ejemplo, si se lanza una moneda **imparcial** cuatro veces, los resultados no pueden ser dos caras y dos cruces. Sin embargo, si se lanza la misma moneda 4.000 veces, los resultados se aproximarán a mitad cara y mitad cruz. La probabilidad teórica esperada de salir cara en cualquier lanzamiento es $\frac{1}{2}$ o 0,5. Aunque los resultados de unas pocas repeticiones son inciertos, existe un patrón regular de resultados cuando hay muchas repeticiones. Tras leer sobre el estadístico inglés Karl Pearson, que lanzó una moneda 24.000 veces con un resultado de 12.012 caras, uno de los autores lanzó una moneda 2.000 veces. Los resultados fueron 996 caras. La fracción $\frac{996}{2000}$ es igual a 0,498, que está muy cerca de 0,5, la probabilidad esperada.

Términos clave

En estadística, generalmente queremos estudiar una población. Se puede pensar en una población como un conjunto de personas, cosas u objetos en estudio. Para estudiar la población seleccionamos una muestra. La idea del muestreo es seleccionar una porción (o subconjunto) de la población mayor y estudiar esa porción (la muestra) para obtener información sobre la población. Los datos son el resultado de un muestreo de una población.

Datos, muestreo y variación de datos y muestreo

Discusión de datos cualitativos

A continuación se muestran tablas que comparan el número de estudiantes a tiempo parcial y a tiempo completo en De Anza College y Foothill College inscritos para el trimestre de primavera de 2010. Las tablas muestran recuentos (frecuencias) y porcentajes o proporciones (frecuencias relativas). Las columnas de porcentajes facilitan la comparación de las mismas categorías en los institutos universitarios. Suele ser útil mostrar porcentajes junto con números, pero es especialmente importante cuando se comparan conjuntos de datos que no tienen los mismos totales, como las inscripciones totales de ambos institutos universitarios en este ejemplo. Observe que el porcentaje de estudiantes a tiempo parcial del Foothill College es mucho mayor que el del De Anza College.

Muestreo

Recopilar información sobre toda una población suele ser demasiado costoso o prácticamente imposible. En cambio, utilizamos una muestra de la población. **Una muestra debe tener las mismas características que la población que representa.** La mayoría de los estadísticos utilizan varios métodos de muestreo aleatorio para intentar alcanzar esta meta. En esta sección se describen algunos de los métodos más comunes. Existen varios métodos de **muestreo aleatorio**. En cada forma de muestreo aleatorio, cada miembro de una población tiene inicialmente la misma probabilidad de que lo seleccionen para la muestra. Cada método tiene sus pros y sus contras. El método más fácil de describir se llama **muestra aleatoria simple**. Cualquier grupo de *n* personas tiene la misma probabilidad de que lo seleccionen que cualquier otro grupo de *n* personas si se utiliza la técnica de muestreo aleatorio simple. En otras palabras, cada muestra del mismo tamaño tiene la misma probabilidad de que la seleccionen. Por ejemplo, supongamos que Lisa quiere formar un grupo de estudio de cuatro personas (ella y otras tres) de su clase de precálculo, que tiene 31 miembros sin incluir a Lisa. Para elegir una muestra aleatoria simple de tamaño tres entre los demás miembros de su clase, Lisa podría poner los 31 nombres en un sombrero, agitar el sombrero, cerrar los ojos y elegir tres nombres. Una forma más tecnológica es que Lisa enumere primero los apellidos de los miembros de su clase junto con un número de dos dígitos, como en la [link]:

Variación de los datos

La variación está presente en cualquier conjunto de datos. Por ejemplo, las latas de bebida de 16 onzas pueden contener más o menos de 16 onzas de líquido. En un estudio, se midieron ocho latas de 16 onzas y produjeron la siguiente cantidad (en onzas) de bebida:

Variación en las muestras

Ya se ha mencionado anteriormente que dos o más muestras de la misma población, tomadas al azar y que se aproximen a las mismas características de la población serán probablemente diferentes entre sí. Supongamos que Doreen y Jung deciden estudiar la cantidad promedio de tiempo que los estudiantes de su instituto universitario duermen cada noche. Doreen y Jung toman cada uno muestras de 500 estudiantes. Doreen utiliza el muestreo sistemático y Jung el muestreo por conglomerados. La muestra de Doreen será diferente a la de Jung. Aunque Doreen y Jung utilizaran el mismo método de muestreo, con toda probabilidad sus muestras serían diferentes. Sin embargo, ninguno de los dos estaría equivocado.

Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición

Respuestas y redondeo

Una forma sencilla de redondear las respuestas es llevar la respuesta final a un decimal más de los que aparecen en los datos originales. Redondee solo la respuesta final. Si es posible, no redondee los resultados intermedios. Si es necesario redondear los resultados intermedios, llévelos al menos al doble de decimales que la respuesta final. Por ejemplo, el promedio de las tres puntuaciones de un cuestionario que son cuatro, seis y nueve es 6,3, redondeada a la décima más cercana, porque los datos son números enteros. La mayoría de las respuestas se redondearán de esta manera.

Niveles de medición

La forma de medir un conjunto de datos se denomina nivel de medición. Los procedimientos estadísticos correctos dependen de que el investigador esté familiarizado con los niveles de medición. No todas las operaciones estadísticas se pueden usar con todos los conjuntos de datos. Los datos se pueden clasificar en cuatro niveles de medición. Son (de menor a mayor nivel):

Frecuencia

Se les preguntó a veinte estudiantes cuántas horas trabajaban al día. Sus respuestas, en horas, son las siguientes: 56332475235654435253.

Diseño experimental y ética

Ética

El mal uso y la tergiversación generalizados de la información estadística suelen dar mala fama a este campo. Algunos dicen que "los números no mienten", pero las personas que utilizan los números para apoyar sus afirmaciones a menudo lo hacen.

Experimento de recopilación de datos

Experimento de muestreo

Estadística descriptiva

Introducción

Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras

Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales

Polígonos de frecuencia

Los polígonos de frecuencias son análogos a los gráficos de líneas y, al igual que los gráficos de líneas facilitan la interpretación visual de los datos continuos, también lo hacen los polígonos de frecuencias.

Construcción de un gráfico de series temporales

Para construir un gráfico de series temporales debemos observar las dos partes de nuestro conjunto de datos emparejados. Comenzamos con un sistema de coordenadas cartesianas estándar. El eje horizontal se utiliza para trazar la fecha o los incrementos de tiempo, y el eje vertical se utiliza para trazar los valores de la variable que estamos midiendo. De este modo, hacemos que cada punto del gráfico corresponda a una fecha y a una cantidad medida. Los puntos del gráfico suelen estar conectados por líneas rectas en el orden en que se producen.

Medidas de la ubicación de los datos

Una fórmula para hallar el percentil *k*

Si investiga un poco, hallará varias fórmulas para calcular el percentil *k* Aquí está una de ellas.

Una fórmula para hallar el percentil de un valor en un conjunto de datos

Interpretación de percentiles, cuartiles y mediana

Un percentil indica la posición relativa de un valor de datos cuando estos se ordenan numéricamente de menor a mayor. Los porcentajes de los valores de los datos son menores o iguales al percentil p. Por ejemplo, el 15 % de los valores de los datos son inferiores o iguales al percentil 15.

Diagramas de caja

Medidas del centro de los datos

La ley de los grandes números y la media

La ley de los grandes números dice que, si se toman muestras de tamaño cada vez mayor de cualquier población, entonces la media $\overline{x}$ de la muestra es muy probable que se acerque cada vez más a *µ.* Esto se analiza con más detalle más adelante en el texto.

Distribuciones muestrales y estadística de una distribución muestral

Se puede pensar en una distribución de muestreo como una  **distribución de frecuencia relativa** con un gran número de muestras (vea la sección **Muestreo y datos** para hacer un repaso de la frecuencia relativa). Supongamos que se pregunta a treinta estudiantes seleccionados al azar el número de películas que vieron la semana anterior. Los resultados se encuentran en la **tabla de frecuencias relativas** que se muestra a continuación.

Cálculo de la media de las tablas de frecuencias agrupadas

Cuando solo se dispone de datos agrupados no se conocen los valores individuales de los datos (solo conocemos los intervalos y las frecuencias de los intervalos); por lo tanto, no se puede calcular una media exacta para el conjunto de datos. Lo que debemos hacer es estimar la media real calculando la media de una tabla de frecuencias. Una tabla de frecuencias es una representación de datos en la que se muestran datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes. Para calcular la media de una tabla de frecuencias agrupadas podemos aplicar la definición básica de media: *media* = $\frac{\text{suma de los datos}}{\text{número de los valores de los datos}}$ Simplemente tenemos que modificar la definición para que se ajuste a las restricciones de una tabla de frecuencias.

Distorsión y media, mediana y moda

Medidas de la dispersión de los datos

La desviación típica

Variabilidad muestral de una estadística

La estadística de una distribución muestral se trató en Estadística descriptiva: medidas del centro de los datos. El grado de variación de la estadística de una muestra a otra se conoce como variabilidad muestral de una estadística. Normalmente se mide la variabilidad muestral de una estadística por su error estándar. El **error estándar de la media** es un ejemplo de error estándar. Es una desviación típica especial y se conoce como la desviación típica de la distribución muestral de la media. El error estándar de la media se tratará en el capítulo El teorema del límite central en otro momento. La notación para el error estándar de la media es $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ donde *σ* es la desviación típica de la población y n es el tamaño de la muestra.

Desviación típica de las tablas de frecuencia agrupadas

Recordemos que para los datos agrupados no conocemos los valores individuales de los datos, por lo que no podemos describir el valor típico de los datos con precisión. En otras palabras, no podemos hallar la media, la mediana ni la moda exactas. Sin embargo, podemos determinar la mejor estimación de las medidas de centro al hallar la media de los datos agrupados con la fórmula $\mathit{\text{Tabla de media de la frecuencia}}=\frac{\sum em}{\sum e}$
donde $e=$ frecuencias de intervalo y *m* = puntos medios del intervalo.

Comparación de valores de diferentes conjuntos de datos

La desviación típica es útil cuando se comparan valores de datos que provienen de diferentes conjuntos de datos. Si los conjuntos de datos tienen medias y desviaciones típicas diferentes, la comparación directa de los valores de los datos puede ser engañosa.

Estadística descriptiva

Temas de probabilidad

Introducción

Terminología

Eventos mutuamente excluyentes e independientes

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si lo siguiente es cierto:

Eventos mutuamente excluyentes

*A* y *B* son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Esto significa que *A* y *B* no comparten ningún resultado y *P*(*A* Y *B*) = 0.

Dos reglas básicas de la probabilidad

La regla de multiplicación

Si *A* y *B* son dos eventos definidos en un espacio muestral, entonces: *P*(*A* Y *B*) = *P*(*B*)*P*(*A*|*B*).

La regla de adición

Si *A* y *B* están definidos en un espacio muestral, entonces: *P*(*A* O *B*) = *P*(*A*) + *P*(*B*) - *P*(*A* Y *B*).

Tablas de contingencia

Diagramas de árbol y de Venn

Diagramas de árbol

Un diagrama de árbol es un tipo especial de gráfico utilizado para determinar los resultados de un experimento. Consta de “ramas” que se identifican con frecuencias o probabilidades. Los diagramas de árbol pueden hacer que algunos problemas de probabilidad sean más fáciles de visualizar y resolver. El siguiente ejemplo ilustra cómo utilizar un diagrama de árbol.

Diagrama de Venn

Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en un recuadro que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos.

Temas de probabilidad

Variables aleatorias discretas

Introducción

Notación de la variable aleatoria

Las letras mayúsculas como *X* o *Y* denotan una variable aleatoria. Las letras minúsculas como *x* o *y* denotan el valor de una variable aleatoria. Si ***X* es una variable aleatoria, entonces *X* se escribe con palabras y *x* se da como un número.**

Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta

Media o valor esperado y desviación típica

Distribución binomial

Notación para el binomio: *B* = Función de distribución de la probabilidad binomial

*X* ~ *B*(*n*, *p*)

Distribución geométrica

Notación para la Geometría: G = Función de distribución de probabilidad geométrica

*X* ~ *G*(*p*)

Distribución hipergeométrica

Notación para el hipergeométrico: H = Función de distribución de la probabilidad hipergeométrica

*X* ~ *H*(*r*, *b*, *n*)

Distribución de Poisson

Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson

*X* ~ *P*(*μ*)

Distribución discreta (experimento con cartas)

Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte)

Variables aleatorias continuas

Introducción

Propiedades de las distribuciones de probabilidad continuas

El gráfico de una distribución de probabilidad continua es una curva. La probabilidad se representa mediante el área que está debajo de la curva.

Funciones de probabilidad continuas

La distribución uniforme

La distribución exponencial

La falta de memoria de la distribución exponencial

En el [link] recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos (*X* ~ *Exp* (0,5)). Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la **propiedad de falta de memoria**. Específicamente, la **propiedad de falta de memoria** dice que

Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial

Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de *μ* unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con media *λ* = 1/μ. Recordemos del capítulo de Variables aleatorias discretas que si *X* tiene la distribución de Poisson con media *λ*, entonces $P\left(X=k\right)=\frac{{\lambda }^{k}{e}^{–\lambda }}{k!}$. Por el contrario, si el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson, entonces la cantidad de tiempo entre eventos sigue la distribución exponencial.(*k*! = *k*\*(*k*–1\*)(*k*–2)\*(*k*–3)\*…3\*2\*1)

Distribución continua

La distribución normal

Introducción

La distribución normal estándar

Puntuaciones *z*

Si *X* es una variable aleatoria normalmente distribuida y *X* ~ *N(μ, σ)*, entonces la puntuación *z* es:

Uso de la distribución normal

Cálculo de probabilidades

Las probabilidades se calculan mediante la tecnología. Se dan las instrucciones necesarias para las calculadoras TI-83+ y TI-84.

Distribución normal (tiempos de vuelta)

Distribución normal (longitud del meñique)

El teorema del límite central

Introducción

Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)

El teorema del límite central para las sumas

Uso del teorema del límite central

Ejemplos del teorema del límite central

Teorema del límite central (monedas en el bolsillo)

Teorema del límite central (recetas de galletas)

Intervalos de confianza

Introducción

La media de una población utilizando la distribución normal

Cálculo del intervalo de confianza

Para construir un intervalo de confianza para una única media poblacional desconocida *μ*, **cuando se conoce la desviación típica de la población**, necesitamos $\overline{x}$ como una estimación de *μ* y necesitamos el margen de error. Aquí, el margen de error (*EBM*) se denomina límite de error para una media poblacional (abreviado ***EBM***). La media muestral $\overline{x}$ es la **estimación puntual** de la media poblacional desconocida *μ*.

Hacer el cálculo a la inversa para calcular el límite de error o la media de la muestra

Cuando calculamos un intervalo de confianza, encontramos la media de la muestra, calculamos el límite de error y lo utilizamos para calcular el intervalo de confianza. Sin embargo, a veces, cuando leemos estudios estadísticos, el estudio puede indicar solo el intervalo de confianza. Si conocemos el intervalo de confianza, podemos hacer el cálculo a la inversa para hallar tanto el límite de error como la media de la muestra.

Cálculo del tamaño de la muestra *n*

Si los investigadores desean un margen de error específico, pueden utilizar la fórmula del límite de error para calcular el tamaño necesario de la muestra.

La media de una población utilizando la distribución t de Student

Una proporción de la población

Intervalo de confianza "más cuatro" para *p*

En el proceso de cálculo de un intervalo de confianza para una proporción se introduce una cierta cantidad de error. Dado que no conocemos la verdadera proporción de la población, nos vemos obligados a utilizar estimaciones puntuales para calcular la desviación típica adecuada de la distribución muestral. Los estudios han demostrado que la estimación resultante de la desviación típica puede ser errónea.

Cálculo del tamaño de la muestra *n*

Intervalo de confianza (costos de hogares)

Intervalo de confianza (lugar de nacimiento)

Intervalo de confianza (altura de las mujeres)

Pruebas de hipótesis con una muestra

Introducción

Hipótesis nula y alternativa

Resultados y errores de tipo I y II

Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis

Supuestos

Cuando se realiza una prueba de hipótesis **de una única media poblacional *μ*** utilizando una distribución *t* de estudiantes (a menudo llamada prueba t), hay supuestos fundamentales que deben cumplirse para que la prueba funcione correctamente. Sus datos deben ser una muestra aleatoria simple que provenga de una población que se distribuya de forma normal aproximadamente. Se utiliza la desviación típica de la muestra para aproximar la desviación típica de la población (tenga en cuenta que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, una prueba t funcionará incluso si la población no está distribuida de forma aproximadamente normal).

Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión

Eventos poco comunes

Suponga que hace una suposición sobre una propiedad de la población (esta suposición es la hipótesis nula). A continuación, recoja los datos de la muestra de forma aleatoria. Si la muestra tiene propiedades que sería muy **improbable** que ocurrieran si la suposición es cierta, entonces concluiría que su suposición sobre la población es probablemente incorrecta. (Recuerde que es solo una suposición, no es un hecho y puede o no ser cierta. Pero los datos de su muestra son reales y los datos le muestran un hecho que parece contradecir su suposición).

Uso de la muestra para probar la hipótesis nula

Utilice los datos de la muestra para calcular la probabilidad real de obtener el resultado de la prueba, denominada valor *p*. El valor *p* es la **probabilidad de que, si la hipótesis nula es cierta, los resultados de otra muestra seleccionada al azar sean tan extremos o más extremos que los resultados obtenidos en la muestra dada.**

Decisión y conclusión

Una forma sistemática de tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula es comparar el valor *p* y un **α preestablecido o preconcebido (también llamado "nivel de significación").** Un *α* preestablecido es la probabilidad de un error tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). Puede que se le entregue o no al principio del problema.

Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas

Ejemplos de pruebas de hipótesis completas

Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción

Pruebas de hipótesis con dos muestras

Introducción

Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas

Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas

Comparación de dos proporciones de población independientes

Muestras coincidentes o emparejadas

Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones

La distribución chi-cuadrado

Introducción

Datos sobre la distribución chi-cuadrado

Prueba de bondad de ajuste

Prueba de independencia

Prueba de homogeneidad

Comparación de las pruebas chi-cuadrado

Prueba de una sola varianza

Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado

Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado

Regresión lineal y correlación

Introducción

Ecuaciones lineales

Pendiente e intersección en *Y* de una ecuación lineal

Para la ecuación lineal *y* = *a* + *bx*, *b* = pendiente y *a* = intersección en *y*. De Álgebra recuerde que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la intersección en *y* es la coordenada *y* del punto (0, *a*) donde la línea cruza el eje *y*.

Diagramas de dispersión

La ecuación de regresión

Criterio de mínimos cuadrados para el mejor ajuste

El proceso de ajuste de la línea de mejor ajuste se denomina **regresión lineal**. La idea de hallar la línea de mejor ajuste se basa en la suposición de que los datos están dispersos alrededor de una línea recta. El criterio para la línea de mejor ajuste es que la suma de errores al cuadrado (SSE) se minimice, es decir, que sea lo más pequeña posible. Cualquier otra línea que se elija tendrá una SSE mayor que la línea de mejor ajuste. Esta línea de mejor ajuste se denomina  **línea de regresión por mínimos cuadrados** .

ENTENDER LA PENDIENTE

La pendiente de la línea, *b*, describe cómo se relacionan los cambios en las variables. Es importante interpretar la pendiente de la línea en el contexto de la situación representada por los datos. Debería ser capaz de escribir una frase interpretando la pendiente en inglés sencillo.

El coeficiente de correlación *r*

Además de mirar el diagrama de dispersión y ver que una línea parece razonable, ¿cómo se puede saber si la línea es un buen predictor? Utilice el coeficiente de correlación como otro indicador (además del diagrama de dispersión) de la fuerza de la relación entre *x* y *y*.

El coeficiente de determinación

**La variable *r*2 se denomina el** coeficiente de determinación y es el cuadrado del coeficiente de correlación, pero suele indicarse en porcentaje, en lugar de en forma decimal. Tiene una interpretación en el contexto de los datos:

Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación

COMPROBACIÓN DE LA HIPÓTESIS

SIGNIFICADO DE LAS HIPÓTESIS EN PALABRAS:

EJEMPLO DE TERCER EXAMEN vs. EXAMEN FINAL: método del valor crítico

Considere el ejemplo del tercer examen/examen final. La línea de mejor ajuste es: *ŷ* = -173,51+4,83*x* con *r* = 0,6631 y hay *n* = 11 puntos de datos. ¿Se puede utilizar la línea de regresión para la predicción? **Dada la puntuación del tercer examen (*valor x*), ¿podemos utilizar la línea para predecir la puntuación del examen final (valor *y* predicho)?**

Supuestos para comprobar la significación del coeficiente de correlación

La comprobación de la significación del coeficiente de correlación requiere que se cumplan ciertos supuestos sobre los datos. La premisa de esta prueba es que los datos son una muestra de puntos observados tomados de una población mayor. No hemos examinado a toda la población porque no es posible ni factible hacerlo. Estamos examinando la muestra para sacar una conclusión sobre si la relación lineal que vemos entre *x* y *y* en los datos de la muestra proporciona una evidencia lo suficientemente contundente como para que podamos concluir que existe una relación lineal entre *x* y *y* en la población.

Predicción

Valores atípicos

Identificar los valores atípicos

Podríamos adivinar los valores atípicos al observar un gráfico del diagrama de dispersión y la línea de mejor ajuste. Sin embargo, nos gustaría contar con alguna directriz sobre la distancia que debe tener un punto para considerarse un valor atípico.  **Como regla general, podemos señalar como valor atípico cualquier punto que esté situado más de dos desviaciones típicas por encima o por debajo de la línea de mejor ajuste.** La desviación típica utilizada es la de los residuales o errores.

Identificación numérica de los valores atípicos

En la [link], las dos primeras columnas son los datos del tercer examen y del examen final. La tercera columna muestra los valores *ŷ* predichos, calculados a partir de la línea de mejor ajuste: *ŷ* = -173,5 + 4,83*x*. Los residuales, o errores, se han calculado en la cuarta columna de la tabla: valor *y* observado - valor y predicho = *y* - *ŷ*.

¿Cómo afecta el valor atípico la línea de mejor ajuste?

Numérica y gráficamente, hemos identificado el punto (65, 175) como un valor atípico. Deberíamos repasar los datos de este punto para ver si hay algún problema con estos. Si hay un error, debemos corregirlo si es posible o eliminar los datos. Si son correctos, los dejaríamos en el conjunto de datos. Para este problema, supondremos que examinamos y descubrimos que estos datos atípicos son un error. Por lo tanto, seguiremos adelante y eliminaremos el valor atípico, para poder explorar cómo afecta los resultados, como experiencia de aprendizaje.

Identificación numérica de valores atípicos: Calcular *s* y buscar valores atípicos manualmente

Si no tiene la función LinRegTTest, puede calcular el valor atípico del primer ejemplo; haga lo siguiente.

 Primero, **eleve al cuadrado cada |*y* - *ŷ*|**

Valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra

Regresión (distancia desde la escuela)

Regresión (costo de los libros de texto)

Regresión (eficiencia del combustible)

Distribución F y análisis de varianza anova de una vía

Introducción

ANOVA de una vía

Hipótesis nula y alternativa

La hipótesis nula es simplemente que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis alternativa es que, al menos, un par de medias es diferente. Por ejemplo, si hay grupos *k*:

La distribución F y el cociente F

Notación

La notación para la distribución *F* es *F* ~ *F**df*(*num*),*df*(*denom*)

Datos sobre la distribución F

Prueba de dos varianzas

Laboratorio: ANOVA de una vía

Ejercicios de repaso (caps. 3-13)

Capítulo 3

*Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios:* En un estudio de 100 acciones del NASDAQ, el porcentaje promedio de aumento del año pasado fue del 9 % para las acciones del NASDAQ.

Capítulo 4

*Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios:* Una encuesta reciente sobre tarjetas de crédito reveló que el 35 % de los encuestados utiliza una tarjeta de crédito que les da una milla de viaje en avión por cada dólar que cargan. El 30 % de los encuestados cobra más de 2.000 dólares al mes. De los encuestados que cargan más de 2.000 dólares, el 80 % utiliza una tarjeta de crédito que les da una milla de viaje en avión por cada dólar que cargan.

Capítulo 5

*Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios:* Un estudio reciente sobre las madres de estudiantes de secundaria júnior en el condado de Santa Clara informó de que el 76 % de ellas están empleadas en puestos remunerados. De las madres que trabajan, el 64 % lo hace a tiempo completo (más de 35 horas semanales) y el 36 % a tiempo parcial. Sin embargo, de todas las madres de la población, el 49 % trabaja a tiempo completo. La población objeto de estudio está formada por las madres de estudiantes de escuela secundaria júnior en el condado de Santa Clara. Sea que E = empleado y F = empleo a tiempo completo.

Capítulo 6

*Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: X* ~ *U*(3, 13)

Capítulo 7

*Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios:* Richard's Furniture Company entrega los muebles desde las 10 a. m. hasta las 2 p. m. de forma continua y uniforme. Nos interesa saber cuánto tiempo (en horas) después de la hora de inicio de las 10 a. m. las personas esperan su entrega.

Capítulo 8

*Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios:* Supongamos que una muestra de 15 personas elegidas al azar se somete a una dieta especial para bajar de peso. La cantidad de peso rebajado, en libras, sigue una distribución desconocida con media igual a 12 libras y desviación típica igual a tres libras. Supongamos que la distribución de la pérdida de peso es normal.

Capítulo 9

**73.** Rebecca y Matt son gemelos de 14 años. La altura de Matt está dos desviaciones típicas por debajo de la media de la altura de los chicos de 14 años. La estatura de Rebeca está 0,10 desviaciones típicas por encima de la media de la estatura de las chicas de 14 años. Interprete esto.

1. Matt es 2,1 pulgadas más bajo que Rebecca.
2. Rebecca es muy alta en comparación con otras chicas de 14 años.
3. Rebecca es más alta que Matt.
4. Matt es más bajo que el promedio de los niños de 14 años.

Capítulo 10

*Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios:* En una encuesta realizada en la estación de esquí de Kirkwood se registró la siguiente información:

Capítulo 11

*Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios:* Supongamos que el tiempo que los propietarios conservan sus automóviles (comprados nuevos) se distribuye normalmente con una media de 7 años y una desviación típica de 2 años. Nos interesa saber cuánto tiempo conserva una persona su automóvil (comprado nuevo). Nuestra población está conformada por personas que compran sus automóviles nuevos.

Capítulo 12

*Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios:* Una encuesta reciente sobre el embarazo precoz en Estados Unidos fue contestada por 720 chicas de entre 12 y 19 años. El 6 % de las chicas encuestadas dijeron que habían estado embarazadas. Nos interesa conocer la verdadera proporción de chicas estadounidenses, de 12 a 19 años, que han estado embarazadas.

Capítulo 13

*Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios:* Supongamos que la probabilidad de que se produzca una sequía en cualquier año independiente es del 20 %. De los años en los que se produce una sequía, la probabilidad de racionamiento de agua es del 10 %. Sin embargo, en cualquier año, la probabilidad de racionamiento de agua es del 5 %.

Soluciones

Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales

Prueba práctica 1

Soluciones de la prueba de práctica 1

Prueba de práctica 2

4.3: Distribución binomial

**18**. En un experimento binomial, si *p* = 0,65, ¿a qué equivale *q*?

4.4: Distribución geométrica

**28**. ¿Cuáles son las tres principales características de un experimento geométrico?

4.5: Distribución hipergeométrica

**35**. Usted extrae una muestra aleatoria de diez estudiantes para que participen en una encuesta de un grupo de 30 formado por 16 niños y 14 niñas. Le interesa la probabilidad de que siete de los estudiantes seleccionados sean niños. ¿Califica esto como un experimento hipergeométrico? Enumere las condiciones y si se cumplen o no.

4.6: Distribución de Poisson

**37**. ¿Cuáles son las principales características de la distribución de Poisson?

5.1: Funciones de probabilidad continuas

**41**. Lleva a cabo una encuesta entre los estudiantes para ver cuántos libros compraron el semestre anterior, la cantidad total que pagaron por esos libros, el número que vendieron una vez terminó el semestre y la cantidad de dinero que recibieron por los libros que vendieron. ¿Cuáles variables de esta encuesta son discretas y cuáles son continuas?

5.2: La distribución uniforme

**47**. Para la distribución de probabilidad continua descrita por la función $e\left(x\right)=\frac{1}{10}$ para $0\le x\le 10$, ¿cuál es la *P*(2 < *x* < 5)?

5.3: La distribución exponencial

**52**. La distribución de la variable *X*, que representa el tiempo promedio hasta el fallo de una batería de automóvil, puede escribirse como *X* ~ *Exp*(*m*). Describa esta distribución con palabras.

6.1: La distribución normal estándar

**55**. Traslade a palabras esta afirmación sobre la distribución de una variable aleatoria *X*: *X* ~ (100, 15).

6.2: Uso de la distribución normal

*Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios.* El distribuidor de billetes de lotería afirma que el 20 % de los billetes son ganadores. Se extrae una muestra de 500 billetes para probar esta proposición.

7.1: Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)

**67**. ¿Qué dice el teorema del límite central con respecto a la distribución de medias muestrales?

7.2: El teorema del límite central para las sumas

**81**. ¿Cómo se aplica el teorema del límite central a las sumas de variables aleatorias?

7.3: Uso del teorema del límite central

**88**. ¿Qué dice la ley de los grandes números sobre la relación entre la media muestral y la media de la población?

Soluciones de la prueba de práctica 2

Prueba práctica 3

Soluciones de la prueba de práctica 3

Prueba práctica 4

Soluciones de la prueba de práctica 4

Práctica del examen final 1

*Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios:* El experimento consiste en lanzar dos dados de 12 caras (los números 1 a 12 están impresos en las caras de cada dado).

* Sea que el evento *A* = ambos dados muestran un número par.
* Sea que el evento *B* = ambos dados muestran un número superior a ocho.

Soluciones del examen final de práctica 1

Práctica del examen final 2

**1**. Se hizo un estudio para determinar la proporción de adolescentes que tienen un automóvil. La proporción de población de adolescentes que tienen un automóvil es la:

1. estadístico.
2. parámetro.
3. población.
4. variable.

Soluciones del examen final de práctica 2

Conjuntos de datos

Tiempos de vuelta

Las siguientes tablas proporcionan los tiempos de vuelta del libro de registro de Terri Vogel. Los tiempos se registran en segundos para las vueltas de 2,5 millas completadas en una serie de carreras y carreras de práctica.

Precios de las acciones

La siguiente tabla recoge los precios de las acciones de la oferta pública inicial (OPI) de todos los valores de 1999 que al menos duplicaron su valor durante el primer día de cotización.

Proyectos de grupos y asociaciones

Datos univariantes

Distribuciones continuas y teorema del límite central

Artículo sobre la prueba de hipótesis

Datos bivariantes, regresión lineal y datos univariantes

Hojas de soluciones

Prueba de hipótesis con una muestra

Hora de clases: __________________________
 Nombre: _____________________________________

Prueba de hipótesis con dos muestras

La distribución chi-cuadrado

Hora de clases: __________________________
 Nombre: ____________________________________

Distribución F y ANOVA de una vía

Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas

Oraciones en español escritas matemáticamente

Fórmulas

Símbolos y su significado

Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+

Consejos rápidos

Leyenda

* ![Un botón de calculadora en blanco](../../media/ti83-button.png)
 representa la pulsación de un botón
* `[ ]` representa el comando amarillo o la letra verde detrás de una tecla
* `< >` representa elementos en la pantalla

Manipulación de estadísticas con una sola variable

Para comenzar:

1. Encienda la calculadora

![tecla ON](../../media/ti83-on.png)
2. Acceda a modo estadística.

![tecla STAT](../../media/ti83-stat.png)
3. Seleccione `<4:ClrList>` para borrar los datos de las listas.

![tecla número 4](../../media/ti83-four.png)
 ,

![la tecla ENTER](../../media/ti83-enter.png)
4. Ingrese la lista `[L1]` que va a eliminar.

![tecla 2nd](../../media/ti83-2nd.png)
 , `[L1]` ,

![la tecla ENTER](../../media/ti83-enter.png)
5. Pida mostrar la última instrucción.

![tecla 2nd](../../media/ti83-2nd.png)
 , `[ENTRY]`
6. Continúe borrando las listas restantes de la misma manera si lo desea.

![tecla de flecha izquierda](../../media/ti83-dir-left.png)
 ,

![tecla 2nd](../../media/ti83-2nd.png)
 , `[L2]` ,

![la tecla ENTER](../../media/ti83-enter.png)
7. Acceda a modo estadística.

![tecla STAT](../../media/ti83-stat.png)
8. Seleccione `<1:Edit . . .>`

![la tecla ENTER](../../media/ti83-enter.png)
9. Introduzca los datos. Los valores de los datos van a `[L1]`. (Es posible que tenga que moverse con la fecha hacia `[L1]`).

	* Escriba un valor de datos e introdúzcalo. (Para los números negativos, utilice la teclanegativo (-) situada en la parte inferior del teclado).

	![tecla de signo negativo](../../media/ti83-negate.png)
	 ,

	![tecla número 9](../../media/ti83-nine.png)
	 ,

	![la tecla ENTER](../../media/ti83-enter.png)
	* Continúe de la misma manera hasta introducir todos los valores de los datos.
10. En `[L2]`, introduzca las frecuencias de cada valor de los datos en `[L1]`.

	* Escriba una frecuencia e introdúzcala. (Si un valor de datos aparece solo una vez, la frecuencia es "1")

	![tecla número 4](../../media/ti83-four.png)
	 ,

	![la tecla ENTER](../../media/ti83-enter.png)
	* Continúe de la misma manera hasta introducir todos los valores de los datos.
11. Acceda a modo estadística.

![tecla STAT](../../media/ti83-stat.png)
12. Navegue hasta `<CALC>`.
13. Acceda a `<1:1-var Stats>`

![la tecla ENTER](../../media/ti83-enter.png)
14. Indique que los datos están en `[L1]`...

![tecla 2nd](../../media/ti83-2nd.png)
 , `[L1]` ,

![tecla de coma](../../media/ti83-comma.png)
15. ...e indique que las frecuencias están en `[L2]`

![tecla 2nd](../../media/ti83-2nd.png)
 , `[L2]` ,

![la tecla ENTER](../../media/ti83-enter.png)
16. Deberían aparecer las estadísticas. Puede bajar la flecha para obtener las estadísticas restantes. Repita la operación si es necesario.

Dibujar histogramas

Construiremos dos histogramas con la aplicación incorporada STATPLOT. La primera forma utilizará el ZOOM por defecto. La segunda forma implicará la personalización de un nuevo gráfico.

Regresión lineal

Instrucciones para distribuciones y pruebas en la TI-83, 83+, 84, 84+

Tablas