als_Latn dik_Latn sag_Latn
Vektori
Vektorët janë madhësi që karakterizohen me një numër skalar, me drejtimin dhe me kahun e caktuar. Madhësitë si gjatësia, syprina, vëllimi, pesha, masa, temperatura, dendësia, puna, energjia etj. karakterizohen vetëm me numër (i cili shprehë raportin ndërmjet madhësisë dhe njësisë për matjen e saj).
Mirëpo, ekzistojnë edhe madhësi të tjera, si bije fjala, forca, shpejtësia, nxitimi, translacioni, rotacioni etj., të cilat përveç numrit karakterizohen edhe me drejtimin dhe kahun. Madhësitë që karakterizohen vetëm me numër quhen madhësi skalare ose skalarë, ndërsa madhësitë që karakterizohen me numër, me drejtim dhe me kahun quhen madhësi vektoriale ose vektorë. Gjeometrikisht çdo madhësi vektoriale mund të paraqitet me një segment të orientuar i cili ka gjatësinë, drejtimin dhe pikën e fillimit (origjinën) të caktuar. Vija e drejtë tregon drejtimin e vektorit, gjatësia e vijës tregon vlerën ose intensitetin , maja e shigjetës tregon kahun, ndërsa pika a tregon pikën e zbatimit.
Segmenti i orientuar zakonisht përkufizohet si segmenti skajet e të cilit merren si dyshe e renditur të pikave dhe quhet segment i orientuar dhe shënohet me .[1] Madhësitë vektoriale paraqiten me një shigjetë mbi shkronjën përkatëse ose duke e theksuar më shumë madhësinë vektoriale.
Përmbajtja
Madhësitë skalare dhe vektoriale[redakto | redakto tekstin burimor]
Në përgjithësi, në msin e madhësive, në rend të parë dallojmë ato madhësi të cilat janë të përcaktuara vetëm me vlerë numerike të tyre, me fjalë tjera, madhësi të cilat përcaktohen me një real, i cili paraqet marrëdhënien e një madhësie të tillë ndaj njësisë së zgjedhur.
Madhësitë përcaktuara me një numër real (me numrin e tyre matës në lidhje me njësinë e zgjedhur) quhen madhësi skalare ose shkurt skalarë. Skalarët paraqitën në boshtin numerik me pika përkatëse dhe krahasohen ndërmjet veti duke kraharuar vlerat numerikë të tyre. Dy skalarë janë të barabartë në qoftë se, në lidhje me njësinë e njëjtë, kanë vlera të njëjta numerike d.m.th., në qoftë se numrat matës të tyre janë të barabartë.
Vektorë të kundërt[redakto | redakto tekstin burimor]
Vektorët simbolikisht shënohen me , , etj. Le të jetë një segment i dhënë me gjatësi , atëherë dihet se vektori mund të paraqitet si një segment i orientuar në të cilin dallojmë pikën e fillimit dhe pikën e mbarimit . Vektorët dhe kanë kahun e kundërt dhe quhen vektorë të kundërt.
Zero vektor[redakto | redakto tekstin burimor]
Drejtëza e përcaktuar nga pikat dhe quhen bartës i vektorit dhe shënohet . Vektori tek i cili pika e fillimit përputhet me pikën e mbarimit quhet zero vektor, ky vektor ka gjatësinë e barabartë më zero dhe shenohet me .
Vektorë njësie[redakto | redakto tekstin burimor]
Vektori me gjatësi 1 quhet vektor njësie ose ort. Dy vektorë janë të barabartë në qoftë se kanë drejtim në njëjtë, kahe të njëjta dhe vlera numerike të barabarta. Në qoftë se së paku njëea nga këto tri veti nuk plotësohet, atëherë themi se vektorët nuk janë të barabartë.
Radius vektorë[redakto | redakto tekstin burimor]
Vektorët me fillim në një pikë të fiksuar të hapësirës quhen vektorë të lidhur për një pikë (radius vektorë). Për shembull ekuacioni
ku me kemi shënuar vektorin me fillim në një pikë të dhënë , ndërsa pika e mbarimit është çfarëdo pikë , paraqet bashkësinë e të gjitha pikave me largësi nga pika , të barabartë me 1; në rrafsh bashkësia e këtyre pikave paraqet rreth, ndërsa në hapësirë sferë. Prandaj
do të jetë ekuacioni i rrethit njësi, respektivisht ekuacioni i sferës njësi.
Vektorë kolinearë[redakto | redakto tekstin burimor]
Të gjithë vektorët të cilët shtrihën në një drejtëz të njëjtë quhen vektorë të lidhur për drejtëz ose vektorë kolinearë. Vektorët të cilët janë të lidhur për drejtëz të njëjtë, në qoftë se kanë intensitetin e barabartë, dhe kahe të njëjta, atëherë ata do të jenë të barabartë. Vektorët e një drejtëze të barabartë me vektorin në drejtëz ë njëjtë formojnë një klasë ekuivalence, ndërsa vektori quhet i lirë. Në veçanti, vektorët në boshtin numerik kanë kahe të njëjta me kahe të boshtit ose të kundërt me të.
Vlera algjebrike e vektorit , në boshtë të dhënë, është numri real ose varësisht nga fakti se a ka kahe të njëjta vektori me boshtin numerik apo kahe të kundërta me të:
ose
Vlera algjebrike e zero-vektori, d.m.th. e vektorit me intensitet zero është . Le të jetë një vektor i dhënë, atëherë vektorin - njësi me drejtim të njëjtë dhe kahe të njëjta sikurse vektori e shënojmë ort (ose, bie fjala, ), prandaj për çfarëdo vektori të ndryshëm nga zero - vektori, do të jetë:
ose
respektivisht
Vektor-njësie i boshtit[redakto | redakto tekstin burimor]
Drejtëza e orientuar ose boshti, siç dihet është i caktuar me drejtimin dhe kahun e vet e kjo do të thotë se është i caktuar me çfarëdo vektori të vet me kahe të njëjta. Zakonisht, për vektor të tillë në drejtëz mirret vektor-njësie i cili atëherë quhet vektor-njësie i boshtit ose ort i boshtit.
Në boshtin 1 (Figura lartë) le të jetë vektorët dhe me vektornjësinë . Vektori ka kahe të njëjta me boshtin (d.m.th. kahe pozitive), ndërsa vektori me kahe të kundërt, atëherë duke pasur parasysh relacionin do të jetë:
dhe
Meqë vlerat algjebrike të këtyre vektorëve në boshtin janë:
dhe
do të kemi
dhe
Në përgjithësi, në qoftë se me shënojmë vlerën allgjebrike të vekorit në boshtin atëherë do të jetë:
Shembull: Le të jenë dhënë vektorët dhe në boshtin
Qartëzi shihet se numri është vlera algjebrike e vektorit në boshtin , ndërsa numri do të jetë vlera algjebrike e vektorit në boshtin të njëjtë.
Le të jetë në boshtin i dhënë një vektor-njësie me pikën e fillimit
Vektor-pozite[redakto | redakto tekstin burimor]
Çdo pikë e boshtit është përcaktuar me vektorin i cili quhet vektor-pozite i pikës ndaj pikës . Vlera algjebrike e vektorit është abshisa e pikës ; në qoftë se kahu i vektorit është i njëjtë me kahun e boshtit atëherë është numër real pozitiv, respektivisht, në qoftë se kahu i vektorit është i kundërt me kahun e boshtit atëherë do të jetë numër real negativ. Në këtë mënyrë çdo pike në boshtin i përgjigjet vetëm një vektor respektivisht vetëm një numër real (vlera algjebrike e vektorit ). Pikës i përgjigjet zero-vektori respektivisht numri zero. Anasjelltas, çdo numri real i përgjigjet në boshtin vetëm një pikë e tillë që të jetë
respektivisht
Numrit zero i përgjegjet pika .
Le të jenë dhënë dy vektorë dhe . Në qoftë se ekziston numri real i tillë që të plotësohet barazimi
atëherë vektorët dhe janë linearisht të varur ose kolinear. Në qoftë se numri nuk ekziston atëherë vektorët dhe janë linearisht të pavarur ose jokolinear. Në qoftë se është zero-vektor, atëherë , prandaj është kolinear me çdo vektor . Gjithmonë mund të zgjedhen dhe të tilla që të jetë
prandaj nga rrjedh
Shembull: Le të jenë vektorët dhe linearisht të varur e po ashtu ndërmjet veti edhe ektorët dhe . Të tregohet se janë linearisht të varur edhe vektorët dhe .
Zgjidhje: Nga hipoteza se vektorët dhe janë linearisht të varur rrjedh se ekzistojnë numrat realë dhe (së paku njëri prej tyre i ndryshëm nha zero) të tillë që të jetë:
Nga ana tjetër gjithashtu supozohet se vektorët dhe janë linearisht të varur, prandaj ekzistojnë gjithashtu numrat realë dhe (së paku njëri prej tyre i ndryshëm nha zero) të tillë që të jetë:
Në qoftë se , atëherë prandaj nga rrjedh se , prandaj vektorët dhe janë linearisht të varur. Në mënyrë analoge përfundojmë në qoftë se . Supozojmë tash se dhe . Atëherë do të jetë:
respektivisht (në qoftë se i mbledhim tejpërtej të dy barazimet)
ku që do të thotë se vektorët dhe janë linearicht të varur.
Këndi ndërmjet dy vektorëve[redakto | redakto tekstin burimor]
Kënd i orientuar[redakto | redakto tekstin burimor]
Le të jenë vektorët dhe të tillë që dhe me pikë të përbashkët. Le të jetë vektori i parë, ndërsa vektori i dytë, d.m.th. çifti i vektorëve është çifti i renditur.
Kënd ndërmjet vektorëve dhe është ai kënd për të cilin duhet rrotulluar vektorin e parë , në rrafsh, të cilin e përcaktojnë vektorët dhe , rreth pikës 0, në mënyrë që drejtimi dhe kahu i tij të përputhen me drejtimin dhe kahun e vektorit .
Është e qartë se rrotullimi i vektorit mund të bëhet në dy kahe: Në kahun i cili është i kundërt me kahun e rrotullimit ë akrepave të orës ose në kahun e rrotullimit të tyre. Rrotllimi i parë mirret (sipas marrëveshjes) si pozitiv, ndërsa ai i dyte negativ. Në këtë mënyrë fitohet këndi pozitiv, respektivisht negativ dhe quhet kënd i orientuar.
Thuhet se vektori në rast të parë përshkruan këndin pozitiv, ndërsa në rastin e dytë kënd negativ. Simbolikisht shënohet ose e shpesherë edhe shkurt vetëm ose .
Në qoftë se vektori rrotullohet, siç e përshkruam në sipër, pasi të përshkruajë këndin respektivisht atëherë me drejtim dhe kahe përputhet me vektorin . Në të dy rastet vektori mund të rrotullohet edhe më tutje deri sa të përputhet prapë me vektorin , atëherë këndi të cilin e përshkruan ai është e qartë se do të jetë respektivisht . Një mënyrë e tille e rrotullimi e vektorit mund të vazhdojë pa kufi. Pra, do të fitohen këndet
ku është bashkësia e të gjithë numrave të plotë.
Pra, qartas po shihet se , respektivisht nuk është plotësisht i caktuar derisa nuk tregohet kahu u rrotullimit dhe numri i rrotullimeve të plota.
Gjithë atë që e cekëm në lidhje me këndin ndërmjet vektorëve dhe respektivisht këndin ndërmjet vektorëve dhe mund të thuhet edhe për këndin ndërmjet vektorëve dhe , respektivisht vektorëve dhe d.m.th. për respektivisht .
dhe
atëherë
ku
[redakto | redakto tekstin burimor]
- ^ Ismet Dehiri: Matematika I dhe II. Prishtinë, 1979
uzn_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn sna_Latn als_Latn sna_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn kmb_Latn als_Latn als_Latn