als_Latn dik_Latn sag_Latn
Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit
Në analizën e variacionit, ekuacioni i Ojler–Lagranzhit, ose ekuacioni i Lagranzhit është një ekuacion diferencial pjesor zgjidhjet e të cilit janë funksionet për të cilat funksionali është një pikë stacionare. Ky ekuacion u zhvillua nga matematikani zviceran Leonard Ojler dhe matematikani Franko-Italian Jozef Luiz Lagranzhi më 1750s.
Një funksional i cili është i diferencueshëm ka një pikë stacionare tek njëra nga maksimumet ose minimumet lokale, ekuacioni i Ojler-Lagranzhit është i dobishëm për zgjidhjen e problemeve të optimizimit në të cilat, kur jepet një funksional, ne kërkojmë një funksion i cili e minimizon (ose e zmadhon) atë. Kjo është analoge me teoremën e Fermat në analizë, e cila pohon se kur një funksion i diferencueshem arrin një ekstremum lokal, derivati i tij është zero.
Në mekanikën e Lagranzhit, për shkak te parimit të Hamiltonit të veprimit stacionar, evolucioni i një sistemi fizik përshkruhet nga zgjedhjet e ekuacionit të Ojler–Lagranzhit për veprimin e sistemit. Në mekanikën klasike, kjo është ekuivalente me Ligjet e Njutonit, por në të njëjtën kohë kjo ka avantazhin që merr të njëjtën formë në çdo sistem koordinatash të përgjithshme, dhe është më e përshtatshme për përgjithësime (shikoni, për shembull, seksionin mbi "Teorinë e fushës" më poshtë).
Përmbajtja
Pohimi[redakto | redakto tekstin burimor]
Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit është një ekuacion që kënaqet nga një funksion q i një argumenti real t i cili është një pikë stacionare e funksionalit
ku :
- q është funksioni që duhet gjetur :
- :
- i tille qe q është i diferencueshëm, q(a) = xa, dhe q(b) = xb;
- q′ është derivati i q:
- TX ështe tufa e tangjenteve të X (hapësira e vlerave te mundshme te derivatit te funksioneve me vlera në X) ;
- L është një funksion real derivatet pjesore të rendit të parë të të cilit janë të vazhdueshme :
Ekuacioni i Ojler Lagranzhit, atëherë është një ekuacion diferencial i zakonshem
ku Lx dhe Lv tregojnë derivatet pjesore te L ne lidhje me argumentet e parë dhe të tretë, respektivisht.
Nëqoftëse përmasat e hapësirës X janë më të mëdha se 1, atëherë marrim një sistem ekuacionesh diferenciale, një për çdo komponent :
Shembuj[redakto | redakto tekstin burimor]
Një shembull standard është gjetja e një funksioni me vlerë reale në intervalin [a, b], i tillë që f (a) = c dhe f (b) = d, gjatësia e grafit të funksionit është sa më e shkurtër. Gjatësia e grafit të f është :
Ku integrandi i funksionit është L(x, y, y′) = {{1 + y′2}} i vlerësuar tek (x, y, y′) = (x, f(x), f′(x)).
Derivatet pjesore të L janë :
Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler-Lagranzhit, ne marrim
Pra, funksioni duhet të ketë derivatin e parë konstant, kështu që grafi është një segment i një vije të drejtë.
Mekanika klasike[redakto | redakto tekstin burimor]
Thërrmijat në një fushë konservative[redakto | redakto tekstin burimor]
Lëvizja e një thërrmije të vetme në një fushë konservative (për shembull, forca gravitacionale) mund të përcaktohet po të vendosim kushtin që veprimi të jetë stacionar, nga principi i Hamiltonit. Veprimi për këtë system është
Ku x(t) është pozicioni i thërrmijës në kohën t. Pika mbi variablat është shenimi i i Njutnit për derivatin sipas kohes : pra ẋ(t) është shpejtësia e thërrmijës, v(t). Në ekuacionin më lart L është Funksioni i Lagranzhit (energjia kinetike minus energjinë potenciale) :
ku :
- m është masa e thërrmijës (e cila është konstante në fizikën klasike) ;
- vi është komponneti i i-te i vektorit v ne një system Kartezian koordinativ (i njëjti notacion do të përdoret edhe për vektorët e tjerë) ;
- U është potenciali i forcës konservative.
Në këtë rast, Lagranzhaini nuk ndyshon me argumentin e tij të parë t. (Nga Teorema e Nëdherit, simetri të tilla të sistemit i korrespondojnë ligjeve të konservimit. Në veçanti, invarianca e Lagranzhianit në lidhje me kohën implikon konservimin e energjisë.)
Nga diferencimi pjesor i Lagranzhianit të mesiperm, marrim :
Ku forca F = −∇U (negativja e gradientit te potencialit, nga përcaktimi i forcës konservative), dhe p është momenti.
Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler–Lagrange, ne marrim një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të dyte për koordinatat e trajektores së thërrmijës,
Të cilat mund të zgjidhen në një interval [t0, t1], po të kemi vlerat kufitare xi(t0) dhe xi(t1). Në notacionin vektorial, ky sistem merr formën
Ose, duke përdorur vrullin(impulsin),
Nga e cila marrim ligjin e dytë të Njutonit.
Teoria e fushës[redakto | redakto tekstin burimor]
Teoritë e fushës, si teoria klasike e fushës ashtu edhe teoria kuantike e fushës, merren me koordinata të vazhdueshme, dhe ashtu si në mekaniken klasike, kanë ekuacionet e tyre të Ojler-Lagranzhit për lëvizjen në një fushë,
-
- ku
- është fusha, dhe
- është një operator diferencial:
Vini re : Jo te gjitha teoritë e fushës marrin si hipotezë se variablat bozonike janë komutative, disa prej tyre (si fusha e Dirakut, fusha e Ueylit, fusha Rarita-Shuinger) janë fermionike kështu që, kur duam qe të marrim ekuacionet e fushës nga densiteti i Lagranzhit, duhet të zgjedhim nëqoftëse të përdorim derivatin e djathtë ose të majtë të densitetit Lagranzhian (i cili është një bozon) në lidhje me fushat dhe derivatet kohore të rendit të parë të cilat janë objekte fermionike/antikomutative.
Ka shume shembuj të ndryshëm ku ekuacionet e Ojler-Lagranzhit aplikohen direkt tek funksionet e ndryshme Lagranzhiane.
- Ekuacioni i Dirakut
- Ekuacioni i Prokës
- Tensori elektromagnetik
- Ekuacioni Korteweg–de Vries
- Elektrodinamika kuantike
Për funksionet me shumë ndryshore[redakto | redakto tekstin burimor]
Një përgjithësim multi-dimensional vjen duke konsideruar një funksion me n ndryshore. Nëqoftëse Ω është një sipërfaqe, atëherë
Merr një ekstremum vetëm nese f e plotëson ekuacionin diferencial pjesor
Kur n = 2 dhe L është funksionali i energjisë, kjo con tek një problem i tipit te sipërfaqes minimale.
Historia[redakto | redakto tekstin burimor]
Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit u zhvillua në 1750-ten nga Ojleri dhe Lagranzhi në lidhje me studimet e tyre mbi problemin e tautokronës. Ky problem ka të bëjë me përcaktimin e një kurbe përgjatë të cilës një thërrmijë do të bjerrë në një pikë te fiksuar në një kohë të caktuar, të pavarur nga pika fillestare.
Lagranzhi e zgjidhi këtë problem me 1755 dhe i dërgoi zgjidhjen Ojlerit. Te dy e zhvilluan me tej metodën e Lagranzhit dhe e aplikuan atë tek mekanika, e cila coi në formulimin alternativ të mekanikës. Korrespondenca e tyre coi në analizën e variacionit, një term i vendosur nga vetë Ojleri në 1766.[1]
Prova[redakto | redakto tekstin burimor]
Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler–Lagranzhit është një nga provat klasike në matematikë. Ajo mbështetet tek Lema themelore e analizës së variacionit.
Duam që të gjejmë një funksion i cili kënaq konditat kufitare f(a) = c, f(b) = d, dhe i cili ekstremizon koston e funksionalit
Marrim si hipotezë që F ka derivate të vazhdueshme të rendit të parë. Një hipotezë më e dobët mund të përdoret por në atë rast prova bëhet shumë më e vështire.
Neqoftese f merr një ekestremum ku kostoja e funksionalit është subjekt i konditave kufitare, atëherë çdo pertubim i vogël i f që ruan vlerat kufitare duhet ose ta zmadhoje J (nqs f është një minimizues) ose ta zvogëloje J (nqs f është një maksimizues).
Le të jetë ge(x) = f(x) + en(x) e tille që një perturbim i f, ku n(x) është një funksion i diferencueshem që kënaq n(a) = n(b) = 0. Atëherë përcaktojmë
Tani duam që të llogaritim derivatin e përgjithshëm te J në lidhje me e
Nga përcaktimi i derivatit te përgjithshëm del që
Kështu që
Kur e = 0 ne kemi ge = f dhe meqenëse f është një vlere ekstreme del që J'(0) = 0, pra.
Hapi tjetër i rëndësishme është integrimi me pjesë mbi termin e dyte, i cili jep
Duke zbatuar kondiatat kufitare tek n, ne marrim
Duke zbatuar Lemen themelore të analizës së variacionit tani marrim ekuacionin e Ojler –Lagranzhit
Provë alternative[redakto | redakto tekstin burimor]
Po te kemi një funksional
tek me kondita kufitare edhe , ne vazhdojmë duke përafruar kurbën ekstremale me një vije poligonale segmentesh duke kaluar në një limit kur kur numri i segmenteve rritet.
Tani pjesëtojmë intervalin në segmente të njëjta me pika kufitare dhe le të jetë . Në vend ten je funksoni të lëmuar marrim ne considerate nje vije poligonale me vertekse , ku dhe . Nga kjo, funksionali ynë behet një funksion real i variablave të dhëna nga
Extremalet e këtij funksionali të ri janë të përcaktuara ne pika diskret që i korrespondojnë e pikave ku
Duke llogaritur këtë derivate pjesor marrim
Duke e pjesëtuar ekuacionin e mëlartëm me marrim
dhe duke marrë limitin kur te anës së djathtë të shprehjes marrim
Termi tregon derivatin variacional të funksionalit , si dhe konditën e nevojshme për një funksional të diferecueshem që të ketë një ekstremum në një funksion është që derivati variacional i saj tek ai funksion zhduket.
Shikoni gjithashtu[redakto | redakto tekstin burimor]
Shënime[redakto | redakto tekstin burimor]
Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]
- Stampa:Mathworld
- Stampa:Planetmathref
- Izrail Moiseevish Gelfand: Calculus of Variations. Dover 1963, ISBN 0-486-41448-5
- Calculus of Variations tek Example Problems.com (Jep shembuj të problemeve nga analiza e variacionit të cilat përfshijnë ekuacionet e Ojler-Lagranzhit.)
nno_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn kmb_Latn als_Latn unk als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn nno_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn kmb_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn unk kmb_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn bug_Latn lim_Latn bug_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn als_Latn ita_Latn lmo_Latn eng_Latn als_Latn