A man on the street has a parrot in a cage with the door open.
Een man op straat heeft een papegaai in een kooi met de deur open.
A man on the street has a parrot with the cage door open.
Een man op straat heeft een papegaai met de kooideur open.
Having a cage door open is assuming that there is a cage, so this is a briefer way of saying that the bird is in the cage.
Het openen van een kooideur veronderstelt dat er een kooi is, dus dit is een kortere manier om te zeggen dat de vogel in de kooi zit.