Four dogs play with each other and with sticks.
Vier honden spelen met elkaar en met stokken.
Dogs play a game with one another.
Honden spelen een spel met elkaar.
they are playing with sticks, which could be a game and stating they are "playing with each other," is the same as stating, "one another."
Ze spelen met stokken, wat een spel zou kunnen zijn en zeggen dat ze "met elkaar spelen," is hetzelfde als "een ander."