È stato secondo nella Eurocup 2012 di Formula Renault 2.0 e campione della Formula Renault 2.0 Alps Series 2012 e della GP3 Series 2013. Ha fatto il suo debutto in Formula Uno come pilota della Toro Rosso finendo quindicesimo nel Campionato del Mondo. Successivamente è passato alla Red Bull Racing per affiancare Daniel Ricciardo per la stagione 2015. Ha ottenuto il suo primo podio in Formula 1 al Gran Premio d'Ungheria del 2015, finendo secondo dietro Sebastian Vettel. Nella sua prima stagione con la Red Bull Racing, Kvyat finì settimo nel Campionato Piloti, davanti al suo compagno di squadra. Ha iniziato la stagione 2016 con la Red Bull Racing, ottenendo il suo secondo podio, finendo terzo al Gran Premio di Cina 2016. Tuttavia, a seguito di una controversa collisione durante il primo giro della sua gara di casa a Sochi, Kvyat è stato retrocesso alla Toro Rosso prima del Gran Premio di Spagna 2016, dove ha concluso la stagione e è stato mantenuto dalla squadra per la stagione successiva. Sebbene abbia costantemente dimostrato solide prestazioni in qualifica nel 2017, la sua stagione è stata tormentata da vari problemi, tra cui diversi ritiri in gare in cui avrebbe potuto segnare punti. Dopo il Gran Premio degli Stati Uniti del 2017, Kvyat e la Red Bull si separarono, terminando il suo contratto. Kvyat ha trascorso il 2018 come pilota di sviluppo per la Scuderia Ferrari, prima di essere ri-firmato dalla Toro Rosso per la stagione. Al Gran Premio di Germania 2019 Kvyat ha conquistato il terzo podio della sua carriera finendo terzo; questo è stato anche il secondo podio della Scuderia Toro Rosso dopo aver vinto il Gran Premio d'Italia del 2008
con Sebastian Vettel.