Scrivi una continuazione per questo paragrafo - Egerszegi ha fatto il suo debutto internazionale ai Campionati Europei d'Acqua del 1987
all'età di 13 anni, arrivando quarto nei 200 m schiena e quinto nei 100 m schiena. Alle Olimpiadi estive del 1988 ha vinto la medaglia d'argento nei 100 m a schiena e è diventata campionessa olimpica nei 200 m a schiena. All'età di 14 anni e 41 giorni è diventata la più giovane campionessa olimpica femminile di nuoto. Questo record giovanile è stato battuto nel 1992 da Kyoko Iwasaki del Giappone, che ha vinto la medaglia d'oro nei 200 metri a braccio ai Giochi olimpici di Barcellona del 1992 all'età di 14 anni e sei giorni. Alla fine del 1988, è stata la nuotatrice più classificata nel 200 m schiena nella classifica mondiale, oltre a diventare la nuotatrice dell'anno e la migliore atleta femminile dell'anno in Ungheria.