Scrivi una continuazione per questo paragrafo - Mednis finì secondo nel Campionato del Mondo Junior 1955 dietro Boris Spassky (i due pareggiarono la partita). E' stato il primo giocatore a battere Bobby Fischer in un campionato degli Stati Uniti. Ha giocato nel 1962 con la squadra degli Stati Uniti alla 15a Olimpiade di scacchi
e si è classificata al terzo posto nel Campionato degli Stati Uniti 1961-1962. I risultati del torneo includevano il terzo posto a Houston nel 1974, il quarto posto a New York nel 1980 e il primo posto a Puerto Rico nel 1984. La Federazione degli scacchi di Porto Rico, piuttosto che la Federazione degli scacchi degli Stati Uniti, lo ha formalmente proposto per il titolo di Gran Maestro. Ha giocato nel torneo Interzonale del 1979 a Riga, la sua città natale.