Il matematico francese Évariste Galois, estendendo il lavoro precedente di Paolo Ruffini e Joseph-Louis Lagrange, ha dato un criterio per la risolvibilità di una particolare equazione polinomica in termini del gruppo di simmetria delle sue radici (soluzioni). Gli elementi di un tale gruppo di Galois corrispondono a determinate permutazioni delle radici. All'inizio, le idee di Galois sono state respinte dai suoi contemporanei, e pubblicate solo postumamente. La motivazione originale per la teoria dei gruppi è stata la ricerca di soluzioni di equazioni polinomiche di grado superiore a 4.
semplificare la prova di questa classificazione