Secondo il teorema di Lagrange, i gruppi finiti di ordine p, un numero primo, sono necessariamente gruppi ciclici (abeliani) Zp. I gruppi di ordine p2 possono anche essere dimostrati abeliani, un'affermazione che non generalizza all'ordine p3, come mostra il gruppo non abeliano D4 di ordine 8 = 23 sopra. I sistemi di algebra computerizzata possono essere utilizzati per elencare piccoli gruppi, ma non esiste una classificazione di tutti i gruppi finiti. Un passo intermedio è la presunta classificazione dei gruppi finiti. Un gruppo nriviontale è chiamato semplice se solo i suoi sottogruppi sono il gruppo triviolare e il gruppo lunare.
Classificazione completa