Bouček syntyi Tšekin Hradec Králové'n kaupungissa 8. tammikuuta 1924. Se oli silloin osa Tšekkoslovakiaa. Hän meni naimisiin Tatiana Rydlovan kanssa vuonna 1949 ja heillä oli yksi tytär, Jitka. Hänen ensimmäiset entomologiset työt julkaistiin ollessaan Prahan "Karlovan yliopistossa", ja hän työskenteli myöhemmin maatalouden tutkimuskeskuksessa ennen kuin sai tohtorintutkintoa Tšekkoslovakian tiedeakatemiasta, hänen opinnäytetyönsä oli "Revision of Chalcidoidea of Europe". Vuonna 1969 hän joutui pakenemaan Tšekkoslovakiasta poliittisen tilanteen huononemisen seurauksena Prahan keväästä ja sen jälkeisestä Neuvostoliiton hyökkäyksestä.
- Mitä? Hän vei perheensä Yhdistyneeseen kuningaskuntaan, jossa hän työskenteli lyhyeksi ajaksi Oxfordin yliopiston Hope-osastolla ennen kuin hän otti tehtävän Lontoon luonnontieteellisessä museossa sijaitsevassa Commonwealth-entomologian instituutissa, jossa hän työskenteli eläkkeelle 1989 asti.