Täytä seuraava lause: Egerszegi teki kansainvälisen debyyttinsä
Vuoden 1987 vesiurheilun Euroopan mestaruuskilpailut 13-vuotiaana. Hän sijoittui neljänneksi 200 metrin selkäjuoksussa ja viidenneksi 100 metrin selkäjuoksussa. Vuoden 1988 kesäolympialaisissa hän voitti hopeamitalin 100 metrin selkäjuoksussa ja tuli olympialaismestariksi 200 metrin selkäjuoksussa. 14-vuotiaana ja 41 päivän iässä hänestä tuli kaikkien aikojen nuorin naispuolinen olympiavoittaja uimassa. Tämän nuoruusennätyksen rikkoi vuonna 1992 japanilainen Kyoko Iwasaki, joka voitti 14 vuoden ja kuuden päivän ikäisenä vuoden 1992 Barcelonan olympialaisissa 200 metrin rintajuoksussa kultamitalin. Vuoden 1988 lopussa hän oli maailmanluokituksen huippuluokan uimari 200 metrin selkätaistelussa, ja hänestä tuli Vuoden uimari ja Vuoden paras naisurheilija Unkarissa.