Adan syntyi juutalaisperheeseen Kfar Giladi, Brittiläisen Mandatoidun Palestiinan alueella; hän syntyi sukunimellä "Eidelson", mutta myöhemmin muutti sen "Adaniksi" osana heprealaistamista. Vuonna 1943 hän liittyi Palmach, eliittijoukko Haganah puolisotilaallinen järjestö, joka toimi osassa Yishuv yhteisö Brittiläisen Palestiinan. Ensimmäisen arabialais-israelisen sodan aikana
Adan oli Negevin prikaatin 8. pataljoonan komentaja ja osallistui Uvda-operaatioon, jossa prikaati valloitti menestyksekkäästi Jordanian hallussa olevan Umm al-Rashrashin etuvartion, joka tunnetaan nyt nimellä Eilat, uuden maan eteläisimmässä kärjessä. Adan, joka oli tuolloin kapteeni äskettäin perustetuissa Israelin puolustusvoimissa (IDF), kuvattiin nostamassa Israelin valtion mustelipulaa paikan päällä. Valokuvasta on sittemmin tullut ikoni, ja sitä on verrattu "Lipun nostamiseen Iwo Jimalla", ikoniseen valokuvaan, jossa kuusi Yhdysvaltain merijalkaväen sotilasta nostaa amerikkalaista lippua Mount Suribachin huipulla toisen maailmansodan aikana Iwo Jiman taistelussa.