Brinkmanin 35 vuoden pelaaminen ylittää Larry Barnettin ennätyksen. Brinkman on viidenneksi eniten pelattuja pelejä. Kolme neljästä hänen edessään on Hall of Fame'ssa. Brinkman tuomitsi kolme World Series: 1978, 1986, 1995). Hän toimi tuomariksi viidessä American League Championship -sarjassa (1976).
, 1980, 1987, 1992, 1997), ja kolme All-Star-peliä (1977, 1991, 1996), soittaa palloja ja iskuja vuonna 1991. Brinkman työskenteli Division Seriesissä vuosina 1981, 1995, 1998, 1999, 2004 ja 2005. Hän toimi myös tuomariksi A. J. Burnettin no-hitterissä San Diego Padresia vastaan 12. toukokuuta 2001. Brinkman toimi ALCS: n miehistön päällikkönä vuosina 1987 ja 1997, sekä myös NLDS: n vuonna 2005. Hänen eläkkeelle siirtymisensä ilmoitettiin 22. elokuuta 2006. Entinen tuomari Bob Davidson on palannut Brinkmanin tilalle. Hän oli kotipelaaja viimeisessä pelissä Comiskey Parkissa vuonna 1990.