Palmer syntyi Buffalossa, New Yorkissa. Innis osallistui kuoropojana paikalliseen kirkkoonsa, kunnes hän liittyi armeijaan. Hän astui Yhdysvaltain sotilasakatemiaan vuonna 1842. Hän valmistui luokalla 1846 ja nimitettiin brevetti toiseksi luutnantti 2. Yhdysvaltain ratsastettuja kiväärejä. Hän osallistui Meksikon ja Yhdysvaltojen väliseen sotaan ensimmäisenä luutnanttina ja sai kunnianosoituksen urheudesta ja merkittävästä palveluksesta Contrerasin ja Churubuscon taisteluissa.
- Mitä? Chapultepecin taistelussa osoittamansa urhoollisuuden ansiosta hänet ylennettiin kapteeniksi. Maaliskuussa 1855 Palmer ylennettiin kapteeniksi 2. ratsuväkijoukkueessa.