Dora Trepat de Navarro alkoi pelata shakkia Buenos Airesin shakkiklubilla "Club de Ajedrez Jaque Mate de la Capital Federal". Vuosina 1935-1939 ja 1954 hän työskenteli saksinopettajana klubilla "San Lorenzo de Almagro". Dora Trepat de Navarro oli 1930-luvun lopulta 1960-luvun alkupuolelle yksi johtavista argentiinalaisten naisten shakkipelaajista. Vuonna 1938 hän voitti ensimmäisen Argentiinan naisten mestaruuden. Vuonna 1939 Dora Trepat de Navarro osallistui naisten maailmanmestaruuskilpailuun.
Buenos Airesissa ja otti 12. sijan (turnauksen voitti Vera Menchik). Hän sijoittui kahdesti kolmanneksi naisten maailmanmestaruuskilpailussa Etelä-Amerikan vyöhykkeiden turnauksissa (1954, 1966). Vuonna 1964 Dora Trepat de Navarro voitti viimeksi Argentiinan naisten mestaruuden.