Ranskalainen matemaatikko Évariste Galois (1870-1888) aloitti näiden ryhmien tutkimuksen, laajentamalla Paolo Ruffinin ja Joseph-Louis Lagrange'n aikaisempaa työtä. Hän antoi kriteerin tietyn polynomiaalisen yhtälön ratkaistavuudelle sen juurten symmetriaryhmän (ratkaisujen) kannalta. Tällaisen Galois-ryhmän elementit vastaavat juurten tiettyjä permutatioita. Aluksi hänen aikalaisensa hylkäsivät Galois'n ajatukset ja julkaisivat ne vasta postumoosisesti.
yksinkertaistaa tämän luokituksen todistamista