Albert Popov syntyi Sofiassa ja teki debyyttinsä FIS:n alppiski-maailmancupissa vuonna 2014, vain 17-vuotiaana. Muutamaa kuukautta myöhemmin hän osallistui vuoden 2015 FIS:n alppimetsäilyn maailmanmestaruuskilpailuun.
, jossa hän epäonnistui sekä slalomissa että jättiläisslalomissa.