Curzon oli Nathaniel Curzonin, 1. paroni Scarsdalen ja hänen vaimonsa Carolinen viides poika. Hän liittyi laivastoon 14 päivänä lokakuuta 1776. Kun "Aeolus" palasi Länsi-Intiasta vuonna 1780, hänestä tuli aluksen amiraali. "Magnanime" lähetettiin auttamaan Gibraltarin vapauttamisessa vuonna 1781, ja sitten Itä-Intiassa vuonna 1782, vahvistamaan Sir Edward Hughesin laivastoa. Curzon siirtyi lippulaivaan ja taisteli Providienin, Negapatamin ja
Trincomalee. 1. helmikuuta 1783 hän sai luutnantin viran laivalla "Monarca" ja oli aluksella Cuddaloren taistelussa vuonna 1783, hänen viimeinen toimintansa idässä.