Bencic syntyi Flawilissa Sveitsin koillisosassa Danan ja Ivan Benčičin lapseksi. Hänen vanhempansa syntyivät Tšekkoslovakiassa, mutta hänen isänsä perhe muutti Sveitsiin vuonna 1968 pakenemaan Varsovan liiton hyökkäystä.
Neuvostoliitto. Hänen isänsä oli ammattimainen jääkiekkoilija Sveitsin kansallisen liigan A ja kansallisen liigan B: ssä ennen vakuutusvälittäjäksi tulemistaan. Hänen äitinsä oli huipputason käsipalloilija. Bencic löi ensimmäiset tennispallojaan kaksivuotiaana ja aloitti harjoittelun isänsä kanssa, joka oli myös virkistystennispelaaja, tunti päivässä neljävuotiaana. Hän osallistui ensimmäiseen kansalliseen turnaukseensa tuossa iässä, ja hävisi vastustajalleen, joka oli kuusi vuotta vanhempi, suorassa sarjassa voittamatta peliä. Bencic tapasi säännöllisesti paljon vanhempaa vastustajaa lapsena, ja hänen isänsä rohkaisi häntä yrittämään voittaa kaksi peliä per sarja.