Voznesensky matkusti usein ulkomaille: Ranskaan, Saksaan, Italiaan, Yhdysvaltoihin ja muihin maihin. Voznesenskyn, Jevgeni Jevtušenkon ja Bella Akhmadulinan suosiota merkitsivät heidän esiintymisensä stadioneilla, konserttihalleissa ja yliopistoissa tuhansille palvovan yleisön edessä. Näin hän toimi "eräänlaisena Kremlin epävirallisena kulttuurilähettiläänä", kertoo "The New York Times". Hänen runoilukokemuksensa oli syvällinen. Hän kilpaili Laurence Olivierin ja Paul Scofieldin kanssa yhdessä näyttelyssä Lontoossa. Hän kritisoi vuoden 1968 Tšekkoslovakian hyökkäystä.
- Mitä? Yhdysvalloissa hän tapasi Allen Ginsbergin, Arthur Millerin ja Marilyn Monroen.