Viitataan alla olevaan kohtaan ja vastataan kysymykseen sen jälkeen samalla kielellä kuin kohtaa:  Passage: Matemaatikot pyrkivät usein täydelliseen luokitukseen (tai luetteloon) matemaattisesta käsitteestä. Rajoitettujen ryhmien yhteydessä tämä pyrkimys johtaa vaikeisiin matemaattisiin ongelmiin. Lagrange'n lauseen mukaan lopulliset ryhmät järjestyksestä p, alkuluku, ovat välttämättä sykliset (abelialaiset) ryhmät Zp. Järjestyksen p2 ryhmät voidaan myös osoittaa abelilaisiksi, lausunto, joka ei yleisty järjestykseen p3, kuten edellä oleva järjestyksen 8 = 23 ei-abelilainen ryhmä D4 osoittaa. Pienten ryhmien luettelointiin voidaan käyttää algebratietoja, mutta kaikkia rajallisia ryhmiä ei ole luokiteltu. Välivaiheena on rajallisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu. Ei-triviaalista ryhmää kutsutaan yksinkertaiseksi, jos sen ainoat normaalit aliryhmät ovat triviaaliryhmä ja ryhmä itse. Jordanin ja Holderin lause osoittaa, että rajalliset yksinkertaiset ryhmät ovat kaikkien rajallisten ryhmien rakennuspalikoita. Kaikkien rajallisten yksinkertaisten ryhmien luettelointi oli merkittävä saavutus nykyajan ryhmäteoriassa. Vuonna 1998 Fields-mitalivoittaja Richard Borcherds onnistui todistamaan hirviömäiset kuunvalo-arvaukset, yllättävän ja syvän suhteen suurimman rajallisen yksinkertaisen sporadisen ryhmän - "hirviöryhmän" - ja tiettyjen modulaaristen funktioiden välillä, osa klassista monimutkaista analyysiä ja sävelteoriaa, teorian, jonka oletetaan yhdistävän monien fyysisten ilmiöiden kuvauksen.  Kysymys: Mikä on yksi matematiikan toiveista?
täydellinen luokitus