Davies voitti olympialaisen kultamitalin 1964 - ja ansaitsi itselleen lempinimen "Lynn the Leap". Hän pääsi yhdeksänneksi vuonna 1968, kun hän oli ollut lipunkantaja avajaisissa. Vuonna 1964 hän kilpaili myös 100 metrin ja 4 × 100 metrin
kilpailuja. Hän oli 18. vuoden 1972 olympiakisoissa pitkähyppyissä, ja hänen valintansa oli yllätys tuolloin.