Abashvili syntyi Tbilisiin, Georgiassa, joka oli silloin osa Venäjän valtakuntaa. Hän valmistui Leningradin laivasto-opistosta vuonna 1931 ja liittyi Neuvostoliiton Itämeren laivastoon, jossa hän palveli Suomen kampanjan aikana.
ja toisen maailmansodan. Vuonna 1944 hän oli Itämeren laivaston apulaispäällikkö ja komensi myös hävittäjädivisioonaa, joka oli ratkaisevan tärkeä Leningradin saarron purkamisessa. Vuonna 1953 hän oli ylempi upseeri Neuvostoliiton aluksissa, jotka vierailivat Puolassa, ja vuonna 1954 Suomessa. Kuuban ohjuskriisin aikana vuonna 1962 Abashvili oli Issa Plijevin apulaispäällikkö ja laivaston komentaja ehdotetussa Neuvostoliiton joukkojen ryhmässä Kuubassa (Operation Anadyr). Erään kertomuksen mukaan hän vastusti väkivallan käyttöä kriisin aikoina. Hänen sanotaan viivyttäneen Neuvostoliiton ohjuslaukaisuja jännitteiden huipulla ja olleen yksi ihmisistä, jotka auttoivat estämään ydinsotaa. Hän jäi eläkkeelle samana vuonna ja kuoli aivohalvaukseen Leningradissa vuonna 1982.