Viitataan alla olevaan kohtaan ja vastataan kysymykseen sen jälkeen samalla kielellä kuin kohtaa:  Passage: Abstraktien ryhmien nykyaikainen käsite kehittyi useista matematiikan aloista. Ryhmäteorian alkuperäinen motivaatio oli 4 astetta suurempien polynomiyyroviteiden ratkaisujen etsiminen. 1800-luvun ranskalainen matemaatikko Évariste Galois, joka laajensi Paolo Ruffinin ja Joseph-Louis Lagrange'n aikaisempaa työtä, antoi kriteerin tietyn polynomiyyrityksen ratkaistavuudelle sen juurten symmetriaryhmän (ratkaisujen) osalta. Tällaisen Galois-ryhmän elementit vastaavat tiettyjä permutaatioita juurista. Aluksi hänen aikalaisensa hylkäsivät Galoisin ajatukset, ja ne julkaistiin vasta hänen kuoltuaan. Augustin Louis Cauchyn tutki yleisempiä permutaatioryhmiä. Arthur Cayleyn teos On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) antaa ensimmäisen abstraktin määritelmän rajallisesta ryhmästä. Geometria oli toinen kenttä, jossa ryhmiä käytettiin järjestelmällisesti, erityisesti symmetria-ryhmiä osana Felix Kleinin 1872 Erlangenin ohjelmaa. Kun uusia geometrioita, kuten hyperbolista ja projektiivista geometriaa, oli syntynyt, Klein käytti ryhmäteoriaa järjestääkseen ne johdonmukaisemmin. Sophus Lie kehitti näitä ajatuksia edelleen ja perusti Lie-ryhmien tutkimuksen vuonna 1884. Kolmas ryhmäteoriaan vaikuttava kenttä oli numeroteoria. Tiettyjä abelilaisten ryhmien rakenteita oli käytetty implisiittisesti Carl Friedrich Gaussin lukuteoreettisessa teoksessa Disquisitiones Arithmeticae (1798) ja selkeämmin Leopold Kroneckerin. Vuonna 1847 Ernst Kummer teki ensimmäiset yritykset todistaa Fermatin viimeinen lause kehittämällä ryhmiä, jotka kuvailivat tekijöintiä alkulukuihin. Näiden eri lähteiden lähentyminen yhtenäiseen ryhmien teoriaan alkoi Camille Jordanin Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) kanssa. Walther von Dyck (1882) esitteli ajatuksen ryhmän määrittelemisestä generaattoreiden ja suhteiden avulla, ja hän oli myös ensimmäinen, joka antoi axiomaattisen määritelmän "abstraktista ryhmästä" ajan terminologiassa. 1900-luvulta lähtien ryhmät...  Kysymys: Mikä on tutkimuksen tavoite?
yksinkertaistaa tämän luokituksen todistamista