Палмър е роден в Бъфало, Ню Йорк. Инис участва като момче от хора в местната църква, докато не се присъедини към армията. През 1842 г. влиза в Военната академия на САЩ. Завършва училище през 1846 г. и е назначен за втори лейтенант във Втория конен полк на САЩ. Встъпва в мексиканско-американската война като първи лейтенант и е награден за храброст и забележителна служба в битките при Контрерас и
Чурубуско. Храбростта му, проявена в битката при Чапултепек, му осигурява повишение до ранг капитан. През март 1855 г. Палмър е повишен до пълен ранг на капитан във Втория кавалерийски полк на САЩ.