Първоначалната мотивация за теорията на групите е била търсенето на решения на полиномиални уравнения с степен по-висока от 4 (1870-1888). През 1888 г. френският математик Еварист Галоа, разширявайки предишната работа на Паоло Руфини и Джоузеф-Луи Лагранж, дава критерий за разрешимостта на конкретно полиномиално уравнение по отношение на симетричната група на корените му (решения). Елементите на такава група на Галоа съответстват на определени пермутации на корените. Първоначално идеите на Галоа са били отхвърлени от неговите съвременници и публикувани едва посмъртно. По-общото имплициране на групите е било изследвано по-специално от Теорията на групите на Луи Кейли, която се основава на аксиметричното уравнение на групите с степен по-висока от 4 (1888).
опростяване на доказването на тази класификация