ISU Challenger Series-en (CS) debuta eginez, Kvitelashvili bosgarren postua lortu zuen Lombardia Trofeoan 2014ko irailean. Azaroan, 2014ko Rostelecom Kopa lehiatu zuen, Kolyada zaurituaren ordez; hamabigarren postua lortu zuen ekitaldian, bere karrerako lehenengo senior Grand Prix (GP) esleipena. 2015eko Errusiako txapelketako zortzigarren postuan sailkatu ondoren.
, bere bigarren Neguko Universiadan parte hartu zuen eta zazpigarren amaitu zuen 2015eko otsailean Granadan, Espainian, egindako lehiaketan.