Navas ha debuttato in competizione il 13 maggio 2012 nell'ultimo turno, giocando in una vittoria a casa 3 a 0 contro l'Athletic Bilbao che ha confermato la prima qualificazione del club per la UEFA Europa League, e si è unito al club valenciano con un contratto triennale nel luglio dello stesso anno. Nonostante fosse inizialmente il back-up di Gustavo Munúa, Navas è stato il portiere di prima scelta per il Levante nella stagione 2013-14, ed è stato nominato come miglior portiere della lega insieme a Thibaut Courtois dell'Atlético Madrid e Willy Caballero del CF Málaga, andando a vincere il premio.
Il giocatore del mese della La Liga