Shaw ha iniziato la sua carriera televisiva come conduttore e reporter per WNUS a Chicago. Ha poi lavorato come reporter per la Westinghouse Broadcasting Company a Chicago, trasferendosi successivamente a Washington come corrispondente della Casa Bianca. Ha lavorato come corrispondente nell'ufficio di Washington della CBS News dal 1971 al 1977. Nel 1977, si è trasferito alla ABC News come corrispondente latinoamericano e capo ufficio prima di diventare il Corrispondente Senior di Capitol Hill. Lasciò la ABC nel 1980 per passare alla CNN come co-anchor della trasmissione PrimeNews, presentando da Washington, D.C.. La copertura di Shaw del tentativo di assassinio del 1981 sul presidente degli Stati Uniti Ronald Reagan
(con Shaw affiancato dall'ex corrispondente di CBS News Daniel Schorr, una delle prime personalità in onda assunte dal nascente canale via cavo) è accreditato per aver contribuito a stabilire la CNN come una fonte di notizie di trasmissione credibile e affidabile in un primo momento della storia della rete.