Scrivi una continuazione per questo paragrafo - Enrico Cucchi ha fatto il suo debutto professionistico nel 1981 con il Savona in Serie C2, che era allenato da suo padre Piero all'epoca. Nel 1982 è stato venduto all'Inter e ha fatto il suo debutto in Serie A con il club tre anni dopo, il 13 gennaio 1985, in un pareggio da 1 a 1 contro l'Ascoli. Divenne un membro permanente della prima squadra la stagione successiva, facendo 22 presenze e segnando un gol contro il Lecce, facendo anche il suo debutto europeo con il club nella Coppa UEFA. Dopo la stagione 1986/87
Dopo aver giocato per la Juventus, ha trascorso le due stagioni successive in prestito all'Empoli e alla Fiorentina, prima di tornare nuovamente all'Inter nel 1989. Durante la stagione 1989/90, ha segnato nella vittoria 2-0 dell'Inter contro la Sampdoria nella Supercoppa Italiana del 1989. Fu venduto al Bari la stagione successiva, dove la sua carriera declinò a causa di una malattia. Fu operato alla coscia a causa di una talpa in crescita, che in seguito si rivelò essere un melanoma. Ha trascorso la sua ultima stagione con il Ravenna durante la stagione 1993-94 della Serie B, facendo solo 5 presenze a causa della sua malattia, prima di ritirarsi nel 1995.