Vesalainen ha iniziato a giocare da giovane nella sua nativa Finlandia, arrivando fino al livello Junior A con HIFK prima di scegliere di continuare il suo sviluppo in Svezia con Frölunda HC il 27 agosto 2015. Vesalainen ha fatto il suo debutto professionistico a livello senior con Frölunda nella Swedish Hockey League durante la stagione 2015-16. Dopo un periodo iniziale di prestito per tornare in Finlandia durante la stagione 2016/17 con l'HPK della Liiga, Vesalainen ha fatto il suo trasferimento permanente accettando un contratto di un anno con l'HPK il 28 aprile 2017. Nel suo primo anno di ammissibilità, Vesalainen è stato selezionato nel primo turno, 24 ° in assoluto, dai Winnipeg Jets al Draft NHL 2017
il 23 giugno 2017.