Alexander è nato a Londra da genitori aristocratici ed è stato educato a Harrow prima di passare al Royal Military College, Sandhurst, per l'addestramento come ufficiale dell'esercito delle Guardie irlandesi. È diventato famoso per il suo servizio nella prima guerra mondiale, ricevendo numerosi onori e decorazioni, e ha continuato la sua carriera militare attraverso varie campagne britanniche in Europa e in Asia. Nella seconda guerra mondiale, Alexander supervisionò le fasi finali dell'evacuazione alleata da Dunkerque e successivamente ricoprì comandi di alto rango in Birmania, Nord Africa e Italia, tra cui il ruolo di comandante in capo in Medio Oriente e il comando del 18 ° gruppo d'armata in Tunisia. Ha poi comandato il 15° Gruppo d'Armata per la cattura della Sicilia.
e di nuovo in Italia prima di ricevere il suo bastone da maresciallo e di essere nominato Comandante Supremo Alleato del Mediterraneo.