Osatu esaldi hau: Bencic Suitzako ipar-ekialdeko Flawilen jaio zen, Dana eta Ivan Benčič-en semea. Bere gurasoak Txekoslovakian jaio ziren, baina bere aitaren familia Suitzara emigratu zen 1968an
Sobietar Batasunaren Varsoviako ituna. Bere aita hockeya jokalari profesionala izan zen Suitzako A Liga Nazionalean eta B Liga Nazionalean aseguru-artekari bihurtu aurretik. Bere ama futbolari handia zen. Bencicek bere lehen tenis pilotak bi urterekin jo zituen eta lau urterekin hasi zen bere aitarekin entrenatzen, aisialdirako tenis jokalari ere baitzen, egunean ordubetez. Adin horretan parte hartu zuen bere lehenengo txapelketa nazionalean, sei urte zaharrago zuen aurkari baten aurka galduz, partida bat ere irabazi gabe. Bencic-ek haurra zela askoz aurkari zaharragoei aurre egingo zien eta bere aitak animatu zuen saio bakoitzeko bi partida irabazten saiatzeko.