Osatu hurrengo esaldia: 1960ko hamarkadan, desegitea deituriko garaian, Voznesensky askotan atzerrira joan zen: Frantziara, Alemaniara, Italiara, Estatu Batuetara eta beste herrialde batzuetara. Voznesensky, Yevgeny Yevtushenko eta Bella Akhmadulinaren ospea estadioetan, kontzertu aretoetan eta unibertsitateetan milaka lagunen aurrean egindako emanaldiek markatu zuten. Hala eginez, "Kremlineko kultur enbaxadore ez ofizialaren antzekoa" izan zen, "The New York Times" egunkariaren arabera. Bere olerki irakurketak zoragarriak ziren. Laurence Olivier eta Paul Scofieldekin lehiatu zen Londreseko ikuskizun batean. Kritikatu egin zuen
Txekoslovakiaren inbasioa. Ameriketako Estatu Batuetan, Allen Ginsberg, Arthur Miller eta Marilyn Monroe ezagutu zituen.