El grup lineal general GL ((n, R) consisteix en totes les matrius invertibles n-per-n amb entrades reals. Els seus subgrups es coneixen com a grups de matriu o grups lineals. L'exemple de grup dièdric esmentat anteriorment pot ser vist com un grup de matriu (molt petit). Un altre grup de matriu important és el grup ortogonal especial SOn ((). Descriu totes les rotacions possibles en n dimensions. A través dels angles d'Euler, les matrius de rotació s'utilitzen en gràfics informàtics. La teoria de la representació és un concepte d'aplicació del grup i és important per a una comprensió més profunda dels grups. Estudia el grup per les seves accions en altres espais.
espai vectorial