Completa la següent frase: El 1987, Palmer va parlar amb el cap de McLaren, Ron Dennis, sobre convertir-se en el segon pilot de l'equip per doblar el campió del món Alain Prost. Dennis finalment va signar amb Stefan Johansson, i Palmer es va unir a Tyrrell una setmana abans de la cursa d'obertura de la temporada a
Brasil. Tot i que va ser superat pels seus competidors turbo, el cotxe de Tyrrell amb aspiradora natural i motor Cosworth va demostrar ser fiable, i era àgil en circuits més estrets. Palmer va guanyar punts de campionat en tres curses, i va ser en el Gran Premi d'Austràlia que va aconseguir el seu millor quart lloc de la seva carrera. També va guanyar la Jim Clark Cup, un campionat per a conductors de cotxes aspirats normalment. Es va quedar amb Tyrrell durant les dues següents temporades, durant les quals els seus millors resultats van ser dos 5os llocs i tres 6os. A finals de 1989 va signar com a pilot de proves de McLaren.