Egerszegi va fer el seu debut internacional als Campionats d'Europa d'Aqua de 1987
als 13 anys, arribant quart en els 200 m dorsal i cinquè en els 100 m dorsal. Als Jocs Olímpics d'estiu de 1988 va guanyar la medalla de plata en els 100 m dorsal i es va convertir en campiona olímpica en els 200 m dorsal. A l'edat de 14 anys i 41 dies es va convertir en la campiona olímpica femenina més jove de la història en natació. Aquest rècord juvenil va ser batut el 1992 per Kyoko Iwasaki del Japó, que va guanyar una medalla d'or en els 200 metres de braç als Jocs Olímpics de Barcelona de 1992 a l'edat de 14 anys i sis dies. A finals de 1988, va ser la nadadora de primer rang en 200 m dorsal en el rànquing mundial, així com va esdevenir la nadadora de l'any i la millor atleta femenina de l'any a Hongria.