Voyevoda ha estat bobsleigista professional des del 2002, i va guanyar la medalla de plata en la prova de bobsleigh de quatre homes amb els seus companys d'equip Philippe Egorov, Alexei Seliverstov i Alexandre Zoubkov als Jocs Olímpics d'Hivern de 2006 a Turí. També va guanyar un bronze en l'esdeveniment de dos homes al Campionat del Món FIBT 2008
a Altenberg, Alemanya. Als Jocs Olímpics d'Hivern de 2010 a Vancouver, Voyevoda va guanyar un bronze en l'esdeveniment de dos homes. Als Jocs Olímpics d'Hivern de 2014 a Sotxi, Voyevoda va guanyar inicialment una medalla d'or en l'esdeveniment de dos homes i una medalla d'or en l'esdeveniment de quatre homes. Voyevoda va rebre l'Orde pel Mèrit a la Pàtria Premi 4a classe amb el president rus Vladimir Putin lliurant els premis estatals.