Escriu una continuació per a aquest paràgraf - Brinkman's 35 anys d'arbitratge de jocs de l'AL va superar el rècord establert per Larry Barnett (1968-1999). Brinkman és el cinquè de tots els temps en el nombre de jocs treballats a les lligues majors. Tres dels quatre del seu davant estan al Saló de la Fama. Brinkman va arbitrar en tres Series mundials: 1978, 1986, 1995). Va arbitrar en cinc sèries de campionats de la Lliga Americana (1976
, 1980, 1987, 1992, 1997), i en tres All-Star games (1977, 1991, 1996), trucant boles i atacs el 1991. Brinkman va treballar a les Series de Divisió el 1981, 1995, 1998, 1999, 2004 i 2005. També va arbitrar el no-hitter d'A. J. Burnett contra els San Diego Padres el 12 de maig de 2001. Brinkman va servir com a cap de tripulació per a l'ALCS el 1987 i el 1997, i també per a la NLDS del 2005. El 22 d'agost de 2006 es va anunciar la seva jubilació. L'ex-arbitre Bob Davidson va tornar per reemplaçar Brinkman a la llista de les lligues majors. Va ser home plate per al partit final al Comiskey Park el 1990.