Abashvili va néixer a Tbilisi, Geòrgia, llavors part de l'Imperi Rus. Es va graduar de l'Escola Naval de Leningrad el 1931 i es va unir a la Flota Bàltica soviètica amb la qual va servir durant la campanya finesa.
i la Segona Guerra Mundial. El 1944, va ser vicecap d'estat major de la Flota del Bàltic i també va comandar una divisió de destructors que va jugar un paper vital en l'alleujament del bloqueig de Leningrad. El 1953 va ser oficial superior amb els vaixells soviètics que visitaven Polònia i el 1954 amb els cridats a Finlàndia. Durant la Crisi dels míssils de Cuba el 1962, Abashvili va ser vicecomandant en cap d'Issa Pliyev i comandant naval en el propost Grup de forces soviètiques a Cuba (Operació Anadyr). Segons un relat, ell estava en contra de l'ús immediat de la força durant els dies de crisi. Es diu que va retardar l'ordre de llançament de míssils soviètics durant l'apogeu de les tensions i es va convertir en una de les persones que va contribuir a evitar una guerra nuclear. Es va jubilar el mateix any i va morir d'un atac cerebral a Leningrad el 1982.