Escriu una continuació per a aquest paràgraf - En la dècada de 1960, durant l'anomenat descongelació, Voznesensky viatjava freqüentment a l'estranger: a França, Alemanya, Itàlia, els Estats Units i altres països. La popularitat de Voznesensky, Yevgeny Yevtushenko i Bella Akhmadulina va ser marcada per les seves actuacions davant de les multituds adoradores que van arribar a milers en els estadis, a les sales de concerts i a les universitats. En fer-ho, va servir com "una mena d'enviat cultural no oficial del Kremlin", segons "The New York Times". Les seves habilitats de lectura de poesia eren profundes. Va competir amb Laurence Olivier i Paul Scofield en un espectacle a Londres. Va criticar la invasió de Txecoslovàquia el 1968
- No. Als Estats Units va conèixer a Allen Ginsberg, Arthur Miller i Marilyn Monroe.