title: गणितज्ञ
text: गणित प्राकृतिक विज्ञान से भिन्न है, क्यों की विज्ञान में भौतिक सिद्धांतों को प्रयोगों के द्वारा जांचा जाता है, जबकि गणितीय तथ्यों को सत्यापित किया जाता है, यह कार्य गणितज्ञों को द्वारा किया जाता है। यदि किसी निश्चित तथ्य को गणितज्ञ के द्वारा सत्यापित कर दिया जाता है, (प्रारूपिक रूप से क्यों कि विशेष मामलों में कुछ हद तक सत्यापन किया गया है) लेकिन इसे सिद्ध या असिद्ध नहीं किया गया है, तो यह अनुमान (conjecture) कहलाता है: इसके विरोधाभास में एक सिद्ध तथ्य प्रमेय कहलाता है। भौतिक सिद्धांतों के बदलने की उम्मीद की जा सकती है जब कभी इस भौतिक संसार के बारे में कोई नई जानकारी प्राप्त होती है। गणित एक अलग तरीके से बदलती है: नए विचार पुराने विचारों को झूठ साबित नहीं कर सकते लेकिन ये किसी भी पूर्व ज्ञात तथ्य को व्यापक बनाने में काम आते हैं। उदाहरण के लिए एक चर कलन, बहु चर कलन (multivariable calculus) में व्यापक हो जाता है, जो विश्लेषण पर बहु गुणित (manifold) हो जाता है।बीजीय रेखागणित (algebraic geometry) का अपने पारंपरिक रूप से आधुनिक रूप में विकास इस बात का एक अच्छा उदहारण है कि गणित का क्षेत्र मोलिक रूप से बदल जाता है, लेकिन यह इस बात को साबित नहीं करता कि पहले सत्यापित किया गया तथ्य किसी भी प्रकार से ग़लत है। हालांकि एक प्रमेय, जब एक बार सिद्ध हो जाती है, हमेशा के लिए सच बन जाती है, प्रमेय का वास्तविक अर्थ हमें गहराई से तब समझ में आता है, जब प्रमेय के चारों तरफ़ की गणित बढती है। एक गणितज्ञ महसूस करता है कि एक प्रमेय को ज्यादा बेहतर रूप से समझा जा सकता है जब यह पूर्व ज्ञात तथ्य पर विस्तृत रूप से लागू की जाती है। उदाहरण के लिए nonzero integers modulo a prime के लिए फर्मेट का लिटिल प्रमेय (Fermat's little theorem), युलर की प्रमेय (Euler's theorem) के रूप में व्यापक हो जाती है, जो invertible numbers modulo any nonzero integer, के लिए है। यही व्यापक होकर परिमित समूहों के लिए लाग्रेंग की प्रमेय (Lagrange's theorem) बन जाती है।