Geometrie zu Grunde liegen in 1854, and introduced the concept of an -dimensional manifold. The concept of higher-dimensional spaces was starting to flourish. Below is an excerpt from the preface to Theorie der vielfachen Kontinuität: Die Abhandlung, die ich hier der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften vorzulegen die Ehre habe, enthält einen Versuch, einen neuen Zweig der Analysis zu begründen und zu bearbeiten, welcher, gleichsam eine analytische Geometrie von Dimensionen, diejenigen der Ebene und des Raumes als spezielle Fälle fuer in sich enthielte. Ich nenne denselben Theorie der vielfachen Kontinuität überhaupt in demselben Sinne, wie man zum Beispiel die Geometrie des Raumes eine Theorie der dreifachen Kontinuität nennen kann. Wie in dieser eine Gruppe von Werten der drei Koordinaten einen Punkt bestimmt, so soll in jener eine Gruppe gegebener Werte der Variabeln eine Lösung bestimmen. Ich gebrauche diesen Ausdruck, weil man bei einer oder mehreren Gleichungen mit vielen Variabeln jede genügende Gruppe von Werten auch so nennt; das Ungewöhnliche der Benennung liegt nur darin, daß ich sie auch noch beibehalte, wenn gar keine Gleichung zwischen den Variabeln gegeben ist. In diesem Falle nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen die -fache Totalität; sind hingegen Gleichungen gegeben, so heißt bzw. die Gesamtheit ihrer Lösungen -faches, -faches, -faches, ... Kontinuum. Aus der Vorstellung der allseitigen Kontinuität der in einer Totalität enthaltenen Lösungen entwickelt sich diejenige der Unabhängigkeit ihrer gegenseitigen Lage von dem System der gebrauchten Variabeln, insofern durch Transformation neue Variabeln an ihre Stelle treten können. Diese Unabhängigkeit spricht sich aus in der Unveränderlichkeit dessen, was ich den Abstand zweier gegebener Lösungen (), () nenne und im einfachsten Fall durch definiere, indem ich gleichzeitig das System der Variabeln ein orthogonales heiße, [...] English translation: The treatise I have the honour of presenting to the Imperial Academy of Science here, is an attempt to found and develop a new branch of analysis that would, as it were, be a geometry of dimensions, containing the geometry of the plane and space as special cases for . I call this the theory of multiple continuity in generally the same sense, in which one can call the geometry of space that of triple continuity. Like in that theory the 'group' of values of its coordinates determines a point, so in this one a 'group' of given values of the variables will determine a solution. I use this expression, because one also calls every sufficient 'group' of values thus