De areaalfuncties zijn de inverse functies van de hyperbolische functies. De aanduiding 'areaal' in areaalfunctie refereert aan de betekenis van deze functies als oppervlakte.

Benaming en notatie

De standaardhyperbool 
 
kan in parametervorm, met  als parameter, geschreven worden door

Voor de parameterwaarde  is de oppervlakte van het blauwe gebied in nevenstaande figuur juist gelijk aan . Het bijbehorende punt op de hyperbool is , zodat

De inverse functies van de cosinus- en de sinus hyperbolicus

geven dus als resultaat een oppervlakte, een 'areaal', dat overeenkomt met de blauw gekleurde punt. Vandaar dat deze inverse functies areaalfuncties genoemd worden. Naast het prefix "ar" wordt, naar analogie met de arcsinus e.d., ook "arc" (arcsinus hyperbolicus, arcsinh) gebruikt. Soms ziet men ook het prefix arg, dat staat voor argument of  eenvoudigweg a, als in .

Expliciete formules

De zes areaalfuncties kunnen uitgedrukt worden in eenvoudige formules met behulp van de natuurlijke logaritme.

Areaalsinus hyperbolicus

Areaalcosinus hyperbolicus

Areaaltangens hyperbolicus

Areaalcotangens hyperbolicus

Areaalsecans hyperbolicus

Areaalcosecans hyperbolicus

Eigenschappen

Identiteiten

Afgeleiden

Integralen
De integralen van de areaalfuncties kunnen alle berekend worden met partiële integratie.

Som- en verschilformules

Onderlinge relaties
Bij het gebruik van deze uitdrukkingen moet rekening gehouden worden met de eventuele beperkingen op het domein van deze functies.

Reeksontwikkelingen
Enkel de areaalsinus hyperbolicus en de areaaltangens hyperbolicus kunnen probleemloos rond x= 0 worden ontwikkeld. De reeksen zijn dan:

Een andere reeksontwikkeling is:

Samenstellingen
Samenstellingen van hyperbolische en areaalfuncties leveren irrationale functievoorschriften:

Limieten
Twee standaardlimieten die areaalfuncties bevatten zijn:

Beide volgen uit de soortgelijke limiet voor de overeenstemmende hyperbolische functie, door middel van een eenvoudige substitutie.

Externe link
 Wolfram Mathworld: De pagina over de areaalfuncties op de website van Wolfram Mathworld bevat doorverwijzingen ('see also') naar gedetailleerde informatie over de individuele areaalfuncties, met onder andere de reeksontwikkelingen.

Wiskundige functie