In de wiskunde is een bovengrens of majorant van een deelverzameling  van een partieel geordende verzameling  een element  waarvoor geldt dat  voor alle . Als er een bovengrens is van , heet  een naar boven begrensde deelverzameling van .

Op analoge wijze is een ondergrens of minorant van  gedefinieerd als een element  waarvoor geldt dat  voor alle . Als er een ondergrens is van , heet  een naar onder begrensde deelverzameling van .

In de analyse geldt eveneens dat een bovengrens van een functie  een getal  is, waarvoor geldt dat  voor alle . Ook hier geldt het analoge voor de ondergrens:  voor alle .

Een functie met een bovengrens heet ook naar boven begrensd. Een functie met een ondergrens heet naar onder begrensd. Een begrensde functie heeft zowel een ondergrens als een bovengrens.

Verwante begrippen

Maximum en minimum 
Indien er voor een deelverzameling  van een partieel geordende verzameling  een element  bestaat zodanig dat  voor alle , dan heet  het maximum van . Het maximum  dient dus een bovengrens van  te zijn en tevens tot  te behoren. Men noteert: .

Analoog is  een minimum van , indien voor alle  geldt dat . Hier is  dus een ondergrens die tot de verzameling behoort. Men noteert: .

Supremum en infimum 
De kleinste bovengrens van , als deze bestaat, wordt het supremum  van  genoemd. In feite is het supremum van  het minimum van de majoranten van :

Analoog wordt de grootste ondergrens van , als deze bestaat, het infimum  van  genoemd. Het infimum van  is het maximum van de minoranten van :

Eigenschappen 
Laat  een deelverzameling zijn van een partieel geordende verzameling .

 Als  bestaat, is dit maximum gelijk aan .
 Als  bestaat, is dit minimum gelijk aan .
 Als  niet naar boven begrensd is, zegt men wel dat .
 Als  niet naar onder begrensd is, zegt men wel dat .

Voorbeelden 
 Neem de deelverzameling  van ; dan is bijvoorbeeld 12 een bovengrens van , aangezien voor ieder getal  geldt dat . Overigens is 9 het supremum en tevens het maximum.
 Beschouw de volgende deelverzamelingen  van de reële getallen .
{| width="340" border="1" style="text-align:center;border-collapse:collapse;"
|- width:60;"
| width="100" | 
| 
| 
| 
| 
|-
| || 1 || 1 || 0 || 0
|-
||| -|| 1|| -|| 0
|-
| || -|| || - || 
|- 
|  || 1 || 1 || - || 0
|}

 Neem de functie . Elke  is een bovengrens van . De functie heeft geen minimum, maar wel is .

Zie ook
Relatieve chronologie (boven- en ondergrens van een onbekend tijdstip) 

Ordetheorie
Wiskundige analyse