In de wiskunde, in het bijzonder in de wiskundige analyse, is een abelse integraal, genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Abel, een functie in de vorm van een integraal in het complexe vlak:

,

waarin  een rationale functie is van twee variabelen  en  die gerelateerd zijn door de vergelijking

 

met  een irreducibel polynoom in , namelijk

waarvan de coëfficiënten  rationale functies van  zijn. 

De waarde van de integraal is niet alleen afhankelijk van de integratiegrenzen, maar ook van het pad waarover geïntegreerd wordt. Een abelse integraal is daarmee een meerwaardige functie van .

Abelse integralen zijn de natuurlijke generalisaties van elliptische integralen, die voortkomen uit de relatie

,

waarin  een derde- of vierdegraadspolynoom is. Een polynoom  van hogere graad geeft als speciaal geval de hyperelliptische integraal.

Moderne generalisatie
In de theorie der riemann-oppervlakken is een abelse integraal een functie die gerelateerd is aan de primitieve functie van een differentiaal van de eerste soort. Neem een Riemann-oppervlak  aan en stel verder dat  zich bevindt op een 1-differentiaalvorm  die overal holomorf is op , en bepaal een punt  in , vanwaar geïntegreerd gaat worden. Dan kan men

beschouwen als een meerwaardige functie , of (beter) een (echte) functie van het gekozen pad  afgebeeld op  van  naar . Aangezien  in het algemeen meervoudig samenhangend zal zijn, moet men  specificeren, maar de waarde van de integraal zal alleen afhangen van de homologieklasse van  modulo cykels op . 

In het geval dat  een compact riemann-oppervlak van genus 1 is, dat wil zeggen een elliptische kromme, zijn zulke functies de elliptische integralen. Logisch gesproken moet een Abelse integraal daarom een functie zoals  zijn.

Zulke functies werden geïntroduceerd om de hyperelliptische integralen te bestuderen, dat wil zeggen voor het geval waar  een  hyperelliptische kromme is. Dit is een natuurlijke stap in de theorie van de integratie voor het geval van integralen, waar de algebraïsche functies  een rol speelt, en waar  een polynoom is van graad groter dan 4. De eerste belangrijke inzichten in deze theorie werden opgedaan door Niels Abel; Later werden deze inzichten geherformuleerd in termen van de Jacobiaanse variëteit . De keuze van  leidt tot een standaard holomorfe afbeelding

van complexe variëteiten. Het heeft de definiërende eigenschap dat de holomorfe 1-vorm op , waarvan er  onafhankelijken zijn, als  het genus is van , terugtrekt naar een basis voor de differentialen van de eerste soort van .

Externe links 
Abelse integralen en Abelse functies

Literatuur 
 Griffiths, P. & Harris, J. - Principles of Algebraic Geometry (Principes van de algebraïsche meetkunde), Springer-Verlag Berlin 

Complexe analyse
Functionaalanalyse