De positieve getallen met eindig veel cijfers vóór en achter de komma hebben in en dezelfde betekenis.
Om nuldelers te voorkomen worden getallen niet in het tientallig stelsel bekeken, maar in p-tallige stelsels (p een priemgetal).
De vergelijking heeft maar liefst 4 veschillende oplossingen in . (De oplossingen laat ik aan de lezer over).
Vul daartoe eventueel wat nullen toe voor aan het getal (verschuif de komma) zodat het niet repeterende stuk r even lang is als een repeterend stuk a. Er geldt: X>0 als r>a en omgekeerd.
Getallen zonder komma worden gehele getallen genoemd (dus ook ...21212 is een geheel getal). We schrijven voor de verzameling van gehele decimale getallen .
Een homogeen polynoom in n variabelen met coëfficienten in heeft nulpunten in dan en slechts dan als het nulpunten heeft in en in
Dit zijn de enige mogelijke completeringen van met een absolute waarde begrip (i.e. een norm |.| met de eigenschap ).
We hoeven niet per sé uit te gaan van , maar kunnen in theorie ook andere niet-volledig lichamen niet-archimedisch completeren.
Aangezien ikzelf bezig ben met een scriptie omtrent de p-adische getallen, trok deze titel mijn aandacht. Ik dacht: Interessant!
Maar, ik vond de uitwerking zelf nogal ietwat spijtig. is namelijk geen absolute waarde. Ook zou dit best benaderd mogen worden vanuit de `abstracte' weg, naast de `algebraische' weg. Laat zien wat een completering is, en dergelijke.
Tevens, waarom niet , ipv . Zo maak je duidelijk dat het om de verzameling reele getallen gaat. Ook de norm beter definieren zou denk ik goed zijn.
Sorry voor de enkele opmerkingen. Over het algemeen is het een interessant onderwerp, en ik hoop ook dat dit de interesse van mensen mag wekken.
Een rigoreuze behandeling van het onderwerp met goede onderbouwing heeft mijn voorkeur, maar ligt voor een eerste kennismaking te zwaar op de maag.
Wanneer ik deze af heb, zal ik er over nadenken om hem hier te publiceren. Ik weet zo snel niet wat de regels hieromtrent zijn, maar als het mogelijk is, zal ik het doen.
Tevens, een rigoreuze behandeling is inderdaad iets te ver voor een `eerste kennismaking', zeker wanneer men geen rigoreuze kennismaking heeft gehad met .
Misschien is dat wel een leuk gedeelte om toe te voegen voor de wat dieper geintresseerden, een gedeelte waar rigoreuze(re) wiskunde word bedreven. Bijvoorbeeld het hele standaard regeltje
Als je het begrip completering al wenst te bespreken zul je eerst de begrippen convergentie van een rij en fundamentaalrij (of Cauchyrij) moeten bespreken, maar als je dit op een handige manier aanpakt moet dit volgens mij haalbaar zijn. Wiskundige begrippen zijn uiteraard uiterst abstract, maar dit hoeft naar mijn idee geen belemmering te zijn om ze hier bespreekbaar te maken.