De Liouville-functie, aangeduid met  en genoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville, is een  functie in de getaltheorie die verband houdt met het aantal priemdelers van het positieve natuurlijke getal .

Definitie
Laat  een positief natuurlijk getal zijn en  het aantal priemfactoren van , dan is de Liouville-functie gedefinieerd door:

en voor 

Het aantal priemfactoren  van  kan afgelezen uit de (rij). 

Meervoudige factoren worden in  ook meervoudig geteld; bijvoorbeeld is , want 12 = 2×2x3 en de priemdeler 2 wordt tweemaal geteld. Dus is . Voor  geldt  omdat 13 een priemgetal is, en dus is ook , zoals voor alle priemgetallen.

De Liouville-functie neemt slechts de waarden +1 en -1 aan, afhankelijk ervan of het argument een even of een oneven aantal priemdelers (meervoudig geteld) heeft.

Verband met de Riemann-zèta-functie
De Riemann-zèta-functie , waarin  een complex getal is met reëel deel > 1, wordt gedefinieerd als:

Hieruit volgt de volgende gelijkheid:

Sommering

Stel: . Dit is dus de som van de waarden van de Liouville-functie van 1 tot en met .

 geeft het verschil aan tussen het aantal getallen van 1 tot en met  met een even aantal priemdelers en het aantal met een oneven aantal priemdelers.

George Pólya formuleerde in 1919 het vermoeden, dat  voor alle . Dit vermoeden is later echter ontkracht; C.B. Haselgrove bewees in 1958 dat er oneindig veel gehele getallen  zijn waarvoor  is. Het kleinste getal waarvoor het vermoeden van Pólya niet geldt, blijkt 906150257 te zijn.

L kan zeer grote negatieve en positieve waarden aannemen; zo berekenden Borwein, Ferguson en Mossinghoff met een computercluster van dual-core PowerMac G5s dat L(176064978093269) = −17555181 en L(351753358289465)=1160327. Het is echter nog een open vraag, of  al dan niet een oneindig aantal malen van teken verandert.

Een verwante som is
.

Hiervan werd aanvankelijk vermoed, dat  vanaf een voldoend grote , steeds positief is. Als dat waar zou zijn, zou hieruit de Riemann-hypothese volgen. Maar in 1958 bewees Haselgrove, dat er oneindig veel getallen zijn waarvoor  negatief is.

Getaltheorie