Een homogene differentiaalvergelijking is  een differentiaalvergelijking van eerste orde, met een algemene vorm die kan geschreven worden als:

waarin  en  beide een homogene veelterm in  en  zijn, met gelijke graad .

Dit is wiskundig equivalent met een andere algemene vorm, die men regelmatig vindt:

waarbij  dan homogeen van orde nul is. In dit artikel wordt de eerste hierboven vermelde algemene vorm behandeld. Het Engelstalige artikel over dit onderwerp doet hetzelfde, maar dan voor de tweede algemene vorm.

Oplossingsmethode
Gezien  en  beide homogeen zijn met dezelfde graad levert de substitutie:

de vergelijking:

Hierin kan nu de factor met de -de macht van  worden weggedeeld. Na vervolgens de termen wat te herschikken vindt men:

of korter:

Door scheiden van veranderlijken krijgt men:

De algemene oplossing is bijgevolg:

met  een willekeurige constante, en waarin ten slotte de variabele  weer dient te worden vervangen door

Het uiteindelijke resultaat is een familie impliciete functies van  en , waarbij de  aanwezigheid van de willekeurige reële factor  voor het oneindige aantal oplossingen zorgt.

Voorbeeld
De vergelijking:

is homogeen van orde 1. Na substitutie  wordt dit:

en ten slotte:

zodat de algemene oplossing wordt:

na subsitutie   kan dit verder worden omgewerkt tot de familie van impliciete functies:

Een herleidbaar geval
Een differentiaalvergelijking van de vorm:

kan worden herleid tot een homogene differentiaalvergelijking door een lineaire verschuiving van het assenkruis, zowel in de x-richting als in de y-richting. De mate waarin wordt verschoven wordt bepaald door de oplossing van het stelsel:

Voorbeeld 
Bij de vergelijking:

levert dit stelsel een oplossing:

De subsititutie

maakt van deze differentiaalvergelijking een homogene van graad 1:

Zie ook
Alternatieve methoden om vergelijkingen van de vorm  of  op te lossen. 
 Scheiden van veranderlijken
 Lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde
 Bernoullivergelijking
 Totale differentiaalvergelijking
 Integrerende factor

Differentiaalvergelijking