In de integraalrekening, een deelgebied van de wiskunde, is de Riemann-Stieltjes-integraal, of kort de Stieltjesintegraal een generalisatie van de Riemann-integraal. De integraal is genoemd naar de Duitse wiskundige Bernhard Riemann en de Nederlandse wiskundige Thomas Stieltjes. Stieltjesintegralen maken gebruik van een zogenaamde integrator, een functie die bepaalt hoe sterk een functiewaarde van de integrand meetelt in de integraal. De rol van de integrator kan goed begrepen worden als deze differentieerbaar is, want in dat geval speelt de afgeleide de rol van gewichtsfunctie.

In de Riemannintegraal van de functie  wordt de bijdrage van een deelinterval  benaderd door een rechthoek(je) met breedte  en hoogte  waarin  een punt in het deelinterval is. De Stieltjesintegraal met integrator  benadert de bijdrage van het genoemde deelinterval door een rechthoek ook met hoogte , maar met een breedte  Als  differentieerbaar is, kan voor deze breedte geschreven worden:

,

waaruit we kunnen zien dat de afgeleide van de integrator als gewichtsfunctie fungeert.

Definitie 
Laat de integrand  een begrensde en de integrator  een monotoon niet-dalende functie op het interval  zijn. Een verdeling  van het interval  is een eindige rij getallen van de vorm:
.

Elk interval  heet een deelinterval van de verdeling.

Met betrekking tot de verdeling  en de integrator  is:

de Stieltjesbovensom van  

en de Stieltjesondersom van 

.

Daarin zijn:

Riemann-Stieltjes-integraal 
De integrand  heet Riemann-Stieltjes-integreerbaar ten opzichte van , met integraal  als 

Deze integraal wordt aangeduid door
,

of soms kort door
.

Niet-monotone integrator 
De Riemann-Stieltjes-integraal kan behalve voor monotoon niet-dalende integrators ook nog zinvol gedefinieerd worden voor integrators van begrensde variatie op het integratie-interval. Functies van begrensde variatie zijn het verschil van twee monotoon niet-dalende functies. Een integrator  van begrensde variatie op , kan dus geschreven worden als , met  en  monotoon niet-dalend. Als een functie  Riemann-Stieltjes-integreerbaar is op  ten opzichte van zowel  als  wordt de Riemann-Stieltjes-integraal ten opzichte van  gedefinieerd als:

Zie ook
 Integraalrekening
 Riemannintegratie
 Darbouxintegraal
 Lebesgue-Stieltjes-integraal

Integraalrekening