In de kansrekening worden de cumulanten van een stochastische variabele  of een kansverdeling voortgebracht door de cumulantgenererende functie , gedefinieerd als de natuurlijke logaritme van de momentgenererende functie , mits deze bestaat; dan is:

De -de cumulant  is dan gedefinieerd door:
.

Directe berekening leert:

en
.

Noemt men  en , dan is de Maclaurinreeks-ontwikkeling van de cumulantgenererende functie:

Op alternatieve wijze kunnen cumulanten ook gedefinieerd worden in termen van de karakteristieke functie 

Er geldt:

Voorbeelden
Voor de normale verdeling met parameters  en  is de momentgenererende functie:

zodat de cumulantgenererende functie gelijk is aan

De cumulanten zijn dus:
 en voor 

Alle cumulanten van orde groter dan 2 zijn gelijk aan 0, een eigenschap die kenmerkend is voor de normale verdeling.

Voor de poissonverdeling is
,
dus

Alle cumulanten zijn aan elkaar gelijk; voor alle  is:

Eigenschappen

Invariantie voor verschuivingen 
Cumulanten worden wel als semi-invarianten van de kansdichtheid  aangeduid, aangezien ze, met uitzondering van , bij een verschuiving van de verwachtingswaarde niet veranderen. Voor een willekeurige constante  geldt:

en voor

Homogeniteit 
Die -de cumulant is homogeen van de graad . Voor een willekeurige constante  geldt:

Additiviteit 
Als  en  onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn, geldt, mits de cumulanten bestaan:

Analoog geldt voor een -tal onderling onafhankelijke stochastische variabelen 

Deze eigenschappen volgen direct uit de definitie met behulp van de karakteristieke functie, aangezien de karakteristieke functie van de bovengenoemde sommen het product is van de afzonderlijke karakteristieke functies.

Aantal cumulanten ongelijk aan 0
In het voorbeeld zijn slechts de eerste twee cumulanten van de normale verdeling ongelijk aan 0. Trivialerwijze zijn ook alle cumulanten behalve de eerste voor een ontaarde verdeling gelijk aan 0. Behalve deze twee gevallen bestaat er geen andere verdeling met slechts eindig veel cumulanten ongelijk aan 0

Geschiedenis 
Cumulanten en hun eigenschappen werden in 1889 voor het eerst beschreven door de Deense wiskundige Thorvald Nicolai Thiele in een in het Deens uitgegeven boek. Daardoor bleven de resultaten lange tijd onbekend, zodat Felix Hausdorff nog in 1901 deze kengetallen in een artikel als door hem 'nieuw ingevoerd' beschreef.

Literatuur 
 Jörg Bewersdorff: Statistik – wie und warum sie funktioniert. Ein mathematisches Lesebuch. Vieweg+Teubner Verlag 2011, ISBN 978-3834817532, , S. 68-70.
 Crispin W. Gardiner: Stochastic methods: a handbook for the natural and social sciences. Springer, 2009. ISBN 978-3-540-70712-7, S. 33-35.
 M. Abramowitz, I. A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, 1965. ISBN 978-0-486-61272-0

Referenties 

Kansrekening