In de meetkunde zijn elliptische krommen een speciale soort algebraïsche krommen waarop meetkundig een optelling gedefinieerd is. De naam is ontleend aan de ellips, maar het verband is slechts zijdelings en ellipsen zijn heel uitdrukkelijk geen voorbeelden van elliptische krommen.

Elementaire definitie 
Een elliptische kromme is een verzameling punten van het vlak waarvan de coördinaten voldoen aan een vergelijking van de vorm

met  een polynoom van de derde graad zonder samenvallende nulpunten, die na een eventuele lineaire transformatie over te voeren is in:

met  en  zo, dat de polynoom geen dubbele nulpunten heeft.

Als onder het "vlak" de reële euclidische ruimte  wordt verstaan, kan een elliptische kromme grafisch worden voorgesteld in een van de volgende twee gedaanten (naargelang de polynoom  drie reële nulpunten of slechts één reëel nulpunt heeft):

Meestal worden elliptische krommen echter beschouwd over de complexe tweedimensionale ruimte , of zelfs over het complexe projectieve vlak . In dat laatste geval wordt de vergelijking gehomogeniseerd met een derde veranderlijke :

Over het complexe projectieve vlak zijn alle elliptische krommen topologisch gelijkwaardig (homeomorf) met de torus, en dus ook met elkaar.

Alternatieve definitie 
Een elliptische kromme is het Riemann-oppervlak dat ontstaat als quotiëntruimte van het complexe vlak over een rooster, d.i. een discrete deelgroep van de vorm

Hoewel alle elliptische krommen topologisch gelijkwaardig zijn, zijn ze niet allemaal gelijkwaardig als Riemann-oppervlak. Elke elliptische kromme is echter biholomorf (equivalent als Riemann-oppervlak) met een elliptische kromme waarvoor  en waarvoor het imaginaire deel van  strikt positief is.

Het verband met de elementaire definitie wordt gegeven door de -functie van Weierstrass en haar afgeleide. Dat is een dubbelperiodieke meromorfe functie op het complexe vlak met polen van de tweede orde in de punten van het rooster . Ze voldoet aan

Hierin zijn de constanten  () de sommen van de Eisenstein-reeksen van het rooster.

Het geordende paar  parametriseert een complexe elliptische kromme in de elementaire zin. Omgekeerd blijkt elke complexe elliptische kromme afkomstig te zijn van de Weierstrass-functie van een rooster.

Groepsbewerking 
Op een elliptische kromme bestaat een natuurlijke abelse groepsbewerking. Bij de alternatieve definitie is dit gewoon de factorgroep die ontstaat uit de optelling van complexe getallen. Bij de elementaire definitie aan de hand van een polynoom heeft de groepsbewerking meetkundig de volgende vorm.

Omdat een elliptische kromme symmetrisch is ten opzichte van de x-as, ligt van elk punt op de kromme ook het spiegelbeeld ten opzichte van de x-as, de gespiegelde, op de kromme.

Een elliptische kromme in het complexe projectieve vlak snijdt de rechte op oneindig in één punt  met als projectieve coördinaten . Dit punt vertegenwoordigt de richting evenwijdig aan de y-as.

Van twee verschillende punten  en  op een elliptische kromme (in het complexe projectieve vlak) snijdt de rechte door  de kromme in precies één derde punt . In het geval dat  en  elkaars gespiegelde zijn, ligt dit punt op oneindig. De som  is gedefinieerd als de gespiegelde van dit derde punt .

Als  en  samenvallen, neemt men voor  het snijpunt van de raaklijn aan de kromme.

Als  het punt op oneindig is, neemt men de rechte door  in de richting van  als verbindingslijn.

Daarmee is duidelijk dat voor alle punten  en  de som welgedefinieerd is als een punt  op de kromme en dat de optelling commutatief is: .

Voor alle punten  geldt: , dus  is het neutrale element.

Voor de gespiegelde  van een punt  volgt  dus  is de tegengestelde van . Voor het snijpunt  van de rechte door  en  met de kromme geldt dus: . Voor de drie snijpunten  van een rechte met de kromme geldt dus: 

De associativiteit van de optelling is geen voor de hand liggende eigenschap. Met behulp van de stelling van Cayley-Bacharach kan het bewijs gemakkelijk gegeven worden (zie de figuur).

De drie punten,  en  liggen op een elliptische kromme. De drie rechten  en , en de drie rechten  en  hebben negen snijpunten:

Daarvan liggen de eerste acht op de elliptische kromme. Maar dan ligt volgens de stelling ook het negende snijpunt, dat van  en , op de kromme. Dus is , of anders geschreven: .

Een rationale elliptische kromme bestaat uit punten waarvan de projectieve coördinaten rationale getallen zijn, en voldoen aan een vergelijking zoals hierboven. De coëfficiënten van de derdegraadspolynoom moeten eveneens rationale getallen zijn.

Analytisch
Als de punten  en  van elkaar verschillen en gegeven zijn in een xy-assenstelsel, wordt de som  gegeven door:

met

de richtingscoëfficiënt van de lijn door  en . 

Er geldt namelijk :

dus:

Verder is voor de kromme 

Ook is

Analoog geldt:

Aftrekken levert

dus

Als , is  en is .

In het geval dat  en , krijgt  de waarde van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in . Is  dan is  en is de som het punt op oneindig (0).

Rationale elliptische kromme
De stelling van Mordell luidt dat een rationale elliptische kromme, opgevat als abelse groep, eindig voortgebracht is. Er bestaat dus een eindige deelverzameling van waaruit ieder willekeurig punt op de kromme door een eindig aantal sommen kan worden bereikt.

Endomorfismen
Omdat een elliptische kromme  met de groepsbewerking 'optelling' een abelse groep is, vormen de endomorfismen een ring, aangeduid met  of . Deze ring kan drie vormen hebben (isomorf): de gehele getallen , een speciale deelring in een kwadratisch lichaam (Ned) / veld (Be) of in een quaternionen-algebra over .

De ring van elke elliptische kromme bevat  als deelring. De endomorfismen in deze deelring worden daarom wel de triviale endomorfismen genoemd. Als er meer endomorfismen zijn zegt men dat de kromme complexe vermenigvuldiging heeft.

Als het lichaam/veld eindig is, zijn er altijd niet-triviale endomorfismen, afkomstig van het frobenius-endomorfisme; al zulke krommen hebben dus een  complexe vermenigvuldiging. Maar als het basislichaam/veld een getallenlichaaam/veld is, is complexe vermenigvuldiging een uitzondering.

Naamgeving 
Elliptische krommen spelen een rol bij de studie van elliptische functies die ontstaan uit de integralen waarmee de omtrek van delen van een ellips kan worden berekend.

Toepassingen 
Elliptische krommen zijn bestudeerd als interessante objecten op zich, omdat ze de eerste stap van de meetkunde "voorbij" de kegelsneden zijn. Ze hebben echter toepassingen gevonden in andere gebieden van de wiskunde, en met name de getaltheorie heeft in 1995 een spectaculair succes geboekt door aan de hand van elliptische krommen de laatste stelling van Fermat te bewijzen.

Referenties 
 

 

Analytische getaltheorie
Meetkunde