Bestaat er een maximumtemperatuur? - Vragen over sterrenkunde (FAQ)
Bestaat er een maximumtemperatuur?
We hadden er een discussie over op een aantal fora, sommigen zeggen dat de maximum temperatuur oneindig is (er kan oneindig veel energie worden toegevoegd), anderen zeggen dat er een maximum aan zit (wanneer de moleculen de lichtsnelheid bereiken). Welke is nu waar?
Er is geen maximumtemperatuur. Het is inderdaad waar dat deeltjes in een warm gas sneller bewegen dan deeltjes in een koud gas. Dit is echter geen directe relatie tussen temperatuur en snelheid, maar er zit energie tussen. Ik het klassieke geval, waarbij de deeltjes veel langzamer bewegen, is de kinetische energie van een deeltje inderdaad alleen afhankelijk van de snelheid. Zodra je het gaat hebben over snelheden die vergelijkbaar zijn met de lichtsnelheid mag je deze formule echter niet meer gebruiken en moet de relativistische formule voor de kinetische energie gebruikt worden.
De gemiddelde energie van een deeltje in een ideaal gas met temperatuur T is: \begin{equation} E_\mathrm{th} = \frac{3}{2} k T, \end{equation}
waarin k = 1,38x10-23 J/K de Bolzmanconstante. In het klassieke geval kunnen we de snelheid van zo'n deeltje berekenen met behulp van de kinetische energie: \begin{equation} E_\mathrm{k} = \frac{1}{2} m v^2 \end{equation}
en dus: \begin{equation} v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}. \end{equation}
Dit komt doordat in de klassieke mechanica een verandering in de kinetische energie van een deeltje een verandering in snelheid inhoudt, omdat de massa niet verandert. In dat geval is er dus een direct verband tussen v en T. Als een deeltje echter een snelheid heeft die vergelijkbaar is met de lichtsnelheid, moeten we de relativistische formule gebruiken: \begin{equation} E_\mathrm{k} = \left(\gamma - 1\right) m_0 c^2. \end{equation}
Hierin is m0 de rustmassa (dus de massa bij v=0), c de lichtsnelheid (c = 3,0x108 m/s) en \begin{equation} \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(v/c\right)^2}}. \end{equation}
(We kunnen verifiëren dat voor het klassieke geval, v << c, geldt dat: \begin{equation} \gamma \sim 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c}\right)^2 \end{equation}
en dus: \begin{equation} E_\mathrm{k} \sim \left(1 + \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c}\right)^2 - 1\right) m_0 c^2 ~=~ \frac{1}{2} m_0 v^2, \end{equation}
gelijk aan vergelijking (2)).
Het verschil is dat als nu de kinetische energie hoog wordt, de massa van het deeltje toeneemt (m>m0). Als je de lichtsnelheid nadert wordt de massa van het deeltje oneindig groot, dus wordt de kinetische energie oneindig groot en dus kan de temperatuur oneindig hoog worden, ondanks dat de snelheid van het deeltje niet boven de lichtsnelheid uitkomt (v < c). Er is dus geen bovengrens voor de temperatuur.