Scheiden van veranderlijken (ook bekend als scheiden van variabelen) is een methode om bepaalde differentiaalvergelijkingen op te lossen. Differentiaalvergelijkingen spelen een rol in vele problemen in de natuurkunde, de techniek, enzovoort. De volgende voorbeelden laten zien hoe men differentiaalvergelijkingen in een paar eenvoudige gevallen, waar een exacte oplossing bestaat, op kan lossen.

Scheidbare eerste-orde lineaire gewone differentiaalvergelijkingen
Een scheidbare lineaire gewone differentiaalvergelijking van de eerste orde heeft de algemene vorm:

Wanneer de differentiaalvergelijking wordt geschreven door middel van differentialen  in plaats van door een afgeleide  neemt men als algemene vorm:

De ene vorm kan makkelijk in de andere worden omgezet, zodat ze geheel gelijkwaardig zijn.

Eenvoudig geval
Indien de functie  van de vorm  is, wordt dit:

waar  een willekeurige bekende functie is. Deze functie kan gevonden worden door het scheiden van veranderlijken: het verplaatsen van de -termen naar de ene kant, en de -termen naar de andere kant van de vergelijking,

Door integratie ontstaat:

waarin  een constante is. Door machtsverheffing verkrijgt men vervolgens

waarin  een andere willekeurige constante is. Het is gemakkelijk na te gaan dat dit een oplossing is door deze term in de originele differentiaalvergelijking te substitueren:

Enige uitwerking is nodig omdat  niet noodzakelijkerwijs een constante is; de functie is misschien zelfs niet integreerbaar. Men moet iets aannemen over de domeinen van de betrokken functies, voordat de vergelijking volledig gedefinieerd is. Gaat het bijvoorbeeld over complexe functies, of gewone reële functies? De gebruikelijke leerboekaanpak is om eerst de vorming van vergelijkingen te bespreken en dan pas de oplossingsmethoden.

Algemeen geval
De manier om het algemeen geval op te lossen wordt het eenvoudigst beschreven nadat de differentiaalvergelijking wordt geschreven in de vorm met de differentialen  en :

De oplossing van deze differentiaalvergelijking is elke uitdrukking  waarvan deze vergelijking de differentiaal is. Dit is het geval voor:

waarin  een primitieve functie van  is en  een primitieve functie van .

De algemene oplossing is dus:

Voorbeeld
De differentiaalvergelijking:

wordt in differentiaalvorm:

De algemene oplossing is bijgevolg:

met  een willekeurige constante.

Software 
Xcas:

Zie ook
Alternatieve methoden om vergelijkingen van de vorm
 of  op te lossen.
 Homogene differentiaalvergelijking
 Lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde
 Bernoullivergelijking
 Totale differentiaalvergelijking
 Integrerende factor

Externe link

Referenties 

Differentiaalvergelijking