In de differentiaalmeetkunde en de differentiaaltopologie is de raakruimte in een punt van een gekromde ruimte een vectorruimte die het klassieke begrip raaklijn op intrinsieke wijze (d.w.z. onafhankelijk van parametrisatie en inbedding) tot hogere dimensies generaliseert.

Klassieke constructie 
Zij  een glad oppervlak, ingebed in de driedimensionale euclidische ruimte . In ieder punt  bestaat een uniek raakvlak waarvan punten een tweedimensionale reële vectorruimte vormen met  als oorprong.

Algemener, zij  een -dimensionale gladde variëteit, ingebed in de -dimensionale euclidische ruimte  (). Door ieder punt  gaat een uniek -dimensionaal hypervlak  van  met de eigenschap dat, voor een gegeven lokaal coördinatenstelsel (kaart) rond , de afgeleiden van de coördinaatkrommen in  evenwijdig lopen met . De ligging van  is onafhankelijk van het gekozen coördinatenstelsel, maar hangt uiteraard wel af van .

Men noteert  en noemt het raakruimte (ook: rakende ruimte) van  in . De afgeleiden van de coördinaatkrommen vormen een basis voor .

Intrinsieke definitie 
Sinds Bernhard Riemann geven meetkundigen de voorkeur aan objecten die voor hun bestaan niet afhankelijk zijn van de gekozen coördinaten en inbedding in een hogerdimensionale euclidische ruimte.

De raakruimte van een willekeurige gladde variëteit  in een punt  wordt gedefinieerd door de volgende equivalentierelatie op de verzameling van alle gladde krommen die door  gaan:

Twee krommen zijn equivalent als in een willekeurig coördinatenstelsel hun afgeleiden in  gelijk zijn. Men toont aan dat deze eigenschap onafhankelijk is van de gekozen coördinaten.

De aldus ontstane partitie vormt een reële vectorruimte door coördinaatsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging in een voldoende kleine omgeving van , en we noemen haar de raakruimte in . Zij  een kaart rond een punt . De equivalentieklassen horend bij de coördinaatkrommen

vormen een basis voor . Traditioneel worden dergelijke basisvectoren aangeduid met de notatie

Raakbundel 
De vereniging van alle raakruimten

kan op natuurlijke wijze op haar beurt worden uitgerust met de structuur van een -dimensionale gladde variëteit. Met elke kaart van  wordt een kaart van  gebouwd door
de eerste  coördinaten een punt van  de laten aanduiden, en de volgende  coördinaten een vector ten opzichte van de hierboven geschetste basis.

De variëteit  heet de raakbundel van . Ze is het typevoorbeeld van het begrip vectorbundel. De afzonderlijke vectorruimten  zijn de vezels van .

Een gladde afbeelding van (een deel van)  naar  die iedere  afbeeldt op een vector uit de overeenkomstige vezel , noemen we een sectie van , ook wel vectorveld of kortweg (in de natuurkunde, enigszins verwarrend) vector.

Coraakruimte en corakende bundel 
Met iedere vectorruimte  associeert men de duale vectorruimte  die bestaat uit de lineaire afbeeldingen van  naar het scalairenlichaam .

De coraakruimte van  in , genoteerd , bestaat uit de lineaire afbeeldingen van  naar .

Met iedere basis  van een eindigdimensionale vectorruimte komt een natuurlijke basis  voor de duale vectorruimte overeen: de duale basisvector  beeldt de basisvector  af op 1, en alle andere basisvectoren op 0.

De duale basis van  die overeenkomt met de basis
 van , noteren we
.

De vereniging van alle coraakruimten in de verschillende punten van  heet de corakende bundel van  en wordt  genoteerd. Ook hij wordt op natuurlijke wijze een -dimensionale variëteit (in feite een -dimensionale vectorbundel over ). Zijn secties heten covectorvelden of covectoren.

Rakende of geïnduceerde afbeelding 
Met een gladde afbeelding tussen gladde variëteiten  komt op natuurlijke wijze een lineaire afbeelding tussen de raakruimten  overeen. Deze kan op twee gelijkwaardige manieren expliciet gedefinieerd worden:
 Een vector  is per definitie een equivalentieklasse van krommen met dezelfde snelheid in . Door samenstelling met  verkrijgen we krommen in , en wegens de kettingregel hebben die allemaal dezelfde snelheid in . Ze bepalen dus een unieke equivalentieklasse, dat wil zeggen een vector in . Het is niet moeilijk na te rekenen dat dit verband lineair is.
 Beschouw kaarten  in  resp.  in . De natuurlijke basissen  en  bepalen lineaire isomorfismen enerzijds tussen  en , anderzijds tussen  en . Uitgedrukt in de overeenkomstige coördinatenstelsels komt met  een afbeelding  van  naar , dus haar afgeleide  is een lineaire afbeelding van  naar . De rakende afbeelding wordt dan gedefinieerd als .

Zie ook
 Raakvlak

Differentiaalmeetkunde
Differentiaaltopologie