In de topologie, een tak van de wiskunde, is de initiale topologie op een verzameling met betrekking tot een collectie afbeeldingen die vanuit die verzameling vertrekken, de grofste topologische structuur die deze afbeeldingen continu maakt.

Het synoniem zwakke topologie is vooral in de functionaalanalyse gebruikelijk.

Initiale topologie van een afbeelding 
Zij  een afbeelding van een verzameling  naar een topologische ruimte . We zouden graag de verzameling  van een topologische structuur voorzien die ervoor zorgt dat de afbeelding  continu is, dat wil zeggen dat het inverse beeld van een open verzameling van  steeds een open verzameling van  is.

In het algemeen bestaan er verscheidene dergelijke topologieën, maar slechts één ervan is de kleinste of grofste in de zin dat ze zo weinig mogelijk open verzamelingen bevat. Als  de topologie van  is, dan wordt de kleinste topologie op  waarvoor de afbeelding  continu is, voortgebracht door

We zeggen ook dat de inverse beelden van open delen van  een subbasis vormen voor de initiale topologie van . In feite vormen deze open delen reeds zelf de initiale topologie.

Voorbeelden 
Beschouw de reële getallen  met de gewone topologie.

De identieke afbeelding  induceert de gewone topologie op .

De afbeelding  induceert een kleinere topologie op  waarvan de open verzamelingen symmetrisch liggen ten opzichte van 0.

De constante afbeelding  induceert de indiscrete topologie .

Zij  een topologische ruimte, en  een deelverzameling van . De deelruimtetopologie van  op  is de initiale topologie van de inclusie-afbeelding

Initiale topologie van een familie afbeeldingen 
We passen dezelfde techniek toe op een oneindig aantal afbeeldingen , eventueel naar verschillende topologische ruimten  (. De indexverzameling  mag zelfs overaftelbaar zijn.

De kleinste (grofste) topologie op de verzameling  waarvoor alle afbeeldingen  continu zijn, wordt voortgebracht door de subbasis

Bovenstaande subbasis in in het algemeen niet altijd zelf een topologie. Zoals gewoonlijk bij een subbasis worden de open verzamelingen van de initiale topologie gevormd door alle willekeurige verenigingen van eindige doorsneden van elementen uit de subbasis.

Voorbeelden 
De projectie-afbeeldingen

induceren op  een topologie die wordt voortgebracht door open rechthoeken, dit zijn producten van open intervallen. Deze topologie valt samen met de gewone topologie van , geassocieerd met de Euclidische metriek

Algemener definieert men de producttopologie op een Cartesisch product van topologische ruimten als de initiale topologie van de projectie-afbeeldingen.

Finale topologie 
Door de rollen van  en  te verwisselen ontstaat het verwante begrip finale topologie.

Initiale topologieën in de functionaalanalyse
De functionaalanalyse bestudeert topologische vectorruimten. Als  een topologische vectorruimte is, dan noteert men  voor de duale topologische vectorruimte. De elementen van  zijn de continue lineaire afbeeldingen van  naar zijn scalairenlichaam.

De initiale topologie op  ten opzichte van de verzameling afbeeldingen  noemt men de zwakke topologie van . Met de zwakke topologie voldoet  niet steeds aan de definiërende axioma's van een topologische vectorruimte. De zwakke topologie is namelijk pas Hausdorff, als de continue lineaire functionalen puntenscheidend zijn, dat wil zeggen dat iedere vector  door minstens één element van  op een getal verschillend van 0 wordt afgebeeld.

De zwak-*-topologie (lees "zwak ster topologie") op  is de initiale topologie voor de evaluatie-afbeeldingen in telkens een vaste vector :

De zwak-*-topologie is Hausdorff en bepaalt in ieder geval een topologische vectorruimte op .

Op de verzameling  van de continue lineaire transformaties van een Hilbertruimte  definieert men de ultrazwakke topologie als de zwak-*-topologie voor de elementen van de preduale ruimte van .

Voorbeeld
Beschouw de volgende rij indicatorfuncties van gesloten intervallen als elementen van de Hilbertruimte , de complexwaardige kwadratisch integreerbare functieklassen op de reële as (zie Lp-ruimte).

Elke twee verschillende elementen uit deze rij zijn onderling loodrechte eenheidsvectoren. Hun onderlinge afstand bedraagt constant de vierkantswortel uit 2. De rij functies vormt dus geen Cauchyrij, en a fortiori geen convergente rij, in de gewone normtopologie van de Hilbertruimte.

De inproducten van  met een willekeurige vaste kwadratisch integreerbare functie  convergeren daarentegen wel naar 0.

We zeggen dat de rij  zwak convergeert naar 0.

Topologie