Een binomiaalcoëfficiënt, geschreven als 
 (spreek uit: n boven k of n over k) 
is een grootheid uit de combinatoriek die aangeeft op hoeveel manieren men uit  (verschillende) objecten er zonder terugleggen  kan kiezen. Zo'n mogelijke keuze heet combinatie of greep.
Een binomiaalcoëfficiënt is gedefinieerd als het natuurlijke getal:

en

Omdat de keuze van  objecten uit  ook opgevat kan worden als de keuze  objecten, eigenlijk de niet-gekozen objecten, moet  gelijk zijn aan . En inderdaad volgt uit de definitie:

Notatie
Als alternatieve notatie voor de binomiaalcoëfficënt  komen voor:  en , waarin de  staat voor de Engelse woorden 'combination' of 'choice'. Op sommige zakrekenmachines staat eenvoudigweg nCk of nCr.

Voorbeeld
Hoeveel kleurencombinaties zijn er mogelijk bij een keuze van drie kleuren uit de zeven kleuren van de regenboog? De volgorde van de kleuren is niet van belang. Dat zijn er
 

Hoe komt men tot de waarde van deze coëfficiënt? Voor de eerste kleurkeuze zijn er 7 mogelijkheden, voor de tweede nog 6, en voor de derde nog 5. In totaal dus  mogelijkheden. 

Maar daarbij is rekening gehouden met de volgorde van de kleuren: eerst kan rood en dan geel gekozen zijn, maar ook eerst geel en dan rood. Om van deze volgorde af te zien, moet nog gedeeld worden door het aantal volgordes van de drie kleuren; dat is

Algemeen
Er zijn  mogelijkheden om  objecten op volgorde uit  verschillende te kiezen zonder terugleggen. Van elk gekozen -tal zijn er  mogelijke volgordes. De binomiaalcoëfficiënt is dus .

Oorsprong
De benaming binomiaalcoëfficiënt verwijst naar de uitwerking van een macht van een tweeterm (binoom=tweeterm), zie binomium van Newton. Blaise Pascal raakte geïnteresseerd in dergelijke uitwerkingen in zijn correspondentie met Pierre de Fermat in 1654.

Driehoek van Pascal
Het combinatorische karakter van de binomiaalcoëfficiënten leidt tot de volgende eigenschap:

,

die zich gemakkelijk laat begrijpen door van de  objecten er 1 apart te leggen en uit de overige  er nog  en deze aan te vullen met het ene apart gelegde object, of alle  uit de  overige te kiezen.

De bovenstaande recursieve formule laat zich fraai weergeven in de zgn. driehoek van Pascal (zie aldaar).

Eigenschap
Voor een priemgetal  is de binomiaalcoëfficiënt  voor alle  een veelvoud van . In de driehoek van Pascal staan op een rij met een priemgetal op de tweede plaats alleen maar veelvouden van dat getal, behalve natuurlijk de 1 aan begin en eind. 

Dit is eenvoudig in te zien, aangezien
, 

voor alle , een natuurlijk getal is en de teller wel een priemfactor  heeft, maar de noemer niet.

Als omgekeerd voor een natuurlijke  de binomiaalcoëfficiënt  voor alle  een veelvoud van  is, is  een priemgetal.

Bewijs
Via een bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel namelijk dat  samengesteld is. Noem  de kleinste priemfactor van , en . Dan is  en is 
, 
geen veelvoud van , waarmee een tegenspraak is geconstrueerd. 

Immers, als  wel een veelvoud van  zou zijn, dan zou de teller  deelbaar zijn door . Dit kan alleen het geval zijn als het product  deelbaar is door . Maar  is een priemgetal en is een deler van ; hieruit volgt dat het niet een deler is van een van de factoren uit het product . En dus is  ook niet een factor van het product zelf.

Toepassing
De binomiaalcoëfficiënten vinden toepassing in onder andere het binomium van Newton en in de kansrekening bij de binomiale verdeling. In het eenvoudige geval van de polynoom  is de binomiaalcoëfficënt  de coëfficiënt van de -de macht van :

Externe link
 Berekening van de binomiaalcoëfficiënt 

Combinatoriek
Rij van gehele getallen