Een greense functie, genoemd naar de Britse wiskundige George Green, die deze functie rond 1830 ontwikkelde, is een bepaald type functie dat gebruikt wordt voor het oplossen van inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen met randvoorwaarden.

Greense functies spelen een belangrijke rol in veel vraagstukken van elektromagnetisme, akoestica, elasticiteit en dies meer. Ze spelen zowel een rol in de theoretische uitwerking van in de praktijk voorkomende vraagstukken, als ook in oplossingsmethoden met behulp van numerieke wiskunde.

Achtergrond
De oplossingen van een stelsel van lineaire vergelijkingen  met een singuliere matrix  zijn van de vorm 

waarin 

en  een speciale oplossing is van het stelsel die gevonden kan worden met behulp van een matrix  waarvoor geldt:
.
Dan is namelijk voor 

Naar analogie hiermee kan een zogenaamde particuliere oplossing  van de inhomogene lineaire differentiaalvergelijking  gevonden worden met behulp van de greense functie  waarvoor geldt:

(NB. de differentiaalvergelijking wordt veel verkeerdelijk geschreven als  in plaats van .)

Aangezien

en
,

volgt namelijk voor 
d.w.z.

dat

Het oplossen van de differentiaalvergelijking komt dus neer op het vinden van de bijbehorende greense functie. Een greense functie is niet altijd een echte functie, maar in het algemeen wel een distributie.

Definitie 
De functie  heet greense functie van de lineaire differentiaaloperator  als:

Met behulp van deze greense functie kan een particuliere oplossing  van de inhomogene lineaire differentiaalvergelijking

geschreven kan worden als:
.

Eigenwaarden
Als de differentiaaloperator  een volledig stelsel eigenvectoren  heeft, kan daarmee een greense functie gevonden worden. Voor het volledige stelsel eigenvectoren  geldt namelijk:

Voor de greense functie  kan dan genomen worden:
,

waarin  de bij  behorende eigenwaarde is.

Oplossingsmethoden 
Een handige manier om de greense functie G(x,y) uit te rekenen 
is door G in te vullen in de differentiaaloperator.

Daardoor wordt het domein nu in tweeën opgesplitst:  en  In deze twee gebieden is de differentiaalvergelijking homogeen en (vaak) eenvoudiger op te lossen met de standaardtechnieken. Om de coëfficiënten te vinden is het nodig om de differentiaalvergelijking in zijn geheel een keer te integreren.

Het opleggen van de randvoorwaarden, continuïteit op  en het verband uit de geïntegreerde differentiaalvergelijking levert de coëfficiënten op (die van  afhangen).

Publicaties 
 Legebeke, Gerhardus Joannes. De functie van Green. Beijers, 1879.

Zie ook
 Impulsantwoord

Externe link
 Gilbert Strang (MIT) over greense functies

Wiskundige analyse
Differentiaalvergelijking