Ik nam op blz. 223 als zeker aan, dat 2.097.152 coups, in 1.048.576 rooden, en even zooveel zwarten zouden verdeeld zyn. Er bestaat namelyk geen reden voor het tegendeel. Dit immers zou stryden tegen de eischen der simple chance, waarby rood en zwart volkomen gelyke aanspraak hebben. Al zy het nu, dat telkens een der beide kleuren voorheerscht, toch komt er eindelyk steeds een oogenblik van gelykheid. Om dit te ontkennen, zou men moeten aannemen, òf: dat de kleur die vooruit is, steeds zal blyven voorheerschen, 'tgeen strydt tegen de gelyke aanspraak der andere kleur, of, dat de kleuren, nadat een daarvan
eenmaal is vooruitgeraakt, overigens altyd aan elkander zouden gelyk blyven, waardoor het eenmaal bestaand verschil zou worden geconsolideerd. Dit is hierom ondenkbaar, wyl dan de voortdurende afwykingen - écarts - vermeden werden, die in den aard der zaak liggen, 't geen ook reeds uit het aanvankelyk vooruitgaan van die eene kleur bleek.
Zeer wel weet ik, dat het aannemen der gelykheid van de kleuren, op 2097152 zetten, willekeurig is. Doch de aanmerking hierop vervalt, zoodra ik in-stede van een benoemd getal, het aantal der te behandelen zetten op n stel. Ieder toch zal inzien, dat daarin n/2 keeren rood, en n/2 keeren zwart moet voorkomen, of althans dat men op geen andere verhouding eene berekening gronden mag, en hierom is 't ons in dit geval te doen.
Ten-overvloede de opmerking, dat ik by de behandeling der simple chance gemakshalve slechts van rood en zwart sprak. Al wat daarover viel optemerken, is evenzeer van toepassing op alle andere kansen, die by elken zet de waarde hebben van ½, en welker soort men naar willekeur kan uitbreiden. Er zyn byv. evenveel kleurvolgende coups, als niet-kleurvolgende. Evenveel die gelyk zyn aan den voorlaatsten, als die daaraan niet gelyk zyn. Evenveel die een beginnende serie afbreken tot intermittence, als die haar maken tot 'n tweeslag, enz.
By al deze verhoudingen zyn ook te voegen, die welke op de relatieve frequentie van evene en onëvene seriën gegrond zyn. Het getal evene seriën bedraagt de helft van dat der onëvenen, doch de op deze verhouding gebazeerde coups zyn, even als de kans op rouge of noir, onderworpen aan de wet der door schynbaar wisselvallige afwykingen telkens verbroken - doch juist dáárdoor eindelyk teweeg-gebragte - gelykheid.
Dezelfde opmerking past op het aantal zetten dat de
speler wint of verliest, onverschillig of hy doorgaande dezelfde kleur kiest, geregeld dan wel nu- en dan, en al ware het naar luim alleen, afwisselt, of hy voor of tegen de gagnante speelt, of hy z'n heul zoekt in intermittences of seriën, of hy speculeert op de verhouding der evene en onëvene seriën... altyd blyft de waarde van elke neergelegde mise: 2 m + 0/2. Niet meer, niet minder.
Deze nog al eenvoudige waarheid...
't Is waarlyk zoo overbodig niet, haar den speler voorte houden! Door 't neerleggen immers van een geldstuk, dat in zyne beurs de waarde had van eene eenheid, schynt hy de meening te openbaren dat 2 m + 0/2 meer bedraagt dan één? Met andere woorden, er blykt òf: dat de gelyke kans, z'n eenheid tot 2 verhoogd dan wel tot 0 verminderd te zien, hem verkieslyk voorkomt boven de zekerheid dat hy 'n eenheid bezit, òf: dat hy die kans voor niet gelyk houdt.
Deze eenvoudige opmerking dan, zou in zekeren zin kunnen volstaan, om alle spelers van hun systemen te genezen.
In de speelwereld echter, is een adagio in omloop, dat die genezing onmogelyk is. Daar - gelyk elders!- vond men deunen en zegswyzen uit, om de moeite van 't zelfdenken te besparen. De Stuart Mill's der groene tafel zeggen: qui a joué, jouera!
Ik beweer dat er wèl een middel bestaat om iemand van 't spel te genezen. Men moet den patiënt leeren rekenen. Rekenen, redeneren met cyfers, behoort tot de Natuurkunde die ik in de Verhandeling over Vrye-Studie aanbeveel als probaatmiddel tegen allerlei soort van bygeloof.*)
De aanbidding van 't rouge et noir, is evenmin als andere theologiën, bestand tegen den invloed van den Logos, van de Rede. Wie krankzinnig genoeg is, een god te bidden om regen, om droogte, om herstel van een zieke, zal baat vinden by dezelfde artseny die den speler geneest van z'n vrees om de gagnante te beleedigen, of van z'n vast vertrouwen op eene 'figuur.'
't Is waar dat ik van 'figuren' nog niet gesproken heb, en de lezer heeft regt op uitlegging van dit woord. Niet zonder jagt op zeker soort van finesse, zoeken sommigen op de groene tafel hun heil in eene, meer of min willekeurig vastgestelde, combinatie van zetten. De zoodanigen spelen noch op intermittences noch op seriën, maar op eene vooruitbepaalde byzondere volgorde der kleuren. Men stelt, hoopt of meent, byv. dat er zal uitkomen: drie keeren rood, ééns zwart, twee keeren rood, vyf keeren zwart, ééns rood, ééns zwart, en daarna nog een keer rood. Op de, tot het noteren, door de Bank verstrekte speelkaartjes, waarin de zetten met een speld worden geprikt, zou die figuur er aldus uitzien:
Het spreekt vanzelf, dat de meesten hunne verbeeldingskracht niet wagen aan 't vooruit-bepalen van een zéér groot aantal zetten. Wat hun aanleiding geeft, om de gekozen figuur als waarschynlyker dan anderen aantenemen, is my onbekend. Misschien zouden wy, by nasporing der redenen weer aanlanden in de buurt van de bekende kruisspin. Misschien ook berekende men, dat die figuur kon verwacht worden, omdat ze zich in-lang niet had voorgedaan. Dit lang uitblyven is zoo vreemd niet, als men nagaat dat de volgörde van veertien coups zich op
16384 verschillende wyzen kan voordoen. Wie dus z'n geluk laat afhangen van de ééne manier die inderdaad komen zàl, neemt 'n lot in eene lotery van 16384 nummers, waarin slechts één prys is. Ik behoef bovendien niet te zeggen, dat er niet de minste reden bestaat om aan eene grillig bepaalde afwisseling de voorkeur te geven, boven eene regelmatige serie die uit een gelyk getal zetten zou zamengesteld zyn. Veertien zwarten, of veertien rooden, hebben evenveel regt op bestaan, als de veertien zetten die ik zoo-even geheel willekeurig tot 'n zoogenaamde figuur byeenvoegde.
Ik deed dit dan ook geenszins om my verder te verdiepen in de verwachtingen van winst, die op zulke spelery gegrond worden. Myne bedoeling is, naar aanleiding dier figuren, later overtestappen op een geheel ander terrein, op de regelmaat van al wat is.
Ieder speler weet dat elke zet onzeker is. Toch geeft hy telkens aan deze of gene kleur de voorkeur. Wat beweegt hem hiertoe? Het moet de intuïtieve meening zyn, dat er door de Natuur zekere orde wordt in-acht genomen. Te-gelyker-tyd echter schynt hy 't vreemd te vinden, als die orde zich duidelyk openbaart. Hierin ligt eene zonderlinge tegenstrydigheid.
Stellen wy, dat het speelkaartje waarop eene geheele taille geprikt was, eene der figuren aanbood, die op de volgende bladzijde worden voorgesteld, met welk regt vinden wy de schynbaar onregelmatige afwisseling in model 1, minder vreemd, dan de regelmaat in de andere modellen? Sommigen zouden 't zelfs onmogelyk achten, dat een gansche taille uit intermittences bestond, als in model 2. Uit coups de quatre, als in 3. Dat ze in twee helften was gedeeld, als in 4. En vooral - doch zonder meer grond - dat ze geheel-en-al was zamengesteld uit zwarte coups, als in model 5.
By eenig nadenken toch, moet men toestemmen, dat
al die tailles niet alleen mogelyk zyn, maar dat ieder daarvan, evenveel regt op bestaan heeft, als elke andere groep
van zeven-en-twintig zetten. Toch blyven velen die regelmaat beschouwen als... onnatuurlyk, en zoeken daarachter iets anders dan den loop van 't zoogenaamde 'lot.' Het 'toeval' - met of zonder indiscrete bemoeienis van een god - kan wel tailles leveren volgens model 1, maar die andere modellen gaan boven z'n kracht! Dat 'lot' is hier dus zwakker dan de mensch zelf, dan een kind, ja dan 't hondje Munito op de kermis. Het zou immers wel in ònze magt staan, om uit 'n Quinetsche vaas, willekeurig en met opzet, zooveel keeren zwarte balletjes te doen verschynen als ons lustte?
Om deze tegenstrydigheid van opvatting te doen in 't oog vallen, kies ik als voorbeeld een speler die kreupel, lam of ziek is. Hy zit gevangen, en kan zich niet naar de speelzaal begeven. Doch zie, hy heeft - door bemiddeling van de H. Morfondaria zeker - van rood gedroomd. Het treft gelukkig dat-i in 't romantisch bezit is van een 'ouden, getrouwen' bediende, dien hy naar 't Kurhaus zendt, met den last een geldstuk op de gedroomde kleur te zetten.
De oude-getrouwe komt terug met de boodschap dat de mise verloren is, omdat zwart uitkwam.
Indien nu onze gevangene beweerde dat dit onmogelyk was, en z'n knecht wegens oneerlykheid wegjoeg, zou hy handelen als een dwaas. De kans - we zyn hier en pleine probabiliteitsleer - dat z'n ouwe-getrouwe op-eenmaal een dief was geworden, komt hem kleiner voor, dan dat er ditmaal tegen z'n verwachting een zwarte coup zou uitgekomen zyn.
Hy gelooft dus den man, en geeft hem nu twee stukken, weder om die te plaatsen op de roode kleur.
De knecht komt terug met de boodschap dat de slag
zwart was.
Heeft hy nu die twee stukken gestolen? Of misschien wel vier? Twee, als hy zich de mise toeëigende zonder te zetten, vier indien hy ze gezet heeft, en twee daarby won?
Onze gevangene is niet kleingeestig. Hy twyfelt alweder niet aan de regtschapenheid van z'n bediende, en zendt hem nogmaals uit, om eene mise op rood te plaatsen, ditmaal van vier stukken.
De slag was zwart.
De knecht wordt daarop uitgezonden met acht stukken...
... met zestien stukken...
... met twee-en-dertig stukken...
... met vier-en-zestig stukken...
Ik kan hier afbreken. De lezer denke zich nu eens het maximum der mise weg, en wordt verzocht dit heen-en-weer loopen in gedachte voorttezetten, tot de heer z'n knecht wegjaagt als een dief. Vrage: by den hoeveelsten zet men den heer hierin gelyk durft geven? By den hoeveelsten zoudt gyzelf, lezer, uwen ouwen-getrouwen hebben onthaald op 'n onvrindschappelyk consilium abeundi?
Er kan toch niet altyd zwart uitkomen, niet waar?
Altyd? Neen. Maar ikzelf heb twee-en-twintig zetten van dezelfde kleur achter elkander gezien, zonder nog te weten of de serie daarmee sloot. De taille was geëindigd, en ik bleef niet wachten op de volgende die de serie kan hebben voortgezet. Waarom niet? Oude habitués spreken van hooger seriën, en de kansrekening brengt meê, dat ik, die zeer zelden de speelzaal bezoek, niet juist een der zeldzame àllerhoogsten heb bygewoond. Er zouden er geweest zyn van vier-en-dertig. Wie zich hierover verwondert, verliest alweder uit het oog, dat elke andere vooruit bepaalde
groep van vier-en-dertig zetten zich even zelden voordoet.*)
Elke eerste zet is onmisbaar eene afwyking van de gelykheid. De uitgekomen kleur staat tot de niet-uitgekomene, als 1:0. Na den tweeden zet, is de kans op verhooging van den écart, even groot als op 't gelykworden. De kleuren staan dan als 2:0 of als 1:1. Op vier mogelykheden
z r r z
is de som der afwykingen 4, d.i. gemiddeld op elke mogelykheid, één. Dit, gedeeld door het aantal zetten - twee - zou de gemiddelde afwyking over twee coups kunnen doen vaststellen op een half per zet. Drie zetten kunnen zich voordoen op acht manieren:
z z z z r r r r
z z r r z z r r
z r z r z r z r
De som der afwykingen is 12, of, gedeeld door 't getal mogelykheden, 1½, dat almede tot het getal zetten staat als 1:2.
Vier zetten vertoonen zich als:
z z z z z z z z r r r r r r r r
z z z z r r r r z z z z r r r r
z z r r z z r r z z r r z z r r
z r z r z r z r z r z r z r z r
De som der afwykingen is 24. Dit bedraagt op 16
mogelykheden 1½, waaruit zou voortvloeien dat de vermoedelyke afwyking op vier zetten ⅜ per zet bedraagt.
Deze berekening heeft niet de minste waarde, wanneer men haar toepast op kleine groepen. En zelfs komt ze ongerymd voor, daar alle écarts uit geheele zetten bestaan, en alzoo elke breuk ondenkbaar is. Dit is echter de gewone fout van 't gemiddelde. Ik geloof niet, dat men op andere wyze tot een oordeel over de vermoedelyke afwykingen op een grooter aantal coups, geraken kan. Als handleiding voor wien dit wenscht te beproeven, de volgende opgave:
Getal zetten.
Mogelykheden van zamenstelling der groep.
Som der afwykingen.
Gemiddelde afwyking op één groep.
Gemiddelde afwyking per zet.
2 4 4 1 ½
3 8 12 1½ ½
4 16 24 1½ ⅜
5 32 60 1⅞ ⅜
6 64 120 1⅞ 5/16
7 128 280 2 3/16 5/16
8 256 560 2 3/16 35/128
9 512 1260 2 59/128 35/128
10 1024 2520 2 59/128 63/256
Enz. Enz. Het is my niet duidelyk in hoeverre deze berekening kan worden overeengebragt met de wortelverhouding die ik aanvoerde op blz. 232. Ook zie ik niet in, hoe ze den speler baten kan. Ten-eerste weet hy niet aan welke zyde de afwyking plaats hebben zal, en daar elk der beide kleuren gelyke aanspraak heeft op vóórzyn, volgt hieruit ten-tweede: dat by elken overgang, het punt van volkomen gelykheid moet bereikt en gepasseerd worden. De loop der zetten is een voortdurende stryd tusschen afwyken en gelyk worden, en kan vergeleken worden met het op- en nedergaan der armen van een balans.
Dat dit oscilleren ons minder regelmatig toeschynt, ligt
hierin dat we gewoonlyk geen achtslaan op de oneindig vele soorten van evenwigt, die door de natuur der dingen moeten bereikt worden. Oppervlakkig byv. zou de symmetrie vorderen dat er na:
een roode zet volgde, omdat de zwarten zes coups vóór zyn. Doch tevens zien we in dit schetsje, tien zetten die 'kleur volgen' en slecht drie die niet overeenkomen met den vorigen. Om-den-wille der gelykheid in dat opzicht alzoo, zou de vyftiende zet, nà rood, een zwarte moeten zyn. Doch in dat geval werd de coup de trois van rood, met 'n oneven zet gesloten, hetgeen dan reeds de vierde keer wezen zou, zonder 'n enkele evene serie. Hieruit zou te besluiten vallen, dat de vyftiende zet rood zal wezen, om dien drieslag tot een coup de quatre te maken. Maar in dat geval stuiten wy weer op de aanspraak der kleine seriën en intermittences, die in ons schetsje niet genoeg vertegenwoordigd zyn. Ook zy moeten hun achterstand inhalen, en er is dus als vyftiende zet een zwarte te verwachten... of een roode!
Zóó is het! Want wy verliezen ons in onzekerheid.
En nu sprak ik nog niet eens van het oscilleren der afwykingen, van het afwyken der écarts, die op zichzelf, evenzeer als elke zet, dan eens intermitteren, dan weder gedurende eenigen tyd, hoofdig denzelfden kant kiezen. Ook hierin komt eindelyk gelykheid, maar niet dan tenkoste van aanhoudende schynbare onregelmatigheden, waarop de speler geen systeem gronden kan.
Helaas, ik begin te vreezen dat myne studiën onbruikbaar zyn 'pour gagner à la banque.' Gelukkig, dat er in die behoefte door andere professeurs de jeu wordt voor-
zien. Men beweert zelfs dat Schlungelhans z'n vryen tyd in het tuchthuis, aan een système infaillible besteedt...
In de veronderstelling dat-i niet rekenen kan, ken ik hem meer kans op welslagen toe, dan aan myzelf, en ik geef den lezer verlof, de vruchten van zyn loisir met verlangen te-gemoet te zien. Myne onderzoekingen leiden vooralsnog niet verder dan tot de zekerheid, dat de uitslag van elken coup even onzeker is als van alle anderen, en dat men dus alleen in een zeer byzonder geval, reden hebben zou 2 m + 0/2 te verkiezen boven m.
Dit geval zou aldus kunnen worden gedacht. Iemand bezit m, en moet eene reis doen, waartoe meer dan m, doch niet meer dan 2 m (stel r) noodig is. Om het ontbrekende te verkrygen, zou hy daarom moeten schryven, doch het wachten op antwoord veroorzaakt hem o onkosten. Indien hy nu z'n m neerlegt op de simple chance, heeft dit geld, als mise, voor hem meer waarde dan toen hy 't in z'n beurs had.
By verlies namelyk, heeft hy eene negatieve bezitting van o + r. M.a.w. hy heeft niets in kas, en moet onkosten en reis betalen.
In geval van winst, bezit hy 2 m - r. Hy vermydt de uitgaven voor 't wachten, en kan de reis bekostigen.
Wanneer hy niet speelt, houdt hy m in kas, doch is onkosten en reis schuldig. Zyne bezitting is dan: m - r - o.
Daar nu evenwel de gemiddelde waarde der beide mogelykheden, als hy wèl speelt:
- o - r + 2 m - r/2 = m - r - o/2
is, blykt er, dat m, als mise op de simple chance, ½ o (d.i. de helft der te maken onkosten) meer waard is dan in z'n beurs.
Het spreekt vanzelf, dat deze conclusie onjuist wezen
zou, indien men o/2 kleiner stelde dan m/74 of m/79, dewyl in dat geval, de kans op 't uitwinnen der onkosten niet zou opwegen tegen de zéro of refait.
Men wordt voorts uitgenoodigd, het door my gekozen voorbeeld van urgentie, uittebreiden tot voorvallen van grooter belang. Ik sprak slechts van reiskosten, en van één zet op de simple chance. Het ligt voor de hand, welk belang het voor een koopman hebben kan, op een bepaald oogenblik over zekere som te kunnen beschikken, welker verlies minder schade toebrengt, dan er voordeel kan worden verwacht van mogelyke winst. Er wordt beweerd dat dit aan de Frankforter beurs redelyk wel bekend is, en dat het speculeren in staatspapieren, vry geregeld wordt afgewisseld met het beoefenen der theorie van de simple chance. Waarom dit steeds 'onder de roos' geschiedt, begryp ik niet. De effectenluî zullen zich toch niet in 't hoofd halen, dat zy derogeren door 't verplaatsen van hun kantoor naar de groene tafel?
Ja, dat meenen zy!
Het is koddig, pretentieus, onöpregt, huichelachtig, of misschien in-plaats van dit alles: dom, maar 't is zoo!
En niet effectenluî alleen. Ook andere speculanten...
Daarvan iets in een volgend hoofdstuk.
In den IIIe bundel der Ideën.
De noemer der breuk waardoor de kans op zulk 'n serie wordt uitgedrukt, is 17.179.869.184. Het is namelijk de 34e term der geometrische reeks waarvan de eerste term, en tevens de rede, twee is.