In de algebraïsche meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is het Jacobiaanse vermoeden een bekend openstaand probleem over polynomen in meer variabelen. Het vermoeden werd voor het eerst in 1939 opgesteld door de Duitse wiskundige Eduard Ott-Heinrich Keller. 

Het vermoeden werd later van een naam voorzien en gepopulariseerd door de Indiase wiskundige Shreeram Abhyankar. Hij gebruikte het Jacobiaanse vermoeden als een voorbeeld van een vraag op het gebied van de algebraïsche meetkunde dat om het te formuleren behalve kennis van de differentiaal- en integraalrekening verder geen andere achtergrondkennis vereist.

Het Jacobiaanse vermoeden is berucht om het grote aantal bewijzen die subtiele fouten bleken te bevatten. Eind 2014 zijn er geen plausibele claims die beweren het Jacobiaanse vermoeden te hebben bewezen.

De Jacobiaanse determinant 
Laat  een vast geheel getal zijn en beschouw de polynomen  in de variabelen  met coëfficiënten in een algebraïsch gesloten lichaam . Het is voldoende aan te nemen dat  het lichaam van de complexe getallen is. Definieer de functie  door:
 

De determinant van de Jacobi-matrix van , aangegeven door , wordt gedefinieerd als de determinant van de -matrix die bestaat uit de partiële  afgeleiden van de functies  met betrekking tot :

dan is  zelf een polynoom in de  variabelen .

Formulering van het vermoeden 
De voorwaarde Jf ≠ 0 is gerelateerd aan de inverse functiestelling in de multivariabele analyse. Voor gladde functies, dus in het bijzonder voor polynomen, bestaat op elk punt waar Jf niet nul is, een lokale inverse functie van f. K is echter algebraïsch gesloten, zodat Jf als een polynoom nul zal zijn voor enige complexe waarden van x1, ..., xn tenzij het een constante functie is, die ongelijk aan 0 is. Er geldt dat:

Het vermoeden kan worden omgekeerd:

Resultaten 
Wang bewees in 1980 het Jacobiaanse vermoeden voor polynomen van graad 2. Bass, Connell en Wright lieten in 1982 zien dat het algemene geval volgt uit het speciale geval waar de polynomen van graad 3 zijn, meer in het bijzonder van de vorm f=(x1+h1,...,xn+hn), waar elke hi ofwel nul of een derdegraads polynoom is. In dit geval is het hetzelfde dat de Jacobi-matrix is te inverteren en nilpotent is. Moh controleerde in 1983 het vermoeden voor polynomen van graad van ten hoogste 100 in 2 variabelen. De Bondt en Van den Essen lieten in 2005 zien, dat het zelfs genoeg is om het Jacobiaanse vermoeden te bewijzen in gevallen, waar de Jacobi-matrix symmetrisch is.

Het Jacobiaans vermoeden is equivalent aan het vermoeden van Dixmier.

Externe links

Literatuur 
  , , ,  ISSN 1088-9485, vol. 7, issue 2, blz. 287–330
  , ,  arxiv=math/0512171, vol. 7, issue 2, blz. 209–218, bibcode=2005math.....12171B
  ,  ISSN 0026-9255, vol. 47, issue 1, blz. 299–306.
    ISSN 0075-4102, vol. 340, blz. 140–212.
  , , ISBN 3-7643-6350-9 
  , 
  ,  vol. 65, blz. 453–494

Bron 
 

Wiskundig vermoeden