Een norm is een grootte-begrip van de elementen van een vectorruimte, dus van de vectoren in die vectorruimte. Een vectorruimte waarop een norm gedefinieerd is noemt men een genormeerde vectorruimte.

Lengte en grootte zijn in deze context synoniem en allebei een maat voor afstand.

Definitie 
Een norm  is een reëelwaardige functie op een vectorruimte over een deellichaam van de complexe getallen, met de volgende eigenschappen:

0. De norm is niet negatief.
 .

1. Alleen de nulvector heeft norm 0. 
 

2. De norm van het scalaire veelvoud van een vector is het product van de norm met de gewone absolute waarde van de scalair:
 
 Voor reële vectorruimten betekent dit dat de normfunctie positief homogeen is van de eerste graad.

3. De driehoeksongelijkheid. De norm van de som van twee vectoren is niet groter dan de som van de afzonderlijke normen.
 

Dit zijn niet de minimale eisen voor een norm. Voorwaarde 0 is onnodig en voorwaarde 1 kan worden vervangen door een op zichzelf minder strenge voorwaarde, omdat die in combinatie met de andere voorwaarden equivalent is: . Uit voorwaarde 2 volgt namelijk dat . Als bovendien aan voorwaarde 2 en 3 is voldaan, volgt reeds dat aan voorwaarde 0 is voldaan:

Metriek 
In een genormeerde vectorruimte induceert de norm een afstand  tussen twee vectoren  en , gedefinieerd als de norm van de verschilvector:
 

Met deze afstand is de ruimte ook een metrische ruimte.

Als deze metrische ruimte volledig is, wordt ze banachruimte genoemd.

Voorbeelden 
 Op de vectorruimte  of  is de volgende functie van  een norm, de euclidische norm, die gelijk is aan de lengte van :

 

 Algemener is er voor ieder reëel getal  de -norm, waarbij de Manhattan-metriek met de -norm correspondeert en de euclidische norm met de -norm:

 

 In de limiet van  voor  ontstaat de maximum- of supremumnorm:

 

 Generalisaties van het bovenstaande: oneindigdimensionale -ruimte en meer algemeen -ruimten.

 Ieder inwendig product met scalairenlichaam  of  bepaalt een norm via de definitie

 

 De euclidische norm wordt dus geïnduceerd door het standaardinproduct op :

 

 of op :

 

 Voor iedere norm  en iedere inverteerbare lineaire transformatie  kan men een nieuwe norm definiëren door 
 
 Matrices kunnen opgevat worden als lineaire afbeeldingen tussen twee genormeerde vectorruimten en in die zin van een norm worden voorzien, die afhangt van het tweetal normen van de beide ruimten.
 Voor complexe -matrices  definieert men de frobeniusnorm, geïnduceerd door het frobenius-inproduct:

 

 met  de geconjugeerde getransponeerde matrix van .

Seminorm 
Een functie die aan voorwaarden 0, 2 en 3 uit de definitie voldoet, maar niet noodzakelijk aan voorwaarde 1, noemt men een seminorm. Het procedé waarmee een genormeerde ruimte tot een metrische ruimte wordt, maakt van een semigenormeerde ruimte een pseudometrische ruimte. De vectoren waarvan de seminorm 0 bedraagt, vormen in dat geval een lineaire deelruimte die gesloten is in de met de pseudometriek geassocieerde topologie.

Op de quotiëntruimte is dan een norm gedefinieerd die aan iedere nevenklasse de pseudonorm van om het even welk element uit die klasse toe te kennen. De topologie van deze norm is dezelfde als de quotiënttopologie voor de equivalentierelatie "heeft afstand 0 tot".

Norm van een lineaire afbeelding 

Als  een lineaire afbeelding is tussen twee genormeerde ruimten  en  over hetzelfde scalairenlichaam, dan definieert men de operatornorm van  als de kleinste bovengrens van de vergrotingen die eenheidsvectoren ondergaan:
 

Deze norm blijkt dan en slechts dan eindig te zijn als  continu is ten opzichte van de topologieën van  en .

De verzameling van alle continue lineaire afbeeldingen tussen  en 
 

is opnieuw een genormeerde vectorruimte over hetzelfde lichaam.

Matrices representeren lineaire afbeeldingen tussen twee genormeerde vectorruimten en hebben, behalve andere normen zoals de bovengenoemde frobeniusnorm, een overeenkomstige norm, die afhangt van het tweetal normen. Bij de euclidische norm in de beide vectorruimten is de norm van de matrix de spectrale norm, dit is de wortel uit de grootste eigenwaarde van de matrix , waarbij  de geconjugeerde getransponeerde matrix van  is.

Equivalentie van normen 
Twee normen  en  op een vectorruimte  zijn equivalent als er positieve getallen  bestaan zodat voor alle  geldt:
 

Normen zijn dan en slechts dan equivalent als ze dezelfde topologie induceren. Op een eindigdimensionale vectorruimte zijn alle normen equivalent.

Functionaalanalyse
Lineaire algebra
Topologie