Functionele calculus (synoniemen: symbolische calculus, symbolisch rekenen met operatoren) is een verzameling technieken uit de wiskunde, vooral uit de wiskundige analyse, om gewone functies toe te passen op ingewikkeldere objecten, vooral lineaire transformaties.

Als een functie  gedefinieerd is in termen van (reële of complexe) getallen, dan is het niet a priori gegarandeerd dat er een zinvolle betekenis kan gegeven worden aan  als  iets anders is dan een getal, bijvoorbeeld een matrix of een lineaire transformatie.

Veeltermfuncties
Met iedere polynoom  komt een veeltermfunctie  overeen die het getal  afbeeldt op  Elke polynoom wordt gevormd door de veranderlijke  constante getallen, en de bewerkingen optelling en vermenigvuldiging. Dat betekent dat veeltermfuncties ook zinvol zijn in iedere algebraïsche structuur waarin een optelling en een vermenigvuldiging gedefinieerd zijn, zoals in ringen.

Als bijvoorbeeld  een vierkante reële 2×2-matrix is en  is de polynoom  dan is

waar de punt  het matrixproduct voorstelt en 1 de identiteitsmatrix.

Analytische functies
Analytische functies zijn functies die in een omgeving van ieder punt van hun domein kunnen worden voorgesteld door een machtreeks:

In een algebraïsche structuur, waarin niet alleen een optelling en een vermenigvuldiging bestaan, maar ook het begrip convergentie (van een reekssom), kan aan dergelijke functies een betekenis worden gegeven. De natuurlijke context hiervoor is een banach-algebra.

Vierkante -matrices met reële of complexe elementen vormen een banach-algebra met als norm het maximum van de absolute waarden van de elementen. Zo kunnen we bijvoorbeeld de natuurlijke exponentiële functie van een matrix definiëren:

Dergelijke machtreeksen convergeren als de gegeven (complex)-analytische functie goed gedefinieerd is in de omgeving van het spectrum van de matrix  (de verzameling complexe eigenwaarden van ). De exponentiële functie is analytisch op het hele complexe vlak, dus bovenstaande machtreeks convergeert voor elke vierkante matrix.

Het spectrum van een commutatieve banach-algebra
Bij een commutatieve complexe banach-algebra  bestaat er een een-eenduidig verband tussen maximale idealen enerzijds en homomofismen van  naar de complexe getallen anderzijds. Deze verzameling  heet spectrum van  en wordt uitgerust met de zwakke topologie (zie topologische vectorruimte). Er bestaat nu een functionele calculus voor continue functies van Δ naar de complexe getallen. De Gelfand-transformatie van een element  van  associeert met  de complexwaardige evaluatieafbeelding  op  die ieder homomorfisme  op haar functiewaarde  afbeeldt.

Het belangrijkste resultaat in deze context is de stelling van Gelfand-Naimark. Deze beperkt zich tot een bijzonder soort banach-algebra, B*-algebra genaamd. Een B*-algebra is een banach-algebra met een bewerking involutie, genoteerd met een ster (*), die voldoet aan de eigenschap

De stelling luidt:
Zij  een commutatieve B*-algebra met maximale ideaalruimte  De Gelfand-transformatie is een isometrisch isomorfisme tussen  en  met de bijkomende eigenschap dat

De functionele calculus laat dus toe, continue complexe functies op het spectrum van  te identificeren met willekeurige elementen van

Het spectrum van een operator in een hilbertruimte
Als  een normale, begrensde operator is in een hilbertruimte  kan er betekenis worden gegeven aan  voor elke meetbare complexe functie op het spectrum van  (dus niet alleen continue of analytische functies). Hiertoe wordt een operator-waardige maat gedefinieerd, een zogenaamde resolutie van de identiteit.

De functionele calculus voor normale operatoren gaat nog steeds door voor zelftoegevoegde onbegrensde operatoren. In dat geval is  begrensd als en slechts als  een begrensde functie is. Zo wordt met elke zelftoegevoegde operator waarvan het (altijd reële) spectrum langs boven begrensd is, een eenparameter-halfgroep van operatoren geassocieerd:

Functionaalanalyse
Lineaire algebra