Een gesloten operator of voluit gesloten lineaire operator is een bijzondere soort lineaire transformatie van een topologische vectorruimte. Deze transformaties worden bestudeerd in de operatorentheorie, een onderdeel van de wiskundige functionaalanalyse. Gesloten operatoren vormen een belangrijk houvast wanneer continuïteit of begrensdheid te strenge eisen blijken.

Definitie
Laat  een topologische vectorruimte zijn, en  een lineaire deelruimte van . Een lineaire afbeelding

heet gesloten als haar grafiek

een gesloten deelverzameling is van het Cartesisch product , uitgerust met de producttopologie.

Lineaire afbeeldingen tussen topologische vectorruimten worden vaak operatoren genoemd, vandaar de naam gesloten operator.

Verantwoording
Continue lineaire transformaties van  zijn per definitie gesloten.

Minder voor de hand liggend is de stelling van de gesloten grafiek: als  een banachruimte is en  is een gesloten operator met als domein  de hele ruimte, dan is  continu.

Sluiting
Laat  een willekeurige lineaire afbeelding van  naar  is, dus niet noodzakelijk gesloten. De topologische sluiting van de grafiek van  in  kan al dan niet opnieuw de grafiek van een lineaire transformatie  vormen: het is niet gegarandeerd dat met elke  nog een unieke  overeenkomt. Als de sluiting echter de grafiek is van een lineaire transformatie, dan is  een gesloten operator en heet  de sluiting van . De operator  zelf heet afsluitbaar.

Een gesloten operator heeft uiteraard zichzelf als sluiting.

Als  een afsluitbare operator is met domein , en  is een deelruimte van , dan is de restrictie van  tot  nog steeds afsluitbaar.   heet een kern van  als de sluiting van die restrictie gelijk is aan de sluiting van  zelf.

Voorbeeld
Beschouw de banachruimte  der continue complexwaardige functies op het gesloten eenheidsinterval, met als norm het maximum van de absolute waarde.

Differentiëren van een functie is een lineaire bewerking, maar deze bewerking kan niet zinvol gedefinieerd worden als een continue lineaire transformatie van de hele ruimte .

Beschouw de deelruimte  der continu differentieerbare complexwaardige functies op het gesloten eenheidsinterval. De operator  die met elke functie in  haar afgeleide associeert, is een gesloten operator in .

De kleinere deelruimte  (onbeperkt continu differentieerbare functies) vormt een kern voor . Ook de nog kleinere deelruimte der veeltermfuncties is een kern.

De operator  heeft de bijkomende interessante eigenschap dat hij dicht gedefinieerd is, dat wil zeggen dat zijn domein topologisch dicht is in .

Functionaalanalyse