<prompt> Pata mlingano wa kitoleo cha dhambi x.  <response>: Derivative ya chaguo za kukokotoa hutoa mteremko wa laini ya tanjiti kwa chaguo za kukokotoa wakati wowote. Tunaweza kutumia fasili ya derivative kupata mlinganyo wa derivative ya dhambix. Ufafanuzi wa derivative ya chaguo la kukokotoa fx katika nukta x umetolewa kama: fx limh-0 fxh - fxh Kwa hivyo, acha fx dhambix. Kisha, fx limh-0 sinxh - sinxh Kwa kutumia kitambulisho cha nyongeza cha trigonometric sinxy sinxcosy cosxsiny, tunaweza kupanua sinxh kama ifuatavyo: fx limh-0 sinxcosh cosx dhambih - dhambixh Kurahisisha, fx limh-0 sinxcosh - 1 cosxsinh h Kwa kuwa h inakaribia 0, tunaweza kutumia ukadiriaji wa pembe ndogo ya sinh na cosh, ambayo inasema kwamba kwa thamani ndogo sana za h, sinh ni takriban sawa na h, na cos h ni takriban sawa na 1. Kwa hivyo, tunaweza kuandika: fx limh-0 sinx1 - 1 cosxhh fx limh-0 cosx Hii ni sawa na cosx. Kwa hivyo, derivative ya sinx ni cosx. Kwa hivyo equation ya derivative ya sin x ni: dsin xdx cos x 