<prompt> Toa maelezo ya kina ya fomula ya Euler.  <response>: Fomula ya Euler, iliyopewa jina la mwanahisabati Leonhard Euler, ni mlingano wa nguvu sana na muhimu katika hisabati ambao unaunganisha ulimwengu unaoonekana kuwa tofauti wa utendaji kazi wa kielelezo na utendakazi wa trigonometric. Fomula inaweza kuandikwa kama: eix cosx isinx, ambapo e ni nambari ya Euler takriban 2.718, i ni kitengo cha kufikiria, na x ni nambari yoyote halisi. Kiini cha fomula ya Euler kuna chaguo za kukokotoa changamano, ambacho hufafanuliwa kwa nambari yoyote changamano z x iy, kama ez ex iy ex cosy i dhambi y. Fomula inatokana na kupanua utendaji wa kipeo katika uwezo wa z kwa kutumia upanuzi wa mfululizo wa nishati. Mojawapo ya matokeo ya kushangaza zaidi ya fomula hii ni wakati x ni sawa na π, ambayo kwa kawaida hujulikana kama utambulisho wa Euler: eiπ 1 0. Utambulisho huu huunganisha viambajengo vitano muhimu zaidi vya hisabati: e, i, π, 1, na 0. Fomula ya Euler hutoa njia rahisi ya kubadilisha na kurudi kati ya viwianishi vya Cartesian na polar linapokuja suala la uwakilishi wa nambari changamano. Katika kuratibu za polar, nambari changamano inawakilishwa na ukubwa wake r na pembe yake ya awamu θ, kiasi kwamba z r cosθ isinθ. Kwa kutumia fomula ya Euler, hii inaweza kuandikwa upya kama z r eiθ, ambayo ina maana kwamba sehemu halisi na za kuwaziwa za nambari changamano zinaweza kuonyeshwa kulingana na ukubwa na pembe ya awamu. Kwa ujumla, fomula ya Euler ni zana maridadi na yenye nguvu ambayo huziba pengo kati ya utendaji wa kipeo na trigonometriki na hutoa maarifa mengi kuhusu asili ya nambari changamano. 