<prompt> Eleza kanuni ya milinganyo ya Diophantine  <response>: Mlinganyo wa Diophantine ni mlinganyo ambao hutafuta suluhu kwa njia ya nambari kamili pekee. Jina la milinganyo ya Diophantine linatokana na mwanahisabati wa kale wa Kigiriki Diophantus wa Alexandria, ambaye alitoa mchango mkubwa katika utafiti wa milinganyo hii. Kanuni ya msingi nyuma ya milinganyo ya Diophantine ni kwamba masuluhisho ya nambari nzima pekee yaani nambari kamili ndiyo yanayozingatiwa kuwa halali. Kwa hivyo, milinganyo hii mara nyingi huwa na idadi isiyo na kikomo ya suluhu, tofauti na milinganyo ya aljebra ambapo suluhu zinaweza kuwa zisizo na kikomo. Aina ya kawaida ya mlinganyo wa Diophantine ni mlinganyo wa mstari wa Diophantine ambao una aina ya jumla ya shoka kwa c, ambapo a, b, na c hupewa nambari kamili, huku x na y zikiwa zisizojulikana. Moja ya equations maarufu zaidi ya Diophantine ni equation ya Pythagorean, ambayo inasema kwamba katika pembetatu ya kulia, mraba wa urefu wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa pande nyingine mbili. Kwa mujibu wa mlinganyo wa Diophantine, hii inaweza kuandikwa kama x2 y2 z2, ambapo x, y, na z lazima ziwe nambari kamili. Kutatua milinganyo ya Diophantine mara nyingi huhusisha matumizi ya nadharia ya nambari, na mbinu kama vile hesabu za msimu, sehemu zinazoendelea na algoriti ya Euclidean. Milinganyo ya diophantine inaweza kuanzia rahisi kusuluhisha, hadi ngumu sana, na zingine bado hazijatatuliwa leo. 