<prompt> Eleza dhana ya hisabati  <response>: Derivative ni dhana ya hisabati inayotumiwa katika calculus kupima jinsi chaguo za kukokotoa hubadilika kadiri ingizo lake linavyobadilika. Ni kipimo cha unyeti wa matokeo ya chaguo za kukokotoa kwa mabadiliko katika ingizo lake. Kwa maneno ya kiufundi zaidi, derivative ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani ni mteremko wa mstari wa tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa katika hatua hiyo. Nyingi ya chaguo za kukokotoa kwa kawaida huashiriwa na fx ambayo husomwa f mkuu wa x. Dawa inayotokana nayo inaweza kuwakilishwa kama dydx, ambayo ina maana ya mabadiliko katika y kuhusiana na mabadiliko katika x. Katika tafsiri ya picha, fikiria una curve kwenye grafu, ambayo inawakilisha chaguo la kukokotoa. Ukichora laini ya tanjiti katika hatua yoyote kwenye mkunjo huo, mteremko wa mstari huo wa tanjiti ndio derivative ya chaguo la kukokotoa katika hatua hiyo. Viingilio vina matumizi mengi katika nyanja mbalimbali ikiwa ni pamoja na fizikia, ambapo hutumiwa kuelezea viwango vya mabadiliko ya idadi mbalimbali kama vile kasi, kasi na nguvu. Katika uchumi, derivative hutumiwa kupata alama za juu na za chini za kazi, ambayo inaweza kusaidia katika kuongeza faida na kupunguza gharama. Kwa ujumla, dhana ya derivative ni muhimu kwa utafiti wa calculus na ina jukumu kubwa katika ufahamu wetu wa jinsi ulimwengu unavyofanya kazi. 