<prompt> Amua pembe inayoundwa na pointi A, B na C.  <response>: Tunaweza kukokotoa pembe inayoundwa na pointi A, B, na C kwa kutumia fomula ya bidhaa ya nukta. Wacha tugawanye alama A, B, na C viwianishi vyao kama nukta A Ax, Ay, nukta B Bx, By na nukta C Cx, Cy. Ax -2, Ay 3 Bx 1, By -1 Cx 4, Cy 0. Kwanza, tunahitaji kupata vectors BA na BC, iliyoundwa na pointi sambamba wao kuunganisha: Vector BA -3 , 4 Vekta BC 3, 1 Kisha tunaweza kutumia fomula ya bidhaa ya nukta ili kubainisha pembe inayoundwa na vekta: BA BC BABCcosθ θ acosBA BC BABC Bidhaa ya nukta huhesabiwa kama jumla ya bidhaa ya vijenzi vinavyolingana vya vekta: BA BC -33 41 - 5 Ukubwa wa vekta huhesabiwa kama mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya vijenzi vyake: BA sqrt-32 42 5 BC sqrt3 2 12 sqrt10 θ acos-55sqrt10 radiani 1.76 au takriban digrii 101. Kwa hivyo, pembe inayoundwa na alama A, B na C ni takriban digrii 101. 