<prompt> Ikiwa z2 z 1 0, pataz49 z50 z51 z52 z53.  <response>: Tatizo hili linahusisha nambari changamano, kwa kuwa hakuna masuluhisho halisi ya mlinganyo z2 z 1 0. Ili kupata masuluhisho changamano, ninaweza kutumia fomula ya quadratic. Napata z frac-1 pm sqrt-32 frac-1 pm isqrt32, ambapo i ni kitengo cha kufikiria inayotosheleza i2 -1. Acha niite suluhu hizi z_1 na z_2. Ninagundua kuwa suluhu zote mbili zina moduli ya 1, kumaanisha kuwa umbali wao kutoka kwa asili katika ndege changamano ni 1. maana yake ni kwamba zinalala kwenye duara la kitengo, na kwa hivyo zina hoja iliyofafanuliwa vyema, au pembe yenye mhimili wa x chanya. Ninaweza kupata hoja kwa kutumia kazi ya tangent. Napata tanargz_1 fracsqrt3-1 -sqrt3 na tanargz_2 frac- sqrt3-1 sqrt3. Tangu tanfracpi3 sqrt3 na tan-frac pi3 -sqrt3, Ninaweza kuhitimisha kuwa argz_1 -fracpi3 na argz_2 fracpi 3. Vinginevyo, ningeweza kutumia kitendakazi cha kosine na ukweli kwamba cosfracpi3 frac12 ili kupata hoja. Sasa kwa kuwa nina moduli na hoja ya kila suluhisho, ninaweza kuziandika kwa njia ya kielelezo. Ninapata z_1 e-fracpi i3 na z_2 efracpi i3. Fomu hii hurahisisha kufanya kazi kwa kutumia nguvu. ya z. naweza kutumia sheria kwamba ea i eb i eabi kuzidisha vielelezo kwa vielezi dhahania. Kwa mfano, z_12 e-frac2pi i3 na z_13 e-pi i -1. Kwa kweli, naweza kuona kwamba z_16 e-2pi i 1, na vivyo hivyo kwa z_26. Hii ina maana kwamba z_1 na z_2 ni mizizi ya sita ya umoja, na nguvu zao hurudia kwa mzunguko. kila masharti sita. Kwa hivyo, ili kupata z49, naweza kupata salio tu ninapogawanya 49 kwa 6, na kutumia hiyo kama kipengee cha z_1 au z_2. Salio ni 1, kwa hivyo z 49 z_1 e-fracpi i3 na z50 z_12 e-frac2pi i3. Vile vile, z51 z_13 -1, z52 z_14 -e-fracpi i3, na z 53 z_15 -e-frac2pi i3. Sasa, ninaweza kuongeza maneno haya matano na kuona kama ninaweza kurahisisha usemi. Ninapata z49 z50 z51 z52 z53 e-fracpi i3 e -frac2pi i3 - 1 - e-fracpi i3 - e-frac2pi i3 . Ninaweza kughairi masharti kwa ishara tofauti, na nimebakiwa na -1. 