<prompt> Chaguo za kukokotoa f hufafanuliwa kwenye nambari changamano na fzabiz, ambapo a na b ni nambari chanya. Chaguo hili la kukokotoa lina sifa ambayo kwa kila nambari changamano z, fz ni sawa kutoka z na asili. Kwa kuzingatia kwamba abi8, pata b2.  <response>: Ninagundua kuwa shida inahusisha nambari na umbali changamano, kwa hivyo ninaweza kutaka kutumia moduli au kitendakazi cha thamani kabisa kueleza umbali kati ya nambari mbili changamano. Kwa mfano, umbali kati ya fz na z ni fz-z, na umbali kati ya fz na asili ni fz . Shida inasema kwamba umbali huu ni sawa, kwa hivyo naweza kuandika equation: fz-zfz. Ninaweza kurahisisha mlingano huu kwa kuchomeka ufafanuzi wa fz: abiz-zabiz. Ninaweza kubainisha z kutoka pande zote mbili na kutumia ukweli kwamba zwzw kwa nambari zozote changamano z na w: zabi-1 zabi. Ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa z na kupata: abi-1abi. Mlinganyo huu unamaanisha kuwa nambari changamano abi-1 ina moduli sawa na abi, ambayo imetolewa kama 8. Ninaweza kutumia fomula ya moduli ya nambari changamano kulingana na hali yake halisi na ya kufikirika. sehemu: abi-1sqrta-12b2 na abisqrta2b2. Ninaweza kuweka misemo hii sawa na kila nyingine na mraba pande zote mbili: a-12b2a2b2. Ninaweza kupanua miraba na kurahisisha mlinganyo: a2-2a1a2, au -2a10. Ninaweza kutatua kwa a: afrac12. Ninaweza kuunganisha thamani hii kwenye mlinganyo wa abi: abisqrta2b2. Ninaweza kubadilisha afrac12 na abi8: 8sqrtfrac122b2. Ninaweza mraba pande zote mbili na kutenga b2: 64frac14b2, au b2frac2554. 