<prompt> Wacha P iwe alama kwenye mstarianzapmatrix 3 -1 2 mwishopmatrix t anzapmatrix 2 -2 1 endpmatrixna acha Q iwe pointi kwenye mstarianzapmatrix 0 0 4 mwishopmatrix s anzapmatrix 1 2 -1 mwishopmatrix.Tafuta umbali mfupi iwezekanavyo PQ.  <response>: Kwa mstari wa kwanza, tunaweza kuandika P as2t 3, -2t - 1, t 2. Kwa mstari wa pili, tunaweza kuandika Q kama s, 2s, -s 4.KishaanzaalignPQ2 2t 3 - s2 -2t - 1 - 2s2 t 2 - -s 42 6s2 6st 9t2 - 6s 12t 14.endalignMasharti 6st na 9t2 yanapendekeza upanuzi wa s 3t2. Na ikiwa tutapanua s 3t 22, basi tunaweza pia kunasa muda wa 12t:s 3t 22 s2 6st 9t2 4s 12t 4.Hivyo,anzaalignPQ2 s 3t 22 5s2 - 10s 10 s 3t 22 5s2 - 2s 1 5 s 3t 22 5s - 12 5.endalignHii inatuambia kwamba PQ2 ge 5. Usawa hutokea wakati s 3t 2 s - 1 0, au s 1 na t -1. Kwa hivyo, thamani ya chini kabisa ya PQ ni sqrt5. 