<prompt> Acha D iwe kibainishi cha matrix ambayo vekta za safu wima yake ni mathbfa, mathbfb, na mathbfc. Tafuta kibainishi cha matrix ambayo vekta za safu wima ni mathbfa mathbfb, mathbfb mathbfc, na mathbfc mathbfa, kulingana na D.  <response>: Ili kupata kiambishi cha matrix, ninahitaji kutumia fomula ambayo inahusisha kuzidisha maingizo ya diagonal na kuongeza au kupunguza kulingana na muundo. Walakini, fomula hii inaweza kuwa ya kuchosha kutumia, haswa kwa matrix 3 kwa 3. Ninakumbuka kuwa kuna njia ya mkato ya kupata kibainishi cha matrix ambayo nguzo zake ni mchanganyiko wa mstari wa vekta zingine. Nikiandika tumbo kama A mathbfa mathbfb quad mathbfb mathbfc quad mathbfc mathbfa, Ninaweza kuainisha mathbfa kutoka safu ya kwanza, mathbfb kutoka safu ya pili, na mathbfc kutoka safu ya tatu. Hii inanipa A mathbfa quad mathbfb quad mathbfc anzabmatrix 1 0 1 1 1 0 0 1 1 mwishobmatrix. Kwa hivyo, detA detmathbfa quad mathbfb quad mathbfc detanzabmatrix 1 0 1 1 1 0 0 1 1 mwishobmatrix. Lakini, kiangazio cha matrix ambayo nguzo zake ni mathbfa, mathbfb, na mathbfc imetolewa kama D kwenye tatizo. Kwa hivyo, ninahitaji tu kupata kibainishi cha matrix beginbmatrix 1 0 1 1 1 0 0 1 1 endbmatrix. Ninaweza kutumia upanuzi wa cofactor kando ya safu ya kwanza, kwani ina zero mbili. Hii inanipa detanzabmatrix 1 0 1 1 1 0 0 1 1 endbmatrix 1 detanzabmatrix 1 0 1 1 mwishobmatrix - 0 detanzabmatrix 1 0 0 1 mwishobmatrix 1 detanzabmatrix 1 1 0 1 mwishobmatrix. Kiamuzi cha matrix 2 kwa 2 ni bidhaa tu ya maingizo ya diagonal ukiondoa bidhaa ya maingizo ya nje ya diagonal. Kwa hivyo, ninapata detbeginbmatrix 1 0 1 1 endbmatrix 1 cdot 1 - 1 cdot 0 1, detstartbmatrix 1 0 0 1 mwishobmatrix 1 cdot 1 - 0 cdot 0 1, na detanzabmatrix 1 1 0 1 mwishobmatrix 1 cdot 1 - 1 cdot 0 1. Kwa hivyo, nikichomeka maadili haya kwenye upanuzi wa cofactor, ninapata detbeginbmatrix 1 0 1 1 1 0 0 1 1 endbmatrix 1 cdot 1 - 0 cdot 1 1 cdot 1 2. Kwa hivyo, jibu la mwisho ni detA D cdot 2. 