<prompt> Mipira 5 nyeupe na k mipira nyeusi huwekwa kwenye pipa. Mipira miwili kati ya hiyo hutolewa bila mpangilio. Uwezekano kwamba moja ya mipira iliyochorwa ni nyeupe na nyingine ni nyeusi ni frac1021. Tafuta thamani ndogo kabisa ya k.  <response>: Ninahitaji kupata uwezekano wa kuchora mpira mmoja mweupe na mweusi kutoka kwa pipa, na kuuweka sawa na frac1021. Ili kuchora mpira mmoja mweupe na mweusi, naweza kuteka mpira mweupe kwanza na kisha mpira mweusi, au kuchora mpira mweusi kwanza na kisha mpira mweupe. Uwezekano wa kuchora mpira mweupe kwanza na kisha mpira mweusi ni frac55k cdot frack4k, kwa sababu kuna mipira 5 nyeupe kati ya 5k. jumla ya mipira kwenye pipa, na kisha kuna k mipira nyeusi kati ya mipira 4k iliyobaki kwenye pipa baada ya kuchora mpira mmoja mweupe. Vile vile, uwezekano wa kuchora mpira mweusi kwanza kisha mpira mweupe ni frack5k cdot frac54k. Uwezekano huu wawili ni sawa, kwa hivyo ninaweza kuwaongeza na kupata uwezekano kamili wa kuchora mpira mmoja mweupe na mweusi. Jumla ya uwezekano ni frac55k cdot frack4k frack5k cdot frac54k . Ninaweza kurahisisha usemi huu kwa kuzidisha nambari na dhehebu la kila sehemu kwa sababu sawa. Jumla ya uwezekano unakuwa frac5k5k4k frac5k5k4k frac10k5 k4k. Sasa ninaweza kuweka hii sawa na frac1021 na kutatua kwa k. Ninazidisha na kupata 10k cdot 21 10 cdot 5k4k. Ninapanua mabano na kupata 210k 1020 9k k2. Ninagawanya pande zote mbili kwa 10 na kupata 21k 20 9k k2. Ninapanga upya masharti na kupata k2 - 12k 20 0. Ninazingatia equation hii ya quadratic na kupata k-10k-2 0. Ninapata maadili yanayowezekana ya k na kupata k 10 au k 2. Lakini ninataka thamani ndogo kabisa ya k, kwa hivyo ninachagua k 2. 