<prompt> Acha k iwe nambari ndogo kabisa chanya hivi kwamba mgawo wa binomial binom109k ni chini ya mgawo wa binomial binom109 1k - 1. Acha a iwe nambari ya kwanza kutoka kushoto ya k na b iwe nambari ya pili kutoka kushoto ya k. Je, thamani ya 10a b ni nini?  <response>: Hebu n 109 1. Kisha tunataka k ndogo zaidi ilibinomn - 1k binomnk - 1.Kwa kutumia fomula ya mgawo wa binomial, tunapatafracn - 1!k! n - k - 1! fracn!k - 1! n - k 1!.Kishan - k 1n - k nk.Tunazingatia usawa rahisi zaidi n - k2 nk. Kisha n2 - 2nk k2 nk, au k2 - 3nk n2 0. Kwa fomula ya quadratic, mizizi ya equation inayolingana k2 - 3nk n2 0 nifrac3 pm sqrt52 cdot n.Kwa hivyo ikiwa n - k2 nk, lazima tuwe na k alpha n, ambapo alpha frac3 - sqrt52. Kumbuka kwamba alpha2 - 3 alpha 1 0.Ikiwa k alpha n, basianzaalignn - k 1n - k n - k2 n - alpha n2 1 - alpha2 n2 1 - 2 alpha alfa2 n2 alpha n2 n alpha n nk.endalignKwa upande mwingine, ikiwa k alpha n 1, basianzaalignn - k 1n - k n 1 - alfan 1n - alpha n 1 n 11 - alphan1 - alfa 1 - 2 alpha alpha2 nn 1 alpha nn 1 nk.endalignKwa hivyo, k ndogo zaidi inatoshelezaalpha n k alpha n 1.Kwa n 109 1, hii inatupa3819660 dotsc n 3819660 dots,so a 3 na b 8, na jibu la mwisho ni 38. 