<prompt> Chaguo za kukokotoa f : mathbbR to mathbbR inatoshelezax2 fx f1 - x -x4 2xkwa nambari zote halisi x. Kisha fx inaweza kubainishwa kipekee kwa thamani zote za x , isipokuwa falpha na fbeta kwa baadhi ya nambari halisi alpha na beta. Kokotoa alpha2 beta2.  <response>: Kubadilisha x na 1 - x, tunapata1 - x2 f1 - x fx -1 - x4 21 - x -x4 4x3 - 6x2 2x 1.Kwa hivyo, fx na f1 - x inatoshelezaanzaalignx2 fx f1 - x -x4 2x, 1 - x2 f1 - x fx -x4 4x3 - 6x2 2x 1.endalignKutoka mlingano wa kwanza,x2 1 - x2 fx 1 - x2 f1 - x 1 - x2 -x4 2x -x 6 2x5 - x4 2x3 - 4x2 2x.Tukiondoa mlingano wa pili, tunapatax2 1 - x2 fx - fx -x6 2x5 - 2x3 2x2 - 1.Kishax2 1 - x2 - 1 fx -x6 2x5 - 2x3 2x2 - 1.Kwa tofauti-ya-miraba,xx - 1 1xx - 1 - 1 fx -x6 2x5 - 2x3 2x2 - 1,aux2 - x 1x2 - x - 1 fx -x6 2x5 - 2x3 2x2 - 1.Tunaweza kuangalia kama -x6 2x5 - 2x3 2x2 - 1 inaweza kugawanywa kwa ama x2 - x 1 au x2 - x - 1, na tunapata kwamba ni kugawanywa na wote wawili:x2 - x 1x2 - x - 1 fx -x2 - x 1x2 - x - 1x2 - 1 .Kwa kuwa x2 - x 1 0 haina mizizi halisi, tunaweza kugawanya pande zote mbili kwa x2 - x 1, kwa usalama ili kupatax2 - x - 1 fx -x2 - x - 1x2 - 1.Kama x2 - x - 1 neq 0, basifx -x2 - 1 1 - x2.Kwa hivyo, ikiwa x2 - x - 1 neq 0, basi fx imeamuliwa kipekee. .Acha a frac1 sqrt52 na b frac1 - sqrt52, mizizi ya x2 - x - 1 0. Kumbuka kuwa a b 1. Njia pekee ambayo tunaweza kupata habari kuhusu fa au fb kutoka kwa mlinganyo wa utendaji uliotolewa ni ikiwa tutaweka x a au x b:anzaalignfrac3 sqrt52 fa fb frac-5 - sqrt52, frac3 - sqrt52 fb fa frac-5 sqrt52.endalignKutatua kwa fb katika mlingano wa kwanza, tunapatafb frac-5 - sqrt52 - frac3 sqrt52 fa.Kubadilisha katika mlinganyo wa pili, tunapataanzaalignfrac3 sqrt52 fb fa frac3 - sqrt52 left frac-5 - sqrt 52 - frac3 sqrt52 a kulia fa frac-5 sqrt52.endalignHii ina maana kwamba tunaweza kuchukua fa kuwa thamani yoyote, kisha tunaweza kuwekafb frac-5 - sqrt52 - frac3 sqrt52 faili kukidhi mlingano wa utendakazi.Kwa hivyo, alpha na beta ni sawa na a na b kwa mpangilio fulani, naalpha2 beta2 kushoto frac1 sqrt52 kulia2 kushoto frac1 - sqrt5 2 kulia2 3. 