<prompt> Acha a na b ziwe nambari halisi. Pata thamani ya juu zaidi ya a cos theta b sin theta kulingana na a na b.  <response>: Ninagundua kuwa usemi a cos theta b sin theta unaonekana kama bidhaa ya dot ya vekta mbili, moja ikiwa na vifaa a,b na nyingine ikiwa na vifaa cos theta, sin theta. Nakumbuka kwamba bidhaa ya nukta ya vekta mbili ni sawa na bidhaa ya ukubwa wao na cosine ya pembe kati yao. Kwa hivyo naweza kuandika tena usemi kama a,b cdot cos theta, sin theta cos phi, ambapo phi ni pembe kati ya vekta mbili. Ninajua kuwa ukubwa wa cos theta, sin theta daima ni 1, kwani ni vekta ya kitengo kwenye duara la kitengo. Kwa hivyo naweza kurahisisha usemi kwa a,b cos phi. Sasa nataka kuongeza usemi huu kwa heshima ya phi. Ninajua kuwa kitendakazi cha kosine kinakuzwa wakati hoja yake ni sifuri, na ina thamani ya juu zaidi ya 1. Kwa hivyo thamani ya juu zaidi ya a,b cos phi hutokea wakati phi 0, ambayo ina maana kwamba vekta mbili zinalingana. Kwa hivyo, thamani ya juu zaidi ya a cos theta b sin theta ni sawa na a,b, ambayo ni ukubwa wa vekta a,b. Ninaweza kutumia nadharia ya Pythagorean kupata ukubwa wa a,b kulingana na a na b. napata a,b sqrta2 b2. 