<prompt> Je! ni muda gani wa kudumu wa upanuzi wa left6xdfrac13xright6?  <response>: Ninajua kuwa neno la mara kwa mara ni neno ambalo halitegemei x, kwa hivyo ninataka kupata mgawo wa x0 katika upanuzi. Ninajua pia kwamba upanuzi wa left6xdfrac13xright6 utakuwa na maneno 7, kila moja ya fomu binom6k6x6 -kkushotodfrac13xkuliak, ambapo k ni kati ya 0 hadi 6. Ili neno liwe thabiti, ninahitaji uwezo wa x kughairi, kwa hivyo ninataka 6-kk, au k3. Kwa hivyo, neno lisilobadilika ni binom636x6-3leftdfrac13xkulia3 binom63 63kushotodfrac13kulia3 2063kushotodfrac13kulia3 2023 160 . 