<prompt> Je, mgawo wa x5 ni upi katika upanuzi wa 2x37?  <response>: Ili kupata mgawo wa x5 katika upanuzi wa 2x37, ninahitaji kutumia nadharia ya binomial, ambayo inasema kwamba abn sum_k0 n binomnkan-kbk, ambapo binomnk ni mgawo wa binomial au idadi ya njia za kuchagua vitu k kati ya n. Katika kesi hii, a 2x na b 3, kwa hivyo ninahitaji kupata neno ambapo k 2 na n-k 5, kwani hiyo itanipa 2x5. Kwa hivyo, kwa kutumia nadharia ya binomial, neno ambapo k 2 ni binom722x532. Sasa ninahitaji kurahisisha neno hili na kupata mgawo wa x5. Ili kurahisisha mgawo wa binomial, ninaweza kutumia fomula binomnk fracn!k!n-k!, ambapo n! ni kigezo cha n au bidhaa ya nambari zote chanya hadi n. Kwa hivyo, binom72 frac7!2!5! frac7mara 62 21. Ili kurahisisha mamlaka, ninaweza kutumia sheria za vielelezo: 2x5 25x5 32x5 na 32 9. Kwa hivyo, neno ambapo k 2 ni 21mara 32x5mara 9 6048x5. Kwa hivyo, mgawo wa x5 ni 6048. 