<prompt> Kupanua 10.21000 kwa nadharia ya binomial na kutofanya udanganyifu zaidi kunatoa1000 chagua 00.201000 chagua 10.211000 chagua 20.22cdots1000 chagua 10000.2 1000 A_0 A_1 A_2 cdots A_1000,ambapo A_k 1000 chagua k0.2k kwa k 0,1,2,ldets,1000 . k ipi ni A_k kubwa zaidi?  <response>: Ninaona kwamba vijisehemu vya binomial 1000 kuchagua k kuongezeka kutoka k 0 hadi k 500 na kisha kupungua kutoka k 501 hadi k 1000. Pia niligundua kuwa nguvu za 0.2 hupungua kutoka k 0 hadi k 1000. Hii inapendekeza kuwa bidhaa A_k itaongezeka kutoka k 0 hadi hatua fulani na kisha kupungua baadaye. Ninataka kupata thamani ya k ambapo A_k hufikia upeo wake. Njia moja ya kufanya hivyo ni kulinganisha maneno yanayofuatana na kuona yanapoanza kupungua. Yaani, ninataka kupata k ndogo zaidi kiasi kwamba A_k A_k1. Kwa kutumia fomula ya visimba viwili, ninaweza kuandika A_k frac1000!k!1000- k!0.2k na A_k1 frac1000!k1!999-k!0.2k1. Ninaweza kurahisisha hili kwa kughairi vipengele na mamlaka ya 0.2 ambayo ni ya kawaida kwa masharti yote mawili. Ninapata A_k A_k1 ikiwa tu frack11000-k 0.2. kwa kuzidisha, napata k 1 200 - 0.2k. Nikitatua kwa k, ninapata k frac1991.2 takriban 165.83. Kwa kuwa k lazima iwe nambari kamili, k ndogo zaidi inayotosheleza ukosefu huu wa usawa ni k 166. Kwa hiyo, A_k ni kubwa zaidi wakati k 166. 