<prompt> Una miduara miwili, moja yenye radius r na nyingine yenye radius R. Unataka tofauti katika maeneo ya miduara hii miwili iwe chini ya au sawa na 5pi. Ikiwa rR10, ni tofauti gani ya juu zaidi katika urefu wa radii?  <response>: Ninahitaji kupata dhamana ya juu zaidi ya r-R chini ya kizuizi ambacho pi R2 - pi r2 leq 5pi na rR10. Ninaweza kurahisisha ukosefu wa usawa kwa kugawanya pande zote mbili kwa pi na kupanga upya masharti: R2 - r2 leq 5 na rR10. Ninaweza kutumia ukweli kwamba R-rRr R2 - r2 kuandika upya ukosefu wa usawa kama R-rRr leq 5 na Rr10 . Sasa nina bidhaa ya vipengele viwili vinavyopakana na 5, na mojawapo ya vipengele vimebainishwa kuwa 10. Hii ina maana kwamba kipengele kingine, R-r, lazima kiwe chini ya au sawa na frac12 . Kwa hivyo, thamani ya juu zaidi ya r-R ni frac12, na hii hutokea wakati R 5.25 na r 4.75, au kinyume chake. 