<prompt> Tafuta idadi ya suluhishosec theta csc theta sqrt15ambapo 0 le theta le 2 pi.  <response>: Acha a cos theta na b sin theta, hivyofrac1a frac1b sqrt15.Kisha fraca bab sqrt15, hivyoa b ab sqrt15.Kuweka pande zote mbili, tunapataa2 2ab b2 15a2 b2.Tunajua a2 b2 cos2 theta sin2 theta 1, hivyo15a2 b2 - 2ab - 1 0.Vigezo hivi kama 3ab - 15ab 1 0, hivyo ab frac13 au ab -frac15.Ikiwa ab frac13, basi a b ab sqrt15 fracsqrt153. Kisha a na b ni mizizi yat2 - fracsqrt153 t frac13 0.Tunaweza kuangalia kwamba mizizi yote miwili ni halisi, na iko kati ya -1 na 1.Ikiwa ab -frac15, basi a b ab sqrt15 -fracsqrt155. Kisha a na b ndio mizizi yat2 fracsqrt155 t - frac15 0.Tena, tunaweza kuangalia kwamba mizizi yote miwili ni halisi, na iko kati ya -1 na 1.Kwa hivyo, kuna jozi nne zinazowezekana a,b cos theta, sin theta, ambapo a na b zote ni kati ya -1 na 1. Kila jozi inaongoza kwa suluhisho la kipekee theta katika 0, 2 pi, kwa hivyo kuna 4 suluhu theta. 