<prompt> Kwa kutumia mabadiliko ya Laplace, suluhisha mlingano wa tofauti y 4y 13y 0 na masharti ya awali y0 1 na y0 0.  <response>: Ili kutatua mlingano wa tofauti uliotolewa kwa kutumia mabadiliko ya Laplace, kwanza tunahitaji kuchukua mabadiliko ya Laplace ya pande zote mbili za mlinganyo. Kumbuka kuwa ubadilishaji wa Laplace wa kazi yt hufafanuliwa kama:Lyt Ys e-stytdt kutoka 0 hadi infinityUbadilishaji wa Laplace una mali kadhaa muhimu wakati unatumika kwa derivatives:1. Lyt sYs - y02. Lyt s2Ys - sy0 - y0Sasa wacha tutumie ubadilishaji wa Laplace kwa hesabu yetu ya tofauti tuliyopewa:y 4y 13y 0Ly 4Ly 13Ly 0Kutumia mali zilizotajwa hapo juu na hali ya awali y0 1 na y0 0, tunapata:s2Ys - s1 - 0 4sYs - 1 13Ys 0Kurahisisha na kutatua Yza:s2Ys - s 4sYs - 4 13Ys 0Yss2 4s 13 s 4Ys s 4s2 4s 13Sasa tunahitaji kupata ubadilishaji wa Laplace wa Ys kupata suluhisho yt. Tunaweza kuandika Yza upya kwa namna ya sehemu ya sehemu:Yvi As α Bs βambapo α na β ndio mizizi ya mlingano wa quadratic s2 4s 13 0. Tunaweza kupata mizizi hii kwa kutumia fomula ya quadratic:α, β -b b2 - 4ac2a -4 42 - 411321 -2 3iKwa hivyo mtengano wetu wa sehemu ni:Ys As -2 3i Bs -2 - 3iIli kupata A na B, tunaweza kufuta madhehebu kwa kuzidisha pande zote mbili za equation kwa s -2 3is -2 - 3i, kisha kuweka s sawa na kila mzizi kwa zamu:Kwa s -2 3i:A-2 3i -2 3i 4A 1Kwa s -2 - 3i:B-2 - 3i -2 - 3i 4B 1Kwa kuwa sasa tumepata A na B, tunaweza kuandika Yza upya:Ys 1s -2 3i 1s -2 - 3iBadiliko kinyume cha Laplace ya jumla ni jumla ya mabadiliko ya Laplace kinyume, kwa hivyo tunaweza kuchukua mabadiliko ya Laplace ya kila neno tofauti:L-1Ys L-11s -2 3i L-11s -2 - 3iTunajua kuwa mabadiliko ya Laplace ya 1s α ni eαt, kwa hivyo:yt e-2 3it e-2 - 3itKwa kutumia fomula ya Euler, tunaweza kuandika upya maelezo changamano kama:yt e-2tcos3t isin3t e-2tcos3t - isin3tKuchanganya masharti na kuchukua sehemu halisi tu kwani yt lazima iwe kazi halisi, tunapata suluhisho la mwisho:yt 2e-2tcos3t 