<prompt> Katika pembetatu PQR, angle Q 30circ, pembe R 105circ, na PR 4 sqrt2. Find QR.  <response>: Ili kupata QR, naweza kutumia sheria ya sines, ambayo inahusiana na urefu wa pande na sine za pembe kinyume katika pembetatu yoyote. Sheria ya sines inasema kwamba fracQRsin P fracPRsin Q. Tayari najua PR na sin Q, ili niweze kuzichomeka na solve kwa QR. Napata fracQRsin P frac4 sqrt2sin 30circ. Kurahisisha, napata fracQR sin P frac4 sqrt2frac12 8 sqrt2. Kuzidisha pande zote mbili kwa sin P, Napata QR 8 sqrt2 sin P. Ili kupata sin P, Ninaweza kutumia ukweli kwamba pembe katika pembetatu zinaongeza hadi 180circ. Hivyo P 180circ - Q - R 180circ - 30circ - 105circ 45circ. Ninajua kwamba sin 45circ fracsqrt22, hivyo mimi inaweza kuchomeka hiyo na kurahisisha zaidi. Ninapata QR 8 sqrt2 fracsqrt22 8. 