<prompt> Chembe husogea hadi iko left 3 sin fract4, 3 cos fract4 kulia kwa wakati t. Tafuta kasi ya chembe, kipimo katika kitengo cha umbali kwa kila kitengo cha muda.  <response>: Ninatambua kuwa nafasi ya chembe inatolewa na mlinganyo wa parametric, ambapo x-coordinate ni 3 sin fract4 na y-coordinate ni 3 cos fract4 . Ili kupata kasi ya chembe, ninahitaji kupata ukubwa wa vekta yake ya kasi, ambayo ni derivative ya vector yake ya nafasi. Ninaweza kutumia sheria ya mnyororo kupata derivatives ya x- na y-kuratibu kwa heshima na wakati. Kwa x-coordinate, napata fracdxdt 3 cos fract4 cdot frac14, kwa kutumia kanuni ya mnyororo kwa utendaji kazi wa sine. na sehemu. Kwa y-coordinate, napata fracdydt -3 sin fract4 cdot frac14, kwa kutumia kanuni ya mnyororo kwenye kosine. kazi na sehemu. Vekta ya kasi basi ni left fracdxdt, fracdydt kulia left frac34 cos fract4 , -frac34 sin fract4 kulia. Ukubwa wa vekta ya kasi ni mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya vijenzi vyake. Kwa hivyo, kasi ya chembe ni sqrtleft fracdxdt kulia2 left fracdydt kulia2 sqrt kushoto frac34 cos fract4 kulia2 kushoto -frac34 sin fract4 kulia2. Ninaweza kurahisisha usemi huu kwa kubainisha frac916 kutoka kwa maneno yote mawili chini ya mzizi wa mraba na kutumia kitambulisho cos2 x sin2 x 1 . Napata sqrtfrac916 left cos2 fract4 sin2 fract4 kulia sqrtfrac916 frac34. 