<prompt> Tuseme X_n:ngeq 1 iwe huru na kusambazwa kwa upesi kwa parameta 1. kuna uwezekano gani Plimsup _n rightarrow infty X_nlogn1? Rejesha thamani ya nambari.Nadharia Husika: Borel-Cantelli Lemma ni matokeo ya kimsingi katika nadharia ya uwezekano ambayo hutoa kigezo cha kubainisha muunganiko wa mfuatano usio na kikomo wa matukio. Imetajwa baada ya mwanahisabati wa Ufaransa Émile Borel na mwanahisabati wa Italia Francesco Paolo Cantelli. Lema huja katika sehemu mbili: sehemu ya kwanza inajulikana kama Borel-Cantelli Lemma au First Borel-Cantelli Lemma, na sehemu ya pili inajulikana kama Converse Borel-Cantelli Lemma au Second Borel-Cantelli. Lema.Kwanza Borel-Cantelli Lemma:Borel-Cantelli Lemma ya kwanza inasema kwamba ikiwa jumla ya uwezekano wa mlolongo usio na kikomo wa matukio ni wa mwisho, basi uwezekano kwamba matukio mengi haya hutokea ni sifuri. Kihisabati, ikizingatiwa mlolongo wa matukio A_n katika nafasi ya uwezekano, ikiwa jumla ya uwezekano wake ni wa mwisho, yaani,Σ PA_n ,basi uwezekano wa matukio mengi haya kutokea ni sifuri, yaani,Plim sup A_n 0.Hapa, lim sup inaashiria kikomo bora zaidi cha mfuatano wa matukio, ambalo ni tukio ambalo bila kikomo matukio mengi A_n hutokea.Pili Borel-Cantelli Lemma Mazungumzo:Borel-Cantelli Lemma ya pili hutoa mazungumzo kwa lemma ya kwanza chini ya hali ya ziada ya uhuru. Inasema kwamba ikiwa matukio ni huru na jumla ya uwezekano wao hauna kikomo, basi uwezekano wa kutokea kwa matukio mengi haya ni moja. Kihisabati, kutokana na mfuatano huru wa matukio A_n katika nafasi ya uwezekano, ikiwa jumla ya uwezekano wake hauna kikomo, yaani,Σ PA_n ,basi uwezekano wa matukio mengi haya kutokea ni moja, yaani,Plim sup A_n 1.Borel-Cantelli Lemma ni zana yenye nguvu katika nadharia ya uwezekano na ina matumizi katika nyanja mbalimbali, ikiwa ni pamoja na nadharia ya ergodic, nadharia ya nambari, na takwimu. Inasaidia kuelewa tabia ya muda mrefu ya michakato ya nasibu na muunganiko wa mfuatano usio na kikomo wa matukio.  <response>: 1.0 