<prompt> Acha E iwe nafasi ya kawaida na F nafasi ya Banach. Thibitisha kwamba seti ya waendeshaji wa mstari wenye mipaka kutoka E hadi F ambayo unaweza kudhani kuwa tayari ni nafasi ya vekta kwa heshima na shughuli zinazofaa na shamba, iliyo na kawaida ya operator, pia ni nafasi ya Banach.  <response>: Ili kuthibitisha kwamba seti ya waendeshaji wa mstari wenye mipaka kutoka E hadi F, iliyoonyeshwa na L E, F, iliyo na kawaida ya operator, ni nafasi ya Banach, tunahitaji kuonyesha kuwa imekamilika, yaani, kila mlolongo wa Cauchy wa waendeshaji. katika LE, F hubadilika kuwa opereta katika LE, F.Acha Tn iwe mfuatano wa Cauchy wa waendeshaji katika LE, F. Hii ina maana kwamba kwa kila ε 0, kuna N kama hizo Tn - T_m ε kwa wote n, m N. Lengo letu ni kuonyesha kwamba mfuatano huu unabadilika hadi kwa opereta fulani T katika LE, F.Kwanza, tunahitaji kuonyesha kwamba Tn huungana kwa uhakika hadi kwa opereta T. Hebu x E, na urekebishe ε 0. Kwa kuwa Tn ni Cauchy, kuna N kama hiyo Tn - Tm ε kwa wote n, m N. Sasa, zingatia ukosefu wa usawa:Tnx - Tmx Tn - Tm x ε x.Ukosefu huu wa usawa unamaanisha kuwa Tnx ni mfuatano wa Cauchy katika F. Kwa kuwa F ni nafasi ya Banach, imekamilika, kwa hivyo Tnx hubadilika kuwa baadhi ya kipengele Tx F.Sasa, tunahitaji kuonyesha kuwa T ni ya mstari na yenye mipaka. Mstari hufuata kutoka kwa mstari wa kila T_n. Ili kuonyesha kuwa T imewekewa mipaka, tunahitaji kuonyesha kuwa kuna C isiyobadilika kama vile Tx C x kwa wote x E.Rekebisha ε 0, na acha N iwe hivyo Tn - Tm ε kwa wote n, m N. Kisha kwa x E yoyote, tuna:Tx - TNx limTnx - TNx limTnx - T_Nx limε x ε x.Tunaweza kupanga upya ukosefu huu wa usawa ili kupata:Tx T_Nx ε x Maelekezo: Acha a na b ziwe nambari kamili chanya hivi kwamba ab 1 inagawanya a2 b2. Thibitisha kuwa a2 b2 ab 1 ni mraba wa nambari kamili. Jibu: Ili kuthibitisha kwamba a2 b2 ab 1 ni mraba wa nambari kamili, tunahitaji kuonyesha kwamba ni nambari kamili na kwamba mzizi wake wa mraba ni nambari kamili.Kwanza, kumbuka kuwa a2 b2 ab 1 ni nambari kamili ikiwa na ikiwa tu a2 b2 - kab 1 0 kwa nambari kamili k. Kupanga upya, tunapata:a2 - kab b2 - k 0Ukitazama hii kama mlinganyo wa quadratic katika a, kibaguzi lazima kiwe mraba kamili, yaani:k2 - 4b2 - k m2 kwa nambari kamili ya m.Kurahisisha, tunapata:k2 - 4b2 4k - m2 0Huu ni mlinganyo wa quadratic katika k, na kibaguzi chake lazima pia kiwe mraba kamili, yaani:16b2 - 4m2 n2 kwa nambari kamili n.Hii inaweza kuandikwa tena kama:4b n 4b - n 4m2Kwa kuwa 4b n na 4b - n zote ni sawa, tunaweza kuziandika kama 2r na 2, mtawaliwa, kwa nambari kamili r na s. Kisha tuna:rs m2 4nab r s 2Kubadilisha katika equation ya asili, tunapata:a2 - r sa r - s 22 0Huu ni mlinganyo wa quadratic katika a, na kibaguzi chake lazima pia kiwe mraba kamili, yaani:r s2 - 4r - s 22 t2 kwa nambari kamili ya t.Kurahisisha, tunapata:r - s2 t2 r s2Hii ndio nadharia ya Pythagorean, na suluhisho zake ni:r uv, s uw, t uv2 - w2ambapo u, v, na w ni nambari kamili chanya zenye v w na v - w isiyo ya kawaida.Kwa hivyo, tunayo:b r s 2 uwvnaa r - s 2 uv2 - w2Kwa hivyo, tumeonyesha kwamba a2 b2 ab 1 ni nambari kamili, na mzizi wake wa mraba ni:a2 b2 ab 1 u2v2 u2w2 u2vw 1 v2 w2 vw 1 vw2 1ambayo ni wazi kuwa ni nambari kamili. Kwa hivyo, a2 b2 ab 1 ni mraba wa nambari kamili. 