<prompt> Acha S iwe seti ya nambari changamano za fomu x yi, ambapo x na y ni nambari halisi, ili kwambafracsqrt22 le x le fracsqrt32.Tafuta nambari ndogo kabisa chanya m kiasi kwamba kwa nambari zote chanya n ge m, kuna nambari changamano z katika S kiasi kwamba zn 1.  <response>: Nadhani hatua ya kwanza ni kubadilisha usawa kuwa kuratibu za polar. Inamaanisha kuwa z ni mzizi wa nth wa umoja. Haki. Kwa hivyo ni nini mizizi ya nth ya umoja? Lakini tunajua kwamba fracsqrt22 le x le fracsqrt32. Hiyo inamaanisha kuwa cos frac2pi kn ge fracsqrt22. Kwa hivyo tunahitaji kupata nambari ndogo kabisa chanya m hivi kwamba kwa nambari zote chanya n ge m, kuna nambari kamili 0leq kleq n-1 kiasi kwamba fracsqrt2 2leqcos frac2pi knleqfracsqrt32. Uko sahihi. Tunahitaji kupata nambari ndogo kabisa chanya m hivi kwamba kwa nambari zote chanya n ge m, kuna nambari kamili 0leq kleq floorfracn2floor kiasi kwamba fracsqrt22leqcos frac2pi knleqfracsqrt32. Ona kwamba ikiwa tuna k kama hiyo kwa n, basi pia tuna k kama 2n. Tunahitaji nambari ndogo kabisa chanya m hivi kwamba kwa nambari zote chanya n ge m, kuna nambari kamili 0leq kleq floorfracn2floor kiasi kwamba cos -1kushotofracsqrt32kulialeq frac2pi knleq cos-1leftfrac sqrt22kulia. Ili kurahisisha mambo, hebu tuseme kwamba alphacos-1leftfracsqrt32right na betacos-1 kushotofracsqrt22kulia. Nadhani tunajua kuwa cosalphafracsqrt32 and cosbetafracsqrt22. Kwa hivyo 2alphacos-1leftfrac12right and 2betacos-10. Haki. 2alphafracpi3 na 2betafracpi2. Sasa tuna fracpi3leq frac2pi knleq fracpi2. Tunaweza kuzidisha sehemu zote za ukosefu wa usawa kwa fracn2pi ili kupata fracn3leq kleq fracn2. Kisha tunaweza kuzidisha sehemu zote za ukosefu wa usawa kwa fracn2pi ili kupata fracn12leq kleq fracn8. Tunajua kuwa k lazima iwe nambari kamili. Kwa hivyo tunahitaji kupata nambari ndogo kabisa chanya m hivi kwamba kwa nambari zote chanya n ge m, kuna nambari kamili fracn12leq kleq fracn8 . Kwa hivyo 24 ni nambari kama hiyo. Hapana. Kwa hivyo nambari ndogo zaidi kama hiyo ni m16. 