<prompt> Pata thamani ya chini yafracsin6 x cos6 x 1sin4 x cos4 x 1juu ya thamani zote halisi x.  <response>: Ninagundua kuwa nambari na denominator zote ni jumla ya nguvu za sin x na cos x, ambayo inanifanya nifikirie kutumia kitambulisho sin2 x cos2 x 1. Nikiweka mraba pande zote mbili za kitambulisho hiki, nitapata sin4 x cos4 x 2sin2 x cos2 x 1. Hii inamaanisha kuwa ninaweza kuchukua nafasi ya sin4 x cos4 x neno katika dhehebu na 1 - 2sin2 x cos2 x. Vile vile, nikiweka pande zote mbili za utambulisho, ninapata sin6 x cos6 x 3sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x 1. Hii inamaanisha kuwa ninaweza kuchukua nafasi ya sin6 x cos6 x neno katika nambari na 1 - 3sin2 x cos2 x. Kwa hivyo sehemu inakuwa frac1 - 3sin2 x cos2 x 11 - 2sin2 x cos2 x 1 ambayo hurahisisha frac2 - 3sin2 x cos2 x2 - 2sin2 x cos2 x au frac1 - frac32 dhambi2 x cos2 x1 - sin2 x cos2 x. Sasa ninataka kupata thamani ya chini ya sehemu hii juu ya maadili yote halisi ya x. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kuongeza thamani ya sin2 x cos2 x, kwani inaonekana na mgawo hasi katika nambari na dhehebu. Nakumbuka kwamba sin2 x cos2 x frac14sin2 2x, ili niweze kuandika upya sehemu hiyo kama frac1 - frac3101 8sin2 2x1 - frac14sin2 2x. Sasa naona kuwa sehemu hiyo ni chaguo la kukokotoa 2x, kwa hivyo ninaweza kuruhusu y 2x na kuzingatia sehemu kama chaguo la kukokotoa y. Hii ina maana kwamba y pm fracpi2, pm frac3pi2, dots au sawa, x pm fracpi4 , pm frac3pi4, dots. Wakati sin2 y 1, sehemu inakuwa frac1 - frac381 - frac14 frac58 cdot frac43 frac56. Kwa hivyo, thamani ya chini kabisa ya sehemu asili ni frac56. 