<prompt> Thibitisha kuwa kibainishi cha matriki ya mraba A ni sawa na bidhaa ya thamani zake.  <response>: Ili kuthibitisha kwamba kibainishi cha matriki ya mraba A ni sawa na bidhaa ya thamani zake, tutatumia sifa za vibainishi na ufafanuzi wa eigenvalues.Acha A iwe n x n mraba matrix yenye thamani eigen λ1, λ2, ..., λn. Kwa ufafanuzi, kwa kila eigenvalue λi, kuna vekta nonzero vi kama vile:A vi λi viSasa, wacha tuzingatie matrix A - λiI, ambapo mimi ndio matrix ya kitambulisho. Tuna:A - λiI vi A vi - λi vi 0Kwa kuwa vi sio nonzero, hii inamaanisha kuwa matrix A - λiI ni ya umoja, ambayo inamaanisha kuwa kiangazio chake ni sifuri:detA - λiI 0Tabia ya polynomial ya matrix A inatolewa na detA - λI. Kwa kuwa detA - λiI 0 kwa wote i, eigenvalues λ1, λ2, ..., λn ni mizizi ya sifa ya polynomia.Kwa mali ya viashiria, kiashiria cha matrix ya triangular ni bidhaa ya vipengele vyake vya diagonal. Ikiwa tutafanya mtengano wa pembetatu ya juu kwenye tumbo A - λI, tunapata:detA - λI -1p a11 - λa22 - λ...ann - λambapo p ni idadi ya ubadilishaji wa safu mlalo uliofanywa wakati wa mchakato wa mtengano.Polynomia hii ina digrii n na ina thamani eigen λ1, λ2, ..., λn kama mizizi yake. Kwa hivyo, inaweza kuzingatiwa kama:detA - λI -1p c λ - λ1λ - λ2...λ - λnambapo c ni mara kwa mara.Sasa, wacha tutathmini kibainishi kwa λ 0:detA detA - 0I -1p c 0 - λ10 - λ2...0 - λn -1p c -1n λ1λ2...λnKwa kuwa A ni matrix ya n x n, p n. Kwa hiyo, -1p na -1n zina ishara sawa. Tunaweza kuhitimisha kwamba:detA c λ1λ2...λnC mara kwa mara lazima iwe sawa na 1 kwa sababu pande zote mbili za mlinganyo ni polimanomia zenye usawa za digrii n katika maingizo ya A. Kwa hivyo, hatimaye tunapata:detA λ1λ2...λnHii inathibitisha kuwa kibainishi cha matriki ya mraba A ni sawa na bidhaa ya thamani zake. 