<prompt> Nambari kamili ya mraba yenye tarakimu nne huundwa kwa kuweka nambari mbili chanya za mraba kamili karibu na nyingine. Nambari ya mraba yenye tarakimu nne ni ipi?  <response>: Acha m2 na n2 ziwe nambari za mraba zenye tarakimu mbili; basi tuna 4 leq m, n leq 9. Kuziweka karibu na nyingine hutoa nambari 100m2 n2, ambayo lazima iwe sawa na baadhi ya mraba x2. Kupanga upya, tuna 100m2 x2 - n2 xnx-n, kwa hivyo RHS ina kipengele cha 100. Mraba mkubwa unaowezekana ni 8181, ambao mzizi wake wa mraba ni takriban 90.5, na ndogo ni 1616, ambayo mzizi wake wa mraba ni takriban 40.2, kwa hivyo 41 leq x leq 90. Ili kupata sababu ya 100, tuna kesi mbili:1. xn na x-n lazima ziwe zidishi za 5. Kwa hakika, hii inamaanisha n 5, x ni kizidishio cha 5, na x-n, x, na x n ni vizidishi mfululizo vya 5. Kujaribu uwezekano wa hadi x 85, tunaona kwamba kesi hii haifanyi kazi.2. Moja ya xn na x-n ni nyingi ya 25. Kwa kuwa xn 25 haiwezekani, uwezekano rahisi ni x-n 50 na x n 50. Kesi x - n 25 inadokeza x n 4p2 kwa xnx-n kuwa mgawo kamili wa mraba wa 100, na hivyo 57 leq 4p2 leq 77 kutoka 41 leq x leq 90. Uwezekano pekee ni 4p2 64, ambayo inaongoza kwa x na n zisizo muhimu. Kesi x n 50 inahitaji x -n 2p2 kwa xnx-n kuwa mraba kamili. Ili kuwa na x geq 41 lazima tuwe na x - n geq 32, na kwa kweli mipaka ya chini inafanya kazi: 5032 1600 402. Hivyo x 41, na x2 1681. 