<prompt> Pembetatu ABC imeandikwa katika mduara omega na AB5, BC7, na AC3. Sehemu mbili za pembe A hukutana na upande overlineBC saa D na duara omega katika hatua ya pili E. Acha gamma iwe mduara wenye kipenyo overlineDE. Miduara omega na gamma inakutana kwa E na pointi ya pili F. Kisha AF2 frac mn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya. Tafuta mn.  <response>: Tumia nadharia ya pembe mbili kupata CDfrac218, BDfrac358, na utumie Nadharia ya Stewart kupata ADfrac158 . Tumia Power of the Point kupata DEfrac498, na hivyo AE8. Tumia sheria ya kosini kupata angle CAD fracpi 3, kwa hivyo angle BAD fracpi3 pia, na pembetatu BCE ni sawa, hivyo BCCEBE7.Nina hakika kuna suluhisho la kifahari zaidi kutoka hapa, lakini badala yake tutafanya sheria ya nywele ya cosines:AE2 AF2 EF2 - 2 cdot AF cdot EF cdot cos pembe AFE. 1AF2 AE2 EF2 - 2 cdot AE cdot EF cdot cos angle AEF. Kuongeza hizi mbili na kurahisisha tunapata:EF AF cdot cos pembe AFE AE cdot cos pembe AEF 2. Ah, lakini angle AFE pembe ACE kwa kuwa F iko kwenye omega, na tunaweza kupata cos angle ACE kwa kutumia sheria ya cosines:AE2 AC2 CE2 - 2 cdot AC cdot CE cdot cos angle ACE, na kuchomeka AE 8, AC 3, BE BC 7, tunapata cos pembe ACE -17 cos pembe AFE.Pia, angle AEF pembe DEF, na angle DFE pi2 kwa kuwa F iko kwenye mduara gamma na kipenyo DE, hivyo cos angle AEF EFDE 8 cdot EF49.Kuunganisha maadili yetu yote kwenye equation 2, tunapata:EF -fracAF7 8 cdot frac8EF49, au EF frac715 cdot AF.Mwishowe, tunachomeka hii kwenye equation 1, ikitoa:82 AF2 frac49225 cdot AF2 - 2 cdot AF cdot frac7AF15 cdot frac-17. Hivyo,64 fracAF2225 cdot 2254930, au AF2 frac90019. Jibu ni 919. 