<prompt> Rahisishafractan xsec x 1 - fracsec x - 1tan x.  <response>: Ninataka kurahisisha usemi huu, kwa hivyo nitatafuta njia za kuandika tena kazi za trigonometric kulingana na sine na cosine, ambazo ninazifahamu zaidi. Ninajua kuwa tan x fracsin xcos x, sec x frac1cos x, na cos2 x sin 2 x 1. Kwa kutumia vitambulisho hivi, naweza kuandika upya usemi kamafracsin x cos x1 cos x 1 - frac1 cos x - 1sin x cos x. Ili kurahisisha sehemu , naweza kuzidisha nambari na kiashiria cha kila moja kwa dhehebu la kawaida la cos x. Hii inanipafracsin x1 cos x - frac1 - cos xsin x. Sasa ninataka kuchanganya sehemu hizi mbili kuwa moja kwa kutafuta kiashiria cha kawaida. Kiashiria cha kawaida ni 1 cos x sin x. Ili kupata hili, ninahitaji kuzidisha sehemu ya kwanza kwa fracsin xsin x na sehemu ya pili kwa frac1 cos x1 cos x. Hii inanipafracsin2 x - 1 - cos x1 cos x1 cos x sin x. Ili kurahisisha nambari, ninaweza kupanua nambari. bidhaa ya 1 - cos x1 cos x kwa kutumia tofauti ya fomula ya miraba. Hii inanipa 1 - cos2 x. Lakini pia ninaweza kutumia kitambulisho cha Pythagorean kuchukua nafasi ya cos2 x na 1 - sin2 x. Hii inanipa 1 - 1 - sin2 x sin2 x. Kwa hivyo nambari ni sin2 x - sin2 x 0. Hii ina maana kwamba usemi huo ni sawa na frac01 cos x sin x 0. 