<prompt> Miduara C_1 na C_2 ni sanjari za nje, na zote mbili zina mduara wa ndani ili kuzunguka C_3. Radi ya C_1 na C_2 ni 4 na 10, mtawalia, na katikati ya miduara mitatu yote ni. colinear. Koti ya C_3 pia ni tanjiti ya nje ya C_1 na C_2. Ikizingatiwa kuwa urefu wa chodi ni fracmsqrtnp ambapo m,n, na p ni nambari kamili chanya, m na p ni kubwa kiasi, na n haiwezi kugawanywa kwa mraba wa mkuu wowote, tafuta mnp.  <response>: asy pointpen nyeusi; pathpen nyeusi linewidth 0.7; ukubwa 200; jozi C1 -10,0, C2 4,0, C3 0,0, H -10-283,0, T 587expipi-acos 37; njia cir1 CRC1,4.01, cir2 CRC2,10, cir3 CRC3,14, t H--T2T-H; jozi A OPcir3, t, B IPcir3, t, T1 IPcir1, t, T2 IPcir2, t; kuchora cir1; kuchora cir2; kuchora cir3; chora14,0---14,0; choraA--B; MbungeH,H,W; chora-14,0--H--A, upana wa mstari0.7 aina ya mstari4 4; choraMPO_1,C1; choraMPO_2,C2; choraMPO_3,C3; kuchoraMPT,T,N; kuchoraMPA,A,NW; choraMPB,B,NE; choraC1--MPT_1,T1,N; choraC2--MPT_2,T2,N; kuchoraC3--T; choraalama ya kuliaC3,T,H; asyAcha O_1, O_2, O_3 ziwe vituo na r_1 4, r_2 10,r_3 14 radii ya miduara C_1, C_2, C_3. Acha T_1, T_2 ziwe pointi za kutegemewa kutoka kwa msingi wa kawaida wa nje wa C_1, C_2, mtawalia, na uruhusu kiendelezi cha overlineT_1T_2 kikatishe kiendelezi cha overlineO_1O_2 kwa a pointi H . Ruhusu ncha za gumzotangent ziwe A,B, na sehemu ya chini ya pembendiko kutoka O_3 hadi overlineAB iwe T. Kutoka kwa pembetatu sawa za kulia pembetatu HO_1T_1 sim pembetatu HO_2T_2 sim pembetatu HO_3T,fracHO_14 fracHO_11410 fracHO_110O_3T.Inafuata kwamba HO_1 frac283, na kwamba O_3T frac587. Kwa nadharia ya Pythagorean kwenye pembetatu ATO_3, tunapata hiyoAB 2AT 2kushotosqrtr_32 - O_3T2kulia 2sqrt142 - frac58272 frac 8sqrt3907na jibu ni mnp405. 