<prompt> Zan imeunda kanuni hii ya kujirudia kwa ajili ya kuzalisha mfuatano wa nambari nzima:1 Ikiwa nambari ni 25 au chini, nambari hiyo mara mbili.2 Ikiwa nambari ni kubwa kuliko 25, toa 12 kutoka kwayo.Acha F iwe nambari ya kwanza katika mlolongo unaotolewa na sheria iliyo hapo juu. F ni nambari tamu ikiwa 16 si neno katika mfuatano unaoanza na F. Ni ngapi kati ya nambari zote 1 hadi 50 ambazo ni nambari tamu?  <response>: Fikiria masalio ya nambari katika mojawapo ya mfuatano huu modulo 12. Hatua ya kwanza huongeza salio mara mbili, lakini hatua ya pili haibadilishi. Kwa hivyo, ikiwa kurudia mara mbili nambari ya modulo 12 haitoi 16 equiv 4, nambari 16 haiwezi kuwa neno katika mlolongo. Kwa upande mwingine, ikiwa kuna neno linalolingana na 4 mod 12 katika mlolongo, lazima iwe 4, 16, au nambari kubwa kuliko 25. Ikiwa ni 4, hatua mbili baadaye 16 zitakuwa katika mlolongo. Ikiwa ni 16, basi 16 iko kwenye mlolongo. Ikiwa ni kubwa kuliko 25, kisha kutoa 12 mara kwa mara hatimaye itatoa 16, nambari kubwa zaidi chini ya 25 ambayo inalingana na 4 modulo 12.Kwa hivyo, tunahitaji tu kupata salio modulo 12 hatimaye kutoa 4 wakati mara mbili modulo 12 kurudia. Tunaweza kuona kwa urahisi kwamba 1, 2, 4, na 8 zote zinatoa 4 modulo 12 hatimaye. Tunaweza pia kuona kwamba 3, 6, 9 na 0 zitaishia tu kwa 0 yaani, vizidishi vya 12 zikiongezwa maradufu modulo 12, na kwa hivyo hazitafikia 4 modulo 12. Hii inaacha 5, 7, 10, na 11 Kuongeza 11 kunatoa 22equiv10, 20equiv8, kwa hivyo 11 na 10 kufikia moduli 4 ya 12. Double 5 inatoa modulo 10 ya 12, na mara mbili 7 inatoa 2 modulo 12, hivyo hatimaye watafikia 4.Kwa hivyo, nambari tamu pekee zinalingana na 0, 3, 6, au 9 modulo 12, au kwa maneno mengine, zidishi za 3. Kuna 16 zidishi za 3 kati ya 1 na 50. 