<prompt> Vekta mathbfa na mathbfb inatosheleza mathbfa 3 na mathbfb 8. Pia, pembe kati ya vekta mathbfa na mathbfb ni 135circ. Find 2 mathbfa mathbfb 2.  <response>: Ninahitaji kupata urefu wa mraba wa vekta 2 mathbfa mathbfb. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia fomula ya bidhaa ya nukta: mathbfv2 mathbfv cdot mathbfv. Kwa hivyo ninahitaji kupata 2 mathbfa mathbfb cdot 2 mathbfa mathbfb . Ili kurahisisha usemi huu, ninaweza kutumia sifa ya usambazaji wa bidhaa ya nukta: 2 mathbfa mathbfb cdot 2 mathbfa mathbfb 4 mathbfa cdot mathbfa 4 mathbfa cdot mathbfb mathbfb cdot mathbfb. Pia najua kuwa mathbf a cdot mathbfa mathbfa2 na mathbfb cdot mathbfb mathbfb2. Kwa hivyo ninaweza kubadilisha maadili hayo na kupata: 4 mathbfa cdot mathbfa 4 mathbfa cdot mathbfb mathbfb cdot mathbfb 4 mathbfa2 4 mathbfa cdot mathbfb mathbfb2. Sasa ninahitaji tu kupata mathbf a cdot mathbfb. Nakumbuka kwamba mathbfa cdot mathbfb mathbfa mathbfb cos theta, ambapo theta ni pembe kati ya mathbfa na mathbfb. Ninachomeka thamani zilizotolewa za mathbfa, mathbfb, na theta na upate: mathbfa cdot mathbfb 3 cdot 8 cdot cos 135circ. Nakumbuka kwamba cos 135circ -fracsqrt22. Kwa hiyo mathbfa cdot mathbfb 3 cdot 8 cdot -fracsqrt 22 -12 sqrt2. Ninabadilisha hii katika usemi wa 2 mathbfa mathbfb2 na kupata: 2 mathbfa mathbfb2 4 cdot 9 4 cdot -12 sqrt2 64 36 - 48 sqrt2 64 100 - 48 sqrt2. 