<prompt> Thibitisha kwamba ikiwa G ni kundi la mpangilio p2, ambapo p ni mkuu, basi G lazima iwe abelian.  <response>: Wacha G iwe kikundi cha mpangilio p2, ambapo p ni kuu. Tutaonyesha kwamba G lazima iwe abelian.Kwanza, tunaona kwamba kituo cha Z G cha G hakiwezi kuwa kidogo yaani, haiwezi tu kuwa na kipengele cha utambulisho. Hii ni kwa sababu ikiwa ZG ingekuwa ndogo, basi kulingana na equation ya darasa, tungekuwa na:G ZG G:C_Gx,ambapo x huanzia kati ya seti ya wawakilishi wa tabaka za muungano wa vipengele visivyo vya kati na C_Gx inaashiria kiweka kati cha x katika G. Kwa kuwa kila neno katika upande wa kulia hugawanya G kwa nadharia ya Lagrange, na kwa kuwa Gp2, hii inamaanisha kwamba lazima kuwe na baadhi ya x vile G:C_Gx p. Lakini basi, C_Gx p, ambayo ina maana kwamba C_Gx ni kikundi cha kawaida cha G kwa kuwa faharasa yake ndiyo mgawanyiko mkuu zaidi G, ikikinzana na dhana kwamba ZG ni ndogo. Kwa hivyo, ZG lazima iwe isiyo na maana.Sasa, fikiria kesi mbili:Kesi ya 1: ZG p2Katika hali hii, kila kipengele cha G husafiri pamoja na kila kipengele kingine, kwa hivyo G ni abelian.Kesi ya 2: ZG ukKwa kuwa ZG ni kikundi kidogo cha G, tunaweza kuunda kikundi cha mgawo GZG, ambacho kina mpangilio p2p p. Kwa kuwa p ni mkuu, GZG ni mzunguko, sema imetolewa na kipengele gZG.Sasa acha x, y G. Kisha kuna nambari kamili m, n kiasi kwamba x gm na y gn kwa sababu g huzalisha GZG. Hivyo,xy gmgn gmn gnm gngm yx,ambayo inaonyesha kuwa G ni abelian. Katika hali zote mbili, tumeonyesha kwamba G lazima iwe abelian. 