<prompt> Kuna uwezekano gani kwamba uidhinishaji wa nasibu wa nambari kamili n chanya una nambari 1 na 2 ndani ya mzunguko sawa?  <response>: Jumla ya idadi ya vibali bila shaka ni n!. Badala yake tutahesabu idadi ya vibali ambavyo 1 na 2 ziko katika mizunguko tofauti. Ikiwa mzunguko ulio na 1 una urefu wa k, tunaweza kuchagua vipengele vingine k-1 katika leftanzaarray. cn-2 k-1endarraykulia njia kutoka kwa seti 3,4, ldets, n. Kuna k-1 ! vibali vya mviringo vya vipengele hivi, na n-k ! vibali vya vipengele vilivyosalia vya n-k. Kwa hivyo jumla ya idadi ya vibali ambavyo 1 na 2 ni vya mizunguko tofauti ni sawa na sum_k1n-1leftbeginarrayl n-2 k -1 mwishoarraykuliak-1 !n-k !n-2 ! jumla_k1n-1n-kn-2 ! fracnn-12fracn !2 . Inafuata kwamba nusu ya vibali vyote vina 1 na 2 katika mizunguko tofauti, na kwa hivyo nusu ina 1 na 2 katika mzunguko sawa. Uwezekano ni frac12. 