<prompt> Acha a na b ziwe pembe kiasi kwamba cos a cos b frac12 na sin a sin b frac311. Tafutatan kushoto fraca b2 kulia.  <response>: Shida hii inahusisha trigonometry, kwa hivyo nitajaribu kutumia vitambulisho na fomula za trigonometric kurahisisha misemo. Ninagundua kuwa misemo iliyotolewa inahusisha jumla ya kosini na sine za pembe mbili, kwa hivyo ninashangaa ikiwa ninaweza kutumia fomula za jumla-kwa-bidhaa kuziandika upya. Fomula za jumla kwa bidhaa ni cos a cos b 2 cos left fraca b2 kulia cos left fraca - b2 kulia na sin a sin b 2 dhambi kushoto fraca b2 kulia cos kushoto fraca - b2 kulia. Nikitumia fomula hizi, nitapata 2 cos left fraca b2 kulia cos left fraca - b2 kulia frac12 na 2 sin kushoto fraca b2 kulia cos left fraca - b2 kulia frac 311. Ninaweza kugawanya milinganyo hii miwili ili kuondoa kipengele cha kawaida cha 2 cos left fraca - b2 kulia na kupata fraccos left fraca b2 kuliasin left fraca b2 kulia frac12311 frac116. Hii ina maana kwamba cot left fraca b2 right frac116, na ninaweza kuchukua ulinganifu wa zote mbili. pande ili kupata tan left fraca b2 kulia frac611. 