<prompt> Tafuta sehemu ya kuwazia ya cos12circisin12circcos48circisin48circ6.  <response>: Ninagundua kuwa usemi ndani ya mabano ni jumla ya nambari mbili changamano katika umbo la polar. Nakumbuka kwamba umbo la polar la nambari changamano ni rcosthetaisintheta, ambapo r ni moduli na theta ni hoja. Pia ninakumbuka kwamba ili kuongeza nambari mbili changamano katika umbo la polar, ninaweza kutumia fomula r_1costheta_1isintheta_1r_2costheta_2isintheta_2r_1 costheta_1r_2costheta_2ir_1sintheta_1r_2sintheta_2. Nikitumia fomula hii kwa usemi ulio ndani ya mabano, napata cos12circ isin12circcos48circisin48circ cos12circcos48circisin12circsin48circ . Ninagundua kuwa hoja ya nambari hii changamano si dhahiri, kwa hivyo ninahitaji kutafuta njia ya kurahisisha sehemu halisi na za kuwaziwa. Nakumbuka kwamba kuna utambulisho wa trigonometric unaosema cosalphacosbeta2cosfracalphabeta2cosfracalpha-beta2. Ninatumia utambulisho huu kwenye sehemu halisi ya usemi, kwa kutumia alpha48circ na beta12circ. Ninapata cos12circcos48circ2cos30circcos18circ. Pia nakumbuka kwamba cos30circfracsqrt3 2, ili niweze kuandika cos12circcos48circsqrt3cos18circ. Ninafanya jambo kama hilo kwa sehemu ya kuwazia ya usemi, kwa kutumia utambulisho mwingine wa trigonometric unaosema sinalphasinbeta2sinfracalphabeta2cosfracalpha-beta2. Ninatumia hili utambulisho wa sehemu ya kuwazia ya usemi, kwa kutumia maadili sawa ya alpha na beta. Ninapata sin12circsin48circ2sin30circcos18circ. Pia nakumbuka kwamba sin30circfrac12 , ili niweze kuandika sin12circsin48circcos18circ. Sasa nimerahisisha usemi ulio ndani ya mabano hadi sqrt3cos18circ icos18circ. Ninaweza kubainisha cos18circ kutoka kwa masharti yote mawili na kupata cos18circsqrt3i. Sasa naweza kuona kwamba hii ni nambari changamano katika umbo la polar, ambapo moduli ni cos18circ na hoja ni fracpi6, kwani tanfrac pi6frac1sqrt3. Ninaweza kuandika hii kama cos18circcosfracpi6isinfracpi6. Ninahitaji kupata nguvu ya sita ya hili nambari changamano. Ninakumbuka kwamba ili kuongeza nambari changamano katika umbo la ncha ya dunia hadi nguvu, ninaweza kutumia fomula rcosthetaisinthetanrncos nthetai sin ntheta. Nikitumia fomula hii kwa usemi, napata cos18circcosfracpi6isinfracpi6 6 cos18circ6cospiisinpi. Najua kwamba cospi-1 na sinpi0, ili niweze kurahisisha hili zaidi kwa cos18circ6-1. Hiki ni kielezi cha mwisho cha nguvu ya sita ya nambari changamano asili. Nahitaji kupata sehemu ya kufikiria ya usemi huu, ambayo ni mgawo wa i. Ninaona kuwa hakuna i katika usemi, kwa hivyo sehemu ya kufikiria ni sifuri. 