<prompt> Ikiwa sin x sin y frac9665 na cos x cos y frac7265, basi thamani ya tan x ni nini tani y?  <response>: Tunajua kwamba tan x tan y fracsin xcos x fracsin ycos y. Tunaweza kuandika hii kama fracsin x cos y sin y cos xcos x cos y. Wacha tutumie ukweli kwamba sinalpha beta sin alpha cos beta cos alpha sin beta. Kwa hivyo sin x cos y sin y cos x sinxy. Hiyo ni sahihi. Kwa hivyo tan x tan y fracsinxycos x cos y. Kwa hivyo tan x tan y frac2sinxycosx-ycosxy Hebu tutumie taarifa iliyotolewa kutafuta thamani ya tan x tan y. Vile vile, tunatumia fomula ya jumla-kwa-bidhaa kwenye cos x cos y frac7265 kupata 2 cosfracxy2cos fracx-y2frac7265 Tukigawanya milinganyo hii miwili, tunapata tanfracxy2 frac43 . Kwa hivyo, fracxy2 tan-1frac43, hivyo xy2tan-1frac 43 Tunaweza kuunganisha hii kwenye usemi wetu kwa tan x tan y kupata tan x tan y frac2sin2tan-1 frac43cos2tan-1frac43cos2tan-1 frac43 Lakini tayari tumegundua kuwa xy2tan-1frac43. Kwa hivyo sasa tuna tan x tan y frac2sin2tan-1frac43cosx-ycos 2tan-1frac43 Hebu tutumie fomula ya pembe mbili kwa sine kwenye nambari. Fomula ya pembe mbili ya sine ni sin2theta2sinthetacostheta. Kwa hivyo ikiwa tutaruhusu thetatan-1frac43, tuna sin2tan-1frac43 2sintan-1frac43costan-1frac43. Tunatumia ukweli kwamba sintan-1frac43frac45 na costan-1 frac43frac35. Sawa. Kwa hivyo sasa tuna sin2tan-1frac432cdotfrac45cdotfrac35 . Hiyo ni sawa na frac2425. Sasa, hebu tutumie fomula ya pembe-mbili ya cosine kwenye denominator. Hii ni cos2thetacos2theta-sin2theta. Kwa hivyo sasa tuna cos2tan-1frac43frac352-frac452 . Kwa kurahisisha, tunapata cos2tan-1frac43frac925-frac1625. Kwa hivyo, cos2tan-1frac43-frac725. Kwa hivyo sasa tuna tan x tan y frac2frac2425cosx-y-frac725 Hii itafanya tupe sin x sin y2 cos x cos y2 frac962652 frac72265 2 Kurahisisha, hii inakuwa sin2 x 2 sin x sin y sin2 y cos2 x 2 cos x cos y cos2 y frac 962 722652 Lakini tunajua kwamba sin2 alpha cos2 alpha 1 kwa pembe yoyote alpha Sasa, tunatumia kitambulisho cos x-y cos x cos y sin x sin y. Hii ina maana kwamba 2 2cos x-y frac962 722652. Kisha tunaweza kutoa 2 kutoka pande zote mbili ili kupata 2cos x-y frac962 722652 - 2. Hatimaye, tunagawanya pande zote mbili kwa 2 ili kupata cos x-y frac962 7222 cdot 652 - 1. Kwa hivyo sasa tuna tan x tan y frac2frac2425frac119169-frac725 Sasa tunaweza kutatua kwa tan x tan y. Hii ni sawa na frac2frac2425frac119169-frac725. Sasa tunaweza kuongeza sehemu katika denominator. Nambari ni frac4825 Hivyo tan x tan y frac4825 div frac17924225. Sasa tunaweza kurahisisha kwa kuzidisha nambari na kipunguzo kwa 225 ili kupata tan x tan y frac48 cdot 22525 cdot 1792. Hilo ndilo jibu la mwisho. 