<prompt> Acha x_01 nax_n1frac32 x_n3x_n, quad n geqslant 0 .Pata kikomo x_inftylim _n rightarrow infty x_n.  <response>: Ni wazi, x_n geqslant 1 kwa n zote; kwa hivyo, ikiwa kikomo kipo, ni geqslant 1, na tunaweza kupita hadi kikomo katika uhusiano wa kujirudia kupatax_inftyfrac32 x_infty3x_infty text ; kwa maneno mengine, x_infty2x_infty-30. Kwa hivyo x_infty ndilo suluhu chanya la mlinganyo huu wa quadratic, yaani, x_inftyfrac12-1sqrt13.Ili kudhibitisha kuwa kikomo kipo, tunatumia uhusiano wa kujirudia kupataanzailiyopangwax_n1-x_n frac32 x_n3x_n-frac32 x_n-13x_ n-1 nfrac3kushotox_n-x_n-1kuliakushoto3x_nkuliakushoto3 x_n1kuliamwishoiliyopangwaKwa hivyo, leftx_n1-x_nkulia leqslant frac13leftx_n-x_n-1right. Iteration inatoakushotox_n1-x_nkulia leqslant 3-nleftx_1-x_0rightfrac13n cdot 4 .Mfululizo sum_n1inftyleftx_n1-x_nkulia, wa maneno chanya, hutawaliwa na mfululizo wa muunganisho frac1 4 sum_n1infty 3-n na hivyo huungana. Tuna sum_n1inftyleftx_n1-x_nrightlim x_n-x_1 na tumemaliza. 