<prompt> Hebux12 - 1 p_1x p_2x dotsm p_kx,ambapo kila polinomia isiyo ya kudumu p_ix ni monic yenye viambajengo kamili, na haiwezi kuhesabiwa zaidi. juu ya nambari kamili. Tafuta k.  <response>: Njia moja ya kufanya hivi ni kutumia ukweli kwamba x12 - 1 ni zao la polima zote za cyclotomic Phi_nx ambazo n ni kigawanyo cha 12. Polynomia za cyclotomic ni hufafanuliwa kama Phi_nx prod_ substack1 leq k leq n gcdk,n 1 x - zeta_nk, ambapo zeta_n ni mzizi wa awali wa n-th wa umoja. Polynomia chache za kwanza za cyclotomic ni Phi_1x x - 1, Phi_2x x 1, Phi_3x x2 x 1, Phi_4 x x2 1, Phi_6x x2 - x 1. Hizi zote haziwezi kupunguzwa kwa nambari kamili, kwa kuwa hazina mizizi ya busara na zina digrii zaidi ya 2. Vigawanyiko vya 12 ni 1, 2, 3, 4, 6, na 12. Kwa hivyo, x12 - 1 Phi_1x Phi_2x Phi_3x Phi_4x Phi_6x Phi_12x. Ili kupata Phi_12x, ninaweza kutumia fomula Phi_nx fracxn - 1prod_d mid n, d n Phi_d x. Kuchomeka n 12, napata Phi_12x fracx12 - 1x - 1x 1x2 x 1 x2 1x2 - x 1. Kwa kurahisisha, ninapata Phi_12x x4 - x2 1. Hii pia haiwezi kupunguzwa juu ya nambari kamili, kwa kuwa haina mizizi ya busara na haishiriki katika polimanomia mbili za quadratic zilizo na coefficients kamili. Kwa hivyo, x12 - 1 ina vipengele 6 visivyoweza kurekebishwa juu ya nambari kamili, na k 6. 