<prompt> Kwa kila nambari kamili n, acha n! iashiria bidhaa 1cdot 2cdot 3cdot,cdots,cdot n-1cdot n.Je, ni nini kinachosalia wakati 9! inagawanywa kwa 10?  <response>: Ninataka kupata salio wakati 9! inagawanywa kwa 10. Ningeweza kujaribu kukokotoa 9! na kisha kutumia mgawanyiko mrefu, lakini hiyo itakuwa ya kuchosha na kukabiliwa na makosa. Nashangaa ikiwa kuna njia ya haraka ya kupata iliyobaki bila kupata mgawo. Ninakumbuka kwamba salio la mgawanyiko ni sawa na salio la jumla au tofauti ya vizidishi vyovyote vya kigawanyiko. Kwa mfano, salio wakati 17 imegawanywa na 5 ni sawa na salio wakati 12 au 22 inagawanywa na 5, kwa sababu 17 12 5 22 - 5. Hii inamaanisha kuwa ninaweza kutoa au kuongeza kizidishio chochote cha 10 kutoka 9! na bado nipate salio sawa. Pia ninakumbuka kwamba tarakimu ya mwisho ya bidhaa inategemea tu tarakimu za mwisho za mambo. Kwa mfano, tarakimu ya mwisho ya 37cdot 89 ni sawa na tarakimu ya mwisho ya 7cdot 9, ambayo ni 3. Hii inamaanisha kuwa ninaweza kupuuza tarakimu zote za 9! isipokuwa ya mwisho, na bado nipate salio sawa. Kwa hivyo, ninaweza kuzingatia kutafuta tarakimu ya mwisho ya 9!. Ninagundua kuwa tarakimu za mwisho za viambajengo vya nambari kamili chache za kwanza zinaunda muundo: 1! 1, 2! 2, 3! 6, 4! 24, 5! 120, 6! 720, 7! 5040, 8! 40320, 9! 362880. Nambari za mwisho ni 1, 2, 6, 4, 0, 0, 0, 0, 0, dots. Mchoro unaonekana kuwa tarakimu ya mwisho ni nonzero kwa n leq 4, na kisha ni sifuri kwa n geq 5. Hii inaeleweka, kwa sababu mara moja n geq 5, bidhaa n! ina kipengele cha 5, ambayo hufanya tarakimu ya mwisho kuwa sifuri bila kujali vipengele vingine. Kwa hiyo, tarakimu ya mwisho ya 9! ni sifuri, na salio wakati 9! imegawanywa na 10 pia ni sifuri. 