<prompt> Katika pembetatu yenye urefu wa upande 5, 6 na x, ni jumla gani ya thamani zote muhimu zinazowezekana za x?  <response>: Ninajua kuwa katika pembetatu yoyote, jumla ya pande zote mbili lazima iwe kubwa kuliko upande wa tatu. Hii inaitwa nadharia ya usawa wa pembetatu. Kwa hivyo, kwa pembetatu hii, nina tofauti tatu ambazo ni lazima zishike: 5 6 x, 5 x 6, na 6 x 5. Kwa kurahisisha ukosefu huu wa usawa, ninapata x 11, x 1, na x -1. Kwa kuwa x lazima iwe nambari kamili, thamani zinazowezekana za x ni 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, na 10. Ninaona kwamba thamani zimepangwa kwa usawa, na tofauti ya kawaida. ya 1, na kuna maadili 9 kwa jumla. Hii inamaanisha kuwa maadili huunda mfuatano wa hesabu, na ninaweza kutumia fomula kwa jumla ya mfululizo wa hesabu. Fomula ni S_n fracn2a_1 a_n, ambapo n ni idadi ya masharti, a_1 ni muhula wa kwanza, na a_n ni muhula wa mwisho. Katika kesi hii, n 9, a_1 2, na a_n 10. Kwa hivyo, nikichomeka thamani hizi kwenye fomula, ninapata S_9 frac922 10 frac9212 54. 