<prompt> Tufe imeandikwa katika mchemraba, na mchemraba una eneo la mita 24 za mraba. Mchemraba wa pili kisha umeandikwa ndani ya tufe. Ni eneo gani la uso katika mita za mraba za mchemraba wa ndani?  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kuhusisha eneo la uso wa mchemraba na radius ya tufe na kisha radius ya tufe na urefu wa makali ya mchemraba wa ndani. Wacha tuanze na mchemraba wa nje. Ina eneo la mita za mraba 24, ambayo ina maana kwamba kila uso una eneo la 246 4 mita za mraba. Urefu wa makali ya mchemraba wa nje basi ni mzizi wa mraba wa 4, ambayo ni mita 2. Tufe imeandikwa katika mchemraba, hivyo kipenyo chake ni sawa na urefu wa makali ya mchemraba. Hiyo inamaanisha kuwa eneo la duara ni nusu ya hiyo, ambayo ni mita 1. Sasa, mchemraba wa ndani umeandikwa katika nyanja, hivyo diagonal yake ndefu zaidi ni sawa na kipenyo cha nyanja. Ulalo mrefu zaidi wa mchemraba ni mzizi wa mraba wa urefu wa mara 3 wa kingo, kwa hivyo ninaweza kuweka mlinganyo: sqrt3 x 2, ambapo x ni urefu wa ukingo wa mchemraba wa ndani. Kutatua kwa x, napata x 2 sqrt3, ambayo ninaweza kusawazisha kwa kuzidisha nambari na dhehebu kwa sqrt3. Hiyo inanipa x 2 sqrt 3 3. Eneo la uso wa mchemraba wa ndani ni mara 6 eneo la uso mmoja, ambao ni x mraba. Kwa hivyo, eneo la uso ni 6 2 sqrt3 32. Kurahisisha, ninapata 6 4 39, ambayo ni mita 8 za mraba. 