<prompt> tuseme uarctan fracyx, ni nambari gani ya fracpartial2 upartial x2fracpartial2 upartial y2?Nadharia Husika: Opereta wa Laplace, pia anajulikana kama Laplacian, ni opereta wa mpangilio wa pili anayetumika sana katika uchanganuzi wa hisabati, haswa katika nyanja za fizikia na uhandisi. Inaashiriwa na ishara 2 au Δ na inafafanuliwa kama mseto wa kipenyo cha kitendakazi cha scalar.Katika kuratibu za Cartesian, opereta wa Laplace kwa kitendakazi cha scalar fx, y, z kinatolewa na:2f Δf 2fx2 2fy2 2fz2ambapo 2fx2, 2fy2, na 2fz2 ni viasili vya sehemu ya mpangilio wa pili wa chaguo za kukokotoa f kuhusiana na x, y, na z, mtawalia.Opereta ya Laplace ina jukumu muhimu katika maeneo mengi ya hisabati na matumizi yake, ikiwa ni pamoja na nadharia inayoweza kutokea, utendakazi wa usawa, upitishaji joto, uenezi wa mawimbi, na mienendo ya maji. Pia ni msingi wa mlinganyo wa Laplace na mlinganyo wa Poisson, ambao ni muhimu katika kutatua matatizo mbalimbali ya thamani ya mipaka.Katika calculus ya vekta, opereta wa Laplace pia anaweza kutumika kwa sehemu za vekta, na kusababisha Laplacian ya vekta. Opereta huyu ni muhimu katika uchunguzi wa sumaku-umeme, mienendo ya maji, na maeneo mengine yanayohusisha sehemu za vekta.  <response>: 0.0 