<prompt> Safu ya pembetatu ya miraba ina mraba mmoja katika safu ya kwanza, mbili kwa pili, na kwa ujumla, miraba k katika safu ya kth kwa 1 leq k leq 11. Isipokuwa safumlalo ya chini. , kila mraba hutegemea miraba miwili kwenye safu mara moja hapa chini iliyoonyeshwa kwenye mchoro uliotolewa. Katika kila mraba wa safu ya kumi na moja, 0 au 1 imewekwa. Nambari kisha huwekwa kwenye miraba mingine, huku kiingilio cha kila mraba kikiwa jumla ya maingizo katika miraba miwili iliyo chini yake. Je, ni kwa usambazaji ngapi wa awali wa 0s na 1s katika safu mlalo ya chini ambapo nambari iliyo katika mraba wa juu ni kizidisho cha 3?asy kwa int i0; i12; i kwa int j0; j  <response>: Weka alama kwenye kila miraba ya chini kama x_0, x_1 lddots x_9, x_10.Kupitia utangulizi, tunaweza kupata kwamba mraba wa juu ni sawa na 10choose0x_0 10choose1x_1 10choose2x_2 ldots 10choose10x_10. Hii pia inaleta mantiki kwa msingi wa hoja ya mchanganyiko: idadi ya njia ambazo nambari inaweza kusafiri hadi nafasi ya juu kwenda juu tu ni sawa na idadi ya mara ambayo itahesabiwa katika jumla ya mwisho.Chunguza mlinganyo mod 3. Vigawo vyote kutoka x_2 ldets x_8 vitakuwa vizidishi vya 3 kwa kuwa nambari itakuwa na 9. Kwa hivyo, usemi unapungua hadi x_0 10x_1 10x_9 x_10 equiv 0 mod 3. Punguza ili upate kuwa x_0 x_1 x_9 x_10 sawa na 0 mod 3. Kati ya x_0, x_1, x_9, x_10, zote ni sawa na 0, au tatu kati yazo ni sawa na 1. Hii inatoa 4choose0 4choose3 1 4 5 iwezekanavyo michanganyiko ya nambari zinazofanya kazi.Masharti saba kutoka x_2 lddots x_8 yanaweza kuchukua 0 au 1, na kutupa 27 uwezekano. Kwa hivyo jibu ni 5 cdot 27 640. 