<prompt> Mfuatano usio na kikomo Ss_1,s_2,s_3,ldets umefafanuliwa kwa s_17 na s_n7s_n-1 kwa kila nambari n1 . Je, ni nini kinachosalia wakati s_100 inagawanywa kwa 5?  <response>: Tatizo hili linahusisha mfuatano unaojirudia na hesabu za moduli. Ninajua kuwa salio wakati 7 imegawanywa na 5 ni 2, kwa hivyo s_1 equiv 2 pmod 5. Ninajua pia kuwa salio wakati 7k inagawanywa na 5 inategemea thamani ya k modulo 4. Hii ni kwa sababu 74 equiv 1 pmod 5, kwa hivyo nguvu za 7 hurudia kila muhula nne. Ili kupata s_100 modulo 5, ninahitaji kupata s_99 modulo 4, kwani s_100 7s_99. Vile vile, ili kupata s_99 modulo 4, ninahitaji kupata s_98 modulo 4, na kadhalika. Hii inamaanisha ninahitaji kuangalia mlolongo wa s_n modulo 4 na kuona ikiwa kuna muundo. Ninagundua kuwa s_1 equiv 3 pmod 4, na s_2 73 equiv 3 pmod 4 pia. Hii inapendekeza kwamba s_n equiv 3 pmod : forall n in mathbbN. Ili kudhibitisha hili, naweza kutumia induction. Tuseme s_k equiv 3 pmod 4 kwa nambari chanya k. Kisha s_k1 7s_k equiv 73 equiv 3 pmod 4, kwa hoja sawa na hapo awali. Hii inakamilisha uingizaji, na inaonyesha kuwa s_n equiv 3 pmod 4 kwa nambari zote chanya n. Kwa hivyo, s_99 equiv 3 pmod 4, na s_100 7s_99 equiv 73 equiv 3 pmod 5. Salio wakati s_100 inagawanywa kwa 5 ni 3. 