<prompt> Ubao wa 7mara 1 umefunikwa kabisa na vigae vya mtimes 1 bila mwingiliano; kila tile inaweza kufunika idadi yoyote ya mraba mfululizo, na kila tile iko kabisa kwenye ubao. Kila tile ni nyekundu, bluu, au kijani. Acha N iwe nambari ya kuweka tiles kwenye ubao wa 7mara 1 ambapo rangi zote tatu zinatumika angalau mara moja. Kwa mfano, kigae nyekundu cha 1mara 1 kikifuatiwa na kigae cha kijani cha 2mara 1, kigae cha kijani kibichi 1mara 1, kigae cha 2mara 1 cha bluu, na kigae cha kijani cha 1mara 1 kuweka tiles halali. Kumbuka kwamba ikiwa kigae cha 2mara 1 cha bluu kitabadilishwa na vigae viwili vya samawati 1mara 1, hii itasababisha kuweka tiles tofauti. Tafuta salio wakati N imegawanywa kwa 1000.  <response>: Kwanza, tunazingatia ni njia ngapi tofauti zinazowezekana za kugawanya ubao wa 7mara 1. Tunapuuza kesi za vipande 1 au 2 kwa kuwa tunahitaji angalau tile moja ya kila rangi.Vipande vitatu: 511, 421, 412, n.k, dbinom62njia 15 kwa jumla tumia nyota na pau hapaVipande vinne: dbinom6320Vipande vitano: dbinom6415Vipande sita: dbinom656Vipande saba: dbinom661Pili, tunatumia Kanuni ya Kujumuisha-Kutengwa kuzingatia ni njia ngapi za kuzipaka rangi:Vipande vitatu: 33-3mara 2336Vipande vinne: 34-3mara 24336Vipande vitano: 35-3mara 253150Vipande sita: 36-3mara 263540Vipande saba: 37-3mara 2731806Hatimaye, tunaziunganisha pamoja: 15mara 620mara 3615mara 1506mara 5401mara 1806 8106.Kwa hivyo jibu ni 106. 