<prompt> Kiini cha duaradufu fracx216 fracy2b2 1 na lengo la hyperbolafracx2144 - fracy281 frac125sanjari. Tafuta b2.  <response>: Ninajua kuwa foci ya duaradufu iko kwenye mhimili mkuu, ambao ni mrefu zaidi, na umbali kutoka katikati hadi kila lengo ni c, ambapo c2 a2 - b2, ambapo a na b ni shoka nusu kuu na nusu ndogo, mtawalia. Vile vile, foci ya hyperbola iko kwenye mhimili wa kuvuka, ambayo ni moja ambayo ina wima, na umbali kutoka katikati hadi kila lengo ni c , ambapo c2 a2 b2 , ambapo a na b ni shoka nusu-transverse na nusu-conjugate, mtawalia. Katika visa vyote viwili, kituo ndicho asili, kwa kuwa milinganyo ni ya ulinganifu kuhusu x na y. Kwa hivyo, ikiwa foci inalingana, hiyo inamaanisha kuwa thamani za c ni sawa kwa curve zote mbili. Kwa duaradufu, a2 16 na b2 haijulikani, kwa hivyo c2 16 - b2. Kwa hyperbola, a2 frac14425 na b2 frac8125, hivyo c2 frac14425 frac8125 frac22525 9. Kwa hiyo, 16 - b 2 9 , na kutatua kwa b 2 , ninapata b 2 16 - 9 7 . 