<prompt> Acha m iwe nambari chanya, na a_0, a_1, dots , a_m iwe mfuatano wa nambari halisi kama vile a_0 37, a_1 72, a_m0, na a_k1 a_k-1 - frac3a_k kwa k 1,2, vitone, m-1. Tafuta m.  <response>: Kwa hivyo tunaona kwamba mfuatano unaanza na 37 na kuishia na 0. Sawa, na tunataka kupata idadi ya maneno kati ya 37 na 0. Hebu tuunganishe nambari fulani na tuone ikiwa tutagundua chochote. Tunaweza kuanza kwa kuunganisha 37, kisha 72, kisha... Subiri! Hebu tuchomeke 0 kwanza. Sawa. Kwa hivyo ikiwa tutachomeka 0 kwa a_k1, basi tuna a_k-1 - frac3a_k0. Kisha tuna a_k-1frac3a_k. Hiyo inaleta maana. Kwa hivyo tuna a_m-2frac3a_m-1. Kwa hivyo tuna a_m-1a_m-3-frac3a_m-2. Na tunatafuta a_m-3. Kwa hivyo tuna a_m-3frac3a_m-2frac3a_m-1. Kwa hivyo a_m-3frac6a_m-2. Kisha tunabadilisha usemi kuwa a_m-2frac6a_m-3. Na tunaona kwamba tunaweza kuendelea kurudi nyuma katika mlolongo. Na tunapata a_m-4 - frac3a_m-3frac6a_m-3. Kwa hivyo a_m-4frac9a_m-3. Na tunaweza kuendelea. Subiri! Tunaona kwamba nambari daima ni 3 kubwa kuliko nambari ya neno lililotangulia katika mfuatano. Tunaweza kutumia uthibitisho kwa introduktionsutbildning. Tuna kesi yetu ya msingi k 1. Na kesi yetu ya msingi ni a_m-1 frac3a_m-2, ambayo ni kweli. Sasa tunadhania kuwa a_m-k frac3ka_m-k-1 ni kweli kwa baadhi ya k i. Kwa hivyo tunataka kuthibitisha kuwa a_m-i-1 frac3i1a_m-i-2. Tunaweza kufanya hivyo kwa kudhibiti usemi tuliodhania kuwa wa kweli. Tunapata a_m-i-2 - frac3a_m-i-1frac3ka_m-i-1. Iwapo tumerahisisha kupata a_m-i-2 frac3ka_m-i-1 frac3a_m-i-1. Na tuliweka k1i1, hivyo a_m-i-2frac3i1a_m-i-1. Kwa hivyo uthibitisho wetu wa utangulizi umekamilika. Kisha tuna hiyo a_1 frac3m-1a_0. Tukibadilisha a_0 37 na a_1 72, tuna 72 frac3m-137. Hii hurahisisha hadi 2664 3m-3. Kwa hiyo m-1 888. Na m 889. 