<prompt> Ikiwa sum_n 0inftycos2ntheta 5, ni thamani gani ya cos2theta?  <response>: Ninatambua hii kama mfululizo wa kijiometri usio na kipimo, ambapo muhula wa kwanza ni cos0theta 1 na uwiano wa kawaida ni cos2theta. Nakumbuka kwamba jumla ya mfululizo usio na kikomo wa kijiometri ni fraca1 - r, ambapo a ni muhula wa kwanza na r ni uwiano wa kawaida. Kwa hivyo, katika kesi hii, nina frac11 - cos2theta 5, ambayo ninaweza kurahisisha kwa kuzidisha pande zote mbili kwa 1 - cos2theta. Hii inanipa 1 51 - cos2theta, au 5cos2theta 4. Sasa, ninataka kupata cos2theta, na ninakumbuka fomula ya pembe mbili ya cosine: cos2theta 2cos2theta - 1. Ninaweza kubadilisha 5cos2theta 4 kwenye fomula hii na kupata cos2theta 2frac45 - 1 frac35 . 