<prompt> Amua radius ya muunganisho wa mfululizo wa nishati n xnn! kutoka n1 hadi infinity.  <response>: Ili kupata radius ya muunganisho, tunaweza kutumia kipimo cha uwiano. Jaribio la uwiano linasema kwamba ikiwa lim n a_n1a_n L, kisha mfululizo huungana wakati L 1 na kutofautiana wakati L 1.Katika hali hii, a_n yetu inatolewa na n xnn!. Kwa hiyo,a_n1 n 1 xn1n1!a_n n xnn!Sasa hebu tuhesabu kikomo:lim n a_n1a_n lim n n 1 xn1n1! n xnn! lim n n 1 x nKwa kuwa x ni mara kwa mara kwa heshima na n, tunaweza kuiondoa nje ya kikomo:x lim n n 1 nKikomo kinatathminiwa hadi 1:x 1 xKwa hivyo, ili mfululizo uungane, tunahitaji x 1. Kwa hivyo, radius ya muunganisho ni 1. 