<prompt> Tafuta idadi ya chaguo za kukokotoa f : mathbbR to mathbbR ilifx y fx - y fx fy2 - 4x2 fykwa nambari zote halisi x na y.  <response>: Kuweka x y 0, tunapataf02 4f02.Kisha f02 0, hivyo f0 0.Kuweka x y, tunapata4fx2 - 4x2 fx 0,hivyo fx fx - x2 0. Hii inatuambia kwamba kwa kila thamani ya x, ama fx 0 au fx x2. Kumbuka kwamba haituambii kwamba ama fx 0 kwa x, au zote fx x2 kwa x. zoteTunaweza kuangalia kwa urahisi kuwa fx x2 inakidhi mlinganyo wa utendaji uliotolewa. Vinginevyo, kuna nambari halisi isiyo ya kawaida a kiasi kwamba fa 0. Kuweka y a, tunapatafx a fx - a fx2kwa x. zote tuseme kuna nambari halisi b kiasi kwamba fb neq 0. Kisha fb b2. Kubadilisha x b kwenye equation hapo juu, tunapatafb a fb - a fb2 b4.Kwa kuwa fb b2 neq 0, zote fb a na fb - a lazima ziwe zisizo. Kwa hivyo, fb a b a2 na fb - a b - a2, nab a2 b - a2 b4.Tunapanua, tunapata a4 - 2a2 b2 b4 b4, hivyo a4 - 2a2 b2 0. Kisha a2 a2 - 2b2 0. Kwa kuwa a ni nonzero, a2 2b2, ambayo inaongoza kwa b pm fraca sqrt2.Hii inatuambia kwamba ikiwa kuna nambari halisi isiyo ya kawaida a kiasi kwamba fa 0, basi thamani pekee zinazowezekana za x vile fx neq 0 ni x pm fracasqrt2. Ni lazima tuwe na hiyo fx 0 kwa thamani zingine zote za x. Kisha tunaweza kuchagua thamani tofauti ya a ili fa 0, ambayo inaongoza kwa fx 0 kwa x zote isipokuwa x pm fracasqrt2. Hii inalazimisha fx 0 kwa x zote, ambayo inatosheleza kwa urahisi mlinganyo wa utendaji uliotolewa.Kwa hivyo, kuna vitendaji vya 2 pekee vinavyofanya kazi, yaani fx 0 na fx x2. 