<prompt> Heksagoni iliyoandikwa kwenye mduara ina pande tatu mfululizo, kila moja ya urefu wa 3, na pande tatu mfululizo, kila moja ya urefu wa 5. Chord ya duara inayogawanya hexagon katika trapezoids mbili, moja na pande tatu, kila moja ya urefu wa 3, na. nyingine yenye pande tatu, kila moja ya urefu wa 5, ina urefu sawa na mn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya. Tafuta m n.  <response>: Katika heksagoni ABCDEF, acha ABBCCD3 na uruhusu DEEFFA5. Kwa kuwa arc BAF ni theluthi moja ya mduara wa duara, inafuata kwamba angle BCF angle BEF60circ. Vile vile, angle CBE angle CFE60circ. Acha P iwe makutano ya overlineBE na overlineCF, Q ile ya overlineBE na overlineAD, na R hiyo ya overlineCF na overlineAD. Pembetatu EFP na BCP ni za usawa, na kwa ulinganifu, pembetatu PQR ni isosceles na hivyo pia ni sawa. asykuagiza olympiad; kuagiza jiometri; ukubwa 150; defaultpenlinewidth0.8;angleUnit halisi 15;choraMduaraasili,1;jozi D dir 22.5;jozi C dir 3 angleUnit digrii D;jozi B dir 3 angleUnit digrii C;jozi A dir 3 angleUnit digrii B;jozi F dir 5 angleUnit digrii A;jozi E dir 5 angleUnit digrii F;kuchoraA--B--C--D--E--F--mzunguko;nuktaA,A,A; nuktaB,B,B; nuktaC,C,C; nuktaD,D,D; nuktaE,E,E; nuktaF,F,F;choraA--DB--EC--F;lebo3,D--C,SW; lebo3,B--C,S; lebo3,A--B,SE; lebo5,A--F,NE; lebo5,F--E,N; lebo5,D--E,NW;asyZaidi ya hayo, angle BAD na angle BED hupunguza safu sawa, kama angle ABE na angle ADE. Kwa hivyo pembetatu ABQ na EDQ zinafanana. Kwa hivyo, fracAQEQfracBQDQfracABEDfrac35. Inafuata kwamba frac fracAD-PQ2PQ5 frac35quadmbox naquad frac3-PQfracADPQ2frac35. Kutatua milinganyo miwili kwa wakati mmoja inatoa AD36049 , hivyo mn409. 