<prompt> Amua eigenvalues na eigenveekta za matrix 2, 1, 1, 2.  <response>: Kwanza tunapata eigenvalues kwa kutatua equation ya tabia detA - lambda I 0, ambapo A ndio matrix iliyotolewa na I ni matrix ya utambulisho. Kiamuzi cha A - lambda I nianzavmatrix 2-lambda 1 1 2-lambda mwishovmatrix 2-lambda2 - 12 lambda-3lambda- 1.Hivyo, thamani eigen ni lambda_11 na lambda_23.Sasa tunapata eigenveekta zinazolingana na kila eigenvalue:Kwa lambda_1 1, tunahitaji kutatua A - Iv 0. Hii inatupa mfumo wa milinganyoanzaalignv_1 v_2 0, v_1 v_2 0.endalignTunaweza kuchukua v_1 1 na v_2 -1, kwa hivyo eigenvector moja ya lambda_1 1 ni mathbfv_1 beginpmatrix 1 - 1 mwishopmatrix.Kwa lambda_2 3, tunahitaji kutatua A - 3Iv 0. Hii inatupa mfumo wa milinganyoanzaalign-v_1 v_2 0, v_1 - v_2 0.endalignTunaweza kuchukua v_1 1 na v_2 1, kwa hivyo eigenvector moja ya lambda_2 3 ni mathbfv_2 beginpmatrix 1 1 mwishopmatrix.Kwa hivyo, eigenvalues ni lambda_1 1 na lambda_2 3, na eigenveekta sambamba mathbfv_1 beginpmatrix 1 -1 endpmatrix na mathbf v_2 anzapmatrix 1 1 mwishopmatrix. 