<prompt> Ni thamani gani ndogo kabisa inayowezekana ya jumla lvert x 2rvert lvert x 4rvert lvert x 5rvert?  <response>: Ninagundua kuwa jumla inahusisha maadili kamili ya maneno matatu ya mstari wa x. Hii inamaanisha kuwa jumla itakuwa mstari wa vipande vipande, na itabadilisha mteremko wake wakati wowote moja ya misemo iliyo ndani ya alama za thamani kabisa inabadilisha ishara yake. Ili kupata dhamana ndogo kabisa ya jumla, ninahitaji kutambua alama ambazo mteremko hubadilika na kulinganisha maadili ya jumla katika nukta hizo. Semi zilizo ndani ya alama za thamani kabisa hubadilisha ishara zao wakati x -2, -4, na -5. Kwa hivyo nitachomeka maadili haya ya x kwenye jumla na kuona kile ninachopata. Wakati x -2, jumla ni lvert -2 2rvert lvert -2 4rvert lvert -2 5rvert 0 2 3 5. Wakati x -4, jumla ni lvert -4 2rvert lvert -4 4rvert lvert -4 5rvert 2 0 1 3. Wakati x -5, jumla ni lvert -5 2rvert lvert -5 4rvert lvert -5 5rvert 3 1 0 4. Kufikia sasa, thamani ndogo zaidi ya jumla ni 3, wakati x -4. Lakini pia ninahitaji kuangalia maadili ya jumla wakati x ni chini ya -5 au kubwa kuliko -2, kwani mteremko unaweza kuwa unapungua kwa vipindi hivyo. Wakati x ni chini ya -5, jumla ni -x - 2 -x - 4 -x - 5 -3x - 11, ambayo ni utendaji unaopungua wa mstari wa x. Kwa hivyo jumla itakuwa kubwa kuliko 4 kwa x yoyote chini ya -5. Wakati x ni kubwa kuliko -2, jumla ni x 2 x 4 x 5 3x 11, ambayo ni chaguo la kukokotoa la mstari wa x. Kwa hivyo jumla itakuwa kubwa kuliko 5 kwa x yoyote kubwa kuliko -2. Kwa hivyo, thamani ndogo kabisa ya jumla hutokea wakati x -4, na ni 3. 