<prompt> Pembetatu ABC ina inradius ya 5 na mzunguko wa 16. Ikiwa 2cosB cosA cosC, basi eneo la pembetatu ABC linaweza kuonyeshwa kama fracasqrtbc, ambapo a, b, na c ni nambari kamili chanya kiasi kwamba a na c ni za hali ya juu na b hazigawanyiki kwa mraba wa mkuu wowote. Kokotoa abc.  <response>: Kwa kutumia kitambulisho cos A cos B cos C 1fracrR, tuna hiyo cos A cos B cos C frac2121 16. Kuanzia hapa, tukichanganya hii na 2cos B cos A cos C, tunayo cos B frac716 na sin B frac3sqrt 2316. Kwa kuwa sin B fracb2R, tuna hiyo b 6sqrt23. Kwa Sheria ya Cosines, tunayo kwamba:b2 a2 c2-2accdot cos B inamaanisha a2c2-frac7ac8 36 cdot 23.Lakini jambo moja zaidi: kutambua kwamba cos A fracb2c2-a22cb. na cos C fraca2b2-c22ab, tunajua kwamba frac36 cdot 23 b2c2-a2 bc frac36 cdot 23a2b2-c2ab frac74 inamaanisha frac36 cdot 23 c 2-a2c frac36 cdot 23 a2-c2a frac21sqrt232 inamaanisha frac ac36 cdot 23 2ac-c2-a2ac frac21sqrt232. Kwa kuchanganya hili na ukweli kwamba a2c2 - frac7ac8 36 cdot 23, tunayo: fracac-2ac cdot frac 7162acac frac21sqrt232 implies ac frac28 sqrt233. Kwa hivyo, s, nusu ya mzunguko wetu ni frac23sqrt233. Eneo letu, r cdot s ni sawa na frac115sqrt233, na kutupa jibu la mwisho la 141. 