<prompt> Tafuta nambari zote halisi k kiasi kwamba x4kx3x24kx160 ni kweli kwa nambari moja halisi x r. Weka thamani zote zinazowezekana za k, zikitenganishwa na koma.  <response>: Kwa kuwa mgawo ni halisi, mizizi isiyo halisi lazima iwe na jozi za kuunganisha. Kwa hivyo, ikiwa kuna mzizi mmoja tu ambao ni mzizi, wingi wake lazima uwe 2 au 4.Ikiwa msururu wa r ni 4, basi r lazima iwe 2 au -2, kwa hivyo quartic lazima iwe x - 24 au x 24. Sisi inaweza kuangalia kuwa hakuna kati ya hizi zinazolingana na fomu iliyotolewa.Kwa hivyo, quartic lazima iwe ya umbo x - r2 x2 bx c, ambapo b2 - 4c 0. Kupanua, tunapatax4 b - 2r x3 r2 - 2br c x2 br2 - 2cr x cr2 x4 kx3 x 2 4kx 16.Tunapata vigawo vinavyolinganaanzaalignb - 2r k, r2 - 2br c 1, br2 - 2cr 4k, cr2 16.endalignKisha c frac16r2. Inalinganisha b - 2r k na br2 - 2cr 4k, tunapata4b - 8r br2 - frac32r.Kisha 4br - 8r2 br3 - 32, hivyo br3 8r2 - 4br - 32 0. Mlinganyo huu unazingatia kamar - 2r 2br 8 0.Ikiwa br 8 0, basi b -frac8r, nab2 - 4c frac64r2 - 4 cdot frac16r2 0,kwa hivyo kesi hii haiwezekani. Kwa hiyo, ama r 2 au r -2.Ikiwa r 2, basi c 4, b frac74, na k -frac94, na quartic inakuwax4 - frac94 x3 x2 - 9x 16 x - 22 kushoto x2 frac74 x 4 kulia.Ikiwa r 2, basi c 4, b -frac74, na k frac94, na quartic inakuwax4 frac94 x3 x2 9x 16 x 22 kushoto x2 - frac74 x 4 kulia.Kwa hivyo, thamani zinazowezekana za k ni frac94, -frac94. 