<prompt> Ikiwa 0 le theta le 4 pi, itapata thamani zote za theta ambazo zinakidhilog_frac12 sin 2 theta sin theta frac12.Ingiza suluhu zote, zikitenganishwa na koma.  <response>: Kutoka kwa equation iliyotolewa,kushoto frac12 sin 2 theta kuliafrac12 sin theta.Kuweka pande zote mbili, tunapatafrac12 sin 2 theta sin2 theta.Kisha sin theta cos theta sin2 theta, hivyosin theta cos theta - sin2 theta sin theta sin theta - cos theta 0.Hivyo, sin theta 0 au sin theta cos theta.Ikiwa sin theta 0, basi frac12 sin 2 theta 0, ambayo hairuhusiwi kama msingi wa logariti.Vinginevyo, sin theta cos theta. Kisha tan theta 1. Masuluhisho ya mlingano huu ni fracpi4, frac5 pi 4, frac9 pi4, na frac13 pi4. Lakini sin theta lazima iwe chanya, ili kuchukua logariti ya yake, kwa hivyo suluhu pekee ni fracpi4, frac9 pi4. 