<prompt> Ni kwa njia ngapi unaweza kuchagua vitabu 3 kutoka kwa rafu iliyo na vitabu 7 vya hesabu, vitabu 5 vya fizikia, na vitabu 4 vya kemia ikiwa angalau kitabu kimoja lazima kiwe kitabu cha hesabu?  <response>: Kwanza, hebu tuhesabu idadi ya jumla ya njia za kuchagua vitabu vyovyote 3 bila vikwazo. Kuna vitabu 16 kwa jumla 7 hisabati 5 fizikia 4 kemia. Tunaweza kutumia formula ya mchanganyiko:Cn, k n! k!n-k!ambapo n ni jumla ya idadi ya vitu na k ni idadi ya vitu vya kuchagua.Jumla ya mchanganyiko C 16, 3 16! 3!16-3! 560Sasa hebu tuhesabu idadi ya njia za kuchagua vitabu 3 bila kitabu chochote cha hesabu. Hii inamaanisha tunachagua kutoka kwa vitabu 9 5 fizikia 4 kemia.Mchanganyiko bila kitabu cha hesabu C 9, 3 9! 3!9-3! 84Ili kupata idadi ya njia za kuchagua vitabu 3 na angalau kitabu kimoja cha hesabu, tunaondoa michanganyiko bila kitabu cha hesabu kutoka kwa jumla ya michanganyiko:Mchanganyiko na angalau kitabu kimoja cha hesabu Jumla ya mchanganyiko - Mchanganyiko bila kitabu cha hesabu 560 - 84 476Kuna njia 476 tofauti za kuchagua vitabu 3 na angalau kitabu kimoja cha hesabu. 