<prompt> Kwa kuzingatia utendakazi unaoendelea fx kwenye muda 0, 1 unaokidhi masharti ya mpaka f0 f1 0, tumia mbinu ya mgawanyo wa vigeu kutatua mlinganyo wa sehemu tofauti: ut k 2ux2Toa hoja za hatua kwa hatua na ueleze njia yako.  <response>: Ili kutatua equation ya utofautishaji wa sehemu PDE kwa kutumia mgawanyo wa vigeu, tunadhania kuwa suluhisho ux,t linaweza kuandikwa kama bidhaa ya kazi mbili, moja kutegemea x na nyingine kutegemea tu t. Hiyo ni,ux,t XxTtSasa wacha tubadilishe hii kwenye PDE:ut k 2ux2Kutofautisha kwa t na x mtawaliwa, tunapata:XxdTdt k Ttd2Xdx2Sasa, tunatenganisha anuwai kwa kugawa pande zote mbili na XT:1TdTdt kXd2Xdx2Ona kwamba upande wa kushoto unategemea t pekee, wakati upande wa kulia unategemea x tu. Ili misemo hii iwe sawa kwa zote x na t, lazima zote ziwe sawa na thamani isiyobadilika, sema -λ2:1TdTdt -λ2kXd2Xdx2 -λ2Sasa tuna milinganyo miwili ya kawaida ya kutofautisha ODE:dTdt -λ2T 1d2Xdx2 -λ2kX 2Wacha tusuluhishe kila ODE kando.Kwa Equation 1, ni ODE ya mpangilio wa kwanza:dTdt λ2T 0Suluhisho la jumla ni:Tt Ce-λ2t, ambapo C ni kiholela kiholela.Kwa Mlinganyo 2, ni ODE ya mpangilio wa pili yenye masharti ya mpaka X0X10:d2Xdx2 λ2kX 0Hili ni tatizo la eigenvalue. Suluhisho la jumla linategemea thamani ya λ2k:1. Ikiwa λ2k 0, suluhisho la jumla ni Xx Acosλ2kx Bsinλ2kx. Walakini, kesi hii haikidhi masharti ya mipaka.2. Ikiwa λ2k 0, suluhisho la jumla ni Xx Acosh-λ2kx Bsinh-λ2kx Kesi hii pia haikidhi masharti ya mipaka.3. Ikiwa λ2k 0, suluhisho la jumla ni X x Ax B. Lakini hii inakidhi tu hali ya mpaka ikiwa A B 0, ambayo inaongoza kwa ufumbuzi usio na maana u 0.Kwa hiyo, tunahitaji kuzingatia aina nyingine za ufumbuzi ambazo zinaweza kukidhi masharti ya mipaka iliyotolewa. Aina moja kama hiyo ni safu ya Fourier sine:Xx dhambinπx, ambapo n ni nambari kamili.Kubadilisha hii katika Mlinganyo 2:d2Xdx2 n2π2kX 0Hii inakidhi ODE na masharti ya mpaka kwa thamani yoyote kamili ya n. Sehemu inayolingana inayotegemea wakati ni Tt Ce-n2π2kt.Kwa hivyo, suluhisho kamili ux,t ni mchanganyiko wa mstari wa kazi hizi za bidhaa:ux,t Σ C_n dhambinπx e-n2π2ktambapo C_n ni viambajengo vilivyoamuliwa na hali ya awali au vikwazo vingine kwenye tatizo. 