<prompt> Ruhusu pembetatu ABC iwe na urefu wa upande AB30, BC32, na AC34. Pointi X iko katika mambo ya ndani ya overlineBC, na pointi I_1 na I_2 ni vivutio vya pembetatu ABX na pembetatu ACX, mtawalia. Tafuta eneo la chini kabisa linalowezekana la pembetatu AI_1I_2 kwani X inatofautiana kulingana na overlineBC.  <response>: Kwanza kumbuka kuwaangle I_1AI_2 pembe I_1AX pembe XAI_2 fracangle BAX2 fracangle CAX2 fracangle A2ni ya kudumu bila kutegemea kwenye X, kwa hivyo kwa AI_1I_2 tfrac12AI_1AI_2sinangle I_1AI_2 inatosha kupunguza AI_1AI_2. Acha a BC, b AC, c AB, na alpha pembe AXB. Kumbuka kwambapembe AI_1B 180circ - pembe I_1AB pembe I_1BA 180circ - tfrac12180circ - alpha 90circ tfracalpha 2 .Kutumia Sheria ya Sines kwa pembetatu ABI_1 inatoafracAI_1AB fracsinangle ABI_1sinangle AI_1BqquadRightarrowqquad AI_1 fraccsinfrac B2cosfracalpha 2.Kilinganifu mtu anaweza kupata AI_2 tfracbsinfrac C2sinfracalpha 2, na hivyoAI_1I_2 fracbcsinfrac A2 sinfrac B2sinfrac C22cosfracalpha 2sinfracalpha 2 fracbc sinfrac A2 sinfrac B2sinfrac C2sinalphageq bcsinfrac A2 sinfrac B2sinfrac C2,na usawa wakati alpha 90circ, ambayo ni, wakati X ni mguu wa perpendicular kutoka A hadi overlineBC. Katika kesi hii eneo linalohitajika ni bcsintfrac A2sintfrac B2sintfrac C2. Ili kufanya hili liwezekane kukokotoa, kumbuka kuwasinfrac A2sqrtfrac1-cos A2sqrtfrac1-fracb2c2 -a22bc2 sqrtdfraca-bcab-c4bc.Kutumia mantiki sawa na sin tfrac B2 na sintfrac C2 na kurahisisha hutoa jibu la mwisho laanzaalignbcsinfrac A2sinfrac B2sinfrac C2bccdotdfraca-bc b-cac-ab8abcdfrac30-323432-343034-30328 cdot 32126.mwishoalign 