<prompt> Pointi P iko ndani ya pembetatu ya ABC sawia. Pointi Q, R, na S ni miguu ya vielelezo kutoka P hadi overlineAB, overlineBC, na overlineCA, mtawalia. . Kwa kuzingatia kwamba PQ1, PR2, na PS3, AB ni nini katika suala la radicals?  <response>: Ninagundua kuwa shida inahusisha perpendiculars na umbali, kwa hivyo nadhani kutumia nadharia ya Pythagorean na fomula za eneo. Pia ninaona kwamba pembetatu ni sawa, hivyo pande zake zote na pembe ni sawa. Ninachora mchoro wa hali hiyo na kuweka lebo pande na pembe jinsi ninavyozijua. Ninaona kuwa PQ, PR, na PS ni miinuko ya pembetatu tatu ndogo: pembetatu APB, pembetatu BPC, na pembetatu CPA. Kwa kuwa triangle ABC ni sawa, eneo lake ni fracAB2 sqrt34. Pia najua kuwa eneo la triangle ABC ni jumla ya maeneo ya pembetatu tatu ndogo, ambayo kila frac12 mara ya msingi mara ya urefu. Kwa hivyo, nina equation fracAB2 sqrt34 frac12PQ cdot AB PR cdot BC PS cdot CA. Kwa kurahisisha, napata AB2 sqrt3 2PQ cdot AB PR cdot BC PS cdot CA. Kwa kuwa AB BC CA, naweza kubainisha AB kutoka upande wa kulia na kupata AB2 sqrt3 2ABPQ PR PS. Kwa kugawanya pande zote mbili kwa AB sqrt3, napata AB frac2PQ PR PSsqrt3. Nikichomeka thamani zilizotolewa za PQ, PR, na PS, napata AB frac21 2 3sqrt3. Kwa kurahisisha zaidi, ninapata AB frac12sqrt3. Kuhalalisha dhehebu, napata AB frac12sqrt33. Kwa kurahisisha mara ya mwisho, napata AB 4sqrt3. 