<prompt> Kuna mashine yenye midoli 8 ndani yake ambayo kila moja inagharimu kati ya senti 25 na dola 2, huku kila kichezeo kikiwa na senti 25 ghali zaidi kuliko kinachofuata ghali zaidi. Kila mara Sam anapobonyeza kitufe kikubwa chekundu kwenye mashine, mashine huchagua kichezea kimoja kati ya vitu vilivyosalia na kumpa Sam chaguo la kukinunua. Ikiwa Sam ana pesa za kutosha, atanunua toy, kifungo nyekundu kitawaka tena, na anaweza kurudia mchakato huo. Ikiwa Sam ana robo 8 na noti ya dola kumi na mashine inakubali robo pekee, kuna uwezekano gani Sam kupata chenji ya bili ya dola 10 kabla ya kununua toy anayopenda zaidi- ile inayogharimu 1.75? Eleza jibu lako kama sehemu ya kawaida.  <response>: Tutahesabu uwezekano kwamba Sam anaweza kununua kifaa chake cha kuchezea anachokipenda kwa kutumia tu robo zake 8 na kisha kutoa hicho kutoka 1 ili kupata uwezekano ambao tunatafuta. Kuna jumla ya oda za 8! ambapo vifaa vya kuchezea 8 vinaweza kutolewa. Ikiwa toy yake ya kupenda ni ya kwanza ambayo mashine huchagua, basi ni wazi anaweza kuinunua tu kwa robo yake, na kisha kuna 7! ili ambayo toys nyingine inaweza kutolewa, ambayo inatupa 7! maagizo ya vitu vya kuchezea ambavyo vinamruhusu kununua anachopenda kwa kutumia tu robo. Ikiwa toy ya kwanza ni ile inayogharimu senti 25 tu, basi ataweza kununua toy anayopenda tu kwa kutumia robo yake iliyobaki ikiwa tu ikiwa ni ya pili iliyotolewa. Ikiwa hizo ndizo vitu viwili vya kwanza vya kuchezea vilivyotolewa, kuna 6! njia za kuagiza vitu vingine vya kuchezea ambayo ina maana kwamba tuna oda nyingine ya 6! ya vitu vya kuchezea vinavyomruhusu kununua toy anayopenda bila kupata chenji kwa bili ya dola 10. Iwapo kichezeo cha kwanza kinagharimu zaidi ya senti 25, au kama vitu viwili vya kuchezea vitatolewa kabla ya anachopenda zaidi, basi hatakuwa na robo ya kutosha kununua anachokipenda bila kupata chenji ya bili yake ya dola kumi. Kwa hivyo kati ya maagizo ya 8! ambayo vifaa vya kuchezea 8 vinaweza kutolewa, kuna 7! njia 6! zinazomruhusu kununua kichezeo anachokipenda kwa kutumia tu vyumba vyake kwa uwezekano wa dfrac7!6!8!dfrac6!6!cdotdfrac 718cdot7dfrac17. Lakini huo ndio uwezekano kwamba kile tunachotaka emphdoest kifanyike, kwa hivyo tunahitaji kuiondoa kutoka 1 ili kupata uwezekano wetu wa mwisho wa 1-dfrac17dfrac6 7. 