<prompt> Kwa kutumia safu ya Fourier, tafuta suluhu la mlinganyo wa joto u_t ku_xx kwa fimbo ya maboksi ya urefu wa L, ambapo k ni kipitishio cha upitishaji wa joto, kulingana na usambazaji wa awali wa joto ux,0 fx na mpaka. masharti u0,t uL,t 0. Toa hoja za hatua kwa hatua.  <response>: Ili kutatua equation ya joto kwa kutumia safu ya Fourier, kwanza tutachukua suluhisho la fomu:ux,t XxTtambapo Xx ni chaguo za kukokotoa za x pekee na Tt ni chaguo za kukokotoa za t pekee. Sasa tunaweza kuziba hii kwenye equation ya joto na tofauti tofauti:XxTt kXxTtSasa gawanya pande zote mbili kwa kXxTt:XxXx TtkTtUpande wa kushoto unategemea x tu na upande wa kulia unategemea t tu. Kwa kuwa ni sawa, lazima ziwe sawa na -λ:XxXx -λTtkTt -λSasa tunayo milinganyo miwili ya kawaida ya kusuluhisha.1. Tatua kwa Xx:Xx λXx 0yenye masharti ya mipaka X0 XL 0. Hili ni tatizo la eigenvalue na masuluhisho kulingana na thamani ya λ. Suluhisho zisizo za kawaida hutokea wakati λ n2π2L2 kwa n 1, 2, 3, ... . Kwa kila λ_n, eigenfunction inayolingana inatolewa na:X_nx dhambinπxL2. Tatua kwa Tt:dTdt kλT 0Hii ni ODE ya mpangilio wa kwanza na suluhisho la jumla:T_nt A_n exp-kn2π2tL2ambapo A_n ni ya kudumu.Sasa, kwa kuchanganya suluhisho za Xx na Tt, tunapata suluhisho la ux,t:ux,t Σ A_n dhambinπxL exp-kn2π2tL2ambapo jumla inachukuliwa juu ya yote n 1, 2, 3, ... .Mwishowe, tunahitaji kubaini hesabu A_n kwa kutumia usambazaji wa halijoto ya awali fx:fx ux,0 Σ A_n dhambinπxLHuu ni uwakilishi wa mfululizo wa Fourier sine wa fx. Tunaweza kupata coefficients A_n kwa kuzidisha pande zote mbili kwa sinmπxL, kuunganisha kutoka 0 hadi L, na kutumia orthogonality:fx dhambimπxL dx A_m dhambi2mπxL dxKutatua kwa A_m:A_m 2L fx dhambimπxL dxSasa tuna kila kitu tunachohitaji kuandika suluhisho la equation ya joto:ux,t Σ 2L fx dhambinπxL dx dhambinπxL exp-kn2π 2tL2ambapo jumla inachukuliwa juu ya yote n 1, 2, 3, ... . 