<prompt> Acha a, b, na c ziwe nambari halisi ili a ge b ge c ge 0 na a b 16. Pata thamani ya juu zaidi yasqrtcb - c sqrtca - c.  <response>: Nakumbuka kwamba hesabu ya maana ya kijiometri AM-GM ya ukosefu wa usawa inasema kwamba kwa nambari zozote zisizo hasi x na y, tuna fracx y2 ge sqrtxy. Ukosefu huu wa usawa ni muhimu katika kutafuta mipaka ya juu kwa bidhaa za nambari zisizo hasi. Pia ninagundua kuwa usemi ninaotaka kuongeza ni jumla ya mizizi miwili ya bidhaa za nambari zisizo hasi. Labda naweza kutumia usawa wa AM-GM kwa kila muhula kando na kisha kuziongeza. Hebu nijaribu hilo. Kwa AM-GM, nina sqrtcb - c le fracc b - c2 fracb2 na sqrtc 16 - b - c le fracc 16 - b - c2 frac16 - b2. Nikiongeza kukosekana hizi mbili za usawa, ninapata sqrt cb - c sqrtc16 - b - c le fracb2 frac16 - b2 8. Hii ina maana kwamba kiwango cha juu zaidi thamani inayowezekana ya usemi ni angalau 8. Lakini je, 8 inaweza kufikiwa? Ili kuangalia hilo, ninahitaji kupata maadili ya b na c ambayo yanakidhi vikwazo vya asili na kufanya kukosekana kwa usawa kuwa usawa. Ili ukosefu wa usawa wa kwanza uwe usawa, ninahitaji c b - c, au 2c b. Ili ukosefu wa usawa wa pili uwe usawa, ninahitaji c 16 - b - c, au 2c 16 - b. Kwa kuchanganya milinganyo hii miwili, napata b 8. Kisha, nikichomeka b 8 kwenye equation ama, napata c 4. Thamani hizi za b na c kukidhi vikwazo vya awali, tangu 16 - b ge b ge c ge 0. Kwa hiyo, thamani ya juu ya kujieleza ni 8, na hutokea wakati b 8 na c 4. 