<prompt> Amua eigenvalues na eigenveekta za matrix ifuatayo: 2 1 1 2 Toa hoja ya hatua kwa hatua.  <response>: Ili kupata eigenvalues, tunahitaji kutatua mlingano wa tabia iliyotolewa na detA - λI 0, ambapo A ni matrix na λ ni eigenvalues.A - λI 2-λ 1 1 2-λ Sasa tunahesabu kiashiria:2-λ2-λ - 11 λ2 - 4λ 3Kwa hivyo sifa ya upolinomia ni λ2 - 4λ 3. Ili kupata eigenvalues, tunaweka hii polynomia sawa na sufuri na kutatua kwa λ:λ2 - 4λ 3 0λ - 3λ - 1 0Hii inatupa eigenvalues mbili: λ1 1 na λ2 3.Sasa tutapata eigenveekta zinazolingana na kila eigenvalue.Kwa λ1 1:Tunahitaji kutatua mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari:2-1x 1y 01x 2-1y 0Ambayo hurahisisha:x y 0x y 0Milinganyo hii miwili ni sawa, kwa hivyo tunayo mlinganyo mmoja tu unaojitegemea. Acha x t, kisha y -t. Eigenvector inayolingana na λ1 1 ni kizidishio chochote kisicho na sifuri cha vekta 1, -1.Kwa λ2 3:Tunahitaji kutatua mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari:2-3x 1y 01x 2-3y 0Ambayo hurahisisha:-x y 0x -y 0Milinganyo hii miwili pia ni sawa, kwa hivyo tunayo mlinganyo mmoja tu unaojitegemea. Acha x t, kisha y t. Eigenvector inayolingana na λ2 3 ni kizidishio chochote kisicho na sifuri cha vekta 1, 1.Kwa muhtasari, eigenvalues ni λ1 1 na λ2 3, na eigenveekta sambamba zikiwa mawimbi yoyote yasiyo ya sifuri ya 1, -1 na 1, 1, mtawalia. 