<prompt> Katika pembetatu kali ABC pointi P na Q ni miguu ya perpendiculars kutoka C hadi overlineAB na kutoka B hadi overlineAC, mtawalia. Mstari PQ hukatiza mduara wa pembetatu ABC katika nukta mbili tofauti, X na Y. Tuseme XP10, PQ25, na QY15. Thamani ya ABcdot AC inaweza kuandikwa katika muundo msqrt n ambapo m na n ni nambari kamili chanya, na n haiwezi kugawanywa kwa mraba wa msingi wowote. Tafuta mn.  <response>: Acha APa, AQb, cosangle A kKwa hivyo AB fracbk , AC fracakKwa uwezo wa uhakika, tuna APcdot BPXPcdot YP , AQcdot CQYQcdot XQ Ambazo zimerahisishwa kuwa400 fracabk - a2525 fracabk - b2Aua2 fracabk - 400b2 fracabk - 5251Auk fracaba2400 fracabb2525Hebu ua2400b2525 Kisha, asqrtu-400,bsqrtu-525,kfracsqrtu- 400u-525uKatika pembetatu APQ, kwa sheria ya cosine252 a2 b2 - 2abkKuziba 1625 fracabk - 400 fracabk - 525 -2abkAufracabk - abk 775Badilisha kila kitu kwa uu- fracu-400u-525u 775Neno la quadratic limeghairiwa baada ya kurahisishwaAmbayo inatoa u1400Chomeka tena, a sqrt1000 , bsqrt875KishaABcdot AC fracak fracbk fracabfracabu cdotfracabu fracu2ab frac1400 cdot 1400 sqrt 1000cdot 875 560 sqrt14Kwa hivyo jibu la mwisho ni 560 14 574 