<prompt> Makopo matatu ya alumini yanaweza kurejeshwa ili kutengeneza mkebe mpya. Ni makopo mangapi mapya yanaweza hatimaye kutengenezwa kutoka kwa makopo 243 ya alumini? Kumbuka kwamba makopo mapya ya kwanza ambayo yametengenezwa yanaweza kurejeshwa katika hata makopo mapya zaidi! Usijumuishe makopo 243 ya asili kwenye hesabu yako.  <response>: Tunaanza na 243 35 makopo. Baada ya kuchakata makopo haya, tutakuwa tumetengeneza 243cdotfrac13 34 makopo mapya. Kisha tunaweza kuchakata makopo haya mapya ili kutengeneza 34cdotfrac13 33 makopo mapya. Kuendeleza mchakato huu, tunataka kupata jumla ya 34 33 32 31 30. Huu ni mfululizo usio na kikomo wa kijiometri wenye muhula wa kwanza 81, uwiano wa kawaida 13, na maneno matano. Kwa hivyo, jumla ni frac81left1-leftfrac13right5right1-frac13 121. 