<prompt> Malengo ya duaradufu fulani ni 3,10 sqrt105 na 3,10 - sqrt105. Miisho ya shoka mojawapo ni -5,10 na 11,10. Tafuta mhimili wa nusu kuu.  <response>: Ili kupata mhimili wa nusu kuu, ninahitaji kujua umbali kati ya kituo na moja ya wima ya duaradufu. Ninaweza kupata kituo kwa wastani wa kuratibu za foci, kwani zina ulinganifu kuhusu kituo hicho. Kituo kiko katika 3,10, ambayo pia ni katikati ya mhimili unaounganisha -5,10 na 11,10. Hiyo ina maana kwamba mhimili unaounganisha -5 ,10 na 11,10 ni mhimili mdogo, na urefu wake ni 11 - -5 16. Mhimili wa nusu-ndogo ni nusu ya hiyo, kwa hivyo 8. naweza kutumia uhusiano kati ya mhimili wa nusu kuu, mhimili wa nusu ndogo, na umbali kati ya foci na katikati, ambayo inaitwa eccentricity. Eccentricity ni uwiano wa umbali kutoka katikati hadi lengo na mhimili wa nusu kuu. Ninaweza kupata umbali kutoka katikati hadi lengo kwa kutumia fomula ya umbali. Umbali ni sqrt3 - 32 10 sqrt105 - 102 sqrt105. Ulinganifu ni fracsqrt105 a, ambapo a ni mhimili wa nusu kuu. Ninaweza pia kutumia ukweli kwamba usawa unahusiana na mhimili wa nusu-ndogo kwa equation b2 a2 1 - e2, ambapo b ni mhimili wa nusu-ndogo na e. ni usawa. Nikichomeka thamani nilizo nazo, napata 82 a2 1 - frac105a2. Kwa kurahisisha, ninapata 64 a2 - 105. Kuongeza 105 kwa pande zote mbili. , napata a2 169. Nikichukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili, napata a 13. 