<prompt> Acha theta iwe pembe kiasi kwamba tan theta 2. Irahisishefrace2i theta - 1e2i theta 1.  <response>: Ninagundua kuwa usemi katika nambari na kipunguzo huonekana kama tofauti na jumla ya nambari mbili changamano za fomu eix na 1, ambazo zinahusiana na vitendakazi vya cosine na sine. Nashangaa ikiwa ninaweza kutumia kitambulisho cha trigonometric tan theta fracsin thetacos theta kuandika upya usemi kulingana na sines na kosine. Ninaanza kwa kuzidisha nambari na dhehebu kwa e-i theta, ambayo ni sawa na kugawanya kwa ei theta, kupatafrace2i theta - 1e2i theta 1 cdot frace-i thetae-i theta fracei theta - e-i thetaei theta e-i theta. Sasa naweza kutumia ukweli kwamba eix cos x i sin x na e-ix cos x - i sin x kuandika upya usemi kamafracei theta - e-i thetaei theta e-i theta fraccos theta i sin theta - cos theta - i sin thetacos theta i sin theta cos theta - i sin theta. Kurahisisha nambari na dhehebu, ninapatafrac2i sin theta2 cos theta. Sasa naweza kutumia ukweli uliotolewa kuwa tan theta 2 kuchukua nafasi ya sin theta na cos theta kwa sawa na tan theta. Nakumbuka kwamba sin theta fractan thetasqrt1 tan2 theta na cos theta frac1sqrt1 tan2 theta. Kuziba hizi kwenye usemi, napatafrac2i sin theta2 cos theta frac2i fractan thetasqrt1 tan2 theta2 frac 1sqrt1 tan2 theta frac2i tan theta2 i tan theta. Kwa kuwa najua kuwa tan theta 2, naweza kubadilisha hiyo na kupata jibu la mwisho. 