<prompt> Je, ni jumla gani ya thamani za x-zinazokidhi mlinganyo 5fracx3-2x2-8xx2?  <response>: Ninagundua kuwa huu ni mlinganyo wa kimantiki, kwa hivyo ninaweza kujaribu kufuta sehemu kwa kuzidisha pande zote mbili kwa x2. Walakini, kabla sijafanya hivyo, ninahitaji kuhakikisha kuwa x2neq 0, kwani hiyo ingefanya dhehebu sifuri na mlinganyo kutofafanuliwa. Kwa hivyo mimi hutenga x-2 kama suluhisho linalowezekana. Sasa ninazidisha pande zote mbili kwa x2 na kupata 5x10x3-2x2-8x. Ninataka kupata x-values zinazofanya equation hii kuwa kweli, kwa hivyo ninajaribu kuleta kila kitu kwa upande mmoja na kukihesabu. Ninatoa 5x10 kutoka pande zote mbili na kupata 0x3-2x2-13x-10. Huu ni mlinganyo wa ujazo, kwa hivyo inaweza kuwa ngumu kuainisha. Walakini, ninaweza kujaribu kutumia nadharia ya mzizi wa busara, ambayo inasema kwamba ikiwa kuna mzizi wa busara wa equation, lazima iwe sababu ya neno la mara kwa mara lililogawanywa na sababu ya mgawo unaoongoza. Neno la mara kwa mara ni -10, kwa hivyo vipengele vyake ni pm 1, pm 2, pm 5, pm 10. Mgawo unaoongoza ni 1, kwa hivyo vipengele vyake ni pm 1. Kwa hivyo, mizizi ya busara inayowezekana ni pm 1, pm 2, pm 5, pm 10. Ninaweza kujaribu kila moja ya maadili haya kwa kuziunganisha kwenye equation na kuona ikiwa zinaifanya kuwa sifuri. Ninaanza na x1 na kupata 13-212-131-10-24, ambayo sio sifuri, kwa hivyo x1 sio mzizi. Ninajaribu x-1 na kupata -13-2-12-13-1-100, ambayo ni sifuri, kwa hivyo x-1 ni mzizi. Hii inamaanisha kuwa x1 ni sababu ya equation ya ujazo, kwa hivyo ninaweza kugawanya equation na x1 ili kupata equation ya quadratic. Ninatumia mgawanyiko mrefu au mgawanyiko wa sintetiki kugawanya x3-2x2-13x-10 na x1 na kupata x2-3x-10. Ninaweza kuweka mlinganyo huu wa quadratic kama x-5x2. Kwa hivyo mlinganyo wa asili ni sawa na x1x-5x20. Suluhu ni x-1, x5, x-2. Walakini, nakumbuka kuwa nilitenga x-2 mwanzoni, kwa hivyo suluhisho halali ni x-1 na x5. Jumla ya masuluhisho haya ni -154. 