<prompt> Umbali mfupi zaidi kutoka kwa duara x2 y2 4x 8y hadi hatua 5,-2 inaweza kuandikwa katika muundo sqrtm, ambapo m ni nambari kamili. Tafuta m.  <response>: Ninagundua kuwa mlinganyo wa mduara hauko katika umbo la kawaida, kwa hivyo ninataka kukamilisha mraba kwa masharti yote ya x na y ili kuiweka katika fomu hiyo. Ninaondoa 4x na 8y kutoka pande zote mbili na kupata x2 - 4x y2 - 8y 0. Ili kukamilisha mraba kwa x, ninahitaji kuongeza 422 4 kwa pande zote mbili, na kukamilisha mraba kwa y, ninahitaji kuongeza -82 2 16 kwa pande zote mbili. Ninapata x-22 y-42 20, ambayo ni aina ya kawaida ya mduara wenye kituo 2,4 na radius sqrt20. Sasa naona kuwa umbali mfupi zaidi kutoka kwa duara hadi uhakika 5,-2 utakuwa kando ya sehemu ya mstari inayowaunganisha, ukiondoa eneo la duara. Ili kupata urefu wa sehemu hiyo ya mstari, ninatumia fomula ya umbali: d sqrt5-22 -2-42 sqrt9 36 sqrt 45. Ili kupata umbali mfupi zaidi kutoka kwa mduara hadi kwa uhakika, mimi huondoa radius kutoka kwa sehemu ya mstari: d - r sqrt45 - sqrt20. Ninataka kurahisisha usemi huu na kuuandika katika mfumo sqrtm. Ninagundua kuwa 45 na 20 ni zidishi za 5, kwa hivyo ninaweza kutofautisha 5 kutoka kwa radicals zote mbili: sqrt45 - sqrt20 sqrt5sqrt9 - sqrt5 sqrt4. Ninaweza kurahisisha zaidi kwa kuchukua mizizi ya mraba ya 9 na 4, ambayo ni 3 na 2, mtawalia: sqrt5sqrt9 - sqrt5sqrt4 sqrt5 3 - 2 sqrt5. Kwa hiyo, m 5. 