<prompt> Msururu wa a_n_n ge 0 wa nambari halisi hutosheleza urejeshaji wa a_n1 a_n3 - 3a_n23 kwa nambari zote chanya n. Je, ni thamani ngapi za a_0 a_2007a_0?  <response>: Ikiwa x ni neno katika mfuatano, basi neno linalofuata ni x3 - 3x2 3. Hizi ni sawa ikiwa na ikiwa tux3 - 3x2 3 x,au x3 - 3x2 - x 3 0. Sababu hizi ni x - 3x - 1x 1 0, hivyo x 3, x 1, au x -1.Zaidi ya hayo, kwa kutumia uainishaji huu, tunaweza kuonyesha kwamba ikiwa a_n 3, basi a_n 1 a_n3 - 3a_n2 3 a_n, na kama a_n -1, basi a_n 1 a_n3 - 3a_n2 3 a_n, kwa hivyo thamani zozote zinazowezekana za a_0 lazima ziwe katika kipindi -1,3. Hivyo, tunaweza kuruhusua_0 1 2 cos theta 1 ei theta e-i theta,ambapo 0 le theta le pi. Kishaanzaaligna_1 a_03 - 3a_02 3 a_0 - 13 - 3a_0 4 ei theta e-i theta3 - 31 ei theta e- itheta 4 e3i theta 3ei theta 3e-i theta e-3i theta - 3 - 3ei theta - 3e- i theta 4 1 e3i theta e-3i theta.mwishoalignKwa ujumla,a_n 1 e3n i theta e-3n i theta.Hasa, a_2007 1 e32007 i theta e-32007 i theta 1 2 cos 32007 theta. Tunataka hii iwe sawa na 1 2 cos theta, hivyocos 32007 theta cos theta.Kwa maneno mengine,cos 32007 theta - cos theta -2 sin frac32007 1 theta2 sin frac32007 - 1 theta2 0.Kama sin frac32007 1 theta2 0, basi 32007 1 theta 2n pi kwa nambari kamili n. Thamani zinazowezekana za n ni 0, 1, dots, frac32007 12, giving us frac32007 12 1 suluhu.Ikiwa sin frac32007 - 1 theta2 0, basi 32007 - 1 theta 2n pi kwa nambari kamili n. Thamani zinazowezekana za n ni 0, 1, dots, frac32007 - 12, zinazotupa frac32007 - 1 2 1 suluhu.Familia mbili za suluhisho ni pamoja na 0 na pi mara mbili, kwa hivyo idadi kamili ya suluhisho nifrac32007 12 1 frac32007 - 12 1 - 2 32007. 