<prompt> Acha a,b,c,d ziwe nambari halisi kama hizoanzaaligna b c d 6, a2 b2 c2 d2 12.endalignAcha m na M ziashiria thamani za chini na za juu zaidi4a3 b3 c3 d3 - a4 b4 c4 d4, mtawalia. Tafuta m M.  <response>: Acha w a - 1, x b - 1, y c - 1, na z d - 1. Kisha a w 1, b x 1, c y 1 na d z 1, hivyoa b c d w x y z 4 6,ambayo ina maana w x y z 2. Pia,anzaaligna2 b2 c2 d2 w 12 x 12 y 12 z 12 w2 x2 y2 z2 2w x y z 4 12,mwishoalignhivyo w2 x2 y2 z2 12 - 2w x y z - 4 12 - 22 - 4 4. Sasa,anzaalign4 jumla a3 - jumla a4 jumla 4a3 - a4 jumla a3 4 - a jumla w 13 3 - w jumla -w4 6w2 8w 3 -jumla ya w4 6 jumla ya w2 8 jumla ya w 12 -w4 x4 y4 z4 6 cdoti 4 8 cdoti 2 12 52 - w4 x4 y4 z4.mwishoalignKwanza,w2 x2 y2 z22 16.Kupanua, tunapataw4 x4 y4 z4 2w2 x2 w2 y2 y2 z2 x2 y2 x 2 z2 y2 z2 16.Kwa hiyo, w4 x4 y4 z4 le 16. Usawa hutokea wakati w 2 na x y z 0.Pia, na Cauchy-Schwarz,1 1 1 1w4 x4 y4 z4 ge w2 x2 y2 z22. Kisha 4w4 x4 y4 z4 ge 16, hivyo w4 x4 y4 z4 ge 4. Usawa hutokea wakati w -1 na x y z 1.Kwa hivyo,36 le 4a3 b3 c3 d3 - a4 b4 c4 d4 le 48.Kima cha chini zaidi hutokea wakati a,b,c,d 1,1,1,3, na kiwango cha juu kinapotokea wakati a,b,c,d 0,2,2,2. Hivyo, m 36 na M 48, hivyo m M 84. 