<prompt> Acha O iwe asili. Kuna scalar k ili kwa pointi yoyote A,B,C, na D vile3 arrowoverrightarrowOA - 2 overrightarrowOB 5 overrightarrowOC k overrightarrowOD mathbf0,alama nne A, B, C, na D ni coplanar. Tafuta k.  <response>: Nakumbuka kwamba pointi nne A, B, C, na D ni coplanar ikiwa na tu ikiwa vekta overrightarrowAB, overrightarrowAC, na overrightarrow AD zinategemea kimstari. Hii ina maana kwamba kuna mikwaruzo x, y, na z, sio sifuri zote, kama vile x overrightarrowAB y overrightarrowAC z overrightarrowAD mathbf 0. Ninaweza kuandika mlingano huu upya kulingana na vekta za nafasi overrightarrowOA, overrightarrowOB, overrightarrowOC, na overrightarrowOD kama ifuatavyo: x arrow overrightarrowOB - overrightarrowOA y overrightarrowOC - overrightarrowOA z overrightarrowOD - overrightarrowOA mathbf0. Kupanua na kupanga upya, napata -x - y - z overrightarrowOA x overrightarrowOB y overrightarrowOC z overrightarrowOD m Hii inamaanisha kuwa ninaweza kusawazisha mgawo wa vekta zinazolingana na kupata mfumo wa hesabu nne na zisizojulikana nne: anzakesi -x - y - z 3 x -2 y 5 z k mwishokesi Ninaanza kwa kuweka x -2 na y 5 kwenye mlinganyo wa kwanza na kupata --2 - 5 - z 3 , ambayo hurahisisha -3 - z 3. Kutatua kwa z, napata z -6. Kwa kuwa z k, naweza kuhitimisha kuwa k - 6. 