<prompt> Tetrahedron yenye nyuso nne za pembe tatu za usawa ina tufe iliyoandikwa ndani yake na tufe iliyozungukwa kuihusu. Kwa kila moja ya nyuso nne, kuna tufe tangent nje kwa uso katikati yake na kwa tufe circumscribed. Pointi P inachaguliwa bila mpangilio ndani ya duara iliyozuiwa. Uwezekano kwamba P iko ndani ya mojawapo ya duara tano ndogo uko karibu zaidimathrmA 0 qquad mathrmB 0.1 qquad mathrmC 0.2 qquad mathrmD 0.3 qquad mathrmE 0.4  <response>: Ruhusu radius ya tufe kubwa iwe R, na ya duara ya ndani r. Weka alama kwenye wima za tetrahedron ABCD, na uruhusu O iwe katikati. Kisha piramidi OABC OABD OACD OBCD ABCD, ambapo ldets inaashiria kiasi; hivyo OABC fracABCD4. Kwa kuwa OABC na ABCD zote mbili ni piramidi zinazoshiriki uso mmoja ABC, uwiano wa ujazo wake ni uwiano wa miinuko yao kuelekea ABC, kwa hivyo r frac h_ABCD4 . Hata hivyo, h_ABCD r R, kwa hivyo inafuata kwamba r frac R3. Kisha radius ya tufe la nje ni fracR-r2 frac R3 r.Kwa kuwa duara tano zilizoelezwa haziingiliani, inafuata kwamba uwiano wa ujazo wa duara ni 5 cdot left frac 13 kulia3 frac527 approx .2 . 