<prompt> Msururu wa a_1, a_2, ldot wa nambari kamili zisizo hasi unafafanuliwa na sheria a_n2a_n1-a_n kwa ngeq1. Ikiwa a_1999, a_2999, na a_20061, ni thamani ngapi tofauti za a_2 zinawezekana?  <response>: Masharti a_n2a_n1-a_n ina maana kwamba a_n na a_n3 zina uwiano sawa kwa ngeq 1 zote. Kwa sababu a_2006 ni isiyo ya kawaida, a_2 pia ni isiyo ya kawaida. Kwa sababu a_20061 na a_n ni mgawo wa gcda_1,a_2 kwa n zote, inafuata kwamba 1gcda_1,a_2gcd3 3cdot 37,a_2. Kuna nambari 499 zisizo za kawaida katika muda wa 1,998, ambapo 166 ni zidishi za 3, 13 ni zidishi za 37, na 4 ni zidishi za 3cdot 37111. Kwa Kanuni ya Kujumuisha-Kutenga, idadi ya thamani zinazowezekana za a_2 haziwezi kuzidi 499-166-134324.Ili kuona kuwa kuna uwezekano 324, kumbuka kuwa kwa ngeq 3, a_nmaxa_n-2,a_n-1 wakati wowote a_n-2 na a_n-1 zote mbili ni chanya. Kwa hivyo a_N0 kwa Nleq 1999. Ikiwa gcda_1,a_21, basi a_N-2a_N-11, na kwa nN mizunguko ya mfuatano kupitia thamani 1, 1, 0 . Ikiwa kwa kuongeza a_2 ni isiyo ya kawaida, basi a_3k2 ni isiyo ya kawaida kwa kgeq 1, kwa hivyo a_20061. 