<prompt> Acha P iwe kidokezo kwenye hyperbola x2 8xy 7y2 225. Tafuta umbali mfupi iwezekanavyo kutoka asili hadi P.  <response>: Acha x,y iwe hoja kwenye hyperbola x2 8xy 7y2 225. Kwa ufanisi, tunataka kupunguza x2 y2. Acha k x 2 y2. Kuzidisha hii kwa equation x2 8xy 7y2 225, tunapatakx2 8kxy 7ky2 225x2 225y2,hivyok - 225 x2 8kxy 7k - 225 y2 0.Kwa mikunjo x2 8xy 7y2 225 na x2 y 2 k kuingiliana, tunataka quadratic hii iwe na mzizi halisi, ambayo inamaanisha kuwa ubaguzi wake sio mbaya:8ky2 - 4k - 2257k - 225 y2 ge 0.Hii hurahisisha hadi y2 36k2 7200k - 202500 ge 0, ambayo mambo kamay2 k - 25k 225 ge 0.Kama y 0, basi x2 225, ambayo inaongoza kwa x pm 15. Umbali kutoka asili hadi P basi ni 15. Vinginevyo, lazima tuwe na k x2 y2 ge 25.Ikiwa k 25, basi -200x2 200xy - 50y2 -502x - y2 0, hivyo y 2x. Inabadilisha hadi x2 8xy 7y 2 225, tunapata 45x2 225, hivyo x2 5, ambayo ina maana x pm sqrt5. Kwa hivyo, usawa hutokea wakati x,y sqrt5, 2 sqrt5 au -sqrt5, -2 sqrt5, na umbali wa chini kabisa kutoka asili hadi P ni 5. 