<prompt> Katika nafasi ya Cartesian, tufe tatu zinazozingatia -2,5,4, 2,1,4, na 4,7,5 zote zinaendana na xy-plane. xy-ndege ni mojawapo ya ndege mbili zinazozunguka nyanja zote tatu; ndege ya pili inaweza kuandikwa kama mlinganyo ax bx cz d kwa baadhi ya nambari halisi a, b, c, na d. Tafuta fracca.  <response>: Mlinganyo wa xy-plane ni z 0.asykuagiza tatu;kuagiza yabisi;ukubwa 300;currentprojection mtazamo-2,-2,3;kuchora2,17,0--17,2,0---8,-29,0---29,-8,0--mzunguko;kuchorakuhama4,7,5usotufe5,kijivu0.8;chorakuhama-2,5,4usotufe4,kijivu0.8;kuchorakuhama2,1,4usotufe4,kijivu0.8;chora2,17,6--17,2,6---8,-29,-1---29,-8,-1--mzunguko;kuchora0,-29,0---29,0,0;lebox y -29, 0,-29,0, E;asyAcha mathbfa anzepmatrix -2 5 4 mwishopmatrix, mathbfb anzapmatrix 2 1 4 mwisho pmatrix, na mathbfc anzapmatrix 4 7 5 endpmatrix. Kisha vekta ya kawaida kwa ndege inayopita katikati ya tufe nimathbfb - mathbfa nyakati mathbfc - mathbfa anzapmatrix 4 -4 0 mwishopmatrix mara anzapmatrix 6 2 1 mwishopmatrix anzapmatrix -4 -4 32 mwishopmatrix.Tunaweza kuongeza vekta hii, na kuchukua anzapmatrix 1 1 -8 endpmatrix kama vekta ya kawaida. Kwa hivyo, mlinganyo wa ndege ni wa umbo x y - 8z d. Tukibadilisha kituo chochote, tunapata mlinganyo wa ndege hii nix y - 8z -29.Mkutano wa ndege hii na ndege z 0 ni mstari unaofafanuliwa nax y -29.Mlinganyo wa ndege yoyote iliyo na mstari huu basi ni wa umbokx ky z -29k.Tunataka nyanja zote tatu ziwe tanjent kwa ndege hii. Kisha umbali kati ya ndege hii na kituo cha -2,5,4 unapaswa kuwa 4. Kutoka kwa fomula ya umbali kati ya nukta na ndege,frac-2k 5k 4 29ksqrtk2 k2 1 4.Kisha 32k 4 4 sqrt2k2 1, hivyo 8k 1 sqrt2k2 1. Mraba, tunapata 64k2 16k 1 2k2 1, ambayo hurahisisha62k2 16k 2k31k 8 0.Suluhisho ni k 0 na k -frac831. Suluhisho k 0 inalingana kwa ndege z 0, kwa hivyo ndege nyingine inalingana na k -frac831, ambayo inatupa mlinganyo.-frac831 x - frac831 y z 29 cdot frac831.Kwa hivyo, fracca -frac318. 