<prompt> Mchemraba wenye urefu wa upande wa 10 umesimamishwa juu ya ndege. Kipeo kilicho karibu zaidi na ndege kimeandikwa A. Wima tatu zilizo karibu na kipeo A ziko kwenye urefu wa 10, 11, na 12 juu ya ndege. Umbali kutoka kwenye kipeo A hadi kwenye ndege unaweza kuonyeshwa kama fracr-sqrtst, ambapo r, s, na t ni nambari kamili chanya, na rst1000. Tafuta rst.  <response>: Weka mchemraba kwenye nafasi ili A iko kwenye asili, na vipeo vitatu vilivyo karibu na A ni 10,0,0, 0,10,0, na 0, 0,10. Acha mlinganyo wa ndege uweax by cz d 0,ambapo a2 b2 c2 1. Kisha, umbali ulioelekezwa kutoka sehemu yoyote x,y,z kwa ndege ni axbyczd.asykuagiza tatu; kuhesabu makutano ya mstari na ndege p uhakika kwenye mstari d mwelekeo wa mstari q uhakika katika ndege n kawaida kwa ndegempango wa mstari wa tatutriple p, triple d, triple q, triple n kurudi p nuktan,q - pdotn,dd; makadirio ya uhakika A kwenye BCD ya ndegemakadirio matatu yapointontoplanetatu A, triple B, triple C, triple D mstari wa kurudiintersectplan A, msalaba B - D, C - D, B, msalaba B - D, C - D;ukubwa 250;makadirio ya sasa mtazamo 6,3,2;mara tatu A, B, C, D, X, Y, Z, P, Q, R, T;triple S;halisi a, b, c, d;A 0,0,0;B 10,0,0;C 0,10,0;D 0,0,10;a 0.471548;b 0.571548;c 0.671548;d 5.28452;X -da,0,0;Y 0,-db,0;Z 0,0,-dc;P projectionofpointontoplaneB, X, Y, Z;Q projectionofpointontoplaneC, X, Y, Z;R projectionofpointontoplaneD, X, Y, Z;T projectionofpointontoplaneA, X, Y, Z;S1 -0.5X 2Y - 0.5Z;S2 2X - 0.5Y - 0.5Z;S3 S2 0.5msalabaa,b,c,S1 - S2;S4 S1 S3 - S2;chorausoS1--S2--S3--S4--mzunguko,manjano iliyokolea,hakuna mwanga;kuchoraS1--S2--S3--S4--mzunguko;choraA--B;kuchoraA--C;kuchoraA--D;kuchoraB--P,dashed;kuchora C--Q, iliyopigwa;kuchoraD--R,dashed;kuchoraA--T,dashed;nukta0,0,0, A, NE;nukta10,0,0, B, NW;nukta0,10,0, C, NE;nukta0,0,10, D, N;nukta P;nukta Q;nukta R;nukta T;asyKwa hivyo, kwa kuangalia vipeo vitatu, tuna 10ad10,10bd11, na 10cd12. Kisha 10a 10 - d, 10b 11 - d, na 10c 12 - d, hivyo10-d211-d212-d2 100cdota2b2c2100.Kutatua kwa d, tunapatad 11 pm 7 sqrtfrac23.Kumbuka kwamba umbali kutoka asili hadi kwenye ndege ni d, ambayo lazima iwe chini ya 10, kwa hivyo.d 11 - 7 sqrtfrac23 frac33 - sqrt2943.Jibu la mwisho ni 332943330. 