<prompt> Ikiwa x frac1x sqrt3, basi tafuta x18.  <response>: Tatizo hili linaonekana kama linahusisha upotoshaji wa aljebra na sheria za kielelezo. Ninagundua kuwa mlinganyo una x na frac1x, ambazo ni linganishi. Hii inanifanya nifikirie kuzidisha pande zote mbili kwa x ili kufuta sehemu na kupata mlinganyo wa quadratic. Ninapata x2 1 x sqrt3. Nikitoa x sqrt3 kutoka pande zote mbili, ninapata x2 - x sqrt3 1 0. Huu ni mlinganyo wa quadratic ambao ninaweza kujaribu kutatua kwa kutumia fomula ya quadratic. Fomula ya quadratic inasema kwamba ikiwa ax2 bx c 0, basi x frac-b pm sqrtb2 - 4ac2a. Katika kesi hii, a 1, b -sqrt3, na c 1. Kuchomeka maadili haya kwenye fomula ya robo, napata x fracsqrt3 pm sqrt-sqrt32 - 41121 . Kwa kurahisisha mzizi wa mraba, napata x fracsqrt3 pm sqrt3 - 42. Kwa kuwa 3 - 4 -1, naweza kuandika sqrt3 - 4 sqrt-1. Lakini subiri, sqrt-1 si nambari halisi, ni nambari ya kuwaziwa, kwa kawaida huashiriwa na i. Kwa hivyo nina x fracsqrt3 pm i2. Hizi ndizo thamani mbili zinazowezekana za x zinazokidhi mlingano asilia. Ninaweza kuziandika katika umbo la polar kama x fracsqrt32 pm fraci2 epm fracpi6 i , kwa kutumia ukweli kwamba ei theta cos theta i sin theta. Sasa ninataka kupata x18. Ninaweza kutumia sheria kwamba ei thetan ei n theta. Kwa hivyo nina x18 epm fracpi6 i18 epm 3 pi i. Kwa kutumia ukweli kwamba ei pi -1, ninaweza kurahisisha hili kuwa x18 -13 -1. 