<prompt> Ni nambari gani chanya kabisa n kiasi kwamba n2 - n inaweza kugawanywa na baadhi ya thamani kamili lakini si zote kamili ya k wakati 1leq k leq n?  <response>: Nahitaji kupata thamani ya n ambayo hufanya n2 - n kuwa na baadhi ya vipengele katika masafa 1 hadi n, lakini si vyote. Kwa mfano, ikiwa n 2, basi n2 - n 2 ambayo inaweza kugawanywa tu kwa 1 na 2, kwa hivyo hii haifanyi kazi. Ikiwa n 3, basi n2 - n 6 ambayo inaweza kugawanywa kwa 1, 2, 3, na 6, kwa hivyo hii pia haifanyi kazi. Ninashangaa ikiwa kuna muundo au fomula ya n2 - n ambayo ninaweza kutumia kurahisisha hili. Ninagundua kuwa n2 - n huwa sawa kila wakati, kwa hivyo lazima igawanywe kwa 2. Pia ninagundua kuwa n2 - n nn-1, kwa hivyo inaweza kugawanywa na n na n-1 pia. Hii inamaanisha kuwa n2 - n ina angalau vipengele vitatu katika safu 1 hadi n, yaani 2, n-1, na n. Kwa hivyo, ili n2 - n isiweze kugawanywa na baadhi ya thamani za k, ni lazima iwe na zaidi ya vipengele vitatu kwa jumla. Njia moja ya kuhakikisha hilo ni kufanya n2 - n kizidishio cha 4, kwani hiyo ingeongeza kipengele kingine cha 4. Kwa hivyo ninahitaji kupata n ndogo zaidi kwamba 4 inagawanya nn-1. Ninaweza kutumia ukweli kwamba n na n-1 ni nambari kamili mfululizo, kwa hivyo moja lazima iwe sawa na nyingine isiyo ya kawaida. Kwa hivyo, 4 hugawanya nn-1 ikiwa na tu ikiwa hata moja pia inaweza kugawanywa kwa 4. Hiyo inamaanisha ninahitaji kupata n ndogo zaidi ambayo inaweza kugawanywa kwa 4 au moja zaidi ya kizidishio cha 4. n ndogo zaidi ambayo inaweza kugawanywa kwa 4 ni 4 yenyewe, lakini hiyo hufanya n2 - n 12, ambayo inaweza kugawanywa kwa thamani zote za k wakati 1leq k leq 4. Dola ndogo zaidi inayofuata ambayo inaweza kugawanywa kwa 4 ni 8, lakini hiyo inafanya n2 - n 56, ambayo pia inaweza kugawanywa kwa thamani zote za k wakati 1leq k leq 8. Kwa hivyo ninahitaji kujaribu chaguo lingine, ambapo n ni moja zaidi ya nyingi ya 4. n ndogo zaidi inayotosheleza hii ni n 5, na hiyo hufanya n2 - n 20. Sasa ninahitaji kuangalia ikiwa 20 inaweza kugawanywa na baadhi lakini sio thamani zote za k wakati 1leq k leq 5. Ninaweza kuona kwamba 20 inaweza kugawanywa kwa 1, 2, 4, 5, na 10, lakini si kwa 3. Kwa hivyo hii ndiyo thamani ya kwanza ya n ambayo inafanya kazi, na jibu ni n 5. 