<prompt> Acha S_n iashiria jumla ya masharti n ya kwanza ya mfuatano wa hesabu yenye tofauti ya kawaida 3. Ikiwa fracS_3nS_n ni ya kudumu ambayo haitegemei n, kwa nambari zote chanya n, kisha utafute muhula wa kwanza.  <response>: Ninajua kuwa jumla ya mfuatano wa hesabu inaweza kuandikwa kama S_n fracn2a_1 a_n, ambapo a_1 ni muhula wa kwanza na a_n ni muhula wa nth . Ninajua pia kuwa neno nth linaweza kuandikwa kama a_n a_1 n-1d, ambapo d ndio tofauti ya kawaida. Katika tatizo hili, d 3, ili niweze kuandika S_n fracn2a_1 a_1 3n-1 fracn22a_1 3n - 3. Vile vile, ninaweza kuandika S_3n frac3n22a_1 9n - 3. Sasa, nataka kupata uwiano fracS_3n S_n na uone kitakachotokea kadiri n inavyotofautiana. Ninaweza kurahisisha uwiano kama ifuatavyo: fracS_3nS_n fracfrac3n22a_1 9n - 3fracn2 2a_1 3n - 3 frac32a_1 9n - 32a_1 3n - 3. Ili kuona kama uwiano huu ni wa kudumu, ninaweza kujaribu kutafuta kikomo n inapokaribia infinity . n inapokaribia ukomo, masharti ambayo ni ya mstari katika n yatatawala, na masharti ya kudumu yatasahaulika. Kwa hivyo, kikomo cha uwiano n inapokaribia infinity ni frac39n3n 9. Hii ina maana kwamba uwiano ni thabiti na ni sawa na 9 kwa nambari zote chanya n. Kwa hivyo , ninaweza kuweka uwiano sawa na 9 na kutatua kwa a_1. napata 9 frac32a_1 9n - 32a_1 3n - 3, ambayo hurahisisha hadi 18a_1 27n - 27 6a_1 27n - 9, au 12a_1 18, au a_1 frac32. 