<prompt> Acha V iwe nafasi ya vekta juu ya uwanja F, na acha T: V - V iwe badiliko la mstari. Onyesha kwamba ikiwa T2 T, basi V inaweza kugawanywa katika jumla ya moja kwa moja ya nafasi eigen zinazolingana na eigenvalues 0 na 1.  <response>: Ili kuonyesha kwamba V inaweza kugawanywa katika jumla ya moja kwa moja ya nafasi za eigen zinazolingana na eigenvalues 0 na 1, kwanza tutapata eigenvekta za eigenvalues hizi na kisha kuonyesha kwamba vekta yoyote katika V inaweza kuandikwa kama mchanganyiko wa mstari wa eigenveekta hizi.Hebu tuanze kwa kutafuta eigenvectors kwa eigenvalue 0. Tunataka kutatua equation T v 0v kwa v V. Kwa kuwa T2 T, kutumia T kwa pande zote mbili inatupa T T v T. 0v, ambayo hurahisisha kuwa T2v 0v. Lakini kwa kuwa T2 T, hii ina maana Tv 0v. Kwa hivyo, eigenveeta za eigenvalue 0 ndio vekta haswa kwenye kernel ya T yaani, nafasi isiyofaa ya T.Sasa hebu tutafute eigenveekta za eigenvalue 1. Tunataka kutatua equation Tv 1v kwa v V. Kupanga upya mlinganyo huu kunatoa Tv - v 0. Kutumia T kwa pande zote mbili kunatoa TTv - v T0. Kupanua na kutumia mstari wa T, tunapata TTv - Tv 0. Kwa kuwa T2 T, hii hurahisisha kuwa Tv - Tv 0, ambayo ni kweli kwa yote v V. Kwa hivyo, kila vekta v V ni eigenvector kwa eigenvalue 1 kuhusiana na mabadiliko T - I, ambapo mimi ni mabadiliko ya utambulisho.Sasa tumepata eigenveekta za eigenvalue 0 na 1. Acha W_0 iwe eigenspace inayolingana na eigenvalue 0 yaani, kernel ya T, na acha W_1 iwe eigenspace inayolingana na eigenvalue 1 yaani, punje ya T - I . Tutaonyesha kuwa V W_0 W_1, ambayo ina maana kwamba vekta yoyote katika V inaweza kuandikwa kama mchanganyiko wa mstari wa eigenveekta kutoka W_0 na W_1.Kwanza, hebu tuonyeshe kwamba W_0 W_1 0. Tuseme v W_0 W_1. Kisha Tv 0v 0 kwani v ni eigenvector kwa eigenvalue 0, na Tv v kwani v ni eigenvector kwa eigenvalue 1. Hivyo, v 0, hivyo W_0 W_1 0.Sasa tunahitaji kuonyesha kwamba kila vekta katika V inaweza kuandikwa kama jumla ya vekta kutoka W_0 na W_1. Hebu v V. Kwa kuwa v ni eigenvector kwa eigenvalue 1 kwa heshima na T - I, tuna T - I v 0. Hii ina maana T v - v 0, au T v v. Sasa fikiria vekta u v - T v. Ona kwamba Tu Tv - Tv Tv - T2v Tv - Tv 0 kwa mstari wa T na ukweli kwamba T 2 T. Hivyo u W_0. Aidha, v u Tv, ambapo u W_0 na Tv W_1. Kwa hivyo, kila vekta katika V inaweza kuandikwa kama jumla ya vekta kutoka W_0 na W_1.Kwa kuwa W_0 W_1 0 na kila vekta katika V inaweza kuandikwa kama jumla ya vekta kutoka W_0 na W_1, tunahitimisha kuwa V W_0 W_1. Kwa hivyo, V inaweza kugawanywa katika jumla ya moja kwa moja ya eigenspaces sambamba na eigenvalues 0 na 1. 