<prompt> Tafadhali toa maelezo ya hatua kwa hatua juu ya jinsi ya kupata chaguo za kukokotoa za uwezekano wa usambazaji wa kawaida na wastani mu na tofauti sigma2 Na kisha upate kikadiriaji cha juu zaidi cha uwezekano MLE kwa vigezo mu na sigma2.  <response>: Ili kupata chaguo la kukokotoa la uwezekano wa usambazaji wa kawaida na baadaye kuamua makadirio ya uwezekano wa juu MLE kwa vigezo mu na sigma2, fuata hatua hizi:Hatua ya 1: Bainisha chaguo za kukokotoa za msongamano wa uwezekano wa usambazaji wa kawaida PDFPDF ya usambazaji wa kawaida na wastani mu na tofauti sigma2 inatolewa na:jsfx_i mu, sigma2 frac1sqrt2pisigma2 e-fracx_i-mu22 sigma2Hatua ya 2: Bainisha chaguo la kukokotoaKwa kuzingatia seti ya uchunguzi x_1, x_2, dots, x_n, chaguo za kukokotoa, Lmu, sigma2 x_1, x_2, dots, x_n, ni zao la PDFs mahususi:jsLmu, sigma2 x_1, x_2, dots, x_n prod_i1n fx_i mu, sigma2Hatua ya 3: Kokotoa kazi ya uwezekano wa logiBadala ya kufanya kazi na utendakazi wa uwezekano moja kwa moja, ni kawaida kutumia kitendakazi cha uwezekano wa logi kwa sababu hurahisisha mahesabu na epuka maswala ya nambari. Chaguo za kukokotoa uwezekano wa logi, lmu, sigma2, ni logariti asilia ya chaguo za kukokotoa uwezekano:jslmu, sigma2 lnLmu, sigma2 sum_i1n lnfx_i mu, sigma2 Badilisha usambazaji wa kawaida wa PDF kwenye chaguo za kukokotoa za uwezekano wa logi:jslmu, sigma2 sum_i1n lnleftfrac1sqrt2pisigma2 e- fracx_i-mu22sigma2kuliaRahisisha kazi ya uwezekano wa logi:jslmu, sigma2 -fracn2 ln2pisigma2 - frac12sigma2 sum_ i1n x_i - mu2Hatua ya 4: Tafuta MLE kwa vigezo mu na sigma2Ili kupata MLE ya mu na sigma2, tunahitaji kuongeza kitendakazi cha uwezekano wa kumbukumbu kwa kuzingatia vigezo vyote viwili. Tutafanya hivi kwa kuchukua viasili vya sehemu kuhusiana na mu na sigma2 na kuziweka sawa na sufuri.a MLE kwa mu:jsfracpartial lpartial mu frac1sigma2 sum_i1n x_i - mu 0Kwa muhtasari wa x_i zote, tunapata:jssum_i1n x_i - nmu 0Kutatua kwa mu:jskofiamu frac1n sum_i1n x_iMLE ya mu ndio sampuli ya wastani.b MLE kwa sigma2:jsfracpartial lpartial sigma2 -fracn2sigma2 frac12sigma22 sum_ i1n x_i - mu2 0Sasa, tutazidisha kwa 2sigma2 ili kurahisisha mlinganyo:js-n frac1sigma2 sum_i1n x_i - mu2 0Kisha, tutatenga neno frac1sigma2:jsfrac1sigma2 sum_i1n x_i - mu2 nSasa, tunaweza kutatua kwa sigma2:jskofiasigma2 frac1n sum_i1n x_i - mu2MLE ya sigma2 ni sampuli ya tofauti.Kwa muhtasari, unaweza kufuata hatua hizi:1. Bainisha usambazaji wa kawaida wa PDF.2. Bainisha kitendakazi cha uwezekano.3. Kokotoa kitendakazi cha uwezekano wa logi.4. Tafuta MLE kwa vigezo mu na sigma2 kwa kuongeza kitendakazi cha uwezekano wa kumbukumbu kwa kuzingatia vigezo vyote viwili. 