<prompt> Equation y -16t2 26t 105 inaelezea urefu katika futi wa mpira unaorushwa hewani kwa futi 26 kwa sekunde kutoka kwa urefu wa futi 105 juu ya ardhi. Mpira utagonga ardhini kwa sekunde ngapi? Eleza jibu lako kama desimali iliyozungushwa hadi sehemu ya kumi iliyo karibu zaidi.  <response>: Ninajua kuwa mpira utagonga ardhini wakati urefu wake ni sifuri, kwa hivyo ninahitaji kupata thamani ya t ambayo hufanya y 0. Huu ni mlinganyo wa quadratic, kwa hivyo ninaweza kujaribu kuangazia au kutumia fomula ya quadratic. Ninagundua kuwa migawo yote ni sawa, kwa hivyo ninaweza kurahisisha mlinganyo kwa kugawanya pande zote mbili na 2. Hiyo inanipa y -8t2 13t 52.5. Sioni sababu zozote dhahiri za mlingano huu, kwa hivyo nitatumia fomula ya quadratic. Fomula ya quadratic inasema kwamba ikiwa ax2 bx c 0, basi x frac-b pm sqrtb2 - 4ac2a. Katika hali hii, a -8, b 13, na c 52.5, kwa hivyo kuunganisha thamani hizo kwenye fomula hunipa t frac-13 pm sqrt132 - 4-852.52-8. Kwa kurahisisha usemi chini ya mzizi wa mraba, napata t frac-13 pm sqrt169 1680-16. Kurahisisha zaidi, ninapata t frac-13 pm sqrt1849-16. Ninatambua kuwa 1849 432, kwa hivyo ninaweza kuandika t frac-13 pm 43-16. Hii inanipa thamani mbili zinazowezekana za t: t frac-13 43-16 frac30-16 -1.875 na t frac-13 - 43 -16 frac-56-16 3.5. Thamani ya kwanza, t -1.875, haina maana katika muktadha wa tatizo, kwani ina maana kwamba mpira ulikuwa chini sekunde 1.875 kabla ya kurushwa. Thamani ya pili, t 3.5 , ina maana, kwa kuwa ina maana kwamba mpira utapiga chini sekunde 3.5 baada ya kutupwa. Kwa hiyo, jibu ni sekunde 3.5. 