<prompt> Acha a, b, c, d ziwe nambari halisi chanya ili a b c d 1. Pata thamani ya chini zaidi yafracab c d fracba c d fracca b d fracda b c.  <response>: Ninagundua kuwa usemi huu ni wa ulinganifu katika a, b, c, na d, kwa hivyo ninashangaa ikiwa kuna hoja fulani ya ulinganifu au ukosefu wa usawa inayoweza kurahisisha. Kwa mfano, muhula wa kwanza unakuwa fraca1 - a, muhula wa pili unakuwa fracb1 - b, na kadhalika. Kisha usemi huwa fraca1 - a fracb1 - b fracc1 - c fracd1 - d. Sasa ninagundua kuwa hii inaonekana kama chaguo la kukokotoa la a,b, c, na d, na ninataka kupata thamani yake ya chini zaidi. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia calculus na kupata derivatives ya sehemu ya chaguo la kukokotoa kwa heshima na kila kigezo, na kuziweka sawa na sifuri. Hiyo ingenipa mfumo wa milinganyo minne katika vigeu vinne, ambavyo ningeweza kujaribu kutatua kwa a, b, c, na d. Hata hivyo, hiyo inaweza kuwa ya kuchosha na yenye fujo, kwa hivyo ninajiuliza ikiwa kuna njia rahisi ya kupata thamani ya chini. Jambo lingine ninalogundua ni kwamba chaguo la kukokotoa ni la fomu fracx1 - x, ambayo ina asymptote wima kwa x 1 na inaongezeka kwa muda 0, 1. Hii ina maana kwamba kipengele cha kukokotoa hakina kikomo hapo juu x inakaribia 1, na kufungwa chini x inakaribia 0. Kwa hivyo, thamani ya chini ya chaguo la kukokotoa hutokea wakati vigeu vyote viko karibu na sufuri iwezekanavyo. Hii inapendekeza kwamba thamani ya chini zaidi hutokea wakati a b c d frac14, kwa kuwa hiyo ndiyo njia iliyosawazishwa zaidi ya kugawanya 1 katika sehemu nne chanya. Ili kuangalia hili, ninachomeka thamani hizi kwenye usemi na kupata fracfrac141 - frac14 fracfrac14 1 - frac14 fracfrac141 - frac14 fracfrac14 1 - frac14 frac13 frac13 frac13 frac13 frac43. Hii ndiyo thamani ya chini zaidi ya usemi, kwa kuwa thamani nyingine zozote za a,b,c, na d zinaweza kufanya baadhi ya istilahi kuwa kubwa zaidi au kukiuka hali ya kuwa ni chanya na kuongeza hadi 1. 