<prompt> Pata thamani ya chini yax2 xy y2juu ya nambari zote halisi x na y.  <response>: Shida hii inaonekana kama inahusisha misemo ya quadratic, kwa hivyo ninaweza kujaribu kukamilisha mraba au kutumia mbinu nyingine ili kurahisisha. Walakini, kabla sijafanya hivyo, ninagundua kuwa usemi huo ni wa ulinganifu katika x na y, ikimaanisha kuwa nikibadilisha maadili yao, usemi hubaki sawa. Kwa hivyo, wacha nijaribu kuchomeka x y na nione kitakachotokea. Ikiwa x y, basi usemi huo unakuwa x2 x2 x2 3x2. Huu ni usemi rahisi zaidi, na ninajua kuwa sio hasi kila wakati, kwani kugawanya halisi. nambari kamwe haifanyi kuwa hasi. Kwa hiyo, thamani ya chini ya 3x2 ni sifuri, na hutokea wakati x 0. Kwa hivyo, nimepata mgombea wa thamani ya chini ya usemi wa asili, ambayo ni sifuri, na hutokea wakati x. y 0. Lakini ninajuaje kwamba hiki ndicho kima cha chini kabisa, na si tu kima cha chini cha ndani au kima cha chini kwenye mstari fulani? Njia moja ya kuangalia hii ni kutumia calculus na kupata derivatives ya sehemu ya usemi asilia kwa heshima na x na y. Ikiwa naweza kuonyesha kwamba derivatives zote mbili ni sifuri kwa 0,0, basi hiyo ina maana usemi una point muhimu hapo. Na ikiwa ninaweza pia kuonyesha kuwa matrix ya Hessian ya derivatives ya sehemu ya pili ni dhahiri kwa 0,0, basi hiyo inamaanisha kuwa usemi una kiwango cha chini cha kawaida hapo. Kwa hivyo, wacha nitafute derivatives za sehemu. Kinyumeshi cha sehemu kuhusiana na x ni 2x y,na kiingilio cha sehemu kuhusiana na y ni x 2y. Kwa 0,0, zote mbili ni sifuri, kama inavyotarajiwa. Kwa hivyo, 0,0 ni hatua muhimu ya usemi asilia. Sasa, wacha nitafute sehemu ya pili ya derivatives. Nyingine ya pili inayotokana na sehemu kuhusiana na x ni 2,kinyume cha pili cha nusu kuhusiana na y ni 2,na kiingilio cha sehemu cha mchanganyiko kuhusiana na x na y ni. 1. Matrix ya Hessian ya derivatives hizi za sehemu ya pili ni anzabmatrix 2 1 1 2 mwishobmatrix. Ili kuangalia kama matrix hii ni chanya uhakika, ninahitaji angalia eigenvalues zake. Thamani eigen za matrix ya 2 mara 2 hutolewa na suluhu za mlinganyo lambda2 - a d lambda ad - bc 0,ambapo a, b, c , d ni maingizo ya matrix. Katika hali hii, mlinganyo unakuwa lambda2 - 4 lambda 3 0. Masuluhisho ya mlingano huu ni lambda frac4 pm sqrt16 - 12 2 2 pm 1. Kwa hivyo, eigenvalues ni 1 na 3. Kwa kuwa eigenvalues zote mbili ni chanya, matrix ya Hessian ni chanya uhakika. Hii ina maana kwamba usemi asilia una kima cha chini cha ndani katika 0,0. Lakini je, ni kiwango cha chini cha kimataifa? Ili kujibu swali hili, ninahitaji kuangalia tabia ya usemi asilia kama x na y inakuwa kubwa sana au ndogo sana. Nikirekebisha y na kuruhusu x kuwa kubwa sana au ndogo sana, usemi huo unatawaliwa na neno x2, ambalo kila wakati sio hasi na hukua bila kufungwa. Vile vile, nikirekebisha x na kuruhusu y kuwa kubwa sana au ndogo sana, usemi huo unatawaliwa na neno y2, ambalo pia huwa halina hasi na hukua bila kufungwa. Hii ina maana kwamba usemi hauwezi kamwe kuwa hasi, na hauwezi kamwe kuwa mdogo kuliko sifuri. Kwa hivyo, sifuri ni thamani ya chini kabisa ya usemi, na hutokea tu wakati x y 0. 