<prompt> Jan anafikiria nambari kamili chanya. Nambari yake kamili ina vigawanyiko chanya 16, viwili vikiwa 12 na 15. Nambari ya Jan ni ipi?  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kupata nambari kamili chanya ambayo ina vigawanyiko 16 chanya, ikiwa ni pamoja na 12 na 15. Njia moja ya kukabiliana na hili ni kufikiria kuhusu uainishaji mkuu wa nambari ya Jan na jinsi inavyohusiana na idadi ya vigawanyiko. Ikiwa nambari ya Jan ni n, na n p_1a_1p_2a_2cdots p_ka_k ndiyo ubainishaji wake mkuu, basi idadi ya vigawanyo vya n ni a_1 1a_2 1 cdots a_k 1. Hii ni kwa sababu kwa kila kipengele kikuu p_i, tunaweza kuchagua kipeo chochote kutoka 0 hadi a_i kuunda kigawanyo cha n. Kwa hivyo, ninahitaji kutafuta njia ya kufanya bidhaa hii iwe sawa na 16, huku pia nikihakikisha kuwa 12 na 15 ni vigawanyiko vya n. Ninaweza kuanza kwa kuorodhesha sababu kuu za 12 na 15. 12 22 mara 3 na 15 3 mara 5. Hii ina maana kwamba n lazima iwe na 2, 3, na 5 kama sababu kuu, na vielelezo vyake lazima viwe. angalau 2, 1, na 1 mtawalia. Kwa hivyo, n 2a_1 3a_2 5a_3 p_4a_4 cdots p_ka_k, ambapo a_1 geq 2, a_2 geq 1, na a_3 geq 1. Sasa, ninaweza kujaribu kupata thamani za vipeo hivi vinavyotengeneza bidhaa a_1 1a_2 1a_3 1a_4 1 cdots a_k 1 sawa na 16. Ninaweza kuanza kwa kuangalia thamani ndogo kabisa zinazowezekana za a_1, a_2, na a_3. Ikiwa a_1 2, a_2 1, na a_3 1, basi bidhaa ni 3 mara 2 mara 2 12. Hii ni ndogo sana, kwa hivyo ninahitaji kuongeza moja ya vielelezo. Ninaweza kujaribu kuongeza a_1 kwa 1, kwani 2 ndio sababu kuu ndogo zaidi. Ikiwa a_1 3, a_2 1, na a_3 1, basi bidhaa ni 4 mara 2 mara 2 16. Hii inafanya kazi, na ina maana kwamba n 23 31 51 p_4a_4 cdots p_ka_k. Walakini, bado ninahitaji kuangalia ikiwa kuna sababu zingine kuu p_4, p_5, ldets, p_k. Ikiwa kuna, basi vielelezo vyao a_4, a_5, lddots, a_k lazima zote ziwe 0, kwani vinginevyo bidhaa ingekuwa kubwa kuliko 16. Lakini ikiwa vielelezo vyao vyote ni 0, basi haviathiri thamani ya n, kwa hivyo. Ninaweza kuwapuuza. Kwa hiyo, thamani pekee inayowezekana kwa n ni 23 31 51 120. Hii ni nambari ya Jan. 