<prompt> Acha z iwe nambari changamano isiyo halisi. Tafuta thamani ndogo kabisa yafractextImz5textImz5.Kumbuka: Kwa nambari changamano z, textIm z inaashiria sehemu ya kuwazia ya z.  <response>: Shida hii ni juu ya nambari changamano na nguvu za nambari changamano. Nakumbuka kwamba ikiwa z x yi, ambapo x na y ni nambari halisi, basi textImz y na z5 x yi5 . Ili kupata sehemu ya kuwazia ya z5, naweza kutumia nadharia ya binomial kupanua x yi5 na kisha kukusanya masharti ambayo yana i kama kipengele. Ninapata x yi5 x5 5x4yi - 10x3y2 - 10x2y3i 5xy4 y5i. Kwa hivyo, textImz 5 5x4y - 10x2y3 y5. Sasa, nataka kupata thamani ndogo kabisa ya sehemu fractextImz5 maandishiImz5 frac5x4y - 10x2y3 y5y5. Ninagundua kuwa sehemu hii haijafafanuliwa wakati y 0, kwa hivyo nadhani y neq 0. Kisha, ninaweza kurahisisha sehemu kwa kugawanya nambari na kipunguzo kwa y5. napata frac5x4y - 10x2y3 y 5y5 5kushotofracxykulia4 - 10kushotofracxykulia2 1. Sasa, Ninataka kupunguza usemi huu kwa heshima na fracxy. Ninaweza kutumia calculus kupata nukta muhimu za chaguo hili la kukokotoa kwa kuweka derivative yake sawa na sifuri. Dawa inayotokana ni 20kushotofracxykulia3 - 20leftfracxykulia, kwa hivyo nipate 20leftfracx ykulia3 - 20leftfracxyright 0. Ninaweza kuainisha 20leftfracxyright na kupata 20leftfracxyrightleftleftfracxyright2 - 1right 0. Kisha, nina thamani mbili zinazowezekana kwa fracxy: either fracxy 0 au fracxy pm 1. Ninaweza kuunganisha thamani hizi kwenye zile asili. kujieleza na uone ni ipi inatoa thamani ndogo zaidi. Ikiwa fracxy 0, basi usemi unakuwa 504 - 1002 1 1. Ikiwa fracxy pm 1, kisha usemi unakuwa 5pm 14 - 10pm 12 1 -4. Kwa hivyo, thamani ndogo kabisa ya usemi ni -4, ambayo hutokea wakati frac xy pm 1. Ili kupata thamani zinazolingana za z, ninahitaji kutatua x pm y na y neq 0. Suluhu moja linalowezekana ni z 1 i. 