<prompt> Pata suluhu la jumla la mlinganyo wa sehemu tofauti ut k2ux2, ambapo ux,t inawakilisha usambazaji wa halijoto kwenye fimbo na k ni isiyobadilika.  <response>: Ili kupata suluhisho la jumla kwa usawa uliopeanwa wa kutofautisha, tunaweza kutumia njia ya mgawanyo wa anuwai. Wacha tufikirie kuwa suluhisho ux,t linaweza kuandikwa kama bidhaa ya kazi mbili, moja kulingana na x na nyingine kulingana na t tu:ux,t XxTtSasa wacha tubadilishe hii kwenye PDE:ut k2ux2XxdTtdt kd2Xxdx2TtIfuatayo, tunatenganisha vigezo kwa kugawanya pande zote mbili na XxTt:1Tt dTtdt kXx d2Xxdx2Kwa kuwa upande wa kushoto unategemea t tu na upande wa kulia unategemea x tu, lazima ziwe sawa na mara kwa mara, ambayo tutaita -λ:1Tt dTtdt -λkXx d2Xxdx2 -λSasa tunayo milinganyo miwili ya kawaida ya kutofautisha ODE ya kutatua:dTtdt λTt 0d2Xxdx2 λkXx 0ODE ya kwanza ni ODE rahisi ya mpangilio wa kwanza kwa Tt, na suluhisho lake la jumla ni:Tt A e-λtambapo A ni hali isiyobadilika kiholela.ODE ya pili ni ya mpangilio wa pili wa ODE ya Xx. Suluhisho lake la jumla linategemea thamani ya λk:1. Ikiwa λk 0, acha μ2 λk, basi suluhisho la jumla ni:Xx B cosμx C dhambiμx2. Ikiwa λk 0, suluhisho la jumla ni:Xx Bx C3. Ikiwa λk 0, acha μ2 -λk, basi suluhisho la jumla ni:Xx B eμx C e-μxSasa tunaweza kuchanganya suluhisho za Tt na Xx kupata suluhisho la jumla la ux,t:1. Ikiwa λk 0:ux,t A cosμx B dhambiμxe-λt2. Ikiwa λk 0:ux,t Ax Be-λt3. Ikiwa λk 0:ux,t A eμx B e-μxe-λtKumbuka kwamba katika mazoezi, hali ya mipaka na hali ya awali itatolewa ili kuamua fomu maalum ya ufumbuzi na maadili ya mara kwa mara A, B, C, na λ. 