<prompt> Acha a, b, c ziwe nambari halisi chanya. Pata thamani ya chini yafraca ba cb cabc.  <response>: Ninagundua kuwa usemi ninaotaka kupunguza unahusisha bidhaa za hesabu za anuwai, ambayo inanikumbusha usawa wa wastani wa kijiometri AM-GM. Ukosefu wa usawa wa AM-GM unasema kwamba kwa nambari zozote zisizo hasi x_1, x_2, dots, x_n, maana ya hesabu fracx_1 x_2 cdots x_nn ni kubwa kuliko au sawa na kijiometri. maana x_1 x_2 cdots x_n1n, na usawa ikiwa tu ikiwa x_i zote ni sawa. Ninashangaa ikiwa ninaweza kutumia ukosefu wa usawa wa AM-GM kwa kila sababu katika nambari ya usemi, na kisha kutumia aljebra kurahisisha ukosefu wa usawa unaosababishwa. Ninaijaribu: kwa AM-GM, nina a b geq 2 sqrtab, a c geq 2 sqrtac, na b c geq 2 sqrtbc. Kuzidisha kukosekana kwa usawa hizi tatu pamoja, ninapata a ba cb c geq 8 sqrta2 b2 c2 8abc. Kwa kugawanya pande zote mbili kwa abc, ninapata fraca ba cb cabc geq 8. Hii inamaanisha kuwa thamani ya chini ya usemi ni angalau 8, lakini ni 8 haswa? Ninakumbuka kuwa ukosefu wa usawa wa AM-GM una usawa ikiwa na tu ikiwa anuwai zote ni sawa, kwa hivyo ninaangalia ikiwa hiyo inawezekana katika kesi hii. Ikiwa a b c, basi usemi huwa fraca aa aa aaaa frac8a3a3 8, ambayo inalingana na kifungo cha chini nilichopata. Kwa hiyo, thamani ya chini ya kujieleza ni 8, na hutokea wakati a b c . 