<prompt> Acha a, b, c, d ziwe nambari halisi zisizo hasi kiasi kwamba a b c d 1. Pata thamani ya chini zaidi yaa2 b2 c2 d2.  <response>: Ninagundua kuwa usemi a2 b2 c2 d2 ni jumla ya miraba, ambayo daima haina hasi. Kwa hivyo, thamani ya chini lazima ifanyike wakati a2 b2 c2 d2 iko karibu na sifuri iwezekanavyo. Hii inamaanisha kuwa ninataka kufanya maadili ya a, b, c, d kuwa ndogo iwezekanavyo, wakati bado nikidhi kikwazo ambacho a b c d 1. nashangaa ikiwa kuna njia ya tumia aina fulani ya ukosefu wa usawa au mbinu ya uboreshaji kupata thamani ya chini zaidi. Nakumbuka kwamba kuna ukosefu wa usawa maarufu unaoitwa usawa wa Cauchy-Schwarz, ambao unasema kwamba kwa nambari zozote halisi x_1, x_2, dots, x_n na y_1, y_2, dots, y_n, tunayo.x_12 x_22 cdots x_n2y_12 y_22 cdots y_n2 geq x_1y_1 x_2y_2 cdots x_ny_n2. Ninashangaa kama ninaweza kutumia ukosefu huu wa usawa kwa tatizo lililotolewa. Ninagundua kwamba nikiruhusu x_1 a, x_2 b, x_3 c, x_4 d na y_1 y_2 y_3 y_4 1, basi ukosefu wa usawa wa Cauchy-Schwarz unakuwa.a2 b2 c2 d212 12 12 12 geq a b c d2. Ninarahisisha hili kupata4a2 b2 c2 d2 geq a b c d2. Ninajua kwamba a b c d 1, ili niweze kubadilisha hiyo kwa usawa na kupata4a2 b2 c2 d2 geq 12. Ninagawanya pande zote mbili kwa 4 na kupataa2 b2 c2 d2 geq frac14. Hii ina maana kwamba thamani ya chini zaidi ya a2 b2 c2 d2 ni frac14, na hutokea wakati kesi ya usawa ya Cauchy-Schwarz ina usawa. Ninakumbuka kuwa kesi ya usawa ya Cauchy-Schwarz ina usawa wakati vekta x_1, x_2, dots, x_n na y_1, y_2, dots, y_n ni sawia. Hii ina maana kwamba katika tatizo hili, kesi ya usawa inashikilia wakati a, b, c, d ni sawia na 1, 1, 1, 1, au kwa usawa, wakati a b c d . Kwa kuwa a b c d 1, hii ina maana kwamba a b c d frac14. Kwa hiyo, thamani ya chini ya a2 b 2 c2 d2 ni frac14, na hutokea wakati a b c d frac14. 