<prompt> Vekta mathbfa anzapmatrix 3 1 -2 mwishopmatrix na mathbfb anzapmatrix 0 2 -1 endpmatrix. Kuna mikwaruzo p,q, na r ambayoanzapmatrix 4 1 -4 mwishopmatrix p mathbfa q mathbfb r mathbfa nyakati mathbfb .Tafuta r.  <response>: Tunaweza kukokotoa kuwa mathbfa nyakati mathbfb anzapmatrix 3 3 6 mwishopmatrix. Kutoka kwa mlinganyo uliotolewa,mathbfa nyakati mathbfb cdot anzapmatrix 4 1 -4 mwishopmatrix p mathbfa nyakati mathbf b cdot mathbfa qmathbfa nyakati mathbfb cdot mathbfb r mathbfa nyakati mathbfb cdot mathbfa nyakati mathbfb.Kwa kuwa mathbfa times mathbfb ni orthogonal kwa zote mathbfa na mathbfb, mathbf a nyakati mathbfb cdot mathbfa mathbfa nyakati mathbfb cdot mathbfb 0, kwa hivyo hii inapunguza hadi-9 54r.Kwa hivyo, r -frac16. 