<prompt> Je, ni nini kinachosalia wakati x 12010 imegawanywa kwa x2 x 1?  <response>: Ninajua kuwa ninapogawanya polynomial yoyote kwa quadratic, iliyobaki itakuwa na digrii chini ya quadratic, kwa hivyo itakuwa ya mstari zaidi. Hiyo inamaanisha kuwa naweza kuandika salio kama ax b kwa baadhi ya vipengele a na b. Ili kupata a na b, ninahitaji kutumia ukweli kwamba salio na gawio zina thamani sawa katika mzizi wowote wa kigawanyiko. Mizizi ya x2 x 1 ni nambari changamano frac-1 pm i sqrt32, ambazo pia ni mizizi ya mchemraba ya umoja. Kwa hivyo, wacha nichome thamani hizi kwenye x 12010 na ax b na kuziweka sawa. Kwa mzizi wa kwanza, ninapata frac-1 i sqrt32 12010 a frac-1 i sqrt32 b. Ninaweza kurahisisha upande wa kushoto kwa kubainisha kuwa frac-1 i sqrt32 1 frac1 i sqrt32, ambayo ni mojawapo ya mizizi ya sita ya umoja. Kwa hivyo, kuinua hadi kufikia nguvu ya 2010, ambayo ni kizidishio cha 6, inanipa 1. Kwa hivyo, nina 1 a frac-1 i sqrt32 b. Vile vile, kwa mzizi wa pili, ninapata frac-1 - i sqrt32 12010 a frac-1 - i sqrt3 2 b. Tena, ninaweza kurahisisha upande wa kushoto kwa kubainisha kuwa frac-1 - i sqrt32 1 frac1 - i sqrt32, ambayo ni mzizi mwingine wa sita wa umoja. Kwa hivyo, kuinua kwa nguvu ya 2010 pia kunipa 1. Kwa hivyo, nina 1 a frac-1 - i sqrt32 b. Sasa nina hesabu mbili na mbili zisizojulikana, a na b. Ninaweza kuzitatua kwa kuziondoa. Nikiongeza milinganyo miwili, nitapata 2 a frac-1 i sqrt32 frac-1 - i sqrt32 2b . Kurahisisha, napata 2 -a 2b. Nikiondoa mlingano wa pili kutoka wa kwanza, nitapata 0 a frac-1 i sqrt32 - frac-1 - i sqrt32 0b. Kwa kurahisisha, napata 0 a i sqrt3. Hii inamaanisha kuwa a 0. Kuingiza hii kwenye equation ya kwanza, napata 1 b. Kwa hivyo, iliyobaki ni 0x 1, au 1 tu. 