<prompt> Seti A z : z18 1 na B w : w48 1 zote ni seti za mizizi changamano ya umoja. Seti C zw : z in A mboxna w in B pia ni seti ya mizizi changamano ya umoja. Ni vipengele vingapi tofauti vilivyo katika C_?  <response>: Ninahitaji kujua ni nambari ngapi changamano tofauti za fomu zw zinaweza kupatikana kwa kuzidisha mzizi wa umoja kutoka A na mzizi wa umoja kutoka B. Ninajua kwamba mizizi changamano ya umoja imepangwa kwa usawa kwenye mduara wa kitengo, na hoja zao ni mafungu ya frac2pin, ambapo n ni kiwango cha mlingano wanachokidhi. Kwa hivyo, hoja za vipengee vya A ni mgawo wa frac2pi18, na hoja za vipengee vya B ni mgawo wa frac2pi48 . Hoja ya bidhaa zw itakuwa jumla ya hoja za z na w. Ninataka kujua ni kiasi ngapi tofauti za fomu frac2pi18k frac2pi48l ninazoweza kupata, ambapo k na l ni nambari kamili . Ninaweza kuandika hii upya kama frac2pi1448k 3l. Kwa hivyo, swali ni sawa na kuuliza ni zidishi ngapi tofauti za frac2pi144 ninazoweza kupata kwa kuongeza 8k na 3l, ambapo k na l ni nambari kamili. Hili ni tatizo la nadharia ya nambari, na ninakumbuka kwamba kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida gcd cha 8 na 3 ni 1. Hii inamaanisha kuwa ninaweza kupata nambari kamili k na l kiasi kwamba 8k 3l 1. Kwa mfano, k 1 na l -2 inafanya kazi. Hii pia inamaanisha kuwa ninaweza kupata nambari kamili k na l kiasi kwamba 8k 3l m, ambapo m ni nambari yoyote. Hii ni kwa sababu ninaweza kuzidisha pande zote mbili za 8k 3l 1 kwa m na kupata 8km 3lm m. Kwa hivyo, kwa nambari kamili m, kuna mgawo wa frac2pi144 wa fomu frac2pi1448k 3l. Hii inamaanisha kuwa ninaweza kupata vizidishi vyote vya frac2pi144 kwa kutofautisha k na l. Kwa hivyo, seti C ina mizizi yote tata ya umoja wa digrii 144. Kuna 144 mizizi kama hiyo, kwa hivyo jibu ni 144. 