<prompt> Pata thamani za juu na za chini zaidi za chaguo za kukokotoa nyingi fx, y chini ya kizuizi gx, y c.  <response>: Ili kupata maadili ya juu na ya chini ya kazi nyingi zinazoweza kubadilika fx, y chini ya kizuizi gx, y c, unaweza kutumia njia ya vizidishi vya Lagrange. Hivi ndivyo jinsi:1. Tambulisha kigezo kipya λ lambda, kinachoitwa kizidishi cha Lagrange.2. Unda kazi ya Lagrangian Lx, y, λ fx, y - λgx, y - c.3. Kokotoa upinde rangi L kwa kuzingatia x, y, na λ: L Lx, Ly, Lλ.4. Weka kila sehemu ya upinde rangi sawa na sifuri: Lx 0, Ly 0, na Lλ 0. Hizi zinaitwa milinganyo ya Lagrange.5. Tatua mfumo wa milinganyo inayoundwa na milinganyo ya Lagrange ya x, y, na λ. Suluhisho zitakupa vidokezo muhimu vya kazi fx, y chini ya kizuizi gx, y c.6. Tathmini chaguo za kukokotoa fx, y katika kila sehemu muhimu inayopatikana katika hatua ya 5.7. Linganisha maadili yaliyopatikana katika hatua ya 6. Thamani kubwa zaidi ni ya juu zaidi, na thamani ndogo zaidi ni kiwango cha chini cha kazi fx, y chini ya kizuizi gx, y c. 