<prompt> Mpira unadunda juu frac23 ya urefu ambao unaangukia. Ikiwa mpira umeshuka kutoka urefu wa 243 cm, baada ya mpira kuruka mara ngapi kwanza huinuka chini ya 30 cm?  <response>: Ninahitaji kujua jinsi urefu wa mpira hubadilika baada ya kila kuruka. Ninajua kwamba mpira unarudi nyuma frac23 ya urefu wa awali, ili niweze kuzidisha urefu wa awali kwa frac23 ili kupata urefu unaofuata. Ninaweza kuandika hii kama mfuatano: h_n frac23h_n-1, ambapo h_n ndio urefu wa mpira baada ya n kudunda. Ninataka kupata thamani ndogo zaidi ya n vile h_n 30 cm. Ninaweza kuanza kwa kuchomeka urefu wa awali wa 243 cm na nione kinachotokea. Baada ya kudunda mara moja, mpira hupanda hadi h_1 frac23 mara 243 162 cm. Baada ya marudio mawili, mpira hupanda hadi h_2 frac23 mara 162 108 cm. Baada ya marudio matatu, mpira hupanda hadi h_3 frac23 mara 108 72 cm. Baada ya midundo minne, mpira hupanda hadi h_4 frac23 mara 72 48 cm. Baada ya kudunda mara tano, mpira hupanda hadi h_5 frac23 mara 48 32 cm. Baada ya kudunda mara sita, mpira hupanda hadi h_6 frac23 mara 32 21.33 cm. Hii ni mara ya kwanza kwamba mpira hupanda chini ya 30 cm, hivyo n 6 ni jibu. 