<prompt> Acha x, y, na z ziwe nambari halisi chanya kiasi kwamba x y z 1. Pata thamani ya chini zaidi yafracx yxyz.  <response>: Ili kupata thamani ya chini ya usemi, mimi hujaribu kutumia aina fulani ya ukosefu wa usawa au mbinu ya calculus. Katika hali hii, ninaona kwamba usemi fracx yxyz ni linganifu katika x na y, kwa hivyo naweza kudhani bila kupoteza jumla kwamba x leq y leq z. Hii ina maana kwamba z geq frac13 na x y leq frac23. Sasa, ninaweza kujaribu kutumia ukosefu wa usawa wa AM-GM, ambao unasema kwamba kwa nambari zozote zisizo hasi a na b, tuna fraca b2 geq sqrtab. Nikitumia hili kwa x na y, napata frac x y2 geq sqrtxy. Kuweka pande zote mbili na kuzidisha kwa z, napata fracx y24 z geq xyz. Kwa kuchukua pande zote mbili, ninapata frac4x y2 z leq frac1xyz. Kuzidisha pande zote mbili kwa x y, napata frac4x y z leq fracx yxyz. Kwa hivyo, usemi fracx yxyz umefungwa hapa chini na frac 4x y z. Ili kupata thamani ya chini zaidi, ninahitaji kuongeza kipunguzo x y z. Kwa kutumia kikwazo x y z 1, naweza kuandika upya dhehebu kama 1 - z z. Ili kuongeza utendaji wa quadratic, ninaweza kutumia calculus au kukamilisha mraba. Kukamilisha mraba, napata 1 - z z frac14 - z - frac122. Thamani ya juu zaidi hutokea wakati neno la mraba ni sifuri, ambayo hutokea wakati z frac12. Kwa hivyo, thamani ya chini ya fracx yxyz hutokea wakati z frac12 na x y frac12. Kuchomeka thamani hizi kwenye frac4x y z, napata frac4frac11 2 frac12 16. 