<prompt> Acha a, b, c ziwe nambari halisi kama hizofracab fracbc fracca 7 quad textna quad fracba frac cb fracac 9.Tafutafraca3b3 fracb3c3 fracc3a3.  <response>: Tatizo hili linahusisha upotoshaji wa aljebra wa sehemu na nguvu. Ninagundua kuwa misemo uliyopewa ni ya ulinganifu katika a, b, c, kwa hivyo ninashangaa ikiwa ninaweza kutumia uingizwaji wa busara au uwekaji kurahisisha. Wazo moja ni kuruhusu x fracab, y fracbc, na z fracca. Kisha nina x y z 7 na frac1x frac1y frac1z 9. Pia ninaona kwamba xyz fraca b cdot fracbc cdot fracca 1, hivyo x, y, z si sifuri. Ninataka kupata fraca3b3 fracb3c3 fracc3a3 x3 y 3 z3. Ili kufanya hivi, ninafikiria jinsi ya kueleza x3 y3 z3 kulingana na x y z na frac1x frac1y frac1z. Nakumbuka kwamba x3 y3 z3 - 3xyz x y zx2 y2 z2 - xy - yz - zx. Kwa kuwa xyz 1, naweza kuandika hii upya kama x3 y3 z3 3 x y z x2 y2 z2 - xy - yz - zx. Sasa ninahitaji kupata x2 y2 z2 - xy - yz - zx. Ninaona kwamba x y z2 x2 y2 z2 2xy yz zx, hivyo x2 y2 z2 - xy - yz - zx x y z2 - 3xy yz zx. Ili kupata xy yz zx, natumia kitambulisho kingine: frac1x frac 1y frac1z fracxy yz zxxyz. Kwa kuwa xyz 1, ninaweza kuandika hili upya kama xy yz zx frac 1x frac1y frac1z. Kwa hiyo, x2 y2 z2 - xy - yz - zx x y z2 - 3frac1x frac1y frac1z. Akichomeka hii kwenye usemi wa x3 y 3 z3, napata x3 y3 z3 3 x y zx y z2 - 3frac1 x frac1y frac1z. Kubadilisha thamani za x y z 7 na frac1x frac1y frac1z 9, napata x3 y3 z3 3 772 - 3 cdot 9 3 7 49 - 27 3 154 157. 