<prompt> Chembe iko kwenye ndege ya kuratibu kwa 5,0. Bainisha sogeza kwa chembe kama mzunguko kinyume cha saa wa fracpi4 radians kuhusu asili ikifuatiwa na tafsiri ya 10 katika mwelekeo chanya x. Pata nafasi ya chembe baada ya 150 kusonga.  <response>: Acha z_0 5, na acha z_n iwe nafasi ya uhakika baada ya hatua n. Kishaz_n omega z_n - 1 10,ambapo omega jina la uendeshajicis fracpi4. Kishaanzaalignz_1 5 omega 10, z_2 omega 5 omega 10 5 omega2 10 omega 10, z_3 omega 5 omega2 10 omega 10 10 5 omega3 10 omega2 10 omega 10,mwishoalignna kadhalika. Kwa ujumla, tunaweza kuthibitisha kwa introduktionsutbildning kwambaz_n 5 omegan 10 omegan - 1 omegan - 2 vitone 1.Hasa,z_150 5 omega150 10 omega149 omega148 nukta 1.Kumbuka kwamba omega4 jina la kiendeshaji cis pi -1 na omega8 1. Kisha kwa fomula ya mfululizo wa kijiometri,anzaalignz_150 5 omega150 10 omega149 omega148 nukta 1 5 omega150 10 cdot frac1 - omega1501 - omega 5 omega818 cdot omega6 10 cdot frac1 - omega818 cdot omega61 - omega 5 omega6 10 cdoti frac1 - omega61 - omega 5 omega6 10 omega5 omega4 omega3 omega2 omega 1 -5 omega2 10 -omega - 1 omega3 omega2 omega 1 10 omega3 5 omega2 10 jina la operetacis frac3 pi4 5i 10 cos frac3 pi4 10i sin frac3 pi4 5i -5 sqrt2 5 5 sqrt2 i.endalignKwa hivyo, hatua ya mwisho ni -5 sqrt2, 5 5 sqrt2. 