<prompt> Tafuta jumla ya nambari zote n kiasi kwamba dfrac12n pia ni nambari kamili.  <response>: Ninajua kuwa dfrac12n ni nambari kamili ikiwa tu n ni kigawanyo cha 12. Kwa hivyo ninahitaji kupata vigawanyiko vyote vyema na hasi vya 12 na kuviongeza. Ninaweza kutumia factorization kuu kupata vigawanyiko chanya vya 12. 12 vinaweza kuandikwa kama 22 mara 3. Ili kupata kigawanyo cha 12, ninaweza kuchagua 0, 1, au 2 sababu za 2, na ama 0 au 1 ya 3. Kwa hivyo vigawanyiko chanya vya 12 ni 20 mara 30 1, 2. 1 mara 30 2, 22 mara 30 4, 20 mara 31 3, 21 mara 31 6, na 2 2 mara 31 12. Vigawanyiko hasi vya 12 ni vinyume tu vya vigawanyiko chanya, kwa hivyo ni -1, -2, -4, -3, -6, -12. Sasa ninahitaji tu kuongeza vigawanyiko hivi vyote. Ninagundua kuwa vigawanyaji vinakuja kwa jozi ambazo zina thamani sawa kabisa lakini ishara tofauti, kwa hivyo hughairi ninapoziongeza. Kwa mfano, 1 -1 0, 2 -2 0, na kadhalika. Kwa hivyo jumla ya vigawanyiko vyote vya 12 kwa kweli ni 0. 