<prompt> Ikiwa arccos x arccos 2x arccos 3x pi, basi x itatosheleza ujazo wa polinomia za fomu.ax3 bx2 cx d 0,ambapo a,b,c, na d ni nambari kamili, na a neq 0. Tafuta ndogo iwezekanavyo thamani ya a b c d.  <response>: Hebu tutumie kitambulisho cosalpha beta cosalphacosbeta - sinalphasinbeta. Hilo ni wazo zuri. Tunaweza kuitumia kwa arccos x arccos 2x. Tunayo cosarccos x pm arccos 2x cosarccos xcosarccos 2x mp sinarccos xsinarccos 2x. Kwa hivyo cosarccos x x. cosarccos 2x na sinarccos 2x ni nini? Kwa kuwa arccos 2x ni pembe ambayo cosine yake ni 2x, cosarccos 2x 2x. Vipi sinarccos 2x? Tuna sin2arccos 2x cos2arccos 2x 1. Kwa hivyo sinarccos 2x pm sqrt1 - cos2arccos 2x pm sqrt1 - 4x2. Haki. Sasa tunahitaji kuchagua ishara sahihi. Kwa kuwa arccos 2x ni kati ya 0 na pi, sinarccos 2x geq 0. Kwa hivyo sinarccos 2x sqrt1 - 4x2. Sasa tunaweza kuweka vipande vyote pamoja. Tuna cosarccos x pm arccos 2x cosarccos xcosarccos 2x mp sinarccos xsinarccos 2x x2x mp sqrt1-x2sqrt1-4x2. Hiyo ni sahihi. Sasa tunahitaji kuchagua ishara sahihi. Tuna arccos x arccos 2x arccos 3x pi. Kwa hivyo arccos x arccos 2x pi - arccos 3x. Nzuri. Kwa hivyo cosarccos x arccos 2x cospi - arccos 3x. Na cospi - theta -costheta. Kwa hivyo tuna cosarccos x arccos 2x -cosarccos 3x Sasa tunaweza kutumia kitambulisho tulichopata awali. Tuna cosarccos x arccos 2x -cosarccos 3x -3x. Hebu tufanye hivyo. Kwa hivyo tuna -3x x2x - sqrt1-x2sqrt1-4x2. Haki. Kwa hivyo x2x 3x sqrt1-x2sqrt1-4x2. Hiyo ni sahihi. Sasa sisi mraba pande zote mbili. Tunapata 2x2 3x2 1-x21-4x2. Na hiyo hurahisisha hadi 4x4 12x3 9x2 1 - 5x2 4x4. Tunapata 4x4 12x3 9x2 1-5x24x4. Kwa hivyo 12x3 14x2 - 1 0. Sasa tunahitaji tu kupata a b c d. a ni mgawo wa x3, ambayo ni 12. b ni mgawo wa x2, ambayo ni 14. c ni mgawo wa x, ambayo ni 0. d ni neno la mara kwa mara, ambalo ni -1. Kwa hivyo a b c d 12 14 0 1 27. Hilo ndilo jibu la mwisho. 