<prompt> Pata 2 cdot 5-1 8 cdot 11-1 pmod56.Eleza jibu lako kama nambari kamili kutoka 0 hadi 55, zikijumlishwa.  <response>: Ili kupata kinyume cha nambari ya modulo n, ninahitaji kupata nambari inayokidhi mlinganyo ax equiv 1 pmodn. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia algoriti iliyopanuliwa ya Euclidean, ambayo hupata kigawanyo kikubwa zaidi cha kawaida cha a na n na kukieleza kama mseto wa mstari wa a na n. Ikiwa kigawanyo kikuu cha kawaida ni 1, basi mgawo wa a katika mseto wa mstari ni kinyume cha amodulo n. Kwa mfano, ili kupata 5-1 pmod56, ninaanza kwa kuandika 56 5 cdot 11 1. Hii ina maana kwamba 1 56 - 5 cdot 11, ambayo ina maana kwamba -11 ni kinyume cha 5 modulo 56. Ili kufanya jibu hili kuwa chanya, ninaweza kuongeza 56 kwake, kwa hivyo 5-1 pmod56 45. Vile vile, ili kupata 11-1 pmod56, ninaandika 56 11 cdot 5 1. Hii ina maana kwamba 1 56 - 11 cdot 5, ambayo ina maana kwamba -5 ni kinyume cha 11 modulo 56. Ili kufanya jibu hili kuwa chanya, ninaongeza 56 kwake, kwa hivyo 11-1 pmod56 51. Kwa kuwa sasa ninayo inverses, ninaweza kuzichomeka kwenye usemi asilia na kurahisisha. Ninapata 2 cdot 5-1 8 cdot 11-1 pmod56 2 cdot 45 8 cdot 51 pmod56. Hii hurahisisha hadi 90 408 pmod56 498 pmod56. Ili kupata salio wakati wa kugawanya kwa 56, ninaweza kutumia mgawanyiko mrefu au kutoa mara kwa mara. Ninaona kuwa 498 56 cdot 8 50, kwa hivyo iliyobaki ni 50. Kwa hivyo, jibu ni 50 . 