<prompt> Acha mathbfa, mathbfb, na mathbfc ziwe vivekta vitatu kama vile mathbfa cdot mathbfb mathbfa cdot mathbfc 0, na pembe kati ya mathbfb na mathbfc ni 60circ. Compute mathbfa cdot mathbf b nyakati mathbfc.  <response>: Ninatambua kuwa mathbfa cdot mathbfb times mathbfc ni ujazo wa parallelepiped iliyosambazwa na vekta tatu mathbfa, mathbfb , na mathbfc. Kwa kuwa mathbfa ni sawa na mathbfb na mathbfc, pia ni sawa na ndege wanayotumia, kwa hivyo urefu wa bomba sambamba ni ukubwa tu wa mathbfa, ambayo ni 1. Msingi wa parallelepiped ni msambamba unaosambazwa na mathbfb na mathbfc, na eneo lake ni mathbfb mara mathbfc. Kupata mathbfb nyakati mathbfc, natumia fomula mathbfb nyakati mathbfc mathbfbmathbfcsin theta, ambapo theta ni pembe kati ya mathbfb na mathbfc. Tangu mathbf b na mathbfc zote ni vekta za kitengo, ukubwa wake ni 1, na pembe kati yake ni 60circ, napata mathbfb times mathbfc sin 60circ fracsqrt32. Kwa hiyo, ujazo wa parallelepiped ni mathbfa cdot mathbfb times mathbf c 1 cdot fracsqrt32 fracsqrt32. 