<prompt> Acha a na b ziwe mizizi halisi yax4 - 4x - 1 0.Tafuta ab a b.  <response>: Katika kujaribu kuangazia polima hii ya quartic, tunajaribu kukamilisha mraba. Ikiwa tutapata mraba x2 p, basi tunapatax2 p2 x4 2px2 p2,ambayo inatupa muda wa x4. Hivyo,anzaalignx4 - 4x - 1 x2 p2 - 2px2 - p2 - 4x - 1 x2 p2 - 2px2 4x p2 1.endalignIkiwa tunaweza kuchagua thamani ya p kiasi kwamba 2px2 4x p2 1 ni mraba wa binomial, basi tunaweza kuainisha quartic kwa kutumia tofauti-ya- mraba factorization.quadratic 2px2 4x p2 1 ni mraba kamili ikiwa tu ikiwa kibaguzi chake ni 0, kwa hivyo.42 - 42pp2 1 0.Hii hurahisisha hadi p3 p - 2 0. Tunaona kwamba p 1 ni mzizi.Kisha kwa p 1, tunapataanzaalignx4 - 4x - 1 x2 12 - 2x2 4x 2 x2 1 - 2 x2 2x 1 x2 1 - x 1 sqrt22 x2 x 1 sqrt2 1x2 - x 1 sqrt2 1 x2 x sqrt2 sqrt2 1x2 - x sqrt2 - sqrt2 1.endalignKibaguzi cha kipengele cha kwanza cha quadratic ni hasi, kwa hivyo hakina mizizi halisi. Ubaguzi wa kipengele cha pili cha quadratic ni chanya, kwa hivyo a na b ndio mizizi ya quadratic hii.Kisha kwa fomula za Vieta, a b sqrt2 na ab -sqrt2 1, hivyo ab a b 1. 