<prompt> Pembetatu ya equilateral ina wima zake zote tatu kwenye parabola yx2-8x5. Kipeo kimoja cha pembetatu kiko kwenye kipeo cha parabola, na upande wa kinyume uko kando ya mstari yk. Thamani ya k ni nini?  <response>: Verteksi moja ya pembetatu iko kwenye vertex ya parabola. x-coordinates ya vertex ni frac-b2afrac--8214. Ili kupata kiratibu cha y, tunachomeka x4 ili kupata y42-8cdot 4516-325-11. Kwa hivyo kipeo kimoja cha pembetatu kiko 4, -11.Vipeo vingine viwili viko kwenye makutano ya parabola yx2-8x5 na mstari yk. Kwa hivyo tuna x2-8x5k au x2-8x5-k0. Kwa fomula ya quadratic, suluhu za mlingano huu ni anzaalignfrac--8pmsqrt-82-415-k21frac8pmsqrt64- 204k 24pmsqrt11k.endalignKwa hivyo vima vingine viwili vya pembetatu ni 4-sqrt11k,k na 4sqrt11k,k. Sasa, tunajua pembetatu ni sawa. Kwa kuwa wima mbili ziko kwenye mstari mmoja wa mlalo, urefu wa upande ni tofauti ya viwianishi vyake vya x-, ambayo ni 4sqrt11k-4-sqrt11k 2sqrt11k. Urefu wa pembetatu iliyo sawa ni fracsqrt32 mara ya urefu wa upande, ambao ni fracsqrt322sqrt11k sqrt311k. Lakini urefu pia ni tofauti katika uratibu wa y-kati ya kipeo na upande mlalo ambao uko yk. Hii inamaanisha urefu ni sawa na k--11k11, kwa kuwa -11 ni y-coordinates ya vertex. Urefu huu lazima uwe sawa, ili tuweze kuandika mlinganyo anzaalignsqrt311kk11quadKulia311kk112quadKulia333kk222k121quadKulia0k219k88quadKulia0k8k11.endalignKwa hivyo tuna k-8 au k-11. Tunaweza kutupa k-11 kwa sababu kisha mstari y-11 hukatiza parabola mara moja tu, kwenye kipeo, kwa hivyo hakuna pembetatu, nukta moja tu. Kwa hivyo tuna k-8. 