<prompt> Tafuta nambari changamano z ili z z 2 8i.  <response>: Ninajua kwamba nambari changamano ina fomu z a bi, ambapo a na b ni nambari halisi na i ni kitengo cha kuwazia ambacho kinatosheleza i2 -1. Thamani kamili ya z ni umbali kutoka kwa asili katika ndege changamano, ambayo imetolewa na nadharia ya Pythagorean: z sqrta2 b2. Kwa hivyo, mlinganyo uliotolewa unaweza kuandikwa upya kama a bi sqrta2 b2 2 8i. Mlinganyo huu lazima ushikilie kwa sehemu zote mbili halisi na za kuwazia, ili niweze kuigawanya katika milinganyo miwili: a sqrta2 b2 2 na b 8. Mlinganyo wa pili hunipa thamani ya b, ili niweze kuichomeka kwenye mlinganyo wa kwanza na kupata a sqrta2 64 2. Hii inaonekana kama equation ya quadratic iliyojificha, kwa hivyo ninaweza kujaribu kutenga mzizi wa mraba na kisha mraba pande zote mbili. Nikitoa a kutoka pande zote mbili, ninapata sqrta2 64 2 - a. Nikipiga pande zote mbili, ninapata a2 64 4 - 4a a2. Kurahisisha, napata 64 4 - 4a. Nikitoa 4 kutoka pande zote mbili, napata 60 -4a. Kugawanya pande zote mbili kwa -4, ninapata a -15. Kwa kuwa sasa nina a na b, ninaweza kuandika nambari changamano z kama z -15 8i. 