<prompt> Kwa baadhi ya nambari halisi a na b, mlinganyo 8x3 4ax2 2bx a 0ina mizizi chanya tatu tofauti. Ikiwa jumla ya logariti za msingi-2 za mizizi ni 5, ni nini thamani ya a?  <response>: Hii ni equation ya ujazo, na ina mizizi tatu chanya tofauti. Hiyo ina maana kwamba grafu ya chaguo za kukokotoa fx 8x3 4ax2 2bx a lazima ivuke mhimili wa x mara tatu kwa thamani chanya za x. Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kujaribu kuangazia equation kuwa bidhaa ya mambo matatu ya mstari, kwa kutumia ukweli kwamba ikiwa r ni mzizi, basi x-r ni sababu. Kwa hivyo tunaweza kuandika 8x3 4ax2 2bx a 8x-r_1x-r_2x-r_3ambapo r_1, r_2, na r_3 ni mizizi mitatu. Kupanua upande wa kulia, tunapata 8x3 4ax2 2bx a 8x3 - 8r_1r_2r_3x2 8r_1r_2 r_1r_3 r_2r_3x - 8r_1r_2r_3Tukilinganisha vihesabu vya nguvu sawa za x, tunapata mfumo wa milinganyo: anzailiyopangwa4a -8r_1r_2r_3 2b 8r_1r_2 r_1r_3 r_2r_3 a -8r_1r_2r_3mwishoiliyopangwa Tunaweza kurahisisha mfumo huu kwa kugawa mlinganyo wa kwanza na 4 na mlingano wa pili na 2, na kutumia mlingano wa tatu kuondoa a. Tunapata: anzailiyopangwaa -2r_1r_2r_3 b 4r_1r_2 r_1r_3 r_2r_3 r_1r_2r_3 -fraca8mwishoiliyopangwa Sasa, tunaweza kutumia taarifa iliyotolewa kwamba jumla ya logariti msingi-2 za mizizi ni 5. Hii ina maana kwamba log_2r_1 log_2r_2 log_2r_3 5Kwa kutumia sifa za logariti, tunaweza kuandika hii upya kama logi_2r_1r_2r_3 5ambayo ina maana kwamba r_1r_2r_3 25 32Kubadilisha hii katika mlinganyo wa mwisho wa mfumo, tunapata 32 -fraca8Tunatatua kwa a, tunapata a -256 