<prompt> Pata nambari zote halisi k vilekushoto k anzapmatrix 2 -3 mwishopmatrix - anzapmatrix 4 7 mwishopmatrix kulia 2 sqrt13.Ingiza suluhu zote, zikitenganishwa na koma.  <response>: Ninaona kuwa shida inahusisha kawaida ya vekta, ambayo ni urefu wa vekta. Nakumbuka kwamba kawaida ya vekta beginpmatrix a b endpmatrix inatolewa na sqrta2 b2. Kwa hivyo, ninaweza kuandika tena mlinganyo kama sqrtleftk anzapmatrix 2 -3 mwishopmatrix - anzapmatrix 4 7 mwishopmatrixkulia cdoti kushotok anzapmatrix 2 -3 mwishopmatrix - anzapmatrix 4 7 mwishopmatrixkulia 2 sqrt13. Ninagundua kuwa usemi ulio ndani ya mzizi wa mraba ni bidhaa ya nukta ya vekta yenyewe. Nakumbuka kuwa bidhaa ya nukta mbili beginpmatrix a b endpmatrix na beginpmatrix c d endpmatrix inatolewa na a c b d . Kwa hivyo, ninaweza kurahisisha mlingano kama sqrtleft2k - 4right2 left-3k - 7right2 2 sqrt13. Sasa, Nina equation moja na isiyojulikana, k. Ninaweza mraba pande zote mbili za equation ili kuondoa mzizi wa mraba. Hii inanipa kushoto2k - 4kulia2 kushoto-3k - 7kulia2 kushoto2 sqrt13kulia2. Ninaweza kupanua miraba na kurahisisha masharti. Hii inanipa 4k2 - 16k 16 9k2 42k 49 52. Ninaweza kuchanganya maneno kama hayo na kusogeza kila kitu upande mmoja. Hii inanipa 13k2 26k 13 0. Ninagundua kuwa huu ni mlinganyo wa quadratic katika fomu ya kawaida, na a 13, b 26, na c 13. Ninaweza kutumia formula ya quadratic kupata suluhisho kwa k. Fomula ya quadratic inasema kwamba k frac-b pm sqrtb2 - 4ac2a. Inachomeka thamani za a, b, na c, Ninapata k frac-26 pm sqrt262 - 4 cdot 13 cdot 132 cdot 13. Ninaweza kurahisisha usemi chini ya mzizi wa mraba. Ninapata k frac-26 pm sqrt676 - 67626. Ninaona kuwa mzizi wa mraba ni sifuri, ambayo ina maana kwamba kuna suluhisho moja tu la k. Ninapata k frac-2626. Ninarahisisha sehemu. Ninapata k -1. 