<prompt> Acha A, M, na C ziwe nambari kamili zisizo hasi kama vile AMC12. Ni thamani gani ya juu zaidi ya Acdot Mcdot CAcdot MMcdotCCcdot A?  <response>: Hili ni tatizo kuhusu kupata thamani ya juu zaidi ya chaguo za kukokotoa za vigeu vitatu, kulingana na kikwazo. Mkakati mmoja unaowezekana ni kutumia njia ya vizidishi vya Lagrange, ambayo inahusisha kutafuta pointi ambapo gradient ya kazi ni sambamba na gradient ya kizuizi. Mkakati mwingine unaowezekana ni kutumia usawa wa AM-GM, ambao unasema kwamba kwa nambari zozote zisizo hasi, maana ya hesabu ni kubwa kuliko au sawa na maana ya kijiometri. Katika hali hii, wastani wa hesabu wa A, M, na C ni fracAMC34, na wastani wa kijiometri ni sqrt3 Acdot Mcdot C. Kwa hivyo, kwa usawa wa AM-GM, tuna 4geqsqrt3Acdot Mcdot C au kwa usawa, 64geq Acdot Mcdot C. Hii ina maana kwamba thamani ya juu iwezekanayo ya Acdot Mcdot C ni 64, na hutokea wakati AMC4. Sasa, hebu tuangalie masharti mengine katika chaguo la kukokotoa. Tunagundua kuwa Acdot MMcdot CCcdot A ni linganifu katika A, M, na C, kwa hivyo inapaswa pia kuongezwa wakati AMC4 . Ili kuthibitisha hili, tunaweza kutumia ukweli kwamba kwa nambari zozote zisizo hasi, xyz2geq 3xyyzzx au sawia, xyyzzxleq fracxyz23. Katika kesi hii, kuruhusu xA, yM, na zC, tuna Acdot MMcdot CCcdot Aleq fracAMC23frac144348. Hii ina maana kwamba thamani ya juu iwezekanavyo kati ya Acdot MMcdot CCcdot A ni 48, na hutokea wakati AMC4. Kwa hivyo, thamani ya juu zaidi ya chaguo za kukokotoa ni Acdot Mcdot CAcdot MMcdot CCcdot A6448112. 