<prompt> Kamak sin6 theta cos6 theta sin 2 theta,kisha tafuta k.  <response>: Ninagundua kuwa upande wa kushoto wa mlinganyo unahusisha nguvu za sita za sine na kosine, na upande wa kulia unahusisha sine ya pembe mara mbili. Hii inanifanya nifikirie vitambulisho vingine vya trigonometric ambavyo vinaweza kuwa muhimu kurahisisha mlinganyo. Utambulisho mmoja unaokuja akilini ni sin 2 theta 2 sin theta cos theta. Utambulisho mwingine ambao unaweza kusaidia ni sin2 theta cos2 theta 1. Ninashangaa ikiwa ninaweza kutumia vitambulisho hivi kuandika tena upande wa kushoto wa equation kulingana na sin 2 theta. Ninaona kuwa naweza kutumia kitambulisho cha pili kuandika cos6 theta 1 - sin2 theta3., basi naweza kupanua hii kwa kutumia fomula ya binomial kama cos6 theta 1 - 3 sin2 theta 3 sin4 theta - sin6 theta. Iwapo badilisha hii katika upande wa kushoto wa mlinganyo, napata k sin6 theta 1 - 3 sin2 theta 3 sin4 theta - sin6 theta 1 - 3 sin2 theta 3 sin4 theta. Sasa naweza kubainisha sin2 theta kutoka kwa maneno mawili ya mwisho na kupata k 1 - sin2 theta 3 - 3 sin2 theta. Ninaona kwamba kipengele katika mabano ni sawa na 3 cos2 theta kwa utambulisho wa pili. Kwa hivyo naweza kuandika k 1 - 3 sin2 theta cos2 theta. Lakini hii ni sawa kabisa na k 1 - frac34 sin2 2 theta kwa kitambulisho cha kwanza. Ninaweza kupanga upya hii ili kupata frac34 sin2 2 theta 1 - k. Kwa kuchukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili, napata fracsqrt32 sin 2 theta pm sqrt1 - k. Kwa kuwa sin 2 theta k kwa mlinganyo wa asili, naweza kubadilisha na kupata fracsqrt32 k pm sqrt1 - k. Kuweka pande zote mbili tena, napata frac34 k2 1 - k. Nikizidisha pande zote mbili kwa 4, napata 3k 2 4k - 4 0. Huu ni mlinganyo wa quadratic katika k, ambao ninaweza kutatua kwa kutumia fomula ya quadratic. Ninapata k frac-4 pm sqrt16 486 frac-4 pm 86 frac23 au -2 . Walakini, ninagundua kuwa k -2 haileti maana, kwani inaweza kumaanisha kuwa sin 2 theta -2, ambayo haiwezekani, kwani kazi ya sine huwa kati ya -1 na 1. Kwa hivyo, suluhisho pekee halali ni k frac23. 