<prompt> Pembetatu huundwa kwa kipeo kimoja kwenye kipeo cha parabola yx2-1 na vipeo vingine viwili kwenye makutano ya mstari yr na parabola. Ikiwa eneo la pembetatu ni kati ya 8 na 64 pamoja, tafuta thamani zote zinazowezekana za r. Eleza jibu lako kwa nukuu ya muda.  <response>: Ili kupata eneo la pembetatu, ninahitaji kupata kuratibu za wima tatu na kutumia fomula ya eneo la pembetatu. Kipeo cha parabola ni 0,-1, kwa hivyo hiyo ni kipeo kimoja cha pembetatu. Vipeo vingine viwili ni pale mstari yr unapokatiza parabola yx2-1. Ili kupata sehemu za makutano, ninahitaji kutatua equation rx2-1 kwa x. Ninaweza kupanga upya mlinganyo ili kupata x2r1 kisha nichukue mzizi wa mraba wa pande zote mbili. Kwa kuwa x inaweza kuwa chanya au hasi, ninapata masuluhisho mawili: xpmsqrtr1. Sehemu za makutano ni sqrtr1,r na -sqrtr1,r. Eneo la pembetatu ni nusu ya bidhaa ya msingi na urefu. Msingi wa pembetatu ni umbali kati ya nukta mbili za makutano, ambayo ni 2sqrtr1. Urefu wa pembetatu ni umbali kutoka kwa kipeo cha parabola hadi mstari yr, ambayo ni r1. Eneo la pembetatu basi ni frac122sqrtr1r1, ambayo hurahisisha r1sqrtr1 . Ninataka eneo hili liwe kati ya 8 na 64, kwa hivyo ninahitaji kutatua ukosefu wa usawa 8leqr1sqrtr1leq64. Ili kurahisisha mambo, ninaweza kuruhusu sr1 na kuandika upya ukosefu wa usawa kama 8leq ssqrtsleq 64. Ili kuondoa mzizi wa mraba, ninaweza mraba pande zote mbili za usawa, lakini lazima niwe mwangalifu na mwelekeo wa ishara za usawa. Kuweka nambari chanya huhifadhi ishara ya ukosefu wa usawa, lakini kuweka nambari hasi huigeuza. Kwa kuwa s ni jumla ya r na 1, lazima iwe chanya, kwa hivyo sihitaji kuwa na wasiwasi kuhusu kubadilisha ishara za ukosefu wa usawa. Kuweka pande zote mbili za usawa, ninapata 64leq s3leq 4096. Ili kutenga s, ninaweza kuchukua mzizi wa mchemraba wa pande zote mbili za ukosefu wa usawa, na tena, sihitaji kuwa na wasiwasi kuhusu kubadilisha ishara za ukosefu wa usawa, kwa kuwa utendaji wa mizizi ya mchemraba unaongezeka. Kuchukua mzizi wa mchemraba wa pande zote mbili za usawa, ninapata 4leq sleq 16. Nikibadilisha sr1, ninapata 4leq r1leq 16. Nikitoa 1 kutoka pande zote mbili za ukosefu wa usawa, ninapata 3leq rleq 15. Hili ndilo jibu la mwisho, na katika nukuu ya muda, ni 3,15. 