<prompt> Acha a, b, na c ziwe nambari halisi chanya. Ni thamani gani ndogo inayowezekana ya abcleftfrac1abfrac1acfrac1bc kulia?  <response>: Walakini, ninagundua kuwa chaguo la kukokotoa lina ulinganifu fulani: haibadiliki ikiwa nitabadilisha anuwai mbili. Hii inaonyesha kuwa kiwango cha chini kinaweza kutokea wakati vigeu vyote vitatu ni sawa. Katika hali hiyo, chaguo la kukokotoa litakuwa 3aleftfrac32arightfrac92. Ili kuona ikiwa hii ndio kiwango cha chini kabisa, ninahitaji kuilinganisha na thamani ya chaguo la kukokotoa wakati viambishi vyote si sawa. Ninaweza kutumia maana ya hesabu ya maana-harmonic maana ya usawa, ambayo inasema kwamba kwa nambari zozote chanya x_1, x_2, dots, x_n, wastani wa upatanishi wao ni angalau usawa wa wastani wao. Yaani, frac1nleftfrac1x_1frac1x_2cdotsfrac1x_nrightgeq frac nx_1x_2cdotsx_n. Nikitumia ukosefu huu wa usawa kwa masharti matatu kwenye mabano, ninapata frac1abfrac1acfrac1bcgeq frac 92abc. Nikizidisha pande zote mbili kwa abc, napata abcleftfrac1abfrac1ac frac1bcrightgeq frac92. Hii ina maana kwamba chaguo za kukokotoa siku zote ni angalau frac92, na ni sawa na frac92 when abc. Kwa hivyo, thamani ndogo kabisa ya chaguo za kukokotoa ni frac92. 