<prompt> Sehemu inayoangazia F ya parabola yenye kipeo V inalingana na overlineFV na huingiliana na parabola katika pointi A na B. cos pembe AVB ni nini? Eleza jibu lako kama sehemu ya kawaida kwa njia rahisi zaidi.  <response>: Ninajua kuwa lengo la parabola ni nukta kwenye mhimili wa ulinganifu, ambao pia ni mstari unaopita kwenye kipeo na ni sawa na mstari wa moja kwa moja. Kwa hivyo, ikiwa nitachora sehemu kupitia mwelekeo ambao ni sawa na overlineFV, itakuwa sambamba na directrix. Hiyo ina maana kwamba sehemu overlineAB ni sambamba na directrix pia, kwa kuwa ni sehemu ya mstari huo. Sasa, nakumbuka kwamba umbali kutoka kwa kuzingatia hadi hatua yoyote kwenye parabola ni sawa na umbali kutoka kwa hatua hiyo hadi kwenye directrix. Hii inamaanisha kuwa overlineFA overlineFB, kwa hivyo pembetatu pembetatu FAB ni isosceles. Kwa kuwa overlineFV ni mwinuko wa pembetatu hii, pia ni sehemu ya pembetatu ya angle AVB. Kwa hiyo, angle AVF angle BVF. Ili kupata cos angle AVB, ninaweza kutumia fomula ya pembe mbili ya cosine: cos angle AVB cos 2 angle AVF 2 cos2 angle AVF - 1. Sasa, ninahitaji kupata cos angle AVF. Ninagundua kuwa pembetatu FAV ni pembetatu ya kulia, kwa hivyo ninaweza kutumia nadharia ya Pythagorean kupata urefu wa hypotenuse yake: overlineAV sqrtoverlineFA2 overlineFV 2. Kisha, ninaweza kutumia ufafanuzi wa cosine kupata cos angle AVF: cos angle AVF fracoverlineFVoverlineAV. Lakini, sijui thamani kamili za overlineFA na overlineFV. Walakini, najua kuwa zinalingana na umbali kutoka kwa kipeo hadi kwa kuzingatia, ambayo ni sawa na umbali kutoka kwa vertex hadi directrix, ambayo inaitwa urefu wa focal wa parabola. Acha niite urefu huu wa kulenga p, ili overlineFV p na overlineFA 2p, kwa kuwa lengo liko mara mbili kutoka kwa kipeo kama ilivyo kutoka kwa directrix. Kisha, ninaweza kuunganisha thamani hizi kwenye usemi wa cos angle AVF: cos angle AVF fracpsqrt2p2 p2 frac psqrt5p2 frac1sqrt5. Sasa, ninaweza kuunganisha thamani hii kwenye usemi wa cos angle AVB: cos angle AVB 2 cos2 angle AVF - 1 2 leftfrac1sqrt 5kulia2 - 1 frac25 - 1 -frac35. 