<prompt> Acha S iwe mraba wa urefu wa upande 1. Pointi mbili huchaguliwa kwa kujitegemea bila mpangilio kwenye pande za S. Uwezekano kwamba umbali wa mstari wa moja kwa moja kati ya pointi ni angalau dfrac12 ni dfraca-bpic, ambapo a, b, na c ni nambari kamili zenye gcda,b,c1. abc ni nini?textbfA 59qquadtextbfB 60qquadtextbfC 61qquadtextbfD 62qquadtextbfE 63  <response>: Gawanya mpaka wa mraba katika nusu, na hivyo kuunda sehemu 8. Bila hasara ya jumla, acha alama ya kwanza A iwe katika sehemu ya chini kushoto. Kisha, ni rahisi kuona kwamba sehemu yoyote katika sehemu za 5 zisizopakana na sehemu ya chini-kushoto itakuwa umbali wa angalau dfrac12 kando na A. Sasa, zingatia kuchagua nukta ya pili kwenye sehemu ya chini kulia. Uwezekano wa kuwa umbali wa angalau 0.5 kutoka A ni dfrac0 12 dfrac12 kwa sababu ya mstari wa uwezekano uliotolewa. Vinginevyo, mtu anaweza kusanidi mfumo wa kuratibu na kutumia uwezekano wa kijiometri.Ikiwa pointi ya pili B iko kwenye sehemu ya kushoto-chini, basi ikiwa A iko umbali wa x kutoka kwenye kipeo cha kushoto-chini, basi B lazima iwe hadi dfrac12 - sqrt0.25 - x2 mbali na sehemu ya kushoto ya katikati. Kwa hivyo, kwa kutumia hoja ya wastani tunapata kwamba uwezekano katika kesi hii ni frac1left frac12 kulia2 int_0frac11 2 dfrac12 - sqrt0.25 - x2 dx 4left frac14 - fracpi16 kulia 1 - fracpi4.Vinginevyo, mtu anaweza kusawazisha tatizo na kupata x, y zote halali na 0 x, y dfrac12 vile x2 y2 ge dfrac 14, yaani x, y iko nje ya mduara wa kitengo na radius 0.5.Kwa hivyo, wastani wa uwezekano unatoaP frac18 left 5 frac12 1 - fracpi4 kulia frac 132 kushoto 26 - pi kulia.Jibu letu ni 59. 