<prompt> Quadrilateral ABCD imeandikwa katika mduara na sehemu AC kipenyo cha duara. Ikiwa mangle DAC 30circ na mangle BAC 45circ, uwiano wa eneo la ABCD na eneo la duara unaweza kuonyeshwa kama sehemu ya kawaida katika radical rahisi zaidi. fomu kulingana na pi kama fracasqrtbcpi, ambapo a, b, na c ni nambari kamili chanya. Je, thamani ya a b c ni nini?  <response>: asyukubwa 150;jozi A, B, C, D, O;O0,0;A-1,0;B0,-1;C1,0;D.5,.866;choramduaraO, 1;nukta O;choraA--B--C--D--A--C;choramduaraA,B,C;leboA, A, W;leboB, B, S;leboC, C, E;leboD, D, NE;leboO, O, N;lebor, -.4,0, S;lebor, C2, S;lebo30circ, -.55, 0, N;lebo45circ, -.7,0, S;asy Acha eneo la duara liwe r. Kisha sehemu AC ina urefu wa 2r. Kumbuka kwamba pembe iliyoandikwa ni nusu ya kipimo cha arc inayokata. Kwa sababu AC ni kipenyo cha duara, arcs ADC na ABC zote zina kipimo cha digrii 180. Kwa hivyo, pembe D na B zina kipimo cha nusu hiyo, au digrii 90. Kwa hivyo, zote mbili ni pembe za kulia. Sasa tunajua kuwa pembetatu ADC ni pembetatu ya kulia ya 30-60-90 na pembetatu hiyo ABC ni pembetatu ya kulia ya 45-45-90.Tunaweza kutumia uwiano wa pande katika pembetatu hizi maalum ili kubainisha kuwa anzaalignCDfracAC2frac2r2r ADDCsqrt3rsqrt3 ABfracACsqrt2frac2rsqrt2rsqrt2 BCABrsqrt2.endalignSasa tunaweza kupata maeneo ya pembetatu ADC na ABC. anzaalignA_ADCfrac12rrsqrt3fracr2sqrt32 A_ABC frac12rsqrt2rsqrt2frac122r2r2.endalignKwa hivyo, eneo la quadrilateral ABCD ni jumla ya maeneo ya pembetatu ADC na ABC. A_ABCDfracr2sqrt32 r2r2leftfracsqrt321kulia r2leftfracsqrt322kulia.Eneo la duara ni pi r2. Kwa hivyo, uwiano wa eneo la ABCD kwa eneo la duara ni fracr2leftfracsqrt322kuliapi r2fracghairir2kushotofracsqrt322kuliapi cancelr2frac sqrt322pi.Kwa hivyo, a2, b3, na c2. Hatimaye, tunapata abc2327. 