<prompt> Miguu ya pembetatu ya kulia ina urefu log_4 27 na log_2 9. Ikiwa urefu wa hypotenuse ni h, compute 4h.  <response>: Ninagundua kuwa miguu ya pembetatu ya kulia ina misemo ya logarithmic na besi tofauti. Ninashangaa ikiwa ninaweza kutumia baadhi ya sifa za logarithmu ili kurahisisha au kuziandika tena katika msingi wa kawaida. Ninakumbuka kuwa log_b a fraclog_c alog_c b kwa misingi yoyote chanya b na c. Ninajaribu kutumia mali hii kuandika upya miguu katika msingi wa 2, kwani hiyo ni. msingi rahisi zaidi. Ninapata log_4 27 fraclog_2 27log_2 4 fraclog_2 272 na log_2 9 fraclog_2 91. I sasa inaweza kutumia nadharia ya Pythagorean kupata hypotenuse katika misingi ya logarithms 2. Napata h2 fraclog_2 2722 fraclog_2 912. Ninataka kurahisisha usemi huu kadiri niwezavyo kabla ya kuchukua mzizi wa mraba. Ninagundua kuwa log_2 27 log_2 33 3 log_2 3 na log_2 9 log_2 32 2 log_2 3. Ninabadilisha semi hizi kwenye mlinganyo kwa h2. Napata h2 frac3 log_2 322 2 log_2 32. Ninapanua miraba na kukusanya maneno kama hayo. Ninapata h2 frac94 log_2 32 4 log_2 32 frac254 log_2 32. I chukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili. Ninapata h frac52 log_2 3. Sasa nina hypotenuse kulingana na logarithm 2 ya msingi. Ninataka kupata 4h, ambayo ni sawa na 22h. Ninatumia kanuni ya kielelezo kwa logariti: blog_b x x. Ninapata 22h 2 5 log_2 3 2log_2 35 35 243. 