<prompt> Nambari asilia za fomu F_n22n 1 zinaitwa nambari za Fermat. Mnamo 1640, Fermat alidhani kwamba nambari zote F_n, ambapo nneq 0, ndizo kuu. Baadaye dhana ilionyeshwa kuwa ya uwongo. Je, nambari ya vitengo ya F_1000 ni ipi?  <response>: Ninataka kupata tarakimu ya mwisho ya nambari kubwa sana, F_1000, ambayo ni jumla ya maneno mawili: 221000 na 1. Ninajua kuwa nambari ya mwisho ya jumla inategemea tu nambari za mwisho za masharti, kwa hivyo naweza kupuuza nambari zingine na kuzingatia sehemu hizo. Nambari ya mwisho ya 1 ni dhahiri 1, kwa hivyo ninahitaji tu kupata tarakimu ya mwisho ya 221000. Ninagundua kuwa kipeo cha 2 chenyewe ni nguvu ya 2, kwa hivyo ninashangaa ikiwa kuna muundo au mzunguko katika tarakimu za mwisho za nguvu za 2. Ninaanza kwa kuorodhesha nguvu chache za kwanza za 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, dots. Ninaona kwamba tarakimu za mwisho hurudia kila nguvu nne: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, dots. Hii ina maana kwamba tarakimu ya mwisho ya 2k inategemea salio wakati k inagawanywa kwa 4. Ikiwa k ni mgawo wa 4, basi tarakimu ya mwisho ni 6. Ikiwa k ina salio la 1, basi tarakimu ya mwisho ni 2. Ikiwa k ina salio la 2, basi tarakimu ya mwisho ni 4. Ikiwa k ina salio la 3, basi tarakimu ya mwisho ni 8. Sasa ninahitaji kupata salio wakati 21000 inagawanywa kwa 4. Hii inamaanisha kuwa salio ni 0, na tarakimu ya mwisho ya 221000 ni 6. Kwa hivyo, tarakimu ya mwisho ya F_1000 ni jumla ya tarakimu za mwisho za 221000 na 1, ambayo ni 6 1 7. 