<prompt> Acha mathbfv na mathbfw ziwe visambazaji data kiasi kwamba mathbfv 3 na mathbfw 4. Pata thamani ya chini zaidi ya mathbfv cdot mathbfw.  <response>: Ninajua kuwa bidhaa ya nukta ya vekta mbili inaweza kuandikwa kulingana na ukubwa wao na pembe kati yao, kama mathbfv cdot mathbfw mathbfv mathbfwcos theta. Kwa hivyo, ili kupunguza usemi huu, ninataka kupunguza cosine ya pembe, ambayo inamaanisha kuongeza pembe yenyewe. Pembe kubwa inayowezekana kati ya vekta mbili ni digrii 180, au pi radians, na cosine ya hiyo ni -1. Kwa hivyo, thamani ya chini ya mathbfv cdot mathbfw hupatikana wakati vekta ziko kinyume katika mwelekeo, na ni - mathbfvmathbfw -3 cdot 4 -12. 