<prompt> Acha z_1, z_2,z_3, na z_4 ziwe masuluhisho manne changamano ya mlingano. z4 - 6z2 8z 1 -4z3 - z 2i.Tafuta jumla ya umbali sita kwa jozi kati ya z_1,z_2,z_3, na z_4 katika ndege changamano.  <response>: Kuhamisha masharti yote hadi upande wa kushoto, tuna z4 4iz3 - 6z2 8-4iz 18i 0.Kuona coefficients 4 na 6 inatukumbusha upanuzi wa z14. Ili kupata masharti kama vile 4iz3 ambayo yanahusisha i, badala yake tunaandika zi4 z4 4iz3 - 6z2 - 4iz 1.Kwa kuzingatia hili, mlinganyo uliotolewa ni sawa na zi4 8z8i0,au z i4 -8zi.Kubadilisha w zi, tuna w4 -8w.Kwa sababu uingizwaji huu unatafsiri tu ndege changamano, jumla ya umbali wa jozi haibadiliki ikiwa tutafanya kazi na mlingano huu badala ya mlinganyo wa z. Mlinganyo huu unamaanisha kwamba ama w0 au w3 -8.Kila suluhu la w 3 -8 ina ukubwa wa 2, kwa sababu kuchukua ukubwa wa pande zote mbili kunatoa w3 w3 8. Zaidi ya hayo, ikiwa w3 -8, basi w6 64, hivyo w ni mara mbili ya nambari ambayo ni 6textth mizizi ya umoja ambayo si 3textrd mzizi wa umoja. Nambari hizi changamano zina hoja tfracpi3, pi, na tfrac5pi3 katika ndege changamano, kwa hivyo zinaunda pembetatu iliyo equilateral: asysize5cm;draw -3,0--3,0,Mshale wa Mwisho;chora0,-3--0,3,Mshale wa Mwisho;choraMduara0,0,2; nukta0,02dir602dir1802dir300; chora2dir60--2dir180- -2dir300--cycle,dotted;leboRe,3,0,E;leboIm,0,3,N;asy Msawazo huu pembetatu ina urefu wa upande 2sqrt3, kwa hivyo mzunguko wake ni 6sqrt3. Pamoja na umbali wa 2 kutoka kila kipeo hadi asili, tunapata jibu, 6sqrt3 23 6sqrt36. 