<prompt> Je, ni vijisehemu vingapi vya seti ya vigawanyiko vya 72 vyenye nambari za mchanganyiko pekee? Kwa mfano, 8,9 na 4,8,12 ni seti mbili kama hizo. Jumuisha seti tupu katika hesabu yako.  <response>: Kuanza, ninahitaji kuorodhesha vigawanyiko vyote vya 72 na kutambua ni zipi ambazo ni za mchanganyiko. Kigawanyo cha 72 ni nambari inayogawanya 72 sawasawa, au bila kuacha salio. Njia moja ya kupata vigawanyiko ni kuangazia 72 katika mambo makuu, ambayo ni nambari ambazo zina vigawanyiko viwili tu: 1 na zenyewe. Kwa kutumia mti wa sababu, naweza kuandika 72 kama 23 cdot 32. Hii ina maana kwamba kigawanyo chochote cha 72 lazima kiwe cha fomu 2a cdot 3b, ambapo a na b ni nambari kamili zisizo hasi ambazo hazizidi 3 na 2, mtawalia. Kwa mfano, 20 cdot 31 3 na 22 cdot 32 36 ni vigawanyo viwili vya 72. Kuna 3121 12 thamani zinazowezekana za a na b, kwa hivyo kuna vigawanyiko vya 12 vya 72 kwa jumla. Vigawanyiko ni 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Nambari ya mchanganyiko ni nambari ambayo ina zaidi ya vigawanyiko viwili chanya. Nambari pekee ambazo hazijajumuishwa ni 1 na nambari kuu. Katika orodha ya vigawanyiko, 1, 2, 3 sio mchanganyiko, kwa hivyo naweza kuzipuuza. Vigawanyiko vilivyosalia vya 9 vyote vimeundwa, na ni 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Sasa ninahitaji kuhesabu ni sehemu ngapi za nambari hizi za mchanganyiko za 9 zinawezekana. Seti ndogo ni mkusanyiko wa vipengee ambavyo vyote viko katika seti asili, bila kurudiwa. Kwa mfano, 4,6,12 na 9,24,72 ni seti ndogo za vigawanyiko vyenye mchanganyiko, lakini 4,6,6,12 na 2,4,6,12 sio. Ili kuunda kikundi kidogo, ninaweza kuchagua kujumuisha au kuwatenga kila moja ya vigawanyo vya 9. Kwa kila kigawanyiko, nina chaguo mbili, kwa hivyo jumla ya idadi ya vifaa vidogo ni 29 512. Hii inajumuisha seti tupu, ambayo haina vipengele. 