<prompt> Acha fr sum_j22008 frac1jr frac12r frac13r vidoti frac12008r. Tafuta sum_k2infty fk.  <response>: Hili ni tatizo la kuvutia, kwa sababu linahusisha muhtasari wa mara mbili: kwanza zaidi ya r kutoka 2 hadi infty, na kisha zaidi ya j kutoka 2 hadi 2008. Njia moja inayowezekana ya kukabiliana na hili ni kubadili mpangilio wa majumuisho. , na tuone kama tunaweza kurahisisha jumla ya ndani kwanza. Yaani, tunataka kupata sum_j22008 sum_k2infty frac1jk. Hili linaonekana kufahamika, kwa sababu ni mfululizo wa kijiometri wenye uwiano wa kawaida frac1j na muhula wa kwanza frac1j2. Tunajua kuwa jumla ya mfululizo wa kijiometri na r 1 ni fraca1-r, ambapo a ni muhula wa kwanza na r ndio uwiano wa kawaida. Kwa kutumia hii kwa jumla ya ndani, tunapata sum_k2infty frac1jk fracfrac1j21- frac1j frac1jj-1. Sasa tumerahisisha muhtasari maradufu kuwa sum_j22008 frac1jj-1. Huu unaonekana kama mfululizo wa darubini, kwa sababu tunaweza kuandika frac1jj-1 frac1j-1 - frac1j. Hii ina maana kwamba masharti mengi yataghairi, na kuacha tu ya kwanza na ya mwisho. Kwa mfano, maneno machache ya kwanza ni frac11 - frac12 frac12 - frac13 frac1 3 - frac14 dots. Tunaweza kuona kwamba masharti pekee ambayo hayaghairi ni frac11 mwanzoni na -frac12008 mwishoni. Kwa hivyo jumla ni frac11 - frac12008 frac20072008. 