<prompt> Mlinganyo fracxx1 fracxx2 kxuna mizizi miwili changamano. Pata thamani zote changamano zinazowezekana za k.Ingiza thamani zote zinazowezekana, zikitenganishwa na koma.  <response>: Kuzidisha pande zote mbili kwa x1x2, tunapata xx2 xx1 kxx1x2,au 2x2 3x kx3 3kx2 2kx.Hii inapanga upya mlinganyo 0 kx3 3k-2x2 2k-3x, au 0 xkx2 3k-2x 2k-3.Ni wazi x 0 ni mzizi wa mlingano huu. Mizizi mingine yote lazima itimize mlingano 0 kx2 3k-2x 2k-3.Ikiwa k 0, basi mlingano utakuwa -2x - 3 0, hivyo x -frac32. Kwa hivyo, k 0 inafanya kazi.La sivyo, mgawo wa x2 wa upande wa kulia si nonzero, kwa hivyo mlinganyo huo ni mlinganyo sahihi wa quadratic. Ili equation iliyotolewa iwe na mizizi miwili haswa, moja ya yafuatayo lazima iwe kweli:Quadratic ina 0 kama mzizi, na mzizi mwingine ni nonzero. Kuweka x 0, tunapata 0 2k-3, hivyo k tfrac32. Hili ni suluhisho halali, kwa sababu basi equation inakuwa 0 tfrac32 x2 tfrac52 x, ambayo ina mizizi x 0 na x -tfrac53.Quadratic ina mizizi miwili sawa, isiyo ya kawaida. Katika hali hii, kibaguzi lazima kiwe sufuri: 3k-22 - 4k2k-3 0,ambayo hurahisisha tu k2 4 0. Hivyo, k pm 2i. Hizi zote ni suluhu halali, kwa sababu tulijifunza katika kesi ya kwanza kwamba k tfrac32 ndiyo thamani pekee ya k ambayo inafanya 0 kuwa mzizi wa quadratic; hivyo, quadratic ina mizizi miwili sawa, nonzero kwa k pm 2i.Thamani zinazowezekana kwa k ni k 0,tfrac32, 2i, -2i. 