<prompt> Lupe alienda dukani na kulipia ununuzi wake kwa bili ya 10. Aligundua kuwa tarakimu zinazofanya kiasi cha ununuzi wake zinaweza kupangwa upya ili kubadilisha kiasi alichopokea. Ikiwa kiasi chake cha ununuzi na mabadiliko yake yangekuwa tofauti na kila kiasi kilikuwa angalau 1 , ni kiasi gani cha mabadiliko kinachowezekana ambacho angepokea?  <response>: Kwanza, kwa urahisi, hebu tutengeneze kiasi chote cha pesa kuwa nambari kamili kwa kuzingatia zote kwa senti. Kwa mfano, 5.43 inakuwa 543. Hebu bei ya ununuzi iwe AA_1A_2A_3 na kiasi cha mabadiliko kiwe B_1B_2B_3 ambapo A_1 inawakilisha tarakimu ya kwanza ya A, B_1 inawakilisha tarakimu ya kwanza ya B, A_2 inawakilisha tarakimu ya pili ya A, n.k.Tunajua hiyo AB1000, na tunaweza kuhitimisha kuwa A_1B_19 kwa sababu ikiwa A_1B_19 basi AB1000 na kama A_1B_110 basi A_2B_2A_3B_30, lakini basi njia pekee ambayo B inaweza kuwa upangaji upya wa tarakimu za A ni kama A_1B_15, ambayo ina maana AB500, lakini Tatizo linasema kuwa bei na kiasi cha mabadiliko ni tofauti.Kwa kuwa 9 ni isiyo ya kawaida, tunaweza pia kuhitimisha kuwa A_1 na B_1 ni tofauti, ambayo, kwa kutumia ukweli kwamba tarakimu za A zinaweza kupangwa upya ili kupata tarakimu za B, inamaanisha kuwa A_1B_2 au A_1 B_3 na B_1A_2 au B_1A_3. Tunaweza pia kuona kwamba A na B zina salio sawa zikigawanywa na 9 kwa sababu salio wakati n imegawanywa na 9 ni sawa na salio wakati jumla ya tarakimu za n imegawanywa na 9 kwa n zote. na jumla ya tarakimu za A ni dhahiri sawa na jumla ya tarakimu za B.Kwa kuwa salio wakati 1000 inapogawanywa na 9 ni 1, kwa kweli tunaweza kuhitimisha kwamba salio wakati A na B zinagawanywa na 9 na wakati jumla ya tarakimu zao imegawanywa na 9 ni 5. Tukikumbuka kwamba mbili kati ya 9. tarakimu za A ni A_1 na B_1 na kwamba A_1B_19, tunaweza kuhitimisha kuwa tarakimu nyingine ni 5, ambayo ndiyo tarakimu pekee ambayo inaweza kusababisha jumla kuwa na salio la 5. ikigawanywa na 9. Kwa mantiki sawa tunaweza kuhitimisha kuwa 5 pia ni mojawapo ya tarakimu za B . Wazo kidogo huweka wazi kuwa angalau moja ya hizi 5 inaonekana kama nambari ya mwisho katika nambari yake ambayo ni, A_35 au B_35 kwani ikiwa hakuna kati yao inayoonekana kama nambari ya mwisho katika nambari. , kisha A_1B_3 na B_1A_3 na A_3B_39Mshale wa kulia AB huishia kwa 9, ambao ni ukinzani. Lakini ikiwa A_35 basi njia pekee ya jumla ya A na B kuisha kwa 0 ni B_35, kwa hivyo tunaweza kuhitimisha kuwa A_3B_35, A_1 B_2, na A_2B_1. Kwa hivyo mara tu tunapochagua thamani ya A_1, tarakimu nyingine 5 zote zimebainishwa. Kwa kuwa kiasi zote mbili ni kubwa kuliko dola moja, tunajua kwamba A_1 inaweza kuwa nambari yoyote kati ya 1 na 8 kwa jumla ya bei 8 zinazowezekana na hivyo huenda viwango 8 vya mabadiliko. Ili kuangalia mara mbili, tunaweza kuhesabu A na B kwa kila thamani ya A_1 na kuzibadilisha ziwe dola ili kuhakikisha kuwa bei na kiasi cha mabadiliko kinatimiza masharti yaliyotolewa:A_11Mshale wa Kulia A1.85, B8.15;A_12Mshale wa Kulia A2.75, B7.25;A_13Mshale wa Kulia A3.65, B6.35;A_14Mshale wa Kulia A4.55, B5.45;A_15Mshale wa Kulia A5.45, B4.55;A_16Mshale wa Kulia A6.35, B3.65;A_17Mshale wa Kulia A7.25, B2.75; na hatimayeA_18Mshale wa Kulia A8.15, B1.85.Hii inathibitisha kuwa kuna kiasi cha 8 kinachowezekana cha mabadiliko. 