<prompt> Tafuta idadi ya suluhishocos 4x cos2 3x cos3 2x cos4 x 0kwa -pi le x le pi.  <response>: Kwanza, nitapata suluhisho katika muda 0le xlepi. Nitatumia fomula ya pembe mbili kwa cosine kuandika cos4x kulingana na cos2x. Fomula ya pembe mbili ya cosine inatuambia kuwa cos2theta2cos2theta-1. Kwa hivyo, cos4x2cos2 2x-1. Sasa nitatumia fomula ya pembe mbili kwa cosine kuandika cos2x kulingana na cos x. Kwa hivyo, cos 2x2cos2 x-1. Sasa, nitabadilisha cos4x na cos2x katika equation na misemo tuliyopata. Hiyo inamaanisha tunahitaji kutatua mlingano 2cos2 2x-1cos2 3xcos3 2xcos4 x0. Wacha tufanye kibadala ili kurahisisha mlinganyo. Hebu ucos x. Kisha cos2 xu2, cos3 xu3, cos4 xu4, cos 2x2u2-1 na cos2 2x2u2-12. Sasa tunaweza kubadilisha kazi zote za trigonometric na u na nguvu zake. Mlinganyo unakuwa 22u2-12cos2 3x2u2-13u40. Sasa nitatumia fomula ya pembe tatu kwa cosine kuandika cos2 3x kulingana na u. Fomula ya pembe tatu ya cosine ni cos3theta4cos3theta-3costheta. Kwa hivyo cos3x4cos3x-3cos x4u3-3u. Kwa hivyo, cos2 3x4u3-3u2. Sasa nitabadilisha cos2 3x na usemi tuliopata. Kwa hivyo sasa tunahitaji kutatua mlingano 22u2-124u3-3u22u2-13u40. Huu ni mlinganyo wa polinomia. Wacha tupate digrii yake. Kiwango cha polynomial ni nguvu ya juu zaidi ya kutofautiana katika polynomial. Nguvu ya juu kabisa ya u ni u6, kwa hivyo digrii ya polynomial ni 6. Kulingana na Nadharia ya Msingi ya Aljebra, mlinganyo wa polinomia wa digrii n una suluhu za n haswa. Kwa hivyo equation yetu ina masuluhisho 6 haswa ya u. Tunahitaji kukumbuka kuwa ucos x. Kwa hivyo kila suluhisho la u hutupatia suluhisho la x. Kwa kuwa ucos x, u inaweza tu kuchukua thamani kati ya -1 na 1. Kwa hivyo tunapaswa kuangalia ili kuona kama 24u4-27u27 inaweza kuwa sawa na 0 kati ya -1 na 1. Hebu tuite 24u4-27u27 chaguo la kukokotoa fu. Nitatumia chati ya ishara ili kubainisha ishara ya fu kwa u kati ya -1 na 1. Kwanza, tunahitaji kupata sufuri za fu. fu ni quadratic, kwa hivyo tunaweza kutumia fomula ya quadratic. Fomula ya quadratic inatuambia kwamba sufuri za quadratic ax2bxc ni xfrac-bpmsqrtb2-4ac2a. Kwa upande wetu, a24, b-27, na c7. Sufuri za fu ni u2frac27pmsqrt272-4cdot 24cdot 72cdot 24. u2frac27pmsqrt272-4cdot 24cdot 72cdot 24frac27pmsqrt729-67248 . u2frac27pmsqrt729-67248frac27pmsqrt5748 Hebu tuzingatie hali ambapo pm iko . u2frac27sqrt5748 Na tuzingatie hali ambapo pm ni -. u2frac27-sqrt5748 Hiyo ni 2215 suluhu kwa u kati ya -1 na 1. Lakini tunahitaji kukumbuka kuwa ucos x. 5cdot 210. Kwa hivyo idadi ya suluhu katika -pi le x le pi ni 10. Haki. Na 10 ndio jibu. 