<prompt> Mfuatano a_n umefafanuliwa kwa kujirudia na a_01, a_1sqrt192, na a_na_n-1a_n-22 kwa ngeq 2. Ni nambari gani ndogo kabisa chanya k hivi kwamba bidhaa a_1a_2cdots a_k ni nambari kamili?  <response>: Acha b_n 19 log_2 a_n. Kisha a_n 2fracb_n19, hivyo2fracb_n19 2fracb_n - 119 cdot 2frac2b_n - 219 2fracb_n - 1 2b_n - 219,ambayo inamaanishab_n b_n - 1 2b_n - 2.Pia, b_0 0 na b_1 1.Tunatakaa_1 a_2 dotsm a_k 2fracb_1 b_2 dots b_k19kuwa nambari kamili. Kwa maneno mengine, tunataka b_1 b_2 dots b_k iwe kizidishio cha 19.Kwa hivyo, acha s_k b_1 b_2 dots b_k. Kwa kutumia marudio b_n b_n - 1 2b_n - 2, tunaweza kukokotoa masharti machache ya kwanza ya b_n na s_n moduli ya 19:anzasafucccn b_n s_n line1 1 1 2 1 2 3 3 5 4 5 10 5 11 2 6 2 4 7 5 9 8 9 18 9 0 18 10 18 17 11 18 16 12 16 13 13 14 8 14 8 16 15 17 14 16 14 9 17, 10 na 0mwishosafuKwa hivyo, k ndogo zaidi ni 17.Vinginevyo, tunaweza kutatua ujirudishaji b_0 0, b_1 1, b_n b_n - 1 2b_n - 2 ili kupatab_n frac2n - -1n3. 