<prompt> Duka linauza mifuko ya peremende iliyo na pipi nyekundu, bluu, kijani, njano na machungwa ndani. Kila begi lina pipi 100 haswa. Ikiwa ungenunua mfuko mmoja na ulitaka kuhakikisha kuwa una angalau pipi 20 za kila rangi, kuna uwezekano gani wa kufikia hili?  <response>: Ili kutatua tatizo hili, tunahitaji kutumia dhana ya coefficients multinomial. Njia ya kutafuta idadi ya njia za kusambaza vitu vya n katika kategoria za k imetolewa na:Multinomialn; n1, n2, ..., nk n! n1! n2! ... nk!Katika kesi hii, tuna pipi 100 n100, na tunataka kupata uwezekano wa kuwa na angalau pipi 20 za kila rangi kwenye mfuko.Kwanza, hebu tuhesabu idadi ya jumla ya njia za kusambaza pipi kati ya rangi tano bila vikwazo vyovyote:Jumla ya usambazaji Multinomial100; 20, 20, 20, 20, 20 100! 20! 20! 20! 20! 20!Sasa, hebu fikiria kesi ambapo kuna pipi chini ya 20 ya rangi moja au zaidi. Kwa kuwa visa hivi havikidhi mahitaji yetu, tutaziondoa kutoka kwa jumla ya usambazaji ili kupata usambazaji unaohitajika.Kesi ya 1: Rangi moja ina pipi zisizozidi 20Kuna njia 5 za kuchagua rangi ambayo ina pipi chini ya 20. Kwa urahisi, wacha tuchukue kuwa nyekundu ina pipi chini ya 20. Kisha, rangi nne zilizobaki lazima ziwe na angalau pipi 20 kila moja, ili tuweze kutumia fomula ile ile ya mgawo wa kimataifa:Usambazaji na nyekundu 20 Multinomial80; 20, 20, 20, 20 80! 20! 20! 20! 20!Kwa kuwa kuna chaguzi 5 zinazowezekana za rangi iliyo na pipi chini ya 20, jumla ya idadi ya usambazaji wa Kesi ya 1 ni:Jumla ya usambazaji wa Kesi 1 5 Usambazaji wenye rangi nyekundu 20Kesi ya 2: Rangi mbili zina chini ya pipi 20Kuna njia 10 za kuchagua ambazo rangi mbili zina pipi chini ya 20 5 chagua 2. Kwa urahisi, hebu tuchukulie kuwa nyekundu na bluu zina pipi chini ya 20 kila moja. Kisha, rangi tatu zilizobaki lazima ziwe na angalau pipi 20 kila moja:Usambazaji wenye rangi nyekundu 20 na bluu 20 Multinomial60; 20, 20, 20 60! 20! 20! 20!Kwa kuwa kuna chaguo 10 zinazowezekana kwa rangi mbili zilizo na peremende chini ya 20, jumla ya idadi ya usambazaji wa Kesi ya 2 ni:Jumla ya mgawanyo wa Kesi 2 10 Usambazaji wenye nyekundu 20 na bluu 20Sasa, tunaweza kuhesabu ugawaji unaohitajika kwa kutoa kesi ambapo rangi moja au zaidi zina pipi chini ya 20 kutoka kwa usambazaji wa jumla:Migawanyo inayotakikana Jumla ya migawanyo - Jumla ya mgawanyo wa Kesi ya 1 - Jumla ya migawanyo ya Kesi ya 2Mwishowe, tunaweza kupata uwezekano wa kuwa na angalau pipi 20 za kila rangi kwenye begi kwa kugawa ugawaji unaotaka na usambazaji jumla:Uwezekano Usambazaji unaohitajika Jumla ya usambazajiBaada ya kuhesabu masharti yote na kurahisisha, tunapata:Uwezekano 0.9167Kwa hivyo, uwezekano wa kufikia pipi 20 za kila rangi kwenye begi ni takriban 91.67. 