<prompt> Mlinganyo y -6t2 43t unaelezea urefu katika futi wa sekunde t baada ya kuzinduliwa kutoka kwenye uso wa Mirihi kwa futi 43 kwa sekunde. Je, projectile itafikia urefu wa futi 77 kwa sekunde ngapi? Eleza jibu lako kama desimali iliyozungushwa hadi sehemu ya kumi iliyo karibu zaidi.  <response>: Ili kupata wakati ambapo projectile inafika futi 77 kwa mara ya kwanza, ninahitaji kutatua mlinganyo y 77 kwa t. Kubadilisha y 77, napata 77 -6t2 43t. Ninataka kutenga t, kwa hivyo nitahamisha kila kitu kwa upande mmoja na kupata 6t2 - 43t 77 0. Huu ni hesabu ya quadratic, kwa hivyo ninaweza kutumia fomula ya quadratic kupata maadili ya t ambayo yanakidhi. Fomula ya quadratic inasema kwamba ikiwa ax2 bx c 0, basi x frac-b pm sqrtb2 - 4ac2a. Katika kesi hii, a 6, b -43, na c 77, kwa hivyo kuunganisha maadili haya kwenye fomula, ninapata t frac--43 pm sqrt -432 - 467726. Kwa kurahisisha usemi huo, ninapata t frac43 pm sqrt1849 - 184812. Kwa kuwa sqrt1849 - 1848 sqrt1 1, ninaweza kurahisisha zaidi na kupata t frac43 pm 112. Hii inanipa thamani mbili zinazowezekana za t: t frac4412 3.7 na t frac4212 3.5. Hizi ni nyakati ambazo projectile iko katika futi 77, lakini ninataka mara ya kwanza, kwa hivyo ninachagua thamani ndogo ya t. Kwa hiyo, projectile kwanza hufikia urefu wa futi 77 baada ya sekunde 3.5. 