<prompt> Tafuta idadi ya masuluhisho changamanofracz3 - 1z2 z - 2 0.  <response>: Ili kutatua mlingano huu, ninahitaji kuangazia nambari na dhehebu na kuona ikiwa kuna mambo yoyote ya kawaida ambayo yanaweza kughairiwa. Nambari ni tofauti ya cubes, ambayo ina fomula maalum ya uainishaji: a3 - b3 a - ba2 ab b2. Katika kesi hii, z3 - 1 z - 1z2 z 1. Kinamna ni usemi wa quadratic, ambao ninaweza kujaribu kuangazia kwa kutafuta nambari mbili zinazozidisha hadi -2 na kuongeza kwa 1. Ninaweza kuona kwamba nambari hizo ni 2 na -1, kwa hivyo z2 z - 2 z 2z - 1. Sasa nina fracz - 1 z2 z 1z 2z - 1 0. Ninaweza kughairi kipengele cha kawaida cha z - 1 katika nambari na kiashiria, mradi z si sawa na 1. Hiyo ingefanya usemi kuwa usiofafanuliwa. Kwa hivyo ninapata fracz2 z 1z 2 0. Ili kupata masuluhisho, ninahitaji kuweka nambari sawa na sifuri na kutatua kwa z. Nambari ni usemi mwingine wa quadratic, ambao ninaweza kujaribu kutatua kwa kutumia fomula ya quadratic: z frac-b pm sqrtb2 - 4ac2a, ambapo a, b , na c ni mgawo wa mlinganyo wa quadratic. Katika hali hii, z frac-1 pm sqrt12 - 41121. Kwa kurahisisha usemi, napata z frac-1 pm sqrt-32. Kwa kuwa mzizi wa mraba wa nambari hasi si nambari halisi, haya ni masuluhisho changamano. Kuna mbili kati yao, moja iliyo na ishara ya kuongeza na moja iliyo na ishara ya kuondoa. Kwa hivyo jibu la mwisho ni kwamba kuna suluhisho mbili ngumu kwa equation. 