<prompt> Polinomia ya ujazo fx x3 ax2 bx c yenye angalau mizizi miwili tofauti ina sifa zifuatazo:i Jumla ya mizizi yote ni sawa na mara mbili ya mazao ya mizizi yote.ii Jumla ya miraba ya mizizi yote ni sawa na mara 3 ya mazao ya mizizi yote.iii f1 1.Tafuta c.  <response>: Ninagundua kuwa shida inahusisha jumla na bidhaa ya mizizi ya polynomial ya ujazo, ambayo inahusiana na coefficients yake kwa fomula za Vieta. Hasa, ikiwa fx x3 ax2 bx c ina mizizi r_1, r_2, r_3, basi r_1 r_2 r_3 -a, r_1r_2 r_1r_3 r_2r_3 b, na r_1r_2r_3 -c. Pia ninaona kwamba tatizo linanipa thamani ya f1 1, ambayo ina maana kwamba 13 a b c 1, au a b c 0. Kwa hivyo nina milinganyo mitatu inayohusisha a, b, c, na ninataka kupata c. Ninaanza kwa kuandika tena mali ya kwanza kwa kutumia fomula za Vieta: r_1 r_2 r_3 2r_1r_2r_3, au -a -2c. Hii hurahisisha hadi a 2c. Ninafanya vivyo hivyo kwa mali ya pili: r_12 r_22 r_32 3r_1r_2r_3, au r_1 r_2 r_32 - 2r_1r_2 r_1r_3 r_2r_3 3r_3. Kwa kutumia fomula za Vieta tena, hii inakuwa a2 - 2b -3c. Nikibadilisha a 2c, ninapata 4c2 - 2b -3c, au b 2c2 frac32c. Sasa nina a na b kulingana na c, kwa hivyo ninaweza kutumia mlinganyo wa tatu kupata c: a b c 0, au 2c 2c2 frac 32c c 0. Hii hurahisisha hadi 2c2 frac92c 0, au 4c2 9c 0. Ninaweza kuainisha c kutoka kwa maneno yote mawili: c4c 9 0. Hii ina maana kwamba c 0 au c -frac94. Walakini, ikiwa c 0, basi a b 0 vile vile, ambayo inamaanisha fx x3, ambayo ina mzizi mmoja tu, sio angalau mizizi miwili tofauti kama shida inavyohitaji. . Kwa hivyo c 0 si suluhu halali, na thamani pekee inayowezekana kwa c ni -frac94. 