<prompt> Mfuatano a_n umefafanuliwa na a_1 1, a_2 2, naa_n2 - a_n - 1 a_n 1 1kwa yote n ge 2. Pata a_100.  <response>: Tatizo hili linahusisha mlolongo wa nambari ambazo zinahusiana na mlinganyo wa quadratic. Ili kupata a_100, ninahitaji kutafuta njia ya kueleza neno la jumla a_n kulingana na n. Mbinu mojawapo ni kujaribu kutafuta mchoro au fomula ya mfuatano huo kwa kuangalia masharti machache ya kwanza. Ninaweza kuhesabu maneno machache ya kwanza kwa kuchomeka n 2, 3, 4, 5 kwenye mlinganyo uliotolewa. Kwa n 2, napata a_22 - a_1 a_3 1, ambayo ina maana kwamba a_3 fraca_22 - 1a_1 frac22 - 11 3. Kwa n 3, napata a_32 - a_2 a_4 1, ambayo ina maana kwamba a_4 fraca_32 - 1a_2 frac32 - 12 4. Kwa n 4, napata a_42 - a_3 a_5 1, ambayo ina maana kwamba a_5 fraca_42 - 1a_3 frac42 - 13 5. Kwa n 5, napata a_52 - a_4 a_6 1, ambayo ina maana kwamba a_6 fraca_52 - 1 a_4 frac52 - 14 6. Ninagundua kuwa mfuatano huo ni nambari asili tu kutoka 1 hadi 6, na ninashangaa kama muundo huu unaendelea kwa n. zote Ikiwa ndivyo, basi neno la jumla a_n litakuwa n, na a_100 litakuwa 100. Ili kuangalia hili, ninaweza kujaribu kuthibitisha kuwa a_n n kwa n zote kwa kutambulisha . Tayari nimeonyesha kuwa a_1 1 na a_2 2. Sasa, nadhani a_n n kwa n fulani ge 2, na ninajaribu kuonyesha kuwa a_n 1 n 1. Kwa mlinganyo uliotolewa, nina a_n2 - a_n - 1 a_n 1 1. Kubadilisha a_n n na a_n - 1 n - 1, napata n2 - n - 1 a_n 1 1. Kutatua kwa a_n 1, napata a_n 1 fracn 2 - 1n - 1. Ninaweza kurahisisha usemi huu kwa kubainisha nambari na kughairi kipengele cha n - 1. napata a_n 1 fracn 1 n - 1n - 1 n 1. Hii inakamilisha hatua ya kufata neno, na nimeonyesha kuwa a_n n kwa zote n ge 1. 