<prompt> Acha a_n iwe nambari kamili iliyopatikana kwa kuandika nambari zote kutoka 1 hadi n kutoka kushoto kwenda kulia. Kwa mfano, a_3 123 na a_11 1234567891011. Kokotoa salio wakati a_44 inagawanywa kwa 45.  <response>: Tutatumia Nadharia ya Mabaki ya Uchina kama ifuatavyo: Tutahesabu masalio wakati a_44 itagawanywa kwa 5 na 9. Salio wakati a_44 inagawanywa na 45 itakuwa masalio mod 45 ambayo huacha masalio yale yale yakigawanywa na 5 na 9 kama a_44 inavyofanya. Kwa kuwa a_44 inaisha kwa 4, inatoa salio la 4 ikigawanywa na 5.Kwa salio wakati a_44 inagawanywa na 9, kumbuka kuwa beginaligna_444443cdot 102 42 cdot 10441cdot 106cdots10cdot1068qquad9cdot 10708cdot 1071cdots 1cdot 1078 equiv 444342cdots1pmod 9,maliziaaligntangu 10nequiv 1nequiv 1pmod9 kwa nambari zote zisizo hasi n. Kwa maneno, hesabu hii inaonyesha kwamba tunaweza kujumlisha vikundi vya tarakimu kwa njia yoyote tunayochagua ili kuangalia kugawanywa kwa 9. Kwa mfano, 1233 inaweza kugawanywa na 9 kwa kuwa 123345 inaweza kugawanywa kwa 9. Huu ni jumla ya sheria kwamba nambari inaweza kugawanywa na 9 ikiwa na ikiwa tu jumla ya tarakimu zake inaweza kugawanywa na 9. Kurejea tatizo lililopo, tunajumlisha 4443cdots1 kwa kutumia fomula 12 cdotsnnn12 ili kupata kwamba a_44 inaweza kugawanywa na 9.Tunatafuta mgawo wa 9 ambao unatoa salio la 4 ukigawanywa na 5. Tisa inatimiza sharti hili, kwa hivyo salio wakati a_44 inagawanywa na 45 ni 9. 