<prompt> Piramidi OABCD ina msingi wa mraba ABCD, kingo zinazolingana overlineOA, overlineOB, overlineOC, na overlineOD, na angle AOB45 circ. Acha theta kiwe kipimo cha pembe ya dihedral inayoundwa na nyuso OAB na OBC. Kwa kuzingatia kwamba cos thetamsqrtn, ambapo m na n ni nambari kamili, tafuta mn.  <response>: asy kuagiza tatu; kukokotoa makutano ya mstari na ndege p hatua kwenye mstari d mwelekeo wa mstari q uhakika katika ndege n kawaida kwa ndege tatu lineintersectplantriple p, triple d, triple q, triple n rejesha p nuktan,q - pdotn,dd; makadirio ya uhakika A kwenye mstari wa BC triple projectionofpointontolinetriple A, triple B, triple C return lineintersectplanB, B - C, A, B - C; currentprojectionmtazamo2,1,1; mara tatu A, B, C, D, O, P; A sqrt2 - sqrt2, sqrt2 - sqrt2, 0; B -sqrt 2 - sqrt 2, sqrt 2 - sqrt 2, 0; C -sqrt2 - sqrt2, -sqrt2 - sqrt2, 0; D sqrt2 - sqrt2, -sqrt2 - sqrt2, 0; O 0,0,sqrt2sqrt2; P projectionofpointontolineA,O,B; kuchoraD--A--B; kuchoraB--C--D,dashed; kuchoraA--O; kuchoraB--O; kuchoraC--O,dashed; kuchoraD--O; choraA--P; kuchoraP--C,dashed; leboA, A, S; leboB, B, E; leboC, C, NW; leboD, D, W; leboO, O, N; nukta P, P, NE; asyPembe theta ni pembe inayoundwa na viambishi viwili vinavyochorwa hadi BO, moja kwenye ndege iliyoamuliwa na OAB na nyingine kwa OBC. Ruhusu viambajengo kutoka A na C hadi overlineOB vikutane overlineOB at P. Bila hasara ya jumla, acha AP 1. Inafuata kwamba pembetatu OPA ni pembetatu ya kulia ya 45-45-90, kwa hivyo OP AP 1, OB OA sqrt 2, na AB sqrt 4 - 2sqrt 2 . Kwa hiyo, AC sqrt 8 - 4sqrt 2.Kutoka kwa Sheria ya Cosines, AC2 AP2 PC2 - 2APPCcos theta, hivyo8 - 4sqrt 2 1 1 - 2cos theta Longrightarrow cos theta - 3 2sqrt 2 - 3 sqrt8.Hivyo m n 5. 