<prompt> Ruhusu ABCD iwe tetrahedron kiasi kwamba kingo AB, AC, na AD ni za kutegemeana. Ruhusu maeneo ya pembetatu ABC, ACD, na ADB yabainishwe kwa x, y, na z, mtawalia. Kwa mujibu wa x, y, na z, pata eneo la pembetatu BCD.  <response>: Weka A, B, C, na D kwa 0,0,0, b,0,0, 0,c,0 na 0,0,d katika nafasi ya kuratibu ya Cartesian, na b, c, na d chanya. Kisha ndege kupitia B, C, na D inatolewa kwa equation fracxbfracycfraczd1 .asykuagiza tatu;ukubwa 250;makadirio ya sasa mtazamo 6,3,2;mara tatu A, B, C, D;A 0,0,0;B 1,0,0;C 0,2,0;D 0,0,3;kuchoraA--4,0,0;kuchoraA--0,4,0;kuchoraA--0,0,4;kuchoraB--C--D--mzunguko;leboA, A, NE;leboB, B, S;leboC, C, S;leboD, D, NE;asyKutoka kwa fomula ya umbali kati ya uhakika na ndege, umbali kutoka asili hadi ndege BCD nifracfrac0a frac0b frac0c - 1sqrtfrac1b2 frac1c2frac1d2 frac1sqrtfrac1b2 frac1 c2 frac1d2 fracbcdsqrtb2c2c2d2d2b2. Kwa kuwa x ni eneo la pembetatu ABC, x frac12 bc, hivyo bc 2x. Vile vile, cd 2y, na bd 2z, hivyo umbali unaweza kuonyeshwa kamafracbcdsqrt4x2 4y2 4z2 fracbcd2 sqrtx2 y2 z2. Acha K kiwe eneo la pembetatu BCD. Kwa kutumia pembetatu ABC kama msingi, ujazo wa tetrahedron ni fracbcd6. Kwa kutumia pembetatu BCD kama msingi, kiasi cha tetrahedron ni fracbcdK6sqrtx2y2z2, hivyofracbcd6fracbcdK6sqrtx2y2z2,ikimaanisha Ksqrtx2y 2z2.Vinginevyo, eneo la BCD pia ni nusu ya urefu wa bidhaa msalaba wa vekta overrightarrowBC beginpmatrix 0 -c d endpmatrix na overrightarrow BD anzapmatrix -b 0 d mwishopmatrix. Bidhaa hii mtambuka ni beginpmatrix -cd -bd -bc endpmatrix -2 anzapmatrix y z x endpmatrix, ambayo ina urefu wa 2sqrtx2y2z2. Kwa hivyo eneo la BCD ni sqrtx2y2z2. 