<prompt> Acha w_1 na w_2 waonyeshe miduara x2y210x-24y-870 na x2 y2-10x-24y1530, mtawalia. Acha m iwe thamani ndogo zaidi chanya ya a ambayo mstari yax una sehemu ya katikati ya duara ambayo ina tanjiti ya nje hadi w_2 na ya ndani ya w_1. Ikizingatiwa kuwa m2 frac pq, ambapo p na q ni nambari kamili, pata pq.  <response>: Andika upya milinganyo uliyopewa kama x52 y-122 256 na x-52 y-122 16.Acha w_3 iwe na kituo cha x,y na kipenyo r. Sasa, ikiwa miduara miwili yenye radii r_1 na r_2 ni ya nje, basi umbali kati ya vituo vyake ni r_1 r_2, na ikiwa ni tangent ndani, ni r_1 - r_2. Hivyo tunaanzaalign r 4 sqrtx-52 y-122 16 - r sqrtx52 y -122 mwishoalignKutatua kwa r katika hesabu zote mbili na kuziweka sawa, kisha kurahisisha, mavunoanzaalign 20 - sqrtx52 y-122 sqrtx-52 y-122 20x 2sqrtx52 y-122 mwishoalignKurudia tena na kughairi mavuno 1 fracx2100 fracy-12275.Kwa hivyo eneo la alama ambazo zinaweza kuwa katikati ya duara na mali inayotaka ni duaradufu.asy ukubwa 220; pointpen nyeusi; kalamu d upana wa mstari 0.7; njia d; jozi A -5, 12, B 5, 12, C 0, 0; DCRA,16;DCRB,4;Dshift0,12 yscale3.5 2 CRC,10, linetype 2 2 d nyekundu; D0,30--0,-10,Mishale4;D15,0---25,0,Mishale4;D0,0 --MPyax,14,14 69100.5,E,EndArrow4; bluecirc batili x halisi jozi P x, 3 25 - x2 4.5 12; nukta P, bluu; DCRP, P.x - 52 P.y - 122.5 - 4 , blue d linetype4 4; bluecirc-9.2; bluecirc-4; bluecirc3; asyKwa kuwa kituo kiko kwenye mstari y ax, tunabadilisha y na kupanua:1 fracx2100 fracax-12275 Mshale mrefu wa kulia 34a2x2 - 96ax 276 0.Tunataka thamani ya a ambayo hufanya mstari yax uelekeze kwenye duaradufu, ambayo itamaanisha kuwa kwa chaguo hilo la a kuna suluhisho moja tu la mlingano wa hivi majuzi zaidi. Lakini quadratic ina suluhisho moja ikiwa kibaguzi chake ni 0, kwa hivyo -96a2 - 434a2276 0.Kutatua mavuno a2 frac69100, kwa hivyo jibu ni 169. 