<prompt> Fikiria vipengele viwili vya kukokotoa fx x2 2bx 1 na gx 2ax b, ambapo viambajengo x na viambajengo a na b viko. nambari za kweli. Kila jozi kama hiyo ya viunganishi a na b inaweza kuchukuliwa kama pointi a,b katika ab-ndege. Acha S iwe seti ya pointi a,b ambazo grafu za y fx na y gx haziingiliani katika xy-plane . Tafuta eneo la S.  <response>: Hiyo inamaanisha kuwa hakuna masuluhisho ya kweli ya equation fx gx, au sawia, x2 2bx 1 2ax b. Ili kutatua kwa x, I inaweza kupanga upya mlinganyo huu kama x2 2b - 2ax 1 - 2ab 0. Huu ni mlinganyo wa quadratic katika x, na hauna masuluhisho ya kweli ikiwa tu ikiwa ubaguzi wake ni hasi. . Ubaguzi ni sehemu iliyo chini ya mzizi wa mraba katika fomula ya quadratic, kwa hivyo ni 2b - 2a2 - 41 - 2ab. Nataka hii iwe hasi, kwa hivyo niliweka usawa 2b. - 2a2 - 41 - 2ab 0. Ninaweza kurahisisha hili kwa kugawanya pande zote mbili na 4 na kupanua mraba, kupata b2 - 2ab a2 - 1 2ab 0, au b2 a2 - 1 0. Hili ndilo sharti la a na b ninalohitaji. Sasa ninahitaji kupata seti ya alama a,b ambazo zinakidhi hali hii kwenye ab-plane. Ninatambua kuwa huu ni mlinganyo wa mduara wenye radius 1 na katikati kwenye asili. Kwa hivyo seti ya pointi a,b zinazofanya grafu zisiingiliane ni mambo ya ndani ya mduara huu, bila kujumuisha mpaka. Eneo la seti hii ni sawa na eneo la duara, ambalo ni pi r2 pi. 