<prompt> 10! inaisha na sufuri ngapi, wakati 10! imeandikwa katika msingi wa 9?  <response>: Ili kujibu swali hili, ninahitaji kufikiria maana ya kumaliza na sifuri katika msingi wa 9. Katika msingi wa 10, sifuri mwishoni mwa nambari inamaanisha kuwa inaweza kugawanywa na 10, au kwa 2 na 5. 9, sifuri mwishoni mwa nambari inamaanisha kuwa inaweza kugawanywa na 9, au kwa 3 na 3. Kwa hivyo, nataka kuhesabu ni vipengele ngapi vya 3 vilivyopo katika 10!, kwani kila jozi ya 3 itanipa. sufuri moja katika msingi wa 9. Ili kufanya hivyo, ninaweza kutumia fomula ya nguvu ya juu zaidi ya p kuu inayogawanya n!, ambayo ni sum_k1infty floor fracnpk floor, ambapo floor x floor ndio nambari kamili chini ya au sawa na x. Katika hali hii, p 3 na n 10, kwa hivyo ninapata sum_k1infty floor frac103k floor floor frac103 floor floor frac109 floor 3 1 4. Hii ina maana kwamba kuna vipengele vinne vya 3 katika 10!, au jozi mbili za 3. Kwa hivyo, 10! inaisha na sufuri mbili katika msingi wa 9. 