<prompt> Tafuta tarakimu moja ya 22221111  <response>: Ili kupata tarakimu hizo za ufafanuzi mkubwa, ninaweza kutumia hesabu ya msimu na kuangalia salio ninapogawanya na 10. Hii ni kwa sababu tarakimu hizo hutegemea tu tarakimu ya mwisho ya msingi na kielelezo, na tarakimu ya mwisho ya msingi hurudia katika mzunguko kulingana na kipeo. Kwa mfano, 24 16, 25 32, 26 64, na 27 128, kwa hivyo tarakimu ya mwisho ya 2n mzunguko hadi 2, 4, 6, na 8 kila mamlaka nne. Vile vile, tarakimu ya mwisho ya 11n daima ni 1, kwani 11 equiv 1 pmod10. Kwa hivyo, ili kupata tarakimu moja ya 22221111, ninaweza kwanza kurahisisha msingi kwa kuangalia 22 pmod10, ambayo ni 2. Kisha, ninahitaji kupata exponent 221111 pmod4, kwa kuwa mzunguko wa 2 unajirudia kila nguvu nne. Ili kufanya hivyo, ninaweza kutumia mali ambayo ab pmodn a pmodnb pmodn pmodn. Kwa hivyo, 221111 pmod4 22 pmod41111 pmod4 pmod4. Sasa, 22 pmod4 2, na 1111 pmod4 1, tangu 11 sawa na 1 pmod4. Kwa hivyo, 221111 pmod4 2 cdot 1 pmod4 2. Hii inamaanisha kuwa kipeo kikuu ni sawa na modulo 2 ya 4, kwa hivyo tarakimu zile za msingi zitakuwa muhula wa pili katika mzunguko wa 2, ambao ni 4. Kwa hivyo, tarakimu hizo za 22221111 ni 4. 