<prompt> Tafuta bidhaa ya thamani zote halisi za r ambayo frac12xfracr-x7 ina suluhisho moja la kweli.  <response>: Ninaweza kuanza kwa kuzidisha mtambuka ili kuondoa sehemu hizo: 72xr-x. Kisha ninaweza kupanua upande wa kulia na kupanga upya masharti ili kupata mlinganyo wa quadratic katika x: 2x2-2rx70. Mlinganyo wa quadratic una suluhu moja haswa la x wakati kibaguzi chake, sehemu iliyo chini ya mzizi wa mraba katika fomula ya quadratic, ni sawa na sufuri. Kibaguzi cha mlingano huu ni -2r2-427, ambayo hurahisisha hadi 4r2-56. Kwa hivyo ninahitaji kupata maadili ya r ambayo hufanya 4r2-560. Ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa 4 ili kupata r2-140. Kisha ninaweza kuongeza 14 kwa pande zote mbili na kuchukua mizizi ya mraba kupata rpm sqrt14. Hizi ndizo thamani mbili pekee za r zinazofanya mlinganyo wa asili kuwa na suluhu moja la kweli la x, kwani thamani nyingine yoyote ya r ingefanya ubaguzi usiwe na maana. Kwa hivyo, bidhaa ya thamani zote halisi za r zinazokidhi hali iliyotolewa ni sqrt14-sqrt14-14. 