<prompt> Chembe ya uzani m huanza mahali pa kupumzika juu ya nusufefe laini isiyobadilika ya radius a. Tambua angle ambayo chembe huondoka kwenye hemisphere.  <response>: Kwa sababu tunazingatia uwezekano wa chembe kuondoka kwenye ulimwengu, tunachagua kuratibu za jumla kuwa r na theta. Equation ya kizuizi nifr, thetar-a0Lagrangian imedhamiriwa kutoka kwa nguvu za kinetic na zinazowezekana:anzailiyopangwaT fracm2leftdotr2r2 dottheta2kulia U m g r cos theta L T-U L fracm2leftdotr2r2 dottheta2kulia-m g r cos thetamwishoiliyopangwaambapo nishati inayowezekana ni sifuri chini ya hemisphere. Milinganyo ya Lagrange, Mlinganyo 7.65, nianzailiyopangwa fracpartial Lpartial r-fracdd t fracpartial Lpartial dotrlambda fracpartial f sehemu r0 frac partial Lpartial theta-fracdd t fracpartial Lpartial dotthetalambda fracpartial f sehemu theta0mwishoiliyopangwaKufanya tofauti kwenye Equation 7.80 inatoafracpartial fpartial r1, quad fracpartial fpartial theta0Milinganyo 7.82 na 7.83 inakuwakuanzakukusanyikam r dottheta2-m g cos theta-m ddotrlambda0 m g r dhambi theta-m r2 ddottheta-2 m r dotr dottheta0mwishowalikusanyikaIfuatayo, tunatumia kizuizi ra kwa milinganyo hii ya mwendo:ra, quad dotr0ddotrMilinganyo 7.85 na 7.86 kisha inakuwaanzaarrayrm a nuktatheta2-m g cos thetalambda0 m g a sin theta-m a2 ddottheta0mwishosafuKutoka kwa Equation 7.88, tunayoddotthetafracga sin thetaTunaweza kuunganisha Equation 7.89 ili kubainisha dottheta2.ddotthetafracdd t fracd thetad tfracd dotthetad tfracd dottheta d theta fracd thetad tdottheta fracd dotthetad thetaTunaunganisha Mlinganyo 7.89int dottheta d dotthetafracga int sin theta d theta2547 KANUNI YA HAMILTON-LAGRANGIAN NA HAMILTONIAN DYNAMICSambayo husababishafracdottheta22frac-ga cos thetafracgaambapo ujumuishaji thabiti ni g a, kwa sababu dottheta0 kwa t0 wakati theta0. Kubadilisha dottheta2 kutoka Equation 7.92 hadi Equation 7.87 inatoa, baada ya kutatuliwa kwa lambda,lambdam g3 cos theta-2ambayo ni nguvu ya kizuizi. Chembe huanguka kutoka kwenye ulimwengu kwa pembe theta_0 wakati lambda0.anzailiyopangwalambda 0m gkushoto3 cos theta_0-2kulia theta_0 cos -1kushotofrac23kuliamwishoiliyopangwa 