<prompt> Heksagoni ya kawaida iliyo katikati katika asili katika ndege changamano ina jozi zinazopingana za pande kitengo kimoja. Jozi moja ya pande ni sambamba na mhimili wa kufikiria. Acha R iwe eneo lililo nje ya heksagoni, na acha S leftlbracefrac1z z katika Rkuliarbrace. Tafuta eneo la S.  <response>: Tunaweza kukokotoa kuwa urefu wa upande wa heksagoni ni frac1sqrt3. Kisha upande mmoja wa heksagoni unawekwa kigezo kwafrac12 ti,ambapo -frac12 sqrt3 le t le frac12 sqrt3. asyukubwa wa kitengo 4 cm;jozi A, B, C, D, E, F;A 1sqrt3dir30;B 1sqrt3dir30 - 60;C 1sqrt3dir30 - 260;D 1sqrt3dir30 - 360;E 1sqrt3dir30 - 460;F 1sqrt3dir30 - 560;kuchoraA--B--C--D--E--F--mzunguko;chora-0.7,0--0.7,0;chora0,-0.7--0,0.7;nuktafrac12 fraci2 sqrt3, 12,12sqrt3, dir0 ;nuktafrac12 - fraci2 sqrt3, 12,-12sqrt3, dir0 ;asyAcha a bi iwe hoja kwa upande huu. Kishax yi frac1a bi fraca - bia2 b2 fracfrac12 - ti frac14 t2,hivyo x fracfrac12frac14 t2 na y -fractfrac14 t2.Tunaondoa t, ili kuona hatua hii inafuatilia jinsi t inavyotofautiana. Kugawanya equations hizi, tunapatafracyx -2t,hivyo t -fracy2x. Tukibadilisha katika mlinganyo wa kwanza, tunapatax fracfrac12frac14 fracy24x2.Hii hurahisisha hadi x2 y2 2x. Kukamilisha mraba katika x, tunapatax - 12 y2 1.Hii inawakilisha mduara unaozingatia 1 wenye kipenyo cha 1.Kwa hivyo, t inatofautiana juu ya -frac12 sqrt3 le t le frac12 sqrt3, x yi inafuatilia arc ya mduara huu. Mwisho wake ni frac32 fracsqrt32 i na frac32 - fracsqrt32 i. Tunaweza kuangalia kwamba arc hii ni 120circ.asyukubwa wa kitengo 4 cm;jozi A, B, C, D, E, F, P, Q;njia foo;t halisi;A 1sqrt3dir30;B 1sqrt3dir30 - 60;C 1sqrt3dir30 - 260;D 1sqrt3dir30 - 360;E 1sqrt3dir30 - 460;F 1sqrt3dir30 - 560;t 12sqrt3;foo 1214 t2,-t14 t2;Q 1214 t2,-t14 t2;t -12sqrt3;foo 1214 t2,-t14 t2;P 1214 t2,-t14 t2;kwa t -12sqrt3; t 12sqrt3; t t 0.01 foo foo--1214 t2,-t14 t2;chorafoo,nyekundu;kuchoraA--B--C--D--E--F--mzunguko;chora-1,0--2.5,0;chora0,-1--0,1;kuchora1,0--P,dashed;kuchora1,0--Q,dashed;lebofrac32 - fracsqrt32 i, Q, S;lebofrac32 fracsqrt32 i, P, N;nuktafrac12 fraci2 sqrt3, 12,12sqrt3, dir0 ;nuktafrac12 - fraci2 sqrt3, 12,-12sqrt3, dir0 ;nuktaP,nyekundu;nukta Q, nyekundu;nukta1, 1,0, SW;asyKwa ulinganifu, mpaka uliosalia wa S unaweza kupatikana kwa kuzungusha safu hii kwa mawimbi ya 60circ.asyukubwa wa kitengo 2 cm;njia foo arc1,0,1,-60,60;int i;kwa i 0; i 5; i chorazungusha60ifoo,nyekundu;chorazungusha60i1,0 dir-60--1,0--1,0 dir60;nuktazungusha60i1,0; chorazungusha60i0,0--1,0--dir60;kwa i 0; i 5; i nuktazungusha60i1,0 dir60,nyekundu;asyTunaweza kugawanya S katika pembetatu 12 zilizo na urefu wa upande 1, na sekta sita 120circ-sekta zenye radius 1, ili eneo la S liwe.12 cdot fracsqrt34 6 cdot frac13 cdot pi 3 sqrt3 2 pi.Hapa kuna baadhi njia mbadala za kupata arc ya mduara:1 Mbadala: Acha w frac1z, ambapo sehemu halisi ya z ni frac12. Andika w r operatornamecis theta. Kishafrac1z frac1w frac1r operatornamecis theta frac1r operatornamecis -theta fraccos theta - i sin thetar,hivyo fraccos thetar frac12, au r 2 cos theta.Ikiwa x yi w r jina la operetacis theta r cos theta i sin theta, basix2 y2 r2 2r cos theta 2x,hivyo x - 12 y2 1.Mbadala 2: Acha w frac1z, ambapo sehemu halisi ya z ni frac12. Kisha z ni sawa na 0 na 1 mstari x frac12 ni sehemu ya pembetatu ya 0 na 1, kwa hivyoz z - 1.Kugawanya pande zote mbili kwa z, tunapatakushoto 1 - frac1z kulia 1,hivyo w - 1 1. Kwa hivyo, w iko kwenye mduara unaozingatia 1 na radius 1. 