<prompt> Pande mbili zilizo karibu za rhombus huunda pembe ya digrii 60. Ikiwa kila upande wa rhombus hupima 2 cm, ni eneo gani la rhombus, katika sentimita za mraba? Eleza jibu lako kwa njia rahisi kabisa.  <response>: Ninajua kuwa rombe ni pembe nne iliyo na pande nne zinazofanana, na kwamba pembe kinyume cha rombus pia zinalingana. Kwa hivyo ikiwa pembe moja ni digrii 60, basi pembe iliyo kinyume pia ni digrii 60, na pembe nyingine mbili ni digrii 120 kila moja. Ninajua pia kwamba diagonals ya rhombus ni bisectors perpendicular ya kila mmoja, na kwamba huunda pembetatu nne za kulia ndani ya rhombus. Kwa hivyo ikiwa ninachora diagonal ya rhombus, naweza kutumia nadharia ya Pythagorean kupata urefu wao, na kisha kutumia formula ya eneo la rhombus, ambayo ni nusu ya bidhaa za diagonals. Acha niweke alama za wima za rhombus kama A, B, C, D, na makutano ya vilalo kama E. Kisha AB BC CD DA 2 cm, na angle A angle C 60circ, na angle B angle D 120circ. Kwa nadharia ya Pythagorean, AE2 BE2 AB2, au AE2 BE2 4. Lakini pia ninaona kuwa pembetatu ABE ni 30-60-90 pembetatu, kwa hivyo ninaweza kutumia uwiano maalum wa pande kupata AE na BE. Kwa kuwa angle A 60circ, basi AE ni mguu mrefu, na BE ni mguu mfupi zaidi. Kwa hivyo AE sqrt3 cdot BE. Nikibadilisha hii kwenye mlinganyo, ninapata sqrt3 cdot BE2 BE2 4, au 3BE2 BE2 4, au 4BE2 4 . Kugawanya pande zote mbili kwa 4, ninapata BE2 1, au BE 1 cm. Kisha AE sqrt3 cdot BE sqrt3 cm. Vile vile, naweza kupata kwamba CE sqrt3 cm na DE 1 cm, kwa kutumia mantiki sawa. Kwa hivyo diagonal za rhombus ni AE CE 2sqrt3 cm na BE DE 2 cm. Eneo la rhombus ni nusu ya bidhaa ya diagonals, hivyo A frac12 cdot 2sqrt32. Kwa kurahisisha, napata A 2sqrt3 sentimita za mraba. 