<prompt> Acha a_1, a_2, dots, a_12 ziwe nambari halisi chanya ili a_1 a_2 dots a_12 1. Pata thamani ya chini zaidi yafrac1a_1 frac1a_2 vitone frac1a_12.  <response>: Tatizo hili linaonekana kama linahusisha aljebra na uboreshaji. Ninagundua kuwa usemi frac1a_1 frac1a_2 dots frac1a_12 ni jumla ya maelewano ya a_i s, ambazo ni chanya na jumla ya 1. Ninashangaa kama kuna njia ya kutumia usawa wa maana-harmonic ya hesabu AM-HM, ambayo inasema kwamba kwa nambari zozote chanya x_1, x_2, dots, x_n, maana ya hesabu fracx_1 x_2 dots x_nn ni kubwa kuliko au sawa na maana ya usawa fracnfrac1x_1 frac1 x_2 dots frac1x_n. Nikitumia usawa wa AM-HM kwenye a_is, nitapata hiyo fraca_1 a_2 dots a_ 12 12 geq frac12frac1a_1 frac1a_2 dots frac1a_12. Kwa kurahisisha, napata hiyo frac112 geq frac12frac1a_1 frac1a_2 dots frac1a_ 12. Kwa kuzidisha, napata hiyo frac1a_1 frac1a_2 dots frac1a_12 geq 144 . Hii ina maana kwamba thamani ya chini kabisa ya usemi ni 144, na hutokea wakati a_i zote ni sawa na frac112. 