<prompt> Mchoro wa pembetatu ya Pascal umeonyeshwa kwenye mchoro ulioonyeshwa. Ni kipengele gani cha nne katika Safu ya 15 ya pembetatu ya Pascal? anzasafucccvspace0.1intextrmSafu ya 0: qquad 1 vspace0.1intextrmSafu ya 1: qquad 1 1 vspace0.1intextrmSafu ya 2: qquad 1 2 1 vspace0.1intextrmSafu ya 3: qquad 1 3 3 1 vspace0.1intextrmSafu ya 4: qquad 1 4 6 4 1mwishosafu  <response>: Ninagundua kuwa pembetatu ya Pascal imeundwa kwa kuongeza nambari mbili juu ya kila kiingilio. Kwa mfano, 6 katika Safu ya 4 hupatikana kwa kuongeza 3 na 3 katika Safu ya 3. Pia ninaona kwamba vipengele vya kwanza na vya mwisho katika kila safu daima ni 1, na vipengele vya pili na vya pili hadi vya mwisho vinafanana kila wakati. kama nambari ya safu. Kwa mfano, katika Safu ya 4, kipengele cha pili ni 4 na kipengele cha pili hadi cha mwisho pia ni 4. Ninashangaa ikiwa kuna fomula ya jumla ya vipengele katika pembetatu ya Pascal. Ninakumbuka kwamba mgawo wa binomial binomnk huhesabu idadi ya njia za kuchagua vipengee k kati ya n, bila kuzingatia agizo. Pia nakumbuka kuwa binomnk fracn!k!n-k!, wapi n! ina maana n factorial, au bidhaa ya nambari zote chanya hadi n. Ninaona kwamba vipengee vilivyo katika Safu n ya pembetatu ya Pascal ni viambajengo vya binomial haswa binomn0, binomn1, binomn2, dots, binom nn. Kwa mfano, katika Safu Mlalo ya 4, tuna binom40 1, binom41 4, binom42 6, binom43 4, binom44 1. Kwa hivyo, ili kupata kipengele cha nne katika Safu Mlalo ya 15, ninahitaji kukokotoa binom153. Ninatumia fomula binomnk fracn!k!n-k! na kuunganisha n 15 na k 3. Ninapata binom153 frac15!3!15-3! frac15 mara 14 mara 13 mara 12!3 mara 2 mara 1 mara 12! frac 15 mara 14 mara 133 mara 2 455. 