<prompt> Acha x, y, na z ziwe nambari halisi kiasi kwamba x2 y2 z2 1. Pata thamani ya juu zaidi ya3x 4y 12z.  <response>: Tatizo hili linaonekana kama tatizo la uboreshaji, ambapo tunataka kuongeza usemi wa mstari chini ya kizuizi cha quadratic. Njia moja inayowezekana ni kutumia calculus na kupata vidokezo muhimu vya usemi, lakini hiyo inaweza kuwa ya fujo na ya kuchosha. Njia nyingine inayowezekana ni kutumia jiometri na aljebra, na gundua kuwa usemi tunataka kuongeza ni bidhaa ya nukta ya vekta mbili. Acha vecu 3, 4, 12 na vecv x, y, z. Kisha, kwa fomula ya bidhaa ya nukta, tuna 3x 4y 12z vecu cdot vecv vecu vecv cos theta, ambapo theta ni pembe kati ya vekta mbili. Sasa, tunaweza kutumia ukweli kwamba x2 y2 z2 1 kurahisisha usemi huu. Hii inamaanisha kuwa vecv 1, kwa hivyo tuna 3x 4y 12z vecu cos theta. Ili kuongeza usemi huu, tunataka kufanya cos theta kuwa kubwa iwezekanavyo, ambayo ina maana kwamba tunataka kufanya theta iwe ndogo iwezekanavyo, au kwa usawa, iwe karibu na sufuri inawezekana. Hii ina maana kwamba tunataka vecv ielekeze upande uleule kama vecu, au kuwa kizidishio cha vecu. Kwa hivyo, tunaweza kuruhusu vec v fracvecuvecu, ambayo ni kitengo cha vekta katika mwelekeo sawa na vecu. Hii inatupa 3x 4y 12z vecu cos 0 vecu sqrt32 42 122 sqrt169 13. Kwa hivyo, thamani ya juu zaidi ya usemi ni 13, na inafikiwa wakati x, y, z. frac1133, 4, 12. 