<prompt> Kokotasum_n 19999 frac1sqrtn sqrtn 1sqrt4n sqrt4 n 1.  <response>: Ninagundua kuwa muhtasari una sababu ya kawaida ya sqrt4n sqrt4n 1 katika kihesabu, kwa hivyo ninaweza kuirahisisha kwa kuzidisha nambari na denominator kwa sqrt4n - sqrt4n 1. Hii inanipa fracsqrt4n - sqrt4n 1sqrtn sqrtn 1sqrt4 n sqrt4n 1sqrt4n - sqrt4n 1. Kisha, ninagundua kwamba kipunguzo ni tofauti. ya miraba, ili niweze kuiainisha zaidi kama sqrtn sqrtn 1sqrtn - sqrtn 1 sqrtn2 - sqrtn 12 n - n 1 -1. Hii ina maana kwamba muhtasari hurahisisha kwa -fracsqrt4n - sqrt4 n 11 sqrt4n 1 - sqrt4n. Sasa ninaweza kuandika upya jumla kama sum_n 1 9999 sqrt4n 1 - sqrt4n. Huu unaonekana kama mfululizo wa darubini, ambapo masharti mengi yanaghairiwa. Ili kuona hili, ninaweza kuandika masharti machache ya kwanza na ya mwisho ya jumla: sqrt42 - sqrt41 sqrt43 - sqrt42 sqrt44 - sqrt43 cdots sqrt410000 - sqrt4 9999. Kwa hivyo, jumla ni sawa na muhula wa mwisho kabisa ukiondoa muhula wa kwanza kabisa: sqrt410000 - sqrt41. Hii ni rahisi hesabu, kwa kuwa sqrt410000 sqrt4104 10 na sqrt41 1. Kwa hivyo jibu la mwisho ni 10 - 1 9. 