<prompt> Acha S iwe seti ya thamani zote halisi za x na 0 x fracpi2 vile sin x, cos x, na tan x tengeneza urefu wa upande kwa mpangilio fulani wa pembetatu ya kulia. Kokotoa jumla ya tan2 x juu ya x zote katika S.  <response>: Kwa kuwa sin x tan x kwa 0 x fracpi2, hypotenuse ya pembetatu ya kulia inaweza tu kuwa cos x au tan x.Ikiwa tan x ni hypotenuse, basitan2 x sin2 x cos2 x 1.Ikiwa cos x ni hypotenuse, basicos2 x tan2 x sin2 x.Kishacos2 x frac1 - cos2 xcos2 x 1 - cos2 x.Hii hurahisisha kuwa cos4 x frac 12. Kisha cos2 x frac1sqrt2, hivyotan2 x frac1 - cos2 xcos2 x frac1 - frac1sqrt2frac1 sqrt2 sqrt2 - 1.Kwa hivyo, jumla ya thamani zote zinazowezekana za tan2 x ni 1 sqrt2 - 1 sqrt2. 