<prompt> Pata moduli ya 7 iliyosalia ya jumla 13579dots195197199.  <response>: Salio la modulo 7 ni sawa na salio wakati wa kugawanya kwa 7, kwa hivyo ninahitaji kupata thamani ya modulo ya jumla 7. Jumla ni mfululizo wa hesabu wenye muhula wa kwanza 1, tofauti ya kawaida 2, na muhula wa mwisho 199. Ili kupata idadi ya maneno katika mfululizo, ninaweza kutumia fomula a_na_1n-1d, ambapo a_n ndio neno la mwisho, a_1 ni neno la kwanza, n ndio nambari. ya maneno, na d ndio tofauti ya kawaida. Kubadilisha maadili yaliyotolewa, ninapata 1991n-12, ambayo hurahisisha hadi n100. Ili kupata jumla ya mfululizo, ninaweza kutumia fomula S_nna_1a_n2, ambapo S_n ndio jumla, n ni idadi ya masharti, a_1 ni muhula wa kwanza. , na a_n ni muhula wa mwisho. Nikibadilisha thamani zilizotolewa, ninapata S_1001001199210000. Ili kupata salio wakati wa kugawanya kwa 7, ninaweza kutumia ukweli kwamba nambari yoyote kamili inaweza kuandikwa kama 7kr, ambapo k ndio mgawo na r ndio salio, na 0leq r7 . Kwa hivyo ninahitaji kupata r vile 100007kr. Ninaweza kujaribu kugawanya 10000 kwa 7 kwa kutumia mgawanyiko mrefu au kikokotoo, lakini kuna njia ya haraka zaidi. Ninaweza kutumia sifa ambayo ikiwa aequiv b pmod7 na cequiv d pmod7, basi acequiv bd pmod7, ambayo inamaanisha kwamba masalio ya a na c yakigawanywa na 7 yaongeze hadi salio la ac yakigawanywa na 7. Mali hii huniruhusu kugawanya jumla katika sehemu ndogo ambazo ni rahisi kupata mabaki yake. Kwa mfano, naweza kuandika 1000070003000. Kwa kuwa 7000 ni mgawo wa 7, salio lake likigawanywa na 7 ni 0. Ili kupata salio la 3000 ikigawanywa na 7, ninaweza kurudia mchakato huo na kuandika 30002100900. Kwa kuwa 2100 ni mgawo wa 7, salio lake likigawanywa na 7 ni 0. Ili kupata salio la 900 ikigawanywa na 7, naweza kuandika 900700200. Kwa kuwa 700 ni mgawo wa 7, salio lake likigawanywa na 7 ni 0. Ili kupata salio la 200 ikigawanywa na 7, naweza kuandika 2001964. Kwa kuwa 196 ni mgawo wa 7, salio lake likigawanywa na 7 ni 0. Salio ya 4 ikigawanywa na 7 ni 4. Kwa hivyo, salio la 10000 likigawanywa na 7 ni 000044. 