<prompt> Ni sehemu gani ya fomu fracAx 3 inaweza kuongezwa kwa frac6xx2 2x - 3 ili matokeo yapungue hadi sehemu ya fomu fracBx - 1? Hapa A na B ni nambari halisi. Toa thamani ya A kama jibu lako.  <response>: Ili kurahisisha shida hii, kwanza nitapata dhehebu la kawaida kwa sehemu hizo mbili na kisha kuzichanganya. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kuangazia madhehebu ya sehemu zote mbili. Denominator ya sehemu ya kwanza ni x 3, ambayo tayari iko katika hali iliyobainishwa. Denomineta ya sehemu ya pili ni x2 2x - 3, ambayo ni usemi wa quadratic ambao unaweza kuhesabiwa kwa kupata nambari mbili zinazozidisha hadi -3 na kuongeza hadi 2. Nambari hizo ni 3 na -1, kwa hivyo mimi inaweza kuandika x2 2x - 3 kama x 3x - 1. Sasa nina frac6xx 3x - 1 kama sehemu ya pili. Ili kupata kiashiria cha kawaida, ninahitaji kuzidisha sehemu ya kwanza kwa fracx - 1x - 1, ambayo ni sawa na 1. Hii inanipa fracAx - 1 x 3x - 1 kama sehemu ya kwanza. Sasa ninaweza kuongeza sehemu na kupata fracAx - 1 6xx 3x - 1. Ninataka sehemu hii iwe ya umbo fracBx - 1, kwa hivyo ninahitaji kurahisisha nambari na kughairi kipengele cha x 3. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kupata thamani ya A ambayo hufanya Ax - 1 6x kugawanywa na x 3. Ninaweza kutumia mgawanyiko mrefu wa polynomial au mgawanyiko wa syntetisk kugawa Ax - 1 6x na x 3 na kupata mgawo na salio. Vinginevyo, ninaweza kutumia ukweli kwamba ikiwa x 3 ni sababu ya Ax - 1 6x, basi salio lazima liwe sifuri ninapochomeka x -3. Hii ina maana kwamba A-3 - 1 6-3 0, ambayo hurahisisha -4A - 18 0. Nikitatua kwa A, ninapata A -frac92. Hii ndiyo thamani ya A ambayo hufanya sehemu kuwa fracAx - 1 6xx 3x - 1 kupunguza hadi fracBx - 1 . 