<prompt> Acha M iwe seti ya vitendakazi vilivyo na mipaka yaani sup_xina,bfxinfty katika C0,1. Je! ni Fxint_0x ft dt f katika M seti fupi iliyofuatana? Jibu 1 kwa ndiyo na 0 kwa hapana. Zaidi ya hayo, inaweza kuthibitishwa kwa kutumia 1. Nadharia ya Arzelà-Ascoli, 2. Nadharia ya uwakilishi ya Riesz, 3. Nadharia ya uhakika ya Banach, 4. Hakuna kati ya hayo hapo juu. Rejesha majibu ya maswali mawili kwenye orodha. Kwa mfano, ikiwa unafikiri jibu ni hapana na nadharia ya uwakilishi ya Riesz, basi rudi 0,2.Nadharia Husika: Nadharia ya Arzelà-Ascoli ni tokeo la msingi katika uchanganuzi wa kiutendaji, haswa katika uchunguzi wa mfuatano wa utendakazi. Inatoa seti ya vigezo vya kubainisha wakati mfuatano wa chaguo za kukokotoa una mtiririko unaofanana. Nadharia hiyo imepewa jina la wanahisabati wa Italia Cesare Arzelà na Giulio Ascoli.Nadharia kwa kawaida huelezwa katika muktadha wa utendakazi endelevu unaofafanuliwa kwenye nafasi ya kipimo cha pamoja. Hapa kuna taarifa ya nadharia:Acha X iwe nafasi fupi ya metri, na F iwe familia ya utendakazi endelevu kutoka X hadi nambari halisi R. Kisha F inashikamana kwa kiasi katika nafasi ya vitendakazi endelevu CX, R iliyo na topolojia inayofanana yaani. F ina kufungwa kwa kompakt ikiwa na tu ikiwa masharti mawili yafuatayo yanashikilia:1. Usawa: Kwa kila x katika X na kila ε 0, kuna eneo U la x ambalo kwa yote f katika F na yote y katika U, fy - fx  <response>: 1, 1 