<prompt> Tafuta idadi ya ruhusa a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 ya nambari 1,2,3,4,5,6 ambayo inaweza kubadilishwa kuwa 1,2,3,4,5,6 kupitia mibadiliko minne haswa na sio chache.  <response>: Masharti kutoka kwa taarifa hiyo yanamaanisha kuwa ruhusa yoyote kama hiyo ina mizunguko miwili iliyotengana, sema lefta_i_1, lddots, a_i_rright na lefta_ i_r1, ldoti, a_i_6kulia. Hii inafuata kutokana na ukweli kwamba ili kubadilisha mzunguko wa urefu r katika kitambulisho r-1, mabadiliko yanahitajika. Zaidi ya hayo, tunaweza tu kuwa na r5,4, au 3 .Wakati r5, kuna leftbeginarrayl6 1endarraykulia Chaguo kwa nambari ambayo inasalia bila kupitishwa. Kuna 5-1 ! mizunguko inayowezekana, kwa hivyo katika kesi hii tuna 6 mara 4 !144 uwezekano. Wakati r4, kuna leftbeginarrayl6 4endarrayright njia za kugawanya nambari katika mizunguko miwili mizunguko miwili inahitajika na sio. moja tu. Mzunguko mmoja ni uhamishaji. Kuna 4-1 !6 chaguo kwa nyingine. Kwa hivyo katika kesi hii idadi ni 90. Kumbuka kwamba hapa mabadiliko manne hasa yanahitajika. Hatimaye, wakati r3, basi kuna leftbeginarrayl6 3endarrayright times3- 1! nyakati3-1 !kesi 40. Kwa hiyo, jibu la tatizo ni 1449040274. 