<prompt> Bidhaa ya vigawanyiko kamili vya nambari chanya n ni 729. Tafuta n.  <response>: Ili kutatua tatizo hili, nitatumia ukweli kwamba bidhaa ya vigawanyiko kamili vya nambari chanya n ni sawa na ndn2, ambapo dn idadi ya vigawanyiko vya n. Pia nitatumia ukweli kwamba 729 ni nguvu ya 3, yaani 36. Kwa hivyo, ninaweza kuandika mlinganyo ndn2 36 na kujaribu kutafuta nambari kamili n ambayo inakidhi. Kwa kuwa n lazima kiwe kigawanyo cha 36, kinaweza tu kuwa na vipengele vikuu vya 3. Kwa hivyo, ninaweza kuandika n 3k kwa nambari kamili isiyo hasi k. Kisha, idadi ya vigawanyiko vya n ni dn k 1, kwani vigawanyiko ni 1, 3, 32, dots, 3k. Kuchomeka hii kwenye equation, napata 3kk12 36. Kwa kurahisisha, ninapata 3kk12 36. Kuchukua msingi wa logarithm 3 wa pande zote mbili, napata kk12 6. Kuzidisha pande zote mbili kwa 2, napata kk1 12. Ninaweza kutatua mlingano huu wa quadratic kwa kuweka alama: k2 k - 12 0. Mambo ni k 4k - 3 0. Kwa hiyo, thamani zinazowezekana za k ni k -4 na k 3. Walakini, k -4 haileti maana, kwani n 3k haingekuwa nambari kamili chanya. Kwa hivyo, thamani pekee halali ya k ni k 3. Kwa hiyo, n 33 27. 