<prompt> Kuna umbali gani kati ya katikati ya duara yenye mlinganyo x2y22x4y-1 na uhakika 13,7?  <response>: Ninagundua kuwa mlinganyo wa duara hauko katika umbo la kawaida x-h2y-k2r2, ambapo h,k ndio kitovu na r ni radius. . Ili kuiweka katika fomu hiyo, ninahitaji kukamilisha mraba kwa x na y. Ninaandika tena equation kama x2-2xy2-4y-1 kisha ninaongeza viunga vinavyofaa kwa pande zote mbili ili kutengeneza miraba kamili. Kwa x, ninahitaji kuongeza 2221 kwa pande zote mbili, na kwa y, ninahitaji kuongeza 4224 kwa pande zote mbili. Hii inanipa x2-2x1y2-4y4-114. Kwa kurahisisha, ninapata x-12y-224. Sasa naweza kuona kwamba katikati ya duara ni 1,2 na radius ni 2. Ili kupata umbali kati ya kituo na uhakika 13,7, naweza kutumia fomula ya umbali, ambayo ni dsqrtx_2-x_12y_2-y_12 . Kuchomeka kuratibu, napata dsqrt13-127-22. Kwa kurahisisha, ninapata dsqrt14425. Kwa kuchukua mzizi wa mraba, ninapata dsqrt169. Hatimaye, ninapata d13. 