<prompt> Desimali zinazojirudia 0.ababoverlineab na 0.abcabcoverlineabc zinatosheleza0.ababoverlineab0.abcabcoverlineabcfrac3337,ambapo a, b, na c ni tarakimu si lazima ziwe tofauti. Tafuta nambari ya tarakimu tatu abc.  <response>: Notisi inayorudia desimali inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:0.overlineabfrac10ab990.overlineabcfrac100a10bc999ambapo a,b,c ni tarakimu. Sasa tunarudisha hii kwenye sehemu ya asili:frac10ab99frac100a10bc999frac3337Zidisha pande zote mbili kwa 99999. Hii husaidia kurahisisha upande wa kulia pia kwa sababu 99911193739:9990a999b9900a990b99c3337373999333999Kugawanya pande zote mbili kwa 9 na kurahisisha inatoa:2210a221b11c9929801Kwa wakati huu, kuona kipengele cha 221 kinachojulikana kwa a na b ni muhimu kurahisisha. Hii ni kwa sababu kuchukua mod 221 kwa pande zote husababisha:2210a221b11c equiv 9801 mod 221 iff 11c equiv 77 mod 221Ona kwamba tulifikia matokeo 9801 equiv 77 mod 221 kwa kugawanya 9801 kwa 221 na kuona 98014422177. Sawa, sasa ni wazi kugawanya pande zote mbili kwa 11 katika moduli. equation lakini tunapaswa kuwa na wasiwasi kuhusu 221 kuwa nyingi ya 11. Vema, 220 ni mgawo wa 11 kwa uwazi sana, 221 haingeweza kuwa. Pia, 2211317. Sasa hatimaye tunarahisisha na kupata:c equiv 7 mod 221Lakini tunajua c ni kati ya 0 na 9 kwa sababu ni tarakimu, kwa hivyo c lazima 7. Sasa ni moja kwa moja kutoka hapa kupata a na b:2210a221b1179801 iff 22110ab9724 iff 10ab44na kwa kuwa a na b zote ni kati ya 0 na 9, tuna ab4. Hatimaye tuna nambari kamili ya 3 447. 