<prompt> Kigawanyiko kikuu cha kawaida cha nambari kamili m na n ni 8. Kizidishio cha kawaida zaidi cha m na n ni 112. Ni thamani gani inayowezekana ya mn?  <response>: Ukweli mmoja ni kwamba bidhaa ya GCD na LCM ya nambari mbili ni sawa na bidhaa ya nambari mbili zenyewe. Hiyo ni, gcdm,n times lcmm,n m mara n. Katika kesi hii, naweza kuunganisha maadili yaliyotolewa ya GCD na LCM na kupata 8 mara 112 m mara n. Kurahisisha, napata m times n 896. Ukweli mwingine ni kwamba GCD ya nambari mbili ni sababu ya nambari zote mbili. Hiyo ni, m na n lazima zote zigawanywe kwa 8. Kwa hivyo, ninaweza kuandika m 8a na n 8b kwa nambari kamili a na b. Kubadilisha misemo hii kwenye equation m times n 896, napata 8a mara 8b 896. Kugawanya pande zote mbili na 64, ninapata a mara b 14 . Sasa, ninahitaji kupata maadili madogo kabisa ya a na b ambayo yanakidhi mlinganyo huu. Kwa kuwa 14 ina vipengele vinne tu chanya: 1, 2, 7, na 14, ninaweza kuzijaribu kwa jozi na kuona ni zipi zinazotoa jumla ndogo zaidi ya m na n. Ikiwa a 1 na b 14, basi m 8 na n 112, na mn 120. Ikiwa a 2 na b 7, basi m 16 na n 56, na mn 72. Kwa hivyo, thamani ndogo zaidi ya mn ni 72, na hutokea wakati m 16 na n 56, au kinyume chake. 