<prompt> Mstatili ABCD una pande overline AB ya urefu wa 4 na overline CB ya urefu 3. Gawa overline AB katika sehemu 168 zinazolingana kwa pointi AP_0, P_1, ldots, P_168B, na ugawanye overline CB katika sehemu 168 zinazolingana zenye pointi CQ_0, Q_1, ldets, Q_168B. Kwa 1 le k le 167, chora sehemu overline P_kQ_k. Rudia ujenzi huu kwenye pande overline AD na overline CD, na kisha chora diagonal overline AC. Pata jumla ya urefu wa sehemu 335 zinazolingana zilizochorwa.  <response>: asy halisi r 0.35; ukubwa 220; pointpennyeusi;njiamweusiupana wa mstari0.65;kalamu f fontsize8; jozi A0,0,B4,0,C4,3,D0,3; D A--B--C--D--mzunguko; jozi P1Ar,0,P2A2r,0,P3B-r,0,P4B-2r,0; jozi Q1C-0,r,Q2C-0,2r,Q3B0,r,Q4B0,2r; DA--C;DP1--Q1;DP2--Q2;DP3--Q3;DP4--Q4; MPA,A,f;MPB,B,SE,f;MPC,C,NE,f;MPD,D,W,f; MPP_1,P1,f;MPP_2,P2,f;MPP_167,P3,f;MPP_166,P4,f; MPQ_1,Q1,E,f;MPQ_2,Q2,E,f;MPQ_167,Q3,E,f;MPQ_166 ,Q4,E,f; MP4,AB2,N,f;MPcdots,AB2,f; MP3,BC2,W,f;MPvdots,CB2,E,f; asyUrefu wa diagonal ni sqrt32 42 5 pembetatu ya kulia ya 3-4-5. Kwa kila k, overlineP_kQ_k ni hypotenuse ya pembetatu ya kulia ya 3-4-5 yenye pande 3 cdot frac168-k168, 4 cdot frac168 -k168. Kwa hivyo, urefu wake ni 5 cdot frac168-k168. Hebu a_kfrac5168-k168. Tunataka kupata 2sumlimits_k1168 a_k-5 kwa kuwa tumemaliza kuhesabu mlalo. 2sumlimits_k1168 frac5168-k168-5 2frac05cdot1692-5 168 cdot5 840. 