<prompt> Pata salio wakati 2 mara 12 mara 22 mara 32 mara ldets mara 72 mara 82 mara 92 inagawanywa kwa 5.  <response>: Ninagundua kuwa shida inahusisha bidhaa ya nambari nyingi, ambayo kila moja ni nyingi ya 2. Hii ina maana kwamba bidhaa pia ni nyingi ya 2, na kwa hiyo hata. Pia ninaona kuwa tatizo linauliza salio wakati bidhaa imegawanywa kwa 5. Katika hesabu ya moduli, tunasema kwamba nambari mbili ni moduli n ikiwa zina salio sawa zikigawanywa na n. Tunaandika hii kama a equiv b pmodn. Kwa mfano, 7 equiv 2 pmod5, kwa sababu 7 na 2 zina salio la 2 zikigawanywa na 5. Mojawapo ya sifa muhimu za hesabu za msimu ni kwamba ikiwa a equiv b pmodn na c equiv d pmodn, basi ac equiv bd pmodn. Sifa nyingine muhimu ni kwamba ikiwa a equiv b pmodn, basi ak equiv bk pmodn kwa nambari yoyote chanya k. Hii inamaanisha kuwa tunaweza kuongeza nambari zinazolingana kwa nguvu yoyote na bado kupata salio sawa. Sasa, rudi kwenye shida. Ninataka kupata salio wakati 2 mara 12 mara 22 mara 32 mara ldots mara 72 mara 82 mara 92 imegawanywa na 5. Ninaweza kutumia hesabu za kawaida kurahisisha shida hii kwa kuangalia kila sababu na kupata moduli yake ya upatanisho 5. Kwa mfano, 2 equiv 2 pmod5, 12 equiv 2 pmod5, 22 equiv 2 pmod5, na kadhalika. Hii inamaanisha kuwa ninaweza kubadilisha kila sababu na 2, na bado nipate salio sawa. Kwa hivyo, tatizo ni sawa na kupata salio wakati 2 mara 2 mara 2 mara ldets mara 2 mara 2 mara 2 imegawanywa na 5. Je, kuna vipengele vingapi vya 2 katika bidhaa hii? Kweli, kuna mambo 10, moja kwa kila tarakimu kumi kutoka 0 hadi 9. Kwa hivyo, tatizo ni sawa na kutafuta salio wakati 210 imegawanywa kwa 5. Sasa, ninaweza kutumia sifa nyingine ya hesabu ya msimu, ambayo ni kwamba ikiwa a equiv b pmodn, basi ak equiv bk pmodn kwa nambari yoyote chanya k . Ninajua kuwa 24 equiv 1 pmod5, kwa sababu 24 16, ambayo ina salio la 1 ikigawanywa na 5. Hii inamaanisha kuwa ninaweza kuongeza pande zote mbili kwa nguvu ya 2, na kupata 28 equiv 1 pmod5. Kisha, ninaweza kuzidisha pande zote mbili kwa 2, na kupata 29 equiv 2 pmod5. Hatimaye, ninaweza kuzidisha pande zote mbili kwa 2 tena, na kupata 210 equiv 4 pmod5. Hii inaniambia kuwa salio wakati 210 inagawanywa kwa 5 ni 4. Kwa hiyo, jibu la mwisho ni 4. 