<prompt> Jumla ya mfululizo usio na kipimo wa kijiometri ni nambari chanya S, na muhula wa pili katika mfululizo ni 1. Ni thamani gani ndogo zaidi inayowezekana ya S?  <response>: Ili kupata jumla ya mfululizo usio na kipimo wa kijiometri, ninahitaji kujua muhula wa kwanza na uwiano wa kawaida. Acha muhula wa kwanza uwe a na uwiano wa kawaida uwe r. Kisha muhula wa pili ni ar, na jumla ni fraca1-r. Ninajua kuwa ar 1, kwa hivyo ninaweza kubadilisha hiyo katika fomula ya jumla na kupata frac1r1-r. Ili kupunguza usemi huu, ninataka kufanya denominator kuwa kubwa iwezekanavyo. Denominata ni kazi ya quadratic ya r, na ina sufuri kwa r 0 na r 1. Kipeo cha parabola ni r frac12, na hapo ndipo kipunguzo kinafikia thamani yake ya juu zaidi ya frac14. Kwa hivyo, thamani ndogo kabisa ya S ni wakati r frac12, na ni S frac1frac14 4. 