<prompt> Katika pembetatuABC, AB10, angleA30circ , na angleC45circ. Acha H, D, na M ziwe pointi kwenye mstari BC kiasi kwamba AHperpBC, angleBADangleCAD, na BMCM . Pointi N ni sehemu ya katikati ya sehemu HM, na uhakika P iko kwenye ray AD kiasi kwamba PNperpBC. Kisha AP2dfracmn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya. Tafuta mn.  <response>: asy unitsize20; jozi A MPA,-5sqrt3,0, B MPB,0,5,N, C MPC,5,0 , M DMPM,0.5BC,NE, D MPD,IPLA,incenterA,B,C,0,2 ,B--C,N, H MPH,mguuA,B,C,N,N MPN,0.5HM,NE, P MPP,IPA--D,LN,N-1,1,0,10; DA--B--C--mzunguko; DB--H--A,bluudashed; DA--D; DP--N; markscalefactor 0.05; Dalama ya kuliaA,H,B; Dalama ya kuliaP,N,D; MP10,0.5AB--0.1,0.1,NW; asyHebu tudondoshe kipengele cha kawaida kutoka B hadi AC na tuweke lebo kwenye sehemu ya makutano O. Tutatumia hatua hii baadaye katika shida. Kama tunavyoona,M ni sehemu ya kati ya BC na N ni sehemu ya kati ya HMAHC ni 45-45-90 pembetatu, kwa hivyo angleHAB15circ.AHD ni 30-60-90 pembetatu.AH na PN ni mistari sambamba kwa hivyo PND ni 30-60-90 pembetatu pia.Kisha tukitumia taarifa hizo tunapata AD2HD naPD2ND na APAD-PD2HD-2ND2HN au AP2HNHMSasa tunajua kuwa HMAP, tunaweza kupata kwa HM ambayo ni rahisi kuipata.Tunaweza kutumia uhakika B kuigawanya kama HMHBBM,Tunaweza kufukuza urefu huo na tungepataAB10, hivyo OB5, hivyo BC5sqrt2, hivyo BMdfrac12 cdot BCdfrac5sqrt2 2Tunaweza pia kutumia Sheria ya Sines:fracBCABfracsinangle Asinangle CfracBC10fracfrac12 fracsqrt22inamaanisha BC5sqrt2Kisha kwa kutumia pembetatu ya kulia AHB, tuna HB10 sin 15circKwa hivyo HB10 sin 15circdfrac5sqrt6-sqrt22.Na tunajua kuwa AP HM HB BM frac5sqrt6-sqrt22 frac5sqrt22 frac5sqrt62 .Hatimaye tukikokotoa AP2.AP2dfrac1504dfrac752. Kwa hivyo jibu letu la mwisho ni 75277.mn77. 