<prompt> Equilateral pembetatu ABC ina urefu wa upande 600. Pointi P na Q ziko nje ya ndege ya pembetatu ABC na ziko pande tofauti za ndege. Zaidi ya hayo, PAPBPC, na QAQBQC, na ndege za pembetatu PAB na pembetatu QAB huunda pembe ya dihedral 120circ pembe kati ya ndege mbili. Kuna sehemu O ambayo umbali wake kutoka kwa kila A,B,C,P, na Q ni d. Tafuta d.  <response>: Kipenyo cha pembetatu ABC ni 100sqrt 3 na circumradius ni 200 sqrt 3. Sasa, zingatia mstari unaoendana na upangaji ABC kupitia katikati ya pembetatu ABC. Kumbuka kuwa P,Q,O lazima ilale kwenye mstari huo ili iwe sawa kutoka kwa kila wima ya pembetatu. Pia, kumbuka kuwa kwa kuwa P, Q, O ni collinear, na OPOQ, ni lazima tuwe na O ndio sehemu ya kati ya PQ. Sasa, Acha K iwe katikati ya pembetatu ABC, na L iwe sehemu ya mwinuko kutoka A hadi BC. Ni lazima tuwe na tanangle KLP angle QLK tan120circ. Kuweka KPx na KQy, kwa kuchukulia WLOG xy, lazima tuwe na tan120circ-sqrt3dfracdfracx y100 sqrt3dfrac30000-xy30000. Kwa hivyo, ni lazima tuwe na 100xyxy-30000. Pia, lazima tuwe na leftdfracxy2right2leftdfracx-y2right2120000 by the Nadharia ya Pythagorean, kwa hivyo tuna xy120000, kwa hivyo tukibadilisha na mlingano mwingine tuna 90000100xy, au xy900. Kwa kuwa tunataka dfracxy2, jibu tunalotaka ni 450. 