<prompt> Kokotasum_1 le a b c frac12a 3b 5c.Jumla inachukuliwa juu ya mara tatu a,b,c ya nambari chanya kiasi kwamba 1 le a  <response>: Ninagundua kuwa muhtasari ni zao la mamlaka tatu za kanuni tofauti, na vielelezo vinaongezeka kutoka kushoto kwenda kulia. Hii inanifanya nifikirie kutumia mali ya kusambaza na kugawanya jumla katika sehemu tatu, moja kwa kila jambo kuu. Kwa mfano, naweza kuandika frac12a 3b 5c frac12a cdot frac13b cdot frac15c. Kisha, ninaweza kutumia sifa ya ugawaji kuandika upya jumla kama sum_1 le a b c frac12a 3 b 5c sum_a1infty frac12a cdot leftsum_ba1infty frac13 b cdot leftsum_cb1infty frac15crightright. Kwa njia hii, nimetenganisha vipengele vitatu kuu na vielelezo vyao katika hesabu tatu zilizowekwa, kila moja ikiwa na tofauti tofauti ya faharasa. Sasa, naweza kuzingatia kutathmini kila jumla kutoka ndani kwenda nje. Jumla ya ndani kabisa ni mfululizo wa kijiometri, kwa kuwa kila neno linapatikana kwa kuzidisha neno la awali kwa uwiano thabiti wa frac15. Nakumbuka kuwa jumla ya mfululizo usio na kikomo wa kijiometri na muhula wa kwanza a. na uwiano wa kawaida r vile r 1 imetolewa na fraca1-r. Kwa kutumia fomula hii kwa jumla ya ndani kabisa, ninapata sum_cb1infty frac15 c fracfrac15b11-frac15 frac14 cdot 5b. Sasa, ninaweza kuunganisha usemi huu katika jumla ya kati na kuirahisisha kama ifuatavyo: sum_ba1infty frac13b cdot leftsum_ cb1infty frac15cright sum_ba1infty frac13b cdot frac 14 cdot 5b frac14 sum_ba1infty frac115b. Jumla ya kati pia ni a mfululizo wa kijiometri, wenye muhula wa kwanza frac115a1 na uwiano wa kawaida frac115. Kwa kutumia fomula sawa na hapo awali, ninapata sum_ ba1infty frac115b fracfrac115a11-frac115 frac114 cdot 15a. Sasa, ninaweza kuunganisha usemi huu kwenye jumla ya nje na kuirahisisha kama ifuatavyo: sum_a1infty frac1 2a cdot leftsum_ba1infty frac13b cdot leftsum_cb1infty frac15ckuliakulia sum_a1infty frac12a cdot frac14 cdot frac114 cdot 15a frac156 sum_a1infty frac130a. Jumla ya nje pia ni mfululizo wa kijiometri, wenye muhula wa kwanza frac130 na uwiano wa kawaida frac130. Kwa kutumia fomula sawa na hapo awali, ninapata sum_a1 infty frac130a fracfrac1301-frac130 frac129. Kwa hivyo, thamani ya mwisho ya jumla asili ni frac156 cdot frac129 frac11624. 