<prompt> x101 Axe B inaweza kugawanywa kwa x2 x 1 kwa baadhi ya nambari halisi A na B. Pata A B.  <response>: Ninajua kuwa x2 x 1 ni quadratic isiyoweza kupunguzwa, kumaanisha haina mizizi halisi na haiwezi kuhesabiwa juu ya nambari halisi. Kwa hivyo, ikiwa x101 Ax B inaweza kugawanywa kwa x2 x 1, basi lazima pia isiwe na mizizi halisi na iwe kizidishio cha x2 x 1. Hiyo inamaanisha kuwa ninaweza kuandika x101 Ax B x2 x 1Qx, ambapo Qx ni kiasi cha digrii 99. Ili kupata Q x, Naweza kutumia mgawanyiko mrefu wa polynomial au mgawanyiko wa syntetisk, lakini hiyo itakuwa ya kuchosha na kukabiliwa na makosa. Badala yake, nitatumia hila ya werevu: Nitabadilisha mizizi changamano ya mchemraba wa umoja kwa x. Kumbuka kwamba mizizi changamano ya mchemraba wa umoja ndio suluhu za x3 1, ambazo ni x 1, omega, omega2, ambapo omega e2pi i3 -frac12 fracsqrt32i na omega2 e4pi i3 -frac12 - fracsqrt32i. Nambari hizi changamano zina sifa ambayo omega3 1, omega2 omega 1 0, na omega2 omega-1. Sasa, tambua kwamba x2 x 1 ni sifuri wakati x omega au x omega2. Hiyo ina maana kwamba x101 Ax B pia ni sifuri wakati x omega au x omega 2. Hii inanipa milinganyo miwili: omega101 Aomega B 0 na omega202 Aomega2 B 0. Ninaweza kurahisisha haya milinganyo kwa kutumia ukweli kwamba omega3 1. Tangu 101 33 mara 3 2, Nina omega101 omega2. Vile vile, tangu 202 67 mara 3 1, nina omega202 omega. Kwa hivyo, milinganyo inakuwa omega2 Aomega B 0 na omega Aomega 2 B 0. Ninaweza kutoa mlingano wa pili kutoka wa kwanza ili kuondoa B. Hii inanipa omega2 - omega Aomega - omega2 0. Ninaweza kubainisha omega - omega2 kutoka kwa masharti yote mawili na kupata omega - omega21 - A 0. Tangu omega - omega2 neq 0, Lazima niwe na 1 - A 0, au A 1. Sasa, ninaweza kuunganisha A 1 kwenye mlinganyo wowote ili kupata B. Nitatumia ya kwanza: omega2 omega B 0. Ninaweza kutatua kwa B na kupata B -omega2 - omega. Ninaweza kurahisisha usemi huu kwa kutumia ukweli kwamba omega2 omega -1. Ninapata B -omega - omega-1. Ninaweza kuandika hii katika umbo la mstatili kwa kutumia thamani za omega na omega2. Napata B --frac12 fracsqrt32i - -frac12 - fracsqrt3 2i. Ninaweza kurahisisha hili na kupata B 1. Kwa hiyo, nimepata A 1 na B 1. 