<prompt> Pata eigenvalues na eigenvectors ya matrix B 2, -1, 1, 3.  <response>: Ili kupata eigenvalues, tunahitaji kutatua equation ya tabia detB - λI 0, ambapo λ ni eigenvalue na mimi ni matrix ya utambulisho.B - λI 2-λ, -1, 1, 3-λKiashiria cha B - λI ni:2-λ3-λ - -11 λ2 - 5λ 7Ili kupata mizizi eigenvalues, tunaweza kutumia formula ya quadratic:λ 5 -52 - 417 21λ 5 25 - 28 2λ 5 -3 2Kwa hivyo eigenvalues ni λ1 5 i32 na λ2 5 - i32.Sasa wacha tupate eigenveekta kwa kila eigenvalue.Kwa λ1:B - λ1Iv1 02-5i32, -1, 1, 3-5i32v1 0Hii hurahisisha:-12i32, -1, 1, -12-i32v1 0Acha v1 x, y. Tunaweza kuandika mfumo wa milinganyo ya mstari:-12i32x - y 0x - -12-i32y 0Kutoka kwa equation ya kwanza, tunapata y -12i32x. Kubadilisha hii katika equation ya pili:x - -12-i32-12i32x 0Kurahisisha, tunapata x 0, ambayo ni ukinzani kwani eigenveekta haiwezi kuwa vekta sifuri. Walakini, tunaweza kuongeza eigenvector kwa kila mara na bado itakuwa eigenvector. Kwa hivyo, tuchague x 1. Kisha y -12 i32.Kwa hivyo eigenvector inayolingana na λ1 ni v1 1, -12 i32.Kwa λ2:B - λ2Iv2 02-5-i32, -1, 1, 3-5-i32v2 0Hii hurahisisha:-12-i32, -1, 1, -12i32v2 0Acha v2 a, b. Tunaweza kuandika mfumo wa milinganyo ya mstari:-12-i32a - b 0a - -12i32b 0Kutoka kwa equation ya kwanza, tunapata b -12-i32a. Kubadilisha hii katika equation ya pili:a - -12i32-12-i32a 0Kurahisisha, tunapata 0, ambayo tena ni utata. Hebu tuchague 1. Kisha b -12 - i32.Kwa hivyo eigenvector inayolingana na λ2 ni v2 1, -12 - i32.Kwa muhtasari, eigenvalues ni λ1 5 i32 na λ2 5 - i32, na eigenveekta zinazolingana ni v1 1, -12 i 32 na v2 1, -12 - i32. 