<prompt> Pembetatu ABC na AEF ni kiasi kwamba B ndio kitovu cha overlineEF. Pia, AB EF 1, BC 6, CA sqrt33 , naarrow overrightarrowAB cdot overrightarrowAE overrightarrowAC cdot overrightarrowAF 2.Tafuta cosine ya pembe kati ya vekta overrightarrowEF na mshale uliopitilizaBC.  <response>: Tunaweza kuandikaanzaalign2 mshale wa kulia zaidiAB cdot mshale wa kulia zaidiAE mshale wa kulia zaidiAC cdot mshale wa kuliaAF mshale wa kulia kupita kiasiAB cdoti mshale ulio juu zaidiAB ushale uliopitilizaBE ushale uliopitilizaAC cdot mshale uliopitilizaAB mshale uliopitilizaBF overrightarrowAB cdot overrightarrowAB overrightarrowAB cdot overrightarrowBE overrightarrowAC cdot overrightarrowAB overrightarrowAC cdot overrightarrow BF.endalignKwa kuwa AB 1,overrightarrowAB cdot overrightarrowAB overrightarrowAB2 1.Kwa Sheria ya Cosines,anzaalignmshale wa kulia zaidiAC cdot mshale wa kulia zaidiAB AC cdot AB cdot cos pembe BAC sqrt33 cdot 1 cdot frac12 sqrt332 - 622 cdot 1 cdot sqrt33 -1.endalignAcha theta iwe pembe kati ya vekta overrightarrowEF na overrightarrowBC. Kwa kuwa B ndio kitovu cha overlineEF, overrightarrowBE -overrightarrowBF, hivyoanzaalignmshale uliopitilizaAB cdot mshale wa kulia zaidiBE mshale wa kulia zaidiAC cdot mshale ulio juu zaidiBF -mshale uliopitilizaAB cdot mshale uliopitilizaBF ushale uliopitilizaAC cdot BF mshale wa kulia kupita kiasiAC - kishale cha kulia zaidiAB cdoti kishale cha kulia zaidiBF mshale wa kulia kupita kiasiBC cdot mshale uliopitilizaBF BC cdot BF cdot cos theta 3 cos theta.endalignTukiweka kila kitu pamoja, tunapata1 - 1 3 cos theta 2,hivyo cos theta frac23. 