<prompt> Acha mathbfu, mathbfv, na mathbfw ziwe vivekta kiasi kwamba mathbfu 3, mathbfv 4, na mathbfw 5, namathbfu mathbfv mathbfw mathbf0.Kokotoa mathbfu cdot mathbfv mathbfu cdot mathbfw mathbfv cdot mathbfw.  <response>: Hili ni tatizo kuhusu vekta na ukubwa wao na bidhaa za nukta. Nakumbuka kuwa bidhaa ya nukta mbili mathbfa na mathbfb inatolewa na mathbfa cdot mathbfb mathbfa mathbfb cos theta, ambapo theta ni pembe kati yao. Pia ninakumbuka kuwa bidhaa ya nukta ni ya mstari, ambayo inamaanisha kuwa mathbfa mathbfb cdot mathbfc mathbfa cdot mathbfc mathbf b cdot mathbfc kwa vekta zozote mathbfa, mathbfb, na mathbfc. Ninagundua kuwa tatizo linanipa ukubwa wa mathbfu, mathbfv, na mathbfw, lakini si pembe zao. Nashangaa ikiwa ninaweza kutumia ukweli kwamba wanaongeza hadi sifuri kupata pembe zao. Ninajaribu kutumia bidhaa ya nukta kwenye pande zote mbili za mlinganyo mathbfu mathbfv mathbfw mathbf0. Ninapata mathbfu mathbfv mathbfw cdot mathbfu mathbfv mathbfw mathbf0 cdot mathbf0. Ninarahisisha upande wa kushoto kwa kutumia mstari wa bidhaa ya nukta na ukweli kwamba mathbfa cdot mathbfa mathbfa2. Napata mathbfu cdot mathbfu mathbfv cdot mathbfv mathbfw cdot mathbfw 2mathbfu cdot mathbfv mathbf u cdot mathbfw mathbfv cdot mathbfw 0. Ninachomeka maadili ya ukubwa uliotolewa kwenye tatizo. Ninapata 9 16 25 2mathbfu cdot mathbfv mathbfu cdot mathbfw mathbfv cdot mathbfw 0. Ninasuluhisha kwa usemi ninaotaka kujumuisha. Napata mathbfu cdot mathbfv mathbfu cdot mathbfw mathbfv cdot mathbfw -25. 