<prompt> Urefu wa sehemu kati ya pointi 2a, a-4 na 4, -1 ni 2sqrt10 units. Je, ni bidhaa gani ya thamani zote zinazowezekana za a?  <response>: Ili kupata urefu wa sehemu, ninahitaji kutumia fomula ya umbali, ambayo inategemea nadharia ya Pythagorean. Fomula ya umbali inasema kwamba urefu wa sehemu ni mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya tofauti za kuratibu. Kwa hivyo, ninahitaji kuziba kuratibu zilizopewa kwenye fomula ya umbali na kuiweka sawa na urefu uliopewa. Napata: sqrt2a-42 a-4--12 2sqrt10. Ili kurahisisha hili, naweza mraba pande zote mbili, ambayo itaondoa mizizi ya mraba. Ninapata: 2a-42 a-412 4cdot 10. Kupanua miraba na kuchanganya maneno kama hayo, napata: 4a2 - 16a 16 a2 - 6a 9 40. Kurahisisha zaidi, napata: 5a2 - 22a - 15 0. Huu ni mlinganyo wa quadratic, ambao ninaweza kuutatua kwa kuweka alama, kukamilisha mraba, au kutumia fomula ya quadratic. Ninagundua kuwa equation hii inaweza kuhesabiwa kwa urahisi, kwani 5 na -15 zote zinaweza kugawanywa na 5, na -22 ni jumla ya -25 na 3. ili niweze kuandika: 5a 3a - 5 0. Kwa sifa ya bidhaa sifuri, hii ina maana kwamba ama 5a 3 0 au a - 5 0. Kutatua a, napata thamani mbili zinazowezekana: a -frac35 au a 5. Bidhaa ya thamani hizi ni -frac35 cdot 5 -3. 