<prompt> Bainisha nyota yenye alama za kawaida n kuwa muungano wa sehemu za mstari n P_1P_2, P_2P_3,ldets, P_nP_1 kiasi kwambapointi P_1, P_2,ldots, P_n ni coplanar na hakuna tatu kati ya hizo ni collinear,kila moja ya sehemu ya mstari wa n hukatiza angalau sehemu moja ya mstari katika hatua nyingine isipokuwa sehemu ya mwisho,pembe zote katika P_1, P_2,ldots, P_n zinalingana,sehemu zote za mstari wa n P_2P_3,ldots, P_nP_1 zinalingana, nanjia P_1P_2, P_2P_3,ldets, P_nP_1 inageuka kinyume na saa kwa pembe ya chini ya digrii 180 katika kila kipeo.Hakuna nyota za kawaida zenye ncha 3, zenye ncha 4 au 6. Nyota zote za kawaida zenye alama 5 zinafanana, lakini kuna nyota mbili zisizo sawa za kawaida zenye alama 7. Je, kuna nyota ngapi za kawaida zenye alama 1000 zisizo sawa?  <response>: Tunatumia Kanuni ya Kujumuisha-Kutengwa PIE.Ikiwa tutajiunga na wima zilizo karibu za n-star ya kawaida, tunapata n-gon ya kawaida. Tunaweka nambari za wima za n-gon hii kwa mwelekeo kinyume cha saa: 0, 1, 2, 3, lddots, n-1.n-star ya kawaida itaundwa ikiwa tutachagua nambari ya kipeo m, ambapo 0 le m le n-1, na kisha kuunda sehemu za mstari kwa kuunganisha jozi zifuatazo za nambari za kipeo: 0 modn, m modn, m modn, 2m modn, 2m modn, 3m modn, cdots, n-2m modn, n-1m modn, n-1m modn, 0 modn.Ikiwa gcdm,n 1, basi nyota itapungua na kuwa fracngcdm,n-gon au sehemu ya mstari 2-vertex ikiwa fracngcdm,n 2. Kwa hivyo, tunahitaji kupata m zote kama gcdm,n 1.Kumbuka kuwa n 1000 2353.Acha S 1,2,3,ldots, 1000, na A_i i in S mid i, textrm igawanye ,1000. Idadi ya ms ambayo si ya kawaida kwa 1000 ni: mid A_2cup A_5mid mid A_2midmid A_5mid -mid A_2cap A_5mid leftfloor frac10002rightfloorleftfloor frac10005rightfloor -kushotosakafu frac10002 cdot 5kuliafloor 500200-100 600.Nambari za kipeo 1 na n-1999 lazima zisijumuishwe kama thamani za m kwani vinginevyo n-gon ya kawaida, badala ya n-nyota, huundwa.Kesi za sehemu ya mstari wa 1 wa 0, m na 0, n-m hutoa nyota sawa. Kwa hivyo tunapaswa kupunguza hesabu kwa nusu ili kupata nyota zisizo sawa.Kwa hivyo, idadi ya nyota zenye alama 1000 zisizo sawa ni frac1000-600-22 199. 