<prompt> nielezee kwa njia rahisi ya kuelewa mlinganyo wa kupata nambari ya pembetatu ya nth ni nini na jinsi inavyoweza kuthibitishwa kwa kutumia hesabu ya kiwango cha shule ya upili pekee. tafadhali toa kila hatua ya uthibitisho kwa kutumia LaTeX.  <response>: Nambari ya pembetatu ni nambari ambayo ni jumla ya nambari zote kuanzia 1 hadi nambari n. Equation ya kupata nambari ya pembetatu ya nth imetolewa na fomula:anzaequationT_n fracnn12mwishoequationIli kudhibitisha fomula hii, tunaweza kutumia induction ya hisabati:Hatua ya msingi: Kwa n 1, equation inatupa T1 1 1 1 2 1, ambayo ni namba ya pembetatu ya kwanza.Hatua ya kufata neno: Chukulia kuwa fomula inashikilia n k, yaani, T_k k k 1 2.Sasa tunahitaji kuthibitisha kwamba formula pia inashikilia n k 1, yaani, T_k 1 k 1 k 2 2.anzaalignT_k 1 T_k k 1 frackk 12 k 1 frack2 k2 frac2k 22 frack2 3k 22 frack 1k 22 T_k 1mwishopangaKwa hiyo, formula inashikilia n k 1 pia.Hitimisho: Kwa uingizaji wa hisabati, tumeonyesha kuwa fomula T_n n n 1 2 inashikilia nambari zote chanya n. Maagizo: Je, unaweza kueleza utangulizi wa hisabati kwa undani? 