<prompt> Acha theta iwe pembe kali kama hiyodhambi 5 theta sin5 theta.Kosa tan 2 theta.  <response>: Kwa ujumla, Na nadharia ya DeMoivre,anzaalignjina la operetacis n theta jina la operetacis thetan cos theta i sin thetan cosn theta binomn1 i cosn - 1 theta sin theta - binomn2 cosn - 2 theta sin2 theta - binomn3 i cosn - 3 theta sin3 theta dotsb.endalignKulingana na sehemu halisi na za kufikirika, tunapataanzaaligncos n theta cosn theta - binomn2 cosn - 2 theta sin2 theta binomn4 cos n - 4 theta sin4 theta - dotsb, sin n theta binomn1 cosn - 1 theta sin theta - binomn3 cosn - 3 theta sin 3 theta binomn5 cosn - 5 theta sin5 theta - dotsb.mwishoalignHasa,anzaalignsin 5 theta binom51 cos4 theta sin theta - binom53 cos2 theta sin3 theta binom 55 sin5 theta 5 cos4 theta sin theta - 10 cos2 theta sin3 theta sin5 theta.endalignKwa hivyo, mlinganyo sin 5 theta sin5 theta inakuwa5 cos4 theta sin theta - 10 cos2 theta sin3 theta sin5 theta sin5 theta.Kisha 5 cos4 theta dhambi theta - 10 cos2 theta sin3 theta 0, ni mambo gani5 cos2 theta sin theta cos2 theta - 2 sin2 theta 0.Kwa kuwa theta ni kali, cos theta na sin theta ni chanya, kwa hivyo lazima tuwe na cos2 theta - 2 sin2 theta 0. Kishacos2 theta 2 sin2 theta,hivyo tan2 theta frac12.Kwa kuwa theta ni kali, tan theta frac1sqrt2. Kisha kwa fomula ya pembe mbili ya tangent,tan 2 theta frac2 tan theta1 - tan2 theta fracsqrt21 - frac12 2 sqrt2. 