<prompt> Kokotasum_n 1infty frac1nn 2.  <response>: Ninagundua kuwa muhtasari ni sehemu iliyo na usemi wa quadratic katika denominator. Ninashangaa ikiwa ninaweza kutumia sehemu ndogo kuiandika kama tofauti ya sehemu mbili rahisi. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kupata viambajengo A na B hivi kwamba frac1nn 2 fracAn fracBn 2. Ninazidisha pande zote mbili kwa nn 2 na kupata 1 An 2 Bn. Mlinganyo huu lazima ushikilie kwa thamani zote za n, ili niweze kuunganisha thamani zinazofaa ili kupata A na B. Kwa mfano, nikichomeka n 0, ninapata 1 A0 2 B0 inamaanisha 1 2A inamaanisha A frac12. Kwa hivyo, nina frac1nn 2 frac12n - frac12n 2. Sasa, mimi inaweza kuandika upya jumla isiyo na kikomo kama sum_n 1infty frac1nn 2 frac12 sum_n 1infty kushotofrac1n - frac1n 2kulia. Ninagundua kuwa huu ni mfululizo wa darubini, kumaanisha kuwa maneno mengi yanaghairiwa. Ili kuona hili kwa uwazi zaidi, ninaweza kuandika masharti machache ya kwanza ya jumla: frac12 sum_n 1infty leftfrac1n - frac1n 2kulia frac12 kushotofrac11 - frac13 frac12 - frac14 frac13 - frac15 frac14 - frac16 cdots kulia. Kwa hivyo, jumla isiyo na kikomo ni sawa na frac34. 