<prompt> Masuluhisho yote ya equation cos 4x -frac12 yanaweza kuonyeshwa kwa namna frackn pm 1 pi6, ambapo n ni nambari kamili. Pata thamani chanya ya k.  <response>: Ninajua kuwa cos 4x -frac12 wakati 4x ni 2pi3 au 4pi3 radians, kwa kuwa hizo ndizo pembe katika roboduara ya pili na ya tatu. ambazo zina kosine ya -frac12. Kwa hivyo ninaweza kuandika 4x 2pi3 2pi m au 4x 4pi3 2pi n, ambapo m na n ni nambari kamili. Kutatua kwa x, napata x pi6 pi m2 au x pi3 pi n2. Haya ndiyo masuluhisho ya jumla, lakini ninahitaji kuyaeleza katika muundo frackn pm 1 pi6, ambapo n ni nambari kamili na k ni chanya thabiti. Ninagundua kuwa suluhu zote mbili zina sababu ya pi6 ndani yake, kwa hivyo ninaweza kubainisha hilo na kuandika x fracpi61 3m au x frac pi62 3n. . Sasa ninaweza kulinganisha misemo hii na fomu iliyotolewa na kuona kwamba k 3. 