<prompt> Acha f iwe chaguo la kukokotoa kuchukua nambari kamili hadi nambari kamili hivyofm n fmn - 1 fm fn 2kwa nambari zote m na n.Acha n iwe nambari ya thamani zinazowezekana za f2, na s iwe jumla ya thamani zote zinazowezekana za f2. Tafuta n times s.  <response>: Kuweka n 0, tunapatafm f-1 fm f0 2.Ikiwa f0 neq 1, basi fm ni sawa na kiasi fulani, sema c. Kisha2c c2 2,ambayo haina suluhu kamili. Kwa hiyo, f0 1, na kisha f-1 2.Kuweka n 1, tunapatafm 1 fm - 1 f1 fm 2.Hebu a f1; basifm 1 afm - fm - 1 2.Kwa kuwa f0 1 na f1 a,anzaalignf2 af1 - f0 2 a2 1, f3 af2 - f1 2 a3 2, f4 af3 - f2 2 a4 - a2 2a 1, f5 af4 - f3 2 a5 - 2a3 2a2 a.endalignKuweka m n 2, tunapataf4 f3 f22 2.Kisha a4 - a2 2a 1 a3 2 a 2 12 2, ambayo hurahisishaa3 - 3a2 2a 0.Vigezo hivi kama aa - 1a - 2 0. Kwa hivyo, a katika 0, 1, 2 .Kuweka m 2 na n 3, tunapataf5 f5 f2 f3 2.Kisha 2a5 - 2a3 2a2 a a2 1 a3 2 2. Kuangalia a 0, a 1, na a 2, tunapata kwamba thamani pekee inayofanya kazi ni a 2.Kwa hivyo,fm 1 2fm - fm - 1 2.Thamani chache za kwanza nianzaalignf2 2f1 - f0 2 5, f3 2f2 - f1 2 10, f4 2f3 - f2 2 17,mwishoalignna kadhalika. Kwa hoja ya moja kwa moja ya utangulizi,fn n2 1kwa nambari zote n.Tunaweza kuangalia kwamba chaguo hili la kukokotoa linafanya kazi. Kwa hiyo, n 1 na s 5, hivyo n times s 5. 