<prompt> Acha a_n frac10n-19. Bainisha d_n kuwa kigawanyaji kikuu cha kawaida cha a_n na a_n1. Je, ni thamani gani ya juu inayowezekana ambayo d_n inaweza kuchukua?  <response>: Mbinu ya kawaida ya kupata kigawanyiko kikubwa zaidi cha nambari mbili ni kutumia algoriti ya Euclidean, ambayo mara kwa mara hutumia algorithm ya mgawanyiko ili kupunguza jozi ya nambari hadi ziwe sawa au moja yao ni sifuri. Ili kutumia algoriti ya Euclidean kwa a_n na a_n1, ninahitaji kuandika mojawapo kama kizidishio cha nyingine pamoja na salio. Ninagundua kuwa a_n1 daima ni kubwa kuliko a_n, kwa hivyo ninaweza kuandika a_n1 q a_n r kwa mgawo fulani q na salio r. Ili kupata q na r, ninahitaji kugawanya a_n1 na a_n na kuandika matokeo kama sehemu iliyochanganywa. Ninaweza kurahisisha mgawanyiko kwa kutambua kuwa a_n frac10n-19 na a_n1 frac10n1-19 . Hii inamaanisha kuwa a_n1 10 a_n frac99. Kwa hiyo, q 10 na r 1. Hii ina maana kwamba a_n1 10 a_n 1. Sasa naweza kutumia algorithm ya Euclidean kwa kurudia mchakato na a_n na r 1. Ninaweza kuandika a_n q r r kwa mgawo fulani q na salio r. Ili kupata q na r, ninahitaji kugawanya a_n na r 1 na kuandika matokeo kama sehemu iliyochanganywa. Hili ni jambo dogo, kwani a_n daima ni nambari kamili na r 1. Kwa hiyo, q a_n na r 0. Hii inamaanisha kuwa a_n a_n cdot 1 0. Sasa nimefikia mwisho wa algorithm ya Euclidean, kwani iliyobaki ni sifuri. Hii ina maana kwamba kigawanyo kikuu cha kawaida cha a_n na a_n1 ni sawa na salio la nonzero la mwisho, ambalo ni r 1. Kwa hiyo, d_n 1 kwa n yoyote. Hii ina maana pia kwamba thamani ya juu zaidi iwezekanayo ambayo d_n inaweza kuchukua ni 1. 