<prompt> Acha a, b, na c ziwe nambari halisi ili a2 b2 c2 1. Pata thamani ya chini zaidi yaab ac bc.  <response>: Ninaona kwamba usemi ab ac bc ni sehemu ya upanuzi wa a b c2. Kwa kweli, a b c2 a2 b 2 c2 2ab ac bc. Kwa kuwa a2 b2 c2 1, naweza kuandika hii upya kama a b c2 1 2ab ac bc. Pia najua kwamba mraba wa nambari yoyote halisi si hasi, kwa hivyo a b c2 geq 0. Kwa hivyo, 1 2ab ac bc geq 0, ambayo inadokeza kuwa ab ac bc geq -frac12. Hii ina maana kwamba thamani ya chini iwezekanayo ya ab ac bc ni -frac 12. Ili kuangalia kama thamani hii inaweza kufikiwa, ninahitaji kupata thamani za a, b, na c zinazotosheleza a2 b2 c2 1 na ab ac bc -frac12. Chaguo moja linalowezekana ni a frac1sqrt2, b -frac1sqrt 2, na c 0. Kisha a2 b2 c2 frac12 frac12 0 1 na ab ac bc frac1sqrt2 cdot -frac1sqrt.2 frac1sqrt2 cdot 0 -frac1sqrt2 cdot 0 -frac12. Kwa hivyo, thamani ya chini kabisa ya ab ac bc ni kweli -frac 12. 