<prompt> Seti ya S imeundwa kama ifuatavyo. Kuanza, S 0,10. Mara kwa mara, kwa muda mrefu iwezekanavyo, ikiwa x ni mzizi kamili wa nonzero polynomial a_nxn a_n-1xn-1 dots a_1x a_0 kwa baadhi ya ngeq1, ambazo zote hesabu zake a_i ni vipengele vya S, kisha x inawekwa katika S. Wakati hakuna vipengele vingine vinavyoweza kuongezwa kwa S, S ina vipengele vingapi?  <response>: Tunaanza na seti S 0,10. Tunaweza kuunda polynomial 10x 10 0, ambayo ina x -1 kama mzizi. Kwa hivyo, tunaweza kupanua seti yetu hadi S -1,0,10.Kisha tunaweza kuunda polynomial10x10 - x9 - x8 - x7 - x6 - x5 - x4 - x3 - x2 - x - 1 0,ambayo ina x 1 kama mzizi, na tunaweza kuunda polynomial -x3 - x 10 0, ambayo ina x 2 kama mzizi. Kwa hivyo, tunaweza kupanua seti yetu hadi S -1, 0, 1, 2, 10.Ifuatayo, tunaweza kuunda polynomial x 10 0, ambayo ina x -10 kama mzizi, polynomial 2x 10 0, ambayo ina x -5 kama mzizi, na polynomial x 2 0, ambayo ina x -2 kama mzizi. Seti yetu ya S sasa ni -10, -5, -2, -1, 0, 1, 2, 10.Mwishowe, tunaweza kuunda polynomial x - 5 0, ambayo ina x 5 kama mzizi, ikitupa seti.S -10, -5, -2, -1, 0, 1, 2, 5, 10.Sasa, tuseme tunaunda polynomiala_n xn a_n - 1 xn - 1 vitone a_1 x a_0 0,na vigawo kutoka kwa seti S -10, -5, - 2, -1, 0, 1, 2, 5, 10. Iwapo a_0 0, basi tunaweza kuainisha baadhi ya nguvu za x, ili kupata polimanomia ambapo neno lisilobadilika ni nonzero. Kwa hivyo, tunaweza kudhani kuwa a_0 neq 0.Kwa Nadharia ya Integer Root, mzizi wowote kamili wa polynomia hii lazima ugawanye a_0. Lakini tunaona kwamba kigawanyo chochote cha kipengele kisicho sifuri katika S tayari kiko katika S, kwa hivyo hatuwezi kupanua seti S. yoyote zaidi. Kwa hivyo, jibu ni 9 vipengele. 