<prompt> Pata thamani ya chini ya2 logi_10 x - log_x frac1100kwa x 1.  <response>: Ninagundua kuwa usemi huo unahusisha logariti zilizo na besi tofauti, kwa hivyo ninashangaa ikiwa ninaweza kutumia fomula ya kubadilisha-msingi kuzifanya ziendane zaidi. Njia ya kubadilisha-msingi inasema kwamba log_b a fraclog_c alog_c b kwa misingi yoyote chanya b na c. nitatumia c 10 kwani hiyo ni msingi wa moja ya logariti tayari. Kisha ninaweza kuandika upya usemi kama 2 log_10 x - log_x frac1100 2 log_10 x - fraclog_10 frac1101 100log_10 x. Hili linaonekana rahisi zaidi, lakini bado nina sehemu yenye logariti katika kipunguzo. Nakumbuka kwamba log_b an n log_b a kwa msingi wowote chanya b na kielelezo n. Ninaweza kutumia sheria hii kurahisisha nambari ya sehemu: log_10 frac 1100 log_10 10-2 -2 log_10 10. Lakini log_10 10 1 kwa ufafanuzi, kwa hivyo nambari ni -2. Hii ina maana usemi sasa ni 2 log_10 x - fraclog_10 frac1100log_10 x 2 log_ 10 x - frac-2log_10 x 2 log_10 x frac2log_10 x. Sasa nina jumla ya mbili masharti, yote yakihusisha log_10 x. Sijui kama ninaweza kutumia aljebra au calculus kupata thamani ya chini kabisa ya jumla hii. Wazo moja ni kuruhusu u log_10 x na kuandika upya usemi kulingana na u. Kisha nina 2 log_10 x frac2log_10 x 2u frac2u. Hii inaonekana rahisi zaidi, lakini bado ninahitaji kupata thamani ya chini kabisa ya chaguo hili la kukokotoa la u. Ningeweza kujaribu kutumia calculus na kutafuta derivative ya chaguo hili la kukokotoa. na kuiweka sawa na sifuri, lakini hiyo inaweza kuwa ya kuchosha. Ninagundua kuwa chaguo hili la kukokotoa huwa ni chanya kwa u yoyote 0, yoyote kwani masharti yote mawili ni chanya. Kwa hivyo thamani ya chini lazima ifanyike wakati kazi iko karibu na sifuri iwezekanavyo. Hii inamaanisha ninataka kupata thamani ya u ambayo hufanya maneno mawili kuwa karibu zaidi iwezekanavyo, kwa kuwa jumla yao itapunguzwa yanapokuwa sawa. Kwa hivyo ninataka kutatua mlingano 2u frac2u. Hii ina maana kwamba u2 1, hivyo u pm 1. Lakini kwa kuwa u log_ 10 x, Nataka tu thamani chanya ya u. Kwa hivyo u 1 ndiyo thamani mojawapo. Ili kupata thamani inayolingana ya x, ninahitaji kutendua logariti kwa kuinua pande zote mbili hadi nguvu ya 10. Hii inanipa x 10u 101 10. Kwa hivyo thamani ya chini ya usemi hutokea wakati x 10. Ili kupata thamani ya chini yenyewe, mimi huchomeka tu x 10 kwenye usemi na kurahisisha. Ninapata 2 log_10 x frac2log_10 x 2 log_10 10 frac2log_10 10 2 cdot 1 frac21 4. 