<prompt> Watu wazima kumi huingia kwenye chumba, huvua viatu vyao, na kutupa viatu vyao kwenye rundo. Baadaye, mtoto huunganisha kwa nasibu kila kiatu cha kushoto na kiatu cha kulia bila kuzingatia ni viatu gani vinavyounganishwa. Uwezekano kwamba kwa kila nambari kamili k5, hakuna mkusanyiko wa jozi k zilizotengenezwa na mtoto zilizo na viatu kutoka k kamili ya watu wazima ni fracmn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya kwa kiasi. Tafuta mn.  <response>: Weka lebo kwenye viatu vya kushoto kuwa L_1,dots, L_10 na viatu vya kulia R_1,dots, R_10. Tambua kwamba kuna 10! iwezekanavyo uoanishaji.Acha uoanishaji uwe mbaya ikiwa unakiuka masharti yaliyotajwa. Tungependa hali bora zaidi ili kubaini ikiwa uoanishaji uliotolewa ni mbaya.Kumbuka kwamba, ili kuwa na uoanishaji mbaya, lazima kuwe na mkusanyiko wa jozi k5 unaojumuisha viatu vya kushoto na kulia vya watu wazima k; kwa maneno mengine, ni mbaya ikiwa inawezekana kuchukua jozi za k na kusambaza vizuri viatu vyake vyote kwa watu k .Kwa hivyo, ikiwa kiatu cha kushoto ni sehemu ya mkusanyiko mbaya, kiatu chake cha kulia kinapaswa pia kuwa katika mkusanyiko mbaya na kinyume chake. Ili kutafuta mikusanyiko mibovu, tunaweza kuanzia kiatu cha kulia kiholela sema R_1, angalia kiatu cha kushoto ambacho kimeunganishwa nacho sema L_i, na kutokana na uchunguzi wa awali, tunajua kwamba R_i lazima pia. kuwa katika mkusanyiko mbaya. Kisha tunaweza kuangalia kiatu cha kushoto kilichounganishwa na R_i, kupata mwenzake, kuangalia jozi yake ya kushoto, kupata mwenzake, nk hadi tupate L_1. Tunaweza kufikiria kila kiatu cha kulia kitupeleka kwa kiatu kingine cha kulia kupitia kiatu chake cha kushoto kilichounganishwa hadi tufikie kiatu cha kulia cha kuanzia, wakati ambapo tunajua kwamba tumepata mkusanyiko mbaya ikiwa tumefanya hii chini ya 5. nyakati.Kwa ufanisi tumepitia mzunguko. Kumbuka: Hii ni nukuu ya mzunguko wa vibali. Hali pekee ya kuoanisha mbaya ni kwamba kuna mzunguko wenye urefu chini ya 5; kwa hivyo, tunahitaji kuhesabu jozi ambapo kila mzunguko una urefu wa angalau 5. Hii inawezekana tu ikiwa kuna mzunguko mmoja wa urefu wa 10 au mizunguko miwili ya urefu 5.Kesi ya kwanza inatoa 9! jozi za kufanya kazi. Kesi ya pili inatoa frac10chagua 52cdot4!2frac10!2 cdot 5!2 cdot 4! 2 jozi. Kwa hivyo, kuchukua kesi hizi kati ya jumla ya 10!, uwezekano ni frac110frac150 frac325, kwa jibu la 28. 