<prompt> Kifanani y x2 ni tanjent kwa grafu ya y x4 ax3 x2 bx 1 katika pointi mbili. Pata tofauti chanya kati ya x-coordinates ya pointi za tangency.  <response>: Wacha r na s ziwe x-viwianishi vya nukta mbili za kubadilika. Kwa hivyo, watakuwa mizizi mara mbili ya polynomialx4 ax3 x2 bx 1 - x2 x4 shoka3 bx 1.Kwa hiyo,anzaalignx4 shoka3 bx 1 x - r2 x - s2 x2 - 2rx r2x2 - 2sx s2 x4 - 2r 2s x3 r2 4rs s2 x2 - 2r2 s 2rs2 x r2 s2.endalignTunapata kulingana na mgawoanzaalignr2 4rs s2 0, r2 s2 1.endalignKutoka r2 s2 1, ama rs 1 au rs -1. Lakini 4rs -r2 s2 sio chanya, hivyo rs -1. Kishar2 s2 4.Kwa hiyo, r - s2 r2 - 2rs s2 6, hivyo r - s sqrt6. 