<prompt> Disks kumi na mbili zilizounganishwa zimewekwa kwenye mduara C ya radius 1 kwa njia ambayo disks kumi na mbili hufunika C , hakuna diski mbili zinazoingiliana, na hivyo kwamba kila moja ya disks kumi na mbili ni tangent kwa majirani zake wawili. Mpangilio unaosababishwa wa disks unaonyeshwa kwenye takwimu hapa chini. Jumla ya maeneo ya diski kumi na mbili inaweza kuandikwa kutoka pia-bsqrtc, ambapo a,b,c ni nambari chanya na c haiwezi kugawanywa kwa mraba wa mkuu wowote. Tafuta abc.asy unitsize100; choraMduara0,0,1; nukta 0,0; chora0,0--1,0; lebo1, 0.5,0, S; kwa int i0; i12; i doticosipi6, sinipi6; kwa int a1; a24; a2 dot1cospi12cosapi12, 1cospi12 dhambiapi12; chora1cospi12cosapi12, 1cospi12dhambiapi12--1cos pi12cosa2pi12, 1cospi12 dhambia2pi12; choraMduara1cospi12cosapi12, 1cospi12sinapi12, tanpi 12; asy  <response>: Tunataka kupata radius ya duara moja, ili tuweze kupata jumla ya eneo.Tambua kwamba ili waweze kuwa na mduara mzima, kila jozi ya miduara lazima iwe na mduara mkubwa. Sasa fikiria miduara miwili midogo iliyo karibu. Hii ina maana kwamba mstari unaounganisha radii ni sehemu ya urefu wa 2r ambayo ni tangent kwa mduara mkubwa katikati ya vituo viwili. Kwa hivyo, kimsingi tuna dodekagoni ya kawaida ambayo vipeo vyake ni vitovu vya pembetatu ndogo zilizozungukwa kuhusu mduara wa radius 1.Kwa hivyo tunajua kwamba apothem ya dodecagon ni sawa na 1. Ili kupata urefu wa upande, tunafanya pembetatu inayojumuisha vertex, katikati ya upande, na katikati ya dodecagon, ambayo tunaashiria A, M, na O kwa mtiririko huo. Ona kwamba OM1, na hiyo pembetatu OMA ni pembetatu ya kulia yenye hypotenuse OA na m angle MOA 15circ. Kwa hivyo AM 1 tan15circ 2 - sqrt 3, ambayo ni radius ya moja ya miduara. Kwa hivyo eneo la duara moja ni pi2 - sqrt 32 pi 7 - 4 sqrt 3, kwa hivyo eneo la miduara yote 12 ni pi 84 - 48 sqrt 3, ikitoa jibu la 84 48 3 135. 