<prompt> Phillip anarusha sarafu isiyo ya haki mara nane. Sarafu hii ina uwezekano mara mbili wa kuja juu kama mikia. Je, kuna uwezekano mara ngapi Phillip kupata vichwa vitatu haswa kuliko vichwa viwili haswa?  <response>: Shida hii ni juu ya usambazaji wa binomial, ambayo ni mfano wa uwezekano wa kupata idadi fulani ya mafanikio kutoka kwa idadi fulani ya majaribio, kila moja ikiwa na uwezekano sawa wa kufaulu. Katika kesi hii, majaribio yanapindua sarafu, mafanikio ni kupata kichwa, na uwezekano wa kufaulu ni mara mbili ya kutofaulu, kwa hivyo naweza kuiandika kama p 23. Usambazaji wa binomial unasema kwamba uwezekano wa kupata mafanikio ya k haswa kutoka kwa majaribio ya n hutolewa na formula Pk n kuchagua k pk 1-pn-k, ambapo n kuchagua k ndio idadi ya njia za kupanga mafanikio k nje ya majaribio n. Ninataka kulinganisha uwezekano wa kupata vichwa vitatu haswa na vichwa viwili, kwa hivyo ninahitaji kuziba n 8, p 23, na k 3 au 2 kwenye fomula. Kwa k 3, napata P3 8 chagua 3 233 135. Ili kurahisisha usemi huu, ninahitaji kukumbuka jinsi ya kuhesabu n kuchagua k. Njia moja ya kuifanya ni kuandika n kuchagua k n! k! n-k!, wapi n! ni kipengele cha n, ambacho ni zao la nambari kamili chanya hadi n. Kwa hivyo 8 chagua 3 8! 3! 5! 8 7 6 3 2 1 56. Kwa hiyo, P 3 56 233 13 5 56 827 1243 4486561. Vile vile, kwa k 2, napata P2 8 chagua 2 232 136. Kwa kutumia fomula ile ile ya n chagua k, napata 8 chagua 2 8! 2! 6! 8 7 2 1 28. Kwa hiyo, P2 28 232 136 28 49 1729 1126561. Ili kulinganisha uwezekano huu, naweza kugawanya kwa kila mmoja. Hii inanipa P 3 P 2 4486561 1126561 448112 4. Hii ina maana kwamba Phillip ana uwezekano wa mara nne kupata vichwa vitatu hasa kuliko vichwa viwili hasa. 