<prompt> Nambari gani halisi ni sawa na usemi 2 frac41 frac42 frac41 cdots, ambapo 1s na 2 s mbadala?  <response>: Usemi huu unaonekana kuwa mgumu, lakini una muundo ambao unaweza kunisaidia kurahisisha. Ninagundua kuwa dhehebu la kila sehemu ni sawa na usemi mzima, isipokuwa kwamba neno la kwanza hubadilishana kati ya 1 na 2. Hii inanifanya nifikirie ufafanuzi unaojirudia, ambapo usemi unategemea yenyewe. Acha niite usemi huo x, na niuandike kama x 2 frac4x_1, ambapo x_1 ni usemi sawa na neno la kwanza na nafasi yake kuchukuliwa na 1. Kisha, x_1 1 frac4x_2, ambapo x_2 ni usemi sawa na neno la kwanza lililobadilishwa na 2. Lakini subiri, x_2 ni sawa na x! Kwa hivyo nina x_1 1 frac4x. Sasa nina milinganyo miwili inayohusiana x na x_1: x 2 frac4x_1 na x_1 1 frac4x. Ninaweza kutumia mbadala kuondoa x_1 na kutatua x. Nikichomeka x_1 1 frac4x kwenye mlingano wa kwanza, nitapata x 2 frac41 frac4x. Ili kurahisisha hili, ninaweza kuzidisha pande zote mbili kwa 1 frac4x na kupata x1 frac4x 21 frac4x 4. Nikipanua mabano, ninapata x 4 2 frac8x 4. Nikitoa 4 kutoka pande zote mbili, ninapata x - 2 frac8x. Kuzidisha pande zote mbili kwa x, napata x2 - 2x - 8 0. Huu ni mlinganyo wa quadratic ambao ninaweza kuhesabu kama x - 4x 2 0. Suluhu ni x 4 au x -2. Hata hivyo, x lazima iwe nambari halisi chanya, kwa kuwa ni jumla ya 2 na sehemu chanya. Kwa hivyo suluhisho pekee halali ni x 4. Hii ina maana kwamba usemi 2 frac41 frac42 frac41 cdots ni sawa na 4. 