<prompt> Alama A, B, C, na T ziko katika nafasi hivi kwamba kila moja ya overlineTA, overlineTB, na overlineTC ni ya kawaida. kwa wengine wawili. Ikiwa TA TB 12 na TC 6, basi ni umbali gani kutoka T ili kukabiliana na ABC ?  <response>: asykuagiza tatu;mara tatu A 4,8,0;mara tatu B 4,0,0;C tatu 0,0,0;mara tatu D 0,8,0;P tatu 4,8,6;kuchoraB--P--D--A--B;choraA--P;kuchoraB--D,dashed;leboT,A,S;leboB,B,W;leboC,D,E;leboA,P,N;leboM,PB2,NW;choraD--PB2,iliyopigwa;asyTunaweza kufikiria TAB kama msingi wa piramidi, na overlineCT kama urefu kutoka kilele C hadi msingi, kwa kuwa overlineCT ni sawa na ABT. Eneo la pembetatu ya kulia ABT ni 12122 72 za mraba, kwa hivyo ujazo wa piramidi ni frac13ABTCT frac13726 144 vipande vya ujazo.Kuruhusu umbali kutoka T hadi ABC uwe h, ujazo wa TABC unaweza pia kuonyeshwa kama frach3ABC, hivyo frach 3ABC 144, ambapo tuna h frac432ABC.Kutumia Nadharia ya Pythagorean kwa pembetatu TAB, TAC, na TBC, tuna anzaalignAB 12sqrt2,AC BC sqrt122 62 sqrt6222 12 6sqrt5.endalignKwa hivyo, pembetatu ABC ni isosceles. Mwinuko overlineCM ya pembetatu ABC inatenganisha overlineAB, kwa hivyo tuna AM 6sqrt2. Kutumia Nadharia ya Pythagorean kwa pembetatu ACM inatupa CM 6sqrt3, kwa hivyo ABC fracABCM2 36sqrt6 .Tukibadilisha hii katika mlingano wetu kwa h hapo juu, tuna h frac432ABC frac43236sqrt6 frac36 cdot 1236sqrt6 frac12sqrt6 2sqrt6. 