<prompt> Je, kuna njia ngapi za kugawa kila mmoja wa marafiki 6 kwa darasa la kemia au darasa la baiolojia ikiwa mmoja wa hawa sita, Manoj, anakataa kuwa darasani bila rafiki yake yeyote?  <response>: Tatizo hili linahusisha kuhesabu idadi ya mipangilio inayowezekana ya watu 6 katika makundi mawili, na kizuizi kwa mmoja wao. Njia moja ya kukabiliana na hili ni kuzingatia hali ambapo Manoj yuko katika kemia au baiolojia, na kisha kuhesabu ni njia ngapi za kuwagawia marafiki zake wengine kwa darasa lolote. Ikiwa Manoj yuko katika kemia, basi tunahitaji kuwa na angalau mmoja wa marafiki zake katika kemia pia, na wengine wanaweza kuwa katika darasa lolote. Idadi ya njia za kuchagua angalau mtu mmoja kati ya 5 kati ya 5 ni 25 - 1, kwa kuwa tunaweza kujumuisha au kuwatenga kila mtu, isipokuwa kwa kesi ambapo tunatenga kila mtu. Kwa hivyo idadi ya njia za kugawa marafiki wakati Manoj yuko katika kemia ni 25 - 1 31. Vile vile, ikiwa Manoj yuko katika biolojia, tunahitaji kuwa na angalau rafiki yake mmoja katika biolojia pia, na wengine wanaweza. kuwa katika darasa lolote. Idadi ya njia za kuchagua angalau mmoja wa watu 5 kati ya 5 ni tena 2 5 - 1 31. Kwa hivyo idadi ya njia za kugawa marafiki wakati Manoj yuko katika biolojia pia ni 31. Kwa hivyo, jumla ya njia kugawa marafiki kwa darasa lolote, kwa kuzingatia kizuizi cha Manoj, ni 31 31 62. 