<prompt> Acha z na w ziwe nambari changamano kama vile z 1 3i 1 na w - 7 - 8i 3. Tafuta thamani ndogo kabisa ya z - w.  <response>: Tatizo hili linahusisha kutafuta umbali kati ya nambari mbili changamano, ambazo zinaweza kufasiriwa kijiometri kama pointi katika ndege changamano. Mlinganyo wa kwanza, z 1 3i 1, ina maana kwamba umbali kati ya z na -1 - 3i ni kitengo 1. Hii inamaanisha kuwa z iko kwenye mduara wa kitengo unaozingatia -1 - 3i. Vile vile, mlinganyo wa pili, w - 7 - 8i 3, inamaanisha kuwa umbali kati ya w na 7 8i ni vitengo 3. Hii inamaanisha kuwa w iko kwenye mduara wa kipenyo cha 3 unaozingatia 7 8i. Ili kupata thamani ndogo iwezekanavyo ya z - w, tunataka kupata umbali mfupi zaidi kati ya miduara miwili. Hii inaweza kufanywa kwa kuchora sehemu ya mstari ambayo hujiunga na vituo vyao na kuondoa radii zao. Umbali kati ya vituo vya miduara ni -1 - 3i - 7 8i -8 - 11i sqrt64 121 sqrt185. Radi ya miduara ni 1 na 3, kwa hivyo umbali mfupi zaidi kati ya miduara ni sqrt185 - 1 - 3 sqrt185 -4. 