<prompt> Hebu S 2010 2011 cdots 4018. Kokotoa mabaki ya S, modulo ya 2009.  <response>: Ninaona kuwa jumla ya S ina fomu maalum sana: ni mfululizo wa hesabu, ambapo kila neno ni moja zaidi ya uliopita. Kuna fomula ya jumla ya mfululizo wa hesabu, ambayo ninaweza kutumia kurahisisha S. Fomula ni S_n fracn2a_1 a_n, ambapo n ni idadi ya masharti, a_1 ni muhula wa kwanza, na a_n ni muhula wa mwisho. Katika kesi hii, n 4018 - 2010 1 2009, a_1 2010, na a_n 4018. Kwa hivyo, S frac200922010 4018 2009 cdot 3014. Sasa, ninataka kupata mabaki ya S, modulo 2009. Hiyo inamaanisha ninataka kupata nambari ndogo kabisa isiyo hasi r kama vile S equiv r pmod2009. Njia moja ya kufanya hivi ni kugawa S ifikapo 2009 na kuona salio ni nini. Lakini, ninaona kwamba S tayari ni mgawo wa 2009, kwa kuwa ina kipengele cha 2009. Kwa hivyo, salio ninapogawa S kufikia 2009 ni sifuri. Kwa hivyo, mabaki ya S, modulo 2009, ni sifuri. 