<prompt> Katika ndege changamano, acha S iwe seti ya nambari changamano z kiasi hichokushoto z frac1z kulia le 2.Tafuta eneo la S.  <response>: Acha z x yi, ambapo x na y ni nambari halisi. Ukosefu wa usawa uliotolewa ni sawa naz2 1 le 2z.Kishax2 - y2 1 2xyi le 2x yi.Hii ni sawa na x2 - y2 1 2xyi2 le 4x yi2, hivyox2 - y2 12 4x2 y2 le 4x2 4y2.Hii hurahisishax4 2x2 y2 y4 - 2x2 - 6y2 1 le 0.Tunaweza kuandika haya kamax2 y22 - 2x2 y2 1 - 4y2 le 0,au x2 y2 - 1 2 - 4y2 le 0. Kwa tofauti ya miraba,x2 y2 - 1 2yx2 y2 - 1 - 2y le 0.Kukamilisha mraba kwa kila kipengele, tunapatax2 y 12 - 2x2 y - 12 - 2 le 0.Kipengele x2 y 1 2 - 2 ni chanya, sufuri, au hasi kulingana na kama z iko ndani nje, juu, au ndani ya mduara.z i sqrt2.Vile vile, kipengele x2 y - 12 - 2 ni chanya, sifuri, au hasi kutegemea kama z iko ndani nje, juu, au ndani ya mduaraz - i sqrt2.Hii inatuambia kuwa z iko katika S ikiwa na tu ikiwa z iko katika mojawapo ya miduara hii miwili.asyukubwa wa kitengo 1 cm;kujazaarc0,1,sqrt2,-45,225--arc0,-1,sqrt2,135,45--mzunguko,kijivu0.7;kujazaarc0,-1,sqrt2,45,-225--arc0,1,sqrt2,225,315--cycle,kijivu0.7;choraMduara0,1,sqrt2,nyekundu;choraMduara0,-1,sqrt2,nyekundu;chora-3,0--3,0;chora0,-3--0,3;leboRe, 3,0, E;leboIm, 0,3, N;nukta i, 0,1, E;nukta-i, 0,-1, E;asyTunaweza kugawanya S katika miduara sita ya robo yenye radius sqrt2, na maeneo mawili ambayo ni miraba yenye urefu wa upande sqrt2 inakosa robo-duara.asyukubwa wa kitengo 1 cm;kujazaarc0,1,sqrt2,-45,225--arc0,-1,sqrt2,135,45--mzunguko,kijivu0.7;kujazaarc0,-1,sqrt2,45,-225--arc0,1,sqrt2,225,315--cycle,kijivu0.7;choraMduara0,1,sqrt2,nyekundu;choraMduara0,-1,sqrt2,nyekundu;chora-3,0--3,0;chora0,-3--0,3;chora-1,0--1,2, iliyokatika;chora1,0---1,2, iliyokatika;chora-1,0--1,-2, iliyokatika;chora1,0---1,-2, iliyokatika;leboRe, 3,0, E;leboIm, 0,3, N;lebosqrt2, 12,12, NE;nukta 0,1;nukta 0,-1;asyKwa hivyo, eneo la S ni 4 cdot frac14 cdot sqrt22 cdot pi 2 cdot sqrt22 2 pi 4. 