<prompt> Kipengele kimechaguliwa nasibu kutoka kati ya safumlalo 15 za kwanza za Pembetatu ya Pascal. Je, kuna uwezekano gani kwamba thamani ya kipengele kilichochaguliwa ni 1?Kumbuka: 1 hapo juu mara nyingi huitwa safu ya sifuri ya Pembetatu ya Pascal, kwa makubaliano. Kwa hivyo kuhesabu jumla ya safu 15, tumia safu 0 hadi 14.  <response>: Ili kupata uwezekano, ninahitaji kulinganisha idadi ya matokeo mazuri vipengee ambavyo ni 1 na idadi ya matokeo yanayowezekana jumla ya vitu katika safu 15 za kwanza. Nakumbuka kwamba vipengele vya Pembetatu ya Pascal ni vijigawo viwili vya fomu binomnk, ambapo n ni nambari ya safu mlalo na k ndio nafasi katika safu mlalo, kuanzia 0. Pia ninakumbuka kwamba binomnk 1 ikiwa na tu ikiwa k 0 au k n. Kwa maneno mengine, vipengele ambavyo ni 1 ndivyo vilivyo mwanzo na mwisho wa kila safu. Kwa hivyo, ili kuhesabu idadi ya matokeo mazuri, ninahitaji tu kuongeza idadi ya vipengele mwanzoni na mwisho wa kila safu, ambayo ni 2 kwa kila safu isipokuwa safu ya sifuri, ambayo ina kipengele kimoja tu. Hiyo ina maana kwamba idadi ya matokeo mazuri ni 1 2 mara 14 29. Ili kuhesabu idadi ya matokeo yanayowezekana, ninahitaji kuongeza jumla ya idadi ya vitu katika kila safu. Ninajua kuwa idadi ya vipengee katika safu mlalo ya nth ni n 1, kwa kuwa vipengele vimewekwa lebo kutoka 0 hadi n. Hiyo inamaanisha kuwa idadi ya matokeo yanayowezekana ni sum_n 014 n 1 1 2 cdots 15. Huu ni mfululizo wa hesabu, kwa hivyo ninaweza kutumia fomula ya jumla ya mfululizo wa hesabu: S_n fracn2a_1 a_n, ambapo n ni idadi ya maneno, a_1 ni muhula wa kwanza, na a_n ni muhula wa mwisho. Katika hali hii, n 15, a_1 1, na a_n 15, hivyo S_n frac1521 15 frac152 mara 16 120 . Kwa hivyo, uwezekano wa kuchagua kipengele ambacho ni 1 ni frac29120. 