<prompt> Bill anatumwa kwa duka la donuts kununua donati sita haswa. Ikiwa duka lina aina nne za donati na Bill atapata angalau moja ya kila aina, ni mchanganyiko ngapi utakaokidhi mahitaji ya agizo la Bill?  <response>: Ninahitaji kutafuta idadi ya njia za kusambaza donati sita za aina nne, ili kila aina ionekane angalau mara moja. Walakini, katika kesi hii, siwezi kuwa na mapipa yoyote tupu, kwani Bill anahitaji kupata angalau moja ya kila aina. Kwa hivyo ninahitaji kurekebisha fomula ili kuhesabu kizuizi hiki. Njia moja ya kufanya hivyo ni kwanza kutoa kila bin kitu kimoja, na kisha kusambaza vitu vilivyobaki vya n-r kwa uhuru. Kwa hivyo fomula inakuwa n-1 chagua r-1. Katika tatizo hili, n ni 6 na r ni 4, kwa hivyo ninazichomeka kwenye fomula na kupata 6-1 chagua 4-1 5 chagua 3. Ninaweza kuhesabu 5 kuchagua 3 kwa kutumia fomula n kuchagua k. n!k!n-k!, wapi! ina maana ya ukweli. Kwa hiyo 5 chagua 3 5!3!5-3! 5432132121 54 21 10. Kwa hivyo, kuna michanganyiko 10 inayokidhi mahitaji ya agizo la Bill. 