<prompt> Familia ya Smith ina wana 4 na binti 3. Ni kwa njia ngapi wanaweza kuketishwa kwenye safu ya viti 7 hivi kwamba angalau wavulana 2 wako karibu na kila mmoja?  <response>: Ili kutatua tatizo hili, nitatumia kanuni ya kuingizwa-kutengwa, ambayo inasema kwamba idadi ya njia za kufanya kitu ni sawa na idadi ya jumla ya njia ukiondoa idadi ya njia za kutofanya. Katika kesi hii, idadi ya jumla ya njia za kukaa watoto 7 mfululizo ni 7!, Kwa kuwa kila mtoto anaweza kuchukua kiti chochote cha 7. Idadi ya njia za kutokuwa na angalau wavulana 2 karibu na kila mmoja ni sawa na idadi ya njia za kutokuwa na wavulana karibu na kila mmoja. Ili kutokuwa na wavulana karibu na kila mmoja, ninahitaji kuwaweka wasichana 3 katika nafasi mbadala, na kuacha wavulana 4 kujaza mapengo yaliyobaki. Wapo 3! njia za kupanga wasichana katika nafasi mbadala, na 4! njia za kupanga wavulana katika mapungufu. Kwa hiyo, idadi ya njia za kutokuwa na wavulana karibu na kila mmoja ni 3! 4!. Kwa kanuni ya kuingizwa-kutengwa, idadi ya njia za kuwa na angalau wavulana 2 karibu na kila mmoja ni 7! - 3! 4!. Kutathmini usemi huu, napata 7! - 3! 4! 5040 - 144 4896. 