<prompt> Ni nambari gani ndogo kabisa chanya n hivi kwamba mizizi yote ya z4 z2 1 0 ni ntextth mizizi ya umoja?  <response>: Ninajua kwamba ntextth mizizi ya umoja ni nambari changamano za fomu e2pi ikn, ambapo k ni nambari kamili kutoka 0 hadi n -1. Wanatosheleza mlinganyo zn 1. Kwa hivyo, ninahitaji kupata n ndogo zaidi kwamba z4 z2 1 0 ina masuluhisho ya fomu e2pi ikn. Ninaweza kuandika tena mlinganyo kama z2 12 -z2, na kisha kuchukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili. Hii inanipa milinganyo miwili inayowezekana: z2 1 pm iz, ambapo i ndio kitengo cha kufikiria. Ninaweza kutatua kwa z kwa kukamilisha mraba katika kila kisa. Kwa ishara chanya, ninapata z i22 -34, ambayo inamaanisha z -i2 pm sqrt32 i. Kwa ishara hasi, ninapata z - i22 34, ambayo ina maana z i2 pm sqrt32 i. Kwa hivyo, mizizi minne ya mlingano asilia ni pm frac12sqrt3 i na pm frac12sqrt3 - i . Hizi zote ni nambari changamano zilizo na moduli 1, kwa hivyo ziko kwenye duara la kitengo katika ndege changamano. Ninaweza kuzibadilisha kuwa umbo la polar kwa kutafuta pembe zao na mhimili halisi chanya. Kwa kutumia kitendakazi cha tangent kinyume, ninapata kwamba pembe ni pm fracpi3 na pm frac2pi3. Sasa, ninataka kueleza pembe hizi kama sehemu za 2pi. Naweza kufanya hivyo kwa kugawanya kwa 2pi na kurahisisha. Ninapata pm frac16 na pm frac13. Sehemu hizi huniambia thamani za kn kwa kila mzizi wa umoja. Kwa mfano, frac16 frackn ina maana kwamba k n6. Ninataka kupata n ndogo zaidi ambayo inafanya kazi kwa sehemu zote nne. n ndogo zaidi ambayo hufanya kazi kwa sehemu zote nne ni kizidishio cha chini kabisa cha madhehebu. Madhehebu ni 6 na 3, na idadi yao isiyo ya kawaida ni 6. Kwa hivyo, n ndogo zaidi kwamba mizizi yote ya z4 z2 1 0 ni ntextth mizizi ya umoja ni 6. 