<prompt> Pointi tatu huchaguliwa kwa usawa kwa nasibu kwenye mduara. Je, kuna uwezekano gani kwamba hakuna nukta mbili kati ya hizi zinazounda pembetatu tupu iliyo katikati ya duara?  <response>: Hebu tuite kituo cha duara O. Kwanza tunatambua kwamba ikiwa A na B ni pointi kwenye mduara, basi pembetatu AOB ni isosceles yenye AO BO. Kwa hivyo, ikiwa AOB ni pembetatu ya butu, basi pembe ya buti lazima iwe O. Kwa hivyo AOB ni pembetatu iliyofifia ikiwa tu ikiwa safu ndogo AB ina kipimo cha zaidi ya pi2 90circ.Sasa, acha pointi tatu zilizochaguliwa bila mpangilio ziwe A_0, A_1, na A_2. Acha theta iwe kipimo cha safu ndogo A_0A_1. Kwa kuwa theta pia ina uwezekano wa kuwa thamani yoyote kutoka 0 hadi pi, uwezekano kwamba ni chini ya pi2 ni 12.Sasa tuseme hiyo theta pi2. Ili hali ya tatizo iendelee, ni muhimu na inatosha kwa uhakika A_2 kuwa ndani ya pi2 ya A_0 na A_1 kwenye mduara. Kama mchoro ulio hapa chini unavyoonyesha, hii ni sawa na kusema kwamba A_2 lazima iwe kwenye safu fulani ya kipimo pi - theta.asyukubwa 200;defaultpen.7;jozi O0,0, Aexpi4pi7, Bexpi3pi7;choramduaraO,1;jozi BBzungusha90B;jozi AAzungusha-90A;jozi LC expi5pi7, RC expi2pi7;kuchoraO--BB..A..B..AA--O;kujazaO--BB..LC..A--mzunguko,kijivu.8;kujazaO--A..0,1..B--mzunguko,kijivu.6;kujazaO--B..RC..AA--mzunguko,kijivu.8;jozi SA1.15A,SB1.15B,SBB1.15BB;jozi SAA1.15AA,SLC1.15LC,SRC1.15RC;leboA_0,SA,N;leboA_1,SB,N;kuchoraSBB..SLC..SA,Arrows,Bars;kuchoraSA..0,1.15..SB,Mishale;kuchoraSB..SRC..SAA,Mishale,Vipau;lebofracpi2-theta,SLC,NW;lebofracpi2-theta,SRC,NE;lebotheta,0,1.15,0,1;asyUwezekano wa tukio hili ni fracpi-theta2pi frac12 - fractheta2pi, kwani A_2 ni sawa. uwezekano wa kwenda popote kwenye mduara. Kwa kuwa thamani ya wastani ya theta kati ya 0 na pi2 ni pi4, inafuatia kwamba uwezekano wa jumla wa theta pi2 ni frac1101 2 - fracpi42pi frac38.Kwa kuwa uwezekano kwamba theta pi2 ni 12, uwezekano wetu wa mwisho ni frac12 cdot frac38 frac316 . 