<prompt> Neno kubwa zaidi katika upanuzi wa binomial wa 1 tfrac1231 ni la umbo tfracab, ambapo a na b ni nambari kuu chanya. Thamani ya b ni nini?  <response>: Muda wa upanuzi wa binomial huchukua fomu a_k binom31k leftfrac12kuliak,ambapo 0 le k le 31. Ili kupata a_k ipi kubwa zaidi, tunatathmini uwiano fraca_k1a_k: fraca_k1a_k frac binom31k1 kushotofrac12kuliak1binom31k leftfrac12rightk fracfrac 31!k1!30-k! kushotofrac12kuliak1frac31!k!31-k! leftfrac12rightk frac31-k2k1.Sasa, ukosefu wa usawa frac31-k2k1 1 ni sawa na 31-k 2k2, au k frac293, au k le 9. Zaidi ya hayo, frac31-k2 k1 1 wakati k frac293, au k ge 10. Kwa hiyo, a_k1 a_k kwa k le 9 na a_k1 a_k for k ge 10. Inafuata kwamba a_10 ndilo neno kubwa zaidi la upanuzi wa binomial. Tuna a_10 binom3110 leftfrac12right10,kwa hivyo inatosha kupata nguvu ya 2 katika uwekaji alama mkuu wa binom 3110. Tuna binom3110 frac31 cdot 30 cdot 29 cdot 28 cdot 27 cdot 26 cdot 25 cdot 24 cdot 23 cdot 22 cdot 2110 cdot 9 cdot 8 cdot 7 cdot 6 cdot 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 fracA cdot 28 B cdot 28 fracAB,ambapo A na B ni nambari kamili zisizo za kawaida. Kwa hivyo, binom3110 ni isiyo ya kawaida, na kwa hivyo jibu ni 210 1024. 