<prompt> Nini frac1 cos2x isin2x1 cos2x - isin2x30 with x pi 60 ni nini?Nadharia Husika: Nadharia ya De Moivre ni tokeo la msingi katika uchanganuzi changamano ambao huanzisha uhusiano kati ya nambari changamano na trigonometria. Imetajwa baada ya mwanahisabati Mfaransa Abraham de Moivre, ambaye kwa mara ya kwanza alisema nadharia hiyo katika karne ya 18.Nadharia inasema kwamba kwa nambari yoyote changamano z katika umbo la polar, z rcosθ i sinθ, na nambari yoyote n, mlinganyo ufuatao unashikilia:zn rn cosnθ i sinnθKwa maneno mengine, ili kuongeza nambari changamano katika umbo la polar hadi nguvu kamili, unainua moduli r kwa nguvu hiyo na kuzidisha hoja θ kwa nguvu sawa.Nadharia ya De Moivre ni muhimu sana katika kutafuta mizizi ya nambari changamano na kurahisisha misemo inayohusisha nambari changamano zilizoinuliwa hadi nguvu kamili. Pia hutumika kama msingi wa matokeo mengine mengi katika uchanganuzi changamano, kama vile fomula ya Euler na vitambulisho vya trigonometric.  <response>: -1.0 