<prompt> Kuna seti ya swichi 1000, ambayo kila moja ina nafasi nne, zinazoitwa A, B, C, na D. Nafasi ya swichi yoyote inapobadilika, ni kutoka A hadi B pekee, kutoka B hadi C, kutoka C hadi D, au kutoka D hadi A. Hapo awali kila swichi iko katika nafasi A. Swichi hizo zimewekwa alama 1000 kamili 2x3y5z, ambapo x, y, na z huchukua thamani 0, 1, ldoti, 9. Katika hatua ya i ya mchakato wa hatua 1000, swichi ya i-th imeendelezwa hatua moja, na vivyo hivyo swichi zingine zote ambazo lebo zake hugawanya lebo kwenye swichi ya i-th. Baada ya hatua ya 1000 kukamilika, ni swichi ngapi zitakuwa katika nafasi A?  <response>: Kwa kila swichi ya ith iliyoteuliwa na x_i,y_i,z_i, inajiendeleza mara moja tu katika hatua ya ith; baada ya hapo, ni swichi iliyo na thamani kubwa zaidi za x_j,y_j,z_j itaendeleza swichi ya ith kwa hatua moja ikitolewa d_i 2x_i 3y_i5z_i inagawanya d_j 2x_j3y_j5z_j. Acha N 293959 iwe lebo ya juu zaidi ya kubadili. Ili kupata vizidishi vya kigawanyiko katika anuwai ya d_i hadi N, tunazingatia vielezi vya nambari fracNd_i 29-x_i 39-y_i59-z_i. Kwa ujumla, hesabu ya kigawanyo ya fracNd lazima iwe kizidishio cha 4 ili kuhakikisha kuwa swichi iko katika nafasi A:4n 9-x1 9-y1 9-z1 10-x10-y10-z, ambapo 0 le x,y,z le 9.Tunazingatia hali ambapo vipengele 3 vilivyo hapo juu havichangii vizidishio vya 4.Kesi ya nambari 2:Swichi lazima ziwe mathrmoddmathrmoddmathrmodd. Kuna 5 nambari kamili zisizo za kawaida katika 0 hadi 9, kwa hivyo tuna 5 mara 5 mara 5 125 njia.Kesi ya 2:Swichi lazima ziwe mojawapo ya 2cdot mathrmoddmathrmoddmathrmodd au mathrmodd2 cdot mathrmodd mathrmodd au mathrmoddmathrmodd2 cdot mathrmodd.Kwa kuwa 0 le x,y,z le 9, masharti 2cdot 1, 2 cdot 3, na 2 cdot 5 ni chaguo tatu halali za kipengele cha 2 cdot odd hapo juu.Tuna 3chagua1 cdot 3 cdot 52 225 njia.Idadi ya swichi katika nafasi A ni 1000-125-225 650 . 