<prompt> duaradufu ambayo shoka zake ni sambamba na mihimili ya kuratibu ni tanjiti kwa mhimili wa x kwa 4, 0 na tangent kwa mhimili y kwa 0, 1. Tafuta umbali kati ya mhimili wa y. foci ya duaradufu.  <response>: Ninajua kwamba mlinganyo wa duaradufu ambao shoka zake ni sambamba na shoka za kuratibu ni za umbo fracx2a2 fracy2b2 1, ambapo a na b ni shoka nusu kuu na nusu ndogo, mtawalia. Ninajua pia kuwa umbali kati ya foci ya duaradufu kama hiyo ni 2c, ambapo c2 a2 - b2. Kwa hivyo, ili kupata umbali kati ya foci, ninahitaji kupata a na b. Kwa kuwa duaradufu ni tangent kwa mhimili wa x-katika 4, 0, Ninajua kwamba a 4. Kwa kuwa duaradufu ni tanjiti kwa mhimili y-katika 0, 1, Ninajua kuwa b 1. Kwa hivyo, c2 42 - 12 15, na 2c 2sqrt15. 