<prompt> Chungu anatembea kwenye hekagoni. Katika kila hatua, yeye husogea kutoka kwenye kipeo ambacho amesimama hadi kwenye kipeo kilicho karibu. Baada ya hatua 15, kuna uwezekano gani kwamba amesimama kwenye kipeo kile kile alichoanzia?  <response>: Kuna njia mbili ambazo chungu anaweza kurudi kwenye kipeo chake cha asili: ama anaweza kwenda sehemu ya njia kuzunguka hexagon na kisha kurudia hatua zake, au anaweza kuzunguka pande zote za hexagon. Katika kesi ya kwanza, mchwa lazima asogeze idadi sawa ya hatua, kwa sababu idadi yake kamili ya hatua ni mara mbili ya idadi ya hatua zinazohitajika kufikia hatua ambayo anaanza kurudi nyuma. Katika kesi ya pili, kwa sababu hexagon ina idadi sawa ya wima, mchwa husonga tena idadi sawa ya hatua. Kwa hivyo, hana njia ya kurudi kwenye vertex ambayo alianza kwa idadi isiyo ya kawaida ya hatua, hivyo uwezekano ni 0. 