<prompt> Pata thamani ya chini zaidi ya frac9x2sin2 x 4xsin x kwa 0 x pi.  <response>: Ninaona kwamba usemi frac9x2sin2 x 4xsin x unaweza kuandikwa upya kama 9xsin x frac4xsin x. Hii inapendekeza kwamba ningetaka kutumia usawa wa AM-GM, ambayo inasema kwamba kwa nambari zozote zisizo hasi a na b, maana ya hesabu fracab2 ni kubwa kuliko au sawa na maana ya kijiometri sqrtab. Nikitumia ukosefu huu wa usawa kwa 9xsin x na frac4xsin x, Napata hiyo frac9xsin x frac 4xsin x2 geq sqrt9xsin x cdot frac4xsin x sqrt36 6. Kuzidisha pande zote mbili kwa 2, napata hiyo 9xsin x frac4xsin x geq 12. Hii ina maana kwamba thamani ya chini ya usemi asilia ni 12, na hutokea wakati ukosefu wa usawa wa AM-GM unakuwa. usawa, ambayo hutokea wakati 9xsin x frac4xsin x. Kutatua kwa x, ninapata hiyo xsin x frac23. Ninatumia kikokotoo cha kuchora na kupata kuwa suluhisho ni takriban x takriban 0.878. 