<prompt> Tathmini uunganisho mara tatu wa xyz katika eneo linalopakana na zx2y2 na z4-x2-y2.  <response>: Ili kutathmini muunganisho wa mara tatu, kwanza tutahitaji kupata vikomo vya ujumuishaji vya x, y, na z. Tunaweza kuanza kwa kutafuta ambapo nyuso mbili zinaingiliana:x2 y2 4 - x2 - y22x2 2y2 4x2 y2 2Huu ni mduara wenye radius 2 katika ndege-xy.Sasa hebu tusanidi kiunga cha tatu kwa kutumia kuratibu za silinda. Kumbuka kwamba katika kuratibu za silinda, x rcosθ, y rsinθ, na z z. Yakobo ya mageuzi ni r, kwa hivyo muunganisho wetu unakuwa r3cosθsinθ.Tunayo mipaka ifuatayo kwa anuwai zetu:- θ huenda kutoka 0 hadi 2π mduara kamili- r inatoka 0 hadi 2 radius ya duara- z huenda kutoka r2 hadi 4-r2 kutoka uso wa chini hadi uso wa juuSasa tunaweza kuandika sehemu tatu muhimu: xyz dz dy dx r3cosθdhambiθ rdz dr dθWacha tuunganishe kwa heshima na z kwanza:r3cosθsinθ dz r3cosθsinθz imetathminiwa kutoka zr2 hadi z4-r2 r3cosθsinθ4-r2-r2 r3cosθdhambiθ4-2r2Sasa unganisha kwa heshima na r:r3cosθsinθ4-2r2 dr cosθsinθ4r3 - 2r5 dr cosθsinθr4 - 13r6 imetathminiwa kutoka r0 hadi r2 cosθdhambiθ4 - 83 43cosθdhambiθHatimaye, unganisha kwa heshima na θ:43cosθdhambiθ dθIli kutathmini kiungo hiki, tunaweza kutumia dhambi ya utambulisho wa pembe mbili2θ 2cosθsinθ. Kisha kiungo chetu kinakuwa:23dhambi2θ dθ -13cos2θ imetathminiwa kutoka θ0 hadi θ2π -13cos4π - cos0 -131 - 1 0Kwa hivyo ujumuishaji mara tatu hutathmini hadi 0. Hii inaleta maana kwa sababu integrand xyz ni chaguo la kukokotoa lisilo la kawaida na eneo la ujumuishaji ni linganifu kuhusu asili. 