<prompt> Tuseme kwamba thamani ya chini kabisa ya fx cos 2x - 2a 1 cos x ni -frac12. Find a.  <response>: Tunaweza kuandikaanzaalignfx 2 cos2 x - 1 - 2a 1 cos x 2 cos2 x - 2a cos x - 1 - 2a 2 kushoto cos x - fraca2 kulia2 - frac12 a2 - 2a - 1.endalignIkiwa a 2, basi fx itafikia thamani yake ya chini wakati cos x 1, katika hali ambayofx 2 - 2a - 1 - 2a 1 - 4a.Kama 1 - 4a -frac12, basi a frac38, utata.Ikiwa a -2, basi fx itafikia thamani yake ya chini wakati cos x -1, katika hali ambayofx 2 2a - 1 - 2a 1,kwa hivyo kesi hii pia haiwezekani.Vinginevyo, -2 le a le 2, na fx hufikia kiwango chake cha chini wakati cos x fraca2, katika hali ambayofx -frac12 a2 - 2a - 1.Kwa hivyo, -frac12 a2 - 2a - 1 -frac 12, hivyo a2 4a 1 0. Kwa fomula ya quadratic,a -2 pm sqrt3.Tangu -2 le a le 2, a -2 sqrt3. 