<prompt> Acha tau frac1 sqrt52, uwiano wa dhahabu. Kishafrac1tau frac1tau2 frac1tau3 dotsb taunkwa kiasi kamili n . Tafuta n.  <response>: Ninagundua kuwa upande wa kushoto wa mlingano ni mfululizo wa kijiometri usio na kikomo wenye muhula wa kwanza frac1tau na uwiano wa kawaida frac1tau. Nakumbuka kuwa usio na mwisho. mfululizo wa kijiometri wenye muhula wa kwanza a na uwiano wa kawaida r hubadilika kuwa fraca1 - r if r 1. Katika kesi hii, a frac1tau na r frac1tau, na ninajua kuwa tau 1, so r 1 na mfululizo hukutana. Kwa hivyo, ninaweza kutumia fomula na kupata frac1tau frac1tau2 frac1tau3 dotsb frac a1 - r fracfrac1tau1 - frac1tau frac1tau - 1. Ninataka kurahisisha usemi huu na kuulinganisha na taun. Nakumbuka kuwa tau ni uwiano wa dhahabu, ambao unakidhi mlinganyo tau2 - tau - 1 0. Ninapanga hii upya. equation kupata tau - 1 frac1tau. Hii ina maana kwamba frac1tau - 1 tau. Kwa hiyo, nina frac1 tau frac1tau2 frac1tau3 dotsb tau. Kulinganisha hii na taun, naona hiyo n 1. 