<prompt> Acha P_1: yx2frac101100 na P_2: xy2frac454 ziwe mbili parabolas katika ndege ya Cartesian. Acha mathcalL iwe mstari wa kawaida wa tangent wa P_1 na P_2 ambao una mteremko mzuri. Ikiwa mathcalL imeandikwa katika muundo axbyc kwa nambari kamili a,b,c ambapo gcda,b,c1, pata ab c.  <response>: Kutokana na hali ya kuwa mathcal L ni tangent hadi P_1 tuna kwamba mfumo wa milinganyo ax by c na y x2 frac101100 unayo haswa. suluhisho moja, kwa hivyo ax bx2 frac101100 c ina suluhu moja haswa. Mlinganyo wa quadratic wenye suluhu moja tu lazima uwe na kibaguzi sawa na sufuri, kwa hivyo ni lazima tuwe na a2 - 4cdot b cdot frac101101100b - c 0 au sawa na 25a 2 -101b2 100bc 0. Kwa kutumia mchakato sawa kwa P_2, tunayo ay2 frac454 by c ina mzizi wa kipekee kwa hivyo b2 - 4cdot a cdot frac 454a - c 0 au sawa na b2 - 45a2 4ac 0. Tunazidisha milinganyo ya kwanza kati ya hizi kwa a na ya pili kupitia 25b na tunatoa ili kuondoa c na kupata 25a3 1125 a2b - 101ab2 - 25b3 0 . Tunajua kwamba mteremko wa mathcal L, -frac b a, ni nambari ya kimantiki, kwa hivyo tunagawanya mlinganyo huu kupitia -a3 na kuruhusu frac b a q kupata 25q. 3 101q2 - 1125q - 25 0. Kwa kuwa tunatafuta mzizi wa busara, tunaweza kutumia Nadharia ya Rational Root kutafuta uwezekano wote na kupata kwamba q 5 ni suluhisho. Mizizi mingine miwili ni mizizi ya equation ya quadratic 25q2 226q 5 0, zote mbili hazina mantiki. Hivyo b 5a. Sasa tunarudi kwenye mojawapo ya milinganyo yetu ya kwanza, sema b2 - 45a2 4ac 0, ili kupata 25a2 - 45a2 4ac 0 Longrightarrow c 5a. Tunaweza kukataa uwezekano mbadala a 0 kwa sababu hiyo ingetoa a b 0 na mstari wetu haungekuwepo. Kisha a : b : c 1 : 5 : 5 na kwa kuwa mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari tatu ni 1, a 1, b 5, c 5 na a b c 11. 