<prompt> Karatasi ya mraba ina pande za urefu wa 100. Kutoka kwa kila kona kabari hukatwa kwa njia ifuatayo: katika kila kona, mikata miwili ya kabari kila moja huanza kwa umbali sqrt17 kutoka kona, na hukutana kwenye mlalo kwa pembe ya 60 circ tazama takwimu hapa chini. Kisha karatasi inakunjwa kando ya mistari inayounganisha wima ya mikato iliyo karibu. Wakati kingo mbili za kukata zinakutana, zimefungwa pamoja. Matokeo yake ni tray ya karatasi ambayo pande zake haziko kwenye pembe za kulia kwa msingi. Urefu wa tray, yaani, umbali wa perpendicular kati ya ndege ya msingi na ndege iliyoundwa na kingo zilizoinuliwa, inaweza kuandikwa kwa fomu sqrtnm, ambapo m na n ni nambari kamili chanya, m1000, na m haiwezi kugawanywa kwa nguvu nth ya mkuu wowote. Tafuta mn.asy kuagiza cse5; ukubwa 200; njianyeusi; halisi ssqrt17; halisi rsqrt51ssqrt2; D0,2s--0,0--2s,0; D0,s--rdir45--s,0; D0,0--rdir45; Drdir45.x,2s--rdir45--2s,rdir45.y; MP30circ,rdir45-0.25,1,SW; MP30circ,rdir45-1,0.5,SW; MPsqrt17,0,s2,W; MPsqrt17,s2,0,S; MPmathrmcut,0,srdir452,N; MPmathrmcut,s,0rdir452,E; MPmathrmfold,rdir45.x,sr2dir45.y,E; MPmathrmfold,sr2dir45.x,rdir45.y;asy  <response>: asy kuagiza tatu; kuagiza hisabati; kuagiza cse5; ukubwa 500; njiabluu; halisi r 51 0.5-17 0.5200, h 867 0.25100; triple A0,0,0,B1,0,0,C1,1,0,D0,1,0; mara tatu FBr,-r,h,G1,-r,h,H1r,0,h,IB0,0,h; kuchoraB--F--H--mzunguko; kuchoraB--F--G--mzunguko; kuchoraG--I--H; kuchoraB--I; kuchoraA--B--C--D--mzunguko; triple FaA-r,-r, h, FcCr,r, h, FdD-r,r, h; triple Ia A0,0,h, Ic C0,0,h, Id D0,0,h; kuchoraIa--I--Ic; kuchoraMzunguko wa Fa--F--Fc--Fd--; kuchoraA--Fa; kuchoraC--Fc; kuchoraD--Fd; asyKatika picha asili, acha P iwe kona, na M na N ziwe pointi mbili ambazo umbali wake ni sqrt17 kutoka P. Pia, acha R iwe mahali ambapo vipunguzi viwili vinaingiliana.Inatumia pembetatuMNP pembetatu ya 45-45-90, MNMPsqrt2quadLongrightarrowquad MNsqrt34. pembetatuMNR ni sawa, kwa hivyo MR NR sqrt34. Vinginevyo, tunaweza kupata hii kwa Sheria ya Sines.Urefu wa perpendicular kutoka P hadi MN katika pembetatuMNP ni fracsqrt17sqrt2, na urefu wa perpendicular kutoka R hadi MN katika triangleMNR ni fracsqrt51sqrt2. Kuongeza urefu huo mbili, PRfracsqrt17sqrt51sqrt2. Vinginevyo, tungeweza kutumia hiyo sin 75circ sin 3045 fracsqrt6sqrt24.Dondosha herufi moja kwa moja kutoka R hadi kando ya mraba iliyo na M na acha makutano yawe G.anzaalignPGfracPRsqrt2fracsqrt17sqrt512 MGPG-PMfrac sqrt17sqrt512-sqrt17fracsqrt51-sqrt172endalignasy kuagiza cse5; ukubwa 200; njianyeusi; halisi ssqrt17, rsqrt51ssqrt2; jozi P0,0, N0,sqrt17, Msqrt17,0, Rrdir45, Gsqrt51sqrt 172,0; D2N--P--2M; DN--R--M; DP--R; DR.x,2N.y--R--2M.x,R.y; MP30circ,R-0.25,1,SW; MP30circ,R-1,0.5,SW; MPsqrt17,N2,W; MPsqrt17,M2,S; DN--M,iliyopigwa; DG--R,iliyopigwa; MbungeP,P,SW; MbungeN,N,SW; MbungeM,M,SW; MbungeR,R,NE; MbungeG,G,SW; asyAcha ABCD iwe msingi mdogo wa mraba wa trei na uruhusu ABCD iwe mraba mkubwa zaidi, kiasi kwamba AA, n.k, ni kingo. Acha F iwe sehemu ya msingi kutoka A hadi ABCD.Tunajua AAMRsqrt34 na AFMGsqrt2fracsqrt51-sqrt17sqrt2 . Sasa, tumia Nadharia ya Pythagorean kwenye pembetatu AFA kupata AF:anzaalignleftfracsqrt51-sqrt17sqrt2kulia2AF2leftsqrt34 kulia2 frac51-34sqrt3172AF234AFsqrt34-frac68-34sqrt3 2AFsqrtfrac34sqrt32AFsqrt4867endalignJibu ni 867 4 871. 