<prompt> Je, nambari kamili iliyo karibu zaidi na 2sqrt34 ni ipi?  <response>: Ninagundua kuwa usemi huu ni nguvu ya binomial, kwa hivyo ninaweza kutumia nadharia ya binomial kuipanua. Nadharia ya binomial inasema kuwa abn sum_k0n binomnk an-k bk, ambapo binomnk ni mgawo wa binomial. Katika kesi hii, a2, bsqrt3, na n4, kwa hivyo ninapata 2sqrt34 sum_k04 binom4 k 24-k sqrt3k. Ninaweza kurahisisha misimbo ya binomial na nguvu za 2 na sqrt3 kama ifuatavyo: binom40 1, binom41 4, binom4 2 6, binom43 4, binom44 1, 24 16, 23 8, 2 2 4, 21 2, 20 1, sqrt30 1, sqrt31 sqrt3, sqrt32 3, sqrt33 3sqrt3, sqrt34 9. Kwa hiyo, 2sqrt34 1 cdot 16 cdot 1 4 cdot 8 cdot sqrt3 6 cdot 4 cdot 3 4 cdot 2 cdot 3sqrt3 1 cdot 1 cdot 9. Ninaweza kuweka masharti na bila sqrt3 kando: 2sqrt34 16 72 9 32 24sqrt3. Hii hurahisisha hadi 2sqrt34 97 56sqrt3. Sasa, ninahitaji kupata nambari kamili ya karibu zaidi ya thamani hii. Ninaweza kutumia kikokotoo au makadirio ya sqrt3 kupata ukadiriaji wa desimali wa 2sqrt34. Ninajua kuwa sqrt3 ni takriban 1.732, kwa hivyo ninaweza kutumia hiyo kupata makadirio ya 2sqrt34 takriban 97 56 cdot 1.732 takriban 97 96.992 takriban 193.992. Nambari kamili iliyo karibu zaidi na thamani hii ni 194. 