<prompt> Ikiwa mathbfa na mathbfb ni vekta kiasi kwamba mathbfa 3 na mathbfb 14, kisha utafute thamani ndogo kabisa ya mathbfa mathbfb.  <response>: Ninajua kuwa kawaida ya jumla ya vekta inaweza kuhusishwa na bidhaa ya nukta kwa formula mathbfa mathbfb2 mathbfa2 mathbfb2 2mathbfa cdot mathbfb. Ili kupunguza mathbfa mathbfb, ninahitaji kupunguza mathbfa mathbfb2, ambayo inamaanisha ninahitaji kupunguza mathbfa cdot mathbfb. Bidhaa ya nukta ya vekta mbili imetolewa na mathbfa cdot mathbfb mathbfa mathbfb cos theta, ambapo theta ni pembe kati yao. Kwa kuwa mathbfa na mathbfb zimesasishwa, njia pekee ya kupunguza mathbfa cdot mathbfb ni kupunguza cos theta. Chaguo za kukokotoa za cosine zinapungua kwa muda 0, pi, ambayo ni anuwai ya thamani zinazowezekana za theta. Kwa hivyo, cos theta inapunguzwa wakati theta pi, ambayo ina maana mathbfa na mathbfb ni vekta kinyume. Katika kesi hii, mathbfa cdot mathbfb -mathbfa mathbfb -3 cdot 14 -42. Nikichomeka hii kwenye fomula ya mathbfa mathbfb2, napata mathbfa mathbfb2 32 142 - 2 cdot 42 9 196 - 84 121. Nikichukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili, napata mathbfa mathbfb sqrt121 11. 