<prompt> Kwa nambari kamili chanya n na tarakimu zisizo na zero a, b, na c, acha A_n iwe nambari kamili n-tarakimu ambazo tarakimu zake ni sawa na a; acha B_n iwe nambari kamili ya n-tarakimu ambayo kila tarakimu yake ni sawa na b, na C_n iwe 2n-digit si n-digit nambari kamili ambayo kila tarakimu ni sawa. hadi c . Ni thamani gani kuu inayowezekana ya a b c ambayo kuna angalau thamani mbili za n kiasi kwamba C_n - B_n A_n2?textbfA text 12 qquad textbfB text 14 qquad textbfC text 16 qquad textbfD maandishi 18 qquad textbfE text 20  <response>: Angalia A_n a1 10 dots 10n - 1 a cdot tfrac10n - 19; vile vile B_n b cdot tfrac10n - 19 na C_n c cdot tfrac102n - 19. Uhusiano C_n - B_n A_n2 inaandika upya kamac cdot frac102n - 19 - b cdot frac10n - 19 a 2 cdot kushotofrac10n - 19kulia2.Tangu n 0, 10n 1 na tunaweza kughairi kipengele cha tfrac10n - 19 kupatac cdot 10n 1 - b a2 cdot frac10n - 19.Hii ni mlinganyo wa mstari katika 10n. Kwa hivyo, ikiwa thamani mbili tofauti za n zitakidhi, basi maadili yote ya n yataidhi. Sasa tunachomeka n0 na n1 au nambari nyingine, tunapata 2c - b 0 na 11c - b a2 . Kutatua milinganyo ya c na b, tunapatac fraca29 quad textna quad c - b -fraca2 9 inamaanisha b frac2a29.Ili kuongeza a b c a tfraca23, tunahitaji kuongeza a. Kwa kuwa b na c lazima ziwe nambari kamili, a lazima iwe kizidishio cha 3. Ikiwa a 9 basi b itazidi 9. Hata hivyo, ikiwa a 6 basi b 8 na c 4 kwa jibu la 18. 