<prompt> Pembetatu yenye pande za 5, 12, na 13 ina duara iliyoandikwa na iliyozungushwa. Je, ni umbali gani kati ya vituo vya miduara hiyo?  <response>: Acha A, B, na C ziwe wima za pembetatu ili AB 5, AC 12, na BC 13. Acha I na O ziwe kitovu na kipenyo cha pembetatu ABC, mtawalia. Ruhusu mduara wa pembetatu ABC uwe wa sanjari kwa pande BC, AC, na AB kwa D, E, na F, mtawalia.asykuagiza jiometri;ukubwa wa kitengo sentimita 0.4;jozi A, B, C, D, E, F, I, O;A 5213,51213;B 0,0;C 13,0;I kitovuA,B,C;D I tafakariB,CI2;E I tafakariC,AI2;F I tafakariA,BI2;O B C2;kuchoraA--B--C--mzunguko;choraduaraA,B,C;kuchoraI--D;kuchoraI--E;choraI--F;kuchoraI--O;leboA, A, N;leboB, B, SW;leboC, C, SE;nukta D, D, S;nukta E, E, NE;nukta F, F, NW;nukta I, I, N;nuktaO, O, S;asyKwa kuwa angle BAC 90circ, circumcenter O ya pembetatu ABC ni katikati ya hypotenuse BC.Kwa kuwa AE na AF ni tanji kutoka A hadi mduara sawa, AE AF. Acha x AE AF. Vile vile, hebu y BD BF na z CD CE . Kisha x y AF BF AB 5, x z AE CE AC 12, y z BD CD BC 13. Kutatua mfumo huu wa milinganyo, tunapata x 2, y 3, na z 10. Kisha DO BO - BD BC2 - y 132 - 3 72 .Kipenyo cha r cha pembetatu ABC kinatolewa na r Ks, ambapo K ni eneo la pembetatu ABC, na s ni nusu mzunguko. Tunaona kwamba K ABC 12 cdot AB cdot AC 12 cdot 5 cdot 12 30, na s AB AC BC2 5 12 132 15, hivyo r 3015 2.Kwa hivyo, kwa nadharia ya Pythagorean kwenye pembetatu ya kulia IDO, IO sqrtID2 DO2 sqrt22 left frac72 kulia 2 sqrtfrac654 fracsqrt652. 