<prompt> Marafiki watatu wana jumla ya penseli 6 zinazofanana, na kila mmoja ana angalau penseli moja. Hii inaweza kutokea kwa njia ngapi?  <response>: Ninataka kuhesabu idadi ya usambazaji unaowezekana wa penseli 6 kati ya marafiki 3, ambapo kila rafiki anapata angalau penseli moja. Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kutumia njia ya nyota na baa, ambayo ni mbinu ya kugawanya vitu n vinavyofanana katika vikundi k. Wazo ni kuwakilisha vitu vya n kama nyota na vikundi vya k kama baa . Kwa mfano, ikiwa nina nyota 6 na paa 2, ninaweza kuzipanga kwa safu kama hii: . Hii ina maana kwamba kundi la kwanza linapata vitu 3, kundi la pili linapata vitu 3, na kundi la tatu linapata vitu 0. Kwa ujumla, kuna n k - 1 chagua k - 1 njia za kupanga n nyota na paa za k kwa safu, ambapo a kuchagua b inamaanisha idadi ya njia za kuchagua vitu b kati ya vitu bila. kuhusu utaratibu. Walakini, hii inajumuisha kesi ambapo marafiki wengine hupata penseli 0, ambazo ninataka kuwatenga. Ili kuepuka hili, naweza kumpa kila rafiki penseli moja kwanza, na kisha kusambaza penseli 3 zilizobaki kati yao. Hii ina maana kwamba nina vitu n 3 penseli zilizobaki na k vikundi 3 marafiki, kwa hiyo kuna 3 3 - 1 kuchagua 3 - 1 njia za kupanga nyota 3 na baa 3 mfululizo. Hii ni sawa na 5 chagua 2, ambayo ni sawa na 10. Kwa hiyo, kuna njia 10 za kusambaza penseli 6 kati ya marafiki 3, ambapo kila rafiki anapata angalau penseli moja. 