<prompt> Acha z iwe nambari changamano yenye z sqrt2. Pata thamani ya juu zaidi yaz - 12 z 1.  <response>: Acha z x yi, ambapo x na y ni nambari halisi. Tangu z sqrt2, x2 y2 2. Kishaanzaalignz - 1 x yi - 1 sqrtx - 12 y2 sqrtx2 - 2x 1 2 - x2 sqrt3 - 2x,mwishoalignnaanzaalignz 1 x yi 1 sqrtx 12 y2 sqrtx2 2x 1 2 - x2 sqrt2x 3,mwishoalignhivyoz - 12 z 1 sqrt3 - 2x2 2x 3.Kwa hivyo, tunataka kuongeza 3 - 2x2 2x 3, chini ya -sqrt2 le x le sqrt2.Tunadai kiwango cha juu kinatokea katika x -frac12. At x -frac12, 3 - 2x2 2x 3 32 . Kumbuka hilo32 - 3 - 2x2 2x 3 -8x3 12x2 18x 5 2x 12 5 - 2x ge 0,hivyo 3 - 2x2 2x 3 le 32 kwa -sqrt2 le x le sqrt2, na usawa ikiwa tu x -frac1 2.Kwa hivyo, thamani ya juu zaidi ya z - 12 z 1 sqrt3 - 2x2 2x 3 ni sqrt32 4 sqrt2. 