<prompt> Acha mathbfa na mathbfb ziwe vekta ilimathbfv jina la kiendeshajiproj_mathbfa mathbfv jina la kiendeshajiproj_mathbfb mathbfvkwa vidhibiti vyote mathbfv. Ingiza thamani zote zinazowezekana za mathbfa cdot mathbfb, zikitenganishwa na koma.  <response>: Ninatambua kuwa usemi operatornameproj_mathbfa mathbfv ni makadirio ya mathbfv kwenye mathbfa, ambayo ni vekta ambayo iko kwenye mstari uliopanuliwa na mathbfa na ina mwelekeo sawa na mathbfa. Vile vile, operatornameproj_mathbfb mathbfv ni makadirio ya mathbfv kwenye mathbfb, ambayo ni vekta ambayo iko kwenye mstari uliopitishwa na mathbfb na ina mwelekeo sawa na mathbfb. Kwa hivyo, mlinganyo mathbfv jina la uendeshajiproj_mathbfa mathbfv jina la uendeshajiproj_mathbfb mathbfv inamaanisha kuwa vekta yoyote mathbfv inaweza kuandikwa kama jumla ya vekta mbili, moja ambayo iko kwenye mstari uliowekwa na mathbfa na moja ambayo iko kwenye mstari uliopitishwa na mathbfb . Hili linawezekana tu ikiwa mistari iliyofupishwa na mathbfa na mathbfb ni ya kawaida, kwa sababu vinginevyo kungekuwa na vekta ambazo haziwezi kuandikwa kama jumla kama hiyo. Kwa mfano, ikiwa mathbfa na mathbfb ni sambamba, basi vekta pekee ambazo pia ni sambamba na mathbfa na mathbfb zinaweza kuandikwa hivyo. jumla, na ikiwa mathbfa na mathbfb haziwiani lakini si za kawaida, basi ni vekta tu ambazo ziko kwenye ndege iliyozungushwa na mathbfa na mathbfb inaweza kuandikwa kama jumla kama hiyo. Kwa hivyo, mistari iliyopitishwa na mathbfa na mathbfb ni ya kawaida, ambayo inamaanisha kuwa pembe kati ya mathbfa na mathbfb ni 90circ . Nakumbuka kwamba bidhaa ya nukta ya vekta mbili inahusiana na pembe kati yao kwa fomula mathbfa cdot mathbfb mathbfamathbfb cos theta, ambapo theta ndio pembe kati yao. Kwa kuwa theta 90circ, najua hiyo cos theta 0, hivyo mathbfa cdot mathbfb 0. 