<prompt> Acha P iwe nukta kwenye grafu ya mlinganyo xyz 1 katika nafasi ya pande tatu. Tafuta umbali unaowezekana kati ya P na asili.  <response>: Ninagundua kuwa equation xyz 1 inafafanua uso ambao ni linganifu kuhusu ndege zinazoratibu, kwa hivyo naweza kudhani bila kupoteza jumla kwamba P iko katika oktani ya kwanza, ambapo x, y, z 0. Ili kupata umbali kati ya P na asili, ninahitaji kutumia fomula ya umbali katika vipimo vitatu, ambayo ni d sqrtx2 y2 z2. Ili kupunguza d, ninataka kupunguza x2 y2 z2 kulingana na kikwazo ambacho xyz 1. Badala yake, ninakumbuka kwamba maana ya hesabu ya seti ya nambari chanya daima ni kubwa kuliko au sawa na wastani wao wa kijiometri, huku usawa ukishikilia ikiwa tu nambari zote ni sawa. Hii inapendekeza kwamba ninaweza kutumia usawa wa AM-GM kwa x2, y2, z2, ambazo zote ni chanya. Kwa AM-GM, nina hiyo fracx2 y2 z23 geq sqrt3x2y2z2, na kushikilia usawa ikiwa na ikiwa tu x2 y2 z2. Lakini pia najua kuwa xyz 1, kwa hivyo x2y2z2 1. Hii ina maana kwamba fracx2 y2 z23 geq 1, ikiwa na usawa ikiwa tu x2 y2 z2 1. Kwa hiyo, thamani ya chini inayowezekana ya x2 y2 z2 ni 3, na hii hutokea wakati x y z 1. Hii inamaanisha kuwa uhakika P unaopunguza umbali wa asili ni 1, 1, 1. Umbali wa chini unaowezekana basi ni d sqrt3. 