<prompt> Kevin Kangaroo anaanza kurukaruka kwenye mstari wa nambari saa 0. Anataka kufika 1, lakini anaweza kuruka tu frac13 ya umbali. Kila hop humchosha ili aendelee kuruka juu frac13 ya umbali uliosalia. Ameruka umbali gani baada ya hops tano? Eleza jibu lako kama sehemu ya kawaida.  <response>: Kevin anaruka 13 ya umbali uliosalia kwa kila hop. Hop yake ya kwanza inachukua 13 karibu. Kwa hop yake ya pili, amebakisha 23 kusafiri, kwa hivyo anaruka mbele 2313. Kwa hop yake ya tatu, amebakisha 232 kusafiri, kwa hivyo anaruka mbele 23213. Kwa ujumla, Kevin anaruka mbele 23k-113 kwenye hop yake ya kth. Tunataka kujua ameruka umbali gani baada ya hop tano. Huu ni mfululizo usio na kikomo wa kijiometri wenye muhula wa kwanza 13, uwiano wa kawaida 23, na istilahi tano. Kwa hivyo, Kevin ameruka juu fracfrac13left1-leftfrac23right5right1-frac2 3 frac211243. 