<prompt> Pata suluhu la mlinganyo log_3x 4 log_2x 8, ambapo x ni nambari halisi chanya isipokuwa tfrac13 au tfrac1 2.  <response>: Ninagundua kuwa pande zote mbili za equation zina logarithms zilizo na besi ambazo hutegemea x. Hii inanifanya nifikirie kutumia mabadiliko ya fomula ya msingi ya logariti, ambayo inasema kwamba log_b a fraclog_c alog_c b kwa misingi yoyote chanya b na c. Nikitumia fomula hii kwa pande zote mbili za mlinganyo, ninaweza kuchagua msingi wowote ninaotaka kwa c, mradi tu ni chanya. Ninaamua kutumia base e, kwani ni chaguo la asili na haitegemei x. Kwa kutumia mabadiliko ya fomula msingi, ninaandika tena mlinganyo kama fracln 4ln 3x fracln 8ln 2x. Ninazidisha na kupata ln 4 ln 2x ln 8 ln 3x. Ninagundua kuwa ln 4 2 ln 2 na ln 8 3 ln 2, kwa hivyo ninaweza kurahisisha mlinganyo kama 2 ln 2 ln 2x 3 ln 2 ln 3x . Ninagawanya pande zote mbili kwa ln 2 na kupata 2 ln 2x 3 ln 3x. Ninafafanua pande zote mbili kwa msingi e na kupata e2 ln 2x e3 ln 3x. Ninatumia mali ambayo ea ln b ba na kupata 2x2 3x3. Ninapanua mamlaka na kupata 4x2 27x3. Ninagawanya pande zote mbili kwa x2 na kupata 4 27x. Ninatatua kwa x na kupata x frac427. 