<prompt> Kwa kuzingatia hilosin kushoto theta fracpi4 kulia frac13,compute sin 2 theta.  <response>: Ninagundua kuwa usemi ulio ndani ya kitendakazi cha sine una jumla ya pembe mbili, theta na fracpi4. Nakumbuka kwamba kuna fomula ya kupanua sine ya jumla: sin alpha beta sin alpha cos beta cos alpha sin beta. Ninaweza kutumia fomula hii ya kuandika upya mlinganyo uliotolewa kama sin theta cos fracpi4 cos theta sin fracpi4 frac13 . Pia nakumbuka kwamba cos fracpi4 sin fracpi4 fracsqrt22, ili niweze kurahisisha mlinganyo zaidi kwa fracsqrt22 sin theta cos theta frac13. Ninaweza kuzidisha pande zote mbili kwa frac 2sqrt2 kupata sin theta cos theta frac23 sqrt2. Sasa, nataka kupata sin 2 theta, ambayo najua ina fomula nyingine: sin 2 alpha 2 sin alpha cos alpha. Ninaweza kutumia fomula hii kuandika sin 2 theta 2 sin theta cos theta sin theta cos theta2 - sin2 theta cos2 theta. Neno la mwisho katika usemi huu ni 1 tu, na kitambulisho cha Pythagorean. Kwa hivyo nina sin 2 theta sin theta cos theta2 - 1. Tayari ninajua thamani ya sin theta cos theta, ili niweze ibadilishe katika usemi huu na upate sin 2 theta left frac23 sqrt2 kulia2 - 1. Ninaweza kurahisisha hili kwa kupanua mraba na kutoa 1: sin 2 theta frac418 - 1 -frac79. 