<prompt> Nambari za kimantiki a na b huchaguliwa kwa nasibu kati ya nambari zote nzuri katika muda 0,2 ambazo zinaweza kuandikwa kama sehemu fracnd ambapo n na d ni nambari kamili zilizo na 1 le d le 5. Je, kuna uwezekano gani kwamba textcosapiitextsinbpi4ni nambari halisi?  <response>: Kuna thamani 20 zinazowezekana za a na b, ambazo niS kushoto 0, 1, frac12, frac32, frac13, frac23, frac 43, frac53, frac14, frac34, frac54, frac74 , frac15, frac25, frac35, frac45, frac65, frac 75, frac85, frac95 kulia.Hebu x cos a pi na y sin b pi. Tunataka kuona ni linix yi4 x4 4ix3 y - 6x2 y2 - 4ixy3 y4ni halisi. Hii hutokea hasa wakati 4x3 y - 4xy3 4xyx2 - y2 0, hivyo ama x 0, y 0, x y, au x -y. Kwa maneno mengine, cos a pi 0, sin b pi 0, cos a pi sin b pi, au cos a pi -dhambi b pi.Ikiwa cos a pi 0, basi a frac12 au a frac32, na b inaweza kuwa thamani yoyote katika S. Hii inatupa jozi 40 a,b.Ikiwa sin b pi 0, basi b 0 au b 1, na a inaweza kuwa thamani yoyote katika S. Hii inatupa jozi 40 a,b, lakini jozi nne kushoto frac12, 0 kulia, left frac12, 1 kulia, left frac3 2, 0 kulia, na left frac32, 1 kulia tayari zimehesabiwa, kwa hivyo inatupa jozi 36 pekee za ziada.Ikiwa cos a pi sin b pi, basicos a pi cos left fracpi2 - b pi kulia,ambayo inamaanisha a pi - left fracpi2 - b pi kulia 2 pi k kwa nambari kamili k, au a pi kushoto fracpi2 - b pi kulia 2 pi k kwa nambari kamili k. Hizi husababisha a b - frac12 2k au a - b frac12 2k. Sisi tayari tumehesabu jozi ambapo b 0 au b 1, kwa hivyo tunatenga maadili haya. Tunaweza kuangalia kwamba ikiwa dhehebu la b ni 3 au 5, basi hakuna thamani zinazowezekana za a.Ikiwa b frac12, basi a 0 kwa mlingano wowote. Ikiwa b frac32, basi a 1 kwa mlingano wowote. Hatimaye, tunaweza kuangalia kwamba ikiwa b in left frac14, frac34, frac54, frac74 kulia, basi kuna suluhu moja kabisa la a la mlinganyo a b - frac12 2k ambalo liko katika left frac11 4, frac34, frac54, frac74 right, na suluhu moja la a kwa mlinganyo a - b frac12 2k ambayo iko katika left frac14, frac34, frac54, frac74 kulia. Zaidi ya hayo, ikiwa a b - frac12 2k na a - b frac12 2k, kisha tukitoa milinganyo hii, tunapata2b - 1 2k - 2k,hivyo b k - k frac12. Hivyo, b frac12 au b frac32, na tunahesabu thamani hizi mara moja tu. Hii inatupa 2 8 10 jozi a,b.Vile vile, ikiwa cos a pi -sin b pi, basicos a pi -sin b pi dhambi -b pi cos left fracpi2 b pi kulia,ambayo inamaanisha a pi - kushoto fracpi2 b pi kulia 2 pi k kwa nambari kamili k, au a pi kushoto frac pi2 b pi kulia 2 pi k kwa nambari kamili k. Hizi husababisha a - b - frac12 2k au a b frac12 2k. Tayari tumehesabu jozi ambapo b 0 au b 1, kwa hivyo tunatenga thamani hizi. Tunaweza kuangalia kwamba ikiwa dhehebu la b ni 3 au 5, basi hakuna thamani zinazowezekana za a.Ikiwa b frac12, basi a 1 kwa mlingano wowote. Ikiwa b frac32, basi a 0 kwa mlingano wowote. Hatimaye, tunaweza kuangalia kwamba ikiwa b in left frac14, frac34, frac54, frac74 kulia, basi kuna suluhu moja la a la mlinganyo a - b - frac12 2k ambalo liko katika left frac11 4, frac34, frac54, frac74 right, na suluhu moja la a kwa mlinganyo a b frac12 2k ambayo iko katika left frac14, frac34, frac54, frac74 kulia. Zaidi ya hayo, ikiwa a - b - frac12 2k na a b frac12 2k, kisha tukitoa milinganyo hii, tunapata2b 1 2k - 2k,hivyo b k - k - frac12. Hivyo, b frac12 au b frac32, na tunahesabu thamani hizi mara moja tu. Tunaweza pia kuthibitisha kwamba jozi zote katika kesi hii ni tofauti na jozi katika kesi ya awali. Hii inatupa 2 8 10 jozi a,b.Kwa hivyo, kuna jumla ya 40 36 10 10 96 iwezekanavyo jozi a,b. Kuna 202 400 njia za kuchagua jozi a,b, ambayo inatoa kwetu uwezekano wa frac96400 frac625. 