<prompt> Miteremko arobaini huwekwa kwenye kofia, kila moja ikiwa na nambari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, au 10, na kila nambari imeingizwa kwenye karatasi nne. Miteremko minne hutolewa kutoka kwa kofia kwa nasibu na bila uingizwaji. Acha p iwe uwezekano kwamba miteremko yote minne iwe na nambari sawa. Acha q iwe uwezekano kwamba sehemu mbili za miteremko zitakuwa na nambari a na zingine mbili ziwe na nambari bne a. Thamani ya qp ni nini?  <response>: Ninagundua kuwa hili ni shida ya uwezekano inayojumuisha mchanganyiko, kwani mpangilio wa mteremko haujalishi. Ili kupata p, ninahitaji kuhesabu ni njia ngapi ninaweza kuchora miteremko minne na nambari sawa, na kugawanya kwa jumla ya idadi ya njia za kuchora miteremko minne. Kuna nambari 10 zinazowezekana kuchora, na kwa kila moja, kuna binom44 1 njia ya kuchora miteremko minne kwa nambari hiyo. Kwa hivyo nambari ya p ni 10. Kiini cha p ni jumla ya idadi ya njia za kuchora miteremko minne kutoka 40, ambayo ni binom404. Kwa hivyo p frac10binom404. Ili kupata q, ninahitaji kuhesabu ni njia ngapi ninaweza kuchora miteremko miwili yenye nambari a na miteremko miwili yenye nambari bne a, na kugawanya kwa dhehebu sawa na p. Kuna binom102 njia za kuchagua nambari mbili tofauti a na b kutoka 1 hadi 10. Kwa kila jozi ya nambari a na b, kuna binom4 2njia za kuchora miteremko miwili kwa kutumia a na binom42 njia za kuchora miteremko miwili kwa b. Kwa hivyo nambari ya q ni binom102binom42binom42. Kwa hivyo q fracbinom102binom42binom42binom404. Ili kupata qp, ninahitaji kurahisisha uwiano wa sehemu hizi. Ninagundua kuwa kipunguzo cha sehemu zote mbili ni binom404, kwa hivyo ninaweza kughairi hilo. Pia ninagundua kuwa binom42 6, kwa hivyo ninaweza kurahisisha hilo pia. Kwa hivyo qp fracbinom1026cdot 610. Ninaweza kutumia fomula binomnk fracn!k!n-k! kurahisisha binom102. Kwa hivyo binom102 frac10!2!8! frac10cdot 92 45. Kwa hivyo qp frac45cdot 6cdot 610. Ninaweza kugawanya nambari na dhehebu kwa 5 ili kurahisisha zaidi. Kwa hivyo qp frac9cdot 6cdot 62. Ninaweza kuzidisha hii ili kupata jibu la mwisho. Kwa hiyo qp 162. 