<prompt> Alama A na B ziko kwenye parabola y3x2-5x-3, na asili ni sehemu ya kati ya overlineAB. Tafuta mraba wa urefu wa overlineAB.  <response>: Kwa kuwa asili ni sehemu ya kati ya overlineAB, ninaweza kuandika viwianishi vya A na B kama x_1,y_1 na -x_1,-y_1, mtawalia. Ninajua pia kuwa A na B ziko kwenye parabola, kwa hivyo ni lazima zitimize mlinganyo y3x2-5x-3. Nikibadilisha x_1,y_1 na -x_1,-y_1 kwenye mlingano huu, napata milinganyo miwili: beginalign y_1 3x_12-5x_1-3 -y_1 3x_1 25x_1-3 endalign Nikiongeza milinganyo hii miwili, ninapata 06x_12-6, au x_121. Hii inamaanisha kuwa x_1pm 1. Bila upotezaji wa jumla, naweza kudhani kuwa x_11, kwani kesi nyingine itatoa jibu sawa. Sasa ninaweza kuunganisha x_11 kwenye mlinganyo wowote ili kupata y_1. Ninachagua ya kwanza na kupata y_13-5-3-5. Kwa hivyo viwianishi vya A na B ni 1,-5 na -1,5, mtawalia. Ili kupata mraba wa urefu wa overlineAB, naweza kutumia fomula ya umbali na kuiweka mraba: beginalign leftoverlineABright2 left sqrt-1-125--52kulia2 kushotosqrt4100kulia2 4100 104 mwishoalign 