<prompt> Ngazi ya uwanja yenye ngazi 150 ina nambari kutoka 1 hadi 150. Jan anaanza kwenye hatua ya 130 na kushuka hadi hatua ya 127, kisha hatua ya 124, na kuendelea kushuka hadi hatua ya 13 akikanyaga tu kwa kila hatua ya tatu. Jen anaanza kwenye hatua ya 3 na kupanda hadi hatua ya 7, kisha hadi hatua ya 11, na kuendelea kwenda juu hadi hatua ya 139 akipiga hatua kwa kila hatua ya nne tu. Je, ni hatua ngapi zilipitiwa na Jan na Jen sio lazima kwa wakati mmoja?  <response>: Jan anapiga hatua kwenye nambari ya hatua s ikiwa 13leq s leq 130 na s itaacha salio la 1 ikigawanywa na 3. Jen anaingia kwenye hatua ya nambari s ikiwa 3leq s leq 139 na s itaacha salio la 3 ikigawanywa na 4. Kwa hivyo, tunahesabu idadi ya nambari kamili kati ya 13 na 130 ambayo huacha salio la 1 ikigawanywa na 3 na salio ya 3 ikigawanywa na 4. Hebu tuangalie masalio ya hatua chache za kwanza za Jan tukigawanywa na 4. 13 mshale wa kulia 1 16 mshale wa kulia 0 19 mshale wa kulia 3 22 mshale wa kulia 2 25 mshale wa kulia 1 vdots Tunaona kuwa mabaki ya hatua za Jan yanapogawanywa kwa mzunguko 4 kupitia orodha 1,0,3,2. Kwa hivyo, ni kila hatua ya nne pekee ambayo Jan atapiga itakanyagwa pia na Jen, kwa hivyo tunahesabu idadi ya vipengele katika 19,31,43,ldot,127. Kuandika orodha hii katika fomu 190cdot12,191cdot12,192cdot12,ldot,199cdot12, tunaona kwamba hatua 10 zimepigwa na Jen na Jan.Kumbuka: Tatizo hili kimsingi ni matumizi ya Nadharia ya Mabaki ya Kichina. 