<prompt> Je! ni kwa njia ngapi ninaweza kuweka shanga 5 tofauti kwenye bangili ikiwa mizunguko na mizunguko ya bangili haijachukuliwa kama mipangilio tofauti?  <response>: Tatizo hili linahusisha kuhesabu vibali vya mviringo, ambavyo ni tofauti na vibali vya mstari kwa sababu hakuna mahali pa kuanzia au mwelekeo uliowekwa kwenye mduara. Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kurekebisha moja ya shanga kama sehemu ya kumbukumbu, na kisha kupanga shanga nne zilizobaki kuzunguka kwa mpangilio wa saa au kinyume. Hii ingenipa 4! Njia 24 za kupanga shanga nne, lakini hii ingezidisha kwa sababu ya 2, kwa sababu kupindua bangili kunaweza kunipa mpangilio sawa kwa mpangilio tofauti. Kwa hivyo ninahitaji kugawanya 4! kwa 2 ili kupata idadi sahihi ya vibali vya mviringo. Vinginevyo, ningeweza kutumia fomula ya vibali vya mviringo, ambayo ni n-1!2, ambapo n ni idadi ya vitu vya kupanga. Kwa vyovyote vile, napata jibu lile lile: 4! 2 5-1! 2 12. 