<prompt> Mlinganyo x3 - 9x2 8x 2 0 ina mizizi mitatu halisi p, q, r. Tafuta frac1p2 frac1q2 frac1r2.  <response>: Huu ni mlinganyo wa ujazo, kwa hivyo ningeweza kujaribu kutumia nadharia ya mzizi wa busara au mgawanyiko wa syntetisk kupata mizizi yake, lakini hiyo inaweza kuwa ya kuchosha na inayotumia wakati. Ninagundua kuwa shida ni kuuliza jumla ya miraba ya mizizi, sio mizizi yenyewe. Hii inanifanya nifikirie kutumia fomula za Vieta, ambazo zinahusiana na mgawo wa polynomial na hesabu na bidhaa za mizizi yake. Kwa mlinganyo wa ujazo wa fomu ax3 bx2 cx d 0, fomula za Vieta zinasema kuwa jumla ya mizizi ni -ba, jumla ya bidhaa za mizizi miwili kwa wakati ni ca, na bidhaa ya mizizi yote mitatu ni -da. Katika hali hii, equation tayari iko katika muundo x3 bx2 cx d 0, na a 1, ili niweze kutumia fomula za Vieta moja kwa moja. Jumla ya mizizi ni -ba --91 9. Jumla ya bidhaa za mizizi miwili kwa wakati mmoja ni ca 81 8. Bidhaa ya mizizi yote mitatu ni -da -21 -2. Sasa, ninataka kupata frac1p2 frac1q2 frac1r2. Ninagundua kuwa hii ni sawa na fracq2r2 p2r2 p2q2p2q2r2. Ili kurahisisha usemi huu, naweza kutumia ukweli kwamba p2q2r2 pqr2 -22 4. Ninaweza pia kutumia ukweli kwamba q2r2 p2r2 p2q2 qr pr pq2 - 2pqrp q r. Hii inafuatia kutokana na kupanua mraba na kupanga upya masharti. Kwa kutumia fomula za Vieta tena, najua kuwa qr pr pq 8 na pqr -2 na p q r 9. Kwa hiyo, q2r2 p2r2 p2q2 82 - 2-29 64 36 100. Kwa hivyo, frac1p2 frac1q2 frac1r2 fracq2r2 p2r2 p2q2p2q2r2 frac1004 25. 