<prompt> Tafuta idadi ya chaguo za kukokotoa fn, ukipeleka nambari kamili kwa nambari kamili, kama hizofa b fab fa fb 1kwa nambari zote a na b.  <response>: Kuweka a b 0, tunapata2f0 f02 1.Kisha f02 - 2f0 1 f0 - 1 2 0, hivyo f0 1.Kuweka a 1 na b -1, tunapataf0 f-1 f1 f-1 1,hivyo f-1 f1 - 1 0. Hii ina maana ama f-1 0 au f1 1.Kwanza, tunaangalia kesi ambapo f1 1. Kuweka b 1, tunapatafa 1 fa fa 1,hivyo fa 1 1. Hii ina maana fn 1 kwa nambari zote n .Ifuatayo, tunaangalia kesi ambapo f-1 0. Kuweka a b -1, tunapataf-2 f1 f-12 1 1.Kuweka a 1 na b -2, tunapataf-1 f-2 f1 f-2 1,ambayo hurahisisha hadi f-2 f1 f-2 1. Kubadilisha f-2 1 - f1, tunapata1 - f1 f1 1 - f1 1,ambayo hurahisisha f12 - 2f1 f1 f1 - 2 0. Kwa hivyo, ama f1 0 au f1 2.Kwanza, tunaangalia kesi ambapo f1 0. Kuweka b 1, tunapatafa 1 fa 1,hivyo fa 1 1 - fa. Hii ina maana fn ni 1 ikiwa n ni hata, na 0 ikiwa n ni isiyo ya kawaida.Ifuatayo, tunaangalia kesi ambapo f1 2. Kuweka b 1, tunapatafa 1 fa 2fa 1,hivyo fa 1 fa 1. Imechanganywa na f1 2, hii ina maana fn n 1 kwa n. zoteKwa hivyo, kuna jumla ya vitendaji vya 3: fn 1 kwa n zote, fn n 1 kwa n zote, nafn kushotoanzasafucl1 maandishiif n ni sawa, 0 textif n is odd.mwishosafukulia.Tunahakikisha kuwa chaguo zote tatu za kukokotoa zinafanya kazi. 