<prompt> Katika pembetatu ABC, imetolewa kuwa pembe B na C zinalingana. Pointi P na Q ziko kwenye overlineAC na overlineAB, mtawalia, ili AP PQ QB BC. Pata uwiano wa angle ACB kwa angle APQ. Andika jibu lako kama sehemu.  <response>: Acha x pembe QBP pembe QPB.asyukubwa wa kitengo sentimita 6;jozi A, B, C, P, Q;A 0,0;B dir260;C dir280;P uganiB, B dir70, A, C;Q uganiC, C dir130, A, B;kuchoraA--B--C--mzunguko;choraQ--P--B;leboA, A, N;leboB, B, SW;leboC, C, SE;leboP, P, NE;leboQ, Q, W;asyKisha angle BQP 180circ - 2x, na angle PQA 2x. Kwa kuwa pembetatu APQ ni isosceles, angle QAP 2x. Kisha angle APQ 180circ - 4x, hivyo angle QPC 4x. Kwa kuwa angle QPB x, angle BPC 3x.Pia, kwa kuwa pembetatu ABC ni isosceles,angle ABC pembe ACB frac180circ - angle BAC2 90circ - x.Kwa Sheria ya Sines kwenye pembetatu BCP,fracBCBP fracsin 3xsin 90circ - x fracsin 3xcos x.Kwa Sheria ya Mishipa kwenye pembetatu PQB,fracPQBP fracsin xsin 2x fracsin x2 sin x cos x frac12 cos x.Kwa kuwa BC PQ, fracsin 3xcos x frac12 cos x, hivyosin 3x frac12.Kwa kuwa angle APQ 180circ - 4x, x frac180circ4 45circ , hivyo 3x 135circ. Kwa hiyo, 3x 30circ, hivyo x 10circ.Kisha angle ACB 90circ - x 80circ na angle APQ 140circ, na uwiano tunaotafuta ni frac80140 frac4 7. 