<prompt> Kwa nambari halisi x 1, pata thamani ya chini zaidifracx 8sqrtx - 1.  <response>: Ili kupata thamani ya chini ya chaguo la kukokotoa, mimi hutafuta ambapo derivative yake ni sifuri au haijafafanuliwa. Kwa hivyo wacha kwanza nitafute derivative ya kazi hii kwa kutumia kanuni ya mgawo na sheria ya mnyororo. Nyingine ya nambari ni 1, na kinyago cha kipunguzi ni frac12sqrtx - 1. Kwa hivyo kwa kanuni ya mgawo, kinyago cha chaguo zima la kukokotoa ni frac sqrtx - 1 - fracx 82sqrtx - 1x - 1. Ninaweza kurahisisha hili kwa kuzidisha nambari na kipunguzo kwa 2sqrtx - 1 ili kupata frac2x - 1 - x 82x - 132. Kisha ninaweza kupanua na kuchanganya kama maneno katika nambari pata fracx - 102x - 132. Sasa ninataka kupata ambapo derivativa hii ni sifuri au haijafafanuliwa. Derivative haijafafanuliwa wakati denominator ni sifuri, ambayo hutokea wakati x 1. Lakini x 1 haiko katika kikoa cha chaguo la kukokotoa asili, kwa hivyo naweza kupuuza hilo. Derivative ni sifuri wakati nambari ni sifuri, ambayo hutokea wakati x 10. Kwa hivyo hii inaweza kuwa hatua muhimu ambapo chaguo la kukokotoa linaweza kuwa na thamani ya chini zaidi. Ili kuangalia ikiwa ni kiwango cha chini kabisa, naweza kutumia jaribio la pili la derivative au jaribio la kwanza la derivative. Nitatumia jaribio la kwanza la derivative, ambayo ina maana kwamba nitaangalia ishara ya derivative kwa kila upande wa x 10. derivative mabadiliko kutoka hasi hadi chanya, basi x 10 ni kiwango cha chini. Ikiwa derivative itabadilika kutoka chanya hadi hasi, basi x 10 ni kiwango cha juu. Ikiwa derivative haibadilishi ishara, basi x 10 sio kiwango cha chini wala cha juu zaidi. Ili kupata ishara ya derivati, ninaweza kuchomeka thamani yoyote ya x kila upande wa x 10. Kwa mfano, wakati x 9, derivative ni frac9 - 10 29 - 132 -frac132sqrt2, ambayo ni hasi. Wakati x 11, derivative ni frac11 - 10211 - 132 frac140sqrt2, ambayo ni chanya. Kwa hivyo derivative hubadilika kutoka hasi hadi chanya kwa x 10, ambayo inamaanisha x 10 ni alama ya chini. Kwa hiyo, thamani ya chini ya kazi hutokea wakati x 10. Ili kupata thamani ya chini, ninahitaji tu kuunganisha x 10 kwenye kazi ya awali. Hiyo inanipa frac10 8sqrt10 - 1 frac183 6. 