<prompt> Nambari kamili ya msingi-10 n inaweza kuwakilishwa kama 32_a katika besi moja na 23_b katika besi nyingine, ambapo a na b ni besi kamili kubwa zaidi ya 3. Je, ni jumla gani ndogo iwezekanavyo a b?  <response>: Ninajua kuwa 32_a inamaanisha 3a12a03a2, na vile vile, 23_b ina maana 2b13b02b3. Kwa hivyo nina equation 3a22b3, ambayo ninaweza kupanga upya kupata 3a-2b1. Ninataka kupata thamani ndogo zaidi za a na b zinazokidhi mlinganyo huu na hali ya kuwa a na b ni kubwa kuliko 3. Nikijaribu a4, basi 3a-2b 1 inakuwa 12-2b1, kwa hivyo b5.5, ambayo sio msingi kamili. Nikijaribu a5, basi 3a-2b1 inakuwa 15-2b1, kwa hivyo b7, ambayo ni msingi kamili zaidi ya 3. Hii inaweza kuwa jumla ndogo iwezekanavyo, lakini Ninapaswa kuangalia ikiwa kuna maadili yoyote madogo ya a ambayo yanafanya kazi. Nikijaribu a6, basi 3a-2b1 inakuwa 18-2b1, kwa hivyo b8.5, ambayo sio msingi kamili. Nikijaribu a7, basi 3a-2b1 inakuwa 21-2b1, kwa hivyo b10, ambayo ni msingi kamili zaidi ya 3, lakini sio ndogo kuliko b7 . Kwa hivyo inaonekana kwamba thamani ndogo zaidi za a na b zinazofanya kazi ni a5 na b7, na jumla yake ni 5712. 