<prompt> Mduara ulio na katikati O una radius 25. Chord overlineAB ya urefu 30 na gumzo overlineCD ya urefu 14 inakatiza kwa uhakika P. Umbali kati ya sehemu za katikati za chodi hizi mbili ni 12. Kiasi OP2 kinaweza kuwakilishwa kama fracmn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya. Tafuta salio wakati m n imegawanywa na 1000.  <response>: Acha E na F ziwe viini vya overlineAB na overlineCD, mtawalia, kiasi kwamba overlineBE inakatiza overlineCF.Kwa kuwa E na F ni pointi za kati, BE 15 na CF 7.B na C ziko kwenye mduara wa duara, hivyo OB OC 25.Mstari unaopita katikati ya gumzo la mduara na katikati ya mduara huo ni sawa na gumzo hilo, kwa hivyo pembetatu OEB na pembetatu OFC ni pembetatu za kulia zenye angle OEB na angle OFC kuwa pembe sahihi. Kwa Nadharia ya Pythagorean, OE sqrt252 - 152 20, na OF sqrt252 - 72 24.Acha x, a, na b ziwe na urefu wa OP, EP, na FP, mtawalia. OEP na OFP pia ni pembetatu za kulia, kwa hivyo x2 a2 202 to a2 x2 - 400, na x2 b2 242 to b 2 x2 - 576Tumepewa kuwa EF ina urefu wa 12, kwa hivyo, kwa kutumia Sheria ya Cosine yenye pembetatu EPF:122 a2 b2 - 2ab cos pembe EPF a2 b2 - 2ab cos pembe EPO pembe FPOKubadilisha a na b, na kutumia formula ya Cosine ya Jumla:144 x2 - 400 x2 - 576 - 2 sqrtx2 - 400 sqrtx2 - 576 kushoto cos angle EPO cos pembe FPO - dhambi pembe EPO sin pembe FPO kuliaangle EPO na angle FPO ni pembe kali katika pembetatu za kulia, kwa hivyo badilisha kinyumehypotenuse kwa sine na karibuhypotenuse kwa kosine:144 2x2 - 976 - 2 sqrtx2 - 400x2 - 576 kushotofracsqrtx2 - 400x frac sqrtx2 - 576x - frac20x frac24x kuliaUnganisha maneno na kuzidisha pande zote mbili kwa x2: 144 x2 2 x4 - 976 x2 - 2 x2 - 400 x2 - 576 960 sqrtx 2 - 400x2 - 576Unganisha maneno tena, na ugawanye pande zote mbili kwa 64: 13 x2 7200 - 15 sqrtx4 - 976 x2 230400Mraba pande zote mbili: 169 x4 - 187000 x2 51,840,000 225 x4 - 219600 x2 51,840,000Hii itapungua hadi x2 frac40507 OP2; 4050 7 sawa na 57 pmod1000. 