<prompt> Kokotasum_j 0infty sum_k 0infty 2-3k - j - k j2.  <response>: Kupanua, tunapataanzaalign3k j k j2 3k j k2 2kj j2 kk 3 2kj jj 1.endalignKwa kila nambari kamili k, ama k au k 3 ni sawa, kwa hivyo kk 3 huwa sawa kila wakati. Vile vile, ama j au j 1 ni sawa, kwa hivyo jj 1 daima ni sawa. Kwa hivyo, 3k j k j2 daima ni sawa.Tunadai kwamba kwa nambari yoyote isiyo ya hasi n, kuna nambari kamili za kipekee zisizo za hasi j na k ambazo3k j k j2 2n.Acha a k j, hivyo3k j k j2 2k k j k j2 a2 a 2k.Kwa thamani isiyobadilika ya a, k inaweza kuanzia 0 hadi a, hivyo a2 a 2k inachukua nambari zote kutoka a2 a hadi a2 a 2a a2 3a. Zaidi ya hayo, kwa k j a 1,3k j k j2 a 12 a 1 2k a2 3a 2 2kinachukua nambari kamili kutoka a 2 3a 2 hadi a2 3a 2 2a 1 a2 5a 4, na kadhalika. Kwa hivyo, kwa thamani tofauti za a k j, thamani zinazowezekana za 3k j k j2 haziingiliani, na inachukua nambari zote hata mara moja.Kwa hiyo,sum_j 0infty sum_k 0infty 2-3k - j - k j2 sum_i 0infty 2 -2i frac43. 