<prompt> Ni kiwango gani cha juu cha digrii ya polynomia ya fomu sum_i0n a_i xn-i na a_i pm 1 kwa 0 leq i leq n, 1 leq n , hivi kwamba sufuri zote ni za kweli?  <response>: Polynomia zinazohitajika zilizo na a_0 -1 ni hasi za zile zilizo na a_0 1, kwa hivyo zingatia a_0 1. Kwa fomula za Vieta, -a_1 ni jumla ya sufuri zote, na a_2 ni jumla ya bidhaa zote zinazowezekana kwa jozi. Kwa hivyo, jumla ya miraba ya sufuri za xn a_1 xn-1 dots a_n ni a_12 - 2a_2. Bidhaa ya mraba ya sufuri hizi ni a_n 2.Acha mizizi iwe r_1, r_2, dots, r_n, kwa hivyor_12 r_22 vitone r_n2 a_12 - 2a_2na r_12 r_22 dotsm r_n2 a_n2.Ikiwa sufuri zote ni halisi, basi tunaweza kutumia AM-GM kwa r_12, r_22, dots, r_n2 ambayo yote si hasi, ili kupatafraca_12 - 2a_2n geq a_n21n,na usawa ikiwa tu sufuri ni sawa kiidadi. Tunajua kuwa a_i pm 1 kwa i yote, kwa hivyo upande wa kulia ni sawa na 1. Pia, a_12 1, kwa hivyo ili usawa ushike, a_2 lazima iwe sawa. hadi -1. Kwa hivyo, ukosefu wa usawa unakuwa 3n ge 1, kwa hivyo n le 3. Sasa, tunahitaji kupata mfano wa polynomial ya agizo la 3.x3 ya aina nyingi x3 - x2 - x 1 ina fomu iliyotolewa, na inabainisha kama x - 12 x 1, kwa hivyo mizizi yake yote ni halisi. Kwa hivyo, kiwango cha juu cha digrii ni 3. 