<prompt> Pata eneo lililofungwa na curve ya polar r 2sinθ kutoka θ 0 hadi θ pi.  <response>: Ili kupata eneo lililofungwa na curve ya polar, tunaweza kutumia formula:Eneo 12 r2 dθKatika kesi hii, r 2sinθ, kwa hivyo tunayo:Eneo 12 2sinθ2 dθ kutoka θ 0 hadi θ piSasa wacha turahisishe na tutathmini muunganisho:Eneo 12 4sin2θ dθ kutoka θ 0 hadi θ piTunaweza kutumia utambulisho wa pembe mbili kwa cosine kuandika upya sin2θ:dhambi2θ 1 - cos2θ2Kwa hivyo kiungo chetu kinakuwa:Eneo 12 41 - cos2θ2 dθ kutoka θ 0 hadi θ piRahisisha zaidi:Eneo 2 - 2cos2θ dθ kutoka θ 0 hadi θ piSasa unganisha kwa heshima na θ:Eneo 2θ - dhambi2θ kutoka θ 0 hadi θ piTathmini katika mipaka ya ujumuishaji:Eneo 2pi - dhambi2pi - 0 - dhambi0Kwa kuwa dhambi2pi dhambi0 0, tunayo:Eneo 2piKwa hivyo eneo lililofungwa na curve ya polar ni vitengo vya mraba 2π. 