<prompt> Acha w,x, y, na z, ziwe nambari halisi chanya. Pata thamani ya juu zaidi yafracwx xy yzw2 x2 y2 z2.  <response>: Tunataka kuthibitisha ukosefu wa usawa wa fomufracwx xy yzw2 x2 y2 z2 le k,au w2 x2 y2 z 2 ge frac1k wx xy yz. Mkakati wetu ni kugawanya w2 x2 y2 z2 katika misemo kadhaa, tumia AM-GM. kwa kila usemi, na upate mgawo wa wx xy yz.Kwa kuwa misemo ni linganifu kuhusiana na w na z, na linganifu kwa heshima na x na y, tunajaribu kugawa w2 x2 y2 z2 ndaniw2 ax2 1 - ax2 1 - ay2 ay2 z2.Kisha kwa AM-GM,anzaalignw2 ax2 ge 2 sqrtw2ax2 2wx sqrta, 1 - a x2 1 - ay2 ge 21 - axy, ay2 z2 ge 2 sqrtay2z2 2yz sqrta.endalignIli kupata kizidishio cha wx xy yz, tunataka mgawo wote wa wx,xy, na yz uwe sawa. Kwa hivyo, tunataka a ili2 sqrta 21 - a.Kisha sqrta 1 - a. Kuweka pande zote mbili, tunapata a 1 - a2 a 2 - 2a 1, hivyo a2 - 3a 1 0. Kwa fomula ya quadratic,a frac3 pm sqrt52.Kwa kuwa tunataka a kati ya 0 na 1, tunachukuaa frac3 - sqrt52.Kishaw2 x2 y2 z2 ge 21 - awx xy yz,aufracwx xy yzw2 x2 y2 z2 le frac121 - a frac1 sqrt5 - 1 frac1 sqrt54. Usawa hutokea wakati w x sqrta y sqrta z. Kwa hivyo , thamani ya juu zaidi ni frac1 sqrt54. 