<prompt> Pata nambari zote halisi k ambazo kuna nonzero, vekta ya 2-dimensional mathbfv kama hiyoanzapmatrix 1 8 2 1 endpmatrix mathbfv k mathbfv.Ingiza suluhu zote, zikitenganishwa na koma.  <response>: Acha mathbfv anzepmatrix x y mwishopmatrix. Kishaanzapmatrix 1 8 2 1 mwishopmatrix mathbfv anzapmatrix 1 8 2 1 mwishopmatrix anzapmatrix x y mwishopmatrix anzapmatrix x 8y 2x y mwishopmatrix,nak mathbfv k anzapmatrix x y mwishopmatrix anzapmatrix kx ky endpmatrix.Kwa hivyo, tunataka k, x, na y ili kuridhishaanzaalignx 8y kx, 2x y ky.endalignKutoka mlingano wa kwanza, k - 1 x 8y. Ikiwa x 0, basi mlingano huu unamaanisha y 0. Lakini vekta mathbfv ni nonzero, kwa hivyo x ni nonzero. Kutoka kwa mlinganyo wa pili, 2x k - 1 y. Vile vile, ikiwa y 0, basi mlingano huu unamaanisha x 0, kwa hivyo y ni nonzero. Pia tunaona kwamba k neq 1, kwa sababu ikiwa k 1, basi y 0, ambayo ina maana tena x 0.Kwa hivyo, tunaweza kuandikafracxy frac8k - 1 frack - 12.Kuzidisha, tunapata k - 12 16. Kisha k - 1 pm 4. Kwa hiyo, k 5 au k boxed-3.Ili kuhakikisha kuwa thamani hizi za k zinafanya kazi, tunapaswa kuangalia ikiwa vekta inayolingana mathbfv ipo. Kwa k 5, tunaweza kuchukua mathbfv beginpmatrix 2 1 endpmatrix, na kwa k -3, tunaweza kuchukua mathbfv anzapmatrix -2 1 endpmatrix, kwa hivyo thamani zote mbili za k zinawezekana. 