<prompt> Seti ya watu n hushiriki katika mashindano ya mpira wa vikapu ya video mtandaoni. Kila mtu anaweza kuwa mwanachama wa idadi yoyote ya timu 5-mchezaji, lakini hakuna timu mbili zinazoweza kuwa na wanachama sawa kabisa 5. Takwimu za tovuti zinaonyesha jambo la kushangaza: Wastani, juu ya vikundi vyote vidogo vya ukubwa wa 9 ya seti ya washiriki n, ya idadi ya timu kamili ambazo wanachama wake ni miongoni mwa watu hao 9 ni sawa na uwiano wa wastani, juu ya vikundi vyote vidogo vya ukubwa 8 ya seti ya washiriki n, ya idadi ya timu kamili ambazo wanachama wake ni miongoni mwa watu hao 8. Ni thamani ngapi n, 9leq nleq 2017, inaweza kuwa idadi ya washiriki?textbfA 477 qquad textbfB 482 qquad textbfC 487 qquad textbfD 557 qquad textbfE 562  <response>: Acha kuwe na timu T. Kwa kila timu, kuna n-5chagua vikundi 4 tofauti vya wachezaji 9 ikijumuisha timu kamili, kwa hivyo jumla ya timu-kundi la 9 niTn-5chagua 4.Kwa hivyo, thamani inayotarajiwa ya idadi ya timu kamili katika seti ya nasibu ya wachezaji 9 nifracTn-5chagua 4nchagua 9.Vile vile, thamani inayotarajiwa ya idadi ya timu kamili katika seti nasibu ya wachezaji 8 nifracTn-5chagua 3nchagua 8.Kwa hivyo hali hiyo ni sawa na kuwepo kwa nambari kamili T kama hiyofracTn-5chagua 4nchagua 9fracTn-5chagua 3nchoose 8 1.T2fracn-5!n-5!8!9!n-8!n-9!n!n!n-8!n-8! -9!3!4! 1T2 bignn-1n-2n-3n-4big2 frac3!4!8!9! T2 bignn-1n-2n-3n-4big2 frac1447!7!8cdot8 cdot9T2 bignn-1n-2n-3n-4big2 frac14cdot7!7! T fracnn-1n-2n-3n-425cdot32cdot5cdot7Kumbuka kuwa hii daima ni chini ya nchoose 5, ili mradi T ni muhimu, n inawezekana. Kwa hivyo, tunayo kwamba hii ni sawa na25cdot32cdot5cdot7bignn-1n-2n-3n-4.Ni dhahiri kwamba 5 hugawanya RHS, na 7 hiyo hufanya ikiwa nequiv 0,1,2,3,4mod 7. Pia, 32 huigawanya ikiwa nnotequiv 5,8mod 9. Mtu anaweza pia kughairi kwamba 25 inaigawanya katika 16 kati ya mabaki 32 yanayowezekana mod 32.Kwa kutumia nambari zote kutoka 2 hadi 2017, ikijumuisha, ni wazi kwamba kila mabaki ya mod 7,9,32 yanafikiwa kwa idadi sawa ya nyakati, kwa hivyo jumla ya idadi ya n ya kufanya kazi katika safu hiyo ni 5. cdot 7cdot 16 560. Hata hivyo, lazima tuondoe nambari ya inafanya kazi 2leq nleq 8, ambayo ni 3. Kwa hivyo, jibu ni 557. 