<prompt> Tafuta vekta ya kitengo mathbfv, iliyoko kwenye xz-plane, ambayo hufanya pembe ya 45circ na beginpmatrix 2 2 -1 endpmatrix , na pembe ya 60circ yenye beginpmatrix 0 1 - 1 endpmatrix.  <response>: Kwa kuwa mathbfv ni kivekta cha kitengo kilicho katika xz-plane, ni ya umbo beginpmatrix x 0 z endpmatrix, ambapo x 2 z2 1.Kwa kuwa inafanya pembe ya 45circ na beginpmatrix 2 2 -1 endpmatrix,fracanzapmatrix x 0 z mwishopmatrix cdot anzapmatrix 2 2 -1 mwishopmatrixleft anzapmatrix x 0 z mwishopmatrix kulia kushoto anzapmatrix 2 2 1 mwishopmatrix kulia cos 45circ frac1sqrt2.Kishafrac2x - z3 frac1sqrt2,hivyo 2x - z frac3sqrt2.Kwa kuwa mathbfv hutengeneza pembe ya 60circ na beginpmatrix 0 1 -1 endpmatrix,fracanzapmatrix x 0 z mwishopmatrix cdot anzapmatrix 0 1 -1 mwishopmatrixleft anzapmatrix x 0 z mwishopmatrix kulia kushoto anzapmatrix 0 1 -1 mwishopmatrix kulia cos 60circ frac12.Kishafrac-zsqrt2 frac12,hivyo z -fracsqrt22. Kisha tunaweza kutatua kwa x, kupata x fracsqrt22. Kwa hivyo, mathbfv beginpmatrix sqrt22 0 -sqrt22 mwishopmatrix. 