<prompt> Kwa msingi 10, nambari 2013 inaishia kwa tarakimu 3. Katika msingi 9, kwa upande mwingine, nambari sawa imeandikwa kama 2676_9 na kuishia kwa tarakimu 6. Je, uwakilishi wa b-msingi wa 2013 unaishia kwenye tarakimu 3 kwa thamani ngapi za b?  <response>: Ili kutatua shida hii, ninahitaji kujua inamaanisha nini kwa nambari kuishia kwa nambari fulani katika msingi tofauti. Ninajua kuwa katika msingi 10, tarakimu ya mwisho ya nambari huniambia ina ngapi, tarakimu ya pili hadi ya mwisho huniambia ni makumi ngapi, na kadhalika. Kwa msingi 9, tarakimu ya mwisho huniambia ni ngapi, tarakimu ya pili hadi ya mwisho huniambia ni ninini ngapi, na kadhalika. Kwa hivyo, kwa ujumla, tarakimu ya mwisho ya nambari katika msingi b huniambia ina vitengo ngapi vya b0 1. Hiyo inamaanisha kuwa nambari ya mwisho ya nambari katika msingi wowote ni sawa na salio ninapogawanya nambari hiyo kwa msingi. Kwa mfano, 2013 ikigawanywa na 9 inanipa mgawo wa 223 na salio la 6, ndiyo maana 2013 inaisha kwa 6 kwa msingi wa 9. Kwa hivyo, swali linaniuliza ni thamani ngapi za b ambazo 2013 ikigawanywa na b ina salio la 3. Hii ni sawa na kuuliza ni thamani ngapi za b ambazo 2013 - 3 ikigawanywa na b ina salio la 0. Kwa maneno mengine, ni thamani ngapi za b ni sababu za 2010? Ili kupata vipengele vya 2010, naweza kuainisha kama 2 mara 3 mara 5 mara 67. Kipengele chochote cha 2010 lazima kiwe bidhaa ya mchanganyiko wa mambo haya kuu. Kwa mfano, 6 ni kipengele cha 2010 kwa sababu ni 2 mara 3, na 335 ni kipengele cha 2010 kwa sababu ni 5 mara 67. Kuna 24 16 inawezekana michanganyiko ya sababu hizi kuu, kwa hivyo kuna 16 sababu za 2010. Walakini, sio zote ni maadili halali ya b. Msingi b lazima uwe mkubwa kuliko 3, kwa sababu vinginevyo 3 haingekuwa tarakimu halali katika msingi b. Kwa hivyo, sina budi kutojumuisha vipengele vya 2010 ambavyo ni chini ya au sawa na 3, ambavyo ni 1, 2, na 3. Hiyo inaniacha na 16 - 3 13 thamani zinazowezekana za b ambazo zinakidhi hali hiyo. 