<prompt> Tafuta thamani ya nambari ya k ambayo kwayofrac7x y frackx z frac11z - y.  <response>: Ninagundua kuwa hili ni tatizo linalohusisha uwiano wa sehemu, kwa hivyo ninaweza kujaribu kutumia baadhi ya sifa za sehemu na uwiano ili kurahisisha. Jambo moja ninaloweza kufanya ni kuzidisha kila jozi ya sehemu na kuona kama ninaweza kupata milinganyo ambayo inahusiana x, y, z, k. Kwa mfano, nikizidisha sehemu ya kwanza na ya pili, ninapata 7x z kx y. Ikiwa nitazidisha sehemu ya pili na ya tatu, nitapata kz - y 11x z. Nikizidisha sehemu ya kwanza na ya tatu, nitapata 7z - y 11x y. Sasa nina hesabu tatu na anuwai nne, kwa hivyo ninahitaji kutafuta njia ya kuondoa moja ya anuwai na kusuluhisha zingine. Ninagundua kuwa equation ya mwisho haihusishi k, kwa hivyo ninaweza kuitumia kuondoa moja ya anuwai zingine na kuchukua nafasi ya hesabu zingine. Kwa mfano, ninaweza kutatua y kulingana na x na z kwa kupanga upya mlinganyo wa mwisho kama y frac7z - 11x18. Kisha ninaweza kubadilisha usemi huu kwa y kwenye milinganyo ya kwanza na ya pili na kupata 7x z kleftx frac7z - 11x18right na kleft. z - frac7z - 11x18kulia 11x z. Milinganyo hii bado inaonekana ngumu, lakini ninaweza kurahisisha kwa kuzidisha pande zote mbili na 18 na kupanua mabano. Hii inanipa 126x z k18x 7z - 11x na k18z - 7z 11x 198x z. Kwa kurahisisha zaidi, ninapata 126x z k7x 7z na k11x 11z 198x z. Sasa ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa sababu za kawaida na kupata 18x z kx z na kx z 18x z. Hii inamaanisha kuwa k 18, kwa kuwa milinganyo yote miwili inalingana na thamani hii. Ili kuangalia jibu langu, naweza kuunganisha k 18 kwenye hesabu zozote za asili na kuona ikiwa ni kweli kwa maadili yoyote ya x, y, z. Kwa mfano, nikitumia mlingano wa kwanza, ninapata frac7x y frac18x z. Kuzidisha mtambuka, napata 7x 7z 18x 18y. Kutatua kwa y, napata y frac7z - 11x18, ambayo ni usemi uleule niliopata hapo awali. Hii inamaanisha kuwa mlinganyo wa kwanza ni kweli kwa thamani zozote za x na z mradi y imetolewa na usemi huu. Vile vile, ninaweza kuangalia milinganyo ya pili na ya tatu na nikaona kuwa ni kweli pia kwa maadili sawa ya x, y, z. Kwa hivyo, nimethibitisha kuwa k 18 ndio jibu sahihi. 