<prompt> Kuhesabu jumlasum_i 0infty sum_j 0infty frac1i j 1i j 2i j 3 i j 4i j 5i j 6i j 7.  <response>: Hii ni jumla isiyo na kikomo maradufu, ambayo inamaanisha ninahitaji kujumlisha jozi zote zinazowezekana za nambari kamili zisizo hasi i, j. Muhtasari ni sehemu ambayo inategemea i j, kwa hivyo inaweza kusaidia kuiandika upya kulingana na kigezo kipya k i j. Kisha jumla ya mara mbili inakuwa jumla ya k, ambapo k inaanzia 0 hadi infinity, na kwa kila k iliyowekwa, ninahitaji kuhesabu ni jozi ngapi i, j kutosheleza i j k. Ninaweza kuona kuwa kuna k 1 jozi kama hizo, ambazo ni 0, k, 1, k - 1, 2, k - 2, ..., k, 0. Kwa hivyo ninaweza kuandika tena jumla mbili kama jumla moja juu ya k kama ifuatavyo: sum_i 0infty sum_j 0infty frac1i j 1 i j 2i j 3i j 4i j 5i j 6i j 7 sum_k 0infty frack 1k 1k 2k 3k 4k 5k 6k 7. Sasa ninaweza kurahisisha sehemu hiyo kwa kughairi kipengele cha kawaida cha k 1 katika nambari na denominata, na kupata: sum_k 0infty frack 1k 1k 2k 3k 4k 5k 6k 7 sum_k 0infty frac1 k 2k 3k 4k 5k 6k 7. Hii inaonekana kama mfululizo wa darubini, ambapo kila istilahi ni tofauti ya mbili mfululizo. masharti ya mfululizo mwingine. Ili kuona hili kwa uwazi zaidi, ninaweza kuandika sehemu kama: frac1k 2k 3k 4k 5k 6k 7 frac15 kushotofrac1k 2k 3k 4k 5k 6 - frac 1k 3k 4k 5k 6k 7kulia. Hii ina maana kwamba jumla ni sawa na: sum_k 0infty frac1k 2k 3k 4k 5k 6k 7 frac1 5 sum_k 0infty kushotofrac1k 2k 3k 4k 5k 6 - frac 1k 3k 4k 5k 6k 7kulia frac15 kushotofrac1 0 20 30 40 50 6 - lim_k to infty frac1k 3k 4k 5k 6k 7kulia. Neno la kikomo huenda hadi sifuri jinsi k inakwenda kwa infinity, kwa kuwa kipunguzo hukua kwa kasi zaidi kuliko nambari. Kwa hivyo jumla ni sawa na: frac15 leftfrac10 20 30 40 50 6 - 0kulia frac15 cdot frac123456 frac15 cdot frac1720 frac13600. 