<prompt> Je! ni jumla gani ya thamani kamili n ambayo binom20nbinom2010binom2111 ni gani?  <response>: Mgawo wa binomial binomnk unawakilisha idadi ya njia za kuchagua vitu k kati ya n tofauti, bila kuzingatia utaratibu. Ninaweza kutumia baadhi ya mali ya mgawo wa binomial kurahisisha equation iliyotolewa. Sifa moja ni ile binomnkbinomnn-k, ambayo ina maana kwamba kuchagua vitu k kati ya n ni sawa na kuacha vitu n-k kati ya n. . Kwa kutumia kipengele hiki, ninaweza kuandika upya binom2010 kama binom2020-10binom2010. Sifa nyingine ni kwamba binomn1kbinomnkbinomnk-1, ambayo ina maana kwamba kuchagua vitu k kati ya n 1 ni sawa na kuchagua vitu k kati ya n, au kuchagua vitu k-1 kati ya n na kitu kimoja zaidi kati ya kilichosalia. Kwa kutumia kipengele hiki, ninaweza kuandika upya binom2111 kama binom2011binom2010. Kwa hivyo mlinganyo unakuwa binom20nbinom2010binom2011binom2010. Nikitoa binom2010 kutoka pande zote mbili, ninapata binom20nbinom2011. Sasa ninahitaji kupata nambari zote kamili za n ambazo hufanya equation hii kuwa kweli. Thamani moja dhahiri ni n11, kwani binom2011binom2011. Thamani nyingine ni n20-119, kwani binom209binom2020-9binom2011. Je, kuna maadili mengine yoyote? Naam, najua kuwa binom20n inaongezeka kwa n0,1,2,dots,10 na inapungua kwa n11,12,13,dots,20, kwa hivyo inaweza tu kuwa sawa na binom2011 kwa n9 au n11. Kwa hivyo, jumla ya thamani zote kamili za n zinazokidhi mlinganyo ni 91120. 