<prompt> Pata nambari zote halisi p ilix4 2px3 x2 2px 1 0ina angalau mizizi hasi miwili tofauti.  <response>: Tunaona kuwa x 0 haiwezi kuwa mzizi wa polynomial. Kugawanya pande zote mbili kwa x2, tunapatax2 2px 1 frac2px frac1x2 0.Hebu y x frac1x. Kishay2 x2 2 frac1x2,hivyoy2 - 2 2py 1 0,au y2 2py - 1 0. Kwa hivyo,p frac1 - y22y.Ikiwa x ni hasi, basi kwa AM-GM,y x frac1x -left -x frac1-x kulia le -2 sqrt-x cdot frac 1-x -2.Kishafrac1 - y22y - frac34 frac-2y2 - 3y 24y -fracy 2 Miaka 2 - 14y ge 0.Kwa hivyo,p frac1 - y22y ge frac34.Kama y -2, basi x frac1x -2. Kisha x2 2x 1 x 12 0, hivyo mzizi hasi pekee ni -1, na hali katika tatizo haijafikiwa. Kwa hivyo, y -2, na p frac34.Kwa upande mwingine, chukulia p frac34. Kisha kwa fomula ya quadratic inayotumika kwa y2 2py - 1 0,y frac-2p pm sqrt4p2 42 -p pm sqrtp2 1.Tangu p frac3 4,anzaalign-p - sqrtp2 1 -p sqrtp2 1 -left frac34 sqrtleft frac34 kulia2 1 kulia -2.endalignKwa maneno mengine, mojawapo ya thamani zinazowezekana za y ni chini ya -2.Kisha kutoka y x frac1x,x2 - yx 1 0.Kwa fomula ya quadratic,x fracy pm sqrty2 - 42.Kwa thamani ya y ambayo ni chini ya -2, mizizi yote miwili ni halisi. Zaidi ya hayo, bidhaa zao ni 1, hivyo wote wawili ni chanya au wote hasi. Jumla ya mizizi ni y, ambayo ni hasi, kwa hivyo mizizi yote ni hasi, na kwa kuwa y2 - 4 neq 0, ni tofauti.Kwa hivyo, thamani ya p ambayo inafanya kazi nip katika kushoto frac34, infty kulia. 