<prompt> Acha A0,1, B2,5,C5,2, na D7,0. Kielelezo kinaundwa kwa kuunganisha A. hadi B, B hadi C, C hadi D, na D hadi A. Mzunguko wa ABCD unaweza kuonyeshwa katika muundo asqrt2b sqrt5 yenye nambari kamili a na b. Je, jumla ya a na b ni kiasi gani?  <response>: Nahitaji kupata urefu wa kila upande wa ABCD kisha niuongeze. Ili kupata urefu wa upande, naweza kutumia fomula ya umbali, ambayo inategemea nadharia ya Pythagorean. Njia ya umbali inasema kwamba ikiwa nina alama mbili x_1,y_1 na x_2,y_2, umbali kati yao ni sqrtx_2-x_12y_2-y_12 . Kwa hivyo, kwa mfano, ili kupata urefu wa AB, naweza kuchomeka viwianishi vya A na B kwenye fomula ya umbali: sqrt2-025 -12sqrt416sqrt20. Ninaweza kurahisisha sqrt20 kwa kutambua kwamba ni sawa na sqrt4sqrt5 2sqrt5. Vile vile, ninaweza kupata urefu wa pande zingine za ABCD kwa kutumia fomula ya umbali na kurahisisha radicals. Kwa BC, napata sqrt5-222-52sqrt99sqrt18sqrt9sqrt 23sqrt2. Kwa CD, napata sqrt7-520-22sqrt44sqrt 8sqrt4sqrt22sqrt2. Kwa DA, napata sqrt0-721-02 sqrt491sqrt50sqrt25sqrt25sqrt2. Sasa nina urefu wa pande zote nne za ABCD: 2sqrt 5, 3sqrt2, 2sqrt2, na 5sqrt2. Ili kupata eneo, ninahitaji tu kuziongeza: 2sqrt5 3sqrt22sqrt25sqrt2. Ninaweza kupanga masharti kwa itikadi kali sawa na kuchanganya vipatanishi vyake: 2sqrt5325 sqrt2. Hii hurahisisha 2sqrt510sqrt2. Kwa hivyo, eneo la ABCD ni 2sqrt510sqrt2. The tatizo linaniuliza nieleze eneo katika fomu asqrt2bsqrt5, ambapo a na b ni nambari kamili. Nikilinganisha fomu hii na jibu langu, naweza kuona kwamba a10 na b2. Jumla ya a na b ni 10212. 