<prompt> Nambari kamili ni ipi chini ya log_2 frac21 log_2 frac32 cdots log_2 frac20092008 log_2 frac2010 2009?  <response>: Ninatambua kuwa hii ni jumla ya logariti zilizo na msingi sawa, kwa hivyo ninaweza kutumia mali ambayo log_b a log_b c log_b ac kurahisisha. Kwa hakika, ninaweza kutumia kipengele hiki mara kwa mara ili kukunja jumla katika logarithmu moja: log_2 frac21 log_2 frac32 cdots log_2 frac2009 2008 log_2 frac20102009 log_2 frac2 cdot 3 cdot cdots cdot 2009 cdot 20101 cdot 2 cdot cdots cdot 2008 cdot 2009. Nambari na denominata ya sehemu ndani ya logariti ina mambo mengi ya kawaida, kwa hivyo ninaweza kuyaghairi ili kurahisisha zaidi: log_2 frac2 cdot 3 cdot cdots cdot 2009 cdot 2010 1 cdot 2 cdot cdots cdot 2008 cdot 2009 log_2 frac20101. Hii inamaanisha kuwa jumla ya asili ni sawa na log_2 2010, ambayo ni kielelezo ninachohitaji kuongeza 2 hadi ili kupata 2010. Ninajua kuwa 210 1024, kwa hivyo 211 2048, ambayo ni kubwa kidogo kuliko 2010. Kwa hivyo, log_2 2010 lazima iwe chini kidogo ya 11, na nambari kamili chini ya 10. 