<prompt> Tuseme f ni chaguo la kukokotoa la uchanganuzi lililofafanuliwa kwenye z in C : IMz 0, nusu ya juu ya ndege. Kwa kuzingatia maelezo kwamba ffz z na fz 1z2 kwa kila z. Tafuta usemi wa jumla unaowezekana wa fz. F2 ni nini?Nadharia Husika: Nadharia ya Cauchy-Riemann ni tokeo la msingi katika uchanganuzi changamano ambao hutoa seti ya masharti muhimu na ya kutosha ili kipengele cha kukokotoa kiwe holomorphic yaani, changamano-tofauti katika kikoa. Vitendaji vya holomorphic ni vitendaji changamano ambavyo vinaweza kutofautishwa katika kila nukta katika kikoa chao, na vina jukumu kuu katika uchanganuzi changamano.Nadharia hiyo imepewa jina la Augustin-Louis Cauchy na Bernhard Riemann, ambao walitengeneza kwa kujitegemea masharti ambayo sasa yanajulikana kama milinganyo ya Cauchy-Riemann. Milinganyo hii inahusiana na baadhi ya sehemu za sehemu halisi na za kuwaziwa za kazi changamano.Acha fz iwe kazi changamano iliyofafanuliwa katika kikoa D, ambapo z x iy ni kigezo changamano chenye nambari za x na y, na i ni kitengo cha kuwazia yaani, i2 -1. Tunaweza kuandika fz kama:fz ux, y ivx, y,ambapo ux, y na vx, y ni vitendaji vya thamani halisi vinavyowakilisha sehemu halisi na za kuwaziwa za fz, mtawalia.Milinganyo ya Cauchy-Riemann imetolewa na:1. ux vy2. uy -vxMilinganyo hii inasema kwamba viasili vya sehemu vya u na v kuhusiana na x na y lazima vikidhi mahusiano yaliyo hapo juu ili fz iwe holomorphic katika D.Nadharia ya Cauchy-Riemann inaweza kusemwa kama ifuatavyo:Chaguo za kukokotoa fz ux, y ivx, y ni holomorphic katika kikoa D ikiwa tu masharti yafuatayo yatatimizwa:1. Viingilio vya sehemu ux, uy, vx, na vy vipo na vinaendelea katika D.2. Milinganyo ya Cauchy-Riemann inashikilia katika D.Kwa maneno mengine, ikiwa kipengele cha kukokotoa changamani kinakidhi milinganyo ya Cauchy-Riemann na viambajengo vyake vya sehemu vinaendelea, basi kazi hiyo ni ya holomorphic katika kikoa chake. Kinyume chake, ikiwa chaguo za kukokotoa ni za holomorphic, lazima itimize milinganyo ya Cauchy-Riemann.  <response>: -0.5 