<prompt> Bainisha n!! kuwa nn-2n-4cdots 3cdot 1 kwa n odd na nn-2n-4cdots 4cdot 2 kwa n hata. Wakati sum_i12009 frac2i-1!!2i!! inaonyeshwa kama sehemu katika maneno ya chini kabisa, kipunguzo chake ni 2ab na b isiyo ya kawaida. Tafuta dfracab10.  <response>: Kwanza, kumbuka kuwa 2n!! 2n cdot n!, na hiyo 2n!! cdot 2n-1!! n 2!.Sasa tunaweza kuchukua sehemu ya dfrac2i-1!!2i!! na kuzidisha nambari na nambari kwa 2i!!. Tunapata kwamba sehemu hii ni sawa na dfrac2i!2i!!2 dfrac2i!22ii!2.Sasa tunaweza kutambua kwamba dfrac2i!i!2 ni 2i choose i, kwa hivyo sehemu hii ni dfrac2ichoose i 22i, na jumla yetu inageuka kuwa Ssum_i12009 dfrac2ichoose i22i.Acha c sum_i12009 2ichagua i cdot 22cdot 2009 - 2i. Ni wazi c ni nambari kamili, na S inaweza kuandikwa kama dfracc22cdot 2009. Kwa hivyo ikiwa S imeonyeshwa kama sehemu katika maneno ya chini kabisa, kiashiria chake kitakuwa cha fomu 2a kwa aleq 2cdot 2009.Kwa maneno mengine, tulionyesha kwamba b1. Ili kubainisha a, tunahitaji kubainisha nguvu kubwa zaidi ya 2 inayogawanya c.Acha pi iwe x kubwa zaidi kiasi kwamba 2x ambayo inagawanya i.Sasa tunaweza kurudi kwenye uchunguzi kwamba 2i! 2i!! cdot 2i-1!! 2i cdot i! cdot 2i-1!!. Pamoja na ukweli ulio wazi kwamba 2i-1!! ni isiyo ya kawaida, tunapata hiyo p2i!pi!i.Inafuata mara moja kwamba pleft 2ichoose i kulia p2i! - 2pi! i - pi!, na hivyo pleft 2ichagua i cdot 22cdot 2009 - 2i kulia 2cdot 2009 - i - pi!.Ni wazi, kwa iin1,2,dots,2009 fi2cdot 2009 - i - pi! is ni chaguo la kukokotoa linalopungua kabisa. Kwa hivyo pc pleft 2cdot 2009chagua 2009 kulia 2009 - p2009!.Sasa tunaweza kukokotoa p2009! sum_k1infty leftfloor dfrac20092k rightfloor 1004 502 cdots 3 1 2001. Kwa hivyo pc2009-20018.Na kwa hivyo tuna a2cdot 2009 - pc 4010, na jibu ni dfracab10 dfrac4010cdot 110 401. 