<prompt> Fikiria mfuatano wa n 7s, 7777cdots77, ambamo alama za huwekwa ili kutoa usemi wa hesabu. Kwa mfano, 77777777875 inaweza kupatikana kutoka 7 nane kwa njia hii. Je, ni kwa thamani ngapi za n inawezekana kuweka ishara ili usemi unaosababishwa uwe na thamani 7000?  <response>: Tuseme tunahitaji a7s, b 77s, na c777s ili kujumlisha hadi 7000 a,b,c ge 0. Kisha 7a 77b 777c 7000, au kugawanya kwa 7, a 11b 111c 1000. Kisha swali linauliza idadi ya maadili ya n a 2b 3c.Kudhibiti mlingano wetu, tuna a 2b 3c n 1000 - 9b 12c Longrightarrow 0 le 9b12c 1000. Kwa hivyo idadi ya thamani zinazowezekana za n ni idadi ya vizidishio vya 9 kutoka 0 hadi 1000, au 112.Hata hivyo, tulisahau kuzingatia sharti kwamba a ge 0. Kwa suluhisho lililowekwa b,c: n1000-9b12c, inawezekana a n-2b-3c 0 kwa mfano, tuseme tulihesabu suluhisho seti b,c 1,9 Longrightarrow n 19, lakini tukibadilisha katika mlinganyo wetu wa asili tunapata kuwa a -10, kwa hivyo ni batili. Hasa, hii inabatilisha thamani za n ambazo usemi wake pekee katika masharti ya b,c huangukia katika ukosefu wa usawa 9b 108c 1000 11b 111c.Kwa 1000 - n 9k le 97 cdot 12 11 855, tunaweza kueleza k kulingana na b,c: n equiv b pmod12, 0 le b le 11 na c fracn-b12 le 7 kwa maneno mengine, tunachukua thamani kubwa zaidi ya c, na kisha kujaza iliyobaki kwa kuongeza b Kisha 11b 111c le 855 2b 3c le 855 211 37 898 1000, hivyo maadili haya hufanya kazi.Vile vile, kwa 855 le 9k le 98 cdot 12 10 954, tunaweza kuruhusu b,c k-8 cdot 12,8, na ukosefu wa usawa 11b 111c le 954 2b 3c le 954 210 38 998 1000. Hata hivyo, kwa 9k ge 963 Longrightarrow n le 37, hatuwezi tena kutumia mbinu hii.Kwa hivyo sasa tunapaswa kuchunguza nambari kwa msingi wa mtu binafsi. Kwa 9k 972, b,c 0,9 hufanya kazi. Kwa 9k 963, 981, 990, 999 Longrightarrow n 37, 19, 10, 1, tunapata kwa kutumia hiyo mtawalia, b 11,9,10,11 12p kwa nambari kamili p kwamba wao sio njia ya kukidhi ukosefu wa usawa 11b 111c 1000.Hivyo, jibu ni 112 - 4 108. 