<prompt> Acha A iwe ni n x n tumbo. Thibitisha kwamba ikiwa A2 A, basi A inaweza kuangaziwa.  <response>: Ili kudhibitisha kuwa A inaweza kuangaziwa, tunahitaji kuonyesha kuwa kuna matriki ya P inayoweza kubadilika ambayo P-1AP ni matrix ya mshazari.Kwa kuwa A2 A, inafuata kwamba AA - I 0, ambapo mimi ndio matrix ya kitambulisho. Hii ina maana kwamba A na A - I ni matrices wakati huo huo umoja, yaani, wanashiriki eigenvectors ya kawaida.Acha λ iwe eigenvalue ya A iliyo na eigenvector x inayolingana, kwa hivyo Ax λx. Kisha,A2x AAx Aλx λAx λλx λ2xLakini pia tunajua kwamba A2 A, hivyoAx A2x λ2xKwa hivyo, λλ - 1x 0. Kwa kuwa x ni eigenvector, lazima iwe nonzero, ambayo ina maana kwamba λλ - 1 0. Kwa hiyo, λ inaweza tu kuchukua maadili mawili: 0 au 1.Sasa hebu tuzingatie nafasi za eigen za maadili haya:E_0 x : Ax 0 na E_1 x : Ax xKumbuka kuwa E_0 na E_1 zote hazina tupu kwani A ni umoja na kwa hivyo ina angalau eigenvalue sifuri moja. Pia, kumbuka kuwa ikiwa x E_0 E_1, basi Ax 0 na Ax x, ambayo inamaanisha x 0. Kwa hivyo, E_0 E_1 0, kumaanisha kuwa nafasi za eigen hazina vekta za kawaida za nonzero.Tunadai kwamba vekta yoyote ya x katika Rn inaweza kuandikwa kama jumla ya vekta kutoka E_0 na E_1. Ili kuona hii, acha x iwe vekta yoyote katika Rn, na acha y Ax. Kisha, x - y E_0 kwa sababuAx - y Ax - Ay Shoka - AAx Shoka - A2x 0Kwa kuwa x - y E_0 na y E_1 kwa sababu Ay A2y y, tumeelezea x kama jumla ya vekta kutoka E_0 na E_1.Sasa hebu tuunde msingi wa Rn kwa kuchukua muungano wa besi za E_0 na E_1. Kwa kuwa nafasi hizi za eigen hazina vivekta vya kawaida vya nonzero, muungano huu utakuwa huru kimstari na hivyo kuunda msingi wa Rn. Acha P iwe matrix ambayo nguzo zake zimeundwa kwa msingi huu. Kisha,P-1AP Dambapo D ni matriki ya mlalo yenye eigenvalues za A kwenye ulalo wake ama 0 au 1. Hii inaonyesha kwamba A inaweza diagonalizable. 