<prompt> Ikizingatiwa kuwa alpha na beta ndio mizizi ya x2 - 2x - 1 0, pata 5 alpha4 12 beta3.  <response>: Ninagundua kuwa equation x2 - 2x - 1 0 ni quadratic, kwa hivyo ninaweza kutumia fomula ya quadratic kupata alpha na beta. Formula ya quadratic inasema kwamba ikiwa ax2 bx c 0, kisha mizizi ni x frac-b pm sqrtb2 - 4ac2a. Katika kesi hii, a 1, b -2, na c -1, kwa hivyo mizizi ni x frac2 pm sqrt4 42 frac2 pm 2sqrt22 1 pm sqrt2. Hiyo ina maana alpha 1 sqrt2 na beta 1 - sqrt2. Sasa ninahitaji kupata 5 alpha4 12 beta3. Hii inaonekana kama hesabu nyingi, lakini labda kuna njia ya kuirahisisha. Ninagundua kuwa alpha na beta zote ni za 1 pm sqrt2, kwa hivyo labda ninaweza kutumia vitambulisho vya aljebra kunisaidia. Kwa mfano, najua kuwa 1 sqrt22 1 2sqrt2 2 3 2sqrt2 na 1 - sqrt2 2 1 - 2sqrt2 2 3 - 2sqrt2. Pia najua kwamba a ba - b a2 - b2, hivyo 3 2sqrt23 - 2sqrt2 9 - 8 1. Labda naweza kutumia vitambulisho hivi kupata alpha4 na beta3 kwa urahisi zaidi. Acha nijaribu kutafuta alpha4 kwanza. Ninaweza kuandika alpha4 alpha22 3 2sqrt22. Ili mraba huu, ninaweza kutumia fomula a b2 a2 2ab b2, hivyo 3 2sqrt22 9 12sqrt2 8 17 12sqrt2. Hiyo ina maana alpha4 17 12sqrt2. Kisha, acha nijaribu kutafuta beta3. Ninaweza kuandika beta3 beta cdot beta2 1 - sqrt23 - 2sqrt2. Ili kuzidisha hii, ninaweza kutumia mali ya kusambaza, kwa hivyo beta3 3 - 2sqrt2 - 3sqrt2 4 7 - 5sqrt2. Hiyo ina maana beta3 7 - 5sqrt2. Sasa nina alpha4 na beta3, hivyo Ninaweza kuzichomeka kwenye usemi 5 alpha4 12 beta3. Napata 5 alpha4 12 beta3 517 12sqrt2 127 - 5sqrt2. Ili kurahisisha hili, ninaweza kutumia kipengele cha kusambaza tena na kuchanganya maneno kama hayo, kwa hivyo 5 alpha4 12 beta3 85 60sqrt2 84 - 60 sqrt2 169. 