<prompt> Kumbuka kwamba nambari kamili d inasemekana kuwa kigawanyo cha nambari kamili a ikiwa ad pia ni nambari kamili. Je, ni nambari ngapi za a kati ya -200 na -1 zikijumlishwa ni bidhaa ya vigawanyiko vya a hasi?  <response>: Bidhaa ya vigawanyiko vya a ni hasi ikiwa na tu ikiwa kuna idadi isiyo ya kawaida ya vigawanyiko hasi vya a. Kwa hivyo ninataka kuhesabu nambari kamili a ambazo zina idadi isiyo ya kawaida ya vigawanyiko hasi. Kigawanyiko hasi cha a ni hasi tu ya kigawanyaji chanya cha -a. Kwa hivyo ninaweza kuhesabu kwa usawa nambari kamili -a ambazo zina idadi isiyo ya kawaida ya vigawanyiko chanya. Lakini nitajuaje idadi kamili inayo vigawanyiko chanya? Nakumbuka kuwa idadi ya vigawanyiko chanya vya nambari kamili inategemea uainishaji wake mkuu. Iwapo -a ina uainishaji mkuu wa fomu p_1e_1 p_2e_2 cdots p_ke_k, ambapo p_i ni msingi tofauti na e_i ni vielelezo vyema, basi nambari ya vigawanyo chanya vya -a ni e_1 1e_2 1 cdots e_k 1. Hii ni kwa sababu kila kigawanyo kinalingana na chaguo la kipeo kwa kila kipengele kikuu, na kipeo kinaweza kuanzia 0 hadi e_i. Kwa mfano, ikiwa -a 23 32, basi idadi ya vigawanyiko vyema vya -a ni 3 12 1 12. Kwa hivyo, nambari hii ni isiyo ya kawaida lini? Kweli, bidhaa ya nambari kadhaa ni isiyo ya kawaida ikiwa na tu ikiwa kila sababu ni isiyo ya kawaida. Kwa hivyo, idadi ya vigawanyo chanya vya -a ni isiyo ya kawaida ikiwa na ikiwa tu kila e_i 1 ni isiyo ya kawaida. Hiyo ina maana kwamba kila e_i lazima iwe sawa. Kwa hivyo, -a lazima iwe mraba kamili, kwa sababu miraba kamili pekee ndiyo iliyo na idadi sawa ya vipengele muhimu. Kwa hivyo, ninaweza kuhesabu idadi ya miraba kamili kati ya 1 na 200, na hiyo itanipa jibu. Mraba mdogo kabisa kamili katika safu hiyo ni 1, na kubwa zaidi ni 196. Mizizi ya mraba ya nambari hizi ni 1 na 14, mtawalia. Kwa hivyo, idadi ya miraba kamili katika safu hiyo ni 14, kwa sababu kuna 14 kamili kati ya 1 na 14. Kwa hivyo, jibu ni 14. 