<prompt> Muda wa kwanza wa mlolongo wa kijiometri ni 729, na muda wa 7 ni 64. Ni nini chanya, thamani halisi kwa muda wa 5?  <response>: Mfuatano wa kijiometri ni mfuatano wa nambari ambapo kila neno linapatikana kwa kuzidisha neno la awali kwa uwiano wa mara kwa mara. Wacha tuite uwiano huu r. Kisha, neno la jumla la mfuatano wa kijiometri ni a_n a_1 rn-1, ambapo a_1 ni neno la kwanza na a_n ni neno la n-th. Katika tatizo hili, tumepewa kwamba a_1 729 na a_7 64. Tunaweza kutumia thamani hizi kupata r kwa kuzichomeka kwenye fomula ya jumla: 64 729 r7-1. Kurahisisha, tunapata r6 64729. Kuchukua mzizi wa sita wa pande zote mbili, tunapata r 64729 16. Hii ni nambari chanya, halisi, lakini si nzuri sana kufanya kazi nayo. Tunaweza kurahisisha kwa kutambua kwamba zote 64 na 729 ni cubes kamili: 64 43 na 729 93. Kwa hivyo, r 49316 4936 4912 sqrt49 . Hii ni bora zaidi: r ni mzizi wa mraba wa 49, au 23. Sasa kwa kuwa tuna r, tunaweza kupata muhula wa 5 wa mlolongo kwa kuichomeka kwenye fomula ya jumla: a_5 a_1 r5-1 729 234. Kurahisisha, tunapata a_5 729 1681 144. 