<prompt> Unaweza kunisaidia kuthibitisha nukuu ya Big O katika LaTeX? Ikitolewa Tn15n3n24 inathibitisha kwamba TnOn3. Ningependa thibitisho rasmi la utangulizi ambalo hutumia thamani halali ya c na n_0.  <response>: Hakika, hapa kuna dhibitisho rasmi la kuonyesha kuwa TnOn3 kwa kutumia nukuu ya Big O:Acha c 15 na n_0 1. Kisha, kwa n yote ge n_0 tunayo:Tn 15n3 n2 4 le 15n3 n3 n3 31n3.Kwa hivyo, tuna Tn le 31n3 kwa n yote ge n_0, na inafuata kwamba Tn On3.Hivi ndivyo uthibitisho hapo juu ungeonekana katika LaTeX:Acha c 15 na n_0 1. Kisha, kwa n yote ge n_0, tunayo:Tn 15n3 n2 4 le 15n3 n3 n3 31n3.Kwa hivyo, tuna Tn le 31n3 kwa n yote ge n_0, na inafuata kwamba Tn On3. 