<prompt> Hesabu jumla ya mfululizo wa kijiometri -1 -3-9-27 -81-243-729.  <response>: Huu ni mfululizo wa kijiometri, ambayo ina maana kwamba kila neno linapatikana kwa kuzidisha muda uliopita kwa uwiano wa mara kwa mara. Ninaweza kupata uwiano kwa kugawa muda wowote na muhula uliopita. Kwa mfano, -3 div -1 3, au -9 div -3 3. Kwa hivyo uwiano ni 3, na muhula wa kwanza ni -1. Ili kupata jumla ya mfululizo wa kijiometri, ninaweza kutumia fomula S_n a_1 frac1-rn1-r, ambapo S_n ni jumla ya masharti n ya kwanza, a_1 ni muhula wa kwanza, na r ni uwiano. Katika kesi hii, ninahitaji kupata n, idadi ya maneno katika mfululizo. Ninaweza kuzihesabu, au naweza kugundua kuwa muhula wa mwisho ni -136 -729, ambayo ina maana kwamba n7. Kwa hivyo, nikichomeka thamani, ninapata S_7 -1 frac1-371-3. Ninaweza kurahisisha usemi huu kwa kutathmini nguvu na sehemu. Ninapata S_7 -1 frac1-2187-2 -1 frac-2186-2 -11093 -1093. 