<prompt> Acha theta iwe pembe kiasi kwamba sin 2 theta frac13. Kokotoa sin6 theta cos6 theta.  <response>: Tatizo hili linahusisha baadhi ya utambulisho wa trigonometriki na upotoshaji wa aljebra. Nakumbuka kwamba sin 2 theta 2 sin theta cos theta, ili niweze kutumia hiyo kupata sin theta cos theta. Kugawanya pande zote mbili kwa 2, napata sin theta cos theta frac16. kupata sin6 theta cos6 theta, Ninaweza kujaribu kutumia kitambulisho sin2 theta cos2 theta 1. Nikiweka mchemraba pande zote mbili ya utambulisho huu, napata sin6 theta 3 sin4 theta cos2 theta 3 sin2 theta cos4 theta cos6 theta 1 . Ninaona kuwa usemi ninaotaka kupata ni masharti ya kwanza na ya mwisho ya upanuzi huu, kwa hivyo ninaweza kujaribu kuyatenga kwa kutoa maneno ya kati kutoka pande zote mbili. Napata sin6 theta cos6 theta 1 - 3 sin4 theta cos2 theta - 3 sin2 theta cos4 theta. naweza tambua sin2 theta cos2 theta kutoka kwa maneno ya kati, na utumie kitambulisho sin2 theta cos2 theta 1 tena ili kurahisisha. Napata sin6 theta cos6 theta 1 - 3 sin2 theta cos2 theta sin2 theta cos2 theta. Kubadilisha 1 kwa sin2 theta cos2 theta, napata sin6 theta cos6 theta 1 - 3 sin2 theta cos2 theta . Sasa ninaweza kutumia thamani ya sin theta cos theta ambayo nimepata hapo awali, na kuiweka mraba. Napata sin6 theta cos6 theta 1 - 3 frac162. Kwa kurahisisha sehemu, ninapata sin6 theta cos 6 theta 1 - frac112. Kutoa, napata sin6 theta cos6 theta frac1112. 