<prompt> Acha a, b, c, d ziwe nambari halisi zisizo hasi kama kwamba a b c d 1. Pata thamani ya juu zaidi yaa2 b2 c2 d2.  <response>: Ninagundua kuwa shida hii inajumuisha kupata dhamana ya juu zaidi ya usemi wa quadratic chini ya kizuizi cha mstari. Hii inanikumbusha mbinu inayoitwa vizidishi vya Lagrange, ambayo inaweza kutumika kupata ukomo wa kazi chini ya kizuizi. Ili kutumia mbinu hii, ninahitaji kufafanua chaguo la kukokotoa fa,b,c,d ambalo ninataka kuongeza, na chaguo la kukokotoa ga,b,c,d ambalo linawakilisha kizuizi. Katika hali hii, naweza kuruhusu fa,b,c,d a2 b2 c2 d2 na ga,b,c,d a b c d - 1. Kisha, ninahitaji kupata thamani za a, b, c, d, na lambda ya mara kwa mara ambayo inakidhi mfumo wa milinganyo.nabla f lambda nabla g, quad g 0. Relidenti ya f ni vekta ya viasili vya sehemu 2a, 2b, 2c, 2d, na gradient ya g ni vekta ya mara kwa mara 1,1,1,1. Kwa hivyo, mfumo wa milinganyo unakuwaanzakesi 2a lambda 2b lambda 2c lambda 2d lambda a b c d 1. mwishokesi Ninaona kwamba mfumo huu unamaanisha kuwa a b c d lambda2. Kubadilisha hii katika mlinganyo wa mwisho, napata lambda 12. Kwa hivyo, jambo muhimu pekee linalowezekana ni a, b,c,d 14, 14, 14, 14. Ili kuangalia ikiwa hiki ni cha juu au cha chini, ninaweza kutumia jaribio la pili la derivative. Matrix ya Hessian ya f ni matrix ya derivatives ya pili ya sehemu, ambayo katika kesi hii ni 2I, ambapo I ndio matrix ya utambulisho. Matrix ya Hessian ni chanya dhahiri, ambayo inamaanisha kuwa f ni laini na sehemu muhimu ni ya chini. Kwa hivyo, thamani ya chini ya f ni f14, 14, 14, 14 4 cdot 142 14. Tangu f inapakana na 1, thamani ya juu zaidi ya f lazima iwe 1, na inafikiwa wakati mojawapo ya vigeu hivyo ni 1 na iliyosalia ni 0. 