<prompt> Msururu wa nambari za pembetatu una safu mlalo ya kwanza inayojumuisha nambari kamili zisizo za kawaida 1,3,5,ldot,99 katika mpangilio unaoongezeka. Kila safu chini ya ya kwanza ina ingizo moja chache kuliko safu iliyo juu yake, na safu ya chini ina ingizo moja. Kila ingizo katika safu mlalo yoyote baada ya safu ya juu ni sawa na jumla ya maingizo mawili juu yake kwenye safu iliyo juu yake. Je, ni maingizo mangapi katika safu ambayo yana nyongeza ya 67?  <response>: Acha nambari ya kth katika safumlalo ya nth iwe an,k. Kuandika baadhi ya nambari, tunapata kwamba an,k 2n-1n2k-2.1Tunatamani kupata n,k zote kiasi kwamba 67 an,k 2n-1 n2k-2. Kwa kuwa 2n-1 na 67 ni za juu kiasi, inafuata kwamba 67n2k-2. Kwa kuwa kila safu ina kipengele kimoja kidogo kuliko safu mlalo iliyotangulia, 1 le k le 51-n safu ya kwanza ina vipengee 50, ya pili 49, na kadhalika; kwa hivyo k inaweza kuanzia 1 hadi 50 katika safu ya kwanza, na kadhalika. Kwa hiyon2k-2 le n 251-n - 2 100 - n le 100,inafuata kwamba 67 n - 2k 2 ina maana kwamba n-2k2 67 yenyewe.Sasa, kumbuka kwamba tunahitaji n kuwa isiyo ya kawaida, na pia kwamba n2k-2 67 le 100-n Longrightarrow n le 33.Tunaweza kuangalia kwamba safu mlalo zote zenye n isiyo ya kawaida inayotosheleza 1 le n le 33 kweli ina ingizo moja ambalo ni mgawo wa 67, na kwa hivyo jibu ni frac3312 17 . 