<prompt> Ni tarakimu gani ya vitengo vya jumla ya masharti tisa ya mfuatano 1! 1, , 2! 2, 3! 3, , ..., , 8! 8, 9! 9?  <response>: Ninaona kwamba tarakimu za vitengo vya factorial hutegemea tu tarakimu ya mwisho ya nambari inayofanywa, na inarudia katika mzunguko wa urefu wa 5. Kwa mfano, 1! 1, 2! 2, 3! 6, 4! 24, 5! 120, 6! 720, , 7! 5040, , 8! 40320, , 9! 362880. Nambari za vitengo vya vifaa hivi ni 1, 2, 6, 4, 0, 0, 0, 0, 0, mtawaliwa. Kwa hivyo, ili kupata nambari ya vitengo vya jumla ya maneno tisa, naweza kupuuza makumi na nambari za juu za nyenzo na kuzingatia tu nambari za vitengo vya nyenzo na nambari zinazoongezwa kwao. Nambari za vitengo vya maneno tisa ni 1 1, , 2 2, , 6 3, , 4 4, , 0 5, , 0 6, , 0 7, , 0 8, , 0 9. Hizi ni 2, 4, 9, 8, 5, 6, 7, 8, na 9 mtawalia. Ili kupata nambari ya vitengo vya jumla ya nambari hizi tisa, naweza kutumia ukweli kwamba nambari za vitengo vya jumla hutegemea tu nambari za vitengo vya nyongeza. Kwa hiyo, ninaweza kuongeza tarakimu za vitengo vya tarakimu hizi tisa mod 10, ambayo ina maana naweza kupuuza mizigo yoyote zaidi ya 10. Kwa mfano, 9 8 mod 10 ni 7, kwa sababu 9 8 17 na 17 mod 10 ni 7. Vile vile , 8 5 mod 10 ni 3, na 6 7 mod 10 ni 3. Kwa hivyo, tarakimu za vitengo vya jumla ya maneno tisa ni sawa na tarakimu za vitengo vya 2 4 9 8 5 6 7 8 9 mod 10. Hii ni sawa na nambari ya vitengo ya 58 mod 10, ambayo ni 8. 