<prompt> Zingatia mlolongo x_1, x_2, x_3, dots unaofafanuliwa naanzaalignx_1 sqrt33, x_2 sqrt33sqrt33,mwishoalignna kwa ujumla,x_n x_n - 1sqrt33kwa n 1. Ni thamani gani ndogo zaidi ya n ambayo x_n ni nambari kamili?  <response>: Hili ni tatizo linalohusisha nguvu na mizizi, kwa hivyo nitajaribu kurahisisha usemi wa x_n kwa kutumia baadhi ya sifa za vielelezo. Kwanza, ninagundua kuwa x_n x_n - 1sqrt33 ni sawa na x_n sqrt33x_n - 1 , kwa kubadilisha msingi na kipeo. Hii inamaanisha kuwa x_n daima ni nguvu ya sqrt33, ambayo si nambari kamili. Kwa hivyo, njia pekee ya x_n kuwa nambari kamili ni ikiwa kielezi ni kizidishio cha 3, kwani sqrt333 3. Sasa nitajaribu kutafuta thamani ndogo zaidi ya n kiasi kwamba kipeo cha x_n ni kizidishio cha 3. Ninagundua kuwa x_1 sqrt33, ambayo ina kipeo cha 1. Kisha, x_2 sqrt33sqrt33, ambayo ina kipeo cha sqrt33. Hii sio kizidisho cha 3, kwa hivyo ninaendelea na x_3. Kwa kutumia fomula ya kujirudi, ninapata x_3 sqrt33x_2 sqrt33sqrt33sqrt33 . Hili ni fujo kidogo, lakini ninaweza kutumia mali ambayo abc abc kuiandika tena kama x_3 sqrt33sqrt3 3 cdot sqrt33 sqrt33sqrt39. Sasa, naweza kuona kwamba kipeo cha x_3 ni sqrt39, ambacho pia si kizidishio cha 3. Kwa hivyo, ninaendelea hadi x_4. Tena, mimi hutumia fomula ya kujirudi na kupata x_4 sqrt33x_3 sqrt33sqrt33sqrt3 9 sqrt33sqrt327. Aha! Ninagundua kuwa sqrt327 3, ambayo ni mgawo wa 3. Hii ina maana kwamba x_4 sqrt333 3, ambayo ni nambari kamili. Kwa hivyo, thamani ndogo zaidi ya n ambayo x_n ni nambari kamili ni 4. 