<prompt> Acha a,b, na c ziwe nambari halisi chanya. Pata thamani ya chini yafraca bc fraca cb fracb ca.  <response>: Tatizo hili linahusisha sehemu na ukosefu wa usawa, kwa hivyo ninaweza kutaka kutumia ukosefu wa usawa wa kawaida kama usawa wa AM-GM au usawa wa Cauchy-Schwarz. Ukosefu wa usawa wa AM-GM unasema kwamba kwa nambari zozote zisizo hasi x na y, maana ya hesabu fracx y2 ni kubwa kuliko au sawa na maana ya kijiometri sqrtxy. Ukosefu wa usawa wa Cauchy-Schwarz unasema kwamba kwa nambari zozote halisi x_1, x_2, dots, x_n na y_1, y_2, dots, y_n, jumla ya miraba ya bidhaa x_1y_1 x_2y_2 cdots x_ny_n2 ni chini ya au sawa na bidhaa ya jumla ya miraba x_12 x_22 cdots x_n2y_12 y_22 cdots y_n 2. Sina hakika ni ukosefu wa usawa wa kutumia bado, kwa hivyo nitajaribu kurahisisha usemi kwanza. Ninagundua kuwa usemi huo una ulinganifu mwingi, kwa hivyo ninaweza kujaribu kupanga upya masharti ili kuifanya iwe ya ulinganifu zaidi. Kwa mfano, ninaweza kuandika fraca bc fraca cb fracb ca kama fracab fracba fracac fracca fracbc fraccb. Sasa naweza tazama kwamba hii ni jumla ya istilahi sita, ambazo kila moja ni mkabala wa istilahi nyingine. Hii inanifanya nifikirie kutumia usawa wa AM-GM, kwa sababu inahusiana na maana ya hesabu na maana ya kijiometri ya nambari mbili. Nikitumia usawa wa AM-GM kwa kila jozi ya masharti yanayolingana, nitapata fracab fracba geq 2sqrtfracab cdot fracba 2, na vivyo hivyo kwa jozi zingine. Nikijumlisha ukosefu huu wa usawa, ninapata fracab fracba fracac fracca fracb c fraccb geq 6. Hii ina maana kwamba thamani ya chini ya usemi ni 6, na hutokea wakati masharti yote ni sawa na 1. Hii hutokea wakati a b c, kwa hivyo thamani ya chini inafikiwa wakati nambari tatu ni sawa. 