<prompt> Pointi P,Q, na R zinawakilishwa na nambari changamano z, 1 i z, na 2 overlinez, mtawalia, ambapo z 1. Wakati P,Q, na R si collinear, acha S iwe kipeo cha nne cha sambamba PQSR. Ni umbali gani wa juu kati ya S na asili ya ndege tata?  <response>: Hebu tuanze kwa kutafuta nambari changamano inayowakilisha S. Sawa, kwa hivyo tunajua kuwa S ni kipeo cha nne cha sambamba PQSR. Kwa hivyo, tunajua kwamba S-RQ-P na SRQ-P. Kwa hivyo, tunajua kwamba S2barz1iz-z Kwa hivyo, tunajua kwamba S2barzzzi-z Kwa hivyo, sisi jua kwamba S2barzzi Sasa tunahitaji kupata umbali wa juu kabisa kati ya S na asili. Kwa hivyo, hebu tuangalie fomula ya umbali: sqrtx_2-x_12y_2-y_12. Kwa hivyo, hebu tuchomekee thamani: sqrtx-02y-02. Kwa hivyo, S2x-y,-2yx. Kwa hivyo, umbali kati ya S na asili ni sqrt2x-y-02-2yx-02. Hiyo ni sahihi. Usemi huo ni sawa na sqrt2x-y2-2yx2. Ili kupata kiwango cha juu zaidi, tunaweza kutumia usawa wa AM-GM. Kwa hivyo, tunaweza kueleza jumla kama 5x25y2-8xy. Haki. Kwa hivyo tunataka kupata kiwango cha juu cha 5x25y2-8xy kulingana na x2y21. Hebu tuandike 5x25y2-8xy kama 5x2y2-8xy. Kwa hivyo tunataka kupata kiwango cha juu cha 5x2y2-8xy kulingana na x2y21. Lakini kwa kuwa x2y21, tunaweza kuandika upeo wa 5x2y2-8xy kulingana na x2y21 kama 5-8xy . Sawa, hebu tutumie ukosefu wa usawa wa AM-GM. Kwa hivyo tunataka kupata kiwango cha juu cha 5-8xy kulingana na x2y21. Ukosefu wa usawa wa AM-GM hutuambia kuwa wastani wa hesabu wa x2 na y2 ni kubwa kuliko au sawa na wastani wa kijiometri. Kwa hivyo, fracx2y22 ge sqrtx2y2. Lakini tunajua kuwa x2y21. Kwa hivyo, frac12 ge sqrtx2y2. Na kwa kuwa x2y2 ni chanya, sqrtx2y2xy. Kwa hivyo, frac12 ge xy. Kwa hivyo, -frac12 le xy le frac12. Kwa hivyo, 5-frac82 le 5-8xy le 5frac82. Kwa hivyo, 1 le 5-8xy le 9. Kwa hivyo, thamani ya juu zaidi ya 5-8xy kulingana na x2y21 ni 9. Kwa hivyo, umbali wa juu kabisa kati ya S na asili ni sqrt93. Hiyo ni sahihi. Kwa hivyo jibu ni 3. 