<prompt> Matrix mathbfM inatoshelezamathbfM anzapmatrix 2 1 mwishopmatrix anzapmatrix 5 4 mwishopmatrix quad textna quad mathbfM anzapmatrix 3 0 mwishopmatrix anzapmatrix 1 2 mwishopmatrix quad.Tafuta det mathbfM.  <response>: Ili kupata kibainishi cha mathbfM, ninahitaji kujua mathbfM inaonekanaje. Kwa kuwa mathbfM hufanya kazi kwenye vekta zenye pande mbili, lazima iwe tumbo la 2 kwa 2, sema mathbfM beginpmatrix a b c d endpmatrix . Sasa ninaweza kutumia milinganyo niliyopewa kupata a, b, c, d. Kuzidisha mathbfM na vekta beginpmatrix 2 1 endpmatrix inatoa anzapmatrix 2a b 2c d mwishopmatrix. Hii lazima iwe sawa na beginpmatrix 5 4 endpmatrix, ili nipate mfumo wa milinganyo 2a b 5 quad textna quad 2c d 4. Vile vile, kuzidisha mathbfM na vekta beginpmatrix 3 0 endpmatrix inatoa beginpmatrix 3a 3c endpmatrix. Hii lazima iwe sawa beginpmatrix 1 2 endpmatrix, kwa hivyo ninapata mfumo mwingine wa milinganyo 3a 1 quad textna quad 3c 2. Ninaweza kutatua mfumo huu wa pili kwa urahisi kwa kugawanya pande zote mbili na 3, kupata a frac13 quad textna quad c frac23. Kisha ninaweza kuunganisha thamani hizi kwenye mfumo wa kwanza na kupata frac23 b 5 quad textna quad frac43 d 4. Inaondoa frac23 kutoka pande zote mbili za mlingano wa kwanza na frac43 kutoka pande zote za mlingano wa pili. , napata b frac133 quad textand quad d frac83. Kwa hivyo sasa nina mathbfM begin pmatrix frac13 frac133 frac23 frac83 endpmatrix. Ili kupata kibainishi ya mathbfM, ninatumia fomula det mathbfM ad - bc. Kuchomeka thamani za a, b, c, d, napata det mathbf M frac13 cdot frac83 - frac133 cdot frac23. Kwa kurahisisha sehemu, ninapata det mathbfM frac89 - frac269. Nikitoa sehemu, ninapata det mathbfM -frac 189. Kupunguza sehemu hadi masharti ya chini kabisa, napata det mathbfM -2. 