<prompt> Acha z iwe nambari changamano inayotosheleza z2 4z - 19 8i. Ikizingatiwa kuwa z ni nambari kamili, tafuta z.  <response>: Tunaweza kuandika equation iliyotolewa kamaz2 - 4z -19 8i.Kisha z2 - 4z 4 -15 8i, hivyo z - 22 -15 8i.Acha -15 8i a bi2, ambapo a na b ni nambari halisi. Kupanua, tunapata-15 8i a2 2abi - b2.Kuweka sehemu halisi na za kuwaziwa sawa, tunapata a2 - b2 -15 na ab 4. Kwa hivyo, b frac4a, hivyoa2 - frac16a2 -15.Kisha a4 - 16 -15a2, hivyo a4 15a2 - 16 0. Mambo haya kama a2 - 1a2 16 0. Kwa kuwa a ni halisi, a pm 1, ambayo inaongoza kwa b pm 4. Hivyo ,z - 2 pm 1 4i,Kisha z 3 4i au z 1 - 4i. 3 4i pekee ndiyo iliyo na ukubwa kamili. 