<prompt> Katika pembetatu ABC, pande hizo zina urefu kamili na ABAC. Mduara omega una kituo chake katika kitovu cha pembetatu ABC. Mzingo wa pembetatu ABC ni duara katika sehemu ya nje ya pembetatu ABC ambayo ni tanjiti kwa upande mmoja wa pembetatu na tanjent kwa viendelezi vya pande nyingine mbili. Tuseme kwamba tangent ya excircle hadi overlineBC ni tangent ya ndani hadi omega, na miduara mingine miwili yote ni tanjiti ya nje hadi omega. Pata thamani ya chini iwezekanavyo ya mzunguko wa pembetatu ABC.  <response>: Acha mduara wa tangent uwe omega. Baadhi ya nukuu kwanza: acha BCa, ABb, s iwe nusu mzunguko, thetaangle ABC, na r iwe kipenyo. Intuition inatuambia kwamba radius ya omega ni rfrac2rss-a kwa kutumia fomula ya exradius. Hata hivyo, jumla ya radius ya omega na fracrss-b ni sawa na umbali kati ya kitokezi na kipenyo cha BC. Bainisha kisisitizo B kama I_B na kisisitizo kama I. Lemma: I_BIfrac2bIBa Tunachora mduara wa pembetatu ABC. Acha kipenyo cha pembe mbili cha angle ABC kipige mduara kwa uhakika wa pili M. Kwa lema ya kichochezi, AMCMIM. Acha umbali huu uwe alpha. Nadharia ya Ptolemy kuhusu ABCM inatupaaalphabalphabalphaIBkwa alphafracbIBaTena, na incenter-excenter lemma. , II_B2IM hivyo II_bfrac2bIBa kama unavyotaka. Kutumia hii kunatupa mlingano ufuatao:frac2bIBarfrac2rss-afracrss-bKuhamasishwa na s-a na s-b , tunabadilisha ifuatayo: xs-a, ys-b Hii inabadilisha mambo kidogo. Haya ndiyo tunayoweza kupata kutoka kwayo:a2y, bxy, sx2yInajulikana imethibitishwa kwa urahisi na Herons na ars kuwarsqrtfrac s-as-bs-bssqrtfracxy2x2yKwa kutumia hii, tunaweza pia kupata IB: acha sehemu ya kati ya BC kuwa N. Kwa kutumia Nadharia ya Pythagorean kwenye pembetatu INB,IB2r2fraca22fracxy2x2yy2 frac2xy22y3x2yfrac2y2xyx2ySasa tunaangalia RHS ya mlingano mkuu:r frac2rss-afracrss-br1frac2x2yxfracx2yyr fracx25xy4y2xyfracrx4yxyxyfrac2xyIB2y Tukighairi baadhi ya masharti, tunafracrx4yxIBSquaring,frac2y2xyx2y fracx4y2xy2x2x2yto fracx4y2x2xy Kupanua na kusonga maneno kunatoax-8yx2y0to x8yKubadilisha badala,s-a8s-8bto bfrac92a Ni wazi suluhu ndogo zaidi ni a2 na b9, kwa hivyo jibu letu ni 29920. 