<prompt> Tatuaarccos 2x - arccos x fracpi3.Ingiza suluhu zote, zikitenganishwa na koma.  <response>: Ninatambua kuwa huu ni mlinganyo unaohusisha utendakazi kinyume cha trigonometric, kwa hivyo ninataka kuwaondoa kwa kutumia cosine kwa pande zote mbili. Nikifanya hivyo, nitapata cosarccos 2x - arccos x cosfracpi3. Nakumbuka kwamba kosine ya tofauti ya pembe inaweza kuonyeshwa kama bidhaa ya cosines na sines, kwa kutumia formula cosA - B cos A cos B sin A sin B. Pia nakumbuka kwamba cosine ya arccosine ni hoja tu ya arccosine, na sine ya arccosine inaweza kupatikana kwa kutumia utambulisho wa Pythagorean. Kwa hivyo ninaweza kuandika tena upande wa kushoto kama cosarccos 2x - arccos x 2xx sqrt1 - 2x2sqrt1 - x2 . Kwa upande wa kulia, najua kwamba cosfracpi3 frac12. Kwa hivyo nina mlinganyo 2x x sqrt1 - 2x2sqrt1 - x2 frac12. Ninagundua kuwa ina neno la kiimbo na mzizi wa mraba, kwa hivyo Nadhani ya kutenga neno la mzizi wa mraba na kupiga pande zote mbili. Nikifanya hivyo, nitapata sqrt1 - 2x2sqrt1 - x2 frac12 - 2xx. Kuweka zote mbili kwa mraba. pande, napata 1 - 2x21 - x2 frac12 - 2xx2. Ninapata 1 - 2x2 - x2 2x2 x2 frac14 - 2xx 2x2 x2. Kurahisisha, mimi pata 1 - 5x2 4x4 frac14 - 2x2 4x4. Nikitoa 4x4 kutoka pande zote mbili, napata 1 - 5x2 frac14 - 2x2. Kuongeza 2x2 kwa pande zote mbili, ninapata 1 - 3x2 frac14. Kutoa 1 kutoka pande zote mbili, Ninapata -3x2 -frac34. Kugawanya pande zote mbili kwa -3, napata x2 frac14. Kuchukua mraba mizizi ya pande zote mbili, napata x pm frac12. Lakini haya si masuluhisho ya mwisho, kwa sababu ninahitaji kuangalia ikiwa yanakidhi mlinganyo wa asili. Ninachomeka x frac12 na kupata arccos2 cdot frac12 - arccosfrac12 arccos1 - arccosfrac12 0 - fracpi3 -fracpi3. Hii si sawa fracpi 3, kwa hivyo x frac12 sio suluhisho. Ninachomeka x -frac12 na kupata arccos2 cdot -frac12 - arccos-frac12 arccos-1 - arccos-frac12 pi - frac2pi3 fracpi3. Hii ni sawa fracpi3, kwa hivyo x -frac12 ni suluhisho. Ninahitimisha kuwa suluhisho pekee ni x -frac12. 