<prompt> Pembetatu huundwa kwa kingo kando ya mstari yfrac23x5, mhimili wa x-, na mstari xk. Ikiwa eneo la pembetatu ni chini ya 20, pata jumla ya thamani zote muhimu zinazowezekana za k.  <response>: Kwa kuwa mistari miwili ambayo ni kando ya pembetatu inajulikana, makutano yao lazima iwe moja ya wima ya pembetatu. Kwa hivyo tuna y0 mhimili wa x- na yfrac23x5. Kutatua mlingano huu, tunapata 0frac23x5, au -5frac23x, kwa hiyo x-frac152 . Kwa hivyo moja ya wima ya pembetatu ni left-frac152,0right. Vipeo vingine viko kwenye mstari xk, kwa hivyo huchukua fomu k,0 na leftk,frac23k5right. Eneo la pembetatu linaweza kuonyeshwa kama frac12bh. Urefu ni frac23k5, kwa kuwa msingi uko kando ya mhimili wa x-, na msingi ni k-left-frac152kulia kfrac152. Kwa hivyo eneo ni frac12leftfrac23k5rightleftkfrac152right.Hadi kufikia hatua hii, tumepuuza zaidi uwezekano wa kuwa na pembetatu chini ya mhimili wa x-, na k-frac152. Hili linawezekana, lakini fomula yetu ya eneo bado itafanya kazi. Ikiwa k-frac152, basi kfrac152 itakuwa hasi. Lakini mstari yfrac23x5 utakuwa chini ya mhimili wa x-kwa hivyo thamani frac23k5 itakuwa hasi pia. Nusu ya bidhaa zao, eneo, kwa hivyo itakuwa chanya kama inavyotaka. Kwa hivyo tuna anzaalignfrac12kushotofrac23k5kulialeftkfrac152kulia20quadRightarrowkushotofrac23k5kuliakushotokfrac152kulia40quadRightarrowfrac23k210kfrac75240quadRightarrowfrac23k210k-frac520quadRightarrow4k260k-150.endalignLazima tutatue ukosefu huu wa usawa wa mara nne. Mizizi ya quadratic ni frac-60pmsqrt602-44-1524frac-60pm sqrt38408-frac152pm2sqrt15.Kujaribu, tunapata kwamba thamani ya quadratic ni hasi kati ya mizizi, au 4k2 60k-150 wakati wowote -frac152-2sqrt15 