<prompt> Acha a 1 i na b 4 7i. Nambari changamano c iko kwenye sehemu ya laini inayounganisha a na b ili umbali kati ya a na c uwe sawa. hadi mara mbili ya umbali kati ya c na b. Pata c.  <response>: Ninataka kupata nambari changamano c x yi ambayo inakidhi hali iliyotolewa. Ningeweza kutumia fomula ya umbali kwa nambari changamano, ambayo ni dz_1, z_2 sqrtx_2 - x_12 y_2 - y_12 kwa z_1 x_1 y_1 i na z_2 x_2 y_2 i. Lakini hiyo ingehusisha mizizi mingi ya mraba na squaring, na huenda nisipate jibu zuri. Badala yake, ninaona kwamba sehemu ya mstari inayounganisha a na b ni mstari ulionyooka, na c lazima iwe kwenye mstari huo. Hiyo inamaanisha naweza kutumia fomula ya ukalimani wa mstari kupata c. Fomula ya jumla ni c 1 - ta tb kwa kigezo fulani t kati ya 0 na 1. Fomula hii inasema kwamba c ni wastani wa uzani wa a na b, ambapo t ni uzito wa b. Ikiwa t 0, basi c a. Ikiwa t 1, basi c b. Ikiwa t 12, basi c ni kituo cha kati cha a na b. Hali ya kuwa umbali kati ya a na c ni mara mbili ya umbali kati ya c na b inamaanisha kuwa c iko karibu na b kuliko a. Kwa kweli, c lazima iwe theluthi mbili ya njia kutoka a hadi b. Hiyo ina maana t 2 3. Kwa hivyo ninaweza kuchomeka t 23 kwenye fomula na kupata c 1 - 23a 23b. Kurahisisha, napata c 1 3a 23b. Sasa ninahitaji tu kuunganisha thamani za a na b na kufanya hesabu. Nina c 131 i 234 7i. Kusambaza, napata c 13 83 13 143i. Kuongeza, napata c 3 5i. 