<prompt> Ikiwa 8 tan theta 3 cos theta na 0 theta pi, basi bainisha thamani ya sin theta.  <response>: Ili kutatua tatizo hili, nitajaribu kutenga sin theta kulingana na tan theta na cos theta, na kisha kutumia equation iliyotolewa ili kuondoa moja yao. Nakumbuka kwamba tan theta fracsin thetacos theta, ili niweze kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo uliotolewa kwa cos theta kupata 8 sin theta 3 cos2 theta. Pia nakumbuka kwamba cos2 theta 1 - sin2 theta, ili niweze kubadilisha hiyo kwenye mlinganyo na kupata 8 sin theta 3 - 3 sin2 theta. Huu ni mlinganyo wa quadratic katika sin theta, ili niweze kuipanga upya na kuichanganua kama ifuatavyo: 3 sin2 theta 8 sin theta - 3 0 inamaanisha 3 sin theta - 1sin theta 3 0. Kwa kuwa sin theta lazima iwe kati ya -1 na 1 kwa pembe yoyote theta, naweza kupuuza kipengele sin theta 3 na kuzingatia kipengele 3 sin theta - 1. Kuweka kipengele hiki sawa na sifuri, napata 3 sin theta - 1 0 inamaanisha sin theta frac1 3. 