<prompt> Acha a na b ziwe viunganisho halisi hivyox4 ax3 3x2 bx 1 ge 0kwa nambari zote halisi x. Tafuta thamani kubwa zaidi iwezekanayo ya a2 b2.  <response>: Kwanza, tunadai kwamba quartic yoyote iliyo na coefficients halisi inaweza kuandikwa kama bidhaa ya polinomia mbili za quadratic na coefficients halisi.Acha z iwe mzizi changamano wa quartic. Ikiwa z si halisi, basi muungano wake changamano overlinez pia ni mzizi. Kisha quadratic x - zx - overlinez ina coefficients halisi, na tunapobainisha quadratic hii, tunasalia na quadratic ambayo pia ina coefficients halisi.Iwapo z ni halisi, basi tunaweza kubainisha x - z, na kutuacha na ujazo wenye viambajengo halisi. Kila mchemraba ulio na hesabu halisi una angalau mizizi moja halisi, tuseme w. Kisha tunaweza kubainisha x - w, na kutuacha na quadratic yenye coefficients halisi. Bidhaa ya quadratic hii na x - zx - w ni quartic asili.Kwa hiyo, basix4 ax3 3x2 bx 1 x2 px r kushoto x2 qx frac1r kulia, quad ambapo p,q, na r ni halisi.Tuseme kipengele kimoja cha quadratic kina mizizi halisi tofauti, tuseme z na w. Basi njia pekee ambayo quartic inaweza kuwa isiyo na maana kwa nambari zote halisi x ni ikiwa mizizi ya quadratic nyingine pia ni z na . w. Kwa hivyo, tunaweza kuandika quadratic kamax - z2 x - w2.Kwa hivyo, tunaweza kudhani kwamba kwa kila kipengele cha quadratic, quadratic haina mizizi halisi, tofauti. Hii ina maana kwamba kibaguzi cha kila roboduara ni angalau 0. Kwa hivyo,p2 le 4r quad textna quad q2 le frac4r.Inafuata kwamba r 0. Kuzidisha ukosefu huu wa usawa, tunapatap2 q2 le 16,hivyo pq le 4.Kupanua na coefficients vinavyolingana, sisi kupataanzaalignp q a, pq r frac1r 3, fracpr qr b.mwishoalignKwa hiyo,anzaaligna2 b2 p q2 kushoto fracpr qr kulia2 p2 2pq q2 fracp2r2 2pq q2 r2 p2 4pq q2 fracp2r2 q2 r2 le 4r 4pq frac4r frac4rr2 frac4r cdot r2 4pq 8r frac8r.endalignKutoka kwa mlinganyo pq r frac1r 3,r frac1r 3 - pq,hivyoa2 b2 le 4pq 83 - pq 24 - 4pq le 40.Ili kupata usawa, lazima tuwe na pq -4 na r frac1 r 7. Hii inasababisha r2 - 7r 1 0, ambayo mizizi yake ni halisi na chanya. Kwa aidha mzizi r, tunaweza kuweka p sqrt4r na q -sqrtfrac4r, ambayo inaonyesha kuwa usawa unawezekana. Kwa mfano, tunaweza kupata quartickushoto x - frac3 sqrt52 kulia2 kushoto x frac3 - sqrt52 kulia2 x4 - 2x3 sqrt5 3x2 2x sqrt5 1.Kwa hivyo, thamani ya juu kabisa ya a2 b2 ni 40. 