<prompt> Kuna jozi mbili x,y za nambari halisi zinazokidhi mlinganyo xy 3xy 4. Ikizingatiwa kuwa suluhu x ziko katika muundo x fraca pm bsqrtcd ambapo a, b, c, na d ni chanya. nambari kamili na usemi umerahisishwa kabisa, ni nini thamani ya a b c d?  <response>: Ninaona kwamba mlinganyo xy 3xy 4 una ishara mbili sawa, ambayo ina maana kwamba ni milinganyo miwili katika moja: xy 4 na 3xy 4. Ninaweza kutumia equation yoyote kuondoa moja ya vijiti na kutatua kwa nyingine. Kwa mfano, kutoka xy 4, ninaweza kupata y 4-x na kuibadilisha kuwa 3xy 4 ili kupata 3x4-x 4. Kupanua na kupanga upya, ninapata 3x2 - 12x 4 0. Huu ni mlinganyo wa quadratic, ambao ninaweza kutatua kwa kutumia fomula ya quadratic: x frac-b pm sqrtb2 - 4ac2a. Katika kesi hii, a 3, b -12, na c 4, kwa hivyo ninapata x frac--12 pm sqrt-122 - 43423. Kwa kurahisisha, napata x frac12 pm sqrt144 - 486 frac12 pm sqrt966. Ninagundua kuwa 96 16 cdot 6, kwa hivyo ninaweza kuandika sqrt96 sqrt16 cdot 6 sqrt16 sqrt6 4sqrt6. Hii ina maana kwamba x frac12 pm 4sqrt66 frac6 pm 2sqrt63. Nikilinganisha hizi na fomu iliyotolewa x fraca pm bsqrtcd, naona kwamba a 6, b 2, c 6, na d 3. Kwa hiyo, thamani ya a b c d ni 6 2 6 3 17. 