<prompt> Bainisha tarakimu kumi za 171993.  <response>: Ninahitaji kupata tarakimu mbili za mwisho za 171993, kwa kuwa tarakimu ya kumi ni tarakimu ya pili hadi ya mwisho. Ningeweza kujaribu kutumia hesabu ya msimu, kwa kuwa ninajali tu salio ninapogawanya kwa 100. Kwa hivyo, ninaweza kuandika 171993 equiv x pmod100, ambapo x ni tarakimu mbili za mwisho. ya 171993. Ninajua kuwa 17 equiv 17 pmod100, kwa hivyo ninaweza kutumia sheria ya kielezi kuandika 171993 equiv 171993 pmodvarphi100 pmod100 , ambapo varphi100 ni chaguo la kukokotoa la Euler phi, ambalo huhesabu idadi ya nambari chanya chini ya 100 ambazo ni za msingi hadi 100. Ninaweza kukokotoa varphi100 varphi22 cdot 52 22 - 252 - 5 40, hivyo 171993 equiv 171993 pmod40 pmod100. Ninaweza kutumia algoriti ya mgawanyiko kuandika 1993 40q r, ambapo q na r ni nambari kamili zisizo hasi na 0 leq r 40. Ninaweza kupata q na r kwa kugawanya 1993 na 40, na ninapata q 49 na r 33. Kwa hivyo, 171993 equiv 1733 pmod100. Sasa, ninahitaji kupata 1733 pmod100. Ningeweza kujaribu kutumia njia ya kurudia-rudia, ambayo ni haraka kuliko kuzidisha 17 peke yake mara 33. Ninaweza kuandika 1733 1732 1 1732 cdot 17. Ili kupata 1732, ninaweza kuanza kwa kuongeza 17, na kisha kuzidisha matokeo, na kadhalika, hadi nifikie nguvu ya 32. Ninapata 172 equiv 89 pmod100, 174 equiv 892 equiv 21 pmod100, 178 equiv 212 equiv 41 pmod100 , 1716 equiv 412 equiv 81 pmod100, na 1732 equiv 812 equiv 61 pmod100. Kwa hivyo, 1732 cdot 17 equiv 61 cdot 17 equiv 37 pmod100. Kwa hivyo, tarakimu mbili za mwisho za 171993 ni 37, na tarakimu kumi ni 3. 