<prompt> Masuluhisho mawili ya equation x2bx180 yapo katika uwiano wa 2 hadi 1 kwa baadhi ya thamani za b. Ni thamani gani kubwa zaidi inayowezekana ya b?  <response>: Ninagundua kuwa equation ni quadratic, na ninashangaa ikiwa ninaweza kutumia fomula ya quadratic au kuifanya kwa njia fulani. Nafikiri juu ya maana ya suluhu kuwa katika uwiano wa 2 na 1. Hiyo ina maana kwamba ikiwa suluhu moja ni x_1, lingine ni 2x_1. Kwa hivyo suluhu si sawa, na equation. ina mizizi miwili tofauti. Nakumbuka kwamba jumla ya mizizi ya equation ya quadratic ni sawa na kinyume cha mgawo wa neno la mstari, lililogawanywa na mgawo wa kuongoza. Hiyo ni, x_12x_1-b1. Kwa kurahisisha, napata 3x_1-b. Pia nakumbuka kwamba bidhaa ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic ni sawa na neno lisilobadilika, lililogawanywa na mgawo unaoongoza. . Hiyo ni, x_1cdot 2x_1181. Kwa kurahisisha, ninapata 2x_1218. Ninaweza kutatua kwa x_1 kwa kugawanya pande zote mbili kwa 2 na kuchukua mizizi ya mraba. Ninapata x_1pm 3. Kwa kuwa x_1 inaweza kuwa chanya au hasi, nina kesi mbili zinazowezekana za kuzingatia. Ikiwa x_13, basi 2x_16 na 3x_1-b. Hivyo b-9. Ikiwa x_1-3, basi 2x_1-6 na 3x_1-b . Kwa hiyo b9. Thamani kubwa iwezekanavyo ya b ni 9. 