<prompt> Kokotoa jumla ya mfululizo wa kijiometri 1leftfrac13rightleftfrac13right2 leftfrac11 3kulia3 dots. Eleza jibu lako kama sehemu ya kawaida.  <response>: Katika hali hii, uwiano ni frac13, kwa kuwa kila neno ni theluthi moja ya muhula uliopita. Pia ninagundua kuwa muhula wa kwanza ni 1, ambayo ni sawa na leftfrac13right0. Hii ina maana kwamba mfululizo unaweza kuandikwa kwa ushikamano zaidi kama leftfrac13right0 leftfrac13right1 left frac13kulia2 kushotofrac13kulia3 dots. Nakumbuka kuwa jumla ya mfululizo wa kijiometri usio na kikomo wenye muhula wa kwanza a na uwiano r ni fraca1-r, mradi r1. Katika kesi hii, aleftfrac13right01 na rfrac13, na ninaweza kuona kwamba r 1. Kwa hivyo, ninaweza kutumia fomula na kupata jumla kama frac11-frac13. Ili kurahisisha sehemu hii, ninazidisha nambari na kipunguzo kwa 3 na kupata frac33-1frac32. 