<prompt> Uthibitisho wa nadharia ya msingi ya algebra  <response>: Nadharia ya kimsingi ya aljebra inasema kwamba kila polinomia isiyo ya mara kwa mara yenye coefficients changamano ina angalau mzizi mmoja changamano.Uthibitisho:Tutathibitisha nadharia hii kwa kupingana. Tuseme kuna Pz isiyo ya mara kwa mara ya polinomia yenye coefficients changamano ambayo haina mizizi changamano. Kwa kuwa Pz haitumiki mara kwa mara, ina neno la digrii ya juu zaidi, tuseme azn. Tunaweza kudhani kwamba a si sawa na sifuri, vinginevyo, Pz inaweza kuwa polynomial mara kwa mara.Zingatia chaguo za kukokotoa fz 1Pz. Chaguo hili la kukokotoa limefafanuliwa vyema kwa z zote isipokuwa kwa mizizi ya Pz. Kwa kuwa Pz haina mizizi changamano, fz ni kazi inayoendelea na yenye mipaka kwenye ndege changamano. Kwa hivyo, kwa nadharia ya Liousville, fz ni kazi ya kudumu.Acha thamani isiyobadilika ya fz iwe c. Kisha tuna:1Pz cPz 1cKwa kuwa Pz ni neno la polynomial lisilo la mara kwa mara, lina neno la digrii ya juu zaidi, wacha tuseme bzm. Tunaweza kudhani kuwa b si sawa na sifuri, vinginevyo, Pz itakuwa polynomial mara kwa mara. Kubadilisha hii katika equation hapo juu, tunapata:bzm 1cLakini upande wa kushoto wa mlingano huu unakaribia kutokuwa na mwisho huku z inapokaribia ukomo au ukomo hasi, ambao ni ukinzani na upande wa kulia kuwa nambari changamano isiyo ya sufuri. Kwa hivyo, dhana yetu kwamba Pz haina mizizi changamano lazima iwe ya uwongo, na nadharia ya msingi ya aljebra inashikilia.Hii inakamilisha uthibitisho. 