<prompt> Acha mathbfa na mathbfb ziwe visambazaji data kiasi kwamba mathbfa nyakati mathbfb 2. Kokotamathbfa cdot mathbfb nyakati mathbfa nyakati mathbfb  <response>: Ninagundua kuwa usemi ulio ndani ya mabano ni bidhaa ya msalaba wa vekta mbili, kwa hivyo naweza kutumia kitambulisho mathbfu times mathbfv times mathbfw mathbfu cdot mathbfwmathbfv - mathbfu cdot mathbfvmathbfw ili kuiandika tena kama mathbfb cdot mathbfbmathbfa - mathbfb cdot mathbfamathbfb. Sasa nina mathbfa cdot mathbfb cdot mathbfbmathbfa - mathbfb cdot mathbfamathbfb . Ninaweza kutumia mali ya usambazaji ya bidhaa ya nukta kugawanya hii kwa maneno mawili: mathbfb cdot mathbfbmathbfa cdot mathbfa - mathbf b cdot mathbfa2. Ninagundua kuwa neno la kwanza ni bidhaa ya miraba ya kanuni za mathbfa na mathbfb, kwa hivyo ninaweza kuiandika kama mathbfa 2mathbfb2. Neno la pili ni mraba wa bidhaa ya nukta ya mathbfa na mathbfb, ambayo inahusiana na pembe kati yao kwa fomula mathbfa cdot mathbfb mathbfamathbfbcos theta. Kwa hiyo, neno la pili ni mathbfa2mathbfb2 cos2 theta. Kwa hivyo usemi wote unakuwa mathbfa2mathbfb2 - mathbfa2mathbfb 2 cos2 theta. Ninaweza kubainisha mathbfa2mathbfb2 na kupata mathbfa2mathbfb 21 - cos2 theta. Ninatambua kuwa 1 - cos2 theta ni sin2 theta tu na kitambulisho cha Pythagorean. Kwa hivyo nina mathbfa2mathbfb2 sin2 theta. Pia ninakumbuka kuwa bidhaa ya msalaba ya vekta mbili ina ukubwa sawa na bidhaa ya kanuni zao na sine ya pembe kati yao, hivyo mathbfa times mathbfb mathbfamathbfb dhambi theta. Kwa hivyo naweza kubadilisha hii kwa usemi na kupata mathbfa times mathbfb2. Lakini tatizo linanipa thamani ya mathbfa times mathbfb, ambayo ni 2. Kwa hivyo jibu la mwisho ni 22 4 tu. 