<prompt> Acha z iwe nambari changamano kama hiyoz3 frac1z3 52.Tafuta thamani zote zinazowezekana zaz frac1z.Ingiza thamani zote zinazowezekana, zikitenganishwa na koma.  <response>: Ninagundua kuwa mlinganyo uliotolewa unahusisha z3 na frac1z3, ambazo zinahusiana na z na frac1z by cubing. Kwa hivyo ninajiuliza ikiwa ninaweza kutumia kitambulisho cha algebra ili kurahisisha equation. Utambulisho mmoja unaokuja akilini ni kwamba a b3 a3 3aba b b3. Nikiruhusu a z na b frac1z, basi nitapata z frac1z3 z3 3z frac1z frac1z3. Hili linaonekana kutumaini, kwa sababu ninaweza kubadilisha z3 frac1z3 52 na kupata z frac1z3 52 3z frac1z. Sasa nina mlingano wa ujazo kulingana na z frac1z, ambayo ninataka kupata. Ili kurahisisha kufanya kazi nayo, niliruhusu w z frac1z na kuandika upya mlinganyo kama w3 52 3w. Ninaweza kujaribu kuangazia equation hii kupata mizizi. Sababu moja inayowezekana ni w - 4, kwa sababu 43 64 52 34. Kwa hivyo ninaweza kutumia mgawanyiko wa sintetiki kugawa w3 - 3w - 52 na w - 4 na kupata w2 4w 13. Mgawo ni mlinganyo wa quadratic ambao ninaweza kutatua kwa kutumia fomula ya quadratic. Ninapata w frac-4 pm sqrt16 - 522 frac-4 pm sqrt-362 -2 pm 3i, ambapo i ni kitengo cha kufikiria. Kwa hivyo thamani zinazowezekana za w z frac1z ni 4, -2 3i, -2 - 3i. 