<prompt> Kuna nambari kamili zisizo za a, b, r, na s hivi kwamba nambari changamano rsi ni sufuri ya polynomial Pxx3- ax2bx-65. Kwa kila mchanganyiko unaowezekana wa a na b, acha p_a,b iwe jumla ya sufuri za Px. Tafuta jumla ya p_a,bs kwa michanganyiko yote inayowezekana ya a na b.  <response>: Kwa kuwa viambajengo vya Px ni halisi, ikiwa rsi ni sifuri, basi ni r-si. Ili kuepuka kuhesabu jozi za mizizi mara mbili, tunaweka masharti kwamba s 0.Kuruhusu t kuashiria mzizi wa tatu, tunaona kwamba kwa fomula za Vieta, a rsi r-si t 2r t,hivyo t a - 2r, ambayo ni nambari kamili. Na Vieta tena, 65 rsir-sit r2s2t,kwa hivyo r2s2 lazima iwe kigawanyo chanya cha 65 . Kesi za majaribio, tumegundua kuwa thamani zinazowezekana za r, s ni pm 1, 2, pm 2, 1, pm 2, 3, pm 3, 2, pm 1, 8, pm 8, 1, pm 7, 4, na pm 4, 7.Sasa, kwa kuzingatia r na s, tunabainisha p_a, b. Na Vieta tena, p_a, b rsi r-si t 2r t 2r frac65r2s2. Juu ya jozi zote zinazowezekana r, s, masharti ya 2r yote yanaghairi. Tukiangalia orodha ya jozi zinazowezekana r, s, tunapata kwamba jumla ya p_a, bs ni 4 leftfrac6512 22 frac652232 frac651282 frac654272 kulia 4 13 5 1 1 80. 