<prompt> Kwenye ndege ya Cartesian ambayo kila kitengo kina futi moja, mbwa hufungwa kwenye nguzo kwenye pointi 4,3 kwa kamba ya futi 10. Je, ni umbali gani mkubwa zaidi mbwa anaweza kuwa kutoka asili?  <response>: Ili kupata uhakika kwenye kamba ambayo iko mbali zaidi na asili, ninahitaji kuzingatia mduara ambao kamba hufuata wakati mbwa anazunguka kwenye chapisho. Mduara una eneo la futi 10 na kituo ni 4,3. Mlinganyo wa mduara ni x-42 y-32 100. Asili ni 0,0, kwa hivyo ninahitaji kupata uhakika kwenye mduara ambao una thamani kubwa zaidi ya x2 y2, ambayo ni mraba wa umbali kutoka asili. Ili kufanya hivyo, naweza kutumia calculus na kupata upeo wa chaguo za kukokotoa fx,y x2 y2 kulingana na kikwazo x-42 y-3 2 100. Vinginevyo, naweza kutumia jiometri na kupata uhakika kwenye mduara ambao uko kwenye mstari sawa na asili na katikati ya duara. Hatua hiyo itakuwa na mteremko sawa na mstari unaounganisha asili na katikati, ambao ni frac34. Kwa hivyo ninahitaji kutatua equation fracy-3x-4 frac34 kwa y, kisha niichomeke kwenye mlinganyo wa mduara na usuluhishe kwa x. . Nikitatua kwa y, ninapata y frac34x-4 3. Nikichomeka hiyo kwenye mlingano wa mduara, ninapata x-42 frac34x-4 3 - 32 100. Kwa kurahisisha, ninapata frac2516x-42 100. Nikigawanya pande zote mbili kwa frac2516, ninapata x-42 frac160025 64. Kuchukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili, napata x-4 pm 8. Kuongeza 4 kwa pande zote mbili, napata x 4 pm 8. Kwa kuwa ninataka thamani kubwa zaidi ya x, ninachagua ishara chanya na kupata x 12. Kisha, kwa kutumia mlinganyo wa y, ninapata y frac3412-4 3 9. Kwa hivyo hatua kwenye kamba iliyo mbali zaidi na asili ni 12,9. Ili kupata umbali wake kutoka asili, mimi hutumia nadharia ya Pythagorean na kupata sqrt122 92 sqrt225 15. 