<prompt> Acha ABCDE iwe pentagoni iliyoandikwa kwenye mduara kiasi kwamba AB CD 3, BC DE 10, na AE14. Jumla ya urefu wa diagonal zote za ABCDE ni sawa na fracmn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya. mn ni nini?textbfA 129qquad textbfB 247qquad textbfC 353qquad textbfD 391qquad textbfE 421 qquad  <response>: Acha a ionyeshe urefu wa pande za mshalo zinazokaribiana za urefu wa 14 na 3, b kwa pande 14 na 10, na c kwa pande 3 na 10. Kwa kutumia Nadharia ya Ptolemy kwenye pembe nne zinazowezekana katika usanidi, tunapata:anzaalign c2 3a100 c2 10b9 ab 3014c ac 3c140 bc 10c42 mwisho pangaKwa kutumia milinganyo 1 na 2, tunapata:a fracc2-1003nab fracc2-910Kuchomeka kwenye equation 4, tunapata kwamba:anzaalign fracc2-1003c 3c 140 fracc3-100c3 3c 140 c3-100c 9c 420 c3-109c-420 0 c-12c7c50 mwishoalignAu vivyo hivyo katika equation 5 kuangalia:anzaalign fracc2-910c 10c42 fracc3-9c10 10c 42 c3-9c 100c 420 c3-109c-420 0 c-12c7c50 mwishoalignc, ikiwa ni urefu, lazima iwe chanya, ikimaanisha kuwa c12. Kwa kweli, hii ni sawa, kwani 103takriban 12 kwenye pentagoni na pembe zilizo wazi. Tukiunganisha tena hii katika milinganyo 1 na 2 tunapata kwamba a frac443 na b frac13510frac2727101 2.Tunatamani 3cab 3cdot 12 frac443 frac272 frac21688816frac385 6, kwa hivyo inafuata kwamba jibu ni 385 6 391 