<prompt> Zingatia mfululizo wa kijiometri 4frac12afrac36a2cdots. Ikiwa jumla ni mraba kamili, ni thamani gani ndogo inayowezekana ya a ambapo a ni nambari kamili chanya?  <response>: Msururu wa kijiometri ni mfululizo ambapo kila neno linapatikana kwa kuzidisha neno lililotangulia kwa uwiano wa kawaida. Katika hali hii, uwiano wa kawaida ni frac3a, kwani frac12a4cdot frac3a, frac3636 a24cdot frac3acdot frac3a, na kadhalika. Jumla ya mfululizo wa kijiometri wenye muhula wa kwanza a_1 na uwiano wa kawaida r hutolewa kwa fomula Sfraca_11-r, mradi r1. Katika hali hii, tuna a_14 na rfrac3a, kwa hivyo jumla ni Sfrac41-frac3a frac4aa-3. Tunataka kupata nambari ndogo kabisa chanya a kiasi kwamba S ni mraba kamili, kumaanisha kuwa Sn2 kwa nambari kamili n. Njia moja ya kukabiliana na hii ni kujaribu maadili tofauti ya a na kuona ikiwa yanafanya kazi. Tunaweza kuanza na a4, kwa kuwa hiyo ndiyo nambari ndogo kabisa chanya ambayo hufanya r chini ya 1. Ikiwa a4, basi 4a16 na a-31, ambazo ni miraba yote miwili kamili, kwa hivyo Sfrac16116, ambayo pia ni mraba kamili. Hii inamaanisha kuwa a4 inaweza kuwa thamani, lakini bado hatujui ikiwa ndiyo ndogo zaidi. Ili kuangalia kama kuna thamani zozote ndogo, tunaweza kujaribu a3, lakini hii hufanya r1, ambayo hairuhusiwi katika fomula ya mfululizo wa kijiometri. Tunaweza pia kujaribu a2, lakini hii inafanya rfrac32, ambayo pia hairuhusiwi. Tunaweza pia kujaribu a1, lakini hii inafanya 4a4 na a-3-2, ambazo si miraba kamili. Kwa hivyo, hakuna maadili madogo zaidi ya a ambayo yanafanya kazi, na a4 ndio ndogo zaidi. 