<prompt> Acha pembetatu ABC iwe pembetatu ya mizani mikali yenye mduara omega. Tanjenti hadi omega kwa B na C hupishana kwa T. Acha X na Y ziwe makadirio ya T kwenye mistari AB na AC, mtawalia. Tuseme BT CT 16, BC 22, na TX2 TY2 XY2 1143. Tafuta XY2.  <response>: Chukulia O kuwa kitovu cha pembetatu ABC, OT vuka BC kwa M, unganisha XM, YM. Acha P iwe sehemu ya kati ya BT na Q iwe sehemu ya kati ya CT, ili tupate MT3sqrt15. Kwa kuwa angle Aangle CBTangle BCT, tuna cos Afrac1116. Ona kwamba angle XTY180circ-A, kwa hivyo cos XYT-cos A, na hii inatupa 1143-2XY2frac-118XT cdot YT. Kwa kuwa TM ni sawa na BC, BXTM na CYTM cocycle mtawalia, hivyo theta_1angle ABCangle MTX na theta_2angle ACBpembe YTM. Kwa hivyo angle XPM2theta_1, hivyofracfracXM2XPsin theta_1, ambayo inatoa XM2XPsin theta_1BT CTsin theta_1TY. Vivyo hivyo tuna YMXT. Tumia nadharia ya Ptolemy katika BXTM tuna 16TY11TX3sqrt15BX, na tumia nadharia ya Pythagoras tuna BX2XT2162. Sawa katika YTMC na pembetatu CYT tuna 16TX11TY3sqrt15CY na CY2YT2162. Tatua hili kwa XT na TY na uwasilishe kwenye mlinganyo kuhusu cos XYT, tunaweza kupata matokeo XY2717. 