<prompt> Kokotoa eneo la eneo ambalo liko juu ya grafu ya y x - 1 x - 3 lakini chini ya grafu ya y 8.  <response>: Ili kupata eneo la mkoa, ninahitaji kutambua sehemu za makutano kati ya grafu mbili na kisha kuunganisha tofauti za kazi zao kwa muda huo. Ninaweza kutumia kikokotoo cha kuchora au aljebra kupata sehemu za makutano. Ili kutumia aljebra, ninahitaji kuzingatia kesi wakati x ni chini ya 1, kati ya 1 na 3, na zaidi ya 3, kwa sababu vipengele vya thamani kabisa hubadilisha tabia zao katika pointi hizo. Wakati x 1, nina y 1 - x 3 - x 4 - 2x. Kuweka hii sawa na 8, ninapata 4 - 2x 8, hivyo x -2 . Hiyo ni sehemu moja ya makutano. Wakati x 3, nina y x - 1 x - 3 2x - 4. Kuweka hii sawa na 8, ninapata 2x - 4 8, hivyo x 6 . Hiyo ni hatua nyingine ya makutano. Wakati 1 leq x leq 3, nina y x - 1 3 - x 2. Hii kamwe si sawa na 8, kwa hivyo hakuna pointi za makutano katika muda huu. Kwa hivyo eneo ninalotafuta limefungwa na grafu za y x - 1 x - 3 na y 8 kwa muda -2, 6. Ili kupata eneo, ninahitaji kujumuisha tofauti za utendakazi kwenye muda huu. Hiyo ni, ninahitaji kutathmini int_-26 8 - x - 1 x - 3dx. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kugawanya kiungo katika sehemu tatu. , moja kwa kila kesi ya vitendakazi vya thamani kabisa. Kwa x 1, nina int_-21 8 - 4 - 2xdx int_-21 4 2xdx. Kwa 1 leq x leq 3, Nina int_13 8 - 2dx int_13 6dx. Kwa x 3, nina int_36 8 - 2x - 4dx int_36 12 - 2xdx. Kwa hivyo eneo ni jumla ya viambatanisho hivi vitatu: int_-26 8 - x - 1 x - 3 dx int_-21 4 2xdx int_13 6dx int_36 12 - 2xdx. Ninaweza kutumia kanuni ya nguvu kutathmini kila kiungo. Kwa ya kwanza, nina int_-21 4 2xdx 4x x2 vert_-21 4 1 - -8 4 9. Kwa ya pili, nina int_13 6dx 6x vert_13 18 - 6 12. Kwa ya tatu, nina int_36 12 - 2xdx 12x - x2 vert_36 72 - 36 - 36 - 9 9. Nikiongeza hizi, napata 9 12 9 30. 