<prompt> Katika pembetatu ABC, AB AC 100, na BC 56. Circle P ina radius 16 na ni tangent kwa overlineAC na overlineBC. Mduara Q ni tanjiti ya nje hadi P na ni sawa na overlineAB na overlineBC. Hakuna sehemu ya mduara Q iko nje ya pembetatu ABC. Kipenyo cha mduara Q kinaweza kuonyeshwa katika muundo m - nsqrt k, ambapo m, n, na k ni nambari kamili chanya na k ni zao la msingi mahususi. . Tafuta m nk.  <response>: asy ukubwa 200; pathpennyeusi;pointpennyeusi;kalamu ffontsize9; halisi r 44-6 35 .5; jozi A0,96,B-28,0,C28,0,XC-643,0,YB4r3,0 ,PX0,16,QY0,r,MmguuQ,X,P; njia PCCRP,16,QCCRQ,r; DA--B--C--mzunguko; DY--Q--P--X; DQ--M; DP--C,iliyopigwa; D PC; DQC; MPA,A,N,f;MPB,B,f;MPC,C,f;MPX,X,f;MPY ,Y,f;DMPP,P,NW,f;DMPQ,Q,NW,f; asyAcha X na Y ziwe miguu ya vielelezo kutoka P na Q hadi BC, mtawalia. Acha eneo la odot Q liwe r. Tunajua kwamba PQ r 16. Kutoka Q draw segment overlineQM parallel overlineBC kiasi kwamba M iko kwenye PX. Kwa wazi, QM XY na PM 16-r. Pia, tunajua QPM ni pembetatu sahihi.Ili kupata XC, zingatia pembetatu sahihi PCX. Kwa kuwa odot P ni tangent kwa overlineAC,overlineBC, kisha PC inatenganisha angle ACB mara mbili. Hebu angle ACB 2theta; kisha angle PCX pembe QBX theta. Tukishusha mwinuko kutoka A hadi BC, tunatambua pembetatu ya kulia ya 7 - 24 - 25, isipokuwa ikiwa imeongezwa kwa 4.Kwa hivyo tunapata hiyo tan2theta 247. Kutoka kwa utambulisho wa pembe-nusu, tunapata kwamba tantheta frac 34. Kwa hivyo, XC frac 643. Kwa hoja sawa katika pembetatu QBY, tunaona kwamba BY frac 4r3.Tunahitimisha kuwa XY 56 - frac 4r 643 frac 104 - 4r3.Kwa hivyo pembetatu yetu ya kulia QPM ina pande r 16, r - 16, na frac 104 - 4r3.Kwa Nadharia ya Pythagorean, kurahisisha, na fomula ya quadratic, tunaweza kupata r 44 - 6sqrt 35, kwa jibu la mwisho la 254. 