<prompt> sqrt5320sqrt7 inaweza kuandikwa kwa njia ya absqrtc, ambapo a, b, na c ni nambari kamili na c haina vipengele ambavyo ni mraba kamili wa nambari yoyote chanya isipokuwa 1. Tafuta abc.  <response>: Ninagundua kuwa usemi ulio ndani ya mzizi wa mraba una fomu xysqrtz, ambapo x53, y20, na z7. Nashangaa ikiwa ninaweza kupata nambari mbili kamili p na q kiasi kwamba pqsqrt72xysqrtz. Nikiweza, basi sqrt5320sqrt7pqsqrt7, na ninaweza kupata a,b, na c. Ili kupata p na q, ninahitaji kupanua pqsqrt72 na kulinganisha coefficients ya 1 na sqrt7 na x na y . Kupanua, napata pqsqrt72p27q22pqsqrt7. Nikilinganisha hesabu za 1, ninapata p27q2x53. Nikilinganisha hesabu za sqrt7, ninapata 2pqy20. Kugawanya equation ya pili kwa 2, napata pq10. Ninagundua kuwa p na q lazima ziwe chanya au zote hasi, kwa kuwa bidhaa zao ni chanya. Pia ninaona kuwa p na q lazima ziwe vipengele vya 10, kwa kuwa bidhaa zao ni 10. Ninajaribu maadili kadhaa ya p na q na kuona ikiwa yanakidhi equation ya kwanza. Ikiwa p1 na q10, basi p27q217cdot 100701, ambayo ni kubwa mno. Ikiwa p2 na q5, basi p27q247cdot 25179, ambayo bado ni kubwa sana. Ikiwa p5 na q2, basi p27q2257cdot 453, ambayo ndiyo hasa ninayotaka. Kwa hivyo p5 na q2 ndio maadili yanayofanya kazi. Kwa hivyo, sqrt5320sqrt7pqsqrt752sqrt7. Nikilinganisha hii na absqrtc, naona a5,b2, na c7. Nikiziongeza, napata abc52714. 