<prompt> Acha mathbfa iwe kitengo cha vekta. Kokotamathbfa nyakati mathbfi2 mathbfa nyakati mathbfj2 mathbfa nyakati mathbfk2.  <response>: Ninaona kwamba tatizo linahusisha bidhaa za msalaba wa vectors za kitengo, kwa hiyo nakumbuka kwamba ukubwa wa bidhaa ya msalaba ni sawa na bidhaa ya ukubwa wa vectors na sine ya angle kati yao. Hiyo inamaanisha kuwa kwa vekta ya kitengo chochote mathbfb, tuna mathbfa times mathbfb sin theta, ambapo theta ni pembe kati ya mathbfa na mathbfb. Kwa hivyo usemi ninaotaka kujumuisha ni sawa na sin theta_12 sin theta_22 sin theta_32, ambapo theta_1, theta_2, theta_3 ni pembe kati ya mathbfa na mathbfi, mathbfj, mathbfk mtawalia. Ninashangaa ikiwa kuna njia ya kurahisisha usemi huu kwa kutumia vitambulisho vingine vya trigonometric au mali ya kijiometri ya vekta za kitengo. Ninagundua kuwa vekta za kitengo mathbfi, mathbfj, mathbfk huunda msingi wa kawaida wa mathbbR3, kwa hivyo vekta ya kitengo chochote mathbfa inaweza kuandikwa kama mchanganyiko wao wa mstari, sema mathbfa a_1 mathbfi a_2 mathbfj a_3 mathbfk, ambapo a_12 a_2 2 a_32 1. Kisha ninaweza kutumia fomula ya bidhaa ya nukta kupata cosine ya kila pembe: cos theta_1 mathbfa cdot mathbfi a_1, cos theta_2 mathbfa cdot mathbfj a_2, na cos theta_3 mathbfa cdot mathbfk a_3. Hii ina maana kwamba sin theta_1 sqrt1 - a_12, sin theta_2 sqrt1 - a_22, na sin theta_3 sqrt1 - a_3 2. Nikichomeka haya kwenye usemi, napata sqrt1 - a_122 sqrt1 - a_222 sqrt1 - a_322 3 - a_1 2 a_22 a_32. Lakini najua kuwa a_12 a_22 a_32 1, kwa hivyo usemi hurahisisha hadi 3 - 1 2. 