<prompt> Acha x, y, z, v, w ziwe nambari halisi chanya kama vile x2 y2 z2 v2 w2 2016. Acha M iwe ndio thamani ya juu zaidi yaxz 2yz 3zv 7zw,na ruhusu x_M, y_M, z_M, v_M, w_M ziwe thamani za x, y, z, v, w, mtawalia, zinazotoa thamani ya juu zaidi ya M. Pata M x_M y_M z_M v_M w_M.  <response>: Kumbuka kwamba xz 2yz 3zv 7zw zx 2y 3v 7w. Na Cauchy-Schwarz,anzaalignx 2y 3v 7w le sqrt1 4 9 49x2 y2 v2 w2 sqrt63 x2 y2 v2 w2 3 sqrt72016 - z2,mwishoalignhivyo zx 2y 3v 7w le 3z sqrt72016 - z2 3 sqrt7z2 2016 - z2. Na AM-GM,z2 2016 - z2 le kushoto fracz2 2016 - z22 kulia2 10082,hivyo3 sqrt7z2 2016 - z2 le 3 sqrt7 cdot 10082 3024 sqrt7. Usawa hutokea wakati x:y:v: w 1:2:3:7, z2 1008, na x2 y2 z2 v2 w2 2016, ambayo inaongoza kwa x 4, y 8, z 12 sqrt7, v 12, na w 28. Hivyo,M x_M y_M z_M v_M w_M 3024 sqrt7 4 8 12 sqrt7 12 28 52 3036 sqrt7. 