<prompt> Kadi arobaini huwekwa kwenye sanduku, kila moja ikiwa na nambari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, au 10, na kila nambari imewekwa kwenye kadi nne. Kadi nne hutolewa kutoka kwa sanduku kwa nasibu na bila uingizwaji. Acha p iwe uwezekano kwamba kadi zote nne ziwe na nambari sawa. Acha q iwe uwezekano kwamba kadi tatu zina nambari a na nyingine iwe na nambari b ambayo si sawa na a. Thamani ya qp ni nini?  <response>: Ninataka kulinganisha uwezekano wa matukio mawili: kupata kadi nne na nambari sawa, na kupata kadi tatu na nambari moja na kadi moja yenye nambari tofauti. Ili kupata uwezekano huu, ninahitaji kutumia dhana ya mchanganyiko, ambayo huhesabu idadi ya njia za kuchagua sehemu ndogo ya saizi fulani kutoka kwa seti kubwa. Ninahitaji pia kutumia sheria ya kuzidisha, ambayo inasema kwamba uwezekano wa matukio mawili huru kutokea ni bidhaa ya uwezekano wao wa kibinafsi. Kwa hivyo, wacha nianze kwa kutafuta p. Ili kupata kadi nne zilizo na nambari sawa, ninahitaji kuchagua moja ya nambari kumi, na kisha uchague kadi zote nne zilizo na nambari hiyo. Kuna binom101 10 njia za kuchagua nambari moja kati ya kumi, na kuna njia moja tu ya kuchagua kadi zote nne zilizo na nambari hiyo, kwa hivyo idadi ya jumla ya njia za kupata kadi nne na nambari sawa ni 10 mara 1 10. Jumla ya njia za kuchagua kadi nne kati ya arobaini ni binom404 91390. Kwa hivyo, uwezekano wa kupata kadi nne zilizo na nambari sawa ni p frac1091390. Sasa, wacha nitafute q. Ili kupata kadi tatu zenye nambari moja na kadi moja yenye nambari tofauti, ninahitaji kuchagua nambari moja kati ya kumi za kadi tatu, kisha chagua kadi tatu zilizo na nambari hiyo, kisha uchague nambari moja kati ya nambari tisa zilizobaki kwa kadi nyingine. na kisha chagua kadi moja yenye nambari hiyo. Kuna binom101 10 njia za kuchagua nambari moja kati ya kumi, na binom43 4 njia za kuchagua kadi tatu zilizo na nambari hiyo, na binom 91 njia 9 za kuchagua mojawapo ya nambari tisa zilizosalia, na binom41 4 njia za kuchagua kadi moja iliyo na nambari hiyo. Kwa hivyo, jumla ya njia za kupata kadi tatu zilizo na nambari moja na kadi moja iliyo na nambari tofauti ni 10 mara 4 mara 9 mara 4 1440 . Kwa hivyo, uwezekano wa kupata kadi tatu zilizo na nambari moja na kadi moja yenye nambari tofauti ni q frac144091390. Mwishowe, ili kupata thamani ya qp, ninahitaji tu kugawanya uwezekano huo mbili. Ninapata qp frac144091390 div frac1091390 frac144010 144. 