<prompt> Mlinganyo x2-kx-120 una masuluhisho kamili pekee kwa nambari kamili chanya k. Je! ni jumla gani ya thamani zote kama hizo za k?  <response>: Ninagundua kuwa mlinganyo huu ni wa quadratic, na ninataka kupata maadili ya k ambayo hufanya iweze kuzingatiwa juu ya nambari kamili. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia fomula ya quadratic na kuona wakati kibaguzi, ambacho ni k24cdot 12, ni mraba kamili. Vinginevyo, ningeweza kujaribu kuangazia equation kwa kutafuta nambari mbili kamili ambazo zinaongeza hadi -k na kuzidisha hadi -12. Nadhani njia ya pili inaweza kuwa rahisi, kwani naweza kuorodhesha mambo ya -12 na kuangalia hesabu zao. Sababu za -12 ni pm 1, pm 2, pm 3, pm 4, pm 6, pm 12. Ninaweza kuzioanisha na kuangalia hesabu zake: -1,12, -2,6, -3,4, 1,-12, 2,-6, 3,- 4 . Jumla ni 11, 4, 1, -11, -4, -1. Hizi ndizo thamani zinazowezekana za -k, kwa hivyo thamani zinazowezekana za k ni -11, -4, -1, 11, 4, 1. Ninataka tu maadili chanya, kwa hivyo mimi hutupa zile hasi. Jumla ya thamani chanya ya k ni 114116. 