<prompt> Kwa kila nambari kamili k, acha S_k iashiria mfuatano unaoongezeka wa hesabu wa nambari kamili ambao muhula wa kwanza ni 1 na ambao tofauti yao ya kawaida ni k. Kwa mfano, S_3 ni mfuatano 1,4,7,ldets. Je, S_k ina 2005 kama neno kwa thamani ngapi za k?  <response>: Ninajua kuwa mfuatano wa hesabu una neno la jumla la fomu a_n a_1 n-1d, ambapo a_1 ni muhula wa kwanza, d ni tofauti ya kawaida, na n ni neno. nambari. Katika tatizo hili, a_1 1 na d k, hivyo neno la jumla ni a_n 1 n-1k. Ninataka kujua ni lini a_n 2005, ili niweze kutatua n kulingana na k. Kutoa 1 kutoka pande zote mbili, ninapata n-1k 2004. Nikigawanya kwa k, ninapata n-1 frac2004k. Nikiongeza 1 kwa pande zote mbili, ninapata n frac2004k 1. Hii inamaanisha kuwa 2005 ni neno la S_k ikiwa tu frac2004k 1 ni nambari kamili chanya. Kwa maneno mengine, k lazima iwe kipengele chanya cha 2004. Ili kupata ni mambo ngapi 2004 ina, naweza kutumia factorization kuu. Ninaona kuwa 2004 inaweza kugawanywa na 4, kwa kuwa tarakimu zake mbili za mwisho ni 04. Kugawanya na 4, ninapata 501. Pia ninaona kuwa 501 inaweza kugawanywa na 3, kwa kuwa jumla ya tarakimu zake ni 6. Kugawanya na 3, ninapata 167. Ninaangalia kama 167 ni bora kwa kujaribu vigawanyiko vidogo vidogo, kama vile 2, 3, 5, 7, na 11. Hakuna hata kimoja kinachogawanya 167, kwa hivyo 167 ni bora. Kwa hivyo, msingi mkuu wa 2004 ni 22 cdot 3 cdot 167. Ili kupata idadi ya vipengele vya 2004, ninaweza kutumia fomula inayosema ikiwa ubainishaji mkuu wa nambari kamili ni p_1a_1 cdot p_2a_2 cdot cdots cdot p_ka_k , basi idadi ya vipengele ni a_1 1a_2 1 cdots a_k 1. Katika kesi hii, a_1 2, a_2 1, na a_3 1, hivyo idadi ya mambo ni 2 11 11 1 12. Kwa hivyo, kuna thamani 12 zinazowezekana za k zinazofanya 2005 muda wa S_k. 