<prompt> Ni nambari gani ndogo kabisa chanya inayotosheleza uwiano 4x equiv 13 pmod27?  <response>: Ninataka kupata nambari ndogo kabisa chanya x ambayo hufanya 4x kuacha salio ya 13 ikigawanywa na 27. Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kutumia algoriti ya Euclidean kupata kinyume cha 4 modulo 27, na kisha kuzidisha. pande zote mbili za mshikamano kwa kinyume hicho. Algorithm ya Euclidean inafanya kazi kwa kutumia mara kwa mara algorithm ya mgawanyiko ili kupata kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida GCD cha nambari mbili. Katika kesi hii, nataka kupata GCD ya 4 na 27, na pia kufuatilia coefficients zinazoelezea GCD kama mchanganyiko wa mstari wa 4 na 27. Ninaanza kwa kugawanya 27 na 4 na kupata mgawo wa 6 na a. salio la 3: 27 4 cdot 6 3. Kisha ninagawanya 4 kwa 3 na kupata mgawo wa 1 na salio ya 1: 4 3 cdot 1 1. Kwa kuwa salio ni 1, nimepata GCD ya 4 na 27, na ni 1. Hii pia ina maana kwamba 4 na 27 ni coprime, au kiasi kikubwa, na kwamba 4 ina modulo inverse 27. Ili kupata inverse, I. fanya kazi nyuma kutoka kwa milinganyo ya algorithm ya mgawanyiko na ueleze 1 kama mchanganyiko wa mstari wa 4 na 27. Kutoka kwa equation ya pili, nina 1 4 - 3 , na kutoka kwa equation ya kwanza, nina 3 27 - 4 cdot 6 . Kubadilisha 3 kwenye equation ya kwanza, ninapata 1 4 - 27 - 4 cdot 6. Kurahisisha na kupanga upya, napata 1 4 cdot 7 - 27. Hii inamaanisha kuwa 7 ni kinyume cha modulo 4 za 27, kwani 4 cdot 7 equiv 1 pmod27. Ili kupata nambari kamili chanya inayotosheleza uwiano 4x equiv 13 pmod27, ninazidisha pande zote mbili kwa 7 na kupata 7 cdot 4x equiv 7 cdot 13 pmod27. Kwa kurahisisha, ninapata x equiv 91 pmod27. Nambari kamili ndogo chanya ambayo inalingana na 91 modulo 27 ni 10, kwani 91 27 cdot 3 10. Kwa hivyo, jibu ni 10. 