<prompt> Acha k iwe nambari halisi kama k 1 nasum_n1infty frac5n-1kn frac134.Tafuta k.  <response>: Hebu S sum_n1infty frac5n-1kn frac4k frac9k2 frac14k3 dotsb.Kuzidisha kwa k hutupatiakS 4 frac9k frac14k2 frac19k3 dotsb.Kuondoa mlinganyo wa kwanza kutoka kwa toleo la pili. sisibeginalignedk-1S 4 frac5k frac5k2 frac5k3 dotsb 4 fracfrac5k1-frac1k 4 frac5k-1 frac4k 1k-1.mwishoiliyopangwaKwa hiyo,S frac4k 1k-12 frac134.Kupanga upya inatoa,16k 4 13k2-2k1.Kuleta masharti yote upande mmoja kunatupa13k2-42k9 0Factoring inatoak-313k-3 0.Hivyo, k3 au k frac313. Kwa kuwa tunaambiwa kuwa k 1 na muhimu zaidi, mfululizo huungana, tuna hiyo k 3. 