<prompt> Pata thamani ya juu zaidi yafx,y x sqrt1 - y2 y sqrt1 - x2,ambapo -1 le x, y le 1.  <response>: Hili linaonekana kama shida ya utoshelezaji iliyozuiliwa, ambapo ninataka kuongeza utendakazi wa anuwai mbili kulingana na vizuizi kadhaa vya usawa. Ningeweza kujaribu kutumia njia ya vizidishio vya Lagrange, lakini hiyo ingehusisha kupata vijirudishi vya f na kazi ya kizuizi, kuziweka sawa na kizidishio cha scalar, na kutatua x, y, na kizidishio. Hiyo inaonekana kuwa ya kuchosha na ya fujo. Nashangaa ikiwa kuna njia rahisi ya kushughulikia shida hii, labda kwa kutumia ufahamu wa kijiometri au algebraic. Ninagundua kuwa kikwazo -1 le x, y le 1 kinafafanua mraba katika xy-plane, na kwamba f ni linganifu kwa heshima na x na y. Hiyo inamaanisha ninahitaji tu kuzingatia roboduara moja ya mraba, sema roboduara ya kwanza ambapo 0 le x, y le 1, na thamani ya juu zaidi ya f kutakuwa sawa na katika roboduara zingine tatu. Pia ninaona kuwa chaguo la kukokotoa f linahusisha mizizi ya mraba ya 1 - x2 na 1 - y2, ambayo inanikumbusha nadharia ya Pythagorean na mduara wa kitengo. Kwa kweli, nikiruhusu x cos theta na y sin theta, ambapo 0 le theta le fracpi2, basi kikwazo kinaridhika kiotomatiki, na f inakuwafcos theta, sin theta cos theta sqrt1 - sin2 theta sin theta sqrt1 - cos2 theta cos theta cos theta sin theta sin theta 1. Hii ni kazi ya mara kwa mara, ambayo ina maana haitegemei theta, na thamani yake ni 1. Hii inamaanisha kuwa haijalishi ni hatua gani ninayochagua kwenye mpaka wa mraba, thamani ya f kutakuwa na 1. Kwa hivyo, thamani ya juu ya f ni 1, na inafikiwa wakati wowote kwenye mpaka wa mraba. Ili kuangalia hii, naweza kuunganisha sehemu za mipaka, kama vile 1, 0, 0, 1, -1, 0, na 0, -1, na kuthibitisha kuwa zote. toa f 1. Ninaweza pia kuthibitisha kuwa sehemu za ndani za mraba zinatoa thamani ndogo zaidi za f, kwa kuchomeka baadhi ya pointi nasibu, kama vile frac12, frac12, frac13, frac23, na fracsqrt22, fracsqrt22 , na kuona kwamba wote wanatoa f 1. Kwa hiyo, nina hakika kwamba thamani ya juu ya f ni 1, na ninaweza kuandika jibu langu la mwisho. 