<prompt> Ni nambari gani ndogo kabisa ya tarakimu mbili n ambayo inabadilisha tarakimu zake na kisha kuongeza matokeo 3 katika 2n?  <response>: Acha niite tarakimu kumi za n kama a na tarakimu hizo kama b. Kisha n 10a b na kubadili tarakimu zake kunatoa 10b a. Mlinganyo ninaohitaji kutatua ni 10b a 3 210a b. Ninaweza kurahisisha mlinganyo huu kwa kupanua mabano na kusogeza kila kitu upande mmoja: 8b - 19a 3 0. Ninaona kuwa equation hii ni ya mstari katika a na b, kwa hivyo ninaweza kujaribu kupata suluhisho kamili kwa kutumia hesabu ya kawaida. Nikichukua pande zote mbili za modulo ya 8 ya mlingano, nitapata -3a 3 equiv 0 pmod8. Ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa -3, ambayo ni coprime hadi 8, na kupata a equiv 1 pmod8. Hii inamaanisha kuwa a lazima iwe ya 8k 1, ambapo k ni nambari kamili. Kwa kuwa a ni tarakimu, inaweza tu kuchukua thamani kutoka 0 hadi 9, kwa hivyo thamani zinazowezekana za a ni 1 na 9. Nikichomeka a 1 kwenye mlinganyo wa asili, nitapata 8b. - 19 3 0, au b 2. Hii inanipa thamani moja inayowezekana kwa n, ambayo ni n 10a b 12. Nikichomeka a 9 kwenye mlinganyo wa asili, nitapata 8b - 171 3 0, au b 21. Hii sio nambari halali, kwa hivyo hakuna suluhisho lingine la n. Kwa hivyo, nambari ndogo kabisa ya tarakimu mbili inayokidhi hali iliyotolewa ni 12. 