<prompt> Kwa thamani gani halisi ya k ni frac13-sqrt1314 mzizi wa 2x2-13xk?  <response>: Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia ukweli kwamba ikiwa r ni mzizi wa equation ya quadratic, basi hivyo ni conjugate yake, ambayo hupatikana kwa kubadilisha ishara ya sehemu kali. Kwa hivyo, ikiwa frac13-sqrt1314 ni mzizi, basi ni frac13sqrt1314. Sasa nina mizizi miwili, na ninaweza kutumia ukweli kwamba jumla ya mizizi ya equation ya quadratic ni sawa na mgawo hasi wa x iliyogawanywa na mgawo wa kuongoza. Katika hali hii, hiyo inamaanisha frac13-sqrt1314 frac13sqrt1314 -frac-132. Kwa kurahisisha, ninapata frac264 frac132. Ifuatayo, ninaweza kutumia ukweli mwingine kuhusu equations za quadratic, ambayo ni kwamba bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la mara kwa mara lililogawanywa na mgawo wa kuongoza. Katika hali hii, hiyo inamaanisha frac13-sqrt1314 cdot frac13sqrt1314 frack2. Ili kurahisisha hili, naweza kutumia tofauti za fomula ya mraba, ambayo inasema kwamba a-bab a2 - b2. Kwa hivyo, frac13-sqrt1314 cdot frac13sqrt1314 frac132 - sqrt1312 42 frac169 - 13116 frac3816. Kwa hivyo, frack2 frac3816. Nikitatua kwa k, ninapata k frac3816 cdot 2 frac388 frac194. 