<prompt> Pointi P iko kwenye kilalo AC cha mraba ABCD na AP CP. Acha O_1 na O_2 ziwe viinishi vya pembetatu ABP na CDP mtawalia. Ikizingatiwa kuwa AB 12 na angle O_1PO_2 120circ, kisha AP sqrta sqrtb, ambapo a na b ni nambari kamili chanya. Tafuta a b.  <response>: Onyesha katikati ya overlineDC iwe E na katikati ya overlineAB iwe F. Kwa sababu wao ndio wahusika, Os zote mbili ziko kwenye vipengee viwili vya AB na CD na visekta viwili hivi vinapitia E na F.Imetolewa kuwa angle O_1PO_2120circ. Kwa sababu O_1P na O_1B ni radii za mduara sawa, zina urefu sawa. Hii pia ni kweli kuhusu O_2P na O_2D. Kwa sababu mangle CABmangle ACD45circ, mstackrelfrownPDmstackrelfrownPB245circ 90circ. Kwa hivyo, O_1PB na O_2PD ni pembetatu za kulia za isosceles. Kwa kutumia maelezo uliyopewa hapo juu na ulinganifu, mangle DPB 120circ. Kwa sababu ABP na ADP zinashiriki upande mmoja, zina upande mmoja wenye urefu sawa, na pembe moja sawa, zinalingana na SAS. Hii pia ni kweli kwa pembetatu CPB na CPD. Kwa sababu pembe APB na APD ni sawa na zina jumla ya digrii 120, kila moja ni digrii 60. Vile vile, pembe zote CPB na CPD zina vipimo vya digrii 120.Kwa sababu pembe za ndani za pembetatu zinaongeza digrii 180, angle ya ABP ina kipimo cha digrii 75 na angle ya PDC ina kipimo cha digrii 15. Ikiondoa, imebainika kuwa pembe zote O_1BF na O_2DE zina vipimo vya digrii 30. Kwa hivyo, pembetatu zote mbili O_1BF na O_2DE ni pembetatu 30-60-90 za kulia. Kwa sababu F na E ndizo sehemu za kati za AB na CD mtawalia, FB na DE zina urefu wa 6. Kwa hivyo, DO_2BO_14sqrt3. Kwa sababu ya pembetatu 45-45-90 za kulia, PBPD4sqrt6.Sasa, kuruhusu x AP na kutumia Sheria ya Cosines kwenye pembetatu ABP, tunayo96144x2-24xfracsqrt20x2-12xsqrt248Kwa kutumia formula ya quadratic, tunafikax sqrt72 pm sqrt24Kuchukua mzizi chanya, APsqrt72 sqrt24 na jibu ni 96. 