<prompt> Alice na Bob wanacheza mchezo. Alice anaanza kwanza. Kwa upande wa Alice, yeye flips sarafu. Ikiwa anapata vichwa, anashinda. Ikiwa sivyo, inakuwa zamu ya Bob. Kwa upande wa Bob, anarusha sarafu. Ikiwa anapata mkia, anashinda. Ikiwa sivyo, inakuwa zamu ya Alice. Je, kuna uwezekano gani kwamba Alice atashinda mchezo?  <response>: Alice ana nafasi ya 12 ya kushinda mchezo kwa zamu yake ya kwanza. Asipofanya hivyo, basi uwezekano wa kushinda mchezo huo katika zamu yake ya pili ni 18, kwa vile ni lazima asishinde kwenye mrengo wake wa kwanza nafasi 12, Bob lazima asishinde kwenye mkupuo wake wa kwanza 12 nafasi, na kisha Alice lazima ashinde kwenye flip yake ya pili nafasi ya 12. Uwezekano wa kushinda mchezo katika zamu yake ya tatu ni 132, na kwa ujumla, uwezekano wa kushinda mchezo kwa zamu yake ya ktextth ni 122k -1. Kwa hivyo, uwezekano kwamba Alice atashinda ni mfululizo wa kijiometri usio na kikomo wenye muhula wa kwanza 12 na uwiano wa kawaida 14. Kwa hivyo, uwezekano kwamba Alice atashinda mchezo ni fracfrac12 1-frac14 frac23.ORKumbuka kuwa tofauti pekee kati ya uwezekano wa Alice au Bob kushinda ni nani anatangulia. Kwa sababu Bob anashika nafasi ya pili, uwezekano wa yeye kushinda kwenye ktextth flip yake ni nusu ya uwezekano ambao Alice atashinda kwa ktextth flip yake, kwa kuwa ni lazima Alice apate mkia kwanza. kabla Bob hajapata nafasi ya kushinda. Kwa hivyo, ikiwa a ni nafasi ya Alice ya kushinda, na b ni nafasi ya Bob kushinda, basi a 2b. Pia, kwa vile mtu lazima ashinde, a b 1. Inafuata kwamba a 23 na b 13, kwa hivyo Alice ana nafasi ya frac23 ya kushinda mchezo. 