<prompt> Acha T iwe seti ya a,b,c zote tatu za nambari kamili chanya ambazo kuna pembetatu zenye urefu wa upande a, b, c. Computejumla_a,b,c katika T frac2a3b 5c.  <response>: Kwa pembetatu yenye urefu wa upande a, b, c, let s fraca b c2, na letanzaalignx s - a frac-a b c2, y s - b fraca - b c2, z s - c fraca b - c2.endalignKwa Kutokuwa na Usawa kwa Pembetatu, x, y, na z zote ni chanya. Mbinu hii mara nyingi hujulikana kama Ubadilishaji wa Ravi. Kumbuka kwambaanzaaligna y z, b x z, c x y.endalignIkiwa s ni sawa, basi x,y, na z zote ni nambari kamili chanya. Kwa hivyo, tunaweza kuweka x i, y j, na z k, ambayo inatupa parameterization a,b,c j k, i k, i j .Ikiwa s ni isiyo ya kawaida, basi x, y, na z zote ni za fomu n - frac12, ambapo n ni nambari kamili chanya. Kwa hivyo, tunaweza kuweka x i - frac12, y j - frac12, na z k - frac12. Hii inatupa parameterization a,b,c j k - 1, i k - 1, i j - 1.Kwa hivyo, jumla yetu nianzaalignjumla_a,b,c katika T frac2a3b 5c sum_i 1infty sum_j 1 infty sum_k 1infty kushoto frac2j k3i k 5i j frac2j k - 1 3i k - 1 5i j - 1 kulia sum_i 1infty sum_j 1infty sum_k 1infty left frac2j k3 i k 5i j frac152 cdot frac2j k3i k 5i j haki frac172 sum_i 1infty sum_j 1infty sum_k 1infty frac2j k 3i k 5i j frac172 sum_i 1infty frac115i sum_j 1infty left frac25 kuliaj sum_k 1infty kushoto frac23 kuliak frac172 cdot frac1151 - 115 cdot frac251 - 25 cdot frac23 1 - 23 frac1721.mwishopanga 