<prompt> Pande mbili za pembetatu ya kulia zina urefu wa 4 na 5. Je, ni bidhaa gani ya urefu unaowezekana wa upande wa tatu? Onyesha bidhaa kama desimali iliyozungushwa hadi sehemu ya kumi iliyo karibu zaidi.  <response>: Ninajua kwamba nadharia ya Pythagorean inahusiana na urefu wa pande za pembetatu ya kulia kwa 2 b2 c2, ambapo a na b ni miguu na c ni hypotenuse. Kwa hivyo, ikiwa nina pande mbili za urefu wa 4 na 5, ninaweza kuziunganisha kwenye equation na kutatua kwa upande wa tatu. Ikiwa nitaacha 4 iwe a na 5 iwe b, basi nina 42 52 c2, ambayo hurahisisha hadi 16 25 c2. Kuongeza 16 na 25 kunatoa 41, kwa hivyo c2 41. Kuchukua mizizi ya mraba ya pande zote mbili, napata c plus au minus sqrt41. Lakini, c lazima iwe chanya, kwani ni urefu, kwa hivyo mimi hupuuza thamani hasi na kuweka c sqrt41. Hii inamaanisha kuwa urefu mmoja unaowezekana kwa upande wa tatu ni sqrt41, ambayo ni takriban 6.4. Lakini, kuna uwezekano mwingine. Ningeweza pia kuruhusu 4 iwe b na 5 iwe c, halafu ningekuwa na 2 42 52, ambayo hurahisisha kuwa a2 16 25. Nikitoa 16 kutoka pande zote mbili, ninapata 2 9. Kuchukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili, ninapata plus au minus 3. Tena, ninapuuza thamani hasi na kuweka 3. Hii ina maana kwamba urefu mwingine unaowezekana kwa upande wa tatu ni 3. Kwa hiyo, urefu mbili zinazowezekana kwa upande wa tatu ni 3 na sqrt 41. Ili kupata bidhaa ya urefu huu, ninazidisha pamoja. 3 sqrt41 ni takriban 19.2. 