<prompt> Tuseme a ni nambari kamili kiasi kwamba 0 le a le 14, na 235935623_74-a ni mgawo wa 15. a ni nini?  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kutumia ukweli fulani kuhusu hesabu za kawaida na ubadilishaji msingi. Kwanza, ninagundua kuwa 235935623_74 ni nambari katika msingi 74, kumaanisha kwamba kila tarakimu inawakilisha nguvu ya 74. Kwa mfano, tarakimu ya kulia zaidi ni mahali pale, inayofuata ni mahali pa 74s, na kadhalika. Ili kubadilisha nambari hii kuwa msingi wa 10, ninahitaji kuzidisha kila tarakimu kwa nguvu yake inayolingana ya 74 na kuziongeza. Kwa hivyo, 235935623_742cdot 7483cdot 7475cdot 7469cdot 7453cdot 7445cdot 743 6cdot 7422cdot 7413cdot 740. Hii ni idadi kubwa sana, lakini sihitaji kuihesabu haswa. Ninahitaji tu kujua salio lake linapogawanywa na 15, kwani hiyo itaamua ni thamani gani ya a inafanya kuwa nyingi ya 15. Ili kupata salio, ninaweza kutumia ukweli kwamba ikiwa a equiv b pmodm na c equiv d pmodm, basi ac equiv bd pmodm na ac equiv bd pmodm. Hii ina maana kwamba ninaweza kuongeza au kuzidisha nambari zozote mbili na kuzingatia tu masalio yao modulo 15, kwa kuwa salio la mwisho litakuwa sawa. Kwa mfano, 74 equiv 14 pmod15, hivyo 742 equiv 142 pmod15. Vile vile, 743 equiv 143 pmod15, na kadhalika. Kwa hivyo, ninaweza kuandika upya kila neno katika nambari ya msingi ya 74 kama moduli iliyobaki 15. Kwa hivyo, 235935623_74sawa 2cdot 1483cdot 1475cdot 1469cdot 1453cdot 1445cdot 143 6cdot 1422cdot 1413cdot 140 pmod15. Sasa, ninahitaji kurahisisha kila nguvu ya 14 modulo 15. Kwa hivyo, kila nguvu inayolingana ya 14 inalingana na 1 na kila nguvu isiyo ya kawaida inalingana na 14 modulo 15. Hii ina maana kwamba 148 sawa 1 pmod15, 147 equiv 14 pmod15, 146 equiv 1 pmod15, 145 equiv 14 pmod 15, na kadhalika. Kwa hivyo, ninaweza kubadilisha thamani hizi katika nambari ya msingi ya 74 na kupata 235935623_74equiv 2cdot 13cdot 145cdot 19cdot 143cdot 15cdot 146cdot 12cdot 143cdot 1 pmod15. Hii hurahisisha 235935623_74sawa 24251263706283 pmod15. Ninaweza kuongeza nambari hizi na kupata 235935623_74equiv 285 pmod15. Ili kupata salio la mwisho, ninaweza kugawanya 285 kwa 15 na kupata mgawo wa 19 na salio la 0. Kwa hivyo, 235935623_74sawa 0 pmod15. Hii ina maana kwamba 235935623_74 tayari ni mgawo wa 15, na sihitaji kutoa chochote kutoka kwayo. Kwa hivyo, thamani ya a ambayo hufanya 235935623_74-a kizidisho cha 15 ni a0. 