<prompt> Tuseme kwamba grafu ya 2x2 y2 8x - 10y c 0inajumuisha nukta moja. Katika kesi hii, tunaita grafu kuwa duaradufu iliyoharibika. Tafuta c.  <response>: Shida hii ni juu ya kupata thamani ya c ambayo hufanya mlinganyo wa duaradufu kuharibika, kumaanisha kuwa haina urefu au upana na ni nukta moja tu. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kuelewa ni nini hufanya duaradufu kuharibika hapo kwanza. Nakumbuka kwamba mlinganyo wa jumla wa duaradufu ni fracx-h2a2 fracy-k2b2 1, ambapo h ,k ndio kitovu, a ni mhimili nusu mkuu, na b ni mhimili wa nusu-ndogo. Pia ninakumbuka kwamba duaradufu imeharibika ikiwa tu a 0 au b 0, ambayo ina maana kwamba nambari ya sehemu moja ya sehemu lazima iwe sifuri kwa thamani zote za x na y. Ninaweza kutumia wazo hili kuandika upya mlinganyo uliotolewa kwa njia inayofanana na aina ya jumla ya duaradufu. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kukamilisha mraba kwa masharti yote ya x na y. Kwa masharti ya x, nina 2x2 8x 2x2 4x 2x2 4x 4 - 8 2x22 - 8. Kwa masharti y, nina y2 - 10y y2 - 10y 25 - 25 y-52 - 25. Kwa hivyo mlinganyo unakuwa 2 x22 - 8 y-52 - 25 c 0. Ninaweza kurahisisha hili kwa kuchanganya masharti ya kudumu: 2x22 y- 52 33 - c. Ili kufanya duaradufu hii kuharibika, ninahitaji mhimili wa nusu kuu au nusu-ndogo kuwa sifuri, ambayo ina maana kwamba 33-c lazima sifuri. Kwa hivyo naweza kutatua kwa c kwa kuweka 33-c 0 na kupata c 33. 