<prompt> Imara katika umbo la koni ya duara ya kulia ina urefu wa inchi 4 na msingi wake una radius ya inchi 3. Uso mzima wa koni, ikiwa ni pamoja na msingi wake, ni rangi. Ndege inayolingana na msingi wa koni hugawanya koni kuwa yabisi mbili, koni ndogo yenye umbo la koni C na ngumu yenye umbo la frustum F, kwa njia ambayo uwiano kati ya maeneo ya nyuso zilizopakwa rangi. C na F na uwiano kati ya juzuu za C na F zote ni sawa na k. Kwa kuzingatia kwamba kfrac m n, ambapo m na n ni nambari kamili chanya, tafuta mn.  <response>: Uzito wetu halisi una kiasi sawa na V frac13 pi r2 h frac13 pi 32cdot 4 12 pi na ina eneo la uso A pi r2 pi r ell, ambapo ell ni urefu wa mshazari wa koni. Kwa kutumia Theorem ya Pythagorean, tunapata ell 5 na A 24pi.Acha x ionyeshe eneo la koni ndogo. Acha A_c na A_f waonyeshe eneo la uso uliopakwa rangi kwenye koni C na frustum F, mtawalia, na V_c na V_f waonyeshe ujazo wa koni C na frustum F , kwa mtiririko huo. Kwa sababu mkato wa ndege unalingana na msingi wa dhabiti yetu, C ni sawa na ile thabiti ambayo haijakatwa na kwa hivyo urefu na urefu wa koni C ni frac43x na frac. 53x, mtawalia. Kwa kutumia fomula ya eneo la kando la koni, tunapata kwamba A_cfrac12ccdot ellfrac122pi xleftfrac 53xkuliafrac53pi x2. Kwa kutoa A_c kutoka eneo la uso wa kigumu asili, tunapata kwamba A_f24pi - frac53pi x2.Kisha, tunaweza kukokotoa V_cfrac13pi r2hfrac13pi x2 kushotofrac43xkulia frac49pi x3. Hatimaye, tunatoa V_c kutoka kiasi cha koni asili ili kupata V_f12pi - frac49pi x3. Tunajua kwamba fracA_cA_ffracV_cV_fk. Tukichomeka thamani zetu za A_c, A_f, V_c, na V_f, tunapata equation fracfrac53pi x224pi - frac53pi x2fracfrac49 pi x312pi - frac49pi x3. Tunaweza kuchukua ulinganifu wa pande zote mbili ili kurahisisha mlingano huu kuwa frac725x2 - 1 frac27x3 - 1 na hivyo x frac15101 8. Kisha k fracfrac53pi x224pi - frac53pi x2 frac125387 frac mn kwa hivyo jibu ni mn125387512. 