<prompt> Puto ya duara iliyojaa maji hutua kando ya barabara, ikininginia kwa muda hadi kwenye hemisphere. Uwiano wa kipenyo cha puto ya duara na kipenyo cha nusutufe inaweza kuonyeshwa kwa njia ya sqrt3a kwa baadhi ya nambari halisi a. Kokotoa a.  <response>: Ninajua kuwa ujazo wa tufe ni sawia na mchemraba wa radius yake, na ujazo wa hemisphere ni nusu ya hiyo. Kwa hivyo ikiwa kipenyo cha puto ya duara ni r, na kipenyo cha nusufefe ni R, basi nina mlinganyo frac43pi r3 frac22 3pi R3. Ninaweza kughairi vipengele vya kawaida na kurahisisha hili kuwa r3 frac12 R3. Kuchukua mzizi wa mchemraba wa pande zote mbili, napata r sqrt3frac12 R. Hii ina maana kwamba uwiano wa kipenyo cha puto ya duara na radius ya hemisphere ni sqrt3frac12. Kwa hivyo, thamani ya a ni frac12. 