<prompt> Rose ina spherical plum ya radius 2 na watermelon duara ya radius 8. Yeye hujenga kioo duara kuzunguka matunda hayo mawili ili kuwa na yao, na kufanya tufe kuwa ndogo iwezekanavyo. Wakati amefanya hivi, kiasi kilichomo ndani ya tufe, lakini si kwenye plum au tikiti maji, ni Kpi. Thamani ya K ni nini?  <response>: Ili kufanya tufe la kioo kuwa ndogo iwezekanavyo, plum na tikiti maji zinapaswa kugusa---yaani, zinapaswa kuwa tufe za tangent nje. Kwa kuwa plum ina hatua ambayo ina umbali wa 20 kutoka kwa hatua nyingine kwenye tikiti, nyanja yoyote iliyo na plum na tikiti lazima iwe na radius angalau 10. Kwa upande mwingine, Rose anaweza kuifunga zote mbili katika nyanja ya radius 10, kama inavyoonyeshwa kwenye mchoro hapa chini:asyukanda duara jozi c, r halisi, t halisi.2, int prec15mwongozo bot, toppom;delt halisi 2 r prec;halisi x c.x - r;kweli dy;kwa int i0; i prec;idy t sqrtr2 - x-c.x2;bot bot..x,c.y-dy;toppom toppom..x,c.ydy;x futa;njia ya chini bot;njia ya juu toppom;kuchora chini;kuchora juu, dashed;jazamduara-2,0,2,rgb.7,0,.7;jazamduara8,0,8,rgb0,.8,0;choramduara-2,0,2;choramduara8,0,8;choramduara6,0,10;ukanda wa sphere -2,0,2;ukanda duara8,0,8;asyKwa hivyo nyanja ndogo kabisa inayoweza kuwa na plum na tikiti maji ina radius 10. Kwa hivyo inabakia kutoa ujazo wa nyanja ya radius 2 na nyanja ya radius 8 kutoka kwa nyanja ya radius 10. Kwa kuwa kiasi cha nyanja ya radius r ni frac43 pi r3, inafuata kwamba sauti inayohusika ni beginalign frac43 pi cdot 103 - frac43pi cdot 83 - frac43 pi cdot 23 frac43 pi 103 - 83 - 23 frac43 pi 1000 - 512 - 8 frac43 pi cdot 480 640 pi .endalignKwa hivyo jibu letu ni 640.Pia tungeweza kurahisisha hesabu ya mwisho kwa kubainisha kuwa kwa ujumla ab3 - a3 - b3 3a2b 3ab2 3abab . Kuweka a2 na b8, tumeanzishaalignfrac43pi ab3 - frac43 pi a3 - frac43 pi b3 frac43pi bigl ab3 - a3 - b3 bigr frac43 pi cdot 3abab 4 pi abab . endalignHii inatuambia kwamba K 4abab 4 cdot 2 cdot 8 cdot 10 640, kama hapo awali. 