<prompt> Pembetatu ina urefu wa upande 7, 8, na 9. Kuna mistari miwili haswa ambayo wakati huo huo hugawanya mzunguko na eneo la pembetatu. Acha theta iwe pembe ya papo hapo kati ya mistari hii miwili. Tafuta tan theta.asyukubwa wa kitengo 0.5 cm;jozi A, B, C, P, Q, R, S, X;B 0,0;C 8,0;A sehemu ya makutanoarcB,7,0,180,arcC,9,0,180;P interpA,B,12 - 3sqrt227;Q interpA,C,12 3sqrt229;R interpC,A,69;S interpC,B,68;X kiendeleziP,Q,R,S;kuchoraA--B--C--mzunguko;kuchorainterpP,Q,-0.2--interpP,Q,1.2,nyekundu;kuchorainterpR,S,-0.2--interpR,S,1.2,bluu;lebotheta, X 0.8,0.4;asy  <response>: Acha pembetatu iwe ABC, ambapo AB 7, BC 8, na AC 9. Acha mistari miwili iwe PQ na RS, kama inavyoonyeshwa hapa chini.asyukubwa wa kitengo cm 0.6;jozi A, B, C, P, Q, R, S, X;B 0,0;C 8,0;A sehemu ya makutanoarcB,7,0,180,arcC,9,0,180;P interpA,B,12 - 3sqrt227;Q interpA,C,12 3sqrt229;R interpC,A,69;S interpC,B,68;X kiendeleziP,Q,R,S;kuchoraA--B--C--mzunguko;kuchorainterpP,Q,-0.2--interpP,Q,1.2,nyekundu;kuchorainterpR,S,-0.2--interpR,S,1.2,bluu;lebotheta, X 0.7,0.4;leboA, A, N;leboB, B, SW;leboC, C, SE;leboP, P, SW;leboQ, Q, NE;leboR, R, E;leboS, S, SE;asyAcha p AP na q AQ. Kwa kuwa mstari PQ unagawanya mzunguko wa pembetatu,p q frac7 8 92 12.Eneo la pembetatu APQ ni frac12 pq sin A, na eneo la pembetatu ABC ni frac12 cdot 7 cdot 9 cdot sin A frac632 sin A. Kwa kuwa mstari PQ inagawanya eneo la pembetatu mara mbili. ,frac12 pq sin A frac12 cdot frac632 sin A,so pq frac632 . Kisha kwa fomula za Vieta, p na q ndio mizizi ya quadratic.t2 - 12t frac632 0.Kwa fomula ya quadratic,t frac12 pm 3 sqrt22.Kwa kuwa frac12 3 sqrt22 8 na p AP AB 7, lazima tuwe na p frac12 - 3 sqrt22 na q frac12 3 sqrt22.Vile vile, ikiwa tutaruhusu r CR na s CS, basi rs 36 na r s 12, hivyo r s 6. Kwa kupitia hesabu, tunaweza pia thibitisha kuwa hakuna mstari wa kugawanya mara mbili unaokatiza overlineAB na overlineBC.Acha X iwe makutano ya mistari PQ na RS. Acha Y iwe sehemu ya mwinuko kutoka P hadi overlineAC.asyukubwa wa kitengo cm 0.6;jozi A, B, C, P, Q, R, S, X, Y;B 0,0;C 8,0;A sehemu ya makutanoarcB,7,0,180,arcC,9,0,180;P interpA,B,12 - 3sqrt227;Q interpA,C,12 3sqrt229;R interpC,A,69;S interpC,B,68;X kiendeleziP,Q,R,S;Y P tafakariA,CP2;kuchoraA--B--C--mzunguko;choraP--Y;kuchoraP--Q;leboA, A, N;leboB, B, SW;leboC, C, SE;leboP, P, W;leboQ, Q, NE;leboY, Y, NE;asyKwa Sheria ya Cosine kwenye pembetatu ABC,cos A frac72 92 - 822 cdot 7 cdot 9 frac1121.Kishasin A sqrt1 - cos2 A frac8 sqrt521,hivyoanzaaligntan pembe AQP fracPYQY fracAP sin AAQ - AY fracAP sin AAQ - AP cos A fracfrac12 - 3 sqrt22 cdot frac8 sqrt521frac12 3 sqrt221 2 - frac12 - 3 sqrt22 cdot frac1121 3 sqrt10 - 4 sqrt5.endalignTena kwa Sheria ya Cosines kwenye pembetatu ABC,cos C frac82 92 - 722 cdot 8 cdot 9 frac23.Kishasin C sqrt1 - cos2 C fracsqrt53.Kwa kuwa CR CS,anzaaligntan pembe CRS tan kushoto 90circ - fracC2 kulia frac1tan fracC2 fracsin fracC21 - cos fracC2 fracfracsqrt531 - frac23 sqrt5.mwishoalignMwishowe,anzaaligntan theta tan 180circ - tan pembe AQP - tan pembe CRS -tan pembe AQP pembe CRS -fractan pembe AQP tan pembe CRS1 - tan angle AQP tan pembe CRS -frac3 sqrt10 - 4 sqrt5 sqrt51 - 3 sqrt10 - 4 sqrt5 sqrt5 -frac3 sqrt10 - 3 sqrt521 - 15 sqrt2 fracsqrt10 - sqrt55 sqrt2 - 7 fracsqrt10 - sqrt55 sqrt2 75 sqrt2 - 75 sqrt2 7 3 sqrt5 2 sqrt10.mwishopanga 