<prompt> Tafuta jumla ya thamani zote changamano za a, kiasi kwamba polynomia x4 a2 - 1 x2 a3 ina mizizi changamano miwili tofauti kabisa.  <response>: Kumbuka kuwa ikiwa r ni mzizi, basi ni -r, hivyo mizizi ni ya umbo p, -p, q, -q, kwa baadhi ya nambari changamano p na q. Kwa kuwa kuna mizizi miwili pekee, angalau thamani mbili kati ya hizi lazima ziwe sawa.Ikiwa p -p, basi p 0 ni mzizi. Kwa hivyo, kwa kuweka x 0, lazima tupate 0. Kwa maneno mengine, a3 0, hivyo a 0. Lakini basi polynomial nix4 - x2 x2 x - 1x 1 0,kwa hivyo kuna mizizi mitatu. Kwa hivyo, hakuna suluhisho katika kesi hii.Vinginevyo, p pm q, kwa hivyo mizizi ni ya fomu p, p, -p, -p, na quartic ni.x - p2 x p2 x4 - 2p2 x2 p4.Migawo inayolingana, tunapata -2p2 a2 - 1 na p4 a3. Kisha p2 frac1 - a22, hivyokushoto frac1 - a22 kulia2 a3.Hii hurahisisha a4 - 4a3 - 2a2 1 0.Acha fx x4 - 4x3 - 2x2 1. Kwa kuwa f0.51 0 na f0.52 0, kuna mzizi mmoja katika kipindi 0.51,0.52. Kwa kuwa f4.43 0 na f4.44 0, kuna mzizi mwingine katika kipindi 4.43,4.44. Kuondoa mizizi hii, tunasalia na quadratic ambayo mgawo wake ni takribanx2 0.95x 0.44 0.Kibaguzi ni hasi, kwa hivyo quadratic hii ina mizizi miwili tofauti, isiyo halisi changamano. Kwa hivyo, mizizi yote ya a4 - 4a3 - 2a2 1 0 ni tofauti, na kwa fomula za Vieta, jumla yao ni 4. 