<prompt> Thibitisha kuwa kila chaguo la kukokotoa linaloendelea kwenye muda uliofungwa a, b ni endelevu kwa usawa.  <response>: Ili kudhibitisha kwamba kila kitendakazi kinachoendelea kwenye muda uliofungwa a, b ni endelevu kwa usawa, tutatumia ufafanuzi wa mwendelezo sawa na kuonyesha kwamba kwa ε 0 yoyote, kuna δ 0 vile fx - f. y ε wakati wowote x - y δ kwa wote x, y katika a, b.Acha f iwe kazi inayoendelea kwenye muda uliofungwa a, b. Kwa kuwa f inaendelea kwenye a, b, pia ni endelevu katika kila nukta katika muda. Kwa nadharia ya Heine-Cantor, ikiwa chaguo la kukokotoa linaendelea kwenye seti ya kompakt na muda uliofungwa ni seti ya kompakt, basi ni sawa kuendelea.Uthibitisho kwa ukinzani: Chukulia kuwa f haiendelei kwa usawa kwenye a, b. Kisha, kuna ε 0 kama kwamba kwa δ 0 yoyote, kuna alama x, y katika a, b na x - y δ lakini fx - fy ε.Sasa, zingatia mfuatano δ_n ambapo δ_n 1n kwa n N. Kwa kila δ_n, kuna pointi x_n, y_n katika a, b hivi kwamba x_n - y_n δ_n lakini fx_n - fy_n ε. Tuna mifuatano miwili x_n na y_n katika muda a, b.Kwa kuwa a, b ni seti iliyoshikamana, mfuatano x_n una mtiririko wa kufuatana x_n_k ambao huungana hadi kiwango fulani cha L katika a, b. Sasa, hebu tuchunguze mfuatano y_n_k unaolingana na mtiririko huu. Kumbuka kwamba x_n_k - y_n_k 1n_k, ambayo huenda kwa 0 kama k . Kwa usawa wa pembetatu, tunayo:y_n_k - L y_n_k - x_n_k x_n_k - LKwa kuwa zote mbili y_n_k - x_n_k na x_n_k - L nenda kwa 0 kama k , inafuata kwamba y_n_k pia hubadilika kuwa L.Sasa, kwa kuwa f inaendelea kwa L, kwa ε yoyote 0, kuna δ 0 vile fx - fL ε2 wakati wowote x - L δ. Chagua N N kiasi kwamba 1N δ2. Kisha, kwa yote k N, tunayo:fx_n_k - fy_n_k fx_n_k - fL - fy_n_k - fLKwa usawa wa pembetatu, hii ni chini ya au sawa nafx_n_k - fL fy_n_k - fLKwa k kubwa ya kutosha, zote mbili x_n_k - L na y_n_k - L ni chini ya δ, kwa hivyo kwa chaguo letu la δ,fx_n_k - fL ε2 na fy_n_k - fL ε2Kwa hivyo, fx_n_k - fy_n_k ε, ambayo inakinzana na dhana yetu kwamba fx_n - fy_n ε kwa wote n. Kwa hivyo, dhana yetu ya awali kwamba f haiendelei sawasawa kwenye a, b lazima iwe ya uwongo, na kwa hivyo f kwa hakika inaendelea kwa usawa katika muda uliofungwa a, b. 