<prompt> Tafuta idadi ya milinganyo ya quadratic ya fomu x2 ax b 0, hivi kwamba wakati wowote c ni mzizi wa equation, c2 - 2 pia ni mzizi wa equation.  <response>: Acha mizizi iwe r na s sio lazima iwe halisi. Tunachukua matukio ambapo r s na r neq s.Kesi ya 1: r s.Kwa kuwa r ndio mzizi pekee, ni lazima tuwe na r2 - 2 r. Kisha r2 - r - 2 0, ambayo vipengele kama r - 2r 1 0, hivyo r 2 au r -1. Hii husababisha quadratics x2 - 4x 4 na x2 2x 1.Kesi ya 2: r neq s.Kila moja ya r2 - 2 na s2 - 2 lazima iwe sawa na r au s. Tuna visa vitatu:i r2 - 2 r na s2 - 2 s.ii r2 - 2 s na s2 - 2 r.iii r2 - 2 s2 - 2 r.Katika hali ya i, kama inavyoonekana kutoka kwa Kesi r, s katika 2,-1. Hii inasababisha x - 2x 1 x2 - x quadratic. -2.Katika hali ii, r2 - 2 s na s2 - 2 r. Tukiondoa milinganyo hii, tunapatar2 - s2 s - r.Kisha r - sr s s - r. Kwa kuwa r - s neq 0, tunaweza kugawanya pande zote mbili kwa r - s, kupata r s -1. Kuongeza milinganyo r2 - 2 s na s2 - 2 r, tunapatar2 s2 - 4 r s -1,hivyo r2 s2 3. Kuweka mlinganyo r s -1, tunapata r 2 2rs s2 1, hivyo 2rs -2, au rs -1. Kwa hivyo, r na s ndio mizizi ya x2 x - 1. Katika hali iii, r2 - 2 s2 - 2 r. Kisha r2 - r - 2 0, hivyo r 2 au r -1.Iwapo r 2, basi s2 4, hivyo s -2. Tunachukulia kuwa r neq s. Hii inasababisha x - 2x quadratic 2 x2 - 4.Ikiwa r -1, basi s2 1, hivyo s 1. Hii inaongoza kwa quadratic x 1x - 1 x2 - 1.Kwa hivyo, kuna milinganyo ya quadratic ya 6 ambayo inafanya kazi, yaani x2 - 4x 4, x2 2x 1, x2 - x - 2, x2 x - 1 , x2 - 4, na x2 - 1. 