<prompt> Onyesha kwamba kikundi chochote cha mpangilio p2, ambapo p ni muhimu, ni ya mzunguko au isomorphic kwa bidhaa ya moja kwa moja ya vikundi viwili vya mzunguko wa mpangilio uk.  <response>: Wacha G iwe kikundi cha mpangilio p2, ambapo p ni kuu. Tutaonyesha kuwa G ni ya mzunguko au isomorphic kwa bidhaa ya moja kwa moja ya vikundi viwili vya mzunguko wa mpangilio uk.Kwanza, kumbuka kuwa ikiwa G ina kipengee g cha mpangilio p2, basi G ni ya mzunguko kwani inatolewa na g. Kwa hivyo tunaweza kudhani kuwa G haina vipengele vyovyote vya mpangilio p2.Sasa fikiria kituo cha Z G cha G. Kwa kuwa G ni kikundi cha p yaani, utaratibu wake ni nguvu ya mkuu, kituo cha Z G lazima kiwe kisicho na maana; hii inafuata kutoka kwa mlingano wa darasa: G ZG G:Cx, ambapo Cx inaashiria kiweka kati cha x katika G na jumla inaendesha wawakilishi x wa tabaka mahususi za uhusiano wa G zenye zaidi ya kipengele kimoja. Ikiwa ZG ingekuwa ndogo, basi kila neno la upande wa kulia lingegawanywa na p, ambayo ingemaanisha kwamba G inagawanywa na p2, ikipingana na dhana yetu kwamba Gp2.Kwa kuwa ZG haina maana, ina kipengele z cha mpangilio p kwani mpangilio wa kipengele chochote hugawanya mpangilio wa kikundi. Sasa fikiria kikundi kidogo H kilichotolewa na z. Kwa kuwa z iko katikati ya G, H ni kikundi cha kawaida cha G. Zaidi ya hayo, Hp, kwa hivyo kuna vipengele vya p vilivyosalia katika GH.Kwa Nadharia ya Mawasiliano, vikundi vidogo vya GH vinalingana na vikundi vidogo vya G vyenye H. Kwa hivyo, kuna kikundi kidogo K cha G ambacho GH ni isomorphic hadi K. Hasa, Kp, kwa hivyo K ni mzunguko. . Zaidi ya hayo, kwa kuwa H ni ya kawaida katika G, tunaweza kuunda bidhaa HK, ambayo pia ni kikundi kidogo cha G.Tunadai kwamba HKG. Ili kuona hili, kumbuka kuwa HK HKHK. Kwa kuwa H na K zote ni mzunguko wa mpangilio p, makutano yao yanaweza kuwa na vipengele vingi vya p. Lakini ikiwa HKp, basi HK, ambayo inaweza kumaanisha kuwa HK ina vipengele vya p pekee, ukinzani. Hivyo, HK1, hivyo HK HK p2, ambayo ina maana kwamba HKG.Hatimaye, tunadai kuwa G ni isomorphic kwa bidhaa ya moja kwa moja ya H×K. Ili kuona hili, fafanua ramani φ:H×KG na φh,khk kwa yote h katika H na k katika K. Ramani hii kwa uwazi ni uhomofimi, na pia ni dhahania tangu HKG. Zaidi ya hayo, φ ni sindano: ikiwa φh,ke kipengele cha utambulisho, basi hke, ambayo inamaanisha kuwa hk-1. Lakini kwa kuwa h na k zote ziko katika ZG, zinasafiri, kwa hivyo hk, na kwa hivyo hke. Kwa hiyo, φ ni isomorphism, na GH×K.Kwa kumalizia, kikundi chochote cha mpangilio p2 ni mzunguko au isomorphic kwa bidhaa ya moja kwa moja ya vikundi viwili vya mzunguko wa mpangilio uk. 