<prompt> Kokotasum_n 1infty frac2n 1nn 1n 2.  <response>: Wacha tugawanye muhtasari huu katika sehemu ndogo. Hiyo inamaanisha tunataka kuandika upya frac2n1nn1n2 kama fracAnfracBn1 fracCn2. Ndiyo. Na tukiongeza sehemu hizo tatu juu, tunapata fracAn1n2Bnn2Cnn1n n1n2. Na tunataka hiyo iwe sawa na frac2n1nn1n2. Haki. Kwa hivyo tunataka kutatua mlingano An1n2Bnn2Cnn1 2n1. Hebu tuchomeke n0 ili kupata A12B02C01 1. Kwa hivyo tunapata hiyo 2A 1, na kwa hivyo A frac12. Sasa hebu tuchomeke n1 ili kupata A23B13C12 3. Kwa hiyo tunapata hiyo 6A 3B 2C 3. Lakini tayari tunajua kuwa A frac12, kwa hivyo tunaweza kubadilisha ili kupata 3 3B 2C 3. Hii hurahisisha hadi 3B 2C 0. Hatimaye, hebu tuchomeke n2 ili kupata A34B24C23 5. Kwa hivyo tunapata hiyo 12A 8B 6C 5. Kubadilisha thamani yetu kwa A, tunapata 6 8B 6C 5. Tunaweza kurahisisha hili hadi 8B 6C -1. Kwa hivyo tuna mfumo wa milinganyo 3B 2C 0 na 8B 6C -1. Hebu tuzidishe mlingano wa kwanza kwa 3 ili kupata 9B 6C 0. Sasa tunaweza kuondoa mlingano wa pili kutoka wa kwanza ili kupata 9B 6C - 8B - 6C 0 - -1. Hii hurahisisha hadi B -1. Kubadilisha katika mlinganyo wa kwanza, tunapata 3-1 2C 0. Tunaweza kurahisisha hili hadi -3 2C 0. Kwa hivyo 2C3 na Cfrac32. Kwa hivyo sasa tunaweza kuandika frac2n1nn1n2 kama frac12n-frac1n1 frac32n2. Oh sawa. Kwa hivyo tunapaswa kuwa na B1. Thamani yetu sahihi ya C ni C-frac32. Sasa tunaweza kutathmini jumla. sum_n 1infty frac1n 1frac12frac13dots ni mfululizo wa sauti, ambao ni inayojulikana kuwa tofauti. Tunaweza kukokotoa jumla hadi N, na kisha kuchukua kikomo jinsi N inavyokwenda kwa infinity. Unamaanisha sum_n1inftyfrac1n-frac1n1frac11-frac11 2frac12-frac13frac13-frac14dots1. Haki. Sasa tunaweza kutumia ukweli huo kutathmini jumla. Hiyo ni sahihi. Jumla ya kwanza ni frac12left1-frac13frac12-frac14frac1 3-frac15dotskulia. Haki. Jumla yetu sasa ni frac121-frac13frac12-frac14frac13 -frac15dots1-frac12frac12-frac13frac11 3-frac14dots Sawa, sasa tunatoa mfululizo huu mbili. Kwa mfululizo unaofaa, tunapata frac12. Kwa hivyo jumla yetu ni frac121frac12frac12frac34frac11 2frac54. Hilo ndilo jibu letu la mwisho. Haki. 