<prompt> Zingatia polima zote za kigezo changamano, Pz4z4az3bz2czd, ambapo a,b,c, na d ni nambari kamili, 0le dle cle ble ale 4, na polynomia ina sufuri z_0 na z_01. Ni jumla gani ya thamani zote P1 juu ya polynomia zote na mali hizi?  <response>: Kwanza, tunazingatia hali ambapo z_0 1 na z_0 -1. Kumbuka hiloP1 4 a b c d ge 4,hivyo z 1 haiwezi kuwa mzizi wa Pz.Ikiwa z -1 ni mzizi wa Pz, basiP-1 4 - a b - c d 4 - a b - c d 0.Lakini 4 - a ge 0, b - c ge 0, na d ge 0, kwa hivyo ni lazima tuwe na a 4, b c, na d 0. Kinyume chake, ikiwa a 4, b c, na d 0, basiP-1 4 - a b - c d 4 - a b - c d 0,hivyo z -1 ni mzizi. Kwa kesi hii,P1 4 a b c d 4 4 b b 8 2b.Jumla ya thamani zote zinazowezekana za P1 ni basi.sum_b 04 8 2b 60.Baada ya kumaliza kesi ambapo z_0 1 au z_0 -1, basi tunaweza kudhani kuwa z_0 si halisi. . Acha z_0 x_0 iy_0, ambapo x_0 na y_0 ni nambari halisi, y_0 neq 0. Tangu z_0 1, x_02 y_02 1. Na kwa kuwa viambajengo vya Pz ni halisi, x_0 - iy_0 lazima pia kiwe mzizi, kwa hivyo.z - x_0 - iy_0z - x_0 iy_0 z2 - 2x_0z x_02 y_02 z2 - 2x_0 z 1lazima iwe sababu ya Pz . KishaPz z2 - 2x_0 z 14z2 pz dkwa nambari halisi p. Kupanua, tunapataPz 4z4 p - 8x_0 z3 d - 2px_0 4 z2 p - 8x_0 z d.Tukilinganisha vigawo, tunapataanzaalignp - 8x_0 a, d - 2px_0 4 b, p - 2dx_0 c.endalignTukiondoa milinganyo ya kwanza na ya tatu, tunapata 2dx_0 - 8x_0 a - c, hivyo2d - 4 x_0 a - c. quad Kama d 4, basi a c. Kwa kweli, mlolongo d le c le b le a le 4 hulazimisha a b c d 4, hivyoPz 4z4 4z3 4z2 4z 4 4z4 z3 z2 z 1 0.Kama z 4 z3 z2 z 1 0, basiz - 1z4 z3 z2 z 1 0,ambayo inakuwa z5 - 1 0. Kisha z5 1, hivyo z5 1. Kwa hivyo, z5 1, hivyo z 1. Hii inathibitisha kwamba mizizi yote ya z4 z3 z2 z 1 ina ukubwa wa 1, na P1 20.Vinginevyo, tunaweza kudhani kuwa d neq 4. Kisha kutoka kwa equation ,2x_0 fraca - cd - 4.Kuzidisha mlinganyo p - 8x_0 a kwa d, tunapatadp - 8dx_0 ad.Tukizidisha equation p - 2dx_0 c kwa 4, tunapata4p - 8dx_0 4c.Tukiondoa milinganyo hii, tunapata dp - 4p ad - 4c, sop fracad - 4cd - 4.Hebuk 2px_0 2x_0 cdot p fraca - cd - 4 cdot fracad - 4cd - 4 fraca - cad - 4c d - 42.Kisha kutoka kwa mlinganyo d - 2px_0 4 b, k d - b 4. Tangu b le 4, k ge 0. Kisha tunagawanya katika matukio ambapo a c na a c.Kesi ya 1: ac.Katika kesi hii, k0 na bd4, kwa hivyo abc4 na d0. Tayari tumeshughulikia uwezekano huu tulipoangalia kisa ambapo z -1 ilikuwa mzizi wa Pz.Kesi ya 2: acgeq 0.Tangu kgeq 0, tuna ad-4cgeq 0, au ad ge 4c. Hata hivyo, ad leq 4c, hivyo ad 4c. Ili hii iendelee, lazima tuwe na c d. Kisha tupate k0 tena. Katika kesi hii, bd4, kwa hivyo ab4 na cd0, naPz 4z4 4z3 4z2 4z2 z2 z 1.Mizizi ya z2 z 1 0 ni z -frac12 pm fracsqrt32 i, ambazo zina ukubwa wa 1, na P1 12.Kwa hiyo, jumla ya taka ni 60 20 12 92. 