<prompt> Kwa kuzingatia kwamba cos a frac13 na cos b frac14, compute cos a b cos a - b.  <response>: Tatizo hili linahusisha kazi ya cosine, ambayo inahusiana na mzunguko wa kitengo na pembetatu za kulia. Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kutumia baadhi ya vitambulisho vya trigonometriki ambavyo vinahusiana na kosine ya jumla au tofauti ya pembe kwa kosine na sine za pembe binafsi. Kwa mfano, utambulisho mmoja kama huo ni cos a b cos a cos b - sin a sin b. Vile vile, utambulisho mwingine ni cos a - b cos a cos b sin a sin b. Nikizidisha vitambulisho hivi viwili pamoja, nitapata cos a b cos a - b cos a cos b - sin a sin b cos a cos b sin a sin b. Hii inaonekana kama tofauti ya miraba, kwa hivyo ninaweza kuirahisisha kwa kupanua bidhaa na kuchanganya maneno kama hayo. Ninapata cos a b cos a - b cos2 a cos2 b - sin2 a sin2 b. Sasa, naona kwamba tayari ninajua maadili ya cos a na cos b, kwani yametolewa kwenye shida. Kwa hivyo, ninaweza kuzichomeka na kupata cos a b cos a - b frac132 frac142 - sin2 a sin2 b. Hii hurahisisha kuwa cos a b cos a - b frac1144 - sin2 a sin2 b . Lakini, bado ninahitaji kupata thamani za sin a na sin b. Nakumbuka kwamba kuna utambulisho mwingine wa trigonometric unaohusiana na sine na kosine ya pembe na radius ya duara ya kitengo. Ni sin2 theta cos2 theta 1. Hii ina maana kwamba ninaweza kutumia kitambulisho hiki kupata sin a na sin b kwa maneno ya cos a na cos b. Kwa mfano, sin2 a 1 - cos2 a 1 - frac132 frac89. Vile vile , sin2 b 1 - cos2 b 1 - frac142 frac1516. Sasa, ninaweza kubadilisha thamani hizi kwenye kujieleza kwa cos a b cos a - b na kurahisisha zaidi. Ninapata cos a b cos a - b frac1144 - frac89 frac1516 frac1101 144 - frac120144 -frac119144. 