<prompt> Tuseme kwamba tumepewa pointi 40 zilizopangwa kwa usawa kuzunguka eneo la mraba, ili nne kati yao ziko kwenye wima na pointi zilizobaki zigawanye kila upande katika sehemu kumi zinazofanana. Iwapo P, Q, na R zimechaguliwa kuwa pointi zozote tatu kati ya hizi ambazo si collinear, basi kuna nafasi ngapi tofauti zinazowezekana kwa centroid ya triangle PQR?  <response>: Bila hasara ya jumla, chukulia kuwa mraba wetu una wima 0,0, 10,0, 10,10, na 0,10 katika ndege ya kuratibu, kwa hivyo. kwamba pointi 40 zilizowekwa kwa nafasi sawa ni zile pointi kando ya mzunguko wa mraba huu wenye viwianishi muhimu. Kwanza tunatambua kwamba ikiwa P, Q, na R ni pointi tatu kati ya hizi ambazo si collinear, basi centroid ya triangle PQR lazima iwe ndani ya mraba, sio kando ya moja ya sehemu zake. pande. Na pili, tunakumbuka kwamba kuratibu za centroid hupatikana kwa wastani wa kuratibu za P, Q, na R. Kwa hivyo viwianishi vya centroid lazima viwe vya umbo leftfracm3, fracn3right ambapo m na n ni nambari kamili zenye 1le m,nle 29.Ili kuonyesha kwamba kila nukta ya fomu left fracm3, fracn3 right inaweza kuwa centroid, tunagawanya katika visa.Ikiwa 1 le m le 10 na 1 le n le 10, basi tunaweza kuchukua pointi kama 0,0, m,0, na 0,n .Ikiwa 10 le m le 19 na 1 le n le 10, basi tunaweza kuchukua pointi kama m - 10,0, 10,0, na 0,n .Ikiwa 20 le m le 29 na 1 le n le 10, basi tunaweza kuchukua pointi kama m - 20,0, 10,0, na 10,n .Ikiwa 1 le m le 10 na 11 le n le 19, basi tunaweza kuchukua pointi kama m,0, 0,n - 10, na 0,10 .Ikiwa 10 le m le 19 na 11 le n le 19, basi tunaweza kuchukua pointi kama 10,0, 0,n - 10, na m - 10 ,10.Ikiwa 20 le m le 29 na 11 le n le 19, basi tunaweza kuchukua pointi kama m - 20,0, 10,n - 10, na 10 ,10.Ikiwa 1 le m le 10 na 20 le n le 29, basi tunaweza kuchukua pointi kama 0,n - 20, 0,10, na m,10 .Ikiwa 10 le m le 19 na 20 le n le 29, basi tunaweza kuchukua pointi kama 0,n - 20, m - 10,10, na 10 ,10.Ikiwa 20 le m le 29 na 20 le n le 29, basi tunaweza kuchukua pointi kama m - 20,10, 10,n - 20, na 10 ,10.Kwa hivyo, kila nukta ya fomu left fracm3, fracn3 right inaweza kuwa centroid. Hii inamaanisha kuwa kuna 292841 nafasi za centroid. 