<prompt> Ni nambari gani ndogo kabisa n, kubwa kuliko 1, kiasi kwamba n-1pmod130 na n-1pmod231 zote zimefafanuliwa?  <response>: Ili kutatua shida hii, ninahitaji kukumbuka inamaanisha nini kwa modulo tofauti kufafanuliwa. Moduli kinyume cha nambari n kuhusiana na moduli m ni nambari x kiasi kwamba nx equiv 1 pmodm. Hii inamaanisha kuwa nx na 1 hutofautiana kwa kizidishio cha m, au kwa usawa, hiyo m inagawanya nx - 1. Ili modulo inverse ifafanuliwe, ninahitaji kupata x ambayo inakidhi hali hii. Hata hivyo, si kila n ina modulo kinyume m. Masharti ya lazima na ya kutosha kwa n kuwa na moduli kinyume m ni kwamba n na m ni coprime, kumaanisha kuwa hazina sababu za kawaida isipokuwa 1. Hii ni kwa sababu ikiwa n na m zina kipengele cha kawaida d 1, basi nx - 1 pia itagawanywa kwa d, na hivyo si kwa m. Kwa upande mwingine, ikiwa n na m ni coprime, basi kwa utambulisho wa Bezout, kuna nambari kamili a na b kiasi kwamba an bm 1. Kwa kuchukua moduli hii ya equation m, ninapata an equiv 1 pmodm, kwa hivyo a ni modulo kinyume ya n kwa heshima na m. Kwa hivyo, ili kujibu swali, ninahitaji kupata n 1 ndogo zaidi kwamba n na 130 ni coprime, na n na 231 ni coprime. Ninaweza kutumia uainishaji mkuu wa 130 na 231 kunisaidia na kazi hii. Ninajua kuwa 130 2 mara 5 mara 13 na 231 3 mara 7 mara 11. Hii inamaanisha kuwa n haiwezi kuwa na sababu zozote za 2, 3, 5, 7, 11, 13, kwa sababu vinginevyo haingekuwa coprime na 130 au 231. Nambari ndogo kabisa kubwa kuliko 1 ambayo haina mojawapo ya vipengele hivi ni 17. Kwa hivyo, n 17 ndio nambari ndogo kabisa ambayo ina modulo kinyume kwa heshima na 130 na 231. 