<prompt> Pata thamani zote za a ambazo pointi 0,0,0, 1,a,0, 0,1,a, na a,0,1 ni coplanar.  <response>: Ninajua kuwa pointi nne ni coplanar ikiwa na tu ikiwa kiasi cha tetrahedron wanachounda ni sifuri. Ili kupata kiasi cha tetrahedron, ninaweza kutumia fomula V frac16vecu cdot vecv times vecw, wapi vecu, vecv, vecw ni vekta kutoka kipeo kimoja hadi nyingine tatu. Ninaweza kuchagua vertex yoyote kama msingi, lakini nitachagua 0,0,0 kwa unyenyekevu. Kisha vecu 1,a,0 - 0,0,0 1,a,0, vecv 0,1,a - 0 ,0,0 0,1,a, na vecw a,0,1 - 0,0,0 a,0,1. Hiyo ni , vecv mara vecw anzavmatrix veci vecj veck 0 1 a a 0 1 mwishovmatrix 1 - 0veci - 0 - a2vecj 0 - aveck 1, a2, - a. Ili kupata vecu cdot vecv times vecw, naweza kutumia fomula ya bidhaa ya nukta. Kwa hivyo, ujazo wa tetrahedron ni V frac161 a3. Ili pointi ziwe coplanar, ninahitaji V 0, ambayo ina maana 1 a 3 0. Hii ina maana kwamba 1 a3 0, au a3 -1. Suluhisho pekee la kweli kwa mlingano huu ni a -1. 