<prompt> Nonzero polynomial yenye coefficients mantiki ina nambari zote 1sqrt2, ; 2sqrt3, ;3sqrt4,; vitone, ;1000sqrt1001kama mizizi. Ni kiwango gani kidogo kinachowezekana cha polynomial kama hiyo?  <response>: Tunajua kwamba ikiwa polinomia yenye viambatanisho vya mantiki ina nambari isiyo na mantiki a sqrtb kama mzizi, basi muungano wake mkali, a - sqrtb, lazima pia uwe mzizi wa upolimia.Kwa n zote 1, 2, lddots, 1000, nambari n sqrtn1 ni mzizi wa polima iliyopewa, kwa hivyo tunafikiri kwamba kila mzizi lazima uwe na mzizi wake wa kuunganisha, ambao inatoa 2 cdot 1000 mizizi 2000 kwa jumla. Walakini, sio nambari zote n sqrtn1 hazina mantiki: wakati n1 ni mraba kamili, nambari hiyo ni ya busara kwa kweli, nambari kamili, kwa hivyo haina radical inayohusishwa. kuunganisha.Kuna thamani za 30 za n ambazo n1 ni mraba kamili, kwani n1 inaweza kuwa miraba yoyote inayofaa 22, 32, ldets, 312. Kwa hivyo, tunarekebisha hesabu yetu ya awali kwa 30, ili polynomia lazima iwe na angalau 2000 - 30 1970 mizizi. Kwa kuwa idadi ya mizizi ya polynomial ni sawa na shahada yake, shahada ndogo iwezekanavyo ya polynomial iliyotolewa ni 1970. 