<prompt> Kokotasum_1 le j i frac12i j,ambapo jumla inachukuliwa juu ya nambari zote chanya i na j kiasi kwamba 1 le j  <response>: Njia moja ya kushughulikia hii ni kuandika upya jumla kwa mpangilio tofauti, ili j ndio faharisi ya nje na i ndio faharisi ya ndani. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kujua kwa kila j, ni maadili gani yanayowezekana ya i ambayo yanakidhi ukosefu wa usawa. Ikiwa j 1, basi i inaweza kuwa nambari yoyote kubwa kuliko 1, kwa hivyo i inaweza kuanzia 2 hadi infty. Ikiwa j 2, basi i inaweza kuwa nambari yoyote kubwa kuliko 2, kwa hivyo i inaweza kuanzia 3 hadi infty. Kwa ujumla, ikiwa j k, basi i inaweza kuwa nambari kamili zaidi ya k, kwa hivyo i inaweza kuanzia k 1 hadi infty. Kwa hivyo, ninaweza kuandika upya jumla kama sum_j 1infty sum_i j 1infty frac12i j. Sasa , nina jumla ya mara mbili ambapo fahirisi zinajitegemea, na ninaweza kutumia fomula ya jumla ya mfululizo wa kijiometri kurahisisha kila jumla ya ndani. kwa fomula Kumbuka kwamba ikiwa a ni muhula wa kwanza na r ni uwiano wa kawaida wa mfululizo wa kijiometri, basi jumla ya mfululizo ni fraca1 - r, ili mradi r 1. Katika jumla ya ndani, neno la kwanza ni frac12j 1 j frac122j 1, na kawaida uwiano ni frac12. Tangu frac12 1, ninaweza kutumia fomula ya jumla ya mfululizo wa kijiometri kupata sum_i j 1infty frac12i j frac 122j 1 cdot frac11 - frac12 frac122j 1 cdot frac 21 frac122j. Sasa, nimerahisisha jumla ya ndani kuwa neno moja ambalo linategemea j pekee, na ninaweza kuandika upya jumla maradufu kama sum_j 1infty frac122j. Huu ni mfululizo wa kijiometri wenye neno la kwanza frac14 na uwiano wa kawaida frac14. Tena, tangu frac14 1, ninaweza kutumia fomula ya jumla ya mfululizo wa kijiometri kupata sum_j 1infty frac122j frac14 cdot frac11 - frac14 frac14 cdot frac43 frac13. 