<prompt> Zingatia mfuatano wa nambari halisi chanya za fomu x, 2000, y, dots ambapo kila neno baada ya la kwanza ni 1 chini ya bidhaa ya majirani zake wawili wa karibu. Ni kwa thamani ngapi tofauti za x neno 2001 linaonekana mahali fulani katika mlolongo?  <response>: Kwa hivyo mfuatano huenda x, 2000, y, z, w, dots ambapo y 1999 x, z 1998 xy, na w 1997 xyz, sivyo? Kwa hivyo kwa n 2, tuna 2000 xy - 1. Haki. y frac2001x. Je, thamani zinazowezekana za a_4 ni zipi? Haki. Tangu a_3 frac2001x na a_2 2000, a_4 fracfrac2001x12000 frac2001x2000x . Je, a_5? Kwa n 1, a_n1 fraca_n 1a_n-1. Kwa hivyo a_5 fraca_4 1a_3 fracfrac2001x2000x1frac2001x. Rahisisha. Je, ni thamani gani zinazowezekana za a_6? Sasa tunaweza kupata usemi wa a_6. Kwa n 1, a_n1 fraca_n 1a_n-1. Kwa hivyo a_6 fraca_5 1a_4 fracfrac1x20001frac2001x2000x. Haki. Kwa hivyo a_6 x. Na a_7 fraca_6 1a_5 fracx1frac1x2000 Kwa n 1, a_n1 fraca_n 1a_n-1. Kwa hivyo a_7 fraca_6 1a_5 fracx 1frac1x2000. Hivyo a_7 2000 Hivyo x, 2000, frac2001x, frac2001x2000x, frac1x2000, x, 2000, dots Je, ni thamani gani zinazowezekana za x? Tunajua kwamba x na 2000 lazima ziwe katika mfuatano huo. Pia tunajua kuwa x 0. Kwa kuwa a_1 x na a_3 frac2001x na a_4 frac2001x2000x na a_5 frac1x2000, tunahitaji kutatua milinganyo x 2001, frac2001x 2001, frac2001x2000x 2001, na frac1x 2000 2001 Mlinganyo wa kwanza x 2001 ni suluhu moja. Mlinganyo wa pili frac2001x 2001 ni sawa na x 1 ambalo ni suluhisho lingine. Mlinganyo wa nne frac1x2000 2001 ni sawa na x 4001999 Kwa hivyo thamani zinazowezekana za x ni 1, 2001, frac20014001999 , na 4001999. Kuna thamani nne zinazowezekana za x. 