<prompt> Tafuta mabadiliko ya awamu ya grafu ya y 2 sin left 2x fracpi3 kulia.  <response>: Ninakumbuka kwamba mabadiliko ya awamu ya grafu ya sine au kosine ni uhamishaji wa mlalo kutoka kwa nafasi ya kawaida, ambayo ni wakati grafu inapita kupitia asili. Ili kupata mabadiliko ya awamu, ninahitaji kutambua thamani ya x ambayo hufanya hoja ya kitendakazi cha sine kuwa sawa na sifuri, kwani hapo ndipo kazi ya kukokotoa ya sine pia ni sifuri. Kwa hivyo niliweka 2x fracpi3 0 na kutatua kwa x. Nikitoa fracpi3 kutoka pande zote mbili, napata 2x -fracpi3. Kugawanya pande zote mbili na 2, napata x -fracpi6. Hii ina maana kwamba grafu ya y 2 sin left 2x fracpi3 right imehamishiwa kushoto na fracpi6 units kutoka kwa nafasi ya kawaida. Kwa hiyo, mabadiliko ya awamu ni -fracpi6. 