<prompt> Je, ni kwa njia ngapi tofauti ninaweza kupanga funguo zangu tano kwenye mnyororo wa vitufe, ikiwa ninataka kuweka ufunguo wangu wa nyumba karibu na ufunguo wa gari langu? Mipangilio miwili haizingatiwi tofauti ikiwa funguo ziko katika mpangilio sawa au zinaweza kufanywa kuwa katika mpangilio sawa bila kuondoa funguo kwenye mnyororo--yaani, kwa kutafakari au kuzungusha.  <response>: Ninahitaji kuhesabu idadi ya vibali vya mviringo vya vitu vitano, ambapo mbili kati yao ziko karibu. Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kutibu ufunguo wa nyumba na ufunguo wa gari kama kitengo kimoja, na kisha kupanga funguo tatu zilizobaki na kitengo kuzunguka duara. Hii ni sawa na kupanga vitu vinne kwenye mstari, na kisha kuunganisha ncha ili kuunda duara. Idadi ya njia za kupanga vitu vinne katika mstari ni 4!, au 24. Hata hivyo, hii inazidisha kwa sababu ya nne, kwa sababu mzunguko wowote wa mduara kwa digrii 90 hutoa mpangilio sawa, na kutafakari yoyote ya mduara kwenye a. kipenyo hutoa mpangilio sawa. Kwa hivyo ninahitaji kugawanya 24 kwa 4 ili kupata idadi ya mipangilio tofauti ya duara ya vitu vinne. Hii inanipa 6. Vinginevyo, ningeweza kutumia fomula ya vibali vya mviringo, ambayo ni n-1!, ambapo n ni idadi ya vitu. Katika kesi hii, n ni 4, hivyo n-1! ni 3!, au 6. Vyovyote vile, ninapata jibu sawa. 