<prompt> Bidhaa za nambari mbili chanya pamoja na jumla yake ni 103. Nambari kamili ni kuu kiasi, na kila moja ni chini ya 20. Jumla ya nambari mbili kamili ni nini?  <response>: Ninahitaji kupata nambari mbili chanya, x na y, ili xy x y 103. Ninagundua kuwa mlinganyo huu unaweza kuandikwa upya kama x1y1 104, kwa kuongeza 1 kwa pande zote mbili na kutumia mali ya usambazaji. Hii hurahisisha kutafuta sababu za 104 ambazo ni moja zaidi ya nambari kamili ninazotaka. Sababu za 104 ni 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, na 104. Kwa kuwa x na y zote ni chini ya 20, naweza kuondoa sababu ambazo ni zaidi ya 21, kama vile 26, 52, na 104. Hiyo inaniacha na 1, 2, 4, 8, na 13. Ikiwa x1 1, basi x 0, ambayo sio nambari chanya, kwa hivyo naweza kuondoa hiyo pia. Ikiwa x1 2, basi x 1, na y1 52, ambayo ni kubwa sana, kwa hivyo naweza kuondoa hiyo pia. Ikiwa x1 4, basi x 3, na y1 26, ambayo pia ni kubwa sana, kwa hivyo naweza kuondoa hiyo pia. Ikiwa x1 8, basi x 7, na y1 13, ambayo ni sawa, kwa hivyo ninaweza kuzingatia hilo kama suluhisho linalowezekana. Ikiwa x1 13, basi x 12, na y1 8, ambayo pia ni sawa, kwa hivyo ninaweza kuzingatia hilo kama suluhisho lingine linalowezekana. Sasa nina masuluhisho mawili yanayowezekana: x 7 na y 12, au x 12 na y 7. Lakini pia ninahitaji kuangalia ikiwa ni ya msingi, ambayo inamaanisha kuwa hayana sababu za kawaida zaidi ya 1. Hii inamaanisha kuwa 7 na 12 ni za msingi, na zinakidhi masharti yote ya shida. Jozi nyingine, 12 na 7, ni kinyume cha jozi hii, kwa hiyo pia inakidhi masharti. Kwa hivyo, jumla ya nambari mbili kamili ni 7 12 au 12 7, ambazo zote ni sawa na 19. 