<prompt> Tafuta displaystyle frac21 2sqrt3 frac32 - sqrt3, na uandike jibu lako katika mfumo displaystyle frac A Bsqrt3C, yenye sehemu katika maneno ya chini kabisa na A 0. ABC ni nini?  <response>: Ili kurahisisha usemi huu, ninahitaji kusawazisha madhehebu ya sehemu zote mbili, kwa kuzizidisha kwa muunganisho wa itikadi kali zao. Kwa sehemu ya kwanza, muunganisho wa 1 2sqrt3 ni 1 - 2sqrt3, kwa hivyo ninazidisha sehemu hiyo kwa displaystyle frac1 - 2sqrt3 1 - 2sqrt3, ambayo ni sawa na 1. Vile vile, kwa sehemu ya pili, muunganisho wa 2 - sqrt3 ni 2 sqrt3, kwa hivyo ninazidisha sehemu kwa displaystyle frac2 sqrt32 sqrt3. Hii inanipa: displaystyle frac21 2sqrt3 cdot frac1 - 2sqrt31 - 2sqrt3 frac 32 - sqrt3 cdot frac2 sqrt32 sqrt3. Kupanua nambari na denomineta kwa kutumia mbinu ya FOIL, napata: displaystyle frac2 - 4sqrt31 - 12 frac6 3sqrt34 - 3. Kwa kurahisisha, napata: displaystyle frac2 - 4sqrt3-11 frac6 3sqrt31. Ili kuchanganya sehemu, ninahitaji kiashiria cha kawaida, ambacho ni -11, kwa hivyo ninazidisha sehemu ya pili kwa displaystyle frac-11-11, ambayo pia ni sawa na 1. Hii inanipa : displaystyle frac2 - 4sqrt3-11 frac-66 - 33sqrt3-11. Nikiongeza sehemu, ninapata: displaystyle frac2 - 4sqrt3 - 66 - 33sqrt3-11. Kwa kuchanganya maneno kama hayo, napata: displaystyle frac-64 - 37sqrt3-11. Ili kufanya sehemu katika maneno ya chini kabisa, ninaweza kugawanya nambari na kiashiria kwa -1, ambayo inanipa: displaystyle frac64 37sqrt311. Huu ni usemi uliorahisishwa katika muundo wa displaystyle fracA Bsqrt3C, ambapo A 64, B 37, na C 11. Kwa hiyo, A B C 64 37 11 112 . 