<prompt> Idadi ya diagonal ya poligoni ya kawaida hutolewa kutoka kwa idadi ya pande za poligoni na matokeo yake ni sifuri. Idadi ya pande za poligoni hii ni ngapi?  <response>: Ninajua kuwa poligoni ya kawaida ni poligoni yenye pande na pembe sawa, na kwamba diagonal ni sehemu ya mstari inayounganisha wima mbili zisizo karibu za poligoni. Ninajua pia kuwa idadi ya mishororo ya poligoni ya kawaida iliyo na pande n ni nn-32, kwa sababu kila kipeo kinaweza kutengeneza diagonali n-3 na vipeo vingine, kisha tunagawanya kwa 2 ili kuzuia kuhesabu mara mbili. Kwa hivyo, naweza kuandika equation inayowakilisha tatizo: n - nn-32 0. Ninataka kutatua kwa n, ili niweze kuzidisha pande zote mbili kwa 2 ili kufuta sehemu: 2n - nn -3 0. Kisha, ninaweza kupanua mabano na kurahisisha: 2n - n2 3n 0. Hii inanipa mlingano wa quadratic: n2 - 5n 0. Ninaweza kuainisha n kutoka kwa maneno yote mawili: nn-5 0. Kisha, naweza kutumia mali ya bidhaa sifuri ili kupata thamani zinazowezekana za n: n 0 au n 5. Hata hivyo, n 0 haina maana katika muktadha wa tatizo, kwa sababu poligoni haiwezi kuwa na pande sifuri. Kwa hivyo, suluhisho pekee halali ni n 5, ambayo inamaanisha kuwa poligoni ina pande 5. Hii inaeleweka, kwa sababu pentagon ya kawaida ina pande 5 na diagonal 5, na 5 - 5 0. 