<prompt> Joel alichagua pembe kali x kabisa kati ya nyuzi 0 na 90 na kuandika thamani za sin x, cos x, na tan x kwenye kadi tatu tofauti. Kisha akawapa kadi hizo wanafunzi watatu, Malvina, Paulina, na Georgina, kadi moja kwa kila mmoja, na kuwauliza watambue ni kazi gani ya trigonometric sin, cos, au tan iliyotokeza kadi zao. Hata baada ya kugawana maadili kwenye kadi wao kwa wao, ni Malvina pekee ndiye aliyeweza kutambua ni kazi gani iliyotoa thamani kwenye kadi yake. Hesabu jumla ya thamani zote zinazowezekana ambazo Joel aliandika kwenye kadi ya Malvina.  <response>: Vipengele vya kukokotoa sin x, cos x, tan x ni moja kwa moja kwenye kipindi cha 0circ,90circ. Kwa kuwa Malvina angeweza kubaini utendakazi wake, thamani ya x pia inaweza kuhesabiwa. Hasa, sin x, cos x, na tan x zote zinajulikana. Kwa kuwa hawawezi kukisia utendakazi wa Paulina na utendakazi wa Georgina, maadili yao lazima yawe sawa.Ikiwa sin x cos x, basi tan x 1, hivyo x 45circ. Kisha thamani ya Malvina ni 1.Ikiwa sin x tan x fracsin xcos x, basi cos x 1. Lakini cos x haiwezi kufikia 1 kwa muda 0 circ,90circ.Ikiwa cos x tan x fracsin xcos x, basi sin x cos2 x 1 - sin2 x. Kishasin2 x sin x - 1 0.Kwa fomula ya roboduara,sin x frac-1 pm sqrt52.Tangu -1 le sin x le 1,sin x frac-1 sqrt52.Hii ndiyo kesi ambapo cos x tan x, hivyo thamani ya Malvina ni sin x frac -1 sqrt52.Kwa hivyo, jumla ya nambari zinazowezekana kwenye kadi ya Malvina ni1 frac-1 sqrt52 frac1 sqrt52. 