<prompt> Duru kumi zote zina ukubwa sawa. Kila jozi ya miduara hii inapishana lakini hakuna duara lililo juu kabisa ya duara lingine. Je, ni idadi gani kubwa zaidi iwezekanayo ya sehemu za makutano za miduara hii kumi?  <response>: Ninajua kuwa idadi ya juu ya sehemu za makutano kati ya miduara miwili ni mbili, kwani zinaweza kugusa tu katika sehemu mbili zaidi. Kwa hivyo, ikiwa nina miduara kumi, nataka kuhesabu ni jozi ngapi za miduara ninazoweza kuunda kutoka kwao. Hii ni sawa na kuuliza ni njia ngapi ninaweza kuchagua miduara miwili kati ya kumi, ambayo ni shida ya mchanganyiko. Ninaweza kutumia fomula ya michanganyiko, ambayo ni n kuchagua r, au nCr, ambapo n ni jumla ya idadi ya miduara na r ni idadi ya miduara ninayochagua. nCr imehesabiwa kama n! r! n-r!, wapi! inamaanisha ukweli, au bidhaa ya nambari zote chanya hadi nambari hiyo. Katika kesi hii, nina n 10 na r 2, kwa hivyo ninapata 10 kuchagua 2, au 10! 2! 8!. Ninaweza kurahisisha hii kwa kufuta mambo kadhaa ya kawaida. Napata 10! 2! 8! 10 9 8! 2 8! 10 9 2 45. Kwa hiyo, kuna jozi 45 za miduara, na kila jozi inaweza kuwa na saa sehemu nyingi za makutano. Kwa hivyo, idadi kubwa zaidi ya sehemu za makutano ni 45 2, au 90. 