<prompt> Tafutacos kushoto 6 arccos frac13 kulia.  <response>: Tatizo hili linahusisha utendaji tofauti wa trigonometriki na fomula ya pembe nyingi. Ili kurahisisha usemi, nitatumia ukweli kwamba cos 2x 2 cos2 x - 1. Hii ina maana kwamba naweza kuandika cos left 6 arccos frac1 3 kulia cos kushoto 2 cdot 3 arccos frac13 kulia 2 cos2 kushoto 3 arccos frac13 kulia - 1. Sasa ninahitaji kupata thamani ya cos left 3 arccos frac13 kulia. Ninaweza kutumia fomula nyingine ya pembe nyingi, inayosema. kwamba cos 3x 4 cos3 x - 3 cos x. Hii ina maana kwamba cos kushoto 3 arccos frac13 kulia 4 kushoto cos kushoto arccos frac13 kulia kulia3 - 3 cos left arccos frac13 kulia. Lakini mimi fahamu kuwa cos left arccos frac13 right frac13, kwa sababu hivyo ndivyo kitendakazi kinyume cha kosini kinavyofanya kazi. Kwa hivyo naweza kubadilisha cos left 3 arccos frac13 kulia 4 kushoto frac13 kulia3 - 3 kushoto frac 13 kulia frac427 - 1 -frac2327. Sasa ninaweza kuunganisha hii kwenye usemi wa cos left 6 arccos frac13 kulia 2 cos2 kushoto 3 arccos frac13 kulia - 1 2 kushoto -frac23 27 kulia2 - 1 2 cdot frac529729 - 1 frac1058729 - 1 frac329729. 