<prompt> Mizizi ya polynomial x3 - 52x2 581x - kni nambari kuu mahususi. Tafuta k.  <response>: Shida ni kuniuliza nitafute thamani ya k ambayo hufanya polynomial kuwa na mizizi tatu kuu tofauti. Mzizi mkuu ni nambari kuu ambayo pia ni sifuri ya polynomial, kumaanisha kuwa ninapoichomeka kwa x, ninapata sifuri. Ninajua kuwa ikiwa polynomial ina sifuri kwa x a, basi x - a ni sababu ya polynomial. Kwa hivyo ikiwa nina mizizi mitatu kuu, sema p, q, na r, basi polynomial lazima iwe ya umbo x - px - qx - r. Niki panua bidhaa hii, napata x3 - p q rx2 pq pr qrx - pqr. Kwa kulinganisha hii na polynomial iliyotolewa, naona kwamba p q r 52 pq pr qr 581 pqr k. Kwa hivyo ninahitaji kupata nambari kuu tatu tofauti ambazo zinajumlisha hadi 52 na kuwa na bidhaa ya 581. Ningeweza kujaribu majaribio na makosa, lakini hiyo inaweza kuchukua muda mrefu. Ninagundua kuwa 52 ni sawa, kwa hivyo moja ya nambari kuu lazima iwe 2, vinginevyo jumla itakuwa isiyo ya kawaida. Kwa hivyo wacha nifikirie kuwa p 2 na nione kitakachotokea. Kisha nina q r 50 2q 2r qr 581 2qr k. Ninaweza kuondoa q kutoka kwa mlinganyo wa kwanza kwa kuitatua kama q 50 - r na kuichomeka kwenye mlinganyo wa pili. Ninapata 100 - 2r 2r r50 - r 581 ambayo hurahisisha kuwa r2 - 50r 481 0. Huu ni mlinganyo wa quadratic ambao ninaweza kutatua kwa kuweka alama au kutumia. formula ya quadratic. Ninagundua kuwa 481 ni kizidishio cha 13, kwa hivyo ninajaribu kuainisha kama r - 13r - 37 0. Hii inanipa thamani mbili zinazowezekana za r, yaani 13 na 37. Ikiwa r 13 , basi q 50 - 13 37, ambayo pia ni ya msingi. Ikiwa r 37 , basi q 50 - 37 13 , ambayo pia ni ya msingi. Kwa hivyo kwa njia yoyote ile, ninapata nambari kuu mbili tofauti za q na r. Ili kupata k, ninahitaji tu kuzizidisha kwa 2. Ninapata k 2qr 2 cdot 13 cdot 37 962. 