<prompt> Acha a_1, a_2, dots, a_12 ziwe nambari halisi ili a_1 a_2 dots a_12 1. Pata thamani ya chini zaidi yaa_12 a_22 vitone a_122.  <response>: Ninataka kupata thamani ya chini ya jumla ya miraba, kwa kuzingatia jumla ya nambari asilia. Hii inanifanya nifikirie ukosefu wa usawa wa Cauchy-Schwarz, ambayo inasema kwamba kwa nambari zozote halisi x_1, x_2, dots, x_n na y_1, y_2, dots, y_n , tunayox_12 x_22 vitone x_n2y_12 y_22 vitone y_n2 geq x_1y_1 x_2y_2 vitone x_ny_n2. Ninashangaa kama ninaweza kutumia ukosefu huu wa usawa kwenye tatizo, kwa kutumia chaguo la werevu la x_i na y_i ambalo linahusiana na a_i. Wazo moja ni kuruhusu x_i a_i kwa i yote, na kuruhusu y_i 1 kwa i. zote Kisha usawa unakuwaa_12 a_22 vitone a_1221 1 vitone 1 geq a_1 a_2 vitone a_122. Kurahisisha, napata12a_12 a_22 vitone a_122 geq 1. Kugawanya pande zote mbili kwa 12, napataa_12. a_22 vitone a_122 geq frac112. Hii ina maana kwamba thamani ya chini iwezekanavyo ya jumla ya miraba ni frac112, na hutokea wakati a_i frac112 kwa i. yote ili kuhakikisha kwamba hiki ndicho cha chini kabisa, ninaweza kutumia ukweli kwamba usawa katika Cauchy-Schwarz unashikilia ikiwa na tu. ikiwa vekta x_1, x_2, dots, x_n na y_1, y_2, dots, y_n ni sawia. Katika hali hii, hii ina maana kwamba a_i k kwa k fulani mara kwa mara na kwa i. zote Kwa kuwa a_1 a_2 dots a_12 1, hii ina maana kwamba k frac 112. Kwa hivyo nimepata thamani ya chini kabisa na thamani za a_i zinazoifanikisha. 