<prompt> Tafuta thamani ya nambarifracsin 18circ cos 12circ cos 162circ cos 102circsin 22circ cos 8circ cos 158 circ cos 98circ.  <response>: Tatizo hili linahusisha baadhi ya vitambulisho vya trigonometric na baadhi ya pembe maalum. Ili kurahisisha nambari, ninagundua kuwa cos 162circ -cos 18circ na cos 102circ -cos 78circ kwa usawa na upimaji wa cosine. Kwa hivyo nambari inakuwa sin 18circ cos 12circ - cos 18circ cos 78circ. Sasa ninaweza kutumia utambulisho wa bidhaa hadi-jumla cos A cos B frac12cos A B cos A - B kuandika upya nambari kama frac12cos 6circ cos 30circ - cos 96circ - cos 60circ. Vile vile, ninaweza kurahisisha dhehebu kwa kutumia kitambulisho sawa na ukweli kwamba cos 158circ -cos 22circ na cos 98circ -cos 82circ. Kiashiria kinakuwa frac12cos 14circ cos 30circ - cos 104circ - cos 60circ. Sasa nina kipengele cha kawaida cha frac12 katika nambari na kipunguzo, ili niweze kughairi. Usemi unakuwa fraccos 6circ cos 30circ - cos 96circ - cos 60circcos 14circ cos 30circ - cos 104circ - cos 60circ. Ili kurahisisha hii zaidi, ninahitaji kutumia pembe maalum. Nakumbuka kwamba cos 30circ fracsqrt32 na cos 60circ frac12. Ninakumbuka pia kwamba cos 6circ sin 84circ na cos 14circ sin 76circ kwa utambulisho wa pembe inayosaidia. Na ninajua kwamba sin 84circ cos 96circ na sin 76circ cos 104circ kwa utambulisho wa pembe ya ushirikiano. Kwa hivyo ninaweza kuchukua nafasi ya kosini zote kwenye usemi na sines za pembe za ziada au za mwisho. Usemi unakuwa fracsin 84circ fracsqrt32 - sin 84circ - frac12sin 76circ fracsqrt32 - sin 76circ - frac12. Sasa naweza kurahisisha usemi kwa kuchanganya maneno kama hayo. Usemi unakuwa fracfracsqrt32 - frac12fracsqrt32 - frac12 . Hii ni 1. Kwa hivyo thamani ya nambari ya usemi asilia ni 1. 