<prompt> Tuseme fx -x23x4 na gx -2x39x2-x-12. Kila mzizi wa fx pia ni mzizi wa gx. Nini mzizi wa tatu wa gx hiyo si mzizi wa fx?  <response>: Ninagundua kuwa fx na gx zote mbili ni polynomials, na kwamba shahada ya fx ni 2 na shahada ya gx ni 3. Hii inamaanisha kuwa fx ina mizizi isiyozidi 2, na gx ina angalau mizizi 3. Kwa kuwa kila mzizi wa fx pia ni mzizi wa gx, inafuatia kuwa gx ina mzizi mmoja zaidi ya fx. Ninataka kupata mzizi huu wa tatu wa gx. Njia moja ya kufanya hivyo ni kugawanya gx na fx na kuona mgawo na salio ni nini. Ninaweza kutumia mgawanyiko mrefu au mgawanyiko wa syntetisk kufanya hivi. Ninachagua kutumia mgawanyiko mrefu, na ninaandika gx kama gawio na fx kama mgawanyiko. Ninaanza kwa kuuliza ninachohitaji kuzidisha -x2 kwa kupata -2x3, na ninaona kuwa ni 2x. Ninaandika 2x juu ya ishara ya mgawanyiko, na ninazidisha 2x kwa -x23x4 na kuandika matokeo hapa chini gx. Ninapata -2x36x28x. Ninatoa hii kutoka gx na kuleta chini muhula unaofuata, ambao ni -12. Ninapata 3x2-9x-12. Ninarudia mchakato huo na kuuliza ninachohitaji kuzidisha -x2 ili kupata 3x2, na ninaona kuwa ni -3. Ninaandika -3 juu ya ishara ya mgawanyiko, na ninazidisha -3 kwa -x23x4 na kuandika matokeo hapa chini 3x2-9x-12. Ninapata 3x2-9x-12. Ninatoa hii kutoka 3x2-9x-12 na kupata 0. Hii inamaanisha kuwa hakuna salio, na gx inaweza kugawanywa na fx. Mgawo ni 2x-3, ambayo pia ni polynomial. Hii inamaanisha kuwa mzizi wa tatu wa gx ni sawa na mzizi wa 2x-3. Ninaweza kupata mzizi huu kwa kuweka 2x-30 na kutatua kwa x. Ninapata xfrac32. Huu ni mzizi wa tatu wa gx ambao sio mzizi wa fx. 