<prompt> Tafuta mlingano wa ndege iliyo na pointi 0,-1,-1, -4,4,4, na 4,5,1. Andika jibu lako katika fomuAx By Cz D 0,ambapo A,B,C,D ni nambari kamili kiasi kwamba A 0 na gcdA,B ,C,D 1.  <response>: Acha mathbfa anzepmatrix 0 -1 -1 mwishopmatrix, mathbfb anzapmatrix -4 4 4 endpmatrix, na mathbfc anzapmatrix 4 5 1 endpmatrix. Kisha vekta ya kawaida ya ndege ni orthogonal kwa zote mbili.mathbfb - mathbfa anzapmatrix -4 5 5 mwishopmatrixnamathbfc - mathbfa anzapmatrix 4 6 2 mwishopmatrix.Kwa hivyo ili kukokotoa vekta ya kawaida, tunachukua bidhaa mtambuka ya vekta hizi:anzapmatrix -4 5 5 mwishopmatrix nyakati anzapmatrix 4 6 2 mwishopmatrix anzapmatrix -20 28 -44 endpmatrix.Tunaweza kuongeza vekta hii, na kuchukua beginpmatrix 5 -7 11 endpmatrix kama vekta ya kawaida. Kisha equation ya ndege ni ya fomu5x - 7y 11z D 0.Tukibadilisha viwianishi vya pointi zozote, tunapata kwamba mlinganyo wa ndege ni 5x - 7y 11z 4 0. 