<prompt> Line L ni makutano ya ndege x 2y 3z 2 na x - y z 3. Ndege P, tofauti na ndege hizi zote mbili, ina laini L, na ina umbali wa frac2sqrt3 kutoka uhakika 3,1,-1. Tafuta mlinganyo wa ndege P. Andika jibu lako katika fomuAx By Cz D 0,ambapo A,B,C,D ni nambari kamili kiasi kwamba A 0 na gcdA,B ,C,D 1.  <response>: Tunaweza kuandika milinganyo ya ndege kama x 2y 3z - 2 0 na x - y z - 3 0. Pointi yoyote katika L inatosheleza milinganyo yote miwili, ambayo inamaanisha pointi yoyote katika L inatosheleza mlinganyo wa fomuax 2y 3z - 2 bx - y z - 3 0.Tunaweza kuandika hili kamaa bx 2a - by 3a bz - 2a 3b 0.Umbali kutoka kwa ndege hii hadi 3,1,-1 ni frac2sqrt3. Kwa kutumia fomula ya umbali kutoka sehemu moja hadi ndege, tunapatafraca b3 2a - b1 3a b-1 - 2a 3bsqrta b 2 2a - b2 3a b2 frac2sqrt3.Tunaweza kurahisisha hili kwafrac2bsqrt14a2 4ab 3b2 frac2sqrt3.Kisha b sqrt3 sqrt14a2 4ab 3b2. Kwa pande zote mbili, tunapata 3b2 14a2 4ab 3b2, hivyo14a2 4ab 0.Vigezo hivi kama 2a7a 2b 0. Ikiwa a 0, basi ndege P italingana na ndege ya pili x - y z 3. Kwa hiyo, 7a 2b 0. Tunaweza kuchukua a 2 na b -7, ambayo inatupa2x 2y 3z - 2 -7x - y z - 3 0.Hii hurahisisha hadi 5x - 11y z - 17 0. 