<prompt> Tafuta mlinganyo wa ndege inayopita -1,1,1 na 1,-1,1, na ambayo ni sawa na ndege x 2y 3z 5. Andika jibu lako katika umboAx By Cz D 0,ambapo A,B,C,D ni nambari kamili kiasi kwamba A 0 na gcdA,B ,C,D 1.  <response>: Vekta inayoelekeza kutoka -1,1,1 hadi 1,-1,1 ni beginpmatrix 2 -2 0 endpmatrix. Tangu ndege tunavutiwa nayo ni ya kawaida kwa ndege x 2y 3z 5, vekta yake ya kawaida lazima iwe orthogonal hadi beginpmatrix 1 2 3 endpmatrix. Lakini vekta ya kawaida ya ndege pia ni orthogonal kwa beginpmatrix 2 -2 0 endpmatrix. Kwa hivyo, ili kupata vekta ya kawaida ya ndege tunayopendezwa nayo, tunachukua bidhaa tofauti za hizi. vekta:anzapmatrix 2 -2 0 mwishopmatrix nyakati anzapmatrix 1 2 3 mwishopmatrix anzapmatrix -6 - 6 6 mwishopmatrix.Kuongeza, tunachukua beginpmatrix 1 1 -1 endpmatrix kama vekta ya kawaida. Kwa hiyo, equation ya ndege ni ya fomux y - z D 0.Kubadilisha viwianishi vya -1,1,1, tunapata kwamba mlinganyo wa ndege ni x y - z 1 0. 