<prompt> Thibitisha kwamba ikiwa chaguo la kukokotoa fx linaweza kutofautishwa kwa x c, basi lazima iwe endelevu kwa x c.  <response>: Ili kuthibitisha hili, tutatumia ufafanuzi wa kutofautisha na kuendelea.Chaguo za kukokotoa fx inasemekana inaweza kutofautishwa kwa x c ikiwa kikomolim x - c fx - fc x - cipo. Kwa maneno mengine, derivative fc ipo.Chaguo za kukokotoa fx inasemekana kuwa endelevu kwa x c ikiwa kikomo kifuatacho kipo:lim x - c fx fcSasa, wacha tuzingatie tofauti kati ya fx na fc:fx - fc fx - fc x - c x - cKwa kuwa fx inaweza kutofautishwa kwa x c, tunajua kuwa neno la kwanza upande wa kulia linakaribia fc x inapokaribia c. Pia, muhula wa pili x - c unakaribia 0 x inapokaribia c.Kutumia sheria ya bidhaa kwa mipaka, tunayo:lim x - c fx - fc lim x - c fx - fc x - c lim x - c x - c fc 0 0Kwa hivyo, tunayo:lim x - c fx - fc 0Hii ina maana kwamba:lim x - c fx fcKwa hivyo, fx ni endelevu kwa x c. 