<prompt> Duka la vitabu linaamua ni bei gani inapaswa kutoza kwa kitabu fulani. Baada ya utafiti, duka limegundua kuwa ikiwa bei ya kitabu ni p dollars ambapo p le 32, basi idadi ya vitabu vinavyouzwa kwa mwezi ni 128-4p. Je, duka linapaswa kutoza bei gani ili kuongeza mapato yake?  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kupata chaguo la kukokotoa ambalo linawakilisha mapato ya duka la vitabu, na kisha kupata thamani ya p ambayo huongeza utendakazi huo. Mapato ni bidhaa ya bei na idadi ya vitabu vilivyouzwa, kwa hivyo utendakazi wa mapato ni Rp p128-4p. Ili kuongeza Rp, ninahitaji kupata thamani ya p ambayo hufanya Rp 0, au ambapo Rp ina nukta muhimu. Ili kupata Rp, ninaweza kutumia sheria ya bidhaa: Rp 128-4p p-4 128-8p. Kuweka hii sawa na sifuri na kutatua kwa p, napata p 16. Hii inamaanisha kuwa mapato yanakuzwa bei ikiwa ni 16 dollar. Ili kuangalia ikiwa hii ndio kiwango cha juu zaidi, naweza kutumia jaribio la pili la derivative: Rp -8, ambayo ni hasi kwa maadili yote ya p, kwa hivyo Rp imepungua. na p 16 ni kiwango cha juu zaidi. Kwa hivyo, duka la vitabu linapaswa kutoza 16 kwa kitabu ili kuongeza mapato yake. 