<prompt> Katika mlinganyo frac1j frac1k frac13, j na k ni nambari kamili chanya. Je! ni jumla gani ya thamani zote zinazowezekana za k?  <response>: Ninataka kupata jozi zote za nambari kamili j,k zinazokidhi mlinganyo frac1j frac1k frac13. Ninaweza kuandika tena mlinganyo kama 3j k jk, au jk - 3j - 3k 0. Ninaweza kuainisha usemi huu kama j - 3k - 3 9. Hii inamaanisha kuwa j - 3 na k - 3 ni vipengele vya 9, na zote ni nambari kamili chanya kwani j na k ni nambari kamili chanya. Vipengele vya 9 ni pm 1, pm 3, pm 9. Kwa kuwa j - 3 na k - 3 ni chanya, naweza kupuuza mambo hasi. Jozi zinazowezekana za vipengele ni 1,9, 9,1, 3,3. Hii ina maana kwamba thamani zinazowezekana za j - 3 ni 1, 9, na 3, na thamani zinazowezekana za k - 3 ni 9, 1, na 3. Nikiongeza 3 kwa kila thamani, ninapata thamani zinazowezekana za j ni 4, 12, na 6, na thamani zinazowezekana kwa k ni 12, 4, na 6. Jumla ya thamani zote zinazowezekana kwa k ni 12 4 6 22. 