<prompt> Tathminianzavmatrix 0 dhambi alpha -cos alpha -dhambi alpha 0 dhambi beta cos alpha -dhambi beta 0 mwisho vmatrix.  <response>: Hiki ni kibainishi cha matrix 3 x 3, kwa hivyo ninahitaji kutumia fomula ya upanuzi wa cofactor. Ninaweza kuchagua safu au safu yoyote ya kupanua pamoja, lakini ninagundua kuwa safu ya kwanza ina sifuri kwenye kiingilio cha kwanza, kwa hivyo hiyo inaweza kurahisisha hesabu. Kupanua kando ya safu ya kwanza, ninapataanzavmatrix 0 dhambi alpha -cos alpha -dhambi alpha 0 dhambi beta cos alpha -dhambi beta 0 mwisho vmatrix 0 cdot anzavmatrix 0 dhambi beta -dhambi beta 0 mwishovmatrix - sin alpha cdot anzavmatrix -dhambi alpha dhambi beta cos alpha 0 mwishovmatrix - cos alpha cdot anzavmatrix -dhambi alpha 0 cos alpha -sin beta mwisho vmatrix. Sasa ninahitaji kutathmini vibainishi vitatu vidogo 2 x 2. Kwa ya pili, ninayoanzavmatrix -dhambi alpha dhambi beta cos alpha 0 mwishovmatrix -dhambi alpha cdot 0 - sin beta cdot cos alpha -sin beta cos alpha. Kwa ya tatu, ninayoanzavmatrix -dhambi alpha 0 cos alpha -sin beta mwishovmatrix -sin alpha cdot -sin beta - 0 cdot cos alpha sin alpha sin beta. Nikichomeka maadili haya kwenye upanuzi wa cofactor, napata0 cdot sin2 beta - dhambi alpha cdot -dhambi beta cos alpha - cos alpha cdot dhambi alpha sin beta dhambi alpha sin beta cos alpha - cos alpha sin alpha sin beta 0. 