<prompt> Ni nambari gani kuu ya tarakimu tatu abc kiasi kwamba 4,a,b huunda mfuatano wa kijiometri na b,c,5 huunda mfuatano wa hesabu?  <response>: Ninahitaji kupata tarakimu tatu a, b, na c zinazokidhi masharti mawili: 4,a,b ni mfuatano wa kijiometri na b,c,5 ni mfuatano wa hesabu. Mfuatano wa kijiometri ni ule ambapo kila neno linapatikana kwa kuzidisha neno lililotangulia kwa uwiano thabiti. Kwa hiyo, a 4r na b 4r2 kwa uwiano fulani r. Mfuatano wa hesabu ni ule ambapo kila neno linapatikana kwa kuongeza tofauti ya mara kwa mara. Kwa hiyo, c b d na 5 c d kwa tofauti fulani d. Ili kupata dhamana kubwa zaidi ya abc, ninataka kuongeza kila nambari. Kwa kuwa a na b hutegemea r, ninahitaji kupata thamani kubwa zaidi ya r ambayo hufanya tarakimu a na b. Nambari kubwa zaidi ni 9, kwa hivyo b leq 9. Hii ina maana kwamba 4r2 leq 9, au r2 leq 94. Nikichukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili, napata r leq 32. Kwa kuwa ninataka r kuwa chanya, naweza kuacha thamani kamili na kuandika r leq 32. Thamani kubwa zaidi ya r inayotosheleza ukosefu huu wa usawa ni r 32. Kuchomeka hii katika a 4r na b 4r2, napata a 6 na b 9. Sasa, ninahitaji kupata thamani kubwa zaidi ya c ambayo hufanya b,c,5 kuwa mfuatano wa hesabu. Kwa kuwa c b d na 5 c d, naweza kuondoa d na kupata c b 52. Kuchomeka b 9, napata c 7. Kwa hivyo, nambari kubwa zaidi ya nambari tatu ambayo inakidhi masharti ni 697. 