<prompt> Compute int_0pi fracx sin x1sin 2 x d x .  <response>: Tunatumia mfano kutoka kwa utangulizi wa kitendakazi mahususi fxfracx1x2 kubadilisha kiungo kuwa pi int_0frac pi2 fracsin x1sin 2 x d x . Hii ni sawa na pi int_0fracpi2-fracdcos x2-cos 2 x , ambayo pamoja na kibadala tcos x inakuwa pi int_01 frac12-t2 d tleft.frac pi2 sqrt2 ln fracsqrt2tsqrt2-tright_0 1fracpi 2 sqrt2 ln fracsqrt21sqrt2-1 . 