<prompt> Acha x na y ziwe nambari halisi kama hizoxyx2 - y2 x2 y2.Tafuta thamani ya chini zaidi ya x2 y2.  <response>: Acha a na b ziwe nambari zozote halisi. Kisha kwa Ukosefu wa Usawa mdogo,a - b2 ge 0.Hii inapanuka kama a2 - 2ab b2 ge 0, hivyoa2 b2 ge 2ab.Hii inaonekana kama AM-GM, lakini tunataka ukosefu wa usawa unaofanya kazi na nambari zote halisi.Kuweka a 2xy na b x2 - y2, tunapata2xy2 x2 - y22 ge 22xyx2 - y2.Upande wa kushoto hurahisisha hadi x2 y22. Kutoka kwa mlinganyo uliotolewa,22xyx2 - y2 4xyx2 - y2 4x2 y2,hivyo x2 y22 ge 4x2 y2. Kwa kuwa x na y zote ni nonzero, x2 y2 0, ili tugawane pande zote mbili. kwa x2 y2 ili kupatax2 y2 ge 4. Usawa hutokea tu wakati 2xy x2 - y2, au y2 2xy - x2 0. Kwa fomula ya quadratic ,y frac-2 pm sqrt4 - 41-12 cdot x -1 pm sqrt2x.Tuseme y -1 sqrt2x. Inabadilisha hadi x2 y2 4, tunapatax2 1 - 2 sqrt2 2 x2 4.Kisha 4 - 2 sqrt2 x2 4, hivyox2 frac44 - 2 sqrt2 2 sqrt2.Kwa hivyo usawa hutokea, kwa mfano, wakati x sqrt2 sqrt 2 na y -1 sqrt2 sqrt2 sqrt2. Tunahitimisha kwamba thamani ya chini ni 4. 