<prompt> Kokotoa uwakilishi wa mfululizo wa Fourier wa chaguo za kukokotoa fx x2 kwenye muda -π, π, ukitoa hoja za hatua kwa hatua.  <response>: Ili kupata uwakilishi wa mfululizo wa Fourier wa chaguo za kukokotoa, tunahitaji kukokotoa vigawo vyake vya Fourier. Fomula ya jumla ya safu ya Fourier ni:fx a_0 2 Σa_n cosnx b_n sinnxambapo n huenda kutoka 1 hadi infinity na a_n na b_n ni migawo Fourier.Njia za kuhesabu coefficients ya Fourier ni kama ifuatavyo.a_0 1 π -π, π fx dxa_n 1 π -π, π fx cosnx dxb_n 1 π -π, π fx dhambinx dxSasa hebu tuhesabu hesabu hizi kwa chaguo zetu za kukokotoa fx x2.Kwanza, tutapata a_0:a_0 1 π -π, π x2 dxa_0 1 π x3 3-π, πa_0 1 π π3 - -π3 3a_0 1 π 2π3 3a_0 2π2 3Ifuatayo, tutapata a_n:a_n 1 π -π, π x2 cosnx dxIli kutatua kiunga hiki, tunaweza kutumia ujumuishaji na sehemu. Hebu u x2 na dv cosnx dx. Kisha du 2x dx na v 1n dhambinx.Kutumia ujumuishaji na sehemu, tunapata:-π, π x2 cosnx dx x2 1n dhambinx-π, π - -π, π 2x 1n dhambinx dxMuhula wa kwanza hutathmini hadi sifuri tangu sinnπ 0 kwa nambari kamili za n. Sasa tunahitaji kutatua kiunga cha pili:-π, π 2x 1n dhambinx dxHebu u x na dv dhambinx dx. Kisha du dx na v -1n cosnx.Kutumia ujumuishaji na sehemu tena, tunapata:-π, π 2x 1n dhambinx dx -2x n2 cosnx-π, π -π, π 2 n2 cosnx dxNeno la kwanza hutathmini hadi sifuri kwa kuwa cosnπ 1 au -1 kwa thamani zote kamili za n, na hivyo basi 2π - -2π 0. Kiunga cha pili pia hutathmini hadi sifuri kwa sababu ni kiungo cha chaguo za kukokotoa zisizo za kawaida juu ya muda wa ulinganifu.Kwa hivyo, a_n 0 kwa wote n.Mwishowe, wacha tupate b_n:b_n 1 π -π, π x2 dhambinx dxMuhimu hii ni sawa na ile ya a_n, lakini na sinnx badala ya cosnx. Tunaweza kutumia mbinu sawa na hapo awali, kwa kutumia ushirikiano na sehemu mara mbili. Baada ya kufanya hivyo, tunaona kuwa kiunga hiki pia kinatathmini hadi sifuri:b_n 0 kwa wote n.Sasa tunayo migawo yote ya Fourier:a_0 2π2 3, a_n 0, na b_n 0.Kwa hivyo uwakilishi wa safu ya Fourier ya fx x2 kwenye muda -π, π ni:fx 2π2 3 2fx π2 3Matokeo haya yanaweza kuonekana ya kustaajabisha, lakini ni kwa sababu chaguo la kukokotoa x2 ni kazi sawa na ina muda wa kudumu tu katika uwakilishi wake wa mfululizo wa Fourier. 