<prompt> Acha mathcalC iwe hyperbola y2 - x2 1. Kwa kuzingatia pointi P_0 kwenye mhimili wa x, tunaunda mlolongo wa pointi P_n kwenye mhimili wa x kwa namna ifuatayo: acha ell_n iwe mstari na mteremko wa 1 kupita. kupitia P_n, kisha P_n1 ni makadirio ya othogonal ya sehemu ya makutano ya ell_n na mathcal C kwenye mhimili wa x. Ikiwa P_n 0, basi mlolongo unaisha tu.Tafuta idadi ya nafasi za kuanzia P_0 kwenye mhimili wa x-kama vile P_0 P_2008. Jibu lako linapaswa kutumia nukuu ya ufafanuzi, kwa njia rahisi zaidi.  <response>: Acha P_n x_n, 0. Kisha ell_n ikutane na mathcalC kwa x_n1, x_n1 - x_n. Kwa kuwa hatua hii inategemea hyperbola, tuna x_n1 - x_n2 - x_n12 1. Kupanga upya mlinganyo huu kunatoa x_n1 fracx_n2 - 12x_n.Chagua theta_0 in 0, pi yenye cottheta_0 x_0, na ubainishe theta_n 2n theta_0. Kwa kutumia fomula ya pembe mbili, tunayo cot theta_n1 cot 2 theta_n fraccot2 theta_n - 12 cot theta_n.Inafuata kwa utangulizi kwamba x_n cot theta_n. Kisha, P_0 P_2008 inalingana na cot theta_0 cot 22008 theta_0 ikizingatiwa kuwa P_0 haiko katika asili, au kwa usawa, 2n theta kamwe sio kizidishio kamili cha pi.Kwa hivyo, tunahitaji kupata nambari ya theta_0 in 0, pi na sifa ambayo 22008 theta_0 - theta_0 k pi kwa nambari kamili k. Tuna theta_0 frack pi22008 - 1, kwa hivyo k inaweza kuwa nambari kamili kati ya 1 na 22008-2 ikijumlishwa na kumbuka kuwa tangu denominator ni isiyo ya kawaida, mlolongo hauishi kamwe. Inafuata kwamba idadi ya nafasi za kuanzia ni 22008 -2. 