<prompt> Acha f kiwe chaguo la kukokotoa kuchukua nambari kamili chanya hadi nambari kamili chanya, kama vilefmfn nfmkwa nambari zote chanya m na n. Tafuta thamani ndogo zaidi iwezekanayo ya f2007.  <response>: Kuweka m n, tunapatafnfn nfn.Kwa hivyo, nfn ni sehemu isiyobadilika kwa nambari zote chanya n. Kwa maneno mengine, x nfn inatosheleza fx x.Kuweka m 1, tunapataffn nf1.Ikiwa n ni sehemu isiyobadilika ambayo tunajua ipo, basi n nf1, hivyo f1 1 . Kwa hiyo,ffn nkwa nambari kamili chanya n. Mlinganyo huu unatuambia kuwa chaguo la kukokotoa f ni kidhamira.Zaidi ya hayo, ikiwa fa fb, basiffa ffb,kwa hiyo a b. Kwa hiyo, f ni sindano, ambayo ina maana kwamba f ni lengo.Kubadilisha n na fn katika mavuno ya utendakazi yaliyotolewafm ffn fn fm.Kwa kuwa ffn n,fmn fn fm quad kwa nambari zote chanya m na n.Kuchukua m n 1 katika , tunapataf1 f12,hivyo f1 1.Kumbuka kwamba kwa nambari kamili n, taun inawakilisha idadi ya vigawanyiko vya n. Kwa hivyo, kwa kuzingatia nambari chanya n, kuna taun njia za kuandika. ni katika fomun ab,ambapo a na b ni nambari kamili chanya. Kishafn fab fa fb.Kwa vile f ni pingamizi, kila njia ya kuandika n kama bidhaa ya nambari mbili chanya hutupatia angalau moja. njia ya kuandika fn kama bidhaa ya nambari mbili chanya, kwa hivyotaufn ge taun.Kubadilisha n na fn, tunapatatauffn ge taufn.Lakini ffn n, hivyotaun ge taufn.Kwa hiyo,taufn taunkwa nambari zote chanya n.Ikiwa n ni p kuu, basitaufp taup 2.Hii inamaanisha fp pia ni muhimu. Kwa hivyo, ikiwa p ni ya kwanza, basi fp pia ni ya kwanza.Sasa,f2007 f32 cdot 223 f32 f223.Tunajua kwamba f3 na f223 ni za msingi.Ikiwa f3 2, basi f2 3, hivyo f223 ge 5, naf32 f223 ge 22 cdot 5 20.Kama f3 3, basif32 f223 ge 32 cdot 2 18.Kama f3 ge 5, basif32 f223 ge 52 cdot 2 50.Kwa hivyo f2007 lazima iwe angalau 18. Ili kuonyesha kwamba 18 ndiyo thamani ndogo zaidi iwezekanayo ya f2007, lazima tuunde chaguo za kukokotoa ambapo f2007 18. Kwa kuzingatia nambari kamili n, chukua uwekaji alama mkuu wa n na ubadilishe kila kipengee cha 2 na 223, na kinyume chake. na sababu zingine zote kuu zimeachwa peke yake. Kwa mfano,f27 cdot 34 cdot 223 cdot 115 2237 cdot 34 cdot 2 cdot 115.Inaweza kuonyeshwa kuwa chaguo hili la kukokotoa linafanya kazi. Kwa hivyo, thamani ndogo kabisa ya f2007 ni 18. 