<prompt> Nini mgawo wa x3 katika upanuzi wa x2sqrt37?  <response>: Ili kupata mgawo wa x3 katika upanuzi wa x2sqrt37, ninahitaji kutumia nadharia ya binomial, ambayo inasema kwamba xyn sum_k0n binomnk xn-k yk, ambapo binomnk ni mgawo wa binomial. Katika kesi hii, y 2sqrt3 na n 7, kwa hivyo ninahitaji kutafuta neno ambapo k 4, kwani hiyo ingefanya xn-k x3. Neno ambapo k 4 ni binom74 x3 2sqrt34. Ili kupata mgawo wa x3, ninahitaji kurahisisha neno hili. Ninajua kuwa binom74 frac7!4!3! frac7mara 6 mara 53mara 2 35, ili niweze chomeka hiyo. Ninajua pia kuwa 2sqrt34 24 sqrt34 16 mara 9 144, kwa hivyo ninaweza kuchomeka hiyo pia. Kwa hivyo, mgawo wa x3 ni binom74 2sqrt34 35 mara 144 5040. 