<prompt> Acha z iwe nambari changamano yenye z2. Acha P iwe poligoni katika ndege changamano ambayo wima ni z na kila w hivyofrac1zwfrac1zfrac1w.Tafuta eneo lililoambatanishwa na P.  <response>: Kuzidisha pande zote mbili kwa zwz w, tunapatazw z w2,ambayo hurahisisha hadi w2 zw z2 0. Kwa fomula ya quadratic,w frac-1 pm i sqrt32 cdot z,kwa hivyo masuluhisho ni w z operatornamecis 120circ na w z operatornamecis 240circ, ambayo ina maana kwamba P ni pembetatu iliyo sawa.asyusepackageamsmath;ukubwa wa kitengo 2 cm;jozi A, B, C;A dir20;B dir 20 120;C dir 20 240;choraMduara0,0,1;kuchoraA--B--C--mzunguko;chora-1.2,0--1.2,0;chora0,-1.2--0,1.2;nukta z, A, A;nuktaz jina la operetacis 120circ, B, B;nuktaz jina la operetacis 240circ, C, SW;asyUrefu wa upande wa pembetatu ya usawa nikushoto z - frac-1 i sqrt32 z kulia kushoto frac3 - i sqrt32 kulia z sqrt3 cdot 2,kwa hivyo eneo la pembetatu ya equilateral nifracsqrt34 cdot 2 sqrt32 3 sqrt3. 