<prompt> Tafuta katikati ya duara kwa mlinganyo x2 14x y2 - 6y 53 0.  <response>: Ili kupata kitovu cha mduara, ninahitaji kuandika tena mlinganyo katika fomu ya kawaida x - h2 y - k2 r2, ambapo h, k ndio katikati na r ni radius. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kukamilisha mraba kwa masharti yote ya x na y. Kwa masharti ya x, nina x2 14x, na ninahitaji kuongeza mara kwa mara ambayo hufanya mraba kamili. Safu ni nusu ya mgawo wa x, mraba. Kwa hivyo hiyo ni 1422 49. Ninaongeza 49 kwa pande zote mbili za equation, na ninapata x2 14x 49 y2 - 6y 53 49. Vile vile, kwa masharti ya y, nina y2 - 6y, na ninahitaji kuongeza mara kwa mara ambayo hufanya mraba kamili. Kiwango kisichobadilika ni nusu ya mgawo wa y, mraba. Kwa hivyo hiyo ni -622 9. Ninaongeza 9 kwa pande zote mbili za mlinganyo, na ninapata x2 14x 49 y2 - 6y 9 53 49 9. Sasa ninaweza kuhesabu maneno x na y kama miraba kamili. Ninapata x 72 y - 32 53 58. Ninatoa 53 kutoka pande zote mbili, na ninapata x 72 y - 32 5. Hii ndiyo aina ya kawaida ya mlingano wa duara, ambapo kituo ni -7, 3 na kipenyo ni sqrt5. 