<prompt> Kwa nambari kamili chanya n 23, ni kigawanyo gani kikubwa zaidi cha kawaida cha n3 32 na n 2?  <response>: Ili kupata kigawanyiko kikuu cha kawaida GCD cha nambari mbili, ninahitaji kupata nambari kubwa zaidi chanya ambayo inagawanya nambari zote mbili sawasawa. Njia moja ya kufanya hivyo ni kuzingatia nambari zote mbili na kutafuta sababu za kawaida. Walakini, hiyo inaweza kuwa ya kuchosha na ngumu, haswa ikiwa n ni kubwa au haiwezi kuwezeshwa kwa urahisi. Njia nyingine ya kufanya hivyo ni kutumia algorithm ya Euclidean, ambayo inatumika mara kwa mara algorithm ya mgawanyiko ili kupata GCD. Hiyo ni, kwa kupewa nambari mbili a na b, na a geq b, naweza kuandika a bq r, ambapo q ndio mgawo na r ndio salio. Kisha, GCD ya a na b ni sawa na GCD ya b na r, kwani kigawanyiko chochote cha kawaida cha a na b lazima pia kigawanye r. Ninaweza kurudia mchakato huu hadi nifikie salio la sifuri, na kisha salio la mwisho la nonzero ni GCD. Kwa mfano, ili kupata GCD ya 24 na 16, naweza kuandika 24 16 cdot 1 8, hivyo GCD ya 24 na 16 ni sawa na GCD ya 16 na 8. Kisha, naweza kuandika 16 8 cdot 2 0, hivyo GCD ya 16 na 8 ni sawa na GCD ya 8 na 0. Kwa kuwa salio ni sifuri, salio la mwisho la nonzero ni 8, ambayo ni GCD ya 24 na 16. Nitajaribu kutumia njia sawa kupata GCD ya n3 9 na n 2. Kwanza, ninahitaji kujua ni ipi ni kubwa zaidi. Kwa kuwa n 23 8, najua kwamba n3 9 n 2, kwani n3 hukua kwa kasi zaidi kuliko n. Kwa hivyo, nitaandika n3 9 n 2q r, ambapo q na r ni nambari kamili. Ili kupata q na r, ninaweza kutumia mgawanyiko mrefu wa polynomial au mgawanyiko wa syntetisk. Nitatumia mgawanyiko wa syntetisk, kwani ni haraka na ngumu zaidi. Nitagawanya n3 9 na n 2, nikitumia -2 kama kigawanyo. Ninaandika hesabu za n3 9 mfululizo, nikianza na nguvu ya juu zaidi: 1, 0, 0, 9. Ninaleta chini mgawo wa kwanza, ambao ni 1, na niandike chini ya safu mlalo. Ninazidisha 1 kwa -2 na kuiandika juu ya mgawo unaofuata, ambao ni 0. Ninaongeza 0 na -2 na kuandika matokeo, ambayo ni -2, chini ya safu. Ninazidisha -2 kwa -2 na kuiandika juu ya mgawo unaofuata, ambao ni 0. Ninaongeza 0 na 4 na kuandika matokeo, ambayo ni 4, chini ya safu. Ninazidisha 4 kwa -2 na kuiandika juu ya mgawo wa mwisho, ambao ni 9. Ninaongeza 9 na -8 na kuandika matokeo, ambayo ni 1, chini ya safu mlalo. Nambari ya mwisho chini ya safu ni salio, ambayo ni 1. Nambari zingine chini ya safu mlalo ni coefficients ya mgawo, ambayo ni n2 - 2n 4. Kwa hivyo, nina n3 9 n 2n2 - 2n 4 1. Hii ina maana kwamba GCD ya n3 9 na n 2 ni sawa na GCD ya n 2 na 1. Lakini GCD ya nambari yoyote na 1 ni 1 tu, kwani 1 ndio nambari chanya ndogo zaidi inayogawanya nambari nyingine yoyote. Kwa hivyo, GCD ya n3 9 na n 2 ni 1. 