<prompt> Tatua mlingano wa joto kwa hali ya awali ux,0sinpix na masharti ya mpaka u0,tu1,t0.  <response>: Equation ya joto hutolewa na:ut k 2ux2ambapo ux,t ni usambazaji wa halijoto katika fimbo yenye mwelekeo mmoja, x ni nafasi kando ya fimbo, t ni wakati, na k ni utofauti wa joto wa nyenzo.Tunapewa hali ya awali ux,0 sinπx na masharti ya mipaka u0,t u1,t 0. Ili kutatua tatizo hili, tunaweza kutumia mgawanyo wa vigezo. Tunafikiria kuwa suluhisho lina fomu:ux,t XxTtKuingiza hii kwenye equation ya joto, tunapata:Xx dTdt k Tt d2Xdx2Sasa, tunagawanya pande zote mbili kwa kXT kupata:dTdtkT d2Xdx2XKwa kuwa upande wa kushoto unategemea t tu na upande wa kulia unategemea x tu, lazima ziwe sawa na -λ2 mara kwa mara:dTdtkT -λ2d2Xdx2X -λ2Sasa, tunayo milinganyo miwili ya kawaida ya kusuluhisha:d2Xdx2 λ2X 0dTdt kλ2T 0Mlinganyo wa kwanza ni tatizo la eigenvalue na masharti ya mpaka X0 X1 0. Suluhu ni:X_nx dhambinπxλ_n nπkwa n 1,2,3,...Mlinganyo wa pili ni mpangilio wa mstari wa ODE wa Tt. Suluhisho lake ni:T_nt A_n exp-kλ_n2tKwa hivyo, suluhisho la jumla la equation ya joto ni jumla ya suluhisho hizi:ux,t ΣA_n dhambinπx exp-knπ2tSasa, tunahitaji kupata coefficients A_n kwa kutumia hali ya awali ux,0 sinπx:dhambiπx ΣA_n dhambinπxKwa kulinganisha pande zote mbili, tunaona kwamba neno tu na n1 sio sifuri. Kwa hivyo, A_1 1 na zingine zote A_n 0.Kwa hivyo, suluhisho la mwisho ni:ux,t dhambiπx exp-kπ2tHii inakidhi mlinganyo wa joto, hali ya awali, na hali ya mpaka. 