<prompt> Kuna 24 nambari tofauti changamano z kiasi kwamba z241. Je, ni ngapi kati ya hizi ambazo z6 nambari halisi?  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kukumbuka nambari ngumu ni nini na jinsi zinavyohusiana na ndege tata. Nambari changamano ni nambari ya fomu abi, ambapo a na b ni nambari halisi na i ni kitengo cha kuwazia kinachofafanuliwa na i2-1. Ndege changamano ni mfumo wa kuratibu ambapo mhimili mlalo ni sehemu halisi na mhimili wima ni sehemu ya kuwazia ya nambari changamano. Kwa mfano, nambari changamano 3-4i inalingana na uhakika 3,-4 katika ndege changamano. Ninaweza pia kuwakilisha nambari changamano kwa kutumia viwianishi vya polar, ambapo ninabainisha ukubwa na pembe ya nambari changamano katika ndege changamano. Ukubwa wa nambari changamano zabi imetolewa na zsqrta2b2, na pembe ya z inatolewa na thetatan -1leftfracbaright, iliyopimwa kwa radiani kutoka kwa mhimili halisi chanya. Kwa mfano, nambari changamano 3-4i ina ukubwa zsqrt32425 na pembe thetatan-1leftfrac -43kuliatakriban -0.9273. Kwa kutumia fomula ya Euler, ninaweza pia kuandika nambari yoyote changamano katika fomu zzeitheta, ambapo e ndio msingi wa logarithm asili na i ni kitengo cha kufikiria. Kwa mfano, nambari changamano 3-4i inaweza kuandikwa kama z5e-0.9273i. Fomu hii ni muhimu kwa kuzidisha nambari changamano, kwa kuwa ninaweza kutumia kipengele ambacho eaebeab kwa nambari zozote halisi a na b. Kwa mfano, ili kuzidisha 3-4i peke yake, ninaweza kuandika 3-4i25e-0.9273i252e-0.9273i-0.9273i25e -1.8546i. Sasa, ninataka kupata nambari changamano z kiasi kwamba z241. Hii inamaanisha kuwa z ni mzizi wa 24th wa umoja, au nambari changamano ambayo iko kwenye mduara wa kitengo katika ndege changamano na ina pembe ambayo ni mgawo wa frac2pi24. . Kuna 24 nambari kama hizo, na zimetolewa na zeifrac2pi k24 kwa k0,1,2,dots,23. Kwa mfano, zeifrac2pi24 ni mzizi wa 24th wa umoja wenye pembe ya fracpi12, na z eifrac2pi cdot 1024 ni mzizi mwingine wa 24th wa umoja wenye pembe ya frac5pi6. Ili kujua ni ngapi kati ya hizi z zilizo na mali ambayo z6 ni nambari halisi, ninahitaji kuzingatia kile kinachotokea ninapoongeza z hadi nguvu ya sita. Kwa kutumia sifa ambayo eaebeab, naweza kuandika z6eifrac2pi k24 cdot 6eifracpi k2. Ili z6 iwe nambari halisi, sehemu yake ya kuwazia lazima iwe sifuri, ambayo ina maana kwamba sinleftfracpi k2right0. Hii hutokea wakati fracpi k2 ni kizidishio cha pi, au wakati k ni nambari kamili. Kwa hivyo, kati ya thamani za 24 za k ambazo huanzia 0 hadi 23, ni zile tu hata zinazofanya z6 kuwa nambari halisi. Kuna 12 hata nambari kamili kutoka 0 hadi 23, kwa hivyo kuna 12 nambari changamano z kiasi kwamba z241 na z6 ni nambari halisi. 