<prompt> Piramidi ya mraba yenye msingi ABCD na kipeo E ina kingo nane za urefu wa 4. Ndege hupitia sehemu za kati za overlineAE, overlineBC, na overlineCD . Makutano ya ndege na piramidi ina eneo ambalo linaweza kuonyeshwa kama sqrtp. Tafuta p.  <response>: Weka piramidi kwenye mfumo wa kuratibu na A kwa 0,0,0, B kwa 4,0,0, C kwa 4,4,0, D kwa 0,4,0 na E kwa 2,2,2sqrt2. Acha R, S, na T ziwe viini vya overlineAE, overlineBC, na overlineCD mtawalia. Viwianishi vya R, S, na T ni 1,1,sqrt2, 4,2,0 na 2,4,0 mtawalia. .asykuagiza tatu;ukubwa 250;makadirio ya sasa mtazamo 6,3,2; kuhesabu makutano ya mstari na ndege p uhakika kwenye mstari d mwelekeo wa mstari q uhakika katika ndege n kawaida kwa ndegempango wa mstari wa tatutriple p, triple d, triple q, triple n kurudi p nuktan,q - pdotn,dd;mara tatu I 1,0,0, J 0,1,0, K 0,0,1, O 0,0,0;mara tatu A 0,0,0, B 4,0,0, C 4,4,0, D 0,4,0, E 2, 2, 2 sqrt2;triple R A E2, S B C2, T C D2;triple U lineintersectplan B, E - B, R, msalaba R - S, R - T;triple V lineintersectplan D, E - D, R, msalaba R - S, R - T;kuchoraE--B--C--D--mzunguko;kuchoraC--E;choraA--B,iliyopigwa;kuchoraA--D,dashed;kuchoraA--E,dashed;choraU--R--V, iliyokatika;kuchoraU--S;kuchoraV--T;kuchoraS--T,dashed;leboA, A, dir270;leboB, B, W;leboC, C, dir270;leboD, D, dir0;leboE, E, N;leboR, R, NW;leboS, S, dir270;leboT, T, SE;leboU, U, NW;leboV, V, NE;asyKumbuka kuwa S 4,2,0 na T 4,2,0 inakidhi mlingano wowote wa fomu.x y kz 6.Kubadilisha x y 1 na z sqrt2, tunapata 2 k sqrt2 6, hivyo k 2 sqrt2. Kwa hivyo, mlinganyo wa ndege RST nix y 2z sqrt2 6.Acha U na V ziwe sehemu za makutano ya ndege na overlineBE na overlineDE mtawalia. . Pointi kwenye overlineBE zina viwianishi vya fomu 4-t, t, tsqrt2. Tukibadilisha kwenye mlinganyo wa ndege, tunapata4 - t t 4t 6.Kisha t frac12, so U leftdfrac72,dfrac11 2,dfracsqrt22kulia.Vile vile, pointi kwenye overlineDE zina viwianishi vya fomu t,4-t,tsqrt2. Tukibadilisha katika mlinganyo wa ndege, tunapatat 4 - t 4t 6.Kisha t frac12, so V leftdfrac12,dfrac7101 2,dfracsqrt22kulia.Kisha RURVsqrt7, USVTsqrt3 na ST 2sqrt2. Kumbuka pia kuwa UV 3sqrt2. Kwa hivyo pentagoni inayoundwa na makutano ya ndege na piramidi inaweza kugawanywa katika pembetatu ya isosceles RUV na isosceles trapezoid USTV.asyukubwa wa kitengo 1 cm;jozi R, S, T, U, V;R 0,2sqrt52;S -sqrt2,0;T sqrt2,0;U -32sqrt2,sqrt52;V 32sqrt2,sqrt52;kuchoraR--U--S--T--V--mzunguko;kuchoraU--V;leboR, R, N;leboS, S, SW;leboT, T, SE;leboU, U, W;leboV, V, E;lebosqrt7, R U2, NW;lebosqrt7, R V2, NE;lebosqrt3, U S2, SW;lebosqrt3, V T2, SE;lebo2 sqrt2, S T2, dir270;lebo3 sqrt2, U V2, dir270;asyTukiacha mwinuko kutoka R hadi overlineUV na kutumia Pythagoras, tunapata kwamba urefu wa pembetatu RUV ni fracsqrt102. Kwa hivyo, eneo la pembetatu RUV pembetatu RUV nifrac12 cdot 3 sqrt2 cdot fracsqrt102 frac3 sqrt52. asyukubwa wa kitengo 1 cm;jozi M, R, S, T, U, V;R 0,2sqrt52;S -sqrt2,0;T sqrt2,0;U -32sqrt2,sqrt52;V 32sqrt2,sqrt52;M U V2;kuchoraR--U--V--mzunguko;choraR--M;leboR, R, N;leboU, U, W;leboV, V, E;lebosqrt7, R U2, NW;lebosqrt7, R V2, NE;lebofrac3 sqrt22, M V2, dir270;lebofracsqrt102, R M2, W;asyKushuka kwa urefu kutoka V hadi overlineST, tunapata kwamba urefu wa trapezoid USTV ni fracsqrt102. Kwa hivyo, eneo la trapezoid USTV nifrac3 sqrt2 2 sqrt22 cdot fracsqrt102 frac5 sqrt52 .asyukubwa wa kitengo 1 cm;jozi P, R, S, T, U, V;R 0,2sqrt52;S -sqrt2,0;T sqrt2,0;U -32sqrt2,sqrt52;V 32sqrt2,sqrt52;P 32sqrt2,0;kuchoraU--S--T--V--mzunguko;kuchoraT--P--V;lebosqrt3, T V2, NW;lebo2 sqrt2, S T2, dir270;lebo3 sqrt2, U V2, N;lebofracsqrt22, P T2, dir270;lebofracsqrt102, V P2, E;leboS, S, dir270;leboT, T, dir270;leboU, U, NW;leboV, V, NE;asyKwa hivyo jumla ya eneo la pentagon ni frac3 sqrt52 frac5 sqrt52 4sqrt5 au sqrt80 , na p 80. 