<prompt> Acha mathbfa, mathbfb, mathbfc ziwe vekta kiasi kwamba mathbfa mathbfb 1, mathbfc 2, namathbfa nyakati mathbfa nyakati mathbfc mathbfb mathbf0.Tafuta pembe ndogo iwezekanavyo kati ya mathbfa na mathbfc, kwa digrii.  <response>: Kwa bidhaa ya vekta tatu, kwa vekta zozote mathbfu, mathbfv, na mathbfw,mathbfu nyakati mathbfv nyakati mathbfw mathbfu cdot mathbfw mathbfv - mathbfu cdot mathbfv mathbfw.Hivyo,mathbfa cdot mathbfc mathbfa - mathbfa cdot mathbfa mathbfc mathbfb 0. Tangu mathbfa 1, mathbfa cdot mathbfc mathbfa - mathbfc mathbfb 0,hivyo mathbfa cdot mathbf c mathbfa - mathbfc -mathbfb. Kishamathbfa cdot mathbfc mathbfa - mathbfc -mathbfb 1.Basi tunaweza kusema mathbfa cdot mathbfc mathbfa - mathbfc2 1, ambayo inapanuka kamamathbfa cdot mathbfc2 mathbfa2 - 2 mathbfa cdot mathbfc2 mathbfc2 1.Tunaweza kurahisisha hili-mathbfa cdot mathbfc2 4 1,hivyo mathbfa cdot mathbfc2 3. Kwa hivyo, mathbfa cdot mathbfc pm sqrt3.Ikiwa theta ni pembe kati ya mathbfa na mathbfc, basicos theta fracmathbfa cdot mathbfcmathbfa mathbfc pm fracsqrt32.Njia ndogo kabisa theta inayotosheleza mlingano huu ni 30circ. Tunaweza kufikia 30 circ kwa kuchukua mathbfa anzapmatrix 1 0 0 mwishopmatrix, mathbfb anzapmatrix 0 1 0 endpmatrix, na mathbfc anzapmatrix sqrt3 1 0 endpmatrix, kwa hivyo hii ndiyo pembe ndogo iwezekanavyo. 