<prompt> Kwa nambari kamili n kiasi kwamba n 10,000, nambari n2005 ina mambo 21 chanya haswa. Je, ni jumla gani ya thamani zote zinazowezekana za n?  <response>: Acha k n2005. Tangu 1 le n le 9999, tuna 2006 le k le 12004. Tunajua kuwa k ina vipengele 21 haswa vyema. Idadi ya vipengele chanya vya nambari kamili yenye uwekaji alama mkuu p_1e_1p_2e_2 cdots p_re_r ni e_11e_21cdotse_r1 . Kwa kuwa 21 7 cdot 3 na 7 na 3 ndizo kuu, uwekaji alama mkuu wa k ni mojawapo ya fomu p20 au p6 q2, ambapo p na q ni nambari kuu tofauti. Kwa kuwa p20 geq 220 12004 kwa p yoyote kuu, hatuwezi kuwa na fomu ya kwanza. Hivyo k p6 q2 kwa primes tofauti p na q.Ikiwa p2, basi k64q2. Hivyo 2006 le 64q2 le 12004 Rightarrow 31.34375 le q2 le 187.5625. Kwa q nambari kamili, hii itashikilia 6 le q le 13. Kwa kuwa q ni ya kwanza, q ni 7, 11, au 13. Kwa hivyo ikiwa p2, thamani zinazowezekana za k ni 26 72 3136, 26 112 7744, na 26 132 10816.Ikiwa p3, basi k 729q2. Kwa hivyo 2006 le 729q2 le 12004 Mshale wa kulia 2.75ldots le q2 le 16.46ldots. Kwa q nambari kamili, hii itashikilia 2 le q le 4. Kwa kuwa q ni tofauti kuu na p3, tuna q2. Kwa hivyo ikiwa p3, k 36 22 2916.Ikiwa p ge 5, basi k ge 15625q2 12004, ni kinzani. Kwa hivyo tumepata thamani zote zinazowezekana za k. Jumla ya thamani zinazowezekana za n k - 2005 ni hivyo beginalign3136-2005 7744-2005 10816-2005 2916-2005 16592.mwishopanga 