<prompt> Mlinganyo wa polinomia x3 bx c 0,ambapo b na c ni nambari za busara, ina 5-sqrt2 kama mzizi. Pia ina mzizi kamili. Ni nini?  <response>: Ninagundua kuwa 5-sqrt2 ni mzizi usio na mantiki wa equation, na ninakumbuka kwamba ikiwa polynomial iliyo na coefficients ya busara ina mzizi usio na mantiki wa fomu a-sqrtb, basi lazima pia. kuwa na asqrtb kama mzizi. Hii ni kwa sababu muunganiko wa mzizi usio na mantiki pia ni mzizi. Kwa hivyo, naweza kuhitimisha kuwa 5sqrt2 pia ni mzizi wa mlinganyo. Sasa, nina mizizi miwili kati ya mitatu ya equation ya ujazo, na ninataka kupata ya tatu, ambayo ni nambari kamili. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia ukweli kwamba jumla ya mizizi ya equation ya cubic ni sawa na kinyume cha mgawo wa neno la quadratic, ambalo katika kesi hii ni sifuri. Kwa hivyo, ninaweza kuandika 5-sqrt2 5sqrt2 r 0,ambapo r ndio mzizi kamili. Kwa kurahisisha mlinganyo huu, napata 10 r 0,ambayo inamaanisha kuwa r -10. Kwa hivyo, mzizi kamili wa equation ni -10. 