<prompt> Katika pembetatu ABC, AB 3, BC 4, AC 5, na BD ni kipenyo cha pembe kutoka kwenye kipeo B. Ikiwa BD k sqrt2, basi tafuta k.  <response>: Kwanza, tunapaswa kutambua kwamba pembetatu ABC ni pembetatu sahihi, kwani 32 42 52. Ndiyo, kwa hivyo angle ABC 90circ. Sawa. Hebu pia tuweke lebo D kama mahali ambapo BD inakatiza AC. Hakika. Sasa hebu tuangalie pembetatu ABD. Haki. Tumepewa kuwa BD ni sehemu ya pembe mbili. Kwa hivyo angle ADB pembe ABC 2 45circ. OOPS! Ndio uko sahihi. Nilimaanisha kusema angle ABD pembe CBD 45circ. Pia, tumepewa kuwa AB 3 na BD ksqrt2. Kwa hivyo sehemu AD ni 37 ya upande mzima AC. Tunajua kuwa AC 5, kwa hivyo AD frac157. Sasa tunaweza kutumia Nadharia ya Pythagorean kwenye pembetatu ABD. Tunajua kuwa AB 3 na BD ksqrt2, na tumegundua kuwa AD frac157. Kuchomeka nambari hutupatia leftfrac157right2 ksqrt22 32 Sasa tunaweza kutatua kwa k. leftfrac157kulia2 ksqrt22 32 hurahisisha hadi frac22549 2k2 9 . Kwa hivyo 2k2 9 - frac22549. Hatimaye, tunaweza kugawanya kwa mbili ili kupata k2 frac10849 So k pmsqrtfrac10849. Suluhisho hasi la k halina maana katika muktadha huu, kwa hivyo tunaweza kulipuuza. Haki. Kwa hivyo k sqrtfrac10849. Usemi sqrtfrac10849 unaweza kurahisishwa hadi sqrtfrac3649 sqrt3 Tangu sqrt36 6 , na sqrt49 7, kisha sqrtfrac3649 frac67. Kwa hivyo, tuna k frac67 sqrt3. Lakini tunaweza kutumia Sheria ya Cosine kupata urefu wa BD Sheria ya Cosines ni BD2 AB2 AD2 - 2ABADcosangle BAD Ok, hivyo sin angle BAD fracBCAC frac45 cos angle BAD sqrt1-sin2 angle BAD sqrt1 - frac1625 sqrtfrac925 frac35 Sasa tuna kila kitu tunachohitaji ili kutumia Sheria ya Cosines. BD2 AB2 AD2 - 2ABAD cos angle BAD 32 kushotofrac157kulia2 - 23 leftfrac157kulialeftfrac35right Hatimaye, BD sqrtfrac28849 sqrtfrac28849 sqrtfrac14449 2 sqrtfrac14449 sqrt2 frac12 7 sqrt2 Lo, kwa hiyo k frac127. Haki. k frac127. 