<prompt> Rhombus PQRS imeandikwa katika mstatili ABCD ili wima P, Q, R, na S ziwe pointi za ndani kwenye pande overlineAB, overlineBC , overlineCD, na overlineDA, mtawalia. Imetolewa kuwa PB15, BQ20, PR30, na QS40. Acha mn, kwa maneno ya chini kabisa, iashiria eneo la ABCD. Tafuta mn.  <response>: asydefaultpenfontsize10linewidth0.65; jozi A0,28.8, B38.4,28.8, C38.4,0, D0,0, O, P23.4,28.8, Q38.4,8.8 , R15,0, S0,20; OintersectionpointA--C,B--D; choraA--B--C--D--mzunguko; choraP--R..Q--S; kuchoraP--Q--R--S--mzunguko; leboA,A,NW;leboB,B,NE;leboC,C,SE;lebo D,D,SW; leboP,P,N;leboQ,Q,E;leboR,R,SW;lebo S,S,W; lebo15,B2P2,N;lebo20,B2Q2,E;leboO ,O,SW; asyAcha O iwe kitovu cha rhombus. Kupitia pande zinazofanana na pembe mbadala za mambo ya ndani, tunaona kwamba pembetatu zilizo kinyume zinalingana pembetatu BPQ cong pembetatu DRS, pembetatu APS cong pembetatu CRQ. Kwa haraka tunatambua kuwa O pia ni kitovu cha mstatili.Kwa Nadharia ya Pythagorean, tunaweza kutatua kwa upande wa rhombus; PQ sqrt152 202 25. Kwa kuwa diagonals ya rhombus ni bisectors perpendicular, tuna OP 15, OQ 20 . Pia, angle POQ 90circ, kwa hivyo BPOQ ya pembe nne ni ya mzunguko. Kwa Nadharia ya Ptolemy, 25 cdot OB 20 cdot 15 15 cdot 20 600.Kwa mantiki sawa, tuna APOS ni mzunguko wa pembe nne. Acha AP x, AS y. Nadharia ya Pythagorean inatupa x2 y2 625quad mathrm1. Nadharia ya Ptolemy inatupa 25 cdot OA 20x 15y. Kwa kuwa diagonal za mstatili ni sawa, OA frac12d OB, na 20x 15y 600quad mathrm2. Kutatua kwa y, tunapata y 40 - frac 43x. Inabadilisha kuwa mathrm1,anzaeqnarrayx2 kushoto40-frac 43xkulia2 625 5x2 - 192x 1755 0 x frac192 pm sqrt1922 - 4 cdot 5 cdot 175510 15, frac1175endeqnarrayTunakataa 15 kwa sababu basi kila kitu huharibika na kuwa miraba, lakini hali ambayo PR neq QS inatupa ukinzani. Kwa hivyo x frac1175, na utatuzi wa nyuma unatoa y frac445. Mzunguko wa ABCD ni 2kushoto20 15 frac1175 frac445kulia frac6725, na m n 677 . 