<prompt> Je, ni jumla gani ya nambari zote chanya ambazo zina tarakimu mara mbili zaidi zinapoandikwa katika msingi 2 kama zilivyoandika katika msingi 3? Eleza jibu lako kwa msingi wa 10.  <response>: Kwanza tunazingatia nambari kamili ambazo zina tarakimu 2 katika msingi 2 na 1 katika msingi 3. Nambari kamili kama hiyo lazima iwe kubwa kuliko au sawa na 10_2 2, lakini chini ya 10_3 3. Nambari kamili kama hiyo ni 2.Kisha tutazingatia nambari kamili ambazo zina tarakimu 4 katika tarakimu msingi 2 na 2 katika msingi 3. Nambari kamili kama hiyo lazima iwe kubwa kuliko au sawa na 1000_2 23, lakini chini ya 100_3 32. Nambari kamili kama hiyo ni 8.Kisha tutazingatia nambari kamili ambazo zina tarakimu 6 katika tarakimu msingi 2 na 3 katika msingi 3. Nambari kamili kama hiyo lazima iwe kubwa kuliko au sawa na 100000_2 25, lakini chini ya 1000_3 33. Hakuna nambari kamili kama hizo, kwa sababu 25 33.Ikiwa tutaendelea kwa mtindo huu, tunaweza kushuku kuwa hakuna suluhisho zaidi za urefu wowote. Hebu tuthibitishe hili. Ikiwa nambari kamili N ina tarakimu 2d katika msingi 2, basi Nge 22d-1. Lakini ikiwa N ina tarakimu d pekee katika msingi 3, basi N3d. Suluhisho la pande zote linawezekana tu ikiwa 22d-13d.Tunaweza kupanga upya ukosefu huu wa usawa kama leftfrac 43rightd 2.Kwa ukaguzi, hii ukosefu wa usawa ni halali kwa d1,2 lakini si sahihi kwa d3, na pia si sahihi kwa d yoyote kubwa zaidi kwani upande wa kushoto huongezeka d inavyoongezeka. Hii inaonyesha kuwa hakuna suluhu N zaidi ya zile tulizopata tayari: 2 na 8, ambazo jumla yake ni 10. 