<prompt> Vipeo vya mchemraba vina kuratibu 0,0,0, 0,0,4, 0,4,0, 0,4,4, 4 ,0,0, 4,0,4, 4,4,0, na 4,4,4. Ndege inakata kingo za mchemraba huu kwa pointi P 0,2,0, Q 1,0,0, R 1,4,4, na pointi nyingine mbili. Tafuta umbali kati ya nukta hizi mbili.  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kupata mlinganyo wa ndege ambayo hupitia P,Q, na R, na kisha kupata makutano yake na kingo zingine za mchemraba. Ninaweza kutumia ukweli kwamba vekta ya kawaida kwa ndege ni sawa na vekta zozote mbili kwenye ndege, kama vile vecPQ na vecPR. Viwianishi vya vekta hizi ni vec PQ 1,-2,0 na vecPR 1,2,4, ili niweze kutumia bidhaa ya msalaba kupata vekta ya kawaida: vecPQ times vecPR -8,-4,4. Hii ina maana kwamba mlingano wa ndege una fomu -8x - 4y 4z d, ambapo d ni ya kudumu. Ili kupata d, naweza kuchomeka sehemu zozote zinazojulikana kwenye ndege, kama vile P. Hii inanipa -8 cdot 0 - 4 cdot 2 4 cdot 0 d, hivyo d -8. Kwa hiyo, equation ya ndege ni -8x - 4y 4z -8. Sasa ninahitaji kupata pointi nyingine mbili ambapo ndege hii inakata kando ya mchemraba. Ninaweza kutumia ukweli kwamba kingo za mchemraba ni sawa na shoka za kuratibu, kwa hivyo kila makali ina kuratibu mbili ambazo zimewekwa na moja ambayo inatofautiana. Kwa mfano, ukingo unaotoka 0,0,4 hadi 4,0,4 una y 0 na z 4, na x hutofautiana kutoka 0 hadi 4. . Ili kupata mahali ambapo makali haya yanakutana na ndege, ninaweza kuchomeka y 0 na z 4 kwenye mlinganyo wa ndege na kutatua kwa x. Hii inanipa -8x - 4 cdot 0 4 cdot 4 -8, hivyo -8x -24, na x 3. Kwa hiyo, moja ya pointi nyingine ni 3,0,4. Vile vile, naweza kupata nukta nyingine kwa kuangalia ukingo unaotoka 0,4,0 hadi 0,4,4. Makali haya yana x 0 na y 4, na z inatofautiana. kutoka 0 hadi 4. Kuchomeka x 0 na y 4 kwenye mlinganyo wa ndege na kutatua kwa z, Ninapata -8 cdot 0 - 4 cdot 4 4z -8, hivyo 4z 8, na z 2. Kwa hiyo, hatua nyingine ni 0,4,2. Sasa nina viwianishi vya pointi mbili, 3,0,4 na 0,4,2, na ninaweza kutumia fomula ya umbali kupata umbali kati yao. Fomula ya umbali ni d sqrtx_2 - x_12 y_2 - y_12 z_2 - z_12. Nikichomeka maadili, napata d sqrt 0 - 32 4 - 02 2 - 42. Kwa kurahisisha, napata d sqrt9 16 4. Kutathmini, napata d sqrt29. 