<prompt> Muhula wa nne wa mfululizo wa kijiometri ni 24 na muhula wa kumi na moja ni 3072. Uwiano wa kawaida ni nini?  <response>: Mfululizo wa kijiometri ni mlolongo wa nambari ambapo kila neno linapatikana kwa kuzidisha neno la awali kwa sababu ya mara kwa mara, inayoitwa uwiano wa kawaida. Wacha tuite uwiano wa kawaida r. Kisha, tunaweza kuandika fomula ya jumla ya muhula wa nth wa mfululizo wa kijiometri kama a_n a_1 rn-1, ambapo a_1 ni muhula wa kwanza. Tumepewa masharti mawili ya mfululizo, ya nne na ya kumi na moja. Kwa hivyo, tunaweza kuchomeka n 4 na n 11 kwenye fomula na kupata milinganyo miwili: 24 a_1 r3 na 3072 a_1 r10. Tunataka kupata r, kwa hivyo tunahitaji kuondoa a_1 kutoka kwa milinganyo. Njia moja ya kufanya hivyo ni kugawanya equation ya pili na ya kwanza. Hiyo inatupa frac307224 fraca_1 r10a_1 r3. Kurahisisha, tunapata 128 r7. Ili kutatua kwa r, tunahitaji kuchukua mzizi wa saba wa pande zote mbili. Hiyo inatupa r sqrt7128. Tunaweza kurahisisha usemi huu kwa kubainisha kuwa 128 27, hivyo sqrt7128 sqrt727 2. Kwa hiyo, uwiano wa kawaida ni r 2 . 