<prompt> Tuseme elektroni iko katika hali iliyoelezewa na kazi ya wimbipsifrac1sqrt4 pikushotoei phi sin thetacos thetakulia grwapiint_0inftygr2 r2 d r1na phi, theta ni azimuth na pembe za polar mtawalia.Ni thamani gani inayotarajiwa ya L_z ?  <response>: KamaY_10sqrtfrac34 pi cos theta, Y_1, pm 1mp sqrtfrac38 pi dhambi theta epm i phi,kazi ya wimbi inaweza kuandikwa kamapsisqrtfrac13left-sqrt2 Y_11Y_10kulia grKwa hivyo thamani zinazowezekana za L_z ni hbar, 0.Tanguanzailiyopangwaintpsi2 d r frac14 pi int_0inftygr2 r2 d r int_0pi d theta int_02 pi1cos phi sin 2 theta sin theta d phi frac12 int_0pi sin theta d theta1mwishoiliyopangwakazi ya wimbi iliyotolewa ni ya kawaida. Msongamano wa uwezekano basi hutolewa na Ppsi2. Kwa hivyo uwezekano wa L_zhbar ni leftsqrtfrac23kulia2 au 2 3 na ule wa L_ z0 ni leftfrac1sqrt3kulia2 au 1 3.anzailiyopangwaint psi L_z psi r2 sin theta d theta d phi d r intleftsqrtfrac13 kushoto-sqrt2 Y_11Y_10kuliakulia nyakati hatL_zkushotosqrtfrac13left-sqrt2 Y_11Y_10kuliakulia nyakatigr2 r2 d r sin theta d theta d phi frac23 hbar int_0pi d theta int_02 pi Y_112 d phifrac 23 hbarmwishoiliyopangwa 