<prompt> Tafuta idadi ya nambari 17 zilizoagizwa a_1, a_2, a_3, dots, a_17 za nambari kamili, ili kwamba mraba wa nambari yoyote katika 17-tuple ni sawa na jumla ya nambari zingine 16. .  <response>: Acha S a_1 a_2 a_3 dots a_17. Kisha kutoka kwa sharti lililotolewa,a_i2 S - a_ikwa 1 yote le i le 17. Kwa maneno mengine, kila a_i ni mzizi wax2 x - S 0.Robo hii ina angalau mizizi miwili, ambayo ina maana kwamba kuna angalau thamani mbili tofauti kati ya a_i, kwa nakala 17 zozote mahususi.Tuseme kwamba a_i zote ni sawa, semaa a_1 a_2 a_3 vidoti a_17.Kisha S 17a, hivyo kutoka kwa mlinganyo x2 x - S 0,a2 a - 17a 0.Kisha a2 - 16a aa - 16 0, hivyo a 0 au a 16.Vinginevyo, kuna thamani mbili tofauti kabisa kati ya a_i, sema a na b. Tuseme n ya a_i ni sawa na a, kwa hivyo 17 - n iliyobaki ni sawa. hadi b, ambapo 1 le n le 16. KishaS na 17 - n b.Kwa kuwa a na b ni mizizi ya x2 x - S 0, kwa fomula za Vieta, a b -1 na ab -S. Kwa hiyo,na 17 - n b -ab.Kutoka a b -1, b -a - 1. Kubadilisha, tunapatana 17 - n-a - 1 -a-a - 1.Hii hurahisishaa2 -2n 18 a - n 17 0. quad Kwa kuwa a ni nambari kamili, kibaguzi cha polynomia hii lazima kiwe mraba kamili. Hivyo,-2n 182 - 4-n 17 4n2 - 68n 256 4n2 - 17n 64ni mraba kamili, ambayo ina maana n2 - 17n 64 ni mraba kamili.Kuangalia thamani zote katika 1 le a le 16, tunapata kwamba n2 - 17n 64 ni mraba kamili kwa n 5 na n 12.Kwa n 5, equation inakuwaa2 8a 12 a 2a 6 0,hivyo a -2 au a -6. Thamani husika za b ni b 1 na b 5.Kwa hivyo uwezekano mmoja ni kwamba tano kati ya a_i ni sawa na -2, na 12 zilizosalia ni sawa na 1. Kuna binom175 6188 17-rudufu za fomu hii. Uwezekano mwingine ni kwamba tano kati ya a_i ni sawa na -6, na 12 zilizosalia ni sawa na 5. Kuna binom175 6188 17-rudufu za fomu hii.Kesi n 12 inaongoza kwa uwezekano sawa. Kwa hiyo, jumla ya idadi ya 17-tuples ni 2 6188 6188 12378. 