<prompt> Je, ni jumla gani ya nambari kamili chanya za tarakimu mbili zinazoweza kugawanywa kwa jumla na bidhaa ya tarakimu zao?  <response>: Hebu tuite nambari kamili ya tarakimu mbili underlinexy. Jumla ya tarakimu ni xy. Na bidhaa ya tarakimu hizo ni xy Tunajua underlinexy inaweza kugawanywa na xy na xy. Au kwa maneno mengine, fracunderlinexyxy ni nambari kamili, pamoja na frac underlinexyxy. Sehemu ya pili hurahisisha hadi frac10xyxy. Hiyo inamaanisha kuwa 10xy inaweza kugawanywa kwa xy. Sehemu ya kwanza hurahisisha hadi frac10xyxy. Hiyo inamaanisha 10xy inaweza kugawanywa kwa xy Tunataka kupata thamani zote za x na y zinazofanya 10xy kugawanywa kwa xy na xy. Hebu tuanze kwa kutafuta thamani zote za x na y zinazofanya 10xy kugawanywa kwa xy. 10xy inaweza kugawanywa kwa xy ikiwa tu 9x inaweza kugawanywa kwa xy. Kwa hivyo hebu tutafute thamani zote za x na y zinazofanya 9x kugawanywa kwa xy. Haki. Kwa hivyo hiyo inamaanisha xym10xy, ambayo inamaanisha xmym10xy. Na hiyo inamaanisha xm-10xy-ym. Tunaweza kuainisha x kutoka upande wa kushoto, ili kupata xm-10y-ym. Na y kutoka upande wa kulia, ili kupata xm-10y1-m. Kwa hivyo m lazima iwe 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, au 9. Kwa hivyo frac10fracyxyfrac10fracm-101-my. Inayomaanisha frac10fracm-101-my ni nambari kamili. Tunapata frac101-mm-101-my. Jumla hii ni frac-9m1-my. 9m inaweza kugawanywa kwa m-1 ikiwa tu 9 inaweza kugawanywa kwa m-1. 9 inaweza kugawanywa kwa 1, 3, na 9. Tayari tulisema m haiwezi kuwa 1 au 10. Hebu tuone kitakachotokea wakati m2. Tunapata x2-10y1-2. Au -8x-y. Hiyo ina maana 8xy. Lakini x na y lazima ziwe tarakimu! Haki. y lazima iwe mgawo wa 8. Na x lazima iwe nambari chanya. Mgawo pekee wa 8 ambao ni chini ya 10 ni 8. Kwa hivyo y8 na x1. Hiyo ina maana kwamba nambari yetu ni 18. Hebu tuone kama 18 inaweza kugawanywa kwa 8 na 18. 18 haiwezi kugawanywa kwa 8. Kwa hivyo 18 sio nambari inayokubalika. Hebu tuone kitakachotokea wakati m4. Tunapata x4-10y1-4. Au -6x-3y. Hiyo ina maana 2xy. y lazima iwe nyingi ya 2. Na x lazima iwe nambari chanya. Marudio ya 2 chini ya 10 ni 2, 4, 6, na 8. Kwa hivyo y inaweza kuwa 2, 4, 6, au 8. Na x inaweza kuwa 1, 2, 3, au 4. Kwa hivyo nambari zinazowezekana ni 12, 24, 36, na 48. 12 inaweza kugawanywa kwa 3 na 4. 24 inaweza kugawanywa kwa 6 na 8. Kwa hivyo, jumla ya nambari kamili za tarakimu mbili ambazo zinaweza kugawanywa kwa jumla na bidhaa ya tarakimu zao ni 12243672. 