<prompt> Polynomia yenye coefficients kamili ni ya umbo2x3 a_2 x2 a_1 x - 4 0.Tafuta idadi ya uwezekano wa mizizi ya kimantiki ya polynomia hii.  <response>: Ili kupata mizizi ya busara inayowezekana ya polynomial, ninaweza kutumia nadharia ya mzizi wa busara. Nadharia hii inasema kwamba ikiwa pq ni mzizi wa kimantiki wa polimanomia, ambapo p na q ni nambari kamili zisizo na sababu za kawaida, basi p lazima iwe sababu ya neno lisilobadilika na q lazima iwe sababu ya mgawo unaoongoza. Katika kesi hii, muda wa mara kwa mara ni -4 na mgawo unaoongoza ni 2. Sababu za -4 ni -4, -2, -1, 1, 2, na 4. Sababu za 2 ni -2, -1, 1, na 2. Kwa hivyo, mizizi ya busara inayowezekana ya polynomial ni -42, -41, -22, -21, -12, -11, 12, 1. 1, 22, 21, 42, na 41. Kurahisisha sehemu hizi, napata -2, -4, -1, -2, -12, -1, 12, 1, 1, 2, 2, na 4. Kuna baadhi ya maadili yanayorudiwa, ili niweze kuwaondoa kwenye orodha. Orodha ya mwisho ya mizizi inayowezekana ni -4, -2, -1, -12, 12, 1, 2, na 4. Kwa hivyo, idadi ya mizizi inayowezekana ya polynomial hii ni 8. 