<prompt> Acha mathbfa, mathbfb, mathbfc ziwe vekta kiasi kwamba mathbfa 1, mathbfb 5, mathbfc 3, namathbfa nyakati mathbfa mara mathbfb mathbfc.Kama theta ni pembe kati ya mathbfa na mathbfb, kisha tafuta sin theta.  <response>: Ninahitaji kupata pembe kati ya mathbfa na mathbfb kwa kutumia mlingano wa bidhaa mtambuka. Nakumbuka kwamba bidhaa ya msalaba wa vectors mbili ni vector perpendicular kwa wote wawili, na ukubwa wake ni bidhaa ya ukubwa wao na sine ya angle kati yao. Kwa hivyo, mathbfa times mathbfb ni vekta perpendicular kwa mathbfa na mathbfb, na ukubwa wake ni mathbfa nyakati mathbfb mathbfa mathbfb sin theta 5 sin theta. Kisha, mathbfa nyakati mathbfa mara mathbfb ni vekta inayoendana na mathbfa na mathbfa nyakati mathbfb, na ukubwa wake ni mathbfa nyakati math2fa nyakati mathbfb mathbfa mathbfa nyakati mathbfb sin phi 5 sin theta sin phi, ambapo phi ni pembe kati ya mathbfa na mathbfa nyakati mathbfb. Lakini hii vekta pia ni sawa na mathbfc, ili niweze kulinganisha ukubwa wao na kupata 5 sin theta sin phi mathbfc 3. Ninataka kupata sin theta, kwa hivyo ninahitaji kuondoa sin phi. Ninagundua kuwa mathbfa na mathbfa nyakati mathbfb ni za kawaida, kwa hivyo phi lazima iwe 90circ, na kwa hivyo sin phi 1. Ili niweze kurahisisha mlinganyo kuwa 5 sin theta 3, na kugawanya pande zote mbili kwa 5 kupata sin theta frac35. 