<prompt> Acha x, y, z ziwe nambari halisi chanya kiasi kwamba x y z 1. Pata thamani ya chini zaidi yafrac1x y frac1x z frac1y z.  <response>: Tatizo hili linaonekana kama linahusisha baadhi ya mbinu za uboreshaji, kama vile kutafuta vipengele muhimu vya chaguo la kukokotoa na kubaini ikiwa ni minima, maxima, au hapana. Walakini, kabla ya kuruka kwenye calculus, ninataka kuona ikiwa kuna njia rahisi ya kushughulikia shida hii kwa kutumia aljebra au sifa za usawa. Jambo moja ninalogundua ni kwamba usemi ninaotaka kupunguza ni linganifu katika x, y, na z, kwa hivyo naweza kudhani bila kupoteza jumla kwamba x leq y leq z. Jambo lingine nina ilani ni kwamba usemi ni jumla ya sehemu tatu, ambazo kila moja ina dhehebu chanya. Kwa hivyo, kwa usawa wa hesabu wa maana-harmonic AM-HM, ninayofrac1x y frac1x z frac1y z geq frac9x y x z y z, ambapo usawa unashikilia ikiwa tu ikiwa sehemu zote tatu ni sawa. Sasa, kurahisisha dhehebu upande wa kulia, ninapatafrac1x y frac1x z frac1y z geq frac92x y z frac92, kwani x y z 1 kwa sharti lililotolewa. Kwa hivyo, thamani ya chini zaidi ya usemi ni frac92, na inafikiwa wakati x y z frac13. 