<prompt> Acha x iwe nambari kamili kiasi kwamba 9xequiv 1pmod25.Je, ni nini kinachosalia wakati 11x inagawanywa kwa 25?  <response>: Ninataka kupata nambari kamili x ambayo inakidhi modulo ya upatanifu 25. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia algoriti ya Euclidean kupata ubadilishaji wa 9 modulo 25. Hiyo ni, ninataka kupata nambari kamili a na b kiasi kwamba 9a25b1. Ili kutumia algoriti ya Euclidean, ninaanza kwa kugawanya 25 kwa 9 na kupata mgawo wa 2 na salio la 7. Hiyo ni, 259cdot 27. Kisha, ninagawanya 9 kwa 7 na kupata mgawo wa 1 na salio la 2. Hiyo ni, 97cdot 12. Kisha, ninagawanya 7 kwa 2 na kupata mgawo wa 3 na salio la 1. Hiyo ni, 72cdot 31. Sasa, nimefikia salio la 1, ambayo ndiyo nilitaka. Ninaweza kufanya kazi kwa kurudi nyuma na kueleza 1 kama mchanganyiko wa mstari wa 9 na 25. Kuanzia mlingano wa mwisho, nina 17-2cdot 3. Nikibadilisha 2 kutoka mlinganyo wa awali, nina 17-9-7cdot 1cdot 3. Kwa kurahisisha, nina 17cdot 4-9cdot 3. Nikibadilisha 7 kutoka mlingano wa kwanza, nina 125-9cdot 2cdot 4-9cdot 3. Kwa kurahisisha, nina 125cdot 4-9cdot 11. Kwa hivyo, a-11 na b4 ni nambari kamili zinazotosheleza 9a25b1. Hata hivyo, ninataka thamani chanya ya x, ili niweze kuongeza 25 kwa a na kupata a25-112514. Hii haibadilishi muunganisho, kwa sababu 914sawa na 9-11equiv 1pmod25. Kwa hivyo, x14 ni nambari kamili chanya inayotosheleza muunganiko uliotolewa. Ili kupata salio wakati 11x imegawanywa kwa 25, ninahitaji tu kuongeza 11 hadi x na kupunguza moduli 25. Hiyo ni, 11x111425. Salio wakati 25 imegawanywa na 25 ni 0. Kwa hivyo jibu ni 0. 