<prompt> Mraba na mduara huingiliana ili kila upande wa mraba uwe na chord ya duara sawa kwa urefu na radius ya duara. Je, ni uwiano gani wa eneo la mraba na eneo la duara? Eleza jibu lako kama sehemu ya kawaida kulingana na pi.  <response>: Kuchora mchoro na kuongeza OM perpendicular kwa AD, tunapataasyukubwa 150;jozi O, A, B, C, D, E, F, M;O0,0;A-1,1;B1,1;C1,-1;D-1,-1;E-1,-.577;F-1,.577;M-1,0;choramduaraO,1.155;choraA--B;kuchoraB--C;kuchoraC--D;kuchoraD--A;kuchoraF--O;kuchoraO--E;kuchoraO--M;leboA, A, NW;leboB, B, NE;lebo C, C, SE;leboD, D, SW;leboE, E, SW;leboF, F, NW;leboO, O, dir0;leboM, M, NE;lebor, FO2, NE;lebor, EO2, SE;lebor, M, W;asy Kwanza kumbuka kuwa O sio tu kitovu cha duara bali pia kitovu cha mraba kwa kuwa mchoro una ulinganifu. Kwa sababu urefu wa pande za pembetatu OEF zote ni sawa, OEF ni sawa. Kwa hivyo, kwa sababu OM ni urefu wa pembetatu iliyo sawa, M ni sehemu ya kati ya EF. Kwa hivyo, urefu wa sehemu EM ni fracr2. Kwa sababu EMO ni pembetatu ya kulia ya 30-60-90, MOEMcdot sqrt3fracr2 cdot sqrt3fracrsqrt3 2. Kwa sababu OM ni sawa na AD na O ndio kitovu cha mraba, OM ni nusu ya urefu wa upande wa mraba. Kwa hivyo, mraba una urefu wa upande wa fracrsqrt3cancel2 cdot cancel2rsqrt3.Tukihesabu maeneo ya maumbo yote mawili tunapata A_circlepi r2 na A_squares2rsqrt323r2. Kwa hivyo, uwiano wa eneo la mraba kwa eneo la duara ni frac3r2pi r2frac3cancelr2pi ghairi r2frac3pi. 