<prompt> Tumia mabadiliko ya Laplace kutatua mlingano wa tofauti ufuatao: y 4y 5y e-t, na masharti ya awali y0 0 na y0 0. Onyesha kazi yako.  <response>: Ili kutatua mlingano wa tofauti uliotolewa kwa kutumia mabadiliko ya Laplace, kwanza tunachukua mabadiliko ya Laplace ya pande zote mbili za mlinganyo. Kumbuka kuwa ubadilishaji wa Laplace wa kazi yt hufafanuliwa kama:Lyt Ys 0 e-stytdtKutumia mali ya mabadiliko ya Laplace, tunayo:Lyt s2Ys - sy0 -y0L4yt 4sYs - y0L5yt 5YsSasa, kuchukua mabadiliko ya Laplace ya pande zote mbili za equation ya tofauti iliyotolewa:s2Ys - sy0 - y0 4sYs - y0 5Ys Le-tKwa kuwa y0 0 na y0 0, hii hurahisisha kwa:s2Ys 4sYs 5Ys Le-tSasa, tunaweza kuainisha Ys:Yss2 4s 5 Le-tIli kupata ubadilishaji wa Laplace kinyume, tunahitaji kupata Ys peke yake:Ys Le-t s2 4s 5Denominator inaweza kuzingatiwa zaidi:Yvi Le-t s22 1Sasa, tunatumia mtengano wa sehemu kuandika upya upande wa kulia:Ys A s2 i B s2 - iambapo A na B ni viambajengo changamano.Kuzidisha pande zote mbili kwa dhehebu, tunapata:Le-t As2 - i Bs2 iSasa, tunaweza kupata A na B kwa kusawazisha mgawo wa s pande zote mbili.AB0 migawo ya s-AiBi1 masharti ya mara kwa maraKutatua mfumo huu wa milinganyo, tunapata A-B na Ai2, kwa hivyo B-i2.Kwa kuwa sasa tumepata A na B, tunaweza kuandika Yza upya:Ys i2 s2 i - i2 s2 - iSasa, tunachukua ubadilishaji wa Laplace kinyume cha Ys kupata yt:yt L1i2 s2 i - L1i2 s2 - iKwa kutumia sifa ya mstari wa mabadiliko ya Laplace kinyume na ukweli kwamba L11s-a esaa, tunapata:yt i2e-2it - i2e-2-itKuzidisha masharti ya kielelezo:yt i2e-2tcostisint - i2e-2tcost-isin tKuchanganya masharti ya cosine na sine:yt e-2ti2costisint - i2cost-isintMwishowe, kurahisisha usemi:yt e-2tdhambitKwa hivyo, suluhisho la equation ya kutofautisha iliyopewa na masharti ya awali y0 0 na y0 0 ni:yt e-2tdhambit 