<prompt> Katika uchanganuzi mkuu wa 109!, ni kipeo gani cha 3? Kikumbusho: Nambari n! ni bidhaa ya nambari kamili kutoka 1 hadi n. Kwa mfano, 5!5cdot 4cdot3cdot2cdot 1 120.  <response>: Ninajua kwamba uwekaji alama mkuu wa 109! utakuwa na vipengele vingi vya 3, kwa kuwa kila kizidishio cha 3 kutoka 1 hadi 109 kitachangia angalau kipengele kimoja cha 3. Hata hivyo, baadhi ya vizidishio vya 3 vitachangia zaidi ya kipengele kimoja cha 3, kama vile 932, 2733, na kadhalika. Kwa hivyo, ili kupata kipeo kikuu cha 3 katika uwekaji alama mkuu wa 109!, ninahitaji kuhesabu ni zidishi ngapi za 3 kutoka 1 hadi 109, kisha niongeze ni ngapi za ziada za 9, kisha niongeze ngapi. zipo nyingi za 27, na kadhalika, hadi nifikie nguvu kubwa zaidi ya 3 ambayo ni chini ya au sawa na 109. Ili kuhesabu ni zidishi ngapi za 3 kuna kutoka 1 hadi 109, ninaweza kugawanya 109 kwa 3. na punguza hadi nambari kamili iliyo karibu zaidi. Hii inanipa leftfloorfrac1093rightfloor 36. Ili kuhesabu ni zidishi ngapi za 9 zipo, ninaweza kugawanya 109 kwa 9 na kurudisha chini. Hii inanipa leftfloorfrac1099rightfloor 12. Ili kuhesabu ni zidishi ngapi za 27 zipo, ninaweza kugawanya 109 kwa 27 na kurudisha chini. Hii inanipa leftfloorfrac10927rightfloor 4. Ili kuhesabu ni zidishi ngapi za 81 zipo, ninaweza kugawanya 109 kwa 81 na kurudisha chini. Hii inanipa leftfloorfrac10981rightfloor 1. Hakuna vizidishio vya 243 au uwezo wa juu zaidi wa 3 katika safu kutoka 1 hadi 109, kwa hivyo ninaweza kukoma hapa. Ili kupata kipeo cha 3 katika uwekaji alama mkuu wa 109!, ninahitaji kujumlisha hesabu hizi zote. Hii inanipa 36124153. 