<prompt> Acha fn kuanzakesin21 maandishikama nmaandishi si ya kawaida dfracn2 textif ntext ni sawamwishokesi.Kwa nambari ngapi n kutoka 1 hadi 100, ikijumuisha, f f dotsb f n dotsb 1 kwa idadi fulani ya programu za f?  <response>: Kwanza, tunaona kwamba ikiwa n ni nambari kamili chanya, basi fn pia ni nambari chanya. Tunadai kwamba f f dotsb f n dotsb 1 kwa baadhi ya idadi ya maombi ya f pekee kwa n 1, 2, 4, 8, 16, 32, na 64 . Kwa maneno mengine, n lazima iwe nguvu ya 2.Kumbuka kwamba f1 2, hivyo ff1 f2 1. Iwapo n 1 ni nguvu ya 2, ni rahisi kuona kwamba maombi yanayorudiwa ya f kwa n hatimaye kufikia 1.Tuseme n ni nambari chanya isiyo ya kawaida, ambapo n 1. Andika n 2k 1, ambapo k ni nambari chanya. Kwa kuwa n ni isiyo ya kawaida,fn n2 1 2k 12 1 4k2 4k 2 22k2 2k 1.Tangu 2k2 2k huwa sawa kila wakati, 2k2 2k 1 daima huwa isiyo ya kawaida na kubwa kuliko 1, kwa hivyo fn haiwezi kamwe kuwa nguvu ya 2 wakati n ni isiyo ya kawaida na kubwa kuliko 1.Sasa, tuseme n ni sawa. Kwa mfano, ikiwa n 23 cdot 11, basif23 cdot 11 f22 cdot 11 f2 cdot 11 f11,ambayo tunajua si nguvu ya 2.Kwa ujumla zaidi, tuseme n 2e cdot m, ambapo e sio hasi na m ni isiyo ya kawaida. Kishaf2e cdot m f2e - 1 cdot m f2e - 2 cdot m dots fm. Ikiwa m 1, basi n ni nguvu ya 2, na mlolongo hatimaye kufikia 1. Vinginevyo, fm sio nguvu ya 2. Tunajua pia kwamba fm ni isiyo ya kawaida na kubwa kuliko 1, ffm sio nguvu ya 2 pia, na kadhalika. Kwa hivyo, mlolongo hauwezi kufikia 1.Kwa hivyo, n lazima iwe mojawapo ya thamani za 7 1, 2, 4, 8, 16, 32, au 64. 