<prompt> Acha F_1 10,2 na F_ 2 -16,2. Kisha seti ya pointi P iliPF_1 - PF_2 24kuunda hyperbola. Equation ya hyperbola hii inaweza kuandikwa kamafracx - h2a2 - fracy - k2b2 1.Tafuta h k a b.  <response>: Ili kutatua tatizo hili, nitatumia mali ya hyperbolas na formula ya umbali. Ninagundua kwamba foci ya hyperbola ni F_1 na F_2, na zote ziko kwenye mstari y 2. Hii ina maana kwamba katikati ya hyperbola pia iko kwenye mstari huo, na ni katikati ya sehemu inayojiunga na F_1 na F_2. Ninaweza kupata viwianishi vya kituo kwa wastani wa viwianishi vya x na viwianishi y vya F_1 na F_2. Kituo ni frac10 - 16 2, frac2 22 -3, 2. Hii ina maana kwamba h -3 na k 2. Pia najua kwamba tofauti kati ya umbali kutoka hatua yoyote juu ya hyperbola kwa foci ni mara kwa mara, ambayo inatolewa kama 24 katika tatizo. Hii ina maana kwamba urefu wa mhimili unaovuka, ambao ni sehemu inayojiunga na vipeo vya hyperbola, ni sawa na 24. Vipeo ni pointi kwenye hyperbola ambapo huingilia mstari unaopita katikati na sambamba na foci. Kwa kuwa foci ni ya mlalo, mhimili unaovuka pia ni wa mlalo, na una y-kuratibu sawa na kituo, ambacho ni 2. Ninaweza kupata viwianishi vya x vya vipeo kwa kuongeza na kutoa nusu ya urefu wa mhimili unaovuka kutoka. x-kuratibu kituo hicho. Wima ni -3 frac242, 2 na -3 - frac242, 2. Kwa kurahisisha, ninapata vipeo kama 9, 2 na -15, 2. Umbali kutoka katikati hadi kwenye kipeo chochote unaitwa a, na ni nusu ya urefu wa mhimili unaovuka. Kwa hivyo, a frac242 12. Ili kupata b, ninahitaji kutumia ukweli kwamba umbali kutoka katikati hadi lengo lolote unaitwa c, na unahusiana na . a na b kwa equation c2 a2 b2. Umbali kutoka katikati hadi lengo lolote ni sawa, na ninaweza kutumia fomula ya umbali kuipata. Umbali kutoka katikati -3, 2 hadi lengo -16, 2 ni sqrt-16 - -32 2 - 22 sqrt-132 02 13. Kwa hiyo, c 13. Inabadilisha a na c kwenye mlinganyo c2 a2 b2 , napata 132 122 b2. Kutatua kwa b2, napata b2 132 - 122 169 - 144 25. Kuchukua mraba chanya mzizi, napata b 5. Sasa nina thamani zote ninazohitaji ili kuandika mlinganyo wa hyperbola na kupata jumla ya h k a b. Mlinganyo wa hyperbola nifracx - -32122 - fracy - 2252 1. Kurahisisha, napatafracx 32144 - fracy - 2225 1. Jumla ya h k a b ni-3 2 12 5 16. 