<prompt> Tafuta thamani ya jumlabinom990 - binom992 binom994 - dots - binom9998.  <response>: Ninagundua kuwa hii ni jumla inayopishana ya coefficients ya binomial, ambayo inahusiana na upanuzi wa 1 x99. Nashangaa nini kitatokea ikiwa nitachomeka x i, ambapo i ndio kitengo cha kuwazia kinachotosheleza i2 -1. Kisha ninapata 1 i99 binom990 binom991i binom992i2 dots binom 9999i99. Kwa kutumia ukweli kwamba i2 -1, ninaweza kuandika hii upya kama 1 i99 binom990 binom991i - binom 992 - binom993i dots binom9998 - binom9999i. Nikilinganisha hii na jumla ya asili, naona kwamba ninaweza kupata jumla asilia kwa kuchukua sehemu halisi ya 1 i99, yaani, mgawo wa 1 katika upanuzi. Kwa hivyo jumla ya asili ni sawa na textRe1 i99. Ili kupata sehemu halisi, ninaweza kutumia aina ya polar ya nambari changamano. Ninajua kuwa 1 i sqrt2eipi4, kwa hivyo 1 i99 2992e99ipi4 . Sehemu halisi ya hii ni 2992cos99pi4. Ninaweza kurahisisha cosine kwa kutumia ukweli kwamba cospi4 sqrt22 na kwamba cos99pi4 cos3pi4 -sqrt22. Kwa hivyo jibu la mwisho ni 2992cdot-sqrt22 -249. 