<prompt> Bakery huuza aina tatu za roli. Jack angeweza kununua michanganyiko mingapi tofauti ikiwa atanunua jumla ya roli sita na kujumuisha angalau moja ya kila aina?  <response>: Tatizo hili linahusisha kuhesabu idadi ya njia za kusambaza safu sita za aina tatu, chini ya kizuizi kwamba kila aina inaonekana angalau mara moja. Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kutumia njia ya nyota na baa, ambayo ni mbinu ya kuhesabu idadi ya njia za kusambaza n vitu vinavyofanana kwenye mapipa k. Katika njia hii, tunawakilisha vitu kama nyota na mapipa kama baa zinazovitenganisha. Kwa mfano, ikiwa tuna nyota tano na pau mbili, tunaweza kuzipanga katika nafasi saba ili kuwakilisha mgawanyo tofauti wa vitu vitano kwenye mapipa matatu. Kwa mfano, mpangilio maana yake ni vitu viwili kwenye pipa la kwanza, kitu kimoja kwenye pipa la pili, na vitu viwili kwenye pipa la tatu. Idadi ya njia za kupanga n nyota na pau za k-1 katika nafasi za nk-1 inatolewa na mgawo wa binomial nk-1 chagua k-1, ambayo ni sawa na nk-1 ! k-1! n!. Katika shida yetu, tuna safu sita za kusambaza katika aina tatu, kwa hivyo tunaweza kutumia nyota sita na baa mbili. Walakini, tunapaswa kuhesabu kizuizi ambacho kila aina inaonekana angalau mara moja. Hii ina maana kwamba hatuwezi kuwa na mapipa yoyote tupu, au mipangilio yoyote ambapo bar iko mwanzoni au mwisho. Ili kuepuka kesi hizi, tunaweza kwanza kugawa nyota moja kwa kila pipa, na kuacha nyota tatu ili kusambaza kwa uhuru. Hii inapunguza tatizo la kupanga nyota tatu na baa mbili katika nafasi tano, ambayo ni sawa na kuchagua nafasi mbili kwa baa kati ya tano. Idadi ya njia za kufanya hivyo ni 5 chagua 2, ambayo ni sawa na 5! 2! 3! 10. Kwa hiyo, kuna michanganyiko 10 tofauti ya roli ambazo Jack angeweza kununua. 