<prompt> Acha fm,1 f1,n 1 kwa m geq 1, n geq 1, na acha fm,n fm-1,n fm,n-1 fm-1,n-1 kwa m 1 na n 1. Pia, achaSk sum_abk fa,b, text kwa a geq 1, b geq 1.Kumbuka: Dokezo la muhtasari linamaanisha kujumlisha yote. nambari kamili a,b kiasi kwamba abk.Kwa kuzingatia hiloSk2 pSk1 qSk text kwa wote k geq 2,kwa baadhi ya vipengele p na q, pata pq.  <response>: Ikiwa tutaandika thamani ya fm,n katika sehemu m,n kwenye ndege na tukipakana na safu inayotokana na sufuri kama ilivyo kwenye mchoro,anzamatrix0 0 1 0 1- 7 0 1 5- 13 0 1 3 5- 7 9 0 1 1 1 1- 1 0 0 0 0 0 0 0endmatrixNambari zilizoongezwa ni za S_2; nambari zilizoongezwa - ni za S_3.tunaona kwamba uhusiano wa kujirudia pamoja na thamani zilizotolewa za f1,n na fm,1 ni sawa na madai kwamba kila ingizo lisilo la sufuri katika safu hii isipokuwa f1,1 ni jumla ya ingizo mara moja upande wake wa kushoto, kiingilio chini yake, na kiingilio chini yake upande wa kushoto.Sasa Sk2 ni jumla ya masharti kwenye k2nd diagonal, xyk2, na ni wazi kutoka kwa mchoro kwamba kila neno lisilo sifuri. kwenye kilalo cha k1st huingiza jumla hii mara mbili huku kila muhula kwenye kilalo cha kth huingia mara moja; kwa hiyo, Sk2 2Sk1 Sk.Usemi huu unaweza kuthibitishwa kama ifuatavyo:Sk2 sum_j1k1 fk2-j,jHii ni mlalo unaoanzia k1,1 hadi 1,k1. Tungependa kutumia uhusiano wa kujirudia, lakini haitumiki kwa fk1,1 au f1,k1, kwa hivyo tunatenganisha yao kutoka kwa jumla na kisha kupanua fk2-j,j kwa kutumia uhusiano wa kujirudia:anzaalignSk2 fk1,1 f1,k1 sum_j2k fk2-j,j fk1,1 f1,k1 sum_j2k fk1-j,j fk2-j,j-1 fk1-j,j-1 endalignJumla ya fk1-j,j-1 ni mshazari unaolingana na Sk. Jumla ya hesabu nyingine mbili zinalingana na nyingi ya diagonal inayohusiana na S k1, ingawa kila moja inakosa mojawapo ya masharti yake ya mpaka 1. Kuweka j ell1 katika hesabu mbili na kutumia ukweli kwamba fk1,1 1 fk,1 na f1,k1 1 f1,k, tunayoanzaalignSk2 kushoto fk,1 sum_j2k fk1-j,j kulia kushoto sum_ell1 k-1 fk1-ll,ll f1,k kulia sum_ell1k-1 fk-ell ,jambo Sk1 Sk1 SkendalignKwa hiyo Sk2 2Sk1 Sk, au p 2, q 1 hivyo pq 2. 