<prompt> Mguu mrefu wa pembetatu ya kulia ni 1 futi fupi kuliko mara mbili ya urefu wa mguu mfupi. Eneo la pembetatu ni 60 futi za mraba. Je, ni urefu gani wa hypotenuse katika miguu?  <response>: Ninahitaji kupata urefu wa hypotenuse ya pembetatu ya kulia ambayo eneo lake ni futi za mraba 60 na mguu wake mrefu ni 1 futi fupi kuliko mara mbili ya mguu mfupi zaidi. Ninajua kuwa eneo la pembetatu ya kulia ni nusu ya bidhaa ya urefu wa miguu yake, kwa hivyo ninaweza kuandika mlinganyo wa eneo hilo kama ifuatavyo: frac12xy 60, ambapo x ni mguu mfupi na y ni mguu mrefu. Ninajua pia kuwa mguu mrefu ni 1 futi fupi kuliko mguu mfupi mara mbili, kwa hivyo ninaweza kuandika mlinganyo mwingine wa uhusiano kati ya miguu kama ifuatavyo: y 2x - 1. Ninaweza kubadilisha y 2x - 1 kwenye mlingano wa kwanza na kupata frac12x2x - 1 60. Ninaweza kuzidisha pande zote mbili kwa 2 na kupata x2x - 1 120. Ninaweza kupanua mabano na kupata 2x2 - x - 120 0. Ninaweza kuangazia equation hii ya quadratic na kupata 2x 15x - 8 0. Ninaweza kupata suluhu za x kwa kuweka kila kipengele sawa na sufuri na kupata x -frac152 au x 8. Kwa kuwa x ni urefu wa mguu wa pembetatu, lazima iwe chanya, kwa hivyo naweza kupuuza suluhisho hasi na kuzingatia tu x 8. Sasa kwa kuwa nina x 8, naweza kutumia equation ya pili kupata y na kupata y 2x - 1 28 - 1 15. Nina urefu wa miguu yote miwili ya pembetatu, kwa hivyo ninaweza kutumia nadharia ya Pythagorean kupata urefu wa hypotenuse kama ifuatavyo: h2 x2 y2, ambapo h ni hypotenuse. Ninaweza kubadilisha x 8 na y 15 na kupata h2 82 152. Ninaweza kurahisisha na kupata h2 64 225. Ninaweza kuongeza na kupata h2 289. Ninaweza kuchukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili na kupata h sqrt289. Ninaweza kutathmini mzizi wa mraba na kupata h 17. Kwa hiyo, urefu wa hypotenuse ya pembetatu ni 17 futi. 