<prompt> Kutokana na pembetatu, pembetatu yake ya katikati inapatikana kwa kuunganisha katikati ya pande zake. Mfuatano wa polihedra P_i hufafanuliwa kwa kujirudia kama ifuatavyo: P_0 ni tetrahedroni ya kawaida ambayo ujazo wake ni 1. Ili kupata P_i 1, badilisha pembetatu ya katikati ya kila uso wa P_i kwa tetrahedron ya kawaida inayoelekeza nje ambayo ina pembetatu ya katikati kama uso. Kiasi cha P_3 ni frac mn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya. Tafuta m n.  <response>: Kwenye ujenzi wa kwanza, P_1, tetrahedra nne mpya zitajengwa zenye urefu wa kando frac 12 ya ule wa awali. Kwa kuwa uwiano wa kiasi cha poligoni sawa ni mchemraba wa uwiano wa urefu unaolingana, inafuata kwamba kila moja ya tetrahedra hizi mpya itakuwa na kiasi cha leftfrac 12right3 frac 18. Jumla ya sauti iliyoongezwa hapa ni Delta P_1 4 cdot frac 18 frac 12.Sasa tunakumbuka kuwa kwa kila pembetatu ya katikati tunayounda kwa hatua P_i, sasa kuna sehemu 6 za kuunda pembetatu mpya za katikati kwa hatua P_i1. Tetrahedron ya nje ya pembetatu ya ncha ya katikati hutoa 3 ya nyuso, ilhali pembetatu za usawa zinazozunguka pembetatu ya katikati hutoa 3 nyingine. Hii ni kwa sababu ukisoma swali hili kwa makini, linaomba kuongeza tetrahedra mpya kwa kila sura ya P_i ambayo pia inajumuisha zile zilizosalia tulipofanya nyongeza ya awali ya tetrahedra. Hata hivyo, kiasi cha tetrahedra kinachojengwa kilipungua kwa frac 18. Kwa hivyo tunayo marudio Delta P_i1 frac68 Delta P_i, na hivyo Delta P_i frac 12 cdot leftfrac34 kuliai-1 P_1.Kiasi cha P_3 P_0 Delta P_1 Delta P_2 Delta P_3 1 frac 12 frac 38 frac 932 frac6932, na m n101. Kumbuka kuwa majumuisho yalikuwa mfululizo wa kijiometri. 