<prompt> Ikizingatiwa kuwa pge 7 ni nambari kuu, tathmini 1-1 cdot 2-1 2-1 cdot 3-1 3-1 cdoti 4-1 cdots p-2-1 cdoti p-1-1 pmodp.  <response>: Kwa vile p ni nambari kuu, inafuata kwamba ubadilishaji wa moduli wa 1,2, ldets, p-1 zote zipo. Tunadai kuwa n-1 cdot n1-1 equiv n-1 - n1-1 pmodp kwa n 1,2, lddots, p-2, katika analogi na fomula frac1nn1 frac1n - frac 1n1. Kwa hakika, tukizidisha pande zote mbili za muunganiko kwa nn1, tunapata kwamba 1 equiv nn1 cdot n-1 - n1-1 equiv n1 - n sawa 1 pmodp,kama unavyotaka. Kwa hivyo, anzaalign1-1 cdot 2-1 2-1 cdot 3-1 3-1 cdot 4- 1 cdots p-2-1 cdoti p-1-1 sawa 1-1 - 2-1 2 -1 - 3-1 cdots - p-1-1 pmodp.endalignHuu ni mfululizo wa darubini, ambao unajumlisha 1-1 - p-1-1 equiv 1 - -1-1 equiv 2 pmodp, kwa kuwa kigezo cha moduli cha -1 ndicho chenyewe. 