<prompt> Pata nambari kubwa zaidi ya asili n kama vile nleq 2008 na 122232cdots n2kushoton12 n22n32cdots 2n2kulia ni mraba kamili.  <response>: Ona kwamba sum_i1n i2 fracnn12n16, kwa hivyoanzaalign sum_in1 2n i2 jumla_i12n i2 - jumla_i1n i2 frac2n2n1 4n16 - fracnn12n16 frac16n3 12n2 2n6 - frac 2n3 3n2 n6 frac14n3 9n2 n6 fracn2n17n 16 mwishoalignHivyo, left sum_i1n i2 kulialeftsum_in12n i 2 kulia fracn2 2n12 n17n136. Ili usemi huo uwe mraba kamili, n17n1 lazima iwe mraba kamili.Kwa kutumia Algorithm ya Euclidean, gcdn1,7n1 gcdn1,6. Kwa hivyo, GCD ya n1 na 7n1 lazima iwe vipengele vya 6. Sasa, gawanya vipengele kama kesi tofauti. Kumbuka kuwa mabaki ya quadratic ya 7 ni 0, 1, 2, na 4.Ikiwa gcdn1,7n1 6, basi n equiv 5 pmod6. Hebu n 6a5, hivyo n17n1 6a642a36 36a17a6. Kwa kuwa 6 imegawanywa kati ya n1 na 7n1, a1 na 7a6 ni ya thamani kubwa, kwa hivyo a1 na 7a6 lazima ziwe miraba kamili. Hata hivyo, kwa kuwa 6 si mabaki ya 7, GCD ya n1 na 7n1 haiwezi kuwa 6.Ikiwa gcdn1,7n1 3, basi n equiv 2 pmod3. Acha n 3a2, hivyo n17n1 3a321a15 9a17a5. Kwa kuwa 3 imegawanywa kati ya n1 na 7n1, a1 na 7a5 ni ya thamani kubwa, kwa hivyo a1 na 7a5 lazima ziwe miraba kamili. Hata hivyo, kwa kuwa 5 si masalio ya 7, GCD ya n1 na 7n1 haiwezi kuwa 3.Ikiwa gcdn1,7n1 2, basi n equiv 1 pmod2. Hebu n 2a1, hivyo n17n1 2a214a8 4a17a4. Kwa kuwa 2 imegawanywa kati ya n1 na 7n1, a1 na 7a4 ni ya thamani kubwa, kwa hivyo a1 na 7a4 lazima ziwe miraba kamili. Pia tunajua kuwa n1 na 7n1 hazishiriki kipengele cha 3, kwa hivyo n equiv 1,3 pmod6. Hiyo inamaanisha n le 2007, kwa hivyo a le 1003. Baada ya kujaribu thamani za a ambazo ni moja chini ya mraba kamili, tunapata kwamba thamani kubwa zaidi inayofanya n17n1 kuwa mraba kamili ni a 960. Hiyo ina maana n 1921.Ikiwa gcdn1,7n1 1, basi n1 equiv 1,5 pmod6 ili kuepuka sababu za kawaida ambazo ni 6, hivyo n equiv 0,4 pd6. Baada ya kujaribu thamani za n ambazo ni moja chini ya mraba kamili, tunapata kwamba thamani kubwa zaidi inayofanya n17n1 kuwa mraba kamili ni n 120 tunaweza pia kuacha. kutafuta mara n inapofika chini ya 1921.Kutoka kwa kesi, nambari kubwa zaidi ya asili n ambayo hufanya 122232cdots n2kushoton12n2 2n32cdots 2n2kulia ni mraba kamili ni 1921. 