<prompt> Thibitisha Nadharia ya Kikomo cha Kati, ukitoa maelezo ya hatua kwa hatua.  <response>: Nadharia ya Kikomo cha Kati CLT ni matokeo ya kimsingi katika nadharia na takwimu za uwezekano, ambayo inasema kwamba usambazaji wa jumla au wastani wa idadi kubwa ya vigeu huru vinavyojitegemea, vilivyosambazwa sawasawa hukaribia usambazaji wa kawaida, bila kujali umbo la usambazaji wa asili.Hapa kuna muhtasari wa uthibitisho wa CLT kwa kutumia kazi za tabia:1. Bainisha viambatisho nasibu: Acha X1, X2, ..., Xn iwe mfuatano wa vigeu vinavyojitegemea na vilivyosambazwa sawa sawa i.i.d. vyenye wastani μ na tofauti σ2.2. Sawazisha vigeu vya nasibu: Ili kurahisisha tatizo, tunaweza kusawazisha kila kigeu kisicho na mpangilio kwa kupunguza maana yake na kugawanya kwa mkengeuko wake wa kawaida. Hii husababisha Yi Xi - μ σ, ambapo Yi ina maana 0 na tofauti 1.3. Bainisha jumla ya vigeu vya nasibu vilivyosanifishwa: Acha Sn Y1 Y2 ... Yn. Lengo letu ni kuonyesha kwamba n inapoenda kwa infinity, usambazaji wa Snn hubadilika hadi usambazaji wa kawaida wa kawaida.4. Kazi za sifa: Chombo muhimu katika uthibitisho huu ni dhana ya utendaji wa sifa. Utendakazi bainifu wa kigezo cha nasibu X, kinachoonyeshwa na φω, kinafafanuliwa kama thamani inayotarajiwa ya eiωX, ambapo i ni kitengo cha kufikiria na ω ni nambari halisi. Hiyo ni, φω EeiωX.5. Sifa za utendakazi bainifu: Baadhi ya sifa muhimu za utendakazi bainifu ni: a Ikiwa X na Y ni vigeu vinavyojitegemea vya nasibu, basi sifa ya utendaji wa jumla yao ni bidhaa ya kazi zao za tabia binafsi: φXYω φXω φY ω. b Tabia ya utendaji wa kigezo sanifu cha nasibu Y X - μ σ kinatolewa na φYω e-iμωσ φXωσ.6. Tabia ya utendakazi wa Sn: Kwa kutumia sifa zilizo hapo juu, tunaweza kupata utendaji bainifu wa Sn: a Kwa kuwa Y1, Y2, ..., Yn zinajitegemea, sifa ya utendaji wa jumla yao ni zao la kazi zao za sifa za kibinafsi: φSnω φY1ω φY2 ω ... φYnω. b Kwa sababu Yi zote zina usambazaji sawa, utendaji wao wa tabia ni sawa: φSnω φY1ωn.7. Upanuzi wa mfululizo wa Taylor: Ili kuchanganua tabia ya φSnω, tunaweza kutumia upanuzi wa mfululizo wa Taylor wa chaguo za kukokotoa karibu na 0. Hii inatupa: φY1ω 1 iωEY1 - 12ω2EY12 Oω3Kwa kuwa EY1 0 na EY12 1 kwa sababu Y1 imesanifishwa, hii hurahisisha kwa: φY1ω 1 - 12ω2 Oω38. Tabia isiyo na dalili ya φSnω: Sasa hebu tuangalie kipengele cha utendaji cha Snn: φSnnω φY1ωnnKutumia makadirio kutoka kwa hatua ya 7, tunapata: φSnnω 1 - 12ω2n Oω3nnKama n inakwenda kwa infinity, usemi huu unabadilika kuwa: φSnnω e-12 ω29. Hitimisho: Chaguo za kukokotoa tulizopata katika hatua ya 8 ni kipengele cha kukokotoa cha usambazaji wa kawaida wa kawaida. Kwa hivyo, kulingana na sifa za utendakazi bainifu, n inapoenda kwa infinity, usambazaji wa Snn hubadilika hadi usambazaji wa kawaida wa kawaida. Hii inakamilisha uthibitisho wa Nadharia ya Kikomo cha Kati.Kumbuka kuwa uthibitisho huu unachukua hali fulani kwenye vigeu vya nasibu Xi kwa mfano, vina maana ya kikomo na tofauti. Kuna matoleo ya jumla zaidi ya CLT yenye mawazo na mbinu tofauti, lakini muhtasari huu unatoa uelewa angavu wa mawazo makuu nyuma ya nadharia. 