<prompt> Katika pembetatu PQR, tuna angle P 90circ, QR 15, na tan R 5cos Q. PQ ni nini?  <response>: Ninagundua kuwa hii ni pembetatu sahihi, kwa hivyo ninaweza kutumia nadharia ya Pythagorean na uwiano wa trigonometric. Pia ninaona kwamba mlinganyo uliotolewa unahusisha tanjenti ya pembe moja ya papo hapo na cosine ya nyingine, ambayo inapendekeza kutumia utambulisho wa pembe inayosaidia cos Q sin 90circ - Q sin R. Kubadilisha hii kwenye equation, ninapata tan R 5sin R, ambayo ninaweza kuandika tena kama sin R cos R 5sin R. Kugawanya pande zote mbili kwa sin R, ninapata 1 cos R 5, au cos R 15. Sasa ninaweza kutumia nadharia ya Pythagorean kupata PR, kwani QR2 PQ2 PR2. Nikichomeka maadili, ninapata 152 PQ2 PR2, au 225 PQ2 PR2. Ninaweza pia kutumia uwiano wa cosine kupata PR, kwani cos R PR QR. Kuchomeka kwa maadili, ninapata 15 PR 15, au PR 3. Nikibadilisha hii kwenye mlinganyo wa Pythagorean, ninapata 225 PQ2 32, au 225 PQ2 9. Kutoa 9 kutoka pande zote mbili, napata 216 PQ2. Kwa kuchukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili, napata PQ sqrt216. Ninaweza kurahisisha hii kali kwa kuainisha mraba mkubwa kabisa kamili, ambao ni 36. Kwa hivyo PQ sqrt36 cdot 6 sqrt36 cdot sqrt6 6sqrt6 . 