<prompt> Mfululizo wa kijiometri usio na kikomo una jumla ya 2000. Mfululizo mpya, uliopatikana kwa kufupisha kila neno la mfululizo asili, una jumla ya mara 16 ya jumla ya mfululizo asilia. Uwiano wa kawaida wa mfululizo asili ni mn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya. Tafuta mn.  <response>: Wacha tuite muhula wa kwanza wa safu asili a, na uwiano wa kawaida r. Kisha, kwa fomula ya jumla ya mfululizo wa kijiometri usio na kikomo, tuna 2000 fraca1-r. Mfululizo mpya una masharti a2, a2 r2, a2 r4, dots, na jumla yake ni fraca21-r2. Tumepewa kuwa jumla hii ni mara 16 ya jumla ya mfululizo asili, kwa hivyo tuna fraca21-r2 16 fraca1-r. Kuzidisha pande zote mbili kwa 1-r1-r2, tunapata a2 1-r 16 a 1-r2. Kugawanya pande zote mbili kwa a1-r, tunapata a 16 1r. Tukibadilisha hii katika equation 2000 fraca1-r, tunapata 2000 frac16 1r1-r. Kuzidisha pande zote mbili kwa 1-r, tunapata 2000 1-r 16 1r. Kupanua na kurahisisha, tunapata 2000 - 2000r 16 16r . Kuondoa 16 kutoka pande zote mbili, tunapata 1984 - 2000r 16r . Kuongeza 2000r kwa pande zote mbili, tunapata 1984 2016r . Tukigawanya pande zote mbili kufikia 2016, tunapata r frac19842016. Sehemu hii inaweza kurahisishwa kwa kugawanya nambari na denominator na 32, kwa hivyo tunapata r frac6263. Kwa hiyo, uwiano wa kawaida wa mfululizo asili ni frac6263, na mn 62 63 125. 