<prompt> Kwa baadhi ya masharti x na a, muhula wa tatu, nne, na tano katika upanuzi wa x an ni 84, 280, na 560, mtawalia. Tafuta n.  <response>: Ninagundua kuwa masharti katika upanuzi wa x an ni ya muundo binomnkxn-kak, ambapo k ni faharasa ya muda, kuanzia sifuri. Kwa hivyo, muhula wa tatu ni binomn2xn-2a2, muhula wa nne ni binomn3xn-3a3 , na muhula wa tano ni binomn4xn-4a4. Pia ninaona kwamba uwiano wa maneno yanayofuatana ni thabiti, kwa kuwa kila neno linapatikana kwa kuzidisha neno la awali kwa fracn-kk1fracax. Kwa hivyo, ninaweza kuandika equation frac28084 fracn-23fracax, ambayo hurahisisha frac103 fracn-23fracax. Vile vile, ninaweza kuandika equation frac560280 fracn-34fracax, ambayo hurahisisha 2 fracn-3 4fracax. Sasa, nina hesabu mbili na tatu zisizojulikana, lakini naweza kuondoa x na a kwa kugawa equation ya kwanza na ya pili. Hii inanipa frac53 fracn-23 div fracn-34, ambayo hurahisisha frac53 frac4n-83n-9. Kuzidisha kwa msalaba, napata 15n - 45 12n - 24, ambayo ina maana kwamba 3n 21, na kwa hiyo n 7. 