<prompt> Ikiwa x2 bx b 3 0 ina mizizi ya umbo frac-b pm sqrt52, ambapo b 0 , kisha b m sqrtn kwa nambari kamili m,n. Tafuta m n.  <response>: Ninagundua kuwa equation ina fomu ya quadratic, kwa hivyo ninaweza kujaribu kutumia fomula ya quadratic kupata mizizi katika suala la b. Kwa fomula ya quadratic, mizizi ni x frac-b pm sqrtb2 - 4b 32. Ninataka kulinganisha usemi huu na mizizi iliyotolewa, kwa hivyo ninarahisisha neno la mzizi wa mraba: x frac-b pm sqrtb2 - 4b - 122. Sasa naweza kusawazisha misemo miwili ya x na kuona kitakachotokea: frac-b pm sqrtb2 - 4b - 122 frac-b pm sqrt 5 2. Ili kuondoa sehemu, ninaweza kuzidisha pande zote mbili kwa 2: -b pm sqrtb2 - 4b - 12 -b pm sqrt5. Sasa naweza kutoa -b kutoka pande zote mbili na mraba pande zote mbili: b2 - 4b - 12 5. Kurahisisha, napata b2 - 4b - 17 0. Huu ni mlinganyo mwingine wa quadratic, kwa hivyo ninaweza kutumia fomula ya quadratic tena kupata b: b frac4 pm sqrt16 682. Kwa kurahisisha zaidi, ninapata b frac4 pm sqrt842. Ninaweza kuandika sqrt84 kama sqrt4 cdot 21 na kurahisisha: b frac4 pm 2 sqrt212. Nikigawanya kwa 2, ninapata b 2 pm sqrt21. Kwa kuwa b 0, ninaweza kutupa chaguo hasi na kuchukua b 2 sqrt21. Kwa hiyo, m 2 na n 21 , na m n 23 . 