<prompt> Kwa vekta fulani mathbfp na mathbfq, vekta 3 mathbfp mathbfq na 5 mathbfp - 3 mathbfq ni ya orthogonal. Pia, vekta 2 mathbfp mathbfq na 4 mathbfp - 2 mathbfq ni orthogonal. Ikiwa theta ndio pembe kati ya mathbfp na mathbfq, basi tafuta cos theta.  <response>: Ninahitaji kupata cosine ya pembe kati ya mathbfp na mathbfq. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia fomula ya bidhaa ya nukta: mathbfp cdot mathbf q mathbfpmathbfqcos theta. Nikiweza kupata mathbfp cdot mathbfq, mathbfp, na mathbfq, basi ninaweza kuzichomeka kwenye fomula na kusuluhisha cos theta. Ninagundua kuwa shida inanipa jozi mbili za vekta za orthogonal, ambayo inamaanisha kuwa bidhaa zao za nukta ni sifuri. . Ninaweza kutumia ukweli huu kuandika milinganyo miwili: 3 mathbfp mathbfq cdot 5 mathbfp - 3 mathbfq 0 na 2 mathbfp mathbfq cdot 4 mathbfp - 2 mathbfq 0. Ninaweza kupanua bidhaa hizi za nukta kwa kutumia sifa ya usambazaji na ukweli kwamba mathbf p cdot mathbfp mathbfp2 na mathbfq cdot mathbfq mathbfq2. Napata 15 mathbfp2 - 9 mathbfp cdot mathbfq 5 mathbfp cdot mathbfq - 3mathbfq2 0 na 8mathbfp2 - 4 mathbfp cdot mathbfq 4 mathbfp cdot mathbfq - 2mathbfq2 0. Ninaweza kurahisisha milinganyo hii kwa kuchanganya maneno kama: 15mathbfp2 - 4 mathbfp cdot mathbfq - 3mathbfq2 0 na 8mathbfp2 - 2mathbfq2 0. Ninaweza kutatua kwa mathbfq2 kulingana na mathbf p2 kutoka mlinganyo wa pili: mathbfq2 4mathbfp2. Ninaweza kuunganisha hii kwenye mlinganyo wa kwanza na kupata 15mathbf p2 - 4 mathbfp cdot mathbfq - 12mathbfp2 0. Ninaweza kurahisisha mlinganyo huu na kutatua kwa mathbfp cdot mathbfq kulingana na mathbfp2: mathbfp cdot mathbfq frac34mathbfp 2. Ninaweza kuchomeka hii kwenye fomula ya bidhaa ya nukta na kupata mathbfpmathbfqcos theta frac34mathbfp 2. Ninaweza kutumia ukweli kwamba mathbfq2 4mathbfp2 na kupata 2mathbfp2 cos theta frac34mathbfp2. Ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa 2mathbfp2 na kupata cos theta frac38 . 