<prompt> Je, ni bangili ngapi tofauti zilizo na shanga 3 za rangi ya chungwa zinazofanana, shanga 3 nyeusi zinazofanana, na ushanga 1 wa rangi ya manjano, ikiwa kuzungusha au kuzungusha bangili hakubadilishi?  <response>: Hili ni tatizo la kuhesabu vibali vya mviringo, ambapo utaratibu wa shanga ni muhimu, lakini sio mwelekeo wao. Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kurekebisha nafasi ya shanga ya teal, na kisha kuhesabu ni njia ngapi tunaweza kupanga shanga 6 zilizobaki kuzunguka. Kwa kuwa ushanga wa kahawia haujabadilika, tunaweza kufikiria bangili kama sehemu ya mstari yenye madoa 6 ya shanga za chungwa na nyeusi. Ikiwa tunapuuza ukweli kwamba baadhi ya shanga zinafanana, tunaweza kuhesabu 6! njia za kupanga shanga 6 kwenye mstari. Walakini, hii inazidi kwa sababu ya 3! kwa shanga za machungwa na sababu nyingine ya 3! kwa shanga nyeusi, kwani kubadilishana yoyote kati yao haibadilishi bangili. Kwa hiyo, tunahitaji kugawanya 6! kwa 3:3! kupata idadi ya mipangilio tofauti. Hii inatupa 6!3!3! njia 20 za kupanga shanga za chungwa na nyeusi kuzunguka ushanga wa rangi ya kijani kibichi. Hata hivyo, hii bado inazidi kwa sababu ya 2, kwa sababu kupindua bangili hakubadilishi. Ili kuzingatia hili, tunahitaji kugawanya 20 kwa 2, ambayo inatupa njia 10 za kupanga shanga kwenye bangili bila kuzingatia mwelekeo. 