<prompt> Sufuri za polynomial Pxx3-10 x11 ni u, v, na w. Amua thamani ya arctan uarctan varctan w.  <response>: Suluhisho la kwanza: Acha alphaarctan u, betaarctan v, na arctan w. Tunatakiwa kubainisha jumla ya alphabetagamma. Fomula ya nyongeza ya tanjiti ya pembe tatu, tan alphabetagammafractan alphatan betatan gamma-tan alpha tan beta tan gamma1-tan alpha tan betatan beta tan gammatan alpha tan gamma, implies tan alphabetagamma fracuvw-u v w1-u vv wu v . Kwa kutumia mahusiano ya Viète, uvw0, quad u vv wu w-10, quad u v w-11, tunabadilisha zaidi hii kuwa tan alpha betagammafrac111101. Kwa hivyo, alphabetagammafracpi4k pi, ambapo k ni nambari kamili ambayo inasalia kuamuliwa.Kutokana na mahusiano ya Viète tunaweza kuona zao la sufuri za polynomial ni hasi, hivyo idadi ya zero hasi ni isiyo ya kawaida. Na kwa kuwa jumla ya sifuri ni 0, mbili kati yao ni chanya na moja ni hasi. Kwa hivyo, moja ya alpha, beta, gamma iko katika kipindi left-fracpi2, 0right na mbili kati yao ziko left0, fracpi2kulia. Kwa hivyo k lazima iwe sawa na 0 , na arctan u arctan varctan wfracpi4.Suluhisho la pili: Because operatornameIm ln 1 i xarctan x, tunaona hiyo inaanzailiyopangwa arctan uarctan varctan w operatornameIm ln i PioperatornameIm ln 1111 i arctan 1fracpi4 . mwishoiliyopangwa 