<prompt> Tafuta jumla ya masuluhisho yafrac1sin x frac1cos x 2 sqrt2katika kipindi 0 le x le 2 pi.  <response>: Acha a cos x na b sin x, hivyofrac1a frac1b 2 sqrt2.Kishaa b 2ab sqrt2.Kuweka pande zote mbili, tunapataa2 2ab b2 8a2 b2.Tangu a2 b2 cos2 x sin2 x 1, 2ab 1 8a2 b2, au8a2 b2 - 2ab - 1 0.Vigezo hivi kama 2ab - 14ab 1 0, hivyo ab frac12 au ab -frac14.Ikiwa ab frac12, basi a b sqrt2. Kisha a na b ndio mizizi yat2 - t sqrt2 frac12 0.Tunaweza kubainisha hili kama left t - frac1sqrt2 kulia2 0, hivyo t frac1sqrt2. Kwa hiyo, a b frac1sqrt2, aucos x sin x frac1sqrt2.Suluhisho pekee ni x fracpi4.Ikiwa ab -frac14, basi a b -frac1sqrt2. Kisha a na b ndio mizizi yat2 frac1sqrt2 t - frac14 0.Kwa fomula ya quadratic,t frac-sqrt2 pm sqrt64.Kama cos x frac-sqrt2 sqrt6 4 na sin x frac-sqrt2 - sqrt64, kisha x frac19 pi12. Ili kukokotoa hii pembe, tunaweza kutumia ukweli kwamba cos fracpi12 fracsqrt2 sqrt64 na cos frac5 pi 12 fracsqrt6 - sqrt24.Ikiwa cos x frac-sqrt2 - sqrt64 na sin x frac-sqrt2 sqrt64 , kisha x frac11 pi12.Kwa hivyo, jumla ya suluhu zote ni fracpi4 frac19 pi12 frac11 pi12 frac11 pi4 . 