<prompt> Jumla ya istilahi za kwanza n katika mfuatano usio na kikomo wa kijiometri left1,frac13,frac19,frac127,dots kulia ni frac12181. Tafuta n.  <response>: Ninatambua hili kama mfuatano wa kijiometri, ambapo kila neno linapatikana kwa kuzidisha neno la awali kwa uwiano thabiti, katika kesi hii frac13. Ili kupata jumla ya masharti ya n ya kwanza, ninaweza kutumia fomula S_n a_1 frac1 - rn1 - r, ambapo a_1 ni neno la kwanza, r ni uwiano wa kawaida, na S_n ndio jumla. Nikichomeka thamani zilizotolewa, napata frac12181 1 frac1 - leftfrac13rightn1 - frac1101 3. Kwa kurahisisha kipunguzo, napata frac12181 frac1 - leftfrac13rightnfrac23. Nikizidisha pande zote mbili kwa frac23, ninapata frac242243 1 - leftfrac13rightn. Nikitoa 1 kutoka pande zote mbili, ninapata frac-1243 -leftfrac13rightn. Nikizidisha pande zote mbili kwa -1, ninapata frac1243 leftfrac13rightn. Kwa kuchukua logariti ya pande zote mbili yenye msingi 3, ninapata log_3 frac1243 log_3 leftfrac13rightn. Kwa kutumia sifa za logariti, ninapata -5 n log_3 frac13. Kugawanya pande zote mbili kwa log_3 frac13, napata n -frac5log_3 frac13. Kwa kuwa log_3 frac13 -1, ninaweza kurahisisha hii kuwa n 5. Hii inamaanisha kuwa jumla ya maneno matano ya kwanza katika mfuatano ni frac12181. 