<prompt> Ikiwa n ni ya kudumu na ikiwa kuna thamani ya kipekee ya m ambayo equation ya quadratic x2 mx mn 0 ina suluhisho moja halisi, basi tafuta n.  <response>: Ninagundua kuwa hii ni equation ya quadratic, kwa hivyo ninaweza kutumia kibaguzi kuamua nambari na aina ya suluhu. Kibaguzi ni sehemu iliyo chini ya mzizi wa mraba katika fomula ya quadratic: b2 - 4ac, ambapo a, b, c ni coefficients ya quadratic equation. Katika kesi hii, a 1, b m, na c mn. Kwa hivyo kibaguzi ni m2 - 4mn. Ninataka equation hii iwe na suluhisho moja la kweli, ambayo inamaanisha kuwa kibaguzi anapaswa kuwa sawa na sifuri. Kwa hivyo niliweka m2 - 4mn 0 na kutatua kwa m. Ninaweza kupanua mabano na kupanga upya masharti ili kupata m2 - 4m - 4n 0. Huu ni mlinganyo mwingine wa quadratic, lakini ninaweza kutumia fomula ya quadratic kupata m. Fomula ni m frac-b pm sqrtb2 - 4ac2a. Nikichomeka thamani, napata m frac4 pm sqrt16 16n2. Sasa, nataka thamani hii ya m iwe ya kipekee, ambayo inamaanisha sitaki kuwa na maadili mawili yanayowezekana kwa m. Hiyo inamaanisha kuwa sehemu iliyo chini ya mzizi wa mraba, 16 16n, inapaswa kuwa sawa na sifuri, kwa sababu basi nina thamani moja tu ya m, ambayo ni m frac42 2. Kwa hivyo niliweka 16 16n 0 na kutatua kwa n. Ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa 16 kupata n -1. Hii ndiyo thamani ya n inayofanya mlinganyo wa quadratic kuwa na suluhu moja la kweli kwa thamani ya kipekee ya m. 