<prompt> Mfuatano wa x_n unatosheleza x_0 3 nax_n frac1 x_n - 11 - x_n - 1kwa yote ge 1. Pata x_12345.  <response>: Mkakati wa kawaida wa shida kama hizo ni kujaribu kupata muundo au fomula ya mlolongo. Nitaanza kwa kukokotoa masharti machache ya kwanza ya mlolongo na kuona ikiwa nitagundua chochote. Kwa kutumia fomula iliyotolewa na thamani ya awali, ninapata x_1 frac1 x_01 - x_0 frac1 31 - 3 -2. Kisha, x_2 frac1 x_11 - x_1 frac1 -21 - -2 frac-13. Inayofuata, x_3 frac 1 x_21 - x_2 frac1 frac-131 - frac-13 fracfrac23 frac43 frac12. Hatimaye, x_4 frac1 x_31 - x_3 frac1 frac1 21 - frac12 fracfrac32frac12 3. Subiri kidogo, hili linaonekana kufahamika . Nilianza na x_0 3 na nikaishia na x_4 3. Acha niangalie kwa kukokotoa x_5. Napata x_5 frac1 x_41 - x_4 frac1 31 - 3 -2. Ndiyo, hii ni sawa na x_1. Kwa hivyo mfuatano hurudia kwa kipindi cha nne. Hii inamaanisha kuwa ninaweza kupata neno lolote la mlolongo kwa kuangalia salio lake linapogawanywa na nne na kutumia neno linalolingana kutoka nne za kwanza. Kwa mfano, x_8 x_0 3 kwa sababu 8 ina salio ya sifuri ikigawanywa na nne. Vile vile, x_9 x_1 -2 kwa sababu 9 ina salio ya moja ikigawanywa na nne. Kwa hivyo, ili kupata x_12345, ninahitaji kupata salio la 12345 nikigawanywa na nne. Kwa hivyo, iliyobaki ni moja, na x_12345 x_1 -2. 