<prompt> Acha mathbfP iwe ndiyo matrix ya kuonyesha kwenye vekta anzapmatrix 4 -7 endpmatrix. Find det mathbfP.  <response>: Ninajua kuwa kuelekeza kwenye vekta kunamaanisha kupata sehemu ya vekta nyingine kwa mwelekeo wa vekta hiyo, kwa hivyo naweza kutumia fomula ya makadirio ya mathbfv kwenye mathbfu, ambayo ni fracmathbfu cdot mathbfvmathbfu cdot mathbfu mathbfu. Ili kupata matrix mathbfP inayowakilisha makadirio haya ya mathbfv yoyote, naweza kutumia vekta za msingi mathbfi beginpmatrix 1 0 endpmatrix na mathbfj startpmatrix 0 1 endpmatrix na upate makadirio ya kila moja yao kwenye mathbfu. Kisha ninaweza kuandika mathbfP kama matrix ambayo nguzo zake ni makadirio hayo. . Kwa hivyo, kupata makadirio ya mathbfi kwenye mathbfu, mimi hutumia fomula na kupata fracmathbfu cdot mathbfimathbf u cdot mathbfu mathbfu. Ili kurahisisha hili, ninahitaji kukokotoa bidhaa za nukta. mathbfu cdot mathbfi 4 cdot 1 -7 cdot 0 4. mathbfu cdot mathbfu 4 cdot 4 -7 cdot -7 65. Kwa hivyo, makadirio ya mathbfi kwenye mathbfu ni frac465 mathbfu. Vile vile, kupata makadirio ya mathbfj kwenye mathbfu, mimi hutumia fomula na kupata fracmathbfu cdot mathbfjmathbf u cdot mathbfu mathbfu. mathbfu cdot mathbfj 4 cdot 0 -7 cdot 1 -7. Kwa hiyo, makadirio ya mathbfj kwenye mathbfu ni frac-765 mathbfu. Sasa, naweza kuandika mathbfP kama a matrix ambayo safu wima yake ya kwanza ni frac465 mathbfu na ambayo safu yake ya pili ni frac-765 mathbfu. Hii ina maana kwamba mathbfP frac165 anzapmatrix 4 cdot 4 4 cdot -7 4 cdot -7 -7 cdot -7 mwisho pmatrix. Ninaweza kurahisisha hili kwa kuzidisha nambari na kupata mathbfP frac165 beginpmatrix 16 -28 -28 49 endpmatrix . Sasa, ili kupata kibainishi cha mathbfP, ninatumia fomula ya kibainishi cha matrix 2x2, ambacho ni det mathbfP mathbfP_11 mathbfP_22 - mathbfP_12 mathbfP_21. Nikichomeka thamani, napata det mathbfP frac1 65 cdot frac165 cdot 16 cdot 49 - -28 cdot -28. Ninaweza kurahisisha hili kwa kuzidisha nambari na kupata det mathbf P frac14225 cdot 784 - 784. Hii ina maana kwamba det mathbfP 0. 