<prompt> Je, ni umbali gani mfupi zaidi kati ya miduara iliyobainishwa na x2-24x y2-32y3840 na x224x y232y3840 ni ipi?  <response>: Ili kupata umbali mfupi zaidi kati ya miduara miwili, ninahitaji kupata umbali kati ya vituo vyao na kutoa radii zao. Ninaweza kupata vituo na radii ya miduara kwa kukamilisha mraba wa x na y katika milinganyo yao. Kwa mduara wa kwanza, nina x2-24x y2-32y3840. Ninaweza kuandika hii upya kama x-122-144 y-162-2563840. Kisha ninaweza kuirahisisha kuwa x-122 y-16216, ambayo ni mlingano wa mduara wenye kituo 12,16 na radius 4. Kwa mduara wa pili, nina x224x y232y3840. Ninaweza kuandika hii upya kama x122-144 y162-2563840. Kisha ninaweza kuirahisisha hadi x122 y16216, ambayo ni mlingano wa mduara wenye kituo -12,-16 na radius 4. Umbali kati ya vituo vya miduara hutolewa na theorem ya Pythagorean. Nina dsqrt12--122 16--162. Kwa kurahisisha, ninapata dsqrt5761024sqrt160040. Umbali mfupi zaidi kati ya miduara basi ni d-2r40-2432. 