<prompt> Wakati px ya polynomial imegawanywa na x 1, salio ni 5. Wakati px imegawanywa na x 5, salio ni -7. Tafuta salio wakati px imegawanywa na x 1x 5.  <response>: Ninajua kuwa nadharia iliyobaki inaniambia kuwa p-1 5 na p-5 -7, kwani hizo ni maadili ya x ambayo hufanya vigawanyiko kuwa sifuri. Ninajua pia kwamba salio wakati px imegawanywa na x 1x 5 lazima iwe na digrii nyingi zaidi ya 1, kwa kuwa kigawanya kina shahada ya 2. Kwa hivyo naweza kudhani kuwa iliyobaki ina fomu rx ax b, na ninataka kupata a na b. Ili kufanya hivyo, naweza kutumia ukweli kwamba p-1 r-1 a-1 b 5 na p-5 r-5 a-5 b -7. Hii inanipa mfumo wa milinganyo miwili ya mstari katika mbili zisizojulikana. : beginalign -a b 5 -5a b -7 endalign Ninaweza kutatua mfumo huu kwa kutoa mlingano wa kwanza kutoka wa pili, ambao hunipa -4a -12, hivyo a 3. Kisha ninaweza kuchomeka a 3 kwenye mlinganyo wowote, sema ya kwanza, na kupata b 5 3 8. Kwa hivyo, iliyobaki ni r. x 3x 8. 