<prompt> Ikiwa sin pi cos x cos pi sin x, ingiza thamani zote zinazowezekana za sin 2x, zikitenganishwa na koma.  <response>: Kutoka kwa equation iliyotolewa,cos pi sin x dhambi pi cos x cos kushoto fracpi2 - pi cos x kulia.Hii ina maana pi sin x na fracpi2 - pi cos x ama ongeza hadi kizidishio cha 2 pi, au zitofautiane kwa kizidisho cha 2 pi.Katika kesi ya kwanza,pi sin x fracpi2 - pi cos x 2 pi nkwa nambari kamili n. Kisha dhambi x - cos x 2n - frac12.Tangudhambi x - cos x2 dhambi2 x - 2 dhambi x cos x cos2 x 1 - dhambi 2x le 2,inafuata kwamba dhambi x - cos x le sqrt2. Kwa hivyo, thamani pekee inayowezekana ya n ni 0, katika hali ambayosin x - cos x -frac12.Squaring, tunapatasin2 x - 2 sin x cos x cos2 x frac14.Kisha 1 - sin 2x frac14, hivyo sin 2x frac34.Katika kesi ya pili,pi sin x pi cos x - fracpi2 2 pi nkwa nambari kamili n. Kishasin x cos x 2n frac12.Kwa hoja sawa na hapo juu, thamani pekee inayowezekana ya n ni 0, katika hali ambayosin x cos x frac12.Squaring, tunapatasin2 x 2 sin x cos x cos2 x frac14.Kisha 1 sin 2x frac14, hivyo sin 2x -frac34.Kwa hivyo, thamani zinazowezekana za sin 2x ni frac34, -frac34. 