<prompt> Acha M iwe ndiyo thamani ya juu zaidi iwezekanayo ya x_1x_2x_2x_3cdots x_5x_1 ambapo x_1, x_2, dots, x_5 ni ruhusa ya 1,2,3,4,5 na kuruhusu N iwe idadi ya ruhusa ambazo kiwango hiki cha juu kinafikiwa. Tathmini MN.  <response>: Ruhusa ni nini? Ruhusa ni njia ya kupanga idadi ya vitu bila kuzingatia mpangilio. Kwa hivyo kuna vitu 5, nambari 1, 2, 3, 4, na 5, na tunaweza kuvipanga kwa 5! njia. Kweli, lakini sio swali linalouliza. Swali linatutaka tuangalie hesabu zote tofauti tunazoweza kutengeneza kwa kuzidisha nambari kwa mpangilio fulani na kisha kuzijumlisha zote. Oh, ili tuweze kuchukua jumla ya mbili za kwanza, kisha jumla ya mbili zifuatazo, na kisha jumla ya mbili za mwisho. Haki. Na kwa mfano, ikiwa tungekuwa na mpangilio 1, 2, 3, 4, 5, basi jumla itakuwa 1 cdot 2 2 cdot 3 3 cdot 4 4 cdot 5 5 cdot 1 . Kwa hivyo tunahitaji tu kujaribu mipangilio yote tofauti na kuona ni ipi iliyo na jumla kubwa zaidi. Sawa, kwa hivyo tunataka kupata kiwango cha juu cha hesabu hizo zote zinazowezekana. Lakini tunafanyaje hivyo? Kuna hesabu nyingi tofauti. Naam, hebu tufikirie juu yake. Ni mipango gani itatupa kiasi kikubwa zaidi? Ndio, kwa hivyo tunataka 5 na 4 zizidishwe zenyewe. Kwa hivyo tunataka kupanga nambari ili 3 iwe karibu na 5. Kwa hivyo tunataka kupanga nambari ili 2 iwe karibu na 4. Kwa hivyo tuna 2,4,5,3. Lakini tunaweza pia kuzipanga kama 2,5,4,3. Kwa hivyo tunataka kupanga nambari ili 1 iwe karibu na 3. Kisha tuna 1,3,5,4,2. Hivyo thamani ya juu iwezekanavyo ni 1 cdot 3 3 cdot 5 5 cdot 4 4 cdot 2 2 cdot 1 3 15 20 8 2 48. Sawa, hivyo M 48. Lakini tunapataje N? Kweli, ni njia ngapi tunaweza kupanga nambari ili 1 iko karibu na 3, 3 iko karibu na 5, na 2 iko karibu na 4? Kwa hiyo tuna njia 5 za kupanga namba ili jumla ni 48. Kwa hiyo N 5. Kwa hivyo kwa 1,3,5,4,2, pia tuna 2,4,5,3,1 Sawa, kwa hivyo tuna njia 10 za kupanga nambari ili jumla iwe 48. Kwa hivyo N 10. Kwa hiyo MN 48 10 58. 