<prompt> Je, 12cdotsn inagawanya 6n ngapi sawasawa?  <response>: Ninagundua kuwa usemi 12cdotsn ni mfululizo wa hesabu, na ninakumbuka kwamba jumla ya mfululizo wa hesabu wenye masharti n hutolewa kwa fomula S_n fracn2 a_1a_n, ambapo a_1 ni muhula wa kwanza na a_n ni muhula wa mwisho. Katika hali hii, a_1 1 na a_n n, hivyo S_n fracn21n. Shida ni kuniuliza nitafute maadili ya n ambayo S_n ni kigawanyo cha 6n. Ninaweza kuandika hii kama 6n kS_n, ambapo k ni nambari kamili chanya. Nikibadilisha S_n fracn21n, napata 6n kfracn21n. Kurahisisha, napata 12 k1n. Hii ina maana kwamba k na 1n zote ni vipengele vya 12. Vigezo vya 12 ni 1, 2, 3, 4, 6, na 12. Ninaweza kuvioanisha kama ifuatavyo: k,1n 1,12, 2,6, 3,4, 4,3, 6,2, 12,1. Kutatua kwa n katika kila jozi, napata n 11, 5, 3, 2, 1, 0. Walakini, n 0 haileti maana kama nambari kamili, kwa hivyo naweza kutupa suluhisho hilo. Kwa hivyo, kuna nambari kamili 5 chanya n ambazo zinakidhi hali iliyotolewa: n 1, 2, 3, 5, 11. 