<prompt> Mstari y 3 huingiliana na grafu ya y 4x2 x - 1 kwenye pointi A na B. Umbali kati ya A na B unaweza kuandikwa kama fracsqrtmn, ambapo m na n ni nambari chanya ambazo hazishiriki vipengele vyovyote isipokuwa moja. Pata thamani ya m - n.  <response>: Ili kupata pointi za makutano, ninahitaji kutatua equation 3 4x2 x - 1. Huu ni mlinganyo wa quadratic, kwa hivyo ninaweza kutumia fomula ya quadratic kupata maadili ya x ambayo yanakidhi. Fomula ya quadratic inasema kwamba ikiwa ax2 bx c 0, basi x frac-b pm sqrtb2 - 4ac2a. Katika kesi hii, a 4, b 1, na c -4, kwa hivyo ninaweza kuziba maadili haya kwenye fomula na kurahisisha. Ninapata x frac-1 pm sqrt12 - 44-424 frac-1 pm sqrt65 8. Hivi ndivyo viwianishi vya x vya A na B, kwa hivyo ninaweza kuzitumia kupata viwianishi vya y kwa kuzichomeka kwenye equation ya mstari au parabola. Nitatumia equation ya mstari, kwa kuwa ni rahisi zaidi. Ninapata y 3 kwa alama zote mbili, ambayo inaeleweka, kwani ziko kwenye mstari mmoja. Kwa hivyo pointi A na B ni leftfrac-1 - sqrt658, 3right na leftfrac-1 sqrt 658, 3right, mtawalia. Ili kupata umbali kati yao, naweza kutumia fomula ya umbali, ambayo inasema kwamba ikiwa x_1, y_1 na x_2, y_2 ni alama mbili, basi umbali kati yao ni sqrtx_2 - - x_12 y_2 - y_12. Katika hali hii, x_1 frac-1 - sqrt658, x_2 frac-1 sqrt658, y_1 3, na y_2 3, kwa hivyo ninaweza kuunganisha maadili haya kwenye fomula na kurahisisha. Ninapata sqrtleftfrac-1 sqrt658 - frac-1 - sqrt658kulia2 3 - 3 2 sqrtleftfracsqrt654right2 fracsqrt654. Huu ni umbali kati ya A na B, na tayari iko katika fomu fracsqrtmn, ambapo m 65 na n 4. Kwa hiyo, thamani ya m - n ni 65 - 4 61 . 