<prompt> Kuna jozi 12 zilizoagizwa za nambari kamili x,y zinazotosheleza x2 y2 25. Je, ni kiasi gani kikubwa kinachowezekana xy?  <response>: Ninagundua kuwa x2 y2 25 ni mlingano wa mduara wenye radius 5 na katikati kwenye asili. Ninataka kupata vidokezo kwenye duara ambavyo vina viwianishi kamili, vinavyojulikana pia kama vidokezo vya kimiani. Ninaweza kuanza kwa kuangalia zile dhahiri, ambapo moja ya kuratibu ni sifuri na nyingine ni pm 5. Hizi ni 0,5, 0,-5, 5,0, na -5,0. Jumla xy kwa pointi hizi ni 5 au -5, kulingana na ishara ya kuratibu nonzero. Ninashuku kuwa kunaweza kuwa na alama zilizo na hesabu kubwa zaidi, ambapo x na y zote mbili hazina maana. Ili kupata alama kama hizo, ninaweza kujaribu thamani tofauti za x na kuona ikiwa kuna thamani kamili inayolingana ya y ambayo hufanya x2 y2 25. Kwa mfano, ikiwa x pm 1, basi y2 25 - x2 24, ambayo si mraba kamili, kwa hiyo hakuna ufumbuzi. Ikiwa x pm 2, basi y2 25 - x2 21, ambayo pia si mraba kamili, kwa hiyo hakuna ufumbuzi. Ikiwa x pm 3, basi y2 25 - x2 16, ambayo ni mraba kamili, hivyo y pm 4. Hizi ni pointi 3,4, 3,-4, -3,4, na -3,-4. Jumla ya xy kwa pointi hizi ni 7 au -7, kulingana na ishara za x na y. Ikiwa x pm 4, basi y2 25 - x2 9, ambayo ni mraba kamili, hivyo y pm 3. Hizi ndizo pointi 4,3, 4,-3, -4,3, na -4,-3. Jumla ya xy kwa pointi hizi ni 7 au -7, kulingana na ishara za x na y. Hatimaye, ikiwa x pm 5, basi y2 25 - x2 0, ambayo ni mraba kamili, hivyo y 0. Hizi ndizo pointi 5,0 na -5,0, ambazo tayari nimepata hapo awali. Nimemaliza maadili yote yanayowezekana ya x kutoka -5 hadi 5, na nimepata alama 12 za kimiani kwenye duara. Jumla kubwa inayowezekana xy ni 7, ambayo hutokea katika pointi 3,4 na 4,3. 