<prompt> Ni cubes ngapi chanya zinazogawanya 3!cdot 5!cdot 7!,?  <response>: Ili kupata idadi ya cubes chanya zinazogawanya 3!cdot 5!cdot 7!,, ninahitaji kuainisha bidhaa za factorial kuwa sababu kuu. Ninajua kwamba 3!3cdot 2, 5!5cdot 4cdot 3cdot 2, na 7!7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2. Kwa hiyo, 3!cdot 5!cdot 7!,28cdot 34cdot 52cdot 7. Mchemraba chanya ni nambari ya fomu p3, ambapo p ni nambari kamili chanya. Kwa hivyo, ninahitaji kutafuta ni njia ngapi ninaweza kuchagua vielelezo vya 2, 3, 5, na 7 hivi kwamba vyote ni vizidishi vya 3 na chini ya au sawa na vielelezo katika uainishaji mkuu. Kwa 2, ninaweza kuchagua 0, 3, au 6 kama kielelezo. Hiyo inanipa chaguzi 3. Kwa 3, ninaweza kuchagua 0 au 3 kama kielelezo. Hiyo inanipa chaguzi 2. Kwa 5, ninaweza tu kuchagua 0 kama kipeo, kwani 3 ni kubwa kuliko 2. Hiyo inanipa chaguo 1. Kwa 7, ninaweza pia kuchagua 0 kama kipeo, kwani 3 ni kubwa kuliko 1. Hiyo inanipa chaguo 1. Kwa hivyo, jumla ya idadi ya cubes chanya zinazogawanya 3!cdot 5!cdot 7!, ni zao la idadi ya chaguo kwa kila kipengele kikuu, ambacho ni 3cdot 2cdot 1cdot 16 . 