<prompt> Nambari ya vitengo ya 22010 ni ipi?  <response>: Ninahitaji kupata tarakimu ya mwisho ya nguvu kubwa sana ya 2. Ninashangaa ikiwa kuna mchoro au mzunguko katika vitengo vya tarakimu za nguvu za 2. Ninaweza kuanza kwa kuorodhesha baadhi ya nguvu za 2 na vitengo vyake tarakimu: 2 1 2, 22 4, 23 8, 24 16, 25 32, 26 64, 27 128, 28 256, 29 512, 210 1024, dots. Ninagundua kuwa nambari za vitengo hurudia kila nguvu nne: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, dots Hii ina maana kwamba tarakimu za vitengo vya 2n hutegemea tu salio la n wakati. ikigawanywa na 4. Ninaweza kuandika hii kama 2n equiv 2n mod 4 pmod10, ambapo equiv ina maana modulo sanjari ya 10, mod ina maana operesheni iliyosalia, na pmod10 ina maana modulo 10. Sasa ninaweza kutumia fomula hii kupata tarakimu za 22010. Ninahitaji kupata salio la 2010 nikigawanywa na 4. Ninaweza kufanya hivi kwa mgawanyiko mrefu au kwa kugundua kuwa 2010 ni sawa, kwa hivyo inaweza kugawanywa na 2, lakini sio 4, kwa hivyo iliyobaki ni 2. Kwa hivyo, 2 2010 equiv 22010 mod 4 equiv 22 equiv 4 pmod10. Hii inamaanisha kuwa nambari ya vitengo ya 22010 ni 4. 