<prompt> Uso wa saa ni diski ya radius 1 . Saa-saa ni diski ya radius 1 2 ni tangent ndani kwa mduara wa saa-uso, na dakika ya mkono ni sehemu ya mstari wa urefu 1 . Pata eneo la takwimu linaloundwa na makutano yote ya mikono katika masaa 12 yaani, kwa upande mmoja kamili wa mkono wa saa.  <response>: Acha mkono wa dakika utengeneze pembe varphi in0 ; 2 pi yenye nafasi ya wima. Wakati huo, mkono wa saa hufanya moja ya pembe psi_kfracvarphi2 pi k12bmod 2 pi, k in mathbbZ , na nafasi ya wima. Mikono inakatiza kando ya sehemu ya urefu max left0, cos leftpsi_k-varphirightkulia, kwa hivyo eneo linalohusika ni sawa na frac1 2 int_02 pi rho2varphi d varphi, ambapo rhovarphimax left0, max _ k cos leftpsi_k-varphirightright, varphi in mathbbR . Ona kwamba rhovarphicos leftmin _kleftfracvarphi2 pi k12-varphirightright cos leftmin _kleftfrac11 varphi12-fracpi k6rightright . Chaguo hili la kukokotoa ni la mara kwa mara na kipindi cha frac2 pi11. Kwa kuwa kwa varphi inleft-fracpi11, fracpi11right inashikilia rhovarphi cos left frac11 varphi12kulia, eneo la umbo linaloundwa na makutano ya mikono ni sawa na begingathered frac12 int_02 pi rho2varphi d varphifrac112 int_-fracpi11fracpi11 rho2varphi d varphifrac112 int_-fracpi11fracpi11 cos 2leftfrac11 varphi12right d varphi frac114 int_-fracpi11 fracpi11kushoto1cos leftfrac11 varphi6kuliakulia d varphileft.leftfrac 11 varphi4frac32 sin leftfrac11 varphi6rightrightright_-fracpi 11 fracpi11fracpi32 . endgathered Jibu: fracpi32 