<prompt> Tuseme chaguo la kukokotoa fx limefafanuliwa kwenye kikoa x_1,x_2,x_3, ili grafu ya yfx iwe na pointi tatu tu. Tuseme alama hizo tatu zitengeneze pembetatu ya eneo la 32.Grafu ya y 2f2x pia ina alama tatu tu. Je, eneo la pembetatu linaloundwa na pointi hizo tatu ni nini?  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kukumbuka jinsi mabadiliko yanavyoathiri grafu ya kazi. Nikizidisha chaguo zote za kukokotoa kwa 2, hiyo inamaanisha kuwa grafu imeinuliwa kiwima kwa kipengele cha 2. Kwa hivyo, grafu ya y 2f2x inapatikana kutoka kwa grafu ya y fx kwanza kwa kuibana kwa mlalo kwa 2, na kisha kuinyoosha wima kwa 2. Hii ina maana kwamba msingi wa pembetatu unaoundwa na grafu ya y 2f2x ni nusu ya msingi wa pembetatu asilia, na urefu wa pembetatu mpya ni mara mbili ya urefu wa pembetatu asilia. Kwa hiyo, eneo la pembetatu mpya ni 12 mara 2 mara 32 32. Kwa hivyo, eneo la pembetatu linaloundwa na grafu ya y 2f2x pia ni 32. 