<prompt> Acha a, b, c, na d ziwe nambari halisi chanya kiasi kwamba a b c d 10. Pata thamani ya juu zaidi ya ab2 c3 d4 .  <response>: Wacha tutumie usawa wa AM-GM. Ukosefu wa usawa wa AM-GM ni fraca_1 a_2 cdots a_nn ge sqrtna_1a_2cdots a_n. Hiyo ni sawa. Wacha tuitumie kwa shida hii. Ukosefu wa usawa wa AM-GM kwenye vigezo vinne a, b, c, na d hutupatia fracabcd4 ge sqrt4abcd . Na tunajua kuwa abcd10. Kisha tuna sqrt4abcd le frac104, kwa hivyo abcd le frac10444. Umm... hiyo sio kabisa tunayotaka. Tunataka kuongeza ab2c3d4. Haki. Tunaweza kuendesha usawa wa AM-GM ili kukidhi mahitaji yetu. Inatubidi tu kuhakikisha kuwa bidhaa iliyo upande wa kulia ina ab2c3d4. Kwa maneno mengine, tunataka a_1, a_2, cdots, a_n kuwa a, b, c, d, b, c, c , d, d, d. Kisha ukosefu wa usawa wa AM-GM hutuambia kuwa fraca_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9a_1010 ge sqrt10a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_8a . Tunataka kuongeza fa,b,c,dab2c3d4 kulingana na kikwazo ga,b,c,dabcd-10 0. Tunahitaji kukokotoa nabla f na nabla g. nabla flangle b2c3d4, 2ab1c3d4, 3ab2c2d4, 4ab2c3d3 rangle Na nabla glangle 1 , 1, 1, 1 rangle. Sasa tunahitaji kutatua equation nabla f lambda nabla g. Kwa hivyo tunapata mfumo wa milinganyo b2c3d4lambda 2ab1c3d4lambda 3ab2c2d4lambda 4ab2c3d 3lambda abcd10. Tunaweza kuona kuwa lambda0 sio suluhisho halali. Kwa hivyo tunagawanya pande zote mbili za mlingano wa kwanza kwa b2c3d4 na pande zote mbili za mlingano wa pili kwa 2ab1c3d4 na pande zote mbili za mlingano wa tatu kwa 3ab2c2d 4 na pande zote mbili za mlingano wa nne kwa 4ab2c3d3 ili kupata mfumo wa milinganyo. Hiyo ni sawa. Milinganyo minne ya kwanza inatuambia kuwa a:b:c:d1:2:3:4. Hiyo ni sawa. Na mlinganyo wa mwisho unatuambia kuwa 123410. Kwa hivyo a1, b2, c3, na d4 hakika ndio suluhisho. Hiyo ni sawa. 