<prompt> Rahisisha bidhaa frac84cdotfrac128cdotfrac1612 dotsm frac4n44n dotsm frac 20082004.  <response>: Ninagundua kuwa kila sehemu kwenye bidhaa ina nambari ambayo ni 4 zaidi ya dhehebu iliyopita, isipokuwa sehemu ya kwanza. Hii inaonyesha kuwa kunaweza kuwa na kughairiwa kwa vipengele katika bidhaa. Ninajaribu kuandika bidhaa kama sehemu moja, kwa kuzidisha nambari na madhehebu. Ninapata frac8cdot 12 cdot 16 dotsm 4n4 dotsm 20084cdot 8 cdot 12 dotsm 4n dotsm 2004. Sasa naona kwamba kila sababu katika nambari, isipokuwa 2008, ina kipengele kinacholingana katika denominator ambayo inaghairi. Kwa mfano, 8 katika nambari hughairi na 8 kwenye dhehebu, 12 kwenye nambari hughairi na 12 kwenye denominator, na kadhalika. Sababu pekee ambazo hazighairi ni 2008 katika nambari na 4 katika denominator. Kwa hivyo bidhaa hurahisisha frac20084. Hili ni tatizo rahisi la mgawanyiko, ambalo ninaweza kulifanya kiakili. Ninajua kuwa 4 inaingia 2008 haswa mara 502, kwani 4 mara 500 ni 2000 na 4 mara 2 ni 8. Kwa hivyo jibu la mwisho ni 502. 