<prompt> Je, ni umbali gani mfupi zaidi kati ya miduara iliyofafanuliwa kwa x2-10x y2-4y-70 na x214x y26y490?  <response>: Tatizo hili linahusisha kutafuta umbali kati ya miduara miwili. Njia moja ya kukaribia hii ni kupata kwanza vituo na radii ya miduara, na kisha utumie fomula ya umbali kati ya miduara miwili. Ili kupata kitovu na kipenyo cha duara katika umbo la kawaida, ninaweza kukamilisha mraba wa x na y. Kwa mduara wa kwanza, nina x2-10x y2-4y-70. Ninaweza kupanga maneno ya x na y na kuongeza 7 kwa pande zote mbili: x2-10x y2-4y 7. Kisha naweza kukamilisha mraba wa x kwa kuongeza 1022 25 kwa pande zote mbili, na kwa y kwa kuongeza -422 4 kwa pande zote mbili: x 2-10x25 y2-4y4 7254. Ninaweza kuangazia miraba kamili iliyo upande wa kushoto na kurahisisha kulia: x-52 y-22 36. Hii inamaanisha kuwa katikati ya duara la kwanza ni 5,2 na kipenyo chake ni sqrt36 6. Vile vile, kwa mduara wa pili, nina x214x y26y490. Ninaweza kuweka masharti ya x na y na kutoa 49 kutoka pande zote mbili: x214x y26y -49. Kisha naweza kukamilisha mraba wa x kwa kuongeza 1422 49 kwa pande zote mbili, na kwa y kwa kuongeza 622 9 kwa pande zote mbili: x2 14x49 y26y9 -49499. Ninaweza kuangazia miraba kamili iliyo upande wa kushoto na kurahisisha kulia: x72 y32 9. Hii ina maana katikati ya mduara wa pili ni -7,-3 na radius yake ni sqrt9 3. Sasa nina vituo na radii ya miduara yote miwili. Umbali kati ya miduara miwili ni umbali kati ya vituo vyao ukiondoa jumla ya radii zao. Ili kupata umbali kati ya vituo, naweza kutumia fomula ya umbali: d sqrtx_2-x_12 y_2-y_12. Nikichomeka maadili ya vituo, napata: d sqrt-7-52 -3-22 sqrt-122 -5 2 sqrt169 13. Jumla ya radii ni 63 9. Kwa hiyo, umbali kati ya miduara ni d - r_1 r_2 13 - 9 4. 