<prompt> Katika safu ya mstatili ya pointi, yenye safu 5 na safu wima N, pointi zimehesabiwa kwa kufuatana kutoka kushoto hadi kulia kuanzia safu mlalo ya juu. Kwa hivyo safu ya juu ina nambari 1 hadi N, safu ya pili ina nambari N 1 hadi 2N, na kadhalika. Pointi tano, P_1, P_2, P_3, P_4, na P_5, zimechaguliwa ili kila P_i iwe katika safu i. Acha x_i iwe nambari inayohusishwa na P_i. Sasa andika safu upya mfululizo kutoka juu hadi chini, kuanzia safu ya kwanza. Acha y_i iwe nambari inayohusishwa na P_i baada ya kuweka nambari upya. Imegundulika kuwa x_1 y_2, x_2 y_1, x_3 y_4, x_4 y_5, na x_5 y_3. Tafuta thamani ndogo zaidi ya N.  <response>: Ruhusu kila pointi P_i iwe kwenye safu wima c_i. Nambari za P_i sasa zinaweza kufafanuliwa kama ifuatavyo.anzaalignx_i i - 1N c_i y_i c_i - 15 i mwishoalignSasa tunaweza kubadilisha usawa huo tano.anzaalignx_1y_2 Longrightarrow c_1 5 c_2-3 x_2y_1 Longrightarrow Nc_2 5 c_1-4 x_3y_4 Mshale mrefu 2 Nc_3 5 c_4-1 x_4y_5 Longrightarrow 3 Nc_4 5 c_5 x_5y_3 Longrightarrow 4 Nc_5 5 c_3-2 mwishoalignMilinganyo 1 na 2 inachanganyika na kuundaN 24c_2 - 19Vile vile milinganyo 3, 4, na 5 changanya na kuunda117N 51 124c_3Chukua moduli hii ya mlingano 3124N20equiv 0 pmod31Na ubadilishe N24 cdot 24 c_2 - 24 cdot 19 20sawa 0 pmod3118 c_2 equiv 2 pmod31Kwa hivyo c_2 ndogo zaidi inaweza kuwa 7 na kwa kubadilisha N 24 cdot 7 - 19 149Thamani za safu wima pia zinaweza kupatikana kwa urahisi kwa kubadilishaanzaalignc_132 c_27 c_3141 c_488 c_5107 endalignKwa kuwa hizi zote ni chanya. na chini ya N, 149 ndio suluhisho. 