<prompt> Acha A iwe C-algebra ya umoja. Onyesha kwamba kila kipengele chanya katika A kina mzizi wa kipekee wa mraba.  <response>: Acha A iwe C-algebra ya umoja na acha x iwe kipengele chanya katika A. Tunataka kuonyesha kwamba kuna y ya kipekee katika A ambayo y2 x.Kuwepo:Fikiria seti S a A : aa x. Seti hii haina tupu tangu 0 S, na pia imefungwa kwa kuongezwa na kuzidisha kwa koleo kwa vipengele kutoka 0,1. Ili kuona hili, tuseme a, b S na λ 0,1. Kishaa ba b ba ab aa bb x x 2x,naλaλa λ2aa λ2x x.Sasa fafanua T: S A kwa Ta shoka - xa. Kwa kuwa x inajiunganisha kwa sababu ni chanya, tunayoTa b - Ta - Tb abx - xb - bshoka - xa abx - axb - bxa xab 0,naTλa - λTa λshoka - xa - λ2shoka - xa 1 - λλshoka - xa 0.Kwa hivyo, T ni ya mstari kwenye S. Zaidi ya hayo, kwa S yoyote, tunayoTa2 shoka - xa2 ax2 xa2 aa x2 x2 aa x3 aa x3 aa 2x3 aa 2x3 x 2x4.Inafuata kwamba T ni opereta wa mstari ulio na mipaka kwenye S na kawaida kabisa 2x4. Sasa, tunaweza kutumia lema ya Riesz kupata kipengele y A vile Ty x. Kishaxy - yx x,na kwa kuwa x ni chanya, ina kinyume katika C-algebra inayozalishwa na x na y. Acha z iwe kinyume. Kishazxy - yxz zxz - zyz z2 - zy2 1 - zy2.Hivyo, 1 zy1 - zy 1 - zy2 zy - zy 1, hivyo 1 - zy haibadiliki. Inafuata hiyoy2 yyx - xy x y2x - yxy - yx y2x - y2x yx2 x.Upekee:Tuseme kuna kipengele kingine w katika A ambacho w2 x. Kishaw - yw y w2 - y2 x - x 0.Kwa kuwa A ni C-algebra ya umoja, haina vigawanyiko vya sifuri. Kwa hivyo, ama w - y 0 au w y 0. Ikiwa w - y 0, basi w y, na ikiwa w y 0, basi w -y. Kwa vyovyote vile, w imebainishwa kipekee kama y. 