<prompt> Pata nambari zote chanya kamili za n zinazokidhi mlinganyo cos Bigl fracpin Bigr cos Bigl frac2pin Bigr cos Bigl frac4pin Bigr cos Bigl frac8pin Bigr cos Bigl frac16pin Bigr frac132.Ingiza suluhu zote, zikitenganishwa na koma.  <response>: Kwanza, tunazidisha pande zote mbili kwa sin fracpin:dhambi fracpin cos fracpin cos frac2 pin cos frac4 pin cos frac8 pin cos frac16 pin frac132 sin fracpin.Kwa pembe mbili fomula, sin fracpin cos fracpin frac12 sin frac2 pin, hivyofrac12 sin frac2 pin cos frac2 pin cos frac4 pin cos frac 8 pin cos frac16 pin frac132 sin fracpin.Tunaweza kutumia pembe-mbili formula tena, kupatafrac14 sin frac4 pin cos frac4 pin cos frac8 pin cos frac 16 pin frac132 sin fracpin.Kushuka kwenye mstari, hatimaye tunafika kwenyefrac132 sin frac32 pin frac132 sin fracpin,hivyo sin frac32 pin sin fracpin.Sini ya pembe mbili ni sawa ikiwa na iwapo tu zitajumlisha hadi kizidishio kisicho cha kawaida cha pi, au zinatofautiana kwa kizidishio cha 2 pi. Kwa hivyo, amafrac33 pin pi 2k 1kwa nambari kamili k, aufrac31 pin 2 pi kkwa nambari kamili k.Hali ya kwanza inakuwa n2k 1 33, hivyo n lazima iwe kigawanyo cha 33. Hizi ni 1, 3, 11, na 33.Hali ya pili inakuwa nk frac312, ambayo haina suluhu kamili.Hatua pekee ambayo ni lazima tutoe hesabu ni pale tulipozidisha pande zote mbili kwa sin fracpin. Hii ni sifuri kwa n 1, na tunaona kwamba n 1 hairidhishi. mlinganyo wa awali. Kwa hivyo, suluhisho pekee ni 3, 11, 33. 