<prompt> Kokotoa jumla ya thamani zote zinazowezekana za x, ambapo x, y ni suluhu la mfumo wa milinganyo beginiliyolingana x y2 - 6y 5, y x. mwishoimepangiliwa  <response>: Ili kutatua mfumo huu wa milinganyo, ninahitaji kupata thamani za x na y zinazokidhi hesabu zote mbili kwa wakati mmoja. Kwa kuwa equation ya pili inahusisha thamani kamili ya x, naweza kuigawanya katika visa viwili: ama x geq 0 au x 0. Katika kesi ya kwanza, x geq 0, naweza kurahisisha. mlinganyo wa pili hadi y x. Nikiweka hii katika mlinganyo wa kwanza, ninapata x x2 - 6x 5, ambayo ni mlinganyo wa quadratic katika x. Ninaweza kupanga upya mlinganyo huu hadi x 2 - 7x 5 0 na kisha utumie fomula ya quadratic kupata thamani za x zinazokidhi. Fomula ya quadratic inanipa x frac7 pm sqrt49 - 202, ambayo hurahisisha x frac7 pm sqrt292. Thamani hizi zote mbili ni chanya, kwa hivyo ni suluhisho halali kwa x katika kesi hii. Katika kisa cha pili, x 0, naweza kurahisisha mlinganyo wa pili kuwa y -x. Nikibadilisha hii kwenye mlinganyo wa kwanza, ninapata x -x2 - 6-x 5, ambayo ni mlinganyo mwingine wa quadratic katika x. Ninaweza kupanga upya mlinganyo huu hadi x2 5x 5 0 kisha nitumie fomula ya quadratic kupata thamani za x zinazokidhi. Fomula ya quadratic inanipa x frac-5 pm sqrt25 - 202, ambayo hurahisisha x frac-5 pm sqrt52 . Thamani hizi zote mbili ni hasi, kwa hivyo ni suluhu halali kwa x katika kesi hii. Kwa hivyo, thamani zinazowezekana za x ni frac7 pm sqrt292 na frac-5 pm sqrt52. Ili kupata jumla ya thamani hizi zote, ninaweza kuziongeza kwa kutumia kiashiria cha kawaida cha 2. Jumla ni frac7 sqrt29 - 5 - sqrt5 7 - sqrt29 - 5 sqrt52, ambayo hurahisisha kuwa frac42 2. 