<prompt> Acha a na b ziwe mizizi miwili ya 12 ya umoja, si lazima iwe tofauti. Tafuta idadi ya thamani tofauti zinazowezekana za a b12.  <response>: Tunaweza kuandikaa b12 b12 kushoto 1 fracab kulia12 kushoto 1 fracab kulia12.Kumbuka kwamba left fracab kulia12 fraca12b12 1, hivyo fracab pia ni mzizi wa 12 wa umoja.Acha fracab ei theta, ili 12 theta ni mgawo wa 2 pi, i.e. theta frack pi6 kwa nambari kamili k. Kishaanzaalign1 ei theta12 ei theta2 e-i theta2 ei theta2 12 e6 i theta e-i theta2 ei theta212 e6 i theta kushoto cos fractheta2 - i sin fractheta2 cos fractheta2 i sin fractheta2 kulia12 e6 i theta 212 cos12 fractheta2 212 ek pi i cos12 frack pi12 212 cos k pi i sin k pi cos12 frack pi12 212 cos k pi cos12 frack pi12.endalignLazima tupate idadi ya thamani tofauti zinazowezekana za usemi huu juu ya nambari zote k. Kumbuka kuwa cos k pi daima ni sawa na 1 au -1, na cos 12 frack pi12 ni chaguo la kukokotoa linalopungua kwa 0 le k le 6, ikitupa thamani 7 tofauti. Zaidi ya hayo,cos k pi cos 12 - k pinacos12 frack pi12 cos12 frac12 - k pi12,kwa hivyo thamani zaidi za k zifanye usitupe thamani zozote mpya za 212 cos k pi cos12 frack pi12. Kwa hivyo, kuna jumla ya thamani 7 tofauti zinazowezekana. 