<prompt> Acha n iwe nambari kamili na k iwe nambari chanya chini ya 2n ambazo ni moduli zinazoweza kugeuzwa 2n. Ikiwa 2nequiv 3pmod13, basi ni nini kinachosalia wakati k inagawanywa kwa 13?  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kujua ni nambari ngapi chini ya 2n ni za msingi kwa 2n, yaani, hazina sababu za kawaida na 2n zaidi ya 1. Kwa kuwa 2n ni nguvu ya 2, kipengele pekee kinachoweza kuwa nacho kwa nambari yoyote ni nguvu ya 2. Kwa hivyo, nambari yoyote ambayo si kizidishio cha 2 ni ya msingi kwa 2n na hivyo modulo inayoweza kugeuzwa 2n. Kwa hivyo, k ni idadi tu ya nambari zisizo za kawaida chini ya 2n. Kuna 2n-1 nambari kama hizo, kwa kuwa kila nambari isiyo ya kawaida inaweza kuandikwa kama 2m1 kwa m kati ya 0 na 2n-1-1. Kwa hivyo, nina k2n-1, na ninahitaji kupata salio lake nikigawanywa na 13. Kwa kuwa 2nequiv 3pmod13, ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa 2 na kupata 2n-1equiv 32pmod13. Sasa, ninahitaji kupata kinyume cha 2 modulo 13, yaani, nambari a kiasi kwamba 2aequiv 1pmod13. Ninaweza kutumia algorithm iliyopanuliwa ya Euclidean kupata a . Ninaanza kwa kuandika 132cdot 61, ambayo inamaanisha kuwa 113-2cdot 6. Kwa hivyo, a-6 ni kinyume cha 2 modulo 13, kwani 2cdot -6equiv 1pmod13. Ninaweza pia kuandika a7, kwa kuwa kuongeza au kutoa vizidishio vya 13 hakubadilishi salio. Kwa hivyo, nina 2n-1equiv 32equiv 3cdot 7equiv 21equiv 8pmod13. Kwa hivyo, salio la k ikigawanywa na 13 ni 8. 