<prompt> Acha x, y, na z ziwe nambari halisi kama hizox3 y3 z3 - 3xyz 1.Tafuta thamani ya chini zaidi ya x2 y2 z2.  <response>: Tuna factorizationx3 y3 z3 - 3xyz x y zx2 y2 z2 - xy - xz - yz.Hebu A x y z na B x2 y2 z2. Squaring x y z A, tunapatax2 y2 z2 2xy xz yz A2,hivyo xy xz yz fracA2 - B2. Kwa hivyo,A kushoto B - fracA2 - B2 kulia 1,ambayo hurahisisha kuwa A3 2 3AB.Sasa, kwa Usawa mdogo,x - y2 x - z2 y - z2 ge 0,ambayo hurahisisha hadi x2 y2 z2 ge xy xz yz. Tangux y zx2 y2 z2 - xy - xz - yz 1,lazima tuwe na A x y z 0.Kutoka A3 2 3AB,B fracA3 23A.Na AM-GM,fracA3 23A fracA3 1 13A ge frac3 sqrt3A33A 1,kwa hivyo B ge 1.Usawa hutokea wakati x 1, y 0, na z 0, hivyo thamani ya chini ni 1. 