<prompt> Jo anafikiria nambari kamili chanya chini ya 100. Ni moja chini ya kizidishio cha 8, na ni tatu chini ya kizidishio cha 7. Ni nambari gani kamili inayowezekana ambayo Jo anaweza kufikiria?  <response>: Nahitaji kupata nambari kamili chanya chini ya 100 inayokidhi masharti mawili: ni moja chini ya kizidishio cha 8, na ni tatu chini ya kizidishio cha 7. Ninaweza kuanza kwa kuandika usemi wa nambari kamili kama hii: 8k - 1, ambapo k ni nambari kamili chanya. Kisha ninahitaji kupata thamani kubwa zaidi ya k kiasi kwamba 8k - 1 pia ni tatu chini ya nyingi ya 7. Ninaweza kuandika usemi mwingine wa hali hii: 8k - 1 7m - 3, ambapo m ni nambari chanya. Kwa kurahisisha mlinganyo huu, ninapata 8k 7m - 2. Sasa ninahitaji kupata thamani kubwa zaidi ya k ambayo hufanya mlinganyo huu kuwa kweli na 8k - 1 chini ya 100. Ninaweza kujaribu baadhi ya thamani za k na kuona kama zinafanya kazi. Kwa mfano, ikiwa k 12, basi 8k 96 na 7m - 2 96, hivyo m 14. Hii ina maana kwamba 8k - 1 95, ambayo ni integer iwezekanavyo Jo anaweza kufikiria. Lakini je, ni nambari kamili inayowezekana zaidi? Ninaweza kujaribu thamani kubwa ya k, sema k 13. Kisha 8k 104 na 7m - 2 104, hivyo m 15. Lakini hii ina maana kwamba 8k - 1 103, ambayo ni kubwa sana. Kwa hivyo k 12 ndio thamani kubwa zaidi ya k inayofanya kazi, na 8k - 1 95 ndio nambari kamili inayowezekana ambayo Jo anaweza kufikiria. 