<prompt> Ni neno gani lisilobadilika katika upanuzi wa leftsqrtxdfrac5xright9?  <response>: Ninagundua kuwa usemi huu ni binomial iliyoinuliwa hadi kwa nguvu, kwa hivyo ninaweza kutumia nadharia ya binomial kuipanua. Nadharia ya binomial inasema kuwa leftabkuliansum_k0n binomnkan-kbk, ambapo binomnk ni mgawo wa binomial ambao huhesabu idadi ya njia za kuchagua vitu k kati ya n. Katika kesi hii, asqrtx, bdfrac5x, na n9. Ili kupata neno la mara kwa mara, ninahitaji kutafuta neno katika upanuzi ambalo halina sababu ya x. Hii inamaanisha kuwa ni lazima nguvu za sqrtx na dfrac5x zighairiane. Kwa hivyo ninahitaji kupata thamani ya k kiasi kwamba leftsqrtxright9-kleftdfrac5xrightk haina x. Hii inamaanisha kuwa dfrac9-k2-k0, au 9-k2k, au k3. Kwa hivyo, neno lisilobadilika ni neno wakati k3, ambayo ni binom93leftsqrtxright9-3leftdfrac5xright 3. Ninaweza kurahisisha neno hili kwa kutumia ukweli kwamba binom93dfrac9!3!6!dfrac9mara 8mara 73mara 2 mara 184. Pia, leftsqrtxkulia9-3leftsqrtxkulia6x3 na leftdfrac5xkulia 3dfrac125x3. Kwa hivyo neno lisilobadilika ni 84x3timesdfrac125x384mara 12510500. 