<prompt> Piga seti ya nambari nafasi ikiwa haina zaidi ya nambari moja kati ya nambari tatu mfululizo. Ni seti ngapi ndogo za 1, 2,3, dots, 12, ikiwa ni pamoja na seti tupu, zina nafasi?  <response>: Mbinu mojawapo inayowezekana ni kutumia mbinu ya kujirudia, ambapo tunajaribu kutafuta uhusiano kati ya idadi ya viseti vidogo vya 1, 2, 3, dots, n na idadi ya viseti vidogo vya 1, 2, 3, dots, n-1 au seti ndogo zaidi. Hebu tupigie simu idadi ya vijisehemu vidogo vya 1, 2, 3, dots, n by Sn. Kisha, tunaweza kutambua kwamba kitengo chochote kidogo cha nafasi cha 1, 2, 3, dots, n hakina n, au kina n lakini si n-1 au n -2. Hii ina maana kwamba Sn Sn-1 Sn-3, kwa sababu tunaweza ama kuongeza n kwenye kitengo chochote cha nafasi cha 1, 2, 3, dots, n. -3, au tunaweza tu kuchukua kikundi chochote kidogo cha 1, 2, 3, dots, n-1 ambacho hakina n. Huu ni uhusiano unaojirudia ambao tunaweza kutumia kupata Sn kwa nambari yoyote chanya n. Tunahitaji tu kupata thamani za awali za Sn kwa n ndogo. Kwa n 1, tuna S1 2, kwa sababu sehemu ndogo pekee za 1 ni seti tupu na seti nzima. Kwa n 2, tuna S2 3, kwa sababu sehemu ndogo za 1, 2 ni tupu, 1, na 2 . Kwa n 3, tuna S3 4, kwa sababu sehemu ndogo za 1, 2, 3 ni tupu, 1, 2, na 3. Sasa, tunaweza kutumia uhusiano unaojirudia kutafuta S4, S5, na kadhalika, hadi tufikie S12. Tuna S4 S3 S1 4 2 6. Tuna S5 S4 S2 6 3 9. Tuna S6 S5 S3 9 4 13. Tuna S7 S6 S4 13 6 19. Tuna S8 S7 S5 19 9 28. Tuna S9 S8 S6 28 13 41. Tuna S10 S9 S7 41 19 60. Tuna S11 S10 S8 60 28 88. Tuna S12 S11 S9 88 41 129. Kwa hivyo, jibu la mwisho ni 129. 