<prompt> Heksagoni sawia ABCDEF ina urefu wa upande ABCDEF1 na BCDEFAr. Eneo la pembetatu ACE ni 70 ya eneo la hexagon. Je, ni jumla gani ya thamani zote zinazowezekana za r?  <response>: Ni wazi kuwa pembetatu ACE ni pembetatu iliyo sawa. Kutoka kwa Sheria ya Cosine kwenye pembetatu ABC, tunapata hiyoAC2 r212-2rcos 60circ r2r1.Kwa hivyo, eneo la pembetatu ACE ni fracsqrt3 4r2r1.Ikiwa tutaongeza overlineAB, overlineCD, na overlineEF ili overlineEF na overlineAB zikutane kwa X, overlineAB na overlineCD hukutana kwa Y, na overlineCD na overlineEF hukutana kwa Z, tumegundua kuwa hexagon ABCDEF huundwa kwa kuchukua pembetatu iliyo sawa XYZ ya urefu wa upande 2r1 na kuondoa pembetatu tatu za usawa FXA, BYC na DZE, za urefu wa upande r. Kwa hivyo eneo la ABCDEF nifracsqrt342r 12-frac3sqrt34 r2 fracsqrt34 r24r1.asyukubwa wa kitengo 4 cm;halisi r 0.5;jozi A, B, C, D, E, F, X, Y, Z;A r,0;B A 1,0;C B r dir 60;D C dir 120;E D -r,0;F E dir 240;X 0,0;Y B r,0;Z D r dir120;kuchoraA--B--C--D--E--F--mzunguko;kuchoraA--C--E--mzunguko;kuchoraF--X--A,dashed;kuchoraB--Y--C,dashed;kuchoraD--Z--E,dashed;leboA, A, S;leboB, B, S;leboC, C, NE;leboD, D, NE;leboE, E, NW;leboF, F, NW;leboX, X, SW;leboY, Y, SE;leboZ, Z, N;lebo1, A B2, S;lebor, B C2, SE;asyKulingana na hali ya awali,fracsqrt34r2r1 frac710leftfracsqrt34kulia r24r1.Kurahisisha hii hutupatia r2-6r1 0. Kulingana na Mifumo ya Vieta, tunajua kuwa jumla ya thamani inayowezekana ya r ni 6. 