<prompt> x0.3168. ni nini thamani ya xprod_n1infty1-fracx2n2 pi2sinx?Nadharia Husika: Chaguo za kukokotoa za Gamma ni dhana ya hisabati inayotumiwa katika uchanganuzi na ni kiendelezi cha chaguo la kukokotoa la kiakili hadi nambari changamano. Inaashiriwa na ishara Γn na inafafanuliwa kwa nambari zote changamano isipokuwa nambari kamili zisizo chanya. Chaguo za kukokotoa za Gamma ni muhimu sana katika maeneo mbalimbali ya hisabati, ikiwa ni pamoja na calculus, uchanganuzi changamano na nadharia ya nambari.Kazi ya Gamma inafafanuliwa kama:Γn tn-1 e-t dt, ambapo kiunganishi kinachukuliwa kutoka 0 hadi infinity, na n ni nambari changamano yenye sehemu chanya halisi.Kwa nambari kamili, chaguo la kukokotoa la Gamma lina sifa:Γn n-1!Hii ina maana kwamba chaguo za kukokotoa za Gamma hupunguzwa hadi utendakazi wa hali halisi kwa nambari kamili chanya. Kwa mfano, Γ5 4! 4 × 3 × 2 × 1 24.Kazi ya Gamma ina mali kadhaa muhimu, pamoja na:1. Mlinganyo wa kiutendaji: Γn1 nΓn, ambayo inahusiana na thamani za chaguo za kukokotoa za Gamma katika pointi mfululizo.2. Fomula ya kuakisi: Γ1-zΓz πsinπz, ambayo huunganisha thamani za chaguo za kukokotoa za Gamma katika pointi za ulinganifu kwa kuzingatia mstari Rez 12.3. Tabia isiyo na dalili: Kwa thamani kubwa za sehemu halisi ya n, Γn hufanya kama nen sqrt2πn.4. Kuendelea kwa uchanganuzi: Chaguo za kukokotoa za Gamma zinaweza kupanuliwa hadi kazi ya uchanganuzi kwenye ndege nzima changamano, isipokuwa nambari kamili zisizo chanya, ambapo ina nguzo rahisi.Chaguo za kukokotoa za Gamma hutumika katika matumizi mbalimbali ya hisabati, kama vile kutatua viambatanisho, kutathmini mfululizo usio na kikomo, na kusoma usambazaji wa nambari kuu. Pia inaonekana katika ufumbuzi wa matatizo mengi katika fizikia na uhandisi, hasa katika mazingira ya kazi maalum na usambazaji wa uwezekano.  <response>: 1.0 