<prompt> Mfuatano a_n umefafanuliwa kama ifuatavyo: a_1 1, a_2 frac12, naa_n frac1 - a_n - 12a_n - 2kwa n yote ge 3. Pata a_120.  <response>: Tunahesabu maneno machache ya kwanza:a_1 1, quad a_2 frac12, quad a_3 frac14, quad a_4 frac34, quad a_5 frac12, quad a_6 frac13, quad a_7 frac23, quad a_8 frac12.The mfuatano unaonekana kubadilika kuwa frac12. Kwa kweli, kila muhula wa tatu unaonekana kuwa frac12. Kwa hivyo tunaweza kufafanua mfuatano mpya b_n ambapo b_n 2a_n - 1. Kisha a_n fracb_n 12. Kubadilisha, tunapatafracb_n 12 frac1 - frac1 b_n - 122 cdot frac1 b_n - 2 2.Hii hurahisishab_n -fracb_n - 1 b_n - 2b_n - 2 1.Kumbuka kwamba b_1 1, b_2 0, na b_3 -frac12.Tuseme b_n 0. Kishaanzaalignb_n 1 -fracb_n b_n - 1b_n - 1 1 -fracb_n - 1b_n - 1 1, b_n 2 -fracb_n 1 b_nb_n 1 -b_n 1 fracb_n - 1b_n - 1 1, b_n 3 -fracb_n 2 b_n 1b_n 1 1 0, b_n 4 -fracb_n 2b_n 2 1 fracb_n 11 - b_n 1 .endalignHii inatuambia kama b_n 0, basi b_n 3 0. Kwa hivyo, b_3m - 1 0 kwa m zote ge 1.Zaidi ya hayo, ikiwa b_n 1 -frac1k, basib_n 4 fracb_n 11 - b_n 1 frac-1k1 1k -frac 1k 1.Kwa hivyo, b_6 -frac13, b_9 -frac14, b_12 -frac 15, na kadhalika. Kwa ujumla,b_3m -frac1m 1.Kishaa_3m fracb_3m 12 frac-1m 1 12 fracm2m 1 .Hasa,a_120 frac40240 1 frac2041. 