<prompt> Acha x na y ziwe nambari halisi kiasi kwamba fracsin xsin y 3 na fraccos xcos y frac12. Tafuta thamani yafracsin 2xsin 2y fraccos 2xcos 2y.  <response>: Tutachunguza neno la kwanza katika usemi tunaotaka kutathmini, fracsin 2xsin 2y, tofauti na muhula wa pili, fraccos 2xcos 2y. Kwa kutumia kitambulisho sin 2theta 2sinthetacostheta, tuna frac2sin x cos x2sin y cos y frac sin x cos xsin y cos y fracsin xsin ycdotfraccos xcos y3cdotfrac1 2 frac32.Acha mlinganyo fracsin xsin y 3 uwe mlinganyo 1, na uruhusu mlinganyo fraccos x cos y frac12 kuwa mlinganyo 2. Kutumia kitambulisho sin2theta cos2theta 1, tutavuka kuzidisha mlinganyo wa 1 kwa sin y na kuzidisha mlinganyo. 2 kwa cos y. Equation 1 kisha inakuwa sin x 3sin y. Equation 2 kisha inakuwa cos x frac12 cos y. Tunaweza mraba milinganyo yote inayotokana na kulinganisha LHS inayotokana na RHS inayotokana na kupata 1 9sin2 y frac14 cos2 y.Tukitumia kitambulisho cos2 y 1 - sin2 y, tunaweza kubadilisha 1 9sin2 y frac14 cos2 y ndani ya 1 9sin2 y frac14 - frac14 sin2 y.Kupanga upya , tunapata frac34 frac354 sin2 y . Kwa hivyo, sin2 y frac335. Squaring Equation 1 inayoongoza kwa sin2 x 9sin2 y, tunaweza kutatua kwa sin2 x kama ifuatavyo: sin2 x 9leftfrac 335kulia frac2735.Kwa kutumia kitambulisho cos 2theta 1 - 2sin2theta, tunaweza kutatua kwa frac cos 2xcos 2y:anzaaligncos 2x 1 - 2sin2 x 1 - 2cdotfrac2735 1 - frac5435 -frac1935, cos 2y 1 - 2sin2 y 1 - 2cdotfrac335 1 - frac635 frac2935.endalignKwa hivyo, fraccos 2xcos 2y frac-19352935 -frac1929.Hatimaye,fracsin 2xsin 2y fraccos 2xcos 2y frac32 left-frac1929 kulia frac 4958. 