<prompt> Nambari kubwa sana x ni sawa na 2233445566778899. Ni nambari gani ndogo kabisa chanya ambayo, ikizidishwa na x, hutoa bidhaa ambayo ni mraba kamili?  <response>: Ninajua kuwa mraba kamili ni nambari inayoweza kuandikwa kama mraba wa nambari kamili, kama 422 au 2552. Ili kupata nambari inayofanya x kuwa mraba kamili, ninahitaji kuangalia uainishaji mkuu wa x, kwa sababu hiyo itaniambia ni ngapi kati ya kila sababu kuu x ina. Kwa mfano, 222mara 2, ambayo tayari ni bidhaa ya awali. 333mara 3mara 3, ambayo pia ni bidhaa ya awali. Lakini 444mara 4mara 4mara 4, na 42t2, kwa hivyo ninaweza kuandika hii upya kama 28. Kwa kutumia njia hii, ninaweza kuandika upya kila neno kwa x kama bidhaa ya matoleo ya awali yaliyoinuliwa kwa nguvu fulani. Ninapata: x2233445566778899223322451521mara 316717238329 Ili kurahisisha usemi huu, ninaweza kutumia kanuni za kielezi zinazosema abc abc na abacabc. Napata: x223322451521mara 31671723 832922332855263677224318 Sasa ninaweza kuchanganya masharti ambayo yana msingi sawa, kwa kutumia kanuni abacabc. Ninapata: x223328552636772243182286243 361855772403275577 Huu ndio ubainishaji mkuu wa x. Sasa naweza kuona ni ngapi kati ya kila sababu kuu x ina. Ili x iwe mraba kamili, kila kipengele kikuu lazima kiwe na nguvu sawa, kwa sababu hiyo inamaanisha inaweza kuandikwa kama mraba wa nambari kamili. Kwa mfano, 2402202, kwa hivyo hiyo ni nzuri. Lakini 327 sio hata, kwa hivyo hilo ni tatizo. Ili kufanya 327 sawa, ninahitaji kuzidisha x kwa 3 nyingine, ili nguvu ya 3 iwe 3283142. Vile vile, ninahitaji kuzidisha x kwa 5 nyingine na 7 nyingine, ili nguvu za 5 na 7 ziwe 56532 na 7874 2. Kwa hivyo nambari ndogo kabisa chanya inayofanya x kuwa mraba kamili ni 3mara 5mara 7105. 