<prompt> Makadirio ya beginpmatrix 2 y -5 mwishopmatrix kwenye beginpmatrix 1 -2 1 endpmatrix nifrac56 anzapmatrix 1 -2 1 endpmatrix.Tafuta y.  <response>: Ili kupata makadirio ya vekta vecu kwenye vekta nyingine vecv, naweza kutumia fomula.textproj_vecvvecu fracvecu cdot vecvvecv cdot vecv vecv,ambapo vecu cdot vecv ni bidhaa ya nukta ya vekta mbili. Katika tatizo hili, nina vecu anzapmatrix 2 y -5 endpmatrix na vecv anzapmatrix 1 -2 1 mwishopmatrix. Ninajua pia kuwa makadirio ni frac56 beginpmatrix 1 -2 1 endpmatrix. Ili kupata y, naweza kusawazisha fomula ya makadirio na thamani iliyotolewa na kutatua y. Kuchomeka maadili ya vecu na vecv kwenye fomula, napatamaandishiproj_vecvvecu fracanzapmatrix 2 y -5 mwishopmatrix cdot anzapmatrix 1 -2 1 mwishopmatrixanzapmatrix 1 -2 1 mwishopmatrix cdot anzapmatrix 1 -2 1 mwisho pmatrix anzapmatrix 1 -2 1 mwishopmatrix. Kurahisisha bidhaa za nukta, napatatextproj_vecvvecu frac2 - 2y - 51 4 1 anzapmatrix 1 -2 1 endpmatrix frac-3 - 2y6 anzapmatrix 1 -2 1 endpmatrix. Kusawazisha hii na thamani iliyotolewa ya frac5 6 anzapmatrix 1 -2 1 endpmatrix, napatafrac-3 - 2y6 anzapmatrix 1 -2 1 endpmatrix frac56 anzapmatrix 1 -2 1 mwishopmatrix. Hii ina maana kwamba vipengele vinavyolingana vya vekta mbili lazima ziwe sawa, kwa hivyo ninaweza kusanidi milinganyo mitatu:frac-3 - 2y6 frac56,frac6 4y6 frac-106,frac-3 - 2y6 frac56. Milinganyo ya kwanza na ya tatu ni sawa, kwa hivyo ninahitaji tu kutatua mojawapo. Ninaweza kuzidisha pande zote mbili kwa 6 na kuongeza 3 kupata-2y 8 inamaanisha y -4. Mlinganyo wa pili unalingana na thamani hii ya y, kwa hivyo nimepata jibu sahihi. 