<prompt> Pata jumla ya mizizi halisi ya x4 - 4x - 1 0.  <response>: Tunatafuta uchanganuzi wa x4 - 4x - 1 wa fomu x2 ax bx2 cx d. Hivyo,x4 a c x3 ac b d x2 tangazo bc x bd x4 - 4x - 1.Kulingana na vigawo, tunapataanzaaligna c 0, ac b d 0, tangazo bc -4, bd -1.endalignKutoka mlingano wa kwanza, c -a. Kubadilisha, tunapataanzaalign-a2 b d 0, tangazo - ab -4, bd -1.endalignKisha b d a2 na b - d frac4a, hivyo b fraca3 42a na d fraca3 - 42a. Kwa hivyo,fraca3 4a3 - 44a2 -1.Hii hurahisisha hadi a6 4a2 - 16 0. Mambo haya kamaa2 - 2a4 2a2 8 0,ili tuweze kuchukua a sqrt2. Kisha b 1 sqrt2 , c -sqrt2, na d 1 - sqrt2, hivyox4 - 4x - 1 x2 x sqrt2 1 sqrt2x2 - x sqrt2 1 - sqrt2 .Kuangalia wabaguzi, tunapata kwamba kipengele cha pili pekee cha quadratic ndicho kilicho na mizizi halisi, kwa hivyo jumla ya mizizi halisi ni sqrt2. 