<prompt> Tafuta idadi ya jozi zilizoagizwa za nambari halisi a,b kiasi kwamba a bi2002 a - bi.  <response>: Hili ni tatizo linalohusisha nambari changamano na nguvu zao. Ili kulitatua, nitajaribu kuandika upya a bi2002 kwa njia rahisi zaidi kwa kutumia uwakilishi wa polar wa nambari changamano. Nambari yoyote changamano z a bi inaweza kuandikwa kama z r ei theta, ambapo r ni moduli au thamani kamili ya z, na theta ni hoja au pembe ya z katika ndege changamano. Ili kupata r, ninaweza kutumia nadharia ya Pythagorean: r sqrta2 b2. Ili kupata theta, naweza kutumia kitendakazi kinyume cha tangent: theta tan-1 fracba. ya tahadhari Hata hivyo, sina budi kuwa mwangalifu na ishara na roboduara ya theta, kwani tan-1 inatoa tu thamani kati ya -fracpi2 na fracpi2. Kwa mfano, ikiwa a 0 na b 0, basi theta iko katika roboduara ya nne, kwa hivyo sina budi kuongeza 2pi kwa thamani ya tan-1 fracba. Vile vile, ikiwa a 0 na b 0, basi theta iko katika roboduara ya tatu, kwa hivyo sina budi kuongeza pi kwa thamani ya tan-1 frac ba. Ikiwa a 0 na b 0, basi theta iko katika roboduara ya pili, kwa hivyo sina budi kuongeza pi kwa thamani ya tan-1 fracb a. Ikiwa a 0 na b neq 0, basi theta ni fracpi2 au -fracpi2, kulingana na ishara. ya b . Ikiwa a neq 0 na b 0, basi theta ni 0 au pi, kulingana na ishara ya a. Ikiwa a 0 na b 0, basi theta haijafafanuliwa, lakini katika hali hiyo z 0 na tatizo ni ndogo. Nikiwa na r na theta, ninaweza kutumia mali ambayo r ei thetan rn ei n theta kwa nambari yoyote n. Hii ina maana kwamba a bi2002 r2002 ei 2002 theta. Ninataka hii iwe sawa na a - bi r e-i theta. Hii ina maana kwamba r2002 r na ei 2002 theta e-i theta. Mlinganyo wa kwanza hunipa thamani mbili zinazowezekana kwa r: r 0 au r 1. Ikiwa r 0, basi a 0 na b 0, ambayo ni suluhisho moja. Ikiwa r 1, basi a2 b2 1, ambayo ni mlingano wa mduara wa kitengo. Mlinganyo wa pili hunipa sharti la theta: 2002 theta - theta 2kpi, ambapo k ni nambari yoyote. Hii hurahisisha hadi 2003 theta 2kpi, au theta frac2kpi2003. Hii ina maana kwamba theta inaweza kuchukua thamani yoyote ambayo ni mgawo wa frac2pi2003. Kwa kuwa theta ni kati ya 0 na 2pi, kuna thamani zinazowezekana 2003 za theta. Kwa kila thamani ya theta, kuna thamani inayolingana ya a na b inayotosheleza a2 b2 1 na theta tan-1 frac ba. Kwa hivyo, kuna 2003 zilizoagizwa jozi za nambari halisi a,b ambazo zinakidhi mlinganyo uliotolewa, pamoja na moja zaidi kwa 0,0. Jumla ya idadi ya suluhisho ni 2004. 