<prompt> Amua idadi ya suluhisho kwa2dhambi3 x - 5 dhambi2 x 2 sin x 0katika safu 0 le x le 2 pi.  <response>: Ninagundua kuwa equation hii inahusisha tu nguvu za sin x, kwa hivyo ninashangaa ikiwa naweza kuizingatia kwa njia fulani. Ninaona kwamba sin x ni kipengele cha kawaida cha maneno yote, kwa hivyo ninaweza kuiondoa: sin x 2sin2 x - 5 sin x 2 0. Sasa Nina bidhaa ya mambo mawili ambayo ni sawa na sifuri, kwa hivyo ama sin x 0 au 2sin2 x - 5 sin x 2 0. Nitasuluhisha kwa kila sababu kando na kuona ni suluhisho gani ninapata. Ili kutatua sin x 0, nakumbuka kuwa sin x ni sifuri wakati x ni nyingi ya pi, kwa hivyo suluhisho katika safu uliyopewa ni x 0, pi, 2 pi. Ili kutatua 2sin2 x - 5 sin x 2 0, ninagundua kuwa hii ni hesabu ya quadratic katika sin x, kwa hivyo ninaweza kujaribu kutumia fomula ya quadratic. Niliruhusu u sin x na kuandika 2u2 - 5u 2 0. Kisha, kwa fomula ya quadratic, u frac5 pm sqrt25 - 16 4 frac5 pm 34 frac12 text au 2. Hata hivyo, ninatambua kwamba u sin x haiwezi kamwe kuwa 2, kwa kuwa kazi ya sine ni kati ya -1 hadi 1, kwa hivyo mimi hutupa suluhisho hilo. Hiyo inamaanisha u frac12 ndilo suluhu sahihi la kipengele hiki. Ili kupata x, ninahitaji kutatua sin x frac12. Nakumbuka kwamba sin x ni chanya na ni sawa na frac12 wakati x iko katika roboduara ya kwanza au ya pili, na kwamba pembe ya marejeleo ni fracpi6 . Kwa hivyo, suluhu katika safu uliyopewa ni x fracpi6 au x frac5 pi6. Kwa hivyo, jumla ya idadi ya masuluhisho ya mlingano asilia ni 5, kwa kuwa nina x 0, pi, 2 pi, fracpi6, frac5 pi6 . 