<prompt> Katika kundi la watu tisa kila mtu anapeana mikono na watu wawili haswa kutoka kwenye kikundi. Acha N iwe nambari ya njia za kupeana mkono huku kunaweza kutokea. Fikiria mipango miwili ya kupeana mikono tofauti ikiwa na tu ikiwa angalau watu wawili wanaopeana mikono chini ya mpango mmoja hawapeani mikono chini ya mpangilio mwingine. Tafuta salio wakati N imegawanywa kwa 1000.  <response>: Kwa kuzingatia kwamba kila mtu anapeana mikono na watu wawili, tunaweza kuona haya yote kupitia nadharia ya grafu kama pete. Hii itaigawanya katika sehemu nne: pete tatu tatu, pete moja tatu na moja pete sita, moja pete nne na moja pete tano, na moja pete tisa. Kesi nyingine zote zinazofikia tisa hazitafanya kazi, kwa kuwa zina angalau pete moja ya pointi mbili au chache, ambayo haikidhi masharti ya kupeana mikono ya tatizo.Uchunguzi wa 1: Ili kuunda vikundi vyetu vya watu watatu, kuna dfracdbinom93dbinom63dbinom333!. Kwa ujumla, idadi ya njia ambazo tunaweza kupanga watu walio ndani ya pete kuhesabu ipasavyo ni dfracn-1!2, kwa kuwa kuna n-1! njia za kupanga vitu katika mduara, halafu hatutaki kuzingatia tafakari kama vyombo tofauti. Kwa hivyo, kila moja ya kesi tatu ina dfrac3-1!21 mipangilio. Kwa hivyo, kwa kesi hii, kuna leftdfracdbinom93dbinom63dbinom333!kulia1 3280Kesi ya 2: Kwa tatu na sita, kuna dbinom9684 seti za pete. Kwa shirika ndani ya pete, kama hapo awali, kuna njia moja tu ya kupanga pete ya tatu. Kwa sita, kuna dfrac6-1!260. Hii inamaanisha kuwa kuna 841605040 mipango.Kesi ya 3: Kwa nne na tano, kuna dbinom95126 seti za pete. Ndani ya tano, kuna dfrac4!212, na kati ya hizo nne kuna dfrac3!23 mipangilio. Hii inamaanisha kuwa jumla ni 1261234536.Kesi ya 4: Kwa vipochi tisa, kuna dbinom991 mpangilio wa pete. Ndani yake, kuna dfrac8!220160 mipangilio.Kwa muhtasari wa kesi, tuna 280504045362016030016 to 16. 