<prompt> Ni nambari ngapi tofauti za tarakimu nne zinaweza kuundwa kwa kupanga tarakimu nne mwaka wa 2004?  <response>: Ninataka kuhesabu ni njia ngapi ninaweza kupanga tarakimu 2, 0, 0, na 4 ili kuunda nambari ya tarakimu nne. Mpangilio wa nambari ni muhimu, kwa hivyo nitatumia fomula ya vibali. Fomula ya vibali inasema kwamba idadi ya njia za kupanga vitu n, ambavyo r vinafanana, ni n!r!s!..., ambapo r, s, ... ni nambari za vitu sawa vya kila moja. aina. Katika kesi hii, n ni 4, kwa kuwa nina tarakimu nne za kupanga. Nina nambari mbili zinazofanana za aina 0, kwa hivyo r ni 2. Sina nambari zingine zinazofanana, kwa hivyo s, ... zote ni sifuri. Kwa hiyo, fomula ya vibali inanipa 4!2!0!... 4!2! 242 12. Hii ina maana kwamba kuna njia 12 za kupanga tarakimu 2, 0, 0. , na 4 kwa mpangilio wowote. Hata hivyo, baadhi ya mipangilio hii haitakuwa halali tarakimu nne, kwa sababu wataanza na sifuri. Ninataka kuepuka kesi hizo, kwa hivyo nitaziondoa kutoka kwa jumla. Ni mipangilio ngapi huanza na sifuri? Naam, nikirekebisha tarakimu ya kwanza kama sifuri, basi nina tarakimu tatu zilizobaki za kupanga: 2, 0, na 4. Hii ni sawa na tatizo la awali, lakini kwa tarakimu moja ndogo. Ninaweza kutumia fomula sawa ya vibali, lakini kwa n 3 na r 1, kwa kuwa nina tarakimu moja tu inayofanana ya aina 0. Hii inanipa 3!1!0!... 3!1 ! 61 6. Kwa hiyo kuna mipangilio 6 inayoanza na sifuri, na ninataka kuwatenga. Kwa hivyo, jibu la mwisho ni 12 - 6 6. Kuna nambari 6 tofauti za tarakimu nne ambazo zinaweza kuundwa kwa kupanga tarakimu nne mwaka 2004. 