<prompt> Kokotoa thamani ya x kama hiyoleft1frac12frac14frac18cdotsrightleft1-frac12 frac14-frac18cdotsright1frac1xfrac1x2frac 1x3cdots.  <response>: Nakumbuka kuwa jumla ya mfululizo wa kijiometri usio na kikomo wenye muhula wa kwanza a na uwiano wa kawaida r ni fraca1-r, mradi r1. Kwa hivyo, mfululizo wa kwanza upande wa kushoto ni jumla tu ya mfululizo wa kijiometri na a1 na rfrac12, ambayo ni frac11- frac122. Vile vile, mfululizo wa pili upande wa kushoto ni jumla ya mfululizo wa kijiometri na a1 na r-frac12, ambayo ni frac11 frac12frac23. Kwa hivyo, upande wa kushoto ni bidhaa ya 2 na frac23, ambayo ni frac43. Kwa hivyo, ninaweza kurahisisha mlinganyo kuwa frac431frac1xfrac1x2frac1x3 cdots. Sasa, ninagundua kuwa upande wa kulia pia ni jumla ya mfululizo wa kijiometri usio na kikomo, lakini wakati huu na a1 na rfrac1x. Kwa hivyo, ninaweza kutumia fomula sawa kupata frac43frac11-frac1x, mradi frac1101 x1. Kuzidisha mtambuka, napata 4-4x3, ambayo hurahisisha hadi 4x1. Kutatua kwa x, napata x4. Hii inaeleweka, kwa sababu ikiwa x4, basi frac1xfrac141, na mfululizo hukutana. Kwa hivyo, thamani ya x ni 4. 