<prompt> Acha a,b, na c ziwe nambari halisi chanya. Pata thamani ya chini yafracab fracbc fracca.  <response>: Tatizo hili linaonekana kama linahusisha aljebra na ukosefu wa usawa. Ninashangaa ikiwa ninaweza kutumia hesabu ya maana ya kijiometri AM-GM usawa, ambayo inasema kwamba kwa nambari zozote zisizo hasi x_1, x_2, dots, x_n, wastani wao kila wakati huwa mkubwa kuliko au sawa na jiometri. maana yao, yaani, fracx_1 x_2 cdots x_nn geq sqrtnx_1 x_2 cdots x_n. Ukosefu huu wa usawa ni muhimu kwa sababu unatoa hali ya chini zaidi. imefungwa kwa wastani wa seti yoyote ya nambari, na inakuwa usawa wakati nambari zote ni sawa. Labda naweza kutumia usawa wa AM-GM kwa sehemu tatu kwenye tatizo. Nikiruhusu x_1 fracab, x_2 fracbc, na x_3 fracca, basi nitapata frac x_1 x_2 x_33 geq sqrt3x_1 x_2 x_3. Upande wa kulia wa ukosefu huu wa usawa hurahisisha sqrt3fracab cdot fracbc cdot fracca sqrt31 1. Kwa hivyo nina fracx_1 x_2 x_3 3 geq 1. Nikizidisha pande zote mbili kwa 3, ninapata x_1 x_2 x_3 geq 3. Lakini huu ndio usemi ambao ninataka kupunguza, kwa hivyo nimepata mpaka wa chini zaidi kwake. . Swali ni je, ninaweza kufikia kiwango hiki cha chini? Hiyo ni, ninaweza kupata thamani za a, b, na c ambazo hufanya x_1 x_2 x_3 3? Kweli, usawa wa AM-GM unakuwa usawa wakati nambari zote ni sawa, kwa hivyo ninaweza kujaribu kutengeneza x_1 x_2 x_3 1. Hii inamaanisha ninahitaji kuwa na fracab fracbc fracca 1, ambayo inamaanisha kuwa a b c. Kwa hivyo nikichagua thamani yoyote chanya ya a, b, na c, mradi tu ziko sawa, ninapata thamani ya chini zaidi ya usemi. Kwa mfano, ikiwa a b c 1, basi fracab fracbc fracca 1 1 1 3 . Kwa hiyo, thamani ya chini ya kujieleza ni 3, na inafanikiwa wakati a b c . 