<prompt> Tuseme z ni nambari changamano ambayo z4 frac645-frac485i. Tafuta z.  <response>: Ili kupata moduli au thamani kamili ya nambari changamano, ninahitaji kuiandika katika fomu z a bi, ambapo a na b ni nambari halisi, kisha nitumie fomula z sqrta2 b2. Ili kufanya hivyo, kwanza ninahitaji kurahisisha usemi wa z4. Ninagundua kuwa ninaweza kubainisha frac165 kutoka kwa masharti yote mawili, kwa hivyo nipate z4 frac1654-3i. Sasa naweza kutumia mali ambayo zw zw kwa nambari zozote changamano z na w, kuandika z4 frac1654-3i. Ninaweza kutathmini kwa urahisi mambo haya mawili tofauti. Jambo la kwanza ni nambari halisi chanya, kwa hivyo frac165 frac165. Jambo la pili ni nambari changamano katika fomu a bi, kwa hivyo ninaweza kutumia fomula a bi sqrta2 b2. Kuchomeka a 4 na b -3, napata 4-3i sqrt42 -32 sqrt25 5. Kwa hivyo, z4 frac1654-3i frac165 cdot 5 16. Sasa nina z4 16, lakini ninataka kupata z. Ninaweza kutumia mali ambayo zn zn kwa nambari yoyote changamano z na nambari chanya n, ili kuandika z4 z4. Nikichukua mzizi wa nne wa pande zote mbili, napata z sqrt4z4. Inachomeka z4 16, napata z sqrt416. Ninaweza kurahisisha hili kwa kubainisha kuwa 16 24, kwa hivyo sqrt416 sqrt424 2. Kwa hivyo, z 2. 