<prompt> Acha mathbfA anzepmatrix 1 2 3 4 endpmatrix na mathbfB anzapmatrix a b c d mwisho pmatrix iwe matiti mawili ambayo mathbfA mathbfB mathbfB mathbfA. Ikichukua 3b neq c, pata fraca - d c - 3b.  <response>: Ili kufanya hivyo, nitatumia ukweli kwamba mathbfA mathbfB mathbfB mathbfA. Hii ina maana kwamba bidhaa ya mathbfA na mathbfB ni ya kubadilishana, kwa hivyo ninaweza kuzizidisha kwa mpangilio wowote na kupata matokeo sawa. Acha niandike bidhaa kulingana na maingizo ya mathbfA na mathbfB. Nina mathbfA mathbfB beginpmatrix 1 2 3 4 mwishopmatrix anzapmatrix a b c d mwishopmatrix anzapmatrix a 2c b 2d 3a 4c 3b 4d endpmatrix na mathbfB mathbfA anzapmatrix a b c d endpmatrix anzapmatrix 1 2 3 4 endpmatrix anzapmatrix a 3b 2a 4b c 3d 2c 4d endpmatrix. Kwa kuwa bidhaa hizi ni sawa, ninaweza kusawazisha maingizo yanayolingana na kupata mfumo. ya milinganyo minne: a 2c a 3b, b 2d 2a 4b, 3a 4c c 3d, 3b 4d 2c 4d. Ninaweza kurahisisha milinganyo hii kwa kupunguza maneno ya kawaida kwenye zote mbili. pande: 2c - 3b 0, 2d - 2a - 3b 0, 3a 3c - 3d 0, c - d 0. Ninaona kwamba mlinganyo wa mwisho unamaanisha kuwa c d, ili niweze kuchukua nafasi kwamba kwenye milinganyo mingine na upate: 2c - 3b 0, 2c - 2a - 3b 0, 3a 3c - 3c 0. Mlinganyo wa mwisho unamaanisha kuwa a 0, ili niweze kubadilisha hiyo kwenye milinganyo mingine na upate: 2c - 3b 0, 2c - 3b 0. Hizi ni equation sawa, kwa hiyo ninahitaji tu kutatua mmoja wao. Ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa 2 na kupata: c - frac32 b 0. Ninaweza kupanga upya mlinganyo huu na kupata: c frac32 b. Nakumbuka kwamba pia nina c d, ili niweze kubadilisha hiyo na kupata: d frac32 b. Sasa nina misemo ya a, c, na d kulingana na b. Ninaweza kuzichomeka kwenye sehemu ninayotaka kupata na kupata: fraca - dc - 3b frac0 - frac32 bfrac 32 b - 3b frac-frac32 b-frac32 b 1. 