<prompt> Ikiwa ei alpha frac35 frac45 i na ei beta -frac1213 frac513 i, kisha tafuta cos alpha - beta.  <response>: Ili kutatua tatizo hili, nitatumia ukweli kwamba ei theta cos theta i sin theta kwa pembe yoyote theta. Hii ina maana kwamba naweza kuandika ei alpha cos alpha i sin alpha na ei beta cos beta i sin beta. Kisha, ninaweza kusawazisha sehemu halisi na za kuwaziwa za e i alpha na ei beta na thamani zilizotolewa. Kwa ei alpha, nina cos alpha frac35 na sin alpha frac45. Kwa e i beta, Nina cos beta -frac1213 na sin beta frac513. Sasa, nataka kupata cos alpha - beta. Nakumbuka kwamba kuna fomula ya cos A - B kulingana na cos A, cos B, sin A, na sin B. Fomula ni cos A - B cos A cos B sin A sin B. Ninatumia fomula hii kwa cos alpha - beta, kwa kutumia maadili niliyopata cos alpha, cos beta, sin alpha, na sin beta. Napata cos alpha - beta cos alpha cos beta sin alpha sin beta frac35 cdot -frac1213 frac45 cdot frac513. Ninarahisisha usemi huu kwa kuzidisha nambari na madhehebu. Ninapata cos alpha - beta -frac3665 frac2065 -frac1665. 