<prompt> Tuseme t ni nambari kamili kiasi kwamba mathoptextlcm12,t312t2. Ni thamani gani ndogo kabisa inayowezekana kwa t?  <response>: Lcm ya nambari mbili ndio kizidishio chanya chanya kati ya nambari zote mbili. Ili kurahisisha usemi, ninaweza kutumia mali ambayo mathoptextlcma,bfracabgcda,b, ambapo gcda, b ndicho kigawanyo kikuu cha kawaida cha a na b. Kwa hivyo ninaweza kuandika tena mlinganyo kama leftfrac12tgcd12,tright312t2. Ili kuondoa sehemu, naweza kuzidisha pande zote mbili kwa gcd12,t3, ambayo inatoa 12t3gcd12,t312t2. Ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa 12t2, ambayo inatoa 12tgcd12,t3. Sasa ninahitaji kupata thamani ya t ambayo hufanya equation hii kuwa kweli. Ninajua kuwa gcd12,t lazima iwe sababu ya 12 na t. Sababu zinazowezekana za 12 ni 1,2,3,4,6,12. Ninaweza kujaribu kila moja ya sababu hizi na kuona ikiwa zinakidhi equation. Ikiwa gcd12,t1, basi 12t13, jambo ambalo haliwezekani, kwani t lazima liwe chanya. Ikiwa gcd12,t2, basi 12t238, ambayo inamaanisha tfrac23, ambayo si nambari kamili. Ikiwa gcd12,t3, basi 12t3327, ambayo inamaanisha tfrac94, ambayo si nambari kamili. Ikiwa gcd12,t4, basi 12t4364, ambayo inamaanisha tfrac163, ambayo si nambari kamili. Ikiwa gcd12,t6, basi 12t63216, ambayo inamaanisha t18, ambayo ni nambari kamili. Ikiwa gcd12,t12, basi 12t1231728, ambayo inamaanisha t144, ambayo pia ni nambari kamili. Walakini, ninataka dhamana ndogo kabisa ya t, kwa hivyo ninachagua t18. 