<prompt> Ni ngapi kati ya vifaa kutoka kwa 1! kwa 100! zinagawanywa na 9?  <response>: Kwa hivyo nataka kuhesabu ni viwanda ngapi vina angalau sababu mbili za 3 ndani yao. Ninaweza kutumia utaftaji mkuu wa kila kipengele kupata hii. kwa mfano, 6! 1 2 3 4 5 6 24 32 5 1. Hii ina mambo mawili ya 3, kwa hiyo inagawanywa na 9. Lakini 5! 1 2 3 4 5 23 3 5 1. Hii ina kipengele kimoja tu cha 3, hivyo haigawanyiki na 9. Kwa mfano, e_3 10 sakafu 103 sakafu109 3 1 4. Hii ina maana kwamba 10! ina mambo manne ya 3 katika factorization yake kuu. Kwa hivyo ninataka kupata n ndogo zaidi kwamba e_3n 2. Ninaweza kutumia kikokotoo au jedwali kujaribu baadhi ya maadili ya n. Ninaona kwamba e_36 2, lakini e_35 1. Kwa hivyo 6 ndio n ndogo zaidi inayofanya kazi. Hii ina maana kwamba 6! ni factorial ya kwanza ambayo inaweza kugawanywa na 9. Kisha, kila factorial baada ya hapo pia itakuwa divisible kwa 9, kwa sababu watakuwa na sababu zaidi ya 3. Hivyo jibu ni: 100 - 6 1 95. Kuna 95 factorial kutoka. 1! kwa 100! ambazo zinagawanywa na 9. 