<prompt> Pata nambari kamili chanya k ambayo mgawo wake wa xk katika upanuzi wa x 350 umekuzwa.  <response>: Acha c_k iashiria mgawo wa xk katika upanuzi wa x 350, hivyoc_k binom50k 350 - k.Kishac_k 1 binom50k 1 350 - k - 1 binom50k 1 349 - k.The uwiano wa coefficients hizi nianzaalignfracc_k 1c_k fracbinom50k 1 349 - kbinom50k 350 - k fracfrac50!k 1! 49 - k!frac50!k! 50 - k! cdot 3 frack! 50 - k!3 k 1! 49 - k! frac50 - k3k 1.endalignZingatia ukosefu wa usawafrac50 - k3k 1 ge 1.Hii ni sawa na 50 - k ge 3k 1 3k 3. Kisha 4k le 47 , au k le frac474. Kwa kuwa k ni nambari kamili, hii ni sawa na k le 11.Hii inamaanisha kuwa mlolongo c_0, c_1, c_2, dots, c_11, c_12 unaongezeka, lakini mlolongo c_12, c_ 13, c_14, dots inapungua. Kwa hivyo, c_k inaongezwa kwa k 12. 