<prompt> Ninajaribu kutekeleza muundo wa mpangilio uliopunguzwa wa POD galerkin kwa uchanganuzi wa kipengee. Unaweza kueleza kwa undani mbinu? kuanzia na ufafanuzi wa bidhaa ya scalar na tumbo la wingi, kisha kuelezea POD na hatimaye kuelezea jinsi ya kupanga waendeshaji wa mstari na wasio na mstari katika msingi uliopunguzwa.  <response>: Muundo Sahihi wa Mtengano wa Orthogonal POD Galerkin Reduced Order Model ROM ni mbinu maarufu ya kupunguza utata wa kimahesabu wa uchanganuzi wa vipengele vyenye kikomo. Ni muhimu sana kwa kutatua milinganyo ya sehemu ya parametrized PDE ambayo inahitaji uigaji nyingi.Hapa kuna maelezo ya kina ya mbinu:1. Bidhaa ya scalar yenye matrix ya wingi:Katika mbinu ya kipengele cha mwisho FEM, matrix ya wingi M hutumiwa kuwakilisha jiometri na sifa za nyenzo za mfumo. Bidhaa ya scalar ya kazi mbili u na v, kwa heshima na matrix ya wingi, inafafanuliwa kama:u, v_M Ω ux M vx dxambapo Ω inawakilisha kikoa cha tatizo.2. Mtengano Sahihi wa Othogonal POD:POD ni mbinu inayotumiwa kutoa modi muhimu zaidi kutoka kwa mkusanyiko wa data, mara nyingi hupatikana kutokana na uigaji au majaribio ya uaminifu wa juu. Katika muktadha wa FEM, mkusanyiko wa data una vijipicha vya suluhisho kwa maadili tofauti ya vigezo.- Kusanya vijipicha vya suluhisho: Kwanza, suluhisha tatizo la uaminifu wa hali ya juu la FEM kwa thamani mbalimbali za vigezo na uhifadhi vijipicha vya suluhisho kwenye matrix U safu wima zinazowakilisha vijipicha.- Kokotoa muhtasari wa matrix: Kokotoa bidhaa ya matrix UT M U.- Tekeleza utunzi wa eigende: Kokotoa thamani za eigen na vienezaji vya eigenvekta za matriki ya muhtasari. Panga eigenvalues kwa mpangilio unaopungua, na eigenveekta zao zinazolingana huunda msingi wa POD.- Punguza msingi: Hifadhi eigenveekta za r za kwanza zinazolingana na thamani kubwa zaidi, ambapo r ndio kipimo kinachohitajika kilichopunguzwa.3. Kukadiria waendeshaji laini na zisizo za mstari kwa msingi uliopunguzwa:Kwa kuwa sasa tuna msingi wa POD, tunaweza kutayarisha waendeshaji wa mstari na wasio na mstari katika msingi uliopunguzwa ili kupata ROM.- Bainisha matrix ya msingi iliyopunguzwa: Acha Φ iwe matrix iliyo na modi za kwanza za r za POD kama safu wima.- Mradi opereta wa mstari: Kwa opereta wa mstari A, makadirio kwenye msingi uliopunguzwa hutolewa na A_r ΦT A Φ, ambapo A_r ni opereta iliyopunguzwa ya mstari.- Onyesha opereta isiyo ya mstari: Kwa opereta isiyo ya mstari Nu, makadirio kwenye msingi uliopunguzwa hutolewa na N_ru_r ΦT NΦ u_r, ambapo N_r ni opereta isiyo ya mstari iliyopunguzwa na u_r ni vector ya suluhisho iliyopunguzwa.Ukiwa na waendeshaji waliopunguzwa A_r na N_ru_r, sasa unaweza kutatua tatizo la mpangilio uliopunguzwa badala ya tatizo la awali la uaminifu wa juu. Tatizo la utaratibu uliopunguzwa ni wa gharama nafuu na linaweza kutatuliwa kwa maadili mbalimbali kwa ufanisi zaidi.Baada ya kutatua tatizo lililopunguzwa kwa ufumbuzi uliopunguzwa u_r, unaweza kuunda upya makadirio ya utaratibu kamili wa suluhisho kwa kutumia msingi uliopunguzwa: u Φ u_r.Kwa kufuata hatua hizi, unaweza kutekeleza ROM ya POD-Galerkin kwa uchanganuzi wa kipengee wenye kikomo ili kupunguza gharama ya hesabu inayohusishwa na kutatua tatizo kwa thamani nyingi za vigezo. 