<prompt> Juan, Carlos na Manu wanabadilishana kurusha sarafu kwa mpangilio wao. Wa kwanza kugeuza vichwa atashinda. Je, kuna uwezekano gani kwamba Manu atashinda? Eleza jibu lako kama sehemu ya kawaida.  <response>: Ili Manu ashinde kwa zamu yake ya kwanza, mfuatano wa mrengo utalazimika kuwa TTH, ambayo kuna uwezekano leftfrac12right3. Ili Manu ashinde kwenye zamu yake ya pili, mfuatano wa mizunguko utalazimika kuwa TTTH, ambayo kuna uwezekano leftfrac12right6. Tukiendelea, tunapata kwamba uwezekano kwamba Manu atashinda kwa zamu yake ya nth ni leftfrac12right3n. Uwezekano kwamba Manu atashinda ni jumla ya uwezekano huu, ambao ni frac123frac126frac129cdotsfracfrac123 1-frac123frac17, ambapo tumetumia fomula a1-r kwa jumla ya mfululizo usio na kikomo wa kijiometri ambao muhula wake wa kwanza ni a na ambao uwiano wake wa kawaida ni r. 