<prompt> Zingatia mlolongo uliofafanuliwa kwa kujirudia na u_1 a 0 nau_n 1 -frac1u_n 1kwa n ge 1. Express u_16 kulingana na a.  <response>: Ninagundua kuwa mlolongo unahusisha sehemu na ishara hasi, kwa hivyo ninashangaa ikiwa kuna muundo au mzunguko unaojirudia baada ya idadi fulani ya maneno. Ili kujaribu wazo hili, nitahesabu maneno machache ya kwanza ya mlolongo na kuona kinachotokea. Ninaanza na u_1 a. Kisha, kwa kutumia fomula ya kujirudi, ninapata u_2 -frac1a 1. Inayofuata, u_3 -frac1-frac 1a 1 1 fraca 11 - a - 1 -fraca 1a. Kisha, u_4 -frac1 -fraca 1a 1 fracaa 1 - a fraca1 a. Ninaona kwamba nilirejea kwenye a baada ya maneno manne, kwa hivyo ninashuku kuwa mlolongo unarudiwa na kipindi cha nne. Ili kuangalia hii, nitahesabu maneno machache zaidi na kuona ikiwa yanalingana na nne za kwanza. Ninapata u_5 -frac1a 1, u_6 -fraca 1a, u_7 a, u_8 -frac1a 1. Hakika, ninaona kwamba mfuatano huo unajirudia kwa kipindi cha nne, ili niweze kutumia ukweli huu kupata u_16. Kwa kuwa 16 ni kizidishio cha nne, najua kuwa u_16 itakuwa sawa na u_4, ambayo ni a. 