<prompt> Masharti mawili ya kwanza ya mfuatano ni a_1 1 na a_2 frac 1sqrt3. Kwa nge1, beginalign a_n 2 frac a_n a_n 11 - a_na_n 1. endaligna_2009 ni nini?  <response>: Kumbuka kufanana kwa urejeshaji kwa utambulisho wa kuongeza pembetan x y fractan x tan y1 - tan x tan y.Tunaweza kuchukua faida ya ufanano huu kama ifuatavyo: Acha f_1 3, f_2 2, na acha f_n f_n - 1 f_n - 2 kwa n yote ge 3. Hebu theta_n fracf_n pi12 . Kisha tan theta_1 tan fracpi4 1 na tan theta_2 tan fracpi6 frac1sqrt 3. Pia,anzaaligntan theta_n 2 tan theta_n 1 theta_n fractan theta_n 1 tan theta_n1 - tan theta_n tan theta_n 1.endalignKwa kuwa mfuatano a_n na tan theta_n una masharti yale yale ya awali, na urejeshaji sawa, unalingana.Kwa kuwa tan theta ni mara kwa mara na kipindi pi, kukokotoa masharti zaidi ya tan theta_n, inatosha kukokotoa f_n modulo 12:anzasafuccn f_n pmod12 line1 na 3 2 2 3 5 4 7 5 0 6 7 7 7 8 2 9 na 9 10 11 11 8 12 7 13 3 14 10 15 1 16 11 17 0 18 11 19 11 20 10 21 9 22 7 23 4 24 11 25 3 26 na 2mwishosafuKwa kuwa a_25 equiv a_1 pmod12 na a_26 equiv a_2 pmod12, mfuatano wa moduli ya 12 inakuwa ya mara kwa mara katika hatua hii, kwa kipindi cha 12.Kwa hiyo,a_2009 tan theta_2009 tan theta_5 0. 