<prompt> Seti ya mathcalS ya nambari kamili chanya ina sifa ifuatayo: kwa kila nambari kamili x katika mathcalS, maana ya hesabu ya seti ya thamani zilizopatikana kwa kufuta x kutoka hisabatiS ni nambari kamili. Ikizingatiwa kuwa 1 ni mali ya mathcalS na kwamba 2002 ndio kipengele kikubwa zaidi cha mathcalS, ni idadi gani kuu ya vipengele ambavyo mathcalS inaweza kuwa nayo?  <response>: Acha jumla ya nambari kamili katika mathcalS iwe N, na uruhusu ukubwa wa mathcalS uwe n1. Baada ya kipengele chochote x kuondolewa, tunapewa hiyo nN-x, kwa hivyo xequiv Npmodn. Kwa kuwa 1inmathcalS, Nequiv1pmodn, na vipengele vyote vinalingana na 1 mod n. Kwa kuwa ni nambari kamili chanya, kipengele kikubwa zaidi ni angalau n21, n1th nambari kamili chanya ya 1 mod n.Tumepewa pia kuwa mwanachama huyu mkubwa zaidi ni 2002, kwa hivyo 2002equiv1pmodn, na n20013cdot23cdot29. Pia, tuna n21le2002, kwa hivyo n45. Kipengele kikuu cha 2001 chini ya 45 ni 29, kwa hivyo n29 na n1 Rightarrow30 ndiyo kubwa zaidi iwezekanavyo. Hili linaweza kutekelezwa kwa mathcalS1,30,59,88,ldets,813,2002, kwa mfano. 