<prompt> Kwa nambari changamano z, hesabu thamani ya chini zaidiz 5 - 3i z - 7 2i.  <response>: Ninatambua shida hii kama ile inayohusisha fomula ya umbali wa nambari changamano. Nikiandika z x yi, ambapo x na y ni nambari halisi, basi z 5 - 3i z - 7 2i ni jumla ya umbali kutoka x,y hadi -5,3 na 7,-2 kwenye ndege changamano. Ninaweza kutumia usawa wa pembetatu kupata kikomo cha chini kwa jumla hii: z 5 - 3i z - 7 2i geq z 5 - 3i - z - 7 2i 12 - 5i. Ili kupata thamani kamili ya 12 - 5i, naweza kutumia nadharia ya Pythagorean: 12 - 5i sqrt122 52 sqrt169 13. Kwa hivyo thamani ya chini ya usemi ni 13, na hutokea wakati z iko kwenye sehemu ya laini inayounganisha -5, 3 na 7,-2 kwenye ndege tata. 