<prompt> Acha R iwe seti ya masalio yote yanayowezekana wakati idadi ya fomu 2n, n nambari kamili isiyo hasi, ikigawanywa na 1000. Acha S iwe jumla ya vipengele katika R. Tafuta salio wakati S imegawanywa na 1000.  <response>: Kumbuka kuwa x equiv y pmod1000 Leftrightarrow x equiv y pmod125 na x equiv y pmod8. Kwa hivyo ni lazima tupate nambari mbili kamili za i na j kiasi kwamba 2i equiv 2j pmod125 na 2i equiv 2j pmod8 na i neq j. Kumbuka kuwa i na j zitakuwa kubwa kuliko 2 kwa kuwa masalio ya 1, 2, 4 hayatawezekana baada ya 2 nambari zifuatazo zitakuwa sawia na 0 modulo 8 kila wakati. Kumbuka kuwa 2100equiv 1pmod125 angalia nadharia ya Euler na 20,21,22,ldot,299 zote ni modulo 125 mahususi ushahidi chini. Kwa hivyo, i 103 na j 3 ndizo nambari mbili kamili za kwanza kama vile 2i equiv 2j pmod1000. Kilichobaki ni kupata S katika mod 1000. Baada ya hesabu fulani:S 2021222324...2101 2102 2103- 1 sawa na 8 - 1 mod 1000 7.Ili kuonyesha kuwa 20, 21,ldots, 299 ni modulo 125 mahususi, chukulia kwa ajili ya kupingana kwamba sivyo. . Kisha, ni lazima tuwe na angalau moja ya 220equiv 1pmod125 au 250equiv 1pmod125. Hata hivyo, kwa kuandika 210equiv 25 - 1pmod125, tunaweza kuthibitisha kwa urahisi kwamba 220equiv -49pmod125 na 250equiv -1 pmod125, ikitupa ukinzani unaohitajika. 