<prompt> Chaguo za kukokotoa sinx na cosx ni za mara kwa mara na kipindi cha chini zaidi ni 2pi. Ni kipindi kipi kidogo zaidi cha chaguo za kukokotoa cossinx?  <response>: Ninataka kupata nambari ndogo chanya p vile cossinxp cossinx kwa x zote. Njia moja ya kukaribia hii ni kutumia ukweli kwamba cosx ni kazi sawa, ikimaanisha kuwa cos-x cosx kwa x zote. Hii inamaanisha kuwa cossinx cos-sinx kwa x zote, kwa hivyo naweza kuandika tena equation kama cos-sinxp cos-sinx. Sasa, naweza kutumia ukweli mwingine kuhusu cosx, ambayo ni kwamba ni ya mara kwa mara na kipindi 2pi, ikimaanisha kuwa cosx2pi cosx kwa wote. x. Hii inamaanisha kuwa cos-sinxp cos-sinx ikiwa na ikiwa tu -sinxp na -sinx hutofautiana kwa kizidishio cha 2pi. Kwa maneno mengine, ninahitaji kupata p ndogo kabisa ambayo -sinxp - -sinx 2pi k kwa nambari k na x zote. . Kurahisisha usemi, napata sinx - sinxp 2pi k. Sasa, naweza kutumia ukweli mwingine kuhusu sinx, ambayo ni kwamba ni ya mara kwa mara na kipindi 2pi, ikimaanisha kuwa sinx2pi sinx kwa wote. x. Hii inamaanisha kuwa sinx - sinxp ni ya mara kwa mara na kipindi 2pi, kumaanisha kwamba inarudia maadili sawa kila 2pi uniti ya x. Kwa hivyo, equation sinx - sinxp 2pi k inaweza tu kushikilia x zote ikiwa sinx - sinxp ni a utendakazi wa kudumu, huru na x. Hii ina maana kwamba sinx - sinxp lazima iwe sawa na 0 kwa x zote, kwani 2pi k inaweza tu kuwa sifuri wakati k0. Kwa hivyo, ninahitaji kupata p ndogo zaidi ambayo sinx - sinxp 0 kwa x zote. Ninaweza kutumia fomula ya kuongeza sine kupanua sinxp sinxcosp cosxsinp. Kisha, ninapata sinx1 - cosp - cosxsinp 0. Hii inamaanisha kuwa sinx1 - cosp cosxsinp kwa x zote. Ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa sinx, mradi sinx neq 0. Hii inanipa 1 - cosp cotxsinp. Sasa, naweza kuona kwamba upande wa kushoto ni wa kudumu, wakati upande wa kulia ni kazi ya x. Njia pekee ambayo wanaweza kuwa sawa kwa x zote ni ikiwa upande wa kulia pia ni wa kudumu, unaojitegemea x. Hii ina maana kwamba cotxsinp lazima iwe mara kwa mara kwa x zote, na kwa hivyo sinp lazima sifuri, kwani cotx sio mara kwa mara. Kwa hivyo, ninahitaji kupata p ndogo kabisa ambayo sinp 0. Ninajua kuwa sinx ni sifuri wakati x ni kizidisho cha pi, kwa hivyo chanya p ndogo kabisa inayotosheleza hii ni p pi. Kwa hivyo, muda mdogo zaidi wa kazi cossinx ni pi. 