<prompt> Onyesha kuwa hakuna chaguo za kukokotoa zinazoendelea h: R - R kiasi kwamba hhx ex kwa zote x katika R.  <response>: Tuseme kwa ajili ya kupingana kwamba kuna kazi inayoendelea h: R - R kiasi kwamba hhx ex kwa zote x katika R.Kwanza, tunadai kuwa h inaongezeka sana. Ili kuona hili, kumbuka kwamba ikiwa ha hb kwa baadhi b, basi hha hhb, ambayo ina maana ea eb na hivyo a b, kinzani. Kwa hiyo, h lazima iwe sindano moja kwa moja.Sasa, hebu tuzingatie mwendelezo wa h. Kwa kuwa h ni endelevu na inadunga, lazima iwe inaongezeka au ipunguze kabisa kwenye kikoa chake chote. Walakini, kwa kuwa hhx ex ni chanya kila wakati, inafuata kwamba hx 0 kwa wote x katika R. Kwa hivyo, h haiwezi kupungua kabisa, kwa hivyo lazima iongezeke kwa ukali.Ifuatayo, tutaonyesha kuwa h ina nukta maalum, i.e., kuna x0 hivi kwamba hx0 x0. Ili kuthibitisha hili, fikiria kazi gx hx - x. Kumbuka kuwa g ni endelevu kwa sababu h na chaguo za kukokotoa za utambulisho ni endelevu. Tuna:g0 h0 - 0 h0g1 h1 - 1Kwa kuwa hh0 e0 1, tunajua kwamba h0 0. Pia, kwa kuwa h inaongezeka sana, tuna h1 h0, hivyo h1 1. Hii ina maana kwamba g0 0 na g1 0. Kwa nadharia ya thamani ya kati, kuna x0 0, 1 kiasi kwamba gx0 0, yaani, hx0 x0.Sasa, hebu tuzingatie equation hhx ex. Kwa kutumia hii kwa uhakika wetu x0, tunapata:hhx0 ex0Kwa kuwa hx0 x0, tunayo:hx0 ex0Lakini huu ni ukinzani kwa sababu h inaongezeka sana na 0 x0 1, kwa hivyo lazima iwe hx0 x0. Kwa hivyo, hakuwezi kuwa na chaguo za kukokotoa zinazoendelea h: R - R kutosheleza hhx ex kwa x zote katika R. 