<prompt> Acha r iwe nambari halisi, r 2, na acha z iwe nambari changamano kama hiyoz frac1z r.Tafuta z.  <response>: Tatizo hili linaonekana gumu, lakini ninagundua kuwa linahusisha nambari changamano na thamani kamili, kwa hivyo ninashangaa ikiwa kuna muunganisho wa moduli au ukubwa wa nambari changamano. Nakumbuka kwamba moduli ya nambari changamano z x yi, ambapo x na y ni halisi, imetolewa na z sqrtx2 y2. Pia ninakumbuka kwamba muunganisho wa nambari changamano z x yi ni overlinez x - yi. Sifa muhimu ya nambari changamano ni kwamba z overlinez z2. Labda ninaweza kutumia ukweli huu kudanganya mlinganyo uliotolewa na kupata z. Ninaanza kwa kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa z. Hii inanipa z2 1 rz. Sasa natoa rz kutoka pande zote mbili na kupata z2 - rz 1 0. Huu ni mlinganyo wa quadratic katika z, hivyo ninaweza kujaribu kutumia fomula ya quadratic kupata suluhu za z. Formula ya quadratic inasema kwamba ikiwa nina equation ya fomu ax2 bx c 0, basi masuluhisho yanatolewa na x frac -b pm sqrtb2 - 4ac2a. Katika hali hii, a 1, b -r, na c 1, ili niweze kuunganisha thamani hizi kwenye formula na upate z fracr pm sqrtr2 - 42. Hizi ndizo thamani zinazowezekana za z, lakini ninataka kupata z. naweza tumia ukweli kwamba z2 z overlinez. Ninahitaji kupata muunganisho wa z. Ninagundua kuwa z ni nambari halisi ikijumlisha au kuondoa nambari safi ya kuwazia, kwa hivyo muunganisho wa z ni nambari halisi tu ya kuondoa au pamoja na nambari sawa ya kufikiria. Hiyo ni, overlinez fracr mp sqrtr2 - 42. Sasa ninaweza kuzidisha z na overlinez na kurahisisha. Ninapata z overlinez fracr2 - r2 - 44 frac44 1. Kwa hivyo, z2 1, na kuchukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili, napata z 1. 