<prompt> Ikiwa jumla ya 1! 2! 3! cdots 49! 50! imegawanywa kwa 15, salio ni nini?  <response>: Kwa hivyo, ninataka kujua ni maneno mangapi katika jumla ni mafungu ya 15. Ninagundua kuwa kipengele chochote kikubwa kuliko au sawa na 5! ni kizidishio cha 15, kwa sababu kina vipengele vya 3 na 5. Kwa hivyo, jumla ya 5! 6! cdots 50! ni mgawo wa 15, na ninaweza kupuuza wakati wa kukokotoa salio. Hiyo inaniacha na jumla ya 1! 2! 3! 4!, ambayo ni 1 2 6 24 33. Nikigawanya 33 kwa 15, nitapata mgawo wa 2 na salio la 3. Kwa hivyo, jibu la mwisho ni 3. 