<prompt> Tafuta nambari kamili n kama hiyodhambi kushoto fracpi2n kulia cos kushoto fracpi2n kulia fracsqrtn2 .  <response>: Wacha tuweke pande zote mbili za equation. Hiyo inatupa sin2 left fracpi2n kulia 2 sin left fracpi2n kulia cos left frac pi2n kulia cos2 kushoto fracpi2n kulia fracn4. Ona kwamba sin2 left fracpi2n kulia cos2 left fracpi2n kulia 1. Kwa hivyo tuna 1 2 sin left fracpi2n kulia cos left fracpi2n kulia fracn4 . Lakini sin left fracpi2n kulia cos left fracpi2n kulia frac12 left sin kushoto fracpin kulia kulia. Kwa hivyo tuna 1sin left fracpin kulia fracn4. Kutokana na hili, tunapata kwamba sin left fracpin right fracn4 - 1. Kwa kuwa sin left fracpin kulia ni chanya, tunajua kwamba fracn4 - 1 0, hivyo n 4. Lakini ikiwa n 4 basi sin left fracpin kulia sin left fracpi4 right fracsqrt 2 2. Kwa hivyo ni lazima tuwe na fracn4 - 1 fracsqrt22 ambayo ina maana kwamba n 4 2 sqrt2. Kwa kuwa n ni nambari kamili, tuna n leq 6. Ikiwa n 6 basi sin left fracpin kulia sin left fracpi6 kulia frac1101 2. Na fracn4 - 1 frac64 - 1 frac32 - 1 frac12. Ikiwa n5 basi sin left fracpin kulia sin left fracpi5 kulia. Lakini sin left fracpin kulia fracn4 - 1 frac54 - 1 frac14 na sin left fracpi5 kulia frac12, kwa hivyo n5 haifanyi kazi. Kwa hivyo suluhisho pekee ni n6. 