<prompt> Bainisha nambari ndogo kabisa chanya n kiasi kwamba 5nequiv n5pmod 3.  <response>: Ninataka kupata thamani ya n ambayo hufanya 5n na n5 ziwe na salio sawa zikigawanywa na 3. Ninaweza kutumia hesabu ya msimu kurahisisha tatizo hili, kwa kuwa ninajali tu masalio. Kwa mfano, najua kuwa 5equiv 2pmod 3, kwa kuwa 5 na 2 zina salio sawa wakati zimegawanywa na 3. Vile vile, ninaweza kuandika 52equiv 22equiv 1pmod 3, tangu zote 25 na 1 zina salio la 1 zikigawanywa na 3. Kwa kweli, ninaweza kujumlisha hili na kusema kwamba 5kequiv 2kpmod 3 kwa nambari yoyote chanya k, kwa kutumia sifa ambayo ikiwa aequiv bpmod m na cequiv dpmod m, kisha acequiv bdpmod m. Hii inamaanisha kuwa ninaweza kuchukua nafasi ya 5n na 2n katika mlinganyo wa asili, na bado itashikilia. Kwa hivyo nina 2nequiv n5pmod 3. Sasa ninahitaji kufikiria ni maadili gani ya n yanaweza kufanya hii kuwa kweli. Ninagundua kuwa 2n hubadilishana kati ya 2 na 1 kama salio inapogawanywa na 3, kulingana na ikiwa n ni isiyo ya kawaida au hata. Kwa mfano, 21equiv 2pmod 3, 22equiv 1pmod 3, 23equiv 2pmod 3, na kadhalika. Kwa upande mwingine, n5 inaweza kuwa na masalio yoyote kati ya matatu yanayowezekana ikigawanywa na 3, kulingana na n ni nini. Kwa mfano, 15sawa 1pmod 3, 25sawa na 2pmod 3, na 35equiv 0pmod 3. Kwa hivyo ninahitaji kupata thamani ya n ambayo hufanya 2n na n5 kuwa na salio sawa, ambayo inaweza kuwa 0, 1, au 2. Ninaanza kwa kuangalia thamani ndogo kabisa zinazowezekana za n . Ikiwa n1, basi 2nequiv 2pmod 3 na n5equiv 1pmod 3, ambazo si sawa. Ikiwa n2, basi 2nequiv 1pmod 3 na n5equiv 2pmod 3, ambazo pia si sawa. Ikiwa n3, basi 2nequiv 2pmod 3 na n5equiv 0pmod 3, ambazo si sawa pia. Kufikia sasa, hakuna thamani yoyote ya n inafanya kazi. Nashangaa ikiwa kuna muundo au njia ya mkato ya kupata thamani inayofuata ya n. Ninagundua kuwa n5 inaweza kugawanywa kwa n kila wakati, kwa hivyo ikiwa n inaweza kugawanywa na 3, basi n5 itakuwa na salio la 0 ikigawanywa na 3. Hii inamaanisha kuwa ninahitaji tu zingatia thamani za n ambazo haziwezi kugawanywa na 3, kwani vinginevyo 2n na n5 hazingeweza kamwe kuwa na salio sawa. Thamani inayofuata ya n ambayo haiwezi kugawanywa na 3 ni n4. Ikiwa n4, basi 2nequiv 1pmod 3 na n5equiv 1pmod 3, ambazo ni sawa! Nimepata thamani ya n ambayo inafanya kazi. Ninashangaa ikiwa hii ndio dhamana ndogo kabisa ya n, au ikiwa kuna maadili yoyote madogo ambayo nilikosa. Ili kuangalia hili, ninahitaji kurudi kwa thamani za awali za n ambazo hazigawanyiki na 3, ambazo ni n1 na n2. Tayari nimeangalia kuwa n1 na n2 haifanyi kazi, kwa hivyo n4 ndio dhamana ndogo zaidi ya n ambayo inafanya kazi. Kwa hivyo, nambari ndogo kabisa chanya n ambayo hufanya 5nequiv n5pmod 3 ni n4. 