<prompt> Thibitisha kuwa kuna nambari kuu nyingi sana.  <response>: Njia moja ya kuthibitisha kwamba kuna nambari kuu nyingi sana ni kwa kutumia uthibitisho kwa kupingana, ambao ulionyeshwa kwa mara ya kwanza na mwanahisabati wa kale wa Kigiriki Euclid.Chukulia kuwa kuna nambari kuu nyingi tu: p_1, p_2, ..., p_n. Sasa zingatia nambari P p_1 p_2 ... p_n 1. Nambari hii ni kubwa kuliko nambari zetu zote zinazodhaniwa kwa kuwa imeundwa kwa kuzizidisha pamoja na kuongeza 1.Sasa, ama P ndio mkuu yenyewe au ina sababu kuu. Ikiwa P ni ya kwanza, basi tumepata nambari kuu mpya isiyo katika orodha yetu ya asili, ambayo inapingana na dhana yetu kwamba kuna nambari kuu nyingi tu.Ikiwa P sio mkuu, basi lazima iwe na angalau sababu moja kuu, sema q. Kwa kuwa q ni kipengele kikuu cha P, tunajua kwamba q inagawanya P. Hata hivyo, q pia hugawanya bidhaa p_1 p_2 ... p_n, kwa sababu kila nambari kuu imejumuishwa katika bidhaa hii. Kwa hivyo, q lazima igawanye tofauti kati ya nambari hizi mbili: P - p_1 p_2 ... p_n 1. Lakini hakuna nambari kuu inayoweza kugawanya 1, kwani nambari kuu ni kubwa kuliko 1 kwa ufafanuzi. Hii inaleta mkanganyiko.Katika visa vyote viwili, tulifikia mkanganyiko, ambayo ina maana dhana yetu ya awali kwamba kuna nambari kuu nyingi tu lazima iwe ya uwongo. Kwa hivyo, lazima kuwe na idadi kubwa isiyo na kikomo. 