<prompt> Nambari x ni sawa na 7cdot24cdot48. Ni nambari gani ndogo kabisa chanya y hivi kwamba bidhaa xy ni mchemraba kamili?  <response>: Ninahitaji kutafuta njia ya kuainisha x katika mambo makuu, ili niweze kuona ni nguvu gani za kila mkuu ziko katika x. Ninajua kuwa 7 tayari ni sababu kuu, kwa hivyo ninaweza kuiacha peke yake. Kwa 24, ninaweza kutumia kanuni ya mgawanyiko inayosema ikiwa nambari inaweza kugawanywa kwa 2 na 3, basi inaweza kugawanywa kwa 6. Kwa hivyo ninaweza kugawanya 24 kwa 6 ili kupata 4, na kisha kugawanya 4 kwa 2 ili kupata 2. Hii inamaanisha 24 ni sawa na 2cdot2cdot2cdot3, au 23cdot3. Kwa 48, ninaweza kutumia sheria hiyo hiyo, na kuigawanya kwa 6 kupata 8, na kisha kugawanya 8 kwa 2 ili kupata 4, na kisha kugawanya 4 kwa 2 ili kupata 2. Hii inamaanisha 48 ni sawa na 2cdot2cdot2cdot2cdot3, au 24cdot3. Sasa nina x7cdot24cdot487cdot23cdot3cdot24cdot37cdot27cdot32. Hii inamaanisha x ina kipengele kimoja cha 7, vipengele saba vya 2, na vipengele viwili vya 3. Ili kufanya xy kuwa mchemraba mzuri kabisa, ninahitaji kila kipengele kikuu kiinuliwe kwa nguvu ambayo ni kizidishio cha 3. Kwa 7, tayari nina kipengele kimoja, kwa hivyo ninahitaji mbili zaidi ili kuifanya iwe mchemraba mzuri. Hii ina maana y lazima 72 kama kipengele. Kwa 2, tayari nina sababu saba, kwa hivyo ninahitaji mbili zaidi ili kuifanya iwe mchemraba mzuri. Hii ina maana y lazima 22 kama kipengele. Kwa 3, tayari nina mambo mawili, kwa hivyo ninahitaji moja zaidi ili kuifanya iwe mchemraba mzuri. Hii ina maana y lazima 3 kama kipengele. Kwa hivyo, y ndogo zaidi inayotosheleza hali hiyo ni 72cdot22cdot3588. 