<prompt> Mchemraba una kingo za urefu wa sm 1 na una kitone kilichowekwa alama katikati ya uso wa juu. Mchemraba umeketi kwenye meza ya gorofa. Mchemraba umevingirwa, bila kuinua au kuteleza, kwa mwelekeo mmoja ili angalau mbili za wima zake ziguse meza kila wakati. Mchemraba umevingirwa mpaka dot iko tena kwenye uso wa juu. Urefu, kwa sentimita, wa njia inayofuatwa na kitone ni cpi, ambapo c ni ya kudumu. c ni nini?  <response>: Tuseme mchemraba unaviringika kwanza juu ya ukingo AB.Zingatia mchemraba kama unaoundwa na nusu-mchemraba mbili kila moja ya vipimo 1 mara 1 mara frac12 vilivyounganishwa pamoja katika mraba PQMN. Kumbuka kuwa PQMN iko kwenye ndege iliyo wima.Kwa kuwa nukta D iko katikati ya uso wa juu, basi D iko kwenye mraba PQMN. asyC24S4ukubwa 4cm;jozi shiftpair 0.3 -Sin 50, Sin 40; Chora mrabakuchora unitsquare;kuchorashiftshiftpair unitsquare;chorashift2 shiftpair unitsquare; Chora mistarijozi wima 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1;int i;kwa i 0; i 4; i jozi ya ndani wimai;jozi nje shift2 shiftpair ndani;chora ndani--nje; Lebo za alamaleboA, 1, 0, SE;leboB, shift2 shiftpair 1, 0, NW;picha ya picha;lebopicha, N, 0, 0, SW;lebopicha, M, 1, 0, NE;lebopicha, Q, 1, 1, NE;lebopicha, D, 0.5, 1, N; nukta picha, 0.5, 1;lebopicha, P, 0, 1, NE;addshiftshiftpair pic;asy Kwa kuwa kila mara mchemraba huviringika katika mwelekeo unaoendana na AB, basi nukta itazunguka katika ndege ya mraba PQMN kila wakati. asyC24S1ukubwa 2.5cm;kuchora unitsquare;leboN, 0, 0, SW;leboM, 1, 0, SE;leboQ, 1, 1, NE;leboD, 0.5, 1, N; nukta 0.5, 1;leboP, 0, 1, NW;asy Ili tuweze kubadilisha tatizo asili la pande tatu hadi tatizo la pande mbili la uviringishaji huu wa kipande cha mraba.Mraba MNPQ ina urefu wa upande 1 na DQfrac12, kwa kuwa D ilikuwa katikati ya uso wa juu.Kwa Nadharia ya Pythagorean, MD2 DQ2 QM2 frac141 frac54, hivyo MD fracsqrt5 2 tangu MD0. Katika sehemu ya kwanza ya safu, tunaanza na NM kwenye jedwali na roll, tukiweka M stationary, hadi Q itue kwenye meza. asyC24S2ukubwa 4cm; REKEBISHA Chora muhtasarikuchora unitsquare;chora0, 0---1, 0---1, 1--0, 1, iliyopigwa;chora-0.5, 1--0, 0--1, 0.5, iliyokatika; Lebo na nuktaleboN, 0, 1, SE;leboM, 0, 0, S;leboQ, 1, 0, SE;leboD, 1, 0.5, E; nukta 1, 0.5;leboP, 1, 1, NE;nukta -0.5, 1; Chora arckuchorareversearc0, 0, 1, 0.5, -0.5, 1, iliyokatika, MidArcArrowsize6;asy Huu ni mzunguko wa 90circ karibu M. Kwa kuwa D iko katika umbali usiobadilika wa fracsqrt52 kutoka M, basi D huzunguka robo moja kwa kuwa 90circ ni frac 14 ya 360circ ya mduara wa radius fracsqrt52, kwa umbali wa frac14left 2 pifracsqrt52kulia fracsqrt54pi.Katika sehemu inayofuata ya orodha, Q husalia bila kubadilika na mraba huzunguka hadi P iguse jedwali. asyC24S3ukubwa 4cm; REKEBISHA Chora muhtasarikuchora unitsquare;chora0, 0---1, 0---1, 1--0, 1, iliyopigwa;chora-1, 0---2, 0---2, 1---1, 1, iliyopigwa; Lebo na nuktanukta -1.5, 1;leboM, 0, 1, N;leboQ, 0, 0, S;leboP, 1, 0, SE;leboD, 0.5, 0, S; nukta 0.5, 0;leboN, 1, 1, NE;nukta 0, 0.5; Chora arckuchorareversearc0, 0, 0.5, 0, 0, 0.5, iliyokatika, MidArcArrowsize6;asy Tena, safu ni moja ya 90circ. Kumbuka kuwa QD frac12. Kwa hivyo, tena D inasogea katika robo moja ya duara wakati huu wa radius frac12, kwa umbali wa frac14left 2pi frac 12kulia frac14pi.Kupitia sehemu ifuatayo ya orodha, P hudumu na mraba unaendelea hadi N iguse jedwali. Hii ni sawa na sehemu ya pili, kwa hivyo D hupitia umbali wa frac14pi.Kupitia sehemu inayofuata ya orodha, N hudumu na mraba unazunguka hadi M iguse jedwali. Huu utakuwa mwisho wa mchakato kwani mraba utaishia katika nafasi yake ya awali. Sehemu hii ni sawa na sehemu ya kwanza kwa hivyo D inazunguka kwa umbali wa fracsqrt54pi.Kwa hivyo, jumla ya umbali ambao nukta hupitia ni fracsqrt54pifrac14pifrac14pifrac sqrt54piau leftfrac1sqrt52rightpi,kwa hivyo jibu letu la mwisho ni dfrac 1sqrt52. 