<prompt> Pata salio wakati 31999 inagawanywa kwa 13.  <response>: Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kutumia hesabu ya moduli, ambayo inahusika na mabaki ya mgawanyiko. Katika hesabu za msimu, tunaweza kuandika a equiv b pmodn kumaanisha kuwa a na b zina salio sawa zikigawanywa na n. Kwa mfano, 17 equiv 4 pmod13, kwa kuwa 17 na 4 huacha salio la 4 zikigawanywa na 13. Hii inamaanisha kuwa tunaweza kufanya kazi na mabaki ya nambari badala ya nambari zenyewe, ambayo inaweza kurahisisha hesabu. Kwa mfano, 17 mara 19 sawa 4 mara 6 sawa 24 equiv 11 pmod13. Kwa hivyo, ili kupata salio la 31999 inapogawanywa kwa 13, tunaweza kuangalia mabaki ya mamlaka ya 3 yakigawanywa kwa 13. Tuna 31 sawa 3 pmod13, 32 sawa 9 pmod13, 33 sawa na 27 sawa 1 pmod13. Ona kwamba salio la 33 ni 1, ambayo ina maana kwamba mzunguko wa masalio utarudia kila mamlaka tatu. Hiyo ni, 34 sawa 31 sawa 3 pmod13, 35 equiv 32 equiv 9 pmod13, 36 sawa 33 sawa 1 pmod13, na kadhalika. Hii ina maana kwamba tunaweza kugawanya kipeo 1999 kwa 3 na kuangalia mgawo na salio. Tuna 1999 3 mara 666 1. Hii ina maana kwamba 31999 sawa 33 mara 666 1 sawa 33666 mara 31 sawa 1666 mara 3 sawa 3 pmod13. Kwa hivyo, salio la 31999 ikigawanywa na 13 ni 3. 