<prompt> Fikiria polynomials zote za fomux9 a_8 x8 a_7 x7 vitone a_2 x2 a_1 x a_0,ambapo a_i katika 0,1 kwa 0 zote le i le 8. Tafuta idadi ya polima kama hizo ambazo zina mizizi kamili miwili tofauti.  <response>: Ikiwa a_i zote ni sawa na 0, basi polynomia inakuwa x9 0, ambayo ina mzizi mmoja tu kamili, yaani x 0. Kwa hivyo, tunaweza kudhani kuwa kuna mgawo a_i hiyo sio sifuri. Acha k iwe nambari ndogo kabisa kiasi kwamba a_k neq 0; basi tunaweza kuchukua kipengele cha xk, ili kupataxk x9 - k a_8 x8 - k a_7 x7 - k vitone a_k 1 x a_k 0. Kwa Nadharia ya Nambari ya Mizizi, mzizi wowote kamili wa x9 - k a_8 x8 - k dots a_k 1 x a_k 0 lazima ugawanye a_k 1, kwa hivyo nambari kamili zinazowezekana ni 1 na -1. Hata hivyo, tukichomeka x 1, tunaona kwamba x9 - k 1, na maneno mengine yote si hasi, kwa hivyo x 1 haiwezi kuwa mzizi.Kwa hivyo, ili polynomial asili iwe na mizizi miwili kamili, lazima iwe 0 na -1. Ili 0 iwe mzizi, inatosha kuchukua a_0 0, na polynomial ni.x9 a_8 x8 a_7 x7 a_6 x6 a_5 x5 a_4 x4 a_3 x3 a_2 x2 a_1 x 0.Sisi pia unataka x -1 kuwa mzizi. Tuna hiyo -19 -1, kwa hivyo ili polynomial kuwa 0 kwa x -1, lazima tuchague baadhi ya a_i kuwa sawa na 1. Hasa, ikiwa k ni nambari ya i kiasi kwamba a_i 1 na i ni isiyo ya kawaida, basi nambari ya i kiasi kwamba a_i 1 na i hata lazima iwe k 1 .Kuna fahirisi nne ambazo si za kawaida 1, 3, 5, 7, na fahirisi nne ambazo ni sawa 2, 4, 6, 8, kwa hivyo thamani zinazowezekana za k ni 0, 1, 2, na 3. .Zaidi ya hayo, kwa kila k, hivyo idadi ya njia za kuchagua fahirisi zisizo za kawaida k na k 1 hata fahirisi ni binom4k binom4k 1. Kwa hiyo, idadi ya polynomials vile nibinom40 binom41 binom41 binom42 binom42 binom44 3 binom43 binom44 56. 