<prompt> Jumla ya maneno katika mfululizo usio na kipimo wa kijiometri ni 15, na jumla ya mraba wao ni 45. Pata muda wa kwanza.  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kukumbuka fomula ya jumla ya mfululizo usio na kipimo wa kijiometri, ambayo ni S a 1 - r, ambapo a ni muda wa kwanza na r ni uwiano wa kawaida. Pia ninahitaji kutumia fomula hii kwa mfululizo wa miraba, ambayo pia ni ya kijiometri lakini yenye uwiano tofauti wa muhula wa kwanza na wa kawaida. Acha niite muhula wa kwanza wa safu ya mraba b, na uwiano wa kawaida s. Kisha jumla ya mfululizo wa mraba ni S2 b 1 - s. Ninaweza kutumia habari niliyopewa kuanzisha mfumo wa milinganyo miwili yenye vitu viwili visivyojulikana: a 1 - r 15 na b 1 - s 45. Ninataka kupata a, kwa hivyo ninahitaji kuondoa b. na s kutoka kwa mfumo. Ninagundua kuwa b ni mraba wa a, kwa kuwa muhula wa kwanza wa mfululizo wa miraba ni mraba wa muhula wa kwanza wa mfululizo asilia. Kwa hivyo naweza kubadilisha b a2 katika equation ya pili. Hii inanipa a2 1 - s 45. Sasa ninahitaji kupata s kulingana na r. Ninatambua kuwa s ni mraba wa r, kwa kuwa uwiano wa kawaida wa mfululizo wa mraba ni mraba wa uwiano wa kawaida wa mfululizo wa awali. Kwa hivyo naweza kubadilisha s r2 katika equation niliyopata hivi punde. Hii inanipa a2 1 - r2 45. Sasa nina milinganyo miwili yenye a na r tu: a 1 - r 15 na a2 1 - r2 45. Ninaweza kuzidisha mlinganyo wa kwanza kwa a ili kupata a2 1 - r 15a. Kisha naweza kusawazisha misemo miwili kwa a2 na kurahisisha: 15a 451 r. Hii inamaanisha kuwa a 31 r. Ninaweza kubadilisha hii katika mlinganyo wa kwanza na kutatua r: 31 r 1 - r 15. Hii inanipa 1 r 5 - 5r, au 6r 4, au r 23 . Kwa kuwa sasa nina r, ninaweza kuichomeka kwenye usemi kwa: a 31 r 31 23 3 2 5. Kwa hiyo, muda wa kwanza wa mfululizo usio na kipimo wa kijiometri. ni 5. 