<prompt> Acha M_n iwe n times n matrix yenye maingizo kama ifuatavyo: kwa 1 le i le n, m_i,i 10; kwa 1 le i le n - 1, m_i1,i m_i,i1 3; maingizo mengine yote katika M_n ni sufuri. Acha D_n iwe kibainishi cha matrix M_n. Tafutasum_n1infty frac18D_n1.Kumbuka: Kiamuzi cha 1 mara 1 matrix a ni a, na kibainishaji cha 2 mara 2 matrix left beginarraycca b c d mwishoarray kulia tangazo - bc; kwa n ge 2, kibainishi cha matrix ya n nyakati n yenye safu mlalo ya kwanza au safu wima ya kwanza a_1 a_2 a_3 dots a_n ni sawa na a_1C_1 - a_2C_2 a_3C_3 - vidoti -1n1a_nC_n, ambapo C_i ndio kibainishi cha matrix ya n - 1 nyakati n - 1 iliyoundwa kwa kuondoa safu mlalo na safu iliyo na a_i.  <response>: Tunaona hiloD_1anzavmatrix10mwishovmatrix 10, quadD_2anzavmatrix10 3 3 10 mwishovmatrix1010 - 33 91, quad textnaD_3anzavmatrix10 3 0 3 10 3 0 3 10 mwishovmatrix. Kwa kutumia ufafanuzi wa upanuzijirudishi wa vibainishi pia vimebainishwa kwenye tatizo: beginalignD_3kushoto anzasafuccc10 3 0 3 10 3 0 3 10 mwishosafu kulia10kushoto anzaarraycc10 3 3 10 mwishoarray kulia - 3kushoto anzaarraycc3 3 0 10 mwishoarray kulia 0kushoto anzaarraycc3 10 0 3 mwishosafu kulia 10D_2 - 9D_1820.endalignMchoro huu unajirudia kwa sababu kipengee cha kwanza katika safumlalo ya kwanza ya M_n huwa 10 kila wakati, kipengele cha pili huwa 3 kila wakati, na vilivyosalia huwa 0 kila wakati. Kipengee kumi hupanuka moja kwa moja hadi 10D_ n-1. Vipengele vitatu hupanuka hadi mara 3 ya kibainishi cha matriki iliyoundwa kutokana na kuacha safu wima ya pili na safu mlalo ya kwanza kutoka kwa mkusanyiko asilia. Piga matrix hii X_n. X_n ina safu wima ya kwanza kabisa ya sufuri isipokuwa kipengele cha kwanza, ambacho ni tatu. Sifa ya matiti ni kwamba kibainishi kinaweza kupanuliwa juu ya safu mlalo badala ya safu wima bado kutumia ufafanuzi wa kujirudia kama ilivyotolewa kwenye shida, na kiangazio kinachopatikana bado kitakuwa sawa. Kwa hivyo, kupanua juu ya safu wima hii ya kwanza hutoa 3D_n-2 03D_n-2. Kwa hivyo, usemi wa 3detX_n unabadilika kuwa 9D_n-2. Kwa hivyo, equation D_n10D_n-1-9D_n-2 inashikilia n zote 2.Mlinganyo huu unaweza kuandikwa upya kama D_n10D_n-1-D_n-2 D_n-2. Toleo hili la equation linahusisha tofauti ya maneno yanayofuatana ya mfuatano wa kujirudia. Kukokotoa D_0 kwenda nyuma kutoka kwa fomula ya kujirudi na D_4 kutoka kwa fomula hutoa D_01, D_47381. Kuchunguza tofauti kati ya istilahi zinazofuatana, muundo unajitokeza. D_0190, D_1-D_010-1991, D_2-D_1 91-108192, D_3-D_2820-9172993, na D_4-D_37381 -820656194. Kwa hivyo, anzaalignD_nD_0 9192 nukta 9n mtindo wa maonyeshosum_i0n9ifrac19n1-19-1frac9n1-18.endalignKwa hivyo, jumla inayotakiwa ni displaystylesum_n1inftyfrac18leftfrac9n1-1 8kulia1sum_n1inftyfrac19n1-11 sum_n1 inftyfrac19n1.Huu ni mfululizo wa kijiometri usio na kikomo wenye muhula wa kwanza frac181 na uwiano wa kawaida frac11 9. Kwa hivyo, jumla ni anzaalignfracfrac1811-frac19 fracfrac181frac89frac9818frac198frac172.mwishopanga 