<prompt> Ikizingatiwa kuwa nambari kamili chanya ni palindrome ya tarakimu nne, kuna uwezekano gani kwamba ni mgawo wa 99? Eleza jibu lako kama sehemu ya kawaida.  <response>: Kwanza tunapata idadi ya 4 tarakimu za palindromes. Kuna palindrome kumi kwa kila tarakimu elfu tofauti kutoka 1 hadi 9 kwa sababu kuna 10 nambari kutoka 0 hadi 9 tunaweza kuchagua kwa tarakimu ya pili na ya tatu. Hii inatupa jumla ya 9 cdot 10 palindromes.Ifuatayo, tunaweza kupata kwamba palindromes zote ni nyongeza za 11. Kanuni ya mgawanyiko ya 11 inatuambia kwamba kwa nambari abcd kugawanywa kwa 11, basi a-bc-d inaweza kugawanywa kwa 11. Kwa kuwa ad na bc, a-bc-d daima inaweza kugawanywa kwa 11 kwa hivyo palindromu zote nne za tarakimu zinaweza kugawanywa kwa 11.Sasa tunataka kupata sasa nyingi za palindromes hizi zinaweza kugawanywa kwa 9. Ili nambari iweze kugawanywa kwa 9, jumla ya tarakimu lazima igawanywe kwa 9. Haiwezekani kwa jumla ya tarakimu kuwa sawa na 9 au 27 kwa sababu lazima iwe nambari sawia jumla ni abcd2ab. Tunapata idadi ya palindrome ambazo tarakimu zake hujumlisha hadi 18. Kwa kuwa abcd2ab18, tunapata ab9. 9 inawezekana majibu, ambapo a huenda kutoka 1 hadi 9 na b9-a. Kisha tunapata idadi ya palindromes ambazo tarakimu yake inaongeza hadi 36. Kuna nambari moja tu ya tarakimu nne ambayo hufanya hivyo, 9999.Kwa hivyo, tunayo kwamba kuna 9110 palindromu zenye tarakimu nne ambazo zinaweza kugawanywa kwa 99.Kwa kuwa kuna jumla ya palindromes 90, uwezekano kwamba inaweza kugawanywa kwa 99 ni frac1090frac19. 