<prompt> Tafuta idadi ya nambari chanya n, 1 le n le 100, ambayo x2n 1 x 12n inaweza kugawanywa kwa x2 x 1.  <response>: Acha omega iwe mzizi wa x2 x 1 0, hivyo omega2 omega 1 0. Kisha kwa kipengele cha nadharia, x2n 1 x 12n inaweza kugawanywa kwa x2 x 1 ikiwa tu omega2n 1 omega 12n 0. Kwa kuwa omega 1 -omega2,omega2n 1 omega 12n omega2n 1 -omega22n omega4n omega2n 1.Kutoka kwa mlinganyo omega2 omega 1 0, omega - 1omega2 omega 1 omega 3 - 1, hivyo omega3 1.Tunagawanya katika hali ambapo n ni ya fomu 3k,3k 1, na 3k 2.Ikiwa n 3k, basianzaalignomega4n omega2n 1 omega12k omega6k 1 omega34k omega32k 1 1 1 1 3.endalignKama n 3k 1, basianzaalignomega4n omega2n 1 omega12k 4 omega6k 2 1 omega34k 1 omega omega32k omega2 1 omega omega2 1 0.endalignKama n 3k 2, basianzaalignomega4n omega2n 1 omega12k 8 omega6k 4 1 omega34k 2 omega2 omega32k 1 omega 1 omega2 omega 1 0.endalignKwa hivyo, x2n 1 x 12n inaweza kugawanywa kwa x2 x 1 ikiwa tu n ni ya fomu. 3k 1 au 3k 2, i.e. haiwezi kugawanywa na 3. Katika muda 1 le n le 100, kuna 100 - 33 67 nambari kama hizo. 