<prompt> Acha x iwe nambari halisi ili nambari tano cos2 pi x, cos4 pi x, cos8 pi x, cos 16 pi x, na cos32 pi x zote si chanya. Ni thamani gani ndogo kabisa inayowezekana ya x?  <response>: Kwa ujumla zaidi, acha t iwe nambari halisi chanya, na n iwe nambari chanya. Hebut floor t floor 0.t_1 t_2 t_3 dots_2.Hapa, tunaelezea sehemu ya sehemu ya t katika mfumo wa jozi. Kishaanzaaligncos 2n pi t cos 2n pi floor t floor 2n pi 0.t_1 t_2 t_3 dots_2 cos 2n pi floor t sakafu pi t_1 t_2 dots t_n - 1 0_2 pi t_n.t_n 1 t_n 2 vitone_2.endalignKwa kuwa 2n pi floor t floor pi t_1 t_2 dots t_n - 1 0_2 ni kizidishio kamili cha 2 pi, hii ni sawa nacos pi t_n.t_n 1 t_n 2 vitone_2.Hii sio chanya haswa wakatifrac12 le t_n.t_n 1 t_n 2 vitone_2 le frac32.Kama t_n 0, kisha t_n 1 1. Na ikiwa t_n 1, basi t_n 1 0 isipokuwa t_n 1 1 na t_m 0 kwa m yote ge n 2.Ili kupata ndogo kama x, tunaweza kudhani kuwa 0 x 1. Letx 0.x_1 x_2 x_3 vitone_2katika mfumo wa jozi. Kwa kuwa tunataka x, ndogo kama hiyo tunaweza kudhani x_1 0. Kisha kutoka kwa kazi yetu hapo juu,anzasafucdfrac12 le x_1.x_2 x_3 x_4 dotsc le dfrac32, dfrac12 le x_2.x_3 x_4 x_5 dotsc le dfrac32, dfrac12 le x_3.x_4 x_5 x_6 dotsc le dfrac32, dfrac12 le x_4.x_5 x_6 x_7 dotsc le dfrac32, dfrac12 le x_5.x_6 x_7 x_8 dotsc le dfrac32.mwishosafuIli kupunguza x, tunaweza kuchukua x_1 0. Kisha ukosefu wa usawa wa kwanza unalazimisha x_2 1.Kutoka kwa ukosefu wa usawa wa pili, ikiwa x_3 1, basi x_n 0 kwa n yote ge 4, ambayo haifanyi kazi, kwa hivyo x_3 0.Kutoka kwa usawa wa tatu, x_4 1.Kutoka kwa ukosefu wa usawa wa nne, ikiwa x_5 1, basi x_n 0 kwa n yote ge 6, ambayo haifanyi kazi, kwa hivyo x_5 0.Kutoka kwa usawa wa tano, x_6 1.Hivyo,x 0.010101 x_7 x_8 vidoti_2.Nambari halisi chanya ndogo zaidi ya fomu hii nix 0.010101_2 frac14 frac116 frac164 frac2164. 