<prompt> Kuna njia ngapi za kupaka rangi wima ya mchemraba yenye rangi mbili, hadi mzunguko?Nadharia Husika: Lemma ya Burnside, pia inajulikana kama Cauchy-Frobenius Lemma au Nadharia ya Kuhesabu Obiti, ni tokeo la msingi katika michanganyiko inayohusika na kuhesabu idadi ya vipengele mahususi katika seti chini ya kitendo cha kikundi. Ni muhimu hasa katika kuhesabu matatizo yanayohusisha ulinganifu na vibali.Lema imepewa jina la mwanahisabati wa Uingereza William Burnside, ambaye alichangia pakubwa katika ukuzaji wa nadharia ya kikundi.Taarifa ya Lemma ya Burnside:Wacha G kiwe kikundi chenye ukomo kinachotenda kwa seti finyu ya X. Kisha idadi ya mizunguko mahususi ya X chini ya kitendo cha G inatolewa na:1G Σ Rekebishagwapi G ni mpangilio wa kikundi yaani, idadi ya vipengele katika G, jumla inachukuliwa juu ya vipengele vyote g katika G, na Rekebishag ni idadi ya vipengee katika X ambavyo hurekebishwa na kitendo cha g yaani, idadi ya vipengele x katika X hivi kwamba gx x.Kwa maneno rahisi, Lemma ya Burnside inasema kwamba idadi ya obiti tofauti au madarasa ya usawa katika seti chini ya hatua ya kikundi inaweza kupatikana kwa wastani wa idadi ya pointi zisizohamishika za kila kipengele cha kikundi.Lemma ya Burnside mara nyingi hutumiwa katika matatizo ya ujumuishaji ambapo tunahitaji kuhesabu idadi ya usanidi tofauti wa kitu, kwa kuzingatia ulinganifu wake. Kwa kutumia lema, tunaweza kuepuka usanidi wa kuhesabu kupita kiasi ambao ni sawa chini ya operesheni fulani ya ulinganifu.  <response>: 23 