<prompt> Ni nambari gani ndogo kabisa ya msingi-10 inayoweza kuwakilishwa kama 12_a katika besi moja na 21_b katika besi nyingine, ambapo a na b ni besi zozote kubwa kuliko 2?  <response>: Tunaanza kwa kubadilisha misemo kuwa msingi 10 kulingana na a na b. Tunajua pia kwamba misemo miwili inapaswa kuwa sawa kwa kuwa inawakilisha nambari sawa. anzaalign12_a21_bquadKulia1cdot a2cdot 12cdot b 1cdot1quadKuliaa22b1quadKuliaa2b-1.endalignKwa nambari ndogo kabisa ya msingi-10, tungetaka besi ndogo zaidi a na b. Kwa kuwa a na b lazima ziwe kubwa kuliko 2, tutaruhusu b3 na hiyo inamaanisha a2cdot3-15. Katika besi hizi, nambari ya msingi-10 ni a2527. Tunaweza kuangalia kuwa usemi wa base-b pia unafanya kazi na kupata 2cdot b12cdot317.Vinginevyo, tunaweza tu kujaribu besi tofauti. Thamani ndogo kabisa ya a na b ni 3. Ikiwa tutaruhusu a3, tutahitaji msingi mdogo zaidi wa b kwa kuwa tuna 2cdot bapprox1cdot a , ambayo haiwezekani. Tunaporuhusu b3, tunapata 21_37 na kujaribu kupata b kiasi kwamba 12_b7. Ikiwa b27, basi b5 na bado tutapata 7. 