<prompt> Melinda ana masanduku matatu tupu na vitabu vya kiada vya 12, vitatu kati ya hivyo ni vya hisabati. Sanduku moja litashika vitabu vyake vitatu vya kiada, kimoja kitashika vitabu vyake vinne, na kimoja kitashika vitabu vyake vitano. Ikiwa Melinda atapakia vitabu vyake vya kiada kwenye visanduku hivi kwa mpangilio maalum, uwezekano kwamba vitabu vyote vitatu vya hisabati viishie kwenye kisanduku kimoja unaweza kuandikwa kama fracmn, ambapo m na n ni kiasi. nambari kamili chanya. Tafuta mn.  <response>: Jumla ya njia ambazo vitabu vya kiada vinaweza kupangwa katika visanduku 3 ni 12textbfC3cdot 9textbfC4, ambayo ni sawa na frac12cdot 11cdot 10cdot 9 cdot 8cdot 7cdot 614412cdot11cdot10cdot7cdot3. Iwapo vitabu vyote vya kiada vya hesabu vitawekwa kwenye kisanduku ambacho kinaweza kuhifadhi vitabu vya kiada vya 3, kuna 9!4!cdot 5!9textbfC4 njia za kupangilia vitabu vingine vya kiada. Iwapo vitabu vyote vya kiada vya hisabati vitawekwa kwenye kisanduku ambacho kinaweza kuhifadhi vitabu vya kiada vya 4, kuna njia 9 za kuchagua kitabu kingine katika kisanduku hicho, mara 8textbfC3 njia za kupangwa vitabu vingine. Ikiwa vitabu vyote vya kiada vya hesabu vitawekwa kwenye kisanduku chenye uwezo wa kushikilia vitabu vya kiada 5, kuna njia 9textbfC2 za kuchagua vitabu vingine 2 vya kiada kwenye kisanduku hicho, mara 7textbfC3. njia za kupanga vitabu vingine 7 vya kiada. 9textbfC49cdot7cdot2126, 9cdot 8textbfC39cdot8cdot7504, na 9textbfC2cdot 7textbf C39cdot7cdot5cdot41260, kwa hivyo jumla ya njia ambazo vitabu vya kiada vya hesabu vinaweza kuwekwa kwenye kisanduku kimoja ni 12650412601890. Kwa hivyo, uwezekano wa hili kutokea ni frac9cdot7284cdot512cdot11cdot10cdot7cdot3frac189027720 . Ikiwa nambari na kiashiria vyote vimegawanywa kwa 9cdot7, tuna frac284cdot54cdot11cdot10frac30440. Kurahisisha nambari kunatoa frac3010cdot4cdot11, na kugawanya nambari na kipunguzo kwa matokeo 10 katika frac344. Sehemu hii haiwezi kurahisishwa zaidi, kwa hivyo m3 na n44. Kwa hiyo, mn34447. 