<prompt> Kwa nambari kamili chanya n, fafanua S_n kuwa thamani ya chini kabisa ya jumlasum_k1n sqrt2k-12a_k2,ambapo a_1,a_2,ldets,a_n ni nambari halisi chanya ambazo jumla yake ni 17. Tafuta nambari kamili chanya n ambayo S_n pia ni nambari kamili.  <response>: Kwa k 0, 1, 2, ldets, n, let P_k k2,a_1 a_2 dots a_k. Kumbuka kuwa P_0 0,0 na P_n n2,a_1 a_2 vitone a_n n2,17.asyukubwa wa kitengo sentimita 0.4;jozi A, P;P0 0,0;A0 5,0;P1 5,1;A1 9,1;P2 9,3;P3 12,6;A3 15,6;P4 15,10;kuchoraP0--A0--P1--mzunguko;kuchoraP1--A1--P2--mzunguko;kuchoraP3--A3--P4--mzunguko;choraP0--P4,iliyokatika;leboP_0, P0, W;leboP_1, P1, N;leboP_2, P2, N;leboP_n - 1, P3, W;leboP_n, P4, NE;leboa_1, A0 P12, E;leboa_2, A1 P22, E;leboa_n, A3 P42, E;nukta 212 - 0.5,92 - 0.5;nukta 212,92;nukta 212 0.5,92 0.5;asyKisha kwa kila k 1, 2, ldots, n, tuna beginaligned P_k-1P_k sqrtk2-k-12 a_1a_2dotsa_k-1a_k-a_1a_2dotsa_k-12 sqrt2k- 12a_k2, mwishoimepangiliwaili S_n iwe thamani ya chini kabisa ya jumla P_0P_1 P_1P_2 vitone P_n-1P_n. Kwa usawa wa pembetatu , P_0P_1 P_1P_2 vitone P_n-1P_n ge P_0P_n sqrtn4 289.Zaidi ya hayo, usawa hutokea wakati P_i zote ni collinear, hivyo S_n sqrtn4289 kwa kila n.Inabakia kupata n ambayo S_n ni nambari kamili, au kwa usawa, n4289 ni mraba kamili. Acha n4289m2 kwa nambari kamili chanya m. Kisha m2-n4289, ambayo huchangia kama m-n2mn2 289.Kwa kuwa n2 ni chanya na 289 172, uwezekano pekee ni m-n21 na mn2289, ukitoa m 145 na n2 144. Hivyo n sqrt144 12. 