<prompt> Acha F_1 na F_2 ziwe kiini cha duaradufu kx2 y2 1, ambapo k 1 ni ya kudumu. Tuseme kwamba kuna mduara ambao unapitia F_1 na F_2 na ambao uko tangent kwa duaradufu katika pointi mbili kwenye mhimili wa x. Kokotoa k.  <response>: Kuandika mlinganyo wa duaradufu katika umbo fracx21sqrt k2 fracy212 1,tunaona hivyo urefu wa mhimili nusu mlalo na nusu wima ni tfrac1sqrtk na 1, mtawalia. Kwa kuwa k 1, mhimili wima ndio mhimili mrefu mkuu. Kisha umbali kutoka katikati ya duaradufu, asili, kwa kila mwelekeo ni sqrt1 - leftsqrtfrac1kright2 frac sqrtk-1sqrtk.asyukubwa 7 cm;chora0,-1.4--0,1.4,Mshale wa Mwisho; leboy,0,1.4,N;chora-1.2,0--1.2,0,Mshale wa Mwisho; lebox,1.2,0,E;kuchoraxscale1sqrt2unitcircle;chorakiwango1sqrt2,1sqrt2unitcircular;nuktaF_1,0,1sqrt2,NW;nuktaF_2,0,-1sqrt2,SW;asy Kuwepo kwa mduara kama huo kunamaanisha kuwa asili ni sawa kutoka kwa kila lengo na kila mwisho wa mhimili mlalo ndogo. Kwa hivyo, tuna fracsqrtk-1sqrtk frac1sqrtk,hivyo sqrtk-1 1. Hivyo, k-11, na k2. 