<prompt> Ni nambari gani ya kipekee ya tarakimu tatu kamili x inayotosheleza 100xequiv 1pmod997?  <response>: Ninajua kuwa 100xequiv 1pmod997 inamaanisha kuwa 100x na 1 zina salio sawa zikigawanywa na 997. Kwa hivyo, ninataka kupata thamani ya x ambayo hufanya 100x karibu na 1 iwezekanavyo, lakini bado ni kubwa kuliko 1. Ninajua pia kuwa 997 ni nambari kuu, kwa hivyo hakuna sababu ya kawaida kati ya 100 na 997. Hii ina maana kwamba kuna thamani ya kipekee ya x inayotosheleza ulinganifu, na ni kinyume cha 100 modulo 997. Ili kupata ubadilishaji wa 100 modulo 997, ninaweza kutumia algoriti iliyopanuliwa ya Euclidean, ambayo hupata nambari kamili a na b kiasi kwamba 100a997b1. Kisha, a itakuwa kinyume cha 100 modulo 997, na b itakuwa kinyume cha 997modulo 100. Ili kutumia algoriti, ninaanza kwa kuandika 9979cdot 10097, ambayo inanipa mlingano wa kwanza 997-9cdot 10097. Kisha, ninagawanya 100 kwa 97 na kuandika 1001cdot 973, ambayo inanipa mlingano wa pili 100-1cdot 973. Kisha, ninagawanya 97 kwa 3 na kuandika 9732cdot 31, ambayo inanipa mlingano wa tatu 97-32cdot 31. Sasa, nimefikia 1, kwa hivyo ninaweza kusimamisha kanuni na nirudi nyuma kutafuta a na b. Ninaanza kutoka kwa mlinganyo wa tatu na kuandika 197-32cdot 3. Kisha, ninabadilisha 3 kutoka mlinganyo wa pili na kuandika 197-32cdot 100-1cdot 97. Ninarahisisha na kuandika 1-32cdot 10033cdot 97. Kisha, ninabadilisha 97 kutoka mlinganyo wa kwanza na kuandika 1-32cdot 10033cdot 997-9cdot 100. Ninarahisisha na kuandika 1-32-297cdot 10033cdot 997. Ninarahisisha na kuandika 1-329cdot 10033cdot 997. Hii inanipa mlinganyo wa mwisho 100cdot -329997cdot 331. Kwa hiyo, a-329 na b33. Ili kupata kinyume cha 100 modulo 997, ninahitaji kuhakikisha kuwa a ni chanya na chini ya 997. Ninaweza kufanya hivi kwa kuongeza 997 kwa a hadi iwe chanya. Ninaona kuwa a997668, ambayo ni chanya na chini ya 997. Kwa hivyo, 668 ni kinyume cha 100 modulo 997, na pia ni thamani ya x ambayo ninatafuta. Ninaweza kuangalia hiyo 100cdot 668equiv 1pmod997 kwa kugawa 100cdot 668 na 997 na kuona kuwa salio ni 1. Hakika, 100cdot 6686680067cdot 9971. Kwa hivyo, nimepata nambari ya kipekee ya tarakimu tatu kamili x ambayo inatosheleza muunganiko. 