<prompt> Ni thamani gani kubwa zaidi ya n chini ya 100,000 ambayo usemi 8n-25-n214n-24 ni kizidishio cha 5?  <response>: Kwa Nadharia ya Binomial, anzaalignn - 25 n5 - binom51 cdot 2n4 binom52 cdot 22 n3 - binom52 3 cdoti 23 n2 qquad binom54 cdot 24 n - 25 n5 - 10n4 40n3 - 80n2 80n - 32.endalign Kumbuka kuwa hii itapungua hadi n5 - 32 equiv n5 3 pmod5. Kwa hivyo, anzaalign8n - 25 - n2 14n - 24 sawa 8n5 3 - n2 14n - 24 sawa 8n5 24 - n2 14n - 24 equiv 3n5 - n2 - n pmod5.mwishopangaIkiwa n equiv 0 pmod5, basi 3n5 - n2 - n equiv 3 cdot 05 - 02 - 0 equiv 0 pmod5. Ikiwa n equiv 1 pmod5, basi 3n5 - n2 - n equiv 3 cdot 15 - 12 - 1 equiv 1 pmod5. Ikiwa n equiv 2 pmod5, basi 3n5 - n2 - n equiv 3 cdot 25 - 22 - 2 equiv 90 equiv 0 pmod5 . Ikiwa n equiv 3 pmod5, basi 3n5 - n2 - n equiv 3 cdot 35 - 32 - 3 equiv 717 equiv 2 pmod 5. Ikiwa n equiv 4 pmod5, basi 3n5 - n2 - n equiv 3 cdot 45 - 42 - 4 equiv 3052 equiv 2 pd5.Kwa hivyo, usemi uliotolewa ni mgawo wa 5 ikiwa na tu ikiwa n equiv 0 au n equiv 2 pmod5.Thamani kubwa zaidi ya n chini ya 100000 ambayo inalingana na 0 au 2 modulo 5 ni 99997. 