<prompt> Imepewa cos alpha beta sin alpha - beta 0 na tan beta frac12000, find tan alpha.  <response>: Ninagundua kuwa mlinganyo uliotolewa unahusisha sine na kosine ya hesabu na tofauti za pembe, ambazo zinaweza kurahisishwa kwa kutumia baadhi ya vitambulisho vya trigonometric. Hasa, nakumbuka kwamba cos A B cos A cos B - sin A sin B na sin A - B sin A cos B - cos A dhambi B. Kubadilisha vitambulisho hivi kwenye mlinganyo, ninapata cos alpha cos beta - sin alpha sin beta sin alpha cos beta - cos alpha sin beta 0. Kurahisisha, napata cos alpha cos beta sin alpha cos beta sin alpha sin beta cos alpha sin beta. Kugawanya zote mbili sides by cos alpha cos beta, Napata 1 tan alpha tan beta tan alpha tan beta. Inapanga upya, napata tan alpha 1 - tan beta tan beta - 1. Kugawanya pande zote mbili kwa 1 - tan beta, Napata tan alpha fractan beta - 11 - tan beta. Sasa, ninaweza kuchomeka thamani iliyotolewa ya tan beta frac12000 na kurahisisha. Ninapata tan alpha fracfrac12000 - 11 - frac12000 frac-frac19992000 frac19992000 -1. 