<prompt> Tumia Nadharia ya Stoke kutathmini int_C vecF cdot d vecr ambapo vecF z2 veci y2 vecj x veck na C ni pembetatu yenye wima 1,0,0, 0,1,0 na 0,0,1 yenye mzunguko kinyume cha saa.Nadharia Husika: Nadharia ya Stokes, pia inajulikana kama nadharia ya jumla ya Stokes au nadharia ya mkunjo, ni tokeo la msingi katika calculus ya vekta ambayo inahusiana na kiungo cha uga wa vekta kuzunguka mkunjo uliofungwa na sehemu ya uso ya mkunjo wa vekta. shamba juu ya uso uliopakana na curve hiyo. Imepewa jina la mwanahisabati wa Uingereza Sir George Gabriel Stokes.Kwa maneno rahisi, nadharia ya Stokes inasema kwamba mzunguko wa uwanja wa vekta kipimo cha mwelekeo wa shamba kufanya vitu kuzunguka karibu na kitanzi kilichofungwa ni sawa na mtiririko kipimo cha mtiririko wa shamba kupitia uso wa curl. ya shamba kupitia uso wowote uliofungwa na kitanzi.Kihisabati, nadharia ya Stokes inaweza kuandikwa kama:C F dR S × F dSwapi:- C F dR inawakilisha kiunganishi cha uga wa vekta F kuzunguka kingo C iliyofungwa- S × F dS inawakilisha sehemu ya uso ya mkunjo wa F × F juu ya uso S unaopakana na mkunjo C- dR ni vekta tofauti ya uhamishaji kando ya curve C- dS ni vekta ya uso tofauti ya uso S- × F ni mkunjo wa sehemu ya vekta FNadharia ya Stokes ina matumizi muhimu katika nyanja mbalimbali za sayansi na uhandisi, kama vile mienendo ya maji, sumaku-umeme, na jiometri tofauti. Pia ni muhtasari wa nadharia ya kimsingi ya kalkulasi na nadharia ya Green, ambayo hutumiwa kutathmini viambatanisho vya mstari na viambatanisho viwili, mtawalia.  <response>: -0.166 