<prompt> Acha a, b, c ziwe nambari halisi chanya kiasi kwamba a b c 1. Pata thamani ya chini ya a2 2b2 c2.  <response>: Ninataka kupata dhamana ya chini ya kazi ya quadratic ya anuwai tatu, kulingana na kizuizi cha mstari. Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kutumia njia ya kuzidisha Lagrange, ambayo inahusisha kutafuta pointi ambapo gradient ya kazi ni sambamba na gradient ya kizuizi. Kiwango cha kukokotoa cha chaguo la kukokotoa ni langle 2a, 4b, 2c rangle, na gradient ya kizuizi ni langle 1, 1, 1 rangle. Ili kupata pointi ambazo ziko sambamba, ninahitaji kutatua. mfumo wa milinganyo 2a lambda, 4b lambda, 2c lambda, na a b c 1, ambapo lambda ni ya kudumu. Kutatua kwa a, b, c kulingana na lambda, napata a fraclambda2, b fraclambda4, c fraclambda2. Nikiweka hizi kwenye mlinganyo wa kikwazo, ninapata fraclambda2 fraclambda4 fraclambda2 1, ambayo inamaanisha lambda frac45. Kwa hiyo, a frac25, b frac15, c frac25. Ili kuangalia kama hiki ni cha chini kabisa, cha juu zaidi, au hapana, ninaweza kutumia jaribio la pili la derivative. Matrix ya Hessian ya chaguo la kukokotoa ni beginbmatrix 2 0 0 0 4 0 0 0 2 endbmatrix, ambayo ni chanya dhahiri, kwani eigenvalues zake zote ni chanya. . Hii inamaanisha kuwa chaguo la kukokotoa ni laini, na uhakika niliopata ni kiwango cha chini cha kawaida. Kwa kuwa chaguo la kukokotoa ni laini, kiwango cha chini chochote cha ndani pia ni kiwango cha chini cha kimataifa. Kwa hivyo, thamani ya chini ya chaguo za kukokotoa ni a2 2b2 c2 frac425 frac225 frac425 frac1025 frac25. 