<prompt> Kwa 135circ x 180circ, pointi Pcos x, cos2 x, Qcot x, cot2 x, Rsin x , sin2 x na S tan x, tan2 x ni wima za trapezoidi. sin 2x ni nini?  <response>: Tangu 135circ x 180circ, cos x 0 sin x na sin x cos x. Kisha tan x 0, cot x 0, natan x fracsin xcos x 1 fraccos xsin x cot x.Kwa hiyo, cot x tan x. Zaidi ya hayo, cot x fraccos xsin x cos x. Hii inatuambia kwamba kwa pointi nne P, Q, R , S ambazo ziko kwenye parabola y x2, P na S ni kati ya Q na R. Kwa hivyo, besi sambamba za trapezoid lazima ziwe overlinePS na overlineQR.Kisha miteremko yao lazima iwe sawa, hivyocos x tan x cot x dhambi x.Kishacos x fracsin xcos x fraccos xsin x sin x,hivyocos2 x dhambi x sin2 x cos2 x cos x sin2 x.Kisha cos2 x sin x - cos x dhambi 2 x sin2 x - cos2 x 0, ambayo tunaweza kuainisha kamasin x - cos xcos x sin x - sin x cos x 0.Kwa kuwa cos x 0 sin x, lazima tuwe nayocos x sin x sin x cos x.Tunaweza kuandika hili kamacos x sin x frac12 sin 2x.Kuweka pande zote mbili, tunapatacos2 x 2 sin x cos x sin2 x frac14 sin2 2x,hivyo sin 2x 1 frac1 4 sin2 2x, au sin2 2x - 4 sin 2x - 4 0. Kwa fomula ya quadratic,sin 2x 2 pm 2 sqrt2.Kwa kuwa -1 le sin 2x le 1, lazima tuwe na sin 2x 2 - 2 sqrt2. 