<prompt> Katika pembetatu ABC, AB13, BC15 na CA17. Pointi D iko kwenye overlineAB, E iko kwenye overlineBC, na F iko kwenye overlineCA. Acha ADpcdot AB, BEqcdot BC, na CFrcdot CA, ambapo p, q, na r ni chanya na kukidhi pq r23 na p2q2r225. Uwiano wa eneo la pembetatu DEF na eneo la pembetatu ABC unaweza kuandikwa katika muundo mn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya. Tafuta mn.  <response>: asy -- maadili kiholela, sikuweza kupata thamani nzuri za pqr tafadhali badilisha ikiwezekana -- real p 0.5, q 0.1, r 0.05; -- maadili ya kiholela, sikuweza kupata thamani nzuri za pqr tafadhali badilisha ikiwezekana -- pointpen nyeusi; pathpen upana wa mstari 0.7 nyeusi; jozi A0,0,B13,0,CIPCRA,17,CRB,15, DApB-A, EB qC-B, FCrA-C; DDMPA,A--DMPB,B--DMPC,C,N--mzunguko; DDMPD,D--DMPE,E,NE--DMPF,F,NW--mzunguko; asyTunaruhusu ldets kuashiria eneo; basi thamani inayotakiwa nifrac mn fracDEFABC fracABC - ADF - BDE - CEFABCKwa kutumia fomula ya eneo la pembetatu frac12absin C, tunapata kwambafracADFABC fracfrac 12 cdot p cdot AB cdot 1-r cdot AC cdot sin pembe CABfrac 12 cdot AB cdot AC cdot sin pembe CAB p1-rna vile vile kwamba fracBDEABC q1-p na fracCEFABC r1-q. Kwa hivyo, tunataka kupataanzaalignfracDEFABC 1 - fracADFABC - fracBDE ABC - fracCEFABC 1 - p1-r - q1-p - r1-q pq qr rp - p q r 1 mwishoalignTunajua kwamba p q r frac 23, na pia kwamba pqr2 p 2 q2 r2 2pq qr rp Longleftrightarrow pq qr rp fracleftfrac 23right2 - frac 252 frac145. Kubadilisha, jibu ni frac 145 - frac 23 1 frac1645, na mn 61. 