<prompt> Je, ni kiasi gani kilichosalia cha 191999 kimegawanywa na 25?  <response>: Ninagundua kuwa 19 na 25 ni bora, ambayo inamaanisha kuwa ninaweza kutumia nadharia ya Euler kurahisisha kielezi. Nadharia ya Euler inasema kwamba ikiwa a na n ni kubwa, basi aphin equiv 1 pmodn, ambapo phin ni nambari ya nambari chanya chini ya n. ambazo ni za msingi kwa n. Kwa hivyo, ninataka kupata phi25 na niitumie kupunguza kipeo kikuu cha 19. Ninajua kuwa phi25 25 left 1 - frac15 kulia 20, kwa sababu 25 ina kipengele kikuu kimoja tu, 5, na sehemu frac15 inawakilisha uwiano wa nambari chini ya 25 ambazo zinaweza kugawanywa na 5. Hii ina maana kwamba 1920 equiv 1 pmod25, na ninaweza kutumia hii kurahisisha 191999. Ninaweza kuandika 191999 1920 mara 99 19, kisha nitumie kipengele ambacho abc abc kupata 191999 192099 mara 1919. Kwa kuwa 1920 equiv 1 pmod25, ninaweza kuipuuza na kuzingatia 1919. Sasa, ninahitaji kupata 1919 pmod25. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia squaring mara kwa mara, ambapo mimi mraba msingi na kupunguza nusu ya kipeo kwa kurudia hadi nifikie kipeo 1. Kwa hivyo, ninaanza na 1919 equiv 19 times 192 9 pd25. Kisha, nina mraba 19 na kupata 361, ambayo inalingana na 11 mod 25. Kwa hivyo, nina 1919 equiv 19 times 119 pmod25. Kisha, nina mraba 11 na kupata 121, ambayo inalingana na -4 mod 25. Kwa hivyo, nina 1919 equiv 19 mara -44 mara 11 pmod25. Kisha, nina mraba -4 na kupata 16. Kwa hivyo, nina 1919 equiv 19 mara 162 mara 11 pmod25. Kisha, nina mraba 16 na kupata 256, ambayo inalingana na 6 mod 25. Kwa hivyo, nina 1919 equiv 19 mara 6 mara 11 pmod25. Sasa, ninazidisha 19 kwa 6 na kupata 114, ambayo inalingana na 14 mod 25. Kwa hivyo, nina 1919 equiv 14 mara 11 pmod25. Hatimaye, ninazidisha 14 kwa 11 na kupata 154, ambayo inalingana na 4 mod 25. Kwa hivyo, nina 1919 equiv 4 pmod25. Kwa hivyo, 191999 iliyogawanywa na 25 ni 4. 