<prompt> Acha P iwe pointi kwenye mkunjo xyz2 2 katika nafasi ya pande tatu. Pata umbali wa chini kabisa kati ya P na asili.  <response>: Tunataka kupunguza x2 y2 z2. Tunajua kwamba xyz2 2. Kumbuka kwamba kugeuza ishara ya z hakubadilishi x2 y2 z2 au xyz2, kwa hivyo tunaweza kudhani kuwa z ni chanya. Pia, kutoka kwa hali xyz2 2, zote x na y ni chanya, au zote mbili ni hasi. Ikiwa zote ni hasi, tunaweza kugeuza ishara ya x na y. Kwa hivyo, tunaweza kudhani kuwa x,y, na z zote ni chanya.Kisha kwa AM-GM,anzaalignx2 y2 z2 x2 y2 fracz22 fracz22 ge 4 sqrt4x2 cdot y2 cdot fracz22 cdot fracz22 4 sqrt4fracx2 y2 z44 4 sqrtfracxyz22 4.endalignKwa hivyo, sqrtx2 y2 z2 ge 2.Usawa hutokea wakati x y fraczsqrt2. Pamoja na sharti xyz2 2, tunaweza kutatua ili kupata x 1, y 1, na z sqrt2. Kwa hivyo, umbali wa chini ni 2. 