<prompt> Acha x na y ziwe nambari halisi chanya. Pata thamani ya juu zaidi yafracx y2x2 y2.  <response>: Ninataka kuongeza sehemu, kwa hivyo ninafikiria juu ya kuifanya nambari kuwa kubwa iwezekanavyo na dhehebu kuwa ndogo iwezekanavyo. Walakini, lazima pia nikumbuke kuwa x na y ni nambari halisi chanya, kwa hivyo siwezi kuzifanya ziro au hasi. Ninagundua kuwa nambari ni mraba kamili, kwa hivyo ninaweza kuiandika kama x y2 x2 y2 2xy. Hii inamaanisha kuwa sehemu inakuwa fracx2 y2 2xyx2 y2 1 frac2xyx2 y2. Sasa naona kuwa sehemu hiyo huwa kubwa kuliko au sawa na 1, kwani neno la pili sio hasi. Ninatambua kuwa muhula wa pili kwa hakika ni sawa na 2 cdot fracxyx2 y2, ambayo ni hali maalum ya usawa wa maana ya kijiometri AM-GM. Ukosefu wa usawa wa AM-GM unasema kwamba kwa nambari zozote zisizo hasi a na b, maana ya hesabu fraca b2 daima ni kubwa kuliko au sawa na maana ya kijiometri sqrtab . Nikitumia hii kwa a x2 na b y2, ninapata hiyo fracx2 y22 geq sqrtx2y2 xy . Kwa kuchukua pande zote mbili, ninapata hiyo fracxyx2 y2 leq frac12. Nikizidisha pande zote mbili kwa 2, napata hiyo 2 cdot fracxyx2 y2 leq 1. Hii ina maana kwamba muda wa pili katika sehemu hauwezi kamwe kuwa kubwa kuliko 1, na sehemu yenyewe haiwezi kuwa kubwa kuliko 2. Kwa hiyo, thamani ya juu ya sehemu ni 2, na inafanikiwa wakati muda wa pili ni sawa na 1. , ambayo hutokea wakati x y. 