<prompt> Euler aligundua kwamba polynomial pn n2 - n 41 hutoa nambari kuu kwa thamani nyingi ndogo kamili za n. Ni nambari gani ndogo kabisa chanya n ambayo pn na pn1 hushiriki kipengele cha kawaida zaidi ya 1?  <response>: Tunaona kwamba pn1 n12 - n1 41 n2 2n 1 - n - 1 41 n2 n 41. Kwa kanuni ya Euclidean, anzaalign textgcd,pn1,pn qquad maandishigcd,n2n41,n2 - n41 qquad maandishigcd,n2 n 41 - n2 - n 41, n2 - n 41 qquad textgcd,2n,n2-n41. endalignKwa kuwa n2 na n zina usawa sawa yaani, zote zitakuwa sawa au zote mbili kuwa zisizo za kawaida, basi n2 - n 41 ni isiyo ya kawaida. Kwa hivyo, inatosha kutathmini textgcd,n,n2 - n 41 textgcd,n,n2-n41 - nn-1 textgcd,n,41. Nambari kamili ndogo inayotakikana ni n 41.Kwa hakika, kwa nambari zote n kutoka 1 hadi 40, inabadilika kuwa pn ni nambari kuu. 