<prompt> Ikiwa pointi tatu 1,a,b, a,2,b, a,b,3 ni collinear, thamani ya a b ni ipi?  <response>: Ili kutatua shida hii, ninahitaji kukumbuka inamaanisha nini kwa alama tatu kuwa collinear. Inamaanisha kuwa wanalala kwenye mstari mmoja, au kwa usawa, kwamba vekta zinazounganisha yoyote kati yao ni sawa. Kwa hivyo naweza kuchagua jozi zozote mbili za alama na kupata vekta kati yao, kisha angalia ikiwa zinafanana. Kwa mfano, ninaweza kutumia 1,a,b na a,2,b kama jozi moja, na a,2,b na a,b,3 kama jozi nyingine. Vekta kutoka 1,a,b hadi a,2,b ni a-1, 2-a, 0, na vekta kutoka a,2,b hadi a,b,3 ni 0, b-2, 3-b. Vekta hizi ziko sambamba ikiwa na iwapo tu kuna k fulani isiyobadilika kiasi kwamba a-1, 2- a, 0 k0, b-2, 3-b. Hii ina maana kwamba a-1 0, 2-a kb-2, na 0 k3-b . Mlinganyo wa kwanza unamaanisha kuwa a 1, na mlinganyo wa tatu unadokeza kwamba ama k 0 au b 3. Ikiwa k 0, basi mlinganyo wa pili unatoa 2 - 1 0. , ambayo ni ya uwongo. Kwa hivyo k neq 0 na b 3. Kisha mlinganyo wa pili unakuwa 2 - 1 k3 - 2, ambayo inamaanisha kuwa k 1. Kwa hivyo nimegundua kuwa a 1, b 3, na k 1. Kwa hiyo, thamani ya a b ni 1 3 4. 