<prompt> Acha m iwe nambari kamili ndogo zaidi ambayo mzizi wake wa mchemraba ni wa umbo nr, ambapo n ni nambari kamili chanya na r ni nambari halisi chanya chini ya 11000. Tafuta n.  <response>: Ili kuweka m ndogo iwezekanavyo, tunahitaji kutengeneza n ndogo iwezekanavyo.m n r3 n3 3n2r 3nr2 r3. Kwa kuwa r frac11000 na m - n3 r3n2 3nr r2 ni nambari kamili, lazima tuwe na hiyo 3n2 3nr r 2 geq frac1r 1000. Hii inamaanisha kuwa n ndogo kabisa inapaswa kuwa ndogo zaidi kuliko 1000. Hasa, 3nr r2 inapaswa kuwa chini ya 1, kwa hivyo 3n2 999 na n sqrt333 . 182 324 333 361 192, kwa hivyo ni lazima tuwe na n geq 19. Kwa kuwa tunataka kupunguza n, tunachukua n 19. Kisha kwa thamani yoyote chanya ya r, 3n2 3nr r2 3cdot 192 1000, kwa hivyo inawezekana kwa r kuwa chini ya frac11 1000. Hata hivyo, bado tunapaswa kuhakikisha kuwa kuna r ndogo ya kutosha.Kwa kuzingatia mlinganyo m - n3 r3n2 3nr r2, tunahitaji kuchagua m - n3 ndogo iwezekanavyo ili kuhakikisha r ndogo ya kutosha. Thamani ndogo iwezekanavyo ya m - n3 ni 1, wakati m 193 1. Kisha kwa thamani hii ya m, r frac13n2 3nr r2 frac11000, na tumewekwa. Jibu ni 19. 