<prompt> Acha z iwe nambari changamano kama vile z 2. Tafuta umbali mkubwa unaowezekana kati ya 3 4iz3 na z5 unapopangwa katika ndege changamano.  <response>: Ili kupata umbali kati ya nambari mbili changamano, ninahitaji kutumia moduli au thamani kamili. Moduli ya nambari changamano a bi ni sqrta2 b2, ambayo ni sawa na urefu wa vekta kutoka asili hadi a bi katika ndege changamano. Kwa hivyo, umbali kati ya 3 4iz3 na z5 ni 3 4iz3 - z5. Ili kurahisisha usemi huu, naweza kutumia ukweli kwamba z 2 na sifa za kitendakazi cha moduli. Kwanza, ninaweza kutoa kipengele cha z3 kutoka kwa masharti yote mawili na kupata z33 4i - z2. Kisha, ninaweza kutumia ukweli kwamba z3 z3 23 8, kwa kuwa kitendakazi cha moduli ni cha kuzidisha. Kwa hivyo, nina 83 4i - z2. Sasa, nataka kuongeza usemi huu, kwa kuwa natafuta umbali mkubwa iwezekanavyo. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kuongeza moduli ya 3 4i - z2. Moduli ya tofauti ya nambari changamano ni chini ya au sawa na jumla ya moduli ya maneno mahususi, kwa usawa wa pembetatu. Kwa hivyo, 3 4i - z2 leq 3 4i z2. Moduli ya 3 4i ni sqrt32 42 5, kwa nadharia ya Pythagorean. Moduli ya z2 ni z2 22 4, kwa hoja sawa na hapo awali. Kwa hivyo, 3 4i - z2 leq 5 4 9. Hii ina maana kwamba thamani kubwa iwezekanavyo ya 83 4i - z2 ni 8 cdot 9 72. Kwa hiyo, umbali mkubwa zaidi unaowezekana kati ya 3 4i z3 na z5 ni vitengo 72. 