<prompt> Msisitizo wa duaradufu huwa -1, -1 na -1, -3. Ikizingatiwa kuwa hupitia nukta 4, -2, mlinganyo wake unaweza kuandikwa katika muundo. fracx-h2a2 fracy-k2b2 1ambapo a, b, h, k ni vifungu, na a na b ni chanya. Tafuta ak.  <response>: Ili kupata mlinganyo wa duaradufu, ninahitaji kujua kituo chake, mhimili wake mkuu, na shoka zake za nusu-kuu na nusu ndogo. Ninaweza kutumia ukweli kwamba katikati ya duaradufu ni sehemu ya katikati ya sehemu ya mstari inayojiunga na foci. Fomula ya sehemu ya kati inanipa h, k leftfrac-1 -12, frac-1 -32right -1, -2 . Kwa hivyo katikati ya duaradufu ni -1, -2 na mlingano unakuwa fracx12a2 fracy2 2b2 1. Pia najua kwamba umbali kati ya foci ni 2c, ambapo c ni umbali kutoka katikati hadi kila lengo. Fomula ya umbali inanipa 2c sqrt-1 - -12 -1 - -32 sqrt4 2. Kwa hivyo c 1 na mlinganyo inakuwa fracx12a2 fracy22b2 1, quad c 1. Ninaweza kutumia ukweli kwamba duaradufu hupitia nukta 4, -2 ili kubadilisha x 4 na y -2 kwenye mlinganyo na kupata frac412 a2 frac-222b2 1. Hii hurahisisha frac25a2 frac0b 2 1. Kwa hivyo a2 25 na a 5. Mlinganyo unakuwa fracx1225 fracy2 2b2 1, quad c 1. Ninaweza kutumia uhusiano kati ya a, b, c kwa duaradufu, ambayo ni a2 b2 c 2. Kuchomeka a 5 na c 1, Napata 52 b2 12. Hivyo b2 24 na b sqrt24. Mlinganyo unakuwa fracx1225 fracy2224 1, quad c 1. Huu ndio mlinganyo ya duaradufu katika umbo la kawaida, na ninaweza kuona kwamba mhimili mkuu ni mlalo, kwani a b. Ili kupata a k, ninaongeza tu thamani za a na k ambazo nimepata hapo awali. : a k 5 -2 3. 