<prompt> Chaguo za kukokotoa f hufafanuliwa na fz ioverlinez, ambapo i2 -1 na overlinez ni muunganisho changamano wa z. Ni thamani ngapi za z zinazotosheleza z zote mbili 5 na fz z?  <response>: Ili kusuluhisha shida hii, ninahitaji kupata nambari changamano z ambazo ziko kwenye mduara wa radius 5 unaozingatia asili na pia ni alama za kudumu za kazi f. Ninaweza kuanza kwa kuandika z katika umbo la polar, kama z rcostheta isintheta, ambapo r ndio moduli na theta ni hoja ya z . Tangu z 5, najua kuwa r 5. Sasa, naweza kuunganisha z 5costheta isintheta kwenye equation fz z na kuona ni maadili gani ya theta hufanya kuwa kweli. Napata fz ioverlinez i5costheta - 5isintheta 5sintheta icostheta. Kwa hivyo, equation fz z inakuwa 5sintheta icostheta 5costheta isintheta. Kurahisisha, napata sintheta - costheta 0. Hii ina maana kwamba tantheta 1. Kwa hivyo, theta inaweza kuwa pembe yoyote ya fomu theta fracpi4 kpi, ambapo k ni nambari kamili. Walakini, kwa kuwa z iko kwenye mduara wa radius 5, ninahitaji tu kuzingatia maadili ya theta ambayo yako katika safu 0, 2pi. Katika safu hii, kuna thamani mbili tu za theta zinazotosheleza tantheta 1: theta fracpi4 na theta frac5pi 4. Kwa hivyo, kuna thamani mbili pekee za z zinazotosheleza zote z 5 na fz z: z 5cosfracpi4 isinfracpi4 na z 5 cosfrac5pi4 isinfrac5pi4. Katika umbo la mstatili, hizi ni z frac5sqrt2 frac5sqrt2i na z -frac5sqrt 2 - frac5sqrt2i. 