<prompt> Acha x, y, na z ziwe nambari tatu chanya ambazo jumla yake ni 1. Ikiwa hakuna nambari moja kati ya hizi iliyo zaidi ya mara mbili nyingine yoyote, basi tafuta thamani ya chini zaidi ya bidhaa xyz.  <response>: Acha nambari tatu ziwe x, y, na z. Bila kupoteza jumla, chukulia kuwa x le y le z. Kisha z le 2x.Tuseme z 2x. Acha x_1 fracx z3 na z_1 frac2x 2z3. Kisha z_1 2x_1, na x_1 z_1 x z. Hatubadilishi thamani ya y. Kumbuka hiloanzaalignxyz - x_1 yz_1 y kushoto xz - fracx z3 cdot frac2x 2z3 kulia y cdot frac2z - x2x - z9 0.endalignHii inamaanisha kuwa ikiwa z 2x,na tukibadilisha x na x_1 na z na z_1, thamani ya bidhaa xyz itapungua. Sharti x y z 1 bado inashikilia. Kwa hivyo, ili kupata kiwango cha chini zaidi cha xyz, tunaweza kudhibiti umakini wetu kwa mara tatu x,y,z ambapo z 2x.Nambari zetu tatu basi ni x le y le 2x. Kwa kuwa nambari tatu zinajumlisha hadi 1, 3x y 1, hivyo y 1 - 3x. Kishax le 1 - 3x le 2x,hivyo frac15 le x le frac14.Tunataka kupunguzaxyz x1 - 3x2x 2x2 1 - 3x.Bidhaa hii ni frac4125 at x frac15 , na frac132 at x frac14. Tunaweza kuthibitisha kwamba thamani ya chini ni frac132, kama ifuatavyo:anzaalign2x2 1 - 3x - frac132 -frac192x3 - 64x2 132 frac1 - 4x48x2 - 4x - 132.endalignNi wazi 1 - 4x ge 0, na mizizi yote ya 48x2 - 4x - 1 ni chini ya frac15. Kwa hivyo,2x2 1 - 3x - frac132 frac1 - 4x48x2 - 4x - 132 ge 0kwa frac 15 le x le frac14, na usawa hutokea wakati x frac14. Kwa hivyo, thamani ya chini ni frac1 32. 