<prompt> Ni umbali gani mfupi zaidi kutoka kwa uhakika 6, 0 hadi mstari y 2x-2? Eleza jibu lako kwa njia rahisi kabisa.  <response>: Ili kupata umbali mfupi zaidi kutoka kwa uhakika hadi mstari, ninahitaji kuchora sehemu ya mstari wa perpendicular kutoka kwa uhakika hadi kwenye mstari. Urefu wa sehemu hii utakuwa umbali ninaotafuta. Mteremko wa mstari uliyopewa ni 2, kwa hivyo mteremko wa mstari wa pembeni lazima uwe ule unaofanana hasi, ambao ni -frac12. Kwa kutumia umbo la mteremko wa uhakika wa mstari, ninaweza kuandika mlinganyo wa mstari wa pembeni kama y - 0 -frac12x - 6, au y -frac1 2x 3. Ili kupata mahali ambapo mstari wa pembeni hukatiza mstari uliotolewa, ninahitaji kutatua mfumo wa milinganyo y 2x-2 na y -frac12x 3. Ninaweza kufanya hivyo kwa kubadilisha y kutoka kwa equation moja hadi nyingine na kutatua x. Kubadilisha y -frac12x 3 kwenye y 2x-2, ninapata -frac12x 3 2x - 2. Kwa kurahisisha, ninapata -frac52x -5, au x 2. Ili kupata thamani inayolingana ya y-, naweza kuchomeka x 2 kwenye mlinganyo wowote. Nitatumia rahisi zaidi, y -frac12x 3. Ninapata y -frac122 3, au y 2. Kwa hivyo hatua ya makutano ni 2, 2. Ili kupata umbali kutoka 6, 0 hadi 2, 2, naweza kutumia fomula ya umbali: d sqrtx_2 - x_12 y_2 - y_12 . Kuchomeka viwianishi, napata d sqrt2 - 62 2 - 02, au d sqrt-42 22 , au d sqrt16 4, au d sqrt20. Ninaweza kurahisisha sqrt20 kwa kubainisha mraba mkubwa kabisa unaougawanya, ambao ni 4. Ninapata d sqrt4 cdot 5, au d sqrt4 cdot sqrt5, au d 2sqrt5. 