<prompt> Acha theta iwe pembe kati ya ndege 2x y - 2z 3 0 na 6x 3y 2z - 5 0. Tafuta cos theta.  <response>: Ili kupata pembe kati ya ndege mbili, ninahitaji kutumia bidhaa ya dot ya vekta zao za kawaida. Vekta ya kawaida ya ndege ni vekta ya mgawo wake, kwa hivyo vekta za kawaida za ndege zilizopewa ni vecn_1 2, 1, -2 na vecn_2 6 , 3, 2. Bidhaa ya nukta ya vekta mbili imetolewa na vecn_1 cdot vecn_2 vecn_1 vecn_2 cos theta, ambapo theta ni pembe kati yao. Kwa hivyo, ili kupata cos theta, ninahitaji kupata vecn_1 cdot vecn_2 na vecn_1 vecn_2. Bidhaa ya nukta vecn_1 na vecn_2 ni 2 cdot 6 1 cdot 3 -2 cdot 2 12 3 - 4 11. Ukubwa wa vecn_1 ni sqrt22 12 -22 sqrt9 3. Ukubwa wa vecn_2 ni sqrt62 32 22 sqrt49 7. Kwa hiyo, cos theta frac vecn_1 cdot vecn_2vecn_1 vecn_2 frac113 cdot 7 frac1121. 