<prompt> Tatua mlingano wa joto ut α22ux2 ukitumia masharti ya mpaka u0,t 0 na uL,t 0.  <response>: Ili kutatua equation ya joto na hali ya mipaka iliyopewa, tutatumia njia ya kujitenga kwa vigezo. Tunadhania kuwa suluhisho ux,t linaweza kuandikwa kama bidhaa ya kazi mbili, moja kutegemea tu x na nyingine kutegemea tu t:ux,t XxTtSasa hebu tuunganishe hii kwenye equation ya joto:ut α2 2ux2Xx dTdt α2 Tt d2Xdx2Sasa gawanya pande zote mbili kwa α2 XT:1α2T dTdt 1X d2Xdx2Tambua kuwa upande wa kushoto unategemea t tu na upande wa kulia unategemea x tu. Kwa kuwa hizi ni tofauti zinazojitegemea, pande zote mbili lazima ziwe sawa na zisizobadilika. Wacha tuite hii mara kwa mara -λ:1α2T dTdt -λ1X d2Xdx2 -λSasa tunayo milinganyo miwili ya kawaida ya kusuluhisha:d2Xdx2 λX 0dTdt α2λT 0Wacha kwanza tusuluhishe equation ya pili ya Tt:dTdt α2λT 0Hii ni ODE ya mpangilio wa kwanza, ambayo ina suluhisho la jumla:Tt Ce-α2λt, ambapo C ni kiholela kiholela.Sasa wacha tusuluhishe equation ya kwanza ya Xx:d2Xdx2 λX 0Hii ni ODE ya mpangilio wa pili yenye usawa na vipatanishi vya mara kwa mara. Njia ya suluhisho inategemea ishara ya λ:1. Ikiwa λ 0, basi Xx A cosλx B sinλx2. Ikiwa λ 0, basi Xx Ax B3. Ikiwa λ 0, basi Xx A e-λx B e--λxSasa tunaweka masharti ya mpaka u0,t 0 na uL,t 0:u0,t X0Tt 0 X0 0uL,t XLTt 0 XL 0Kutoka kwa hali ya mpaka wa kwanza, tunaweza kuona kwamba kesi 1 na 3 tu zinakidhi hali hii. Hata hivyo, kesi ya 3 husababisha ukuaji mkubwa au kuoza kwa x, ambayo si ya kawaida kwa tatizo la upitishaji joto na ncha zisizobadilika katika halijoto sifuri. Kwa hivyo, tunazingatia kesi 1 tu.Kwa hivyo, Xx B sinλx, na kwa kuwa X0 0, hatuhitaji kuwa na wasiwasi kuhusu neno la cosine.Sasa hebu tutumie hali ya pili ya mpaka, XL 0:B dhambiλL 0Kwa kuwa B haiwezi kuwa sifuri vinginevyo suluhu litakuwa dogo, lazima tuwe na dhambiλL 0. Hii hutokea wakati λL nπ, ambapo n ni nambari kamili. Kwa hivyo, λ_n nπL2, na eigenfunctions sambamba ni:X_nx dhambinπxLSuluhisho la jumla la equation ya joto hutolewa na mchanganyiko wa mstari wa eigenfunctions hizi zinazozidishwa na sehemu zao zinazotegemea wakati:ux,t Σ C_n dhambinπxLe-α2nπL2tIli kupata mgawo C_n, tunahitaji kujua usambazaji wa halijoto ux,0. Wacha tuite kazi hii fx:fx Σ C_n dhambinπxLIli kupata coefficients C_n, tunaweza kutumia Fourier sine mfululizo:C_n 2L 0,L fxdhambinπxL dxMwishowe, suluhisho la equation ya joto na hali ya mipaka iliyopewa ni:ux,t Σ 2L 0,L fxdhambinπxL dx dhambinπxLe-α2nπL 2t 