<prompt> Wasichana kumi na moja wamesimama karibu na duara. Mpira unarushwa kwa mwendo wa saa kuzunguka duara. Msichana wa kwanza, Ami, anaanza na mpira, anaruka wasichana watatu wanaofuata na kumrushia msichana wa tano, ambaye kisha anawaruka wasichana watatu wanaofuata na kumtupia msichana wa tisa mpira. Ikiwa mtindo wa kurusha utaendelea, pamoja na urushaji wa kwanza wa Ami, ni mipira mingapi ya jumla inayohitajika ili mpira urudi kwa Ami?  <response>: Ninahitaji kufahamu ni miruko mingapi inafanywa kabla ya mpira kurudi kwa Ami. Ninaweza kufikiria kila kurusha kama kusonga kutoka nafasi moja kwenye duara hadi nyingine, na kuweka alama kwenye nafasi hizo kwa nambari kutoka 1 hadi 11, nikianza na Ami saa 1. Mpira unasogea nafasi 4 kwa mwendo wa saa kila unapotupwa, ili niweze. andika formula kwa nafasi ya mpira baada ya n kutupa: P n 1 4n mod 11. Mod 11 ina maana kwamba ikiwa nambari ya nafasi inazidi 11, mimi huondoa 11 kutoka kwake hadi iwe kati ya 1 na 11. Kwa mfano, P 3 1 4 3 mod 11 13 mod 11 2 Ninataka kupata thamani ndogo zaidi chanya ya n kiasi kwamba Pn 1, kumaanisha kuwa mpira umerudi kwenye nafasi ya Ami. Naweza kujaribu baadhi ya maadili ya n na kuona nini kinatokea. P 1 1 4 mod 11 5, hivyo mpira uko kwenye nafasi ya tano baada ya kutupa moja. P2 1 8 mod 11 9, hivyo mpira uko kwenye nafasi ya tisa baada ya kurusha mara mbili. P 3 1 12 mod 11 2, hivyo mpira uko kwenye nafasi ya pili baada ya kutupa tatu. P 4 1 16 mod 11 6, hivyo mpira uko kwenye nafasi ya sita baada ya kurusha nne. P 5 1 20 mod 11 10, hivyo mpira uko kwenye nafasi ya kumi baada ya kutupa tano. P 6 1 24 mod 11 3, hivyo mpira uko kwenye nafasi ya tatu baada ya kurusha sita. P7 1 28 mod 11 7, hivyo mpira uko katika nafasi ya saba baada ya kurusha saba. P8 1 32 mod 11 11, hivyo mpira uko katika nafasi ya kumi na moja baada ya kurusha nane. P9 1 36 mod 11 4, hivyo mpira uko kwenye nafasi ya nne baada ya kurusha tisa. P10 1 40 mod 11 8, hivyo mpira uko kwenye nafasi ya nane baada ya kurusha kumi. P11 1 44 mod 11 1, hivyo mpira unarudi kwenye nafasi ya kwanza baada ya kurusha kumi na moja. Kwa hivyo, thamani ndogo zaidi ya n inayofanya kazi ni 11, na hiyo inamaanisha kuna jumla ya kurusha 11 zinazohitajika ili mpira urudi kwa Ami. 