<prompt> Onyesha kwamba ikiwa kikundi G kina mpangilio pn, ambapo p ni kuu, basi G ina kipengele cha mpangilio p.  <response>: Acha G iwe kikundi cha mpangilio pn, ambapo p ni kuu. Tutatumia induction kwenye n.Kesi ya msingi n 1: Ikiwa mpangilio wa G ni p1 p, basi kwa nadharia ya Lagrange, mpangilio wa kila kipengele kisicho cha utambulisho katika G lazima ugawanye mpangilio wa G. Kwa kuwa p ni msingi, vigawanyiko pekee ya p ni 1 na p yenyewe. Kwa hivyo, kipengele chochote kisicho cha utambulisho katika G kina mpangilio uk.Hatua ya kufata neno: Tuseme kwamba kwa nambari kamili k 1, ikiwa kikundi H kina mpangilio pk, basi H ina kipengele cha mpangilio uk. Sasa acha G iwe kikundi cha mpangilio pk1. Kwa nadharia ya Cauchy, kuna kipengele x katika G hivi kwamba mpangilio wa x ni uk. Acha H x kiwe kikundi kidogo kinachozalishwa na x. Kisha H p, na hivyo GH pk.Kwa nadharia ya utangulizi, kuna kipengele yH katika GH chenye mpangilio uk. Hiyo ni, yHp H, au kwa usawa, yp H. Kwa kuwa x inatokeza H, tuna yp xr kwa nambari kamili ya r. Kumbuka kwamba kwa kuwa mpangilio wa x ni p, tuna xp e, ambapo e ni kipengele cha utambulisho cha G. Hivyo, ypp xrp xrp e. Hii inamaanisha kuwa mpangilio wa y unagawanya p2.Ikiwa mpangilio wa y ni p2, basi tumemaliza. Vinginevyo, mpangilio wa y lazima ugawanye p, ambayo inamaanisha mpangilio wa y ni 1 au p. Mpangilio wa y hauwezi kuwa 1 kwa sababu y si kipengele cha utambulisho vinginevyo, yH itakuwa kipengele cha utambulisho katika GH, ambayo inakinzana na dhana kwamba yH ina mpangilio p. Kwa hiyo, utaratibu wa y lazima uwe p. Hii inakamilisha hatua ya induction.Kwa utangulizi, tumeonyesha kwamba ikiwa kikundi G kina agizo pn kwa nambari kamili n 1, basi G ina kipengele cha mpangilio p. 