<prompt> Kuna nambari chanya za 2011 zenye jumla yake na jumla ya upatanishi wake sawa na 2012. Acha x iwe mojawapo ya nambari hizi. Pata thamani ya juu zaidi ya x frac1x.  <response>: Acha nambari zingine za 2010 ziwe y_1, y_2, dots, y_2010. Kisha y_1 y_2 dots y_2010 2012 - x na frac1 y_1 frac1y_2 vidoti frac1y_2010 2012 - frac1x. Na Cauchy-Schwarz,kushoto sum_i 12010 y_i kulia kushoto sum_i 12010 frac1y_i kulia 2012 - x kushoto 2012 - frac1x kulia ge 20102.Kisha 20122 - 2012 kushoto x frac1x kulia 1 ge 20102, ambayo inaongoza kwax frac1x le frac80452012.Mlinganyo x frac1x frac80452012 inapungua hadi x2 - frac80452012 x 1 0, ambayo ina mizizi halisi. Kisha tunaweza kuweka y_i frac2012 - x2010 ili kufikia usawa. Kwa hivyo, thamani ya juu zaidi ni frac80452012. 