<prompt> Nambari ya aina nyingi x6 shoka b inaweza kugawanywa kwa x2 - 2x - 1. Pata a b.  <response>: Shida hii inaniuliza nitafute mgawo wa mgawo wa polynomial na salio, ukipewa mgawanyiko na gawio. Ninaweza kutumia mgawanyiko mrefu wa polynomial au mgawanyiko wa syntetisk kupata mgawo na salio, lakini hiyo inaweza kuwa ya kuchosha na kukabiliwa na makosa. Njia nyingine ya kushughulikia shida hii ni kutumia ukweli kwamba ikiwa polynomial px inaweza kugawanywa na qx, basi pr 0 kwa mzizi wowote wa qx . Hii inamaanisha kuwa ninaweza kupata mizizi ya x2 - 2x - 1 na kuichomeka kwenye x6 ax b na kuiweka sawa na sifuri. Ili kupata mizizi ya x2 - 2x - 1, ninaweza kutumia fomula ya quadratic: x frac-b pm sqrtb2 - 4ac2a, ambapo a 1, b -2, c -1. Hii inanipa x frac2 pm sqrt4 42 frac2 pm 2sqrt22 1 pm sqrt2 . Sasa nina mizizi miwili, 1 sqrt2 na 1 - sqrt2, na ninaweza kuzichomeka kwenye x6 ax b na kuiweka sawa na sufuri. Kwa mzizi wa kwanza, ninapata 1 sqrt26 a1 sqrt2 b 0. Kwa mzizi wa pili, ninapata 1 - sqrt26 a1 - sqrt2 b 0. Ninaweza kurahisisha milinganyo hii kwa kupanua uwezo wa 1 sqrt2 na 1 - sqrt2 kwa kutumia nadharia ya binomial, au kwa kutambua kuwa ni jozi za kuunganisha na kwamba nguvu zao. itakuwa na masharti sawa na maneno yasiyo ya kawaida kinyume. Kwa mfano, 1 sqrt22 1 2sqrt2 2 3 2sqrt2, na 1 - sqrt22 1 - 2sqrt2 2 3 - 2sqrt2. Vile vile, 1 sqrt26 99 70sqrt2, na 1 - sqrt26 99 - 70sqrt2. Kwa hivyo milinganyo inakuwa 99 70sqrt2 a1 sqrt2 b 0 na 99 - 70sqrt2 a1 - sqrt2 b 0. Sasa nina mfumo wa milinganyo miwili ya mstari katika mbili zisizojulikana, a na b, na ninaweza kuitatua kwa kuondoa au kubadilisha. Kwa kuongeza milinganyo miwili, ninaondoa masharti yanayohusisha sqrt2 na kupata 198 2a 2b 0. Kugawanya kwa 2, ninapata 99 a b 0. Kwa kuondoa mlinganyo wa pili kutoka wa kwanza, mimi huondoa masharti ya kudumu na kupata 140sqrt2 2asqrt2 0. Nikigawanya kwa sqrt2, ninapata 140 2a 0. Kutatua kwa a, napata a -70. Kubadilisha a -70 ndani ya 99 a b 0, napata 99 - 70 b 0. Kutatua kwa b , ninapata b -29. Kwa hiyo, a b -70 - 29 -99. 