<prompt> Acha gx x5 x4 x3 x2 x 1. Ni nini kinachosalia wakati polynomial gx12 inagawanywa na polynomial gx?  <response>: Ninajua kuwa nadharia iliyobaki inaniambia kuwa salio wakati px ya polynomial imegawanywa na qx nyingine ya polynomial ni sawa na pr, ambapo r ni mzizi wa qx. Kwa hivyo, nikiweza kupata mzizi wa gx, ninaweza kuchomeka kwenye gx12 na kupata salio. Ili kupata mzizi wa gx, naweza kutumia nadharia ya mzizi wa busara, ambayo inasema kwamba mzizi wowote wa kimantiki wa gx lazima uwe wa umbo pm fracpq , ambapo p ni kipengele cha neno lisilobadilika na q ni kipengele cha mgawo unaoongoza. Neno lisilobadilika la gx ni 1, kwa hivyo p inaweza tu kuwa pm 1. Mgawo unaoongoza wa gx pia ni 1, kwa hivyo q pia inaweza kuwa pm 1 pekee. Kwa hivyo, mizizi pekee inayowezekana ya gx ni pm 1. Ninaweza kuangalia ikiwa pm 1 kweli ni mizizi ya gx kwa kuzichomeka na kuona ikiwa zinatengeneza gx sawa na sifuri. Nikichomeka x 1, nitapata g1 1 1 1 1 1 1 6, ambayo si sifuri. Kwa hivyo, x 1 sio mzizi wa gx. Nikichomeka x -1, nitapata g-1 -15 -14 -13 -12 - 1 1 -1 1 - 1 1 - 1 1 0, ambayo ni sifuri. Kwa hivyo, x -1 ni mzizi wa gx. Hii inamaanisha kuwa naweza kutumia x -1 kama thamani ya r katika nadharia iliyobaki. Ili kupata salio wakati gx12 imegawanywa na gx, ninahitaji tu kutathmini g-112. Ninaweza kurahisisha -112 kwa kutumia kanuni ya kielezi kinachosema kwamba -12n 1 kwa nambari yoyote n. Kwa hivyo, -112 1. Kwa hivyo, iliyobaki ni g1 tu, ambayo tayari niliihesabu kama 6. 