<prompt> Nambari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, na 8 zimeandikwa nasibu kwenye nyuso za octahedron ya kawaida ili kila uso uwe na nambari tofauti. Uwezekano wa kwamba hakuna nambari mbili zinazofuatana, ambapo 8 na 1 zinachukuliwa kuwa zinazofuatana, zimeandikwa kwenye nyuso zinazoshiriki ukingo mmoja ni mn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya. Tafuta m n.  <response>: Chagua uso mmoja wa octahedron bila mpangilio na uweke lebo na 1. Kuna nyuso tatu karibu na hii, ambayo tutaiita A-nyuso. Kuna nyuso tatu zinazopakana na nyuso mbili za A, ambazo tutaziita sura za B, na uso mmoja karibu na nyuso tatu za B, ambazo tutaziita uso wa C.Ni wazi kwamba lebo za nyuso za A lazima zitoke kwenye seti 3,4,5,6,7, kwa kuwa nyuso hizi zote ziko karibu na 1. Kwa hivyo kuna 5 cdot 4 cdot 3 60 njia za kugawa lebo za nyuso za A.Lebo za nyuso za B na C-face ni nambari mbili zilizosalia kutoka kwa seti iliyo hapo juu, pamoja na 2 na 8. Nambari iliyo kwenye uso wa C haipaswi kufuatana na nambari zozote kwenye nyuso za B.Kuanzia hapa ni rahisi zaidi kulazimisha uwezekano wa 10 kwa nambari za 4 kwenye nyuso za B na C:2348 2678: 82 ndiyo pekee isiyo karibu na nyingine yoyote, kwa hivyo huenda kwenye uso wa C. 46 ina uso mmoja tu wa B ambayo inaweza kwenda, wakati 2 na 3 7 na 8 inaweza kugawiwa kwa nasibu kwa mbili za mwisho. 2 uwezekano hapa.2358 2578: 5 haiwezi kwenda kwenye uso wowote wa B, kwa hivyo lazima iwe kwenye uso wa C. 3 na 8 2 na 7 zina uso mmoja tu unaoruhusiwa wa B, kwa hivyo uwezekano 1 tu hapa.2368 2478: 64 haiwezi kwenda kwenye uso wowote wa B, kwa hivyo lazima iwe kwenye uso wa C. 3 na 8 2 na 7 zina uso mmoja tu unaoruhusiwa wa B, kwa hivyo uwezekano 1 hapa.2458 2568: Nambari zote zina uso mmoja tu wa B ambao wangeweza kwenda. 2 na 4 6 na 8 zinaweza kuendelea sawa, kwa hivyo mtu lazima aende kwenye uso wa C. Ni 28 pekee ambayo haifuatani na zingine zozote, kwa hivyo huenda kwenye uso wa C. 1 uwezekano.2378: Hakuna nambari yoyote inayoweza kwenda kwenye uso wa C kwa sababu watakuwa mfululizo na nambari moja ya uso wa B. Kwa hivyo uwezekano huu hauwezekani.2468: Zote 4 na 6 haziwezi kwenda kwenye uso wowote wa B. Hawawezi wote kwenda kwenye uso wa C, kwa hivyo uwezekano huu hauwezekani.Kuna jumla ya uwezekano wa 10. Kuna 3!6 ruhusa zaidi kama mizunguko ya kila moja, kwa hivyo 60 njia zinazokubalika za kujaza oktahedron iliyosalia kutokana na 1. Kuna 7!5040 njia za kujaza octahedron kwa nasibu. Kwa hivyo uwezekano ni frac 605040 frac 184. Jibu ni 85. 