<prompt> Kuna bf positive integers c ambazo equation 5x211xc0ina masuluhisho ya busara. Je, ni bidhaa gani ya thamani hizo mbili za c?  <response>: Ili kutatua tatizo hili, nitatumia ukweli kwamba equation ya quadratic ina ufumbuzi wa busara ikiwa na tu ikiwa ubaguzi wake, sehemu iliyo chini ya mizizi ya mraba katika fomula ya quadratic, ni mraba kamili. Kibaguzi cha mlinganyo 5x211xc0 ni 112-4cdot 5cdot c 121-20c. Ninataka hii iwe mraba kamili, kwa hivyo nitatafuta thamani za c ambazo hufanya 121-20c kuwa mraba wa nambari kamili. Kwa mfano, ikiwa c1, basi 121-20c 101, ambayo si mraba. Ikiwa c2, basi 121-20c 81, ambayo ni mraba wa 9. Ningeweza kujaribu c3, lakini hiyo ingefanya 121-20c 61, ambayo si mraba. Ningeweza kujaribu c4, lakini hiyo ingetengeneza 121-20c 41, ambayo sio mraba. Ningeweza kujaribu c5, lakini hiyo ingetengeneza 121-20c 21, ambayo sio mraba. Ningeweza kujaribu c6, lakini hiyo ingefanya 121-20c 1, ambayo ni mraba wa 1. Kwa hivyo c6 ni thamani nyingine inayowezekana ya c ambayo inafanya equation kuwa na masuluhisho ya busara. Nimepata maadili mawili ya c, 2 na 6, ambayo hufanya equation kuwa na suluhisho za busara. Shida inauliza bidhaa ya maadili hayo mawili ya c. Bidhaa ya 2 na 6 ni 12. 