<prompt> Je, unaweza kutoa uthibitisho rahisi kwa theroem ya bolzano-weierstrass?  <response>: Ndiyo, ninaweza kutoa uthibitisho rahisi wa nadharia ya Bolzano-Weierstrass. Hii hapa:Nadharia ya Bolzano-Weierstrass inasema kwamba mfuatano wowote ulio na mipaka wa nambari halisi huwa na mfuatano wa kufuatana.Uthibitisho:Acha a_n iwe mfuatano ulio na mipaka wa nambari halisi. Hii ina maana kwamba kuna baadhi ya M 0 kama vile a_n M kwa wote n.Sasa, tunaweza kuunda mifuatano miwili, b_n na c_n, kama ifuatavyo: 1. Acha b_1 a_1 2. Kwa n 2, acha b_n a_k, ambapo k ni faharasa ndogo zaidi kiasi kwamba a_k haipo katika seti b_1, b_2, ..., b_n-1. 3. Acha c_n maxa_1, a_2, ..., a_n kwa wote n.Kwa kuwa b_n ni mfululizo wa a_n, inatosha kuonyesha kuwa b_n inaunganika.Kwanza, kumbuka kuwa b_n ni mfuatano ulio na mipaka, kwa sababu ni mfuatano wa mfuatano uliowekwa a_n.Kisha, tunadai kuwa c_n ni mfuatano unaopungua ambao hubadilika hadi kiwango sawa na b_n.Ili kuona hili, kumbuka kuwa c_n ni mfuatano unaopungua, kwa sababu kila neno ni upeo wa seti maalum ya masharti ya kupungua. Zaidi ya hayo, c_n inabanwa hapa chini na neno lolote katika b_n, kwa kuwa kila neno katika c_n ndilo upeo wa seti yenye kikomo inayojumuisha angalau neno moja katika b_n. Kwa hivyo, c_n hubadilika hadi kiwango fulani cha L.Sasa, tunadai kuwa b_n hubadilika kuwa L pia. Ili kuona hili, acha epsilon 0 itolewe. Kwa kuwa c_n inabadilika kuwa L, kuna N kama hizo c_n - L epsilon2 for all n N. Aidha, kwa kuwa b_n ni mtiririko wa c_n, kuna baadhi ya M kama vile b_n c_m kwa baadhi ya m M na n m. Kisha, tunayo:b_n - L c_m - L epsilon2 epsilonKwa hivyo, b_n hubadilika kuwa L pia, kukamilisha uthibitisho. 