<prompt> Acha a na b ziwe nambari halisi chanya kiasi kwamba a 2b 1. Pata thamani ya chini zaidi yafrac2a frac1b.  <response>: Ili kupata thamani ya chini ya chaguo la kukokotoa, ninahitaji kupata thamani za a na b ambazo hufanya derivative yake kuwa sawa na sifuri. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kuelezea kazi katika suala la kutofautisha moja, kwani nina kizuizi kinachohusiana a na b. Kwa kutumia kikwazo, naweza kuandika b frac1 - a2 na kuibadilisha kwenye chaguo la kukokotoa. Hii inanipa frac2a frac1b frac2a frac21 - a. Sasa naweza kuchukua derivative ya chaguo hili la kukokotoa kwa heshima na a na kuiweka sawa na sifuri. Kwa kutumia kanuni ya mgao, napata fracdda leftfrac2a frac21 - aright -frac22 a2 frac21 - a2. Kuweka hii sawa na sufuri na kurahisisha, napata 0 -frac2a2 frac 21 - a2 inamaanisha frac1a2 frac11 - a2 inamaanisha a2 1 - a 2. Kupanua miraba, napata a2 1 - 2a a2 inamaanisha 2a 1 inamaanisha frac12. Ili kupata thamani inayolingana ya b, ninatumia kikwazo tena na kupata b frac1 - a2 frac1 - frac122 frac1101 4. Ili kuangalia kama hiki ni cha chini kabisa, cha juu zaidi, au hapana, ninaweza kutumia jaribio la pili la derivative. Nyingine ya pili ya chaguo za kukokotoa kuhusiana na a ni fracd2da2 leftfrac2a frac21 - a kulia frac4a3 frac41 - a3. Kutathmini hili kwa a frac12, napata frac4a3 frac41 - a3 frac4frac123 frac 4frac123 32 32 64 0. Kwa kuwa derivative ya pili ni chanya, chaguo la kukokotoa limeunganishwa kwa a frac12 , kumaanisha kuwa ni pointi ya chini zaidi. Kwa hivyo, thamani ya chini kabisa ya chaguo za kukokotoa inafikiwa wakati a frac12 na b frac14. Ili kupata thamani ya chini zaidi, ninachomeka thamani hizi kwenye chaguo za kukokotoa na kupata frac2a frac1b frac2frac12 frac1frac14 4 4 8. 