<prompt> Masuluhisho ya equation z44z3i-6z2-4zi-i0 ni vipeo vya poligoni mbonyeo katika ndege changamano. Eneo la poligoni hii linaweza kuonyeshwa katika muundo pab, ambapo a,b,p ni nambari kamili chanya, p ni msingi, na a na b ni bora kiasi. Tafuta a b p.  <response>: Kuna fomula ya eneo la poligoni mbonyeo yoyote. Ni Adfrac12 x_1 y_2 x_2 y_3 cdots x_n y_1 - x_2 y_1 x_3 y_2 cdots x_1 y_n. Tuna z_1x_1i y_1, z_2x_2i y_2, na kadhalika. Eneo letu basi ni Adfrac12 x_1 y_2 - x_2 y_1 x_2 y_3 - x_3 y_2 cdots x_n y_1 - x_1 y_n. z_1 muhtasariz_2 - z_2 ujumlaz_1 x_1 i y_1x_2 - i y_2 - x_2 i y_2x_1 - i y_1. Wacha tuunganishe usemi huu kwenye fomula ya eneo la poligoni yetu. Ikiwa tunatumia ukweli kwamba z_1, z_2, z_3, z_4 ndio mizizi ya polynomial z44z3i-6z2-4zi-i0... . ..na kutumia fomula za Vieta, tunaweza kurahisisha usemi wa A hata zaidi. z_1z_2z_3z_4i Hiyo ni vizuri kujua. Sasa tunaweza kutumia ukweli kwamba z_1, z_2, z_3, z_4 ndio mizizi ya polynomial zi4-1i0. Inajulikana kuwa ikiwa n ni nambari chanya na z ni nambari changamano kiasi kwamba zn1, basi z ni mzizi wa n-th wa umoja. Hebu tufikirie kuhusu mizizi ya 4-th ya umoja. Mizizi ya 4-th ya umoja ni 1, i, -1, -i. Lakini tunatafuta suluhu za z41i. Kwa bahati nzuri, tunajua kwamba 1isqrt2 cdot ei pi 4. Kwa hivyo z4sqrt2 ei fracpi4. Tunatoa z katika umbo la polar, zr ei theta. Tuna r4 ei 4 thetasqrt2 ei fracpi4. Tunaona kwamba rsqrt4sqrt2. Tunajua kuwa sqrt22frac12. Kwa hivyo thetafracpi16fracpi k2. Hilo ni wazo zuri. Hebu tuite upande wa mraba s. Eneo la mraba ni s2. Tuna s2sqrt2182-2182. Sawa, s2frac221822. Eneo ni 2214, ambayo ni sawa na 254. p2, a5, b4, abp25411. 