<prompt> Tafuta idadi ya nambari tofauti changamano z na sifa ambazo z1 na z6!-z5! ni nambari halisi.  <response>: Tangu z 1, tunaweza kuandika z jina la operetacis theta, ambapo 0circ le theta 360circ. Kishaz6! - z5! jina la kiendeshajicis 720 theta - jina la operetacis 120 thetani nambari halisi. Kwa maneno mengine, sin 720 theta - sin 120 theta 0. Kutoka kwa fomula za jumla-kwa-bidhaa,2 cos 420 theta sin 300 theta 0.Ikiwa cos 420 theta 0, basi 420 theta lazima iwe kizidishio kisicho cha kawaida cha 90circ, i.e.420 theta 2n 1 90circkwa kiasi fulani kamili n. Thamani zinazowezekana za n ni 0, 1, 2, dots, 839, kwa suluhu 840.Ikiwa sin 300 theta 0, basi 300 theta lazima iwe mgawo wa 180circ, i.e.300 theta m cdot 180circkwa kiasi fulani kamili m. Thamani zinazowezekana za m ni 0, 1, 2, dots, 599, kwa suluhu 600.Ikiwa theta inaweza kutolewa na tofauti hizi zote mbili, basi theta dfrac2n 1 90circ420 dfracm cdot 180circ300, au 52n 1 14m. Hakuna masuluhisho kamili kwa mlingano huu kwa kuwa upande wa mkono wa kushoto unaweza kuwa usio wa kawaida huku upande wa kulia ungekuwa sawa.Kwa hivyo hatujazidisha, na kuna jumla ya 840 600 1440 ufumbuzi. 