<prompt> Mlolongo a_n unafafanuliwa kama ifuatavyo:a_i 1 frac11 - a_ikwa i ge 1. Ikiwa a_3 a_1, compute a_99.  <response>: Kwa hivyo tumepewa kuwa a_i 1 frac11 - a_i kwa i ge 1. Haki. Na tunataka kupata a_99. Lakini kwanza, tunapaswa kupata a_9. Ndiyo, tunapaswa kupata sheria na masharti yote ya kufikia a_9. Kwa hivyo, kwa kuwa a_3 a_1, tuna a_4 frac11 - a_3 frac11 - a_1. Sawa, kwa hivyo a_9a_1. Lakini tunataka a_99. Tangu a_9a_1, jibu ni a_19. Kwa hivyo a_1frac11-frac11-a_1. Ambayo hurahisisha kuwa a_1frac1frac1-a_11-a_1-frac11-a_1. Ambayo hurahisisha zaidi a_1frac1frac1-a_1-11-a_1. Kwa hivyo a_1frac1frac-a_11-a_1. Hii inamaanisha a_1frac1-a_1-a_1. Ikiwa tutazidisha pande zote mbili kwa -a_1, tutapata -a_121-a_1. Kwa hivyo -a_12-1a_10. Kwa hivyo -a_12a_1-10. Kwa fomula ya quadratic, a_1frac-1pmsqrt12-4-1-12-1. Haki. Kwa hivyo a_1frac-1pmsqrt1-4-2. Ambayo hurahisisha kuwa a_1frac-1pmsqrt-3-2. Kwa hivyo a_1frac1pm isqrt32. Lakini tunatafuta a_19. Haki. Tunaweza kutumia nadharia ya de Moivre kupata a_19. Lakini kwanza, tunahitaji kubadilisha a_1 hadi umbo la polar. Haki. Acha a_1xyi. Tangu a_1frac1pm isqrt32, tuna x frac12 na ypm fracsqrt3 2. Kwa hivyo tunatafuta a_19xyi9. Kwa nadharia ya de Moivre, hii ni sawa na r9cos9thetaisin9theta, ambapo rsqrtx2y2 na thetaarctanfracyx. Kwa hivyo rsqrtfrac14pmfracsqrt322sqrtfrac14frac 34sqrt11. Na thetaarctanpm sqrt3pm fracpi3. Kwa hivyo a_1919cos9thetaisin9theta. Tangu thetapm fracpi3, tuna 9thetapm 3pi. Haki. Kwa hivyo a_1919cospm 3piisinpm 3pi. Kwa kuwa cos3pi-1 na sin3pi0, tuna a_1919-1i0 . Kwa hivyo a_19-1, na hilo ndilo jibu letu la mwisho. 