<prompt> Kila nambari kamili 1, 2,3,dots,16 imeandikwa kwenye kipande tofauti cha karatasi na vijisehemu hivi vimewekwa kwenye rundo. Jillian atachora bila mpangilio vijisehemu kutoka kwenye rundo bila kubadilisha na ataendelea kuchora hadi nambari mbili kati ya ambazo amechora kutoka kwenye rundo ziwe na bidhaa ambayo ni mraba kamili. Je, ni idadi gani ya juu zaidi ya slaidi ambazo Jillian anaweza kuchora bila kupata bidhaa ambayo ni mraba kamili?  <response>: Kumbuka kwamba nambari kamili inaitwa square-free ikiwa kipeo pekee kinachoonekana katika ubainishaji mkuu wa nambari kamili ni 1. Kwa mfano, 2cdot3cdot11 haina mraba, lakini 73cdot13 na 2 2cdot3 sio. Tunafafanua sehemu isiyo na mraba ya nambari kamili ambayo si mraba kamili kuwa kipengele kikuu kisicho na mraba cha nambari kamili. Kwa mfano, sehemu isiyo na mraba ya 18 ni 6, na sehemu isiyo na mraba ya 54 ni 6. Miraba kamili ina sehemu isiyo na mraba ya 1.Tambua kuwa nambari mbili chanya huongezeka ili kutoa mraba kamili ikiwa na ikiwa tu sehemu zao zisizo na mraba ni sawa au nambari kamili ni miraba kamili. Kwa hivyo, tukiangalia sehemu zisizo na mraba za nambari kamili kati ya 1 na 16, idadi ya juu zaidi ya slaidi ambazo Jillian anaweza kuchora ni idadi ya sehemu tofauti zisizo na mraba zinazoonekana. Jedwali lililo hapa chini limegawanywa katika mistari miwili linaonyesha sehemu zisizo na mraba za nambari kamili kati ya 1 na 16. begintabularccc1 2 3 4 5 6 7 8 mstari1 2 3 1 5 6 7 2mwishotabular anzatabularccc9 10 11 12 13 14 15 16 line1, 10, 11, 3, 13, 14, 15, 1.endtabular Jillian anaweza kuchora karatasi zenye alama 5, 6, 7, 10, 11,13, 14, na 15, na pia moja kutoka kwa kila seti 1, 4,9,16, 2,8, na 3,12 kwa jumla ya hati 11. 