<prompt> Ni nambari ngapi chanya n inatosheleza n 8n - 3n-120  <response>: Tatizo hili linahusisha polynomial ya ujazo, ambayo inaweza kuwa na mizizi tatu au sifuri. Bidhaa ya mambo matatu ni hasi ikiwa na tu ikiwa idadi isiyo ya kawaida kati yao ni hasi, na iliyobaki ni chanya. Kwa hivyo, ninahitaji kupata vipindi ambapo moja au tatu ya sababu ni hasi, na zingine ni chanya. Ili kufanya hivyo, kwanza ninahitaji kupata sufuri za kila sababu, ambazo ni maadili ya n ambayo yanawafanya kuwa sifuri. Sufuri za vipengele ni n -8, 3, 12. Hizi hugawanya mstari wa nambari katika vipindi vinne: -infty, -8, -8, 3, 3, 12, 12, infty. Katika kila muda, naweza kuchagua thamani yoyote ya n na kuichomeka kwenye mambo ili kuangalia ishara zao. Kwa mfano, katika kipindi cha -infty, -8, naweza kuchagua n -10 na kuona kwamba n 8n - 3n-12 -2 -13-22 -572, ambayo ni hasi. Kwa hivyo, thamani zote za n katika muda huu zinakidhi ukosefu wa usawa. Vile vile, katika kipindi -8, 3, naweza kuchagua n 0 na kuona kwamba n 8n - 3n-12 8-3 -12 288, ambayo ni chanya. Kwa hivyo, hakuna thamani yoyote ya n katika kipindi hiki inayokidhi ukosefu wa usawa. Katika kipindi cha 3, 12, naweza kuchagua n 5 na kuona kwamba n 8n - 3n-12 132-7 -182, ambayo ni hasi. Kwa hivyo, thamani zote za n katika muda huu zinakidhi ukosefu wa usawa. Katika kipindi cha 12, infty, naweza kuchagua n 15 na kuona kwamba n 8n - 3n-12 23123 828, ambayo ni chanya. Kwa hivyo, hakuna thamani yoyote ya n katika kipindi hiki inayokidhi ukosefu wa usawa. Ili kupata idadi kamili ya nambari chanya zinazokidhi ukosefu wa usawa, ninahitaji kuhesabu ni nambari ngapi chanya ziko katika vipindi -infty, -8 na 3, 12. Katika kipindi cha -infty, -8, hakuna nambari kamili chanya, kwani zote ni chini ya -8. Katika muda 3, 12, kuna 12 - 3 - 1 8 integers chanya, kwa kuwa ni 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. 