<prompt> Ni thamani gani pekee kamili ya n ambayo fracn113-n ni nambari kuu chanya?  <response>: Ili kujibu swali hili, ninahitaji kufikiria ni masharti gani lazima yatimizwe ili usemi fracn113-n uwe nambari kuu chanya. Kwanza, kwa kuwa usemi ni sehemu, ninahitaji kuhakikisha kuwa dhehebu 13-n sio sifuri, kwa sababu hiyo ingefanya sehemu hiyo isifafanuliwe. Hiyo inamaanisha n haiwezi kuwa 13. Pili, kwa kuwa usemi ni chanya, ninahitaji kuhakikisha kuwa nambari n1 na denominator 13-n zina ishara sawa. Hiyo inamaanisha kuwa zote mbili ni chanya au zote mbili ni hasi. Tatu, kwa kuwa usemi huo ni nambari kuu, ninahitaji kuhakikisha kuwa nambari n1 na denominator 13-n ni coprime, kumaanisha kuwa hazina sababu za kawaida isipokuwa 1. Hiyo ina maana kwamba hawawezi kushiriki wagawanyiko wowote wakuu. Sasa, naweza kutumia masharti haya kuondoa baadhi ya maadili yanayowezekana ya n. Kwa mfano, ikiwa n ni kubwa kuliko 13, basi kiashiria cha 13-n ni hasi, lakini nambari n1 ni chanya, ambayo inakiuka sharti la pili. Kwa hivyo n haiwezi kuwa kubwa kuliko 13. Vile vile, ikiwa n ni chini ya -1, basi nambari n1 ni hasi, lakini denominator 13-n ni chanya, ambayo pia inakiuka sharti la pili. Kwa hivyo n haiwezi kuwa chini ya -1. Hii ina maana kwamba n lazima iwe katika kipindi -1, 13. Katika kipindi hiki, kuna 15 pekee thamani kamili zinazowezekana za n: -1, 0, 1, 2, dots, 12. Ninaweza kuangalia kila moja ya thamani hizi na kuona ikiwa zinafanya usemi fracn113-n kuwa nambari kuu chanya. Kwa n 12, usemi huwa frac131, ambayo ni 13, nambari kuu chanya. Kwa hivyo, thamani pekee kamili ya n ambayo fracn113-n ni nambari kuu chanya ni n 12. 