<prompt> Makadirio ya beginpmatrix 0 3 z endpmatrix kwenye beginpmatrix -3 5 -1 endpmatrix nifrac1235 anzapmatrix -3 5 -1 endpmatrix.Tafuta z.  <response>: Ili kuweka vekta kwenye vekta nyingine, ninahitaji kutumia fomula textproj_u v fracv cdot uu cdot u u, ambapo u ndio vekta ninayo. kuangazia na v ndio vekta ninayoonyesha. Katika tatizo hili, u anzapmatrix -3 5 -1 endpmatrix na v anzapmatrix 0 3 z endpmatrix. Kwa hivyo, nikichomeka hizi kwenye fomula, ninapata textproj_u v fracbeginpmatrix 0 3 z endpmatrix cdot beginpmatrix -3 5 -1 mwishopmatrixanzapmatrix -3 5 -1 mwishopmatrix cdot anzapmatrix -3 5 -1 mwisho pmatrix anzapmatrix -3 5 -1 mwishopmatrix. Kwa kurahisisha bidhaa za nukta, ninapata textproj_u v frac15 - z35 beginpmatrix -3 5 -1 endpmatrix. Nikilinganisha hili na makadirio yaliyotolewa, naona kwamba frac15 - z35 frac1235. Kutatua kwa z , napata z 15 - 12 3. 