<prompt> Acha w_1, w_2, dots, w_n ziwe nambari changamano. Laini L katika ndege changamano inaitwa mstari wa wastani wa pointi w_1, w_2, dots, w_n ikiwa L ina pointi nambari changamano z_1, z_2, dots, z_n kiasi kwambasum_k 1n z_k - w_k 0.Kwa nambari w_1 32 170i, w_2 -7 64i, w_3 -9 200i, w_4 1 27i, na w_5 -14 43i, kuna mstari wa maana wa kipekee na y-katiza 3. Tafuta mteremko wa mstari huu wa maana.  <response>: Tatizo hili linahusisha nambari na mistari changamano katika ndege changamano, kwa hivyo ninahitaji kukumbuka baadhi ya mambo ya msingi kuzihusu. Nambari changamano z a bi inaweza kuwakilishwa kama pointi a, b katika ndege ya kuratibu, ambapo sehemu halisi a ni x-coordinate na sehemu ya kuwaziwa b ni. kuratibu y. Mstari L katika ndege changamano inaweza kuandikwa kwa njia ya y mx b, ambapo m ndio mteremko na b ni y-intercept. Ili kupata mteremko wa mstari, ninahitaji alama mbili kwenye mstari. Tatizo hunipa nambari tano changamano w_1, w_2, dots, w_5, lakini si lazima ziwe kwenye mstari wa wastani. Mstari wa maana hufafanuliwa na hali kwamba sum_k 1n z_k - w_k 0, ambayo ina maana kwamba jumla ya tofauti kati ya pointi z_k kwenye mstari na pointi w_k not on the line ni sifuri. Hali hii ni sawa na kusema kwamba katikati ya wingi wa pointi w_k iko kwenye mstari wa wastani. Ili kupata kitovu cha alama w_k, ninahitaji kupeana wastani sehemu zao halisi na za kuwaziwa. Wastani wa sehemu halisi ni frac32 -7 -9 1 -145 frac35. Wastani wa sehemu za kuwazia ni frac170 64 200 27 435 frac5045. Kwa hivyo, katikati ya uzito wa pointi w_k ni frac35 frac5045i, ambayo ni pointi kwenye mstari wa wastani. Ili kupata nukta nyingine kwenye mstari wa maana, naweza kutumia ukweli kwamba y-intercept ni 3. Hii ina maana kwamba wakati x 0, y 3. Kwa hivyo, 0 3i ni hatua nyingine kwenye mstari wa maana. Sasa, nina pointi mbili kwenye mstari wa wastani: frac35 frac5045i na 0 3i. Ili kupata mteremko, ninahitaji kugawanya tofauti ya y-coordinates zao kwa tofauti ya x-coordinates zao. Tofauti ya y-coordinates zao ni frac5045 - 3 frac4895. Tofauti ya x-coordinates zao ni frac35 - 0 frac35. Mteremko ni fracfrac4895frac35 frac4893 163. 