<prompt> Ikizingatiwa kuwa z ni nambari changamano ambayo zfrac 1z2cos 3circ, pata z2000frac 1z2000.  <response>: Ninagundua kuwa mlinganyo uliotolewa unaonekana kama kitu kinachohusiana na umbo la trigonometric ya nambari changamano, ambapo zreitheta na frac 1zfrac 1r e-itheta. Kwa hivyo ninajaribu kuandika tena hesabu katika fomu hiyo na kuona ikiwa naweza kupata r na theta. Nikizidisha pande zote mbili kwa z, ninapata z212zcos 3circ. Kupanga upya, nitapata z2-2zcos 3circ10. Huu ni mlinganyo wa quadratic katika z, kwa hivyo ninaweza kutumia fomula ya quadratic kupata mizizi yake. Ninapata zfrac2cos 3circ pm sqrt4cos2 3circ-42. Kwa kurahisisha, napata zcos 3circ pm isin 3circ. Hii inamaanisha kuwa r1 na thetapm 3circ. Kwa hivyo zepm i3circ na frac 1zemp i3circ. Sasa ninataka kupata z2000frac 1z2000. Ninaweza kutumia mali ambayo eitheta iliyoinuliwa kwa nguvu yoyote ni eitheta cdot textpower. Kwa hivyo z2000epm i3circ cdot 2000 na frac 1z2000emp i3circ cdot 2000. Nikiziongeza pamoja, ninapata z2000frac 1z2000ei3circ cdot 2000e-i3circ cdot 2000. Ninaweza kutumia fomula ya kosine ya pembe kulingana na maelezo changamano, ambayo ni cos thetafraceithetae-itheta2. Kwa hivyo z2000frac 1z20002cos 3circ cdot 2000. Ninaweza kutumia ukweli kwamba cos theta ni ya mara kwa mara na kipindi 360circ kurahisisha usemi huu. Ninapata z2000frac 1z20002cos 3circ cdot 2000 mod 360circ. Ninaweza kutumia ukweli kwamba 3circ cdot 2000 6000circ 16 cdot 360circ 240circ kupata salio wakati imegawanywa na 360circ. Ninapata z2000frac 1z20002cos 240circ. Ninaweza kutumia ukweli kwamba cos 240circ -frac 12 kupata jibu la mwisho. 