<prompt> Nini thamani ya 0.overline789-0.overline456-0.overline123? Eleza jibu lako kama sehemu katika maneno ya chini kabisa.  <response>: Ninagundua kuwa shida hii inahusisha kurudia decimals, ambayo inaweza kuwa gumu kufanya kazi nayo. Njia moja ya kurahisisha ni kuzidisha kwa nguvu ya 10 inayolingana na urefu wa sehemu inayojirudia. Kwa mfano, ili kurahisisha 0.overline789, ninaweza kuzidisha kwa 1000, kwa kuwa sehemu inayojirudia ina urefu wa tarakimu 3. Hii inanipa 0.overline789times 1000789.overline789. Kisha ninaweza kutoa nambari asili kutoka pande zote mbili, ambayo hunipa 0.overline789times 1000-0.overline789789.overline789-0.overline789. Upande wa kulia, sehemu za desimali hughairiwa, na kuniacha na 789. Upande wa kushoto, naweza kubainisha 0.overline789, ambayo inanipa 0.overline7891000-1 789 . Kutatua kwa 0.overline789, napata 0.overline789frac789999. Ninaweza kufanya vivyo hivyo kwa desimali zingine mbili zinazojirudia, 0.overline456 na 0.overline123. Nikizidisha kwa 1000 na kutoa, ninapata 0.overline456frac456999 na 0.overline123frac123999. Sasa ninaweza kutoa sehemu hizi, kwa kutumia kiashiria cha kawaida cha 999. Ninapata frac789999-frac456999-frac123999frac789-456 -123999. Kwa kurahisisha nambari, ninapata frac210999. Ili kupunguza sehemu hii hadi masharti ya chini kabisa, ninahitaji kupata sababu kubwa zaidi ya kawaida ya 210 na 999. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia factorization kuu. 210 inaweza kuandikwa kama 2mara 3mara 5mara 7. 999 inaweza kuandikwa kama 33mara 37. Jambo pekee la kawaida ni 3, kwa hivyo ninaweza kugawanya nambari na kiashiria kwa 3. Hii inanipa frac70333 kama jibu la mwisho. 