<prompt> Tafuta eneo la pembetatu lenye urefu wa upande 13, 17, na 12sqrt2.  <response>: Tunaanza kwa kuchora mchoro na kuweka lebo kwenye wima A, B, na C kama inavyoonyeshwa:asyjozi A, B, C;A0,0; B17,0; C5,12;kuchoraA--B--C--mzunguko;leboA,A,W; leboB,B,E; leboC,C,N;lebo13,AC2,NW; lebo12sqrt2,BC2,NE; lebo17,AB2,S;asyTunashusha kipenyo kutoka C hadi overlineAB na kuweka lebo ya sehemu ya makutano X. X inagawanya AB katika sehemu mbili AX na XB ambazo ni jumla ya 17, kwa hivyo acha AXx na XB17-x. Ruhusu urefu wa pembetatu, CX, uwe na urefu wa h.asyjozi A, B, C, X;A0,0; B17,0; C5,12; X5,0;kuchoraA--B--C--mzunguko; kuchoraC--X;leboA,A,W; leboB,B,E; leboC,C,N; leboX,X,S;lebo13,AC2,NW; lebo12sqrt2,BC2,NE; lebox,AX2,S; lebo17-x,BX2,S;leboh,CX2,E;choraalama ya kuliaC,X,B,20;asySasa tuna pembetatu mbili za kulia, kwa hivyo tunaweza kutumia nadharia ya Pythagorean kwenye pembetatu zote kuandika milinganyo miwili kulingana na x na h. Kutoka pembetatu AXC, tuna x2h2132, na kutoka pembetatu CXB, tuna 17-x2h2 12sqrt22. Kupanua mlinganyo wa pili hutoa 289-34xx2h2144cdot 2 288; kubadilisha mlinganyo wa kwanza hadi wa pili hutoa 289-34x132288. Kurahisisha na kutatua kwa x hutoa 116934x, hivyo x170345. Kuchomeka thamani hii kwenye mlingano wa kwanza huleta h2132-x2169-25144, hivyo hsqrt14412. Hatimaye, tunaweza kukokotoa eneo la pembetatu ABC kuwa frac12ABhfrac121712102. 