<prompt> Kuna aina ya kipekee ya polinomia Px ya shahada 4 yenye viambatanisho vya busara na mgawo unaoongoza 1 ambao una sqrt2sqrt5 kama mzizi. P1 ni nini?  <response>: Tatizo hili linahusisha kutafuta polinomia iliyo na mgawo wa kimantiki ambayo ina mzizi usio na mantiki, ambao unahusiana na wazo la nambari za aljebra na polima ndogo zaidi. Nambari ya aljebra ni nambari ambayo ni mzizi wa polinomia isiyo sifuri iliyo na vipatanishi vya kimantiki, na polimanomia ndogo ya nambari ya aljebra ni ponomia ya monic ya shahada ya chini kabisa ambayo ina nambari hiyo kama mzizi. Kwa kuwa tatizo linaomba polynomial ya shahada 4 yenye mgawo unaoongoza 1, ninaweza kudhani kuwa hii ndiyo polimanomia ndogo zaidi ya sqrt2sqrt5. Ili kupata hii polynomial, ninaweza kuanza kwa kuweka pande zote mbili za equation xsqrt2sqrt5, ambayo inatoa x2252sqrt10. Kisha ninaweza kutenga neno na mzizi wa mraba na mraba pande zote mbili tena, ambayo inatoa x2-7240. Nikipanua upande wa kushoto na kutoa 40 kutoka pande zote mbili, ninapata x4-14x290. Hii ndiyo polynomial inayotakikana, kwa hivyo ninaweza kuchomeka x1 ili kupata P114-14129-4. 