<prompt> Kokotoa kinyume cha kuzidisha cha 201 modulo 299. Eleza jibu lako kama nambari kamili kutoka 0 hadi 298.  <response>: Ninahitaji kupata nambari kamili x kiasi kwamba 201x equiv 1 pmod299. Ninaweza kutumia algorithm iliyopanuliwa ya Euclidean kupata suluhisho kama hilo. Ninaanza kwa kugawa 299 kwa 201 na kuandika salio: 299 1 cdot 201 98. Kisha ninagawanya 201 kwa 98 na kuandika salio: 201 2 cdot 98 5. Kisha ninagawanya 98 kwa 5 na kuandika salio: 98 19 cdot 5 3. Kisha ninagawanya 5 kwa 3 na kuandika salio: 5 1 cdot 3 2. Kisha ninagawanya 3 kwa 2 na kuandika salio: 3 1 cdot 2 1. Hatimaye, ninagawanya 2 kwa 1 na kuandika salio: 2 2 cdot 1 0. Sasa nimefika mwisho wa algoriti, na salio la mwisho la nonzero ndio kigawanyo kikuu cha kawaida cha 201 na 299, ambacho ni 1. Hii ina maana kwamba 201 na 299 ni za juu kiasi, na kuna suluhu kwa mlinganyo 201x - 299y 1. Ili kupata suluhisho, mimi hufanya kazi nyuma kutoka kwa mgawanyiko niliofanya. Ninaanza na mlinganyo wa mwisho: 3 1 cdot 2 1. Kisha ninabadilisha 3 na usemi wake kwa masharti ya 98 na 5: 1 2 cdot 98 - 19 cdot 5 - 1 cdot 5. Ninarahisisha na kuandika 1 kama mchanganyiko wa mstari wa 98 na 5: 1 2 cdot 98 - 39 cdot 5. Kisha mimi hubadilisha 5 na usemi wake katika suala la 201 na 98: 1 2 cdot 98 - 39 cdot 201 - 2 cdot 98. Ninarahisisha na kuandika 1 kama mseto wa mstari wa 201 na 98: 1 80 cdot 98 - 39 cdot 201. Kisha mimi hubadilisha 98 na usemi wake kwa masharti ya 299 na 201: 1 80 cdot 299 - 1 cdot 201 - 39 cdot 201. Ninarahisisha na kuandika 1 kama mseto wa mstari wa 299 na 201: 1 80 cdot 299 - 119 cdot 201. Hili ndilo suluhisho nililokuwa nikitafuta: x -119 na y 80. Hata hivyo, ninataka kueleza x kama nambari chanya kutoka 0 hadi 298. Ninaweza kufanya hivi kwa kuongeza 299 hadi x hadi iwe chanya. Ninaona kuwa x 299 180 ni chanya na katika safu inayotaka. Kwa hivyo, kinyume cha kuzidisha cha 201 modulo 299 ni 180. 