<prompt> Acha z iwe nambari changamano kama hiyoz frac1z 1.Tafuta z3.  <response>: Ninagundua kuwa equation ina sehemu iliyo na z kwenye denominator, kwa hivyo ninataka kuiondoa kwa kuzidisha pande zote mbili na z. Hii inanipa z2 1 z, au z2 - z 1 0. Sasa nina equation ya quadratic katika z, ambayo ninaweza kujaribu kutatua kwa kutumia fomula ya quadratic. Fomula ya quadratic inaniambia kuwa suluhu za z ni z frac1 pm sqrt1 - 42. Walakini, usemi ulio chini ya mzizi wa mraba ni mbaya, kwa hivyo lazima nitumie nambari za kufikiria. Nakumbuka kuwa sqrt-1 i, ambapo i ni kitengo cha kuwazia kinachotosheleza i2 -1. Kwa hivyo suluhu za z ni z frac1 pm isqrt32. Hizi ni nambari mbili changamano katika fomu a bi, ambapo a na b ni nambari halisi. Ninaweza kutumia kanuni za kielezi kwa nambari changamano kupata z3. Ninajua kuwa a bi3 a3 3a2bi - 3ab2 - b3i. Kwa hivyo ninahitaji tu kuchomeka a frac12 na b fracsqrt32 na kurahisisha. Kwa suluhu la kwanza, nina z frac1 isqrt32, kwa hivyo z3 frac1 isqrt32 3. Kupanua na kurahisisha, napata z3 frac18 frac38isqrt3 - frac98 - frac33 8isqrt3. Kuchanganya maneno kama hayo, ninapata z3 -1. Kwa suluhisho la pili, nina z frac1 - isqrt32, kwa hivyo z3 frac1 - isqrt32 3. Kupanua na kurahisisha, napata z3 frac18 - frac38isqrt3 - frac98 frac33 8isqrt3. Kuchanganya maneno kama hayo, ninapata z3 -1. Kwa hivyo suluhisho zote mbili hunipa dhamana sawa kwa z3. Kwa hiyo, jibu ni z3 -1. 