<prompt> Mduara ulio na kituo cha C ni sanjari kwa shoka chanya x na y-na mduara unaolenga nje unaozingatia 3,0 na radius 1. Je, ni jumla gani ya radii zote zinazowezekana za duara na kituo cha C?  <response>: Ninagundua kuwa mduara ulio na kituo cha C lazima uwe na radius sawa na umbali kutoka C hadi mhimili wowote, kwa kuwa ni tangent kwa zote mbili. Pia ninaona kwamba umbali kutoka C hadi katikati ya mduara mwingine, 3,0, lazima uwe jumla ya radii zao, kwa kuwa ni tangent nje. Ninaweza kutumia ukweli huu kuandika mlinganyo wa umbali kutoka C hadi 3,0 kulingana na eneo la duara lenye kituo cha C, ambacho nitaita r. Nikiruhusu viwianishi vya C kuwa r,r, basi umbali kutoka C hadi 3,0 ni sqrtr-32 r2 kwa fomula ya umbali. Umbali huu lazima uwe sawa na r1, ili niweze kusanidi equation sqrtr-32 r2 r1 na kutatua r. Nitaanza kwa kupiga pande zote mbili ili kuondoa mzizi wa mraba. Hii inanipa r-32 r2 r12. Kupanua miraba, napata r2 - 6r 9 r2 r2 2r 1. Kurahisisha, napata r2 - 8r 8 0. Ili kutatua kwa r, nitatumia fomula ya quadratic. Ninapata r frac8 pm sqrt64 - 322. Kwa kurahisisha, napata r frac8 pm sqrt322. Ninaweza kurahisisha mzizi wa mraba zaidi kwa kuweka alama 4. Ninapata r frac8 pm 4sqrt22. Nikigawanya kwa 2, napata r 4 pm 2sqrt2. Hizi ndizo thamani mbili zinazowezekana za r, kwa hivyo jumla ya radii zote zinazowezekana za duara na kituo cha C ni 4 2sqrt2 4 - 2sqrt2 8. 