<prompt> Coefficients ya polynomiala_10 x10 a_9 x9 a_8 x8 vitone a_2 x2 a_1 x a_0 0zote ni nambari kamili, na mizizi yake r_1, r_2, dots,r_10 zote ni nambari kamili. Zaidi ya hayo, mizizi ya polynomiala_0 x10 a_1 x9 a_2 x8 vitone a_8 x2 a_9 x a_10 0pia ni r_1, r_2, dots,r_10. Tafuta idadi ya seti nyingi zinazowezekana S r_1, r_2, dots, r_10.Seti nyingi, tofauti na seti, inaweza kuwa na vipengele vingi. Kwa mfano, -2, -2, 5, 5, 5 na 5, -2, 5, 5, -2 ni seti nyingi sawa, lakini zote mbili ni tofauti na -2, 5, 5, 5. Na kama kawaida, a_10 neq 0 na a_0 neq 0.  <response>: Wacha tuandike polynomial katika fomu iliyojumuishwa. Polynomia itakuwa ya aina a_10x-r_1x-r_2cdotsx-r_10. Ikiwa tutapanua hii, tutapata polynomial iliyotolewa. Kwa maneno mengine, coefficients zote ni zidishi za a_10. Kwa hivyo coefficients zote ni zidishi za a_0 pia. Kwa hivyo, viambajengo vyote ni vizidishio vya textlcma_10,a_0. Hii ina maana kwamba a_10pm a_0. Tukichomeka hii kwenye polynomial, tutapata a_10x-r_1x-r_2cdotsx-r_10pm a_0x-r_1x-r_2 cdotsx-r_10. Hiyo ni hatua nzuri. Tunaweza kuchomeka x1x kwenye mlingano ulio hapo juu ili kupata a_101x-r_11x-r_2cdots1x-r_10 pm a_01x-r_11x-r_2cdots1x-r_10. Tukizidisha kwa x10, pande hizo mbili zitakuwa sawa. Hiyo inamaanisha kuwa x10pm 1. Kwa hivyo a_10 ni 1 au -1. Hebu kwanza tuzingatie kesi a_101. Hiyo ni kweli. Kwa hivyo tunahitaji kuhesabu idadi ya seti nyingi kama hizo. Hebu tuone jinsi tunavyoweza kugawanya r_i hadi -1s na 1s. Idadi ya njia za kufanya hivi ni sawa na idadi ya njia za kuchagua nambari ya -1 katika kizigeu. Sawa, wacha tuseme kwamba kuna k -1s. Kwa hivyo tuna 11 iwezekanavyo seti nyingi katika kesi hii. Nakubali. 