<prompt> Chuo cha Hisabati cha Marekani kinashikilia mwelekeo wake kwa wanafunzi wapya wanaoingia. Darasa la wanafunzi wapya wanaoingia lina watu wasiozidi 500. Wanafunzi wapya wanapoambiwa wajipange katika safu wima za 23, watu 22 wako kwenye safu wima ya mwisho. Wanafunzi wapya wanapoambiwa wajipange katika safu wima za 21, watu 14 wako kwenye safu wima ya mwisho. Je! ni watu wangapi walio katika darasa la wanafunzi wapya wanaoingia?  <response>: Ikiwa n ni idadi ya watu katika darasa linaloingia, basi n itatoa salio la 14 ikigawanywa na 21. Kwa kuwa 21 na 14 zote zinaweza kugawanywa na 7, hii inamaanisha kuwa n inaweza kugawanywa kwa 7. Bainisha kn7, na kumbuka kuwa 7k equiv 14pmod21. Tukigawanya kwa 7, tunapata kequiv 2pmod3. Tukizidisha kwa 7 tena, tunapata nequiv 14pmod3, ambayo inamaanisha nequiv 2pmod3. Kwa hivyo tunatafuta suluhisho la mfumo ufuatao wa miunganisho ya mstari: anzaalignnsawa 0 pmod7, nsawa 2 pmod3,nequiv 22 pmod23. endalign Kwanza, tunatafuta suluhu la miunganisho miwili ya mwisho. Kuangalia nambari ambazo ni moja chini ya kizidishio cha 23, tunapata kwamba 68 inatosheleza nequiv 2pmod3. Kulingana na Nadharia ya Mabaki ya Uchina, nambari kamili n zinazotosheleza miungano miwili ya mwisho ni zile zinazotofautiana kabisa na 68 kwa kizidishio cha 3cdot 2369. Tukiangalia 6869, 682cdot 69, n.k. tunapata kwamba 68 5cdot 69 413 ndio suluhu chanya kabisa kwa miunganisho miwili ya mwisho ambayo pia inaweza kugawanywa kwa 7. Kumbuka kwamba, kwa Nadharia iliyosalia ya Kichina tena, masuluhisho ya mfumo ulio hapo juu wa miunganisho mitatu ni nambari kamili chanya ambazo hutofautiana na 413 kwa kizidisho cha 7cdot3cdot23483, kwa hivyo 413 ndio suluhisho pekee kati ya 0 na 500. 