<prompt> Ikiwa a,b,c ni nambari kamili kutoka kwa seti kamili ya nambari chanya chini ya 7 ambayo inaanzaalignabcsawa 1pmod 7,5csawa 2pmod 7,6bsawa na 3bpmod 7,endalignbasi ni nini kinachosalia wakati abc inagawanywa kwa 7?  <response>: Ninagundua kuwa mlinganyo wa kwanza unahusisha bidhaa ya a,b,c, kwa hivyo ninashangaa ikiwa ninaweza kutumia milinganyo mingine miwili kutatua c na b kulingana na a. Ninaanza na equation ya pili, ambayo inaniambia kuwa 5cequiv 2pmod 7. Ninataka kutenga c kwa upande mmoja, kwa hivyo ninahitaji kupata ubadilishaji wa kuzidisha wa 5 modulo 7. Nakumbuka kwamba kinyume cha kuzidisha cha x modulo n ni nambari y kiasi kwamba xyequiv 1pmod n. Pia ninakumbuka kuwa njia moja ya kupata kinyume cha kuzidisha ni kutumia algoriti iliyopanuliwa ya Euclidean, ambayo hupata nambari kamili s na t vile sxtn1. Katika hali hii, ninataka kupata s na t kiasi kwamba 5s7t1. Ninaweza kutumia algoriti ya Euclidean kupata kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida cha 5 na 7, kisha nirudi nyuma kutafuta s na t. Ninaanza kwa kugawanya 7 kwa 5 na kuandika salio: 75cdot 12. Kisha ninagawanya 5 kwa 2 na kuandika salio: 52cdot 21. Hatimaye, ninagawanya 2 kwa 1 na kuandika salio: 21cdot 20. Ninakomea hapa, kwa sababu salio ni sifuri, na salio la mwisho la nonzero ndilo kigawanyo kikuu cha kawaida cha 5 na 7, ambacho ni 1. Ili kupata s na t, ninafanya kazi kinyumenyume kutoka kwa mlinganyo wa mwisho: 15-2cdot 2. Ninabadilisha 2 na 7-5cdot 1 kutoka mlingano wa kwanza: 15-7-5cdot 1cdot 2. Ninarahisisha na kupanga upya: 15cdot 3-7cdot 2. Kwa hiyo, s3 na t-2. Hii inamaanisha kuwa 5cdot 3sawa 1pmod 7, kwa hivyo 3 ni kinyume cha kuzidisha cha 5 modulo 7. Ninaweza kutumia hii kutatua kwa c katika mlinganyo wa pili: 5cequiv 2pmod 7inamaanisha cequiv 3cdot 2pmod 7implies cequiv 6pmod 7. Kwa kuwa sasa nina c, ninaweza kutumia mlinganyo wa tatu kutatua b: 6bequiv 3bpmod 7inamaanisha 5bequiv 3pmod 7. Ninahitaji kupata ubadilishaji wa kuzidisha wa 5 modulo 7 tena, lakini tayari ninajua kuwa ni 3. Ninaweza kutumia hii kutatua kwa b: 5bequiv 3pmod 7implies bequiv 3cdot 3pmod 7implies bequiv 2pmod 7. Nina c na b, lakini bado ninahitaji a. Ninaweza kutumia mlinganyo wa kwanza kutatua kwa a: abcequiv 1pmod 7inamaanisha aequiv bc-1pmod 7. Nahitaji kupata ubadilishaji wa kuzidisha wa bc modulo 7, lakini tayari ninajua kuwa bc6cdot 212equiv 5pmod 7. Ninajua pia kuwa kinyume cha kuzidisha cha 5 modulo 7 ni 3. Ninaweza kutumia hii kutatua kwa a: aequiv 3pmod 7. Sasa nina a,b,c kulingana na mabaki yao modulo 7. Ninahitaji kupata salio la abc linapogawanywa na 7. Ninaweza kutumia ukweli kwamba salio la jumla ni sawa na jumla ya masalio, yote yamepunguzwa modulo 7. Ninapata abcsawa 326sawa 11sawa 4pmod 7. 