<prompt> Acha P iwe 0,5, acha Q iwe 6,9, na acha R iwe 12,0. Bainisha eneo la yenye pembe ya kulia pembetatu PQR.  <response>: Ili kupata urefu wa mguu PQ, naweza kutumia fomula ya umbali: PQ sqrt6-02 9-52 sqrt36 16 sqrt52. Vile vile, ili kupata urefu wa mguu QR, naweza kutumia fomula ya umbali tena: QR sqrt12-62 0-92 sqrt36 81 sqrt117. Sasa nina urefu wa miguu yote miwili, ili niweze kuichomeka kwenye fomula ya eneo: A frac12 cdot PQ cdot QR frac12 cdot sqrt52 cdot sqrt117. Ili kurahisisha usemi huu, ninaweza kutumia sifa ambayo sqrta cdot sqrt b sqrtab kwa nambari zozote chanya a na b. Kwa hivyo, A frac12 cdot sqrt52 cdot 117 frac1 2 cdot sqrt6084. Ninagundua kuwa 6084 inaweza kugawanywa na 4, ambayo ni mraba kamili, kwa hivyo ninaweza kuandika A frac12 cdot sqrt4 cdot 1521 frac12 cdot sqrt4 cdot sqrt1521 frac12 cdot 2 cdot sqrt1521 sqrt1521 . Hatimaye, ninaweza kupata mzizi wa mraba wa 1521 kwa kujaribu baadhi ya vipengele kamili. Ninaona kuwa 1521 inaweza kugawanywa na 3, kwa hivyo ninaweza kuandika A sqrt3 cdot 507. Kisha naona kuwa 507 pia inaweza kugawanywa na 3, kwa hivyo ninaweza kuandika A sqrt3 cdot 3 cdot 169. Kisha ninatambua kuwa 169 ni mraba kamili, yaani, mraba 13, kwa hivyo ninaweza kuandika A sqrt3 cdot 3 cdot 13 cdot 13 sqrt9 cdot 169 sqrt9 cdot sqrt169 3 cdot 13 39. 