<prompt> Katika mchoro, miduara minne ya kipenyo cha 1 chenye vituo P, Q, R, na S zimeunganishwa moja kwa nyingine na kwenye kando ya pembetatu ABC, kama inavyoonyeshwa. asyukubwa 200;jozi A, B, C, P, Q, R, S;R0,0;Q-2,0;S2,0;P1,1.732;B-5.73,-1;C3.732,-1;A1.366,3.098;choraA--B--C--A;choramduaraP, 1;choramduaraQ, 1;choramduaraR, 1;choramduaraS, 1;leboA, A, N;leboB, B, SW;lebo C, C, SE;nukta P;nukta Q;nukta R;nukta S;leboP, P, N;leboQ, Q, SW;leboR, R, SW;leboS, S, SE;asyTafuta mzunguko wa pembetatu ABC.  <response>: Jiunge na PQ, PR, PS, RQ, na RS. Kwa kuwa miduara iliyo na vituo Q, R na S zote ni sawa na BC, basi QR na RS kila moja ni sambamba na BC kama vituo Q, R na S ni kila kitengo 1 zaidi ya BC. Hii inatuambia kuwa QS hupitia R.Vile vile, kwa kuwa P na S ni kila kitengo kimoja kutoka AC, basi PS ni sambamba na AC. Pia, kwa kuwa P na Q ni kila kitengo kimoja kutoka AB, basi PQ ni sambamba na AB. Kwa hiyo, pande za pembetatu PQS ni sambamba na pande zinazolingana za pembetatu ABC.Wakati vituo vya miduara ya tangent vimeunganishwa, sehemu za mstari zinazoundwa hupitia hatua inayohusiana ya tangency, na hivyo kuwa na urefu sawa na jumla ya radii ya miduara hiyo. Kwa hiyo, QRRSPRPS112.asyukubwa 200;jozi P, Q, R, S;Q0,0;R2,0;S4,0;P3,1.732;leboQ, Q, SW;leboR, R, dir270;leboS, S, SE;leboP, P, N;choramduaraQ,1, iliyokatika;choramduaraP,1, dashed;choramduaraR,1, dashed;choramduaraS,1, umekatika;choraP--Q--S--P--R;asyTangu PRPSRS, tunajua pembetatu PRS ni sawa, hivyo angle PSRangle PRS60circ. Kwa kuwa angle PRS60circ na QRS ni mstari ulionyooka, tuna angle QRP180circ-60circ120circ.Tangu QRRP, tunajua pembetatu QRP ni isosceles, kwa hivyo angle PQR frac12180circ-120circ 30circ. Kwa kuwa angle PQS30circ na angle PSQ60circ, tuna angle QPS 180circ - 30circ - 60circ 90 circ,so pembetatu PQS ni 30circ-60circ-90circ pembetatu.Pembe za pembetatu ABC ni sawa na pembe zinazolingana za pembetatu PQS, kwa hivyo pembetatu ABC ni 30circ-60circ-90circ pembetatu. Hii ina maana kwamba ikiwa tunaweza kubainisha urefu wa upande mmoja wa pembetatu ABC, basi tunaweza kubainisha urefu wa pande nyingine mbili kwa kutumia uwiano wa upande katika 30circ-60circ-90 circ pembetatu.Zingatia upande wa AC. Kwa kuwa mduara ulio na kituo cha P ni sanjari kwa pande AB na AC, mstari kupitia A na P unatenganisha angle BAC mara mbili. Kwa hivyo, angle PAC45circ. Vile vile, mstari kupitia C na S hutenganisha angle ACB mara mbili. Kwa hivyo, angle SCA30circ. Tunatoa trapezoid APSC kutoka kwa mchoro, kupataasyukubwa 200;jozi A, P, S, C, Z, X;C0,0;Z1.732,0;X3.732,0;A4.732,0;S1.732,1;P3.732,1;choraA--X--Z--C--S--P--A;choraS--Z;kuchoraP--X;leboA, A, SE;leboZ, Z, dir270;leboX, X, dir270;leboC, C, SW;leboS, S, NW;leboP, P, dir45;lebo1, SZ2, E;lebo1, XP2, E;lebo2, SP2, N;chora1.732,.15--1.882,.15--1.882,0;chora3.732,.15--3.582,.15--3.582,0;lebo30circ, .35,.15, E;lebo45circ, 4.5,.15, W;asyDondosha viambajengo kutoka P na S hadi X na Z, mtawalia, kwa upande AC. Kwa kuwa PS inalingana na AC, na PX na SZ ni sawa na AC, tunajua kuwa PXZS ni mstatili, kwa hivyo XZPS2.Kwa kuwa pembetatu AXP ina pembe ya kulia kwa X, ina PX1 radius ya duara, na angle PAX45circ, tuna AXPX1 . Kwa kuwa pembetatu CZS ina pembe ya kulia kwa Z, ina SZ1 radius ya duara, na angle SCZ30circ, tuna CZsqrt3 SZsqrt3 kwa kuwa pembetatu SZC pia ni 30circ-60circ-90circ pembetatu. Kwa hivyo, AC12sqrt33sqrt3.Kwa kuwa pembetatu ABC ni 30circ-60circ-90circ pembetatu, ikiwa na angle ACB60circ na angle CAB90circ, tuna BC2AC62sqrt3, na ABsqrt3ACsqrt33sqrt33sqrt3 3.Kwa hivyo, urefu wa kando wa pembetatu ABC ni AC3sqrt3, AB3sqrt33, na BC62 sqrt3. Kwa hivyo, eneo ni 3sqrt33sqrt3362sqrt3126sqrt3. 