<prompt> Bendi inayoandamana ina wanachama zaidi ya 100 lakini chini ya wanachama 200. Wanapojipanga katika safu ya 4 kuna mtu mmoja wa ziada; wanapopanga safu ya 5 kuna watu wawili wa ziada; na wanapojipanga kwenye safu ya 7 kunakuwa na watu watatu wa ziada. Je! ni wanachama wangapi kwenye bendi ya kuandamana?  <response>: Nahitaji kupata nambari ambayo ni kati ya 100 na 200, na ina masalio ya 1, 2, na 3 ikigawanywa na 4, 5, na 7 mtawalia. Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kutumia nadharia ya salio ya Kichina, ambayo inasema kwamba kuna suluhisho la kipekee la modulo bidhaa ya vigawanyiko, ambayo katika kesi hii ni 4 5 7 140. Hiyo ina maana kwamba nambari niliyo kutafuta ni kwa umbo 140k r, ambapo k ni nambari kamili na r ni salio la kawaida. kupata r, naweza kutumia mfumo wa mshikamano: x 1 mod 4, x 2 mod 5, na x 3 mod 7. Ili kutatua mfumo huu, ninaweza kutumia njia ya kubadilisha nyuma. Kuanzia na mlinganyo wa mwisho, ninaweza kuandika x 7y 3 kwa nambari kamili y. Kisha, nikiunganisha hii kwenye equation ya pili, ninapata 7y 3 2 mod 5, ambayo hurahisisha 2y 4 mod 5, au y 2 mod 5. Hii ina maana kwamba y 5z 2 kwa integer z. Nikichomeka hii kwenye mlingano wa kwanza, ninapata x 75z 2 3 1 mod 4, ambayo hurahisisha hadi 35z 0 mod 4, au z 0 mod 4. Hii ina maana kwamba z 4w kwa nambari kamili w . Mwishowe, nikichomeka hii kwenye x 7y 3, ninapata x 754w 2 3, ambayo hurahisisha kuwa x 140w 17. Kwa hivyo, r 17, na nambari ninayotafuta. ni 140k 17. Ili kufanya hivyo kati ya 100 na 200, ninahitaji kuchagua k 1, kwani k 0 ingeifanya kuwa ndogo sana na k 2 ingeifanya kuwa kubwa sana. Kwa hivyo jibu la mwisho ni 140 17 157. 