<prompt> Tafuta jumla ya mgawo na salio wakati 6x39x2-17x11 imegawanywa na 2x25x-1.  <response>: Ninataka kupata mgawo na salio wakati polynomial ya ujazo imegawanywa na polynomial ya quadratic. Hili ni tatizo la muda mrefu la mgawanyiko, kwa hivyo nitaweka kanuni za mgawanyiko kama ifuatavyo: frac6x39x2-17x112x25x-1textquotient fractextremainder2x25x-1. Ili kupata mgawo, ninahitaji kujiuliza: ninahitaji nini kuzidisha 2x25x-1 ili kupata 6x39x2 kama masharti mawili ya kwanza ya mgao? Ninaweza kuona kwamba nikizidisha kwa 3x, nitapata 6x315x2-3x, ambayo iko karibu na mgao, isipokuwa kwa migawo ya x2 na x. Kwa hivyo ninaandika 3x juu ya upau wa mgawanyo, na kutoa 6x315x2-3x kutoka kwa mgao, na kuniacha na -6x2-14x11 kama mgao mpya. Sasa ninarudia mchakato huo na mgao mpya: ninahitaji nini kuzidisha 2x25x-1 ili kupata -6x2-14x kama masharti mawili ya kwanza ya mgao mpya? Ninaweza kuona kwamba nikizidisha kwa -3, nitapata -6x2-15x3, ambayo iko karibu na mgao mpya, isipokuwa kwa migawo ya x na neno lisilobadilika. Kwa hivyo ninaandika -3 juu ya upau wa mgawanyiko, na kutoa -6x2-15x3 kutoka kwa mgao mpya, na kuniacha na x8 kama mgao mpya. Sasa ninagundua kuwa gawio jipya lina digrii ya chini kuliko kigawanyaji, kwa hivyo siwezi kuendelea na mgawanyiko zaidi. Hii inamaanisha kuwa x8 ndiyo iliyosalia, na mgawo ni 3x-3. Ili kuangalia kazi yangu, ninaweza kuzidisha mgawo na kigawanyaji na kuongeza salio, na kuona ikiwa nitarudisha gawio la asili. Kwa hivyo nina 3x-32x25x-1x86x39x2-17x11, ambayo ni sahihi. Kwa hiyo, mgawo ni 3x-3 na salio ni x8. Jumla ya mgawo na salio ni 3x-3x84x5. 