<prompt> Tetrahedron ABCD ina ADBC28, ACBD44, na ABCD52. Kwa pointi yoyote X katika nafasi, tuseme fXAXBXCXDX. Thamani isiyowezekana kabisa ya fX inaweza kuonyeshwa kama msqrtn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya, na n haiwezi kugawanywa kwa mraba wa mkuu wowote. Tafuta mn.  <response>: Acha M na N ziwe viini vya overlineAB na overlineCD. Masharti yaliyotolewa yanamaanisha kuwa pembetatu ABDcongpembetatu BAC na pembetatu CDAcongpembetatu DCB, na kwa hivyo MCMD na NANB. Inafuata kwamba M na N zote ziko kwenye kipenyo cha kawaida cha pembetatu cha overlineAB na overlineCD, na kwa hivyo mstari MN ni ile sehemu ya kawaida ya pembetatu. Alama B na C ni linganifu kwa A na D kwa kuzingatia mstari wa MN. Iwapo X ni pointi katika nafasi na X ni hatua ya ulinganifu kwa X kuhusiana na mstari wa MN, basi BXAX na CXDX, hivyo fX AXAXDXDX.Acha Q iwe makutano ya overlineXX na overlineMN. Kisha AXAXgeq 2AQ, ambayo inafuata kwamba fX geq 2AQDQ fQ. Inabakia kupunguza fQ kadri Q inavyosogea kwenye overlineMN.Ruhusu D kuzungusha takriban overlineMN kuelekeza D kwenye ndege AMN upande wa overlineMN kinyume na A. Kwa sababu angle DNM ni pembe ya kulia, DNDN. Kisha inafuata kwamba fQ 2AQDQgeq 2AD, na usawa hutokea wakati Q ni makutano ya overlineAD na overlineMN . Hivyo min fQ 2AD. Kwa sababu overlineMD ni wastani wa pembetatu ADB, Urefu wa Mfumo wa wastani unaonyesha kuwa 4MD2 2AD2 2BD2 - AB2 2cdot 282 2 cdot 442 - 522 na MD2 684. Kwa Nadharia ya Pythagorean MN2 MD2 - ND2 8.Kwa sababu angle AMN na angle DNM ni pembe za kulia,AD2 AMDN2 MN2 2AM2 MN2 522 8 4cdot 678.Inafuata kwamba min fQ 2AD 4sqrt678. Jumla iliyoombwa ni 4678682. 