<prompt> Ni thamani gani ya 9! cdot 5! cdot 2! 8! cdot 6!?  <response>: Ninagundua kuwa kuna mambo mengi katika usemi huu, ambayo ni bidhaa za nambari chanya zinazofuatana. Pia ninagundua kuwa baadhi ya vipengele kwenye nambari na denominata ziko karibu sana, kama 9! na 8! au 5! na 6!. Hii inanifanya nifikirie kuwa naweza kurahisisha usemi kwa kughairi mambo kadhaa ya kawaida. kwa mfano, 9! ni sawa na 9 mara 8!, kwa hivyo ninaweza kuandika 9! cdot 5! cdot 2! 8! cdot 6! kama 9 cdot 8! cdot 5! cdot 2! 8! cdot 6!. Sasa naweza kughairi 8! masharti katika nambari na denominator, na ninapata 9 cdot 5! cdot 2! 6!. Vile vile, 6! ni sawa na 6 mara 5!, kwa hivyo ninaweza kuandika 9 cdot 5! cdot 2! 6! kama 9 cdot 5! cdot 2! 6 cdot 5 !. Na tena, naweza kufuta 5! masharti katika nambari na denominator, na ninapata 9 cdot 2! 6. Hatimaye, 2! ni sawa na mara 2 1, kwa hivyo ninaweza kuandika 9 cdot 2! 6 kama 9 cdot 2 cdot 1 6. Sasa nina sehemu rahisi ambayo ninaweza kutathmini kwa kugawanya nambari na denominator. Ninapata 9 cdot 2 cdot 1 6 186 3. 