<prompt> Ikiwa x na y ni nambari kamili chanya kiasi kwamba 5x3y100, ni thamani gani kuu inayowezekana ya xy?  <response>: Ninataka kupata bidhaa kubwa zaidi inayowezekana ya x na y, ikizingatiwa kuwa ni nambari kamili na kukidhi mlinganyo 5x3y100. Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kuangalia thamani zinazowezekana za x na y zinazofanya mlinganyo kuwa kweli, na kuona ni jozi gani inatoa bidhaa kubwa zaidi. Ili kufanya hivyo, ninaweza kutumia ukweli kwamba 5x3y100 inamaanisha kuwa y ni kizidisho cha 5. Kwa hivyo, ninaweza kuandika y5k kwa nambari kamili k, kisha niibadilishe kwenye mlinganyo ili kupata 5x15k100. Nikigawanya pande zote mbili kwa 5, napata x3k20. Sasa, ninaweza kutatua kwa x kulingana na k: x20-3k. Hii inamaanisha kuwa bidhaa xy ni sawa na 20-3k5k. Ili kupata thamani ya juu zaidi ya bidhaa hii, ninaweza kutumia kipengele cha usambazaji kuipanua kama 100k-15k2. Hiki ni kitendakazi cha quadratic cha k, na ninajua kuwa kina thamani ya juu wakati k ni sawa na wastani wa mizizi. Mizizi ya chaguo hili la kukokotoa ni thamani za k zinazoifanya kuwa sifuri, ambazo ni k0 na kfrac203. Wastani wa mizizi hii ni frac103. Hata hivyo, k lazima iwe nambari kamili, kwa hivyo siwezi kutumia frac103 kama thamani inayowezekana ya k. Nambari kamili iliyo karibu zaidi na frac103 ambayo ni chanya ni k3. Kwa hivyo, nitajaribu k3 kama thamani inayowezekana ya k ambayo huongeza bidhaa. Wakati k3, ninapata x20-3k20-911 na y5k5315. Bidhaa xy basi ni 1115165. Hii ndiyo thamani kuu inayowezekana ya xy, kwa kuwa thamani nyingine yoyote ya k ambayo ni nambari kamili inaweza kufanya x hasi au kufanya bidhaa kuwa ndogo. 