<prompt> Sarafu A hutupwa mara tatu na sarafu B hutupwa mara mbili. Je, kuna uwezekano gani kwamba vichwa vingi hutupwa kwa kutumia sarafu A kuliko kutumia sarafu B? Eleza jibu lako kama sehemu ya kawaida.  <response>: Ili kupata uwezekano wa tukio, ninahitaji kugawanya idadi ya matokeo yanayofaa kwa idadi ya matokeo yanayowezekana. Ili kuhesabu matokeo mazuri, ninahitaji kuzingatia hali tofauti ambapo sarafu A ina vichwa vingi kuliko sarafu B. Njia moja ya kupanga kesi ni kwa idadi ya sarafu ya A inayo. Ikiwa sarafu A ina vichwa vitatu, basi matokeo yoyote ya sarafu B yanafaa, kwani sarafu B haiwezi kuwa na vichwa zaidi ya viwili. Uwezekano wa sarafu A kuwa na vichwa vitatu ni frac123 frac18, kwa kuwa kila tope ni huru na ina frac11 2 nafasi ya kuwa wakuu. Uwezekano wa sarafu B kuwa na matokeo yoyote ni 1, kwa kuwa ni hakika kwamba baadhi ya matokeo yatatokea. Kwa hivyo uwezekano wa matukio yote mawili kutokea ni frac18 times 1 frac18, kwa kanuni ya kuzidisha matukio huru. Ikiwa sarafu A ina vichwa viwili, basi sarafu B lazima iwe na kichwa kimoja au sufuri ili ipendeze. Uwezekano wa sarafu A kuwa na vichwa viwili ni binom32frac123 frac38, kwa kuwa kuna binom 32 3 njia za kuchagua ni tope mbili zipi ni vichwa, na kila tope ina frac12 nafasi ya kuwa vichwa. Uwezekano wa sarafu B kuwa na kichwa kimoja ni binom21frac122 frac12, kwa kuwa kuna binom 21 2 njia za kuchagua ni vichwa vipi, na kila kutupa kuna frac12 nafasi ya kuwa vichwa. Uwezekano wa sarafu B kuwa na vichwa sifuri ni frac122 frac14, kwa kuwa tope zote mbili lazima ziwe mikia, na kila kutupa kuna frac. 12 nafasi ya kuwa mkia. Kwa hivyo uwezekano wa sarafu A kuwa na vichwa viwili na sarafu B kuwa na kichwa kimoja au sufuri ni frac38 mara frac12 frac14 frac38 nyakati frac34 frac932, kwa kanuni ya kujumlisha ya matukio ya kipekee na kanuni ya kuzidisha matukio huru. Ikiwa sarafu A ina kichwa kimoja, basi sarafu B lazima iwe na vichwa sifuri ili iweze kufaa. Uwezekano wa sarafu A kuwa na kichwa kimoja ni binom31frac123 frac38, kwa kuwa kuna binom 31 3 njia za kuchagua ni vichwa vipi, na kila kutupa kuna frac12 nafasi ya kuwa vichwa. Uwezekano wa sarafu B kuwa na vichwa sifuri ni frac14, kama hapo awali. Kwa hivyo uwezekano wa sarafu A kuwa na kichwa kimoja na sarafu B yenye vichwa sufuri ni frac38 mara frac14 frac332, kwa kanuni ya kuzidisha matukio huru. Ikiwa sarafu A ina vichwa sifuri, basi hakuna njia ya sarafu B kuwa na vichwa vidogo, kwa hivyo kesi hii haifai. Kwa hivyo, uwezekano wa jumla wa kuwa na vichwa vingi na sarafu A kuliko na sarafu B ni frac18 frac932 frac332 frac432 frac932 frac332 frac1632 frac12. 