<prompt> Tathminianzavmatrix x sin theta cos theta -sin theta -x 1 cos theta 1 x endvmatrix.  <response>: Ninakumbuka kuwa kibainishi cha matrix 3x3 kinaweza kupatikana kwa kupanua safu au safu yoyote, kwa kutumia fomula ya cofactor. Pia ninakumbuka kuwa kiambatanisho cha kiingilio ni bidhaa ya kiingilio na kiamuaji cha matrix 2x2 iliyopatikana kwa kufuta safu mlalo na safu iliyo na ingizo hilo, na ishara inayobadilishana kulingana na nafasi ya kiingilio. Ili kufanya mahesabu rahisi, nitachagua kupanua kwenye safu ya kwanza, kwa kuwa ina viingilio rahisi zaidi. Kwa hivyo, kibainishi cha matrix iliyotolewa ni sawa na x anzavmatrix -x 1 1 x mwishovmatrix - sin theta beginvmatrix -sin theta 1 cos theta x mwishovmatrix cos theta anzavmatrix -sin theta -x cos theta 1 endvmatrix. Sasa, mimi haja ya kupata viambatisho vya matiti 2x2 ndani ya mabano. Ninakumbuka kuwa kiangazio cha matriki ya 2x2 ni bidhaa ya maingizo ya mlalo ukiondoa bidhaa ya maingizo ya nje ya diagonal. Kwa hivyo, kibainishi cha matriki 2x2 ya kwanza ni -xx - 11 -x2 - 1. Vile vile, kibainishi cha tumbo la pili 2x2 ni -- sin thetax - 1cos theta -x sin theta - cos theta. Na kibainishi cha tumbo la tatu 2x2 ni -sin theta. 1 - -xcos theta -sin theta x cos theta. Kwa hivyo, nikibadilisha hizi kwenye fomula ya cofactor, ninapata kwamba kibainishi cha matrix iliyotolewa ni x-x2 - 1 - sin theta -x sin theta - cos theta cos theta -sin theta x cos theta. Kwa kurahisisha usemi huu, nitapanua mabano na kukusanya maneno kama hayo. Napata -x3 - x x sin2 theta sin theta cos theta - sin theta cos theta x cos2 theta. Ninaona kwamba maneno mawili ya kati yaghairi, na kwamba istilahi mbili za mwisho zinaweza kuunganishwa kwa kutumia kitambulisho sin2 theta cos2 theta 1. Kwa hivyo, ninaweza kuandika kiambishi kama - x3 - x x sin2 theta cos2 theta -x3. Kwa hivyo, jibu la mwisho ni -x3. 