<prompt> Mviringo wa parametric x,y cos 2t, cos2 t, kwa nambari halisi t, inaelezea sehemu ya mstari. Tafuta urefu wa sehemu hii ya mstari.  <response>: Ninagundua kuwa curve ni parametric, kwa hivyo ninahitaji kutafuta njia ya kuielezea kulingana na kigezo kimoja, ama x au y. pia ninagundua kuwa x na y zote zinahusisha utendakazi wa cosine, kwa hivyo. Nashangaa kama ninaweza kutumia kitambulisho cha trigonometric kuondoa t na kupata uhusiano kati ya x na y. Nakumbuka kuwa cos 2t 2 cos2 t - 1, ili niweze kutumia hii. ili kuandika upya x kulingana na y: x 2y - 1. Sasa nina mlingano wa mstari wa x kulingana na y, ili niweze kuichora na kuona jinsi curve inavyofanana. Ninapanga mstari x 2y - 1 kwenye ndege ya kuratibu, na ninaona kwamba ina mteremko wa 2 na y-intercept ya -12. Pia najua kuwa y cos2 t, hivyo y inaweza tu kuchukua thamani kati ya 0 na 1, pamoja. Hii inamaanisha kuwa mkunjo ni sehemu ya mstari tu kwenye kipindi y in 0,1, na ina sehemu za mwisho ambapo y 0 na y 1. Ili kupata ncha, ninachomeka . y 0 na y 1 kwenye mlinganyo wa x. Ninapata x -1 wakati y 0, na x 1 wakati y 1. Kwa hivyo miisho ya sehemu ya mstari ni -1,0 na 1,1. Ili kupata urefu wa sehemu ya mstari, ninahitaji kutumia fomula ya umbali kati ya pointi mbili. Fomula ya umbali ni d sqrtx_2 - x_12 y_2 - y_12, ambapo x_1, y_1 na x_2, y_2 ndizo sehemu za mwisho. Nikichomeka thamani, napata d sqrt1 - -12 1 - 02 sqrt4 1 sqrt5. 