<prompt> Tafuta idadi ya nambari nne zilizoagizwa a,b,c,d za nambari halisi zisizo hasi kama vileanzaaligna2 b2 c2 d2 4, a b c da3 b3 c3 d3 16.mwishopanga  <response>: Kumbuka hiloa2 b2 c2 d22 16 a b c da3 b3 c3 d3 ,jambo ambalo linatupa hali ya usawa katika Kutokuwa na Usawa kwa Cauchy-Schwarz. Kwa hivyo,a b c da3 b3 c3 d3 - a2 b2 c2 d22 0 .Hii inapanuka kamaanzaaligna3 b - 2a2 b2 ab3 a3 c - 2a2 c2 ac3 a3 d - 2a2 d2 ad2 quad b3 c - 2b2 c2 bc3 b3 d - 2b2 d2 bd3 c3 d - 2c2 d2 cd 3 0.endalignTunaweza kuandika hili kamaaba - b2 aca - c2 tangazoa - d2 bcb - c2 bdb - d2 cdc - d2 0.Kwa kuwa a, b, c, d zote hazina hoja, kila neno lazima liwe sawa na 0. Hii ina maana kwa vigeu viwili vyovyote kati ya a, b, c, d, mojawapo ni 0, au ni sawa. Kwa mfano, ama b 0, d 0, au b d. Kwa upande mwingine, hii ina maana kwamba kati ya a,b, c, d, zote thamani chanya lazima ziwe sawa.Kila kigezo a,b,c,d kinaweza kuwa 0 au chanya, na kusababisha 24 16 michanganyiko inayowezekana. Hata hivyo, kwa kuwa a2 b2 c2 d2 4, si zote zinaweza kuwa sawa na 0, na kuacha 16 - 1 15 michanganyiko inayowezekana.Kwa michanganyiko yoyote kati ya 15, a,b,c,d mara nne hubainishwa kipekee. Kwa mfano, tuseme tutaweka a 0, na b, c, d kuwa chanya. Kisha b c d, na b2 c2 d2 4, hivyo b c d frac2sqrt3.Kwa hivyo, kuna 15 zinazowezekana mara nne a,b,c,d. 