<prompt> Fikiria pembetatu ya karatasi ambayo vipeo vyake ni 0,0, 34,0, na 16,24. Vipeo vya pembetatu yake ya katikati ni ncha za kati za pande zake. Piramidi ya pembetatu huundwa kwa kukunja pembetatu kando ya pembetatu yake ya katikati. Ni kiasi gani cha piramidi hii?  <response>: asydefaultpenfontsize9linewidth0.63; jozi A0,0, B16,24, C34,0, P8,12, Q25,12, R17,0; choraA--B--C--A; choraP--Q--R--P; choraA--footA,B,C;choraB--footB,A,C;choraC--footC,A,B; leboA,A,SW;leboB,B,NW;leboC,C,SE; leboD, futiA,B,C,NE;leboE,mguuB,A,C,SW;leboF , futiC,A,B,NW;leboP,P,NW;leboQ,Q,NE;lebo R,R,SE;asyasyingiza tatu; defaultpenlinewidth0.6; currentprojectionorthografia12,-1,12; triple A0,0,0, B16,24,0, C34,0,0, P8,12,0, Q25,12,0 , R17,0,0, S16,12,12; choraA--B--C--A; choraP--Q--R--P; choraS--P..S--Q..S--R; kuchoraS--16,12,0; asyKama inavyoonyeshwa kwenye picha iliyo hapo juu, acha D, E na F ziwe viini vya overlineBC, overlineCA, na overlineAB, mtawalia. . Tuseme P ndio kilele cha tetrahedron, na acha O iwe chini ya mwinuko kutoka P hadi pembetatu ABC. Kiini cha shida hii ni lema ifuatayo.Lemma: Hoja O ni orthocenter ya pembetatu ABC.Ushahidi. Zingatia kwambaOF2 - OE2 PF2 - PE2 AF2 - AE2;usawa wa kwanza unafuata Nadharia ya Pythagorean, huku ya pili ikifuata kutoka AF FP na AE EP. Kwa hivyo, kwa Perpendicularity Lemma, AO ni perpendicular kwa FE na hivyo BC. Kilinganifu, O iko kwenye urefu wa B na C-altitudo ya pembetatu ABC, na kwa hivyo O, kwa hakika, ni kitovu cha pembetatu ABC.Ili kupata viwianishi vya O, tunahitaji kupata sehemu ya makutano ya miinuko BE na AD. Mlinganyo wa BE ni x16 tu. AD ni sawa na mstari wa BC, kwa hivyo mteremko wa AD ni sawa na urejeshaji hasi wa mteremko wa BC. BC ina mteremko frac24-016-34-frac43, kwa hivyo yfrac34 x. Mistari hii miwili inaingiliana kwa 16,12, kwa hivyo hiyo ndio msingi wa urefu wa tetrahedron.Acha S iwe chini ya urefu wa BS katika pembetatu BPQ. Kutoka kwa Nadharia ya Pythagorean, hsqrtBS2-SO2. Hata hivyo, kwa kuwa S na O, kwa bahati mbaya, ni pointi sawa, SO0 na h12.Eneo la msingi ni 102, kwa hivyo sauti ni frac102123408. 