<prompt> Kwa nambari kamili n na pembe theta, cos theta haina mantiki, lakini cos 2 theta, cos 3 theta, dots, cos n theta zote ni za busara. Pata thamani kubwa inayowezekana ya n.  <response>: Kwa jumla kwa bidhaa,cos n theta cos n - 2 theta 2 cos theta cos n - 1 theta,aucos n theta 2 cos theta cos n - 1 theta - cos n - 2 thetakwa yote n ge 2. Hasa, kwa n 2,cos 2 theta 2 cos2 theta - 1,na kwa n 3,anzaaligncos 3 theta 2 cos theta cos 2 theta - cos theta cos theta 2 cos 2 theta - 1.endalignTuseme cos theta haina mantiki, na cos 2 theta na cos 3 theta ni ya kimantiki. Kisha 2 cos 2 theta - 1 pia ni ya kimantiki, kwa hivyo tunayo nambari ya kimantiki ambayo ni zao la nambari isiyo na mantiki na nambari ya kimantiki. Njia pekee hii inaweza kutokea ikiwa nambari zote mbili za busara ni 0. Kwa hivyo, 2 cos 2 theta - 1 0. Kisha.2 2 cos2 theta - 1 - 1 0,hivyo cos2 theta frac34. Kwa hivyo, cos theta pm fracsqrt32.Ikiwa cos theta fracsqrt32, basianzaaligncos 2 theta 2 cos2 theta - 1 frac12, cos 3 theta 2 cos theta cos 2 theta - cos theta 0, cos 4 theta 2 cos theta cos 3 theta - cos 2 theta -frac12, cos 5 theta 2 cos theta cos 4 theta - cos 3 theta -fracsqrt32,endalignili thamani kubwa iwezekanavyo ya n ni 4.Vile vile, ikiwa cos theta -fracsqrt32, basianzaaligncos 2 theta 2 cos2 theta - 1 frac12, cos 3 theta 2 cos theta cos 2 theta - cos theta 0, cos 4 theta 2 cos theta cos 3 theta - cos 2 theta -frac12, cos 5 theta 2 cos theta cos 4 theta - cos 3 theta fracsqrt32,endalignkwa hivyo tena thamani kubwa zaidi ya n ni 4.Kwa hiyo, thamani kubwa zaidi ya n ni 4. 