<prompt> Acha x na y ziwe nambari mbili chanya halisi. Tunafafanua mifuatano mitatu A_n, G_n, na H_n kama ifuatavyo. Kwanza, A_1, G_1, na H_1 ni wastani wa hesabu, wastani wa kijiometri, na maana ya uelewano ya x na y, mtawalia. Kisha kwa n ge 2, A_n, G_n, H_n ni wastani wa hesabu, wastani wa kijiometri na wastani wa A_n - 1 na H_n - 1, kwa mtiririko huo.Zingatia kauli zifuatazo:1. A_1 A_2 A_3 dotsb.2. A_1 A_2 A_3 dotsb.4. A_1 A_2 A_3 dotsb.8. G_1 G_2 G_3 dotsb.16. G_1 G_2 G_3 dotsb.32. G_1 G_2 G_3 dotsb.64. H_1 H_2 H_3 dotsb.128. H_1 H_2 H_3 dotsb.256. H_1 H_2 H_3 dotsb.Ingiza lebo za taarifa ambazo lazima zishikilie. Kwa mfano, ikiwa unafikiri kuwa taarifa zilizoandikwa 2, 8, na 64 ni za kweli, weka 2 8 64 74.  <response>: Na AM-GM-HM,A_1 ge G_ 1 ge H_1.Kwa kuwa x na y ni tofauti, usawa hauwezi kutokea, kwa hivyo A_1 G_1 H_1. Kumbuka kuwa G_1 sqrtxy, naA_1 H_1 fracx y2 cdot frac2frac1x frac1y fracx y 2 cdot frac4xyx y xy,hivyo G_12 A_1 H_1.Sasa, tuseme A_n G_n H_n kwa nambari kamili n, na hiyo G_n2 A_n H_n. Kisha kwa AM-GM-HM, A_n 1 G_n 1 H_n 1. Pia,A_n 1 fracA_n H_n2 fracA_n A_n2 A_n.Pia,G_n 1 sqrtA_n H_n G_n,naH_n 1 frac2frac1A_n frac1H_n frac2frac1H_n frac1H_n H_n.Pia, kwa hesabu sawa na hapo juu, tunaweza kuthibitisha kwamba G_n 12 A_n 1 H_n 1.Kisha kwa introduktionsutbildning, tunaweza kusema hivyoA_n 1 A_n, quad G_n 1 G_n, quad H_n 1 H_nkwa nambari zote chanya n. Kwa hivyo, taarifa ambazo ni za kweli ni 1, 16, na 256, na jumla yao ni 273. 