<prompt> Kokotoa eigenvalues na eigenveekta za tumbo la 2x2, ukitoa hoja za hatua kwa hatua.  <response>: Ili kukokotoa eigenvalues na eigenveekta za matrix 2x2, fuata hatua hizi:Hatua ya 1: Sanidi matrixWacha tuchunguze matrix ya jumla ya 2x2 A:A b c d Hatua ya 2: Kokotoa mlingano wa tabiaIli kupata eigenvalues, tunahitaji kutatua equation ya tabia ambayo imetolewa na detA - λI 0, ambapo λ lambda inawakilisha eigenvalue na mimi ni matrix ya utambulisho.Ondoa λ kutoka kwa vipengele vya diagonal ya A:A - λI a-λ b c d-λ Sasa, hesabu kibainishi cha matrix hii:detA - λI a-λd-λ - bcPanua usemi:λ2 - adλ tangazo - bc 0Huu ni mlinganyo wa quadratic katika λ.Hatua ya 3: Tatua kwa λ eigenvaluesIli kupata eigenvalues, suluhisha mlingano wa quadratic uliopatikana katika hatua ya 2. Masuluhisho yanaweza kupatikana kwa kutumia fomula ya quadratic:λ ad sqrtad2 - 4ad-bc 2Thamani hizi mbili za λ ni eigenvalues za matrix A.Hatua ya 4: Tafuta eigenveektaKwa kila eigenvalue λ, sasa tutapata eigenvector inayolingana.Eigenvector x ni vekta isiyo ya sifuri ambayo inakidhi mlinganyo ufuatao:Shoka λxTunaweza kuandika hii tena kama:A - λIx 0Kwa kila eigenvalue λ, chomeka kwenye mlinganyo ulio hapo juu na utatue kwa vekta x.Mfano: Wacha tuseme tuna matrix A ifuatayo:A 3 2 1 0 Kufuatia hatua 1-3, tunapata kwamba eigenvalues ni λ1 4 na λ2 -1.Sasa, wacha tupate eigenveekta kwa kila eigenvalue.Kwa λ1 4:A - λIx A - 4Ix -1 2 x1 0 1 -4 x2 0 Kutoka safu ya kwanza ya mfumo huu, tunapata equation:-x1 2x2 0Acha x2 1, kisha x1 2. Kwa hivyo, eigenvector inayolingana na λ1 ni:x1 2 1 Kwa λ2 -1:A - λIx A Ix 4 2 x1 0 1 1 x2 0 Kutoka safu ya kwanza ya mfumo huu, tunapata equation:4x1 2x2 0Hebu x1 1, kisha x2 -2. Kwa hivyo, eigenvector inayolingana na λ2 ni:x2 1 -2 Kwa hivyo, eigenvalues na eigenveekta za matrix A iliyopewa ni:Eigenvalue λ1 4 na eigenvector x1 2 1 Eigenvalue λ2 -1 na eigenvector x2 1 -2 