<prompt> ni nini thamani ya sum_n0infty-1n frac13 n1? Zungusha jibu kwa maelfu ya desimali.Nadharia Husika: Nadharia ya Pili ya Abeli, pia inajulikana kama Jaribio la Muunganiko Sawa la Abel, ni tokeo la uchanganuzi wa hisabati ambao hutoa kigezo cha muunganiko mmoja wa mfululizo wa vitendakazi. Imetajwa baada ya mwanahisabati wa Norway Niels Henrik Abel.Nadharia inasema kwamba ikiwa f_nx ni mfuatano wa utendaji uliofafanuliwa kwenye kikoa cha kawaida cha D, na ikiwa masharti mawili yafuatayo yatatimizwa:1. Mfuatano wa chaguo za kukokotoa F_nx unaofafanuliwa na F_nx f_1x f_2x ... f_nx hubadilika kwa sare hadi Fx kwenye kikoa D. .2. Msururu wa chaguo za kukokotoa f_nx unapungua kwa usawa kwenye D, yaani, kwa kila x katika D, f_n1x f_nx kwa n zote, na kuna chaguo za kukokotoa gx kwamba f_nx gx kwa zote x katika D na zote n.Kisha, mfululizo f_nx hubadilika kwa usawa hadi Fx kwenye kikoa D.Kwa maneno rahisi zaidi, Nadharia ya Pili ya Abeli inatoa njia ya kubainisha kama mfululizo usio na kikomo wa vitendakazi hubadilika kwa usawa hadi kikomo cha kitendakazi. Inafanya hivyo kwa kuangalia ikiwa mlolongo wa hesabu kiasi hubadilika sawasawa na ikiwa mlolongo wa utendaji unapungua kwa usawa. Ikiwa masharti yote mawili yametimizwa, basi safu huungana sawasawa. Matokeo haya ni muhimu hasa katika utafiti wa mfululizo wa nguvu na mfululizo wa Fourier, ambapo muunganisho sare ni nyenzo muhimu ili kuhakikisha uhalali wa shughuli mbalimbali, kama vile upambanuzi na ujumuishaji.  <response>: 0.8356488482647211 