<prompt> Ikiwa mathbfA beginpmatrix a b c d endpmatrix, basi upitishaji wake unatolewa namathbfAT anzapmatrix a c b d mwishopmatrix.Kwa kuzingatia kwamba mathbfAT mathbfA- 1, pata a2 b2 c2 d2.  <response>: Hili ni tatizo kuhusu matrix transposes na inverses. Nakumbuka kwamba kinyume cha matrix, ikiwa kipo, kinatosheleza mathbfA-1mathbfA mathbfAmathbfA-1 mathbf I, ambapo mathbfI ndio matrix ya utambulisho. Kwa kuwa mathbfAT mathbfA-1, naweza kubadilisha mathbfAT kwa mathbfA-1 katika mlinganyo. mathbfA-1mathbfA mathbfI. Hii inanipa mathbfATmathbfA mathbfI. naweza andika haya kulingana na maingizo ya mathbfA na mathbfAT ukitumia ufafanuzi wa kuzidisha matrix. Hii inanipa beginpmatrix a c b d endpmatrixbeginpmatrix a b c d endpmatrix anzapmatrix 1 0 0 1 endpmatrix. Nikipanua upande wa kushoto, ninapata beginpmatrix a2 c2 ab cd ba dc b2 d2 endpmatrix anzapmatrix 1 0 0 1 endpmatrix. Nikilinganisha maingizo katika pande zote mbili, napata milinganyo minne: a2 c2 1, ab cd 0, ba dc 0, b2 d2 1. Ninaona kwamba equations ya pili na ya tatu ni sawa, kwa hiyo ninahitaji tu kuzingatia tatu kati yao. Pia ninagundua kuwa milinganyo ya kwanza na ya nne ni sawa, kwa hivyo ninaweza kuziongeza pamoja ili kupata a2 b2 c2 d2 2. Huu ndio usemi haswa ninaohitaji kupata, kwa hiyo nimemaliza. 