<prompt> Acha z_1 na z_2 ziwe nambari changamano kiasi kwamba fracz_2z_1 ni ya kufikirika tu na 2z_1 neq 7z_2. Computekushoto frac2z_1 7z_22z_1 - 7z_2 kulia.  <response>: Tatizo hili linahusisha nambari changamano, moduli zake au thamani kamili, na ukweli kwamba nambari changamano ni ya kufikirika ikiwa tu ina sehemu halisi sifuri. Nakumbuka kwamba moduli ya nambari changamano z a bi, ambapo a na b ni nambari halisi, imetolewa na z sqrta2 b2. Pia ninakumbuka kwamba ikiwa fracz_2z_1 ni ya kufikirika kabisa, basi fracz_2z_1 ki kwa nambari halisi k. Hii inamaanisha kuwa z_2 kiz_1, na ninaweza kutumia hii kurahisisha usemi ndani ya moduli. Ninabadilisha z_2 kiz_1 kwenye nambari na denominator ya sehemu na kupatafrac2z_1 7z_22z_1 - 7z_2 frac2z_1 7kiz_12z_1 - 7kiz_1. Ninahesabu z_1 kutoka kwa nambari na denomineta na kupatafrac2z_1 7kiz_12z_1 - 7kiz_ 1 fracz_12 7kiz_12 - 7ki. Ninaghairi z_1 kutoka kwa nambari na denominata na patafracz_12 7kiz_12 - 7ki frac2 7ki2 - 7ki. Sasa nina sehemu ya nambari mbili changamano, na ninataka pata moduli yake. Ninajua kuwa moduli ya sehemu ya nambari changamano ni sawa na uwiano wa moduli ya nambari na denominator, kwa hivyo ninaweza kuandika.kushoto frac2 7ki2 - 7ki kulia frac2 7ki2 - 7ki. Ili kupata moduli ya nambari na kipunguzo, ninatumia fomula a bi sqrta2 b2. Kwa nambari, nina a 2 na b 7k, kwa hivyo 2 7ki sqrt22 7k2 sqrt4 49k2. Kwa dhehebu, nina a 2 na b -7k, kwa hivyo 2 - 7ki sqrt22 -7k2 sqrt4 49k2. Ninagundua kuwa moduli ya nambari na denominator ni sawa, kwa hivyo uwiano wao ni 1 . Kwa hiyo, ninayokushoto frac2 7ki2 - 7ki kulia frac2 7ki2 - 7ki fracsqrt4 49k2sqrt4 49k2 1. 