<prompt> Acha S_n iwe jumla ya uwiano wa tarakimu zisizo sifuri za nambari kamili kutoka 1 hadi 10n zikijumlishwa. Tafuta nambari ndogo kabisa chanya n ambayo S_n ni nambari kamili.  <response>: Acha K sum_i19frac1i. Tukichunguza masharti katika S_1, tunaona kwamba S_1 K 1 kwa kuwa kila tarakimu n inaonekana mara moja na 1 inaonekana muda wa ziada. Sasa fikiria kuandika S_2. Kila neno la K litaonekana mara 10 katika sehemu ya vitengo na mara 10 katika nafasi ya kumi pamoja na 1 ya ziada itaonekana, kwa hivyo S_2 20K 1.Kwa ujumla, tutakuwa na hiyoS_n n10n-1K 1kwa sababu kila tarakimu itaonekana 10n - 1 mara katika kila sehemu katika nambari 1, 2, lddots, 10n - 1, na kuna jumla ya nafasi n.Kielelezo cha K ni D 23cdot 32cdot 5cdot 7. Ili S_n iwe nambari kamili, n10n-1 lazima igawanywe kwa D. Kwa kuwa 10n-1 ina vipengele 2 na 5 pekee lakini itakuwa na vya kutosha wakati n geq 3, lazima tuchague n ili kugawanywa kwa 32cdot 7 . Kwa kuwa tunatafuta n ndogo zaidi, jibu ni 63. 