<prompt> Tuseme C0,1 inaashiria nafasi ya kazi zote zinazoendelea kwenye muda 0,1. Je, C0,1,cdot_1 ni nafasi ya Banachi? Hapa fx_1int_01 ftdt pamoja na fin C0,1. Jibu 1 kwa ndiyo na 0 kwa hapana.Nadharia Husika: Katika uchanganuzi wa kiutendaji, Usawa wa Nadharia ya Kaida ni matokeo ya kimsingi ambayo yanasema kwamba kanuni zozote mbili kwenye nafasi ya vekta yenye mwelekeo-mwisho ni sawa. Hii ina maana kwamba, ingawa kanuni zinaweza kuwa tofauti, kimsingi hutoa taarifa sawa kuhusu ukubwa na muundo wa nafasi ya vekta. Theorem ni muhimu kwa sababu inaruhusu sisi kubadili kati ya kanuni tofauti bila kubadilisha mali muhimu ya nafasi.Ili kuwa sahihi zaidi, acha V iwe nafasi ya vekta yenye mwelekeo wa mwisho juu ya sehemu F ama nambari halisi R au nambari changamano C, na acha 1 na 2 ziwe kanuni mbili kwenye V. Kanuni 1 na 2 zinasemekana kuwa sawa ikiwa kuna viambishi chanya C1 na C2 hivi kwamba kwa vekta zote x katika V, tuna:C1 x1 x2 C2 x1The Equivalence of Norms Theorem inasema kwamba kanuni zozote mbili kwenye nafasi ya vekta yenye mwelekeo-mwisho ni sawa. Kwa maneno mengine, kuna vidhibiti C1 na C2 hivi kwamba ukosefu wa usawa hapo juu unashikilia kwa vekta zote x katika V.Matokeo haya yana matokeo kadhaa muhimu katika uchambuzi wa utendaji:1. Inamaanisha kwamba kanuni zozote mbili kwenye nafasi ya vekta yenye mwelekeo-mwisho hushawishi topolojia sawa, ikimaanisha kuwa seti zilizo wazi, seti zilizofungwa, na sifa za muunganiko ni sawa kwa heshima na kanuni zote mbili.2. Inaturuhusu kuthibitisha kwamba opereta yoyote ya mstari kati ya nafasi zenye mwelekeo wa kikomo ni endelevu, kwani mwendelezo wa opereta wa mstari unategemea uchaguzi wa kanuni kwenye kikoa na nafasi za kodoma.3. Inaonyesha kwamba nafasi ndogo ya kikomo cha nafasi ya kawaida imefungwa, ambayo ni mali muhimu katika utafiti wa nafasi za Banach na nafasi zao mbili.Usawa wa Nadharia ya Kanuni haishiki kwa nafasi za vekta zisizo na kipimo, na uchaguzi wa kawaida unaweza kuwa na matokeo makubwa kwa sifa za nafasi na waendeshaji wake. Hii ni mojawapo ya tofauti kuu kati ya uchanganuzi wa kiutendaji wenye mwelekeo-mwisho na usio na kipimo.  <response>: 0.0 