<prompt> Mchoro ulio hapa chini unaonyesha safu ya mstatili ya 4times4, ambayo kila moja iko umbali wa 1 kutoka kwa majirani zake wa karibu.asy unitsize0.25inch; defaultpenlinewidth0.7; int, j; kwai 0; i 4; i kwaj 0; j 4; j nuktahalisii, halisij; asyBainisha njia inayokua kuwa mlolongo wa pointi tofauti za safu na sifa ambayo umbali kati ya pointi zinazofuatana za mfuatano unaongezeka sana. Acha m iwe idadi ya juu zaidi iwezekanayo ya pointi katika njia inayokua, na acha r iwe idadi ya njia zinazokua zinazojumuisha pointi m haswa. Tafuta mr.  <response>: Tunaweka alama kwenye pointi zetu kwa kutumia viwianishi 0 le x,y le 3, huku sehemu ya chini kushoto ikiwa 0,0. Kwa Nadharia ya Pythagorean, umbali kati ya pointi mbili ni sqrtd_x2 d_y2 ambapo 0 le d_x, d_y le 3; hizi hutoa umbali unaowezekana kwa mpangilio unaopunguasqrt18, sqrt13, sqrt10, sqrt9, sqrt8, sqrt 5, sqrt4, sqrt2, sqrt1Kama hizi zinavyofafanua urefu wa 9, kwa hivyo thamani ya juu zaidi ya m ni 10. Kwa sasa, tunadhani kwamba m 10 inaweza kufikiwa. Kwa sababu ni vigumu mara moja kuweka vikwazo kwenye njia na umbali unaoongezeka, tunazingatia njia za mtindo wa kupungua. Kumbuka kwamba njia zinazopungua na njia za kukua ni sawa, lakini kuna vikwazo kwa maeneo ya kingo za kwanza za zamani.Urefu wa sqrt18 unawezekana kwa mojawapo ya vilalo virefu pekee, kwa hivyo njia yetu lazima ianze na mojawapo ya pembe 4 za gridi ya taifa. Bila upotezaji wa jumla kwa kuwa gridi ya taifa ni ya ulinganifu wa mzunguko, tunaruhusu kipeo kuwa 0,0 na mwisho uwe 3,3.asy unitsize0.25inch; defaultpenlinewidth0.7; dotfactor 4; kalamu s upana wa mstari4; int, j; kwai 0; i 4; i kwaj 0; j 4; j nuktahalisii, halisij; nukta0,03,3,s; chora0,0--3,3; asyUrefu wa sqrt13 sasa unaweza kwenda kwa pointi 2 pekee; kwa sababu ya ulinganifu wa kiakisi kuhusu ulalo mkuu, tunaweza WLOG kuruhusu mwisho unaofuata kuwa 1,0.asy unitsize0.25inch; defaultpenlinewidth0.7; dotfactor 4; kalamu s upana wa mstari4; kalamu c rgb 0.5,0.5,0.5; int, j; kwai 0; i 4; i kwaj 0; j 4; j nuktahalisii, halisij; nukta0,03,31,0,s; chora0,0--3,3,c; chora3,3--1,0; asyKutoka 1,0, kuna njia mbili zinazowezekana za kuhamisha sqrt10, ama hadi 0,3 au 2,3. Hata hivyo, kutoka 0,3, hakuna njia ya kuhamisha sqrt9 mbali, kwa hivyo tunaitupa kama uwezekano.Kutoka 2,3, urefu wa sqrt8, sqrt5, sqrt4, sqrt2 kwa bahati nzuri zote zimeamuliwa, na mfuatano wa mwisho ukiwa. 2,3-2,0-0,2-2,1-0,1-1,2.asy unitsize0.25inch; defaultpenlinewidth0.7; dotfactor 4; kalamu s upana wa mstari4; kalamu c rgb 0.5,0.5,0.5; int, j; kwai 0; i 4; i kwaj 0; j 4; j nuktahalisii, halisij; nukta0,03,31,02,32,00,22,1 0,11,2,s; chora0,0--3,3--1,0--2,3--2,0--0,2--2,1- -0,1--1,2; asyKutoka 1,2, kuna urefu unaowezekana 3 wa sqrt1 hadi 1,1,2,2,1,3. Kwa hivyo, idadi ya njia ni r 4 cdot 2 cdot 3 24, na jibu ni mr 10 cdot 24 240. 