<prompt> Matrix ya kuonyesha kwenye mstari fulani ell, ambayo hupitia asili, imetolewa naanzapmatrix frac150 frac750 frac750 frac4950 endpmatrix. Tafuta mwelekeo wa vekta ya mstari ell. Ingiza jibu lako katika fomu beginpmatrix a b endpmatrix, ambapo a, na b ni nambari kamili, a 0, na gcda,b 1.  <response>: Matrix ya makadirio ni mabadiliko ya mstari ambayo huweka kila vekta kwenye sehemu iliyo karibu zaidi kwenye nafasi ndogo fulani. Katika kesi hii, nafasi ndogo ni laini ell ambayo hupitia asili, kwa hivyo matrix ya makadirio huweka kila vekta kwenye mstari ell. Ili kupata vekta ya mwelekeo wa mstari ell, ninahitaji kupata vekta ambayo imejichorwa yenyewe na matrix ya makadirio, kwani hiyo inamaanisha kuwa tayari iko kwenye mstari. Kwa maneno mengine, ninahitaji kupata suluhu isiyo ya kawaida ya mlinganyo beginpmatrix frac150 frac750 frac750 frac4950 endpmatrix beginpmatrix a b endpmatrix beginpmatrix a b endpmatrix. Hii ni sawa na mfumo ya milinganyo anzakesi frac150a frac750b a frac750a frac4950 b b mwishokesi Ninaweza kurahisisha hili kwa kuzidisha pande zote mbili kwa 50 na kutoa a na b kutoka pande za kushoto, mtawalia. Hii inanipa kuanzakesi -49a 7b 0 7a - b 0 mwishokesi Ninaweza kutatua hili kwa kubadilisha, kuondoa, au mbinu nyingine yoyote. Ninagundua kuwa mlinganyo wa pili unamaanisha kuwa b 7a, ili niweze kuchomeka hiyo kwenye mlinganyo wa kwanza na kupata -49a 49a 0. Hii ni kweli kila wakati, kwa hivyo nina masuluhisho mengi sana, mradi tu. kama a na b zote sio sifuri. Ninaweza kuchagua thamani yoyote ya nonzero kwa a na kupata thamani inayolingana ya b kwa kutumia b 7a. Kwa mfano, nikichagua a 1, basi b 7. Kwa hivyo, mwelekeo mmoja unaowezekana. vekta ya mstari ell ni beginpmatrix 1 7 endpmatrix. Hii inakidhi masharti yaliyotolewa, kwani a 0, na gcda, b gcd1,7 1. 