<prompt> Pata suluhu ndogo kabisa kamili ya tan19xcircdfraccos96circsin96circcos96 circ-dhambi96circ.  <response>: Kwa formula ya kuongeza tangent,anzaalignfraccos 96circ sin 96circcos 96circ - sin 96circ frac1 tan 96circ1 - tan 96circ fractan 45circ tan 96circ1 - tan 45circ tan 96circ tan 45mduara 96mduara tan 141mduara.endalignKwa hivyo, tunatafuta suluhu dogo kabisa kamili latan 19xcirc tan 141circ.Hii inamaanisha 19x - 141 180n kwa nambari kamili n, au 19x - 180n 141. Tunaweza kutumia Algorithm Iliyoongezwa ya Euclidean kupata suluhu ndogo kabisa kamili.Kuendesha Algorithm ya Euclidean kwenye 180 na 19, tunapataanzaalign180 9 cdot 19 9, 19 2 cdoti 9 1, 9 9 cdot 1.mwishoalignKishaanzaalign1 19 - 2 cdoti 9 19 - 2 cdoti 180 - 9 cdoti 19 19 cdot 19 - 2 cdot 180.endalignKuzidisha pande zote mbili kwa 141, tunapata2679 cdot 19 - 282 cdot 180 141.Kumbuka kwamba ikiwa x,n ni suluhisho la 19x - 180n 141, basi ni x - 180,n 19 . Hivyo, tunapunguza 2679 modulo 180, ili kupata x 159.Vinginevyo, tunataka kutatua19x equiv 141 pmod180.Tukizidisha pande zote mbili kwa 19, tunapata361x equiv 2679 pmod180,ambayo inapungua hadi x equiv 159 pmod180. 