<prompt> Je, shanga 4 tofauti zinaweza kuwekwa kwa njia ngapi kwenye bangili iliyo na fundo ndani yake? Shanga haziwezi kuteleza kupita fundo. Njia mbili huchukuliwa kuwa sawa ikiwa moja ni kiakisi cha nyingine, kwa kuwa tunaweza kugeuza bangili juu.  <response>: Ninajua kuwa kwa ujumla, idadi ya njia za kupanga n vitu tofauti kwenye duara ni n-1!, kwa sababu tunaweza kurekebisha kitu kimoja na kisha kuruhusu vingine. Walakini, shida hii ina twists kadhaa. Moja ni kwamba bangili ina fundo, kwa hivyo hatuwezi kuizungusha kwa uhuru. Nyingine ni kwamba tunaweza kuitafakari, kwa hivyo mipangilio mingine ni sawa. Ili kuhesabu fundo, ninaweza kufikiria kuvunja bangili kwenye fundo na kuiweka kama sehemu ya mstari. Kisha nina madoa 4 ya kujaza na shanga 4, ambazo ninaweza kufanya katika 4! njia. Walakini, hii inazidi kwa sababu ya 2, kwa sababu ninaweza kupindua sehemu ya mstari na kupata mpangilio sawa kwenye bangili. Kwa hivyo ninahitaji kugawanya na 2 kupata jibu la mwisho. Kwa hiyo, idadi ya njia za kuweka shanga 4 tofauti kwenye bangili ni 4! 2 12. 