<prompt> Pata jumla ya mizizi halisi ya polynomialx6 x4 - 115x3 x2 1 0.  <response>: Hii ni digrii ya juu sana ya polynomial, kwa hivyo sitarajii kuweza kuizingatia kwa urahisi au kupata mizizi yote. Hata hivyo, ninagundua kwamba hesabu ni linganifu, ambayo ina maana kwamba ikiwa x ni mzizi, basi hivyo ni frac1x. Hii inapendekeza kwamba ninaweza kujaribu kugawanya polynomia kwa x3 na kuona kama nitapata mlinganyo wa quadratic kulingana na x frac1x. Nikigawanya kwa x3, ninapata x3 x - 115 frac1x frac1x3 0. Sasa ninaweza kuruhusu y x frac1x na kuona kama ninaweza kurahisisha mlingano huu. Nikiweka pande zote mbili za y x frac1x, napata y2 x2 2 frac1x2. Nikitoa 2 kutoka pande zote mbili, ninapata y2 - 2 x2 frac1x2. Kuweka pande zote mbili za y x frac1x, napata y3 x3 3x frac3x frac1x3 . Nikitoa 3y kutoka pande zote mbili, ninapata y3 - 3y x3 frac1x3. Sasa ninaweza kubadilisha misemo hii katika mlinganyo x3 x - 115 frac1x frac1x3 0. Ninapata y3 - 3y y - 115 0, ambayo ni mlingano wa ujazo katika y. Ili kutatua equation hii, naweza kujaribu kuizingatia kwa kutafuta mizizi ya busara. Kiini cha kimantiki cha mlingano huu lazima kiwe kipengele cha 115, ambacho kinaweza kuwa pm 1, pm 5, pm 23, pm 115. Ninaweza kutumia mgawanyiko wa syntetisk kujaribu mizizi hii inayowezekana na kuona ikiwa yoyote kati yao hufanya equation kuwa kweli. Ninaona kuwa y 5 ni mzizi, na kugawanya kwa y - 5, napata y2 5y 23 0. Mizizi iliyobaki ya equation hii sio kweli, kwani kibaguzi 52 - 4 cdot 23 ni hasi. Kwa hivyo, thamani pekee ya y inayotosheleza mlinganyo ni y 5. Ili kupata thamani zinazolingana za x, ninaweza kutumia equation y x frac1x na mbadala y 5. Ninapata 5 x frac1x, ambayo ni mlingano wa quadratic katika x. Kuzidisha pande zote mbili kwa x, napata 5x x2 1. Kupanga upya, napata x2 - 5x 1 0. Kwa kutumia fomula ya quadratic, napata x frac5 pm sqrt212. Hizi ndizo mizizi mbili halisi ya polynomial asili. Ili kupata jumla yao, naweza tu kuwaongeza pamoja. Ninapata frac5 sqrt212 frac5 - sqrt212 5. 