<prompt> Ruhusu pembetatu ABC iwe na urefu wa upande AB13, AC14, na BC15. Kuna miduara miwili iliyo ndani ya angle BAC ambayo ni tangent kwa miale overlineAB, overlineAC, na segment overlineBC. Hesabu umbali kati ya vituo vya miduara hii miwili.  <response>: Miduara miwili iliyoelezwa kwenye tatizo imeonyeshwa kwenye mchoro. Mduara ulio ndani ya pembetatu ABC unaitwa duara; mkutano unaofuata tutaweka kituo chake lebo I. Mduara mwingine unajulikana kama mduara, na tunaweka kituo chake lebo E. Kuanza, tunaweza kukokotoa eneo la pembetatu ABC kwa kutumia fomula ya Heron. Urefu wa pembeni wa pembetatu pembetatu ABC ni a15, b14, na c13, huku nusu mzunguko ni sfrac12ab c21, kwa hivyo eneo lake ni K sqrtss-as-bs-c sqrt21cdot 6cdot 7cdot 8 84. Tunapata inradius r ya pembetatu ABC kwa kutumia ukweli kwamba Krs, hivyo 8421r, kutoa r4. Ifuatayo, weka alama kwenye mduara na weka ray overlineAC kama S na T, kama inavyoonyeshwa kulia. Ni ukweli wa kawaida kwamba ASs-a6 na ATs21. Msomaji anapaswa kuthibitisha hili. Mara kwa mara tumia ukweli kwamba viambajengo kutoka ncha hadi duara vina urefu sawa. Zaidi ya hayo, kipenyo cha pembe mbili cha angle A kinapitia I na E, na radii . overlineSI na overlineTE ni perpendicular kwa overlineAC, kwa hivyo pembetatu pembetatu ASI na pembetatu ATE ni pembetatu sawa za kulia. Kwa Nadharia ya Pythagorean tunakokotoa AI sqrtAS2SI2 sqrt36162sqrt13. Kwa kutumia pembetatu zinazofanana tunapata kuwa AIAE ASAT 621 27. Kwa hivyo AE7sqrt13 na tunahitimisha kuwa IEAE-AI5sqrt13.asykuagiza olympiad; ukubwa 150; defaultpenlinewidth0.8; dotfactor4;chora0,0--4,0--3,5--mzunguko;choraduara0,0,4,0,3,5;halisi x 1.15;jozi A 0,0 x-3,-5;jozi B 4,0 x1,-5;kuchoraA--3,5--B--mzunguko;choraduaraA,3,5,B;leboA,3,5,N;leboB,4,0,E;leboC,0,0,W;jozi I incenter0,0,3,5,4,0;jozi iFoot mguu I, 0,0, 3,5;leboS,iFoot,W;leboI,I,E;kuchoraiFoot--I;jozi I2 kitovuA,3,5,B;jozi iFoot2 mguu I2, 0,0, 3,5;leboT,iFoot2,W;leboE,I2,S;kuchoraiFoot2--I2;chora3,5--I2;asy 