<prompt> Acha M iwe kikundi kidogo cha 1,2,3, lddots, 15 hivi kwamba bidhaa ya vipengele vyovyote vitatu tofauti vya M si mraba. Bainisha idadi ya juu zaidi ya vipengele katika M.  <response>: Kumbuka kuwa bidhaa ya vipengele vitatu katika kila seti 1,4,9,2,6,12, 3,5,15, na 7,8,14 ni mraba. Kwa hivyo hakuna kati ya seti hizi ambayo ni sehemu ndogo ya M. Kwa sababu hazijaunganishwa, basi M ina angalau vipengele 15-411. Kwa kuwa 10 si kipengele cha seti zilizotajwa hapo juu, ikiwa 10 notin M, basi M ina angalau vipengele 10. Tuseme 10 katika M. Basi hakuna 2,5,6,15,1,4,9, na 7,8,14 ni kikundi kidogo cha M . Ikiwa 3,12 si sio subset M, inafuata tena kuwa M ina angalau vipengele 10. Ikiwa 3,12 ikiweka M, basi hakuna 1,4,9,2,6,5,15 , na 7,8,14 ni kikundi kidogo cha M, na kisha M ina angalau vipengele 9. Tunahitimisha kuwa M ina angalau vipengele 10 katika hali yoyote ile. Hatimaye, ni rahisi kuthibitisha kwamba kifaa kidogo M1,4,5,6,7,10,11,12,13,14 ina mali inayotakikana. Kwa hivyo idadi ya juu zaidi ya vipengee katika M ni 10 . 