<prompt> Palindrome ni nambari inayosomeka mbele sawa na kurudi nyuma. Ikiwa palindrome ya tarakimu tatu imechaguliwa kwa nasibu, kuna uwezekano gani kwamba ni mgawo wa 3?  <response>: Palindrome ya tarakimu tatu lazima iwe ya umbo 1Box1, 2Box2, cdots 9Box9, ambapo Box ni tarakimu yoyote kutoka 0 hadi 9. Kwa hiyo kuna 9cdot1090 tarakimu tatu. palindromes. Sasa tunaangalia ni zipi ambazo ni zidishi za 3. Kumbuka kwamba nambari kamili ni mgawo wa 3 ikiwa na ikiwa tu jumla ya tarakimu zake ni zidishio la 3. Tukiangalia 1Box1, tunataka 11 Box kuwa kizidishio cha 3, kwa hivyo Box inaweza kuwa 1, 4, au 7. Na 2Box2, 22Box inapaswa kuwa kizidishio cha 3, kwa hivyo Box inaweza kuwa 2, 5, au 8. Na 3Box3, Box inaweza kuwa 0, 3, 6, au 9. Thamani zinazowezekana za Box kisha zirudie, 4Box4 kutoa 1, 4, au 7, 5Box5 ikitoa 2, 5, au 8, n.k. Kwa hivyo idadi ya vizidishio vya 3 ni 3mara 33430. Kwa kuwa kuna palindromes zenye tarakimu tatu kwa jumla, tunapata uwezekano wa frac3090frac13. 