<prompt> Pembetatu ABC ina BC20. Mzingo wa pembetatu sawasawa hukata wastani AD. Ikiwa eneo la pembetatu ni m sqrtn ambapo m na n ni nambari kamili na n haiwezi kugawanywa kwa mraba wa prime, tafuta mn.  <response>: asy ukubwa 300; pointpennyeusi;penyezamweusiupana wa mstari0.65; kalamu s fontsize 10; jozi A0,0,B26,0,CIPmduaraA,10,mduaraB,20,DBC2,Ikichochezi A,B,C; njia duara duara A,B,C; jozi E1IPcir,B--C,FIPcir,A--C,GIPcir,A--B,PIPA--D,cir,Q OPA--D,cir; DMPA,A,s--MPB,B,s--MPC,C,N,s--mzunguko; D cir; DA--MPD,D,NE,s; DMPE,E1,NE,s; DMPF,F,NW,s; DMPG,G,s; DMPP,P,SW,s; DMPQ,Q,SE,s; MP10,BD2,NE; MP10,CD2,NE; asyAcha E, F na G ziwe sehemu muhimu za mduara na BC, AC na AB, mtawalia. Bila hasara ya jumla, acha AC AB, ili E iwe kati ya D na C. Acha urefu wa wastani uwe 3m. Kisha kwa matumizi mawili ya Nguvu ya Nadharia ya Uhakika, DE2 2m cdot m AF2, hivyo DE AF. Sasa, CE na CF ni viambajengo viwili kwa duara kutoka sehemu moja, kwa hivyo kwa Nadharia Mbili Tangent CE CF c na hivyo AC AF CF DE CE CD 10 . Kisha DE AF AG 10 - c hivyo BG BE BD DE 20 - c na hivyo AB AG BG 30 - 2c .Sasa, kulingana na Theorem ya Stewart katika pembetatu pembetatu ABC na cevian overlineAD, tunayom32cdot 20 20cdot10cdot10 102cdot10 30 - 2c2cdot 10.Matokeo yetu ya awali kutoka Power of a Point yalikuwa 2m2 10 - c2, kwa hivyo tunachanganya matokeo haya mawili kutatua kwa c na tunapata910 - c2 200 100 30 - 2c2 quad Longrightarrow quad c2 - 12c 20 0.Hivyo c 2 au 10. Tunatupa thamani c 10 kama ya nje inatupa mstari na kubakiwa na c 2, kwa hivyo pembetatu yetu ina eneo sqrt28 cdot 18 cdot 8 cdot 2 24 sqrt14 na kwa hivyo jibu ni 24 14 38. 