<prompt> Acha z iwe nambari changamano kama hiyoz - 12 z - 5i 13.Tafuta thamani ndogo kabisa ya z.  <response>: Ninaona kwamba mlinganyo unahusisha jumla ya umbali mbili: umbali kutoka z hadi 12 na umbali kutoka z hadi 5i. Hii inanifanya nifikirie usawa wa pembetatu, ambayo inasema kwamba jumla ya urefu wa pande zote mbili za pembetatu ni kubwa kuliko au sawa na urefu wa upande wa tatu. Kwa hivyo naweza kufikiria kuwa z, 12, na 5i ni wima za pembetatu, na mlinganyo unasema kwamba jumla ya pande mbili ni 13 haswa. Hiyo inamaanisha kuwa pembetatu lazima iwe duni, au mstari ulionyooka, kwani usawa unashikilia. Kwa hivyo z lazima ilale kwenye sehemu ya laini inayounganisha 12 na 5i. Sasa nataka kupata uhakika kwenye sehemu hiyo ya mstari ambayo iko karibu na asili, kwani hiyo ingepunguza z. Ninaweza kutumia fomula ya umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari kupata uhakika huo. Mlinganyo wa mstari unaopita 12 na 5i ni y frac512x - 5, kwa hivyo umbali kutoka 0,0 hadi mstari huu ni frac 0 - 0 - 5sqrt1 frac5122 frac6013. Hii inamaanisha kuwa sehemu iliyo kwenye mstari iliyo karibu zaidi na asili ina umbali wa frac6013 kutoka asili, na hii ndiyo thamani ndogo zaidi iwezekanayo ya z. 