<prompt> Ndege hupanda futi 100 katika sekunde ya kwanza baada ya kupaa. Katika kila sekunde inayofuata inapanda futi 100 zaidi kuliko ilivyopanda wakati wa sekunde iliyopita. Je, inachukua sekunde ngapi kwa ndege kufikia mwinuko wa futi 12,000 juu ya urefu wake wa kuruka?  <response>: Ninaweza kuanza kwa kuandika usemi wa urefu wa ndege baada ya sekunde t. Ndege hupanda futi 100 katika sekunde ya kwanza, kwa hivyo hiyo ndiyo muhula wa kwanza. Kisha inapanda futi 200 katika sekunde ya pili, kwa hivyo hiyo ndiyo muhula wa pili. Kwa ujumla, inapanda futi 100t katika sekunde ya t-th, kwa hivyo hiyo ndiyo muhula wa t. Urefu wa ndege baada ya sekunde t ni jumla ya maneno haya, ambayo ni mfululizo wa hesabu. Fomula ya jumla ya mfululizo wa hesabu ni S_n n2 a_1 a_n, ambapo n ni idadi ya maneno, a_1 ni neno la kwanza, na a_n ni neno la mwisho. Katika kesi hii, n t, a_1 100, na a_n 100t. Kwa hivyo urefu wa ndege baada ya sekunde t ni S_t t2 100 100t. Ninataka kupata dhamana ndogo zaidi ya t vile S_t 12,000. Ninaweza kuanza kwa kuweka S_t 12,000 na kurahisisha equation. Kuzidisha pande zote mbili kwa 2, napata t 100 100t 24,000. Kupanua, napata 100t 100t2 24,000. Kugawanya kwa 100, napata t t2 240. Kupanga upya, ninapata t2 t - 240 0. Hii ni equation ya quadratic ambayo ninaweza kutatua kwa factoring. Ninatafuta nambari mbili zinazozidisha hadi -240 na kuongeza hadi 1. Ninagundua kuwa 16 na -15 hufanya kazi. Kwa hivyo naweza kuandika equation kama t 16 t - 15 0. Suluhisho ni t -16 na t 15. Walakini, t -16 haileti maana katika muktadha wa shida, kwani siwezi kuwa na wakati hasi. Kwa hiyo suluhisho pekee halali ni t 15. Hii ina maana kwamba inachukua ndege sekunde 15 kufikia urefu wa futi 12,000. 