<prompt> Pata thamani zote za x, 0 le x le 2 pi, ambazo zinakidhisin2 x cos x 1 0.Ingiza suluhu zote, zikitenganishwa na koma.  <response>: Hii inaonekana kama mlinganyo wa trigonometriki unaohusisha sine na kosine ya x. Ninajua kuwa sin2 x 1 - cos2 x, ili niweze kutumia kitambulisho hicho kuchukua nafasi ya sin2 x na 1 - cos2 x katika mlinganyo. Hii inanipa 1 - cos2 x cos x 1 0. Sasa nina equation ya quadratic kulingana na cos x. Ninaweza kuiandika upya kama cos2 x - cos x - 2 0. Ili kutatua kwa cos x, naweza kujaribu kuangazia usemi wa quadratic. Nahitaji nambari mbili zinazozidisha hadi -2 na kuongeza -1. Ninaona hiyo -2 na 1 inafanya kazi. Kwa hivyo naweza kuandika cos2 x - cos x - 2 cos x - 2cos x 1 0. Sasa naweza kutumia sifa ya bidhaa sifuri kusema kwamba cos x - 2 0 au cos x 1 0. Kutatua kwa cos x, Ninapata cos x 2 au cos x -1. Hata hivyo, najua kwamba cos x 2 haiwezekani, kwani kitendakazi cha kosini huchukua tu maadili kati ya -1 na 1. Kwa hivyo thamani pekee inayowezekana kwa cos x ni -1. Hii inamaanisha kuwa x lazima iwe pembe ambayo cosine yake ni -1. Ninajua kuwa cos pi -1, kwa hivyo hiyo ni suluhisho moja. Ninajua pia kuwa cos x ni ya mara kwa mara na kipindi 2 pi, kwa hivyo pembe yoyote ambayo ni kizidishio cha 2 pi mbali na pi pia itakuwa na cosine ya -1. Kwa hivyo, suluhisho la jumla ni x pi 2 pi k, ambapo k ni nambari yoyote. Walakini, shida inauliza suluhu katika muda 0, 2 pi. Hii inamaanisha kuwa ninahitaji tu kuzingatia maadili ya k ambayo hufanya x kulala katika muda huo. Ninaweza kuona kuwa wakati k 0, ninapata x pi, ambayo iko kwenye muda. Wakati k 1, ninapata x 3 pi, ambayo haiko katika muda. Wakati k -1, ninapata x -pi, ambayo pia haiko katika muda. Kwa hiyo, suluhisho pekee katika muda uliotolewa ni x pi. 