<prompt> Katie ana orodha ya nambari halisi hivi kwamba jumla ya nambari kwenye orodha yake ni sawa na jumla ya miraba ya nambari kwenye orodha yake. Kokotoa thamani kubwa zaidi ya wastani wa hesabu ya nambari zake.  <response>: Jumla ya nambari kwenye orodha ya Katie ni sawa na jumla ya miraba ya nambari kwenye orodha yake, kwa hivyo ninaweza kuandika mlinganyo: x_1 x_2 ... x_n x_12 x_22 .. . x_n2, ambapo x_i ni nambari kwenye orodha yake na n ni nambari ya nambari kwenye orodha yake. Ninataka kupata thamani kubwa zaidi ya maana ya hesabu ya nambari zake, ambayo ni jumla ya nambari zake zilizogawanywa na idadi ya nambari: x_1 x_2 ... x_n n. Ili kurahisisha mlinganyo, ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa n: x_1 x_2 ... x_n n x_12 x_22 ... x_n2 n. Sasa nagundua kuwa upande wa kulia ndio maana ya miraba ya nambari zake, na upande wa kushoto ndio maana ya nambari zake. Ninakumbuka kwamba kuna ukosefu wa usawa unaohusiana na maana ya miraba ya baadhi ya nambari na mraba wa maana ya nambari hizo: maana ya miraba daima ni kubwa kuliko au sawa na mraba wa wastani, na usawa unashikilia ikiwa na ikiwa tu nambari zote ni sawa. Hii ina maana kwamba katika kesi ya Katie, maana ya miraba ya nambari zake ni sawa na mraba wa wastani wa nambari zake, kwa kuwa zote mbili ni sawa na thamani sawa. Kwa hivyo naweza kuandika: x_12 x_22 ... x_n2 n x_1 x_2 ... x_n n2. Kuchukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili, napata: sqrtx_12 x_22 ... x_n2 n x_1 x_2 ... x_n n. Hii inamaanisha kuwa maana ya hesabu ya nambari zake ni sawa na mzizi chanya wa maana ya miraba ya nambari zake. Ili kuongeza maana ya hesabu ya nambari zake, ninahitaji kuongeza wastani wa miraba ya nambari zake, kwa kuwa utendaji wa mizizi ya mraba unaongezeka. Wastani wa miraba ya nambari zake hukuzwa wakati nambari zote ni sawa na thamani kubwa zaidi inayowezekana, kwani chaguo la kukokotoa la mraba linaongezeka. Thamani kubwa inayowezekana ya nambari kwenye orodha yake ni 1, kwani ikiwa yoyote kati yao ingekuwa kubwa kuliko 1, mraba wao ungekuwa mkubwa kuliko wao wenyewe, na jumla ya miraba ingezidi jumla ya nambari. Kwa hivyo, thamani kubwa zaidi ya maana ya hesabu ya nambari zake ni 1, ambayo hutokea wakati nambari zote kwenye orodha yake ni 1. 