<prompt> Acha overlineAB iwe kipenyo cha mduara omega. Ongeza overlineAB hadi A hadi C. Pointi T iko kwenye omega kwa hivyo laini hiyo CT ni tangent hadi omega. Pointi P ni mguu wa perpendicular kutoka A hadi mstari CT. Tuseme overlineAB 18, na uruhusu m ionyeshe urefu wa juu unaowezekana wa sehemu BP. Tafuta m2.  <response>: asy ukubwa 250; defaultpen0.70 fontsize10; kuagiza olympiad; jozi O 0,0, B O - 9,0, A O 9,0, CA18,0, T 9 expi-1.2309594, P mguu A,C,T; kuchoraMduaraO,9; kuchoraB--C--T--O; choraA--P; nukta A; nukta B; nukta C; nukta O; nukta T; nukta P; choraalama ya kuliaO,T,C,30; choraalama ya kuliaA,P,C,30; choraalamaB,A,P,35; kuchora B--P, bluu; leboA,A,NW; leboB,B,NW; leboC,C,NW; leboO,O,NW; leboP,P,SE; leboT,T,SE; lebo9,OA2,N; lebo9,OB2,N; lebox-9,CA2,N; asyAcha x OC. Kwa kuwa OT, AP perp TC, inafuata kwa urahisi kwamba pembetatu APC sim pembetatu OTC. Hivyo basi fracAPOT fracCACO Longrightarrow AP frac9x-9x. Kwa Sheria ya Cosines kwenye pembetatu BAP,anzaalignBP2 AB2 AP2 - 2 cdot AB cdot AP cdot cos angle BAP endalign ambapo cos angle BAP cos 180 - angle TOA - fracOTOC - frac9x, kwa hivyo:anzaalignBP2 182 frac92x-92x2 218 cdot frac9x-9x cdot frac 9x 405 729kushotofrac2x - 27x2kuliaendalignHebu k frac2x-27x2 Longrightarrow kx2 - 2x 27 0; hii ni quadratic, na kibaguzi chake lazima kiwe kisicho cha kuchukiza: -22 - 4k27 ge 0 Longleftrightarrow k le frac127. Kwa hivyo,BP2 le 405 729 cdot frac127 432Usawa unashikilia wakati x 27. 