<prompt> Ndege huamuliwa kwa njia ya kipekee na sehemu tatu zisizo za safu. Je, ni idadi gani ya juu zaidi ya ndege zinazoweza kuamuliwa na pointi 12 angani?  <response>: Ninahitaji kupata idadi ya njia za kuchagua alama tatu tofauti kutoka kwa seti ya alama 12, kwani kila chaguo kama hilo huamua ndege. Hili ni shida ya mchanganyiko, na ninaweza kutumia fomula ya michanganyiko kulisuluhisha. Njia ya idadi ya njia za kuchagua vitu r kutoka kwa vitu vya n, bila kuzingatia utaratibu, ni nCr n! r! n-r!, wapi! inaashiria factorial. Katika kesi hii, n 12 na r 3, kwa hivyo ninahitaji kuhesabu 12C3. Ninaweza kurahisisha usemi huu kwa kughairi mambo kadhaa ya kawaida kwenye nambari na dhehebu. 12C3 12! 9! 3! 0! 12 11 10 9! 9! 3 2 1 12 11 10 3 2 220. Kwa hiyo, idadi ya juu zaidi ya ndege ambayo inaweza kuamua na pointi 12 katika nafasi ni 220. 