<prompt> Acha a_1 , a_2 , dots iwe mfuatano ambao a_12 , a_23 na a_nfraca_n-1a_n-2 kwa kila nambari kamili n ge 3. a_2006 ni nini?  <response>: Ninagundua kuwa huu ni mlolongo wa kujirudia, ambapo kila neno linategemea masharti mawili yaliyotangulia. Ili kupata a_2006, ningehitaji kujua a_2005 na a_2004, na kadhalika, hadi nifikie thamani za awali za a_1 na a_2. Sijui ikiwa kuna mchoro au njia ya mkato ya kuzuia kukokotoa masharti yote kutoka a_3 hadi a_2006. Ninajaribu kuandika masharti machache ya kwanza ili kuona kama ninaweza kutambua chochote: a_12, a_23, a_3frac32, a_4frac3 2 div 3 frac12, a_5frac12 div frac32 frac13, a_6frac13 div frac12 frac23, a_7frac23 div frac1101 3 2, a_82 div frac23 3. Ninaona kwamba mfuatano huo unajirudia: a_7a_1 na a_8a_2, na ninaweza kuthibitisha kuwa a_9fraca_8a_7 frac32 a_3, a_10fraca_9a_8 frac12 a_4, na kadhalika. Ninagundua kuwa mlolongo una muda wa 6, ikimaanisha kuwa kila maneno 6, hurudia maadili sawa kwa mpangilio sawa. Hii inamaanisha kuwa ninaweza kutumia salio wakati wa kugawanya 2006 na 6 kupata neno linalolingana katika mzunguko. Ninajua kuwa 2006 ikigawanywa na 6 inatoa mgawo wa 334 na salio 2. Hii inamaanisha kuwa a_2006 ni muhula wa pili katika mzunguko, ambao ni 3. 