<prompt> Acha C0,1 iwe kazi yote inayoendelea katika muda 0,1. Kwa mlinganyo muhimu xt-lambda int_01 et-s xs dsyt, ambapo ytkatika C0,1 ni kazi iliyopewa. lambda ni ya kudumu na lambda1. Halafu kuna suluhisho la kipekee xtkatika C0,1. Hitimisho hili linaweza kuthibitishwa na: 1. Nadharia ya utendaji kamili, 2. Nadharia ya uwakilishi ya Riesz, 3. Nadharia ya uhakika ya Banach, 4. Hakuna kati ya zilizo hapo juu. Rudisha nambari kama jibu.Nadharia Husika: Nadharia ya Pointi Zisizohamishika za Banach, pia inajulikana kama Kanuni ya Kuunganisha Ramani, ni tokeo la msingi katika uchanganuzi wa hisabati ambao huhakikisha kuwepo na upekee wa pointi zisizobadilika za aina fulani za michoro, hasa upangaji wa upunguzaji, katika nafasi kamili za vipimo. Ina matumizi muhimu katika nyanja mbalimbali, ikiwa ni pamoja na milinganyo tofauti, uboreshaji, na nadharia ya mchezo.Wacha tugawanye sehemu kuu za nadharia:1. Nafasi kamili ya metri: Nafasi ya kipimo ni seti iliyo na kipengele cha kukokotoa cha umbali ambacho kinakidhi sifa fulani, kama vile kutokuwa hasi, ulinganifu na usawa wa pembetatu. Nafasi kamili ya kipimo ni nafasi ya kipimo ambapo kila mfuatano wa Cauchy mfuatano ambapo umbali kati ya vipengee vyake unakuwa mdogo kiholela kadri mfuatano unavyoendelea huungana hadi kikomo ndani ya nafasi.2. Uchoraji ramani: Ramani ya upunguzaji au upunguzaji ni chaguo la kukokotoa ambalo linaweka nafasi ya kipimo ndani yake yenyewe na kutosheleza sifa ya mkataba, kumaanisha kuwa umbali kati ya pointi zozote mbili kwenye nafasi umepunguzwa kabisa baada ya kutumia ramani. Hapo awali, chaguo la kukokotoa f ni ramani ya mkato ikiwa kuna 0 k 1 mara kwa mara kiasi kwamba kwa pointi mbili x na y katika nafasi, umbali kati ya fx na fy ni mara nyingi k umbali kati ya x na y.Nadharia ya Uhakika wa Banach inasema kwamba:Ikiwa X, d ni nafasi kamili ya metri na f: X X ni ramani ya upunguzaji, basi kuna sehemu maalum ya kipekee x katika X kwamba fx x.Kwa maneno mengine, nadharia hiyo inadai kwamba kwa upangaji wa ramani ya upunguzaji kwenye nafasi kamili ya kipimo, kuna sehemu ya kipekee katika nafasi ambayo bado haijabadilika chini ya upangaji ramani. Zaidi ya hayo, nadharia hutoa mbinu ya kurudia kukadiria nukta maalum: kuanzia hatua yoyote ya mwanzo x0, mlolongo wa iterates x1 fx0, x2 fx1, x3 fx2, ... huungana. kwa uhakika x.Nadharia ya Pointi Zisizohamishika za Banach ni zana yenye nguvu katika uchanganuzi wa hisabati, kwani haihakikishi tu kuwepo na upekee wa pointi zisizohamishika lakini pia hutoa mbinu ya vitendo ya kuzipata.  <response>: 3.0 