<prompt> Claire anapogawanya keki zake katika vikundi 5, anabaki 3, na anapogawanya keki zake katika vikundi 7, anabaki 4. Ikiwa Claire ana keki zisizozidi 60, ni jumla gani ya kiasi kinachowezekana cha keki ambazo angeweza kula?  <response>: Ninahitaji kupata nambari zote ambazo ni 3 zaidi ya kizidishio cha 5 na 4 zaidi ya kizidishio cha 7, na ni chini ya 60. Ninaweza kuandika nambari hizi kama 5k 3 na 7m 4, ambapo k na m ziko. nambari chanya. Ili kupata maadili ya kawaida ya misemo hii, ninaweza kutumia nadharia ya salio ya Kichina, ambayo inasema kwamba kuna suluhisho la kipekee la modulo 5 x 7 35. Ninaweza kutumia njia ya kubadilisha nyuma ili kupata suluhisho hili. Ninaanza kwa kutambua kwamba 5k 3 4 mod 7, ambayo ina maana kwamba 5k 1 mod 7. Ili kupata k, ninaweza kujaribu maadili tofauti hadi nipate moja ambayo inafanya kazi. Kwa mfano, k 3 inatoa 5 x 3 15 1 mod 7. Hivyo suluhisho moja ni k 3, ambayo ina maana kwamba 5k 3 18. Hii ina maana kwamba 18 ni mojawapo ya kiasi kinachowezekana cha cupcakes. Ili kupata masuluhisho mengine, naweza kuongeza au kutoa mafungu ya 35, kwani hiyo ndiyo moduli. Walakini, nataka tu suluhisho chanya ambazo ni chini ya 60. Kwa hivyo idadi pekee ya keki zinazowezekana ni 18 na 53. Ili kupata jumla ya idadi hizi, ninaziongeza tu: 18 53 71. 