<prompt> Acha mathbfa na mathbfb ziwe visambazaji data kiasi kwamba mathbfa 2, mathbfb 5, na mathbfa nyakati mathbfb 8. Tafuta mathbfa cdot mathbfb.  <response>: Nakumbuka kwamba ukubwa wa bidhaa ya msalaba wa vectors mbili ni bidhaa ya ukubwa wao na sine ya angle kati yao. Kwa hivyo, mathbfa nyakati mathbfb mathbfa mathbfb sin theta, ambapo theta ni pembe kati ya mathbfa na mathbfb. Nikichomeka thamani zilizotolewa, napata 8 2 cdot 5 cdot sin theta, au sin theta frac45. Pia nakumbuka kwamba bidhaa ya nukta ya vekta mbili ni zao la ukubwa wao na kosine ya pembe kati yao. Kwa hivyo, mathbfa cdot mathbfb mathbfa mathbfb cos theta. Ili kupata cos theta, Ninaweza kutumia kitambulisho cha Pythagorean cos2 theta sin2 theta 1. Tangu sin theta frac4 5, napata cos theta pm sqrt1 - frac1625 pm frac35. Kwa hiyo, mathbfa cdot mathbfb 2 cdot 5 cdot pm frac35 pm 6. Tatizo linauliza thamani kamili ya mathbfa cdot mathbf b, kwa hivyo ninapuuza ishara na kupata jibu la mwisho. 