<prompt> Pata thamani zote za k ambazo pembe kati ya vekta anzapmatrix k 1 1 endpmatrix na beginpmatrix 1 k 1 mwisho pmatrix ni fracpi3.  <response>: Kwa kuwa pembe kati ya vekta ni fracpi3,cos theta fracanzapmatrix k 1 1 mwishopmatrix cdot anzapmatrix 1 k 1 mwishopmatrixkushoto anzapmatrix k 1 1 mwishopmatrix kulia kushoto anzapmatrix 1 k 1 mwishopmatrix kulia cos fracpi3 frac12.Kishafrac2k 1sqrtk2 2 sqrtk2 2 frac12,hivyo 4k 2 k2 2. Hii hurahisisha hadi k2 - 4k kk - 4 0, kwa hivyo thamani zinazowezekana za k ni 0,4. 