<prompt> Dodekahedron ya kawaida ni polihedroni mbonyeo yenye nyuso 12 za kawaida za pentagonal na vipeo 20. Ikiwa wima mbili tofauti zimechaguliwa bila mpangilio, kuna uwezekano gani kwamba laini inayoziunganisha iko ndani ya dodekahedron?  <response>: Kuna jumla ya dbinom202190 njia za kuchagua wima mbili tofauti. Wakati mstari unachorwa kuunganisha wima hizi, zingine zitalingana na kingo au diagonal za uso, na zingine zitalala ndani ya dodecahedron. Kila moja ya nyuso 12 za pentagonal ina kingo 5. Hii inafanya jumla ya kingo 5cdot1260. Hii huhesabu kila ukingo mara mbili, mara moja kwa kila uso ulio karibu, kwa hivyo kuna kingo 60230 pekee. Kila moja ya nyuso 12 za pentagonal pia ina vilalo vya uso vya 5. Hili linaweza kuonekana kwa kuchora mfano, au kukumbuka kuwa poligoni ya upande wa n ina vilalo vya uso vya fracnn-32. Hii ni jumla ya 5cdot 12 60 vilaza vya uso.Kwa hiyo, kati ya njia 190 za kuchagua wima mbili, 190-30-60100 itatoa mistari iliyo ndani ya dodecahedron wakati imeunganishwa. Uwezekano wa kuchagua jozi kama hizo ni: frac100190frac1019 