<prompt> Nambarie7pi i60 e17pi i60 e27 pi i60 e37pi i 60 e47 pi i 60imeonyeshwa katika muundo r ei theta, ambapo 0 le theta 2pi. Tafuta theta.  <response>: Hebu tutafute nambari hizi kwenye ndege changamano kabla ya kuziongeza. Kwa kuwa ei theta ndio sehemu ya mwisho ya pembe theta kwenye mduara wa kitengo, hapa kuna nambari:asyukubwa 200;kuagiza TrigMacros;rr_cartesian_axes-2,2,-1,3,complexplanekweli, usegrid uongo;jozi O 0,0;jozi Z;kwa int i 0; i 5; i Zi dir30idir12; kuchoraO--Zi; nukta Zi;leboe7pi i60, Z0, dirZ0;leboe17pi i60, Z1, dirZ1;leboe27pi i60, Z2, dirZ2;leboe37pi i60, Z3, NNW;leboe47pi i60, Z4, NW;asy Tunahitaji kuongeza nambari zote 5. Hata hivyo, kwa kweli hatuhitaji kupata aina ya kielelezo cha jibu: tunahitaji tu kujua hoja ya jumla yetu, yaani, pembe ambayo jumla yetu hufanya kwa mhimili chanya x-.Ulinganifu wa picha hapo juu unapendekeza kwamba tuzingatie kile kinachotokea ikiwa tutajumlisha jozi za nambari. Kwa mfano, hebu tujaribu kuongeza e7pi i60 na e47pi i 60 kichwa hadi mkia:asyukubwa 200;kuagiza TrigMacros;rr_cartesian_axes-2,2,-1,3,complexplanekweli, usegrid uongo;jozi O 0,0;jozi Z;kwa int i 0; i 5; i Zi dir30idir12;kuchoraO--Z0, bluu;kuchoraO--Z4;kuchoraZ4--Z0Z4, bluu;choraO--Z0Z4;nuktae7pi i60, Z0, dirZ0;nuktae47pi i60, Z4, NW;nuktae7pi i60 e47pi i60, Z4Z0, N;asyTangu e7pi i60 e47pi i60 1, sambamba na vipeo kwa 0, e7pi i60, e47 pi i60 na e7pi i 60 e47 pi i60 ni rhombus. Hiyo ina maana kwamba sehemu ya mstari kutoka 0 hadi e7pi i 60 e47 pi i60 inagawanya pembe hiyo kwa 0 katikati, ambayo ina maana kwamba hoja ya e 7pi i60 e47 pi i60 ni wastani wa hoja za nambari zinazoongezwa, au kwa maneno mengine nidfrac12 kushoto dfrac7pi60 dfrac47pi60kulia dfrac27 pi60 dfrac9pi20.Hiyo ina maana kwamba e7pi i 60 e47 pi i60 r_1 e9 pi i20,kwa baadhi ya r_1 zisizo hasi.Vile vile, tunaweza kuzingatia jumla e17pi i60 e37pi i60. Hii hapa kwenye picha:asyukubwa 200;kuagiza TrigMacros;rr_cartesian_axes-2,2,-1,3,complexplanekweli, usegrid uongo;jozi O 0,0;jozi Z;kwa int i 0; i 5; i Zi dir30idir12;kuchoraO--Z1, bluu;kuchoraO--Z3;kuchoraZ3--Z1Z3, bluu;choraO--Z1Z3;nuktae17pi i60, Z1, dirZ1;nuktae37pi i60, Z3, NW;nuktae17pi i60 e37pi i60, Z3Z1, N;asyTuna tena rhombus, ambayo ina maana tena kwamba jumla ya jozi ina hoja sawa na wastani wa hoja. Hiyo ina maana kwamba hoja ya e17pi i60 e37 pi i60 ni wastani wa hoja za nambari zinazoongezwa, au kwa maneno mengine nidfrac12 kushoto dfrac17pi60 dfrac37pi60kulia dfrac27 pi60 dfrac9pi20.Kwa hivyo, e17pi i 60 e37 pi i60 r_2 e9 pi i20,kwa r_2 zisizo hasi.Hatimaye, nambari yetu ya kati ni e27pi i60 e9pi i20, ikirahisisha sehemu. Sasa tunaongeza nambari tatu kwa hoja e9pi i20, ambayo inatoa nambari nyingine yenye hoja sawa. Ili kuwa sahihi zaidi, tunayo hiyoanzaaligne7pi i60 e17pi i60 e27 pi i60 e37pi i 60 e47 pi i 60 e7pi i60 e47pi i60 e27 pi i60 e37pi i 60 e47 pi i 60 r_1 e9pi i20 e9pi i20 r_2 e9pi i20 r_1 r_2 1 e9pi i20,endalignambayo inatoa kwamba hoja ya jumla yetu ni dfrac9pi20. 