<prompt> Kuna viambajengo a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 kiasi kwambacos5 theta a_1 cos theta a_2 cos 2 theta a_3 cos 3 theta a_4 cos 4 theta a_5 cos 5 thetakwa pembe zote theta . Tafuta a_12 a_22 a_32 a_42 a_52.  <response>: Ninagundua kuwa upande wa kushoto wa equation ni nguvu ya cosine, na upande wa kulia ni mchanganyiko wa mstari wa cosines wa pembe nyingi. Hii inanikumbusha utambulisho wa kawaida wa trigonometriki unaohusiana na nguvu za kosine na kosini za pembe nyingi, ambazo ni cosn theta frac12n sum_k0n binom nk cos n-2k theta. Ninashangaa ikiwa ninaweza kutumia kitambulisho hiki kurahisisha mlingano na kupata vibali a_i. Nikichomeka n5 kwenye kitambulisho, nitapata cos5 theta frac132 left binom50 cos 5 theta binom51 cos 3 theta binom52 cos theta binom53 cos -theta binom54 cos -3 theta binom55 cos -5 theta kulia. Ninaona kuwa maneno yenye pembe hasi yanaweza kurahisishwa kwa kutumia ukweli kwamba cos -theta cos theta. Kwa hivyo equation inakuwa cos5 theta frac132 left binom50 cos 5 theta binom51 cos 3 theta binom52 cos theta binom52 cos theta binom51 cos 3 theta binom50 cos 5 theta kulia. Ninaweza kuchanganya istilahi na pembe sawa na kurahisisha viambajengo vya binomial, kwa kuwa binom50 binom 55 1 na binom51 binom54 5 na binom52 binom53 10. Kwa hivyo equation inakuwa cos5 theta frac132 left 2 cos 5 theta 10 cos 3 theta 20 cos theta kulia . Sasa ninaweza kulinganisha mlinganyo huu na mlinganyo uliyopewa na kuona kwamba migawo lazima ilingane. Kwa hivyo nina a_1 frac2032, quad a_2 0, quad a_3 frac1032, quad a_4 0, quad a_5 frac2 32. Ili kupata jumla ya miraba ya miraba, ninahitaji tu kuweka mraba kila moja na kujumlisha. Kwa hivyo napata a_12 a_22 a_32 a_42 a_52 kushoto frac2032 kulia2 left frac10 32 kulia2 kushoto frac232 kulia2 frac400 100 4322 frac5041024 frac63128. 