<prompt> Kokotoa nambari ndogo kabisa chanya n kama hiyosum_k 0n log_2 kushoto 1 frac122k kulia ge 1 log_2 frac20142015.  <response>: Acha A 1 log_2 frac20142015. Tunaona hilolog_2 kushoto 1 frac122k kulia log_2 frac22k 122k log_2 kushoto frac22k 122k kulia log_2 22k 1 - 2k .Kwa hiyo,anzaalignsum_k 0n log_2 kushoto 1 frac122k kulia sum_k 0n log_2 2 2k 1 - jumla_k 0n 2k jumla_k 0n log_2 22k 1 - 2n 1 - 1.endalignTunataka kupata n ndogo zaidi kwamba jumla hii iwe angalau A. Kwa hivyo prod_k0n22k1ge22n1cdotfrac20142015. Hebu tuunganishe baadhi ya thamani za n. Haki. Kwa n1, ukosefu wa usawa ni: 22121ge24cdotfrac20142015 jambo ambalo pia si kweli. Kwa n0 ni kweli. Chukulia kuwa kwa nm ni kweli. Tutathibitisha kwa nm1. Bidhaa ya nm1 ni: leftprod_k0m22k1kulia22m1 1. Kwa nadharia ya utangulizi, hii ni sawa na: 22m1-122m11. Kwa kurahisisha, tunapata 22m2-1. Kwa hivyo, kwa utangulizi, prod_k0n22k1 22n1-1 Ukosefu wetu wa usawa unakuwa: 22 n1-1ge22n1cdotfrac20142015. Kwa hivyo, lazima tuwe na 22n1cdotfrac12015ge1 Tunataka n ndogo zaidi ambayo hii ni kweli. 22n1cdotfrac12015ge1iff22n1ge2015. Tulichukua logariti ya msingi-2 ya pande zote mbili na tukapata: 2n1gelog_22015. Kwa hivyo, n1gelog_2log_22015 na hatimaye ngelog_2log_22015-1. Kwa hivyo, ngelog_210.9765641-1. Kwa hivyo, nge3.45635463-1 Kwa hivyo, nge2.45635463 Kwa hivyo, nambari ndogo kabisa n ambayo inakidhi ukosefu wa usawa ni n3. 