<prompt> Mfuatano fulani r_1, r_2, dots, r_n wa nambari halisi mahususi unaweza kuwekwa kwa mpangilio wa kupanda kwa njia ya pasi za Bubble. Kiputo hupita katika mlolongo fulani hujumuisha kulinganisha muhula wa pili na muhula wa kwanza, na kuzibadilisha ikiwa tu muhula wa pili ni mdogo, kisha kulinganisha muhula wa tatu na muhula wa pili na kuzibadilisha ikiwa tu muhula wa tatu. ni ndogo, na kadhalika kwa mpangilio, kwa kulinganisha muhula wa mwisho, r_n, na mtangulizi wake wa sasa na kubadilishana ikiwa tu ikiwa muhula wa mwisho ni mdogo.Mfano hapa chini unaonyesha jinsi mlolongo 1, 9, 8, 7 unabadilishwa kuwa mlolongo 1, 8, 7, 9 na kupita kwa Bubble moja. Nambari zinazolinganishwa katika kila hatua zimepigwa mstari. underline1 quad 9 quad 8 quad 71 quad underline9 quad 8 quad 71 quad 8 quad underline9 quad 71 quad 8 quad 7 quad 9Tuseme kwamba n 40, na kwamba masharti ya mfuatano wa awali r_1, r_2, dots, r_40 ni tofauti na yako kwa mpangilio maalum. Acha pq, kwa maneno ya chini kabisa, iwe uwezekano kwamba nambari inayoanza kama r_20 itaisha, baada ya kiputo kimoja kupita, katika sehemu ya 30mboxth. Tafuta p q.  <response>: Ikiwa yoyote kati ya r_1, lddots, r_19 ni kubwa kuliko r_20, moja ya nambari hizi italinganishwa na r_20 katika hatua ya 19 ya kiputo cha kwanza na r_ 20 itarejeshwa hadi nafasi ya 19. Kwa hivyo, r_20 lazima liwe neno kubwa zaidi kati ya istilahi 20 za kwanza. Zaidi ya hayo, r_20 lazima iwe kubwa kuliko r_21, r_22, ldots, r_30 lakini ndogo kuliko r_31 ili ihamie hadi tarehe 30. msimamo lakini usiendelee kusonga hadi 31.Kwa hivyo, shida yetu inaweza kurejelewa: Je, kuna uwezekano gani kwamba katika mlolongo wa nambari 31 tofauti, kubwa zaidi iko katika nafasi ya 31 na ya pili kwa ukubwa iko katika nafasi ya 20 nambari zingine 29 hazina umuhimu?Hili ni rahisi zaidi kusuluhisha: kuna 31! njia za kuagiza nambari za kwanza thelathini na moja na 29! njia za kuzipanga ili nambari kubwa zaidi iwe katika nafasi ya 31 na ya pili kwa ukubwa iko katika 20. Hii inatupa uwezekano unaohitajika wa frac29!31! frac131cdot 30 frac1930, kwa hivyo jibu ni 931. 