<prompt> Pata maadili yote ya k ambayo tofauti chanya kati ya masuluhisho ya5x2 4x k 0 ni sawa na jumla ya miraba ya suluhu hizi. Weka thamani zote zinazowezekana za k, zikitenganishwa na koma.  <response>: Tatizo hili linahusisha mlinganyo wa quadratic na baadhi ya mahusiano ya aljebra kati ya masuluhisho yake. Wacha nianze kwa kutafuta masuluhisho ya hesabu ya quadratic kwa kutumia fomula ya quadratic. Masuluhisho ni x frac-4 pm sqrt16 - 20k10. Ili kurahisisha nukuu, acha nipigie simu suluhu hizi x_1 na x_2. Kwa hivyo x_1 frac-4 sqrt16 - 20k10 na x_2 frac-4 - sqrt16 - 20k10. Sasa ninahitaji kupata tofauti chanya kati ya masuluhisho, ambayo ni thamani kamili ya x_1 - x_2. Ili kurahisisha usemi huu, ninaweza kutumia ukweli kwamba x_1 x_2 -frac45, ambayo ni kinyume cha mgawo wa x katika mlingano wa quadratic, ikigawanywa na mgawo wa x2. Hii ina maana kwamba x_1 - x_2 pm sqrtx_1 x_22 - 4x_1x_2, ambapo x_1x_2 frac k5, ambalo ni neno lisilobadilika katika mlinganyo wa quadratic, ikigawanywa na mgawo wa x2. Hivyo x_1 - x_2 pm sqrtfrac1625 - frac4k5. Kwa kuchukua thamani kamili, ninapata x_1 - x_2 sqrtfrac1625 - frac4k5. Tatizo pia linauliza jumla ya miraba ya suluhu, ambayo ni x_12 x_22. Ili kurahisisha usemi huu, ninaweza kutumia ukweli kwamba x_1 x_22 x_12 x_22 2x_1x_2. Hii ina maana kwamba x_12 x_22 x_1 x_22 - 2x_1x_2. Kuchomeka thamani za x_1 x_2 na x_1x_2, Napata x_12 x_22 frac1625 - frac2k5. The tatizo linauliza thamani za k ambazo hufanya tofauti chanya kuwa sawa na jumla ya miraba. Kwa hivyo ninahitaji kutatua equation x_1 - x_2 x_12 x_22. Kwa kubadilisha usemi niliopata awali, napata sqrtfrac1625 - frac4k5 frac16 25 - frac2k5. Kuweka pande zote mbili, napata frac1625 - frac4k5 leftfrac1625 - frac2k5kulia2. Kupanua upande wa kulia, napata frac1625 - frac4k5 frac 256625 - frac64k125 frac4k225. Nikizidisha kila kitu kwa 625, ninapata 400 - 500k 256 - 320k 100k2. Kupanga upya, napata 100k2 180k - 144 0. Kugawanya kwa 4, napata 25k2 45k - 36 0. Kuweka alama, napata 5k - 3 5k 12 0. Kutatua kwa k, napata k frac35 text au k -frac125. Hizi ni maadili ya k ambayo hufanya tofauti chanya kati ya masuluhisho sawa na jumla ya miraba ya suluhu. 