<prompt> Maana ya harmonic ya nambari mbili chanya ni usawa wa maana ya hesabu ya upatanishi wao. Je, ni jozi ngapi zilizoagizwa x,y za nambari kamili chanya ndiyo maana ya uelewano ya x na y sawa na 20?  <response>: Ninajua kuwa maana ya sauti ya x na y ni frac2xyxy, kwa hivyo ninahitaji kujua ni lini frac2xyxy 20. Ninaweza kuvuka-kuzidisha kupata 2xy 20xy. Basi naweza kugawanya pande zote mbili kwa 2 kupata xy 10xy. Sasa ninahitaji kujua wakati mlinganyo huu ni kweli kwa nambari kamili x na y. Ninaweza kujaribu kuangazia equation na kuona ikiwa naweza kupata suluhisho. Ninaona kuwa xy 10xy ni sawa na x-10y-10 100. Hii ina maana kwamba x-10 na y-10 lazima ziwe sababu za 100. Mambo ya 100 ni 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, na 100. Ninaweza kuorodhesha jozi zote za vipengele na kisha kuongeza 10 kwa kila moja ili kupata x na y. Kwa mfano, ikiwa x-10 1 na y-10 100, basi x 11 na y 110. Ninaweza kufanya hivi kwa jozi zingine zote za mambo na kupata suluhisho zifuatazo: x,y 11,110, 12,60, 14,35, 15,30, 20,20 , 30,15, 35,14, 60,12, 110,11. Ninaweza kuangalia kuwa suluhisho hizi zote zinakidhi equation ya asili. Ninaona kuwa kuna 9 jozi zilizoagizwa za nambari kamili chanya ambazo zinakidhi mlinganyo. 