<prompt> Kwa kuzingatia hilo2-frac32 2 cos theta 1 2frac14 cos theta,compute cos 2 theta.  <response>: Wacha tupige 2 cos theta x. Tukibadilisha hiyo, tutapata 2-frac32 x 1 2frac14 fracx2. Tunaweza pia kuandika tena upande wa kushoto kama 2-frac32 cdot 2x 1. Kwa upande wa kulia, hiyo ni rahisi, inakuwa 2frac12 x. Kwa upande wa kushoto, tunapaswa kuwa waangalifu. Hiyo ni sahihi. Sasa hebu tupanue upande wa kushoto. Sasa tunaweza kuandika mlingano upya kama 2-3 2 x 2-frac12 x 1 2frac12 x Sasa hebu tuondoe 2frac12 x kutoka pande zote mbili. Upande wa kulia unakuwa 0. Upande wa kushoto unakuwa 2-3 2 x 2-frac12 x - 2frac12 x 1. Upande wa kushoto, tuna 2-3 2 x 2-frac12 x - 2frac12 x 1 Sasa hebu tuunganishe masharti 2-frac12 x na -2frac12 x. Hiyo ni 2-frac12 x - 2frac12 x 2-frac12 x1 - 2 -2-frac12 x. Kwa hivyo sasa tuna 2-3 2 x - 2-frac12 x 1 0. Sasa tubadilishe 2x y. Sasa tuna 2-3y2 - 2-frac12y 1 0 Hebu tuzidishe pande zote mbili kwa 23 Tunapata y2 - 2 frac52y 8 0. Kwa upande wa kushoto, tunaweza kurahisisha vielelezo. Tunapata y2 - 2frac52y 8 0 Sasa tutatue kwa y. Tunaweza kutumia fomula ya quadratic kupata y frac2frac52 pm sqrt25 - 322 Sahihi. Sasa tunapaswa kuhakikisha kuwa y ni chanya. Hiyo ni kweli. Tunajua kuwa y 2x 22 cos theta 0 tangu 2 0. Ili tuweze kurahisisha 2frac52 kama 4 sqrt2. Kisha tuna y frac4 sqrt2 pm sqrt32 - 322 frac4 sqrt22 2 sqrt2 Hiyo ni sahihi. Ni rahisi kuangalia kuwa thamani hii ya y ni chanya. Sasa tunahitaji kupata cos 2 theta. Tunajua kuwa 2 cos theta x log_2 y. Kwa hivyo 2x 2 sqrt2 ina maana kwamba x log_22 sqrt2 log_22 log_2sqrt2 1 frac12 frac32 Na tunajua kwamba 2 cos2 theta - 1 2x22 - 1 2 frac342 - 1 2frac916 - 1 frac98 - 1 frac18. 