<prompt> Chaguo za kukokotoa f zimefafanuliwa kwa nambari zote halisi na inatosheleza f2xf2-x na f7xf7-x kwa x. Ikiwa f0 0, ni nambari gani ndogo zaidi ya mizizi ambayo fx0 lazima iwe nayo katika kipindi -1000leq x leq 1000?  <response>: Mlinganyo wa kwanza ni sawa na ufuatao: ikiwa a b 4, basi fa fb. Vile vile, equation ya pili ni sawa na yafuatayo: ikiwa c d 14, basi fc fd.Kisha kumbuka kuwa kwa t yoyote, tuna ft f4-t ft10,kwa sababu t 4-t 4 na 4 -t t10 14. Hii ina maana kwamba ikiwa t ni mzizi wa f, basi ni t10, na kinyume chake, ikiwa t10 ni mzizi wa f, basi ni t. Kwa kuwa t 0 ni mzizi, tunaona kwamba ikiwa n ni mgawo wa 10, basi fn 0. Pia tuna f4 f00, kwa hivyo ikiwa n equiv 4 pmod10, basi fn 0.Ili kuona kwamba hizi zote ni mizizi muhimu, angalia kwamba fx left beginaligned 0 quad textif x text ni nambari kamili na ama x equiv 0 ! ! ! ! pmod10 maandishi au x equiv 4 ! ! ! ! pmod10 1 quad textvinginevyo endaligned kulia.inakidhi masharti yote yaliyotolewa, na ina mizizi hii pekee. Hii ni kwa sababu ikiwa ab4 na a equiv 0 pmod10, basi b equiv 4 pmod10, na kinyume chake. Vile vile, ikiwa c d 14 na c equiv 0 pmod10, basi d equiv 4 pmod10, na kinyume chake.Kuna 201 zidishio za 10 katika muda uliotolewa, na nambari kamili 200 ambazo ni 4 modulo 10 katika muda uliotolewa, hivyo kufanya 201 200 401 mizizi ya f. 