<prompt> Ni thamani gani ndogo kabisa kamili ya c hivi kwamba chaguo za kukokotoa fxfracx21x2-xc ina kikoa cha nambari zote halisi?  <response>: Ili kupata kikoa cha kazi ya busara, ninahitaji kuzuia maadili ya x ambayo hufanya dhehebu kuwa sifuri, kwani hiyo inaweza kufanya kazi hiyo isifafanuliwe. Kwa hivyo, ninataka kupata c ndogo zaidi ambayo inazuia denominator x2-xc kuwa na mizizi yoyote halisi. Njia moja ya kuangalia mizizi halisi ni kutumia kibaguzi cha mlinganyo wa quadratic, ambayo ni sehemu iliyo chini ya mzizi wa mraba: b2-4ac. Ikiwa kibaguzi ni hasi, basi hakuna mizizi halisi, ambayo ndiyo ninayotaka. Ikiwa kibaguzi ni sifuri, basi kuna mzizi mmoja wa kweli unaorudiwa, ambao nataka kuuepuka. Ikiwa kibaguzi ni chanya, basi kuna mizizi miwili tofauti ya kweli, ambayo pia nataka kuepuka. Kwa hivyo, ninahitaji kupata c ndogo zaidi ambayo hufanya b2-4ac hasi, ambapo a1 na b-1. Kuchomeka maadili haya, napata -12-41c1-4c. Ili kufanya hili kuwa hasi, ninahitaji kuwa na 1-4c0, au 4c1, au cfrac14. Nambari ndogo kabisa ambayo ni kubwa kuliko frac14 ni 1, kwa hivyo nitajaribu c1 na nione kama itafanya kazi. Ikiwa c1, basi dhehebu inakuwa x2-x1, na kibaguzi ni -12-4111-4-3, ambayo ni hasi kama nilivyotaka. Kwa hiyo, thamani ndogo kabisa kamili ya c ambayo hufanya kikoa cha chaguo za kukokotoa kuwa nambari zote halisi ni 1. 