<prompt> Tafuta umbali kati ya foci mbili za hyperbola iliyotolewa na -6x2 5y2 24x 20y 64.  <response>: Ili kupata umbali kati ya foci mbili za hyperbola, ninahitaji kujua maadili ya a na c, ambapo a ni mhimili wa nusu kuu na c ni umbali kutoka katikati hadi kila lengo. Ninaweza kupata a na c kwa kuweka mlinganyo wa hyperbola katika hali ya kawaida, ambayo inaonekana kama fracx-h2a2 - fracy-k2b2 1, ambapo h,k ni kitovu cha hyperbola. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kukamilisha mraba kwa istilahi zote mbili za x na y katika mlinganyo uliotolewa. Kwa maneno ya x, nina -6x2 24x -6x2 - 4x. Ili kukamilisha mraba, ninahitaji kuongeza na kutoa -6frac44 22 -24 ndani ya mabano. Kwa hivyo ninapata -6x2 - 4x 4 - 4 -6x-22 24. Kwa masharti y, nina 5y2 20y 5 y2 4y. Ili kukamilisha mraba, ninahitaji kuongeza na kutoa 5frac422 20 ndani ya mabano. Kwa hivyo ninapata 5y2 4y 4 - 4 5y22 - 20. Sasa ninaweza kubadilisha misemo hii kwenye mlinganyo wa asili na kurahisisha. Napata -6x-22 24 5y22 - 20 64. -6x-22 5y2 2 4 64. -6x-22 5y22 60. fracx-2210 - fracy2212 1. Hii ndiyo aina ya kawaida ya hyperbola, na ninaweza kuona kwamba kituo ni 2,-2, na a2 10 na b2 12. Ili kupata c, ninaweza kutumia uhusiano c2 a2 b2 kwa hyperbola. Kwa hivyo c2 10 12 22, na c sqrt22. Umbali kati ya foci mbili ni 2c, kwa hivyo jibu la mwisho ni 2sqrt22. 