<prompt> Tunaweza kuandikajumla_k 1100 -1k cdot frack2 k 1k! fracab! - c, ambapo a,b, na c ni nambari kamili chanya. Tafuta thamani ndogo kabisa ya a b c.  <response>: Kwa ujumla zaidi, basiS_n sum_k 1n -1k cdot frack2 k 1k!kwa nambari kamili n. Tunaweza kukokotoa thamani chache za kwanza za S_n:mpya amriarraystretch1.5anzasafuccn S_n line1 -3 2 frac12 3 -frac53 4 -frac1924 5 -frac2120 6 -frac713720mwishosafumpya amriarraystretch1Kwanza, madhehebu yanaonekana kuwa sababu za n!. Pili, sehemu zinaonekana kukaribia -1. Kwa hivyo, tunaandika upya kila jumla katika muundo fracn ! - 1:mpya amriarraystretch1.5anzasafuccn S_n line1 frac-21! - 1 2 frac32! - 1 3 frac-43! - 1 4 frac54! - 1 5 frac-65! - 1 6 frac76! - 1 mwishosafumpya amriarraystretch1Sasa muundo uko wazi sana: Inaonekana hivyoS_n -1n cdot fracn 1n! - 1.Kwa hivyo, weka T_n -1n cdot fracn 1 n! - 1. Kwa kuwa tunatarajia jumla ya darubini, tunaweza kukokotoa tofauti T_k - T_k - 1:anzaalignT_k - T_k - 1 -1k cdot frack 1k! - 1 - -1k - 1 cdot frack k - 1! 1 -1k cdot frack 1k! -1k cdot frackk - 1! -1k cdot frack 1k! -1k cdot frack2k! -1k cdot frack2 k 1k!.endalignKwa hivyo, darubini za jumla, ambazo huthibitisha fomula yetuS_n -1n cdot fracn 1n! - 1.Hasa,S_100 frac101100! - 1.Kisha a 101, b 100, na c 1, hivyo a b c 202 . 