<prompt> Bainishap sum_k 1infty frac1k2 quad textna quad q sum_k 1infty frac1 k3.Tafuta njia ya kuandikasum_j 1infty sum_k 1infty frac1j k3kwa mujibu wa p na q.  <response>: Ninagundua kuwa jumla ya mara mbili inajumuisha kuongeza fahirisi j na k, kwa hivyo ninashangaa ikiwa kuna njia ya kubadilisha mpangilio wa majumuisho na kurahisisha kufanya kazi nayo. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kupata anuwai ya maadili yanayowezekana kwa j k, na ni mara ngapi kila thamani inaonekana kwenye jumla. Thamani ndogo iwezekanavyo ya j k ni 2, wakati j k 1. Kwa thamani isiyobadilika ya j k, sema n, ni jozi ngapi za nambari kamili j, k zinazotosheleza j k n? Naam, uwezekano mmoja ni j 1 na k n - 1. Nyingine ni j 2 na k n - 2. Na kadhalika, hadi j n - 1 na k 1 . Kwa hivyo kuna n - 1 jozi kama hizo. Hii inamaanisha kuwa naweza kuandika tena hesabu mara mbili kama jumla moja zaidi ya n, ambapo ninazidisha kila neno kwa idadi ya mara inayoonekana, ambayo ni n - 1:sum_j 1infty sum_k 1infty frac1j k3 sum_n 2infty n - 1 frac1n3. Sasa ninajaribu kurahisisha usemi huu kwa kuugawanya katika hesabu mbili na kutumia baadhi ya sifa za mfululizo. Nimewahisum_n 2infty n - 1 frac1n3 sum_n 2infty frac1n2 - sum_n 2infty frac1n3. Jumla ya kwanza inaonekana sawa na ufafanuzi wa p, isipokuwa inakosa neno 112. Ninaweza kuongeza na kuondoa neno hilo ili lifanane:sum_n 2infty frac1n2 sum_n 1infty frac1n2 - frac1 12 p - 1. Jumla ya pili pia inaonekana sawa na ufafanuzi wa q, isipokuwa inakosa neno 113. Naweza kufanya hila kama hapo awali na kupata:sum_n 2infty frac1n3 sum_n 1infty frac1n3 - frac1 13 q - 1. Kuweka hizi pamoja, ninapatasum_j 1infty sum_k 1infty frac1j k3 p - 1 - q - 1 p - q . 