<prompt> Acha X iwe nafasi ya kitolojia. Onyesha kwamba ikiwa kila kitendakazi kinachoendelea cha thamani halisi kwenye X kimefungwa, basi X ni fupi.  <response>: Ili kuonyesha kuwa X ina ushikamano, tutatumia sifa zifuatazo za ushikamanifu: Nafasi ya kitopolojia X inashikamana ikiwa tu kila jalada lililo wazi la X lina jalada dogo lisilo na kikomo.Tuseme kwa ukinzani kwamba X sio compact. Kisha kuna jalada lililo wazi U_i la X kiasi kwamba hakuna mkusanyiko mdogo wenye kikomo unaofunika X. Tutaunda chaguo la kukokotoa lenye thamani halisi linaloendelea kwenye X ambalo halina kikomo, linalokinzana na dhana yetu.Kwa kila x katika X, acha V_x iwe kitongoji wazi cha x kiasi kwamba V_x iko katika baadhi ya U_i hii inawezekana kwa kuwa U_i ni jalada lililo wazi. Kwa kuwa X haina mshikamano, tunaweza kupata mlolongo usio na kikomo wa pointi tofauti x_n katika X hivi kwamba mkusanyiko V_x_n hauunganishi kwa njia mbili. Hii ina maana kwamba kwa wote n m, V_x_n V_x_m .Sasa, fafanua chaguo la kukokotoa f: X R kama ifuatavyo:fx n, ikiwa x V_x_nfx 0, vinginevyoTunadai kwamba f ni endelevu. Ili kuona hili, zingatia nukta yoyote ya x katika X. Ikiwa x si mojawapo ya x_n, basi kuna mtaa wazi W wa x hivi kwamba W haikati yoyote ya V_x_n. Katika kesi hii, f ni mara kwa mara kwenye W, kwa hivyo inaendelea kwa x. Kwa upande mwingine, ikiwa x x_n kwa baadhi n, basi f haibadiliki kwenye V_x_n, kwa hivyo pia ni endelevu kwa x.Walakini, f haina kikomo, kwani fx_n n kwa yote n. Hii inakinzana na dhana yetu kwamba kila kitendakazi kinachoendelea cha thamani halisi kwenye X kimefungwa. Kwa hivyo, X lazima iwe ngumu. 