<prompt> Acha omega iwe mzizi usio halisi wa z3 1. Tafuta idadi ya thamani tofauti zinazowezekana zaomega 1n,ambapo n ni nambari kamili chanya.  <response>: Ili kupata thamani zinazowezekana za omega 1n, ninahitaji kujua omega ni nini. Ninajua kuwa z3 1 ina mizizi mitatu: z 1, z frac-1 isqrt32, na z frac-1 - isqrt32. Kwa kuwa omega si halisi, lazima iwe frac-1 isqrt32 au frac- 1 - isqrt32. Ninaweza kutumia mojawapo, kwa kuwa ni viunganishi changamano na vina moduli na hoja sawa. Nitachagua omega frac-1 isqrt32. Kisha omega 1 frac1 isqrt32, ambayo ni nambari changamano katika umbo la polar yenye moduli 1 na hoja fracpi3. Kwa hivyo, omega 1n frac1 isqrt3 2n 1n cdot ei cdot fracpi3 cdot n ei cdot fracpi3 cdot n . Hii ina maana kwamba omega 1n ni nambari changamano kwenye mduara wa kitengo chenye hoja fracpi3 cdot n. Hoja fracpi 3 cdot n inaweza kuchukua thamani nyingi tofauti, lakini baadhi yao zitajirudia kama mabadiliko ya n. Kwa mfano, fracpi3 cdot 6 2pi, ambayo ni sawa na fracpi3 cdot 0 0. Kwa kweli, hoja itakuwa kurudia kila wakati n ni mgawo wa 6. Kwa hivyo, idadi ya thamani tofauti zinazowezekana za omega 1n ni sawa na idadi ya masalio tofauti n inapogawanywa na 6. Kuna 6 masalio kama hayo: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Kwa hivyo jibu ni 6. 