<prompt> Moja ya mizizi yaax3 3x2 bx - 65 0,ni -2 - 3i, ambapo a na b ni nambari halisi. Pata mzizi halisi wa polynomial hii ya ujazo.  <response>: Ninajua kuwa ikiwa polynomial iliyo na coefficients halisi ina mzizi mgumu, basi unganisho wake lazima pia uwe mzizi. Hiyo ina maana kwamba ikiwa -2 - 3i ni mzizi, basi ni -2 3i. Ninaweza kutumia mizizi hii miwili kupata sababu ya quadratic ya polynomial. Nikizidisha x - -2 - 3ix - -2 3i, nitapata x 2 3ix 2 - 3i x2 4x 13. Hii ina maana kwamba polimani inaweza kugawanywa kwa x2 4x 13, na mgawo lazima kiwe kipengele kingine cha polimanomia. Nitatumia mgawanyiko mrefu, na nitaandika polynomial kama ax3 3x2 bx - 65 ax3 frac3ax2 fracb ax - frac65a. Nitagawanya x3 frac3ax2 fracbax - frac 65a by x2 4x 13. Nitaandika mgawo kama Qx cx d, ambapo c na d ni baadhi ya vifungu. Nitazidisha Qx na kigawanyaji na kulinganisha coefficients na gawio. Ninapata x2 4x 13cx d cx3 4c dx2 13c 4dx 13d. Ikilinganisha vigawo vya x3, Napata c a. Nikilinganisha hesabu za x2, napata 4c d frac3a, au 4a d frac3a . Ikilinganisha hesabu za x, napata 13c 4d fracba, au 13a 4d fracba. Kwa kulinganisha masharti ya kudumu, napata 13d -frac65a. Ninaweza kutumia mlingano huu wa mwisho kutatua d. Napata d -frac5a. Ninaweza kuunganisha hii kwenye mlinganyo 4a d frac3a ya kutatua kwa a. Napata 4a - frac5a frac3a, au 4a2 - 5 3. Ninapata 4a2 8, au a2 2. Ninaweza kuunganisha hii kwenye d -frac5a ili kupata d - frac5sqrt2. Ninaweza kusawazisha dhehebu kwa kuzidisha kwa fracsqrt2sqrt2 na kupata d -frac5 sqrt22. Sasa nina mgawo Qx sqrt2x - frac5sqrt22. Hiki ni kipengele cha mstari wa polynomial, na mzizi wake ni mzizi halisi wa polynomial. Ili kupata mzizi, niliweka Qx 0 na kutatua kwa x. napata sqrt2x - frac5sqrt22 0, au x frac52. 