<prompt> Acha alpha neq 1 iwe nambari changamano kiasi kwamba umbali kutoka alpha2 hadi 1 ni mara mbili ya umbali kutoka alpha hadi 1, wakati umbali kutoka alpha4 hadi 1 ni mara nne ya umbali kutoka alpha hadi 1. Weka thamani zote zinazowezekana za alpha, zikitenganishwa na koma.  <response>: Kutoka kwa masharti yaliyotolewa, alpha2 - 1 2 alpha - 1 na alpha4 - 1 4 alpha - 1. Kutoka mlinganyo wa kwanza,alpha 1alpha - 1 2 alpha - 1.Kwa kuwa alpha neq 1, alpha - 1 neq 0. Kwa hivyo, tunaweza kughairi vipengele vya alpha - 1, kwa usalama ili kupataalpha 1 2.Kutoka mlingano wa pili,alpha2 1alpha2 - 1 4 alpha - 1.Kisha 2 alpha2 1alpha - 1 4 alpha - 1, hivyoalpha2 1 2.Acha alpha x yi, ambapo x na y ni nambari halisi. Kisha alpha2 x2 2xyi - y2, hivyo milinganyo alpha 1 2 na alpha2 1 2 inakuwaanzaalignx yi 1 2, x2 2xyi - y2 1 2.mwishoalignKwa hiyo,anzaalignx 12 y2 4, x2 - y2 12 2xy2 4.endalignKutoka mlingano wa kwanza, y2 4 - x 12 3 - 2x - x2. Tukibadilisha katika mlinganyo wa pili, tunapatax2 - 3 - 2x - x2 12 4x2 3 - 2x - x2 4.Hii hurahisisha hadi 8x2 - 8x 0 , ambayo ni 8xx - 1 0. Kwa hivyo, x 0 au x 1.Ikiwa x 0, basi y2 3, hivyo y pm sqrt3.Ikiwa x 1, basi y2 0, hivyo y 0. Lakini hii inasababisha alpha 1, ambayo hairuhusiwi.Kwa hivyo, thamani zinazowezekana za alpha ni i sqrt3, -i sqrt3.Mbadala: Tunaweza kuandika upya mlingano wa pili kama x2 y2 12 - 4y2 4. Kutoka mlingano wa kwanza, tuna x2 y2 1 4 - 2x na y2 4 - x 12. Kubadilisha hizi, tunapata 4 - 2x2 - 44 - x 12 4. Hii hurahisisha hadi 8x2 - 8x 0, na tunaweza kuendelea kama hapo awali. 