<prompt> Tumia nadharia ya Stokes kutathmini muunganisho wa mstari F dr, ambapo F y2, -xz, z3, karibu na mduara C unaofafanuliwa na rt cost, sin t, t kwa 0 t 2π.  <response>: Nadharia ya Stokes inasema kwamba kwa uwanja wa vekta F na curve C yenye uso S:F dr curlF dSKwanza, wacha tupate curl ya F:curlF y-xz - zz3, xz3 - zy2, x -xz - yy2 0 - 3z2, 0 - 0, -z - 2ySasa tunahitaji kuweka kigezo cha uso S. Kwa kuwa rt hufuatilia hesi kutoka t 0 hadi t 2π, tunaweza kutumia makadirio ya helix hii kwenye ndege ya xy kama curve yetu ya mpaka. Makadirio haya ni mduara wa radius 1 unaozingatia asili. Tunaweza kuainisha S kwa kutumia viwianishi vya polar:ru, v cosu, sinu, v kwa 0 u 2π na 0 v 2πIfuatayo, tunahitaji kukokotoa sehemu ya derivatives ya r kwa heshima na u na v:ru -sinu, cosu, 0rv 0, 0, 1Sasa tunachukua bidhaa ya msalaba ya vekta hizi mbili kupata dS ya kawaida ya vekta:dS ru × rv -sinu, cosu, 0 × 0, 0, 1 cosu, sinu, 0Sasa tunahitaji kutathmini curlF kwa ru, v:curlFru, v 0 - 3v2, 0 - 0, -v - 2sinuSasa tunaweza kuchukua bidhaa ya nukta ya curlFru,v na dS:curlFru, v dS cosu, sinu, 0 0 - 3v2, 0 - 0, -v - 2sinu cosu-3v2 dhambiu0 0-v - 2sinu -3v2cosuMwishowe, tunakusanya sehemu mbili muhimu zaidi ya S:curlF dS -3v2cosu du dv kutoka 0 hadi 2π kutoka 0 hadi 2π -3v2cosu dv duKwanza tunaunganisha kwa heshima na v:kutoka 0 hadi 2π -v3cosu imetathminiwa kutoka 0 hadi 2π du kutoka 0 hadi 2π -8π3cosu duSasa tunaunganisha kwa heshima na wewe:-8π3 sinu imetathminiwa kutoka 0 hadi 2π -8π3 dhambi2π - dhambi0 -8π3 0 - 0 0Kwa hivyo mstari muhimu F dr ni sawa na 0. 