<prompt> Ni nambari gani ndogo kabisa chanya n hivi kwamba mizizi yote ya z4 - z2 1 0 ni ntextth mizizi ya umoja?  <response>: Ili kupata nambari ndogo kabisa chanya n kiasi kwamba mizizi yote ya z4 - z2 1 0 ni ntextth mizizi ya umoja, ninahitaji kwanza kupata mizizi ya z4 - z2 1 0 na kisha uone ni n gani ndogo zaidi ambayo yote ni ntextth mizizi ya umoja. Ili kupata mizizi ya z4 - z2 1 0, ninaweza kutumia mbadala u z2 na kutatua mlingano wa quadratic u2 - u 1 0. Kwa kutumia fomula ya quadratic, napata u frac1 pm sqrt-32. Kwa kuwa u ni changamano, ninaweza kuiandika katika umbo la polar kama u ei theta, ambapo theta fracpi3 au frac2 pi 3. Kwa hiyo, z2 u ei theta, ambayo ina maana kwamba z pm ei fractheta2. Kwa hivyo mizizi ya z4 - z2 1 0 ni z pm ei fracpi6 na z pm ei frac pi3. Sasa ninahitaji kupata nambari ndogo kabisa chanya n hivi kwamba hizi zote ni ntextth mizizi ya umoja. Hii inamaanisha kuwa kwa nambari kamili k, nina z ei frac2 pi kn, au kwa usawa, fractheta2 frac 2 pi kn. Kwa z pm ei fracpi6, nina fracpi6 frac2 pi kn, ambayo inamaanisha hiyo n 12 k. Kwa z pm ei fracpi3, nina fracpi3 frac2 pi kn, ambayo inamaanisha hiyo n 6 k. Kwa kuwa ninahitaji n kufanya kazi kwa visa vyote viwili, ninaweza kupata kizidishio kidogo cha kawaida cha 12 k na 6 k, ambacho ni 12 k. Kwa hivyo, nambari ndogo kabisa chanya n kiasi kwamba mizizi yote ya z4 - z2 1 0 ni ntextth mizizi ya umoja ni 12. 