<prompt> Acha mathbfa, mathbfb, mathbfc iwe vekta tatu zenye ukubwa sawa, na hivyo kwamba jozi yoyote kati yao ni ya orthogonal. Ikiwa theta ni pembe kati ya mathbfa na mathbfa mathbfb mathbfc, basi tafuta cos theta.  <response>: Nahitaji kupata cos theta, ambayo ni sawa na bidhaa ya nukta mathbfa na mathbfa mathbfb mathbfc iliyogawanywa na ukubwa wa mathbfa na ukubwa wa mathbfa mathbfb mathbfc. Kwa kuwa jozi yoyote ya vekta ni ya orthogonal, bidhaa yao ya nukta ni sifuri. Kwa hivyo mathbfa cdot mathbfb mathbfa cdot mathbfc 0. Ukubwa wa mathbfa ni sawa na ukubwa wa mathbfb na mathbfc, basi tuite m. Kisha mathbfa2 m2. Ukubwa wa mathbfa mathbfb mathbfc ni mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya vijenzi vya vekta. Kwa hivyo mathbfa mathbfb mathbfc2 mathbfa mathbfb mathbfc cdot mathbfa mathbfb mathbfc. Nikipanua bidhaa ya nukta, napata mathbfa mathbfb mathbfc2 mathbfa cdot mathbfa mathbfb cdot mathbfb mathbfc cdot mathbfc 2mathbfa cdot mathbfb mathbfa cdot mathbfc mathbfb cdot mathbfc. Tena, kwa kuwa jozi yoyote ya vekta ni ya orthogonal, bidhaa za nukta ni sifuri. Kwa hivyo mathbfa mathbfb mathbfc2 mathbfa cdot mathbfa mathbfb cdot mathbfb mathbfc cdot mathbfc. Kila moja ya bidhaa hizi za nukta ni mraba wa ukubwa wa vekta, ambayo ni m. Hivyo mathbfa mathbfb mathbfc2 m2 m2 m2 3m2. Nikichukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili, ninapata mathbfa mathbfb mathbfc sqrt3m2 msqrt3. Sasa ninaweza kuunganisha thamani hizi kwenye fomula ya cos theta. Napata cos theta fracmathbfa cdot mathbfa mathbfb mathbfcmathbfamathbfa mathbfb mathbfc fracm2m cdot msqrt3 frac1sqrt3. 