<prompt> Hebu S 1 - 2 3 - 4 cdots 2009 - 2010. Je, ni nini masalio ya S, modulo 2010?  <response>: Ninagundua kuwa jumla ni ishara zinazopishana za nambari kamili zinazofuatana, kuanzia 1 hadi 2010. Hii inamaanisha kuwa ninaweza kuweka masharti katika jozi, kama vile 1 - 2 3 - 4 cdots 2009 - 2010. Kila jozi ina jumla ya -1, kwa hivyo kuna jozi 1005 kwa jumla, na jumla ya jozi zote ni -1005. Ili kupata mabaki ya S, modulo 2010, ninahitaji kupata nambari kamili isiyo hasi ambayo inalingana na S modulo 2010. Kwa kuwa S -1005, ninaweza kuongeza 2010 kwake hadi nipate nambari chanya. Kuongeza 2010 mara moja inatoa S 2010 1005. Hii tayari ni nambari chanya, na ndiyo ndogo zaidi ambayo inalingana na S modulo 2010. Kwa hivyo, masalio ya S, modulo 2010, ni 1005. 