<prompt> Kwa kutumia mabadiliko ya Laplace, suluhisha hesabu zifuatazo za kawaida za kutofautisha na coefficients za mara kwa mara: yt 4yt 4yt e-2tOnyesha kazi yako na ueleze kila hatua.  <response>: Ili kutatua ODE iliyotolewa kwa kutumia mabadiliko ya Laplace, kwanza tunahitaji kuchukua mabadiliko ya Laplace ya pande zote mbili za equation. Kumbuka kuwa ubadilishaji wa Laplace wa kazi yt hufafanuliwa kama:Lyt Ys 0 e-stytdtambapo s ni tofauti changamano.Hatua ya 1: Chukua mabadiliko ya Laplace ya pande zote mbiliODE iliyotolewa ni:yt 4yt 4yt e-2tKuchukua mabadiliko ya Laplace ya pande zote mbili, tunapata:Lyt 4Lyt 4Lyt Le-2tHatua ya 2: Tumia mali ya mabadiliko ya LaplaceSasa tunatumia mali zifuatazo za mabadiliko ya Laplace:Lyt sY - y0Lyt s2Ys - sy0 -y0Le-at 1saKwa kutumia sifa hizi, tunayo:s2Ys - sy0 - y0 4sYs - y0 4Ys 1s2Chukulia masharti ya awali ni sifuri yaani, y0 0 na y0 0. Hii hurahisisha mlinganyo wetu kuwa:s2Ys 4sYs 4Ys 1s2Hatua ya 3: Tatua kwa YzaEleza Ys kutoka upande wa kushoto wa mlinganyo:Yss2 4s 4 1s2Sasa, gawanya pande zote mbili kwa s2 4s 4 kutatua kwa Ys:Ys 1s2s2 4s 4Hatua ya 4: Mtengano wa sehemu ya sehemuTekeleza mtengano wa sehemu kwenye Ys. Tunaweza kuandika upya dhehebu kama:s2s22Kwa hivyo tunayo:Ys As2 Bs22 Cs23ambapo A, B, na C ni viunga.Hatua ya 5: Badilisha Laplace InverseSasa tunahitaji kupata ubadilishaji wa Laplace wa Ys kupata yt. Kumbuka kwamba:L11sa e-saaL1tne-at n!san1Kwa kutumia sifa hizi, tunaweza kupata mabadiliko ya Laplace kinyume cha kila neno katika Ys:yt L1As2 Bs22 Cs23yt Ae-2t Bte-2t Ct22 e-2tHili ndilo suluhisho la ODE iliyotolewa. Ili kupata thamani mahususi za A, B, na C, tungehitaji masharti ya awali au masharti ya mipaka. 