<prompt> Kuna masanduku mawili, moja ikiwa na mipira 10 nyeusi na mipira 30 nyeupe, na nyingine ina mipira 20 nyeusi na 20 nyeupe. Unachagua mpira mmoja bila mpangilio kutoka kwa moja ya masanduku bila kuangalia. Inageuka kuwa mpira mweusi. Je, kuna uwezekano gani kwamba umechukua mpira kutoka kwenye kisanduku cha kwanza?  <response>: Uwezekano kwamba umechukua mpira kutoka kwa kisanduku cha kwanza ni 13.Hapa kuna hoja nyuma ya hii:1. Wacha tutumie nadharia ya Bayes kuhesabu uwezekano. Nadharia ya Bayes inasema kuwa PAB PBA PA PB, ambapo A na B ni matukio.2. Katika hali hii, acha tukio A liwe kuchukua mpira kutoka kwenye kisanduku cha kwanza na tukio B liwe kuchukua mpira mweusi.3. Tunataka kupata PAB, ambao ni uwezekano wa kuokota mpira kutoka kwenye kisanduku cha kwanza kutokana na kwamba tulichagua mpira mweusi.4. Kwanza, tunahitaji kupata PBA. Huu ni uwezekano wa kuokota mpira mweusi kutokana na kwamba tuliuchukua kutoka kwenye kisanduku cha kwanza. Kuna mipira 10 nyeusi kwenye kisanduku cha kwanza kati ya jumla ya mipira 40, kwa hivyo PBA 1040 14.5. Kisha, tunahitaji kupata P A. Kwa kuwa kuna masanduku mawili, uwezekano wa kuchukua mpira kutoka kwa kisanduku chochote ni sawa, kwa hivyo P A 12.6. Hatimaye, tunahitaji kupata P B. Ili kufanya hivyo, tunaweza kutumia sheria ya uwezekano wa jumla: PB PBA PA PBsi A Psi A. Tayari tunajua PBA na PA, kwa hivyo tunahitaji tu kupata PBsi A na Psio A.7. P sio A ni uwezekano wa kutochukua mpira kutoka kwa kisanduku cha kwanza, ambacho pia ni 12 kwani kuna masanduku mawili tu.8. PBsi A ni uwezekano wa kuokota mpira mweusi kutokana na kwamba tuliuchukua kutoka kwa kisanduku cha pili. Kuna mipira 20 nyeusi kwenye kisanduku cha pili kati ya jumla ya mipira 40, kwa hivyo PBsi A 2040 12.9. Sasa tunaweza kukokotoa PB: PB 14 12 12 12 18 14 3 8.10. Hatimaye, tunaweza kutumia nadharia ya Bayes kupata PAB: PAB 14 12 38 18 3 8 13.Kwa hivyo, uwezekano kwamba umechukua mpira kutoka kwa sanduku la kwanza ni 13. 