<prompt> Thibitisha kuwa kila nambari chanya inaweza kuandikwa kama jumla ya nguvu tofauti za mbili.  <response>: Tutathibitisha hili kwa kutumia njia ya uingizaji wa hisabati.Kesi ya msingi: Kwa n 1, tunaweza kuiandika kama 20 1. Kwa hivyo, kesi ya msingi inashikilia ukweli.Hatua ya kufata neno: Chukulia kuwa kila nambari kamili k k 1 inaweza kuandikwa kama jumla ya nguvu tofauti za mbili. Tunahitaji kuonyesha kwamba k 1 pia inaweza kuandikwa kama jumla ya nguvu tofauti za mbili.Kesi ya 1: Ikiwa k ni isiyo ya kawaida, basi k inaweza kuandikwa kama jumla ya nguvu tofauti za mbili huku nguvu ndogo ikiwa 20 kwa kuwa k ni isiyo ya kawaida. Katika kesi hii, k 1 itakuwa sawa na inaweza kuandikwa kama jumla ya nguvu tofauti za mbili bila kujumuisha 20 kama k1 ilivyo sawa, ambazo zote ni tofauti na mamlaka katika uwakilishi wa k.Kesi ya 2: Ikiwa k ni sawa, hebu tuzingatie uwakilishi wa binary wa k. Kwa kuwa k ni sawa, kidogo yake muhimu lazima iwe 0. Hebu m iwe nafasi ya kuhesabu 1-bit ya kwanza kutoka kulia kuanzia nafasi ya 0. Kisha, k inaweza kuwakilishwa kama:k 2m ... 2p wapi p mSasa, tunapoongeza 1 kwa k, tunapata:k 1 2m ... 2p 1Kwa kuwa kuongeza 1 kunageuza biti hadi na kujumuisha biti ya m-th, nambari mpya ina 0 katika nafasi m na 1 kwenye nafasi m1:k 1 2m1 ... 2q wapi q m1Huu tena ni uwakilishi wa k1 kama jumla ya nguvu tofauti za mbili.Kwa kanuni ya utangulizi wa hisabati, tumethibitisha kwamba kila nambari kamili inaweza kuandikwa kama jumla ya nguvu tofauti za mbili. 