<prompt> Pata thamani ya chini yasin x csc x2 cos x sec x2kwa 0 x fracpi2.  <response>: Nakumbuka kuwa sin x na cos x zote ni chanya na zimefungwa kati ya 0 na 1 kwa 0 x fracpi2, kwa hivyo csc x na sec x zote mbili ni nzuri na kubwa kuliko 1 katika kipindi hiki. Pia ninakumbuka kwamba sin2 x cos2 x 1 kwa x yoyote, na kwamba csc x frac1sin x na sec x frac1cos x. Kwa kutumia ukweli huu, ninaweza kuandika upya usemi kama sin x frac1sin x2 cos x frac1cos x2 sin2 x frac1sin2 x 2 cos2 x frac1cos2 x 2 kisha kurahisisha zaidi kwa kutumia kitambulisho sin2 x cos2 x 1: sin x frac1sin x2 cos x frac 1cos x2 sin2 x cos2 x frac1sin2 x frac1cos2 x 4 1 frac1sin2 x frac1cos2 x 4 Sasa nataka kupata thamani ya chini zaidi ya usemi huu. , ambayo inategemea neno frac1sin2 x frac1cos2 x. Ninagundua kuwa neno hili ni chanya kila wakati, kwa kuwa sin2 x na cos2 x kamwe si sifuri kwa 0 x fracpi2. Pia ninaona kuwa neno hili ni linganifu katika sin x na cos x, kwa hivyo ninaweza kutumia utambulisho mwingine, sin x cos x frac12 sin 2x, ili iandike upya kama frac1sin2 x frac1cos2 x fracsin2 x cos2 xsin 2 x cos2 x frac1sin2 x cos2 x frac4sin 2x2 Sasa nina sin x frac1sin x2 cos x frac1cos x2 5 frac4sin 2x 2 na ninataka kupunguza sehemu frac4sin 2x2. Ninajua kuwa sehemu hiyo hupunguzwa wakati kiashiria kinaongezwa, na hiyo sin 2x inakuzwa wakati 2x fracpi2, ambayo inamaanisha x fracpi4 . Kwa hivyo, thamani ya chini ya usemi hutokea wakati x fracpi4, na thamani ni 5 frac4sin fracpi2 2 5 frac41 9 