<prompt> Mary ana mimea ya basil inayofanana ya 6, na vingo vitatu tofauti vya madirisha anaweza kuviweka. Je, kuna njia ngapi za Mary kuweka mimea kwenye dirisha la madirisha?  <response>: Ninataka kuhesabu idadi ya njia za kusambaza vitu vinavyofanana 6 kati ya mapipa tofauti ya 3. Hili ni shida ya ujumuishaji, na ninakumbuka kuwa kuna fomula ya hali hii: idadi ya njia za kusambaza vitu sawa n kati ya mapipa tofauti ya k imetolewa na mgawo wa binomial binomnk-1. k-1. Katika kesi hii, n6 na k3, kwa hivyo fomula inanipa binom63-13-1binom82. Ili kuhesabu hili, ninahitaji kujua ufafanuzi wa mgawo wa binomial: binomnkfracn!k!n-k!, ambapo n! ndio msingi wa n, ambayo inamaanisha bidhaa ya nambari kamili chanya hadi n. Nikichomeka thamani, napata binom82frac8!2!8-2!frac8mara 7mara 6!2mara 6!. Kwa kurahisisha, naona kuwa masharti ya 6! yameghairiwa, na ninapata binom82frac8times 72frac56228. Kwa hivyo kuna 28 njia za Mary kuweka mimea kwenye kingo za dirisha. 