<prompt> Katika kulia pembetatu ABC yenye hypotenuse overlineAB, AC 12, BC 35, na overlineCD ni mwinuko hadi overlineAB. Acha omega iwe mduara ulio na overlineCD kama kipenyo. Acha I iwe nukta nje ya triangle ABC kiasi kwamba overlineAI na overlineBI zote ni sanjari ili kuzunguka omega. Uwiano wa mzunguko wa pembetatu ABI hadi urefu AB unaweza kuonyeshwa katika muundo frac mn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya. Tafuta m n.  <response>: Acha O iwe kitovu cha mduara na P,Q iwe sehemu mbili za msingi kiasi kwamba P iko kwenye BI na Q iko kwenye AI. Tunajua kwamba AD:CD CD:BD 12:35.Kwa kuwa uwiano kati ya urefu unaolingana wa michoro mbili zinazofanana ni sawa, tunaweza kuruhusu AD 144, CD 420 na BD 1225. Kwa hiyo AQ 144, BP 1225, AB 1369 na radius r OD 210 .Kwa kuwa tuna tan OAB frac 3524 na tan OBA frac635 , tuna sin OAB OBA frac 1369 sqrt 18011261,cos OAB OBA frac 630sqrt 18011261.Kwa hiyo sin I sin 2OAB 2OBA frac 2136963018011261. let IP IQ x , basi tuna AreaIBC 2x 12252 1442frac 2102 x 144x 1225 sin frac I2. Kisha tunapata x 1369 frac 31369x 144x 122518011261.Sasa equation inaonekana ngumu sana lakini tunaweza kuchukua nadhani hapa. Chukulia kuwa x ni nambari ya kimantiki Ikiwa sivyo basi jibu la tatizo litakuwa lisilo na maana ambalo haliwezi kuwa katika mfumo wa frac mn ambayo inaweza kuonyeshwa kama frac ab kiasi kwamba a,b 1. Angalia pande zote mbili; tunaweza kujua kwamba a lazima iwe kizidishio cha 1369 na si cha 3 na ni jambo la busara kufikiria kuwa b inaweza kugawanywa kwa 3 ili tuweze kughairi 3 iliyo upande wa kulia wa equation. .Hebu tuone kama x frac 13693 inafaa. Tangu frac 13693 1369 frac 413693, na frac 31369x 144x 122518011261 frac 31369 frac 18013 frac 126143 18011261 frac 413693. Kwa kushangaza inafaa!Kwa kuwa tunajua kwamba 313691441225 - 136918011261 0, suluhisho lingine la mlinganyo huu ni hasi ambalo linaweza kupuuzwa. Kwa hiyo x 13693.Kwa hivyo eneo ni 12252 1442 frac 13693 2 1369 frac 83, na BC ni 1369. Kwa hivyo frac mn frac 83, m n 11. 