<prompt> Acha P kushoto 1 - frac12 kulia kushoto 1 - frac13 kulia kushoto 1 - frac14 kulia dotsm kushoto 1 - frac1n kulia. Je, thamani ya P ni nini ikiwa n2007? Eleza jibu lako kama sehemu ya kawaida.  <response>: Ninagundua kuwa kila kipengele katika bidhaa ni cha umbo la 1 - frac1k, ambapo k huanzia 2 hadi n. Pia ninagundua kuwa hii inaweza kuandikwa upya kama frack-1k. Kwa hivyo bidhaa inaweza kuandikwa kama P frac12 frac23 frac34 dotsm fracn-1n. Sasa naona kuwa kuna ughairi mwingi unaoendelea katika bidhaa hii. Kwa mfano, kipengele cha pili katika nambari, 2, hughairiwa na kipengele cha kwanza katika kipunguzo, 2. Vile vile, kipengele cha tatu katika nambari, 3, hughairi na kipengele cha pili katika kiashiria, 3. Na kadhalika, hadi kipengele cha n-1-th katika nambari, n-1, kighairi na kipengee cha n-2-th katika dhehebu, n-1. Sababu pekee ambazo hazighairi ni kipengele cha kwanza katika nambari, 1, na kipengele cha mwisho katika kipunguzo, n. Kwa hivyo bidhaa hurahisisha hadi P frac1n. Sasa ninahitaji tu kuchomeka n2007. Ninapata P frac12007. 