<prompt> Acha mathbfp iwe makadirio ya mathbfv kwenye mathbfw, na mathbfq iwe makadirio ya mathbfp kwenye mathbfv. Ikiwa fracmathbfpmathbfv frac57, basi tafuta frac mathbfqmathbfv.  <response>: Tatizo hili linahusisha vekta, makadirio, na kanuni urefu. Nakumbuka kwamba makadirio ya mathbfv kwenye mathbfw yametolewa na mathbfp fracmathbfv cdot mathbfwmathbf w cdot mathbfw mathbfw. Vile vile, makadirio ya mathbfp kwenye mathbfv yametolewa na mathbfq frac mathbfp cdot mathbfvmathbfv cdot mathbfv mathbfv. Pia nakumbuka kwamba kawaida ya vekta inahusiana na bidhaa ya nukta. na mathbfv2 mathbfv cdot mathbfv. Ninagundua kuwa mathbfp cdot mathbfv fracmathbf v cdot mathbfwmathbfw cdot mathbfw mathbfw cdot mathbfv fracmathbfv cdot mathbfw2mathbfw cdot mathbfw. Pia ninaona kuwa mathbfv cdot mathbfw mathbfv mathbfw cos theta, ambapo theta ni pembe kati ya mathbfv na mathbfw. Ikichomeka hii kwenye usemi wa mathbfq, I pata mathbfq fracmathbfv2 cos2 thetamathbfv2 mathbfv mathbfv cos2 theta. Sasa ninahitaji kupata cos theta. Ninaweza kutumia ukweli kwamba fracmathbfpmathbfv frac57 kufanya hivi. Ninajua hiyo mathbfp fracmathbfv cdot mathbfwmathbfw cdot mathbfw mathbfw fracmathbfv mathbfw cos thetamathbfw mathbfv cos theta. Kwa hivyo, fracmathbfpmathbfv frac57 inadokeza kuwa cos theta frac57. Hatimaye, ninaweza kubadilisha hili katika usemi wa mathbfq, na kupata mathbfq mathbfv cos2 theta mathbfv kushotofrac57kulia2 frac2549 mathbfv. Kwa hivyo, fracmathbfq mathbfv frac2549. 