<prompt> Usemi cos x cos 3x cos 7x cos 9x unaweza kuandikwa kwa njia inayolinganaa cos bx cos cx cos dxkwa nambari kamili chanya a,b,c, na d. Tafuta a b c d.  <response>: Utambulisho mmoja wa kawaida ni kwamba cos x cos y 2 cos fracx y2 cos fracx - y2. Utambulisho huu unaweza kutumika kurahisisha jozi za masharti katika usemi uliotolewa. Kwa mfano, cos x cos 9x 2 cos 5x cos 4x. Vile vile, cos 3x cos 7x 2 cos 5x cos 2x. Kwa hivyo, usemi uliotolewa unakuwa 2 cos 5x cos 4x cos 2x. Sasa, jozi nyingine ya maneno inaweza kurahisishwa kwa kutumia utambulisho sawa. Hiyo ni, cos 4x cos 2x 2 cos 3x cos x. Kwa hivyo, usemi unakuwa 2 cos 5x 2 cos 3x cos x. Hii inaweza kuandikwa upya kama 4 cos x cos 3x cos 5x. Kwa kulinganisha hii na fomu inayotakiwa, tunaona kwamba a 4, b 1, c 3, na d 5. Kwa hiyo, a b c d 4 1 3 5 13. 