<prompt> Wanadamu wamegundua sayari inayoweza kukaliwa na muda mfupi baadaye, wanapata sayari 10 zaidi zinazoweza kukaa. Kati ya hawa 11, ni 5 tu ndio wanaochukuliwa kuwa kama Dunia katika rasilimali zao na waliosalia wanachukuliwa kuwa kama-Mars kwa vile wanakosa rasilimali nyingi muhimu. Chukulia kwamba sayari kama vile Dunia huchukua vitengo 2 vya ukoloni, huku zile kama Mirihi zikichukua 1 pekee. Ikiwa ubinadamu utakusanya vitengo 12 vya makoloni, ni michanganyiko mingapi tofauti ya sayari inayoweza kukaliwa ikiwa sayari zote ni tofauti kutoka kwa nyingine?  <response>: Acha a iwe idadi ya makoloni kwenye sayari zinazofanana na Dunia na b iwe nambari kwenye sayari zinazofanana na Mihiri. Kwa hivyo tunatafuta nambari kamili zisizo hasi a na b kiasi kwamba 2a b 12. Kutoka kwa mlingano huu, tunaona kuwa b inaweza kuwa 6 zaidi huku a inaweza kuwa 5. Kwa kuongezea, b lazima iwe sawa, kwa hivyo uwezekano pekee ni b 6, 4, 2. Kwa hivyo, kuna chaguzi 3 zinazowezekana za ukoloni: a 3, b 6; a4, b 4; a5, b2.Katika chaguo la kwanza, tunachukua sayari zote 6 zinazofanana na Mirihi, na tunaweza kuchagua sayari zinazofanana na Dunia kwa binom53 10 njia. Hii inatupa uwezekano 10. Katika chaguo la pili, tunaweza kuchagua 4 yoyote kati ya 5 kama Dunia na yoyote 4 kati ya 6 kama Mirihi. Hii ni binom54binom64 75 uwezekano. Katika chaguo la tatu, sayari zote zinazofanana na Dunia lazima zikaliwe huku 2 tu kati ya hizo kama Mirihi zinapaswa kukaliwa. Hii ni binom55binom62 15 uwezekano. Kwa jumla, kuna 10 75 15 sayari 100. 