<prompt> Acha a,b,c,d ziwe nambari halisi kama hizoanzaaligna bc d 143, a cb d 150, a db c 169.endalignTafuta thamani ndogo iwezekanavyo ya a2 b2 c2 d2.  <response>: Kupanua equations iliyotolewa, tunapataanzaalignac ad bc bd 143, ab ad bc cd 150, ab ac bd cd 169.endalignKuongeza milinganyo miwili ya kwanza na kutoa mlingano wa tatu, tunapata 2ad 2bc 124, hivyo ad bc 62. Kisha ac bd 143 - 62 81, na ab cd 150 - 62 88.Sasa,anzaaligna b c d2 a2 b2 c2 d2 2ab ac ad bc bd cd a2 b2 c2 d2 262 81 88 a2 b2 c2 d2 462.endalignKwa hivyo, kupunguza a2 b2 c2 d2 ni sawa na kupunguza a b c d.Na AM-GM,a b c d ge 2 sqrta db c 26,hivyo a2 b2 c2 d2 ge 262 - 462 214.Ili kuthibitisha kuwa 214 ndio kiwango cha chini zaidi, ni lazima tupate thamani halisi za a,b,c, na d kiasi kwamba a2 b2 c2 d2 214 . Kutoka kwa kesi ya usawa ya AM-GM, a d b c 13.Kumbuka kwamba a b c d 26. Ikiwa a b 13 x, basi c d 13 - x, hivyo169 - x2 143,na x2 26.Ikiwa a c 13 y, basi b d 13 y, hivyo169 - y2 150,na y2 19.Ikiwa tutachukua x sqrt26 na y sqrt19, basianzaaligna d 13, b c 13, a b 13 sqrt26, a c 13 sqrt19.endalignKutatua, tunapataanzaaligna frac12 13 sqrt19 sqrt26, b frac12 13 - sqrt19 sqrt26, c frac12 13 sqrt19 - sqrt26, d frac12 13 - sqrt19 - sqrt26.endalignBasi tunaweza kuhitimisha kuwa thamani ya chini kabisa ya a2 b2 c2 d2 ni 214. 