<prompt> Tafuta idadi ya suluhisho chanya kwasin arccos tan arcsin x x.  <response>: Kwa hivyo kwanza tunahitaji kujua arccos tan arcsin x ni nini. Kisha tuna sin y x. Masafa ya sin ni -1, 1, kwa hivyo -1 le x le 1. Lakini anuwai ya arcsin ni -fracpi2, fracpi2, kwa hivyo -fracpi2 le y le fracpi2. Hiyo inamaanisha 0 le cos y le 1. Lakini tancdot ina anuwai ya -infty, infty, kwa hivyo cos y ne 0. Kwa hivyo, 0 cos y le 1. Kumbuka kwamba ikiwa y fracpi2, basi cos y 0 na tanarcsin x haijafafanuliwa. Kwa hivyo ni lazima tuwe na -fracpi2 le y fracpi2. Hiyo ina maana 0 cos y 1. Wakati y arcsin x, tuna tan y tan arcsin x Kisha tuna tan y fracsin ycos y fracx cos y Hivyo tan y fracxcos y fracxsqrt1-x2 Kisha tuna arccos tan arcsin x arccos fracxsqrt1-x2 Aina mbalimbali za arccos ni 0,pi, hivyo 0 leq arccos fracxsqrt1-x2 leq pi Kwa hiyo, 0 leq sin arccos fracxsqrt1-x 2 leq 1 Hivyo 0 leq sin arccos tan arcsin x leq 1 Kisha tuna sin u sin arccos tan arcsin x Tunajua kwamba tan arcsin x fracxsqrt1-x2, hivyo cos u fracx sqrt1-x2 Hili linawezekana kwa sababu sin2 u cos2 u 1. Tuna sin2 u leftfracxsqrt1-x2right2 1 Tunajua kwamba 0 leq sin u leq 1, kwa hivyo lazima tuwe na sin u sqrtfrac1-2x21-x2 Sasa tuna sin arccos tan arcsin x sin u sqrtfrac1-2x21-x2 Tunataka kupata idadi ya masuluhisho ya sin arccos tan arcsin x x. Hiyo ni sawa na kutafuta idadi ya masuluhisho ya sqrtfrac1-2x21-x2 x Kuweka pande zote mbili, tuna frac1-2x2 1-x2 x2 inamaanisha 1-2x2 1-x2x2 inamaanisha 1-2x2 x2-x4 Hiyo ni sawa na x 4-3x210 Kwa hivyo tunataka kupata idadi ya masuluhisho ya x4-3x210 Hiyo ni sawa na kutafuta idadi ya masuluhisho ya x2 2-3x210 Tunaweza kutumia fomula ya quadratic kutatua kwa x2 Hiyo inamaanisha x2 frac3 sqrt52 au x2 frac3 - sqrt52 Lakini lazima pia tuangalie kwamba ziko katika anuwai ya 0,1 Tunajua kwamba 0 le x le 1 , kwa hivyo ni lazima tuwe na 0 le x2 le 1. Kwa hivyo, lazima tuwe na x2 frac3 - sqrt52 Kwa hivyo tuna x sqrtfrac3 - sqrt52 . Kuna suluhisho moja tu chanya kwa sin arccos tan arcsin x x, ambayo ni x sqrtfrac3 - sqrt52 . 