<prompt> Tafuta thamani kubwa zaidi ya n kiasi kwamba 3x2 nx 72 inaweza kubainishwa kama bidhaa ya vipengele viwili vya mstari vilivyo na coefficients kamili.  <response>: Ninataka kuangazia usemi wa quadratic kama 3xaxb, ambapo a na b ni nambari kamili. Nikipanua bidhaa hii, ninapata 3x2 a3bx ab. Kulinganisha hii na usemi wa asili, naona ab 72 na a3b n. Ili kupata thamani kubwa zaidi ya n, ninataka kuongeza a3b chini ya kikwazo kwamba ab 72 na a na b ni nambari kamili. Ninaweza kuorodhesha jozi zinazowezekana za vipengele vya 72: 1, 72, 2, 36, 3, 24, 4, 18, 6, 12, 8, 9. Kwa kila jozi, naweza kuangalia thamani ya a3b na kuona ni ipi iliyo kubwa zaidi. Kwa mfano, ikiwa a, b 1, 72, basi a3b 1 3 cdot 72 217. Ikiwa a, b 2, 36, basi a3b 2 3 cdot 36 110. Ikiwa a, b 3, 24, basi a3b 3 3 cdot 24 75. Ikiwa a, b 4, 18, basi a3b 4 3 cdot 18 58. Ikiwa a, b 6, 12, basi a3b 6 3 cdot 12 42. Ikiwa a, b 8, 9, basi a3b 8 3 cdot 9 35. Kulinganisha maadili haya, naona kwamba kubwa zaidi ni 217, ambayo hutokea wakati a, b 1, 72. Kwa hivyo, thamani kubwa zaidi ya n ni 217. 