<prompt> Tafuta thamani ya k ili mstari 3x 5y k 0 iwe tangent kwa parabola y2 24x.  <response>: Ninajua kuwa mstari ni tangent kwa parabola ikiwa unaivuka kwa uhakika mmoja. Kwa hivyo ninataka kupata thamani ya k ambayo hufanya equation 3x 5y k 0 iwe na suluhisho moja kabisa la x na y ninapochomeka y2 24x. Hiyo inamaanisha. Ninataka kuondoa y na kupata equation ya quadratic katika x ambayo ina mzizi mmoja. Ili kufanya hivyo, naweza kusuluhisha y kulingana na x kutoka kwa mlinganyo wa mstari kisha niibadilishe katika mlinganyo wa parabola. Nikitatua kwa y, napata y -frac35x - frack5. Nikibadilisha hii kuwa y2 24x, napata -frac 35x - frack52 24x. Nikipanua upande wa kushoto, ninapata frac925x2 frac625 kx frack225 24x. Kwa kurahisisha, napata 9x2 6k - 600x k2 0. Huu ni mlinganyo wa quadratic katika x, na ninataka iwe na mzizi mmoja. Hiyo inamaanisha kuwa kibaguzi, ambacho ni sehemu iliyo chini ya mzizi wa mraba katika fomula ya quadratic, inapaswa kuwa sawa na sufuri. Kibaguzi ni 6k - 6002 - 49k2. Kuweka hii sawa na sufuri, ninapata 6k - 6002 - 49k2 0. Ikipanua na kurahisisha, napata 36k2 - 7200k 360000 - 36k2 0. Hii hurahisisha hadi -7200k 360000 0. Kutatua kwa k, napata k frac 3600007200 50. Hii ndiyo thamani ya k ambayo hufanya mstari kuwa sawa na kiambatanisho. 