<prompt> Katika sambamba ABCD, acha O iwe makutano ya diagonal overlineAC na overlineBD. Pembe CAB na DBC kila moja ni kubwa mara mbili ya DBA, na pembe ACB ni kubwa mara r kuliko AOB. Tafuta r.  <response>: Acha theta pembe DBA. Kisha pembe CAB pembe DBC 2 theta.asyukubwa wa kitengo cm 3;jozi A, B, C, D, O;D 0,0;A 1,0;B uganiD, D dir30, A, A dir45;O B D2;C 2O - A;kuchoraA--B--C--D--mzunguko;kuchoraA--C;choraB--D;leboA, A, S;leboB, B, NE;leboC, C, N;leboD, D, SW;leboO, O, NW;lebotheta, B -0.5,-0.4;lebo2 theta, B -0.4,-0.1;lebo2 theta, A 0.25,0.4;asyKumbuka kuwa angle COB angle OAB angle OBA 3 theta, hivyo kwa Sheria ya Sines kwenye pembetatu BCO,fracOCBC fracsin 2 thetasin 3 theta.Pia, kwa Sheria ya Sines kwenye pembetatu ABC,fracACBC fracsin 3 thetasin 2 theta.Kwa kuwa AC 2OC,fracsin 3 thetasin 2 theta frac2 sin 2 thetasin 3 theta,hivyo sin2 3 theta 2 sin2 2 theta. Kisha3 dhambi theta - 4 sin3 theta2 2 2 sin theta cos theta2.Kwa vile theta ni kali, sin theta neq 0. Kwa hivyo, tunaweza kugawanya pande zote mbili kwa sin2 theta, kupata3 - 4 sin2 theta2 8 cos2 theta.Tunaweza kuandika haya kama4 cos2 theta - 12 8 cos2 theta.Kwa kutumia kitambulisho cos 2 theta 2 cos2 theta - 1, tunaweza pia andika hivi kama2 cos 2 theta 12 4 4 cos 2 theta.Hii hurahisishacos2 2 theta frac34,hivyo cos 2 theta pm fracsqrt32. If cos 2 theta -fracsqrt32, kisha 2 theta 150circ, na theta 75circ, ambayo kwa wazi ni kubwa mno. Kwa hivyo cos 2 theta fracsqrt32, ambayo ina maana 2 theta 30circ, na theta 15circ.Kisha angle ACB 180circ - 2 theta - 3 theta 105circ na angle AOB 180circ - 3 theta 135circ, hivyo r frac105135 frac79. 