<prompt> Riproarin Ringo alikuwa akimlawiti mbwa mkaidi. Ringo aliamua kumpa mbwa ahueni kwa kuhesabu 1-i8kabla ya kumfuata mbwa. Je, Ringo angepata jibu gani?  <response>: Ninahitaji kupata ukubwa wa nambari changamano 1-i iliyoinuliwa hadi nguvu ya nane. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia nadharia ya binomial na kupanua 1-i8 kama jumla ya maneno, lakini hiyo itakuwa ya kuchosha na kukabiliwa na makosa. Njia ya haraka ni kutumia kuratibu za polar na nadharia ya De Moivre, ambayo inasema kwamba ikiwa z rcostheta i sintheta, basi zn rncosntheta natenda dhambintheta. Ili kubadilisha 1-i kuwa fomu ya polar, ninahitaji kupata moduli yake r na hoja yake theta. Moduli r ni umbali kutoka asili hadi uhakika 1,-1 kwenye ndege changamano, ambayo ni sqrt12 -12 sqrt2 kwa nadharia ya Pythagorean. Hoja theta ni pembe ambayo mstari kutoka asili hadi 1,-1 hufanya kwa mhimili wa x chanya, ambao ni -pi4 kwa trigonometria. Ningeweza pia kutumia pembe nyingine yoyote ambayo ni ya msingi na -pi4, kama vile 7pi4, lakini nitashikamana na dhamana kuu kwa unyenyekevu. Kwa hivyo, 1-i sqrt2cos-pi4 i sin-pi4 katika umbo la polar. Kwa kutumia nadharia ya De Moivre, napata 1-i8 sqrt28cos-8pi4 i sin-8pi4. Kurahisisha, napata 1-i8 16cos-2pi i sin-2pi. Lakini cos-2pi 1 na dhambi-2pi 0, hivyo 1-i8 161 0i 16. Kwa hiyo, ukubwa wa 1-i 8 ni sawa na ukubwa wa 16, ambayo ni 16. 