<prompt> Oktagoni ya kawaida A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8 imeandikwa katika mduara wa eneo 1. Pointi P iko ndani ya mduara ili eneo linalopakana na overlinePA_1,overlinePA_2, na safu ndogo widehat A_1A_2 ya mduara ina eneo tfrac17, huku eneo likipakana na overlinePA_3,overlinePA_4, na safu ndogo widehatA_3A_4 ya mduara ina eneo tfrac19. Kuna nambari kamili n kiasi kwamba eneo la eneo linapakana na overlinePA_6,overlinePA_7, na ndogo. arc widehatA_6A_7 ya mduara ni sawa na tfrac18-tfracsqrt2n. Find n.  <response>: Saizi halisi ya mchoro haijalishi. Ili kurahisisha hesabu, tunatupa eneo asili la mduara, 1, na kudhani urefu wa upande wa pweza ni 2. Acha r ionyeshe eneo la duara, O iwe kitovu cha duara. Kisha r2 12 sqrt212 42sqrt2. Sasa, tunahitaji kupata umbo la D, eneo dogo lililofungwa kwa upande mmoja wa oktagoni na 18 ya mduara wa duara:D frac18 pi r2 - A_1 A_2 Ofrac18 pi 42sqrt2- sqrt21Acha PU iwe urefu wa pembetatu A_1 A_2 P, PV iwe urefu wa pembetatu A_3 A_4 P, PW iwe urefu wa pembetatu A_6 A_7 P. Kutoka kwa hali ya 17 na 19 tunayopembetatu P A_1 A_2 fracpi r27 - D frac17 pi 4 2sqrt2-frac18 pi 42sqrt2- sqrt21 pembetatu P A_3 A_4 fracpi r29 - D frac19 pi 42sqrt2-frac1 8 pi 42sqrt2- sqrt21ambayo inatoa PU frac17-frac18 pi 4 2sqrt2 sqrt21 na PV frac19-frac18 pi 4 2sqrt2 sqrt21. Sasa, acha A_1 A_2 ikatike A_3 A_4 kwa X, A_1 A_2 ikatike A_6 A_7 kwa Y,A_6 A_7 inakatiza A_3 A_4 kwa Z. Ni wazi, pembetatu XYZ ni pembetatu ya kulia ya isosceles, yenye pembe ya kulia ni X na urefu ambao utakuwa 32sqrt2. Sasa fracPUsqrt2 fracPVsqrt2 PW 32sqrt2 ambayo inatoa PW 32sqrt2-frac PUsqrt2 - fracPVsqrt232sqrt2-frac1sqrt2frac17-frac18 pi 4 2 sqrt2 sqrt21frac19-frac18 pi 4 2sqrt2 sqrt2 11sqrt2- frac1sqrt2frac17frac19-frac14 pi42sqrt2Sasa, tuna eneo la D na eneo la pembetatu P A_6 A_7, kwa hivyo tunaziongeza pamoja:textEneo Lengwa frac18 pi 42sqrt2- sqrt21 1sqrt2- frac1sqrt2frac17frac19-frac14pi42sqrt2 frac18 - frac1sqrt2frac17frac19-frac14 textJumla ya EneoKwa hivyo jibu linafaa kuwa frac18- fracsqrt22frac1663-frac1664frac 18- fracsqrt2504. Jibu ni 504. 