<prompt> Niruhusu 0,1mara0,1. Tuseme Ex, y in I: sinxfrac12, cosxy haina mantiki, ni kipimo gani cha Lebesgue cha E?Nadharia Husika: Kipimo cha Lebesgue ni dhana ya kimsingi katika nadharia ya uchanganuzi na kipimo halisi, ambayo ni tawi la hisabati ambalo hujishughulisha na ujanibishaji wa urefu, eneo na ujazo. Ilianzishwa na mwanahisabati Mfaransa Henri Lebesgue mwanzoni mwa karne ya 20 na tangu wakati huo imekuwa chombo cha kawaida katika uchanganuzi wa kisasa.Kipimo cha Lebesgue ni kiendelezi cha dhana ya kitamaduni ya urefu kwa vipindi kwenye mstari halisi. Hutoa thamani isiyo hasi, inayoitwa kipimo, kwa vikundi vidogo vya mstari halisi au kwa ujumla zaidi, kwa vikundi vidogo vya nafasi za Euclidean kwa njia inayopatana na uelewaji wetu wa angavu wa urefu, eneo na kiasi. Wazo kuu nyuma ya kipimo cha Lebesgue ni kufafanua kipimo cha seti kwa kukadiria na seti rahisi zaidi, kama vile vipindi au mistatili, ambazo hatua zake ni rahisi kukokotoa.Hapa kuna sifa kuu za kipimo cha Lebesgue:1. Kutokuwa hasi: Kipimo cha seti yoyote huwa si hasi.2. Nyongeza inayoweza kuhesabika: Ikiwa una mkusanyiko unaohesabika wa seti zisizounganishwa yaani, seti ambazo hazina vipengele vinavyofanana, kipimo cha muungano wao ni sawa na jumla ya vipimo vyao vya kibinafsi.3. Utofauti wa tafsiri: Kipimo cha seti hakibadiliki ikiwa utatafsiri kuhamisha seti kwa kiasi maalum.4. Kusawazisha: Kipimo cha muda uliofungwa a, b kwenye mstari halisi ni sawa na urefu wake, yaani, b - a.Kipimo cha Lebesgue ni muhimu sana kwa sababu huturuhusu kupima seti zisizo za kawaida sana au kama-fractal kwa dhana ya kitamaduni ya urefu au eneo la kushughulikia. Kwa mfano, seti ya Cantor, ambayo ni sehemu ndogo isiyo ya kawaida ya mstari halisi, ina kipimo cha Lebesgue sifuri, ingawa haina kikomo kisichohesabika.Kando na matumizi yake katika uchanganuzi halisi, kipimo cha Lebesgue kinachukua jukumu muhimu katika nadharia ya uwezekano, ambapo hutumika kama msingi wa dhana ya ugawaji wa uwezekano kwenye nafasi za sampuli zinazoendelea. Pia inahusiana kwa karibu na kiungo muhimu cha Lebesgue, ambacho ni jumla ya sehemu muhimu ya Riemann na hutumiwa sana katika matawi mbalimbali ya hisabati na fizikia.  <response>: 0.5235987667 