<prompt> Acha x, y, na z ziwe nambari halisi chanya. Pata thamani ya chini yafracx3 2y3 4z3xyz.  <response>: Tatizo hili linaonekana kama linahusisha uboreshaji na ukosefu wa usawa. Nashangaa kama ninaweza kutumia hesabu ya maana ya kijiometri AM-GM kutofautiana, ambayo inasema kwamba kwa nambari zozote zisizo hasi a_1, a_2, dots, a_n, hesabu inamaanisha fraca_1 a_2 cdots a_nn ni kubwa kuliko au sawa na maana ya kijiometri a_1 a_2 cdots a_n1n. Nikitumia AM-GM kwenye nambari ya usemi, nitapata fracx3 2y3 4z33 geq x3 cdot 2y3 cdot 4z313. Kurahisisha upande wa kulia, mimi pata hiyo fracx3 2y3 4z33 geq 2xyz. Kuzidisha pande zote mbili kwa frac3xyz, napata hiyo fracx 3 2y3 4z3xyz geq 6. Hii ina maana kwamba thamani ya chini kabisa ya usemi ni 6, na hutokea wakati hali ya usawa ya AM-GM inapotimizwa, ambayo ni wakati x3 2y3 4z3. 