<prompt> Tuseme H ni nafasi ya Banach. Acha A iwe utendakazi wa mstari kwenye nafasi H inayoonyesha H hadi H. Tuseme opereta A inatosheleza: kwa xin H yote, Axgeq a x kwa baadhi ya a0 . Ikiwa A sio opereta kompakt kwenye H, Je, kipimo cha H kina kikomo au kisicho na mwisho? Rudisha 1 kwa kipimo chenye kikomo na 0 kwa kipimo kisicho na kikomoNadharia Husika: Nadharia ya Uendeshaji Compact, pia inajulikana kama Mbadala wa Fredholm, ni matokeo ya kimsingi katika uchanganuzi wa utendaji kazi, haswa katika utafiti wa waendeshaji kompakt kwenye nafasi za Banach. Inatoa kigezo cha utatuzi wa milinganyo fulani ya mstari inayohusisha waendeshaji kompakt na ina matumizi muhimu katika maeneo mbalimbali ya hisabati, ikijumuisha milinganyo ya sehemu tofauti, milinganyo muhimu na nadharia ya taswira.Ili kuelezea Nadharia ya Opereta Compact, hebu kwanza tufafanue baadhi ya maneno:1. Nafasi ya Banachi: Nafasi ya Banachi ni nafasi kamili ya vekta, kumaanisha kuwa ni nafasi ya vekta iliyo na hali ya kawaida kitendaji ambacho hupima ukubwa wa vekta na imekamilika kwa maana kwamba kila mfuatano wa Cauchy wa vekta huungana hadi. kikomo ndani ya nafasi.2. Opereta thabiti: Opereta laini T kati ya nafasi mbili za Banach X na Y inaitwa kompakt ikiwa inapanga seti zilizo na mipaka katika X hadi kushikana kwa kiasi yaani, kuwa na kufungwa kwa kompakt seti katika Y. Intuitively, waendeshaji kompakt ni wale wanaofinyiza nafasi ya kikoa katika nafasi ndogo kiasi.Sasa, wacha tuseme Nadharia ya Opereta Compact, ambayo inashughulika na mlingano wa mstari wa fomu:1 Tx yambapo T ni opereta kompakt ya mstari kwenye Banach nafasi X, x ni kipengele cha X, na y ni kipengele cha nafasi mbili X nafasi ya utendakazi wa mstari unaoendelea kwenye X.Nadharia ya Opereta Compact Mbadala wa Fredholm inasema kwamba:1. Mlinganyo 1 una suluhu la x katika X ikiwa na tu ikiwa y ni ya orthogonal kwa vipengee vya kerneli ya opereta kiambatanisho T yaani, yTx 0 kwa x zote kwenye kerneli ya. T.2. Ikiwa equation 1 ina suluhu, basi seti ya suluhu zote huunda nafasi ndogo ya X, ambayo ni tafsiri ya kernel ya T kwa ufumbuzi fulani.3. Kokwa ya T na kerneli ya mwendeshaji wake wa karibu T zote zina umbo la kikomo, na vipimo vyake ni sawa. Kipimo hiki cha kawaida kinaitwa faharisi ya opereta T.Nadharia ya Kiendeshaji Kompakt ni zana madhubuti ya kuchanganua uthabiti wa milinganyo ya mstari inayohusisha waendeshaji kongamano na ina miunganisho ya kina na maeneo mengine ya hisabati. Imetajwa baada ya mwanahisabati wa Uswidi Erik Ivar Fredholm, ambaye alianzisha wazo la waendeshaji kompakt kwanza na kudhibitisha nadharia hiyo mwanzoni mwa karne ya 20.  <response>: 0.0 