<prompt> Je, ni nini kinachosalia wakati 23 cdot 45 cdot 67 cdot 89 inagawanywa na 13?  <response>: Ninagundua kuwa misingi yote ya vielelezo ni vizidishi vya 2, kwa hivyo ninaweza kuandika tena usemi kama 23 cdot 225 cdot 2 cdot 37 cdot 23 9. Kisha ninaweza kutumia nguvu ya kanuni ya nguvu kurahisisha vielezi: 23 cdot 210 cdot 27 cdot 37 cdot 227. Kisha, ninaweza kuchanganya nguvu za 2 kwa kutumia kanuni ya kuzidisha: 23 10 7 27 cdot 37. Hii inanipa 247 cdot 37. Sasa ninataka kupata salio wakati hii imegawanywa na 13, ili niweze kutumia opereta ya modulus: 247 cdot 37 mod 13. Ili kurahisisha hili, ninaweza kutumia mali ambayo a cdot b mod n a mod n cdot b mod n mod n: 247 cdot 37 mod 13 247 mod 13 cdot 37 mod 13 mod 13. Hii inamaanisha kuwa naweza kupata mabaki ya 247 na 37 kando na kisha kuyazidisha na kupata salio tena. Ili kupata salio la 247, ninaweza kutumia sifa ambayo ikiwa a equiv b mod n, basi ak equiv bk mod n kwa nambari yoyote chanya k : 247 mod 13 equiv 2411 cdot 23 mod 13 equiv 311 cdot 23 mod 13. Ili kupata salio la 311, ninaweza kutumia mali sawa tena: 311 mod 13 equiv 333 cdot 32 mod 13 equiv 273 cdot 9 mod 13 equiv 13 cdot 9 mod 13 equiv 9 mod 13. Kwa hivyo nina 247 mod 13 equiv 9 cdot 23 mod 13 equiv 72 mod 13 equiv 7 mod 13. Ili kupata salio la 37, ninaweza kutumia mali sawa tena: 37 mod 13 equiv 332 cdot 3 mod 13 equiv 272 cdot 3 mod 13 equiv 12 cdot 3 mod 13 equiv 3 mod 13. Kwa hivyo nina 247 cdot 37 mod 13 equiv 7 cdot 3 mod 13 equiv 21 mod 13 equiv 8 mod 13. Kwa hivyo, jibu la mwisho ni 8. 