<prompt> Je, ubadilishaji wa TM 1, 2, 3, 4M kutoka R22 hadi R22 ni isomorphism?Nadharia Husika: Katika nadharia ya kikundi, isomofimu ni uamilifu wa bijective mmoja-kwa-mmoja na kwenye ramani kati ya vikundi viwili vinavyohifadhi muundo wa kikundi. Kwa maneno mengine, isomorphism ni njia ya kuanzisha mawasiliano kati ya vikundi viwili ili sifa zao za algebraic zifanane.Acha G na H ziwe vikundi viwili vilivyo na shughuli za jozi na , mtawalia. Kitendaji φ: G H huitwa isomorphism ikiwa inakidhi masharti mawili yafuatayo:1. φ ni kivumishi, kumaanisha kuwa ni sindano moja-kwa-moja na kivumishi kwenye. Hii inahakikisha kuwa kuna kipengele cha kipekee katika H kinacholingana na kila kipengele katika G, na kila kipengele katika H kina kipengele sambamba katika G.2. φ huhifadhi muundo wa kikundi, maana yake ni kwamba kwa vipengele vyote a, b katika G, φa b φa φb. Hii inahakikisha kuwa sifa za aljebra za vikundi viwili ni sawa chini ya mawasiliano yaliyoanzishwa na φ.Iwapo kuna isomorphism kati ya vikundi viwili G na H, tunasema kwamba G na H ni isomorphic, inayoashiria kama G H. Vikundi vya isomorphic kimsingi ni sawa kulingana na muundo wao wa aljebra, ingawa vipengele na utendakazi wao vinaweza kuonekana tofauti.Baadhi ya sifa muhimu za isomorphisms ni pamoja na:- Isomofimu hazibadiliki, kumaanisha kwamba ikiwa φ: G H ni isomofimu, basi kuna uamilishi wa kinyume φ1: H G ambayo pia ni isomofimu.- Isomofimu huhifadhi kipengele cha utambulisho, kumaanisha kwamba ikiwa φ: G H ni isomorphism, basi φe_G e_H, ambapo e_G na e_H ni vipengele vya utambulisho vya G na H, kwa mtiririko huo.- Isomofimu huhifadhi kinyume, kumaanisha kwamba ikiwa φ: G H ni isomofisi na a ni kipengele cha G, basi φa1 φa1, ambapo a1 na φa 1 ni kinyume cha a na φa katika G na H, mtawalia.  <response>: Kweli 