<prompt> Kwa kila nambari kamili n, seti ya nambari kamili 0,1,ldot,n-1 inajulikana kama textitresidue system modulo n. Ndani ya moduli ya masalio ya 24, acha A iwe jumla ya moduli kamili zinazoweza kugeuzwa 24 na uruhusu B iwe jumla ya nambari kamili zisizobadilika za moduli 24. A-B ni nini?  <response>: Kuanza, ninahitaji kukumbuka maana ya nambari kamili kuwa modulo inayoweza kugeuzwa 24. Hii inamaanisha kuwa kuna nambari nyingine kamili y kama vile xy equiv 1 pmod24. Vinginevyo, hii inamaanisha kuwa x na 24 ni za kawaida, au hazina sababu za kawaida isipokuwa 1. Kwa hivyo, ninahitaji kutambua ni nambari zipi katika modulo ya mabaki ya 24 ambazo ni za msingi kwa 24, na ambazo sivyo. Kwa kuwa 24 16, ninaweza kuorodhesha nambari kamili kutoka 0 hadi 15 na kuangalia kigawanyiko chao kikubwa zaidi GCD na 16. Ikiwa GCD ni 1, basi nambari kamili ni ya msingi kwa 16 na hivyo modulo inayoweza kubadilika 16. Ikiwa GCD ni kubwa kuliko 1, basi nambari kamili si ya msingi kwa 16 na kwa hivyo si moduli inayoweza kubadilika 16. Ninaweza kutumia nukuu ya mkato kwa GCD kwa kuandika gcdx,16 d, ambapo d ndio kigawanyo kikuu cha kawaida cha x na 16. Kwa hivyo, hii ndio orodha ya nambari kamili kutoka 0 hadi 15 na GCDs zao na 16: gcd0,16 16, gcd1,16 1, gcd2 ,16 2, gcd3,16 1, gcd4,16 4, gcd5,16 1, gcd6,16 2, gcd7,16 1, gcd8,16 8, gcd9,16 1, gcd10,16 2, gcd11,16 1, gcd12,16 4, gcd13,16 1, gcd14,16 2 , gcd15,16 1. Ninaweza kuona kuwa kuna nambari kamili za 8 ambazo ni za msingi kwa 16 na kwa hivyo modulo inayoweza kubadilika 16. Hizi ni 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Ninaweza pia kuona kuwa kuna 8 integers ambazo si za msingi kwa 16 na kwa hivyo si modulo inayoweza kubadilika 16. Hizi ni 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. Ili kupata jumla ya nambari zote zinazoweza kugeuzwa modulo 16, naweza kuongeza nambari katika orodha ya kwanza: 1 3 5 7 9 11 13 15 64. Ili kupata jumla ya nambari zote zisizobadilika za modulo 16, naweza kuongeza nambari katika orodha ya pili: 0 2 4 6 8 10 12 14 56. Kwa hiyo, tofauti kati ya hesabu mbili ni A - B 64 - 56 8 . 