<prompt> Acha mathbfA anzapmatrix 15 25 -9 -15 mwishopmatrix. KokotoamathbfI 2 mathbfA 3 mathbfA2 4 mathbfA3 dotsb.  <response>: Ninagundua kuwa matrix mathbfA ina mali nzuri: kiashiria chake ni sifuri. Hii ina maana kwamba sifa polinomia za mathbfA ni x2 - mathrmtrmathbfA x x2 - 15 - 15 x x2. Kwa hivyo, kwa nadharia ya Cayley-Hamilton, mathbfA2 mathbf0, matrix sifuri. Hii ina maana kwamba mathbfA3 mathbfA mathbfA2 mathbfA mathbf0 mathbf0, na kadhalika kwa mamlaka ya juu ya mathbfA. Hii ina maana kwamba mfululizo ninaotaka kukokotoa kwa hakika una kikomo: una maneno matatu pekee. Kwa hivyo ninaweza kuandika mathbfI 2 mathbfA 3 mathbfA2 4 mathbfA3 dotsb mathbfI 2 mathbf A 3 mathbfA2. Sasa ninahitaji tu kuhesabu kila neno na kuziongeza. Ninajua kuwa mathbfI ndio matrix ya kitambulisho, kwa hivyo ina zile kwenye diagonal kuu na sufuri mahali pengine. Katika kesi hii, kwa kuwa mathbfA ni matrix 2x2, mathbfI pia ni matrix 2x2: mathbfI beginpmatrix 1 0 0 1 endpmatrix. Ili kukokotoa 2 mathbfA, Ninazidisha tu kila ingizo la mathbfA kwa 2. Ninapata 2 mathbfA beginpmatrix 30 50 -18 -30 endpmatrix. Ili kukokotoa 3 mathbfA2, kwanza ninahitaji mraba mathbfA, na kisha kuizidisha kwa 3. Ili mraba mathbfA, Ninatumia fomula ya kuzidisha matrix: ingizo la i, j-th la mathbfA2 ni bidhaa ya nukta ya i-th ya mathbfA na j-th safuwima ya mathbfA. Napata mathbfA2 beginpmatrix 15 25 -9 -15 mwisho pmatrix anzapmatrix 15 25 -9 -15 mwishopmatrix anzapmatrix 225 - 225 375 - 375 -135 135 -225 225 mwisho pmatrix mathbf0. Nikizidisha mathbf0 kwa 3, napata mathbf0 tena. Kwa hivyo 3 mathbfA2 mathbf0. Sasa ninaweza kujumlisha maneno matatu: mathbfI 2 mathbfA 3 mathbfA2 startpmatrix 1 0 0 1 mwishopmatrix anzapmatrix 30 50 -18 -30 mwishopmatrix mathbf0 anzapmatrix 31 50 -18 -29 mwishopmatrix. 