<prompt> Acha alpha na beta ziwe pembe za kuzitumiafracsec4 alphatan2 beta fracsec4 betatan2 alphaimefafanuliwa. Tafuta thamani ya chini kabisa ya usemi.  <response>: Acha a tan2 alpha na b tan2 beta. Kisha sec2 alpha a 1 na sec2 beta b 1, hivyofracsec4 alphatan2 beta fracsec4 betatan2 alpha fraca 12 b fracb 12a.Tunajua a ge 0 na b ge 0, hivyo kwa AM-GM, a 1 ge 2 sqrta na b 1 ge 2 sqrtb. Kwa hivyo,fraca 12b fracb 12a ge frac4ba frac4ab .Tena kwa AM-GM,frac4ba frac4ab ge 2 sqrtfrac4ba cdot frac4ab 8.Usawa hutokea wakati alpha beta fracpi4, hivyo thamani ya chini ni 8. 