<prompt> Tafuta idadi ya ruhusa a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 ya 1,2,3,4,5,6 zinazokidhifraca_1 12 cdot fraca_2 22 cdot fraca_3 32 cdot fraca_4 42 cdot fraca_5 52 cdot fraca_6 62 6!.  <response>: Wacha tufikirie juu ya kile ambacho ukosefu wa usawa unasema. Tukizidisha upande wa kushoto nje, tunapata fraca_1 12 cdot fraca_2 22 cdot fraca_3 32 cdot frac a_4 42 cdot fraca_5 52 cdot fraca_6 62 fraca_1 1a_2 2a_3 3 a_4 4a_5 5a_6 664. Kwa hivyo ukosefu wa usawa unasema kuwa bidhaa ya nambari a_1 1a_2 2a_3 3a_4 4a_5 5a_6 6 ni kubwa kuliko 6! 64 . Sawa, na tangu 64 cdot 6! 64 cdot 720 4480, ukosefu wa usawa ni kusema tu kwamba a_1 1a_2 2a_3 3a_4 4a_5 5a_6 6 4480. Kwa hivyo tunahitaji tu kupata idadi ya vibali vya 1,2,3,4,5,6 kiasi kwamba a_1 1a_2 2a_3 3a_4 4 a_5 5a_6 6 4480. Haki. Hebu tufikirie hili. Ikiwa tunataka kufanya a_1 1a_2 2a_3 3a_4 4a_5 5a_6 6 iwe ndogo iwezekanavyo, tungetaka kuruhusu a_1 1, a_2 2, a_3 3, a_4 4, a_5 5, na a_6 6. Ndio, kwa kuwa 64 cdot 6! 64 cdot 720 46080. Haki. Kwa hivyo thamani ndogo kabisa ya a_1 1a_2 2a_3 3a_4 4a_5 5a_6 6 ni 46080. Tunajua kwamba a_1 1a_2 2a_3 3a_4 4a_5 5a_6 6 4480, lakini tunataka kuonyesha kwamba a_1 1 a_2 2a_3 3a_4 4a_5 5a_6 6 46080. Haki. Tunahitaji kuonyesha kwamba vibali vingine vyote vitakidhi ukosefu huu wa usawa. Kwa hivyo wacha tuchukue kuwa idhini fulani haikidhi usawa huu. Kisha lazima tuwe na a_1 1a_2 2a_3 3a_4 4a_5 5a_6 6 leq 46080. Kwa sababu ya dhana yetu, tunajua kuwa a_1 1a_2 2a_3 3a_4 4a_5 5a_6 6 imepunguzwa. Kwa hivyo tunataka kuonyesha kwamba ikiwa tutabadilisha a_j na a_k, basi tutakuwa na a_1 1a_2 2a_3 3a_4 4a_5 5a_6 6 46080. Tunachohitaji kuonyesha ni kwamba a_j ja_k k a_k ja_j k. Haki. Hii ni sawa na a_j a_k j a_k k a_j a_j a_k j a_j k a_k. Na hii ni sawa na a_j k a_k j a_j j a_k k. Sawa, na tukitoa a_j j a_k k kutoka pande zote mbili, tunapata a_j k a_k j - a_j j - a_k k 0, na tukizingatia, tunapata a_j k - j a_k j - k 0. Na kwa kuwa j k, tunajua kwamba k - j 0 na j - k 0, hivyo a_j k - j a_k j - k 0 ni sawa na a_j k - j a_k k - j. Kwa hivyo tumeonyesha kwamba ikiwa tutabadilisha a_j na a_k, basi tutakuwa na a_1 1a_2 2a_3 3a_4 4a_5 5a_6 6 46080. Kwa hivyo tunajua kwamba ruhusa 1,2,3,4,5,6 inatupa thamani ndogo zaidi ya a_1 1a_2 2a_3 3a_4 4a_5 5a_6 6. Na kwa kuwa 1,2,3,4,5,6 ni ruhusa moja tu ya 1,2,3,4,5,6, tunajua kwamba vibali vingine vyote vitakidhi ukosefu wa usawa. Kwa hivyo tumeonyesha kuwa kuna ruhusa moja tu ambayo haikidhi usawa. Kwa hivyo lazima kuwe na vibali vya 720 - 1 719 ambavyo vinakidhi ukosefu wa usawa. 