<prompt> Tafuta salio wakati polinomia x1000 inagawanywa na polinomia x2 1x 1.  <response>: Ninataka kupata salio wakati x1000 imegawanywa na x2 1x 1, kumaanisha kuwa ninataka kupata rx polynomial kama x 1000 qxx2 1x 1 rx, ambapo qx ndio mgawo na rx ndio salio. Ninajua kwamba kiwango cha salio lazima kiwe chini ya kiwango cha kigawanyaji, ambacho ni 3, kwa hivyo rx lazima iwe na digrii isiyozidi 2. Hii inamaanisha kuwa naweza kuandika rx ax2 bx c kwa baadhi ya vipengele a, b, c. Ili kupata viambajengo hivi, ninaweza kutumia ukweli kwamba x1000 qxx2 1x 1 rx kwa thamani yoyote ya x. Nitachagua maadili matatu ya x ambayo yatafanya kigawanyaji x2 1x 1 sawa na sifuri, kwani hiyo itarahisisha mlinganyo. Thamani hizi ni x i, -i, -1, ambapo i ni kitengo cha kuwazia kinachotosheleza i2 -1. Wakati x i, nina i1000 ri ai2 bi c -a bi c. Vile vile, wakati x -i, nina -i1000 r-i a - bi c. Wakati x -1, nina -11000 r-1 a - b c. Ninaweza kutumia hesabu hizi tatu kutatua kwa a, b, c. Kutoa equation ya kwanza kutoka kwa pili, ninapata 2bi 0, hivyo b 0. Nikiongeza milinganyo ya kwanza na ya pili, ninapata 2c i1000 -i1000. Ninajua kuwa i1000 i4250 1250 1 na -i1000 -i4250 -1250 1, hivyo 2c 2 na c 1. Nikibadilisha b 0 na c 1 kwenye mlinganyo wa tatu, ninapata a - 0 1 -11000 1, hivyo a 0. Kwa hiyo, rx 0x2 0x 1 1, na hii ndiyo salio. 