<prompt> Acha x,y, na z ziwe pembe hivyoanzaaligncos x tan y, cos y tan z, cos z tan x.endalignTafuta thamani kubwa iwezekanavyo ya sin x.  <response>: Kutoka cos x tan y,cos2 x tan2 y fracsin2 ycos2 y frac1 - cos2 ycos2 y frac1cos2 y - 1.Kwa kuwa cos y tan z, cos2 x cot2 y - 1. Kisha1 cos2 x cot2 z fraccos2 zsin2 z fraccos2 z1 - cos2 z .Kwa kuwa cos z tan x,1 cos2 x fractan2 x1 - tan2 x fracsin2 xcos2 x - sin2 x .Tunaweza kuandika hii kama1 1 - sin2 x fracsin2 x1 - sin2 x - sin2 x,hivyo 2 - dhambi 2 x1 - 2 sin2 x dhambi2 x. Hii hurahisishasin4 x - 3 sin2 x 1 0.Tunatambua hili kama quadratic katika sin2 x: sin2 x2 - 3 sin 2 x 1 0. Kisha kwa fomula ya quadratic,sin2 x frac3 pm sqrt52.Kwa kuwa frac3 sqrt52 1, lazima tuwe nayosin2 x frac3 - sqrt52.Tunakisia kuwa sin x ni ya umbo a b sqrt5, kwa baadhi nambari a na b. Hivyo,a b sqrt52 frac3 - sqrt52 frac32 - frac12 sqrt 5.Kupanua, tunapataa2 5b2 2ab sqrt5 frac32 - frac12 sqrt5.Tumeweka a2 5b 2 frac32 na 2ab -frac12. Kisha ab -frac14, so b -frac 14a. Inabadilisha kuwa a2 5b2 frac32, tunapataa2 frac516a2 frac32.Kisha 16a4 5 24a2, hivyo 16a4 - 24a2 5 0. Mambo haya kama 4a2 - 14a2 - 5 0. Kwa hivyo, thamani zinazowezekana za a ni pm frac12. Kisha b mp frac12, hivyosin x pm frac1 - sqrt52.Hebutheta arcsin a,ambapo a fracsqrt5 - 12. Kumbuka kuwa a inatosheleza a2 a - 1 0. Kishaanzaaligncos theta - tan theta cos theta - fracsin thetacos theta fraccos2 theta - sin thetacos theta frac1 - sin2 theta - sin thetacos theta frac1 - a2 - acos theta 0.endalignKwa hivyo, x,y,z theta, theta, theta ni suluhu kwa mfumo uliotolewa, ambayo inamaanisha thamani kubwa zaidi ya sin x ni . fracsqrt5 - 12. 