<prompt> Ni njia ngapi ninaweza kuweka vipande viwili visivyoweza kutofautishwa kwenye ubao wa kawaida wa 8mara 8, ikiwa vipande lazima viwe kwenye safu moja au viwe kwenye safu sawa?  <response>: Hili ni tatizo la combinatorics, ambapo ninahitaji kuhesabu idadi ya mipangilio inayowezekana ya vipande. Njia moja ya kukaribia hii ni kutumia kanuni ya kuzidisha, ambayo inasema kwamba ikiwa nina chaguo la a chaguzi kwa jambo moja, na kisha b chaguzi kwa jambo lingine, na chaguo ni huru, basi jumla ya idadi ya njia za kufanya mambo yote mawili ni atimes b. Katika kesi hii, ninaweza kuchagua kipande cha kwanza katika miraba yoyote ya 64 kwenye ubao, kwa hivyo nina chaguo 64 kwa hilo. Kisha, kwa kipande cha pili, lazima nichague mraba ambayo iko kwenye safu sawa au kwenye safu sawa na kipande cha kwanza. Hiyo inamaanisha kuwa nina chaguo 14 kwa kipande cha pili, kwani kuna miraba 7 katika safu moja na 7 mraba kwenye safu sawa, na lazima niepuke mraba ambao uko kwenye safu na safu sawa kama ya kwanza. kipande, kwani hiyo itakuwa sawa na kipande cha kwanza. Kwa hiyo, kwa kanuni ya kuzidisha, idadi ya njia za kuchagua vipande viwili kwenye safu moja au safu ni 64 mara 14 896 . Walakini, hili sio jibu la mwisho, kwa sababu nimezidisha kesi kadhaa. Kwa kuwa vipande haviwezi kutofautishwa, haijalishi ni ipi ninayochagua kwanza na ni ipi ninayochagua pili. Hiyo inamaanisha kuwa kila jozi ya miraba ninayoweza kuchagua imehesabiwa mara mbili, mara moja kwa kila mpangilio wa kuzichagua. Ili kuepuka hesabu hii mara mbili, ninahitaji kugawanya idadi ya njia kwa 2, kwani kila jozi imehesabiwa mara mbili. Kwa hivyo, jibu la mwisho ni frac8962 448. 