<prompt> Ni nambari gani kamili n inatosheleza 0le n101 na 123456equiv npmod 101?  <response>: Ninajua kuwa nukuu aequiv bpmod m ina maana kwamba a na b zina salio sawa zikigawanywa na m, au kwa usawa, kwamba a-b ni mgawo wa m. . Kwa hivyo ninataka kupata nambari kamili n kati ya 0 na 100 ikiwa ni pamoja na ambayo ina salio sawa na 123456 ikigawanywa na 101. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia mgawanyiko mrefu na kupata mgawo na salio la 123456 ikigawanywa na 101. Ninaweza kuandika 123456101qr, ambapo q ndio mgawo na r ni salio, na kisha r itakuwa thamani ya n ninayotafuta. Ili kufanya mgawanyiko mrefu, ninaanza kwa kuandika 123456 chini ya bar ya usawa, na 101 upande wa kushoto wake. Kisha ninahesabu ni tarakimu ngapi za 123456 zinahitajika ili kufanya nambari kuwa kubwa kuliko au sawa na 101. Ninaona kwamba tarakimu tatu za kwanza, 123, zinatosha, tangu 123101. Kwa hivyo ninaandika 1 juu ya upau, na kuzidisha 1 kwa 101 na kuiondoa kutoka 123, nikipata 22. Kisha ninaleta nambari inayofuata, 4, na kuiambatanisha hadi 22, na kupata 224. Sasa nauliza ni mara ngapi 101 inaingia 224. Ninaona kwamba huenda mara mbili, kwa kuwa 2mara 101202224 lakini 3mara 101303224. Kwa hivyo ninaandika 2 juu ya upau, na kuzidisha 2 kwa 101 na kuiondoa kutoka 224, na kupata 22 tena. Kisha ninaleta nambari inayofuata, 5, na kuiambatanisha hadi 22, na kupata 225. Sasa nauliza ni mara ngapi 101 inaingia 225. Ninaona kwamba huenda mara mbili tena, kwani 2mara 101202225 lakini 3mara 101303225. Kwa hivyo ninaandika 2 juu ya upau, na kuzidisha 2 kwa 101 na kuiondoa kutoka 225, nikipata 23. Kisha ninaleta nambari inayofuata, 6, na kuiambatanisha hadi 23, na kupata 236. Sasa nauliza ni mara ngapi 101 inaingia 236. Ninaona kwamba huenda mara mbili zaidi, kwani 2mara 101202236 lakini 3mara 101303236. Kwa hivyo ninaandika 2 juu ya upau, na kuzidisha 2 kwa 101 na kuiondoa kutoka 236, nikipata 34. Kwa kuwa hakuna tarakimu zaidi za kuleta chini, ninasimamisha mgawanyiko mrefu na kuhitimisha kuwa mgawo ni 1222 na iliyobaki ni 34. Kwa hivyo, 123456101mara 122234, na 123456equiv 34pmod 101. Hii inamaanisha kuwa n34 ndio nambari kamili ninayotafuta ambayo inakidhi masharti yaliyotolewa. 