<prompt> Kwa kutumia mabadiliko ya Laplace, suluhisha mlinganyo wa kawaida wa tofauti unaofuata: y 3y 2y 0, ambapo y0 1 na y0 0.  <response>: Ili kusuluhisha mlinganyo uliotolewa wa kawaida wa tofauti kwa kutumia mabadiliko ya Laplace, kwanza tunachukua badiliko la Laplace la pande zote mbili za mlinganyo. Kumbuka kuwa mabadiliko ya Laplace ya chaguo la kukokotoa yt yanaonyeshwa na Ys, na tunayo sifa zifuatazo:Lyt sY - y0Lyt s2Ys - sy0 - y0Sasa hebu tutumie sifa hizi kwa mlingano wetu tuliopewa: y 3y 2y 0.Kuchukua mabadiliko ya Laplace ya pande zote mbili, tunapata:Ly 3Ly 2Ly L0s2Ys - sy0 - y0 3sYs - y0 2Ys 0Tumepewa masharti ya awali y0 1 na y0 0. Kubadilisha thamani hizi kwenye mlinganyo ulio hapo juu, tunapata:s2Ys - s1 - 0 3sYs - 1 2Ys 0s2Ys - s 3sYs - 3 2Ys 0Sasa, tunaweza kukusanya masharti yote yanayohusisha Ys:Yss2 3s 2 s 3Ifuatayo, tunaangazia usemi wa quadratic kwenye mabano:Yss 1s 2 s 3Sasa, tunaweza kutatua kwa Ys:Ys s 3s 1s 2Ili kupata ubadilishaji wa Laplace kinyume cha Ys, tunaweza kufanya mtengano wa sehemu:Ys As 1 Bs 2Kuzidisha pande zote mbili kwa s 1s 2 ili kufuta madhehebu, tunapata:s 3 As 2 Bs 1Kupanua equation hii inatoa:s 3 Kama 2A Bs BSasa, tunaweza kusawazisha coefficients ya maneno kama:Kama Bs s A B 12A B 3Kutatua mfumo huu wa milinganyo ya mstari, tunaona kwamba A -1 na B 2. Hivyo,Ys -1s 1 2s 2Kuchukua ubadilishaji wa Laplace kinyume cha Ys, tunapata suluhisho yt:yt L-1Ys -e-t 2e-2tKwa hivyo, suluhisho la equation ya kutofautisha iliyopewa na masharti maalum ya awali ni:yt -e-t 2e-2t. 