<prompt> Thibitisha kwamba kila chaguo la kukokotoa linaloendelea katika muda uliofungwa a, b hufikia thamani zake za juu zaidi na za chini zaidi.  <response>: Ili kuthibitisha kwamba kila chaguo la kukokotoa linaloendelea katika muda uliofungwa a, b hufikia thamani zake za juu zaidi na za chini zaidi, tutatumia Nadharia ya Thamani Iliyokithiri.Nadharia ya Thamani Iliyokithiri inasema kwamba ikiwa chaguo za kukokotoa f ni endelevu kwa muda uliofungwa a, b, basi kuna alama c na d katika a, b hivi kwamba fc ndiyo thamani ya chini zaidi ya f kwenye a. , b na fd ndio thamani ya juu zaidi ya f kwenye a, b.Uthibitisho:Acha f iwe kazi inayoendelea kwenye muda uliofungwa a, b. Kwa ufafanuzi wa mwendelezo, kwa mfuatano wowote x_n katika a, b unaobadilika hadi nukta x katika a, b, mfuatano fx_n pia hubadilika kuwa fx.Sasa fikiria seti S fx : x a, b. Kwa kuwa f inaendelea kwenye a, b, S haina tupu na ina mipaka. Kwa Axiom ya Ukamilifu, S ina supremum na infimum, ambayo tunaashiria kwa M na m, kwa mtiririko huo.Tunadai kuwa kuna nukta c na d katika a, b hivi kwamba fc m na fd M.Kwa kuwa m ni infimum ya S, kwa kila nambari asilia n, kuna nukta x_n katika a, b hivi kwamba fx_n m - 1n. Kama a, b imefungwa na kufungwa, ni compact. Kwa hivyo, kuna mfuatano x_n_k wa x_n ambao hubadilika hadi sehemu fulani c katika a, b. Kwa kuwa f ni endelevu, mfuatano fx_n_k hubadilika kuwa fc. Hata hivyo, tunayo fx_n_k m - 1n_k kwa k zote, kwa hivyo fc m. Kwa upande mwingine, kwa kuwa m ni infimum ya S, tunayo fc m. Kuchanganya usawa huu, tunapata f c m.Vile vile, tunaweza kuonyesha kwamba kuna nukta d katika a, b kwamba fd M.Kwa hivyo, kila chaguo la kukokotoa linaloendelea katika muda uliofungwa a, b hupata maadili yake ya juu zaidi na ya chini katika pointi c na d, mtawalia. 