<prompt> Equation y -16t2 - 60t 54 inaelezea urefu katika futi wa mpira unaorushwa chini kwa futi 60 kwa sekunde kutoka urefu wa futi 54 kutoka ardhini, ambapo t inawakilisha muda, unaopimwa kwa sekunde. Mpira utagonga ardhini kwa sekunde ngapi? Eleza jibu lako kama desimali iliyozungushwa hadi mia iliyo karibu zaidi.  <response>: Ili kujua ni lini mpira utagonga ardhini, ninahitaji kupata thamani ya t ambayo hufanya y sawa na sifuri, kwani hiyo inamaanisha urefu ni sifuri. Ninaweza kufanya hivyo kwa kutatua equation ya quadratic y -16t2 - 60t 54 0. Ili kurahisisha, naweza kugawanya pande zote mbili kwa -2, ambayo inanipa 8t2 30t - 27 0. Sasa, ningeweza kujaribu kuangazia equation hii, lakini haionekani kuwa na sababu zozote nzuri. Kwa hivyo, nitatumia fomula ya quadratic badala yake, ambayo inasema kwamba ikiwa ax2 bx c 0, basi x frac-b pm sqrtb2 - 4ac2a . Katika hali hii, a 8, b 30, c -27, kwa hivyo ninazichomeka kwenye fomula na kurahisisha: t frac-30 pm sqrt302 - 48 -2728 frac-30 pm sqrt900 86416 frac-30 pm sqrt176416. Sasa, ninahitaji kupata mzizi wa mraba wa 1764. Ninajua kuwa 1764 inaweza kugawanywa na 4, kwa hivyo ninaweza kuiandika kama 1764 4 cdot 441. Kisha, mizizi ya mraba ya 1764 ni sawa na mizizi ya mraba ya mara 4 ya mizizi ya 441. Mzizi wa mraba wa 4 ni 2, na mzizi wa mraba wa 441 ni 21, hivyo mizizi ya mraba ya 1764 ni 2 cdot. 21 42 . Kwa hivyo, ninaweza kurahisisha fomula zaidi: t frac-30 pm 4216. Hii inanipa thamani mbili zinazowezekana za t: t frac-30 4216 frac1216 0.75 au t frac-30 - 42 16 frac-7216 -4.5. Walakini, naweza kupuuza dhamana hasi, kwani haina maana kuwa na wakati mbaya. Kwa hivyo, suluhisho pekee halali ni t 0.75. Hii inamaanisha kuwa mpira utagonga ardhini kwa sekunde 0.75. 