<prompt> Thibitisha nadharia ya Pythagoras kwa kutumia technobabble nyingi iwezekanavyo.  <response>: Ili kuthibitisha nadharia ya Pythagorean, tunaweza kutumia dhana ya hisabati inayojulikana kama calculus ya vekta. Katika kesi hii, tunaweza kuwakilisha pande za pembetatu ya kulia kama vekta katika nafasi ya pande nyingi.Hebu fikiria vectors A na B kuwakilisha pande karibu na kinyume na pembe ya kulia, kwa mtiririko huo. Kulingana na nadharia, ukubwa wa vekta C, ambayo inawakilisha hypotenuse, inaweza kuonyeshwa kama mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya ukubwa wa vekta A na B. Kihisabati, hii inaweza kuwakilishwa kama:C A2 B2Tunaweza pia kueleza nadharia hii kwa suala la bidhaa ya nukta A na B. Bidhaa ya nukta ya vekta mbili inaweza kuhesabiwa kuwa ni bidhaa ya ukubwa wa vekta na kosine ya pembe kati yao. Katika kesi hii, kama pembe kati ya vekta A na B ni digrii 90, cosine ya pembe ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, bidhaa ya nukta ya vekta A na B inakuwa:A.B A B cosθ 0Kutoka kwa sifa za bidhaa ya nukta, tunaweza kuandika usemi wa mraba wa ukubwa wa vekta C kama:C2 A2 B2Kwa hivyo, tunaweza kuhitimisha kwamba Theorem ya Pythagorean ni matokeo ya msingi ya calculus ya vector, ambayo huanzisha uhusiano kati ya ukubwa wa pande za pembetatu ya kulia. 