<prompt> Ni thamani gani ya juu inayowezekana ya kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida cha maneno mawili mfululizo ya mlolongo a_n n! n, wapi n ge 0?  <response>: Tunaanza kwa kuchukua hatua ya kwanza katika algoriti ya Euclidean: toa maneno mawili ya awali. Angalia hiloanzaaligna_n1 - n1a_n n1! n 1 - n1n! n n1! n 1 - n1! - nn1 -n2 1 -n-1n1.endalignInafuata kwamba kwa kanuni ya Euclidean, beginaligntextgcd,a_n, a_n1 textgcd,a_n, a_ n1 - n1a_n textgcd,a_n, n-1n1,maliziaalignkwa kuwa ishara ya kutoa ni haina maana kwa kuhesabu gcd.Tunajua kwamba n-1 hugawanya n!, ili n-1 ni ya msingi kwa a_n n! n:textgcd,n-1,n!n textgcd,n-1,n 1.Hivyo, tunaweza kupuuza kipengele cha n- 1 kabisa, na useme hivyotextgcd,a_n,a_n1 textgcd,n! n, n1.Sasa, tuna visa kadhaa, kulingana na iwapo n1 ni kuu au mchanganyiko. Pia tuna kesi chache za kuzingatia. Wazo la msingi ni kwamba wakati n1 ni mchanganyiko na kubwa kuliko 4, n1 ni kipengele cha n!, ilhali n1 ni ya kwanza, tunaweza kutumia Nadharia ya Wilson.textitCase 0: Kwa n 0, tunapata kwamba a_0 1, a_1 2, yenye kigawanyo kikuu cha kawaida 1.textitCase Composite:qquad textitKifungu kidogo cha 1: Ikiwa n1 ni mchanganyiko na inaweza kuandikwa kama bidhaa ya nambari mbili kamili kubwa kuliko 1 sema n1 a mara b, a b 1, kisha n1 mgawanyikon! 1 mara cdots mara b mara cdots mara a mara cdots mara n.Kwa hoja sawa na hapo awali, kwa kuwa n na n1 ni za msingi, basi n ! n na n1 ni bora kwa kiasi, na hutoa kigawanyo kikuu cha kawaida cha 1.qquad textitKifungu kidogo cha 2: Ikiwa n1 p2 kwa p fulani kuu, basi n! n p2 - 1! p2-1. Ikiwa 2p p2 - 1, basi p na 2p zote ni vipengele vinavyoonekana katika upanuzi wa n!, kwa hivyo n1 hugawanya n! na hoja ya awali itatumika. Kwa p 2, tunaweza kuangalia kwa haraka hiyo 3! 3 9 ni ya juu kiasi na 4.textitCase prime: Ikiwa n 1 p kwa p kuu, basi n! n equiv p-1! p-1 equiv -2 pmodp by Wilsons Theorem. Kwa hivyo, n! n ni bora kwa n1 isipokuwa n 1, ambayo tunapata a_1 2, a_2 4, yenye kigawanyiko kikubwa zaidi cha 2.Kwa hivyo, kigawanyo kikubwa zaidi cha kawaida cha maneno mawili mfululizo ya mfuatano a_n inaweza kuwa 2, ambayo hupatikana tunapochukua n1. 