<prompt> Hebu IRiint_x2y2 leq R2frac12 x21x46x2y2y4 -frac1y22x4y4 dx dy. Je, kikomo cha IR ni kipi kwani R huenda kwa infinity?Nadharia Husika: Uwakilishi wa uratibu wa Polar ni mfumo mbadala wa kuratibu unaotumiwa katika calculus na nyanja nyingine za hisabati kuelezea pointi katika ndege ya pande mbili. Tofauti na mfumo wa kuratibu wa Cartesian, ambao hutumia viwianishi vya x na y kufafanua nafasi ya nukta, mfumo wa kuratibu wa polar hutumia umbali kutoka kwa sehemu ya marejeleo inayoitwa pole au asili na pembe inayopimwa kutoka kwa mwelekeo wa marejeleo kawaida ni chanya x- mhimili.Katika kuratibu za polar, hatua P kwenye ndege inawakilishwa na jozi iliyoamuru r, θ, ambapo:1. r ni umbali kutoka kwa asili hadi hatua ya P. Ni nambari halisi isiyo ya hasi, inayowakilisha umbali wa radial.2. θ ni pembe kati ya mhimili wa x chanya na sehemu ya mstari inayounganisha asili kwa uhakika P. Inapimwa kwa radiani au digrii, na inaweza kuwa chanya au hasi kulingana na mwelekeo wa mzunguko kinyume cha saa au mwendo wa saa, mtawalia. Ubadilishaji kati ya kuratibu za Cartesian na polar unaweza kufanywa kwa kutumia mahusiano yafuatayo:x r cosθy r dhambi θr x2 y2θ arctanyxKatika calculus, viwianishi vya polar vinaweza kuwa muhimu kwa kutatua matatizo ambayo yanahusisha mikunjo au maeneo yenye ulinganifu wa radial au wakati kitendakazi kilichotolewa kinaonyeshwa zaidi katika umbo la polar. Kwa mfano, inaweza kurahisisha mchakato wa kutafuta maeneo, urefu wa mikunjo, au kutathmini viambatanisho na viambajengo vya vitendakazi ambavyo vinaelezewa kwa urahisi zaidi kwa kutumia viwianishi vya polar.Wakati wa kufanya kazi na viwianishi vya polar kwenye calculus, ni muhimu kukumbuka kuwa kipengele cha eneo katika kuratibu za polar ni tofauti na kile cha kuratibu za Cartesian. Kipengele cha eneo katika kuratibu za polar kinatolewa na dA r dr dθ, ambayo lazima izingatiwe wakati wa kuhesabu maeneo au kutathmini viunga katika kuratibu za polar.  <response>: 1.53978589 