<prompt> Miduara mathcalC_1 na mathcalC_2 hukatiza kwa pointi mbili, moja ikiwa ni 9,6, na bidhaa ya radii ni 68 . Mhimili wa x na mstari y mx, ambapo m 0, ni tanjiti kwa miduara yote miwili. Inakubaliwa kuwa m inaweza kuandikwa katika muundo asqrt bc, ambapo a, b, na c ni nambari chanya, b haigawanyiki kwa mraba. ya mkuu wowote, na a na c ni za juu kiasi. Tafuta a b c.  <response>: Acha pembe ndogo kati ya mhimili wa x-na mstari ymx iwe theta. Kumbuka kuwa vitovu vya miduara miwili viko kwenye kipenyo cha pembe mbili cha pembe kati ya mhimili wa x-na mstari ymx. Pia kumbuka kuwa ikiwa x,y iko kwenye kipengee cha pembe mbili, tuna hiyo fracyxtanfractheta2. Hebu tanfractheta2m_1, kwa urahisi. Kwa hivyo ikiwa x,y iko kwenye kisekta cha pembe, basi xfracym_1. Sasa acha viini vya miduara miwili husika viwe am_1 , a na bm_1 , b kwa ukweli fulani chanya a na b. Miduara hii miwili ni tangent kwa mhimili wa x, kwa hivyo radii ya miduara ni a na b mtawalia. Tunajua kwamba uhakika 9,6 ni pointi kwenye miduara yote miwili, kwa hivyo tunayo hiyo9-fracam_126-a2a29-fracbm_126-b2b2Kupanua masharti haya na kudanganya kunatoafrac1m_12a2-18m_112a1170frac1m_12b2-18m_112b1170Inafuata kwamba a na b ndio mizizi ya quadraticfrac1m_12x2-18m_112x1170Inafuata kutoka kwa Fomula za Vieta kwamba bidhaa ya mizizi ya quadratic hii ni 117m_12, lakini pia tulipewa kuwa bidhaa ya radii ilikuwa 68. Kwa hivyo 68117m_12, au m_12 frac68117. Kumbuka kwamba fomula ya nusu-pembe ya tangents nitanfractheta2sqrtfrac1-costheta1costhetaKwa hiyofrac68117frac1-costheta1costhetaKutatua kwa costheta kunatoa costhetafrac49185. Kisha inafuata kwamba sinthetasqrt1-cos2thetafrac12sqrt221185.Kisha inafuata kwamba mtanthetafrac12sqrt22149. Kwa hivyo a12, b221, na c49. Jibu linalohitajika basi ni 1222149282. 