<prompt> Ikiwa a, b, c, x, y, na z ni chanya na a2 b2 c2 25, x2 y 2 z2 36, na ax kwa cz 30, computefraca b cx y z.  <response>: Ninagundua kuwa shida hii inahusisha misemo ya quadratic na bidhaa za ndani za vekta. Ninashangaa ikiwa naweza kutumia usawa wa Cauchy-Schwarz, ambayo inasema kwamba kwa vekta yoyote mathbfu na mathbfv, thamani kamili ya bidhaa zao za ndani ni chini ya au sawa na bidhaa ya kanuni zao. Katika hali hii, naweza kuruhusu mathbfu a, b, c na mathbfv x, y, z na kupata ax by cz leq sqrta2 b2 c2 sqrtx2 y2 z2. Ninajua kwamba ax by cz 30, ili niweze chomeka hiyo na upate 30 leq sqrt25 sqrt36. Hii hurahisisha hadi 30 leq 30, ambayo ni kweli. Hii ina maana kwamba kesi ya usawa ya Cauchy-Schwarz ina usawa, ambayo hutokea ikiwa na tu ikiwa vekta mathbfu na mathbfv ni sawia. Kwa maneno mengine, lazima kuwe na k mara kwa mara kiasi kwamba a kx, b ky, c kz. Kisha, ninaweza kuandika sehemu fraca b cx y z kama frackx ky kzx y z k fracx y zx y z k. Kwa hivyo, ninahitaji kupata thamani ya k. Ninaweza kutumia milinganyo yoyote niliyopewa kufanya hivi, lakini nitatumia ya kwanza: a2 b2 c2 25. Kuchomeka a kx, b ky, c kz, napata k2 x2 k2 y2 k2 z2 25. Ninaweza kuhesabu k2 na kupata k 2 x2 y2 z2 25. Ninajua kwamba x2 y2 z2 36, ili niweze kubadilisha hiyo na kupata k2 cdot 36 25. Kutatua kwa k, Napata k pm frac56. Hata hivyo, najua kwamba k lazima iwe chanya, kwa kuwa a, b, c, x, y, z zote ni chanya. Kwa hivyo, thamani pekee inayowezekana ya k ni frac56. Kwa hivyo, sehemu fraca b cx y z ni sawa na frac 56. 