<prompt> Tatua mlingano wa wimbi u_tt c2 u_xx kwa mfuatano wa urefu L na uhamishaji wa awali gx na kasi ya awali hx.  <response>: Ili kutatua equation ya wimbi na hali zilizopewa za awali, tunaweza kutumia njia ya mgawanyo wa vigezo na uwekaji juu. Kwanza tunachukua suluhisho la fomu:ux,t XxTtKuingiza hii kwenye equation ya wimbi, tunapata:XxTt c2 XxTtSasa, gawanya pande zote mbili kwa c2 XxTt:Ttc2Tt XxXxKwa kuwa upande wa kushoto unategemea t tu na upande wa kulia unategemea x tu, lazima ziwe sawa na mara kwa mara, sema -k2:Ttc2Tt XxXx -k2Hii inatupa milinganyo miwili ya kawaida ya kutofautisha ODE:1 Tt c2k2Tt 02 Xx k2Xx 0Kutatua ODE ya pili ya Xx, tunayo:Xx Acoskx BsinkxTunahitaji kutumia masharti ya mpaka kwa x0 na xL:X0 A 0 kwani u0,t 0 mfuatano umewekwa kwa x0XL BsinkL 0Kwa suluhu zisizo ndogo, sinkL 0, ambayo ina maana kwamba kL npi kwa nambari n. Hivyo, k_n npiL.Kwa hivyo, sehemu ya anga ya suluhisho ni:X_nx B_ndhambik_nx B_ndhambinpixLSasa, wacha tusuluhishe ODE ya kwanza ya Tt. Hii ni equation rahisi ya oscillator ya harmonic:Tt c2k_n2Tt 0Suluhisho ni la fomu:T_nt C_ncosck_nt D_nsinck_ntSasa, tuna ux,t X_nxT_nt, lakini hii ni njia moja tu inayowezekana ya mtetemo. Suluhisho halisi litakuwa uboreshaji wa njia zote zinazowezekana:ux,t jumla_n1infinity X_nxT_nt jumla_n1infinity A_ncosck_nt B_ndhambick_ntdhambinpixLTunahitaji kupata A_n na B_n kwa kutumia masharti ya awali:gx ux,0 jumla_n1infinity A_nsinnpixLhx u_tx,0 jumla_n1infinity ck_nB_ndhambinpixLKwa kutumia safu ya Fourier sine, tunaweza kupata A_n na B_n kama ifuatavyo:A_n 2Lmuhimu_0L gxdhambinpixL dxB_n 2cLk_nmuhimu_0L hxdhambinpixL dxMwishowe, badilisha A_n na B_n nyuma kwenye usemi wa ux,t:ux,t jumla_n1infinity 2Lintegral_0L gxsinnpixL dxcosc k_nt 2cLk_nmuhimu_0L hxsinnpixL dxdhambick_ntdhambi npixLHili ndilo suluhu la mlingano wa wimbi na uhamishaji wa awali gx na kasi ya awali hx kwa mfuatano wa urefu L. 