<prompt> Je, ni nini kinachosalia wakati 3014 inagawanywa na 10,000?  <response>: Ninagundua kuwa 10,000 ni nguvu ya 10, kwa hivyo ninashangaa ikiwa ninaweza kutumia hesabu ya kawaida kurahisisha hesabu. Ninakumbuka kuwa hesabu ya kawaida ni njia ya kufanya kazi na mabaki baada ya kugawanywa na moduli maalum, kama vile 10,000. Pia ninakumbuka sheria za msingi za hesabu za msimu, kama vile: ikiwa a equiv b pmodm na c equiv d pmodm, basi a c equiv b d pmod m na a mara c equiv b times d pmodm. Ninaweza kutumia wazo hili kwa tatizo kwa kuandika 301 300 1, na kisha kutumia nadharia ya binomial kupanua 3014 300 14. Nadharia ya binomial inasema kuwa 300 14 sum_k 04 binom4k 300k 14 - k, ambapo binom4 k ni mgawo wa binomial au idadi ya njia za kuchagua vitu k kati ya 4. Ninaweza kurahisisha usemi huu kwa kutambua kwamba 14 - k 1 kwa k yoyote, na kwamba binom 4k 300k ni mgawo wa 10,000 kwa k geq 2 yoyote, kwa kuwa ina angalau vipengele vinne vya 10. Kwa hivyo, maneno pekee ambayo ni muhimu kwa salio ni yale yenye k. 0 na k 1. Masharti haya ni binom40 3000 14 1 na binom41 3001 13 1200. Nikiongeza sheria na masharti haya, ninapata 3014 equiv 1 1200 1201 pmod10,000. Hii ina maana kwamba salio wakati 3014 inagawanywa na 10,000 ni 1201. 