<prompt> Kwa kutumia mabadiliko ya Laplace, suluhisha mlingano wa tofauti ufuatao: dydt 2y e-t, na hali ya awali y0 1. Toa hoja za hatua kwa hatua.  <response>: Hatua ya 1: Chukua mabadiliko ya Laplace ya pande zote mbili za equation.Mlinganyo wa tofauti uliotolewa ni dydt 2y e-t. Kuchukua mabadiliko ya Laplace, tunapata:Ldydt 2Ly Le-tHatua ya 2: Tumia sifa za mabadiliko ya Laplace.Kwa kutumia mali ambayo Ldydt sYs - y0, ambapo Ys ni badiliko la Laplace la yt, na kwa kutumia hali ya awali y0 1, tunayo. :sYs - 1 2Ys 1s1Hatua ya 3: Tatua kwa Ys.Unganisha maneno ili kutenga Ys:Yss 2 1 1s1Ys 1 1s1s2Hatua ya 4: Rahisisha usemi wa Ys.Ili kurahisisha usemi, changanya sehemu kwenye nambari:Ys s1 1s1s2Ys s2s1s2Ghairi neno la kawaida s2 kutoka kwa nambari na denominata:Yvi 1s1Hatua ya 5: Tafuta ubadilishaji wa Laplace kinyume cha Ys.Sasa tunahitaji kupata ubadilishaji wa Laplace wa Ys ili kupata yt:yt L-11s1Kwa kuwa mabadiliko ya Laplace ya 1sa ni e-at, tunayo:yt e-tKwa hivyo suluhisho la equation ya kutofautisha iliyotolewa na hali ya awali y0 1 ni yt e-t. 