<prompt> Acha x, y, na z ziwe nambari halisi chanya kama vile x cdot y z x z cdot y z. Je, ni thamani gani ya juu inayowezekana ya xyz?  <response>: Ninagundua kuwa equation iliyotolewa inahusisha bidhaa na hesabu za anuwai tatu, kwa hivyo ninashangaa ikiwa naweza kurahisisha kwa njia fulani kwa kuhesabu. Pia ninagundua kuwa equation ni ya ulinganifu katika x na y, kwa hivyo ninaweza kujaribu kuipanga upya na kuona ikiwa naweza kupata sababu ya kawaida. Ninaanza kwa kutoa z kutoka pande zote mbili na kupanua upande wa kulia: xy xy xz yz z2 - z. Kisha mimi huondoa xy kutoka pande zote mbili na kubainisha z: 0 zx y z - 1. Hii ina maana kwamba ama z 0 au x y z - 1 0. Kwa kuwa z ni nambari halisi chanya, naweza kuondoa uwezekano wa z 0. Kwa hivyo, nina x y z - 1 0, ambayo ninaweza kuandika upya kama x y z 1. Sasa nina equation rahisi zaidi ambayo inahusiana na anuwai tatu, na ninataka kuongeza bidhaa zao. Ninakumbuka kwamba maana ya hesabu ya seti ya nambari chanya daima ni kubwa kuliko au sawa na wastani wao wa kijiometri, na kwamba usawa hushikilia wakati nambari zote ni sawa. Hii inapendekeza kwamba ninaweza kutumia hesabu ya maana-kijiometri maana ya usawa AM-GM kupata kikomo cha juu cha xyz. Kwa AM-GM, nina fracx y z3 geq sqrt3xyz, na kwa kuwa x y z 1, hii inakuwa frac 13 geq sqrt3xyz. Kwa kuchukua mchemraba wa pande zote mbili, ninapata frac127 geq xyz. Hii ina maana kwamba thamani ya juu zaidi iwezekanayo ya xyz ni frac127, na hii inafikiwa wakati x y z frac13. Ninaweza kuangalia kama hii inakidhi mlingano asilia: frac13 cdot frac13 frac13 frac13 frac13 cdot frac13 frac13, ambayo ni kweli. 