<prompt> Acha S ionyeshe thamani ya jumlasum_n0668 -1n 2004 chagua 3nIbainishe salio lililopatikana wakati S inagawanywa kwa 1000.  <response>: Zingatia polynomialfxx-12004sum_n02004binom2004ncdot-1n x2004 -n.Ruhusu omega31 na omeganeq 1. Tunaanzaalign fracf1fomegafomega23 frac1-12004omega- 12004omega2-120043 frac13sum_n02004binom2004 ncdot-1ncdot12004-nomega2004-nomega22004-n jumla_n0668-1n binom20043n. mwishopangaambapo hatua ya mwisho inafuata kwa sababu 1komegakomega2k ni 0 wakati k haiwezi kugawanywa na 3, na 3 wakati k inagawanywa kwa 3.Sasa tunakokotoa frac1-12004omega-12004omega2-120043. WLOG, acha omega frac-1sqrt3i2, omega2frac-1-sqrt3i2. Kisha omega-1frac-3sqrt3i2 sqrt3cdot frac-sqrt3i2, na omega2-1sqrt3cdotfrac-sqrt3-i2. Nambari hizi zote ni za fomu sqrt3cdotvarphi, ambapo varphi ni mzizi wa 12 wa umoja, kwa hivyo zote mbili, zikipandishwa hadi mamlaka ya 2004, huwa 31002 . Kwa hivyo, jumla tunayotaka inakuwa 2cdot31001.Ili kupata 2cdot31001 pmod1000, tunagundua kuwa 3phi500sawa 3200sawa na 1 pmod500 ili 31001 sawa 3 pmod500. Kisha 2cdot310012500k31000k6. Kwa hivyo, jibu letu ni 6. 