<prompt> Pointi A, B na C ziko kwenye uso wa duara lenye kituo cha O na kipenyo cha 20. Inakubaliwa kuwa AB13, BC14, CA15, na kwamba umbali kutoka O hadi pembetatu ABC ni fracmsqrtnk , ambapo m, n, na k ni nambari kamili chanya, m na k ni za msingi kiasi, na n hazigawanyiki kwa mraba wa mkuu wowote. Tafuta mnk.  <response>: Acha D iwe sehemu ya msingi kutoka O hadi ndege ya ABC. Kulingana na Nadharia ya Pythagorean juu ya pembetatu pembetatu OAD, pembetatu OBD na pembetatu OCD tunapata:DA2DB2DC2202-OD2Inafuata kwamba DADBDC, kwa hivyo D ni kipenyo cha pembetatu ABC.Kulingana na Mfumo wa Heron eneo la pembetatu ABC ni au, pembetatu 13-14-15 inaweza kugawanywa katika 9-12-15 na 5-12-13 pembetatu ya kulia:K sqrtss-as-bs-c sqrt2121-1521-1421-13 84Kutoka R fracabc4K, tunajua kwamba mzunguko wa pembetatu ABC ni:R fracabc4K frac131415484 frac658Kwa hivyo kwa nadharia ya Pythagorean tena,OD sqrt202-R2 sqrt202-frac65282 frac15sqrt958 .Kwa hivyo jibu la mwisho ni 15958118. 