<prompt> Alama A na B ziko kwenye parabola y4x27x-1, na asili ni sehemu ya kati ya overlineAB. Tafuta mraba wa urefu wa overlineAB.  <response>: Ninagundua kuwa shida inauliza mraba wa urefu wa overlineAB, sio urefu halisi. Hii inaweza kurahisisha mambo, kwani naweza kuzuia kuchukua mizizi ya mraba. Pia ninagundua kuwa asili ni sehemu ya kati ya overlineAB, ambayo inamaanisha kuwa viwianishi vya A na B lazima ziwe na ishara tofauti na ukubwa sawa. Kwa mfano, ikiwa A ni 3,10, basi B lazima iwe -3,-10. Kwa hivyo, ninaweza kuandika viwianishi vya A kama a,4a27a-1 na viwianishi vya B kama -a,4a2-7a-1. Ili kupata mraba wa urefu wa overlineAB, ninahitaji kutumia fomula ya umbali, ambayo inasema kwamba umbali kati ya alama mbili x_1,y_1 na x_2,y_2 ni sqrtx_2-x_12y_2-y_12. Nikiweka sawa fomula hii, napata kuwa mraba wa umbali ni x_2-x_12y_2-y_12. Nikichomeka viwianishi vya A na B, napata kuwa mraba wa urefu wa overlineAB ni -a-a24a2-7a-1 -4a27a-12. Kwa kurahisisha usemi huu, ninapata 4a2-14a24a2196a2200a2. Kwa hivyo, mraba wa urefu wa overlineAB unategemea thamani ya a, ambayo sijaamua bado. Ili kupata a, ninahitaji kutumia ukweli kwamba asili ni katikati ya overlineAB. Hii ina maana kwamba wastani wa viwianishi vya x vya A na B ni sifuri, na wastani wa viwianishi vya y vya A na B ni sifuri. Kwa hivyo, nina milinganyo fraca-a20 na frac4a27a-14a2-7a-120 . Equation ya kwanza ni kweli kila wakati, kwa hivyo hainisaidii. Mlinganyo wa pili hurahisisha hadi 4a2-10, ambayo ninaweza kutatua kwa kuongeza 1 kwa pande zote mbili na kugawanya kwa 4. Ninapata a2frac14, ambayo ina masuluhisho mawili: afrac12 au a-frac12. Suluhisho lolote litafanya kazi, kwani parabola ni linganifu kuhusu mhimili wa y. Kwa hivyo, ninaweza kuchomeka afrac12 kwenye usemi wa mraba wa urefu wa overlineAB, ambao ni 200a2. Ninapata 200frac122200cdot frac1450. Kwa hivyo, mraba wa urefu wa overlineAB ni 50. 