<prompt> Nadharia ya wazi ya ramani inaweza kuthibitishwa na a nadharia ya kategoria ya Baire; b Nadharia muhimu ya Cauchy; c nadharia ya grafu nasibu; d Hakuna kati ya zilizo hapo juu. Chaguo gani ni sahihi?Nadharia Husika: Nadharia ya Aina ya Baire ni matokeo ya kimsingi katika uchanganuzi wa utendaji, tawi la hisabati ambalo hujishughulisha na uchunguzi wa nafasi za utendakazi na waendeshaji laini kati yao. Nadharia hiyo imepewa jina la mwanahisabati Mfaransa René-Louis Baire, ambaye aliieleza kwa mara ya kwanza mwaka wa 1899. Nadharia ya Kategoria ya Baire ina athari muhimu katika maeneo mbalimbali ya hisabati, ikiwa ni pamoja na topolojia, nadharia ya vipimo, na nadharia ya nafasi za Banach.Nadharia inaweza kusemwa katika aina kadhaa sawa, lakini moja ya matoleo ya kawaida ni kama ifuatavyo.Nadharia ya Aina ya Baire: Acha X iwe nafasi kamili ya kipimo. Halafu, X haiwezi kuonyeshwa kama muungano unaohesabika wa seti zenye mnene.Hapa, seti inaitwa mahali pa mnene ikiwa kufungwa kwake kuna mambo ya ndani tupu, ambayo inamaanisha kuwa haina seti za wazi. Nafasi kamili ya kipimo ni nafasi ambayo kila mfuatano wa Cauchy hubadilika hadi kikomo ndani ya nafasi.Nadharia ya Kitengo cha Baire kimsingi inasema kwamba nafasi kubwa, kama vile nafasi kamili za kipimo, haziwezi kujengwa kutoka kwa vipande vidogo, kama vile seti mnene zisizo na mahali popote. Matokeo haya yana matokeo kadhaa muhimu katika uchambuzi wa utendaji, pamoja na yafuatayo:1. Nadharia ya Banach-Steinhaus Kanuni Sawa ya Mipaka: Iwapo familia ya waendeshaji mstari wa mstari kati ya nafasi mbili za Banach imepakana kwa mwelekeo mmoja, basi itafungwa kwa usawa.2. Nadharia ya Uwekaji Ramani Huria: Opereta inayoendelea ya mstari kati ya nafasi mbili za Banach ni ramani iliyo wazi ikiwa tu ni ya kimazingira.3. Nadharia ya Grafu Iliyofungwa: Opereta ya mstari kati ya nafasi mbili za Banach ina grafu iliyofungwa ikiwa tu ikiwa ni endelevu.Nadharia hizi ni msingi wa uchambuzi wa utendaji na zina matumizi mengi katika matawi mbalimbali ya hisabati. Nadharia ya Kitengo cha Baire si tu chombo chenye nguvu katika uchanganuzi wa utendaji kazi bali pia ni matokeo ya msingi katika utafiti wa nafasi za kitroolojia na mali zao.  <response>: a 