<prompt> Tafuta mzizi wa mraba wa dfrac8!70. Kikumbusho: Nambari n! ni bidhaa ya nambari kamili kutoka 1 hadi n. Kwa mfano, 5!5cdot 4cdot3cdot2cdot 1 120.  <response>: Ili kupata mzizi wa mraba wa sehemu, ninaweza kuchukua mzizi wa mraba wa nambari na mzizi wa mraba wa kipunguzo kando, mradi zote mbili hazina hasi. Kwa hivyo, ninahitaji kupata sqrtdfrac8!70dfracsqrt8!sqrt70. Ninajua hiyo 8!8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1, kwa hivyo ninaweza kujaribu kuijumuisha katika miraba kadhaa kamili. Ninaona kuwa 823, 62cdot 3, 422, na 22, ili niweze kuandika 8!27cdot 32cdot 5 cdot 7. Hii ina maana kwamba sqrt8!sqrt27cdot 32cdot 5cdot 7sqrt26cdot 2cdot 32cdot 5cdot 7 23cdot 3cdot sqrt2cdot 5cdot 7. Sasa, ninahitaji kupata sqrt70. Ninajua kuwa 702cdot 5cdot 7, kwa hivyo sqrt70sqrt2cdot 5cdot 7. Kwa hivyo, sqrtdfrac8!70dfracsqrt8!sqrt70dfrac23cdot 3cdot sqrt2 cdot 5cdot 7sqrt2cdot 5cdot 7. Ninaweza kughairi mambo ya kawaida ya sqrt2cdot 5cdot 7 katika nambari na kipunguzo, na kupata sqrtdfrac8!7023cdot 3 8cdot 324. 