<prompt> Sehemu ya kimiani kwenye xy-plane ni sehemu ambayo viwianishi vyote ni nambari kamili si lazima ziwe chanya. Je, ni pointi ngapi za kimiani ziko kwenye hyperbola x2-y217?  <response>: Ninagundua kuwa equation x2-y217 ni tofauti ya miraba, kwa hivyo naweza kuihesabu kama xyx-y17. Kwa kuwa x na y ni nambari kamili, hii inamaanisha kuwa xy na x-y lazima ziwe vipengele vya 17. 17 ni nambari kuu, kwa hivyo vipengele vyake pekee ni pm 1 na pm. 17. Hii inanipa jozi nne za vipengele: 1,17, -1,-17, 17,1, na -17,-1. Kwa kila jozi ya vipengele, ninaweza kutatua kwa x na y kwa kuongeza na kupunguza vipengele na kugawanya kwa 2. Kwa mfano, ikiwa xy1 na x-y17, basi x frac11729 na yfrac1-172-8. Hii inanipa nukta moja ya kimiani kwenye hyperbola: 9,-8. Vile vile, ikiwa xy-1 na x-y-17, basi xfrac-1-172-9 na yfrac-117 28. Hii inanipa nukta nyingine ya kimiani kwenye hyperbola: -9,8. Ikiwa xy17 na x-y1, basi xfrac17129 na yfrac17-128. Hii inanipa nukta nyingine ya kimiani kwenye hyperbola: 9,8. Hatimaye, ikiwa xy-17 na x-y-1, basi xfrac-17-12-9 na yfrac-171 2-8. Hii inanipa nukta nyingine ya kimiani kwenye hyperbola: -9,-8. Nimepata alama nne za kimiani kwenye hyperbola: 9,-8, -9,8, 9,8, na -9,-8. Sidhani kama kuna pointi zaidi za kimiani kwenye hyperbola, kwa sababu jozi nyingine zozote za 17 hazingekuwa nambari kamili, na jozi nyingine yoyote ya nambari kamili haitakuwa sababu za 17. Kwa hivyo, jibu ni 4. 