<prompt> Mzunguko wa 60circ kuzunguka asili katika mwelekeo unaopingana na saa unatumika kwa 3 sqrt3 - 5i. Nambari changamano inayotokana ni nini?  <response>: Ili kuzungusha nambari changamano kwa pembe theta kuzunguka asili, ninahitaji kuizidisha kwa ei theta, ambapo i ndio kitengo cha kuwazia. Katika kesi hii, theta 60circ, kwa hivyo ninahitaji kuzidisha 3 sqrt3 - 5i na ei 60circ. Nakumbuka kwamba ei 60circ frac12 fracsqrt32 i, ili niweze kuandika ei 60 circ frac1 sqrt3 i2. Ninapata 3 sqrt3 - 5ifrac1 sqrt3 i2 frac3 sqrt3 - 5i 9i - 5 sqrt3 i22. Ninajua kuwa i2 -1, kwa hivyo naweza kuibadilisha na kuchanganya maneno kama hayo. Ninapata frac3 sqrt3 - 5i 9i 5 sqrt32 frac8 sqrt3 4i2. Ninaweza kugawanya kila muhula na 2 kupata jibu la mwisho. Ninapata 4 sqrt3 2i. 