<prompt> Imepewa tan theta frac17, findfrac11 cos theta frac11 - cos theta.  <response>: Kwanza, nitarahisisha usemi kwa kutafuta dhehebu la kawaida na kuongeza sehemu. Napata frac11 cos theta frac11 - cos theta frac1 - cos theta 1 cos theta 1 cos theta1 - cos theta frac21 - cos2 theta. Sasa, ninatambua kwamba kipunguzo kinahusiana na utambulisho wa Pythagorean sin2 theta cos2 theta 1. Ninaweza kutumia kitambulisho hiki kuchukua nafasi ya dhehebu na sin2 theta. Ninapata frac21 - cos 2 theta frac2sin2 theta. Kisha, nitatumia taarifa iliyotolewa tan theta frac17 kupata sin theta. Nakumbuka kwamba tan theta fracsin thetacos theta, ili niweze kuandika frac17 fracsin thetacos theta. Ninaweza kuvuka-kuzidisha na mraba pande zote mbili ili kupata sin2 theta fraccos2 theta49. Ninaweza kutumia kitambulisho cha Pythagorean tena ili kubadilisha cos2 theta na 1 - sin2 theta. Napata sin2 theta frac1 - sin2 theta49. I inaweza kuzidisha pande zote mbili kwa 49 na kurahisisha kupata 50sin2 theta 1. Ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa 50 na kuchukua mizizi ya mraba kupata sin theta pm frac1 sqrt50. Nitatumia tu thamani chanya, kwa kuwa theta iko katika roboduara ya kwanza ambapo sin theta na cos theta ni chanya. Ninapata sin theta frac1sqrt50. Sasa, ninaweza kuunganisha thamani hii kwenye usemi ninaotaka kupata. Napata frac2sin2 theta frac2frac1sqrt502 frac2frac 150 100. 