<prompt> Kuna njia ngapi za kuweka shanga 9 za rangi tofauti kwenye gridi ya 3times3 ikiwa ushanga wa zambarau na ushanga wa kijani hauwezi kukaribiana ama kwa mlalo, wima, au kimshazari, na mizunguko na uakisi wa gridi ya taifa huchukuliwa kuwa sawa. ?  <response>: Kuna 9! njia za kuweka shanga kwenye gridi ya taifa, bila kuchukua mizunguko, tafakari, na kizuizi cha shanga za zambarau na kijani katika akaunti. Tunahitaji kuondoa idadi ya mipangilio ambapo shanga za zambarau na kijani ziko karibu na nambari hii. Kuna 2cdot36 mlalo jozi zinazokaribiana, 3cdot26 zile zilizo karibu wima, na 2cdot22cdot28 jozi za maeneo yaliyokaribiana kwa mshazari. Kwa kila jozi hizi, kuna njia mbili za kuweka shanga za zambarau na kijani ndani yao, na 7! njia za kuweka shanga zingine kwenye gridi ya taifa, na kutoa jumla ya 2 6 6 8 7! 40cdot7! mipangilio batili. Kwa hivyo, idadi ya mipangilio halali bila kuhesabu mizunguko na kuakisi ni 9!-40cdot7!9cdot8-407!32cdot7!. Gridi inaweza kuzungushwa yenyewe kwa njia nne tofauti, kwa kuzungushwa kwa digrii 0, 90, 180, na 270. Inaweza pia kuakisiwa yenyewe kwa njia nne tofauti, kwa kuakisi katika vilaza vyake viwili na kupitia mistari ya mlalo na wima kupitia katikati yake. Kwa hivyo, mipangilio inakuja katika vikundi vya 448 mipangilio sawa, na idadi ya mipangilio tofauti ni 32cdot7!84cdot7!20160. 