<prompt> Katika mfumo wa kuratibu wa pande tatu wenye asili O, pointi A,B, na C ziko kwenye x-, y-, na z-axes, mtawalia. Ikiwa maeneo ya pembetatu OAB,OAC, na OBC ni 4, 6, na 12, mtawalia, kokotoa eneo la pembetatu ABC.  <response>: Acha A a,0,0, B 0,b,0, na C 0,0,c. Bila kupoteza jumla, tunaweza kudhani kuwa a, b, na c ni chanya.asykuagiza tatu;ukubwa 250;makadirio ya sasa mtazamo 6,3,2;mara tatu A, B, C, O;A 1,0,0;B 0,2,0;C 0,0,3;O 0,0,0;kuchoraO--4,0,0;kuchoraO--0,4,0;kuchoraO--0,0,4;kuchoraA--B--C--mzunguko;leboA, A, S;leboB, B, S;leboC, C, NW;leboO, O, NE;asyKisha fracab2 4, fracac2 6, na fracbc2 12, hivyoanzaalignab 8, ac 12, bc 24.endalignTukizidisha milinganyo hii yote, tunapata a2 b2 c2 2304, hivyo abc 48. Kwa hivyo, a frac4824 2, b frac4812 4, na c frac488 6.KishaanzaalignAB sqrta2 b2 2 sqrt5, AC sqrta2 c2 2 sqrt10, BC sqrtb2 c2 2 sqrt13.endalignKwa Mfumo wa Heron,anzaalignABC2 sqrt5 sqrt10 sqrt13-sqrt5 sqrt10 sqrt13sqrt 5 - sqrt10 sqrt13sqrt5 sqrt10 - sqrt13 sqrt10 sqrt132 - 55 - sqrt10 - sqrt132 2 sqrt130 182 sqrt130 - 18 196,endalignhivyo ABC 14. 