<prompt> Ni nambari ngapi kati ya seti 1, 2, 3,ldots, 50 zilizo na kipengele kamili cha mraba zaidi ya moja?  <response>: Ninahitaji kujua ni nambari ngapi katika seti zilizo na kipengele ambacho ni mraba kamili, kama vile 4, 9, 16, 25, 36, au 49. Njia moja ya kufanya hivyo ni kuangalia kila mraba kamili na kuona jinsi nyingi zake ziko kwenye seti. Kwa mfano, 4 ni mraba kamili, na kuna vigawe 12 vya 4 katika seti: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, na 48. Vile vile, 9 ni a mraba kamili, na kuna vizidishi 5 vya 9 katika seti: 9, 18, 27, 36, na 45. Hata hivyo, ni lazima niwe mwangalifu nisihesabu nambari sawa mara mbili. Kwa mfano, 36 ni kizidishio cha 4 na 9, kwa hivyo sitaki kuhesabu mara mbili. Njia moja ya kuzuia kuhesabu mara mbili ni kutumia kanuni ya kujumuisha-kutengwa. Yaani, ninaweza kuongeza idadi ya vizidishio vya 4 na 9, lakini kisha nitoe idadi ya vizidishio vya zidishio lao lisilo la kawaida, ambalo ni 36. Kwa hivyo, idadi ya nambari katika seti ambazo zina 4 au 9 kama kipengele 12 5 - 1 16. Ninaweza kurudia mchakato huu kwa miraba mingine kamilifu. 16 ni mraba kamili, na kuna vizidishi 3 vya 16 katika seti: 16, 32, na 48. Hata hivyo, zote pia ni zidishi za 4, ambazo tayari nimezihesabu, kwa hivyo sihitaji kuziongeza. 25 ni mraba kamili, na kuna vigawe 2 vya 25 katika seti: 25 na 50. Hakuna mojawapo ni vizidishi vya 4 au 9, kwa hivyo ninaweza kuziongeza. 36 ni mraba kamili, na kuna kizidishio kimoja tu cha 36 katika seti: 36. Hata hivyo, tayari niliihesabu kama kizidishio cha 4 na 9, kwa hivyo sihitaji kuiongeza. 49 ni mraba kamili, na kuna kizidishio kimoja tu cha 49 katika seti: 49. Sio kizidishio cha mraba mwingine wowote kamili, kwa hivyo ninaweza kuiongeza. Kwa hivyo, jumla ya nambari katika seti ambazo zina sababu kamili ya mraba isipokuwa moja ni 16 2 1 19. 