<prompt> Acha a fracpi2008. Tafuta nambari ndogo kabisa chanya n kama hiyosum_k 1n 2 cos k2 a sin kani nambari kamili.  <response>: Kwa vitambulisho vya jumla vya bidhaa, tuna hiyo 2cos a sin b sin ab - sin a-b. Kwa hivyo, hii inapunguza hadi mfululizo wa darubini: anzaalignjumla_k1n 2cosk2asinka jumla_k1n dhambikk1a - dhambik-1ka -dhambi0 dhambi2a- dhambi2a dhambi6a - cdots - dhambin-1na dhambinn1 a -dhambi0 dhambinn1a dhambinn1a.endalignKwa hivyo, tunahitaji sin leftfracnn1pi2008right kuwa nambari kamili; nambari hii kamili inaweza kuwa -1,0,1 pekee, ambayo hutokea wakati 2 cdot fracnn12008 ni nambari kamili. Hivyo 1004 22 cdot 251 inagawanya nn1. Kwa kuwa 251 ni ya kwanza, 251 lazima igawanye n au n 1.n ndogo kama hiyo ni 250, lakini 1004 haigawanyi 250 cdot 251. Ndogo inayofuata n ni 251, na 1004 inagawanya 251 cdot 252. Kwa hivyo, nambari ndogo zaidi n ni 251 . 