<prompt> Acha u, v, w iwe mizizi ya z3 1. Tafuta uv uw vw.  <response>: Ninajua kuwa z3 1 ina mizizi mitatu changamano ambayo imepangwa kwa usawa kuzunguka duara la kitengo katika ndege changamano. Kwa hivyo lazima ziwe za umbo e2kpi i3 kwa k 0, 1, 2. Kwa maneno mengine, u 1, v e2pi i 3, na w e4pi i3. Ninaweza kutumia fomula eaeb eab kuzidisha fomu za ufafanuzi . Kwa hivyo uv e2pi i3, uw e4pi i3, na vw e6pi i3 e2 pi i 1. Ili kuongeza nambari changamano, ninaweza kutumia umbo la mstatili na kuongeza sehemu halisi na za kuwaziwa kando. Ninaweza kubadilisha kutoka kwa kielelezo hadi umbo la mstatili kwa kutumia fomula ya Euler: eitheta cos theta i sin theta. Hivyo uv cos 2pi3 i sin 2pi3 -12 i sqrt32, uw cos 4pi3 i dhambi 4pi3 -1 2 - i sqrt32, na vw 1. Kwa hiyo, uv uw vw -12 i sqrt32 -12 - i sqrt 32 1 0. 