<prompt> Acha mathbfa, mathbfb, mathbfc iwe vekta tatu ilimathbfa nyakati mathbfb anzapmatrix 6 -7 3 mwishopmatrix, quad mathbfa nyakati mathbfc startpmatrix 4 7 2 mwishopmatrix, quad mathbfb mara mathbfc anzapmatrix 1 -7 18 mwishopmatrix .Kokotoa mara mathbfc 3 mathbfa - 2 mathbfb.  <response>: Ninaona kuwa shida inahusisha bidhaa ya msalaba wa vekta mbili, ambayo ni njia ya kupata vekta ambayo ni ya kawaida kwa wote wawili. Nakumbuka kuwa bidhaa mtambuka ni kinyume cha ubadilishaji, ikimaanisha kuwa mathbfu times mathbfv - mathbfv times mathbfu kwa vekta zozote mathbfu na mathbfv. Pia ninakumbuka kuwa bidhaa ya msalaba inasambazwa juu ya nyongeza ya vekta, ikimaanisha kuwa mathbfu times mathbfv mathbfw mathbfu times mathbfv mathbfu nyakati mathbfw kwa vekta zozote mathbfu, mathbfv, mathbfw. Mwishowe, najua kuwa bidhaa ya msalaba ni ya mstari katika hoja zote mbili, ikimaanisha kuwa k mathbfu times mathbfv k mathbfu times mathbfv mathbfu times k mathbfv kwa kola k yoyote na vekta zozote mathbfu na math bfv. Tabia hizi za bidhaa za msalaba zitakuwa muhimu katika kutatua tatizo. Sasa, ninataka kupata mathbfc times 3 mathbfa - 2 mathbfb. Ninaweza kutumia mali ya kusambaza kuandika hii kama mathbfc times 3 mathbfa - mathbfc times 2 mathbfb. Halafu, naweza kutumia mali ya mstari kuandika hii kama 3 mathbfc times mathbfa - 2 mathbfc times mathbfb. Sasa, ninagundua kuwa shida inanipa maadili ya mathbfa times mathbfc na mathbfb times mathbfc. Ninaweza kutumia sifa ya kupinga ubadilishaji kuandika mathbfc times mathbfa - mathbfa mara mathbfc na mathbfc nyakati mathbf b - mathbfb nyakati mathbfc. Kwa hivyo, ninaweza kubadilisha maadili haya kwenye usemi wangu na kupata 3 - mathbfa times mathbfc - 2 - mathbfb times mathbfc. Kwa kurahisisha ishara, ninapata -3 mathbfa mara mathbfc 2 mathbfb mara mathbfc. Sasa, ninaweza kuunganisha thamani za mathbfa times mathbfc na mathbfb times mathbfc ambazo zimetolewa kwenye shida. Ninapata -3 anzapmatrix 4 7 2 mwishopmatrix 2 anzapmatrix 1 -7 18 endpmatrix. Ili kupata jibu la mwisho, ninahitaji tu kuongeza sehemu hizi mbili za vekta kwa busara. Napata beginpmatrix -12 2 -21 - 14 -6 36 mwishopmatrix anzapmatrix -10 -35 30 mwishopmatrix . 