<prompt> Kokotoa 3-15-1-1pmod31. Eleza jibu lako kama nambari kamili kutoka 0 hadi 30, zikijumlishwa.  <response>: Ninagundua kuwa shida hii inahusisha hesabu ya kawaida, ambayo inamaanisha kuwa ninaweza kutumia sifa fulani za miunganisho kurahisisha hesabu. Kwa mfano, najua kwamba ikiwa aequiv bpmodm na cequiv dpmodm, basi acequiv bdpmodm na ac equiv bdpmodm. Ninajua pia kwamba ikiwa a na m ni za kawaida, basi kuna nambari kamili x kama vile axequiv 1pmodm, na tunaita x kinyume cha kawaida cha a. modulo m. Ninaweza kuandika 3-1 na 5-1 kama mabadiliko ya moduli ya 3 na 5 modulo 31, mtawalia. Ili kupata mabadiliko haya, naweza kutumia algoriti iliyopanuliwa ya Euclidean, ambayo hupata nambari kamili x na y vile axmygcda,m. Kwa a3 na m31, ninaweza kuanza kwa kuandika 313cdot 101, ambayo inamaanisha kuwa 131-3cdot 10. Hii inamaanisha kuwa x-10 na y1 ndizo nambari kamili zinazotosheleza 3x31y1, na kwa hivyo 3xequiv 1pmod31. Kwa hivyo 3-1equiv -10pmod31, na ninaweza kurahisisha hii hadi 3-1equiv 21pmod31 kwa kuongeza 31. Vile vile, kwa a5 na m31, naweza kuandika 315cdot 61, ambayo ina maana kwamba 131-5cdot 6. Hii inamaanisha kuwa x-6 na y1 ndizo nambari kamili zinazotosheleza 5x31y1, na kwa hivyo 5xequiv 1pmod31. Kwa hivyo 5-1equiv -6pmod31, na ninaweza kurahisisha hii hadi 5-1equiv 25pmod31 kwa kuongeza 31. Sasa nina 3-1equiv 21pmod31 na 5-1equiv 25pmod31, na ninaweza kutumia kipengele cha nyongeza kupata 3-1 5-1pmod31. Ninapata 3-15-1sawa na 2125pmod31, na ninaweza kurahisisha hili hadi 3-15-1sawa na 15 pmod31 kwa kutoa 31. Hatimaye, ninahitaji kupata kinyume cha 3-15-1 modulo 31, kumaanisha ninahitaji kupata nambari kamili z kiasi kwamba 3-15 -1zequiv 1pmod31. Ninaweza kutumia algoriti iliyopanuliwa ya Euclidean tena, lakini wakati huu na a15 na m31. Ninaweza kuandika 3115cdot 21, ambayo inamaanisha kuwa 131-15cdot 2. Hii inamaanisha kuwa z-2 na y1 ndizo nambari kamili zinazotosheleza 15z31y1, na kwa hivyo 15zsawa na 1pmod31. Kwa hivyo 3-15-1-1equiv -2pmod31, na ninaweza kurahisisha hili kuwa 3-15 -1-1sawa 29pmod31 kwa kuongeza 31. Kwa hiyo, jibu la mwisho ni 29. 