<prompt> Je, je, grafu ya parabola x y2 - 4y - 1 ina vipatashi vingapi vya y?  <response>: Ninajua kuwa y-intercept ya grafu ndio mahali inapovuka y-axis, ambayo inamaanisha kuwa x-coordinate ya hatua hiyo ni sifuri. Kwa hivyo, ili kupata viunga vya y-ya parabola hii, ninahitaji kutatua mlinganyo x 0 kwa y. Kubadilisha x 0, napata 0 y2 - 4y - 1, ambayo ni mlinganyo wa quadratic katika y. Ninaweza kujaribu kuangazia mlinganyo huu, au kutumia fomula ya quadratic, au kukamilisha mraba. Nitajaribu kuainisha kwanza, kwani kawaida ndio njia ya haraka sana. Natafuta nambari mbili ambazo huzidisha hadi -1 na kuongeza -4. Ninaona kuwa -1 na 1 ndio sababu pekee za -1, lakini zinaongeza hadi sifuri, sio -4. Nitatumia formula ya quadratic badala yake. Fomula ya quadratic inasema kwamba ikiwa nina equation ya fomu ax2 bx c 0, basi suluhisho hutolewa na x frac-b pm sqrtb2 - 4ac 2a. Katika hali hii, y inacheza nafasi ya x, na vigawo ni a 1, b -4, na c -1. Nikichomeka maadili haya kwenye fomula, napata y frac--4 pm sqrt-42 - 41-121. Kwa kurahisisha, napata y frac4 pm sqrt202. Ninaweza pia kuandika hii kama y 2 pm sqrt5, kwa kugawa kila kitu kwa 2. Kwa hivyo, parabola ina viingiliano viwili vya y, vinavyolingana na maadili mawili ya y ambayo nimepata. Nazo ni 0, 2 sqrt5 na 0, 2 - sqrt5. 