<prompt> Acha x_1, x_2, dots, x_n ziwe nambari halisi zisizo hasi kama vile x_1 x_2 dots x_n 1 nax_12 x_22 dots x_n2 le frac1100.Tafuta thamani ndogo kabisa iwezekanayo ya n.  <response>: Ninagundua kuwa tatizo hili linahusisha kizuizi kwa jumla na jumla ya miraba ya x_i, ambayo inanikumbusha baadhi ya ukosefu wa usawa unaohusisha kiasi hiki. Kwa mfano, najua kwamba kulingana na Cauchy-Schwarz ukosefu wa usawa, kwa nambari zozote halisi a_1, a_2, dots, a_n na b_1, b_2, dots, b_n, tunayoa_12 a_22 vitone a_n2b_12 b_22 vitone b_n2 ge a_1b_1 a_2b_2 vitone a_nb_n2. Nikiruhusu a_i x_i na b_i 1 kwa i yote, basi hii inakuwax_12 x_22 vitone x_n212 12 vitone 12 ge x_1 x_2 vitone x_n2. Kurahisisha, napatanx_12 x_22 vitone x_n2 ge x_1 x_2 vitone x_n2 12 1, tangu x_1 x_2 dots x_n 1 kwa kudhaniwa. Kugawanya pande zote mbili kwa n, napatax_12 x_22 dots x_n2 ge frac1n. Lakini pia najua kwamba x_12 x_22 dots x_n2 le frac1100 kwa kukisia, kwa hivyo nikichanganya ukosefu huu wa usawa, napatafrac1n le frac1100. Kuzidisha pande zote mbili kwa 100n, napata100 le n. Hii inamaanisha kuwa n lazima iwe angalau 100 ili kukidhi masharti yaliyotolewa. Lakini je n 100 ndio thamani ndogo kabisa ya n? Ili kuangalia hili, ninahitaji kupata mfano wa x_1, x_2, dots, x_100 ambazo hazina hasi, jumla hadi 1, na zina jumla ya miraba chini ya au sawa na frac1100. Mfano mmoja unaowezekana ni kuruhusu x_1 x_2 dots x_100 frac1100. Kisha x_1 x_2 dots x_ 100 1 na x_12 x_22 vitone x_1002 100 cdoti frac11002 frac1100, kama inavyotakiwa. Kwa hivyo n 100 kwa kweli ndio dhamana ndogo kabisa ya n ambayo inakidhi masharti uliyopewa. 