<prompt> Pata thamani ya chini zaidi ya sin4 x cos4 x.  <response>: Ninataka kupata thamani ya chini ya chaguo la kukokotoa ambalo linahusisha sine na cosine ya x, kwa hivyo ninaweza kujaribu kutumia vitambulisho vya trigonometric au ukosefu wa usawa ili kurahisisha. Ninagundua kuwa sin4 x cos4 x ni jumla ya miraba miwili, kwa hivyo ninaweza kutumia kitambulisho a2 b22 a4 b4 2a2 b2 ili kuiandika upya kama left sin2 x cos2 x kulia2 - 2 sin2 x cos2 x. Sasa naweza kutumia ukweli kwamba sin2 x cos2 x 1 kwa x yoyote, kwa hivyo ninapata 1 - 2 sin2 x cos2 x. Hii inaonekana rahisi zaidi, lakini bado ninahitaji kupata thamani ya chini ya usemi. Ninagundua kuwa usemi huo ni 1 kutoa kitu, kwa hivyo dhamana ya chini itatokea wakati kitu hicho ni kikubwa iwezekanavyo. Hiyo inamaanisha ninataka kuongeza sin2 x cos2 x. Nakumbuka utambulisho mwingine wa trigonometric, sin 2x 2 sin x cos x. Nikiweka mraba pande zote mbili, nitapata sin 2 2x 4 sin2 x cos2 x. Kwa hivyo kuongeza sin2 x cos2 x ni sawa na kuongeza sin2 2x. Sasa najua kuwa sin 2 2x ni chaguo la kukokotoa la mara kwa mara ambalo huzunguka kati ya 0 na 1, kwa hivyo thamani yake ya juu ni 1. Kwa hivyo, thamani ya juu zaidi ya sin2 x cos2 x ni frac14 . Hiyo inamaanisha thamani ya chini kabisa ya 1 - 2 sin2 x cos2 x ni 1 - 2 cdot frac14 frac12. 