<prompt> Wakati kigawanyo kikubwa zaidi cha kawaida na kizidishio kisicho cha kawaida zaidi cha nambari mbili kamili kinapozidishwa, bidhaa hiyo ni 180. Je, ni thamani ngapi tofauti zinazoweza kuwa kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari mbili kamili?  <response>: Tunajua kwamba gcda,b cdot mathoptextlcma,b ab kwa nambari zote chanya a na b. Kwa hivyo, katika kesi hii, ab 180. Sababu kuu ya 180 ni 22 cdot 32 cdot 5, kwa hivyo a 2p cdot 3q cdot 5r na b 2s cdot 3t cdot 5u kwa nambari kamili zisizo hasi p, q, r, s, t, na u. Kisha ab 2p s cdot 3q t cdot 5r u. Lakini ab 180 22 cdot 32 cdot 5, hivyo p s 2, q t 2, na r u 1.Tunajua kwamba gcda,b 2minp,s cdot 3minq,t cdot 5minr ,u. Jozi zinazowezekana p,s ni 0,2, 1,1, na 2,0, kwa hivyo thamani zinazowezekana za minp,s ni 0 na 1. Jozi zinazowezekana q,t ni 0,2, 1,1, na 2,0, kwa hivyo thamani zinazowezekana za minq,t ni 0 na 1. Jozi zinazowezekana r,u ni 0,1 na 1,0, kwa hivyo thamani pekee inayowezekana ya min r,u ni 0.Kwa hivyo, thamani zinazowezekana za gcda,b ni 20 cdot 30 1, 21 cdot 30 2, 20 cdot 31 3 , na 21 cdot 31 6, kwa jumla ya thamani zinazowezekana 4. 