<prompt> Alama 1, 7, 13, 16 na 5, k, ambapo k ni nambari kamili, ni wima za pembetatu. Je, ni jumla gani ya thamani za k ambazo eneo la pembetatu ni la chini zaidi?  <response>: Tunaanza kwa kutafuta equation ya mstari ell iliyo na 1,7 na 13,16. Mteremko wa ell ni frac16-713-1 frac912 frac 34, kwa hivyo mstari una fomu ya uhakika-mteremko y - 7 frac 34 x - 1. Kubadilisha thamani x 5, tunapata kwamba y 7 frac 34 5-1 10. Inafuata kwamba uhakika 5,10 upo kwenye mstari ulio na 1,7 na 13,16 kwa k 10, tunapata pembetatu iliyoharibika. Ili kupunguza eneo la pembetatu, inafuata kwamba k lazima iwe sawa na 9 au 11.Hakika, tunadai kwamba pembetatu hizo zote zina eneo moja. Tukiacha viambajengo kutoka 5,9 na 5,11 hadi ell, tunaona kwamba viambishi, ell, na sehemu ya mstari inayounganisha 5,9 hadi 5,11 huunda pembetatu mbili za kulia. Kwa pembe za wima, zinafanana, na kwa kuwa zote mbili zina hypotenuse ya urefu wa 1, lazima ziwe sawa. Kisha, urefu wa pembetatu zote mbili lazima iwe sawa, hivyo wote k 9 na k 11 hutoa pembetatu na eneo ndogo. Jibu ni 9 11 20. 