<prompt> Karatasi ya grafu ya Modulo m ina gridi ya pointi m2, inayowakilisha jozi zote za masalio kamili x,y ambapo 0le x  <response>: Ninataka kupata alama x,y ambazo zinakidhi miunganisho yote miwili kwa wakati mmoja, kwa hivyo ninahitaji kutatua mfumo yequiv 5x2pmod16yequiv 11x12 pmod16 Ili kuondoa y, ninaweza kuondoa muunganiko wa pili kutoka wa kwanza, nikipata 0equiv -6x-10pmod16 Ili kurahisisha hili, ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa - 2, nikikumbuka kugawanya moduli pia, kupata 0equiv 3x5pmod8 Ili kutatua kwa x, ninaweza kutumia algoriti ya Euclidean iliyopanuliwa kupata kinyume cha 3 modulo 8 . Ninajua kuwa 3cdot 39sawa 1pmod8, kwa hivyo 3-1sawa 3pmod8. Kwa kuzidisha pande zote mbili za muunganiko kwa 3-1, napata 0equiv x15pmod8 Nikitoa 15 kutoka pande zote mbili, napata -15equiv xpmod 8 Ili kupata masalio madogo zaidi chanya ya x, ninaweza kuongeza 8 mara kwa mara hadi -15 hadi nipate nambari kati ya 0 na 7. Ninaona kuwa -158-7, na -781, kwa hivyo xequiv 1pmod8. Hii inamaanisha kuwa x ni moja zaidi ya kizidishio cha 8, kwa hivyo thamani zinazowezekana za x ni 1, 9, 17, dots. Ili kupata maadili yanayolingana ya y, ninaweza kuunganisha thamani hizi za x kwenye mojawapo ya miunganisho ya awali. Nitatumia ya kwanza, kwani ina coefficients ndogo. Ikiwa x1, basi yequiv 5cdot 12equiv 7pmod16, kwa hivyo 1,7 ni sehemu ya kawaida. Ikiwa x9, basi yequiv 5cdot 92equiv 47equiv 15pmod16, kwa hivyo 9,15 ni hatua nyingine ya kawaida. Ikiwa x17, basi yequiv 5cdot 172equiv 87equiv 7pmod16, kwa hivyo 17,7 ni sawa na 1,7 moduli 16. Ninaona mchoro ukijitokeza: kila 8, thamani ya x inajirudia, na hivyo ndivyo thamani ya y. Kwa hivyo, pointi pekee tofauti za kawaida ni 1,7 na 9,15, na jumla ya viwianishi vyao vya x-ni 1910. 