<prompt> Tafuta nambari ndogo kabisa chanya n kama hiyocos 84circ i sin 84circnni nambari halisi.  <response>: Nakumbuka kwamba nambari changamano katika umbo la polar, rcos theta i sin theta, inaweza kuongezwa kwa nguvu kwa kutumia fomula rn cos theta i sin thetan rn cos ntheta i sin ntheta. Kwa hivyo, katika tatizo hili, r 1 na theta 84circ, na ninataka kupata n ndogo zaidi kwamba cos ntheta i sin ntheta ni nambari halisi. Nambari changamano ni halisi ikiwa na ikiwa tu sehemu yake ya kuwazia ni sifuri, kwa hivyo ninahitaji kupata n ndogo zaidi kwamba sin ntheta 0. Ninajua kuwa sin x 0 wakati x ni kizidisho cha 180circ, kwa hivyo ninahitaji kupata n ndogo zaidi kwamba ntheta ni kizidisho cha 180circ. Ninaweza kuandika hii kama ntheta 180circ k, ambapo k ni nambari kamili. Kwa kugawanya pande zote mbili kwa theta, napata n frac180circ ktheta frac180circ k84circ frac15k 7. Kwa kuwa n lazima iwe nambari kamili, k lazima iwe kizidishio cha 7. Kizidishio kidogo chanya cha 7 ni 7 yenyewe, kwa hivyo ninaweza kuunganisha k 7 na kupata n frac15 mara 77 15. 