<prompt> Tuseme nina begi iliyo na karatasi 12 ndani yake. Baadhi ya miteremko ina 2 juu yao, na iliyobaki ina 7 juu yao. Ikiwa thamani inayotarajiwa ya nambari iliyoonyeshwa kwenye karatasi iliyochorwa bila mpangilio kutoka kwa begi ni 3.25, basi ni karatasi ngapi zenye 2?  <response>: Ili kusuluhisha shida hii, ninahitaji kukumbuka ufafanuzi wa dhamana inayotarajiwa kwa utofauti wa nasibu. Thamani inayotarajiwa ni wastani wa uzani wa matokeo yanayowezekana, ambapo uzani ni uwezekano wa kila matokeo. Katika kesi hii, matokeo iwezekanavyo ni 2 na 7, na uwezekano unategemea jinsi slips nyingi zina kila nambari. Acha x iwe nambari ya viingilio vilivyo na 2. Kisha kuna viingilio vya 12 - x ambavyo vina 7. Uwezekano wa kuchora 2 ni x12, na uwezekano wa kuchora 7 ni 12 - x12. Kwa hiyo, thamani inayotarajiwa ya nambari inayotolewa ni 2x12 712 - x12. Usemi huu lazima uwe sawa na 3.25, kulingana na maelezo uliyopewa. Ninaweza kurahisisha mlinganyo huu kwa kuzidisha pande zote mbili kwa 12 na kupanua mabano. Ninapata 2x 712 - x 39. Kurahisisha zaidi, napata 2x 84 - 7x 39. Kuchanganya maneno kama hayo, ninapata -5x -45. Kugawanya kwa -5, napata x 9. Hii inamaanisha kuwa kuna miteremko 9 ambayo ina 2. 