<prompt> Je, ni tarakimu gani ya 123,999 baada ya decimal katika upanuzi wa decimal wa frac123999?  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kupata upanuzi wa desimali wa frac123999 kisha nitafute mchoro au njia ya kubainisha ni tarakimu gani iliyo katika nafasi ya 123,999. Ninaweza kuanza kwa kugawanya 123 kwa 999 kwa kutumia mgawanyiko mrefu au kikokotoo. Ninapata 0.123123123... kama upanuzi wa decimal, ambayo inamaanisha kuwa nambari 123 hurudia kabisa baada ya nukta ya desimali. Hii ni ishara nzuri, kwa sababu ina maana kwamba kuna muundo na ninaweza kuitumia kupata tarakimu inayotaka. Kwa kuwa nambari 123 hurudia kila nafasi tatu, ninaweza kugawanya 123,999 kwa 3 ili kuona ni mizunguko mingapi kamili ya 123 na salio ni nini. Nikigawanya 123,999 na 3, ninapata 41,333 kama mgawo na 0 kama salio. Hii ina maana kwamba kuna mizunguko 41,333 hasa ya 123 katika tarakimu 123,999 za kwanza, na mzunguko wa mwisho unaishia hasa katika tarakimu 123,999. Kwa hivyo, tarakimu ya 123,999 ni sawa na tarakimu ya mwisho katika mzunguko wa 123, ambayo ni 3. Ninaweza kuangalia jibu langu kwa kuangalia upanuzi wa decimal wa frac123999 na kuhesabu tarakimu hadi Ninafikia ile ya 123,999. Ninaona kuwa kila nambari ya tatu ni 3, na ya mwisho pia ni 3, ikithibitisha jibu langu. 