<prompt> Acha A_00,0. Alama tofauti A_1,A_2,dots ziko kwenye mhimili wa x-, na pointi tofauti B_1,B_2,dots ziko kwenye grafu ya ysqrtx. Kwa kila nambari kamili n, A_n-1B_nA_n ni pembetatu iliyo sawa. Ni n gani ya chini zaidi ambayo urefu wake A_0A_ngeq100?textbfA 13qquad textbfB 15qquad textbfC 17qquad textbfD 19qquad textbfE 21  <response>: Ruhusu a_nA_n-1A_n. Tunahitaji kuandika upya kujirudia kuwa kitu kinachoweza kudhibitiwa. Masharti haya mawili ya ajabu, Bs iko kwenye grafu ya ysqrtx na A_n-1B_nA_n ni pembetatu iliyo sawa, inaweza kuunganishwa kama ifuatavyo:left a_nfracsqrt32kulia2fraca_n2a_n-1a_n-2cdotsa_1inayotumia y2x, ambapo x ni urefu wa pembetatu iliyo sawa na kwa hivyo fracsqrt32 mara ya msingi wake.Uhusiano hapo juu unashikilia nk na nk-1 k1, kwa hivyolefta_kfracsqrt32kulia 2-kushotoa_k-1fracsqrt32kulia2kushotofraca_k2a_k- 1a_k-2cdotsa_1kulia-kushotofraca_k-12a_k-2a_k-3 cdotsa_1kuliaAu,a_k-a_k-1frac23Hii ina maana kwamba kila sehemu ya pembetatu inayofuata ni frac23 zaidi ya pembetatu ya mwisho. Ili kupata a_1, inatubidi tu kuchomeka k1 kwenye urejeshaji uliotajwa hapo juu na tuna a_1 - a_0 frac23. Tukijua kuwa a_0 ni 0, tunaweza kukisia kuwa a_1 23.Hivyo, a_nfrac2n3, hivyo A_0A_na_na_ n-1cdotsa_1frac23 cdot fracnn12 fracnn13. Tunataka kupata n ili n2300n12. n17 ndilo jibu letu. 