<prompt> Kwa kiasi fulani kamili cha m, nambari ya polynomial x3 - 2011x m ina mizizi mitatu kamili a, b, na c. Tafuta a b c.  <response>: Kwa fomula za Vieta, kushoto anzailiyopangwa a b c 0 abbcac-2011. mwishoiliyopangwa kulia.Kwa kuwa ab-c, mlinganyo wa pili unakuwa ab-cc -2011, au c2 - ab 2011.Saa angalau mbili kati ya a, b, c lazima ziwe na ishara sawa; bila hasara ya jumla, acha a na b ziwe na ishara sawa. Zaidi ya hayo, kwa kuwa tunaweza kukataa a, b, c yote na bado kutosheleza milinganyo miwili iliyo hapo juu, kuchukulia kuwa c ge 0. Kumbuka kwamba tunataka tu jumla a b c, ambayo haibadiliki ikiwa tutabadilishana au kukataa vigezo.Sasa, tuna ab ge 0, hivyo c2 ge 2011, tukitoa c ge 44. Pia tunayo fracc24 leftfrac ab2kulia2 ge abna AM-GM, hivyo 2011 c2 - ab ge 3c24, kutoa c le 51.Hatimaye, tuna a-b2 ab2 - 4ab -c2 - 4c2-2011 8044 - 3c2, ambayo lazima iwe mraba kamili. .Kujaribu c 44, 45, lddots, 51, tunapata kwamba 8044 - 3c2 ni mraba kamili tu wakati c 49. Kwa hiyo, c 49, na hivyo kushoto anzailiyopangwa ab -c -49, ab c2 - 2011 390. mwishoiliyopangwa kulia.Kwa hivyo, a na b ndio mizizi ya t2 49t 390 0, ambayo huzingatia kama t10t39 0. Kwa hivyo, a, b -10, -39.Jibu ni a b c 39 10 49 98. 