<prompt> Acha x na y ziwe nambari halisi, y x 0, hivyofracxy fracyx 6.Tafuta thamani ya fracx yx - y.  <response>: Tatizo hili linahusisha sehemu mbili ambazo ni za ulinganifu, na uhusiano kati yao ambao unaonekana kama mlinganyo wa quadratic. Ninashangaa ikiwa ninaweza kurahisisha uhusiano kwa kuzidisha pande zote mbili na kitu, au kwa kuongeza au kupunguza kitu. Nikizidisha pande zote mbili kwa xy, nitapata x2 y2 6xy. Hiyo inaonekana rahisi zaidi, lakini sioni jinsi inavyonisaidia kupata fracx y x - y. Labda ninaweza kutumia ukweli kwamba y x 0 kuondoa mojawapo ya vigeu. Kwa mfano, kwa kuwa y x, naweza kuandika y x k kwa nambari fulani chanya k. Kisha uhusiano unakuwa x2 x k2 6xx k. Kupanua miraba, napata 2x2 2kx k2 6x2 6kx. Kurahisisha, napata 4x2 4kx - k2 0. Huu ni mlinganyo wa quadratic katika x, ambao ninaweza kutatua kwa kutumia fomula ya quadratic. Ninapata x frac-4k pm sqrt16k2 16k28 frac-k pm ksqrt22. Tangu x 0, Ninaweza tu kuchukua mzizi chanya, kwa hivyo x frac-k ksqrt22. Kisha, kwa kutumia y x k, I pata y frack ksqrt22. Sasa nina misemo ya x na y kulingana na k, na ninaweza kuzichomeka kwenye sehemu. Nataka kupata. Napata fracx yx - y fracfrac-k ksqrt22 frack ksqrt22 2frac-k ksqrt22 - frack ksqrt22 fracksqrt2- k -sqrt2. 