<prompt> Pata thamani ya chini ya2x2 2xy y2 - 2x 2y 4juu ya nambari zote halisi x na y.  <response>: Shida hii inaonekana kama kazi ya quadratic ya anuwai mbili, kwa hivyo ninatarajia kuwa na kiwango cha chini au cha juu zaidi katika hatua fulani muhimu ambapo derivatives za sehemu ni sifuri. Ili kupata hoja muhimu, ninahitaji kukokotoa sehemu za sehemu za chaguo za kukokotoa kwa heshima na x na y na kuziweka sawa na sifuri. Sehemu inayotokana na x ni 4x 2y - 2 na derivative nusu kuhusiana na y ni 2x 2y 2. Kuweka zote hizi mbili sawa na sifuri, napata mfumo wa milinganyo. 4x 2y - 2 0 2x 2y 2 0 Ili kutatua mfumo huu, ninaweza kutumia kuondoa au kubadilisha. Ninagundua kuwa equation ya pili ni sawa na x y 1 0, kwa hivyo naweza kutumia hiyo kuondoa x kutoka kwa equation ya kwanza. Nikitoa 4x 4y 4 0 kutoka kwa mlinganyo wa kwanza, ninapata -2y - 6 0, ambayo inamaanisha y -3. Kisha, nikichomeka y -3 kwenye mlinganyo wa pili, pata x -3 1 0, ambayo inadokeza x 2. Kwa hivyo jambo muhimu ni 2, -3. Ili kuangalia ikiwa hiki ni cha chini au cha juu zaidi, ninahitaji kutumia mtihani wa pili wa derivative. Hii inahusisha kuhesabu derivatives ya sehemu ya pili ya chaguo za kukokotoa na kutathmini katika hatua muhimu. Sehemu ya pili ya derivative kwa x ni 4, derivative ya pili ya nusu kuhusiana na y ni 2, na derivative ya sehemu ya pili iliyochanganywa ni 2. Jaribio la pili la derivative hutumia kibainishi cha tumbo la Hessian, ambayo ni matrix ya derivatives ya sehemu ya pili. Matrix ya Hessian ni anzabmatrix 4 2 2 2 mwishobmatrix Kiamuzi cha matrix hii ni 4 cdot 2 - 2 cdot 2 4. Kwa kuwa kibainishi ni chanya , hatua muhimu ni kiwango cha chini cha ndani au cha juu zaidi. Kuamua ni ipi, ninahitaji kuangalia ishara ya derivative ya sehemu ya pili kwa heshima na x katika hatua muhimu. Kwa kuwa hii ni 4 0, hatua muhimu ni kiwango cha chini cha ndani. Ili kupata thamani ya chini, ninahitaji kuziba sehemu muhimu kwenye kazi ya asili. 222 22-3 -32 - 22 2-3 4 8 - 12 9 - 4 - 6 4 -1. 