<prompt> Pembe mbili za pembetatu hupima digrii 30 na 45. Ikiwa upande wa pembetatu ulio kinyume na pembe ya digrii 30 unapima vizio 6sqrt2, je, jumla ya urefu wa pande mbili zilizosalia ni nini? Eleza jibu lako kama desimali kwa sehemu ya kumi iliyo karibu zaidi.  <response>: Nahitaji kupata urefu wa pande kando ya digrii 45 na pembe isiyojulikana. Ninaweza kutumia sheria ya sines, ambayo inasema kwamba uwiano wa sine ya pembe kwa upande mwingine ni mara kwa mara kwa pembe na upande wowote katika pembetatu. Kwa hivyo, ikiwa nitaacha x iwe urefu wa upande ulio kinyume na pembe isiyojulikana, na y iwe urefu wa upande ulio kinyume na pembe ya digrii 45, naweza kuandika milinganyo miwili kwa kutumia sheria ya sines: fracsin 30. 6sqrt2 fracsin 45y fracsin textunknownx. Ninaweza kurahisisha mlingano wa kwanza kwa kubainisha kuwa sin 30 frac12 na sin 45 fracsqrt22, hivyo frac112 sqrt2 fracsqrt22y. Ninaweza kuzidisha-zidisha na kutatua kwa y: y frac12sqrt2 cdot sqrt22 12. Sasa nina urefu wa upande mmoja, lakini bado ninahitaji kupata x na pembe isiyojulikana. Ninaweza kutumia ukweli kwamba jumla ya pembe katika pembetatu ni digrii 180, hivyo angle isiyojulikana ni 180 - 30 - 45 105 digrii. Sasa ninaweza kutumia mlingano wa pili kutoka kwa sheria ya sines: fracsqrt22y fracsin 105x. Ninaweza kuchomeka y 12 na kurahisisha: fracsqrt224 fracsin 105x. Ninaweza kuzidisha na kutatua kwa x: x frac24 sin 105sqrt2. Ninaweza kutumia kikokotoo kukadiria sin 105 takriban 0.9659, kwa hivyo x takriban frac24 cdot 0.9659sqrt2 takriban 16.4. Sasa nina urefu wa upande uliobaki, kwa hivyo jumla ya urefu wa pande mbili zilizobaki ni y x 12 16.4 28.4. 