<prompt> Kwa kila nambari kamili n ge 2, acha An liwe eneo la eneo katika ndege ya kuratibu iliyobainishwa na ukosefu wa usawa 1le x le n na 0le y le x left floor sqrt x kuliafloor, ambapo leftfloor sqrt x kuliafloor ndio nambari kamili isiyozidi sqrt x. Tafuta nambari ya thamani ya n na 2le n le 1000 ambayo An ni nambari kamili.  <response>: Acha k iwe nambari kamili chanya. Kisha kwa k2 le x k 12,x floor sqrtx floor kx.Kwa hivyo, kwa muda huu, grafu ya 0 le y le x floor sqrtx floor ni trapezoid, yenye urefu wa kushoto. k3, urefu wa kulia kk 12, na msingi k 12 - k2 2k 1, ili eneo lake liwefrack3 kk 122 cdot 2k 1 2k4 3k3 2k2 frack2. Hebu n iwe nambari kamili chanya kiasi kwamba k2 1 le n le k 12. Kisha k2 le x n, grafu ya 0 le y le x floor sqrtx floor ni trapezoid yenye urefu wa kushoto k3, urefu wa kulia kn, na msingi n - k2, hivyo eneo lake nifrack3 kn2 cdot n - k2 frackk2 nn - k22 frac kn2 - k42.Tunataka kukokotoa eneo la grafu kwa 1 le x le n; hasa, tunataka eneo hili liwe nambari kamili. Tunajua kwamba eneo la k2 le x le k 12 ni2k4 3k3 2k2 frack2.Kwa kuwa 2k4 3k3 2k2 daima ni nambari kamili, kwa madhumuni yetu, tunahifadhi muda wa frack2 pekee. Hii inatupaanzaalignsum_i 1k - 1 fraci2 frackn2 - k42 frac12 cdot frack - 1k2 frackn2 - k42 frackk - 14 frackn2 - k42 frack2kn2 - k4 k - 14.endalignKwa hivyo, tunataka k2kn2 - k4 k - 1 igawanywe kwa 4. Tunakokotoa k2kn2 - k4 k - 1 modulo 4 kwa 0 le k le 3 na 0 le n le 3, na kupata matokeo yafuatayo:anzaarrayccccck backslash n 0 1 2 3 line hline0 0 0 0 0 hline1 2 0 2 0 line2 2 2 2 2 line3 0 2 0 2mwishosafuKesi ya 1: k 4m kwa nambari kamili m.Nambari kamili n katika safu k2 1 le n le k 12 hufanya kazi, kwa jumla ya 2k 1 integers.Kesi ya 2: k 4m 1 kwa nambari kamili m.Nambari kamili zisizo za kawaida pekee n katika safu k2 1 le n le k 12 hufanya kazi. Hizi ni k2 2, k2 4, dots, k 12 - 1, kwa jumla ya nambari kamili k.Kesi ya 3: k 4m 2 kwa nambari kamili m.Hakuna nambari kamili n katika safu k2 1 le n le k 12 kazi.Kesi ya 4: k 4m 3 kwa nambari kamili m.Nambari kamili pekee n katika safu k2 1 le n le k 12 hufanya kazi. Hizi ni k2 1, k2 3, dots, k 12, kwa jumla ya k 1 integers.Kwa hivyo, kesi nne k 4m 1, 4m 2, 4m 3, na 4m 4 huchangia4m 1 4m 4 24m 4 1 16m 14. nambari kamili.Muhtasari wa zaidi ya 0 le m le 6 unashughulikia kesi 2 le n le 841, na unatupajumla_m 06 16m 14 434 nambari kamili.Kwa k 29, ambayo inashughulikia kesi 529 le n le 900, tuna nambari nyingine 29 kamili.Kwa k 30, ambayo inashughulikia kesi 901 le n le 961, hakuna nambari kamili.Kwa k 31, nambari kamili pekee katika safu 962 le n le 1024 hufanya kazi. Tunataka nambari kamili hadi 1000, ambazo ni962, 964, dots, 1000,na kuna 20 kati yao.Kwa hivyo, jumla ya nambari kamili tunazotafuta ni 434 29 20 483. 