<prompt> Ikiwa x, y, na k ni nambari halisi chanya kama vile 3k2leftdfracx2y2dfracy2 x2kuliakkushotodfracxydfracyxkulia,pata thamani ya juu iwezekanavyo ya k.  <response>: Acha t fracxy fracyx. Kisha tuna t2 leftfracxyfracy xkulia2 fracx2y2 2 fracy2x2,hivyo t2 - 2 fracx 2y2 fracy2x2, na mlinganyo unakuwa 3 k2 t2 - 2 kt.Kupanga upya, tuna quadratic 0 k2t2 kt- 2k23.Kwa fomula ya quadratic, t frac-k pm sqrtk2 4k2 2k232k2 frac-1 pm sqrt8k2132k.Kwa kuwa x na y ni chanya, t pia ni chanya, na zaidi ya hayo, t fracxy fracyx ge 2sqrtfracxy cdot fracy x 2na AM-GM. Kwa hivyo, mlinganyo ulio hapo juu lazima uwe na mzizi katika kipindi 2, infty. Inafuata kwamba frac-1 sqrt8k2132k ge 2. Tukizidisha pande zote mbili kwa 2k na kuongeza 1, tunapata sqrt8k213 ge 4k1. Kisha 8k213 ge 4k12 16k 2 8k 1, hivyo 0 ge 8k2 8k - 12.Kwa fomula ya quadratic, mizizi ya 8k28k-120 ni k frac -8 pm sqrt82 4 cdot 8 cdot 122 cdot 8 frac-1 pm sqrt72,hivyo frac-1-sqrt72 le k le frac-1 sqrt72, na thamani ya juu zaidi ya k ni frac- 1sqrt72. 