<prompt> Pata umbali kutoka kwa uhakika 1,2,3 hadi mstari ulioelezewa naanzapmatrix 6 7 7 mwishopmatrix t anzapmatrix 3 2 -2 mwishopmatrix.  <response>: Ili kupata umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari, ninahitaji kupata sehemu fupi zaidi inayowaunganisha. Sehemu hii itakuwa ya kawaida kwa mstari, kwa hivyo ninaweza kutumia bidhaa ya nukta kupata thamani ya t ambayo inafanya hivyo. Ikiwa nitaruhusu P 1,2,3 na Q 63t, 72t, 7-2t iwe hatua kwenye mstari ulio karibu zaidi na P , basi vekta vecPQ 53t, 52t, 4-2t. Kwa kuwa vecPQ ni sawa kwa mstari, nina vecPQ cdot 3, 2, -2 0. Kupanua bidhaa ya nukta, ninapata 53t3 52t2 4-2t-2 0. Kurahisisha, napata 159t 104t - 84t 0. Kwa kuchanganya maneno kama hayo, ninapata 1717t 0. Kutatua kwa t, napata t -1. Kuchomeka thamani hii ya t kwenye Q, napata Q 6-3, 7-2, 72 3, 5, 9. Sasa nina alama mbili P na Q ambazo ziko karibu zaidi, moja kwenye mstari na moja nje ya mstari. Ili kupata umbali kati yao, ninatumia formula ya umbali. Ninapata d sqrt3-12 5-22 9-32. Kwa kurahisisha, napata d sqrt4 9 36. Kurahisisha zaidi, ninapata d sqrt49. Kuchukua mzizi wa mraba, ninapata d 7. 