<prompt> Kwa nambari zozote mbili halisi x na y, fafanuax star y ax by cxy,ambapo a,b, na c ni viunga. Inajulikana kuwa 1 nyota 2 3, 2 nyota 3 4, na kuna nambari halisi isiyo ya sufuri d kiasi kwamba x star d x kwa nambari yoyote halisi x. Je, thamani ya d ni nini?  <response>: Ninataka kupata d mara kwa mara kiasi kwamba x star d x kwa nambari yoyote halisi x. Hiyo inamaanisha ninataka kutatua mlinganyo x star d x kwa d, kutibu x kama kigezo. Ninaweza kuandika tena mlinganyo huu kwa kutumia ufafanuzi wa star kama ax bd cxd x. Ninaweza kupanga upya mlinganyo huu ili kupata ax cd - 1x -bd. Sasa, equation hii lazima shikilia kwa nambari yoyote halisi x. Hiyo ina maana kwamba coefficients ya x pande zote mbili lazima iwe sawa. Kwa hivyo, naweza kuweka a cd - 1 0 na -bd 0. Mlinganyo wa pili unamaanisha kwamba ama b 0 au d 0. Lakini shida inasema kwamba d sio -sifuri, kwa hivyo lazima niwe na b 0. Kisha, mlinganyo wa kwanza unakuwa a cd - 1 0. Ninaweza kutatua mlinganyo huu kwa d kwa kutoa a na kugawanya kwa c. Kwa hivyo, d frac1 - ac. Huu ni usemi wa jumla wa d, lakini ninaweza kupata thamani maalum ya d kwa kutumia taarifa iliyotolewa. Ninajua kwamba 1 nyota 2 3, ambayo ina maana kwamba a 2b 2c 3. Kwa kuwa b 0, hii hurahisisha a 2c 3. Pia najua kuwa 2 nyota 3 4, ambayo ina maana kwamba 2a 3b 6c 4. Tena, kwa kuwa b 0, hii hurahisisha hadi 2a 6c 4. Ninaweza kutumia milinganyo hii miwili kutatua kwa a na c. Ninaweza kuzidisha mlinganyo wa kwanza kwa -2 na kuiongeza kwenye mlinganyo wa pili ili kuondoa a. Hii inanipa -2a - 4c 2a 6c -6 4, ambayo hurahisisha 2c -2. Kwa hivyo, c -1. Kisha, ninaweza kuunganisha thamani hii ya c kwenye mlinganyo wa kwanza ili kupata a. Hii inanipa a 2-1 3 , ambayo hurahisisha kuwa a 5. Sasa kwa kuwa nina a 5 na c -1, naweza kuzichomeka kwenye usemi wa d. Hii inanipa d frac1 - 5-1, ambayo hurahisisha hadi d 4. 