<prompt> Jumla ya mfululizo usio na kikomo wa kijiometri ni 27 mara ya mfululizo unaotokana na masharti matatu ya kwanza ya mfululizo asilia yakiondolewa. Je, uwiano wa kawaida wa mfululizo ni nini?  <response>: Ninajua kuwa jumla ya mfululizo usio na kipimo wa kijiometri hutolewa na S fraca1-r, ambapo a ni muhula wa kwanza na r ni uwiano wa kawaida. Kwa hivyo nikiondoa maneno matatu ya kwanza, mfululizo mpya utakuwa na muhula wa kwanza wa ar3 na uwiano sawa wa kawaida wa r. Jumla ya mfululizo mpya itakuwa S fracar31-r. Tatizo linasema kuwa S 27S, kwa hivyo ninaweza kuandika fraca1-r 27fracar31-r. Ninaweza kurahisisha mlinganyo huu kwa kuzidisha pande zote mbili kwa 1-r na kugawanya pande zote mbili na a, kupata 1 27r3. Ili kutatua kwa r, ninaweza kuchukua mzizi wa mchemraba wa pande zote mbili, nikipata r sqrt3frac127. Hii hurahisisha kuwa r frac13. 