<prompt> Mfuatano kushotox_n, n geq 1kulia inatosheleza x_n1x_ne-x_n, n geq 1 , na x_11. Tafuta lim _n rightarrow infty fracx_nln n.  <response>: Msururu wa leftx_nright unaongezeka, kwa hivyo una kikomo kisicho na kikomo. Ikiwa lim _n rightarrow infty x_n xinfty, basi xxe-x, ni mkanganyiko. Kwa hivyo, lim _n rightarrow infty x_ninfty. Tunatumia nadharia ya Stolz-Cesaro mara mbili na kupata lim _n rightarrow infty fracx_nln nlim _n rightarrow infty fracx_ n1-x_nln n1-ln nlim _n mshale wa kulia infty frace-x_n ln kushoto1frac1nkulialim _n mshale wa kulia infty fracnex_nlim _n rightarrow infty frac1ex_n1-ex_n . Inabakia kutambua kwamba lim _n mshale wa kulia inftykushotoex_n1-ex_nkulialim _n mshale wa kulia inftykushotoex_ne-x_n-ex_nkulialim _n mshale wa kulia infty fracee-x_n-1e-x_nlim _t rightarrow 0 fracet-1 t1 . Jibu: 1 