<prompt> Pembetatu ABC ina urefu wa upande AB 12, BC 25, na CA 17. Mstatili PQRS una kipeo P kwenye overlineAB, vertex Q kwenye overlineAC, na vipeo R na S kwenye overlineBC. Kulingana na urefu wa upande PQ omega, eneo la PQRS linaweza kuonyeshwa kama polinomia ya quadraticEneoPQRS alpha omega - beta omega2.Kisha mgawo beta fracmn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya. Tafuta mn.  <response>: Ikiwa omega 25, eneo la mstatili PQRS ni 0, kwa hivyoalphaomega - betaomega2 25alpha - 625beta 0na alpha 25beta. Ikiwa omega frac252, tunaweza kuakisi APQ zaidi ya PQ, PBS zaidi ya PS, na QCR zaidi ya QR ili kufunika kabisa mstatili PQRS, kwa hivyo eneo la PQRS ni nusu ya eneo la pembetatu. Kwa kutumia fomula ya Heron, kwani s frac12 17 252 27,ABC sqrt27 cdot 15 cdot 10 cdot 2 90hivyo45 alphaomega - betaomega2 frac6252 beta - betafrac6254 betafrac6254nabeta frac180625 frac36125hivyo jibu ni m n 36 125 161. 