<prompt> Sanduku la mstatili lina kiasi cha 216. Pata eneo ndogo zaidi la uso wa sanduku.  <response>: Nahitaji kupata vipimo vya kisanduku ambacho kinapunguza eneo lake la uso. Acha niweke vipimo kama x, y, na z. Kisha kiasi ni xyz 216 na eneo la uso ni 2 xy yz zx., ninataka kutumia calculus kupata vidokezo muhimu vya kazi ya eneo la uso kisha angalia ni ipi ya chini zaidi. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kuondoa moja ya anuwai kwa kutumia kizuizi cha kiasi. Ninaweza kutatua z kulingana na x na y kama z 216xy. Basi naweza kubadilisha hiyo kwenye kazi ya eneo la uso na kupata Sx,y 2xy y216xy x216xy. Ninaweza kurahisisha hili kidogo kwa kughairi baadhi ya vipengele na kupata Sx,y 2xy 216x 216y. Sasa naweza kuchukua sehemu ya derivatives ya S kwa heshima ya x na y na kuziweka sawa na sifuri kupata alama muhimu. Sehemu inayotokana na S kuhusiana na x ni 2y - 216x2 na sehemu ya derivative ya S kuhusiana na y ni 2x - 216y2. Kuweka zote mbili hizi sawa na sifuri, napata y 216x2 na x 216y2. Ninaweza kubadilisha moja kati ya hizi hadi nyingine na kupata x3 216 au x 6. Kisha y 21662 6 na z 21666 6. Kwa hivyo jambo muhimu ni 6, 6, 6. Ili kuangalia ikiwa hiki ni cha chini au cha juu zaidi, ninaweza kutumia jaribio la pili la derivative. Nahitaji kupata sehemu ya pili ya derivatives ya S na kutathmini kwa 6,6,6. Sehemu ya pili ya derivative ya S kuhusiana na x ni 2432x3 na derivative ya sehemu ya pili ya S kuhusiana na y ni 2432y3. Zote mbili ni chanya katika 6,6,6, ambayo ina maana kwamba S ni concave juu katika pande zote mbili na 6,6,6 ni kiwango cha chini. Kwa hiyo eneo ndogo zaidi la uso wa sanduku ni S 6,6,6 2 6 6 2166 2166 2 36 36 36 2 108 216. 