<prompt> Bidhaa ya tarakimu za 3214 ni 24. Ni tarakimu ngapi tofauti chanya za tarakimu nne ambazo bidhaa ya tarakimu zao ni sawa na 12?  <response>: Kwanza tunapaswa kubaini makundi tofauti ya nambari 4 za tarakimu moja ambazo bidhaa yake ni 12. Ni wazi kwamba hatuwezi kutumia 12 kama mojawapo ya nambari, wala hatuwezi kutumia 9, 8, au 7 hakuna inayogawanya 12. Tunaweza kutumia 6, ambapo moja ya nambari zingine ni 2 na zingine mbili ni 1. Kwa hivyo, tunaweza kuwa na nambari 6211, au nambari yoyote tunaweza kuunda kwa kupanga upya nambari hizi. Kuna 4! njia za kuagiza nambari hizi nne, lakini tunapaswa kugawanya kwa 2! kwa sababu 1 mbili ni sawa, kwa hivyo 4! huhesabu kila nambari inayowezekana mara mbili. Hiyo inatupa 4!2!12 nambari ambazo zinajumuisha 6, 2, na sekunde 1 mbili.Ifuatayo, tunaona kuwa hatuwezi kuwa na 5, kwa hivyo tunafikiria 4. Ikiwa tuna 4, basi nambari zingine tatu ni 3, 1, 1. Kama vile kuna njia 12 za kuagiza nambari katika 6211, kuna njia 12 za kuagiza tarakimu katika 4311. Hatimaye, tunaangalia ikiwa kuna njia za kupata bidhaa ya 12 na tarakimu ambazo ni 3 au chini. Kuna kundi moja tu kama hilo, tarakimu katika 3221. Kama ilivyo kwa 6211 na 4311, kuna njia 12 tofauti za kuagiza tarakimu katika 3221.Kwa kuchanganya visa vyetu vitatu, tuna 12121236 nambari kamili zinazowezekana. 