<prompt> Pata nambari kamili n ambayo 12n inagawanya 20! kwa usawa.  <response>: Ninajua kuwa 20! inamaanisha bidhaa ya nambari zote chanya kutoka 1 hadi 20. Ninajua pia kuwa 12n inamaanisha bidhaa ya nakala n ya 12. Kwa hivyo, ili 12n igawanye sawasawa 20!, lazima iwe kwamba kila kipengele kikuu cha 12n pia ni kigezo kikuu cha 20!, na kwa angalau msururu sawa. Vigezo kuu vya 12 ni 2 na 3, kwa hivyo 12n ina 22n na 3n kama vigezo vyake kuu. Kwa hivyo, ninahitaji kujua ni vipengele ngapi vya 2 na 3 vilivyo katika 20!. Ili kuhesabu vipengele vya 2, ninaweza kutumia fomula inayosema nguvu ya juu kabisa ya p inayogawanya n! ni sum_k1infty floor fracn pk floor, ambapo floor cdot floor ina maana ya utendaji wa sakafu unaozunguka hadi nambari kamili iliyo karibu zaidi. Nikichomeka p2 na n20, napata sum_k1infty floor frac202k floor floor frac20 2 ghorofa floor frac204 floor floor frac208 floor floor frac2016 floor floor frac 2032 sakafu cdots 10 5 2 1 0 cdots 18. Kwa hivyo, kuna vipengele vya 18 vya 2 katika 20!. Ili kuhesabu vipengele vya 3, ninaweza kutumia fomula sawa na p3 na n20. Nikichomeka thamani hizi, napata sum_k1infty floor frac203k floor floor frac203 floor floor frac209 floor floor frac2027 floor floor frac2081 floor cdots 6 2 0 0 cdots 8. Kwa hivyo, kuna mambo 8 ya 3 katika 20!. Sasa, naweza kulinganisha maadili haya na mambo makuu ya 12n. Kwa kuwa 12n ina 22n kama kipengele, ninahitaji 2n leq 18. Vile vile, kwa kuwa 12n ina 3n kama kipengele, ninahitaji n leq 8. Nambari kamili zaidi n inayotosheleza tofauti zote mbili ni n8. Kwa hivyo, nambari kamili n ambayo 12n inagawanya 20! ni n8. 