<prompt> Acha S iwe mfuatano unaoongezeka wa nambari kamili chanya ambazo uwakilishi wao wa mfumo wa jozi una 8 haswa. Acha N iwe nambari ya 1000 kwa S. Tafuta salio wakati N imegawanywa kwa 1000.  <response>: Sawa, zoezi la kuhesabu binomials nyingi za kuhesabu!. Katika msingi wa 2, nambari ya kwanza ni 11111111, ambayo ndiyo njia pekee ya kuchagua nafasi 8 1 kati ya 8, au binom88. Vipi kuhusu nafasi 9? Sawa, kuna binom989, ambayo inajumuisha 1 ya kwanza. Vile vile, kwa nafasi 10, kuna binom10845, ambayo inajumuisha kwanza 9. Kwa nafasi 11, kuna binom118165, ambayo inajumuisha 45 za kwanza. Unapata mpini. Kwa nafasi 12, kuna binom128495, ambayo inajumuisha 165 za kwanza; kwa nafasi 13, kuna binom13813 cdot 99 1000, kwa hivyo sasa tunajua kuwa N ina nafasi 13 haswa, kwa hivyo nambari 212 ni 1.Sasa tunaendelea na nafasi zingine 12 zilizo na 7 1, na tunatafuta 1000-495505th nambari. Kweli, binom117330, kwa hivyo tunajua kwamba tarakimu ya 211 pia ni 1, na tumebakiwa na kutafuta 505-330175th nambari yenye nafasi 11 na 6 1 ya. Sasa binom106210, ambayo ni kubwa sana, lakini binom9684. Kwa hivyo, tarakimu 29 ni 1, na sasa tunatafuta kwa 175-8491st nambari yenye nafasi 9 na 5 1. Tukiendelea na mchakato sawa, binom8556, kwa hivyo 28 tarakimu ni 1, na tumesalia kutafuta 91-5635th nambari yenye nafasi 8 na 4 1. . Lakini hapa binom7435, kwa hivyo N lazima iwe nambari ya mwisho au kubwa zaidi yenye tarakimu 7 yenye 4 1. Kwa hivyo tarakimu 8 za mwisho za N lazima ziwe 01111000, na kwa muhtasari, N1101101111000 katika msingi 2. Kwa hiyo, N 816326425651220484096 equiv 32 pmod1000, na jibu ni 32. 