<prompt> Tatua mlingano -x2 frac3x1x3.Ingiza suluhu zote, zikitenganishwa na koma.  <response>: Huu ni mlinganyo wa quadratic, kwa hivyo ninataka kuleta kila kitu kwa upande mmoja na kuihesabu, ikiwezekana. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kuzidisha pande zote mbili kwa x3, ambayo ni dhehebu la upande wa kulia. Hii inanipa -x2x3 3x1. Kupanua upande wa kushoto, napata -x3 - 3x2 3x1. Sasa naweza toa 3x1 kutoka pande zote mbili na upange upya masharti katika mpangilio wa kushuka wa digrii. Hii inanipa -x3 - 3x2 - 3x - 1 0. Hii ni mlinganyo wa ujazo, lakini ninagundua kuwa ina kipengele cha -1, kwa hivyo ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa -1 hadi kurahisisha. Hii inanipa x3 3x2 3x 1 0. Sasa ninahitaji kuangazia polynomia hii ya ujazo. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia nadharia ya mzizi wa busara, ambayo inasema kwamba mzizi wowote wa busara wa polynomial lazima uwe sababu ya neno lisilobadilika lililogawanywa na sababu ya mgawo unaoongoza. Neno la mara kwa mara ni 1, na mgawo unaoongoza ni 1, hivyo mizizi pekee inayowezekana ni 1 na -1. Ninaweza kujaribu kuziba maadili haya na kuona ikiwa yanafanya sifuri ya polynomial. Nikichomeka 1, nitapata 13 312 31 1 8, ambayo si sifuri. Nikichomeka -1, nitapata -13 3-12 3-1 1 0, ambayo ni sifuri. Kwa hivyo -1 ni mzizi wa busara wa polynomial, na hiyo inamaanisha x1 ni sababu. Ili kupata sababu nyingine, naweza kutumia mgawanyiko mrefu au mgawanyiko wa syntetisk na kugawanya polynomial na x1. Nitatumia mgawanyiko wa syntetisk, ambayo ni njia ya mkato ya kugawanya kwa sababu ya mstari. Ninaandika -1 kwenye kisanduku, na kisha viambatanisho vya polinomia mfululizo: -1 quad 1 quad 3 quad 3 quad 1. Ninaleta chini mgawo wa kwanza, ambao ni 1 , na uiandike chini ya safu mlalo: -1 quad 1 quad 3 quad 3 quad 1 quad 1 Kisha ninazidisha 1 kwa -1 kwenye kisanduku, na kuandika matokeo. juu ya mgawo unaofuata: -1 quad 1 quad 3 quad 3 quad 1 quad quad -1 quad 1 Kisha ninaongeza -1 na 3, na kuandika. matokeo chini ya safu: -1 quad 1 quad 3 quad 3 quad 1 quad quad -1 quad 1 quad 2 Ninarudia mchakato huu kwa muda uliosalia. migawo, ikizidisha kwa -1 kwenye kisanduku, na kuongeza kwa mgawo unaofuata: -1 quad 1 quad 3 quad 3 quad 1 quad quad -1 quad -2 quad -1 quad 1 quad 2 quad 1 quad 0 Matokeo ya mwisho ni sifuri, ambayo ina maana mgawanyiko ni kamili na hakuna salio. Sababu nyingine ni mgawo, ambayo ni safu chini ya mgawo wa asili, isipokuwa sifuri ya mwisho. Mgawo ni 1, 2, na 1, ambayo ina maana kwamba kipengele ni x2 2x 1. Huu ni mraba kamili, kwa hivyo ninaweza kuuhesabu zaidi kama x1x1. Kwa hivyo, vipengele asili vya polinomia kama x1x1x1, au x13. Hii inamaanisha kuwa suluhisho pekee la equation ni x -1, ambayo ni mzizi mara tatu. 