<prompt> Ni nambari gani ndogo kabisa chanya n kiasi kwamba 3n equiv 1356 pmod22?  <response>: Ili kupata n, ninahitaji kutatua muunganiko wa mstari 3n equiv 1356 pmod22. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia algoriti ya Euclidean kupata ubadilishaji wa 3 modulo 22. Kisha ninaweza kuzidisha pande zote mbili za mshikamano kwa kinyume ili kupata n equiv 1356 cdot 3-1 pmod22. Ili kupata kinyume cha 3 modulo 22, ninahitaji kupata nambari kamili x na y kiasi kwamba 3x 22y 1. Hii ni sawa na kutafuta kigawanyo kikuu cha kawaida cha 3 na 22 na kukieleza kama mseto wa mstari wa 3 na 22. Ninaweza kutumia algorithm ya Euclidean kufanya hivi. Kwanza, ninagawanya 22 kwa 3 na kupata mgawo wa 7 na salio la 1. Hii ina maana kwamba 22 3 cdot 7 1, au kwa usawa, 1 22 - 3 cdot 7. Kwa hivyo naweza kuchukua x -7 na y 1 kama suluhisho moja. Hii pia inamaanisha kuwa -7 ni kinyume cha 3 modulo 22. Ili kupata kinyume chanya, ninaweza kuongeza 22 hadi -7 na kupata 15. Kwa hivyo, 3-1 equiv 15 pmod22. Sasa ninaweza kuzidisha pande zote mbili za muunganiko wa asili kwa 15 na kupata n equiv 1356 cdot 15 pmod22. Ili kurahisisha hili, ninaweza kugawanya 1356 kwa 22 na kupata mgawo wa 61 na salio la 14. Hii inamaanisha kuwa 1356 equiv 14 pmod22. Kwa hivyo ninaweza kubadilisha 1356 na 14 na kupata n equiv 14 cdot 15 pmod22. Nikizidisha 14 kwa 15, napata 210. Nikigawanya 210 kwa 22, ninapata mgawo wa 9 na salio la 12. Hii inamaanisha kuwa 210 equiv 12 pmod22. Kwa hivyo ninaweza kubadilisha 210 na 12 na kupata n equiv 12 pmod22. Hii ndiyo aina rahisi zaidi ya n modulo 22, na pia ndiyo nambari ndogo kabisa chanya inayotosheleza muunganiko. Kwa hiyo, jibu ni n 12 . 