<prompt> Acha a, b, c ziwe nambari halisi zisizo na maana. Pata pembe ya juu kati ya vekta anzapmatrix a b c endpmatrix na beginpmatrix b c a endpmatrix, kwa digrii.  <response>: Acha theta iwe pembe kati ya vekta mbili. Kishacos theta fracanzapmatrix a b c mwishopmatrix cdot anzapmatrix b c a mwishopmatrixkushoto anzapmatrix a b c mwishopmmatrix kulia kushotoanzapmatrix b c a mwishopmatrix kulia fracab ac bca2 b2 c2. Tunaweza kusema hivyoa b c2 a2 b2 c2 2ab ac bc ge 0,hivyo 2ab ac bc ge - a2 b2 c2. Kwa kuwa a, b, na c ni nonzero, a2 b2 c2 0, hivyofrac2ab ac bca2 b2 c2 ge -1.Kwa hiyo,cos theta fracab ac bca2 b2 c2 ge -frac12.Pembe kubwa zaidi theta inayotosheleza hii ni 120circ. Usawa hutokea kwa nambari zozote zisizo za kweli a, b, c zinazotosheleza a b c 0. 