<prompt> Pata jumla ya masuluhisho yote chanya x kwa mlinganyo 2cos2x leftcos2x - cosleft frac2014pi2x kulia kulia cos4x - 1,ambapo x inapimwa kwa radiani.  <response>: Acha x fracpi y2. Kisha mlinganyo uliotolewa unakuwa2 cos pi y kushoto cos pi y - cos kushoto frac4028 piy kulia kulia cos 2 pi y - 1.Kwa fomula ya pembe mbili,2 cos pi y kushoto cos pi y - cos kushoto frac4028 piy kulia kulia -2 sin2 pi y.Kugawanya kwa 2 na kupanuacos2 pi y - cos pi y cos kushoto frac4028 piy kulia -sin2 pi y. Kwa hiyo,cos pi y cos kushoto frac4028 piy kulia cos2 pi y sin2 pi y 1. Ili mlinganyo huu uendelee, lazima tuwe na cos pi y cos left frac4028 piy kulia 1 au cos pi y cos left frac4028 piy kulia -1. Kwa upande mwingine, masharti haya yanashikilia tu wakati y na frac4028y ni nambari kamili na usawa sawa.Uainishaji mkuu wa 4028 ni 22 cdot 19 cdot 53. Kwa wazi y na frac4028y haziwezi kuwa za kawaida, kwa hivyo zote mbili ni sawa, ambayo ina maana kwamba zote zinapata kipengele kimoja cha 2. Kisha y au frac4028y inaweza kupata kipengele cha 19, na ama inaweza kupata kipengele cha 53. Kwa hivyo, thamani zinazowezekana za y ni 2, 2 cdot. 19, 52 cdot 53, na 2 cdot 19 cdot 53. Kisha jumla ya thamani zinazowezekana za x nipi 1 19 53 19 cdot 53 1080 pi. 