<prompt> Kuna kipimo cha k ambacho kwa vekta zozote mathbfa, mathbfb, na mathbfc kiasi kwamba mathbfa mathbfb mathbfc mathbf0, mlinganok mathbfb nyakati mathbfa mathbfb nyakati mathbfc mathbfc nyakati mathbfa mathbf0 anashikilia. Tafuta k.  <response>: Tatizo hili linahusisha vectors na bidhaa za msalaba, ambazo hazibadiliki na zinatii mali ya usambazaji. Nakumbuka kwamba bidhaa ya msalaba wa vectors mbili hutoa vector ya tatu ambayo ni orthogonal kwa wote wawili, na kwamba ukubwa wake ni sawia na eneo la parallelogram iliyowekwa na vectors mbili. Pia ninakumbuka kuwa bidhaa ya msalaba inahusiana na kibainishi cha matrix ambayo safu zake ni viwianishi vya vekta, kulingana na msingi wa kawaida. Ili kupata k, ninahitaji kutumia equation iliyotolewa mathbfa mathbfb mathbfc mathbf0. Ninaweza kuandika mlinganyo huu upya kama mathbf c -mathbfa - mathbfb na uibadilishe katika mlinganyo mwingine. Hii inanipa k mathbfb nyakati mathbfa mathbfb nyakati -mathbfa - mathbfb -mathbfa - mathbfb times mathbfa mathbf0. Ninaweza kurahisisha mlingano huu kwa kutumia sifa ya usambazaji na sifa ya kupinga ubadilishaji wa bidhaa mbalimbali. Hii inanipa k mathbfb nyakati mathbfa - mathbfb nyakati mathbfa - mathbfb nyakati mathbfb - mathbf a nyakati mathbfa - mathbfb nyakati mathbfa mathbf0. Ninagundua kuwa mathbfb nyakati mathbfb mathbf 0 na mathbfa times mathbfa mathbf0 kwa sababu bidhaa mtambuka ya vekta yenyewe ni sifuri. Hii hurahisisha mlingano zaidi kwa k mathbfb times mathbfa - 2 mathbfb mara mathbfa mathbf0. Ninaweza kubainisha mathbfb mara mathbfa kutoka kwa masharti yote mawili na upate k - 2 mathbfb nyakati mathbfa mathbf0. Sasa , inabidi nizingatie kesi mbili: ama mathbfb times mathbfa mathbf0 au k - 2 0. If mathbfb times mathbf a mathbf0, kisha ama mathbfb mathbf0 au mathbfa mathbf0 au mathbfb na mathbfa zinalingana. Ikiwa mathbfb mathbf0 au mathbfa mathbf0, basi mlinganyo mathbfa mathbfb mathbfc mathbf0 ina maana kwamba mathbfc mathbf0 pia, na kisha mlinganyo k mathbfb mara mathbfa mathbfb nyakati mathbfc mathbfc nyakati mathbfa mathbf0 inatosheka kidogo kwa k. yoyote ikiwa mathbfb na mathbf a ni sambamba, kisha mlinganyo mathbfa mathbfb mathbfc mathbf0 ina maana kwamba mathbfc pia ni sambamba nazo, na kisha mlinganyo k mathbfb nyakati mathbfa mathbfb nyakati mathbfc mathbfc nyakati mathbfa mathbf0 pia imeridhika kidogo kwa k, yoyote kwa sababu bidhaa zote ni sufuri. Kwa hivyo, kesi pekee ya kuvutia ni wakati mathbfb times mathbfa neq mathbf0, ambayo ina maana kwamba k - 2 0. Kutatua kwa k, napata k 2. 