<prompt> Acha x na y ziwe nambari halisi kama hizo4x2 8xy 5y2 1.Acha m na M ziwe thamani za chini na za juu zaidi za 2x2 3xy 2y2, mtawalia. Tafuta bidhaa mM.  <response>: Hebu k 2x2 3xy 2y2. Kisha2x2 3xy 2y2 k k4x2 8xy 5y2 4kx2 8kxy 5ky2 0,hivyo 4k - 2 x 2 8k - 3 xy 5k - 2 y2 0.Ikiwa y 0, basi 4x2 1, hivyo2x2 3xy 2y2 frac12.Vinginevyo, tunaweza kugawanya pande zote mbili za 4k - 2 x2 8k - 3 xy 5k - 2 y2 0 kwa y2, kupata4k - 2 kushoto fracxy kulia2 8k - 3 fracxy 5k - 2 0.Hii ni quadratic katika fracxy, hivyo na kibaguzi chake lazima kiwe kisicho cha kuchukiza:8k - 32 - 4 4k - 25k - 2 ge 0.Hii hurahisisha hadi -16k2 24k - 7 ge 0, au 16k2 - 24k 7 le 0. Mizizi ya quadratic 16k2 - 24k 7 0 ni frac3 pm sqrt24, hivyo suluhisho la 16k 2 - 24k 7 le 0 nifrac3 - sqrt24 le k le frac3 sqrt24.Kwa thamani yoyote ya k katika kipindi hiki, sisi inaweza kuchukua x ky, kisha kubadilisha hadi 4x2 8xy 5y2 1, na kupata suluhu katika x na y. Hivyo, m frac3 - sqrt 2 4 na M frac3 sqrt24, hivyo mM frac716. 