<prompt> Acha mathbfa na mathbfb ziwe vekta mbili zisizo na nzero kiasi kwamba mathbfa mathbfb na mathbfb ni za orthogonal, na mathbf a 2 mathbfb na mathbfa ni za orthogonal. Tafuta fracmathbfamathbfb.  <response>: Shida hii inahusisha vekta, orthogonality, na kanuni, kwa hivyo nitatumia bidhaa ya nukta na sifa zake kuzihusiana. Ninajua kuwa vekta mbili ni za orthogonal ikiwa tu bidhaa yao ya nukta ni sifuri, kwa hivyo ninaweza kuandika hesabu mbili kutoka kwa habari iliyotolewa: mathbfa mathbfb cdot mathbfb 0 na mathbfa 2 mathbfb cdot mathbfa 0. Ninajua pia kuwa bidhaa ya nukta ni ya usambazaji, kwa hivyo ninaweza kupanua hesabu hizi na kukusanya maneno kama haya: mathbfa cdot mathbfb mathbfb cdot mathbfb 0 na mathbfa cdot mathbfa 2 mathbfa cdot mathbfb 0. Ninaweza kutumia ukweli kwamba bidhaa ya nukta ni ya kubadilisha na ya ulinganifu kurahisisha milinganyo hii: mathbfa cdot mathbfb mathbfb2 0 na mathbfa2 2 mathbfa cdot mathbfb 0. Ninataka kupata fracmathbfamathbfb, kwa hivyo nitajaribu kuondoa mathbfa cdot mathbfb kutoka kwa milinganyo hii na suluhisha kwa uwiano wa kanuni. Ninaweza kuzidisha mlinganyo wa kwanza kwa -2 na kuiongeza kwenye mlinganyo wa pili ili kupata: -2 mathbfa cdot mathbfb - 2 mathbfb2 mathbfa2 2 mathbfa cdot mathbfb 0. Hii hurahisisha mathbfa2 - 2 mathbfb2 0, au mathbfa2 2 mathbfb2. Kuchukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili, napata mathbfa sqrt2 mathbfb, kwa hivyo uwiano unaotakiwa ni fracmathbfamathbfb sqrt 2. 