<prompt> Tathmini mfululizo usio na kikomo sum_k 1infty frack22k.  <response>: Ili kutathmini safu isiyo na kikomo, mimi huanza kwa kuangalia ikiwa inabadilika au inatofautiana kwa kutumia majaribio ya kawaida, kama vile mtihani wa uwiano, jaribio la mizizi, au jaribio la kulinganisha. Katika kesi hii, mtihani wa uwiano unaonekana kuahidi, kwa kuwa unahusisha uwiano wa maneno mfululizo na mfululizo una fomu nzuri ya kielelezo katika denominator. Ili kutumia jaribio la uwiano, ninahitaji kupata kikomo cha uwiano fraca_k1a_k kama k inaenda kwa infinity, ambapo a_k ndilo neno la jumla la mfululizo. Kwa hivyo, ninaandika fraca_k1a_k frack122k1 cdot frac2kk 2 na kurahisisha kwa kughairi vipengele vya kawaida vya 2k. Hii inanipa fraca_k1a_k frack122k2. Sasa, ninahitaji kupata kikomo cha usemi huu kwani k huenda kwa infinity. Njia moja ya kufanya hivi ni kugawanya nambari na dhehebu kwa nguvu ya juu zaidi ya k katika denominator, ambayo ni k2. Hii inanipa fraca_k1a_k frac1 frac2k frac1k22. Kadiri k inavyokwenda kwa infinity, sehemu zilizo na k kwenye kipunguzo huenda hadi sifuri, kwa hivyo kikomo kinakuwa frac12. Hii ina maana kwamba mfululizo hubadilika kwa mtihani wa uwiano, kwa kuwa kikomo cha uwiano ni chini ya 1. Sasa kwa kuwa najua mfululizo unaunganishwa, nataka kupata thamani yake halisi. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia hila ya busara inayohusisha utofautishaji au ujumuishaji wa safu. Ninagundua kuwa mfululizo una fomu sum_k 1infty k2 xk, ambapo x frac12. Hii inaonekana kama toleo la mfululizo wa kijiometri, kwa kuwa mfululizo wa kijiometri sum_k 0infty xk frac11 - x ina derivative sum_k 1 infty k xk-1 frac11 - x2. Kwa hivyo, nikizidisha pande zote mbili za mlingano huu kwa x, nitapata sum_k 1infty k xk fracx1 - x2. Sasa, nikichukua toleo la pande zote mbili tena, nitapata sum_k 1infty k2 xk-1 frac1 x1 - x 3. Nikizidisha kwa x tena, ninapata sum_k 1infty k2 xk fracx1 x1 - x3. Huu ndio mfululizo ambao ninataka kutathmini, na x frac12. Kwa hivyo, nikichomeka x frac12, ninapata sum_k 1infty frack22k fracfrac1 21 frac121 - frac123 frac34 cdot frac1 frac123 6. 