<prompt> Rahisisha sqrt64sqrt2sqrt6-4sqrt2.  <response>: Tunaweza kurahisisha mzizi wa kwanza wa mraba kwa kuonyesha 64sqrt2 kama mraba wa binomial. Kwa hivyo tunahitaji kupata nambari mbili, a na b, kama vile ab264sqrt2. Nadhani tunapaswa kuanza kwa kupanua ab2. Hilo ni wazo zuri. Tunapata a22abb2. Kwa hivyo tuliweka a2b26 na 2ab4sqrt2. Mlinganyo wa pili unatupa ab2sqrt2. Tunaweza kutatua mfumo huu kwa kubadilisha. Tunaweza kueleza b kama bfrac2sqrt2a na kuibadilisha katika mlinganyo mwingine. Tunapata a2frac8a26. Tunaweza kuzidisha kila kitu kwa a2 ili kuondoa sehemu hiyo. Tunapata a486a2. Kwa hivyo tuna quadratic katika a2. Tunaweza kuitatua kwa kutumia fomula ya quadratic. Lakini tunapaswa kwanza kufanya upande mmoja wa mlinganyo kuwa sawa na sifuri. Kwa kutoa 6a2 kutoka pande zote mbili tunapata a4-6a280. Tunaweza kutumia fomula ya quadratic kupata a2. Fomula ya quadratic ni xfrac-bpmsqrtb2-4ac2a. Tunahitaji kuchomeka a1, b-6, na c8. Tunapata a2frac6pmsqrt-62-41821. Kwa hivyo a2frac6pmsqrt36-322. Hatimaye, a2frac6pmsqrt42. Tunaweza kurahisisha hilo hadi a23pm1. Kwa hivyo tunapata a24 au a22. Katika kesi ya kwanza, a2 au a-2. Katika kesi ya pili, asqrt2 au a-sqrt2. Kwa kila thamani ya a tunaweza kupata thamani inayolingana ya b kwa kuibadilisha kuwa ab2sqrt2. Kwa hivyo ikiwa a2, basi bsqrt2. Ikiwa a-2, basi b-sqrt2. Ikiwa asqrt2, basi b2. Ikiwa a-sqrt2, basi b-2. Kuna thamani nne zinazowezekana za ab. Ambazo ni 2sqrt2, -2-sqrt2, sqrt22, na -sqrt2-2. Lakini kumbuka kwamba tunataka mzizi wa mraba wa 64sqrt2, kwa hivyo tunahitaji thamani chanya ya ab. Thamani chanya ni sqrt22. Kwa hivyo tunapata sqrt64sqrt2sqrt22. Vile vile, tunaweza kurahisisha mzizi wa pili wa mraba kwa kuonyesha 6-4sqrt2 kama mraba wa binomial. Tunataka kupata nambari mbili, c na d, kama vile cd26-4sqrt2. Nadhani tunapaswa kuanza kwa kupanua cd2. Hilo ni wazo zuri. Tunapata c22cdd2. Kwa hivyo tuliweka c2d26 na 2cd-4sqrt2. Mlinganyo wa pili unatupa cd-2sqrt2. Tunaweza kutatua mfumo huu kwa kubadilisha. Tunaweza kueleza d kama dfrac-2sqrt2c na kuibadilisha katika mlinganyo mwingine. Tunapata c2frac8c26. Tunaweza kuzidisha kila kitu kwa c2 ili kuondoa sehemu hiyo. Tunapata c486c2. Kwa hivyo tuna quadratic katika c2. Tunaweza kuitatua kwa kutumia fomula ya quadratic. Lakini tunapaswa kwanza kufanya upande mmoja wa mlinganyo kuwa sawa na sifuri. Kwa kutoa 6c2 kutoka pande zote mbili tunapata c4-6c280. Tunaweza kutumia fomula ya quadratic kupata c2. Fomula ya quadratic ni xfrac-bpmsqrtb2-4ac2a. Tunahitaji kuchomeka a1, b-6, na c8. Tunapata c2frac6pmsqrt-62-41821. Kwa hivyo c2frac6pmsqrt36-322. Hatimaye, c2frac6pmsqrt42. Tunaweza kurahisisha hilo hadi c23pm1. Kwa hivyo tunapata c24 au c22. Katika kesi ya kwanza, c2 au c-2. Katika kesi ya pili, csqrt2 au c-sqrt2. Kwa kila thamani ya c tunaweza kupata thamani inayolingana ya d kwa kuibadilisha kuwa cd-2sqrt2. Kwa hivyo ikiwa c2, basi d-sqrt2. Ikiwa c-2, basi dsqrt2. Ikiwa csqrt2, basi d-2. Ikiwa c-sqrt2, basi d2. Kuna thamani nne zinazowezekana za cd. Ambazo ni 2-sqrt2, -2sqrt2, sqrt2-2, na -sqrt22. Tena, tunataka thamani chanya. Thamani chanya ni sqrt2-2. Kwa hivyo tunapata sqrt6-4sqrt2sqrt2-2. Kwa hivyo, thamani ya usemi asilia ni sqrt22sqrt2-2. Ambayo ni sqrt22sqrt2-2. Kwa hivyo, thamani ya usemi asilia ni sqrt222-sqrt2. Ambayo ni sqrt222-sqrt2. Kwa hivyo jibu ni 4. 