<prompt> Je, ni nini kinachosalia wakati 333333 inagawanywa kwa 11?  <response>: Tatizo hili linahusisha hesabu za msimu, ambayo ni njia ya kufanya kazi na mabaki baada ya mgawanyiko. Ukweli mmoja muhimu kuhusu hesabu za msimu ni kwamba ikiwa a equiv b pmodn, ambayo inamaanisha kuwa a na b zina salio sawa zikigawanywa na n, basi ac equiv b c pmodn kwa nambari yoyote chanya c. Hii huturuhusu kurahisisha msingi wa ufafanuzi, mradi tu tunaweka salio sawa. Kwa mfano, 333 equiv 3 pmod11, kwa sababu 333 30 cdot 11 3. Kwa hivyo, 333333 sawa na 3333 pmod11. Sasa tunaweza kujaribu kurahisisha kielezi pia, kwa kutumia ukweli mwingine kuhusu hesabu ya msimu: ikiwa ad equiv 1 pmodn kwa nambari chanya d, basi akd equiv 1 pmodn kwa nambari yoyote chanya k. Hii ina maana kwamba tunaweza kutafuta thamani ndogo zaidi ya d kama vile 3d equiv 1 pmod11, na kisha kugawanya 333 kwa d ili kupata mgawo k na salio r. . Kisha tutakuwa na 3333 equiv 3kd cdot 3r equiv 1k cdot 3r equiv 3r pmod11. Kwa hivyo shida inapunguza kupata d na r. Njia moja ya kufanya hivyo ni kujaribu thamani tofauti za d hadi tupate inayofanya kazi. Kwa mfano, 32 equiv 9 pmod11, 33 equiv 27 equiv 5 pmod11, 34 equiv 15 equiv 4 pmod11, 3 5 sawa 12 sawa 1 pmod11. Kwa hivyo d 5 inafanya kazi, na tunaweza kuangalia kuwa hakuna thamani ndogo zaidi ya d inafanya kazi kwa kuthibitisha kuwa 3, 9, 5, 4 hazilingani na 1 pmod11. Sasa tunaweza kugawanya 333 kwa 5 ili kupata k 66 na r 3. Hii inamaanisha kuwa 3333 equiv 33 pmod11. Hatimaye, tunaweza kukokotoa 33 27 na kupata salio lake likigawanywa na 11, ambayo ni 5. 