<prompt> Kuna crayoni 12 za rangi tofauti kwenye sanduku. Ni njia ngapi ambazo Karl anaweza kuchagua kalamu za rangi nne ikiwa mpangilio anaochora haujalishi?  <response>: Ninahitaji kuhesabu idadi ya mchanganyiko wa crayoni nne kati ya 12, bila kuzingatia agizo. Nakumbuka kwamba formula ya idadi ya mchanganyiko wa vitu n kuchukuliwa r kwa wakati ni nCr n! r! n-r!, wapi n! ni kipengele cha n, kumaanisha bidhaa ya nambari zote chanya hadi n. Katika kesi hii, n 12 na r 4, kwa hivyo ninaunganisha maadili hayo kwenye fomula na kurahisisha. 12c4 12! 4! 12-4! 12 x 11 x 10 x 9 x 8! 4 x 3 x 2 x 1 x 8! 12 x 11 x 10 x 9 4 x 3 x 2 x 1 495. Kwa hivyo, kuna njia 495 za Karl kuchagua kalamu za rangi nne kati ya 12. 