<prompt> Tuseme H ni nafasi ya Banach, na x_nkatika H, xin H. Kisha x_n inaungana kwa udhaifu hadi x ni sawa na: x_n imefungwa; kwa seti mnene M katika H, inashikilia lim_nrightarrowinfty fx_nfx kwa yote fkatika M. Je, hii ni sahihi? Jibu 1 kwa ndiyo na 0 kwa hapana.Nadharia Husika: Nadharia ya Banach-Steinhaus, pia inajulikana kama Kanuni ya Mipaka ya Usawa, ni matokeo ya kimsingi katika uchanganuzi wa utendaji kazi, tawi la hisabati ambalo hujishughulisha na uchunguzi wa nafasi za vekta na waendeshaji laini. Nadharia hutoa zana madhubuti ya kuelewa tabia ya familia za waendeshaji laini wanaofanya kazi kwenye nafasi za Banach, ambazo ni nafasi kamili za vekta.Taarifa ya nadharia:Acha X iwe nafasi ya Banach, Y iwe nafasi ya vekta ya kawaida, na F iwe familia ya waendeshaji laini kutoka X hadi Y. Ikiwa kwa kila x katika X, seti ya Tx : T katika F imewekewa mipaka, basi kuna C isiyobadilika kama hiyo T C kwa T zote katika F.Kwa maneno rahisi, theorem inasema kwamba ikiwa kwa kila kipengele x katika nafasi ya Banach X, kanuni za picha za x chini ya waendeshaji katika F zimefungwa kwa usawa, basi kanuni za waendeshaji wa waendeshaji katika F pia zimefungwa kwa usawa.Umuhimu wa nadharia ya Banach-Steinhaus iko katika uwezo wake wa kutoa habari juu ya mipaka ya familia nzima ya waendeshaji kulingana na mipaka ya hatua zao kwa vipengele vya kibinafsi vya nafasi. Matokeo haya yana matumizi muhimu katika maeneo mbalimbali ya hisabati, ikiwa ni pamoja na milinganyo ya sehemu tofauti, uchanganuzi wa uelewano, na utafiti wa nafasi zisizo na kipimo.  <response>: 1.0 