<prompt> Mstari x k huingiliana na grafu ya parabola x -2y2 - 3y 5 kwa uhakika mmoja. k ni nini?  <response>: Ili kupata thamani ya k inayofanya mstari x k kukatiza parabola x -2y2 - 3y 5 kwa uhakika mmoja, ninahitaji kutatua mlinganyo k -2y2 - 3y 5 kwa y na uone wakati kuna suluhisho moja pekee. Mlinganyo huu ni mlinganyo wa quadratic katika y, kwa hivyo ninaweza kujaribu kutumia fomula ya quadratic kupata suluhisho. Fomula ya quadratic inasema kwamba ikiwa ax2 bx c 0, basi x frac-b pm sqrtb2 - 4ac2a. Katika kesi hii, y ni kutofautiana, na a -2, b -3, na c 5 - k. Kwa hivyo, suluhu za y ni y frac--3 pm sqrt-32 - 4-25 - k2-2 . Kwa kurahisisha, napata y frac3 pm sqrt9 85 - k-4. Sasa, nataka kupata thamani ya k ambayo hufanya usemi huu uwe na suluhisho moja tu la y. Hii ina maana kwamba usemi ulio chini ya mzizi wa mraba, 9 85 - k, unapaswa kuwa sufuri, kwa sababu ikiwa ni chanya, kuna masuluhisho mawili, na ikiwa ni hasi, hakuna masuluhisho ya kweli. Kwa hivyo, niliweka 9 85 - k 0 na kutatua kwa k. Nikitoa 9 kutoka pande zote mbili, ninapata 85 - k -9. Nikigawanya pande zote mbili kwa 8, napata 5 - k -frac98. Nikitoa 5 kutoka pande zote mbili, ninapata -k -frac98 - 5. Nikizidisha pande zote mbili kwa -1, napata k frac98 5. Nikiongeza 5 kwa frac98, napata k frac498. Hii ni thamani ya k ambayo hufanya mstari x k kuvuka parabola katika hatua moja haswa. 