<prompt> Acha r na s zidokeze mizizi miwili halisi ya x2 - x sqrt5 1 0. Kisha ubaini r8 s8.  <response>: Ili kutatua tatizo hili, nitatumia ukweli kwamba mizizi ya equation ya quadratic inakidhi uhusiano unaohusisha jumla na bidhaa zao. Hasa, ikiwa ax2 bx c 0 ina mizizi r na s, basi r s -ba na rs ca. Katika kesi hii, a 1, b -sqrt5, na c 1, hivyo r s sqrt5 ona kwamba ishara hasi inaghairi na rs 1. nataka kupata r8 s8, ambayo ni nguvu ya juu sana. Nashangaa ikiwa naweza kurahisisha kwa kutumia vitambulisho fulani au sababu. Utambulisho mmoja unaokuja akilini ni r2 s22 r4 2r2 s2 s4, ambayo ina maana kwamba r4 s4 r 2 s22 - 2r2 s2. Nikitumia kitambulisho hiki kwa r8 s8, nitapata r8 s8 r4 s42 - 2r4 s4. Sasa ninahitaji kupata r4 s4 na r4 s4. Ili kupata r4 s4, Ninaweza kutumia utambulisho sawa tena, lakini kwa r2 na s2 badala ya r na s. napata r4 s4 r2 s 22 - 2r2 s2. Sasa ninahitaji kupata r2 s2 na r2 s2. Ili kupata r2 s2, I inaweza kutumia kitambulisho r s2 r2 2rs s2, ambayo inamaanisha kuwa r2 s2 r s2 - 2rs. Najua hilo r s sqrt5 na rs 1, ili niweze kuzibadilisha na kupata r2 s2 sqrt52 - 2 3. Kwa find r2 s2, Ninaweza kutumia kitambulisho rs2 r2 s2. Ninajua kuwa rs 1, ili niweze kuibadilisha na kupata r2 s2 1. Sasa nina kila kitu ninachohitaji ili kupata r4 s4. Ninaweza kuunganisha r2 s2 3 na r2 s2 1 hadi r4 s4 r2 s22 - 2r2 s2 na upate r4 s4 32 - 2 7. Vile vile, ninaweza kuchomeka r4 s4 7 na r4 s4 1 kwenye r8 s8 r4 s42 - 2r4 s4 na upate r8 s8 72 - 2 47. 