<prompt> Bibi ya Amy alimpa vidakuzi 3 vya chokoleti vilivyofanana na vidakuzi 4 vinavyofanana vya sukari. Je, ni kwa oda ngapi tofauti Amy anaweza kula vidakuzi hivi kwamba ama anakula keki ya chokoleti kwanza, anakula keki ya chokoleti mwisho, au zote mbili?  <response>: Ninahitaji kupata idadi ya njia za kupanga vidakuzi 3 vya chokoleti na vidakuzi 4 vya sukari kwenye mstari, ili kuki ya kwanza au ya mwisho au zote mbili ni chip ya chokoleti. Ninaweza kufikiria hili kama kuchagua nafasi za vidakuzi vya chokoleti kwenye mstari, na kisha kujaza iliyobaki na vidakuzi vya sukari. Ikiwa kuki ya kwanza ni chip ya chokoleti, basi nina vidakuzi 2 zaidi vya chokoleti kuweka katika nafasi 6 zilizobaki. Hili ni tatizo la mchanganyiko, kwani utaratibu wa cookies ya chokoleti haijalishi. Kwa hivyo, idadi ya njia za kufanya hivyo ni 6 chagua 2 6!2!4! 15. Vile vile, ikiwa keki ya mwisho ni chip ya chokoleti, basi nina vidakuzi 2 zaidi vya kuweka kwenye nafasi 6 za kwanza. Hili pia ni tatizo la mchanganyiko, na idadi ya njia za kufanya hivyo pia ni 6 chagua 2 15. Lakini subiri, nimehesabu baadhi ya kesi mara mbili. Kwa mfano, ikiwa kidakuzi cha kwanza na cha mwisho zote ni chip ya chokoleti, basi nina kidakuzi kimoja zaidi cha chokoleti kuweka katikati ya nafasi 5. Hili pia ni tatizo la mchanganyiko, na idadi ya njia za kufanya hivyo ni 5 chagua 1 5. Kwa hiyo, ili kuepuka kuhesabu kupita kiasi, ninahitaji kuondoa idadi ya matukio ambapo vidakuzi vya kwanza na vya mwisho ni chip ya chokoleti kutoka. jumla ya kesi ambapo kuki ya kwanza au ya mwisho ni chip ya chokoleti. Hii ndiyo kanuni ya kujumuisha-kutengwa. Kwa hivyo, jumla ya njia za kula kuki kama vile kuki ya kwanza au ya mwisho au zote mbili ni chip ya chokoleti ni 15 15 - 5 25. 