<prompt> Ikiwa mathbfa na mathbfb ni vekta mbili za kitengo, zenye pembe ya fracpi3 kati yao, basi hesabu kiasi cha parallelepiped inayozalishwa na mathbfa, mathbfb mathbfb nyakati mathbfa, na mathbfb.  <response>: Kwa hivyo, wacha tuanze kwa kutafuta vekta ya tatu. Kwa hivyo tunajua kuwa mathbfb nyakati mathbfa ni sawa na mathbfb na mathbfa na ina ukubwa sawa na bidhaa ya ukubwa wa mathbf. b na mathbfa mara ya sine ya pembe kati yao. Ambayo ni 1 cdot 1 cdot dfracsqrt32 dfracsqrt32 1 tu, kwani vekta zote mbili ni vekta za kitengo. Kwa hivyo tunaweza kusema kwamba mathbfb times mathbfa dfracsqrt32 mathbfv kwa baadhi ya vekta ya kitengo mathbfv. Sasa tunaweza kupata mathbfb mathbfb times mathbfa kwa kuongeza vekta mbili kwa sehemu. Tunajua kuwa mathbfb ni vekta ya kitengo, na tunaweza kuiandika kama mathbfb costheta mathbfu sintheta mathbfv , ambapo mathbfu na mathbfv ni vekta za kitengo zinazolingana na theta ni pembe kati ya mathbfb na mathbfu . Kwa hivyo sasa tunaweza kupata mathbfb mathbfb nyakati mathbfa costheta mathbfu sintheta mathbfv dfracsqrt32 mathbfv. Lakini mathbfu na mathbfv ni za kawaida, kwa hivyo hii ni costheta mathbfu sintheta dfracsqrt 32 mathbfv. Sasa tunaweza kupata kiasi cha parallelepiped kwa kuchukua bidhaa ya dot ya vekta. Ambayo ni mathbfa cdot tu mathbfb nyakati mathbfb mathbfb nyakati mathbfa. Haki. Kwa hivyo sasa tunaweza kuchomeka misemo tuliyopata awali ya mathbfb mathbfb times mathbfa na mathbfb times mathbfa. Ambayo inatupa mathbfa cdot costheta mathbfu sintheta mathbfv nyakati costheta mathbfu sintheta dfracsqrt32 mathbfv. Haki. Lakini sasa hii ni bidhaa ya msalaba wa vekta mbili, kwa hivyo tunaweza kutumia formula ya bidhaa ya msalaba. Tunapata mathbfa cdot cos2theta mathbfu nyakati mathbfu costheta sintheta mathbfu nyakati mathbfv sin2theta mathbfv nyakati mathbfu dhambitheta costheta mathbfv nyakati mathbfv dfrac34 sintheta mathbfv mara mathbfu. Lakini kwa kuwa mathbfu na mathbfv ni ya kawaida, tunajua kwamba mathbfu times mathbfu mathbfv times mathbfv mathbf0. Kwa hivyo tulichobaki nacho ni mathbfa cdot costheta sintheta mathbfu nyakati mathbfv sintheta costheta mathbfv nyakati mathbfu dfrac34 sintheta mathbfv nyakati mathbfu. Na kwa kuwa mathbfa ni vekta ya kitengo, hii ni sawa na dfrac34 sintheta mathbfa cdot mathbfu times mathbf v. Kwa hivyo tunaweza kusema kwamba mathbfu mara mathbfv sintheta mathbfw kwa vekta ya kitengo mathbfw. Kwa hivyo sasa tunayo mathbfa cdot dfrac34 sintheta sintheta mathbfw. Kwa hivyo tunataka kupata kiasi cha parallelepiped kinachozalishwa na mathbfa, mathbfb mathbfb times mathbfa, na mathbfb. Ni x cdot y mara z. Kwa hivyo tunataka kupata x cdot y times z mathbfb mathbfb nyakati mathbfa cdot mathbfb nyakati mathbfa . Haki, hebu kupanua kwamba. Tunapata mathbfb cdot mathbfa nyakati mathbfb mathbfb nyakati mathbfa cdot mathbfa nyakati mathbfb. Sawa, hebu tuipanue hiyo hata zaidi. mathbfb cdot mathbfa times mathbfb 0 kwani mathbfa nyakati mathbfb ni perpendicular kwa mathbfb . Na mathbfb nyakati mathbfa cdot mathbfa nyakati mathbfb mathbfb nyakati mathbfa2 leftfracsqrt32right2 frac34 since mathbfb times mathbfa fracsqrt32. Kwa hivyo sauti ni frac34 pekee. 