<prompt> Usemi x2 13x 30 unaweza kuandikwa kama x ax b, na usemi x2 5x - 50 umeandikwa kama x bx - c, ambapo a, b, na c ni nambari kamili. Je, thamani ya a b c ni nini?  <response>: Hebu tufanye ya kwanza. Tunahitaji kupata a na b kiasi kwamba x ax b x2 13x 30. Kwa hivyo tunahitaji kupata a na b kiasi kwamba ab 30 na a b 13. Haki. Kwa hivyo tunaweza kufanya hivi kwa kuorodhesha sababu zote za 30 na kuona ni zipi zinazokidhi sharti la pili. Au tunaweza kutumia fomula ya jumla ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic. Haki. Jumla ya mizizi ya mlingano wa quadratic ni -fracBA, ambapo A ni mgawo wa neno x2 na B ni mgawo wa neno x . Kwa hivyo hiyo inamaanisha kuwa jumla ya mizizi ya mlinganyo x2 13x 30 ni -frac131 -13. Sawa. Kwa hivyo tunatumia algoriti ya Euclidean kupata kigawanyo kikubwa zaidi cha kawaida cha x2 13x 30 na x2 5x - 50. Tunaweza kuandika hivyo kama gcdx2 13x 30, x2 5x - 50. Haki. Kwa hivyo hatua ya kwanza ya algoriti ya Euclidean ni kupata salio tunapogawanya x2 13x 30 na x2 5x - 50. Na tunaweza kufanya hivyo kwa kutumia mgawanyiko mrefu wa polynomial. Sawa. Kwa hivyo hatua ya kwanza ya mgawanyiko ni kugawanya x2 na x2. Hiyo ni 1. Kisha tunazidisha x2 5x - 50 kwa 1 na kuondoa hiyo kutoka x2 13x 30. Sawa. Kwa hivyo tunapata x2 13x 30 - x2 5x - 50. Hiyo ni x2 13x 30 - x2 - 5x 50. Ambayo ni 8x 80. Ambayo ni 8x 10. Kwa hivyo katika algorithm ya Euclidean, tunaandika gcdx2 13x 30, x2 5x - 50 gcdx2 5x - 50, 8x 10. Kisha tunapata salio tunapogawanya x2 5x - 50 kwa 8x 10. Tunaweza kutumia mgawanyiko mrefu wa polynomial tena. Kwa hivyo hatua ya kwanza ni kugawanya x2 na 8x. Hiyo ni fracx8. Baada ya hapo, tunazidisha 8x 10 kwa fracx8 na kuondoa hiyo kutoka x2 5x - 50. Kwa hivyo fracx88x 10 ni xx 10, ambayo ni x2 10x. Kisha tuna x2 5x - 50 - x2 10x. Ambayo inakuwa x2 5x - 50 - x2 - 10x. Na hiyo ni -5x - 50. Tunaweza pia kuandika hivyo kama -5x 10. Kwa hivyo katika algoriti ya Euclidean, sasa tunayo gcdx2 13x 30, x2 5x - 50 gcd8x 10, -5x 10. Kisha tunapata salio tunapogawanya 8x 10 kwa -5x 10. Tunatumia mgawanyiko mrefu wa polynomial tena. Hatua ya kwanza ni kugawanya 8x kwa -5x. Hiyo ni -frac85. Tunazidisha -5x 10 kwa -frac85 na kuondoa hiyo kutoka 8x 10. Sawa. Kwa hivyo -frac85-5x 10 ni 8x 10. Na kisha tuna 8x 10 - 8x 10, ambayo ni 0. Katika algoriti ya Euclidean, hiyo inamaanisha kuwa gcdx2 13x 30, x2 5x - 50 -5x 10. Lakini tunahitaji kupata x b. Haki. Kwa kuwa x b ni kipengele cha x2 13x 30 na x2 5x - 50, pia ni kipengele cha kigawanyo chao kikuu zaidi. Kwa hivyo ni kipengele cha -5x 10. Hiyo inamaanisha kuwa a ni 3, kwa sababu 3 na 10 huzidisha hadi 30 na kuongeza hadi 13. Kwa hivyo uboreshaji wa x2 13x 30 ni x 3x 10. Na factorization ya x2 5x - 50 ni x 10x - 5. Kwa hivyo a b c ni 3 10 5, ambayo ni 18. 