<prompt> Pointi A0,0, B9,6 na C6,12 ni wima za pembetatu ABC. Pointi D iko kwenye sehemu AB kiasi kwamba 2AD DB, uhakika E iko kwenye sehemu BC kiasi kwamba 2BE EC na uhakika F iko kwenye sehemu CA vile 2CF FA. Je, ni uwiano gani wa eneo la pembetatu DEF na eneo la pembetatu ABC? Eleza jibu lako kama sehemu ya kawaida.  <response>: Kwanza angalia kwamba ikiwa kipeo kimoja cha pembetatu kinasogezwa moja kwa moja kuelekea kipeo kingine ili kupunguza urefu wa upande mmoja wa pembetatu kwa kiasi cha k, basi eneo la pembetatu hiyo pia linapunguzwa kwa k. Ili kuona hili, fikiria upande ambao unapungua kama msingi katika mlinganyo textareafrac12textbasetextheight.Tumia mabano kuashiria eneo; kwa mfano, ABC inarejelea eneo la pembetatu ABC. Tunayo DBEfrac13DBCfrac13leftfrac23ABCrightfrac2 9ABC. Vile vile, ADFCFEfrac29ABC. Kwa hivyo, anzaalignDEFABC-ADF-CFE-DBE kushoto1-frac29-frac29-frac29kuliaABC frac13ABC,endalign hivyo DEFABCfrac13.asykuagiza grafu;ukubwa 150;defaultpenlinewidth0.7;dotfactor4;xaxisTiketi ,1.0,anzafalse,mwishofalse,NoZero,Size3,Mishale4;yaxisTiketi ,1.0,anzafalse,endfalse,NoZero,Size3,Arrows4;jozi A0,0, B9,6, C6,12, D2A3B3, Ep2B3C3, F 2C3A3;jozi nuktaA,B,C,D,Ep,F;Lebo alfabetiA, B, C, shift5,0D, E, F;kuchoraA--B--C--mzunguko;kuchora Ep--D--F--mzunguko;int i;kwai0;i5;inuktaalfabetii,nuktai,kipandenuktai-ABC3;asy 