<prompt> Dirisha la kawaida la pande sita huviringishwa mara nne. Uwezekano kwamba bidhaa ya nambari zote nne zilizoviringishwa ni mraba kamili ni tfracmn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya. Tafuta mn.  <response>: Tambua kuwa, zaidi ya nambari 5, nambari zilizobaki 1, 2, 3, 4, 6 zinaweza kugawanywa tu na 2 naau 3. Tunaweza kufanya baadhi ya matukio kwenye idadi ya 5 zilizokunjwa kumbuka kuwa kuna 64 1296 matokeo.Kesi ya 1 rahisi: Nne 5 zimeviringishwa. Hili lina uwezekano wa frac164 kutokea.Kesi ya 2: Mbili 5 zimeviringishwa.Kesi ya 3: Hakuna 5 zimeviringishwa.Ili kupata idadi ya matokeo ya kesi mbili za mwisho, tutatumia kujirudia. Fikiria kifo cha pande 5 chenye nyuso zilizo na nambari 1, 2, 3, 4, 6. Kwa n ge 1, acha a_n ilingane na idadi ya matokeo baada ya kukunja nambari mara n, na mali ambayo bidhaa ni mraba. Kwa hivyo, a_1 2 kama 1 na 4 ndio uwezekano pekee.Ili kupata a_n1 iliyopewa a_n ambapo n ge 1, tunaona kwamba ikiwa n za kwanza zitaongezeka hadi mraba kamili, basi safu ya mwisho lazima iwe 1 au 4. Hii inatoa 2a_n matokeo. Vinginevyo, safu n za kwanza hazizidishi hadi mraba kamili matokeo 5n - a_n. Katika kesi hii, tunadai kwamba safu ya mwisho imedhamiriwa kipekee ama 2, 3, au 6. Ikiwa bidhaa ya roli za kwanza za n ni 2x 3y ambapo x na y zote si sawa, basi tunaona kwamba ikiwa x na y zote ni za kipekee, basi za mwisho. roll lazima iwe 6; ikiwa x pekee ni isiyo ya kawaida, safu ya mwisho lazima iwe 2, na ikiwa y pekee ni isiyo ya kawaida, safu ya mwisho lazima iwe 3. Kwa hivyo, tuna 5n - a_n matokeo katika kesi hii, na a_ n1 2a_n 5n - a_n 5n a_n.Kuhesabu a_2, a_3, a_4 kunatoa a_2 7, a_3 32, na a_4 157. Kwa hivyo kwa Kesi ya 3, kuna matokeo 157. Kwa kesi ya 2, tunazidisha kwa binom42 6 ili kusambaza 5 mbili kati ya safu nne. Hivyo uwezekano nifrac1 6 cdot 7 15764 frac20064 frac25162 inamaanisha mn 187. 