<prompt> Tafuta anuwai ya chaguo za kukokotoa fx fracxx2-x1,ambapo x inaweza kuwa nambari yoyote halisi. Toa jibu lako kwa nukuu ya muda.  <response>: Acha y iwe nambari katika safu ya f. Hii inamaanisha kuwa kuna nambari halisi x hivi kwamba y fracxx2-x1.Inazidisha pande zote mbili kwa x2-x1 na kupanga upya, tunapata mlingano yx2-y1xy0.Kwa kuwa x2-x1 x -tfrac122 tfrac34 0 kwa x zote, hatua zetu zinaweza kutenduliwa, kwa hivyo y iko katika anuwai ya f ikiwa tu ikiwa mlinganyo huu una suluhu halisi la x. Kwa upande mwingine, mlinganyo huu una suluhu la kweli la x ikiwa tu ikiwa kibaguzi cha quadratic hii si hasi. Kwa hivyo, aina mbalimbali za f zinajumuisha thamani za y ambazo zinakidhi y12 - 4y2 ge 0,au 0 ge 3y2 - 2y - 1.Vigezo hivi vya quadratic kama 0 ge 3y1y-1,ambayo ina maana kwamba suluhu za ukosefu wa usawa zinatolewa na -tfrac13 le y le 1. Kwa hivyo. , anuwai ya g ni muda uliofungwa -tfrac13, 1. 