<prompt> Acha a na b ziwe suluhu za mlinganyo 2x2-10x50. Je, thamani ya 2a-34b-6 ni nini?  <response>: Tatizo hili linahusisha milinganyo ya quadratic na mizizi yake, kwa hivyo nitaanza kwa kukumbuka baadhi ya ukweli wa kimsingi kuzihusu. Ikiwa ax2bxc0 ni mlinganyo wa quadratic, basi jumla ya mizizi yake ni -ba na bidhaa ya mizizi yake ni ca. Hii mara nyingi huitwa fomula za Vieta, na inaweza kutolewa kwa kuweka mlinganyo kama ax-r_1x-r_20, ambapo r_1 na r_2 ndio mizizi. Katika tatizo hili, mlinganyo ni 2x2-10x50, kwa hivyo ninaweza kutumia fomula za Vieta kupata jumla na bidhaa ya a na b. Jumla ya a na b ni --1025 na bidhaa ya a na b ni 52. Sasa, nataka kupata thamani ya 2a-34b-6. Ninagundua kuwa usemi huu unaweza kupanuliwa kama 8ab-12a-12b18. Ikiwa naweza kupata thamani za 8ab, -12a, na -12b, basi ninaweza kuziongeza na kuongeza 18 ili kupata jibu. Ili kupata 8ab, ninaweza kutumia ukweli kwamba ab52 na kuzidisha pande zote mbili kwa 8, na kupata 8ab20. Ili kupata -12a na -12b, ninaweza kutumia ukweli kwamba ab5 na kuzidisha pande zote mbili kwa -12, na kupata -12a-12b-60. Kwa hivyo, nina 8ab-12a-12b1820-6018-22. Hii ina maana kwamba thamani ya 2a-34b-6 ni -22. 