<prompt> Kwa kuzingatia nambari kamili n, inaweza kuonyeshwa kuwa kila nambari changamano ya fomu rsi, ambapo r na s ni nambari kamili, inaweza kuonyeshwa kwa njia ya kipekee katika msingi -ni. kwa kutumia nambari kamili 1,2,ldots,n2 kama tarakimu. Yaani mlinganyorsia_m-nima_m-1-nim-1cdots a_1-ni a_0ni kweli kwa chaguo la kipekee la nambari kamili isiyo hasi m na tarakimu a_0,a_1,ldets,a_m zilizochaguliwa kutoka kwa seti 0,1,2,ldets,n2 , yenye a_mne 0. Tunaandika rsia_ma_m-1lddots a_1a_0_-nikuashiria msingi -ni upanuzi wa rsi.Kuna nambari kamili tu k0i ambazo zina upanuzi wa tarakimu nneka_3a_2a_1a_0_-3i qquad a_3 neq 0.Tafuta jumla ya k hizo zote.  <response>: Kusema kuwa k a_3a_2a_1a_0_-3i ni kusema kwamba k a_3-3i3 a_2-3i2 a_1-3 i a_0.Kupanua upande wa kulia, tuna k -18a_38a_2-3a_1a_0 26a_3-6a_2a_1i.Kwa kuwa k ni nambari halisi , sehemu ya kufikiria ya upande wa kulia lazima iwe sifuri; yaani, 26a_3 - 6a_2 a_1 0au 26a_3 6a_2 - a_1.Kumbuka kwamba 0 le a_1, a_2, a_3le 9, hivyo 6a_2 - a_1 le 6 cdot 9 - 0 54. Kwa hivyo, 26a_3 le 54, kwa hivyo a_3 le 2. Tunachukua kesi, tukikumbuka kwamba a_3 neq 0:Ikiwa a_3 1, basi tuna 6a_2 - a_1 26. Suluhisho la pekee la mlinganyo huu ni a_1, a_2 4, 5, kwa hivyo tuna k -18a_3 8a_2 - 3a_1 a_0 -18 cdot 1 8 cdot 5 -3 cdot 4 a_0 10 a_0.Tangu a_0 katika 0, 1, 2, ldots, 9, thamani zinazowezekana za k ni 10, 11, 12, ldots, 19 , na hizi zina jumla 10 11 12 dots 19 frac29 cdot 102 145.Ikiwa a_3 2, basi tuna 6a_2 - a_1 52. Suluhisho pekee la mlinganyo huu ni a_1, a_2 2, 9, kwa hivyo tuna k -18a_3 8a_2 - 3a_1 a_0 -18 cdot 2 8 cdot 9 -3 cdot 2 a_0 30 a_0.Kwa hivyo, thamani zinazowezekana za k ni 30, 31, 32, lddots, 39, ambazo ni jumla ya 30 31 32 dots 39 frac69 cdot 102 345.Tukijumlisha visa vyote viwili, tunapata jibu, 145 345 490. 