<prompt> Katika pembetatu ABC wastani wa overlineAD na overlineCE una urefu wa 18 na 27, mtawalia, na AB24. Ongeza overlineCE ili kukatiza mduara wa ABC kwa F. Eneo la pembetatu AFB ni msqrtn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya na n haiwezi kugawanywa kwa mraba wa msingi wowote. Tafuta mn.  <response>: asy ukubwa 150; pathpen upana wa mstari0.7; pointpen nyeusi; kalamu f fontsize8; jozi A0,0, B24,0, EAB2, CIPCRA,370.5,CRE,27 , DBC2, FIPcircumcircleA,B,C,E--C2E-C; DDMPA,A--DMPB,B--DMPC,C,NW--mzunguko; D mduaraA,B,C; DMPF,F; DA--D; DC--F; DA--F--B; DMPE,E,NE; DMPD,D,NE; MP12,AE2,SE,f;MP12,BE2,f; MP27,CE2,SW,f; MP18,AD2,SE,f; asyKutumia Nadharia ya Stewart kwa wastani AD, CE, tuna:anzaalign BC2 4 cdot 182 2kushoto242 AC2kulia 242 4 cdot 272 2left AC2 BC2kulia mwishoalignKubadilisha mlingano wa kwanza hadi wa pili na kurahisisha hutoa 242 2left3AC2 2 cdot 242 - 4 cdot 182kulia- 4 cdot 272 Longrightarrow AC sqrt25 cdot 3 2 cdot 35 24 cdot 33 - 27 cdot 3 3sqrt70.Kwa Nguvu ya Nadharia ya Uhakika kwenye E, tunapata EF frac12227 frac163. Sheria ya Cosines kwenye pembetatu ACE inatoaanzaalign cos angle AEC kushotofrac122 272 - 9 cdot 702 cdot 12 cdot 27kulia frac3 8 mwishopangaKwa hivyo sin angle AEC sqrt1 - cos2 angle AEC fracsqrt558. Kwa sababu pembetatu AEF, BEF zina urefu sawa na besi sawa, zina eneo sawa, na ABF 2AEF 2 cdot frac 12 cdot AE cdot EF sin angle AEF 12 cdot frac163 cdot fracsqrt558 8sqrt55, na jibu ni 8 55 63. 