<prompt> Ni kwa njia ngapi tofauti wanafunzi wanne wanaweza kusimama kwenye mstari ulionyooka ikiwa wanafunzi wawili watakataa kusimama kando ya kila mmoja wao?  <response>: Tatizo hili linahusisha kuhesabu idadi ya mipango inayowezekana ya wanafunzi wanne, ambayo ni aina ya vibali. Walakini, sio ruhusa zote zinazoruhusiwa, kwani wanafunzi wawili wana kizuizi kwa nafasi zao. Wacha tuwaandike wanafunzi wanne kama A, B, C, na D, na tuchukulie kuwa A na B ndio ambao hawataki kusimama karibu na kila mmoja. Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kuzingatia hali iliyo kinyume: ni njia ngapi A na B zinaweza kusimama karibu na kila mmoja? Ikiwa tunachukulia A na B kama kitengo kimoja, basi tuna vitengo vitatu vya kupanga: AB, C, na D. Idadi ya njia za kupanga vitengo vitatu katika mstari ni 3!, au 6. Hata hivyo, ndani ya kitengo AB , tunaweza pia kubadilishana nafasi za A na B, kwa hiyo tunahitaji kuzidisha kwa 2. Kwa hiyo, idadi ya njia ambazo A na B zinaweza kusimama karibu na kila mmoja ni 3! 2, au 12. Sasa, tunaweza kutumia kanuni inayokamilisha kutafuta idadi ya njia ambazo A na B hazisimami karibu na nyingine. Kwa kuwa jumla ya njia za kupanga wanafunzi wanne katika mstari ni 4!, au 24, tunaweza kutoa idadi ya njia ambazo A na B husimama karibu na kila mmoja kutoka kwa jumla. Kwa hivyo, idadi ya njia ambazo A na B hazisimama karibu na kila mmoja ni 4! - 3! 2, au 24 - 12, au 12. 