<prompt> Je! ni jumla gani ya thamani kamili n ambayo binom2613binom26nbinom2714 ni gani?  <response>: Kwa mfano, binom2613 ni idadi ya njia za kuchagua vipengee 13 kutoka kwa seti ya vipengee 26. Mgawo wa binomial binomnk pia unaweza kukokotwa kwa kutumia fomula binomnkfracn!k!n-k!, ambapo n! ni kipengele cha n, ambacho ni zao la nambari kamili chanya hadi n. Kwa mfano, binom2613frac26!13!13!. Tatizo huuliza jumla ya thamani zote kamili za n zinazokidhi mlinganyo binom2613binom26nbinom2714. Ninagundua kuwa equation ina mgawo wa binomial upande wa kulia ambao unajumuisha kuchagua vitu 14 kutoka kwa seti ya vitu 27. Hii inanifanya nifikirie utambulisho wa Pascal, unaosema kuwa binomnkbinomn-1kbinomn-1k-1. Utambulisho huu unaweza kufasiriwa kama kusema kwamba idadi ya njia za kuchagua vitu k kutoka seti ya vitu n ni sawa na jumla ya idadi ya njia za kuchagua vitu k kutoka seti ya n-1. , na idadi ya njia za kuchagua k-1 kutoka kwa seti ya n-1. Hii inaeleweka, kwa sababu tunaweza kujumuisha au kutenga kipengee cha n-th katika kitengo chetu kidogo, na kisha kuchagua vipengee vilivyosalia kutoka kwa vipengee n-1 vya kwanza. Kwa kutumia utambulisho wa Pascal, ninaweza kuandika upya upande wa kulia wa mlinganyo kama binom2714binom2614binom2613. Nikibadilisha hii kwenye mlinganyo, ninapata binom2613binom26nbinom2614binom2613. Kwa kurahisisha, ninapata binom26nbinom2614. Sasa, nakumbuka kwamba sifa nyingine ya misimbo ya binomial ni binomnkbinomnn-k. Hii ina maana kwamba idadi ya njia za kuchagua bidhaa k kutoka seti ya vitu n ni sawa na idadi ya njia za kuchagua n-k vitu kutoka seti moja. Hii inaeleweka, kwa sababu kuchagua vitu k ni sawa na kuacha vitu n-k. Kwa kutumia kipengele hiki, ninaweza kuandika upya mlinganyo kama binom26nbinom2626-14. Kwa kurahisisha, ninapata binom26nbinom2612. Hii ina maana kwamba n lazima iwe ama 12 au 26-12, ambayo ni 14. Hizi ndizo thamani kamili mbili pekee za n zinazokidhi mlinganyo, kwa sababu mgawo wa binomial ni sifuri ikiwa k ni hasi au kubwa kuliko. n. Kwa hivyo, jumla ya thamani zote kamili za n zinazokidhi mlinganyo ni 121426. 