<prompt> Tafuta n kiasi kwamba 25 cdot 32 cdot n 8!.  <response>: Ninagundua kuwa upande wa kushoto wa mlinganyo una nguvu za 2 na 3, lakini upande wa kulia una kipengele. Nashangaa kama ninaweza kuandika upya kipengele kama bidhaa ya mamlaka ya 2 na 3 na primes nyingine. Nakumbuka 8! inamaanisha 8 mara 7 mara 6 na kuendelea hadi 1. Ninaweza kuandika kila moja ya vipengele hivi kama bidhaa ya msingi kwa kutumia kipengele cha mti au mtihani wa mgawanyiko. Kwa mfano, 8 ni 2 cubed, 7 ni mkuu, 6 ni 2 mara 3, 5 ni mkuu, 4 ni 2 mraba, 3 ni mkuu, 2 ni mkuu, na 1 ni 1. Hivyo 8! ni sawa na 2 cubed mara 7 mara 2 mara 3 mara 5 mara 2 mraba mara 3 mara 2 mara 1. Ninaweza kuunganisha nguvu za 2 na 3 pamoja na kuandika 8! kama 2 hadi nguvu ya saba mara 3 mraba mara 5 mara 7. Sasa naweza kulinganisha hii na upande wa kushoto wa mlinganyo na kuona ni nini n lazima iwe. Ninaona kuwa upande wa kushoto una nguvu 2 hadi ya tano, lakini upande wa kulia una nguvu 2 hadi saba. Kwa hivyo n lazima iwe na 2 mraba kama sababu ya kufanya tofauti. Pia ninaona kuwa upande wa kushoto una miraba 3, ambayo inalingana na upande wa kulia. Kwa hivyo n haihitaji vipengele vingine vya 3. Pia naona kwamba upande wa kushoto hauna mambo yoyote ya 5 au 7, lakini upande wa kulia una. Kwa hivyo n lazima iwe na 5 na 7 kama sababu za kufanya tofauti. Kwa hivyo, n lazima iwe na mraba 2 mara 5 mara 7, ambayo ni 140. 