<prompt> Kwa kuzingatia alama P kwenye kipande cha karatasi cha pembe tatu ABC,, zingatia mikunjo inayoundwa kwenye karatasi wakati A, B,, na C, zinakunjwa kwenye P., Hebu tuite P alama ya kukunjwa ya pembetatu ABC, ikiwa mikunjo hii, ambayo nambari tatu isipokuwa P ni mojawapo ya vipeo, isikatike. Tuseme kwamba AB36, AC72,, na angle B90circ., Kisha eneo la seti ya alama zote za pembetatu ABC, linaweza kuandikwa ndani fomu qpi-rsqrts,, ambapo q, r,, na s, ni nambari kamili chanya na s, haigawanyiki kwa mraba wa msingi wowote. . qrs, ni nini?  <response>: Acha O_AB iwe makutano ya viambatanisho vya pembeni kwa maneno mengine, makutano ya mikunjo ya overlinePA na overlinePB, na kadhalika. Kisha O_AB, O_BC, O_CA ni, mtawalia, viini vya pembetatu PAB, PBC, PCA. Kwa mujibu wa taarifa ya tatizo, circumcenters ya pembetatu hawezi kulala ndani ya mambo ya ndani ya pembetatu husika, kwa kuwa sio kwenye karatasi. Inafuata kwamba angle APB, angle BPC, angle CPA 90circ; eneo la kila mojawapo ya masharti husika ya P ni eneo ndani ya miduara nusu yenye kipenyo overlineAB, overlineBC, overlineCA.Tunakumbuka kuwa mduara wenye kipenyo cha AC hufunika pembetatu nzima kwa sababu ni mduara wa pembetatu ABC, kwa hivyo inatosha kuchukua makutano ya miduara kuhusu AB, BC. Tunakumbuka kuwa makutano yao yapo ndani kabisa ya pembetatu ABC chord inayounganisha ncha za eneo kwa kweli ni urefu wa pembetatu ABC kutoka B. Kwa hivyo, eneo la locus ya P eneo lenye kivuli chini ni jumla ya sehemu mbili za miduara. Ikiwa tutaunda vituo vya kati vya M_1, M_2 overlineAB, overlineBC na kutambua kuwa pembetatu M_1BM_2 sim pembetatu ABC, tunaona kwamba sehemu hizi mtawalia zimepunguza 120circ arc kwenye mduara yenye radius 18 na 60circ arc kwenye mduara wenye radius 18sqrt3.asy pair projectpair X, pair Y, real rreturn XrY-X; path endptprojectpair X, pair Y, real a, real breturn projectX,Y,a --projectX,Y,b; pathpen linewidth1; ukubwa 250; kalamu nukta linetype2 3 linewidth0.7, dashi linetype8 6linewidth0.7blue, bluedots linetype1 4 linewidth0.7 blue; jozi B 0,0, A36,0, C0,363.5, PDMPP,6,25, NE, F DmguuB,A,C; DDMPA,A -- DMPB,B -- DMPC,C,N -- mzunguko; kujazaarcAB2,18,60,180 -- arcBC2,183.5,-90,-30 -- mzunguko, rgb0.8,0.8 ,0.8; DarcAB2,18,0,180,vitone; DarcBC2,183.5,-90,90, nukta; DarcAC2,36,120,300,vitone; DB--F,vitone; DDBC2--F--DAB2,vitone; DC--P--B,dashi;DP--A,dashi; jozi Fa bisectorpointP,A, Fb bisectorpointP,B, Fc bisectorpointP,C; njia La endptprojectAP2,Fa,20,-30, Lb endptprojectBP2,Fb,12,-35; DLa,bluedots;DLb,bluedots;DendptprojectCP2,Fc,18,-15,bluedots;DIPLa,Lb,bluu; asy Mchoro unaonyesha P nje ya locus yenye rangi ya kijivu; tambua kwamba mikunjo ya samawati yenye vitone hukatiza ndani ya pembetatu, ambayo ni kinyume na masharti ya tatizo. Eneo la locus ni jumla ya makundi mawili ya miduara miwili; sehemu hizi hukata pembe 120circ, 60circ kwa mahusiano rahisi ya kufanana na kutafuta pembe.Kwa hivyo, jibu ni, kwa kutumia ufafanuzi wa frac 12 absin C wa eneo la pembetatu, leftfracpi3 cdot 182 - frac12 cdot 182 sin frac2pi3 kulia kushotofracpi6 cdot kushoto18sqrt3kulia2 - frac12 cdot 18sqrt32 sin fracpi3right 270pi - 324sqrt3, na q rs 597. 