<prompt> Ikiwa darasa la wanafunzi 25 litafanya mtihani kwa maswali 20 ya kuchagua chaguo-nyingi, kila swali likiwa na chaguo 5, kuna uwezekano gani kwamba mwanafunzi atafaulu mtihani kwa kukisia majibu yote ikiwa kufaulu kunahitaji kujibu angalau maswali 12 kwa usahihi?  <response>: Kwanza, tunahitaji kubainisha uwezekano wa kupata majibu sahihi ya k kati ya maswali n tunapokisia nasibu kutoka kwa chaguo la m kwa kila swali. Hii inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula ya uwezekano wa binomial:PXk Cn,k pk qn-kwapi:- PXk ni uwezekano wa kupata majibu k sahihi kabisa- Cn,k ni idadi ya michanganyiko ya kuchagua vitu k kutoka kwa seti ya vitu n- p ni uwezekano wa kupata swali moja sahihi 1m- q ni uwezekano wa kupata swali moja lisilo sahihi 1-p- n ni jumla ya idadi ya maswali- k ni idadi ya majibu sahihiKatika kesi hii, tunayo:n 20 jumla ya idadi ya maswalim 5 idadi ya chaguo kwa kila swalip 15 uwezekano wa kupata swali moja sahihiq 45 uwezekano wa kupata swali moja sio sahihiIli kupata uwezekano wa kufaulu mtihani kwa kubahatisha majibu yote, tunahitaji kukokotoa uwezekano wa kupata angalau majibu 12 sahihi. Hii inamaanisha tunahitaji kujumlisha uwezekano wa kupata 12, 13, 14, ..., majibu 20 sahihi:Ppasi PX12 PX13 ... PX20Kuhesabu kila neno kwa kutumia fomula ya uwezekano wa binomial na kuyajumlisha:Ppasi 0.0577Kwa hivyo, uwezekano kwamba mwanafunzi atafaulu mtihani kwa kukisia majibu yote ni takriban 5.77. 