<prompt> Mduara uko kwenye 5,15 na una eneo la sqrt130 units. Pointi Q x,y iko kwenye duara, ina viwianishi kamili, na thamani ya x-coordinate ni mara mbili ya thamani ya y-coordinate. Je, ni thamani gani ya juu inayowezekana kwa x?  <response>: Ninagundua kuwa shida inahusisha mduara, kwa hivyo ninakumbuka mlinganyo wa duara katika hali ya kawaida: x-h2 y-k2 r2, ambapo h,k ndio kitovu. na r ni radius. Katika hali hii, ninaweza kuunganisha thamani zilizotolewa za h, k, na r ili kupata: x-52 y-152 130. Pia ninagundua kuwa shida inanipa uhusiano kati ya x na y: yaani, x 2y. Hii inamaanisha kuwa ninaweza kubadilisha 2y kwa x katika mlingano wa mduara na kupata: 2y-52 y-152 130. Huu ni mlinganyo wa quadratic katika y, ambao ninaweza kupanua na kurahisisha: 4y2 - 20y 25 y2 - 30y 225 130. Kwa kuchanganya maneno kama hayo, napata: 5y2 - 50y 120 0. Ili kutatua kwa y, naweza kuangazia au kutumia fomula ya quadratic. Ninagundua kuwa mlinganyo huu unaweza kugawanywa kwa 5, kwa hivyo ninaweza kuupunguza hadi: y2 - 10y 24 0. Sasa naona kuwa mambo haya ni mazuri kuwa: y-6y-4 0. Kwa hiyo, y 6 au y 4. Kwa kuwa x 2y, naweza kupata thamani zinazolingana za x kwa kuongeza y: x 12 au x 8 mara mbili. Hizi ndizo tu nambari kamili zinazowezekana za x na y zinazokidhi mlingano wa duara na uhusiano x 2y. Shida inauliza dhamana ya juu zaidi ya x, kwa hivyo ninachagua kubwa zaidi: x 12. 