<prompt> Kuna umbali gani kati ya katikati ya duara yenye mlinganyo x2y26x-8y24 na uhakika -3,-12?  <response>: Ninatambua kuwa mlinganyo huu hauko katika umbo la kawaida la duara, ambalo ni x-h2y-k2r2, ambapo h,k ndio kitovu na r ni radius. Ili kuiweka katika fomu hiyo, ninahitaji kukamilisha mraba kwa masharti yote ya x na y. Ninaweza kuandika tena mlinganyo kama x2-6xy28y24. Ili kukamilisha mraba wa x2-6x, ninahitaji kuongeza na kutoa 6229 ndani ya mabano. Ili kukamilisha mraba wa y28y, ninahitaji kuongeza na kutoa 82216 ndani ya mabano. Hii inanipa x2-6x9y28y1624916. Kwa kurahisisha, ninapata x-32y4249. Sasa ninaweza kuona kwamba katikati ya duara ni 3,-4 na radius ni sqrt497. Ili kupata umbali kati ya kituo na uhakika -3,-12, naweza kutumia fomula ya umbali, ambayo ni dsqrtx_2-x_12y_2-y_12 . Kuchomeka maadili, napata dsqrt-3-32-1242. Kwa kurahisisha, napata dsqrt-62-82. Kwa kurahisisha zaidi, ninapata dsqrt3664. Hatimaye, nitapata dsqrt10010. 