<prompt> Pata umbali kati ya ndege x 2y - 2z 1 0 na 2x 4y - 4z 5 0.  <response>: Ninajua kuwa umbali kati ya ndege mbili zinazofanana ni sawa na umbali kutoka kwa sehemu yoyote kwenye ndege moja hadi ndege nyingine, iliyopimwa kwa mwelekeo wa kawaida wa kawaida. Kwa hivyo ninahitaji kupata uhakika kwenye ndege moja na vekta ya kawaida kwa ndege zote mbili. Ninaweza kuona kwamba vekta ya kawaida kwa ndege zote mbili ni sawa na mgawo wa x, y, na z katika milinganyo, kwa hivyo ni langle 1, 2, -2 rangle. Ili kupata uhakika kwenye ndege moja. , naweza tu kuchagua maadili yoyote kwa vijiti viwili na kutatua ya tatu. Kwa mfano, nikiruhusu x 0 na y 0 kwenye ndege ya kwanza, nitapata -2z 1 0, hivyo z frac12. Kwa hivyo pointi moja kwenye ndege ya kwanza ni langle 0, 0, frac12 rangle. Sasa naweza kutumia fomula ya umbali kutoka sehemu moja hadi ndege, ambayo ni fracAx By Cz DsqrtA2 B2 C2, ambapo A, B, C, D ni migawo ya mlingano wa ndege na x, y, z ndio uhakika. Nikichomeka thamani za ndege ya pili, ninapata frac20 40 - 4frac12 5sqrt22 4 2 -42 frac3sqrt36 frac12. 