<prompt> Tatua mlingano wa joto u_t k u_xx kwenye muda 0, L na masharti ya mipaka u0,t uL,t 0 na hali ya awali ux,0 fx.  <response>: Ili kutatua equation ya joto na mipaka iliyotolewa na hali ya awali, tunaweza kutumia mgawanyo wa vigezo. Hebu ux,t XxTt, ambapo Xx ni chaguo za kukokotoa za x pekee na Tt ni chaguo za kukokotoa za t pekee.Kubadilisha hii katika equation ya joto, tunapata:XxTt k XxTtSasa gawanya pande zote mbili kwa kXxTt:TT k XXKwa kuwa upande wa kushoto unategemea t tu na upande wa kulia unategemea x tu, lazima ziwe sawa na mara kwa mara, sema -λ2:TT -λ2XX -1k λ2Sasa tunayo milinganyo miwili ya kawaida ya kutofautisha:Kwa Xx:X 1k λ2 X 0na masharti ya mpaka X0 XL 0.Kwa Tt:T λ2 T 0Kwanza, wacha tusuluhishe kwa Xx. Suluhisho la jumla ni:Xx A dhambi1k λ x B cos1k λ xKutumia hali ya mpaka X0 0 inatupa B 0. Kwa hiyo,Xx A dhambi1k λ xKutumia hali ya mpaka XL 0 inatupa:A dhambi1k λ L 0Kwa kuwa A 0, lazima tuwe na dhambi1k λ L 0, ambayo ina maana kwamba 1k λ L n π kwa nambari kamili n. Kwa hivyo, λ_n n π k L2.Sasa wacha tusuluhishe kwa Tt. Suluhisho la jumla ni:Tt C e-λ2 tKwa hivyo suluhisho zilizotengwa hutolewa na:u_nx,t A_n dhambi1k λ_n x e-λ_n2 tIli kupata suluhisho kamili ux,t, tunahitaji kujumlisha juu ya maadili yote yanayowezekana ya n:ux,t Σ A_n dhambin π x L e-n π k L2 tHatimaye, tunahitaji kubainisha miraba A_n kwa kutumia hali ya awali ux,0 fx:fx Σ A_n dhambin π x LHuu ni uwakilishi wa mfululizo wa Fourier sine wa fx. Ili kupata coefficients A_n, tunaweza kutumia sifa ya orthogonality ya vitendaji vya sine na kuunganisha pande zote mbili kwa heshima na x kutoka 0 hadi L:0,L fx dhambim π x L dx A_m 0,L dhambi2m π x L dxKwa kutumia sifa ya orthogonality, kiungo cha upande wa kulia kinakuwa L2 wakati mn na 0 vinginevyo. Kwa hiyo,A_m 2L 0,L fx dhambim π x L dxSasa tunayo suluhisho kamili la equation ya joto:ux,t Σ 2L 0,L fx dhambim π x L dx dhambim π x L e-m π k L2 t 