<prompt> Pirate Pete anashiriki hazina yake na Pirate Paul kwa njia ya kuvutia. Pete kwanza anasema, Moja yangu, moja yako, akijipa sarafu moja na kuanzisha rundo la Paulo kwa sarafu moja. Kisha Pete anasema, Mbili kwa ajili yangu, na mbili kwa ajili yako, akijipa sarafu mbili zaidi lakini akifanya lundo la sarafu mbili za Paulo kwa jumla. Kisha Pete anasema, Tatu kwa ajili yangu, tatu kwa ajili yako huku akijipa sarafu tatu zaidi na kufanya lundo la Paulo la sarafu tatu kwa jumla. Mtindo huu unaendelea hadi Pete atajipatia x zaidi sarafu lakini anafanya rundo la sarafu za x za Paul kwa jumla. Katika hatua hii sarafu zote zimesambazwa, na Pirate Pete ana sarafu mara nne zaidi ya Pirate Paul. Je, wana sarafu ngapi za dhahabu kwa jumla?  <response>: Ninahitaji kupata thamani ya x ambayo hufanya rundo la Pete kuwa kubwa mara nne kuliko rundo la Paul, na kisha kuongeza sarafu kwenye milundo yote miwili. Acha niandike mlinganyo wa idadi ya sarafu katika kila rundo baada ya hatua ya x-th. Rundo la Pete lina 1 2 cdots x coins, ambayo ni mfululizo wa hesabu wenye tofauti ya kawaida ya masharti ya 1 na x. Fomula ya jumla ya mfululizo wa hesabu ni S_n fracn2a_1 a_n, ambapo n ni idadi ya masharti, a_1 ni muhula wa kwanza, na a_n ni muhula wa mwisho. Katika hali hii, S_x fracx21 x fracx2 x2. Rundo la Paul lina sarafu za x, kwa hivyo mlinganyo ni fracx2 x2 4x. Ili kutatua kwa x, ninahitaji kufuta sehemu na kurahisisha. Kuzidisha pande zote mbili kwa 2, napata x2 x 8x. Nikitoa 8x kutoka pande zote mbili, ninapata x2 - 7x 0. Kutoa x, ninapata xx - 7 0. Suluhu ni x 0 na x 7. Suluhisho la kwanza, x 0, haina maana, kwa sababu basi hakutakuwa na sarafu kabisa. Suluhu ya pili, x 7, ina maana kwamba Pete anajipa 7 zaidi sarafu na rundo la Paul ni 7 sarafu kwa jumla. Ili kupata jumla ya idadi ya sarafu, ninahitaji kuongeza sarafu kwenye rundo zote mbili. Rundo la Pete lina frac72 72 28 sarafu. Rundo la Paul lina sarafu za 7. Jumla ni 28 7 35 sarafu. 