<prompt> Je, ni thamani gani ya jumla frac12 frac16 frac112 cdots frac1nn1 cdots frac19900? Eleza jibu lako kama sehemu ya kawaida.  <response>: Kwanza kabisa, madhehebu ya sehemu hizi wakati mwingine huitwa nambari za mviringo kwa kuwa huunda mistatili ambayo ni sehemu moja ndefu kuliko upana wake: 1 mara 2 2, 2 mara 3 6, 3 nyakati 4 12, 4 mara 5 20, nk. Kiashiria cha mwisho katika usemi ni 99 mara 100 9900. Hebu tutafute jumla ya istilahi chache kwa wakati mmoja na tuone ikiwa tutaona muundo.anzaalignfrac12 frac16 frac23, frac12 frac16 frac112 frac34, frac12 frac16 frac112 frac120 frac45,mwishoalignna kadhalika. Jumla ya masharti n ya kwanza inaonekana kuwa fracnn 1.Tuseme hivyofrac12 frac16 frac112 dots frac1n - 1n frac1 nn 1 fracnn 1 1 - frac1n 1.Kishafrac12 frac16 frac112 vidoti frac1n - 1n fracn - 1n 1 - frac1n.Tukiondoa milinganyo hii, tunapatafrac1nn 1 frac1n - frac1n 1.Kumbuka kwamba tunaweza kuthibitisha utambulisho huu kwa aljebra:frac1n - frac1n 1 fracn 1nn 1 - fracnnn 1 frac1nn 1.Kwa hivyo, jumla ya sehemu 99 katika usemi nianzaalignfrac12 frac16 frac112 cdots frac1nn1 cdots frac 19900 kushoto 1 - frac12 kulia kushoto frac12 - frac13 kulia kushoto frac13 - frac14 kulia vidoti kushoto frac199 - frac1100 kulia 1 - frac1100 frac99100.mwishopanga 