<prompt> Kwa nambari ngapi n na 1 le n le 2012 ndio bidhaa prod_k0n-1 kushoto kushoto 1 e2 pi i k n kulian 1 kuliasawa na sifuri?  <response>: Wacha tufikirie kile kinachotokea tunapochukua bidhaa. Ikiwa n1, basi bidhaa ni 2, kwa hivyo hiyo haifanyi kazi. Tunajua kuwa moja ya sababu lazima iwe 0. Hiyo ni sawa. Hebu tuangalie kipengele cha jumla left1e2pi i k nkulian 1 na kuiweka sawa na 0. Hiyo ina maana left1e2pi i k nrightn -1 Tunajua kwamba ei theta cos theta i sin theta . Ili tuweze kuandika 1e2pi i k n 1 cos frac2pi kn i sin frac2pi kn Hebu tuangalie kwa ukubwa wa 1e2pi i k n. Tunatumia ukweli kwamba z sqrtx2 y2, ambapo x na y ni sehemu halisi na za kuwaziwa za z. Kwa hivyo ukubwa ni sqrt1cos frac2pi kn2 sin2 frac2pi kn. Kwa kuwa 1cos frac2pi kn2 sin2 frac2pi kn 2 2 cos frac2pi k n, ukubwa ni sqrt2 2 cos frac2pi kn. Na tunatumia utambulisho sin2 x cos2 x 1. Haki. Kwa hivyo ukubwa wa 1e2pi i k n ni sqrt1 2 cos frac2pi kn 1 sqrt2 2 cos frac2pi kn. Kwa sababu tunataka ukubwa uwe 1, tuna equation sqrt2 2 cos frac2pi kn 1. Kwa hivyo 2 2 cos frac2pi kn 1, na 2cos frac2pi kn -1. Kwa hivyo cos frac2pi kn -frac12. Hii hutokea wakati frac2pi kn frac2pi3 2pi m kwa nambari kamili m. Haki. Katika kesi ya kwanza, k fracn3 m n. Katika hali ya pili, k frac2n3 m n. Kwa hivyo tunataka kupata thamani za n ambazo angalau mojawapo ya milinganyo hii ina suluhu kamili ya k. Haki. Hebu fikiria equation ya kwanza. Tunataka fracn3 m n iwe nambari kamili. Hii ina maana kwamba n lazima igawanywe kwa 3. Haki. Vipi kuhusu mlingano wa pili? Tunataka tena frac2n3 m n kuwa nambari kamili. Kwa hivyo tena n lazima igawanywe kwa 3. Kwa hivyo tunataka kupata nambari kamili kutoka 1 hadi 2012 ambazo zinaweza kugawanywa kwa 3. Kwa hivyo 1 cos frac2pi k3k i sin frac2pi k3k3k -1. Tunajua kwamba cos frac2pi k3k cos frac2pi3 -frac12 na sin frac2 pi k3k sin frac2pi3 fracsqrt32. Kwa hivyo 1 -frac12 i fracsqrt323k -1. Kwa hivyo frac12 i fracsqrt323k -1. Kwa hivyo cos fracpi3 i sin fracpi33k -1. Kwa hivyo ei pi 33k -1. Kwa hivyo ei 3k pi 3 -1. Kwa hivyo ei k pi -1. Subiri kidogo. Tunajua kwamba ei k pi cos k pi i sin k pi. Haki. Kwa hivyo cos k pi i sin k pi -1. Kwa sababu sehemu halisi ya -1 ni -1, tunajua kwamba cos k pi -1. Na kwa sababu sehemu ya kufikiria ya -1 ni 0, tunajua kwamba sin k pi 0. Haki. Kwa hivyo cos k pi -1 ikiwa na tu ikiwa k ni nambari kamili isiyo ya kawaida. Kwa hivyo tunataka kupata idadi ya vizidishio visivyo vya kawaida vya 3 kati ya 1 na 2012. Hebu tugawanye 2012 kwa 3 na tuone ni nambari ngapi zisizo za kawaida kati ya 1 na frac20123. Kwa hivyo tunataka tu kupata idadi ya nambari zisizo za kawaida kati ya 1 na 670. Hiyo ni rahisi. Kuna 335 nambari zisizo za kawaida kati ya 1 na 670. 