<prompt> Kuna njia ngapi za kuweka mipira 5 kwenye masanduku 2 ikiwa mipira inaweza kutofautishwa lakini sanduku hazitofautishi?  <response>: Hiyo inamaanisha kuwa kubadilishana yaliyomo katika visanduku viwili hakuundi mpangilio mpya, kwa hivyo inabidi tuepuke kuhesabu nakala. Njia moja ya kukabiliana na tatizo hili ni kutumia dhana ya partitions, ambayo ni njia za kugawanya seti ya vitu katika sehemu ndogo. Katika kesi hii, tunagawanya seti ya mipira 5 katika sehemu ndogo mbili, moja kwa kila sanduku. Mpangilio wa mipira ndani ya kila sanduku haijalishi, kwa hivyo tunajali tu juu ya saizi za vifaa vidogo. Kwa mfano, sehemu moja inayowezekana ni 3, 2, ambayo inamaanisha tuna mipira 3 kwenye kisanduku kimoja na 2 kwenye nyingine. Ugawaji mwingine unaowezekana ni 5, 0, ambayo inamaanisha tuna mipira yote 5 kwenye kisanduku kimoja na hakuna kwenye lingine. Je, kuna sehemu ngapi za mipira 5 katika seti 2 ndogo? Naam, tunaweza kuziorodhesha kama ifuatavyo: 5, 0, 4, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 4, 0, 5. Lakini kumbuka, hatutaki kuhesabu nakala, ili tuweze kupuuza sehemu ambazo ni ubadilishaji wa kila mmoja. Hiyo inamaanisha tunahitaji tu kuzingatia 5, 0, 4, 1, na 3, 2. Kwa kila kizigeu, tunahitaji kuhesabu ni njia ngapi tunaweza kugawa mipira kwa vikundi vidogo. Kwa 5, 0, kuna njia moja tu: weka mipira yote kwenye kisanduku kimoja. Kwa 4, 1, kuna njia 5: tunaweza kuchagua mipira yoyote kati ya 5 iwe kwenye kisanduku chenye mpira 1, na iliyobaki itaingia kwenye kisanduku na mipira 4. Kwa 3, 2, kuna njia 10: tunaweza kuchagua mipira yoyote 3 kati ya 5 kuwa kwenye kisanduku chenye mipira 3, na iliyosalia itaingia kwenye kisanduku na mipira 2. Hii ni sawa na kuchagua mipira 2 kati ya 5 kuwa kwenye kisanduku chenye mipira 2, ndiyo maana tunapata 10 5 chagua 2. Kwa hivyo, jumla ya idadi ya njia za kuweka mipira 5 kwenye masanduku 2 ikiwa mipira iko. inayoweza kutofautishwa lakini sanduku sio 1 5 10 16. 