<prompt> Kwa kila nambari kamili chanya x, acha gx iashiria nguvu kubwa zaidi ya 2 inayogawanya x. Kwa mfano, g204 na g1616. Kwa kila nambari kamili n, acha S_nsum_k12n-1g2k. Tafuta nambari kamili n chini ya 1000 ambayo S_n ni mraba kamili.  <response>: Imetolewa g : x mapsto max_j : 2j x 2j, zingatia S_n g2 cdots g2n. Bainisha S 2, 4, ldets, 2n. Kuna vipengele 20 vya S ambavyo vinaweza kugawanywa kwa 2n, 21 - 20 20 vipengele vya S ambavyo vinaweza kugawanywa kwa 2n-1 lakini si kwa 2n, lddots, na 2n-1-2n-2 2n-2 vipengele vya S ambavyo vinaweza kugawanywa kwa 21 lakini sivyo. kwa 22.Hivyoanzaalign S_n 20cdot2n 20cdot2n-1 21cdot2n-2 cdots 2n- 2cdot21 2n n-12n-1 2n-1n1.maliziaalignHebu 2k kiwe nguvu kubwa zaidi ya 2 inayogawanya n1. Kwa hivyo kwa fomula iliyo hapo juu, nguvu ya juu kabisa ya 2 inayogawanya S_n ni 2kn-1. Ili S_n iwe mraba kamili, kn-1 lazima iwe sawa. Ikiwa k ni isiyo ya kawaida, basi n1 ni sawa, kwa hivyo kn-1 ni isiyo ya kawaida, na S_n haiwezi kuwa mraba kamili. Kwa hivyo k lazima iwe sawa. Hasa, kama n1000, tuna chaguo tano kwa k, yaani k0,2,4,6,8.Ikiwa k0, basi n1 ni isiyo ya kawaida, kwa hivyo kn-1 ni isiyo ya kawaida, kwa hivyo nguvu kubwa zaidi ya 2 inayogawanya S_n ina kipeo kisicho cha kawaida, kwa hivyo S_n si a mraba kamili.Katika hali zingine, kumbuka kuwa kn-1 ni sawa, kwa hivyo nguvu ya juu zaidi ya 2 ikigawanya S_n itakuwa mraba kamili. Hasa, S_n itakuwa mraba kamili ikiwa tu n12k ni mraba kamili usio wa kawaida.Ikiwa k2, basi n1000 inadokeza kuwa fracn14 le 250, kwa hivyo tuna n1 4, 4 cdot 32, ldots , 4 cdot 132, 4cdot 32 cdot 52.Ikiwa k4, basi n1000 inadokeza kuwa fracn116 le 62, kwa hivyo n1 16, 16 cdot 32, 16 cdot 5 2, 16 cdot 72.Ikiwa k6, basi n1000 inadokeza kuwa fracn164le 15, kwa hivyo n164,64cdot 32.Ikiwa k8, basi n1000 inadokeza kuwa fracn1256le 3, hivyo n1256.Kwa kulinganisha neno kubwa zaidi katika kila kisa, tunapata kwamba kiwango cha juu zaidi kinachowezekana n kiasi kwamba S_n ni mraba kamili ni 4cdot 32 cdot 52 - 1 899. 