<prompt> Bainisha mlolongo kwa kujirudia kwa F_00,F_11, na F_n iwe salio wakati F_n-1F_n-2 inagawanywa kwa 3, kwa yote ngeq 2. Hivyo mfuatano unaanza 0,1,1,2,0,2,ldets F_2017F_2018F_2019 ni nini F_2020F_2021F_2022F_2023F_2024?  <response>: Ninatambua mfuatano huu kama badiliko la mfuatano wa Fibonacci, ambapo kila neno ni jumla ya istilahi mbili za awali, lakini modulo 3 iliyopunguzwa. Ninashangaa ikiwa kuna muundo au mzunguko katika mfuatano huu ambao ninaweza kutumia kurahisisha ukokotoaji. Ninaanza kuandika masharti zaidi ya mlolongo: 0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,ldot I kumbuka kuwa mfuatano huo unarudia kila masharti 8: 0,1,1,2,0,2,2,1. Hii ina maana kwamba F_n inategemea tu thamani ya n modulo 8. Kwa mfano, F_9F_11, F_10F_21, F_11F_32, na kadhalika. Hii pia inamaanisha kuwa jumla ya masharti yoyote 8 mfululizo ni sawa: 011202219. Kwa hivyo, kupata jumla ya masharti 8 mfululizo kuanzia F_2017 , Ninahitaji tu kupata thamani ya F_2017 na nitumie mzunguko. Ili kupata F_2017, ninahitaji kupata salio wakati 2017 inagawanywa kwa 8. Ninaweza kutumia mgawanyiko mrefu au kikokotoo kupata hiyo 20178mara 2521. Kwa hivyo, 2017sawa 1pmod8. Hii ina maana kwamba F_2017F_11. Kwa hivyo, jumla ya masharti 8 mfululizo kuanzia F_2017 ni sawa na jumla ya masharti 8 ya kwanza. Masharti 8: 9. 