<prompt> Kundi la wanafunzi 10 wa Caltech huenda Lake Street kwa chakula cha mchana. Kila mwanafunzi anakula katika Chipotle au Panda Express. Je! ni kwa njia ngapi tofauti wanafunzi wanaweza kwenda kula chakula cha mchana kwa pamoja?  <response>: Ninahitaji kuhesabu idadi ya mipango inayowezekana ya wanafunzi kati ya mikahawa miwili. Kwa kila thamani ya k, mgawo wa binomial 10 kuchagua k hunipa idadi ya njia za kugawa wanafunzi k kwa Chipotle, na iliyosalia, 10 - k, kwa Panda Express. Kwa hivyo jumla ya idadi ya mipangilio ni jumla ya coefficients hizi zote za binomial, kutoka k 0 hadi k 10. Hii ni sawa na 2 n, ambapo n ni 10, kwa nadharia ya binomial. Vinginevyo, ningeweza kugundua kuwa kila mwanafunzi ana chaguo mbili, Chipotle au Panda Express, na kila chaguo ni huru kutoka kwa zingine, kwa hivyo jumla ya mipango ni bidhaa ya 2 kwa kila mwanafunzi, ambayo pia ni 2 n. Kwa njia yoyote, napata jibu sawa: 210 1024. 