<prompt> Mlinganyo z6z310 una mzizi mmoja changamano wenye hoja theta kati ya 90circ na 180circ katika ndege changamano. Bainisha theta, kwa digrii.  <response>: Ili kusuluhisha mizizi changamano ya mlingano huu, ninahitaji kuiandika upya kwa njia inayoniruhusu kutumia mizizi ya umoja. Ninagundua kuwa equation ni quadratic kulingana na z3, kwa hivyo ninaweza kuihesabu kama z32z310. Kisha ninaweza kutumia fomula ya quadratic kupata thamani za z3. napata z3frac-1pmsqrt-32. Ili kupata mizizi changamano ya mlingano huu, ninahitaji kuandika thamani hizi. ya z3 katika umbo la polar, kwa kutumia moduli na hoja. Moduli ya z3 ni sqrtfrac14frac34sqrt11. Hoja ya z3 ni pembe ambayo nambari changamano hufanya kwa mhimili halisi chanya. Kwa z3frac-1sqrt-32, hoja ni 120circ, kwa kuwa iko katika roboduara ya pili na ina mteremko wa sqrt3 . Kwa z3frac-1-sqrt-32, hoja ni 240circ, kwa kuwa iko katika roboduara ya tatu na ina mteremko wa - sqrt3. Ili kupata thamani za z, ninahitaji kuchukua mizizi ya mchemraba ya z3. Hii ina maana kwamba moduli ya z ni mzizi wa mchemraba wa moduli ya z 3, ambayo ni 1131. Hoja ya z ni theluthi moja ya hoja ya z3, kwani kuzidisha nambari changamano huongeza hoja zao. Kwa hivyo, kwa z31e120circ i, napata z1e40circ i, 1e160circ i, 1e280 circ i. Kwa z31e240circ i, napata z1e80circ i, 1e200circ i, 1e 320circ i. Hizi ni mizizi sita changamani za mlingano, na zimepangwa kwa usawa kuzunguka duara la kitengo. Tatizo linauliza mzizi kwa hoja kati ya 90circ na 180circ. Mzizi pekee unaotosheleza hali hii ni z1e160circ i. Kwa hiyo, theta160 mduara. 