<prompt> Emma anacheza na vigae vyake vya mraba kwa kupanga vyote katika maumbo tofauti ya maumbo ya mstatili. Kwa mfano, mstatili wa 5 kwa 7 ungetumia vigae vya 35 na utazingatiwa kuwa mstatili sawa na mstatili wa 7 kwa 5. Emma anaweza kuunda takwimu kumi tofauti za mstatili ambazo kila moja hutumia vigae vyake vyote. Ni idadi gani ndogo zaidi ya vigae ambavyo Emma angeweza kuwa nazo?  <response>: Acha k iwe nambari ya vigae. Kuna matukio mawili: Ikiwa k ina vigawanyiko ishirini, basi tunaweza kuzigawanya katika jozi kumi, ambayo inatupa njia 10 za kuandika k kama bidhaa ya nambari mbili chanya. Vinginevyo, ikiwa k ina vigawanyiko 19, basi k ni mraba. Kwa hivyo zaidi ya kisa cha mraba, kuna 19 - 12 9 njia za kuandika k kama bidhaa ya nambari mbili chanya, ambayo hutupatia jumla ya 9 1 10 njia.Ikiwa uainishaji mkuu wa k ni p_1e_1 p_2e_2 dotsm p_ne_n, basi idadi ya vigawanyo vya k nie_1 1e_2 1 dotsm e_n 1.Kumbuka kwamba e_i ge 1 kwa kila i, kwa hivyo kila kipengele e_i 1 ni angalau 2.Iwapo k ina vigawanyiko 19, basi k lazima iwe ya fomu p18, ambapo p ndiyo ya kwanza. Nambari ndogo zaidi ya fomu hii ni 218 262144.Vinginevyo, k ina vigawanyiko 20. Tunataka kuandika 20 kama bidhaa ya vipengele, ambayo kila moja ni angalau 2. Hapa kuna njia zote:20 2 cdot 10 4 cdot 5 2 cdot 2 cdot 5.Kwa hivyo, tuna visa vifuatavyo:i. kp19 kwa p. ndogo zaidi kama hiyo hupatikana wakati p2, ambayo inatoa k219.ii. kpq9 kwa primes tofauti p na q. k ndogo zaidi hupatikana wakati p 3 na q 2 ambayo inatoa k29cdot3.iii. kp3 q4 kwa primes tofauti p na q. k ndogo zaidi hupatikana wakati p 3 na q 2, ambayo inatoa k24 cdot33432.iv. kpqr4 kwa primes tofauti p, q, na r. k ndogo zaidi hupatikana wakati p 3, q 5, na r 2, ambayo inatoa k24cdot3cdot5240.Kwa hivyo, idadi ndogo ya tiles ambazo Emma anaweza kuwa nazo ni vigae 240. 