<prompt> Miduara minne tofauti huchorwa kwenye ndege. Je, ni idadi gani ya upeo wa juu wa pointi ambapo angalau miduara miwili inaingiliana?  <response>: Ninahitaji kuhesabu ni jozi ngapi za miduara zinaweza kuingiliana, na kisha kuzidisha hiyo kwa idadi ya pointi ambapo kila jozi inaweza kuingiliana. Ili kupata idadi ya jozi, naweza kutumia formula ya mchanganyiko: nCr n! r! n - r!, Ambapo n ni idadi ya miduara na r ni 2. Kwa hiyo, idadi ya jozi ni 4C2 4! 2! 2! 6. Kwa kila jozi ya miduara, wanaweza kuingiliana mara mbili zaidi, isipokuwa ni kwa bahati mbaya, ambayo imetolewa na tatizo. Kwa hivyo, idadi ya juu ya sehemu za makutano ni mara 6 mara 2, ambayo ni 12. 