<prompt> Pembetatu ABC ina pande overlineAB, overlineBC, na overlineCA ya urefu wa 43, 13, na 48, mtawalia. Acha omega iwe mduara unaozungushwa karibu na pembetatu ABC na D iwe makutano ya omega na sehemu ya pembetatu ya overlineAC ambayo haiko upande mmoja wa muhtasari waAC kama B. Urefu wa overlineAD unaweza kuonyeshwa kama msqrtn, ambapo m na n ni nambari kamili chanya na n haiwezi kugawanywa kwa mraba wa msingi wowote. Pata nambari kamili chini ya au sawa na m sqrtn.  <response>: Kipenyo cha pembetatu cha chord yoyote ya duara yoyote hupitia katikati ya duara hilo. Acha M iwe katikati ya overlineAC, na R iwe urefu wa radius ya omega. Kwa Nguvu ya Nadharia ya Uhakika, MD cdot 2R - MD AM cdot MC 242 au 0 MD2 -2Rcdot MD 242. Kwa Nadharia ya Pythagorean, AD2 MD2 AM2 MD2 242.Hebu tukokote mzunguko wa R: Kwa Sheria ya Cosines, cos B fracAB2 BC2 - CA22cdot ABcdot BC frac432 132 - 4822cdot43cdot13 -frac1143. Kwa Sheria ya Sines, 2R fracACsin B frac48sqrt1 - left-frac1143right2 frac86sqrt 3 hivyo R frac43sqrt 3.Sasa tunaweza kutumia hii kukokotoa MD na hivyo AD. Kwa fomula ya quadratic, MD frac2R sqrt4R2 - 4cdot2422 frac43sqrt 3 frac11sqrt3 18sqrt3. Tunachukua tu ishara chanya kwa sababu pembe B ni butu kwa hivyo overlineMD ni ndefu zaidi ya sehemu mbili ambazo chord overlineAC hugawanya kipenyo. Kisha AD2 MD2 242 1548 hivyo AD 6sqrt43, na 12 6 sqrt43 13 hivyo jibu ni 12. 