<prompt> Mstari hupitia vekta tofauti mathbfa na mathbfb. Kisha kwa thamani fulani ya k, vekta.3 mathbfa k mathbfblazima pia ilale kwenye mstari. Tafuta k.  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kukumbuka mali ya msingi ya vectors na mistari. Mstari ni seti ya pointi zinazoweza kuelezewa na mlinganyo wa mstari wa fomu mathbfx mathbfp t mathbfd, ambapo mathbfp ni fasta. point kwenye mstari, mathbfd ni vekta ya mwelekeo wa mstari, na t ni parameta ya scalar ambayo inatofautiana.,1 Vekta iko kwenye mstari ikiwa tu inakidhi mlinganyo wa mstari kwa thamani fulani ya t. Kwa hivyo, katika kesi hii, ninataka kupata thamani ya k ili vekta. 3 mathbfa k mathbfb inatosheleza mlingano wa mstari unaopitia mathbfa na mathbfb. Ili kupata mlingano wa mstari, ninahitaji chagua uhakika na vekta ya mwelekeo. Chaguo moja linalowezekana ni kuruhusu mathbfp mathbfa na mathbfd mathbfb - mathbfa, tangu mathbfb - mathbf a ni vekta inayoelekeza kutoka mathbfa hadi mathbfb. Kisha, mlinganyo wa mstari ni mathbfx mathbfa t mathbfb - mathbfa. Sasa, nataka kuona kama kuna thamani ya k kiasi kwamba 3 mathbfa k mathbfb mathbfa t mathbfb - mathbfa. Ninaweza kupanga upya mlinganyo huu ili kupata 2 mathbfa k mathbfb t mathbfb - mathbfa . Kwa kuwa mlinganyo huu lazima ushikilie kwa vipengele vyote vya vekta, naweza kulinganisha coefficients ya mathbfa na mathbfb pande zote mbili. Kwa mgawo wa mathbfa, nina 2 -t, hivyo t -2. Kwa mgawo wa mathbfb, Nina k t, hivyo k -2. Kwa hivyo, thamani ya k inayofanya 3 mathbfa k mathbfb lie kwenye mstari ni -2. 