<prompt> Je, mgawo wa x2y6 ni upi katika upanuzi wa leftfrac35x-fracy2right8? Eleza jibu lako kama sehemu ya kawaida.  <response>: Ili kupata mgawo wa x2y6 katika upanuzi wa leftfrac35x-fracy2right8, ninahitaji kutumia nadharia ya binomial, ambayo huniambia jinsi ya kuandika kila neno la upanuzi kama bidhaa ya mgawo wa binomial, nguvu ya muhula wa kwanza, na nguvu ya muhula wa pili. Mgawo wa binomial ni sawa na idadi ya njia za kuchagua idadi fulani ya vitu kutoka kwa seti kubwa zaidi, na imeandikwa kama binomnk, ambapo n ni saizi ya seti kubwa zaidi. na k ni saizi ya seti ndogo. Katika hali hii, seti kubwa zaidi ni vipengele nane vya leftfrac35x-fracy2right, na seti ndogo zaidi ni idadi ya vipengele vinavyochangia. neno x badala ya neno y. Kwa kuwa ninataka nguvu za x ziwe 2, ninahitaji kuchagua vipengele vya 2 kati ya 8 ziwe vipengele vya x, na vingine vitakuwa y. Kwa hivyo mgawo wa binomial ni binom82, ambayo ni sawa na frac8!2!6!. Nguvu ya muhula wa kwanza, ambayo ni frac35x, ni sawa na idadi ya mambo x niliyochagua, ambayo ni 2. Kwa hivyo nguvu ya muhula wa kwanza ni leftfrac35xright2. Nguvu ya muhula wa pili, ambayo ni -fracy2, ni sawa na idadi ya vipengele y ambavyo sikuchagua, ambayo ni 6. Kwa hivyo nguvu ya muhula wa pili ni left-fracy2right6. Nikizidisha hizi pamoja, napata kuwa neno ambalo lina x2y6 ni binom82leftfrac35xright2left- fracy2kulia6. Ili kupata mgawo wa x2y6, ninahitaji tu kurahisisha usemi huu kwa kuzidisha nambari na kupuuza vigeuzo. Ninaweza kughairi baadhi ya vipengele katika mgawo wa binomial, na kupata hiyo binom82frac8cdot 72cdot 128. Ninaweza pia kurahisisha nguvu za sehemu, na kupata hiyo leftfrac35xright2frac925x2 na left- fracy2kulia6frac164y6. Nikizidisha hizi pamoja, ninapata kwamba mgawo wa x2y6 ni 28cdot frac925cdot frac164frac63400. 