<prompt> Acha x na y ziwe nambari halisi kama hizoanzavmatrix 1 4 9 3 x y 3 y x mwishovmatrix 0.Tafuta x y.  <response>: Kiamuzi ni sifuri ikiwa na tu ikiwa safu wima au safu zinategemea mstari, kumaanisha kuwa ziko kwenye mstari au ndege moja. Njia moja ya kukokotoa kibainishi ni kutumia fomula ya upanuzi wa cofactor, ambayo inahusisha kuzidisha kila ingizo katika safu mlalo au safu wima na ndogo, ambayo ni kibainishi cha submatrix iliyopatikana kwa kufuta safu mlalo au safu hiyo, na kisha kubadilisha ishara. Nitatumia safu ya kwanza kufanya upanuzi wa cofactor, kwani ina maingizo rahisi zaidi. Kiamuzi basi ni sawa na 1 cdot M_1,1 - 4 cdot M_1,2 9 cdot M_1,3, ambapo M_i,j ni ndogo ya ingizo katika safu mlalo ya ith na safuwima jth. Ili kupata M_1,1, mimi hufuta safu mlalo ya kwanza na safu wima ya kwanza na kupata submatrix beginbmatrix x y y x endbmatrix. Kiamuzi cha submatrix hii ni x2 - y2, kwa kutumia fomula ya kibainishi cha 2 mara 2. Vile vile, M_1,2 anzabmatrix 3 y 3 x endbmatrix na M_1,3 anzabmatrix 3 x 3 y endbmatrix, na viashiria vyake ni 3x - 3y na 3y - 3x mtawalia. Nikichomeka hizi kwenye fomula ya upanuzi wa cofactor, napata kuwa kibainishi cha matrix asilia ni 1 cdot x2 - y2 - 4 cdot 3x - 3y 9 cdot 3y - 3x. Hii hurahisisha hadi x2 - y2 - 12x 12y 27y - 27x. Kwa kuwa kibainishi ni sifuri, naweza kuweka usemi huu sawa na sifuri na kujaribu kusuluhisha kwa x na y. Ninaweza kuandika tena mlinganyo kama x - yx y - 39 0. Hii ina maana kwamba ama x y au x y 39. Walakini, shida inasema kuwa x na y ni tofauti, kwa hivyo naweza kuondoa chaguo la kwanza. Kwa hiyo, uwezekano pekee ni kwamba x y 39. 