<prompt> Acha z na w ziwe nambari changamano kama vile z 1 na w 3. Ikiwa zw 2, kushoto ni nini frac1z frac1w right?  <response>: Tatizo hili linahusisha thamani kamili ya nambari changamano, ambayo pia inajulikana kama moduli au urefu wa vekta katika ndege changamano. Thamani kamili ya nambari changamano z a bi ni sqrta2 b2. Ikiwa z 1, hiyo inamaanisha kuwa z iko kwenye mduara wa kitengo katika ndege changamano, na a2 b2 1. Vile vile, ikiwa w 3, hiyo inamaanisha kuwa w iko kwenye mduara na radius 3 katika ndege changamano, na a2 b2 9. Tatizo pia linatupa hiyo zw 2, ambayo ina maana kwamba jumla ya vekta ya z na w iko kwenye mduara na radius 2 katika ndege changamano. Ili kupata kushoto frac1z frac1w right, Ninahitaji kutumia ukweli kwamba thamani kamili ya mgawo ni mgawo wa thamani kamili, yaani, left fracz_1z_2 kulia fracz_1z_2. Kwa hivyo, kushoto frac1z frac1w kulia kushoto fracwzzw kulia fracwzzw. Tayari najua hiyo wz 2, kwa hivyo ninahitaji kupata zw. Ili kufanya hivyo, ninaweza kutumia ukweli kwamba thamani kamili ya bidhaa ni bidhaa ya thamani kamili, yaani, z_1 z_2 z_1 z_2. Kwa hiyo, zw z w 1 cdot 3 3. Kwa hivyo, kushoto frac1z frac1w kulia fracwzzw frac23. 