<prompt> Acha L iwe mstari katika nafasi ambao unapitia asili na uhakika 2,1,-2. Pata onyesho la uhakika 3,6,15 kote L.  <response>: Ninataka kupata uhakika ambao ni linganifu na 3,6,15 kuhusiana na L. Njia moja ya kufanya hivyo ni kupata makadirio ya 3,6,15 kwenye L, na kisha sogea mara mbili hadi L katika mwelekeo huo huo. Ili kupata makadirio ya 3,6,15 kwenye L, ninahitaji kutumia fomula ya bidhaa ya nukta. Ikiwa u ni vekta kando ya L, na v ni vekta kutoka asili hadi 3,6,15, basi makadirio ya v kwenye u yanatolewa na frac ucdot vucdot uu. Ninaweza kuchagua vekta yoyote pamoja na L, lakini inayofaa ni vekta kutoka asili hadi 2,1,-2, ambayo pia ni 2,1,-2. Kwa hiyo u2,1,-2 na v3,6,15. Bidhaa ya nukta u na v ni . ucdot v 2cdot 3 1cdot 6 -2cdot 15 6 6 - 30 -18. Bidhaa ya nukta u na u ni ucdot u 22 12 -22 4 1 4 9. Kwa hivyo makadirio ya v kwenye u ni frac-1892, 1,-2 -22,1,-2 -4,-2,4. Hii ni vekta kutoka asili hadi mahali ambapo 3,6,15 hukutana na . L. Ili kupata onyesho la 3,6,15 kote L, ninahitaji kuongeza vekta hii kwenye vekta kutoka 3,6,15 hadi mahali pa makutano. Vekta kutoka 3,6,15 hadi hatua ya makutano ni -4,-2,4 - 3,6,15 -7,-8,-11. Hivyo basi kiakisi cha 3,6,15 kote L ni -4,-2,4 -7,-8,-11 -11,-10,-7. 