<prompt> Seti ya nambari halisi x ambayodfrac1x-2009dfrac1x-2010dfrac1x-2011ge 1ni muungano wa vipindi vya fomu a xle b. Je, ni jumla ya urefu wa vipindi hivi?  <response>: Kwa sababu tatizo linauliza jumla ya urefu wa vipindi, tunaweza kubadilisha x na x-2010, na jibu halitabadilika. Kisha tuna ukosefu wa usawa frac1x1frac1xfrac1x-1ge1.Let fx frac1x1frac1xfrac1x-1. Kumbuka kuwa fx ina dalili tatu za wima kwa x-1, 0, 1. Kwa kuwa kitendakazi gx 1x kinapungua kwa kila kipindi kilichounganishwa ambacho kimefafanuliwa, ni sawa na fx. Yaani, fx inapungua kwa kila kipindi -infty, -1, -1, 0, 0 ,1, na 1, infty.x inapokaribia infty na x inapokaribia -infty, tunaona fx inakaribia 0. Na x inakaribia kila moja ya dalili za wima x-1 , 0, 1 kutoka kushoto, fx inakaribia -infty, huku x inapokaribia kila moja ya dalili za wima kutoka kulia, fx inakaribia infty. Hii inaturuhusu kuchora grafu ya fx, kama inavyoonyeshwa hapa chini:asyukubwa cm 12;shoka tupu x0 halisi, x1 halisi, y0 halisi, y1 halisi chorax0,0--x1,0,Mshale wa Mwisho; chora0,y0--0,y1,Mshale wa Mwisho; lebox,x1,0,E; leboy,0,y1,N; kwa int isakafux01; i 