<prompt> Kwa nambari halisi chanya x, y, na z, hakuna ambayo ni sawa na 1, pataanzavmatrix 1 log_x y log_x z log_y x 1 log_y z log_z x log_z y 1 mwishovmatrix.  <response>: Vinginevyo, ninaweza kutumia upanuzi wa cofactor kando ya safu au safu yoyote, lakini ninagundua kuwa sheria ya Sarrus inaweza kuwa rahisi katika kesi hii, kwani tumbo lina sekunde 1 nyingi kwenye diagonal. Kwa hivyo, kwa kutumia sheria ya Sarrus, ninapataanzavmatrix 1 log_x y log_x z log_y x 1 log_y z log_z x log_z y 1 endvmatrix 1 cdot 1 cdot 1 logi_x y cdot log_y z cdot log_z x log_x z cdot log_y x cdot log_z y - log_x z cdot 1 cdot log_z x - log_x y cdot log_y x cdot 1 - 1 cdot log_y z cdot log_z y. Hili linaonekana kuwa gumu, lakini ninaweza kuirahisisha kwa kutumia baadhi ya sifa za logariti. Kwanza, nakumbuka kwamba log_a b cdot log_b c log_a c, kwani naweza kutumia mabadiliko ya formula ya msingi kuandika log_a b fraclog_c blog_c a na kisha ughairi masharti ya log_c b. Hii ina maana kwamba log_x y cdot log_y z cdot log_z x log_x x 1, na vivyo hivyo kwa masharti mengine yanayohusisha besi tatu tofauti. Pili, nakumbuka kwamba log_a a 1 na log_a b cdot log_b a 1, kwani ni utendakazi kinyume cha kila mmoja. Hii inamaanisha kuwa log_x z cdot log_z x 1, na vivyo hivyo kwa maneno mengine yanayohusisha msingi sawa mara mbili. Kwa hivyo, kwa kutumia mali hizi, naweza kuandika tena kibainishi kamaanzavmatrix 1 log_x y log_x z log_y x 1 log_y z log_z x log_z y 1 endvmatrix 1 cdot 1 cdot 1 1 1 - 1 - 1 - 1. Hii hurahisisha hadi 1 1 1 - 1 - 1 - 1 0. 