<prompt> Je, ni tarakimu ngapi N chini ya 1000 zinaweza kuandikwa kama jumla ya j nambari kamili chanya zinazofuatana kutoka kwa thamani 5 haswa za jge 1?  <response>: Acha nambari kamili ya kwanza iwe 2n1, ngeq 0. Kisha nambari kamili ya mwisho isiyo ya kawaida ni 2n1 2j-1 2nj - 1. Nambari kamili zisizo za kawaida huunda mfuatano wa hesabu kwa jumla N jleftfrac2n1 2nj-12right j2nj . Kwa hivyo, j ni kigezo cha N.Tangu ngeq 0, inafuata kwamba 2nj geq j na jleq sqrtN.Kwa kuwa kuna thamani kamili za 5 za j zinazokidhi mlinganyo, lazima kuwe na 9 au 10 N. Hii inamaanisha Np_12p_22 au Np_1p_24. Kwa bahati mbaya, hatuwezi kuchunguza tu viashiria kuu vya N kwa sababu kipengele 2nj haijumuishi nambari kamili za thamani yoyote ya j.Badala yake tunafanya kesi fulani:Ikiwa N ni isiyo ya kawaida, basi j lazima pia iwe isiyo ya kawaida. Kwa kila thamani isiyo ya kawaida ya j, 2nj pia ni isiyo ya kawaida, na kufanya kesi hii kuwa halali kwa j zote zisizo za kawaida. Ukiangalia fomu zilizo hapo juu na punguzo la 1000, N lazima iwe32cdot52, 32cdot72, 34cdot5, 34cdot7, 34cdot 11 Hizo hutoa uwezekano wa 5 kwa N isiyo ya kawaida.Ikiwa N ni sawa, basi j lazima pia iwe sawa. Tukibadilisha j2k, tunapataN 4knk Mshale mrefu wa kulia fracN4 knkSasa tunaweza tu kuangalia mambo yote kuu kwani nk inashughulikia nambari kamili kwa k yoyote. Kumbuka kuwa bei yetu ya juu sasa ni 250:fracN4 22cdot32,22cdot52,22cdot72, 32cdot52 , 24cdot3, 24cdot5, 24cdot7, 24cdot11, 24cdot13, 34cdot2Hizo hutoa uwezekano wa 10 hata N.Jumla ya nambari kamili N ni 5 10 15. 