<prompt> Acha mathbfa, mathbfb, na mathbfc ziwe vivekta vitatu vya kitengo cha othogonal, ili kwambamathbfa p mathbfa nyakati mathbfb q mathbfb nyakati mathbfc r mathbfc nyakati mathbfakwa baadhi ya alama p, q, na r, na mathbfa cdot mathbfb nyakati mathbfc 1. Pata p q r.  <response>: Ninatambua kuwa hili ni tatizo linalohusisha bidhaa ya nukta na bidhaa mtambuka ya vivekta. Pia ninagundua kuwa equation iliyotolewa ni mchanganyiko wa mstari wa vekta mathbfa times mathbfb, mathbfb times mathbfc, na mathbfc nyakati mathbfa, ambazo zenyewe ni zenye usawa na zina ukubwa wa 1, kwani mathbfa, mathbfb, na mathbfc ni vitengo vinavyolingana. vekta. Hii ina maana kwamba vekta mathbfa mara mathbfb, mathbfb mara mathbfc, na mathbfc mara mathbfa kuunda msingi wa mathbbR3, na vekta yoyote katika mathbbR3 inaweza kuandikwa kwa njia ya kipekee kama mchanganyiko wao wa mstari. Kwa hivyo, equation iliyotolewa ndiyo njia pekee ya kueleza mathbfa kulingana na mathbfa times mathbfb, mathbfb times mathbfc, na mathbfc times mathbfa, na viambajengo p,q, na r vimebainishwa kipekee. Ili kupata p, q, na r, naweza kutumia bidhaa ya nukta na kila moja ya vekta za msingi. Kwa mfano, kupata p, naweza kuweka alama pande zote mbili za mlinganyo uliotolewa na mathbfa times mathbfb. Hii inanipa p mathbfa cdot mathbfa nyakati mathbfb. Vile vile, kupata q, naweza kuweka alama pande zote mbili mathbfb mara mathbfc,na kupata r, Ninaweza kuweka alama pande zote mbili kwa mathbfc mara mathbfa. Hii inanipa q mathbfa cdot mathbfb nyakati mathbfc , r mathbfa cdot mathbfc times mathbfa. Sasa, ninahitaji kutathmini bidhaa hizi za nukta. Ninakumbuka kwamba bidhaa ya dot ya vectors mbili za orthogonal ni sifuri, na bidhaa ya dot ya vectors mbili sambamba ni bidhaa ya ukubwa wao na cosine ya angle kati yao. Pia ninakumbuka kuwa bidhaa ya msalaba wa vekta mbili za kitengo cha orthogonal ni vector nyingine ya kitengo cha orthogonal, na bidhaa ya msalaba wa vectors mbili sambamba ni sifuri. Kwa kutumia ukweli huu, ninaweza kurahisisha bidhaa za nukta kama ifuatavyo: p mathbfa cdot mathbfa times mathbfb 0, q mathbf a cdot mathbfb nyakati mathbfc 1, r mathbfa cdot mathbfc nyakati mathbfa 0 . Kwa hivyo, nimepata thamani za p, q, na r. Ili kupata p q r, ninahitaji tu kuziongeza: p q r 0 1 0 1. 