<prompt> ikipewa kundi A, na mkusanyiko wa vibali B. Kisha a kuna B kiasi kwamba A ni isomorphic hadi B; b kwa B yoyote, A ni isomorphic hadi B; c A kamwe haiwezi kuwa isomorphic hadi B; d hakuna kati ya zilizo hapo juu. Chaguo gani ni sahihi?Nadharia Husika: Nadharia ya Cayley, iliyopewa jina la mwanahisabati Mwingereza Arthur Cayley, ni tokeo la msingi katika nadharia ya kikundi, tawi la aljebra ya kufikirika. Nadharia inasema kwamba kila kundi G ni isomofi kwa kikundi kidogo cha kikundi cha ulinganifu kinachofanya kazi kwa G. Kwa maneno rahisi, hii ina maana kwamba kila kikundi kinaweza kuwakilishwa kama seti ya vibali vya vipengele vyake.Ili kuelewa nadharia, hebu kwanza tufafanue maneno kadhaa muhimu:1. Kikundi: Kundi ni seti G, pamoja na operesheni ya jozi kawaida huitwa kuzidisha au kuongeza, ambayo inakidhi sifa zifuatazo: - Kufungwa: Kwa vipengele vyote a, b katika G, a b pia iko kwenye G. - Ushirikiano: Kwa vipengele vyote a, b, c katika G, a b c a b c. - Utambulisho: Kuna kipengele e katika G kiasi kwamba kwa vipengele vyote a katika G, e a a e a. - Kinyume: Kwa kila kipengele a katika G, kuna kipengele b katika G hivi kwamba a b b a e kipengele cha utambulisho.2. Kikundi cha ulinganifu: Kikundi cha ulinganifu kwenye seti ya X ni kikundi cha vibali vyote vinavyowezekana vitendaji bijective vya vipengele vya X. Inaashiriwa na S_X au S_n, ambapo n ni idadi ya vipengele katika X.3. Isomorphism: Isomofimo kati ya vikundi viwili G na H ni kazi ya msingi f: G H inayohifadhi muundo wa kikundi, yaani, kwa vipengele vyote a, b katika G, fa b fa fb. Ikiwa kuna isomorphism kati ya G na H, tunasema kwamba G na H ni isomorphic.Sasa, wacha tuseme nadharia ya Cayley rasmi zaidi:Kwa kuzingatia kikundi G, kuna isomorphism kati ya G na kikundi kidogo cha kikundi cha ulinganifu S_G, ambapo S_G ni kikundi cha ulinganifu kinachofanya kazi kwenye seti ya G.Uthibitisho wa nadharia ya Cayley unahusisha kuunda utendaji maalum, unaoitwa uwakilishi wa kawaida wa kushoto, ambao hupanga kila kipengele cha G hadi upitishaji wa G. Chaguo hili la kukokotoa linaonyeshwa kuwa isomorphism kati ya G na kikundi kidogo cha S_G.Nadharia ya Cayley ina maana kadhaa muhimu katika nadharia ya kikundi. Inaonyesha kuwa kila kikundi kinaweza kuzingatiwa kama kikundi cha vibali, ambacho hutoa njia madhubuti ya kusoma vikundi vya kufikirika. Zaidi ya hayo, inaangazia umuhimu wa vikundi vya ulinganifu, kwani vinaweza kutumika kuwakilisha kundi lingine lolote.  <response>: a 