<prompt> Kwa nambari fulani chanya n, kuna nambari halisi x_1,x_2, dots, x_n kiasi kwambaanzaalignx_1 x_2 x_3 vitone x_n 1000, x_14 x_24 x_34 vitone x_n4 512000.endalignTafuta nambari ndogo kabisa chanya n ambayo hii inawezekana kwayo.  <response>: Ninagundua kuwa shida inahusisha jumla ya nguvu za anuwai sawa, ambayo inanikumbusha juu ya maana ya usawa wa nguvu. Ukosefu wa usawa wa nguvu unasema kwamba kwa nambari zozote chanya a_1, a_2, dots, a_n na vielezi vyovyote r 8. Lakini ni n 125 thamani ndogo iwezekanavyo? Ili kuangalia hili, ninahitaji kujua ikiwa kuna nambari halisi x_1, x_2, dots, x_125 zinazokidhi milinganyo iliyotolewa. Ninajaribu kutafuta suluhisho rahisi, ambapo x_i zote ni sawa. Ikiwa x_1 x_2 dots x_125 x, basi ninaanzaalign125x 1000 125x4 512000.endalign Kutatua kwa x, ninapataanzaalignx frac1000125 8 x4 frac512000125 4096.endalign Ninahakikisha kwamba thamani hizi zinalingana, na zinalingana. Kwa hivyo, nimepata suluhu ambapo n 125. Hii inamaanisha kuwa n 125 ndio nambari ndogo kabisa chanya ambayo milinganyo iliyotolewa ina suluhisho. 