<prompt> Pembetatu ABC na pembe ya kulia ni C, angle BAC 45circ na AB 4. Pointi P kwenye overlineAB imechaguliwa kiasi kwamba angle APC 2angle ACP na CP 1. Uwiano wa fracAPBP unaweza kuwakilishwa katika fomu p qsqrtr, ambapo p, q, r ni nambari kamili chanya na r sio. inaweza kugawanywa kwa mraba wa mkuu wowote. Pata pqr.  <response>: Acha O iwe mduara wa ABC na uruhusu makutano ya CP na mduara yawe D. Sasa inafuata kwamba angleDOA 2angle ACP angleAPC angleDPB. Kwa hivyo ODP ni isosceles na OD DP 2.Bainisha E makadirio ya O kwenye CD. Sasa CD CP DP 3. Kwa Nadharia ya Pythagorean, OE sqrt 22 - frac 3222 sqrt frac 74. Sasa kumbuka kuwa EP frac 12. Kwa Nadharia ya Pythagorean, OP sqrt frac 74 frac 1222 sqrt 2. Kwa hivyo sasa inafuata kwamba,frac APBP frac AO OPBO - OP frac 2 sqrt 22 - sqrt 2 3 2sqrt 2Hii inatoa kwamba jibu ni 7. 