<prompt> Mpira hutupwa kutoka futi 1000 kwenda juu na kila mara huruka juu nusu ya umbali ambao umeanguka. Je, baada ya midundo mingapi mpira utafikia kimo cha juu chini ya futi 1?  <response>: Ninahitaji kutafuta njia ya kuelezea urefu wa juu wa mpira baada ya kila mdundo kulingana na idadi ya midundo. Ninagundua kuwa urefu wa juu baada ya kuteleza kwa kwanza ni futi 500, ambayo ni nusu ya futi 1000. Baada ya kuruka kwa pili, urefu wa juu ni futi 250, ambayo ni nusu ya futi 500. Kwa ujumla, inaonekana kwamba urefu wa juu baada ya bounce n-th ni 10002 n futi. Kwa mfano, ikiwa n 0, basi 10002 0 futi 1000, ambayo ni urefu wa awali wa mpira. Ikiwa n 1, basi 10002 1 futi 500, ambayo ni urefu baada ya bounce ya kwanza. Ikiwa n 2, basi 10002 2 futi 250, ambayo ni urefu baada ya bounce ya pili. Ili kujibu swali, ninahitaji kupata thamani ndogo zaidi ya n kiasi kwamba 10002n 1. Ninaweza kujaribu baadhi ya thamani za n na kuona ni lini ukosefu huu wa usawa utaridhika mara ya kwanza. Ikiwa n 3, basi 10002 3 futi 125, ambayo bado ni ya juu sana. Ikiwa n 4, basi 10002 4 futi 62.5, ambayo pia ni ya juu sana. Ikiwa n 5, basi 10002 5 futi 31.25, ambayo bado ni ya juu sana. Ikiwa n 6, basi 10002 6 futi 15.625, ambayo bado ni ya juu sana. Ikiwa n 7, basi 10002 7 futi 7.8125, ambayo bado ni ya juu sana. Ikiwa n 8, basi 10002 8 futi 3.90625, ambayo bado ni ya juu sana. Ikiwa n 9, basi 10002 9 futi 1.953125, ambayo bado ni ya juu sana. Ikiwa n 10, basi 10002 10 futi 0.9765625, ambayo ni chini ya futi 1. Kwa hivyo, mpira utafikia urefu wa juu chini ya futi 1 baada ya kuruka 10. 