<prompt> Grafu yar -2 cos theta 6 dhambi thetani mduara. Tafuta eneo la duara.  <response>: Huu ni hesabu ya polar ya duara, na ninahitaji kupata eneo lake kulingana na radius. Ili kufanya hivyo, ninahitaji kubadilisha equation ya polar kuwa equation ya mstatili, kwa kutumia vitambulisho x r cos theta na y r sin theta. Kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo wa polar kwa r, ninapata r2 -2r cos theta 6r sin theta, na kisha kuchukua nafasi ya r2 na x2 y2 , r cos theta na x, na r sin theta na y, napata x2 y2 -2x 6y. Ili kufanya hii ionekane zaidi kama mlingano wa kawaida wa mduara, ninahitaji kukamilisha mraba kwa x na y. Ili kufanya hivyo, ninahamisha masharti ya mara kwa mara hadi upande mwingine, na kuweka masharti ya x na y pamoja: x2 2x y2 - 6y 0. Ili kukamilisha mraba kwa x, ninahitaji kuongeza 222 1 kwa pande zote mbili, na kwa y, ninahitaji kuongeza -622 9 kwa pande zote mbili. Hii inanipa x 12 y - 32 10. Sasa ninaweza kutambua hii kama mlinganyo wa duara na kituo -1, 3 na radius sqrt10. Eneo la duara limetolewa na pi r2, kwa hivyo eneo la mduara huu ni pi sqrt102 10 pi. 