<prompt> Ikiwa x na y ni halisi, na x2 y2 1, hukokotoa thamani ya juu zaidi ya x y2.  <response>: Ninatambua kuwa x2 y2 1 ni mlinganyo wa mduara wa kitengo, na kwamba x y2 ni usemi wa quadratic ambao ninataka kuongeza. Nashangaa ikiwa kuna njia ya kutumia jiometri au trigonometry kuhusisha misemo miwili. Ninafikiria juu ya pembe ambayo mstari x y k hufanya na mhimili chanya x, na jinsi hiyo inavyobadilika k inavyoongezeka au kupungua. Ninagundua kuwa mstari x y k ni tangent kwa mduara x2 y2 1 wakati pembe ni 45circ, na hapo ndipo x y2 imekuzwa. Ninatumia nadharia ya Pythagorean kupata kwamba hatua ya tangent ina kuratibu fracsqrt22, fracsqrt22, na hiyo k sqrt 2. Ninachomeka thamani hizi ili kupata thamani ya juu zaidi ya x y2 k2 2. 