<prompt> Acha n iwe nambari ndogo kabisa chanya hivi kwamba mn ni nguvu kamili ya kth ya nambari kamili kwa k ge 2, ambapo m21980 cdot 3384 cdot 51694 cdot 7343. nk ni nini?  <response>: Kumbuka 1980 223251111, 38427 31, 1694 21 71 112, na 34373. GCD yao ni 1, kwa hivyo nambari kamili m sio nguvu kamili yaani, hatuwezi kuchukua n1. Tunahitaji n2a3b5c7d sababu zingine zozote kuu za n zitakuwa za kupita kiasi kama 1980a,384b,1694c,343d ina GCD kubwa kuliko 1 yaani, ni lazima tutumie n kurekebisha vielelezo vya kanuni kuu katika uainishaji mkuu ili kupata jumla ya mn ambayo kwa hakika ni nguvu kamili.Kwanza tunatafuta msingi ambao unagawanya angalau watatu kati ya watetezi 1980, 384, 1694, na 343, ambayo itamaanisha tu kurekebisha mojawapo kwa hivyo n kuwa mamlaka kuu. Hii, hata hivyo, ni kweli tu kwa 2 kuu, na kipeo kisichoweza kugawanywa na 2 ni 343, ambayo ni kielelezo cha 7 katika m. Kwa hivyo, ili kurekebisha kipeo kimoja tu, tungehitaji a,b,c,d0,0,0,1, tukitoa n7. Lakini kuna nambari moja chini ya 7 ambayo ina zaidi ya mgawanyiko mkuu mmoja, na hiyo ni 6. Zaidi ya hayo, 7 katikati ya 1694, 343, na 1980 equiv 384 equiv -1 mod7, kwa hivyo ikiwa tutaweka ab1 na cd0, tunapata kwamba 1980a,384b,1694c,343d ina 7 kama kigawanyo.Hii inatoa n6, ambayo kwa hivyo ndiyo thamani ndogo zaidi kwamba mn ni nguvu kamili. Katika hali hii, mn ni nguvu kamili ya 7th, kwa hivyo k7. Hivyo nk6713. 