<prompt> Mviringo wenye mlinganyofracx2a2 fracy2b2 1ina miduara x - 12 y2 1 na x 12 y2 1. Kisha eneo dogo linalowezekana la duaradufu linaweza kuonyeshwa kwa namna k pi. Tafuta k.  <response>: Tunaweza kudhani kuwa duaradufu ni tanjiti kwa mduara x - 12 y2 1. Kutoka kwa mlingano huu, y2 1 - x - 12. Inabadilisha kwenye mlinganyo huu. equation ya duaradufu, tunapatafracx2a2 frac1 - x - 12b2 1.Hii hurahisishaa2 - b2 x2 - 2a2 x a2 b2 0.Kwa ulinganifu, viwianishi vya x- vya nukta zote mbili vitakuwa sawa, kwa hivyo kibaguzi wa quadratic hii itakuwa 0:2a22 - 4a2 - b2a2 b2 0.Hii hurahisisha hadi a4 b2 a4 a 2 b4. Tunaweza kugawanya pande zote mbili kwa a2 ili kupataa2 b2 a2 b4.Kishaa2 fracb4b2 - 1.Eneo la duaradufu ni pi ab. Kupunguza hii ni sawa na kupunguza ab, ambayo nayo ni sawa. kwa kupunguzaa2 b2 fracb6b2 - 1.Acha t b2, hivyofracb6b2 - 1 fract3t - 1.Kisha u t - 1. Kisha t u 1, hivyofract3t - 1 fracu 13u u2 3u 3 frac1u.Na AM-GM,anzaalignu2 3u frac1u u2 fracu2 fracu2 fracu2 frac u2 fracu2 fracu2 frac18u frac18u frac18u frac18u frac18u frac18u frac18u frac18u ge 15 sqrtu2 cdot fracu626 cdot frac188 u8 frac154.endalignUsawa hutokea wakati u frac12. Kwa thamani hii ya u, t frac32, b sqrt frac32 fracsqrt62, na a frac3 sqrt22. Kwa hiyo,k ab frac3 sqrt32. 