<prompt> Pata kiasi cha eneo katika nafasi iliyofafanuliwa nax y z x y - z le 8na x,y, z ge 0.  <response>: Tatizo hili linahusisha kutafuta kiasi cha eneo katika nafasi iliyofafanuliwa na kutofautiana. Njia nzuri ya kuanza ni kujaribu kuibua kanda au kuchora kwenye karatasi. Ninagundua kuwa kukosekana kwa usawa kunahusisha tu jumla na tofauti ya x, y, na z, kwa hivyo ninaweza kujaribu kurahisisha shida kwa kufanya mabadiliko ya anuwai. Acha u x y na v x - y. Kisha ukosefu wa usawa unakuwa u z wewe - z le 8 na u, v, z ge 0. Hii inaonekana rahisi zaidi, lakini bado ninahitaji kupata uhusiano kati ya u, v, na z na x, y, na z. Ninaweza kutatua kwa x na y kulingana na u na v kwa kuziongeza na kuziondoa: x fracu v2 na y fracu - v2. Kisha ninaweza kupata Jacobian ya mageuzi, ambayo ni kibainishi cha matriki ya viasili vya sehemu ya x, y, na z kwa heshima na u, v, na z. Jacobian ni beginvmatrix frac12 frac12 0 frac12 -frac12 0 0 0 1 endvmatrix -frac12. Thamani kamili ya Jacobian ni frac12, ambayo ina maana kwamba kipengele cha sauti katika nafasi ya u, v, z ni nusu ya kipengele cha sauti katika nafasi ya x, y, z. . Kwa hivyo ili kupata kiasi cha eneo asili, ninaweza kuunganisha kipengele cha sauti katika nafasi ya u, v, z na kuzidisha kwa frac12. Lakini kwanza, ninahitaji kupata mipaka ya ujumuishaji ya u, v, na z. Ninaweza kufanya hivi kwa kuangalia ukosefu wa usawa na kuona jinsi wanavyozuia maadili ya u, v, na z. Kwa mfano, kwa kuwa u, v, z ge 0, najua kuwa u z na u - z zote mbili hazina hasi, kwa hivyo u z wewe - z u z u - z 2u. Hii inamaanisha kuwa 2u le 8, au u le 4. Vile vile, naweza kuona kuwa v le 4 na z le 4. Hii ndiyo mipaka ya juu ya ujumuishaji ya u, v, na z. Mipaka ya chini yote ni sifuri, kwani u, v, z ge 0. Kwa hivyo ninaweza kuandika muhimu kama frac12 int_04 int_04 int_04 du dv dz. Hii ni sehemu ya tatu ya kazi ya mara kwa mara, kwa hiyo ni bidhaa tu ya urefu wa vipindi vya ushirikiano. Yaani, frac12 int_04 int_04 int_04 du dv dz frac12 cdot 4 cdot 4 cdot 4 32. 