<prompt> Kwa kila nambari kamili n kubwa kuliko 1, acha Fn iwe nambari ya masuluhisho ya equation sin x sin nx kwenye kipindi 0, pi. sum_n22007 Fn ni nini?  <response>: Kumbuka kuwa Fn ni idadi ya pointi ambapo grafu za ysin x na ysin nx zinaingiliana kwenye 0,pi. Kwa kila n, sin nx geq 0 kwa kila muda left frac2k-2 pin, frac2k-1 pin kulia ambapo k ni nambari kamili chanya na 2k-1 leq n. Idadi ya vipindi kama hivyo ni fracn2 ikiwa n ni sawa na fracn 12 ikiwa n ni isiyo ya kawaida.Grafu huingiliana mara mbili kwa kila muda isipokuwa sin x 1 sin nx wakati fulani katika muda, katika hali ambayo grafu huingiliana mara moja. Mlinganyo huu wa mwisho utaridhika ikiwa tu n equiv 1pmod 4 na muda una fracpi2. Ikiwa n ni sawa, hesabu hii haijumuishi sehemu ya makutano kwa pi,0.Kwa hivyo Fn 2 cdot fracn2 1n1 ikiwa n ni sawa, Fnfrac2n12 n1 ikiwa n sawa 3pmod 4, na Fnn ikiwa n sawa 1pmod 4. Kwa hivyo,sum_n22007 Fnkushotosum_n22007 n1kulia - leftfloor frac2007- 14kuliafloor frac2006320082-501 2,016,532. 