<prompt> Bidhaa ya nambari mbili chanya ni 144. Uwiano wa kizidishio chao kidogo sana na kigawanyaji chao kikuu zaidi ni sawa na 9. Je, jumla ya nambari mbili kamili ni nini?  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kupata nambari mbili chanya x na y kiasi kwamba xy 144 na fractextlcmx,ytextgcdx ,y 9. Ninajua kuwa kizidishio cha kawaida zaidi kati ya nambari mbili ni bidhaa ya sababu zao kuu, kila moja ikiwa na kipengee cha juu zaidi kinachoonekana katika nambari zote mbili. Vile vile, kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari mbili ni bidhaa ya sababu zao kuu, kila moja ikiwa na kipeo cha chini kabisa kinachoonekana katika nambari zote mbili. Kwa hivyo, nikiandika x na y kama bidhaa za mambo makuu, ninaweza kutumia mlingano fractextlcmx,ytextgcdx,y 9 ili kupata uhusiano kati ya wafadhili wao. Acha x 2a cdot 3b na y 2c cdot 3d, ambapo a, b, c, d ni nambari kamili zisizo hasi. Kisha, textlcmx,y 2maxa,c cdot 3maxb,d na textgcdx,y 2mina,c cdoti 3minb,d. Kugawanya semi hizi, napata fractextlcmx,ytextgcdx,y 2maxa,c - mina, c cdot 3maxb,d - minb,d. Kwa kuwa hii lazima iwe sawa na 9 32, naweza kuhitimisha kuwa maxa,c - mina,c 0 na maxb,d - minb,d 2. Hii ina maana kwamba a c na b na d hutofautiana kwa 2. Sasa, ninaweza kutumia mlingano mwingine, xy 144, kupata thamani za a, b, c, d. Kubadilisha x 2a cdot 3b na y 2c cdot 3d, napata 2ac cdot 3bd 144. Kwa kuwa a c, hii hurahisisha hadi 22a cdot 3bd 144. Ninaweza kuandika 144 kama 24 cdot 32, ili niweze kusawazisha vielezi vya 2 na 3 pande zote mbili. Hii inanipa 2a 4 na bd 2. Kutatua kwa a, ninapata a 2, na kwa kuwa a c, pia ninapata c 2. Kutatua kwa b na d, napata b 0 na d 2, au b 2 na d 0. Hizi ndizo jozi mbili pekee zinazowezekana za thamani za b na d ambazo hutofautiana kwa 2 na jumla ya 2. Kwa hivyo, nambari mbili chanya x na y ni x 22 cdot 30 4 na y 22 cdot 32 36, au x 2 2 cdot 32 36 na y 22 cdot 30 4. Kwa vyovyote vile, jumla ya nambari mbili kamili ni x y 4 36 40. 