<prompt> Acha V iwe nafasi ya vekta yenye mwelekeo-mwisho juu ya sehemu F. Thibitisha kuwa kila badiliko la mstari T: V V lina thamani eigen.  <response>: Ili kudhibitisha kuwa kila badiliko la mstari T: V V lina eigenvalue, tutatumia sifa ya polynomial ya T.Acha A iwe uwakilishi wa matrix ya T kuhusiana na baadhi ya msingi wa V. Kwa kuwa V ni ya kikomo, A ni matriki ya mraba ya ukubwa n x n kwa nambari chanya n.Zingatia sifa ya upolimishaji p_At ya A, ambayo inafafanuliwa kama:p_At detA - tI,ambapo mimi ndio matrix ya kitambulisho na t ni kozi isiyojulikana kutoka kwa uwanja F.Kulingana na sifa za vibainishi, p_At ni polinomia katika t ya shahada n na vipatanishi katika F. Zaidi ya hayo, kwa kuwa A ni n x n matrix, p_At si sifuri yaani, si coefficients yake yote ni sifuri .Sasa zingatia kiendelezi cha sehemu EFtp_At. Kwa ufafanuzi, hii ni uwanja ulio na F na mzizi α wa p_At. Sasa tunaweza kupanua mizani ya nafasi yetu ya vekta V juu ya F ili kupata nafasi mpya ya vekta WV_F E juu ya E. Ubadilishaji wa mstari T kawaida huenea hadi kwenye mabadiliko ya mstari S: W W kwa kuweka Sve Tve kwa vV na eE zote.Tunadai kuwa S ina eigenvector katika W yenye eigenvalue α. Ili kuona hii, acha BA-αI, ili Bv0 ikiwa na tu ikiwa Avαv. Kisha, kibainishi cha B nidetB detA - αI p_Aα 0,kwani α ni mzizi wa p_At. Kwa hivyo, B lazima iwe na kerneli isiyo ya kawaida, yaani, kuna vekta isiyo ya sifuri v V kiasi kwamba Bv 0. Hebu wv1W, ambapo 1 ni kipengele cha utambulisho cha E. Kisha,Sw Sv1 Tv1 Av1 αv1 αv1 αw.Kwa hivyo, w ni eigenvector ya S yenye eigenvalue α.Sasa acha λ F iwe hivyo kwamba λ - α 0 katika E yaani, λ ni taswira ya α chini ya homomorphism asilia kutoka F hadi E. Kisha kwa v V na e E, tunayoSve Tve Ave αIve λIve λve.Hii inaonyesha kuwa kila vekta katika W ni eigenvector ya S yenye eigenvalue λ. Hasa, kuna vekta isiyo ya sifuri u V kama vile Tu λu. Hii inamaanisha kuwa lambda ni eigenvalue ya T, kama inavyotakiwa.Kwa kumalizia, kila mageuzi ya mstari T: V V yana eigenvalue, ambayo inaweza kupatikana kwa kuzingatia sifa yake ya polinomia na kupanua scalars za nafasi ya vekta V juu ya kiendelezi cha shamba kilicho na mzizi wa polynomial hii. 