<prompt> Acha a_n iwe nambari iliyopatikana kwa kuandika nambari kamili 1 hadi n kutoka kushoto kwenda kulia. Kwa hivyo, a_4 1234 na a_12 123456789101112.Kwa 1 le k le 100, ni a_k ngapi zinaweza kugawanywa na 9?  <response>: Acha fn iwe jumla ya tarakimu za n. Inabadilika kuwa n-fn inaweza kugawanywa kwa 9 kila wakati. Kama uthibitisho, andika n a_k10k a_k-110k-1 cdots a_110 1 a_0. Kwa hivyo, n - fn a_k10k - 1 a_k-110k-1 - 1 cdots a_2102-1 a_1 10-1 . Kumbuka kuwa, kwa ujumla, 10n - 1 inaweza kugawanywa na 9 kwa sababu 10n-1 kwa hakika ni mfuatano wa n 9s. Kwa hivyo, tunaweza kuainisha 9 kati ya upande wa kulia, ili n-fn daima inaweza kugawanywa na 9. Kumbuka zaidi kwamba n-fn daima sio hasi, na kwamba fn na n inashiriki salio sawa ikigawanywa na 9 hizi ni nakala, ya kwanza inatoka kwa uchunguzi, ya pili ikiwa ni matokeo ya moja kwa moja ya uthibitisho.Sasa, zingatia fa_n, ambayo inaweza kugawanywa na 9 ikiwa tu ikiwa a_n ni. Tuna fa_n f1 f2 cdots fn-1 fn. Kwa kuwa fk na k zina salio sawa zikigawanywa na 9, kwa hivyo tunaweza kubadilisha k kwa fk katika kila neno bila kubadilisha salio inapogawanywa na 9. Kwa hivyo, f a_k equiv frackk12 pmod 9, ambayo inamaanisha kuwa tunahitaji k au k1 ili kugawanywa na 9. Hii hutokea ama k ni kizidishio cha 9 au k ni moja chini ya kizidishio cha 9. Kuna zidishi 11 za 9 chini ya au sawa na 100, na kwa kuwa 100 si kizidishio cha 9, pia kuna nambari 11 ambazo ni. moja chini ya kizidishio cha 9 kati ya 1 na 100. Kwa hivyo, kuna thamani za 11 11 22 za a_k ambazo zinaweza kugawanywa na 9 kwa 1 le k le 100. 