<prompt> Rafiki yangu na mimi sote tuna kazi ya nyumbani ya hesabu siku moja. Ninafanya kazi kwa kiwango cha matatizo ya p kwa saa na inanichukua saa t kumaliza kazi yangu ya nyumbani. Rafiki yangu anafanya kazi kwa kiwango cha matatizo ya 2p-4 kwa saa na inamchukua tu saa t-2 kumaliza kazi yake ya nyumbani. Ikizingatiwa kuwa p na t ni nambari kamili chanya na mimi hufanya zaidi ya 10 matatizo kwa saa, ni matatizo ngapi nilifanya?  <response>: Ninagundua kuwa shida inaniuliza nitafute jumla ya idadi ya shida nilizofanya, ambayo ni zao la kiwango changu na wakati wangu: p cdot t. Pia ninagundua kuwa shida inanipa uhusiano kati ya kiwango changu na wakati na kiwango na wakati wa rafiki yangu: p cdot t 2p-4 cdot t-2. Ninaweza kurahisisha mlingano huu kwa kupanua upande wa kulia na kupanga upya masharti: p cdot t 2p cdot t - 4t - 4p 8 inamaanisha 4t 4p - 8 p cdot t. Ninaweza kuainisha 4 kutoka upande wa kushoto na kugawanya pande zote mbili kwa 4 ili kupata: t p - 2 fracp cdot t4. Sasa nina equation rahisi zaidi ambayo inahusiana p na t. Ninaweza kutumia jaribio na makosa kupata maadili ya p na t ambayo yanakidhi mlinganyo huu na masharti yaliyotolewa. Ninajua hiyo p 10, kwa hivyo naweza kuanza na p 11 na kuona kitakachotokea. Ikiwa p 11, basi mlinganyo unakuwa: t 11 - 2 frac11 cdot t4. Ninaweza kuzidisha pande zote mbili kwa 4 na kurahisisha: 4t 36 11t inamaanisha 7t 36 inamaanisha t frac367. Lakini hii sio nambari nzima, kwa hivyo p 11 haifanyi kazi. Ninaweza kujaribu thamani inayofuata ya p, ambayo ni p 12. Ikiwa p 12, basi mlinganyo unakuwa: t 12 - 2 frac12 cdot t4. Ninaweza kuzidisha pande zote mbili kwa 4 na kurahisisha: 4t 40 12t inamaanisha 8t 40 inamaanisha t 5. Hii ni nambari nzima, kwa hivyo p 12 na t 5 inaweza kufanya kazi. Ninaweza kuangalia ikiwa zinakidhi equation asili: 12 cdot 5 2 cdot 12 - 4 cdot 5 - 2. Ninaweza kurahisisha: 60 24 - 4 cdot 3 inamaanisha 60 20 cdot 3 inamaanisha 60 60. Hii ni kweli, kwa hivyo p 12 na t 5 ni maadili halali. Kwa hiyo, idadi ya matatizo niliyofanya ni p cdot t 12 cdot 5 60. 