<prompt> Tathmini 4sqrt2-4isqrt33i  <response>: Tatizo hili linahusisha nambari changamano na thamani zake kamili, pia inajulikana kama moduli. Ninakumbuka kwamba thamani kamili ya nambari changamano abi ni sawa na ukubwa wa vekta kutoka asili hadi uhakika a,b kwenye ndege changamano. Pia ninakumbuka kwamba ukubwa wa vekta unaweza kupatikana kwa kutumia nadharia ya Pythagorean, hivyo abisqrta2b2. Ili kupata thamani kamili ya bidhaa ya nambari changamano, ninaweza kutumia ukweli kwamba zwzw kwa nambari zozote changamano z na w. Kwa hivyo, ninaweza kuandika 4sqrt2-4isqrt33i4sqrt2-4isqrt33i . Sasa ninahitaji tu kupata maadili kamili ya mambo hayo mawili kando. Kwa sababu ya kwanza, nina 4sqrt2-4isqrt4sqrt22-42. Ninaweza kurahisisha hili kwa kuweka masharti ndani ya mabano: 4sqrt2-4isqrt3216. Nikiongeza hizi, napata 4sqrt2-4isqrt48. Ninaweza kurahisisha hili zaidi kwa kubainisha mraba kamili: 4sqrt2-4isqrt16cdot 3. Nikichukua mzizi wa mraba wa 16, napata 4sqrt2-4i4sqrt3. Kwa sababu ya pili, nina sqrt33isqrtsqrt3232. Ninaweza kurahisisha hili kwa kuweka masharti ndani ya mabano: sqrt33isqrt39. Nikiongeza hizi, napata sqrt33isqrt12. Ninaweza kurahisisha hili zaidi kwa kubainisha mraba kamili: sqrt33isqrt4cdot 3. Nikichukua mzizi wa mraba wa 4, napata sqrt33i2sqrt3. Sasa nina maadili yote mawili, na ninaweza kuyazidisha ili kupata jibu la mwisho. Nina 4sqrt2-4isqrt33i4sqrt2-4isqrt33i4 sqrt3cdot 2sqrt3. Ninaweza kuzidisha viunga na mizizi ya mraba kando: 4sqrt2-4isqrt33i4cdot 2cdot sqrt3cdot sqrt 3. Ninaweza kurahisisha hili kwa kuzidisha 4 na 2, na kuweka mzizi wa mraba wa 3: 4sqrt2-4isqrt33i8cdot 3. Ninaweza kuzidisha 8 na 3 ili kupata jibu la mwisho: 4sqrt2-4isqrt33i24. 