<prompt> Acha a na b ziwe nambari kamili chanya kiasi kwamba dfrac abdfrac121dfrac232dfrac323dfrac434 dfrac525dfrac636cdots, ambapo nambari daima huongezeka kwa 1, na denomineta hupishana kati ya uwezo wa 2 na 3, huku vielezi navyo pia vikiongezeka kwa 1. kwa kila muhula unaofuata. Kokotoa ab.  <response>: Jumla inaweza kugawanywa katika vikundi viwili vya nambari ambazo tunataka kuongeza: tfrac12 tfrac323 tfrac525 cdots na tfrac2 32 tfrac434 tfrac636 cdotsAcha X iwe jumla ya mfuatano wa kwanza, kwa hivyo tumeanzaalign X frac12 frac323 frac525 cdots fracX4 0 frac123 frac325 cdots frac34X frac12 frac223 frac225 cdots frac34X frac12 fractfrac14 tfrac34 frac34X frac56 X frac109 endalignAcha Y iwe jumla ya mfuatano wa pili, kwa hivyo tumeanzaalign Y frac232 frac434 frac6 36 cdots frac19Y 0 frac234 frac436 cdots frac 89Y frac232 frac234 frac236 cdots frac8 9Y fracfrac29frac89 Y frac14 cdot frac98 frac932 endalignHiyo inamaanisha tfrac ab tfrac109 tfrac932 tfrac401288, hivyo ab 689. 