<prompt> Vipeo vya pembetatu iliyo sawa ziko kwenye hyperbola xy1, na kipeo cha hyperbola hii ni katikati ya pembetatu. Mraba wa eneo la pembetatu ni nini?  <response>: Bila upotevu wa jumla, tuseme kwamba katikati ya pembetatu iko kwenye kipeo -1,-1. Katika pembetatu iliyo equilateral, centroid na circumcenter zinapatana, kwa hivyo vipeo vitatu vya pembetatu ni kati ya sehemu za makutano ya hyperbola xy 1 na mduara unaozingatia -1,-1.Tuseme hyperbola na mduara hupishana katika sehemu nne tofauti, zilizoonyeshwa hapa chini upande wa kushoto, kwa A, B, C, na D. Ama A au B ni wima mbili, au C na D ni vipeo viwili. Ikiwa A na B ni vipeo viwili, basi pembetatu itakuwa na mstari y x kama mhimili wa ulinganifu, ambayo ina maana kwamba kipeo cha tatu lazima pia kiwe kwenye mstari y x. Walakini, hakuna kati ya alama zingine mbili zinazokidhi hali hii. Hoja ni sawa ikiwa C na D ni wima mbili.asyukubwa wa kitengo sentimita 0.8;f halisi x halisi kurudi 1x;jozi A, B, C, D, trans 9,0;A sehemu za makutanoMduara-1,-1,3,grafuf,13,30;B sehemu za makutanoMduara-1,-1,3,grafuf,13,31;C sehemu za makutanoMduara-1,-1,3,grafuf,-5,-150;D sehemu za makutanoMduara-1,-1,3,grafuf,-5,-151;chora-5,0--3,0;chora0,-5--0,3;choragrafuf,13,3,nyekundu;choragrafuf,-15,-5,nyekundu;choraMduara-1,-1,3;nukta A, A, NE;nuktaB, B, NE;nukta C, C, SW;nukta D, D, SW;nukta-1,-1, -1,-1, SW;kuchorakuhamatrans-5,0--3,0;kuchorakuhamatrans0,-5--0,3;chorakuhamatransgrafuf,13,3,nyekundu;chorakuhamatransgrafuf,-15,-5,nyekundu;choraMduara-1,-1 trans,2sqrt2;nukta-1,-1, -1,-1 trans, SW;nukta1,1, 1,1 trans, NE;asyKwa hivyo, hyperbola lazima ikatishe mduara kwa alama tatu. Kwa upande mwingine, njia pekee hii inaweza kutokea ni ikiwa mduara utapita kwenye uhakika 1,1. Kisha mduara wa pembetatu ni umbali kati ya -1,-1 na 1,1, ambayo ni 2 sqrt2. Inafuata kwamba urefu wa upande wa pembetatu ni 2 sqrt2 cdot sqrt3 2 sqrt6, kwa hivyo eneo la pembetatu ni fracsqrt3 4 cdot 2 sqrt62 6 sqrt3, na mraba wa eneo ni 6 sqrt32 108. 