<prompt> Pata msingi chanya b ambamo equation 4 cdot 12 103 ni halali.  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kuelewa jinsi besi tofauti hufanya kazi katika shughuli za hesabu. Ninajua kuwa katika msingi wa 10, ambao ndio msingi wa kawaida tunaotumia, kila tarakimu inawakilisha nguvu ya 10, kuanzia tarakimu ya kulia zaidi kama nguvu ya sifuri. Kwa mfano, nambari 103 katika msingi wa 10 inamaanisha 1 cdot 102 0 cdot 101 3 cdot 100 100 0 3 103. Vile vile, katika msingi wowote b, kila tarakimu inawakilisha nguvu ya b, kuanzia tarakimu ya kulia kabisa kama nguvu sufuri. Kwa mfano, nambari 103 katika msingi b ina maana 1 cdot b2 0 cdot b1 3 cdot b0 b2 3. Kwa hivyo, ikiwa ninataka kupata msingi b ambamo 4 cdot 12 103, ninahitaji kutafsiri pande zote mbili za equation kuwa msingi b na kisha kuzilinganisha. Upande wa kushoto, nina 4 cdot 12, ambayo ina maana 4 cdot 1 cdot b1 2 cdot b0 4b 8. Kwa upande wa kulia, nina 103, ambayo ina maana b2 3. Kwa hivyo, equation inakuwa 4b 8 b2 3. Ili kutatua kwa b, ninahitaji kupanga upya mlinganyo huu kuwa fomu ya quadratic. Nikitoa 4b 8 kutoka pande zote mbili, ninapata 0 b2 - 4b - 5. Kuweka upande wa kulia, ninapata 0 b - 5b 1. Kwa kutumia mali ya bidhaa sifuri, ninapata b - 5 0 au b 1 0. Kutatua kwa b, ninapata b 5 au b -1. Walakini, b -1 haileti maana kama msingi, kwani siwezi kuwa na nambari hasi. Kwa hivyo, msingi pekee unaowezekana b ni b 5. Ili kuangalia jibu langu, naweza kuunganisha b 5 kwenye equation ya asili na kuona ikiwa inafanya kazi. Upande wa kushoto, nina 4 cdot 12 4 cdot 1 cdot 51 2 cdot 50 4 cdot 5 2 4 cdot 7 28. Kwa upande wa kulia, nina 103 1 cdot 52 0 cdot 51 3 cdot 50 25 3 28. Kwa hivyo, pande zote mbili ni sawa katika msingi wa 5, na equation ni halali. Kwa hiyo, msingi chanya b ambayo equation 4 cdot 12 103 ni halali ni b 5. 