<prompt> ABCD ni tetrahedron ya kawaida piramidi ya pembetatu ya kulia. Ikiwa M ndio kitovu cha overlineCD, basi cos angle AMB ni nini?  <response>: Tetrahedron ya kawaida ni nini? Ni polihedroni yenye nyuso nne ambapo nyuso zote nne ni pembetatu zilizo sawa. Kwa hivyo tukiita urefu wa upande wa tetrahedron s na urefu wa nyuso h, basi urefu wa pande za pembetatu AMB ni s, h, na h. Ili kupata cosine ya pembe AMB, tunatumia sheria ya cosines. Sheria ya cosines ni c2 a2 b2 - 2abcos C. a yetu ni h, b yetu pia ni h, na c yetu ni s. Kwa kuwa tunataka kupata cos C, tunapaswa kupanga upya fomula ili kuisuluhisha. Fomula iliyopangwa upya ni cos C fraca2 b2 - c22ab. Kwa hivyo tunachomeka tu thamani za a, b, na c. Hiyo inatupa cos C frach2 h2 - s22hcdot h. Kurahisisha nambari kunatoa 2h2 - s2. Kwa hivyo cos C frac2h2 - s22h2. Na hatimaye, cos C 1 - fracs22h2. Kwa hivyo tunachohitaji kufanya ni kupata thamani ya fracs22h2. Je, nadharia ya Pythagorean inasaidia? Nafikiri hivyo. Nadharia ya Pythagorean ni a2 b2 c2, ambapo a na b ni miguu ya pembetatu ya kulia na c ni hypotenuse. naona. Tunaweza kutumia Nadharia ya Pythagorean kupata thamani ya s. Nafikiri hivyo. Tuna pembetatu ya kulia yenye miguu ya urefu h na s2 na hypotenuse ya urefu s. Kuchomeka maadili haya kwenye Nadharia ya Pythagorean kunatoa h2 s22 s2. Hiyo hurahisisha hadi h2 fracs24 s2. Tukizidisha kila neno kwa 4, tunapata 4h2 s2 4s2. Na kisha 4h2 3s2. Kwa hivyo s2 frac4h23. Kuchomeka hiyo kwenye usemi wetu wa cos C kunatoa cos C 1 - fracs22h2 1 - frac4h26h2. Kurahisisha sehemu kunatoa cos C 1 - frac23. Kwa hivyo cos C frac13. Hilo ndilo jibu letu. 