<prompt> Thibitisha kuwa chaguo la kukokotoa fx lnx ni laini kwenye kipindi 0, . Toa hoja ya hatua kwa hatua.  <response>: Ili kudhibitisha kuwa chaguo za kukokotoa fx lnx ni laini kwenye kipindi 0, , tunahitaji kuonyesha kwamba derivative yake ya pili si hasi katika kipindi hiki.Hatua ya 1: Tafuta derivative ya kwanza ya fx.fx dlnxdx 1xHatua ya 2: Tafuta derivative ya pili ya fx.fx d1xdx -1x2Sasa hebu tuchambue ishara ya derivative ya pili kwenye muda 0, .Kwa kuwa x 0 katika muda huu, x2 pia itakuwa chanya. Kwa hivyo, -1x2 daima itakuwa hasi kwa x yoyote katika muda 0, . Hii ina maana kwamba kiingilio cha pili si chanya, si hasi kama inavyohitajika kwa chaguo za kukokotoa mbonyeo.Walakini, kuna ufafanuzi mbadala wa uboreshaji ambao bado unaweza kutumika:Chaguo za kukokotoa ni mbonyeo ikiwa na tu ikiwa, kwa yote x, y katika kikoa na t 0, 1, ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia:ftx 1-ty tfx 1-tfyWacha tuangalie ikiwa hali hii inashikilia fx lnx:lntx 1-ty tlnx 1-tlnyTunaweza kuandika tena upande wa kushoto kwa kutumia mali ya logarithms:lntx1tt 1-ty11-t1-tKwa kutumia Kutokuwa na Usawa kwa Jensen kwa kazi ya kukokotoa gu ut yenye uzani t na 1-t, tunapata:tx1tt 1-ty11-t1-t xt y1-t Kuchukua logarithm asili ya pande zote mbili, tunapata:lntx1tt 1-ty11-t1-t lnxt y 1-tKwa kuwa logarithm asilia ni kazi inayoongezeka sana, hii inamaanisha kuwa ukosefu wetu wa usawa unashikilia:lntx 1-ty tlnx 1-tlnyKwa hivyo, fx lnx ni mbonyeo kwa muda 0, kulingana na ufafanuzi huu mbadala wa unyambulishaji. 