<prompt> Ikizingatiwa kuwa 8-1 equiv 85 pmod97, tafuta 64-1 pmod97, kama sehemu ya 97 ya masalio. Toa jibu kati ya 0 na 96, ikijumuisha.  <response>: Ninagundua kuwa 64 ni nguvu ya 8, ambayo ni 64 82. Kwa hivyo labda ninaweza kutumia ukweli kwamba 8-1 equiv 85 pmod97 kupata 64-1 pmod97. Nakumbuka kwamba ikiwa a equiv b pmodn, basi ak equiv bk pmodn kwa nambari yoyote k. Ili niweze kuongeza pande zote mbili za 8-1 equiv 85 pmod97 kwa nguvu ya 2, na kupata 8-12 equiv 852 pmod97 . Lakini 8-12 ni sawa na 82-1, ambayo ni 64-1. Kwa hivyo nina 64-1 equiv 852 pmod97. Sasa ninahitaji tu kukokotoa 852 modulo 97. Ningeweza kufanya hivi kwa kuzidisha 85 peke yake na kisha kutafuta salio wakati wa kugawanya na 97, lakini hiyo ingehusisha idadi kubwa. Njia ya haraka zaidi ni kutumia ukweli kwamba 85 equiv -12 pmod97. Kwa hivyo 852 equiv -122 pmod97. Na -122 144. Kwa hivyo 852 equiv 144 pmod97. Sasa ninahitaji tu kupata salio la 144 ninapogawanya na 97. Ninaweza kufanya hivyo kwa kutoa 97 kutoka 144 hadi nipate nambari kati ya 0 na 96. Kwa hivyo 144 - 97 47. Na 47 ni kati ya 0 na 96, kwa hivyo ni mabaki ninayotaka. Kwa hivyo, 852 equiv 47 pmod97. Na hii inamaanisha kuwa 64-1 equiv 47 pmod97. 