<prompt> Nambari kamili kati ya 1000 na 9999, ikijumuisha, inaitwa mizani ikiwa jumla ya tarakimu zake mbili za kushoto kabisa ni sawa na jumla ya tarakimu zake mbili za kulia kabisa. Je, kuna namba ngapi zilizosawazishwa?  <response>: Ikiwa jumla ya tarakimu mbili za kwanza na mbili za mwisho ni n, kama vile 1 leq n leq 9, kuna chaguo n kwa tarakimu mbili za kwanza na chaguo n 1 kwa mbili za pili. tarakimu kwa kuwa sifuri inaweza isiwe tarakimu ya kwanza. Hii inatoa sum_n 19 nn 1 330 nambari zilizosawazishwa. Ikiwa jumla ya tarakimu mbili za kwanza na mbili za mwisho ni n, kama vile 10 leq n leq 18, kuna 19 - n chaguo kwa jozi zote mbili. Hii inatoa sum_n 1018 19 - n2 sum_n 19 n2 285 nambari zilizosawazishwa. Kwa hivyo, kuna jumla ya 330 285 615 nambari za usawa.Majumuisho yote mawili yanaweza kukokotolewa kwa kutumia fomula ya jumla ya miraba mfululizo, yaani sum_k1n k2 fracnn12n16. 