<prompt> Acha a, b, c ziwe nambari halisi kiasi kwamba a b c 1. Pata thamani ya chini zaidi ya 2a2 3b2 6c2.  <response>: Tatizo hili linahusisha kupunguza utendaji wa quadratic wa vigezo vitatu chini ya kizuizi cha mstari. Njia moja inayowezekana ni kutumia njia ya vizidishi vya Lagrange, ambayo inahusisha kutafuta pointi ambapo gradient ya kazi ni sambamba na gradient ya kizuizi. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kuhesabu gradients ya kazi zote mbili. Mwangaza wa 2a2 3b2 6c2 ni 4a, 6b, 12c, na upinde rangi wa a b c 1 ni 1, 1, 1. Ili gradients hizi mbili ziwe sambamba, lazima kuwe na lambda mara kwa mara kiasi kwamba 4a, 6b, 12c lambda1, 1, 1. Hii ina maana kwamba 4a lambda, 6b lambda, na 12c lambda. Tukigawanya milinganyo hii kwa 4,6, na 12, mtawalia, tunapata a fraclambda4, b fraclambda6, na c fraclambda12. Tukibadilisha thamani hizi kwenye mlinganyo wa kikwazo, tunapata fraclambda4 frac lambda6 fraclambda12 1. Tukizidisha pande zote mbili kwa 12, tunapata 3lambda 2lambda lambda 12, au 6lambda 12. Tukigawanya kwa 6, tunapata lambda 2. Hii ina maana kwamba a frac24 frac12, b frac26 frac13, na c frac212 frac16. Hizi ndizo thamani za a, b, na c ambayo inapunguza 2a2 3b2 6c2 chini ya a b c 1. Ili kupata thamani ya chini zaidi, tunahitaji kuunganisha thamani hizi kwenye chaguo la kukokotoa. Tunapata 2a2 3b2 6c2 2frac122 3frac132 6frac1 62. Kwa kurahisisha, tunapata 2a2 3b2 6c2 frac12 frac13 frac16 . Kupata kiashiria cha kawaida, tunapata 2a2 3b2 6c2 frac36 frac26 frac16. Inaongeza, tunapata 2a2 3b2 6c2 frac66 1. 