<prompt> Hesabu iliyobaki wakati2007 chagua 0 2007 chagua 3 cdots 2007 chagua 2007imegawanywa na 1000.  <response>: Acha omega na zeta ziwe mizizi miwili changamano ya 1. Kisha achaS 1 omega2007 1 zeta2007 1 12007 sum_i 02007 2007 chagua iomegai zetai 1.Sasa, ikiwa i ni kizidishio cha 3, omegai zetai 1 1 1 1 3. Ikiwa i ni moja zaidi ya kizidishio cha 3, omegai zetai 1 omega zeta 1 0. Ikiwa i ni mbili zaidi ya kizidishio cha 3, omegai zetai 1 omega2 zeta2 1 zeta omega 1 0. HivyoS sum_i 0669 3 2007 chagua 3i, ambayo ni mara tatu ya usemi wetu tunaotaka.Pia tunayo mbinu mbadala ya kukokotoa S: tunajua kwamba omega, zeta -frac12 fracsqrt 32i, -frac12 - fracsqrt 32i, hivyo 1 omega, 1 zeta frac12 fracsqrt 32i, frac12 - fracsqrt 32i. Kumbuka kwamba nambari hizi mbili ni mizizi ya mchemraba ya -1, kwa hivyo S 1 omega2007 1 zeta2007 1 12007 -1669 -1669 22007 22007 - 2.Kwa hivyo, tatizo limepunguzwa hadi kukokotoa 22007 - 2 pmod1000. 22007 equiv 0 pmod8, kwa hivyo tunahitaji kupata 22007 pmod125 na kisha kutumia Nadharia ya Masalio ya Kichina. Kwa kuwa phi 125 100, na Eulers Totient Theorem 220 cdot 100 7 equiv 27 equiv 3 pmod125. Kwa kuchanganya, tuna 22007 equiv 128 pmod1000, na hivyo 3S equiv 128-2 pmod1000 Rightarrow Sequiv 42pmod1000. 