<prompt> Je, ni kinyume gani cha moduli cha 11, modulo 1000?Eleza jibu lako kama nambari kamili kutoka 0 hadi 999, zikijumlishwa.  <response>: Ninajua kuwa ubadilishaji wa moduli wa 11 modulo 1000 ni nambari x kiasi kwamba 11x equiv 1 pmod1000. Ninajua pia kuwa kinyume cha kawaida kipo ikiwa tu 11 na 1000 ni coprime, ambazo ni, kwani kigawanyo chao kikubwa zaidi ni 1. Kwa hivyo ninahitaji kutafuta njia ya kusuluhisha x katika mlinganyo 11x equiv 1 pmod1000. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia algoriti iliyopanuliwa ya Euclidean, ambayo hupata nambari kamili a na b kiasi kwamba 11a 1000b 1. Kisha ninaweza kupunguza moduli hii ya mlinganyo 1000 na kupata 11a equiv 1 pmod1000, kumaanisha a ni kinyume cha moduli ninachotafuta. Ili kutumia algorithm iliyopanuliwa ya Euclidean, ninaanza kwa kuandika 1000 11 cdot 90 10. Hii ina maana kwamba 10 1000 - 11 cdot 90. Kisha ninaandika 11 10 cdot 1 1. Hii ina maana kwamba 1 11 - 10. Nikibadilisha 10 1000 - 11 cdot 90 kwenye mlinganyo huu, ninapata 1 11 - 1000 - 11 cdot 90. Kurahisisha, napata 1 11 cdot 91 - 1000. Hii ina maana kwamba a 91 na b -1. Kwa hivyo kinyume cha kawaida cha 11 modulo 1000 ni 91. 