<prompt> Ikiwa nambari zilizo kwenye ulalo wa tatu wa Pembetatu ya Pascal ni nambari za pembetatu, ni thamani gani ya nambari ya pembetatu ya 50th? Nambari ya pembetatu ya nth ni 123ldetsn.  <response>: Ninajua kuwa nambari chache za kwanza kwenye diagonal ya tatu ya Pembetatu ya Pascal ni 1, 3, 6, 10, 15, na kadhalika. Hizi ni sawa na nambari za pembetatu, ambazo ni jumla ya nambari kamili chanya n. Ili kupata nambari ya pembetatu ya 50, ninahitaji kuongeza nambari kamili chanya 50 za kwanza. Njia moja ya kufanya hivyo ni kutumia fomula kwa jumla ya mfululizo wa hesabu. Muhula wa kwanza ni a_11, tofauti ya kawaida ni d1, na idadi ya istilahi ni n50. Fomula ni S_nna_1a_n2, ambapo a_n ndio muhula wa mwisho. Ili kupata a_n, ninaweza kutumia fomula nyingine ya muhula wa nth wa mfululizo wa hesabu: a_na_1n-1d. Kuchomeka maadili, napata a_n150-1150. Sasa ninaweza kubadilisha hii katika fomula ya S_n na kupata S_n501502505121275. 