<prompt> Kwa baadhi ya nambari halisi r, polynomial 8x3 - 4x2 - 42x 45 inaweza kugawanywa kwa x - r2. Find r.  <response>: Ili kupata r, ninahitaji kutumia ukweli kwamba x - r2 ni sababu ya polynomial. Hii ina maana kwamba polynomial ina mzizi mara mbili kwa x r, hivyo r ni suluhu la mlinganyo wa polinomia. Ningeweza kujaribu kuangazia polynomial na kupata mizizi yake yote, lakini hiyo inaweza kuwa ya kuchosha na inayotumia wakati. Njia bora ni kutumia derivative ya polynomial, kwani derivative ni sifuri kwenye mizizi yoyote mara mbili. Kwa hivyo nitapata derivative ya polynomial na kuiweka sawa na sifuri, kisha kutatua kwa x. derivative ni 24x2 - 8x - 42. Kuiweka sawa na sifuri, napata 24x2 - 8x - 42 0. Ninaweza kugawanya pande zote mbili kwa 2 ili kurahisisha: 12x2 - 4x - 21 0. Sasa ninaweza kutumia fomula ya quadratic kupata thamani za x zinazofanya mlingano huu kuwa kweli. Fomula ni x frac-b pm sqrtb2 - 4ac2a, ambapo a 12, b -4, na c -21. Inachomeka thamani hizi, napata x frac4 pm sqrt16 100824 frac4 pm sqrt102424 frac4 pm 32 24. Hii inanipa thamani mbili zinazowezekana kwa x: x frac3624 frac32 au x frac-2824 - frac76. Hawa ndio watahiniwa wa r, lakini ninahitaji kuangalia ikiwa wanaunda sifuri asili ya polynomial. Nikichomeka x frac32 kwenye polynomial, nitapata 8frac323 - 4frac322 - 42frac32 45 27 - 9 - 63 45 0. Kwa hivyo x frac32 ni mzizi maradufu wa polynomial, na r frac32. Sihitaji kuangalia thamani nyingine ya x, kwa kuwa polynomial inaweza tu kuwa na mzizi mmoja mara mbili, isipokuwa iwe kizidisho kisichobadilika cha x - r3 . Lakini hii sivyo, kwa kuwa polynomial ina neno lisilobadilika la sifuri. 