<prompt> Ikiwa 321_b ni sawa na nambari 10 ya msingi 57, tafuta b kutokana na kwamba b0.  <response>: Ninahitaji kupata msingi b kiasi kwamba 321_b inamaanisha 57 katika msingi wa 10. Ili kufanya hivyo, ninaweza kutumia thamani ya mahali ya kila tarakimu katika msingi b na kuandika equation. Katika msingi b, tarakimu ya kulia kabisa ina thamani ya 1, inayofuata ina thamani ya b, na inayofuata ina thamani ya b2. Kwa hivyo, 321_b inamaanisha 1cdot b0 2cdot b1 3cdot b2 katika msingi wa 10. Hii lazima iwe sawa na 57, kwa hivyo nina mlinganyo 1cdot b0 2cdot b1 3cdot b2 57. Ninaweza kurahisisha hili kwa kubainisha kuwa b0 1, kwa hivyo ninapata 1 2b 3b2 57. Ninataka kutatua equation hii kwa b, lakini ni equation ya quadratic, kwa hivyo ninahitaji kutumia fomula ya quadratic. Fomula ya quadratic inasema kwamba ikiwa nina equation ya fomu ax2 bx c 0, basi suluhu ni x frac-b pm sqrtb2 - 4ac 2a. Kwa upande wangu, a 3, b 2, na c -56, kwa hivyo ninachomeka maadili hayo kwenye fomula na kupata b frac-2 pm sqrt22 - 4cdot 3 cdot -562cdot 3. Kwa kurahisisha usemi chini ya mzizi wa mraba, napata b frac-2 pm sqrt6766. Kwa kuchukua mzizi wa mraba wa 676, napata b frac-2 pm 266. Hii inanipa thamani mbili zinazowezekana za b: b frac-2 266 4 au b frac-2 - 266 -frac14 3. Walakini, najua kuwa b lazima iwe nambari chanya, kwani ni msingi. Kwa hivyo, naweza kutupa sehemu hasi na kuhitimisha kuwa b 4. Hii inamaanisha kuwa 321_b iko kwenye msingi wa 4, na ninaweza kuangalia hiyo kwa kuibadilisha kuwa msingi 10: 321_4 1cdot 40 2cdot 41 3cdot 42 1 8 48 57. Hii inalingana na thamani iliyotolewa, kwa hivyo nimepata msingi sahihi. 