<prompt> Acha a pi2008. Tafuta nambari ndogo kabisa chanya n kama vile 2cosasina cos4asin2a cos9asin3a cdots cosn2asinnani nambari kamili.  <response>: Kwa vitambulisho vya jumla vya bidhaa, tuna hiyo 2cos a sin b sin ab - sin a-b. Kwa hivyo, hii inapunguza hadi mfululizo wa darubini:anzaalign sum_k1n 2cosk2asinka sum_k1 n dhambikk1a - dhambik-1ka -dhambi0 dhambi2a- dhambi2a dhambi6a - cdots - dhambin-1na dhambinn1a -dhambi0 dhambinn1 a dhambinn1a mwishoalignKwa hivyo, tunahitaji sin leftfracnn1pi2008right kuwa nambari kamili; hii inaweza kuwa -1,0,1 pekee, ambayo hutokea wakati 2 cdot fracnn12008 ni nambari kamili. Hivyo 1004 22 cdot 251 nn1 Longrightarrow 251 n, n1. Inafuata kwa urahisi kuwa n 251 ndio nambari ndogo kama hiyo. 