<prompt> Acha O iwe asili. Ndege inayobadilika ina umbali wa 1 kutoka asili, na inakatiza mhimili wa x-, mhimili wa y-, na mhimili wa z kwa A,B, na C, mtawalia, zote. tofauti na O. Acha p,q,r iwe katikati ya pembetatu ABC. Findfrac1p2 frac1q2 frac1r2.  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kukumbuka fomula ya umbali kutoka kwa uhakika hadi ndege. Ikiwa ndege ina equation Ax By Cz D, ambapo A2 B2 C2 0, basi umbali kutoka sehemu yoyote x_0, y_0, z_0 hadi ndege inatolewa nafracAx_0 By_0 Cz_0 - DsqrtA2 B2 C2. Kwa kuwa ndege ina umbali 1 kutoka asili, naweza kudhani kuwa D pm 1 na A2 B2 C2 1. Pia ninahitaji kukumbuka fomula ya sentimita ya pembetatu. Ikiwa pembetatu ina wima x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2, na x_3, y_3, z_3, basi katikati yake ina viwianishi leftfracx_1 x_2 x_33, fracy_1 y_2 y_33, fracz_ kwa _1 z_2 z_33right. Katika tatizo hili, vipeo vya pembetatu ni A a, 0, 0, B 0, b, 0, na C 0, 0, c, ambapo a, b, c ni x -katiza, y-katiza, na z-katiza ya ndege, mtawalia. Kwa hivyo, katikati ya pembetatu ina viwianishi p, q, r leftfraca3, fracb3, fracc3kulia . Ili kupata a, b, c, ninahitaji kuchomeka thamani za x, y, z ambazo hufanya kila moja ya A, B, C kukidhi mlingano wa ndege. Kwa A, nina a neq 0 na y z 0. Kwa hivyo mlinganyo wa ndege unakuwa Aa D, au a fracDA. Vile vile , kwa B, nina b neq 0 na x z 0. Kwa hivyo mlinganyo wa ndege unakuwa Bb D, au b fracDB. Na kwa C, nina c neq 0 na x y 0. Kwa hivyo mlinganyo wa ndege unakuwa Cc D, au c fracDC. Kwa hivyo, katikati ya pembetatu ina viwianishi p, q, r leftfracD3A, fracD3B, fracD3Ckulia . Sasa, ninahitaji kupata usemi frac1p2 frac1q2 frac1r2. Kubadilisha thamani za p, q, r, napatafrac1p2 frac1q2 frac1r2 frac9A2D2 frac 9B2D2 frac9C2D2 frac9A2 B2 C2D2. Lakini najua kuwa A2 B2 C2 1, kwa hivyo hii hurahisisha kuwa frac9D2. Kwa kuwa D pm 1, naweza kuhitimisha kwamba usemi frac1p2 frac1q2 frac1r2 daima ni sawa na 9, bila kujali mwelekeo wa ndege. 