<prompt> Acha xfracsumlimits_n144 cos ncircsumlimits_n144 sin ncirc. Je, ni nambari gani kubwa kabisa isiyozidi 100x?  <response>: Kumbuka kwamba fracsum_n144 cos nsum_n144 sin n frac cos 1 cos 2 nukta cos 44cos 89 cos 88 nukta cos 46Sasa tumia fomula ya jumla ya bidhaa cos x cos y 2cosfracxy2cosfracx-y2 Tunataka kuoanisha 1, 44, 2, 43, 3, 42, n.k. kutoka kwa nambari na 46, 89, 47, 88, 48, 87 n.k. kutoka kwa denominata. Kisha tunapata:fracsum_n144 cos nsum_n144 sin n frac2cosfrac 452cosfrac432cosfrac412dotscosfrac12 2cosfrac1352cosfrac432cosfrac412dotscosfrac1 2 Mshale wa kulia fraccosfrac452cosfrac1352Ili kuhesabu nambari hii, tumia fomula ya pembe ya nusu. Kwa kuwa cosfracx2 pm sqrtfraccos x 12, basi nambari yetu inakuwa:fracsqrtfrac fracsqrt22 12sqrtfracfrac-sqrt22 12 ambapo tunadondosha mizizi hasi kama ni wazi kwamba cosine ya 22.5 na 67.5 ni chanya. Tunaweza kurahisisha hii kwa urahisi:anzaeqnarray fracsqrtfracfracsqrt22 12sqrtfracfrac-sqrt2 2 12 sqrtfracfrac2sqrt24frac2-sqrt22 4 sqrtfrac2sqrt22-sqrt2 cdot sqrtfrac2sqrt2 2sqrt2 sqrtfrac2sqrt222 frac2sqrt2 sqrt2 cdot sqrt2 sqrt21 endeqnarrayNa kwa hivyo jibu letu ni floor 100x floor floor 1001 sqrt 2 floor 241. 