<prompt> Pata mizizi yote ya polynomial x42x3-7x2-8x12. Ingiza jibu lako kama orodha ya nambari zilizotenganishwa na koma.  <response>: Kwa Nadharia ya Rational Root, mzizi wowote wa kimantiki wa polynomial lazima kiwe nambari kamili, na ugawanye 12. Kwa hiyo, mizizi kamili ni kati ya nambari 1,2,3,4,6,12 na hasi zao. Tunaweza kuanza kwa kujaribu x1, ambayo inatoa12-7-8120.Kwa hivyo, 1 ni mzizi! Kwa nadharia ya kipengele, hii inamaanisha x-1 lazima iwe kipengele cha polynomial. Tunaweza kugawanya kwa kutumia mgawanyiko mrefu au mgawanyiko wa sintetiki ili kupata x42x3-7x2-8x12 x-1x33x2-4x-12. Sasa mizizi iliyobaki ya polynomial yetu ya asili ni mizizi ya x33x2-4x-12, ambayo ina kipengele sawa cha mara kwa mara ili tuwe na uwezekano sawa uliobaki wa mizizi. Tunaweza kuendelea kujaribu kutoka kwa uwezekano 11 uliosalia wa vipengele vya 12 ili kupata kwamba x2 inatupa233cdot22-4cdot2-12 812-8-120.Kwa hivyo 2 ni mzizi na tena nadharia ya kipengele inatuambia kwamba x-2 lazima iwe. sababu ya polynomial. Kugawanya x33x2-4x-12 kwa x-2 hutupatia x33x2-4x-12 x-2x25x6 . Tunaweza kuweka x25x6 kama x2x3 ambayo inatupa mizizi yetu miwili ya mwisho ya -3 na -2 zote mbili zinagawanya 12 .Kwa hivyo mizizi yetu ni 1,2,-2,-3. 