<prompt> Kokotoa binom157. Unaambiwa kuwa binom148 3003 na binom147 3432.  <response>: Ninajua kuwa binomnk huhesabu idadi ya njia za kuchagua vitu k kati ya n bila kuzingatia kuagiza. Ninajua pia kuwa kuna fomula ya kujirudi ambayo inahusiana binomnk na binomn-1k na binomn-1k-1: binomnk binomn-1k binomn-1k-1. Fomula hii inaeleweka, kwa sababu kuchagua vitu k kati ya n, naweza kujumuisha kitu n-th na kuchagua k-1 zaidi kutoka n-1 ya kwanza, au kuwatenga . n-th kitu na uchague k kutoka n-1 ya kwanza. Kwa hivyo, ili kupata binom157, ninaweza kutumia fomula hii na n15 na k7: binom157 binom147 binom146. Lakini subiri, sijui binom146. Walakini, ninaweza kutumia sifa nyingine ya mgawo wa binomial, ambayo ni binomnk binomnn-k. Sifa hii inaeleweka, kwa sababu kuchagua vitu k kati ya n ni sawa na kuacha vitu n-k kati ya n. Kwa hivyo, binom146 binom148, ambayo najua: binom148 3003. Sasa ninaweza kuchomeka thamani ninazojua na kurahisisha: binom157 binom147 binom146 3432 3003 6435. 