<prompt> Katika sehemu ya pembe nne ya mbonyeo ABCD, AB8, BC4, CDDA10, na angle CDA60circ. Ikiwa eneo la ABCD linaweza kuandikwa katika muundo sqrtabsqrtc ambapo a na c hazina vipengele kamili vya mraba zaidi ya 1, a ni nini? bc?  <response>: Ili kupata eneo la ABCD, ninahitaji kuligawanya katika pembetatu mbili: ABC na CDA. Ninaweza kutumia sheria ya cosines kupata urefu wa AC. Kwa sheria ya cosines, AC2CD2DA2-2cdot CDcdot DAcdot cos angle CDA. Kubadilisha maadili yaliyotolewa, ninapata AC2102102-2cdot 10cdot 10cdot cos 60circ. Kwa kurahisisha, ninapata AC2200-200cdot frac12100. Nikichukua mzizi chanya wa mraba, ninapata AC10. Sasa naweza kutumia fomula ya Heron kupata eneo la ABC. Kwa fomula ya Heron, eneo la ABC ni sqrtss-ABs-BCs-AC, ambapo s ni nusu mzunguko wa ABC. Ili kupata s, ninaongeza urefu wa AB, BC, na AC na kugawanya kwa 2. Ninapata sfrac8410211. Nikibadilisha katika fomula ya Heron, ninapata sqrt1111-811-411-10sqrt11cdot 3cdot 7cdot 1sqrt231 . Hili ni eneo la ABC. Ili kupata eneo la CDA, ninaweza kutumia fomula ya eneo la pembetatu iliyo sawa, kwani CDDA10 na angle CDA60circ. Fomula ya eneo la pembetatu iliyo sawa ni fracs2sqrt34, ambapo s ni urefu wa upande. Nikibadilisha s10, ninapata frac102sqrt34frac100sqrt3425sqrt3. Hili ni eneo la CDA. Ili kupata eneo la ABCD, ninaongeza maeneo ya ABC na CDA . Ninapata sqrt23125sqrt3. Huu ndio usemi unaotakikana katika umbo sqrtabsqrtc. Kwa kulinganisha na fomu iliyotolewa, naona a231, b25, na c3. Kwa hiyo, jibu ni abc231253259. 