<prompt> Tumia nadharia ya faharasa ya Atiyah-Singer ili kukokotoa faharasa ya opereta wa Dirac kwenye msururu wa mzunguko ulioshikana.  <response>: Nadharia ya faharasa ya Atiyah-Singer ni zana madhubuti ya kukokotoa faharasa ya waendeshaji utofauti wa duaradufu kwenye manifolds fupi. Katika kesi hii, tunataka kuhesabu faharisi ya opereta wa Dirac kwenye safu ya mzunguko wa kompakt.Wacha M iwe msokoto thabiti wa mwelekeo n na metriki ya Riemannian g na uruhusu D awe opereta wa Dirac akitenda kwa sehemu za kifurushi cha spina S juu ya M. Nadharia ya faharasa ya Atiyah-Singer inasema kwamba:KielezoD _M AMambapo AM ni jenasi ya A-paa pia inajulikana kama jenasi ya kofia A ya aina mbalimbali ya M. Jenasi ya A-paa ni aina bainifu inayohusishwa na kifungu cha tangent TM cha M na kinaweza kuonyeshwa kulingana na madarasa ya Pontryagin na Pfaffian ya tensor ya curvature.Ili kuhesabu faharisi ya opereta wa Dirac kwa kutumia nadharia ya faharisi ya Atiyah-Singer, tunahitaji kufuata hatua hizi:1. Kokotoa jenasi ya paa A: Jenasi ya A-paa imetolewa na fomulaAM PfR2πn2ambapo R ni mzingo wa 2 wa muunganisho wa Levi-Civita kwenye TM, na Pf inaashiria Pfaffian ya matrix ya skew-symmetric. Kumbuka kuwa jenasi ya paa la A ni aina tofauti ya digrii n, kwa hivyo inaweza kuunganishwa juu ya M.2. Unganisha jenasi ya paa-A juu ya M: Kwa nadharia ya faharasa ya Atiyah-Singer, faharasa ya opereta ya Dirac imetolewa na kiunganishi cha jenasi ya A-paa juu ya M:KielezoD _M AM3. Tathmini muunganisho: Kutegemeana na wingi maalum wa msokoto wa M, unaweza kutathmini kiungo kwa uwazi au kutumia vibadala vingine vya kitolojia ili kurahisisha ukokotoaji.Kwa ujumla, kukokotoa faharasa ya opereta wa Dirac kwa kutumia nadharia ya faharasa ya Atiyah-Singer inaweza kuhusika kabisa, kwani inahitaji ujuzi wa tensor ya curvature na invariants nyingine za topolojia za anuwai. Hata hivyo, kwa mifano maalum ya compact spin manifolds, njia hii inaweza kutoa njia yenye nguvu ya kuhesabu index ya Dirac operator. 