<prompt> Katika pembetatu ABC, AB 10, BC 14, na CA 16. Acha D iwe kigezo katika mambo ya ndani ya overlineBC. Acha pointi I_B na I_C zionyeshe viashishi vya pembetatu ABD na ACD, mtawalia. Miduara ya pembetatu BI_BD na CI_CD hukutana katika pointi tofauti P na D. Eneo la juu zaidi linalowezekana la pembetatu BPC linaweza kuonyeshwa katika fomu a - bsqrt c, ambapo a, b, na c ni nambari kamili chanya na c haiwezi kugawanywa. kwa mraba wa mkuu wowote. Tafuta a b c.  <response>: Kwanza, kwa Sheria ya Cosines, tunacos BAC frac 162 102 - 1422cdot 10 cdot 16 frac 256100-196 320 frac 12,hivyo angle BAC 60circ.Acha O_1 na O_2 ziwe viambatisho vya pembetatu BI_BD na CI_CD, mtawalia. Kwanza tunakokotoapembe BO_1D pembe BO_1I_B pembe I_BO_1D 2pembe BDI_B 2pembe I_BBD.Kwa sababu angle BDI_B na angle I_BBD ni nusu ya angle BDA na pembe ABD, mtawalia, usemi ulio hapo juu unaweza kurahisishwa kuwapembe BO_1D pembe BO_1I_B pembe I_BO_1D 2pembe BDI_B 2pembe I_BBD pembe ABD pembe BDA.Vile vile , angle CO_2D pembe ACD pembe CDA. Kama matokeoanzaalignpembe CPB pembe CPD pembe BPD frac 12 cdot angle CO_2D frac 12 cdot pembe BO_1D frac 12pembe ABD pembe BDA pembe ACD pembe CDA frac 12 2 cdot 180 circ - pembe BAC frac 12 cdot 300circ 150circ.endalignKwa hivyo angle CPB ni mara kwa mara 150circ. Pia, P ni B au C wakati D ni B au C. Acha alama L iwe upande sawa wa overlineBC kama A na LC LB BC 14; P iko kwenye mduara na L kama kitovu na overlineLC kama radius, ambayo ni 14. Umbali mfupi zaidi kutoka L hadi overlineBC ni 7sqrt 3.Wakati eneo la pembetatu BPC ndilo la juu zaidi, umbali kutoka P hadi overlineBC unapaswa kuwa mkubwa zaidi. Katika hali hii, ni 14 - 7sqrt 3. Eneo la juu zaidi la pembetatu BPC nifrac 12 cdot 14 cdot 14 - 7sqrt 3 98 - 49 sqrt 3na jibu lililoombwa ni 98 49 3 150. 