<prompt> Tuseme z ni nambari changamano ambayo z2 156 65i. Pata z.  <response>: Ninajua kuwa z ni moduli au thamani kamili ya z, ambayo ni umbali kutoka z hadi asili katika ndege changamano. Ninajua pia kuwa z2 ni nambari changamano, na ninaweza kuiandika katika fomu z2 a bi, ambapo a na b ni nambari halisi. Katika kesi hii, a 156 na b 65 . Nakumbuka hiyo z2 z2, ili nipate z kwa kuchukua mizizi ya mraba ya z2. Ili kupata z2, ninatumia fomula a bi sqrta2 b2. Nikichomeka thamani za a na b, napata z2 sqrt1562 652. Ninaweza kutumia kikokotoo kutathmini usemi huu, au ninaweza kujaribu kurahisisha kwa kutafuta miraba bora. Ninagundua kuwa 156 22 cdot 3 cdot 13 na 65 5 cdot 13. Hii ina maana kwamba 1562 652 22 cdot 3 cdot 132 5 cdot 132 24 cdot 32 cdot 132 52 cdoti 132. Ninaweza kubainisha 132 kutoka kwa masharti yote mawili na kupata 1562 652 132 24 cdot 32 52. Ninaweza kurahisisha hili zaidi kwa kutathmini mabano na kupata 1562 652 132 16 cdot 9 25 132 144 25 132 169. Sasa naona hiyo 169 132, ili niweze kuandika 1562 652 134. Kwa kuchukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili, ninapata sqrt1562 652 sqrt134 132. Hii ndiyo thamani ya z2, kwa hivyo ili kupata z, ninahitaji kuchukua mzizi wa mraba wa 132. Hii ni 13 tu, kwa hivyo nimepata z 13 . 