<prompt> Acha z iwe nambari changamano inayoridhishaz - 3i z - 4 5.Tafuta thamani ya chini kabisa ya z.  <response>: Hili ni tatizo kuhusu nambari changamano na thamani zake kamili, ambazo pia hujulikana kama moduli. Moduli ya nambari changamano z x yi ni umbali kutoka z hadi asili katika ndege changamano, na imetolewa kwa fomula z sqrtx2 y2. Kwa hivyo, tatizo linaniuliza nitafute umbali wa chini kabisa kutoka z hadi asili, kulingana na kikwazo kwamba z pia inakidhi mlinganyo uliotolewa. Ninagundua kuwa equation iliyotolewa pia inahusisha maadili kamili, ambayo ni umbali katika ndege tata. Hasa, z - 3i ni umbali kutoka z hadi 3i, na z - 4 ni umbali kutoka z hadi 4. Mlinganyo unasema kuwa jumla ya masafa haya mawili. ni mara kwa mara, sawa na 5. Hii inanikumbusha usawa wa pembetatu, ambayo inasema kwamba jumla ya urefu wa pande zozote mbili za pembetatu ni kubwa kuliko au sawa na urefu wa upande wa tatu. Kwa kweli, usawa unashikilia ikiwa na tu ikiwa pembetatu imeharibika, ikimaanisha kuwa alama tatu ni collinear. Kwa hivyo, naweza kutafsiri mlinganyo uliotolewa kuwa z, 3i, na 4 ni collinear, na sehemu ya laini inayounganisha z na 4 ina urefu 5 - z - 3i. Nataka punguza z, ambao ni umbali kutoka z hadi asili. Ninafikiria jinsi umbali huu unavyobadilika z inaposogea kwenye mstari ulio na 3i na 4. Ninagundua kuwa z ni ndogo zaidi wakati z iko karibu zaidi na asili, ambayo hutokea wakati z iko. mguu wa perpendicular kutoka asili hadi mstari. Ili kupata uhakika huu, ninahitaji kupata mlinganyo wa mstari ulio na 3i na 4. Ninaweza kutumia njia ya kukatiza mteremko ya mstari, y mx b. Ili kupata mteremko, mimi hutumia ukweli kwamba 3i na 4 ziko kwenye mstari, kwa hivyo ninaweza kuunganisha kuratibu zao. Ili kupata mguu wa perpendicular kutoka asili hadi mstari, ninatumia ukweli kwamba bidhaa ya mteremko wa mistari ya perpendicular ni -1. Kwa hivyo mteremko wa mstari wa perpendicular ni frac43 . Mlinganyo wa mstari wa pembeni unaopita kwenye asili ni y frac43x. Ili kupata makutano ya mistari miwili, niliweka viwianishi vyake vya y-sawa na kutatua kwa x. . Ninapata -frac34x 3 frac43x. Kutatua kwa x, napata x frac3625. Ili kupata y-coordinate ya makutano, ninachomeka x frac3625 kwenye mlinganyo wowote. Napata y frac4825. Kwa hivyo mguu wa perpendicular ni frac3625 frac4825i. Hii ndiyo uhakika z hiyo inapunguza z. Ili kupata thamani ya chini kabisa ya z, ninatumia fomula z sqrtx2 y2. napata z sqrtfrac36252 frac48252. Kurahisisha, napata z frac125. 