<prompt> Katika mfuatano wa nambari kamili chanya kila neno baada ya la kwanza ni frac13 ya jumla ya neno linaloitangulia na istilahi inayoifuata katika mfuatano. Je, muhula wa 5 wa mfuatano huu ni upi ikiwa muhula wa 1 ni 2 na muhula wa 4 ni 34?  <response>: Hili ni tatizo kuhusu mfuatano wa kujirudia, ambapo kila neno linategemea muhula uliopita na unaofuata. Hebu tuite mlolongo a_n, ambapo n ni nafasi ya neno katika mlolongo. Kisha kanuni iliyotolewa ni kwamba a_n frac13a_n-1 a_n1 kwa n geq 2. Pia tunajua kuwa a_1 2 na a_4 34. Tunataka kupata a_5. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kupata a_2 na a_3, kwa kuwa zinahusika katika mlingano wa a_4 na a_5. Tunaweza kutumia mlingano wa a_2 na a_3 kuandika mfumo wa milinganyo miwili na mbili zisizojulikana. Kwa a_2, tuna a_2 frac13a_1 a_3, au 3a_2 a_1 a_3. Kuchomeka a_1 2, tunapata 3a_2 2 a_3. Kwa a_3, tuna a_3 frac13a_2 a_4, au 3a_3 a_2 a_4. Kuchomeka a_4 34, tunapata 3a_3 a_2 34. Sasa tuna milinganyo miwili na mbili zisizojulikana: 3a_2 2 a_3 na 3a_3 a_2 34. Tunaweza kutatua mfumo huu kwa kubadilisha. Kutatua kwa a_3 katika equation ya kwanza, tunapata a_3 3a_2 - 2. Tukichomeka hii kwenye mlingano wa pili, tunapata 33a_2 - 2 a_2 34, au 9a_2 - 6 a_2 34. Kurahisisha, tunapata 8a_2 40, au a_2 5. Kwa kuwa sasa tuna a_2, tunaweza kupata a_3 kwa kuichomeka kwenye mlingano wa kwanza. Tunapata a_3 3a_2 - 2, au a_3 35 - 2, au a_3 13. Sasa tuna a_2 5 na a_3 13. Ili kupata a_5, tunaweza kutumia mlingano wa a_4 na a_5. Tuna a_4 frac13a_3 a_5, au 3a_4 a_3 a_5. Kuchomeka a_4 34 na a_3 13, tunapata 334 13 a_5, au 102 13 a_5. Kutatua kwa a_5, tunapata a_5 102 - 13, au a_5 89. 