<prompt> Onyesha jumla ifuatayo kama sehemu ya kawaida: frac11cdot 2 frac12cdot 3 frac13cdot 4 frac 14cdot 5 nukta frac19cdot 10  <response>: Ninagundua kuwa kila neno katika jumla lina fomu frac1nn1, ambapo n huenda kutoka 1 hadi 9. Ninashangaa kama ninaweza kupata njia rahisi zaidi ya kuandika sehemu hii. , au labda muundo ambao hunisaidia kurahisisha jumla. Nakumbuka kwamba frac1nn1 frac1n - frac1n1, ambayo ni kitambulisho muhimu kwa mtengano wa sehemu. Ninajaribu kutumia kitambulisho hiki kwa kila neno katika jumla na kuona nini kinatokea. Ninapata frac11cdot 2 frac12cdot 3 frac13cdot 4 frac14cdot 5 vidoti frac19cdot 10 frac11 - frac12 frac12 - frac1 3 frac13 - frac14 vidoti frac19 - frac110. Ninagundua kuwa jumla hii ina ughairi mwingi unaoendelea, kwani kila muhula isipokuwa wa kwanza na wa mwisho una sehemu chanya na hasi. Ninaona kuwa masharti pekee ambayo hayaghairi ni frac11 na -frac110. Ninahitimisha kuwa jumla ni sawa na frac11 - frac110 frac910. 