<prompt> Acha f uz ivz iwe kitendakazi kizima katika ndege changamano C. If uz M kwa kila z katika C, ambapo M ni chanya mara kwa mara, je f ni utendaji wa kudumu?Nadharia Husika: Nadharia ya Liouville ni tokeo la kimsingi katika uchanganuzi changamano ambao unasema kwamba kila kitendakazi kizima kilicho na mipaka lazima kiwe thabiti. Kwa maneno mengine, ikiwa kazi ni holomorphic uchambuzi kwenye ndege nzima tata na thamani yake kamili imefungwa, basi kazi ni kazi ya mara kwa mara.Ili kuivunja zaidi:1. Imepakana: Chaguo za kukokotoa f inasemekana kuwekewa mipaka ikiwa kuna nambari chanya M ambayo fz M kwa z zote kwenye ndege changamano. Kwa maneno mengine, thamani za chaguo za kukokotoa hazikui kuwa kubwa kiholela unapozunguka ndege changamano.2. Kitendaji kizima: Kitendakazi kinaitwa nzima ikiwa ni holomorphic kichanganuzi kwenye ndege nzima changamano. Hii inamaanisha kuwa chaguo la kukokotoa linaweza kutofautishwa katika kila sehemu katika ndege changamano na ina uwakilishi wa mfululizo wa nishati unaofanana katika ujirani wa kila pointi.Nadharia ya Liouville ina madokezo muhimu katika uchanganuzi changamano, kwa vile inasaidia kutambua utendakazi mara kwa mara na ina jukumu muhimu katika uthibitisho wa nadharia ya msingi ya aljebra, ambayo inasema kwamba kila polynomia isiyo ya kudumu ina angalau mzizi mmoja changamano. Nadharia hiyo imepewa jina la mwanahisabati Mfaransa Joseph Liouville, ambaye aliithibitisha kwa mara ya kwanza mnamo 1844.  <response>: Kweli 