<prompt> Acha a,b, c ziwe nambari halisi chanya ili zote mbilix4 ax3 bx2 cx 1nax4 2ax3 2bx2 2cx 1 zote ni miraba ya polynomia. Tafuta a b c.  <response>: Ikiwa x4 ax3 bx2 cx 1 ni mraba wa polimanomia, basi lazima iwe quadratic. Tunaweza kudhani kuwa quadratic ni monic. Kisha ili kupata neno la ax3 tunapoiweka mraba, mgawo wa x katika quadratic lazima fraca2. Kwa hivyo,x4 ax3 bx2 cx 1 kushoto x2 fraca2 cdot x t kulia2.Kupanua, tunapatax4 ax3 bx2 cx 1 x4 shoka3 kushoto fraca24 2t kulia x2 atx t2.Inalingana na vigawo, tunapataanzaalignfraca24 2t b, kwa c, t2 1.endalignVile vile, ikiwa x4 2ax3 2bx2 2cx 1 ni mraba wa polinomia, basi tunaweza kudhani kwamba polynomia ni ya umbo x2 shoka u. Kwa hivyo,x4 2ax3 2bx2 2cx 1 x2 shoka u2.Kupanua, tunapatax4 2ax3 2bx2 2cx 1 x4 2ax3 a2 2u x2 2aux u2.Migawo inayolingana, tunapataanzaaligna2 2u 2b, 2au 2c, u2 1.endalignKutoka milinganyo at c na 2au 2c, t fracca u. Hivyo, tunaweza kuandikaanzaalignfraca24 2t b, a2 2t 2b, kwa c, t2 1.endalignKwa kuwa t2 1, ama t 1 au t -1. Ikiwa t 1, basi fraca24 2 b na a2 2 2b. Kubadilisha b, tunapataa2 2 fraca22 4.Kisha a2 4, hivyo a 2. Kisha b 3 na c 2 .Ikiwa t -1, basi fraca24 - 2 b na a2 - 2 2b. Kubadilisha b, tunapataa2 - 2 fraca22 - 4.Kisha a2 -4, ambayo haina masuluhisho ya kweli.Kwa hiyo, a 2, b 3, na c 2, hivyo a b c 7. 