<prompt> Ikiwa log_6 x-y log_6 xy 2 na log_y 5x 2, basi tafuta x.  <response>: Ninagundua kuwa equation ya kwanza ina logariti mbili zilizo na msingi sawa, kwa hivyo ninaweza kuzichanganya kwa kutumia sheria ya bidhaa ya logarithms: log_6 x-y log_6 xy log_6 x-yx y. Pia ninaona kwamba upande wa kulia wa mlingano wa kwanza ni 2, ambayo ina maana kwamba hoja ya logariti lazima iwe sawa na 62 36. Kwa hivyo nina x-yxy 36, ambayo ninaweza kuipanua kama x2 - y2 36. Mlinganyo wa pili una logariti na base y, jambo ambalo ni gumu kidogo. Lakini ninaweza kuiandika tena kwa kutumia mabadiliko ya formula ya msingi: log_y 5x fraclog_6 5xlog_6 y. Upande wa kulia wa equation ya pili pia ni 2, kwa hivyo ninaweza kuvuka-kuzidisha na kupata log_6 5x 2log_6 y. Kwa kutumia sheria ya nguvu ya logariti, naweza kuandika hii upya kama log_6 5x log_6 y2. Hii inamaanisha kuwa 5x y2, au kwa usawa, y sqrt5x. Sasa nina hesabu mbili katika suala la x na y, na ninataka kuondoa y na kutatua x. Ninaweza kubadilisha y sqrt5x kwenye mlinganyo wa kwanza na kupata x2 - sqrt5x2 36. Kwa kurahisisha, napata x2 - 5x 36, ambayo ni hesabu ya quadratic ambayo ninaweza kutatua kwa kuhesabu au kutumia formula ya quadratic. Ninapendelea kutumia fomula ya quadratic, kwa hivyo mimi huchomeka hesabu na kupata x frac--5 pm sqrt-52 - 41-36 21. Kwa kurahisisha, napata x frac5 pm sqrt1692, ambayo ni sawa na x frac5 pm 132. Kwa hivyo nina thamani mbili zinazowezekana za x: x frac5 132 9 au x frac5 - 132 -4. Walakini, lazima niangalie ikiwa maadili haya ni halali, kwa sababu yanaweza kufanya logarithms zisifafanuliwe au hasi. Ikiwa x 9, basi y sqrt5x sqrt45, na zote log_6 x-y na log_6 xy ni chanya, kwa hivyo hii ni suluhisho halali. Ikiwa x -4, basi y sqrt5x sqrt-20, ambayo sio nambari halisi, kwa hivyo hii sio suluhisho halali. Kwa hiyo, suluhisho pekee halali ni x 9. 