<prompt> Pembetatu ya kulia ina miguu a na b na hypotenuse c. Tafuta thamani kubwa zaidi yafraca bc.  <response>: Ninagundua kuwa shida hii inahusisha uwiano wa pande za pembetatu ya kulia, ambayo inanifanya nifikirie trigonometry. Hasa, nakumbuka kwamba sine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande wa kinyume na hypotenuse, na cosine ni uwiano wa upande wa karibu na hypotenuse. Kwa hivyo, ninaweza kuandika upya usemi fraca bc kama sin theta cos theta, ambapo theta ni pembe iliyo kinyume a. Sasa, nataka pata dhamana ya juu ya usemi huu, ambayo inamaanisha ninahitaji kupata pembe theta ambayo inaiongeza. Ninaweza kutumia calculus kupata alama muhimu za chaguo za kukokotoa ftheta sin theta cos theta. Ili kufanya hivyo, mimi huchukua derivative ya f na kuiweka sawa na sifuri. Nyingi ya f ni ftheta cos theta - sin theta. Kuweka hii sawa na sufuri, napata cos theta - sin theta 0, au cos theta sin theta. Hii inamaanisha kuwa theta ni fracpi4 au frac5pi4, kwani hizo ndizo pembe. katika roboduara ya kwanza na ya tatu ambapo thamani za kosine na sine ni sawa. Hata hivyo, kwa kuwa theta ni pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia, inaweza tu kuwa fracpi4. Kwa hivyo, thamani ya juu zaidi ya fraca bc hutokea wakati theta fracpi4. Ili kupata thamani hiyo, ninachomeka theta fracpi4 kwenye ftheta sin theta cos theta. Napata fleftfracpi4right sin fracpi4 cos fracpi4 fracsqrt22 fracsqrt22 sqrt2. 