<prompt> Mpira hutupwa chini moja kwa moja kutoka urefu wa futi 16. Ikiwa inarudi nyuma kila wakati hadi urefu wa nusu ya urefu ambapo ilianguka mara ya mwisho, mpira utakuwa umesafiri umbali gani unapogonga sakafu kwa mara ya sita, kwa miguu?  <response>: Ili kutatua tatizo hili, ninahitaji kufuatilia jinsi urefu wa mpira unavyobadilika baada ya kila mdundo, na ni umbali gani unaofunika katika kila sehemu ya safari yake. Nitaweka safu mlalo na idadi ya midundo, kuanzia 0 wakati mpira unapodondoshwa mara ya kwanza. Safu zitakuwa urefu kabla ya kuteleza, umbali ulioanguka, urefu baada ya kuteleza, na umbali ulioinuka. Safu ya kwanza ni rahisi kujaza. Mpira huanza kwa urefu wa futi 16, huanguka futi 16, kurudi nyuma hadi futi 8, na kuinuka futi 8. Safu ya pili pia ni moja kwa moja. Mpira huanza kwa futi 8, huanguka futi 8, kurudi nyuma hadi futi 4, na kuinuka futi 4. Ninaona muundo hapa. Urefu kabla ya kila bounce ni nusu ya urefu kabla ya bounce ya awali, na sawa huenda kwa urefu baada ya kila bounce. Hii ina maana, kwa sababu mpira hupoteza nusu ya nishati yake katika kila bounce. Umbali ulioanguka na umbali ulioinuka pia ni nusu ya maadili ya awali, isipokuwa kwa safu ya kwanza, ambapo ni sawa. Ninaweza kutumia muundo huu kujaza sehemu iliyobaki ya jedwali. Mpira huanza kwa futi 4 katika safu ya tatu, huanguka futi 4, kurudi nyuma hadi futi 2, na kuinuka futi 2. Katika safu ya nne, mpira huanza kwa futi 2, huanguka futi 2, kurudi nyuma hadi futi 1, na kuongezeka kwa futi 1. Katika safu ya tano, mpira huanza kwa futi 1, huanguka kwa futi 1, kurudi nyuma hadi futi 0.5, na kuongezeka kwa futi 0.5. Katika safu ya sita, mpira huanza kwa miguu 0.5, huanguka miguu 0.5, na hupiga sakafu kwa mara ya sita. Sihitaji kujaza safu wima mbili za mwisho, kwa kuwa mpira haudunduki au kuinuka tena. Sasa nina taarifa zote ninazohitaji kupata jumla ya umbali unaosafirishwa na mpira. Ninahitaji tu kuongeza umbali wote ulioanguka na kuinuka kwenye meza. Umbali ulioanguka ni 16 8 4 2 1 0.5 31.5 miguu. Umbali ulioinuka ni 8 4 2 1 0.5 futi 15.5. Jumla ya umbali uliosafiri ni 31.5 15.5 futi 47. 