<prompt> Wacha px iwe na utaalam wa shahada ya 6 kiasi kwamba p1 1, p2 2, p3 3, p4 4 , p5 5, na p6 6. Tafuta p7.  <response>: Shida hii inahusisha kutafuta polynomial ambayo hupitia pointi sita zilizotolewa na kisha kutathmini katika hatua ya saba. Njia moja inayowezekana ni kutumia ukalimani wa Lagrange, ambayo inatoa fomula ya digrii ya polynomial kwa zaidi n ambayo inapitia n 1 pointi tofauti. Walakini, fomula hiyo ni ngumu sana na inachosha kuhesabu. Njia nyingine inayowezekana ni kugundua kuwa vidokezo vilivyotolewa ni nambari kamili mfululizo, na jaribu kutafuta muundo au njia rahisi ya kuwakilisha polynomial. Nitatumia njia ya pili. Kwa kuwa polynomial ni monic, mgawo wake unaoongoza ni 1, na shahada yake ni 6, ninaweza kuiandika katika fomu px x6 a_5 x5 a_4 x4 a_3 x3 a_2 x2 a_1 x a_0. Ninahitaji kupata thamani za viambajengo a_5, a_4, a_3, a_2, a_1, na a_0. Njia moja ya kufanya hivi ni kuunganisha thamani zilizotolewa za px kwa x 1, 2, 3, 4, 5, na 6, na upate mfumo wa milinganyo sita ya mstari katika milinganyo sita isiyojulikana. Walakini, hiyo pia itakuwa ya kuchosha na kukabiliwa na makosa. Ninagundua kuwa maadili ya px yanaongezeka kwa moja x inapoongezeka kwa moja, na hii inaonyesha kuwa px - x inaweza kuwa polynomial rahisi zaidi kufanya kazi nayo. Kwa hivyo ninazingatia qx px - x, ambayo pia ni monic polynomial ya shahada ya 6, na nina q1 0, q2 0, q 3 0, q4 0, q5 0, na q6 0. Hii ina maana kwamba qx ina mizizi sita katika x 1, 2, 3, 4, 5, na 6, na ninaweza kuihesabu kama qx x - 1x - 2x - 3x - 4x - 5x - 6. Kwa hiyo, px qx x x - 1x - 2x - 3x - 4x - 5 x - 6 x. Sasa ninaweza kutathmini p7 kwa urahisi kwa kuchomeka x 7. Ninapata p7 7 - 17 - 27 - 37 - 47 - 57 - 6 7 6 cdot 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 7 727. 