<prompt> Verwys na die gedeelte hieronder en beantwoord dan die vraag daarna in dieselfde taal as die gedeelte: Passage: Die moderne konsep van n abstrakte groep ontwikkel uit verskeie velde van wiskunde. Die oorspronklike motivering vir groepsteorie was die soeke na oplossings van polinoomvergelykings van graad hoër as 4. Die 19de-eeuse Franse wiskundige Évariste Galois, wat die vorige werk van Paolo Ruffini en Joseph-Louis Lagrange uitgebrei het, het n kriteria gegee vir die oplosbaarheid van n bepaalde polinoomvergelyking in terme van die simmetriegroep van sy wortels oplossings. Die elemente van so n Galois-groep stem ooreen met sekere permutasies van die wortels. Aanvanklik is Galois se idees deur sy tydgenote verwerp en eers posthum gepubliseer. Meer algemene permutasiegroepe is veral deur Augustin Louis Cauchy ondersoek. Arthur Cayley se On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn 1 1854 gee die eerste abstrakte definisie van n eindige groep. Geometrie was n tweede veld waarin groepe stelselmatig gebruik is, veral simmetriegroepe as deel van Felix Klein se 1872 Erlangen-program. Nadat nuwe meetkunde soos hiperboliese en projektiewe meetkunde na vore gekom het, het Klein groepsteorie gebruik om hulle op n meer koherente manier te organiseer. Sophus Lie het hierdie idees verder bevorder en in 1884 die studie van Lie-groepe gestig. Die derde veld wat bygedra het tot groepsteorie was getalteorie. Sekere Abeliese groepstrukture is implisiet gebruik in Carl Friedrich Gauss se getal-teoriese werk Disquisitiones Arithmeticae 1798, en meer eksplisiet deur Leopold Kronecker. In 1847 het Ernst Kummer vroeë pogings aangewend om Fermat se Laaste Stelling te bewys deur groepe te ontwikkel wat faktorisering in priemgetalle beskryf. Die konvergensie van hierdie verskillende bronne in n eenvormige teorie van groepe het begin met Camille Jordan se Traité des substitutions et des équations algébriques 1870. Walther von Dyck 1882 het die idee van die spesifisering van n groep deur middel van generators en verhoudings bekendgestel, en was ook die eerste om n aksiomatiese definisie van n abstrakte groep te gee, in die terminologie van die tyd. Vanaf die 20ste eeu het groepe... Vraag: Wat is die doel van die navorsing?  <response>: vereenvoudig die bewys van hierdie klassifikasie 