<prompt> Rejea kifungu cha chini na kisha jibu swali baadaye katika lugha sawa na kifungu: Passage: Kubadilishana na katika usemi, yaani, permuting mbili ufumbuzi wa equation inaweza kutazamwa kama rahisi sana kundi operesheni. Fomula zinazofanana zinajulikana kwa usawa wa kiubiki na wa quartic, lakini hazipo kwa ujumla kwa kiwango cha 5 na juu. Abstract mali ya Galois makundi kuhusishwa na polynomials hasa solvability yao kutoa vigezo kwa ajili ya polynomials kwamba kuwa na ufumbuzi wao wote expressible na radicals, yaani, ufumbuzi expressible kutumia tu kuongeza, kuzidisha, na mizizi sawa na formula hapo juu. Tatizo inaweza kushughulikiwa na kuhamia nadharia uwanja na kuzingatia uwanja kugawanya ya polynomial. Nadharia ya kisasa ya Galois huongeza aina ya juu ya vikundi vya Galois kwa upanuzi wa uwanja na huanzisha kupitia theorem ya msingi ya nadharia ya Galois uhusiano sahihi kati ya mashamba na vikundi, ikionyesha tena uwepo wa vikundi katika hisabati. Swali: Ni kwa kiwango gani formula sawa hazipo?  <response>: 5 na zaidi 