{
    "problem": "Evaluate\n\\[\\begin{vmatrix} \\cos \\alpha \\cos \\beta & \\cos \\alpha \\sin \\beta & -\\sin \\alpha \\\\ -\\sin \\beta & \\cos \\beta & 0 \\\\ \\sin \\alpha \\cos \\beta & \\sin \\alpha \\sin \\beta & \\cos \\alpha \\end{vmatrix}.\\]",
    "level": "Level 2",
    "type": "Precalculus",
    "solution": "We can expand the determinant as follows:\n\\begin{align*}\n\\begin{vmatrix} \\cos \\alpha \\cos \\beta & \\cos \\alpha \\sin \\beta & -\\sin \\alpha \\\\ -\\sin \\beta & \\cos \\beta & 0 \\\\ \\sin \\alpha \\cos \\beta & \\sin \\alpha \\sin \\beta & \\cos \\alpha \\end{vmatrix} &= \\cos \\alpha \\cos \\beta \\begin{vmatrix} \\cos \\beta & 0 \\\\ \\sin \\alpha \\sin \\beta & \\cos \\alpha \\end{vmatrix} \\\\\n&\\quad - \\cos \\alpha \\sin \\beta \\begin{vmatrix} -\\sin \\beta & 0 \\\\ \\sin \\alpha \\cos \\beta & \\cos \\alpha \\end{vmatrix} - \\sin \\alpha \\begin{vmatrix} -\\sin \\beta & \\cos \\beta \\\\ \\sin \\alpha \\cos \\beta & \\sin \\alpha \\sin \\beta \\end{vmatrix} \\\\\n&= \\cos \\alpha \\cos \\beta (\\cos \\beta \\cos \\alpha) - \\cos \\alpha \\sin \\beta (-\\sin \\beta \\cos \\alpha) \\\\\n&\\quad - \\sin \\alpha ((-\\sin \\beta)(\\sin \\alpha \\sin \\beta) - (\\cos \\beta)(\\sin \\alpha \\cos \\beta)) \\\\\n&= \\cos^2 \\alpha \\cos^2 \\beta + \\cos^2 \\alpha \\sin^2 \\beta + \\sin^2 \\alpha \\sin^2 \\beta + \\sin^2 \\alpha \\cos^2 \\beta \\\\\n&= (\\cos^2 \\alpha + \\sin^2 \\alpha)(\\cos^2 \\beta + \\sin^2 \\beta) \\\\\n&= \\boxed{1}.\n\\end{align*}"
}